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Matemática01 - Matemática Básica (320)

Matemática Matemática básica Justificativa an = a ⋅ a ⋅a ⋅... ⋅ a e bn = b ⋅ b ⋅ b⋅ ... ⋅ b a n ( n) vezes n vezes ⋅ bn = a ⋅ a ⋅a ⋅... ⋅a ⋅ b ⋅ b ⋅ b⋅ ... ⋅ b = n vezes = ab ⋅ ab ⋅ab ⋅ ... ⋅ab n vezes Assim: a n · b n = (ab) n Exemplos 1. 2 3 · 3 3 = (2 · 3) 3 = 6 3 2. (a · b · c) 2 = a 2 · b 2 · c 2 n vezes • P 4 : Quociente de potências de mesmo expoente Para dividirmos potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e dividimos as bases. a b n n n a = ⎛ ⎜ ⎝ b ⎟ ⎞ , b ≠ 0 ⎠ Justificativa an = a ⋅ a ⋅a ⋅... ⋅ a e bn = b ⋅ b ⋅ b⋅ ... ⋅ b a b n n a b n n n vezes n vezes a ⋅ a ⋅a ⋅... ⋅a = b ⋅ b ⋅ b⋅ ... ⋅ b n vezes a = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ b⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ a ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ a ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ a ... ⎞ b b b⎠ ⎟ n vezes Assim a n ⎛ a : = bn ⎝ ⎜ ⎞ b⎠ ⎟ Exemplos 1. 2. 22 11 2 a3 b ⋅ c 3 3 n 2 = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ 11⎠ ⎟ 2 ⎛ a3 = ⎝ ⎜ ( b ⋅ c) 3 n vezes ⎞ a ⎠ ⎟ = ⎛ ⎞ ⎝ ⎜ b ⋅ c⎠ ⎟ 3 • P 5 : Potência de uma potência Para elevarmos uma potência a um novo expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. (a m ) n = a m · n Justificativa ( ) = ⋅ ⋅ ⋅ am n am am ... am n vezes n vezes am n am+ m+ ... + m am n am ⋅ n ( ) ⋅ = ⇒( ) = Exemplos 1. (2 5 ) 2 = 2 5 · 2 = 2 10 (( ) ) = = 2. 5 5 ⋅ ⋅ 5 5 2 3 5 2 3 30 Observação As propriedades apresentadas podem ser estendidas para os expoentes m e n inteiros. Exemplos a. 2 3 · 2 –2 = 2 3 + (–2) = 2 1 (P 1 ) 52 b. = 5 2 – (–3) = 5 2 + 3 = 5 5 (P 2 ) 5–3 c. 5 –3 · 2 –3 = (5 · 2) –3 = 10 –3 (P 3 ) 7– 2 – 2 7 d. = ⎛ 5– 2 4 ⎝ ⎜ ⎞ 5⎠ ⎟ ( P ) e. (2 –2 ) –3 = 2 (–2) · (–3) = 2 6 C. Situações especiais A. (–a) n e –a n As potências (–a) n e –a n , em geral, apresentam resultados diferentes, pois: (– a) n = (– a) ⋅ (– a) ⋅ (– a) ⋅... ⋅( – a) n vezes – an = – a ⋅ a ⋅ a⋅ ... ⋅a n vezes Exemplos 1. (–2) 2 = (–2) · (–2) = 4 2. –2 2 = –(2) · (2) = –4 PV-13-11 8

Matemática básica Matemática ( ) B. a e a m n As potências a ( ) m n m n e a resultados diferentes, pois: ( a m ) n = ( a m ) ⋅ ( a m ) ⋅ ( a m )⋅... ⋅( a m ) n vezes m n , em geral, apresentam e a n vezes a ... m n = m ⋅ m⋅ ⋅m Exemplos 1. (2 5 ) 2 = 2 5 · 2 = 2 10 2 2. 2 = 2 ⋅ = 2 5 5 5 25 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PV-13-11 01. UFMG O valor da expressão (a –1 + b –1 ) –2 é: a. ab ( a + b) 2 b. ab ( a 2 + b 2 ) 2 c. a 2 + b 2 d. a2b2 ( a + b) 2 Resolução ⎡ ⎤ −2 −2 b a a− b− − ⎛ ⎞ ⎛ + ⎞ ⎢ 1 ( + 1 2 1 1 1 ⎥ ) = + ⎝ ⎜ a b ⎠ ⎟ = ⎝ ⎜ ab ⎠ ⎟ = ⎢ ⎥ = ⎢⎛ b + a⎞ ⎥ ⎝ ⎜ ab ⎠ ⎟ ⎣⎢ ⎦⎥ 2 ⎛ ab ⎞ ⎝ ⎜ + ⎠ ⎟ = a b Resposta D 02. UECE a2b2 ( a + b) 2 Se a = 3 2 e b = a 2 , então o valor do produto ab é igual a: a. 3 6 b. 3 8 c. 9 6 d. 9 8 Resolução a · b = a · a 2 = a 3 = ( 3 ) = 3 Resposta A 2 3 6 2 03. UFRGS Sabendo-se que 6 x + 2 = 72, tem-se que 6 –x vale: a. – 4 b. – 2 c. 0 d. 1 2 e. 2 Resolução 6 x + 2 = 72 → 6 x · 6 2 = 72 → 6 x = 72 36 → 6x = 2 6 –x 1 1 = 6 = x 2 Resposta D 04. ENEM A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels, unidade de medida que representa um milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos são armazenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para evitar que as imagens ocupem muito espaço, elas são submetidas a algoritmos de compressão, que reduzem em até 95% a quantidade de bytes necessários para armazená-las. Considere 1 KB = 1.000 bytes, 1 MB = 1.000 KB, 1 GB = 1.000 MB. Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de compressão é 95%, João fotografou 150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no dispositivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar: a. um CD de 700 MB. b. um pendrive de 1 GB. 9