CD AB = BA AB - Matematica pe Net

• Aplicand proprietatea centrului de greutate punctului O, avem:
3 3
2
⋅ OG = OA + OB + OC = 3⋅
( OH + HG)
= 3⋅
( OH − OH ) = OH (relatia lui Sylvester);
• Daca notam O1 mijlocul segmentului OH atunci OA + OB + OC = 2OO1
(relatial lui Euler);
Metode in rezolvarea problemelor de paralelism:
1) Daca dreptele AB si CD sunt paralele atunci exista a ∈ R * astfel incat AB = a ⋅CD
; reciproc concluzia este sau AB || CD, sau
A,B,C,D coliniare;
2) Daca exista a, b ∈ R * astfel incat a ⋅ AB + b ⋅CD
= 0 , atunci AB ||CD sau A,B,C,D coliniare;
3) Daca u = a ⋅i
+ b ⋅ j;
v = a'⋅i
+ b'⋅
j , atunci u, v au aceeasi directie daca si numai daca coordonatele sunt proportionale,
b
a'
b'
a = .
4) u, v au aceasi directie daca si numai daca u + v = u + v .
Metode in rezolvarea problemelor de colinaritate:
1) A, B, C sunt coliniare daca si numai daca exista R *
AB
dreapta); conditia se poate exprima si prin raportul = a ;
AC
a ∈ astfel incat AB a ⋅ AC
2) A, B, C sunt coliniare daca si numai daca exista a, b ∈ R * astfel incat a ⋅ AB + b ⋅ AC = 0 ;
= (relatia furnizand si pozitiia punctelor pe
3) Daca in sistemul ( O, i,
j)
avem A(
x A,
y A ), B(
xB
, yB
), C(
xC
, yC
) , atunci A, B, C coliniare daca
4) Intr-un reper fixat , A, B, C coliniare daca si numai daca relatia a r + b ⋅ r + c ⋅ r = 0 implica a+b+c=0;
⋅ A B C
5) A, B, C coliniare daca si numai daca oricare ar fi puncul O, avem ca relatia a ⋅OA + b ⋅OB
+ c ⋅OC
= 0 implica a+b+c=0.
Conditia ca trei vectori sa formeze un triunghi.
u v,
w
, corespund vectorilor laturi ale unui triunghi daca u ± v ± w = 0 si suma oricaror doua module este mai mare decat al treilea.
Conditia ca patru puncte sa formeze un paralelogram (degenerat).
• Patrulaterul (degenerat) ABCD este paralelogram (degenerat) daca si numai daca AB = DC ;
• Segmentele AB, CD pot fi laturi opuse intr-un paralelogram (degenerat) daca si numai daca AB = ± CD , conditie ce se poate
evidentia si astfel: AB + CD = 0 sau AB − CD = 0 ;
Conditia ca patru punct sa formeze un trapez (degenerat).
• Patrulaterul ABCD este un trapez (degenerat) daca si numai daca exista a ∈ R * \{ 1)
astfel incat AB = a ⋅ DC sau
AD = a ⋅ BC .
• Patrulaterul ABCD este un trapez (degenerat) daca si numai daca exista a, b ∈ R+
*, a ≠ b astfel incat a ⋅ AB + b ⋅CD
= 0 sau
a ⋅ AD + b ⋅CB
= 0 .
+
x
x
B
C
− x
− x
A
A
y
=
y
B
C
− y
− y
A
A
;