1 Seminarul 6 - Analiza matematica. MPT
1 Seminarul 6 - Analiza matematica. MPT
1 Seminarul 6 - Analiza matematica. MPT
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Seminarul</strong> 6 : Serii numerice<br />
Criteriul lui Leibniz : Daca seria alternanta ∞<br />
(−1) n−1Un, Un > 0 are propri-<br />
etatile:<br />
atunci este convergenta.<br />
n=1<br />
Un+1 ≤ Un si lim<br />
n→∞ Un = 0<br />
Criteriul raportului : Fie ∞<br />
Un o serie numerica cu proprietatea ca exista :<br />
n=0<br />
|Un+1|<br />
lim<br />
n→∞ |Un|<br />
= k<br />
• daca k < 1 seria este absolut convergenta, deci convergenta.<br />
• daca k > 1 seria este divergenta.<br />
Remarca : ⋄ pentru k = 1 nu putem trage nicio concluzie.<br />
⋄ putem inlocui conditia de existenta a limitei cu conditiile :<br />
• daca exista k ∈ (0, 1) si n0 ∈ N astfel ca |Un+1|<br />
|Un| ≤ k pentru orice n ≥ n0 atunci seria<br />
este convergenta.<br />
• daca |Un+1|<br />
|Un| ≥ 1 pentru orice n ≥ n0 atunci seria este divergenta.<br />
⋄ daca seria are termenii pozitivi nu avem nevoie de modul.<br />
Criteriul radacinii : Fie ∞<br />
Un o serie numerica cu proprietatea ca exista :<br />
n=0<br />
<br />
n<br />
lim |Un| = k<br />
n→∞<br />
• daca k < 1 seria este absolut convergenta, deci convergenta.<br />
• daca k > 1 seria este divergenta.<br />
Remarca : ⋄ pentru k = 1 nu putem trage nicio concluzie.<br />
⋄ putem inlocui conditia de existenta a limitei cu conditiile :<br />
• daca exista k ∈ (0, 1) si n0 ∈ N astfel ca n |Un| ≤ k pentru orice n ≥ n0 atunci seria<br />
este convergenta.<br />
1
2<br />
• daca n |Un| ≥ 1 pentru orice n ≥ n0 atunci seria este divergenta.<br />
⋄ daca seria are termenii pozitivi nu avem nevoie de modul.<br />
Criteriul lui Abel : Daca seria ∞<br />
este marginit si :<br />
atunci seria este convergenta.<br />
αnUn are proprietatea ca sirul (Sn)n≥1:<br />
n=0<br />
Sn = U1 + U2 + .... + Un<br />
αn+1 ≤ αn, lim<br />
n→∞ αn = 0<br />
Calculul aproximativ al sumelor de serii : de cele mai multe ori este aproape<br />
imposibil de determinat suma unei serii convergente si prin urmare ne multumim cu<br />
aproximarea acesteia prin intermediul sirului sumelor partiale:<br />
Sn = U1 + U2 + ... + Un.<br />
• in general ne intereseaza aproximarea S ≈ Sn cu o anumita eroare ε > 0, adica<br />
determinarea acelui n pentru care :<br />
|S − Sn| < ε.<br />
Propozitie : Daca convergenta unei serii ∞<br />
Un este stabilita prin :<br />
• criteriul raportului, adica |Un+1|<br />
|Un| ≤ k < 1, n ≥ n0 atunci :<br />
n=1<br />
|S − Sn| ≤ |Un+1|<br />
1 − k<br />
n ∈ N ∗<br />
• criteriul radacinii, adica n |Un| ≤ k < 1 , n ≥ n0 atunci :<br />
|S − Sn| ≤ kn+1<br />
1 − k<br />
Daca convergenta seriei alternante ∞<br />
(−1) n−1Un , Un > 0 este stabilita prin criteriul<br />
lui Leibniz atunci :<br />
n=1<br />
|S − Sn| < Un+1.<br />
Aplicatie : Calculati cu o eroare mai mica decat 10 −3 suma seriei ∞<br />
n=1<br />
1<br />
n·2n .