29.06.2013 Views

1 Seminarul 6 - Analiza matematica. MPT

1 Seminarul 6 - Analiza matematica. MPT

1 Seminarul 6 - Analiza matematica. MPT

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

<strong>Seminarul</strong> 6 : Serii numerice<br />

Criteriul lui Leibniz : Daca seria alternanta ∞<br />

(−1) n−1Un, Un > 0 are propri-<br />

etatile:<br />

atunci este convergenta.<br />

n=1<br />

Un+1 ≤ Un si lim<br />

n→∞ Un = 0<br />

Criteriul raportului : Fie ∞<br />

Un o serie numerica cu proprietatea ca exista :<br />

n=0<br />

|Un+1|<br />

lim<br />

n→∞ |Un|<br />

= k<br />

• daca k < 1 seria este absolut convergenta, deci convergenta.<br />

• daca k > 1 seria este divergenta.<br />

Remarca : ⋄ pentru k = 1 nu putem trage nicio concluzie.<br />

⋄ putem inlocui conditia de existenta a limitei cu conditiile :<br />

• daca exista k ∈ (0, 1) si n0 ∈ N astfel ca |Un+1|<br />

|Un| ≤ k pentru orice n ≥ n0 atunci seria<br />

este convergenta.<br />

• daca |Un+1|<br />

|Un| ≥ 1 pentru orice n ≥ n0 atunci seria este divergenta.<br />

⋄ daca seria are termenii pozitivi nu avem nevoie de modul.<br />

Criteriul radacinii : Fie ∞<br />

Un o serie numerica cu proprietatea ca exista :<br />

n=0<br />

<br />

n<br />

lim |Un| = k<br />

n→∞<br />

• daca k < 1 seria este absolut convergenta, deci convergenta.<br />

• daca k > 1 seria este divergenta.<br />

Remarca : ⋄ pentru k = 1 nu putem trage nicio concluzie.<br />

⋄ putem inlocui conditia de existenta a limitei cu conditiile :<br />

• daca exista k ∈ (0, 1) si n0 ∈ N astfel ca n |Un| ≤ k pentru orice n ≥ n0 atunci seria<br />

este convergenta.<br />

1


2<br />

• daca n |Un| ≥ 1 pentru orice n ≥ n0 atunci seria este divergenta.<br />

⋄ daca seria are termenii pozitivi nu avem nevoie de modul.<br />

Criteriul lui Abel : Daca seria ∞<br />

este marginit si :<br />

atunci seria este convergenta.<br />

αnUn are proprietatea ca sirul (Sn)n≥1:<br />

n=0<br />

Sn = U1 + U2 + .... + Un<br />

αn+1 ≤ αn, lim<br />

n→∞ αn = 0<br />

Calculul aproximativ al sumelor de serii : de cele mai multe ori este aproape<br />

imposibil de determinat suma unei serii convergente si prin urmare ne multumim cu<br />

aproximarea acesteia prin intermediul sirului sumelor partiale:<br />

Sn = U1 + U2 + ... + Un.<br />

• in general ne intereseaza aproximarea S ≈ Sn cu o anumita eroare ε > 0, adica<br />

determinarea acelui n pentru care :<br />

|S − Sn| < ε.<br />

Propozitie : Daca convergenta unei serii ∞<br />

Un este stabilita prin :<br />

• criteriul raportului, adica |Un+1|<br />

|Un| ≤ k < 1, n ≥ n0 atunci :<br />

n=1<br />

|S − Sn| ≤ |Un+1|<br />

1 − k<br />

n ∈ N ∗<br />

• criteriul radacinii, adica n |Un| ≤ k < 1 , n ≥ n0 atunci :<br />

|S − Sn| ≤ kn+1<br />

1 − k<br />

Daca convergenta seriei alternante ∞<br />

(−1) n−1Un , Un > 0 este stabilita prin criteriul<br />

lui Leibniz atunci :<br />

n=1<br />

|S − Sn| < Un+1.<br />

Aplicatie : Calculati cu o eroare mai mica decat 10 −3 suma seriei ∞<br />

n=1<br />

1<br />

n·2n .

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!