X - Analiza matematica. MPT

Variabile aleatoare discrete
Fie variabila aleatoare discreta , finita, X si Y cu repartitia :
X
x1
:
p1
x2
p2
x3
p3
. . .
. . .
xn
pn
,
n
pi = 1
Operatii cu variabile aleatoare : c · X, X + Y , X · Y , X 2 , X + c (seminar)
• daca este posibila determinarea unei expresii analitice care sa stabileasca o legatura intre
valorile aleatoare si probabilitatile respective atunci aceasta functie se numeste functie de
repartitie:
Au loc formulele :
• P (X = xi) = pi
⎪⎩
i=1
⎧
0, x ≤ x1
p1, x1 < x ≤ x2
⎪⎨ p1 + p2, x2 < x ≤ x3
F (x) =
.
• P (X < xi) = p1 + p2 + . . . + pi−1 = F (xi).
p1 + p2 + . . . + pn−1, xn−1 < x ≤ xn
1, xn < x.
Valoarea medie a variabilei aleatoare este data de formula :
n
M(X) = pi · xi = p1 · x1 + p2 · x2 + . . . + pn · xn.
i=1
Proprietati: • M(X + Y ) = M(X) + M(Y )
• M(c · X) = c · M(X)
• M(c) = c daca X = c = const.
• M(X · Y ) = M(X) · M(Y ) daca X, Y independente.
Dispersia variabilei aleatoare este data de formula :
D 2 (X) =
n
i=1
pi(xi−M(X)) 2 = p1·(x1−M(X)) 2 +p2·(x2−M(X)) 2 +. . .+pn·(xn−M(X)) 2 .
Proprietati: • D 2 (c · X) = c 2 · D 2 (X)
• D 2 (c) = 0 pentru X = c = constant
• D 2 (X + Y ) = D 2 (X) + D 2 (Y ) daca X, Y independente.
Covarianta variabilelor aleatoare X si Y este data de formula:
iar coeficientul de corelatie :
cov(X, Y ) = M(X · Y ) − M(X) · M(Y )
1

2
ρ(X, Y ) =
cov(X, Y )
D 2 (X) · D 2 (Y )
• daca cov(X, Y ) = 0 spunem ca varibilele sunt necorelate.
Variabile aleatoare continue
• in cazul variabilelor aleatoare continue nu este posibila construirea unui
tablou al repartitiei deoarece exista o infinitate de valori posibile.
Se numeste functie de repartitie sau lege de probabilitate asociata variabilei
aleatoare X functia :
F (x) = P ({ω : X(ω) < x}).
Se numeste densitatea de repartitie a variabilei aleatoare X derivata functiei F (x)
(daca exista) :
ρ(x) = F ′ (x).
• are loc relatia :
Au loc formulele :
x
F (x) =
−∞
ρ(t)dt.
• P (a ≤ X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a ≤ X ≤ b) =
• P (X < b) = 1 − P (X > b)
• P (X = b) = 0
• P (X < b) = b
−∞ ρ(x)dx
b
a
ρ(x)dx
Propozitie : O conditie suficienta pentru ca o functie f : R → R sa fie o densitate de
repartitie este ca : ∞
f(x)dx = 1.
−∞
Valoarea medie a unei variabile aleatoare continue X se calculeaza cu formula :
∞
M(X) = xρ(x)dx
iar dispersia:
−∞
D 2 ∞
(X) = (x − M(X)) 2 ρ(x)dx.
−∞