1 Seminarul 12 Metoda celor mai mici patrate - Analiza matematica ...

Metoda celor mai mici patrate :
Seminarul 12
Pentru functia f : [a, b] → R se cunosc numai valorile sale intr-un numar finit de puncte :
x x1 x2 · · · xp
f(x) y1 y2 · · · yp
Daca dorim sa aproximam functia f prin functia g(x, c1, c2...ck) ne intereseaza ca erorile :
sa fie cat mai mici, si anume expresia:
sa fie minima.
E(c1, c2, ....ck) =
εi = yi − g(xi, c1, c2, ..., ck)
p
i=1
ε 2 i =
p
[yi − g(xi, c1, c2, ....ck)] 2
Metoda celor mai mici patrate ne asigura ca orice punct stationar a lui E
(a carei variabile sunt c1, c2, .... ck) realizeaza minimul dorit. Asadar nu
trebuie decat sa rezolvam sistemul :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂E
∂c1
∂E
∂c2
. . .
∂E
∂ck
i=1
= 0
= 0
= 0 .
Cel mai intalnit caz este atunci cand g(x, c1, c2...., ck) = c1 · x + c2 si in acest
caz:
E(c1, c2) =
p
i=1
ε 2 i =
p
[yi − c1xi − c2] 2
Functia g cautata se mai numeste si functie de ajustare iar curba data de graficul lui
g se numeste ”trendul” evolutiei fenomenului studiat si ea ne ofera o prognoza sau o
previziune a fenomenului respectiv.
Daca rezolvam sistemul pentru aflarea punctelor stationare obtinem :
c1 ·
p
i=1
c1 ·
x 2 i + c2 ·
i=1
p
xi =
i=1
p
xi + p · c2 =
i=1
p
i=1
p
i=1
yi
xiyi
1

2
Aplicatia 1: Volumul vanzarilor pe primele 6 luni ale anului la un articol de uz casnic
este dat de tabelul urmator:
luna 1 2 3 4 5 6
volumul vanzarilor 90 98 102 104 110 112
Sa se stabileasca trendul vanzarilor in vederea determinarii stocurilor lunare pentru acelasi
interval de timp din anul urmator. (volumul vanzarilor este exprimat in mii de ron)
Aplicatia 2 : O teorie a formarii craterelor pe Marte spune ca frecventa craterelor mari
trebuie sa scada odata cu inversul patratelor diametrelor. Fotografiile realizate de sonda
Mariner IV arata frecventele inregistrate in tabelul de mai jos:
diametrul D (km)
1
D 2
frecventa
32 − 45 0, 001 51
45 − 64 0, 0005 22
64 − 90 0, 00024 14
90 − 128 0, 000123 4
1
Gasiti o dependenta de forma F = c1 D2
+ c2 pentru aceste date, prin metoda celor mai
mici patrate.
Aplicatia 3 : In anul 1862 muzicologul german Ludwig von Köchel a facut o lista
cronologica a compozitiilor lui Wolfgang Amadeus Mozart. Aceasta lista este astazi sursa
a ceea ce se numesc ”numere Köchel” care astazi acompaniaza numele pieselor lui
Mozart ( de exemplu : Sinfonia Concertante pentru violina si orchestra in Emajor,
K.364) Tabelul de mai jos afiseaza numerele Köchel pentru 10 din compozitiile
lui Mozart.
a) Gasiti o regula de tipul y = aK + b pentru aceste date, prin metoda celor mai mici
patrate.
b) K.364 a fost compusa in 1779, in ce an este ea prezisa cu regula gasita anterior.
numarul Köchel anul compunerii
1 1761
75 1771
155 1772
219 1775
271 1777
351 1780
425 1783
503 1786
575 1789
626 1791