Spatii metrice. Principiul contractiei - Analiza matematica. MPT

Modulul 2
SPAŢII METRICE
Subiecte :
1. Spaţii metrice. Definiţii, exemple.
2. Mulţimi deschise, mulţimi închise în spaţii metrice. Mulţimi compacte.
3. Spaţii metrice complete. Principiul contracţiei.
Evaluare: 1.Răspunsuri la problemele finale.
3. Mulţimi deschise, mulţimi închise, mulţimi compacte în spaţii metrice(definiţie
şi exemple).
4. Spaţii metrice complete(definiţie şi exemple).Principiul contracţiei (enunţ
şi demonstraţie).
2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE
Fie X o mulţime nevidă dată. Se spune că pe mulţimea X s-a definit o
distanţă (metrică) dacă s-a definit o aplicaţie d: X x X → R care verifică
următoarele axiome (proprietăţi):
(D1) d (x, y) ≥ 0 oricare ar fi x, y ∈ X şi d (x, y) = 0 ⇔ x = y
(D2) d (x, y) = d (y, x) pentru orice x, y ∈ X
(D3) d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) pentru orice x, y, z ∈ X
Perechea (X, d) se numeşte spaţiu metric iar d (x, y) se numeşte distanţa
dintre x şi y.
Axioma (D1) este, de fapt, proprietatea de nenegativitate a distanţei dintre
două puncte, (D2) exprimă simetria distanţei d iar (D3) este inegalitatea
triunghiului.
Dacă X ≠ ∅ şi definim aplicaţia d: X x X → R prin d (x, y) = 0 ⇔ x = y
şi d (x, y) = 1 ⇔ x ≠ y atunci (X, d) devine un spaţiu metric. Desigur, acest
exemplu este trivial, de vreme ce pentru orice punct x ≠ y avem aceeaşi distanţă
între ele. Exemple de importanţă deosebită sunt următoarele:
Exemplul 1. Să considerăm X = R şi d (x, y) = ⎢x - y⎥ . Dacă ţinem seama de
proprietaţile funcţiei f (x) = x atunci rezultă că (R, d) este un spaţiu metric.
Exemplul 2. Mulţimea C a numerelor complexe este un spaţiu metric, dacă pentru
orice două numere complexe z1 = x1 + iy1
şi z2 = x2 + iy2
definim:
1
2
2
dz ( 1, z2) = z1 − z2 = ( x1 − x2) + ( y1 − y2)
2 .
[ ]

20
Exemplu 3. Pe aceaşi mulţime se pot defini mai multe metrici, deci putem
construi mai multe spaţii metrice având aceeaşi mulţime de puncte. Astfel, dacă
pentru orice două numere complexe z1 , z2 considerăm d1( z1, z2)
=
{ x1 y1 x1 y1}
= max − , −
obţinem spaţiul metric ( ) C,d1 .
Exemplu 4. Fie X = R x R x … x R, atunci, dacă pentru orice două puncte
( ) ( )
x= x1, x2,..., xn , y= y1, y2,..., yn
din R n 1
definim:
(1)
⎡ n
2 ⎤ 2
dxy ( , ) = ⎢∑
( xi −yi)
⎥
⎣⎢
i=
1 ⎦⎥
( R ) n , d devine un spaţiu metric. Să demonstrăm inegalitatea (axioma)
triunghiului în acest caz . Inegalitatea (D3) se scrie în acest caz sub forma:
1
1
1
⎡ n
n
n
2 ⎤ 2 ⎡
2 ⎤ 2 ⎡
2 ⎤ 2
(2) ⎢ ∑( xk − zk) ⎥ ≤ ⎢ ∑( xk −yk)
⎥ + ⎢ ∑(
yk −zk)
⎥
⎣⎢
k = 1 ⎦⎥
⎣⎢
k = 1 ⎦⎥
⎣⎢
k = 1 ⎦⎥
unde x, y sunt cele de mai sus iar z = ( z1, z2,..., zn) . Dacă notăm xk− yk= ak
şi yk − zk = bk
atunci (2) se scrie sub forma:
(3)
⎡ n
⎤ n
n
⎢ ( ak + bk) ⎥ ak bk
⎣
⎢
k
⎦
⎥
k
k
≤
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣
⎢
⎦
⎥ +
1
1
1
2
2 ⎡ ⎤ 2
2
2
∑ ∑ ⎢ 2 ∑ ⎥ ,
⎣
⎢
⎦
⎥
= 1
= 1
= 1
de unde prin ridicare la pătrat obţinem:
(4)
n 2
⎡ ⎤ ⎛ n ⎞⎛
n ⎞
⎢ ∑akbk⎥≤⎜∑a 2
⎜ k ⎟
⎜ ∑b
2
⎜ k ⎟
⎣⎢
k = 1 ⎦⎥
⎝ k = 1 ⎠⎝
k = 1 ⎠
Pentru a demonstra inegalitatea (4) observăm că pentru orice λ ∈ R avem:
n
2
∑( ak + λbk)
≥ 0 , care se mai scrie sub forma:
k = 1
(5)
n
n n
2
λ 2 2λ 2
∑bk+ ∑akbk + ∑ak≥
0 pentru orice λ ∈ R, ceea ce este
k = 1 k = 1 k = 1
echivalent cu faptul că discriminantul trinomului de gradul doi în λ din (5) este
negativ, de unde rezultă inegalitatea (4), care este, de fapt, un caz particular al
inegalitaţii lui H. A. Schwartz (1843 - 1921).
Exemplul 5. Un caz particular important de spaţii metrice îl constituie spaţiile
vectoriale normate. Fie K corpul numerelor reale R sau complexe C. Spunem
despre o mulţime X nevidă, ale cărei elementele le numim vectori sau puncte că
este un spaţiu vectorial (liniar) peste corpul K dacă sunt definite două operaţii,

21
una internă:
(6) X x X ∋ (x, y) a x + y ∈X
şi alta externă:
(7) K x X ∋ (α, x) a α x ∈X,
astfel încât pentru orice x, y, z din X şi α, β ∈ K sunt satisfăcute axiomele:
(L1) x + y = y + x
(l2) x + (y + z) = (x + y) + z
(L3) există θ ∈ X : θ + x = x + θ = x
(L4) pentru orice x ∈ X, există x’ (-x) ∈ X: x + x’ = x’ + x = 0
(L5) (α + β) x = α x + β x
(L6) α (x + y) = α x + α y
(L7) (α β) x = α (β x)
(L8) 1⋅x = x, unde 1 este elementul unitate din corpul K.
O aplicaţie || ⋅ || : X → K se numeşte normă pe spaţiul liniar
( X, +⋅ , ) / Kdacă
pentru orice x, y ∈ X şi α ∈ K sunt verificate axiomele:
(N1) || x || ≥ 0 şi || x || = 0 ⇔ x = θ
(N2) || α x || = | α | || x ||
(N3) || x + y || ≤ || x || + || y ||
Perechea (X, || ⋅ ||), unde X este un spaţiu liniar iar aplicaţia || ⋅ || este o
normă se numeşte spaţiu liniar normat, acesta se numeşte real sau complex după
cum K = R sau K = C.
Dacă considerăm X = R şi || x || = | x | atunci (R, || ⋅ ||) devine un spaţiu
n
vectorial normat. De asemenea dacă considerăm X = R cu operaţiile:
x+ y = ( x1, x2, K, xn) + ( y1, y2, K,
yn)
=
= ( x1+ y1, x2 + y2, K,
xn+ yn )
αx = α( x1, x2, K, xn) = ( αx1, αx2, K,
αxn)
n
şi cu norma x = xi i
⎡ ⎤
⎢∑
⎥
⎣⎢
= ⎦⎥
2
1
2
atunci ( R
1
2 ,|| ⋅ ||) devine un spaţiu liniar normat.
Fie acum (X, || ⋅ ||) un spaţiu vectorial normat. Cu ajutorul normei || ⋅ ||
putem defini aplicaţia d : X x X → R, prin d (x, y) = ||x - y||. Se verifică uşor că d
este o metrică şi deci (X, d) a devenit un spaţiu metric cu metrica definită cu
ajutorul normei || ⋅ ||.
Definiţi ce este o metrică.Daţi exemplu de o metrică.
Definiţi ce este un spaţiu metric, un spaţiu normat. Daţi exemplu de un
spaţiu metric, de un spaţiu normat.
Enunţaţi şi demonstraţi inegalităţile lui Cauchy-Schwarz-Buniakovski.

22
2.2. MULŢIMI DESCHISE, MULŢIMI ÎNCHISE ÎN
SPAŢII METRICE. VECINĂTĂŢI
Fie ( X, d ) un spaţiu metric, prin sfera deschisă de rază r > 0, cu centrul în
x0 înţelegem mulţimea:
(1) Sx ( 0, r) = { xx : ∈ Xdx , ( 0,
x) < r}
iar prin sfera închisă de rază r > 0 şi cu centrul în x0 înţelegem mulţimea de
puncte din X definită prin:
{ }
(2) ( , ) : , ( , )
Sx0 r = xx∈Xdx0 x ≤ r .
Dacă considerăm X = R şi dxy ( , ) = x− y atunci sferele deschise din R
vor fi intervale deschise din R, iar sferele închise din R vor fi intervale închise din
R. Mai exact în acest caz avem:
(3)
(4)
Sx ( 0, r) = ( x0 − rx , 0 + r)
;
Sx ( 0, r) = [ x0 − rx , 0 + r]
.
Dacă considerăm X = R 2 şi dxy ( , ) =
2
2
( x1− y1) + ( x2 −y2)
, unde
x ( x , x ) şi y ( y , y ) , atunci sfera deschisă de centru x ( a b)
= 1 2
= 1 2
0 = , şi rază
r > 0 va fi mulţimea punctelor din interiorul discului plan cu centrul în x 0 şi de
rază r, iar sfera închisă va conţine atât punctele sferei deschise cât şi ale
circumferinţei.
Despre o submulţime A ⊂ X a spaţiului metric (X, d) spunem că este
mărginită dacă există o sferă Sx ( r)
0, cu r > 0 astfel ca A S( x r)
⊂ 0, , unde x 0
este un punct fixat din X.
O mulţime D ⊂ X se numeşte deschisă dacă pentru orice x ∈ D se poate
determina un r > 0 astfel încât S(x, r) ⊂ D.
Fie acum un punct x ∈ X şi V ⊂ X, spunem că V este o vecinătate a
punctului x dacă există o submulţime deschisă a lui X, astfel încât să avem
x∈D⊂ V sau echivalent, există o sferă deschisă S(x, r) astfel încât x∈S(x, r) ⊂ V.
Din cele de mai sus rezultă că o mulţime deschisă este vecinătate a fiecărui
punct al său.
Dacă A ⊂ X şi (X, d) este un spaţiu metric, atunci despre un punct x ∈ X
spunem că este un punct limită sau un punct aderent al mulţimii A dacă pentru
orice sferă S(x, r) cu r > 0, S(x, r) ∩ A ≠ ∅, adică în orice sferă deschisă cu
centrul în punctul x se găsesc puncte ale mulţimii A. Mulţimea punctelor aderente
mulţimii A se notează de obicei cu A . Fie (X, d) un spaţiu metric, să notăm cu D
familia submulţimilor deschise din acest spaţiu metric.
(5) D = {D : D ⊂ X şi D este o mulţime deschisă}
Comment:
Comment:

23
Atunci se verifică că familia de mulţimi D are următoarele proprietăţi:
(6) φ, X ∈ D;
(7) Dacă { Di } 1≤i≤n ⊂ D , atunci D n
I i ∈D
;
i=
1
(8) Dacă { Dα
} ⊂ D , unde I este o familie arbitrară de indici, atunci:
α∈I D
I α U ∈D
.
α∈
Proprietăţile (7) şi (8) arată că printr-o intersecţie finită şi printr-o reuniune
arbitrară de mullţimi deschise se obţin tot mulţimi deschise.
Următorul exemplu arată că intersecţia unei familii infinite de mulţimi
deschise nu este întotdeauna o mulţime deschisă. Aşa se întîmplă dacă considerăm
X = R, d = | |, Dn
= −
n n
⎛ 1 1 ∞
⎞ ⎛ 1 1⎞
⎜ , ⎟ şi ⎜−
⎟ = { }
⎝ ⎠ I , 0 , −
⎝ ⎠
n=
1 n n
⎛ 1 1⎞
⎜ , ⎟ sunt mulţimi
⎝ n n⎠
deschise iar {0} nu este o mulţime deschisă.
Spaţiile metrice constituie o clasă importantă de spaţii topologice. Acestea
sunt definite pe baza noţiunii de mulţime deschisă sau echivalent de vecinătate,
care în cazul spaţiilor metrice au fost introduse cu ajutorul metricii d a unui spaţiu
metric (X, d).
Fie X ≠ ∅ şi D ⊂ P (X) (D este o familie de parţi ale lui X). Spunem că
perechea (X, D) este un spaţiu topologic dacă sunt verificate axiomele (6), (7) şi
(8).
O submulţime D ⊂ X se numeşte deschisă dacă D ∈ D, o submulţime
C ⊂ X se numeşte închisă dacă CXC∈ D.
Se constată acum uşor că, dacă (X, d) este un spaţiu metric şi D este
familia mulţimilor deschise, atunci (X, D) devine un spaţiu topologic.
În continuare ne vom referi la spaţiile metrice, deoarece considerăm că
acestea permit o formulare suficient de cuprinzătoare a problemelor ce vor fi
studiate şi considerăm mai aproape de problemele practice noţiunea de distanţă
decât cea de vecinătate, deşi ultima este mai generală.
Fie (X, d) un spaţiu metric şi x∈ X,
vom nota cu Vx familia tuturor
vecinătăţilor punctului x. Principalele proprietăţi ale lui Vx sunt date prin:
Propoziţia 1.
(9) Dacă V ∈ Vx atunci x ∈ V;
(10) Dacă V ∈ Vx şi V ⊂ V1 atunci V1 ∈V x ;
(11) Dacă { Vi } 1≤i≤n x ⊂ V atunci V n
I i ∈V
x ;
i=
1
(12) Dacă V ∈ Vx , atunci există W ∈ Vx astfel încât V∈ Vy pentru orice y∈ W;
(13) Dacă x ≠ y, atunci există V1 ∈ Vx şi V2 ∈ Vy astfel încât V1∩ V2
= ∅ .

24
Proprietatea dată prin (13) este caracteristică spaţiilor topologice separate
care se mai numesc şi spaţii topologice Hausdorff. Ea afirmă că orice spaţiu
metric este un spaţiu topologic separat (Hausdorff). Să demonstrăm această ultimă
proprietate (13).
Dacă x ≠ y rezultă d(x, y) ≠ 0, mai exact d(x, y) > 0. Fie acum
dxy ( , )
0 < rk
< , k = 1,2 , atunci putem considera Vx = S( x, r1
) şi Vy = S( y, r2
)
2
şi vom avea Vx ∩ Vy
= ∅. În caz contrar, existenţa unui z∈Vx ∩ Vy
atrage
după sine ( , ) ( , ) ( , )
dxy ≤ dxz+ dyz < r1 + r2 < r,
ceea ce contrazice d(x, y) = r.
Într-un spaţiu metric (X, d), care poate fi considerat şi un spaţiu topologic
şi deci în care definim mulţimile închise ca fiind complementarele mulţimilor
deschise date prin familia D are loc:
Propoziţia 2. O mulţime A ⊂ X este o mulţime închisă dacă şi numai dacă
A = A.
Fie D ⊂ X. Prin interiorul mulţimii D înţelegem reuniunea tuturor
mulţimilor deschise incluse în D, deci int D este la rândul ei o mulţime deschisă.
Propoziţia 3. Într-un spaţiu metric (X, d), o mulţime D ⊂ X este deschisă dacă şi
numai dacă D =intD, deci mulţimile deschise sunt formate numai din puncte
interioare.
Mulţimea ∂ A = A - int A se numeşte frontiera lui A iar CxA = ext A se
numeşte exteriorul mulţimii A.
De exemplu, dacă A = (a, b], orice punct din (a, b) va fi punct interior al
lui A, A = [a, b], intA = (a, b) şi deci ∂A = {a, b}, dacă A = (a, b) × ( c, d)⊂ R 2 ,
atunci A = [a, b] × [c, d], intA = A şi deci ∂A coincide cu mulţimea punctelor de
pe laturile dreptunghiului A, ce justifică denumirea de mulţime frontieră.
Definiţi mulţimile deschise şi mulţimile închise în spaţii metrice. Daţi
exemple.
Definiţi vecinătatea unui punct. Daţi exemple.
Definiţi poziţia unui punct faţă de o mulţime într-un spaţiu topologic.
2.3. MULŢIMI COMPACTE.
SPAŢII METRICE COMPLETE
PRINCIPIUL CONTRACŢIEI
O parte însemnată a teoriei şirurilor numerice poate fi extinsă la orice
spaţiu metric (X, d). Printr-un şir de puncte dintr-un spaţiu metric înţelegem o

25
aplicaţie f : N → X, f (n) = xn , de obicei notăm această corespondenţă prin
( xn ) .
n∈N
Definiţia 1. Spunem că şirul ( xn ) ⊂ X converge la x ∈ X, în spaţiul metric
n∈N
(X, d) sau în metrica d, dacă lim dx ( , x)
= 0 .
n
n→∞
Convergenţa de mai sus este echivalentă cu: pentru orice ε > 0 există
N(ε) ∈ N astfel încât dx ( n , x)
0, aceasta
înseamnă că d(x, y) = 0 şi deci x = y, ceea ce intră în contradicţie cu x ≠ y .
Un şir { xn } din (X, d) se numeşte şir fundamental sau şir Cauchy
n∈N
dacă pentru orice ε > 0 există N(ε) ∈ N astfel încât dx ( , x ) 0 există N(ε)∈N astfel încât dx ( x )
n, m

26
| x - x | ≤ ε. Cum ε > 0 poate fi făcut oricât de mic rezultă că x = x şi pentru
orice n ≥ N (ε) xn− x < ε pentru orice n ≥ N (ε) şi x = x = x, deci { } xn n∈N
converge la x.
Fie acum spaţiul metric ( R ) k
de
( xn) x ( x x x
n n n n n) k
1 2
=
, , d e fiind metrica euclidiană pe R k şi
,
≥1
, ,..., un şir de elemente din R k de inegalităţi:
. Atunci pe baza şirului
(2)
i i
xn− xm= i i 2
( xn−xm) ≤
k
i i 2
k
i i
∑( xn−xm) ≤ ∑ xn−xm i=
1 i=
1
rezultă că şirul ( )
R k
, de
dacă şi numai dacă
xn este un şir fundamental în ( )
n≥1
i
şirurile coordonatelor ( xn) ≤ i ≤ k
n≥1
1
Cum (R, | ⋅ |) este un spaţiu metric complet, rezultă că şi spaţiul ( R ) k
de
spaţiu metric complet. La fel se justifică şi completitudinea spaţiului ( C ) k
de
, sunt şiruri fundamentale de numere reale.
, este un
, .
Dacă considerăm spaţiul metric ( Q, d) , d( x, y) = x− y , acesta nu este un
spaţiu metric complet. Pentru spaţiile metrice incomplete există o teoremă de
completare care afirmă că orice spaţiu metric incomplet ( Xd , ) poate fi extins la
un spaţiu metric complet ( Xd , ) , ( X⊂ X)
asfel că d X d = (restricţia lui d la
X × X coincide cu d). Un mod de a defini spaţiul numerelor reale este aceela de al
considera ca fiind extinderea completă a spaţiului ( Q,d ) .
, = este deasemenea
un spaţiu metric, numit subspaţiu a lui (X, d). Deci orice submulţime a lui X
poate fi considerată un spaţiu metric.
Fie acum (X, d) un spaţiu metric şi A ⊂ X, ( A ) d A d
Definiţia 3. Mulţimea A ⊂ X se numeşte compactă prin şiruri dacă din orice şir
( )
xn⊂A se poate extrage un subşir convergent la un punct x din A. Spunem
n≥1 că mulţimea A este relativ compactă dacă închiderea ei A este compactă.
Teorema 1. Dacă (X, d) este un spaţiu metric şi A este o submulţime compactă
prin şiruri a lui X, atunci A este închisă şi mărginită.
n
n
Dacă X = R sau X = C cu metricile euclidiene considerate anterior
( de ), atunci are loc:

27
Teorema 2. (Bolzano - Weierstrass) Dacă A este o submulţime din R n sau
C n , atunci A este compactă prin şiruri dacă şi numai dacă A este închisă şi
mărginită.
Ca exemplu, să considerăm (R, | ⋅ |) şi A = [0, 1), A nu este compactă prin
n
şiruri, deoarece pentru xn
= , xn
→ 1,
dar A este relativ compactă deoarece
n + 1
A = [ 01 , ] este închisă şi mărginită.
Următoarea teoremă stabileşte o legătură între mulţimile compacte şi
subspaţiile metrice complete.
Teorema 3. Orice submulţime compactă prin şiruri A din spaţiu metric (X, d)
este un spaţiu metric complet, adică (A, d/A) este un spaţiu metric complet (prin
d/A înţelegem restricţia aplicaţiei d : X x X → R la submulţimea A x A).
Demonstraţie: Fie( xn ) un şir fundamental din (A, d) cum A este compactă
n≥1
prin şiruri va exista subşirul ( xn )
convergent la un punct x ∈ A. Fie ε > 0 şi
k k≥1
N(ε) ∈ N astfel încât pentru orice nk , n ≥ N(
ε )
ε
dxn , x
k n <
2 ,
atunci avem :
ε ε
dxx ( , n) ≤ dxx ( , n ) + dx ( n , x
k k n)
< + = ε ,
2 2
(3) dx ( n , x
k ) < ε
2 şi ( )
pentru orice n ≥ N(ε), deci ( xn ) este convergent la x ∈ A, ceea ce arată că
n≥1
(X, d) este un spaţiu metric complet.
Definiţia 4. Fie (X, d) un spaţiu metric. O familie finită sau nu de submulţimi
deschise ale lui X, { Gi } i∈⊂ I X
dacă A ⊂ U Gi. i∈I se numeşte acoperire deschisă a submulţimii A
Definiţia 5. Mulţimea A se numeşte compactă prin acoperiri deschise dacă din
orice acoperire cu mulţimi deschise a lui A se poate extrage o acoperire finită.
n n
Teorema 4. (Heine - Borel) O submulţime din R ( C ) este compactă prin
acoperiri deschise dacă şi numai dacă este închisă şi mărginită. Teoremele 2 şi 4
n n
arată că în cazul spaţiilor finit dimensionale R ( C ) compacitatea prin acoperiri
deschise şi compacitatea prin şiruri sunt echivalente (se implică una pe cealaltă)
ceea ce face posibilă utilizarea termenului simplu de compacitate în acest caz.

28
PRINCIPIUL CONTRACŢIEI
Vom presupune că (X, d) este un spaţiu metric complet. O aplicaţie
f : X → X se numeşte contracţie, dacă există o constantă c ∈ [0, 1) astfel încât:
(1) d (f (x), f (y)) ≤ c⋅d (x, y), ∀ x, y ∈ X
Geometric, condiţia (1) arată că distanţa dintre elementele f (x), f (y) este mai
mică decât distanţa dintre x şi y. Dacă există un punct x ∈ X astfel încât:
(2) f (x) = x,
atunci x se numeşte punct fix al aplicaţiei f.
Prinicipiul contracţiei este o formulare abstractă a metodei aproximatiilor
succesive, datorată lui E. Picard (1856 - 1941). Prezentarea generală următoare
este datorată lui St. Banach (1892 - 1945).
Teorema 1. Orice contracţie a unui spaţiu metric complet (X, d) în el însuşi
admite un punct fix unic.
Demonstraţie: Vom arăta mai întâi unicitatea punctului fix. Presupunem că x 0 şi
y 0 , x 0 ≠ y 0 sunt puncte fixe ale contracţiei f. Atunci: d ( x 0 , y 0 ) = d (f ( x 0 ),
0, 0 = 0 ,
ceea ce este posibil numai dacă x0 = y0 .
Pentru a arăta existenţa punctului fix al contracţiei f vom construi şirul
aproximaţiilor succesive:
(3) x1 = f( x0) , x2 = f( x1) , K, xn+ 1 = f( xn)
, K, unde x0 este un punct fixat
f ( y0 )) ≤ c ⋅ d ( x0 , y0 ) sau d ( x0 , y0 ) ⋅ (1-c) ≤ 0, de unde avem dx ( y )
în mod arbitrar în X. Să notăm δ = dx ( x)
( 2, 1) ( ( 1) , ( 0) ) ( 1, 0)
( 3, 2) ( ( 2) , ( 1) ) ( 2, 1)
0, 1 şi să observăm că:
dx x = dfx fx ≤ cdx ⋅ x = c⋅δ
dx x = dfx fx ≤ cdx ⋅ x
2
≤ c ⋅δ
(4) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
n
dx ( n+ 1, xn) ≤ dfx ( ( n) , fx ( n−1) ) ≤ cdx ⋅ ( n, xn−1) ≤K≤ c ⋅δ
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Fie acum n, p ≥ 1, atunci aplicând succesiv inegalitatea triunghiului avem:
dx ( n+ p, xn) ≤ dx ( n, xn+ 1) + dx ( n+ 1, xn+ 2) + K+
dx ( n+ p− 1,
xn+
p)
≤
n n+ 1 n+ p−1 n p−1
(5) ≤ c ⋅ δ+ c ⋅ δ+ L+ c ⋅ δ = c ⋅δ⋅ ( 1+
c+ L+
c ) ≤
n p−1p ≤ c ⋅ δ 1+
c+ K+ c + c + K
( )
p+
1
p−1p p 1−
c
Dar 1+ c+ L+ c + c + L= lim ( 1+
c+ L+
c ) = lim = 1−c.
p→∞
p→∞
1−
c
Din (5) avem că:

29
,
n
c
≤ δ
1−
c
n
Cum c ∈ [0, 1) lim c = 0 , deci există N(ε) ∈ N astfel încât
n→∞
dx , x < ε pentru orice n ≥ N(ε), ceea ce arată că şirul ( xn ) este un şir
n≥0
(6) dx ( n+ p xn)
( n+ p n)
fundamental, cum (X, d) este un spaţiu metric complet rezultă că şirul ( xn ) n≥0
este convergent la un punct ξ din spaţiul X. Vom arăta că ξ este un punct fix al
contracţiei f.
dfx ( ( n) , f( ξ) ) ≤ c⋅ dx ( n,
ξ)
, cum ( xn ) converge la ξ rezultă că
n≥0
{ dx ( n ,ξ)
} converge la 0, deci şi { dfx ( ( ) f(
) ) }
n≥0
n , ξ va converge la 0, ceea
n≥0
ce arată că lim fx ( n ) = f(
ξ ) . În acelaşi timp lim fx ( n ) = = lim xn + 1 = ξ ,
n→∞
n→∞
n→∞
din cele două egalităţi de mai sus avem că f( ξ) ξ
lim x este un
= , adică ξ = n
n→∞
punct fix al contracţiei f şi teorema este complet demonstrată.
Dacă în relaţia (6) trecem la limită pentru p tinzând la infinit rezultă:
n
c
(7) dx ( n , ξ) ≤ dx ( 0, x1
) ,
1−
c
care reprezintă o evaluare a erorii absolute comise în cazul în care aproximăm
punctul fix ξ prin xn (aproximaţia succesivă de ordinul n). Relaţia (7) stă la baza
unor metode de aproximare cu aplicaţii multiple. În această idee vom prezenta
următorul exemplu:
Exemplul 1. Să se calculeze cu o precizie de 10 4 − unica rădăcină reală a ecuaţiei:
3
(8) x + 12 ⋅x− 1 = 0 .
Utilizând şirul lui Rolle rezultă că există o singură rădăcină reală a ecuaţiei
date şi aceasta este situată în intervalul [0, 1].
Ecuaţia (8) se mai poate scrie sub forma:
1
(9) f(x) = x cu fx ( ) = .
2
x + 12
În acest caz aplicând teorema lui Lagrange, avem:
fx ( ) −fy ( ) ≤ c⋅ x− ypentru
orice x, y ∈ [0, 1],
2x
2
unde c = sup f′ ( x)
= sup
=
x∈[ 0,1] x∈0,1
2
2 169
x + 12
.
[ ]( )
1
1
Dacă luăm x0 = 0 atunci x1 = f(
0)
= şi δ = x1 − x0
=
12
12 .

30
Aplicând (7) determinăm n ∈N minim astfel că :
( , )
dx x
c
c
n 0 1 − 4 1 169
< 10 , adică 10
1−
2 167
4 −
⋅ ⋅ c <
n
.
Se găseşte n = 2, deci aproximarea:
ξ≈ x2 = f( x1)
= = ≅
x1
+ 2
1 144
0, 08328
12 1729
este făcută cu o eroare mai mică decât10 4 − .

31
Probleme finale :
1. Fie în R n funcţia d : R n x R n → R definită prin d(x,y) = ∑
i = 1
n
x − y ,
unde x = (x1,x2,…,xn) şi y = (y1,y2,…,yn). Se cere:
a) Să se arate că d este o metrică pe R n .
b) În cazul n = 3 să se calculeze distanţa dintre punctele x = (2,3,1) şi
y = (-4,5,2) în această metrică şi să se compare cu distanţa euclideană
dintre aceleaşi puncte.
2. Fie aplicaţia || || : R n → R, definită prin || x || = max{|x1|,|x2|,…,|xn|}, unde
x = (x1,x2,…,xn). Se cere:
a) Să se verifice că || || este o normă pe R n .
b) Să se determine metrica indusă de această normă.
3. Fie X o mulţime nevidă şi funcţia d : X x X → R, definită prin
⎧0
, x = y
d(x,y) = ⎨ . Se cere:
⎩1
, x ≠ y
a) Să se sratecă d este o metrică pe X.
b) Să se precizeze cine sunt S(x,r) , S(x, r) pentru diferite valori ale
razei r.
4. Fie X = {a,b,c,d} o mulţime formată din patru elemente.
a) Să se precizeze care din următoarele clase de submulţimi ale lui X
este o topologie pe X:
T1 = {X,φ,{a},{b},{a,c},{a,b,d}} şi T2 = {X,φ,{b},{a,b},{b,c},{a,b,c}}.
b) Să se găsească clasa mulţimilor închise în spaţiul topologic (X,T2).
5. Fie spaţiul R cu topologia uzuală. Să se găsească în acest spaţiu
topologic următoarele mulţimi : , E,
ext E, Fr E, E',
unde E = [1,2] ∪
∪(3,4) ∪ {5}.
n
6. Fie a1 , a2 ,…,an ∈ R. Să se arate că dacă ∑ ai
≥
n
2
n −1)
∑ ai
i = 1
i = 1
ai > 0 ∀ i∈ 1, n .
E o
( atunci
7. Folosind metrica de la Exerciţiul 2 să se studieze dacă mulţimile
A = { (x,y) ∈ R 2 | x = y , y ≥ 0} şi B = {(x,y) ∈ R 2 | 4x 2 + y 2 ≤ 1} sunt mărginite
în spaţiul metric (R 2 ,d).
8. Precizaţi dacă mulţimea A = { z ∈C : |z-i| < 2} este o mulţime
compactă.
9. Folosind principiul contracţiei să se rezolve în R , cu aproximaţie 10 -3
ecuaţia 3x + e -x = 1.
i
i