fisa suport teoretic - Analiza matematica. MPT

Cursul 2
Elemente de trigonometrie. Numere complexe
•proprietati esentiale ale functiilor trigonometrice:
sin 2 x + cos 2 x = 1
sinus si cosinus sunt functii periodice de perioada principala 2π iar tangenta si cotangenta
sunt functii periodice de perioada principala π :
sin(x + 2k · π) = sin(x), k ∈ Z, tg(x + k · π) = tg(x)
cos(x + 2k · π) = cos(x), ctg(x + k · π) = ctg(x)
cosinusul este functie para iar celelalte sunt functii impare :
cos(−x) = cos(x), sin(−x) = − sin(x), tg(−x) = −tg(x), ctg(−x) = −ctg(x)
derivatele functiilor trigonometrice :
sin ′ (x) = cos(x) cos ′ (x) = − sin(x)
tg ′ (x) = 1
cos 2 (x) = 1 + tg2 (x) ctg ′ (x) = − 1
sin 2 (x) = −(1 + ctg2 (x))
• valori remarcabile ale functiilor trigonometrice:
x 0 π
sin(x) 0 = √ 0
2
cos(x) 1
tg(x) 0 1
ctg(x) /
π π π
3π π 6 4 3 2 2
1
2 = √ √ √
1 2 3 1 = 2 2 2
√ 4 0 −1
√ √ 2
3 2 1 0 -1 0
2 2 2
√3 1 √ 3 / 0 /
√
1
3 1 √3
0 / 0
• pentru argumente situate in cadranul 2 se folosesc formulele : x ∈ [ π,
π] 2
sin(π − x) = sin(x) sin( 2π
3
cos(π − x) = − cos(x)
tg(π − x) = −tg(x)
ctg(π − x) = −ctg(x)
π
π
) = sin(π − ) = sin( 3 3 ) = √ 3
2
• pentru argumente situate in cadranul 3 se folosesc formulele : x ∈ [π, 3π
2 ]
sin(x + π) = − sin(x) sin( 4π
3
cos(x + π) = − cos(x)
tg(x + π) = tg(x)
ctg(x + π) = ctg(x)
π
π
) = sin(π + ) = − sin( 3 3 ) = − √ 3
2
1

2
• pentru argumente situate in cadranul 4 se folosesc formulele : x ∈ [ 3π,
2π] 2
sin(2π − x) = − sin(x) sin( 5π
3
cos(2π − x) = cos(x)
tg(2π − x) = −tg(x)
ctg(2π − x) = −ctg(x)
• formule trigonometrice utile :
π
π
) = sin(2π − ) = − sin( 3 3 ) = − √ 3
2
sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± sin(y) cos(x) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
cos(x±y) = cos(x) cos(y)∓sin(x) sin(y) cos(2x) = 2 cos 2 (x)−1 = 1−2 sin 2 (x)
tg(x ± y) = tg(x)±tg(y)
1∓tg(x)·tg(y) tg(2x) = 2tg(x)
1−tg 2 (x)
ctg(x ± y) = ctg(x)·ctg(y)∓1
ctg(x)±ctg(y)
• formulele argumentului injumatatit
sin( x
1−cos x
) = ± 2 2
tg( x sin x ) = 2 1+cos x
= 1−cos x
sin x
ctg(2x) = ctg2 (x)−1
2ctg(x)
cos( x
1+cos x
) = ± 2 2
1−cos x
= ± 1+cos x
semnul din fata radicalului se alege in functie de cadranul in care se afla argumentul x
2 .
• transformarea sumei si a diferentei in produs :
sin(x) + sin(y) = 2 sin( x+y
2
sin(x) − sin(y) = 2 sin( x−y
2
) cos( x−y
2
) cos( x+y
2
• ecuatii trigonometrice fundamentale :
are solutiile :
x+y x−y
) cos(x) + cos(y) = 2 cos( ) cos( 2 2 )
x+y x−y
) cos(x) − cos(y) = −2 sin( ) sin( 2 2 )
sin x = a, a ∈ [−1, 1]
xk = (−1) k arcsin a + k · π, k ∈ Z
unde arcsin a ia o valoare din intervalul [− π π , 2 2 ].
are solutiile :
cos x = a, a ∈ [−1, 1]
xk = ± arccos a + 2k · π, k ∈ Z
unde arccos a ia o valoare din intervalul [0, π].
are solutiile :
tgx = a, a ∈ R
xk = arctg a + k · π, k ∈ Z
unde arctg a ia o valoare din intervalul (− π π , 2 2 ).

• forma trigonometrica a numerelor complexe :
un numar complex z = x + iy poate fi scris sub forma
z = r(cos θ + i · sin θ)
unde r = x2 + y2 (modulul) si θ = arctg y
+ k · π (argumentul) iar k ∈ {0, 1} se
x
alege astfel ca argumentul θ sa corespunda cadranului in care se afla z
• de obicei notam |z| = r si arg z = θ.
• Ecuatia z n = a are in C solutiile :
zk = n
arg a + 2kπ
|a| cos + i · sin
n
•formula lui Moivre :
arg a + 2kπ
, k ∈ {0, 1, 2, ...n − 1}
n
[r(cos θ + i · sin θ)] n = r n (cos(nθ) + i · sin(nθ)), n ∈ N ∗
este utila pentru a calcula puterile unor numere complexe
• teorema cosinusului :
Formule de geometrie plana
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos( A)
unde a = BC , b = AC si c = AB sunt laturile unui triunghi oarecare ∆ ABC.
• teorema sinusului
a
sin A
= b
sin B
= c
sin C
= 2R
unde a = BC , b = AC si c = AB sunt laturile unui triunghi oarecare ∆ ABC iar R este
masura razei cercului circumscris triunghiului.
• formule pentru arii:
unde p = a+b+c
2
S∆ ABC =
bc sin A
2
S∆ ABC = abc
4R
S∆ ABC = p · r
si r este raza cercului inscris in triunghi.
S∆ ABC = p(p − a)(p − b)(p − c) (Heron)
3

4
S∆ ABC =
bc sin A
2