capitolul 4

CAPITOLUL 4 

CAPITOLUL 4 

CERCETAREA STATISTICĂ PRIN SONDAJ 

Consideraţii preliminare 

În capitolele precedente am discutat despre posibilităţile de culegere a 

datelor pe baza metodelor de observare totală sau parţială, ca şi despre 

modalităţile de descriere a datelor prin indicatori statistici, uzual obţinuţi pe 

baza colectivităţilor parţiale. Am văzut, de asemenea, că inferenţa statistică 

reprezintă procesul prin care obţinem informaţii şi tragem concluzii 

referitoare la colectivităţi generale, pe baza eşantioanelor. Există două 

tehnici generale pentru realizarea inferenţei statistice: procesul de estimare 

şi cel de testare a ipotezelor statistice. 

În capitolul acesta vom urmări să cunoaştem fundamentele procesului de 

estimaţie şi ale celui de testare a ipotezelor statistice, vitale pentru 

desfăurarea unor cercetări statistice. 

Termeni cheie 

criteriu de semnificaţie. parametru 

distribuţie de eşantionare probabilitatea unei erori de genul I 

eroare de estimaţie probabilitatea unei erori de genul II 

eroare de genul I selecţie statică 

eroare de genul II sondaj aleator simplu 

eroare limită admisibilă sondaj aleator tipic 

eroare medie de reprezentativitate sondaj cu revenire 

eşantion sondaj fără revenire 

estimaţie sondaj în cuiburi 

estimator test statistic 

interval de încredere volum al eşantionului 

ipoteză statistică

STATISTICĂ ECONOMICĂ 

Noţiuni teoretice 

4.1. INTRODUCERE 

Cercetarea statistică urmăreşte obţinerea informaţiilor ce permit caracterizarea, 

din punct de vedere cantitativ, a fenomenelor de masă. Există două 

modalităţi de obţinere a acestor informaţii şi anume: se pot culege date 

despre toate unităţile ce alcătuiesc colectivitatea cercetată sau se poate selecta 

o subcolectivitate pe care să o analizăm şi pe baza informaţiilor obţinute 

să tragem concluzii, să generalizăm rezultatele pentru colectivitatea de 

ansamblu. Prima cale prezentată este cea a unei cercetări statistice totale, 

iar cea de-a doua a cercetării statistice prin sondaj. În condiţiile economico-sociale 

de astăzi, când este nevoie de informaţii rapide, multiple şi 

complexe, metoda principală de obţinere a informaţiilor statistice tinde să 

devină, practic, aceea a sondajului statistic, prin care se obţin date empirice 

şi, printr-o interpretare probabilistică, se estimează indicatori pentru populaţia 

totală. 

Metoda sondajului poate aşadar să salveze timp şi bani oferind informaţii 

despre seturi largi de date fără ca să fie necesară observarea şi cercetarea 

tuturor elementelor ce alcătuiesc colectivitatea. Procesul va cuprinde atunci 

două etape: 

— etapa descriptivă, în care se culeg date şi se calculează indicatorii ce 

caracterizează subcolectivitatea analizată 

— etapa inferenţială, în care rezultatele obţinute pentru această subcolectivitate 

se extind, în termeni probabilistici, la colectivitatea generală. 

Este de menţionat faptul că, dacă metodele statistice descriptive pot fi 

aplicate atât unei colectivităţi totale cât şi uneia parţiale, în schimb etapa de 

inferenţă statistică este specifică cercetării prin sondaj. 

4.2. NOŢIUNI SPECIFICE 

DEFINIŢIE: Selecţia statistică reprezintă operaţia de extragere a unei 

părţi dintr-o colectivitate statistică, a unei subcolectivităţi numită şi 

eşantion, mostră, colectivitate parţială sau colectivitate de selecţie.

CAPITOLUL 4 

Vom nota volumul colectivităţii generale cu N şi volumul colectivităţii 

de selecţie cu n, 1 ≤ n ≤ N-1. În cazul în care datele au fost sistematizate în r 

grupe după variaţia unei caracteristici de grupare, vom avea: 

r 

= 

i= 

1 

N N 

(4.1) 

r 

= 

i= 

1 

i 

n n 

(4.2) 

i 

Media aritmetică, principalul indicator al tendinţei centrale, va fi notat 

cu µ în cazul în care este parametrul colectivităţii totale şi cu x în cazul în 

care este un indicator obţinut printr-o cercetare statistică prin sondaj. 

Parametrul colectivităţii generale se calculează: 

N 

x i 

i 1 

= 

N 

= µ (4.3) 

sau dacă datele au fost sistematizate în r grupe obţinându-se o serie de distribuţie 

de frecvenţe: 

r 

x iN 

i 

i−1 

µ = 

i = 1, 

r 

(4.4) 

r 

N 

i= 

1 

i 

Indicatorul statistic obţinut pentru eşantion – media – estimatorul parametrului, 

este: 

x 

n 

x 

i 1 

= = 

n 

i 

sau în cazul unei serii de distribuţii de frecvenţe: 

(4.5)


x in 

i 

i= 

1 

x = 

(4.6) 

r 

n 

i= 

1 

i 

Un alt indicator important, dispersia, se va nota cu σ 2 dacă este parametru 

obţinut în colectivitatea generală şi cu s 2 dacă este estimatorul parametrului, 

obţinut pe un eşantion. 

Astfel, parametrul colectivităţii generale este: 

N 

 

= 

2 

( xi 

− µ ) 

2 

σ 

i 1 

x = 

(4.7) 

N 

respectiv în cazul datelor grupate: 

r 2 

( xi 

− µ ) Ni 

2 

σ = 

i= 

1 

x (4.8) 

r 

Ni 

i= 

1 

iar estimatorul dispersiei din colectivitatea generală, anume dispersia eşantionului: 

s 

2 

x 

n 

( xi 

− x) 

= 

i= 

1 

n −1 

2 

= 

n 

x 

i= 

1 

sau în cazul distribuţiei de frecvenţe: 

2 

i 

n 

2 

 

xi 

 

i 1 

− 

= 

 

n 

 

 

 

 

n −1 

(4.9)

s 

CAPITOLUL 4 

⎛ r 

2 

⎞ 

⎜ ∑ x ⎟ 

r 

in 

i 

2 ⎜ = ⎟ 

∑ x n − 

i 1 

r 

i 

i ⎜ r ⎟ 

2 i= 

1 

∑ ( x − 

⎜ ∑ ⎟ 

i x) 

ni 

⎜ 

ni 

⎟ 

2 = 

⎝ i= 

1 

= 

i 1 

= 

⎠ 

x (4.10) 

r 

r 

∑ ni 

−1 

∑ ni 

−1 

i= 

1 

i= 

1 

Atunci când eşantioanele sunt de volum mare (n>30), se poate renunţa la 

scăderea lui 1 din numitorul dispersiei. 

În cazul caracteristicilor binare (de tip alternativ), simbolurile perechi 

utilizate pentru parametrii din populaţia generală şi pentru estimatorii obţinuţi 

în eşantion vor fi: pentru media aritmetică: 

— parametrul colectivităţii generale: 

M 

p = (4.11) 

N 

— estimatorul obţinut în eşantion: 

m 

f = (4.12) 

n 

Dispersia caracteristicii alternative se va nota în populaţia generală cu: 

2 

σ = p( 

1− 

p) 

(4.13) 

iar în eşantion (estimatorul dispersiei din colectivitatea generală): 

s 2 

( 1− 

f ) 

= f 

(4.14)


 

• x 

Populaþie (colectivitate generalã) 

eºantion 

Fig. 4.1 - Procesul inferenţei statistice 

4.3. TIPURI DE SONDAJ 

În selecţia aleatoare se disting următoarele tipuri de sondaj: 

— sondajul simplu aleator; 

— sondajul tipic (stratificat); 

— sondajul de serii (cuiburi); 

— sondajul în mai multe trepte; 

— sondaj secvenţial. 

4.4. DISTRIBUŢII DE EŞANTIONARE. PROPRIETĂŢI ALE 

DISTRIBUŢIILOR DE EŞANTIONARE 

Deoarece datele din eşantioane sunt valori observate ale variabilelor aleatoare, 

indicatorii statistici calculaţi pentru un eşantion vor varia într-un mod 

aleator de la eşantion la eşantion. 

Populaţia statistică 

(colectivitatea) 

Eşantion Eşantion Eşantion 

Indicator Indicator Indicator

CAPITOLUL 4 

În privinţa mediei de selecţie, indicator statistic obţinut pe eşantion, 

trebuie arătat că, indiferent de forma distribuţiei de frecvenţe din colectivitatea 

generală, media distribuţiei de eşantionare a mediei de selecţie ( x ) este 

egală cu µ, media colectivităţii generale (pentru eşantioane mari). 

µ ( x) 

= µ 

Un alt parametru al distribuţiei de eşantionare, dispersia medie de 

sondaj se calculează ca: 

2 

2 σ 

σ = (4.15) 

x n 

Eroarea standard a mediei de sondaj este σ , adică abaterea medie 

x 

pătratică a mediei de selecţie x de la parametrul µ: 

2 

σ x σ 

σ = = 

x 

(4.16) 

x n n 

Evident, cum σx 2 (dispersia colectivităţii generale) şi σ (abaterea medie 

pătratică din colectivitatea generală) sunt necunoscute, ele se estimează prin 

s 2 (dispersia de sondaj) şi s (abaterea mediei pătratice de sondaj). Se obţine, 

astfel, estimatorul dispersiei mediei de sondaj ( 2 

s ): x 

2 

s 

2 x 

s = 

x n 

(4.17) 

şi estimatorul erorii medii a mediei de sondaj (adică eroarea medie de 

reprezentativitate):


s 

s 

x 

x 

= (4.18) 

n 

În privinţa distribuţiei de eşantionare a mediei de selecţie, să mai notăm 

că în cazul populaţiilor normal distribuite (cu distribuţii de probabilitate 

normală), distribuţia de eşantionare a mediei de selecţie este normală, 

indiferent de numărul elementelor din eşantion (de volumul eşantionului). 

4.5. SONDAJUL ALEATOR SIMPLU REPETAT 

4.5.1. Determinarea erorii medii de reprezentativitate 

În cazul unei variabile cantitative, de tip nealternativ, pentru estimarea 

parametrului media colectivităţii generale (µ) este necesar să calculăm media 

de sondaj ( x ) (formulele 4.5 sau 4.6). 

Dispersia mediilor de selecţie este: 

s 

2 

x 

2 

s x 

= (4.19) 

n 

Eroarea medie de reprezentativitate (abaterea medie pătratică a mediei 

de sondaj) se determnină pe baza datelor din eşantion ca: 

s 

x 

2 

s x s 

= = x 

(4.20) 

n n 

4.5.2. Determinarea erorii limită 

Pentru a construi acest interval de încredere vom determina, întâi, eroarea 

limită maximă admisibilă. Cum media de sondaj ( x ) este variabilă 

aleatoare normal distribuită, de medie µ şi abaterea medie pătratică σ =σx / n, 

x 

înseamnă că variabila normală normată (redusă) corespunzătoare este:

x 

CAPITOLUL 4 

x − µ 

z = (4.21) 

σ 

x − µ 

z = (4.22) 

s 

x 

Pentru probabilitatea cu care garantăm rezultatele 100(1-α)%, eroarea 

limită (maximă) admisibilă este: 

sx 

∆ 

x 

= zα 

/ 2s 

x 

= zα 

/ 2 

(4.23) 

n 

4.5.3. Determinarea intervalului de încredere pentru media µ 

Intervalul de încredere calculat pe baza erorii limită maximă admisibilă 

este: 

s 

x ± zα 

/ 2 

n 

Pentru un eşantion de volum normal sau mare, mărimea relativă a 

intervalului de încredere poate să fie prezentată schematic astfel (Fig. 4.3) 

s x 

s x 

x 

Media eşantionului 

Interval de încredere pentru 1-α=0.999 




Fig. 4.3 - Mărimea relativă a intervalului de încredere 

pentru un eşantion de volum mare

x 


x − ∆ < µ < x + ∆ 

(4.24) 

x 

Intervalul de încredere ( x ± ∆ ) este garantat cu nivelul de încredere 

x 

ales, ceea ce face ca această estimare să fie preferabilă estimării punctuale. 

Intervalul de încredere pentru nivelul total al caracteristicii este: 

N( 

x 

− ∆ 

x 

N 

) < x 

i= 

1 

i 

< 

N( 

x 

+ ∆ 

x 

) 

(4.25) 

EXEMPLUL 4.1: Să se determine intervalul de încredere, garantat cu o 

probabilitate de 99%, pentru media şi nivelul total al unei caracteristici 

numerice X, dacă eşantionul selectat aleator repetat de 36 de unităţi, adică 

5% din colectivitatea generală este de medie 800 şi abatere medie pătratică 

60. 

Rezolvare: Eroarea medie de reprezentativitate va fi: 

s = 

x 

2 

sx 

n 

Eroarea limită maximă admisibilă: 

∆ x α 

= z / 2s 

= 2. 

58 ⋅10 

= 25. 

8 

x 

s 60 

= 

x 

= = 10 

n 6 

Intervalul de încredere pentru parametrul colectivităţii generale este dat 

de: 

x − ∆ < µ < x + ∆ 

x 

x 

800-25.8 < m < 800+25.8 

774.2 < m < 825.8 

iar pentru nivelul total al caracteristicii studiate: 

N( x − ∆ ) < x i < N( 

x + ∆ ) 

x 

x 

557424 < x i < 594576 

Acest intervale de încredere sunt garantate cu o probabilitate de 99%.

sau 

sau 

CAPITOLUL 4 

4.5.4. Determinarea volumului eşantionului 

s 

z 

x 

/ 2 ⋅ = ∆ 

x 

n 

α (4.26) 

sx 

L 

zα 

/ 2 ⋅ = 

(4.27) 

n 2 

Soluţia poate fi scrisă ca: 

2 2 

( zα 

/ 2 ) ⋅s 

x 

n = 

2 

∆ 

x 

n = 

4( 

z 

2 

α / 2 ) 

2 

L 

⋅s 

2 x 

(4.28) 

(4.29) 

Desigur, şi aici sx 2 se foloseşte ca o estimaţie a lui 2 σ x , în general necunoscută. 

Valoarea aproximativă a lui sx 2 poate fi cunoscută dintr-o cercetare 

prin sondaj anterioară. Ca o alternativă, putem aproxima amplitudinea împrăştierii 

Ax a observaţiilor şi apoi, sub presupunerea tendinţei de normalitate 

a distribuţiei, putem calcula: 

sx ≅ A x / 6 

(4.30) 

EXEMPLUL 4.2: Să se determine volumul eşantionului necesar pentru a 

estima media unei colectivităţi (µ) cu o eroare limită de 0.2 şi o probabilitate 

de garantare a rezultatelor de 95%, ştiind dintr-o cercetare anterioară că 

dispersia sx 2 este aproximativ egală cu 6.1. Aceaşi cerinţă pentru lungimea 

intervalului de încredere de 0.2. 

Rezolvare: Pentru: 

0. 

2 ∆ 

x = 

100(1-α)% = 95% => zα/2 = z0.025 = 1.96


sx 2 = 6.1 

rezultă: 

2 2 

z s 

2 

/ 2 ⋅ x ( 1. 

96) 

⋅ 6. 

1 

n = = 

= 585. 

84 ≅ 586 

2 

2 

∆ ( 0. 

2) 

x 

α 

unităţi statistice 

În cazul în care întreaga lungime a intervalului de încredere este de 0.2 

(evident o precizie crescută), vom avea: 

2 2 

4⋅ 

z s 

2 

α/ 

2 

⋅ x 4⋅ 

( 1. 

96) 

⋅ 6. 

1 

n = 

= 

= 2343. 

36 ≅ 2344 unităţi statistice 

2 

2 

L ( 0. 

2) 

4.5.5. Determinarea probabilităţii de garantare a rezultatelor 100(1-α)% 

Coeficientul de încredere este 1-α, pentru care P(-zα/2 < Z < zα/2)=1-α. 

Atunci, din formula erorii limită (maximă) admisibilă rezultă: 

∆ 

x 

n 

zα 

/ 2 = 

(4.31) 

s 

x 

Din tabelele privind distribuţia normală normată se poate determina apoi 

probabilitatea 100(1-α)% de garantare a rezultatelor. 

EXEMPLUL 4.3: Să se determine nivelul de încredere pentru estimaţia 

privind media colectivităţii generale (µ), dacă volumul eşantionului este 

n=100 unităţi statistice, media eşantionului x =258600, abaterea medie 

pătratică s=8000, iar intervalul de încredere dorit este de 4000. 

Rezolvare: 

şi 

z 

α / 2 

∆ 

= 

x 

s 

n 

= 

2000 100 

8000 

= 2. 

5 

1-α=P(-2.5

CAPITOLUL 4 

4.5.6. Particularităţi ale sondajului de volum redus 

Dacă eşantionul este de volum redus (n


4.6. SONDAJUL ALEATOR SIMPLU NEREPETAT 


Dispersia mediei de selecţie este dată de relaţia: 

2 

σ 

2 x N − n 

σ = ⋅ 

(4.33) 

x n N −1 

şi estimată (în cazul σ 2 necunoscută) prin: 

s 

2 

x 

2 

s x N − n 

= ⋅ 

(4.34) 

n N −1 

Abaterea medie pătratică a mediei de selecţie (măsurător al erorii medii 

de reprezentativitate) este: 

estimată prin: 

σx 

N − n 

σ = ⋅ 

(4.35) 

x 

n N −1 

s 

x 

sx 

N − n s n 

= ⋅ ≅ x ⋅ 1− 

(4.36) 

n N −1 

n N 

N − n n 

Termenul ≅ 1− 

se numeşte coeficient de corecţie în populaţie 

N −1 

N 

finită sau factor de exhaustivitate, iar raportul n/N reprezintă fracţia de 

sondaj. 


Determinarea erorii limită maximă admisibilă se face, în cazul sondajului 

fără revenire, ţinând seama de eroarea medie de reprezentativitate:

CAPITOLUL 4 

s 

x 

∆ 

x 

= zα 

/ 2 ( s 

x 

) = zα 

/ 2 

⋅ 

n 

1− 

4.6.3. Determinarea intervalului de încredere pentru media µ 

n 

N 

 

 

 

 

(4.37) 

Intervalul de încredere pentru media µ din colectivitatea generală, 

corespunzător probabilităţii 100(1-α)% de garantare a rezultatelor este: 

x − ∆ < µ < x + ∆ 

(4.38) 

x 

x 

s n 

s n 

zα 

/ 2 1− 

< µ < x + z / 1− 

(4.39) 

n N 

n N 

x − α 2 

s n N s n 

 

< < 

 

 

x − zα 

/ 2 1− 

 

xi 

N 

 

x + zα 

/ 1− 

 

(4.40) 

n N i= 

1 n N 

N 2 

EXEMPLUL 4.5: Un eşantion aleator de 80 de observaţii a fost selectat 

nerepetat dintr-o populaţie normal distribuită de volum N=800 de unităţi. În 

urma calculelor a rezultat valoarea medie a caracteristicii în eşantion 

x =14.1 şi abaterea medie pătratică sx=2.6. Să se determine intervalul de 

încredere, garantat cu o probabilitate de 95%, pentru media colectivităţii 

generale (µ) şi pentru valoarea agregată a caracteristicii 

N 

= x i . 

i 1 

Rezolvare: 

s 

x 

= 

s 

x 

n 

∆x α 

1− 

n 

N 

= 

2. 

6 

80 

= z / 2 ⋅ s = z0. 

025 ⋅s 

= 

x 

x 

14.1-0.54< µ

10848 N 

i 1 

< = 

x 

i < 

11712 



2 

2 x 

2 

z s N z s 

α / 2 

α / 2 

n = = 

(4.41) 

2 2 2 

2 2 

z sx 

+ ∆ N z s 

α / 2 x 2 α / 2 

∆ + 

x N 

4.7. ESTIMAREA PROPOR ŢIEI ÎN CAZUL SONDAJULUI 

ALEATOR SIMPLU 

Utilizarea lui f pentru a estima populaţia p este similară cu utilizarea lui 

x pentru estimarea parametrului µ. 


Dispersia mediilor de selecţie (adică dispersia proporţiilor eşantioanelor) 

va fi atunci: 

2 p( 

1− 

p) 

σ f = 

(4.42) 

n 

estimată (pentru că, de obicei, proporţia p din colectivitatea generală este 

necunoscută), prin: 

f ( 1 f ) 

s 

n 

2 − 

f = (4.43) 

Atunci, abaterea medie pătratică a proporţiilor din eşantioane, ce reprezintă 

eroarea medie de reprezentativitate este calculată, pe baza datelor 

din eşantion: 

f ( 1− 

f ) 

sf = pentru selecţie repetată (4.44) 

n 

şi 

2

CAPITOLUL 4 

f ( 1− 

f ) ⎛ n ⎞ 

sf = ⋅ ⎜1− 

⎟ pentru selecţie nerepetată (4.45) 

n ⎝ N ⎠ 


Înlocuind eroarea medie de reprezentativitate calculată anterior obţinem 

eroarea limită (maximă admisibilă): 

şi 

f ( 1− 

f ) 

α / 2s 

f = z / pentru selecţie repetată (4.46) 

n 

∆f = z α 2 

∆ 

f( 

1− 

f) 

n 

α / 2sf 

= z / ⋅1 

− pentru selecţie nerepetată (4.47) 

n N 

f = z α 2 

4.7.3. Determinarea intervalului de încredere pentru proporţia p 

Intervalul de încredere pentru proporţia p din colectivitatea generală 

este dat de: 

adică: 

f-∆f 

f ( 1− 

f ) 

f − zα 

/ 2 < p< 

f + zα 

/ 2 

n 

şi 

f ( 1− 

f ) 

n 

pentru selecţie repetată (4.49) 

f −zα 

/ 2 

f( 

1−f) 

n 

⋅1− 

< p< 

f + zα 

/ 2 

n N 

f( 

1−f) 

n 

⋅1− 

 

n N 

(4.50) 

pentru selecţie nerepetată, garantat cu o probabilitate 100(1-α)%. 

Pentru estimarea numărului de răspunsuri afirmative, intervalul de 

încredere este dat de: 

( f − ∆ ) < M < N( 

f + ∆ ) 

(4.51) 

N f 

f


EXEMPLUL 4.6: Presupunem că din 100 de persoane selectate aleator şi 

anchetate, 30 au o opinie favorabilă despre un produs nou. Să se estimeze cu 

o probabilitate de 90%, intervalul de încredere pentru proporţia opiniilor 

favorabile din colectivitatea generală (locuitorii unui oraş). 

Rezolvare: 

s f 

= 

∆ f α 

f ( 1− 

f ) 

= 

n 

0. 

21 

= 

100 

= z / 2s 

f = z 0. 

05s 

f = 

0. 

046 

1. 

64 

0.3-0.075 

0.225 

⋅ 

0. 

046 


= 

0. 

075 ( 7. 

5%) 

Pentru selecţia aleatoare repetată volumul eşantionului este dată de 

relaţia: 

2 

z f ( 1− 

f ) 

n = (4.52) 

∆ 

2 

f 

iar pentru selecţia fără revenire este dată de relaţia: 

2 

2 

z f ( 1− 

f ) N z f ( 1− 

f ) 

n = = 

(4.53) 

2 2 

2 

∆f 

N + z f ( 1− 

f ) 2 z f ( 1− 

f ) 

∆f 

+ 

N 

4.7.5. Determinarea probabilităţii de garantare a rezultatelor 100(1-α)% 

Pentru a obţine nivelul de încredere sau probabilitatea de garantare a rezultatelor, 

atunci când folosim proporţia f din eşantion pentru a estima proporţia 

p din colectivitatea generală, vom rezolva ecuaţia: 

∆f 

n 

zα 

/ 2 = 

(4.54) 

f ( 1− 

f )

şi apoi vom determina: 

P(-zα/2 < Z < zα/2) = 1-α 

CAPITOLUL 4 

4.8. SONDAJUL ALEATOR TIPIC (STRATIFICAT) 

Variaţia între straturi nu influenţează, în cazul selecţiei stratificate, eroarea 

medie de reprezentativitate, deoarece aeastă variaţie este precis reflectată 

în eşantion. Cu alte cuvinte, vom fi siguri că – cel puţin din punctul de vedere 

al factorului de stratificare – populaţia este corect reprezentată în 

eşantion şi criteriul ales nu mai constituie sursă pentru eroarea medie de reprezentativitate. 

Considerând distribuţia unei colectivităţi după variabila X, putem 

reprezenta grafic eficacitatea unei stratificări în cadrul sondajului ca în Fig. 

4.4. 

x 

0 0 

a) b) 

Fig. 4.4 - Sondaj stratificat: a. sondaj ineficient; b. sondaj eficient 

4.8.1. Calcului indicatorilor pentru o variabilă cantitativă 

Pentru a calcula un estimator nedeplasat al mediei colectivităţii generale, 

vom determina media aritmetică ponderată a mediilor straturilor. Astfel, 

în colectivitatea generală, vom introduce notaţiile: 

x

Ni 

x ij 

j 1 

i = 

Ni 

= 


µ media stratului i (4.55) 

h 

µ iN 

µ = 

i= 

1 

h 

N 

i= 

1 

Pentru eşantion vom nota: 

x 

ni 

xij 

j 1 

i = 

ni 

= 

h 

i 

i 

media generală (4.56) 

media stratului i (4.57) 

xi 

ni 

i= 

1 

x = media eşantionului (4.58) 

h 

n 

i= 

1 

i 

Putem scrie eroarea medie de reprezentativitate: 

2 x 

σ 

σ = 

(4.59) 

xst n 

sau, pe baza datelor din eşantion (pentru că 

cut): 

s 

x st 

2 x 

2 

σ , în general, este necunos- 

s 

= (4.60) 

n 

Atunci, eroarea limită (maximă admisibilă) este: 

∆ = zα s 

(4.61) 

xst 

/ 2 xst 

pentru probabilitatea 100(1-α)% de garantare a rezultatelor.

CAPITOLUL 4 

Intervalul de încredere pentru media colectivităţii generale este dat 

de: 

x − ∆ < µ < x + ∆ 

(4.62) 

st 

xst 

st 

xst 

Determinarea volumului eşantionului se va efectua şi aici pornind de 

la formula erorii limită: 

∆ 

x st 

= z 

α / 2 

⋅ s 

xst 

= z 

care prin prelucrare conduce la: 

2 

z / 2s 

x 

n = 

2 

∆ 

x st 

α 

α / 2 

2 x 

s 

n 

(4.63) 

În cazul selecţiei aleatoare stratificate fără revenire, se va ţine seama 

de coeficientul corecţiei finite în populaţie şi vom avea: 

— eroarea medie de reprezentativitate: 

s 

xst 

= 

2 x 

s n 

1− 

= 

n N 

2 

1 nis 

xi n 

1− 

 

n n N 

— eroarea limită admisibilă la un coeficient de încredere (1-α): 

∆ = zα 

/ 2 

xst 

— volumul eşantionului: 

2 

sx 

 

1 

− 

n 

n 

 

N 

(4.64) 

(4.65)


2 2 

z 

α / 2 

sx 

n = (4.66) 

2 2 

2 z 

α / 2 

sx 

∆ + 

x st N 

EXEMPLUL 4.7: Un cercetător este interesat în determinarea salarului mediu 

pentru angajaţii unei firme. În firmă lucrează 850 de persoane, din care 

500 angajaţi permanent şi 350 colaboratori. Se selectează aleator stratificat 

proporţional 10% din efectiv: 50 de angajaţi permanent şi 35 colaboratori şi 

se doreşte garantarea estimaţiei cu o probabilitate de 95%. În urma prelucrării 

datelor, se obţin următoarele rezultate: 

Angajaţi permanent Colaboratori 

x 1 = 1620 mii lei x 2 = 2100 mii lei 

sx1= 235 mii lei sx2= 410 mii lei 

n1= 50 n2= 35 

Rezolvare: 

x 

st 

xi 

Ni 

xi 

ni 

= = = 1817. 

65 mii lei 

N n 

2 

2 s ni 

s 

xi 

x = = 

ni 

i 

i 

101702. 

94 

Eroarea medie de reprezentativitate (se presupune selecţie nerepetată) 

este: 

s 

x st 

2 

sx 

n 101702. 

94 

= 1− 

= 

⋅ 0. 

9 = 32. 

82 mii lei 

n N 85 

Eroarea limită pentru α=0.05 este: 

∆ = zα 

s = z s = 1. 

96 ⋅ 32. 

82 = 64. 

33 mii lei 

x st 

/ 2 xst 

0. 

025 xst

CAPITOLUL 4 

Intervalul de încredere pentru salariul mediu din colectivitatea generală: 

1817.65 – 64.33 < µ < 1817.65 + 64.33 mii lei 

1753.32 < µ < 1881.99 mii lei 

garantat cu o probabilitate de 95%. 

4.8.2. Alegerea numărului de straturi şi repartizarea volumului eşantionului 

pe straturi 

Alegerea numărului de straturi impune două remarci. Prima este de 

ordin teoretic: ideală este stratificarea la maximum, adică alegerea unui număr 

cât mai mare de grupe. Cea de-a doua este de ordin practic: rareori se 

pot depăşi 10 straturi şi, de obicei, limitele straturilor sunt impuse de informaţiile 

disponibile din baza de sondaj. 

Determinarea volumului eşantionului în cazul selecţiei aleatoare stratificate 

impune şi alocarea acestuia pe straturi. Există două posibilităţi de repartizare 

a volumului eşantionului (n) pe straturi: o repartiţie proporţională 

şi o repartiţie optimă. 

Dacă dispersiile din interiorul straturilor sunt egale, pentru un număr dat 

de unităţi statistice eşantionate (n), dispersia pe ansamblu este minimă când 

fracţiile de sondaj sunt identice (selecţie tipică proporţională). Proporţiile 

sunt determinate de ponderile straturilor, adică: 

n 

i 

N 

= 

i 

n 

(4.67) 

N 

Cea de-a doua posibilitate de repartizare (selecţie tipică optimă) presupune 

o fracţie de sondaj variabilă de la un strat la altul. 

Pentru o selecţie tipică optimă, fracţiile de sondaj vor fi proporţionale cu 

abaterile medii pătratice.Atunci, pentru stratul i volumul subeşantionului 

este dat de: 

n 

i 

h 

i 1 

= 

N s 

= 

i xi 

n 

(4.68) 

h 

N s 

 

i= 

1 

şi evident n n . 

i = 

i 

xi


4.8.3. Estimarea proporţiei pentru o variabilă alternativă 

Eroarea medie de reprezentativitate, calculată pe baza datelor din 

eşantion este dată de: 

— pentru selecţie stratificată repetată: 

s fst 

f ( 1− 

f ) 

= (4.69) 

n 

— pentru selecţie stratificată nerepetată: 

f ( 1− 

f ) n 

sfst = 1− 

 

(4.70) 

n N 

Eroarea limită (maximă admisibilă), la un prag de semnificaţie α, se 

calculează ca: 

∆ = zα ⋅s 

(4.71) 

fst 

/ 2 

fst 

iar intervalul de încredere pentru proporţia p din colectivitatea generală: 

f − ∆ p< 

f + ∆ 

(4.72) 

fst 

fst 

De asemenea, se adaptează corespunzător formulele pentru determinarea 

volumului eşantionului şi repartizarea acestuia pe straturi. 

4.9. SONDAJUL DE SERII (CUIBURI) 

În sondajul în cuiburi, populaţia, mai mult sau mai puţin împrăştiată, 

este subdivizată în cuiburi. Pentru fiecare astfel de cuib se poate calcula o 

madie i 

x . În fiecare din cuiburile extrase toţi indivizii sunt observaţi şi 

atunci media xi , este cunoscută fără eroare (de sondaj, neeliminându-se 

posibilitatea erorilor de observaţie).

CAPITOLUL 4 

Hazardul poate alege un cuib asemănător cu altul, deci în care cele două 

medii de cuib să fie egale. De aceea fluctuaţia de eşantionaj depinde de ine- 

galitatea mediilor de grup. Dispersia totală σ 2 x 

este egală cu suma dis- 

persiilor între cuiburi (grupuri) σ 2 c şi intracuiburi. Cum σ 2 x este fixă, precizia 

unui sondaj în cuiburi este cu atât mai bună cu cât σ 2 c este mai mică şi 

cu cat varianţa în interiorul cuiburilor este mai mare. (Fig. 4.5). 

x 

0 0 

a. b. 

Fig. 4.5 - Eficacitatea unui sondaj în cuiburi: a. cuiburi eficiente: mediile de grup 

marcate prin puncte sunt puţin dispersate; b. cuiburi ineficiente: mediile cuiburilor 

sunt la fel de dispersate ca şi valorile individuale 

Dispersia (varianţa) totală este alcătuită din doi termeni: dispersia intercuiburi 

şi dispersia intracuiburi: 

2 Ni 

2 Ni 

2 2 Ni 

2 

σ = ( Xi 

−X) 

+ σi 

= σc 

+ σi 

, (4.73) 

N N N 

Dispersia intergrupuri exprimă inegalitatea diverselor medii de grupă 

între ele. 

4.10. TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE ÎN FUNDAMENTAREA 

DECIZIILOR 

x


Deseori, managerii trebuie să fie pregătiţi să ia decizii privind acţiunile 

viitoare pe baza informaţiilor disponibile. În procesul de luare a deciziilor, 

ei emit ipoteze pe care le pot testa ştiinţific utilizând metodele şi tehnicile 

statistice. 

DEFINIŢIE: Ipoteza statistică este ipoteza care se face cu privire la parametrul 

unei repartiţii sau la legea de repartiţie pe care o urmează anumite 

variabile aleatoare. 

4.10.1. Concepte şi erori în testarea ipotezelor statistice 

În statistică, ipotezele apar întotdeauna în perechi: ipoteza nulă şi ipoteza 

alternativă. Ipoteza statistică ce urmează a fi testată se numeşte ipoteză nulă 

şi este notată, uzual, H0. Ea constă întotdeauna în admiterea caracterului 

întâmplător al deosebirilor, adică în presupunerea că nu există deosebiri 

esenţiale. Respingerea ipotezei nule care este testată implică acceptarea unei 

alte ipoteze. Această altă ipoteză este numită ipoteză alternativă, notată H1. 

Procedeul de verificare a unei ipoteze statistice se numeşte test sau criteriu 

de semnificaţie. O secvenţă generală de paşi se aplică la toate situaţiile 

de testare a ipotezelor statistice. 

1) Se identifică ipoteza statistică specială despre parametrul 

populaţiei sau legea de repartiţie (H0). 

2) Întotdeauna ipoteza nulă este însoţită de ipoteza alternativă (de cercetat), 

H1, ce reprezintă o teorie care contrazice ipoteza nulă. Ea va fi acceptată 

doar când există suficiente dovezi, evidenţe, pentru a se stabili că 

este adevărată. 

3) Se calculează indicatorii statistici în eşantion, utilizaţi pentru a accepta 

sau a respinge ipoteza nulă şi se stabileşte testul statistic ce va fi utilizat 

drept criteriu de acceptare sau de respingere a ipotezei nule. 

4) Se stabileşte regiunea critică, Rc 

Regiunea critică este delimitată de valoarea critică, C – punctul de 

tăietură în stabilirea acesteia.

CAPITOLUL 4 

În baza legii numerelor mari, numai într-un număr foarte mic de cazuri 

punctul rezultat din sondaj va cădea în Rc, majoritatea vor cădea în afara 

regiunii critice. Nu este însă exclus ca punctul din sondaj să cadă în regiunea 

critică, cu toate că ipoteza nulă despre parametrul populaţiei este adevărată. 

Eroarea pe care o facem eliminând o ipoteză nulă, deşi este adevărată, se 

numeşte eroare de genul întâi. Probabilitatea comiterii unei astfel de erori 

reprezintă riscul de genul întâi (α) şi se numeşte nivel sau prag de semnificaţie. 

Nivelul de încredere al unui test statistic este (1-α) iar în expresie 

procentuală, (1-α)100 reprezintă probabilitatea de garantare a rezultatelor. 

Eroarea pe cere o facem acceptând o ipoteză nulă, deşi este falsă, se numeşte 

eroare de genul al doilea, iar probabilitatea (riscul) comiterii unei 

astfel de erori se notează cu β. Puterea testului statistic este (1-β). 

f( x) 

β 

H 0 

µ 0 

C 

α 

H 1 

Fig. 4.6 - Legătura dintre probabilităţile α şi β 

s 

Cum s = x , o dată cu creşterea volumului n al eşantionului, aba- 

x n 

terile medii pătratice ale distribuţiilor pentru H0 şi H1 devin mai mici şi, 

evident, atât α, cât şi β descresc (Fig. 4.7). 

µ 1 

x

f( x) 


β 

H 0 

µ 0 

C 

H 1 

Fig. 4.7 - α şi β când volumul eşantionului n' > n 

5) După ce am stabilit pragul de semnificaţie şi regiunea critică, trecem la 

pasul următor, în care vom face principalele presupuneri despre populaţia 

sau populaţiile ce sunt eşantionate (normalitate etc.). 

6) Se calculează apoi testul statistic şi se determină valoarea sa numerică, 

pe baza datelor din eşantion. 

7) La ultimul pas, se desprind concluziile: ipoteza nulă este fie acceptată, 

fie respinsă, astfel: 

a) dacă valoarea numerică a testului statistic cade în regiunea 

critică (Rc), respingem ipoteza nulă şi concluzionăm că 

ipoteza alternativă este adevărată. Vom şti că această decizie 

este incorectă doar în 100 α % din cazuri; 

b) dacă valoarea numerică a testului nu cade în regiunea 

critică (Rc), se acceptă ipoteza nulă H0. 

Ipoteza alternativă poate avea una din trei forme (pe care le vom exemplifica 

pentru testarea egalităţii parametrului „media colectivităţii generale“, 

µ cu valoarea µ0): 

i) H0: µ = µ0 

H1: µ ≠ µ0 (µ < µ0 sau µ > µ0); 

şi acest test este un test bilateral; 

ii) H0: µ = µ0 

α 

µ 1 

x

CAPITOLUL 4 

H1: µ > µ0 

care este un test unilateral dreapta; 

iii) H0: µ = µ0 

H1: µ < µ0 

care este un test unilateral stânga. 

α/2 α/2 

α α 

µ µ µ 

a) b) c) 

Fig. 4.8 - Regiunea critică pentru: a) test bilateral; b) test unilateral stânga; c) test 

unilateral dreapta 

4.10.2. Testarea ipotezei privind media populaţiei generale (µ) 

pentru eşantioane de volum mare 

i) în cazul testului bilateral, ipotezele sunt: 

H0: µ = µ0 (µ - µ0=0) 

H1: µ ≠ µ0 (µ - µ0≠0) (adică µ < µ0 sau µ > µ0); 

x − µ 0 x − µ 0 x − µ 0 

z = = ≈ 

(4.74) 

σ σ n s n 

x 

Regiunea critică Rc este dată de: 

Rc: z< - z α/2 sau z> z α/2 

x 

x − µ 0 

Respingem H0 dacă < −zα 

/ 2 

σ n 

x − 

µ 

0 

sau > zα 

/ 2 

σ x n 

x 

x


ii) pentru testul unilateral dreapta, ipotezele sunt: 

H0: µ = µ0 (µ - µ0=0) 

H1: µ > µ0 (µ - µ0>0); 

x − µ 0 

> z 

σ n 

Respingem ipoteza H0 dacă α 

iii) Pentru testul unilateral stânga, ipotezele sunt: 

H0: µ = µ0 (µ - µ0=0) 

H1: µ < µ0 (µ - µ0

CAPITOLUL 4 

H0: (µ1- µ2) = D 

H1: (µ1- µ2) ≠ D [(µ1- µ2)>D sau (µ1- µ2) D 

iii) test unilateral stânga 

H0: (µ1- µ2) = D 

H1: (µ1- µ2) < D 

Testul statistic utilizat are forma: 

z = 

( x − x 2 ) 

1 

σ ( x −x 

2 ) 

1 

− D 

Regiunea critică este dată de: 

i) z< - z α/2 sau z> z α/2 

ii) z> z α 

iii) z< - z α 

4.10.4. Testarea ipotezei privind media populaţiei generale (µ) 

pentru eşantioane de volum redus 

În locul statisticii z care necesită cunoaşterea (sau o bună aproximare) a 

σ , vom folosi statistica: 

lui x 

x − µ 0 x − µ 0 

t = = 

(4.77) 

s s n 

x 

x 

2 

( x x) 

unde: s 

i − 

= 

2 x 

n −1 

i) test bilateral


H0: µ = µ0 

H1: µ ≠ µ0 (µ < µ0 sau µ > µ0); 

ii) test unilateral dreapta 

H0: µ = µ0 

H1: µ > µ0 


H0: µ = µ0 

H1: µ < µ0 

Testul statistic utilizat: 

x − µ 0 x − µ 0 

t = = 

s s n 

x 

x 

Presupunerea specială ce trebuie făcută este aceea că populaţia generală 

este normal sau aproximativ normal distribuită. 


i) t > t α/2,n-1 sau t < - t α/2,n-1 

ii) t > t α,n-1 

iii) t < - t α,n-1 

4.10.5. Testarea ipotezei privind diferenţa dintre două medii pentru 

eşantioane de volum redus 

În condiţiile în care presupunem că cele două colectivităţi generale au 

2 2 

dispersii egale ( 2 σ x1 

= σ x = 2 σ x ), un estimator al dispersiei (variabilităţii) 

totale din cele două populaţii combinate este: 

n1 

2 n2 

( x x1) 

+ ( x − x 2 ) 

i − 

i 

2 i= 

1 

i= 

1 

sc 

= 

(4.78) 

n + n − 2 

1 

2 

2

sau 

t = 

s 

2 

c 

2 ( n1 

−1) 

sx1 

+ ( n 2 −1) 

( n −1) 

+ ( n −1) 

CAPITOLUL 4 

( n −1) 

s + ( n −1) 

s 

s 

= 

x 

= 

1 x 2 x 

(4.79) 

n + n − 2 

1 

2 

2 2 

Ipotezele statistice vor fi, în aceste condiţii: 

i) test bilateral 

H0: µ1 = µ2 (µ1- µ2 = D) 

H1: µ1 ≠ µ2 (µ1- µ2 ≠ D) 

ii) test unilateral dreapta 

H0: µ1 = µ2 (µ1- µ2 = D) 

H1: µ1 > µ2 (µ1- µ2 > D) 


H0: µ1 = µ2 (µ1- µ2 = D) 

H1: µ1 < µ2 (µ1- µ2 < D) 

Testul statistic t va avea forma: 

( x − x 2 ) − D ( x − x 2 ) 

1 

= 

2 

1 1 

sc 

 

+ 

n1 

n 

 

2 

2 

sx1 


i) t< - t / 2, 

n1+ 

n2 

−2 

ii) t> t α , n1+ 

n2 

−2 

iii) t< – t n + n −2 

1 

2 1 

( n −1) 

+ s ( n −1) 

1 

1 

− D 

2 

x2 

sau t> t α α / 2, 

n1+ 

n 2 −2 

α 

, 1 2 

2 

2 

⋅ 

2 2 

( n + n − 2) 

n1n 

2 1 2 

n1 

+ n 2


Întrebări recapitulative 

1. Definiţi conceptul de selecţie statistică. 

2. Arătaţi avantajele utilizării selecţiei statistice. 

3. Ce este eşantionul? 

4. Ce reprezintă noţiunea de „eroare de estimaţie“? 

5. Arătaţi principalele noţiuni perechi specifice selecţiei statistice. 

6. Care sunt principalele etape ale realizării unui sondaj statistic? 

7. Prin ce se caracterizează o distribuţie de eşantionare? 

8. Sondajul aleator simplu repetat: caracteristici, eroare de reprezentativitate, 

eroare limită admisibilă, interval de încredere. 

9. Cum se determină volumul eşantionului în cazul sondajului aleator 

simplu repetat şi nerepetat. De ce factori depinde? 

10. Determinarea erorii de reprezentativitate, a erorii maxim admisibile şi 

a intervalului de încredere în cazul utilizării sondajului simplu aleator nerepetat. 

11. Cum se determină probabilitatea de garantare a rezultatelor în cazul 

sondajului aleator simplu repetat şi nerepetat? 

12. Determinarea intervalului de încredere în cazul sondajului aleator 

simplu de volum redus. 

13. Determinaţi indicatorii de sondaj, erorile şi intervalul de încredere 

pentru caracteristica alternativă în cazul sondajului simplu aleator. 

14. Volumul eşantionului şi probabilitatea de garantare a rezultatelor 

pentru caracteristica alternativă — sondaj simplu aleator. 

15. Ce particularităţi prezintă sondajul stratificat? 

16. În ce condiţii se foloseşte şi care sunt avantajele utilizării sondajului 

tipic în cercetarea statistică? 

17. Calculul indicatorilor de sondaj pentru o caracteristică cantitativă, în 

cazul sondajului tipic. 

18. Cum se alege numărul de straturi şi cum se repartizează volumul 

eşantionului pe straturi? 

19. Calculul indicatorilor de sondaj pentru o caracteristică alternativă în 

cazul sondajului stratificat. 

20. Sondajul de serii — concept, utilizare, particularităţi, avantaje. 

21. Ce reprezintă ipoteza nulă într-un proces de testare de ipoteze statistice? 

22. Ce reprezintă ipoteza alternativă într-un proces de testare de ipoteze 

statistice?

CAPITOLUL 4 

23. Ce reprezintă testul sau criteriul de semnificaţie? 

24. Ce reprezintă regiunea critică? 

25. Când comitem o eroare de genul întâi? 

26. Când comitem o eroare de genul al doilea? 

27. Ce reprezintă α şi β? 

28. Care sunt paşii în construirea unui test statistic? 

29. Cum se testează ipoteza privind media unei colectivităţi generale în 

cazul eşantioanelor mari? 

30. Cum se testează ipoteza privind media unei colectivităţi generale în 

cazul eşantioanelor de volum redus? 

31. Cum se testează ipoteza privind diferenţa dintre mediile a două colectivităţi 

generale, în cazul eşantioanelor mari? 

32. Cum se testează ipoteza privind diferenţa dintre mediile a două colectivităţi 

generale, în cazul eşantioanelor de volum redus?

capitolul 4 - Analiza matematica. MPT

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

capitolul 4 - Analiza matematica. MPT

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

Delete template?

Save as template ?