Indicatori statistici - Analiza matematica. MPT

3. INDICATORII STATISTICI
3.1. Necesitatea folosirii indicatorilor statistici.
Indicatori statistici primari.
Indicatori statistici derivaţi
Am văzut că, obiectul de studiu al statisticii îl constituie fenomenele şi
procesele de masă. Acestea se caracterizează prin variabilitatea formelor de
manifestare în timp, în spaţiu şi sub raport organizatoric.
Pentru caracterizarea unei astfel de colectivităţi, statistica a trebuit să-şi
elaboreze metodologii şi tehnici specifice de obţinere a unor determinări cantitativnumerice,
care se numesc indicatori statistici.
Indicatorul statistic este expresia numerică a unor fenomene, procese,
activităţi sau categorii economice, tehnice, sociale, definite în timp, spaţiu şi structură
organizatorică, el este elaborat iniţial ca metodologie, ca şi conţinut şi cu legături
stabilite cu alţi indicatori. Indicatorul statistic este purtător de informaţii având
conţinut real, obiectiv determinat, are o formulă de calcul şi valori cognitive proprii.
Indicatorii statistici pot fi folosiţi atât unilateral cât şi în interdependenţă reciprocă.
Trebuie subliniat că în procesul de elaborare, de stabilire a conţinutului şi a
metodologiei de calcul ale unui indicator, se porneşte de la natura fenomenului studiat,
de la domeniul căruia acesta îi aparţine.
Un indicator statistic cuprinde două părţi: determinarea noţională şi expresia
numerică asociată acestuia.
După funcţiile pe care le îndeplineşte un indicator, acesta poate fi: de
măsurare, de comparare, de analiză sau sinteză, de estimare, de verificare a ipotezelor
şi (sau) de testare a semnificaţiei parametrilor utilizaţi.
După etapa în care apar în procesul de cunoaştere statistică, indicatorii pot fi:
primari şi secundari. În practică se întâlnesc mai multe tipuri de indicatori primari,
dintre care amintim:
a) Indicatorii primari obţinuţi prin agregarea unor valori individuale cu acelaşi
conţinut şi calculaţi la treptele ierarhice inferioare, cum ar fi: costurile totale de
producţie etc.
b) Indicatorii primari obţinuţi direct din observare, de exemplu, pentru o întreprindere
indicatorii valorici ai producţiei sunt în acelaşi timp şi indicatori absoluţi primari şi
înregistraţi direct la nivelul unităţii.

42
Indicatorii statistici - 3
O trăsătură caracteristică a indicatorilor primari este faptul că elementele
constitutive se regăsesc la nivelul tuturor unităţilor folosite la culegerea datelor
statistice.
Să considerăm următorul tabel al datelor înregistrate, corespunzător unei
colectivităţi statistice:
Nr. curent al unităţii observate
Tabelul 3.1.
Caracteristicile înregistrate la nivelul fiecărei
unităţi observate
X1 X2 … Xr
1 x11 x21 … xr1
2 x12 x22 … xr2
M M M … M
I x1i x2i … xri
M M M … M
N x1n x2n … xrn
Total
n
∑ x 1i
i=
1
n
∑ x 2i
i=
1
n
∑ x ri
i=
1
Tabelul de mai sus, al datelor înregistrate pentru caracteristicile Xj, j = 1,
r ale
populaţiei statistice P =
⎧ ⎫
⎨ui
: i = 1,
n⎬
permite mai multe caracterizări statistice:
⎩ ⎭
c1) Interpretarea corelată a indicatorilor înregistraţi la nivelul fiecărei unităţi pe baza
valorilor caracteristicilor luate pe orizontală x1i, x2i,..., xri.
c2) Interpretarea sistemului de indicatori care poate fi format la nivelul întregului
ansamblu prin agregarea tuturor valorilor individuale înregistrate. Presupunând că
Xk k = 1,
r este caracteristică statistică pentru care are semnificaţie statistică
aditivitatea valorilor înregistrate, se obţine indicatorul absolut
Σ
totalizator X k
n
Σ
(3.1.1) X k = ∑ Xki
i=
1
În practică apar însă variabile (caracteristici) statistice pentru care o însumare
directă a valorilor înregistrate nu are sens economic. Un astfel de caz este atunci când
valorile înregistrate provin dintr-un calcul statistic, ca de exemplu: productivitatea
muncii, salariul mediu, rata rentabilităţii etc.
În sens statistic, astfel de valori înregistrate au conţinut de indicatori derivaţi:

3.1. - Necesitatea folosirii indicatorilor statistici. Indicatori primari. Derivaţi 43
Există situaţii când datele individuale ale unei caracteristici nu sunt direct
însumabile, dar în urma aplicării unui coeficient de echivalenţă se poate obţine un
indicator absolut totalizator de forma:
n
Σ
(3.1.2) X k = ∑ Xki
⋅ ei
i=
1
Din cele de mai sus se constată că, prin totalizare pe grupe şi pe întreaga
populaţie, pentru variabile care au sens economic pentru însumare, se stabilesc
indicatori absoluţi, care exprimă nivelul cumulat al diferitelor caracteristici în unităţi
de măsură specifice caracteristicii observate (buc., kg., m. etc.).
Această descriere cantitativă, prin nivelul absolut, nu permite enunţarea unor
aprecieri calitative asupra obiectului cercetării, dar stă la baza întregii analize
statistice, deoarece prin confruntarea, compararea diverşilor indicatori absoluţi
(primari), prin completarea lor cu alte informaţii utile, se emit aprecieri calitative
asupra obiectului cercetării statistice, iar cunoaşterea acestora reprezintă o premisă a
conducerii raţionale a activităţii economice, sociale, tehnice etc.
Indicatorii derivaţi se obţin în faza de prelucrare statistică a mărimilor
absolute, prin aplicarea diferitelor metode de calcul statistic: comparaţii, abstractizări,
generalizări etc.
Indicatorii derivaţi fac posibilă analiza aspectelor calitative ale fenomenelor şi
procedeelor cercetate, ei pun în lumină legăturile de interdependenţă dintre fenomene,
tendinţa obiectivă de manifestare a fenomenelor, rolul şi contribuţia diferiţilor factori
la formarea şi modificarea unui fenomen complex.
Indicatorii derivaţi se obţin, de obicei, prin aplicarea unui model de calcul
statistic, de comparare sau de estimare. Compararea se poate efectua pe baza operaţiei
de diferenţă sau pe baza operaţiei de raport. De exemplu, sporul produsul brut se
obţine scăzând din nivelul acestuia din anul curent, pe cel din anul precedent.
Compararea pe bază de raport este mai puţin restrictivă decât cea pe bază de diferenţă
şi conduce la aşa numitele mărimi relative şi indicii statistici.
Modelele de estimare sunt folosite în statistică pentru a putea măsura gradul
de influenţă a diferiţilor factori asupra fenomenului analizat. Recurgându-se la ajutorul
unor funcţii matematice se poate măsura statistic, prin una sau mai multe ecuaţii de
estimare, dependenţa unei caracteristici de factorii care o determină sau în funcţie de
timp. Aceste probleme fac obiectul capitolelor de analiză statistică a seriilor
independente şi a seriilor cronologice.
Indicatorii derivaţi, în general, au un caracter abstract, dar în acelaşi timp sunt
utili în măsura în care au un conţinut real. Nu este suficient ca un indicator statistic
derivat să fie corect calculat, el trebuie, în acelaşi timp, să corespundă naturii
fenomenului sau procesului studiat.
Pentru a realiza cele două cerinţe, statistica recurge la o serie de teste care au
la bază principiile teoriei probabilităţilor şi la o fină cunoaştere a domeniului de

44
Indicatorii statistici - 3
cercetare. Aceste considerente stau la baza dezvoltării statisticii ca disciplină de sine
stătătoare şi a statisticilor de ramuri.
Categoria cea mai simplă de indicatori derivaţi şi care au o largă răspândire în
statistică este aceea a mărimilor relative care va fi prezentată în paragraful următor.
3.2. Indicatori derivaţi relativi
Indicatorul relativ (mărimea relativă) este rezultatul comparării sub formă de
raport a doi indicatori statistici şi exprimă printr-un singur număr proporţiile
indicatorului raportat faţă de indicatorul bază de raportare, numită şi bază de
comparaţie.
Forma de exprimare a indicatorilor relativi se stabileşte în raport cu gradul de
variaţie a fenomenelor, scopul urmărit şi particularităţile specifice ale fenomenelor
cercetare.
Rezultatul raportării este un număr întreg sau o fracţie. Pentru a mări
expresivitatea acestuia se înmulţeşte cu 100, 1.000, 10.000 respectiv 100.000 şi astfel
rezultatul se exprimă în procente, promile, prodecimile, respectiv procentimile.
Mărimile relative se exprimă în unităţi sau coeficienţi. În acest caz indicatorul
relativ arată câte unităţi din mărimea raportată revin la o singură unitate din mărimea
bazată pe raportare. Astfel, se exprimă: indicatorii vitezei de circulaţie a mărfurilor,
indicatorii eficienţei economice, indicatorii tehnico-economici de utilizare a fondurilor
etc. În general aceştia au valori supraunitare.
Forma cea mai frecventă de exprimare a indicatorilor relativi o constituie
procentele, care arată câte unităţi din mărimea raportată revin la 100 unităţi ale
mărimii bază de raportare.
Promilele, prodecimile se folosesc când mărimea comparată este mult prea
mică faţă de mărimea bază de raportare şi exprimarea în coeficienţi sau în procente ar
conduce la mărimi relative dificil de interpretat.
Mărimile relative se dovedesc a fi utile în analiza întregii activităţi tehnicoeconomice
şi sociale. Calcularea indicatorilor statistici impune însă o alegere atentă a
bazei de comparaţie şi verificarea comparabilităţii datelor raportate. Alegerea bazei de
raportare nu trebuie să se facă în mod mecanic, ci pe baza unei analize calitative
prealabile. Ca numitor al raportului trebuie folosită baza de referinţă care corespunde
din punct de vedere al reprezentativităţii sale în timp, în spaţiu şi în structură
organizatorică.
Mărimile selective pot fi împărţite în următoarele clase: de structură, de
coordonate, ale dinamicii, ale planificării (programării) şi de intensitate.
Mărimile relative de structură stabilesc în ce raport se află fiecare element sau
grup de elemente ale colectivităţii faţă de volumul (nivelul) întregii colectivităţi.
Astfel, într-o serie teritorială, sau pentru o variabilă statistică construită pe baza unor

3.2. - Indicatori derivaţi relativi 45
componente, ponderea sau greutatea specifică ( g
x
i
) a unui element xi în totalul
⎛ n ⎞
colectivităţii ⎜ ⎟
⎜∑
x i se obţine pe baza relaţiei
⎟
⎝i
= 1 ⎠
x
i
(3.2.1) g = ⋅
x
i
n
x
∑
j = 1
Să considerăm cazul unei grupări simple în care datele individuale pentru o
caracteristică X, se caracterizează pe fiecare grupă şi mărimea relativă de structură
n i
exprimă raportul dintre aceste mărimi ∑ x ij şi valoarea agregată pe întregul
j=
1
k n i
ansamblu ∑∑x
ij . Atunci ponderile grupelor vor fi date prin:
i=
1 j=
1
(3.2.2)
n i
∑ xij
j=
1
g =
x i k n i
∑∑xij
i=
1 j=
1
Să considerăm o grupare combinată utilizând două variabile (x1, x2,..., xi,..., xk)
şi (y1, y2,..., yj,..., ym) pentru care s-au centralizat şi variabilele individuale pe grupe.
Greutăţile specifice se calculează cu formulele:
1
x
i
g = ⋅ ∑ x =
x x ij
i
x
(3.2.3)
g
y
i
=
∑∑
i j
1
∑∑
j i
y
ij
ij
Într-o grupare simplă sau combinată se pot calcula greutăţi specifice pentru
toate caracteristicile care au fost centralizate.
Într-o distribuţie de frecvenţă, fiecare mărime de structură exprimă ponderea
grupului de elemente xi şi frecvenţă ni în volumul total.
⋅
i
j
∑
j
y
ij
=
∑
i
∑
j
y
j
i
y
j

46
Indicatorii statistici - 3
Atunci când se cunosc valorile centralizate pe grupe, greutăţile (ponderile)
specifice vor fi:
(3.2.4.) ∑
∑∑ ⋅ =
1
g x
xij
,
i xij
j
i j
iar când se cunosc frecvenţele, ponderile specifice pe grupe sunt:
(3.2.5) g x i
1
= ⋅ xi
ni
∑ xi
ni
i
Mărimile relative de structură, care arată raportul dintre numărul unităţilor din
⎛ ⎞
fiecare grupă ni şi numărul unităţilor din întreaga populaţie n ⎜ ⎟
⎜∑
n i = n , se numesc
⎟
⎝ i ⎠
frecvenţe relative. Dacă le notăm prin * n i acestea sunt date de:
(3.2.6)
n
i n =
i ∑n
j
j
*
*
Se observă imediat că ∑ ni
= 1,
iar dacă le calculăm în procente:
i=
1
n * i
(3.2.7) n = ⋅ 100 ,
∑
∑ j
i n
j
*
atunci avem: ni
= 100 .
i
Prin reprezentarea grafică, mărimile relative de structură devin mai sugestive.
Să considerăm o colectivitate statistică reprezentată prin raport cu o anumită
caracteristică în trei grupe cu ponderile 45%, 15% şi respectiv 40%. În cazul
diagramei de structură prin sectoare de cerc se consideră că întregul ansamblu de
100% este proporţional cu cele 360 O ale unui cerc. Se înmulţesc greutăţile specifice cu
360 O şi se împarte la 100. Se obţine reprezentarea din fig.3.1.
O diagramă de structură corespunzătoare se poate obţine utilizând un pătrat.
Se efectuează o reţea dublă de 10 diviziuni egale şi se haşurează un număr de pătrate
egal cu ponderea grupei. Se obţine reprezentarea grafică din fig.3.2.
În mod analog se obţine o reprezentare grafică în triunghi sau sub alte forme.

3.2. - Indicatori derivaţi relativi 47
Mărimile relative de coordonate caracterizează raportul numeric în care se
găsesc doi indicatori de acelaşi fel, aparţinând unor grupe ale aceleiaşi colectivităţi
statistice sau unor colectivităţi statistice de acelaşi fel, dar situate în spaţii diferite.
Aceste mărimi relative de coordonate admit proprietatea de reversibilitate.
45%
15 %
40 %
Fig.3.1.
15%
40%
45%
Fig.3.2.
Fie xA şi xB cele două mărimi comparate; în funcţie de scopul cercetării
mărimea relativă de coordonate poate fi considerată:
x
(3.2.8)
A
x
K A / B = sau K
B
B / A =
x B
x A
Pentru a reprezenta grafic mărimile relative de coordonate, de obicei se consideră
grupa sau colectivitatea aleasă ca bază de comparaţie ca fiind proporţională cu
100% şi scara de reprezentare se va alege în funcţie de valoarea maximă procentuală.

48
Indicatorii statistici - 3
Mărimile relative ale dinamicii se utilizează pentru caracterizarea evoluţiei
fenomenelor în timp. Ele se obţin ca raport al nivelului fenomenului într-o perioadă de
timp şi nivelul aceluiaşi fenomen dintr-o perioadă anterioară, considerată drept bază
de comparaţie. Studiul dezvoltat al acestor mărimi relative ale dinamicii face obiectul
capitolelor “Serii cronologice” şi “Metoda indicilor”.
Mărimile relative ale programării de dezvoltare se calculează la nivelul
fiecărei unităţi, în funcţie de programele elaborate privind aprovizionarea, producţia şi
desfacerea de mărfuri.
Pentru stabilirea acestor indicatori sunt necesare următoarele informaţii:
x0 = nivelul realizat în perioada de bază, xpl = nivelul programat în perioada curentă şi
x1 = nivelul realizat în perioada curentă. Pe baza acestor mărimi putem calcula
indicatorii relativi:
x pl
x
(3.2.9) K 100 , K
1
pl / 0 = ⋅ 1/
pl = ⋅100
x0
x pl
al nivelului planificat în perioada curentă faţă de nivelul realizat în perioada de bază şi
respectiv, al nivelului realizat faţă de cel planificat în perioada curentă.
La studierea realizării programării (planului) statistica urmăreşte îndeplinirea
acesteia la toţi indicatorii prin care se caracterizează activitatea agenţilor economici:
producţie, desfacere, servicii, productivitatea muncii, costuri, fond de salarizare,
numărul mediu al salariaţilor etc. Fiecărui indicator i se ataşează câte o denumire în
funcţie de tendinţa de modificare şi de semnul diferenţei dintre mărimea relativă
exprimată în procente şi 100%, cât şi de conţinutul sarcinii de program (plan) de a fi
minime sau maxime. Astfel, avem: spor (excedent), surplus, deficit (risipă), economie
(reducere).
Desfăşurarea pe bază de contracte a relaţiilor directe dintre unităţile
economice necesită în practică şi un indicator al gradului de acoperire a sarcinilor din
programele de producţie cu contracte,
xc
(3.2.10) Kc
/ pl = ⋅100
,
x pl
obţinut prin raportarea nivelului contractărilor în cadrul perioadei curente (xc) la
sarcina de program (plan) (xpl).
Mărimile relative de intensitate se obţin prin raportarea a doi indicatori
absoluţi X, Y, de natură diferită, care se află într-o relaţie de interdependenţă.
Exemple de mărimi relative de intensitate sunt:
- productivitatea muncii (producţia în unitatea de timp),
- cursul de schimb valutar (exprimată cu câţi lei se poate cumpăra un dolar),
- preţul unitar,
- rentabilitatea economică (beneficiul economic în sens larg la un leu activ global),

3.3. – Mărimile medii
- eficienţa activelor fixe,
- durata medie a zilei (lunii) de lucru.
Specific mărimilor relative de intensitate este faptul că ele pot fi interpretate
sub forma unor valori individuale ale unei variabile aleatoare pentru care se poate
stabili repartiţia lor de frecvenţă.
Să notăm cu xi mărimea relativă de intensitate
y
x
i
i = ,
zi
yi zi fiind mărimile absolute comparate. Dacă asimilăm pe zi ca un ni (frecvenţă
absolută ataşat lui xi, atunci fiecare mărime relativă de intensitate, calculată cel puţin
la nivelul unei grupe de unităţi simple, poate fi considerată ca având conţinut de
mărime medie.
Menţionăm că mărimile relative de intensitate care se calculează sub formă
de rapoarte cu baze diferite de raportare şi au conţinut de medie, nu admit operaţia de
adiţiune, adică mărimea relativă corespunzătoare la nivelul ansamblului nu se obţine
ca o sumă a mărimilor relative parţiale de acelaşi conţinut, calculat la nivelul grupelor,
ci ca o medie a acestora:
k
∑ yi
x =
i=
1
k
∑ zi
i=
1
Prin diferite raportări cantitative mărimile relative de intensitate permit
sesizarea unei multitudini de aspecte calitative ale colectivităţii cercetate.
3.3. Mărimile medii
Mărimile medii constituie categoria de indicatori derivaţi şi de indicatori
sintetici generalizatori utilizaţi pe scară largă în activitatea de cercetare statistică, de
planificare şi de conducere. Indicatorii medii reprezintă un instrument principal de
cunoaştere a fenomenelor de masă şi au un grad mare de aplicabilitate practică. Cu cât
valorile individuale din care se obţin mediile sunt mai apropiate, cu atât mediile
calculate oferă un conţinut mai real. În calcularea valorilor medii trebuie avută în
vedere omogenitatea datelor individuale. Eterogenitatea acestora impune calcularea
unor medii parţiale şi a mediei de ansamblu ca o sinteză a acestora.
49

50 Indicatori statistici - 3
Pentru a obţine o medie cu un conţinut cât mai real este necesar ca aceasta să
se bazeze pe un număr mare de cazuri individuale diferite, a căror variaţie să fie
aleatoare în raport cu fenomenul în totalitatea lui, valorile din care se va calcula media
să fie omogene, forma de medie utilizată trebuie să corespundă cât mai bine formei de
variaţie a datelor individuale.
Prin definiţie, media valorilor individuale ale unei variabile statistice este
expresia sintetizării într-un singur nivel reprezentativ a tot ce este esenţial, tipic şi
obiectiv în apariţia, manifestarea şi dezvoltarea acesteia.
În statistică, media este interpretată ca nivelul la care ar fi ajuns o
caracteristică înregistrată, dacă în toate cazurile, toţi factorii esenţiali şi neesenţiali ar
fi acţionat constant. În acest sens se interpretează media ca fiind “speranţa
matematică” către care tind toate valorile, variaţia dintre ele fiind influenţa factorilor
aleatori.
Ţinând seama de diversitatea fenomenelor economice, tehnice, sociale etc.,
care astăzi sunt cercetate cu metode statistice, şi luând în calcul variabilitatea acestor
fenomene, în practică trebuie să se aleagă tipul de medie adecvat. Mediile cele mai
frecvent folosite sunt: aritmetică, geometrică, armonică, pătratică şi cronologică,
calculate ca medii simple şi ponderate.
3.3.1. Media aritmetică
Să considerăm o serie statistică unidimensională
(3.3.1) X: x1, x2,..., xi,..., xn
discretă formată din n valori distincte, ca rezultat al celor n observaţii efectuate.
Definiţia 1. Se numeşte medie aritmetică simplă a seriei (3.3.1) valoarea
notată cu x şi calculată ca raport al sumei valorilor observaţiilor xi, i = 1,
n şi numărul
observaţiilor n. Aşadar avem:
n
1
(3.3.2) x = ∑ xi
n
i=
1
Exemplul 1. Să considerăm că seria statistică X conţine informaţii referitoare
la vechimea în muncă (în ani) a membrilor unei echipe de 8 specialişti într-un
domeniu de activitate. X: 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 18.
Atunci vechimea medie a echipei respective este:
1
x = ( 3 + 5 + 7 + 9 + 10 + 11 + 12 + 18)
= 9,
375 ani
8
Să considerăm că seria statistică X este una de frecvenţe, adică fiecărei valori
xi îi este asociată frecvenţa absolută a apariţiei ni, în urma observaţiilor efectuate,
adică:

3.3. – Mărimile medii
(3.3.3) ⎟ ⎛ x
⎞
⎜
1,
x 2 , K,
x k
X :
,
⎝n1
, n 2 , K,
n k ⎠
unde xi∈3, ni∈∠ * , i = 1,
k .
Definiţia 2. Se numeşte medie aritmetică ponderată a seriei X şi se notează cu
x valoarea obţinută ca raport al sumei produselor dintre valorile şi frecvenţele
absolute corespunzătoare şi numărul observaţiilor efectuate care coincide cu suma
frecvenţelor absolute. Adică, în acest caz:
k
∑ ni
x
k
i
1
(3.3.4)
x =
=
∑ n =
i 1
ix
i
n
k
i=
1
∑ ni
i=
1
Exemplul 2. Fie X seria de frecvenţe a notelor obţinute de studenţii unei
grupe la un examen:
⎟ ⎛4
5 6 7 8 9 10⎞
X : ⎜
⎝2
1 6 8 5 2 1 ⎠
În acest caz numărul absolvenţilor este 25=2+1+6+8+5+2+1, iar media (nota
medie) ponderată a notelor grupei este:
2 ⋅ 4 + 1⋅
5 + 6 ⋅ 6 + 8 ⋅ 7 + 5 ⋅ 8 + 2 ⋅ 9 + 1⋅10
173
x =
= = 6,
92
25
25
Să considerăm cazul când valorile seriei statistice X sunt date prin intervalele
de valori la care aparţin, adică ştim că xi∈[ei, ei+1], cu frecvenţa absolută ni. În ipoteza
că valorile xi sunt uniform repartizate în fiecare interval [ei, ei+1], atunci media
aritmetică ponderată a seriei statistice, de intervale de valori, se calculează prin:
k
1
(3.3.5) x = ∑ nic
i ,
n
i=
1
k
e e
unde n = ∑ ni
şi c
i + i 1
i =
+
2
i=
1
Dacă pentru orice i = 1,
k ni = 1, (n=k), atunci din (3.3.5) obţinem media
aritmetică simplă a unei serii statistice de intervale de valori:
n
1
(3.3.6) x
= ∑ ci
n
i=
1
51

52 Indicatori statistici - 3
Observaţia 1. Dacă pentru o serie de frecvenţe considerăm (sau sunt date)
frecvenţele relative
k
n
(3.3.7)
f =
i
i cu
k ∑ f i = 1 ,
∑ n
i=
1
i
i=
1
atunci mediile aritmetice ponderate (3.3.4) şi (3.3.5) iau forma:
k
k
(3.3.8) x = ∑ fix
i şi respectiv, x = ∑ fic
i
i=
1
i=
1
Exemplul 3. Să considerăm că seria statistică de frecvenţe a grupelor de
vechime pentru muncitorii unui atelier este dată de Tabelul 3.2.
Grupe de vechime [ani] Număr de muncitori [ni] ci cini
2 – 7 5 4,5 22,5
8 – 13 4 10,5 42,0
14 – 18 6 16,5 99,0
19 – 25 5 22,5 112,5
26 – 31 2 28,5 57,0
Total 22 - 333,0
Tabelul 3.2.
Să se calculeze vechimea medie pe atelier.
Utilizând datele din Tabelul 3.2 şi formula (3.3.5) obţinem:
1
x = ⋅ 333 = 15,
13 [ ani]
22
Media aritmetică a unei serii statistice prezintă unele proprietăţi cu utilitate
practică. Menţionăm mai întâi că formulele de calcul prezentate mai sus rămân
valabile numai dacă valorile individuale înregistrate sunt numerice. Pentru o serie cu
valori nenumerice sau cu valori măsurabile pe o scală calitativă nu se poate calcula
media aritmetică.
P1) Valoarea mediei aritmetice calculate este unică, ea poate să coincidă sau
nu cu vreo valoare individuală înregistrată.
P2) Întotdeauna mărimea mediei aritmetice se încadrează în intervalul de
variaţie a caracteristicii X, adică xmin ≤ x ≤ xmax.
Pentru o serie de distribuţie de frecvenţe media oscilează în jurul termenilor
cu frecvenţa cea mai mare.

3.3. – Mărimile medii
P3) Pentru o serie statistică, suma algebrică a tuturor abaterilor individuale,
di = xi - x , ale termenilor seriei, de la valoarea medie este egală cu zero. Adică pentru
o serie simplă avem:
n
(3.3.9) ∑ ( x i − x)
= 0 ,
i=
1
iar pentru o serie de frecvenţe are loc:
k
(3.3.10) ∑ n i ( xi
− x)
= 0 ,
i=
1
P4) Media aritmetică calculată pe baza datelor unei serii statistice micşorate
sau mărite cu o constantă “a” se modifică în acelaşi sens cu aceeaşi mărime “a” faţă de
media aritmetică a seriei iniţiale.
Într-adevăr, fie seria simplă de date, iniţială X: x1, x2,..., xi,..., xn cu media
n
1
aritmetică x = ∑ xi
. Pornind de la seria dată să considerăm seriile :
n
i=
1
X: x1±a, x2±a,..., xi±a,..., xn±a. Atunci media x ’ a seriei X ’ este:
(3.3.11)
n n
n n
1 1
1 1
x'
= ∑ x'i
= ∑( xi
± a)
= ∑xi±
∑ a =
n n
n n
i=
1 i=
1
i=
1 i=
1
n
1 1
= ∑ xi
± ⋅ n ⋅ a = x ± a
n n
i=
1
În mod similar se demonstrează proprietatea de mai sus pentru serii de
frecvenţe.
P5) Media aritmetică calculată pe baza datelor unei serii statistice împărţite cu
acelaşi coeficient p≠0 se obţine prin împărţirea mediei aritmetice a seriei iniţiale cu
coeficientul p.
Să considerăm seria X: x1, x2,..., xi,..., xn pentru care media aritmetică este
n
1
x x x x
x = ∑ xi
şi să construim seria X"
=
1
,
2
, K
i
, K
n
, p≠0.
n
p p p p
i=
1
Atunci media x ” a seriei X” este:
(3.3.12)
n
1 x 1 ⎡ n
1 ⎤ x
x"
=
i
∑ = ⎢ ∑ xi
⎥ =
n p p n p
i=
1
⎢
⎣ i=
1
⎥
⎦
53

54 Indicatori statistici - 3
Demonstraţia de mai sus rămâne valabilă şi în cazul seriilor de frecvenţe de
valori sau pe intervale.
Din (3.3.12) rezultă relaţia:
x = p x ” ,
care oferă o metodă avantajoasă de calcul a mediei seriei X, atunci când există un
divizor comun p pentru toate valorile xi ale seriei X.
Proprietăţile 4 şi 5 pot fi folosite împreună pentru obţinerea unei metode
avantajoase de calcul a mediei aritmetice pentru o serie de frecvenţe pe intervale X,
pentru care xi∈[ei, ei+1) cu frecvenţa ni, i = 1,
k . În acest caz putem scrie:
1 ⎛ k
c c ⎞
(3.3.13) x ⎜ n
i −
= ⎟
i p + c
n ⎜∑
,
p ⎟
⎝i
= 1 ⎠
unde ci reprezintă mijlocul intervalului [ei, ei+1), c numit origine arbitrară, poate fi
considerat centrul de interval cu ponderea cea mai mare iar p este un coeficient
convenabil ales de micşorare a termenilor seriei date.
P6) Fie o serie statistică de frecvenţe
⎛ x
⎜
1,
X :
⎝n1
,
pe care o împărţim în două grupe:
⎛ x1,
Xa
: ⎜
⎝n1,
x 2,
n 2,
K,
K,
x 2 ,
n 2 ,
K,
K,
xi
,
ni
,
K,
K,
⎟ x k ⎞
,
n k ⎠
xi
⎞
⎟ ,
n
⎟
i ⎠
⎟
⎛ xi
+ 1,
xi
+ 2,
K,
x k ⎞
Xb
: ⎜
⎝n
i+
1,
ni
+ 2,
K,
n k ⎠
Dacă x a este media seriei Xa, x b este media seriei Xb, atunci media seriei
considerate iniţial X este media aritmetică ponderată a mediilor seriilor celor două
i
k
grupe Xa şi Xb, cu frecvenţele cumulate n a = ∑ ni
, n b = ∑ n j , adică are loc
j=
1 j=
i+
1
(3.3.14)
na
xa
+ n b x b
x = ,
na
+ n b
i
k
1
1
unde x a = ∑ n jx
j , x b = ∑ n jx
j
na
n
j=
1
b j=
i+
1
Pornind de la relaţia (3.3.14), se deduce că, atunci când se efectuează o nouă
măsurătoare, şi astfel se obţine o nouă serie statistică, cu o dată în plus, media acesteia

3.3. – Mărimile medii
se poate obţine pornind de la media seriei iniţiale şi utilizând valoarea adăugată. Mai
exact, pentru seria simplă X’={ x1, x2,..., xk, xk+1} are loc relaţia:
nx
+ x
(3.3.15)
x'=
k + 1
,
k + 1
unde x este media seriei X={ x1, x2,..., xk}.
Dacă pornim de la o serie de frecvenţe
X :
⎛ x1,
⎜
⎝ n1
K
K
x k ⎞
⎟
n k ⎠
k
cu ∑ n k = n ,
=
şi în urma a nk+1 măsurători a apărut valoarea xk+1 atunci media seriei statistice de
frecvenţe
se poate obţine prin:
(3.3.16)
⎛ x
⎜
1,
X':
⎝n1
,
K,
K,
x k ,
n k ,
i
1
x k + 1 ⎞
⎟
n k + 1 ⎠
nx
+ n k 1x
x'
=
+ k + 1
,
n + n k + 1
P7) Cazul caracteristicilor alternative. Dacă pentru fiecare unitate a populaţiei
generale P o caracteristică Xa înregistrează o formă de manifestare, considerată
normală, caracterizată de valoarea xi=1 sau o formă opusă acesteia, caracterizată de
valoarea xi=0, i = 1,
k spunem că avem o caracteristică alternativă (cu valori
alternative).
Observăm că cele două variante “normală” (xi=1) şi “anormală” (xi=0),
caracterizează populaţia sau o grupă de unităţi statistice prin frecvenţa cu care apar. Să
notăm cu na şi respectiv nb cele două frecvenţe. Atunci seria de frecvenţe asociată
caracteristicii Xa se poate scrie sub forma:
va fi:
(3.3.17)
⎛ 1 0 ⎞
Xa : ⎜ , na
+ nb
= k
na
n ⎟
⎝ b ⎠
Conform definiţiei mediei aritmetice, media variabilei statistice alternative Xa
n 1 n 0 n
x
a ⋅ + b ⋅ a
a = = ,
k k
x a fiind o mărime relativă de structură se exprimă, de regulă, sub formă procentuală şi
ea arată câte unităţi, în medie, la o sută de unităţi ale populaţiei posedă forma de
manifestare “normală” a caracteristicii Xa.
55

56 Indicatori statistici - 3
Exemplul 4. Să presupunem că din 10.000 candidaţi la admitere la o facultate
au fost admişi numai 2.500 candidaţi. Să se determine media candidaţilor admişi în
totalul candidaţilor.
Populaţia P constă din cei 10.000 candidaţi. Considerăm caracteristica X care
poate lua valori alternative: admis (A) şi respins (R). Ea va avea distribuţia de
frecvenţe:
A R
X :
,
2.
500 7.
500⎟
⎟
⎛
⎞
⎜
⎝
⎠
atunci, media candidaţilor admişi, în procente, va fi:
2.
500
X : ⋅ 100 = 25%
,
10.
000
O reprezentare grafică a mediei candidaţilor admişi se obţine prin:
25%
admisi
2500 75%
respinsi
7500
Fig.3.3.
care arată că din fiecare sută de candidaţi au fost admişi numai 25 (un sfert).
P7) Media aritmetică admite următoarea generalizare naturală, astfel că alte
medii cunoscute şi utilizate apar drept cazuri particulare ale acestei generalizări.
Fie X o variabilă statistică de frecvenţe:
X :
⎛ x
⎜
1,
⎝ n1,
x 2 ,
n 2 ,
K,
K,
x k ⎞
⎟
n k ⎠
şi f: D1={x1, x2, ..., xk} → 3 o funcţie monotonă (crescătoare sau descrescătoare),
atunci numim f - media variabilei statistice de frecvenţe X, cantitatea x f definită de
egalitatea
k
(3.3.18) f ( x ) rif
( xi
)
f = ∑ ,
i=
1

unde frecvenţele relative ri sunt definite prin relaţiile:
n
(3.3.19)
r =
i
i ,
k
∑ ni
i=
1
3.3. – Mărimile medii
Dacă funcţia f este definită prin f(t)=x t atunci f – media se numeşte medie de
ordinul t, şi de obicei se notează cu x t. Se demonstrează că au loc relaţiile:
x t > x dacă t > 1
(3.3.20) x t = x dacă t = 1
x t < x dacă t < 1
Pentru t=2, x 2 devine media pătratică, şi deci avem x 2> x , pentru t = -1, x -1
devine media armonică, şi deci avem x -1 < x . De asemenea pot fi considerate alte
f - medii.
Observaţia 2. Principalul dezavantaj al folosirii mediei aritmetice constă în
sensibilitatea sa faţă de valorile externe. Ea devine nereprezentativă dacă termenii
seriei sunt prea împrăştiaţi, iar dacă în colectivitatea statistică se observă modificări
distincte din punct de vedere calitativ, media tinde să devină o mărime lipsită de
conţinut. În acest caz este indicat să se calculeze medii parţiale pentru fiecare tip
calitativ şi, în final, să se determine media generală.
Omogenitatea colectivităţii pentru care se determină media este, de fapt,
condiţia reprezentativităţii pentru orice tip de mărime medie.
3.3.2. Alte tipuri de medii utilizate în analiza seriilor statistice
În cazuri speciale de serii statistice simple sau de frecvenţe se aplică anumiţi
indicatori medii dintre care prezentăm:
Media pătratică, o notăm cu x p, ea reprezintă acea valoare a caracteristicii
care, dacă ar înlocui fiecare valoare individuală din serie, suma pătratelor termenilor
seriei nu s-ar modifica.
Fie X o variabilă statistică simplă.
X: x1, x2, ..., xi, ..., xn. Pentru aceasta, media pătratică x p este definită de
relaţia:
n
2 2 2 2
(3.3.21) ∑ x
i = x p+
x p+
... + x p=
nx
i=
1
2
p
57

58 Indicatori statistici - 3
Deducem imediat formula de calcul a mediei pătratice asociate unei variabile
statistice simple:
1
⎡ n
1 ⎤ 2
(3.3.22)
x
2
p = ⎢ ∑ x ⎥
⎢n
i
⎣ i=
1
⎥
⎦
Dacă variabila statistică X este una de frecvenţe, adică avem:
(3.3.23) ⎟ ⎛ x
⎞
⎜
1,
x 2 , K,
xi
K,
x k
X :
,
⎝n1
, n 2 , K,
ni
K,
n k ⎠
atunci media pătratică corespunzătoare este dată prin:
1
⎡1
n
2 ⎤ 2
k
(3.3.24)
x p = ⎢ ∑ ni
xi
⎥ , cu ∑ n i = n .
⎣n
i=
1 ⎦ i=
1
n
Dacă se trece la frecvenţe relative f
i
i = , atunci (3.3.24) devine
n
1
⎡ k
2 ⎤ 2
(3.3.25)
x p = ⎢∑
fi
x ⎥ .
⎢
⎣i=
1
⎥
⎦
Relaţiile de calcul ale mediei pătratice conduc la următoarele observaţii:
Deşi media pătratică se poate calcula şi în cazul când variabila statistică ia şi
valori negative sau nule, ea are semnificaţie practică (economică) numai dacă se
calculează din valori pozitive.
În mod frecvent media pătratică se utilizează pentru a caracteriza tendinţa
centrală în ansamblul abaterilor valorilor individuale de la valoarea lor medie.
De asemenea, media pătratică se utilizează când se doreşte să se acorde o
importanţă mai mare la nivelul mediu, a acelor unităţi pentru care caracteristica
înregistrată prezintă valori absolute mari.
Media armonică o notăm cu x h, ea se defineşte ca valoare inversă a mediei
aritmetice a inverselor valorilor individuale înregistrate. Pentru o serie statistică
simplă X: x1, x2, ..., xi, ..., xn relaţia de definiţie a mediei armonice este:
n
1 1 1 1
(3.3.26) + + ... + = ∑ ,
xh xh
xh
1442443
i= 1 xh
de unde rezultă că:
n ori

(3.3.27)
x h
n
= n
1 ,
∑
i= 1 xi
Pentru o serie statistică de frecvenţe:
X :
⎛ x
⎜
1,
⎝ n1,
x 2 ,
n 2 ,
K,
K,
x k ⎞
⎟ ,
n k ⎠
3.3. – Mărimile medii
prin intermediul relaţiei (3.3.26), de definiţie, rezultă următoarea formulă de calcul a
mediei armonice ponderate:
(3.3.28)
x h
k
∑ ni
=
i=
1
k
1
∑ ni
x
i=
1 i
,
Dacă între două variabile statistice există o relaţie de invers proporţionalitate
şi pentru una dintre ele se foloseşte media aritmetică, atunci pentru cealaltă variabilă
este obligatoriu să se folosească media armonică, deoarece raportul de inversă
proporţionalitate se realizează şi între cele două valori medii.
Exemplul 1. Fie w productivitatea muncii într-un atelier de producţie, t
consumul specific de timp de muncă pe unitatea de produs, T – cheltuielile totale de
timp de muncă şi q producţia obţinută; atunci productivitatea medie a muncii se
determină cu relaţia:
k k
∑ qi
∑ wi
Ti
k
(3.3.29) w =
i=
1
=
i=
1
=
k ∑ wi
f
k
i ,
i=
1
∑ Ti
∑ Ti
i=
1 i=
1
T
unde f =
i
i , iar qi = wi⋅Ti
k
∑ Ti
i=
1
Consumul specific de timp de muncă, este dat prin:
T
(3.3.30)
t
i
i =
qi
59

60 Indicatori statistici - 3
q
Ţinând seama că w
i
i = rezultă relaţia:
Ti
1
(3.3.31)
t i = .
wi
Având în vedere relaţia de invers proporţionalitate de mai sus şi faptul că
productivitatea medie a fost calculată ca medie aritmetică ponderată, rezultă că pentru
calculul consumului specific mediu se va folosi media armonică ponderată:
(3.3.32)
k
∑ Ti
k
∑ Ti
k
∑ Ti
t =
i=
1
h
k
∑ qi
i=
1
=
i=
1
=
i=
1
,
k
k
1 1
∑ qi
ti
∑ Ti
t
i=
1 i t
i=
1 i
Am văzut că x h= x -1 este mai mică decât media aritmetică. Dacă valorile
caracteristicii X sunt egale, atunci cele două medii iau aceeaşi valoare.
De asemenea, în situaţia când pentru o caracteristică nu se cunosc ponderile
reale ale valorilor xi ci ponderile complexe ni xi, atunci cele două medii, aritmetică şi
armonică au valori egale.
Într-adevăr,
k
∑ ni
xi
k
∑ ni
xi
(3.3.33) x
i 1
h =
=
k
1
∑ ni
xi
x
i=
1 i
=
i=
1
k
∑ xi
i=
1
= x ,
În practică, atunci când se cunosc valorile caracteristici xi i = 1,
k şi ponderile
ni pot fi folosite oricare din mărimile medii, când însă se cunosc numai valorile xi şi
ponderile complexe xi ni se aplică media armonică care, de asemenea este utilizată la
calculul indicilor medii.
Exemplul 2. Să presupunem că pentru efectuarea unei operaţii, un lucrător
cheltuieşte 15 minute, iar altul 30 minute. Care este timpul mediu de lucru pentru
această operaţie ?
Dacă utilizăm media aritmetică, atunci timpul mediu consumat pentru operaţia
dată este (30+15)/2 = 22,5 minute.
Dacă utilizăm media armonică, atunci timpul mediu consumat pe această
operaţie este:

1
15
2
+
1
30
20
= 2 ⋅ = 20 minute.
3
3.3. – Mărimile medii
Dacă acceptăm timpul mediu de lucru de 20 minute, atunci într-o oră cei doi
60 60
lucrători efectuează + = 6 operaţii. Dacă considerăm timpul mediu de lucru de
20 20
60 60
22,5 minute, atunci cei doi lucrători efectuează într-o oră + = 5 operaţii.
22,
5 22,
5
60 60
În realitate, într-o oră cei doi lucrători efectuează + = 6 operaţii.
15 30
Observăm că în acest caz este raţional să se calculeze media armonică pentru a stabili
timpul mediu pe operaţie.
Media geometrică, o notăm cu x g. Ea se calculează pe baza unei relaţii
multiplicative între termenii unei serii statistice simple sau de frecvenţe
Media geometrică x g reprezintă acea valoare a caracteristicii care, dacă ar
înlocui fiecare valoare individuală din serie, produsul acestora nu s-ar modifica. Deci
x g se defineşte prin relaţia:
n
(3.3.34)
n
∏ x i = xg
⋅ xg
⋅K
⋅ xg
= x g ,
i=
1
de unde rezultă:
1
⎡ n ⎤ n
(3.3.35)
xg
= ⎢∏
xi
⎥ ,
⎢ ⎥
⎣i
= 1 ⎦
relaţie valabilă pentru o serie simplă X: x1, x2, ..., xi, ..., xn.
Pentru o serie de distribuţie de frecvenţe:
⎛ x
⎞
⎜
1,
x 2,
K,
x k
X :
⎟
⎝ n1,
n 2 , K,
n k ⎠
se obţine:
(3.3.36)
1
k
∑ ni
i=
1
⎡ k ⎤
n
x = ⎢ i
g ∏ x ⎥ ,
⎢
i
⎥
⎣i
= 1 ⎦
61

62 Indicatori statistici - 3
Utilizând proprietăţile logaritmului se obţine din (3.3.35) următoarea relaţie de
definiţie a mediei geometrice x g:
ln xi
ln(
x ) i
g =
n
Calculul nivelului mediu al unei variabile statistice ca medie geometrică se
efectuează numai atunci când operaţia de multiplicare între termenii seriei este
posibilă şi are sens economic.
Utilizarea mediei geometrice este indicată atunci când termenii seriei prezintă
o concentrare către valorile cele mai mici sau când se urmăreşte să se dea o importanţă
deosebită valorilor individuale reduse. Cel mai frecvent media geometrică se
utilizează la calculul tendinţei centrale din seria indicilor de dinamică cu baza fixă şi
mai ales mobilă.
În mod evident, atunci când un termen al seriei statistice este zero, produsul
din relaţia de definiţie (3.3.34) devine nul şi definiţia nu poate furniza informaţii utile.
Exemplul 3. În trei ani consecutivi o întreprindere a realizat un profit de
10 mil. lei, 20 mil. lei şi respectiv 160 mil. lei. Să se determine indicele mediu al
profitului realizat.
În anul al doilea profitul s-a dublat, iar în anul al treilea a crescut de 8 ori faţă
de precedentul. Media aritmetică a indicelui de multiplicare ne arată că în medie
2 + 8
profitul s-a multiplicat de = 5 ori pe an. Acest rezultat nu concordă cu realitatea,
2
deoarece dacă multiplicăm pe 10 mil. lei prin 5 obţinem 250 mil. lei, profiturile
corespunzătoare anului al doilea şi al treilea obţinute astfel sunt mult mai mari. Să
utilizăm media geometrică. Vom avea xg = 2 ⋅ 8 = 4 . Prin multiplicarea cu 4
obţinem pentru anul al doilea şi al treilea 40 mil. lei, respectiv 160 mil. lei, care oferă
un rezultat mult mai apropiat de cel real şi putem considera ca indice mediu al
profitului realizat I=4, ca un rezultat corect.
În general, media geometrică se aplică atunci când fenomenul cercetat poate fi
aproximat printr-o evoluţie exponenţială.
3.4. Indicatori de poziţie
De multe ori, informaţiile utile în fundamentarea deciziilor legate de seriile de
repartiţie, le furnizează pe lângă indicatorii medii, indicatorii de poziţie, care reflectă
forma în care se raportează unităţile colectivităţii cercetate, după caracteristica
respectivă. În caracterizarea tendinţei centrale, în seriile de repartiţie rolul de valoare
∑

3.4. – Indicatori de poziţie
tipică poate fi jucat de indicatorii de poziţie: modul şi cuantile, care evidenţiază
tendinţa de aglomerare, de concentrare a unităţilor după caracteristica studiată.
Valoarea modală a caracteristicii numită şi valoare dominantă sau modul,
reprezintă acea valoare a caracteristicii care corespunde celui mai mare număr de
unităţi, sau acea valoare care are cea mai mare frecvenţă de apariţie.
Pentru o repartiţie discretă, valoarea modală este uşor de stabilit prin simpla
⎛ xi
⎞
examinare a şirului de frecvenţe X : ⎜
n ⎟ . Valoarea modală a caracteristicii este
⎝ i ⎠i
= 1,
k
acea valoare individuală pentru care frecvenţa de apariţie este cea mai mare.
De exemplu, pentru seria de frecvenţe
X :
⎛5
⎜
⎝1
6
1
8
3
9
2
10⎞
⎟
1 ⎠
modul este m0 = 8.
Seria de repartiţie de mai sus este reprezentată grafic în fig.3.4.
Fig.3.4
În cazul seriilor de repartiţie pe intervale egale valoarea modală se obţine
astfel: se identifică intervalul cu frecvenţă absolută sau relativă cea mai mare, apoi în
intervalul modal se estimează valoarea modală.
Estimarea valorii modale se efectuează în diferite variante:
Dacă în cadrul intervalului modal frecvenţele sunt distribuite simetric sau
aproximativ simetric, atunci modul coincide cu centrul intervalului modal.
Dacă repartiţia frecvenţelor în cadrul intervalului modal nu este simetrică,
atunci se calculează mai întâi diferenţele:
∆1 – diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului
premodal (precedent);
∆2 – diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi cea a intervalului
postmodal (următor).
63

64 Indicatori statistici - 3
Dacă intervalul modal este [xi, xi+1] de lungime hi = xi+1 – xi, atunci valoarea
modală (modul) seriei statistice este dat prin:
∆
m
1
0 = xi
+ hi
∆1
+ ∆2
Exemplul 1. Distribuţia a 50 de unităţi după volumul încasărilor lunare este
dată în tabelul 3.3.
Grupe de unităţi
după volumul
încasărilor
Număr de
unităţi ni
Centrul de
interval xi
Număr de unităţi
cumulate crescător
Tabelul 3.3.
Observaţii
100 - 150 3 125 3
150 - 200 12 175 15
200 - 250 17 225 32 Interval modal
250 - 300 8 275 40
300 – 350 4 325 44
350 - 400 6 375 50
Valoarea modală a încasărilor lunare sau încasarea lunară cea mai frecventă
este dată aproximativ prin:
17 −12
m0 = 200 + 50
= 218
( 17 −12)
+ ( 17 − 8)
În mod asemănător cu valoarea modală se defineşte valoarea antimodală cu
cea mai mică frecvenţă sau cea mai puţin probabilă.
Modul are avantajul că se determină rapid şi are o semnificaţie simplă. Pe
graficul repartiţiei statistice valoarea modală corespunde punctului de pe abscisă, în
care graficul îşi atinge maximul.
În practică există serii de distribuţie multimodale, adică se determină mai
multe valori modale (pe grupe), de obicei ele nu pot fi sintetizate într-o singură
valoare modală cu semnificaţie pentru întreaga colectivitate.
În unele situaţii practice valoarea modală furnizează informaţii mai utile decât
valoarea medie, de exemplu în lansarea unui tip de confecţie pe piaţă este importantă
cunoaşterea valorii modale, pe când o valoare medie este lipsită de semnificaţie.
Cuantilele indică o divizare a distribuţiei observaţiilor într-un număr oarecare
de părţi. Ele sunt indicatori care descriu poziţiile particulare din cadrul seriilor de
distribuţie statistică.

3.4. – Indicatori de poziţie
Cuantilele de ordinul r (r∈∠) le notăm cu Cr, ele fiind valori ale caracteristicii
1
urmărite, care împart distribuţia observaţiilor în r părţi egale, care au acelaşi efectiv
r
din numărul total al observaţiilor.
Cele mai frecvent utilizate cuantile sunt:
- cuantila de ordinul 2 (r=2), numită şi mediana (me);
- cuantila de ordinul 4, Qi, i=1,2,3 (numită simplu cuantilă);
- cuantilele de ordinul 10 (r=10) cunoscute şi sub numele de centile.
În mod evident, cuantilele de ordin superior r ≥ 4 se calculează în cazul
distribuţiilor cu număr mare de grupe sau clase de valori individuale.
Mediana (me) reprezintă acea valoare a caracteristicii localizată în mijlocul
seriei sau repartiţiei statistice cu valori individuale aranjate în ordine crescătoare sau
descrescătoare. Cu alte cuvinte, mediana împarte numărul unităţilor investigate în
două părţi egale, una conţinând unităţile cu valori ale caracteristicii inferioare
medianei, iar cealaltă parte unităţile populaţiei cu valori ale caracteristicii superioare
medianei.
Deoarece
( x ≤ m ) = P(
x ≥ m )
P i e i e
mediana se mai numeşte şi valoare echiprobabilă a caracteristicii.
Am văzut că determinarea medianei presupune ordonarea crescătoare sau
descrescătoare a valorilor individuale ale caracteristicii.
Să considerăm o serie statistică simplă X: x1, x2, ..., xn ordonată crescător.
Dacă seria are un număr impar de termeni, atunci mediana me este valoarea de rang
n + 1
din serie, adică:
2
m
e
= x
n
De exemplu, dacă avem X: 5, 6, 12, 20, 25, 28, 50, atunci me=20.
Dacă seria este formată dintr-un număr par de termeni, atunci mediana se
determină, în mod convenţional, ca valoare medie (media aritmetică) a valorilor
n n
individuale de rang şi +1, adică:
2 2
+ 1
x⎡
n ⎤ + x⎡
n ⎤
⎢ + 1
2 ⎥ ⎢ 2 ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
me
= .
2
2
=
1
2
65

66 Indicatori statistici - 3
n
De exemplu, pentru seria X: 5, 8, 15, 25, 30, 37, 45, 51; n=8, =4,
2
x x 25 30
m
4 + 5 +
e = = = 27,
5 .
2 2
Observăm că în cazul seriei simple cu număr impar de valori individuale,
mediana respectă exact definiţia dată, iar în cazul numărului par de valori, mediana
este stabilită convenţional ca să aproximeze definiţia dată. În acest caz mediana poate
să nu fie o valoare individuală a seriei date.
În cazul seriei de distribuţie de frecvenţe pe variante distincte, semnificaţia
valorii mediane este afectată de metoda sa de calcul. În acest caz valoarea mediană
este acea valoare individuală a caracteristicii care corespunde primei frecvenţe care
k
∑ ni
+ 1
prin cumulare ascendentă depăşeşte i=
1
2
Exemplul 2. În urma controlului de calitate a 100 loturi de aparate
electrotehnice s-au înregistrat datele prezentate în tabelul 3.4.
Număr de aparate cu
defecţiuni xi
0
1
2
3
4
5
Număr de loturi de aparate
ni
15
25
30
15
10
5
Tabelul 3.4.
Număr cumulat crescător
de loturi
15
40
70
85
95
100
Total 100 -
6
∑ ni
+ 1
i=
1 100 + 1
= = 50,
5 . 70 este prima frecvenţă cumulată crescător care
2 2
depăşeşte 50,5. Deci numărul median de aparate defecte este m=2. Observăm însă că
valoarea mediană m=2 nu împarte seria în două părţi egale, numai 40% din loturi au
un număr de defecte mai mic decât 2 şi nu 50% cum ar fi trebuit conform definiţiei. În
asemenea situaţii mediana nu reprezintă o valoare tipică pentru caracterizarea tendinţei
centrale de repartiţie şi sunt indicate alte mărimi ale tendinţei centrale.

3.4. – Indicatori de poziţie
În cazul distribuţiei de frecvenţe, pe intervale, valoarea mediană se determină
în intervalul median, în mod aproximativ printr-un procedeu de interpolare liniară în
ipoteza repartizării uniforme (după o anumită lege de repartiţie) a frecvenţelor în
intervalul median.
În acest caz se parcurg următoarele etape:
Se determină mai întâi intervalul median ca fiind intervalul care corespunde
k
∑ ni
+ 1
primei frecvenţe cumulate crescător ce depăşeşte
i=
1
.
2
În cadrul intervalului median valoarea mediană se poate determina prin
formula de interpolare:
k i 1
1 ⎛ ⎞ −
⎜
∑ n j + 1⎟
− n j
2 ⎜ ⎟ ∑
j=
1 j=
1
me
= xi
+ h
⎝ ⎠
i
ni
unde [xi, xi+1] este intervalul median, iar hi=xi+1-xi este lungimea acestuia.
De exemplu, pe baza datelor din Exemplul 1 obţinem:
25,
5 −15
me = 200 + 50 ≈ 231 mii lei
17
ceea ce semnifică faptul că 50% din unităţi au încasări mai mici de 321 mii lei, iar
50% au încasări mai mari de 251 mii lei.
În mod asemănător se calculează mediana în cazul seriilor de distribuţie de
frecvenţe relative.
Prin generalizarea metodologiei de determinare a medianei se obţin procedee
de calcul a cuantilelor de ordinul r ≥ 4.
Poziţiile pe care le ocupă în cadrul unei serii de valori, media aritmetică,
valoarea modală şi mediana conduc la informaţii utile asupra formei de distribuţie a
unităţilor colectivităţii după caracteristica analizată.
Dacă x = m0 = me, atunci distribuţia frecvenţelor este simetrică.
Dacă distribuţia este unimodală uşor asimetrică, atunci frecvenţele sunt uşor
deplasate într-o parte sau alta. În acest caz între cei trei indicatori ai tendinţei centrale
există, după o concluzie empirică, o relaţie de forma:
x - m0 = 3( x - me)
În funcţie de diferitele cazuri particulare unul din cei trei indicatori ai tendinţei
centrale: medie, valoare modală, mediană, poate să aibă o semnificaţie mai puternică.
67

68 Indicatori statistici - 3
Fie seria X: 2, 4, 4, 8, 9, 10, 1000; în această serie, media aritmetică nu este
semnificativă, fiind afectată de o valoare foarte mare faţă de celelalte; o mai bună
semnificaţie este oferită de mediană.
Pentru angajaţii unei întreprinderi au semnificaţii diferite, din puncte de
vedere diferite, salariul mediu şi salariul modal. Conducerea este interesată în a
considera ca tendinţă salariul mediu. Cum acesta este afectat de salariile mari din
întreprindere, sindicatul muncitorilor consideră că situaţia veniturilor angajaţilor este
mai realist reflectată de salariul modal.
Din cele de mai sus reiese că în analiza tendinţei centrale a unei serii de date,
după calculul indicatorilor corespunzători, trebuie acordată o atenţie deosebită acelora
cu cea mai reprezentativă încărcătură informaţională, care reflectă şi gradul de
împrăştiere (variaţie) a valorilor individuale.