fdtou-curs-09 - Cadre Didactice

2/14/2003 

TRANSFER DE CĂLDURĂ PRIN 

CONDUCTIVITATE 

continuare 

LUCIAN GAVRILĂ – Fenomene de transfer II 

1

2/14/2003 

COEFICIENTUL DE 

CONDUCTIVITATE TERMICĂ 

o λ = proprietate fizică specifică fiecărui tip 

de material, 

o λ = exprimă comportarea materialului la 

transferul termic conductiv. 

o Dimensiunile conductivităţii termice rezultă 

din condiţia de omogenitate dimensională a 

ecuaţiei (21): 

[ ] 

= 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

( s) 

J / 

m 

2 


⋅ 

⋅ 

K 

m 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

= 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

m 

W 

λ (32) 

⋅ 

K 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

2

2/14/2003 



o Conductivitatea termică este dependentă 

de proprietăţile fizice ale materialului: 

–temperatură, 

– densitate, 

– porozitate, 

– umiditate. 

o În fig. urmatoare este prezentat intervalul 

de variaţie al conductivităţii termice pentru 

diverse materiale. 


3

2/14/2003 



Materiale refractare 

Gaze organice si vapori 

Materiale izolante amorfe 

Uleiuri 

Gaze anorganice si vapori 

Cristale 

Lichide organice 

Lichide anorganice 

Solutii anorganice apoase 

Solutii organice apoase 

Materiale pulverulente 

Metale lichide 

Aliaje metalice industriale 

Metale pure 

0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 

λ [W/(m.K)] 


4

2/14/2003 



o Alegerea materialelor pentru construcţia 

aparaturii de transfer de căldură se face şi în 

funcţie de λ: 

– pt. accelerarea transferului termic se utilizează 

materiale cu valori λ ridicate (metale, aliaje), 

– pt. reducerea sau inhibarea transferului se utilizează 

materiale cu valori λ scăzute (materiale izolante). 

– în procesele de transfer termic este necesară 

cunoaşterea sau determinarea conductivităţii fluidelor, 

mărime necesară pentru calculul coeficientului global 

de transfer termic. 


5

2/14/2003 



o Conductivitatea termică a gazelor: 

– Deducere pe baza teoriei cinetico-moleculare; 

– Variatia cu T (legea lui Sutherland): 

λ 

T 

= 

λ 

0 

273 

T 

+ 

+ 

C 

C 

273 

– în care λ T este conductivitatea la temperatura 

T, λ 0 este conductivitatea la 273 K, T este 

temperatura absolută, iar C este o constantă 

caracteristică fiecărui gaz. 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

T 


⎞ 

⎟ 

⎠ 

3 

2 

(35) 

6

Aer 

Gazul 

Hidrogen 

Azot 

Oxigen 

2/14/2003 



Valorile λ 0 şi C din ecuaţia (35) 

λ 0 

[W/(m.K)] 

0,1594 

0,0243 

0,0234 

0,0234 

C 

[K] 

94 

102 

122 

144 

Amoniac 

Dioxid de sulf 

Clor 

Gazul 

Oxid de carbon 


λ 0 

[W/(m.K)] 

0,0215 

0,0200 

0,0077 

0,0072 

C 

[K] 

156 

626 

396 

351 

7

2/14/2003 



o Conductivitatea termică a lichidelor 

– Conductivitatea termică a lichidelor este 

funcţie de temperatură şi de presiune. 

–Cu excepţia apei şi glicerinei, conductivitatea 

termică a lichidelor scade cu creşterea 

temperaturii. 

– Conductivitatea termică a soluţiilor apoase 

este mai redusă decât a apei şi scade cu 

creşterea concentraţiei solutului. 


8

Conductivitatea termica, λ/1,16 W/(m 2 .K) 

2/14/2003 

26 

24 

22 

20 

18 

16 

14 

12 

10 



0 20 40 60 80 100 120 140 

Temperatura, 0 C 


61 

59 

57 

55 

53 

51 

49 

47 

45 

Conductivitatea termica, λ/1,16 W/(m 2 .K) 

1 - glicerina anhidra; 

2 - acid formic; 

3 - metanol; 

4 - etanol; 

5 - anilina; 

6 - acid acetic; 

7 - acetona; 

8 - butanol; 

9 - nitrobenzen; 

10 - benzen; 

11 - toluen 

12 - xilen; 

13 - ulei de vaselina; 

14 - apa (pe ordonata din dreapta). 

9

2/14/2003 



o Conductivitatea termică a materialelor solide 

– λ pentru solide are valori foarte diferite, 

funcţie de natura şi proprietăţile mat. 

– Funcţie de valoarea λ, solidele se împart în: 

• materiale izolante λ = 0,02 – 0,12 W.m -1 .K -1 

• materiale refractare λ = 0,60 – 3,50 W.m -1 .K -1 

• materiale metalice λ = 8,70 – 458 W.m -1 .K -1 


10

2/14/2003 



o Umiditatea măreşte mult conductivitatea 

termică a materialelor; conductivitatea 

termică a materialului umed este mai mare 

decât suma conductivităţilor apei şi 

materialului uscat. 

oPentru materialele poroase, 

conductivitatea termică scade cu creşterea 

porozităţii (a densităţii aparente), tinzând 

către conductivitatea termică a aerului 

(0,023 W.m -1 .K -1 la 20 0 C). 


11

2/14/2003 



o Conductivitatea acestor materiale se poate 

calcula cu relaţia: 

⎛ 3λ 

⎞ p 

1− 

⎜1− 

⎟ ⋅ε 

⎜ λ λ ⎟ 

λ λ 

⎝ 

2 m + p 

≅ 

⎠ 

m 

(39) 

⎛ λ ⎞ 

⎜ 

3 m 1+ 

−1⎟ 

⋅ε 

⎜ λ λ ⎟ 

⎝ 

2 m + p ⎠ 

– λm = conductivitatea materialului propriu zis, 

– λp = conductivitatea fluidului din pori, 

– ε = porozitatea (fracţia de goluri) materialului. 


12

2/14/2003 



o λ creşte aproximativ liniar cu creşterea 

temperaturii după o funcţie de forma: 

λ 

T 

= λ0 

λ 1 

T 

în care coeficienţii b şi β sunt 

caracteristici fiecărui material în parte 

+ 

b 

T 


⋅ 

( + ⋅T 

) 

= λ β 

0 

(40) 

(41) 

13

2/14/2003 



o Materialele metalice au cea mai ridicată 

conductivitate termică. 

o Conductivitatea termică a metalelor pure 

este aproximativ proporţională cu 

conductivitatea electrică. 

o Aliajele metalice au o conductivitate 

termică mai scăzută decât metalele 

constituente aflate în stare pură. 


14

2/14/2003 



o Cu excepţia Cu şi Al, λ pt. metale scade cu 

creşterea temp. după o relaţie de forma: 

= λ 

λ 

( 2 

− k T − k ) 

0 1 1 2T 

o Pentru calcule aproximative, se poate 

considera o dependenţă liniară a λ de T: 

( T ) 

λ = λ 1− k 0 1 

(44) 


(43) 

15

azbest 

beton 

plută 

sticlă 

zgură 

2/14/2003 

Conductivitatea termică a unor materiale solide 

Materiale 

nemetalice 

azbociment 

cărămidă 

lemn de fag 

lemn de brad 

nisip uscat 

polistiren 

poliuretan 

rumeguş 

vată minerală 

vată de sticlă 

λ 

[W/(m.K)] 

0,15 - 0,21 

0,35 

1,28 

0,69 – 0,81 

0,23 – 0,41 

0,17 – 0,35 

0,35 – 0,81 

0,04 – 0,05 

0,04 

0,04 

0,07 – 0,09 

0,70 - 0,81 

0,07 

0,03 - 0,07 

0,22 - 0,29 

alamă 

argint 

bronz 

cupru 

fontă 

grafit 

nichel 

oţel (1%C) 

oţel inox 

plumb 

staniu 

tantal 

zinc 

Materiale 

metalice 

aluminiu 

cadmiu 


T 

[K] 

303 

373 

373 

303 

291 

373 

373 

373 

373 

291 

293 

373 

373 

291 

373 

λ 

[W/(m.K)] 

113 

207 

416 

189 

94 

378 

49 

151 

59 

45 

16 

33 

59 

55 

110 

16

2/14/2003 

Transfer termic conductiv în 

regim staţionar 

oRegimul staţionar este definit prin 

constanţa în timp a câmpului de 

temperatură. 

o Temperatura oricărui punct din sistem 

rămâne constantă, fluxul termic care trece 

prin orice secţiune a sistemului este 

constant, fluxurile care trec prin 

suprafeţele izoterme sunt egale şi 

acumularea de căldură în sistem este nulă. 


17

2/14/2003 



oCondiţia de staţionaritate se scrie: 

o În condiţii de regim staţionar ecuaţia (27): 

o devine: 

∂T 

∂t 

2 2 2 

∂T 

⎛ ∂ T ∂ T ∂ T ⎞ 

ρ ⋅ c p = λ 

= ∇ 

2 2 2 

t ⎜ + + 

x y z ⎟ λ 

∂ ⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠ 

= 

0 

a ∇ 

2 

T = 

0 


2 

T 

(45) 

(27) 

(46) 

18

2/14/2003 



o Întrucât difuzivitatea termică a este 

diferită de zero, (46) se scrie: 

∇ 

2 

2 

∂ T ∂ T ∂ T 

T = + + = 0 

∂x 

2 

∂y 

2 

∂z 

2 

(47) 

oEcuaţia (47) poate fi rezolvată analitic 

pentru câteva cazuri particulare care 

prezintă importanţă practică. 

2 


2 

19

2/14/2003 

Transfer termic prin pereţi plani 

o Se consideră (fig) un 

perete plan, omogen, a 

cărui suprafaţă este 

infinit mare 

comparativ cu 

grosimea δ a acestuia. 

o Transferul termic are 

loc unidirecţional, pe 

direcţia x, normală la 

suprafaţă peretelui. 

simpli 

q x 


T 1 

x 1 

δ 

λ 

x 2 

T 2 

20

Transfer termic prin pereţi plani simpli 

oEcuaţia (47) se scrie: 

oDupă o primă integrare rezultă: 

de unde printr-o nouă integrare se obţine: 

ecuaţie care arată că variaţia temperaturii în 

interiorul peretelui este liniară dacă λ este 

constant în raport cu temperatura 

2/14/2003 

dT 

= 

dx 

k1 

T + 


2 

d T 

= 0 

(48) 

dx 

2 

(49) 

= k x k 1 2 

(50) 

21


o k 1 şi k 2 se obţin din cond. la limită: 

o Înlocuind prima condiţie în (50) se obţine: 

o Din a 2-a condiţie şi k 2 înlocuite în (50) şi 

ţinând cont de (49), se obţine: 

2/14/2003 

pentru 

pentru 

k 

1 

2 

x 

x 

= 

0, 

= δ , 

1 

T 

T 

= T 

= T 


1 

2 

(51) 

T k = (52) 

dT 

dx 

T 

− T 

δ 

1 2 

= = − 

(53) 

22


oEcuaţia (53) = expresia grad(T) pentru un 

perete plan, omogen, de grosime δ. 

o Înlocuind (53) în legea lui Fourier (22) se 

obţine relaţia de calcul a fluxului unitar: 

o Fluxul termic total va fi: 

2/14/2003 

Q s 

= 

q 1 − = λ 

δ 

λ 

A 

δ 

( ) T T 


2 

λ 

δ 

( T − T ) = AΔT 

1 

2 

(54) 

(55) 

23

ΔT total 

2/14/2003 

Transferul termic prin 

pereţi plani compuşi 

λ 1 λ 2 λ n 

δ 1 δ 2 δ n 

T 0 T 1 T 2 T n-1 T n 

ΔT 1 

ΔT 2 

ΔT n 

q 


Se consideră un perete 

format din n straturi 

paralele cu: 

- grosimile δ1, δ2, ..., δn, -conductivităţile termice λ1, λ2, ..., λn -căderile de temperatură 

corespunzătoare ∆T1, ∆T2, ..., ∆Tn -T0şi Tn = temperaturile pe 

feţele exterioare ale 

peretelui 

24

2/14/2003 



o Regimul fiind staţionar, fluxurile termice 

transmise prin fiecare strat sunt egale 

între ele: 

λ 

δ 

ΔT + ΔT 

+ + ΔT 

= T − 0 

1 

1 

... (61) 

1 2 

n 

n 

λ 

λ 

ΔT 

= 2 ΔT 

= ... = n ΔT 

= 

1 

2 

n 

δ 

2 

δ 


n 

T 

q 

(62) 

25

2/14/2003 



o Din (62) se poate scrie: 

ΔT 

1 

ΔT 

ΔT 

2 

n 

= 

= 

= 

T 

0 

T 

T 

1 

− T 

− T 

n−1 

− T 

= 

= 


2 

n 

δ1 

q 

λ 

δ 2 q 

λ 

.......... .......... .......... .. 

1 

= 

1 

2 

δ n q 

λ 

n 

(63) 

26

2/14/2003 



o Adunând ecuaţiile (63) membru cu membru: 

T 

− 

T 

care se poate scrie: 

T 

0 

n 

= 

q 

n 

∑ 

i 

i= 1 i 

δ 

λ 

− T 

T − T 

n sau = 0 n ⋅ 

q = 0 Q 

n 

n 

i 

∑ 

∑ 

i= 1 i 

i= 1 i 


λ 

i 

A 

(64) 

δ δ 

(64*) 

λ 

27

2/14/2003 



o Notând căderea totală de temperatură cu ∆T, (64*) se 

poate scrie: 

unde: 

k 

Q = k ⋅ A⋅ 

ΔT 

= 

1 

n 

∑ 

i 

i= 1 i 

coeficientul total de transfer de căldură conductiv. 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

m 

W 


2 

⋅ 

K 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

(65) 

δ (66) 

λ 

28

2/14/2003 



o Inversul acestuia este rezistenţa totală la 

transmisia căldurii prin conducţie, 

exprimată ca sumă a rezistenţelor termice 

parţiale (raportate la unitatea de 

suprafaţă): 

R 

T 

n 

1 δ ⎡m ⋅ K 

= = ∑ 

i 

⎢ 

k λ = ⎣ W 

i 1 i 


2 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

(67) 

29

2/14/2003 



Din ecuaţiile prezentate rezulta: 

o pentru aceeaşi grosime δ a peretelui, 

căderea de temperatură va fi cu atât mai 

mare cu cât λ este mai mic; 

o pentru materiale cu acelaşi λ, căderea de 

temperatură va fi proporţională cu 

grosimea stratului, δ. 


30

2/14/2003 

Transferul termic prin pereţi 

r e 

r + dr 

r 

r i 

cilindrici simpli 

T i 

T 

T + dT 

T e 


Considerând un perete 

cilindric omogen de 

lungime l, având raza 

interioară r i şi raza 

exterioară r e în care 

căldura se transmite din 

interior spre exterior 

(deci T 1 > T 2 ), ec. Fourier 

pt. transfer termic 

conductiv unidirecţional 

se scrie (în coordonate 

cilindrice): 

31

2/14/2003 



Q s 

oSuprafaţa normală la fluxul termic este 

şi (68) se scrie: 

A = 2πrl 

Q s 

−λA 

dT 

= (68) 

= 

dr 

−2πλrl 

dT 

dr 


(68a) 

(69) 

32

2/14/2003 



o Separând variabilele şi integrând, 

considerând că λ este independent de T: 

o Rezolvând integralele şi grupând termenii 

se obţine în final: 

s 

r 

∫ 

r 

2 

1 

dr 

Q πλ (70) 

r 

= 

−2 


l 

T 

2 

∫ 

T 

1 

dT 

33

2/14/2003 


Q s 

= 


2πλl 

unde d 1 şi d 2 sunt diametrele 

corespunzătoare razelor r 1 şi r 2 . 

oDacă în (71) se înmulţeşte şi numitorul şi 

numărătorul cu grosimea peretelui cilindric, 

(r 2 – r 1), rezultă: 

( T − T ) πλl( 

T − T ) 

ln 

1 

r 

r 

2 

1 

2 

= 

ln 


1 

d 

d 

2 

1 

2 

(71) 

34

2/14/2003 


Q 

= 

s 

λ 


unde prin A m s-a notat aria medie 

logaritmică a suprafeţei de transfer 

termic: 

= 

λ 

π 

l( 

r − r ) ⋅( 

T −T 

) 

2 1 1 2 

( r − r ) ln( 

r r ) 

( A − A ) ⋅( 

T −T 

) ΔT 

2 1 1 2 = λ ⋅ A 

( r r ) ( A A ) m 

− ln 

Δr 

2 

2 

1 

2 

1 

2 


1 

2 

1 

= 

(72) 

35

2/14/2003 



A m 

= 

A 

( ) 

oDacă în relaţia (71) se adoptă l = 1 m, fluxul 

2 

termic specific pe unitate de lungime va fi: 

q 

2 

= πλ 

ln 

− 


2 

A 

1 

ln A A 

( T − T ) 1 2 

( r r ) 

2 

1 

1 

[W/m] 

(73) 

(74) 

36

2/14/2003 



oEcuaţia (71) scrisă sub forma: 

T 

1 

− 

T 

Q r s ⋅ ln 

2πλl r 

permite calculul temperaturii în interiorul 

peretelui la o rază oarecare, r x: 

T 

x 

= 

T 

1 

− 

x 

= 

Q r T − T r 

s ⋅ ln x = T − 1 2 ⋅ ln 

1 

2 l r ln r 

πλ 

1 


x 

1 

x 

( r r ) 2 1 1 

(75) 

(76) 

37

2/14/2003 



oPentru pereţi nu prea groşi calculul se 

poate simplifica, înlocuind raza medie 

logaritmică cu raza medie aritmetică: 

r ma = ½(r e + r i ); 

oPentru pereţi subţiri, în locul razei medii se 

poate folosi r e sau r i. 


38

2/14/2003 



o Aceste simplificări introduc următoarele 

erori: 

– sub 10% când re/ri < 3,2 şi se lucrează cu 

media aritmetică; 

– sub 10% când re/ri < 1,24 şi se lucrează cu re 

sau ri; 

– sub 1% când re/ri < 1,5 şi se lucrează cu media 

aritmetică; 

– sub 1% când re/ri < 1,02 şi se lucrează cu re 

sau ri. 


39

2/14/2003 

r n 

r n-1 

Transfer termic prin pereţi 

r 3 

r 2 

r 1 

cilindrici compuşi 

T 1 

T 2 T n-1 T n 


Se consideră un perete 

format din n straturi 

cilindrice concentrice cu 

- grosimile δ 1 , δ 2 , ..., δ n-1 , 

-cond.termice λ 1 , λ 2 , ..., 

λ n-1 

-căderile de temp. coresp. 

∆T 1 , ∆T 2 , ..., ∆T n-1 

-T 1 şi T n = temp. pe faţa 

interioară, respectiv 

exterioară a peretelui 

40

2/14/2003 



ΔT + ΔT 

+ ... + ΔT 

= T − T 

1 2 

n−1 

1 n (77) 

o Regimul fiind staţionar, fluxurile termice 

transmise prin fiecare strat sunt egale 

între ele: 

q q qn 

= = = = ... 

1 

2 


q 

(78) 

41

2/14/2003 


q 

q 

1 

2 


= 

= 

s1 

s2 

2 

2 

2 

1 

ln 

ln 

( T − T ) 1 2 

( r2 

r ) 1 

( T 2 2 − T ) 3 

( r r ) 

.......... .......... .......... ......... 

q 

n 

= 

Q 

l 

Q 

l 

Q 

l 

sn 

= 

= 

= 

πλ 

πλ 

πλ 

n− 

ln 

( T − T ) 

1 n−1 

n 

( r r ) 

n−1 


3 

n 

2 

(79) 

42

2/14/2003 



oEcuaţiile (79) puse sub forma: 

T 

T 

1 

2 

− T 

− 

n−1 

2 

3 

( r r ) 

( r r ) 

.......... .......... .......... . 

T 

T 

− T 

= 

= 

n 

q ⋅ ln 2 

2πλ 

= 

( r r ) 

n−1 

n−1 


1 

q ⋅ ln 3 

2πλ 

2 

q ⋅ ln n 

2πλ 

1 

2 

(80) 

43

T 

1 

2/14/2003 



şi adunate membru cu membru conduc la 

expresia: 

− 

T 

n 

= 

q ⎡ln 

⋅ ⎢ 

π ⎣ 

( r ) ( ) ( ) ⎤ 

2 r1 

ln r3 

r2 

ln rn 

rn−1 

+ + ... + ⎥⎦ 

2 λ λ 

λ 

1 

2 

n−1 

de unde rezultă expresia fluxului unitar q, 

respectiv a fluxului total Qs: 


(81) 

44

2/14/2003 


q 

Q 


= n 

s 

π 

( T −T 

) 

1 

1 

1 

∑ ln 1 

2 1 

− 

n 

r 

⋅ i+ 

λ r 

i= i i 

π 

= 1 

∑ − n 

⋅l 

2 

⋅ 

1 

λ 

( T −T 

) 

1 

i+ 

1 

i= 1 i i 


⋅ 

ln 

r 

n 

r 

(82a) 

(82b) 

45

2/14/2003 


regim nestaţionar 

o În cazul proceselor nestaţionare, 

temperatura şi fluxul termic într-un punct 

oarecare sunt mărimi variabile în timp. 

o În industriile de proces, conducţia în regim 

nestaţionar apare în cazul pornirii, opririi 

sau modificării de sarcină a instalaţiilor 

termice care funcţionează predominant în 

regim staţionar. 


46

2/14/2003 



o La încălzirea sau răcirea mediilor 

conductive, fluxul termic depinde de: 

–rezistenţele termice interne 

– rezistenţele termice de suprafaţă, 

o Cazurile limită sunt reprezentate de: 

– corpurile cu rezistenţe interne neglijabile 

– corpurile cu rezistenţe de suprafaţă 

neglijabile. 


47

2/14/2003 



o Corpurile cu rezistenţe termice interne 

neglijabile: 

– conductivitate termică relativ ridicată 

–suprafaţă exterioară de contact cu mediul 

ambiant mare în comparaţie cu volumul corpului, 

o Temperatura T a corpului la momentul t se 

determină din ecuaţia: 

T 

T 

0 

− T 

f 

− T 

f 

= 

exp 

( − Bi ⋅ Fo ⋅ G) 


(83) 

48

ounde: 

2/14/2003 



α 

Bi 

λ 

2 

⋅l 

a ⋅t 

A⋅ 

l 

= ; Fo = ; G = 

l V 

oBi =criteriul Biot, 

o Fo = criteriul Fourier (timpul relativ), 

o G =factor geometric 

– G = 1 pentru plăci infinite, 

– G = 2 pentru cilindri infiniţi şi bare pătrate infinite, 

– G = 3 pentru cuburi şi sfere. 


(84) 

49

2/14/2003 



oT0 = temperatura iniţială uniformă a corpului, 

oTf = temperatura fluidului cu care corpul este pus 

în contact, 

o α = coeficientul individual de transfer termic 

între corp şi fluid (W.m-2 .K-1 ), 

o l = raza suprafeţei sau semigrosimea corpului (m), 

o a = difuzivitatea termică a corpului (m2 .s-1 ), 

o λ = conductivitatea termică a corpului (W.m-1 .K-1 ), 

oA =suprafaţa corpului (m2 ), 

o V = volumul corpului (m3 ). 


50

2/14/2003 



o Corpurile cu rezistenţe termice de 

T 

T 

0 

suprafaţă neglijabile - temperatura 

suprafeţei, T s, este constantă în timp şi 

egală cu temperatura fluidului, T f . 

– În cazul unei plăci plane infinite, de grosime L, 

cu temperatura iniţială uniformă T 0 , variaţia în 

timp a temperaturii în planul central (z = 0) 

− T 

− T 

este de forma: 

s 

s 

= 

4 

π 

n 

∑ 

i= 

1 

1 ⎛ nπ 

⎞ ⎡⎛ 

nπ 

⎞ 

sin⎜ 

z⎟ 

exp⎢⎜ 

⎟ 

n ⎝ L ⎠ ⎢⎣ 

⎝ 2 ⎠ 


2 

⎤ 

⋅ Fo⎥ 

; 

⎥⎦ 

n 

= 

1, 

2, 

3,..., 

(85) 

51

2/14/2003 

TRANSFER TERMIC RADIANT 


52

TRANSFER TERMIC PRIN RADIAŢIE 

o Energia radiantă, de natură termică, este emisă 

de orice corp aflat la T > 0 K 

o În procesele industriale în care intervine 

transferul termic, este important transferul de 

energie radiantă la temperaturi cuprinse între 

700 – 2200 K. 

oDeşi emisia de radiaţii termice are loc la orice 

temperatură, iar transferul radiant decurge 

concomitent cu transferul conductiv şi convectiv, 

la temperaturi normale (300 – 400 K), ponderea 

sa în transferul global de căldură este neglijabilă. 

2/14/2003 


53


2/14/2003 

Q R 

Q D 

= Q + QR 

+ Q 

A + R + D = 1 

Q D 

= 

Q 

AQ 

Q A 

+ 

RQ 

+ 


o Energia radiantă Q 

incidentă pe suprafaţa 

unui corp se distribuie 

astfel: 

DQ 

– o parte absorbită (QA), – o parte reflectată (QR), – restul difuzată (QD), străbătând corpul. 

= ( A + R + D) 

⋅Q 

A (86) 

54


oA= coeficientul de absorbţie, 

oD= coeficientul de reflecţie 

oR= coeficientul de difuzie (permeabilitate) 

oAceşti coeficienţi iau valori cuprinse între 

0 şi 1, în funcţie de: 

– natura corpului, 

– starea suprafeţei sale, 

–temperatură, 

– spectrul radiaţiei incidente. 

2/14/2003 


55


o Corpul negru absoarbe toate radiaţiile incidente: 

A = 1; R = D = 0. 

o Corpul alb reflectă toate radiaţiile incidente: 

R = 1; A = D = 0. 

o Corpul diaterm este transparent pentru toate 

radiaţiile incidente: D = 1; A = R = 0. 

o Corpurile cenuşii absorb pe toate lungimile de 

undă o anumită proporţie din radiaţiile incidente. 

Aceste corpuri au A < 1 = constant. 

o Corpurile colorate absorb selectiv radiaţia 

incidentă pe anumite lungimi de undă. 

2/14/2003 


56


o Corpurile lucioase reflectă parţial radiaţiile 

incidente într-o direcţie determinată, unghiul de 

incidenţă fiind egal cu unghiul de reflecţie. 

o Corpurile mate reflectă parţial radiaţiile 

incidente în toate direcţiile. 

o Radiaţia monocromatică corespunde unei anumite 

frecvenţe (υ) sau lungimi de undă (λ), între cele 

două mărimi existând relaţia: 

Viteza luminii 

2/14/2003 

λ 

c 

= (87) 

υ 


57


o Radiaţia integrală cuprinde întreg spectrul de 

radiaţii cu lungimi de undă variind de la zero la 

infinit. 

o Puterea totală de emisie (E) = cantitatea de 

energie radiată de un corp în unitatea de timp, pe 

unitatea de suprafaţă, în toate direcţiile şi pe 

toate lungimile de undă: 

2/14/2003 

E = 

– Q = energia radiată de corp în unitatea de timp, 

–A =suprafaţa de radiaţie. 

Q 

A 


[W/m 

2 

] 

(88) 

58


o Factorul de emisie (e) = raportul dintre puterea 

totală de emisie a corpului (E) şi puterea totală de 

emisie a corpului negru (E0 ): 

E 

e = 

(89) 

E0 

o Intensitatea de radiaţie (I λ ) = energia radiată de 

unitatea de suprafaţă a unui corp, în unitatea de 

timp, pe o anumită lungime de undă, λ: 

2/14/2003 

I = 

λ 

dE 

d 

λ 

[W/m 

3 


] 

(90) 

59


oDacă se cunoaşte legea de distribuţie a 

energiei radiante în funcţie de lungimea de 

undă, se poate determina puterea totală de 

emisie a corpului: 

2/14/2003 

E 

= 

∞ ∞ 

∫ = ∫ dE 

0 0 


λ λd I 

(91) 

60

2/14/2003 

LEGILE RADIATIEI TERMICE 

o Legea lui Planck 

legea de distribuţie a intensităţii de radiaţie I λ , 

funcţie de λ, pentru corpul negru, la diferite 

temperaturi: 

k 

= 1 ⋅ 

λ 

5 

e 

k2 

/ T 

−1 

1 

I [W/m 

3 

λ 

λ 

k 1 = 0,374.10 -15 W.m 2 -prima constantă a lui Planck 

k 2 = 1,4388.10 -2 m.K -a doua constantă a lui Planck 


] 

(92) 

61

2/14/2003 


o Din legea lui Planck : 

– intensitatea de radiaţie creşte cu creşterea 

temperaturii şi că prezintă un maxim pentru fiecare 

temperatură T. 

–valoarea lui λmax se obţine prin anularea primei derivate 

a intensităţii de radiaţie în raport cu lungimea de undă: 

dI const 

λ = 0 ⇒ λ = max 

d 

T 

λ 

– (93) = legea de deplasare a lui Wien: maximul 

intensităţii de radiaţie se deplasează cu creşterea 

temperaturii către lungimi de undă mai mici 


(93) 

62

2/14/2003 


o Legea Stefan – Boltzmann stabileşte dependenţa 

puterii totale de emisie a corpului negru (E0 ) de 

temperatura sa: 

0 

∞ 

∫ 

0 

E = I dλ 

= c 

λ 

c0 = 5,67 W.m-2 .K-4 = coeficientul de radiaţie al 

corpului negru. 

oPt.corpurile cenuşii, legea Stefan – Boltzmann: 

E 

= 

e ⋅ E 

0 

= 

e ⋅ c 

– e = c/c0 < 1 - factorul de emisie al corpului cenuşiu, 

– c - coeficientul de radiaţie al corpului cenuşiu 

0 

0 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

T 

100 

⎞ 

⎟ 

⎠ 


4 

⎛ T ⎞ 

⋅ ⎜ ⎟ 

⎝100 

⎠ 

4 

= 

[W/m 

c 

2 

] 

4 

⎛ T ⎞ 

⋅ ⎜ ⎟ 

⎝100 

⎠ 

(94) 

(95) 

63

2/14/2003 


o Legea lui Kirchhoff: raportul dintre puterea 

totală de emisie (E) şi coeficientul de absorbţie 

(A) este acelaşi pentru toate corpurile, egal cu 

puterea totală de emisie a corpului negru (E 0 ), şi 

este funcţie numai de temperatură: 

E 

A 

1 

1 

= 

E 

A 

2 

2 

= 

... 

= 

E 

A 

0 

0 

= 

E 

0 

o Consecinţă: pentru un corp în echilibru TD, 

coeficientul de absorbţie A este egal cu factorul 

de emisie e. 

= 

c 

⎛ 

⋅⎜ 

⎝ 

T 


0 

100 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

4 

= 

f 

( T ) 

(96) 

64

2/14/2003 

Transfer termic radiant între 

corpuri solide 

o Între 2 corpuri solide având T diferite se 

stabileşte un schimb reciproc de emisii şi 

absorbţii de energii radiante, fluxul radiant al 

corpului cu T mai mare fiind mai mare. 

oDupă un timp, între corpuri se stabileşte un 

echilibru termic: T celor două corpuri se egalează 

şi potenţialul transferului se anulează. 

o Transferul de căldură încetează, dar corpurile 

continuă să emită şi să absoarbă energie radiantă, 

fiecare corp cedând tot atâta energie câtă 

primeşte. 


65

2/14/2003 



o Se consideră 2suprafeţe negre plan - 

paralele, având temp. T 1 şi respectiv T 2. 

o Emisia de energie în unitatea de timp 

(fluxul termic) pentru condiţia T 1 > T 2 va fi: 

Q 

Q 

s, 

1 

s, 

2 

= 

= 

c 

c 

0 

0 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

T 

1 

100 

T 

2 

100 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

A 

A 


4 

4 

(97a) 

(97b) 

66

2/14/2003 



o Fluxul termic net (primit de suprafaţa cu 

temperatura mai mică) va fi: 

Q = Q − Q 

s s s 

, 1 

, 2 

= 

c 

0 

⎡⎛ 

⎢⎜ 

⎢⎣ 

⎝ 

T 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

− 


1 

100 

4 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

T 

2 

100 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

4 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 

⋅ 

A 

(98) 

67

2/14/2003 



oDacă cele două corpuri au o poziţie 

arbitrară în spaţiu, fluxul termic net va fi: 

⎡ 

4 

4 

⎛ T1 

⎞ ⎛ T2 

⎞ 

Qs = Qs, 

1 − Qs, 

2 = c0 

⎢⎜ 

⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ⋅ A1 

⋅ k1, 

2 (99) 

⎢⎣ 

⎝100 

⎠ 

⎝100 

⎠ 

ok 1,2 - factor geometric, (coeficient mutual 

de iradiere), reprezentând fracţia din 

radiaţia emisă de suprafaţa A 1 cu temp. T 1 , 

pe care o primeşte suprafaţa A 2 cu temp. 

T 2. 


⎤ 

⎥⎦ 

68

2/14/2003 



o În cazul unor suprafeţe reale, fluxurile 

Q s 

= 

radiante se corectează prin introducerea 

coeficienţilor de emisie e: 

c 

= 

0 

⋅ 

c 

e 

0 

⋅ 

2, 

1 

e 

⎡ 

⎢ 

⎢⎣ 

1, 

2 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎡⎛ 

⎢⎜ 

⎢⎣ 

⎝ 

T 

1 

100 

T 

1 

100 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

4 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

− 

4 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

− 

T 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

2 

100 

T 


2 

100 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

4 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⋅ 

4 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 

A 

1 

⋅ 

⋅ 

A 

k 

1 

⋅ 

2, 

1 

k 

1, 

2 

= 

(100) 

69

2/14/2003 



oEcuaţia (100) se poate scrie şi sub forma: 

4 

4 

⎛ T1 

⎞ ⎛ T2 

⎞ 

Qs = Qs, 

1 − Qs, 

2 = c0 

⎢⎜ 

⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ⋅ A1 

⋅ K (101) 

1, 

2 

în care K 1,2 - coeficient care include 

influenţa: 

– factorului geometric 

–coeficienţilor de emisie. 

⎡ 

⎢⎣ 

⎝100 

⎠ 

⎝100 

⎠ 


⎤ 

⎥⎦ 

70

2/14/2003 

Radiaţia gazelor şi vaporilor 

o Gazele şi vaporii prezintă particularităţi în ceea 

ce priveşte absorbţia şi emisia radiaţiei termice. 

o Solidele = spectre continue de radiaţie, 

o Gazele = caracter selectiv, absorbind şi emiţând 

energia numai în anumite intervale de lungimi de 

undă, în altele fiind transparente (diaterme). 

o Absorbţia şi radiaţia energiei de către gaze nu 

are loc în stratul superficial, ca în cazul solidelor, 

ci în volum, datorită drumului mediu liber al 

moleculelor de gaz mult mai mare decât distanţa 

între particulele corpului solid. 


71

2/14/2003 

Radiaţia gazelor şi vaporilor 

o Gazele mono- şi diatomice (He, Ar, O 2, N 2, 

H 2) = practic complet transparente pentru 

radiaţia termică, 

o Gazele poliatomice (CO 2, H 2O, NH 3, SO 2 

etc.) posedă o mare capacitate de emisie 

sau absorbţie a radiaţiei termice. 


72

fdtou-curs-09 - Cadre Didactice

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?