Functia arccotangenta.pdf

Funcția f : k k
Funcția arccotangentă
cos x
, f x ctgx este o
sin x
funcție periodică de perioadă principală T . Studiul acestei funcții
0
se realizează pe un interval de lungime T . Acest interval este
0
0, .
Tabelul de valori al funcției ctg : 0,
x 0
6
4
arcctgx / 3 1
3
3
3
1
2
2
3
Reprezentarea grafică a funcției
3
4
5
6
0
3
3
1 3 /
ctg : 0,
Reprezentarea grafică a funcției ctg : k k
Funcția ctg : k k
restricția sa la intervalul 0, este inversabilă .
Notăm funcția inversă arcctg : 0,
arcctgx y ⇔ctgy x
2
nu este inversabilă dar
dată prin
Tabelul de valori al funcției arcctg : 0,
x 3 1
arccosx /
5
6
3
4
3
3
0
2
3
2
3
3
3
1 3
4
0
6
/

1. Reprezentarea grafică
2. Intersecția cu axele de coordonate :
G Ox ⇨ graficul nu taie axa Ox ;
arcctg
G Oy A 0, arcctg ;
2
3. Ecuația arcctgx 0 ⇨ x ;
4. Paritate : Funcția arccotangentă nu este nici pară , nici impară .
5. Simetrie :
arcctg x arcctgx , x ⇨ graficul este
simetric în raport cu punctul de coordonate 0,
2
6. Monotonie : arcctg pe ⇔ ( ) x , x , x x ⇨
1 2
1 2
arcc tg x arcc tg x
1 2
7. Semnul funcției : arcctg x 0 , x ⇨ graficul este situat
deasupra axei Ox ;
8. Concavitate/convexitate : arcctg concavă pe ,0 ⇔
( ) ( ) , ( ) x , x , 0
arcctg q x q x q arcctg x q arcctg x
1 2
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) q , q 0 , q q 1
1 2
Caz particular ( definiția lui Jensen ) :
x x arcctg( x ) arcctg ( x )
1 2 1 2
arcctg
2
2
3
,
1 2
, ( ) x , x , 0
1 2
arcctg convexă pe 0,
⇔arcctg q x q x q arcctg( x ) q arcctg( x ) , ( ) x , x 0,
( ) q , q 0 , q q 1
1 2
1 2
1 1 2 2 1 1 2 2
4
,
1 2
Caz particular ( definiția lui Jensen ) :
x x arcctg( x ) arcctg ( x )
1 2 1 2
arcctg
2
, ( ) x , x 1 2 0,
2
x 0 punct de inflexiune pentru că funcția trece din concavă în
convexă .
9.Bijectivitate : arcctg este bijectivă deoarece orice paralelă dusă
printr-un punct y 0,
„taie” graficul într-un singur punct .
10. Funcția inversă : f : 0, , f x ctgx
ctg arcctgx x , x
arcctg ctgx x
, x 0,
arctgx arcctgx , x
2

Exerciții
1) Să se determine x pentru care are sens expresia
1
arcctg 2 ;
x 9
Soluție
1
g : 0, , g x arcctgx ⇨ ⇔
2
x 9
2
x 9 ⇔ x 3 ⇔ x \ 3 ∎
5
2
x 9 0 ⇔
2) Să se calculeze b arctg 1 arcctg 1
;
Soluție
arctg 1 arctg 1
4
3
arcctg 1 arcctg 1
4 4
3 2
⇨ b arctg 1 arcctg 1 ∎
4 4 4 2
6

3) Să se calculeze media aritmetică și media geometrică a numerelor
1
3
a sin arcsin arcctg 3 și b tg arccos 0 arctg
2
3
Soluție
1
1
arcsin x , x ,
2
2 2
⇔ sinx
, x ,
2
2 2
⇔ x ⇨
6
1
arcsin
2 6
arcctg 3 x , x 0; ⇔ ctgx 3 , x 0; ⇔ x ⇨
3
arcctg 3
6
1 2
⇨ a sin arcsin arcctg 3 sin sin sin
2 6 6 6 3
3
2
arccos0 x , x
0,
⇔ cosx 0 , x
0,
⇔ x ⇨
2
arccos0
2
3
arctg x , x ,
3 2 2
3
⇔ tg x , x , ⇔
3 2 2
3
x ⇨ arctg
6 3 6
3 2
⇨ b tg tg tg tg
2 6 6 6 3
3
3
a b 2 3 3
m
a
2 2 4
7
3
3 3 3 6
m ab 3 ∎
g
2 2 2 2
8

4) Calculați 3
arcctg
Soluție
arcctg x arcctg x ⇨ arcctg 3 arcctg 3
5
∎
6 6
9
arctg
Soluție
arcctg
1
3
arctg x arctgx ⇨ arctg
3 arctg 3
3
arcctg
1
arcctg
3
3
3
3
⇨ arctg
3
arcctg
1 2
∎
3 3 3 3
5) Calculați 3
10

6) Calculați : a) tg arcctg 3
; b)
Soluție
a) tg arcctg3 ?
arcctg 3 x ⇨ ctg x 3
1
ctg arctg ;
2
1 1
1
tg x ⇔ tg arcctg 3
∎
ctg x 3
3
1
b) ctg arctg ?
2
1
arctg x ⇨ tg x
2
1
1
⇨ ctg x
2
tg x
1
1
2
2 ⇨
1
ctg arctg ctg x
2
2
∎
11
7) Să se determine x care verifică egalitatea 3 arcctg x
2
Soluție
3 arcctg x ⇨ arcctg x ⇨ ctg arcctg x ctg
2
6
6
⇔
x ∎
3
12

8) Să se calculeze : a) 3
arcctg ; b) 3
arcctg ; c) arcctg 0 ;
1
3 1
d) arcctg 1;
e) cos
arcctg
; f) ctg arcctg arcctg ;
2
2 3
Soluție
Valorile remarcabile ale funcției arccotangentă :
a) arcctg 3
;∎ b) 5
arcctg 3
6
d) arcctg 1 ; ∎
4
; ∎ c) arcctg 0 ; ∎
6
2
13
e)
1
cos arcctg
?
2
1
arcctg x
2
1
ctgx ⇔
2
⇔
1
⇔ ctgx 0 ⇨ x ,
2
2
, x 0,
cosx 1
sin 2
x 2
2 2
4cos x 1 cos x ⇔
1 1 5
cosx
5 5 5
x ,
2
⇨ cosx 0 ⇨
1
5
cos
arcctg
∎
2
5
⇨
14
2
cos x 1
2
5cos x 1 ⇔
2
cos x 1
⇔
2
2
sin x 4 1 cos x 4
2 1
cos x ⇨
5
5
cosx
⇨
5

3 1
f) ctg arcctg arcctg ?
2 3
1 1
tg a tg
b 1 ctg a ctg b
tg a b ⇔
⇔
1 tg a tg
b ctg a b 1 1
1
ctg a ctg b
ctg b ctg a
1 ctg a ctg
b
1
⇔
ctg a b ctg a ctg b 1 ctg a b
ctg a ctg
b
⇔ ctg a b
15
ctg a ctg b
ctg a ctg b 1
ctg a ctg b 1 3 1
⇨ ctg arcctg arcctg
ctg a ctg b 2 3
3 1
ctg 1 3 1 1 1
arcctg ctg arcctg
2 3
1 1
2 3
2 2
3 1 3 1 9 2 11
ctg arcctg ctg arcctg
2 3 2 3 6 6
1 6 3
∎
2 11 11