CURS MATEMATICA SEMESTRUL 1.pdf

3.Vectori liniari independenti. Vectori liniari dependenti.
Fie V un K-spaţiu vectorial şi submulţimea S = {x1,x2,…,xp} V.
Definiţie. Submulţimea de vectori S = {x1, x2, …, xp} V se
numeşte liniar independentă ( liberă sau vectorii
x1, x2, …, xn sunt liniar independenţ) dacă
egalitatea 1 1 2x
2 ... p x p 0 ,
x i K, i 1,
p ,
are loc numai dacă ... 0 .
1 2
p
O mulţime (finită sau nu) de vectori dintr-un spaţiu vectorial este liniar independentă
dacă orice sistem finit de vectori este un sistem de vectori liniar independenţi.
Definiţie. Submulţimea de vectori S = {x1, x2, …, xp} V se
numeşte liniar dependentă (legată sau vectorii x1, x2,.., xn
sunt liniar dependenţi), dacă ( ) 1, 2, …, p K
nu toţi nuli pentru care x
x ... 0 .
1 1 2 2
p x p
Remarcă: Dacă anularea unei combinaţii liniare finite, formată cu vectorii x1, x2, …, xn V,
permite exprimarea unui vector în funcţie de ceilalţi (adică existenţa măcar a unui coeficient
nenul) atunci vectorii x1, x2, …, xp sunt liniar dependenţi, în caz contrar aceştia sunt liniar
independenţi.
Teoremă. Dacă S = {x1, x2, …, xp} V este o mulţime liniar
independentă şi L(S) acoperirea liniară a lui S, atunci
orice mulţime de p + 1 elemente din L(S) este liniar
dependentă.