5. FENOMENE ELECTRICE ŞI MAGNETICE

5. FENOMENE ELECTRICE ŞI MAGNETICE
5.1 Câmpul electric
Sarcini electrice. Legea lui Coulomb. Atomii care compun toate corpurile din
natură au un nucleu, format la rândul său din protoni şi neutroni, în jurul căruia se
mişcă electronii. Nucleul atomilor are sarcină electrică pozitivă dată de sarcina
electrică pozitivă a protonilor, neutronii fiind particule fără sarcină electrică. Electronii
au sarcină electrică negativă. Sarcina electrică pozitivă a unui proton este egală în
mărime absolută cu sarcina electrică negativă a unui electron. Această mărime este o
constantă universală denumită sarcină elementară, având valoarea:
−19
e = 1,
602 ⋅10
C,
în SI unitatea de sarcină electrică fiind coulombul - C. Atomii care au pierdut unul sau
mai mulţi electroni devin ioni pozitivi ; în alte împrejurări atomii pot dobândi electroni
în exces şi devin ioni negativi. Aceste situaţii se pot întâmpla atât pentru atomii izolaţi
cât şi pentru cei care intră în constituţia moleculelor sau corpurilor macroscopice.
Legea conservării sarcinii electrice afirmă că suma algebrică a sarcinilor unui sistem
izolat rămâne constantă. Distribuţia neuniformă a sarcinilor electrice de cele două
semne între corpuri sau între părţi ale acestora determină electrizarea corpurilor.
Experienţa arată că corpurile electrizate interacţioneză cu forţe electrice: corpurile cu
sarcini de acelaşi semn se resping iar cele cu sarcini de semn contrar se atrag.
Fig. 5.1
Legea lui Coulomb exprimă forţa de interacţiune dintre două corpuri punctiforme
electrizate:
r
r
Q1Q2
r
F = . (5.1)
2
4π ε r r

162 Fenomene electrice şi magnetice - 5
În această expresie F r reprezintă forţa cu care corpul cu sarcina Q1, aflat în originea
sistemului de referinţă, acţionează asupra celui cu sarcina Q2, aflat în punctul cu
vectorul de poziţie r r , într-un mediu caracterizat de permitivitatea dielectrică ε (fig.
5.1). În SI permitivitatea se măsoară în C 2 /Nm 2 =F/m (F-farad, v. pag.165). Raportul
dintre permitivitatea mediului ε şi permitivitatea vidului ε o reprezintă permitivitatea
relativă a mediului respectiv (mărime adimensională): ε r = ε / ε o (5.2)
Pentru vid
9
= 1/4π
⋅ 9 ⋅10
ε .
ε o F/m = 8,85·10 -12 F/m iar r0
= 1
Câmpul electric. Interacţiunea dintre corpurile încărcate cu sarcini electrice se
realizează prin intermediul câmpului electric. Fiecare corp încărcat cu sarcină electrică
crează în jurul său un câmp electric care se manifestă prin acţiunea pe care o exercită
asupra altor corpuri încărcate cu sarcini electrice, aduse în câmp. Câmpul electric se
caracterizează în fiecare punct al său prin intensitatea câmpului electric. Intensitatea
câmpului electric într-un punct al câmpului este egală cu raportul dintre forţa cu care
acţioneză câmpul asupra unui corp de probă, aflat în acel punct, şi sarcina electrică a
corpului de probă:
r
r F
E = (5.3)
q
Intensitatea câmpului electric generat de un corp punctiform cu sarcina Q , la distanţa
r , are, conform relaţiilor (5.1) şi (5.3), expresia:
r Q r
E = ⋅ r
(5.4)
3
4π ε r
Fig. 5.2
Pentru reprezentarea grafică a unui câmp se utilizează linia de câmp : o curbă
tangentă în fiecare punct al său la vectorul intensitate a câmpului din acel punct şi
având sensul acestui vector. Liniile câmpului electrostatic (creat de sarcini electrice în
repaus) sunt linii deschise în sensul că pornesc de pe sarcini pozitive şi sfârşesc pe
sarcinile negative (fig. 5.2).
Fluxul elementar al câmpului electric printr-o suprafaţă se defineşte prin relaţia:

Fenomene electrice şi magnetice - 5
r r
dΦ e = E ⋅ dS
(5.5)
în care dS este aria suprafeţei elementare (suficient de mică astfel încât intensitatea
r r
câmpului să fie aceeaşi în toate punctele sale) iar dS
= dS ⋅ n în care n r este versorul
normalei la suprafaţă. Fluxul câmpului electric printr-o suprafaţă finită Σ se obţine prin
integrare pe toată suprafaţa:
Φ =
r r
EdS
(5.6)
e ∫
Σ
Se poate arăta că pentru câmpul electrostatic este valabilă teorema lui Gauss:
fluxul câmpului electric printr-o suprafaţă închisă, aflată în vid, este egal cu sarcina
din interiorul suprafeţei, împărţită la ε o :
r r
∫ EdS = q/
ε o
(5.7)
Cercul suprapus peste simbolul integralei arată că integrarea se efectuează pe o
suprafaţă închisă. Teorema lui Gauss permite calculul câmpului electric pentru diferite
distribuţii de sarcini electrice.
Potenţialul electric. Sub acţiunea forţelor câmpului electric o sarcină electrică
liberă se poate deplasa. Lucrul mecanic elementar efectuat de forţele câmpului la
deplasarea elementară a sarcinii (fig. 5.3) este
r dr r r
r + dr
r
E
dr
r
r r r r
B dL = Fdr
= qEdr
(5.8)
iar pentru o deplasare finită între două puncte A şi B:
B r r
LAB
= q∫
Edr
(5.9)
A
q
Prin definiţie, tensiunea electrică între două
puncte, A şi B, este:
B
A
r r
U AB = ∫ Edr
(5.10)
A
Q
astfel că se poate scrie:
Fig. 5.3
AB AB
Prin urmare, tensiunea electrică între două puncte este numeric egală cu lucrul
mecanic efectuat de forţele câmpului electric la deplasarea sarcinii unitate între acele
puncte.
Dacă aplicăm relaţia (5.9) la cazul deplasării sarcinii punctiforme q în câmpul
creat de o sarcină punctiformă fixă Q vom obţine (vezi fig. 5.3):
163
L = qU
(5.11)

164 Fenomene electrice şi magnetice - 5
L
AB
⎛
= q ⎜
⎝
B
Q
= q∫
4πε
r
A
A
Q
4πε
r
A
−
2
Q
4πε
r
r
B r r
r r Q rdr
dr
= q ∫ =
r 4πε
3
r
B r r r r
B
Q r ⋅ dr
⋅ cos( r,
dr
) Q dr
= q ∫
= q ∫ =
4πε
3
r
4πε
2
r
B
⎞
⎟ = q
⎠
A
A
( VA
−VB
) = qU AB
(5.12)
Mărimile V A si VB
caracterizează câmpul electric şi reprezintă potenţialele
electrice în punctele respective, astfel că, într-un punct oarecare al câmpului creat de o
sarcină punctiformă Q, potenţialul are expresia:
Q
V = (5.13)
4πε
r
iar tensiunea electrică între două puncte este egală cu diferenţa de potenţial:
U AB = VA
−V
B . (5.14)
Legătura între potenţialul electric şi câmp se poate scrie:
B B r r
VA
−V
B = −∆V
= −∫
dV = ∫ Edr
(5.15)
A A
care, pentru un câmp uniform ( câmpul care are aceeaşi intensitate în toate punctele
spaţiului, liniile de câmp fiind drepte paralele), conduce la:
U AB = Ed
(5.15’)
în care d este distanţa dintre cele două puncte, proiectată pe direcţia liniilor de câmp.
Din (5.9) şi (5.15) se poate scrie:
LAB = q(
VA
−VB
) = WA
−WB
Mărimea: W = qV
(5.16)
reprezintă energia potenţială a sarcinii q în punctul din câmpul electrostatic în care
potenţialul electric este V .
Câmpul electrostatic este un câmp potenţial (câmp de forţe conservative),
adică lucrul mecanic efectuat de forţele câmpului la deplasarea unei sarcini între două
puncte nu depinde de drum, ci numai de extremităţile lui, iar la deplasarea pe o curbă
închisă lucrul mecanic este nul.
Ţinând seama de (5.9), aceste proprietăţi ale câmpului electrostatic se exprimă
prin
∫ Edr = 0
r r
, (5.17)
integrala efectuându-se de-a lungul unei curbe închise.

Fenomene electrice şi magnetice - 5
În SI, potenţialul electric şi tensiunea electrică se măsoară în volt, V:
1V=1J/1C, iar intensitatea câmpului electric se măsoară în V/m.
Potenţialul electric al unui conductor izolat, încărcat, este proporţional cu
sarcina lui; raportul dintre sarcina Q a conductorului şi potenţialul său V este constant
şi reprezintă capacitatea electrică a conductorului:
Q
C = . (5.17)
V
Un sistem de două conductoare (numite armături) încărcate cu sarcini egale în
mărime şi de semn contrar, separate printr-un dielectric, formează un condensator
electric a cărui capacitate electrică este dată de:
C = Q / U , (5.18)
unde Q este sarcina unei armături iar U este diferenţa de potenţial dintre armături.
Condensatorul plan, cu armăturile plan-paralele de arie S şi distanţa dintre ele
d , are capacitatea dată de:
C = ε S / d , (5.19)
în care ε este permitivitatea dielectricului dintre armături. În SI, capacitatea electrică
se măsoară în farad, F: 1F=1C/1V.
Energia câmpului electric. La încărcarea unui condensator, pentru aducerea
sarcinilor pe fiecare armătură este necesară efectuarea de lucru mecanic de către o sursă
de energie exterioară, deoarece sarcinile electrice existente pe fiecare armătură exercită
forţe de respingere asupra sarcinilor de acelaşi semn care sunt aduse în continuare pe
fiecare armătură. Condensatorul încărcat reprezintă un sistem caracterizat printr-o
energie W , egală cu lucrul mecanic efectuat pentru încărcarea lui. Pentru a transporta
sarcina dQ între armăturile unui condensator, între care există tensiunea U , este
necesar un lucru mecanic: dL = dQ ⋅U
, iar pentru încărcare cu sarcina Q :
Q Q
QdQ 1 2 1 2
L = ∫ UdQ
= ∫ = Q = CU
(5.20)
0 0 C 2C
2
În cazul unui condensator plan, tensiunea electrică dintre armături poate fi
exprimată în funcţie de intensitatea câmpului electric uniform dintre armături:
U = Ed şi, ţinând seamă de (5.19), se obţine energia condensatorului:
1 2 1 2
W = L = ε SdE = ε vE
(5.21)
2 2
în care v este volumul dielectricului dintre armături. Densitatea de energie (energia
corespunzătoare unităţii de volum) este:
W 1 2
w = = ε E , (5.22)
v 2
relaţie valabilă în general, pentru orice câmp electric. Densitatea de energie este o
mărime locală, punctuală (în fiecare punct are o valoare determinată, ca şi intensitatea
câmpului E ), spre deosebire de energia W , care caracterizează sistemul în ansamblul
său, aceasta din urmă fiind o mărime globală ( integrală).
165

166 Fenomene electrice şi magnetice - 5
Câmpul electric în dielectrici. Experienţa arată că la introducerea unui
dielectric între armăturile unui condensator încărcat şi deconectat de la sursă tensiunea
dintre armături şi deci intensitatea câmpului electric se micşorează. Fenomenul se
explică ţinând seama de structura dielectricului.
-
-q
l r
+q
+
a b
Fig. 5.4
Unii dielectrici, numiţi polari, au moleculele astfel încât centrul sarcinilor
pozitive nu coincide cu cel al sarcinilor negative şi fiecare moleculă constituie un dipol
electric: un ansamblu de două sarcini egale în mărime dar de semn opus aflate la o
anumită distanţă între ele (fig. 5.4a). Dipolul electric se caracterizează prin momentul
de dipol electric:
r r
pe = ql
(5.23)
în care q este mărimea unei sarcini, iar l r este un vector egal în mărime cu distanţa
dintre sarcini, orientat de la sarcina negativă spre cea pozitivă. Dacă dipolul se află
într-un câmp electric uniform, asupra sarcinilor sale acţionează forţe care formează un
cuplu ce tinde să rotească (orienteze) dipolul astfel ca momentul său să fie paralel cu
câmpul (fig.5.4b). Momentul cuplului care acţionează din partea câmpului asupra
dipolului este:
r r r r r r r r r
M c = l × F = l × qE
= ql
× E = pe
× E
(5.24)
În absenţa unui câmp electric exterior, moleculele dipolare din dielectric sunt
orientate haotic datorită agitaţiei termice. La introducerea unui dielectric în câmpul
electric dintre armăturile unui condensator (fig. 5.5), dipolii moleculari tind să se
orienteze, astfel că pe feţele dielectricului paralele cu armăturile apar sarcini electrice
de semn opus. Se spune că dielectricul s-a polarizat. Polarizarea dielectricului se
petrece şi în cazul dielectricilor cu molecule nepolare, în această situaţie dipolii
moleculari fiind induşi chiar de câmpul în care este plasat dielectricul.
Sarcinile de polarizare care apar pe feţele dielectricului sunt numite şi sarcini
legate, deoarece nu se pot deplasa decât pe distanţe mici în jurul poziţei de echilibru,
spre deosebire de sarcinile (electronii) dintr-un conductor (armături), care sunt sarcini
libere.

Fenomene electrice şi magnetice - 5
Fig. 5.5
Sarcinile de polarizare crează un câmp electric E p
r opus câmpului extern o Er ,
creat de sarcinile de pe armături, astfel încât câmpul rezultant din dielectric
r r r
E = Eo
+ E p este mai slab decât cel aplicat (fig. 5.5).
Starea de polarizare a dielectricului se poate caracteriza prin vectorul
intensitate de polarizare electrică sau polarizaţie electrică egal cu suma momentelor
electrice dipolare din unitatea de volum:
r
r
∑ pe
P = , (5.25)
v
unde v este volumul dielectricului.
Pentru o clasă mare de dielectrici polarizaţia electrică este proporţională cu
câmpul electric din dielectric:
r r
P = ε oχ
eE
(5.26)
Mărimea χ e , caracteristică materialului dielectricului, se numeşte susceptivitate
electrică, pentru mediile izotrope fiind o mărime scalară.
Se defineşte vectorul inducţie electrică, D r , prin relaţia:
r r r
D = ε oE
+ P
(5.27)
şi ţinând seama de (5.26) se obţine:
r r r
r r
D = ε oE
+ ε oχ
eE
= ε o ( 1+
χ e ) E = ε E
(5.28)
cu notaţiile: ε = ε oε r
(5.29)
ε r=
1 + χ e
(5.29’)
ε r fiind permitivitatea relativă iar ε permitivitatea absolută a dielectricului.
Teorema lui Gauss se va scrie cu ajutorul inducţiei electrice în forma:
∫ DdS = q
r r
(5.30)
q fiind sarcina electrică liberă din interiorul suprafeţei închise pe care se calculează
integrala (spre deosebire de (5.7) în care, în cazul unui dielectric, intervin atât sarcinile
libere cât şi cele legate).
167

168 Fenomene electrice şi magnetice - 5
În multe situaţii sarcinile electrice nu au o distribuţie discretă, ci sunt
repartizate continuu într-un volum v , pe o suprafaţă S sau pe o curbă. În asemenea
cazuri se poate vorbi de densitatea sarcinilor electrice. Astfel, densitatea volumică de
sarcină se defineşte prin:
dq
ρ e =
(5.31)
dv
iar cea superficială prin:
dq
σ e =
(5.32)
dS
aşa încât sarcina dintr-un domeniu volumic sau superficial se va scrie:
q = ∫ ρ edv
, (5.33)
respectiv q = ∫σ
edS
. (5.34)
În mod corespunzător, aceste expresii pot fi înlocuite în relaţiile (5.7) sau (5.30).
5.2 Curentul electric
Intensitatea curentului electric. În corpurile conductoare există electroni liberi
care se pot deplasa în tot volumul corpurilor. În regim electrostatic, într-un conductor
încărcat cu sarcină electrică (având “surplus” sau “deficit” de electroni) electronii liberi
se distribuie astfel că în interiorul conductorului câmpul electric este nul, sarcina
conductorului fiind repartizată pe suprafaţa lui, în repaus. Dacă se aplică între două
puncte ale unui conductor o diferenţă de potenţial (prin legarea acestuia la bornele unei
baterii) în conductor ia naştere un câmp electric care antrenează electronii liberi din
conductor de la borna negativă spre cea pozitivă. Mişcarea ordonată a sarcinilor
electrice se numeşte curent electric. În mod convenţional se atribuie curentului electric
un sens, cel în care se mişcă sarcinile pozitive (contrar celui în care se mişcă
electronii) în câmpul aplicat. Se numeşte intensitate a curentului electric sau curent
mărimea:
dq
I = (5.35)
dt
în care dq este sarcina electrică ce străbate în timpul dt o secţiune normală a
conductorului.
În cazul unui curent continuu , pentru care intensitatea şi sensul nu variază în
timp, se poate scrie:
t
q
I = . (5.35’)
Distribuţia curentului electric printr-o sectiune a unui conductor este
caracterizată prin vectorul densitate de curent j r : un vector dirijat în sensul de mişcare
al sarcinilor pozitive şi care are mărimea dată de

Fenomene electrice şi magnetice - 5
dI
j = , (5.36)
dSn
în care dS n este proiecţia elementului de suprafaţă dS , traversat de curentul dI , pe
planul perpendicular pe j r . Se observă că se poate scrie:
r r
I = ∫ jdS
(5.37)
Când curentul este distribuit uniform în secţiunea conductorului, normală pe
direcţia curentului, se poate scrie:
I = jS
(5.38)
În SI, curentul electric se măsoară în amper, A, care este unitate fundamentală
a acestui sistem; densitatea de curent se măsoară în A/m 2 .
Pentru un conductor cu aria secţiunii transversale S , având concentraţia
electronilor liberi n , se poate scrie:
q nevd
tS
I = = = nevd
S
(5.39)
t t
şi j = nevd
(5.40)
unde e este sarcina elementară iar v d este viteza medie de antrenare (drift) a
electronilor de către câmpul aplicat. În general:
r r
j = nqvd
(5.41)
în care q este valoarea algebrică a sarcinii purtătorului.
Legea lui Ohm. Pentru conductorii metalici, aflaţi la temperatură constantă,
experienţa arată că raportul dintre diferenţa de potenţial aplicată la capetele unui
conductor şi intensitatea curentului care îl străbate este constant, egal cu rezistenţa
conductorului:
V1
−V2 U
= = R
(5.42)
I I
Acest enunţ constituie legea lui Ohm. Relaţia (5.42) reprezintă în acelaşi timp
relaţia de definiţie a rezistenţei electrice, aplicabilă oricărui conductor, chiar pentru cei
pentru care dependenţa U (I ) nu este liniară (şi deci nu ascultă de legea lui Ohm).
Rezistenţa conductorului depinde de natura materialului şi de dimensiunile
conductorului. Astfel, pentru un conductor cilindric de lungime l şi arie a secţiunii
transversale S , rezistenţa este:
l
R = ρ
(5.43)
în care ρ este rezistivitatea materialului conductorului. Rezistivitatea electrică a
metalelor variază cu temperatura dar, pentru un domeniu de temperatură nu prea extins
(0-100 °C), variaţia este liniară:
ρ = ρo
[ 1+
α ( T − To
)]
(5.44)
S
169

170 Fenomene electrice şi magnetice - 5
unde ρ o este rezistivitatea la temperatura de referinţă T o (considerată de obicei 0°C);
factorul α , caracteristic materialului, se numeşte coeficient de temperatură al
rezistivităţii.
Dacă se înlocuieşte (5.43) în (5.42) se poate obţine:
U I
= ρ
(5.45)
l S
sau, ţinând seamă de (5.15’) şi (5.38):
1
j = E
(5.46)
ρ
relaţie care este valabilă şi în caz vectorial:
1 r
j = E
(5.47)
ρ
Expresia (5.47) arată că, pentru materialele cu rezistivitate constantă,
densitatea de curent într-un punct este proporţională cu intensitatea câmpului electric
din acel punct şi constituie o altă formulare a legii lui Ohm ( formulare locală,
punctuală, microscopică, spre deosebire de (5.42) care reprezintă o formulare integrală,
globală, macroscopică).
Mărimea σ = 1/
ρ
(5.48)
se numeşte conductivitate a materialului. În SI rezistenţa electrică se măsoară în ohm,
1Ω=1V/1A, iar rezistivitatea în Ωm.
Tensiunea electromotoare. Pentru a menţine un curent continuu printr-un
conductor trebuie ca la capetele sale să fie menţinută constantă diferenţa de potenţial.
În acest scop conductorul se leagă la bornele unei surse de tensiune electromotoare,
formându-se un circuit închis. Dacă în circuitul exterior (prin conductor) sarcinile
pozitive se deplasează de la borna pozitivă spre cea negativă sub acţiunea forţelor
câmpului electric, în circuitul interior (prin sursă) ele trebuie să se deplaseze împotriva
acestor forţe, ceea ce nu s-ar putea fără intervenţia unor forţe exterioare (forţe
imprimate), în general, de altă natură decât cele electrice, ca urmare a interacţiunilor
care au loc în sursă. Mărimea fizică egală cu lucrul mecanic efectuat de forţele
imprimate pentru deplasarea unităţii de sarcină pozitivă prin circuit (sau porţiune de
circuit) se numeşte tensiune electromotoare (t.e.m.):
L
E = (5.49)
q
Unitatea de măsură în SI pentru t.e.m. este voltul, V.
Forţele imprimate (exterioare) pot fi considerate ca fiind exercitate din partea
unui câmp imprimat cu intensitatea i Er :
r r
Fi
= qEi
, (5.50)
astfel că tensiunea electromotoare pe o porţiune de circuit, între punctele A şi B, se
poate scrie:

Fenomene electrice şi magnetice - 5
r
B r
∫ Fidr
B
A
E AB = = ∫
q A
r r
E dr
i
171
(5.51)
În general, pe o porţiune de circuit, în afara forţelor imprimate (5.49)
acţionează şi forţe electrice (5.3) astfel încât lucrul mecanic efectuat de toate forţele
este:
B r B r r r
L AB = q Eidr
+ q Edr
= qE
AB + q(
VA
VB
) . (5.52)
∫ ∫ −
A
A
Mărimea fizică egală cu raportul dintre lucrul mecanic efectuat de toate
forţele (imprimate şi electrice) pentru deplasarea unei sarcini pe o porţiune de circuit
şi acea sarcină se numeşte (cădere de) tensiune :
LAB
U AB = = E AB + VA
−VB
(5.53)
q
Se observă că tensiunea electrică între două puncte este egală cu diferenţa de
potenţial numai în absenţa t.e.m.între acele puncte.
De-a lungul unui circuit închis (punctele A şi B coincid) caracterizat prin
rezistenţa R a circuitului exterior şi rezistenţa r a circuitului interior (a sursei) se
obţine:
RI + rI = E
(5.54)
relaţie cunoscută sub numele de legea lui Ohm pentru circuitul întreg, E fiind
tensiunea electromotoare a sursei.
Energia curentului electric. Să considerăm un circuit format dintr-o sursă de
t.e.m. la bornele căreia este conectat un “consumator”. Când sarcina q se mişcă prin
consumator în timpul t , de la borna pozitivă a sursei spre cea negativă, ea îşi
micşorează energia potenţială (vezi (5.16)). Legea de conservare a energiei ne va spune
că energia potenţială electrică va fi transferată consumatorului; forma sub care va fi
transferată acestuia depinde de natura lui: dacă acesta este un motor electric, energia
este transferată în principal ca energie mecanică; dacă la bornele sursei este legat un
rezistor, energia va fi sub formă de căldură, fenomenul numindu-se în acest caz efect
Joule. Energia transferată consumatorului este:
W = Uq = UIt
(5.55)
În cazul când consumatorul este un rezistor, pentru care este aplicabilă legea
lui Ohm U = RI , energia transferată se poate scrie şi în forma:
2
2 U
W = RI t = t
(5.56)
R

172 Fenomene electrice şi magnetice - 5
5.3 Câmpul magnetic
Inducţia magnetică. Experienţa arată că în spaţiul din jurul unui conductor
parcurs de curent electric sau din jurul unui magnet există un câmp magnetic. Acesta se
manifestă prin acţiunea (forţa) pe care o exercită asupra sarcinilor electrice în mişcare,
asupra conductorilor parcurşi de curent sau asupra magneţilor permanenţi. Din punct
de vedere al acţiunii câmpului magnetic, acesta se caracterizează printr-o mărime
vectorială numită inducţie magnetică, B r . Ca şi câmpul electric, câmpul magnetic se
poate reprezenta prin linii de câmp, tangente în fiecare punct al câmpului la vectorul
inducţie din punctul respectiv, având sensul acestui vector.
Dacă o particulă cu sarcina electrică q se mişcă cu viteza v r într-un câmp
magnetic de inducţie B r , asupra ei acţioneză forţa dată de:
r r r
FL = qv
× B
(5.57)
numită şi forţă Lorentz. Forţa Lorentz acţionează perpendicular pe planul determinat de
vectorii v r şi B r , având sensul dat de regula burghiului.
Intr-un conductor parcurs de curent electric, sarcinile electrice au o mişcare
ordonată, astfel că asupra fiecăreia acţioneză o forţă de tipul (5.57) iar asupra
conductorului în ansamblul său rezultă forţa electromagnetică:
r r r
Fm = Il
× B
(5.58)
în care l r este un vector de mărime egală cu lungimea conductorului aflat în câmp
magnetic, orientat în sensul curentului electric. Pe baza acestei relaţii se poate formula
urmatoarea definiţie: inducţia magnetică B a unui câmp magnetic este marimea fizică
egală numeric cu forţa care acţionează asupra unităţii de lungime a unui conductor
liniar, aşezat perpendicular pe liniile de câmp, parcurs de un curent egal cu o unitate.
În SI, inducţia magnetică se măsoară în tesla, T: 1T este inducţia magnetică a unui
câmp magnetic uniform care acţioneză cu o forţă de 1N asupra fiecărui m de lungime
a unui conductor liniar parcurs de un curent de 1A, situat perpendicular pe liniile de
câmp.
Conductorii străbătuţi de curent electric formează adesea contururi închise şi,
când aceştia se află în câmp magnetic, asupra fiecărui element de lungime a conturului
acţionează forţa electromagnetică de forma (5.58).
Să considerăm un cadru dreptunghiular, parcurs de un curent I , aflat într-un
câmp magnetic uniform cu inducţia B r , care face unghiul α cu normala la cadru (fig.
5.6).
Se poate arăta uşor, ţinând seamă de (5.58), că asupra cadrului acţionează un
cuplu de forţe al cărui moment este:
M = ISB sinα
sau , în formă vectorială:
r r r r r r r
M = ISn × B = IS
× B = pm
× B
(5.59)

Fenomene electrice şi magnetice - 5
a) b)
Fig. 5.6
în care n r este normala la suprafaţa cadrului de arie S , iar mărimea:
r r
pm = IS
(5.60)
reprezintă momentul magnetic al cadrului. Sensul vectorului moment magnetic se
obţine cu regula burghiului: rotind burghiul, aşezat perpendicular pe cadru, în sensul
curentului el înaintează în sensul momentului magnetic. Aşadar, un cadru parcurs de
curent se comportă în câmp magnetic ca un ac magnetic (dipol magnetic), câmpul tinde
să-l rotească astfel ca momentul magnetic al cadrului să fie paralel cu inducţia
magnetică a câmpului. Momentul magnetic se măsoară în Am 2 .
Fluxul inducţiei magnetice printr-o suprafaţă se defineşte prin relaţia
r r
Φ m = ∫ BdS
(5.61)
şi în SI se măsoară în weber, 1Wb=1Tm 2 .
Sursele câmpului magnetic. Câmpul magnetic este creat de sarcini electrice în
mişcare, respectiv de curenţi electrici (cum s-a arătat mai sus, tocmai asupra acestora
acţioneză cu forţe), câmpul creat de magneţii permanenţi având aceeaşi origine, dacă se
ţine seama de structura lor microscopică.
Experienţele de până acum nu au putut pune în evidenţă sarcini magnetice,
care
să fie surse ale câmpului magnetic. Acest fapt poate fi exprimat matematic, prin
analogie cu (5.7) din cazul câmpului electrostatic, prin teorema lui Gauss : fluxul
inducţiei magnetice prin orice suprafaţă închisă este zero:
∫ BdS = 0
r r
(5.62)
173

174 Fenomene electrice şi magnetice - 5
Fig. 5.7 Fig. 5.8
Inducţia câmpului magnetic creat de o sarcină electrică punctiformă q , care se
mişcă cu viteza v r , într-un punct caracterizat de vectorul de poziţie r faţă de poziţia
sarcinii, este (fig. 5.7):
r
r r
µ o qv
× r
B = (5.63)
3
4π r
−7
în care µ o = 4π
⋅10
Tm/A (H/m) este permeabilitatea magnetică a vidului.
Liniile câmpului magnetic sunt cercuri în plane perpendiculare pe direcţia de
mişcare a sarcinii, cu centrul pe această direcţie, având sensul produsului vectorial din
(5.63), dat de regula burghiului, şi ţinând seamă de semnul sarcinii.
Câmpul creat de un element de lungime dl dintr-un conductor parcurs de
curentul I , într-un punct având vectorul de poziţie r faţă de elementul de conductor,
este (fig. 5.8):
r
r
r
µ o Idl
× r
dB
= (5.64)
4π 3
r
în care sensul vectorului dl r este sensul curentului care-l străbate. Expresia (5.64),
echivalentă cu (5.63) din cazul microscopic, reprezintă legea lui Biot şi Savart . Relaţia
(5.64) permite calculul inducţiei magnetice create de orice configuraţie a
conductorului străbătut de curent electric. Aplicarea acestei legi pentru câteva cazuri
remarcabile conduce la:
- inducţia creată de un conductor rectiliniu, infinit de lung, parcurs de curentul I , la
distanţa r de conductor:
I
B = µ o , (5.65)
2π
r
liniile de câmp fiind cercuri concentrice, cu centrul pe conductor, având sensul dat de
regula burghiului;
- inducţia magnetică creată în centrul unei spire circulare de rază r , parcursă de
curentul I :

Fenomene electrice şi magnetice - 5
I
B = µ o ; (5.66)
2r
- inducţia magnetică creată pe axa unui solenoid cu N spire, de lungime l , mare în
comparaţie cu diametrul spirelor, parcurs de curentul I :
NI
B = µ o , (5.67)
l
în interiorul solenoidului câmpul magnetic fiind uniform (aceleaşi valori în toate
punctele), iar liniile de câmp sunt paralele cu axa solenoidului.
Să considerăm doi conductori rectilinii şi paraleli, infinit de lungi, parcurşi de
curent, la distanţa r unul de altul. Fiecare conductor crează în locul în care se află
celălalt un câmp magnetic cu inducţia dată de (5.65), care acţionează asupra unei
porţiuni de lungime l din conductorul al doilea cu forţa dată de (5.58):
I1I
2
F = µ o l
(5.68)
2π
r
Conductorii se atrag când sunt parcurşi de curenţi de acelaşi sens şi se resping în caz
contrar. Pe baza relaţiei (5.68) se defineşte unitatea SI de curent electric: un amper este
intensitatea curentului constant care străbate doi conductori rectilinii, paraleli şi
infinit de lungi, aflaţi în vid la distanţa de 1 m unul de altul, care interacţionează cu o
−7
forţă de 2 ⋅ 10 N pe fiecare m de lungime.
Legea lui Ampère. Curentul de deplasare. Să considerăm câmpul magnetic
produs de un conductor rectiliniu, infinit de lung, parcurs de un curent electric, pentru
care scriem expresia (5.65) în forma:
B ⋅ 2 π r = µ oI
(5.69)
Dacă ţinem seamă că pentru cazul considerat liniile câmpului magnetic sunt
circulare, cu lungimea 2 π r , şi că vectorul inducţie magnetică este mereu tangent la
linia de câmp şi constant în mărime, relaţia (5.69) poate fi scrisă în forma:
r r
∫ Bdl = µ o I
(5.70)
în care integrala se calculează de-a lungul liniei de câmp circulare, închise, al cărei
element de lungime este dl (fig. 5.9).
Expresia (5.70) este valabilă şi în caz general, indiferent de configuraţia
câmpului, de forma conductorului sau a curbei de-a lungul căreia se calculează
integrala,
175

176 Fenomene electrice şi magnetice - 5
Fig. 5.9
şi constituie teorema (legea) lui Ampère: integrala de-a lungul unei curbe închise a
produsului Bdl r r
( circulaţia vectorului B r ) este egală cu permeabilitatea magnetică a
vidului înmulţită cu intensitatea curentului ce trece prin suprafaţa delimitată de
conturul închis. Teorema lui Ampère este deseori utilizată pentru calculul inducţiei
cîmpului creat de diverse configuraţii de curenţi.
Să considerăm un condensator plan care se încarcă cu sarcini electrice de la o
sursă de t.e.m. (fig. 5.10).
i c
Γ
Σ1
Fig. 5.10
În cursul acestui proces prin conductorii care duc spre armături circulă sarcini
electrice, adică există un curent electric de conducţie i c . Pentru a scrie teorema lui
Ampère în acest caz, alegem un contur închis Γ , care înconjoară unul din conductorii
ce duce la o armătură, şi care mărgineşte o suprafaţă Σ 1 străbătută de conductor. Se
poate scrie:
r r
∫ Bdl
= µ o ic
(5.71)
Dacă alegem însă ca suprafaţă care se sprijină pe acelaşi contur una care trece
printre armături Σ 2 (de forma unei căciuli) atunci acea suprafaţă nu mai este străbătută
de nici un curent de conducţie şi în partea dreaptă a teoremei (5.70) ar trebui să scriem
zero, deşi partea stângă, conform (5.71), nu este nulă. În cursul încărcării armăturii cu
sarcina q prin curentul de conducţie, câmpul electric dintre armături creşte şi deci
creşte fluxul electric prin suprafaţa care trece printre armături:
Σ2

Fenomene electrice şi magnetice - 5
ε o S
q = Cu = Ed = ε o Φe
(5.72)
d
Ştiind că ic = dq / dt , se obţine:
dq dΦe
ic
= = ε o
(5.73)
dt dt
.
Numim curent de deplasare mărimea:
dΦe
id
= ε o
(5.74)
dt
Se observă că dacă prima suprafaţă aleasă, care se sprijină pe conturul dat, este
străbătută de curentul de conducţie i c (şi numai de acesta în acest caz), cea de a doua,
care se sprijină pe acelaşi contur dar trece printre armături, este străbătută de curentul
de deplasare i d (şi numai de acesta în acest caz), curenţi care sunt egali în acest caz.
Prin urmare, în general, în partea dreaptă a teoremei lui Ampère trebuie să intervină
atât curentul de conducţie cât şi curentul de deplasare:
r r
dΦ
d r r
e
∫ Bdl = µ o ( ic
+ id
) = µ o ( ic
+ ε o ) = µ o ( ic
+ ε o ∫ EdS)
(5.75)
dt
dt
În această formă, teorema lui Ampère arată că un câmp magnetic poate fi
creat atât de sarcini electrice în mişcare (curent electric) cât şi de un flux electric
variabil în timp (câmp electric variabil în timp). Existenţa curentului de deplasare a
fost prevăzută pentru prima dată de către Maxwell, care a completat cu acest termen
suplimentar teorema lui Ampère.
Inducţia electromagnetică. Experienţele au pus în evidenţă fenomenul de
inducţie electromagnetică: apariţia unei tensiuni electromotoare într-un circuit
străbătut de un flux magnetic variabil în timp. Conform legii inducţiei
electromagnetice (Faraday): tensiunea electromotoare indusă într-un circuit este
egală cu viteza de variaţie a fluxului magnetic prin suprafaţa acelui circuit, luată cu
semn schimbat:
dΦ m
E = − (5.76)
dt
Pentru determinarea sensului curentului indus se foloseşte regula lui Lenz:
tensiunea electromotoare indusă şi curentul indus au un astfel de sens, încât fluxul
magnetic produs de curentul indus să se opună variaţiei fluxului magnetic inductor.
În cazul mişcării cu viteza v, a unui conductor de lungime l, într-un câmp
magnetic, perpendicular pe liniile câmpului magnetic, putem explica apariţia t.e.m.
induse prin acţiunea forţei magnetice Lorentz asupra sarcinilor din conductor, aflate în
mişcare cu viteza v odată cu conductorul. Mărimea tensiunii induse în acest caz este:
E = Blv (5.77)
Curentul electric dintr-un circuit crează un câmp magnetic proporţional cu
intensitatea curentului , care produce prin suprafaţa circuitului un flux magnetic, de
asemenea proporţional cu curentul:
177

178 Fenomene electrice şi magnetice - 5
Φ m = LI
(5.78)
unde L este o constantă de proporţionalitate, a cărei valoare este specifică fiecărui
circuit, numită inductanţa circuitului. De exemplu, este uşor de arătat că pentru un
solenoid inductanţa are expresia:
2
N S
L = µ
(5.79)
l
Unitatea de inductanţă în SI se numeşte henry, H: 1H=1Wb/A.
Dacă curentul dintr-un circuit este variabil, atunci variază şi fluxul magnetic
propriu şi, ca urmare, ia naştere fenomenul de inducţie electromagnetică, numit în acest
caz autoinducţie. Tensiunea autoindusă într-un circuit este direct proporţională cu
viteza de variaţie a curentului din acel circuit:
dI
E a = − L
(5.80)
dt
Energia câmpului magnetic. Să considerăm un solenoid ideal, având inductanţa
L şi rezistenţa electrică nulă, care poate fi conectat la o sursă printr-un întrerupător.
La închiderea circuitului, curentul i creşte de la valoarea zero la valoarea finală,
constantă, I . Datorită variaţiei curentului, în solenoid ia naştere o t.e.m. de
autoinducţie al cărei sens este, conform regulei lui Lenz, astfel încât să se opună
creşterii curentului. Tensiunea la bornele solenoidului este atunci:
di
U = −E
a = L
(5.81)
dt
iar energia furnizată de sursa exterioară în intervalul de timp dt pentru a mări curentul
cu di este:
di
dW = Uidt = L idt = Lidi
(5.82)
dt
Energia totală furnizată de sursă pentru creşterea curentului de la zero la
valoarea I va fi:
I 1 2
W = L∫
idi = LI
(5.83)
0 2
energie care este “înmagazinată” în câmpul magnetic din solenoid. Se poate exprima
această energie în funcţie de inducţia magnetică a câmpului creat în solenoid, ţinând
seamă de (5.67), şi apoi, prin înlocuirea inductanţei cu expresia (5.79), rezultă:
1 2 1 2
W = Sl B = VB
(5.84)
2 µ o 2µ
o
în care V este volumul din interiorul solenoidului. Atunci densitatea de energie a
câmpului magnetic se poate scrie:
2
W B
w = =
(5.85)
V 2µ
o

Fenomene electrice şi magnetice - 5
Câmpul magnetic în materiale. Câmpul magnetic se manifestă prin acţiunile
(forţele) pe care acesta le poate exercita, din acest punct de vedere fiind caracterizat
prin inducţia magnetică. Aceasta, la rândul său (cum s-a văzut în paragraful “Sursele
câmpului magnetic”), depinde de sursa câmpului, evidenţiată prin intensitatea
curentului, cât şi de mediul în care se manifestă acţiunea, reprezentat prin
permeabilitatea magnetică a mediului ( în acel paragraf ne-am limitat la vid).
Atomii constituenţi ai materialelor conţin electroni aflaţi în mişcare care
generează curenţi microscopici ce produc propriul lor câmp magnetic, manifestîndu-se
ca dipoli magnetici. În multe materiale aceşti curenţi sunt orientaţi haotic astfel încât
câmpul magnetic rezultant este zero. În alte materiale, un câmp extern (produs de
curenţi exteriori materialului) poate orienta după o direcţie preferenţială aceşti dipoli şi
câmpul lor magnetic se adaugă celui extern. Se spune că materialul s-a magnetizat. Se
numeşte magnetizaţie (sau intensitate de magnetizare) a unui material mărimea fizică
egală cu momentul magnetic al unităţii de volum :
r
r
∑ pm
M =
(5.86)
V
În SI magnetizaţia se măsoară în A/m.
Dacă un material este plasat într-un câmp magnetic (extern) cu inducţia o Br ,
atunci în interiorul materialului inducţia va fi:
r r r
B = Bo
+ µ oM
(5.87)
astfel că inducţia în vid (contribuţia cauzei externe materialului) este:
r r r
Bo = B − µ oM
(5.88)
Pentru a caracteriza câmpul magnetic exclusiv din punct de vedere al sursei
care-l crează, independent de mediul în care se manifestă, se defineşte intensitatea
câmpului magnetic:
r r r
r Bo
B − µ ο M
H = =
(5.89)
µ o µ ο
În SI intensitatea câmpului magnetic se măsoară în A/m.
Pentru o mare clasă de substanţe magnetizaţia este proporţională cu
intensitatea câmpului magnetic:
r r
M = χ mH
, (5.90)
factorul de proporţionalitate χ m , adimensional, se numeşte susceptivitate magnetică şi
este o caracteristică de material. În interiorul materialului inducţia magnetică poate fi
scrisă atunci în forma:
r r r
r
B = µ oH
+ µ ο χ mH
= µ ο ( 1+
χ m ) H =
r r
(5.91)
= µ ο µ r H = µ H
în care µ r = 1 + χ m
(5.92)
179

180 Fenomene electrice şi magnetice - 5
este permeabilitate magnetică relativă a materialului (adimensională), iar
µ = µ oµ r
(5.93)
este permeabilitatea magnetică absolută a materialului.
Substanţele care au susceptivitatea magnetică pozitivă se numesc
paramagnetice; ele au permeabilitatea magnetică relativă mai mare ca unitatea,
inducţia magnetică în astfel de substanţe fiind mai mare decât în vid ("întăresc"
câmpul). Substanţele diamagnetice au susceptivitatea negativă, permeabilitatea
relativă este subunitară (“slăbesc câmpul”). Substanţele feromagnetice au
susceptivitatea mult mai mare ca zero (deci µ r >> 1 ), dependentă de câmpul aplicat.
Teorema lui Ampère poate fi scrisă cu ajutorul intensităţii câmpului magnetic
dacă înlocuim în (5.70) sau (5.75) inducţia magnetică (în vid, în acele relaţii) cu
r
µ oH
; se obţine:
Hdl = i
r r
(5.94)
∫
în care se evidenţiază exclusiv legătura dintre câmpul magnetic şi curentul care-l
crează. Exprimarea teoremei lui Ampère prin inducţia magnetică într-un material cu
permeabilitatea µ , constantă, se obţine înlocuind în (5.94) pe H r B
cu
µ
r
:
r r
∫ B dl
= µ i
(5.95)
Întrebări
1. Scrieţi expresia legii lui Coulomb.
2. Definiţi intensitatea câmpului electric; unitatea de măsură SI.
3. Ce este fluxul câmpului electric?
4. Scrieţi expresia şi precizaţi semnificaţia teoremei (legii) lui Gauss.
5. Definiţi tensiunea electrică între două puncte; unitatea de măsură SI.
6. Expresia energiei potenţiale a unei sarcini electrice aflate în câmp electric.
7. Daţi definiţia şi precizaţi unitatea de măsură SI pentru capacitatea electrică a
unui conductor; expresia capacităţii unui condensator plan.
8. Expresia densităţii volumice de energie pentru câmpul electric.
9. Ce este un dipol electric? Definiţia momentului de dipol electric.
10. Ce se înţelege prin intensitatea curentului electric? Unitatea de măsură SI.
11. Enunţ şi expresie pentru legea lui Ohm; unitatea de măsură pentru rezistenţa
electrică.
12. Cum depinde rezistenţa unui fir conductor de natura şi dimensiunile lui?
13. Ce este tensiunea electromotoare? Unitatea de măsură SI.
14. Scrieţi legea lui Ohm pentru un circuit închis, simplu (fără ramificaţii).
15. Ce este efectul Joule? Expresii pentru energia curentului electric.
16. Ce este forţa Lorentz? Expresia ei.

Fenomene electrice şi magnetice - 5
17. Scrieţi expresia forţei electromagnetice.
18. Definiţi inducţia magnetică; unitatea de măsură SI.
19. Care sunt sursele câmpului magnetic? Scrieţi expresia inducţiei magnetice
corespunzătoare fiecărui caz.
20. Scrieţi expresia inducţiei magnetice create de următoarele configuraţii
particulare de curenţi: conductor liniar; spira circulară; solenoid.
21. Ce este forţa electrodinamică? Expresie.
22. Teorema (legea) lui Ampère: enunţ şi formulă.
23. Ce este curentul de deplasare?
24. In ce constă fenomenul de inducţie electromagnetică?
25. Enunţaţi şi scrieţi expresia legii inducţiei electromagnetice (Faraday).
26. Definiţi inductanţa unui circuit, unitatea de măsură SI.
27. Ce este autoinducţia? Legea autoinducţiei.
181