download - Sisteme de Programare pentru Modelare si Simulare

8. FUNCŢII MATEMATICE ÎN MATLAB 

Funcţiile matematice uzuale şi speciale se apelează cu sintaxa generală: 

y=nume_funcţie(argument) 

unde: 

• nume_funcţie, este numele uneia dintre funcţiile matematice; 

• argument, este valoarea pentru care se evaluează funcţia; 

• y este variabila în care se returnează rezultatul. 

Dacă argumentul este o matrice, funcţiile matematice operează asupra 

fiecărui element. 

8.1. Funcţii trigonometrice 

Principalele funcţii trigonometrice directe, apelabile în Matlab sunt: 

• sin(x) , care calculează sinusul argumentului x, dat în radiani; 

• cos(x) , care calculează cosinusul argumentului x, dat în radiani; 

• tan(x) , care calculează tangenta argumentului x, dat în radiani; 

• cot(x) , care calculează cotangenta argumentului x, dat în radiani; 

• sec(x) , care calculează secanta argumentului x, dat în radiani; 

• csc(x) , care calculează cosecanta argumentului x, dat în radiani. 

Dacă, de exemplu, argumentul x este vectorul: 

x = [ pi/6 pi/4 pi/3 pi/2 

pi/2+pi/6 pi/2+pi/4 pi/2+pi/3 pi 

pi+pi/6 pi+pi/4 pi+pi/3 pi+pi/2 

3*pi/2+pi/6 3*pi/2+pi/4 3*pi/2+pi/3 2*pi ], 

care în radiani este, 

x =[ 0.5236 0.7854 1.0472 1.5708 

2.0944 2.3562 2.6180 3.1416 

3.6652 3.9270 4.1888 4.7124 

5.2360 5.4978 5.7596 6.2832], 

atunci pentru: 

sin(x) se obţine, 

ans = 

0.5000 0.7071 0.8660 1.0000 

0.8660 0.7071 0.5000 0.0000 

-0.5000 -0.7071 -0.8660 -1.0000 

-0.8660 -0.7071 -0.5000 -0.0000 

cos(x) se obţine, 

ans = 

0.8660 0.7071 0.5000 0.0000

170 

SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE 

-0.5000 -0.7071 -0.8660 -1.0000 

-0.8660 -0.7071 -0.5000 -0.0000 

0.5000 0.7071 0.8660 1.0000. 

Pentru y = [pi/3 pi/4 pi/6], dacă se calculează: 

tan(y) se obţine, 

ans = 

1.7321 1.0000 0.5774, 

cot(y) se obţine, 

ans = 

0.5774 1.0000 1.7321, 

sec(y) se obţine, 

ans = 

2.0000 1.4142 1.1547, 

csc(y) se obţine, 

ans = 

1.1547 1.4142 2.0000. 

Principalele funcţii trigonometrice inverse, apelabile în Matlab sunt: 

• asin(x), care calculează arcsinusul argumentului x; 

• acos(x), care calculează arccosinusul argumentului x; 

• atan(x), care calculează arctangenta argumentului x; 

• atan2(y,x), care calculează arctangenta părţii reale a elementelor x şi y, 

cu condiţia ca . -pi

Funcţii matematice în Matlab 171 

8.2. Funcţii hiperbolice 

Principalele funcţii hiperbolice directe, apelabile în Matlab sunt: 

• sinh(x), care calculează sinusul hiperbolic al argumentului x; 

• cosh(x), care calculează cosinusul hiperbolic al argumentului x; 

• tanh(x), care calculează tangenta hiperbolică a argumentului x; 

• coth(x), care calculează cotangenta hiperbolică a argumentului x; 

• sech(x), care calculează secanta hiperbolică a argumentului x; 

• csch(x), care calculează cosecanta hiperbolică a argumentului x; 

Considerând x=[0 pi/6 pi/2 pi/3 pi] şi calculând: 

sinh(x) se obţine, 

ans = 

0 0.5479 2.3013 1.2494 11.5487, 

cosh(x) se obţine, 

ans = 

1.0000 1.1402 2.5092 1.6003 11.5920, 

tanh(x) se obţine, 

ans = 

0 0.4805 0.9172 0.7807 0.9963, 

coth(x) se obţine, 

ans = 

Inf 2.0813 1.0903 1.2809 1.0037, 

sech(x) se obţine, 

ans = 

1.0000 0.8770 0.3985 0.6249 0.0863, 

csch(x) se obţine, 

ans = 

Inf 1.8253 0.4345 0.8004 0.0866. 

Principalele funcţii hiperbolice inverse, apelabile în Matlab, sunt: 

• asinh(x), care calculează arcsinusul hiperbolic al argumentului x; 

• acosh(x), care calculează arccosinusul hiperbolic al argumentului x; 

• atanh(x), care calculează arctangenta hiperbolică a argumentului x; 

• acoth(x), care calculează arccotangenta hiperbolică a argumentului x; 

• asech(x), care calculează arcsecanta hiperbolică a argumentului x; 

• acsch(x), care calculează arccosecanta hiperbolică a argumentului x; 

Dacă x = [0 1/2 1], calculând: 

asinh(x) se obţine, 

ans = 

0 0.4812 0.8814, 

acosh(x) se obţine,

172 

sunt: 


ans = 

0 + 1.5708i -0.0000 + 1.0472i 0, 

atanh(x) se obţine, 

ans = 

0 0.5493 Inf. 

Pentru argumente numere complexe de forma z=x+iy, relaţiile de calcul 

sin(z) = sin(x)*cosh(y) + i*cos(x)*sinh(y); 

cos(z) = cos(x)*cosh(y) - i*sin(x)*sinh(y); 

tan(z) = sin(z)/cos(z); 

cot(z) = cos(z)/sin(z). 

8.3. Funcţii de tip exponenţial 

După cum am arătat anterior, ridicarea unui număr a la puterea n se face 

prin instrucţiunea a^n. Exponentul n poate avea orice valoare, reală sau complexă. 

Pentru a calcula radicalul de ordinul n dintr-un număr a, se utilizează funcţia 

putere sub forma a^(1/n). De exemplu, dacă a = 9 şi n=2, atunci a^n este 9^2, 

respectiv 81, iar a^(1/n) este 9^(1/2), respectiv 3. 

Ridicarea la puterea x a numărului 2 (2 x ), se poate face prin funcţia 

pow2(x). Dacă x este o matrice, atunci rezultatul va fi o matrice de aceleaşi 

dimensiuni, funcţia acţionând element cu element. Pentru x=3.1, pow2(x) este 

8.5742. Calculul unui număr de forma y=m*2 n , se realizează printr-o instrucţiune 

de forma y=pow2(m,n). Pentru m=20.1 şi n=3.5, cu comanda y=pow2(m,n) se 

obţine 161.2. 

Pentru calculul exponenţialei e x (unde e=2.71828182845…), se utilizează 

funcţia exp(x), unde x este argumentul. Dacă x=[1 2 –2 –1], atunci exp(x) conduce 

la: 

ans = 

2.7183 7.3891 0.1353 0.3679. 

Dacă argumentul este un număr complex de forma z=x+i*y, atunci rezultatul 

z x 

se calculează cu relaţia: e = e ( cos( y) + i ⋅ sin( y) 

). Pentru z=2+3*i se obţine: 

ans = 

-7.3151 + 1.0427i. 

Pentru calculul logaritmului natural, al logaritmului în baza 2 sau al 

logaritmului zecimal (în baza 10) al numărului a (real, sau complex), sunt 

disponibile funcţiile log, log2 şi respectiv log10, apelabile cu sintaxele: 

x=log(a); x=log2(a); x=log10(a). 

Dacă a = [2 ^2 3^2 2^5 10^3 10^(-2) 2^(-3)], atunci: 

log(a) este [1.3863 2.1972 3.4657 6.9078 -4.6052 -2.0794],


log2(a) este [2.0000 3.1699 5.0000 9.9658 -6.6439 -3.0000], iar 

log10(a) este [0.6021 0.9542 1.5051 3.0000 -2.0000 -0.9031]. 

Atunci când argumentul funcţiei log este un număr complex, de forma 

z=x+i*y, rezultatul este calculat cu relaţia: log(z) = log(abs(z)) + i * atan2(y,x). 

Funcţia log2 , de argument complex, se calculează cu relaţia: 

log2(z) = log2(abs(z)) + i * atan2(y,x)/log(2), iar funcţia log10 prin relaţia, 

log10(z) = log(abs(z)) + i * atan2(y,x)/log(10). 

Pentru z = 5+ 7* i se obţine că log(z) este 2.1520 + 0.9505i, log2(z) este 

3.1047 + 1.3713i, iar log10(z) este 0.9346 + 0.4128i. 

Funcţia log2 de argument real X (număr sau vector), poate fi apelată prin 

sintaxa [F,E]=log2(x), situaţie în care returnează un număr real F, uzual în 

domeniul 0.5

174 


z = x + y⋅i 

, respectiv unghiului, în radiani, făcut în planul complex (x – i y), se 

realizează prin funcţia angle(z), care este echivalentă cu atan(y/x). În general, 

argumentul ϕ este determinat, în afara unui multiplu de 2 π , prin 

x y 

cos ( ϕ ) = , sin( ϕ ) = . Cu cele de mai sus, forma trigonometrică a numărului 

r r 

complex este: z = r( cos( ϕ ) + i sin( ϕ )) 

. Pentru z=2+3*i, prin angle(z) se obţine 

0.9828, acelaşi rezultat ca şi prin atan(3/2). 

Partea reală x, a unui număr complex z = x + y⋅i 

, se extrage prin funcţia 

real(z), iar partea imaginară prin funcţia imag(z). Pentru z=2+3*i, prin real(z) se 

obţine valoarea 2, iar prin imag(z) se obţine 3. Calculul părţii reale şi imaginare a 

numerelor complexe, exprimate în formă polară, se poate face şi cu funcţia 

unwrap. 

Pentru un număr complex z = x + y⋅i 

, conjugatul său este z = x − y ⋅ i şi 

poate fi obţinut prin funcţia conj(z). Dacă z=2+3*i, atunci conj(z) este 2-3*i. 

Determinarea situaţiei, dacă un vector sau matrice X are toate elementele 

numere reale (respectiv dacă partea imaginară a fiecărui element este 0) se 

realizează prin funcţia isreal(X), care răspunde prin 1, dacă toate elementele sunt 

reale şi prin 0, altfel. Pentru X=[2 i 5+2*i 7] prin isreal(X) se obţine 0, iar pentru 

XX=[2 -1 7], cu isreal(XX) se obţine 1. 

Sortarea unor numere complexe conjugate perechi (sau reale – partea 

conjugată 0), în ordinea crescătoare a părţii reale, se realizează prin funcţia 

cplxpair. Dacă X=[8 1+2*i 4 1-2*i 2 3-2*i 3+2*i], atunci funcţia 

cplxpair(X), returnează [1+2i 1-2i 3+2i 3-2i 2 4 8]. 

8.5 Funcţii pentru aproximarea numerelor 

Funcţiile Matlab pentru aproximarea cu numere întregi sunt: 

• fix – care rotunjeşte la cel mai apropiat întreg spre zero ; 

• floor – ce rotunjeşte la cel mai apropiat întreg spre minus infinit (- ∞) ; 

• ceil - care rotunjeşte la cel mai apropiat întreg spre plus infinit (+∞) ; 

• round - care rotunjeşte la cel mai apropiat întreg. 

Funcţiile de mai sus operează asupra fiecărui element al unei matrice sau 

vector şi se apelează cu sintaxa nume_funcţie(argument), unde nume_funcţie este 

numele uneia dintre funcţiile de mai sus (fix, floor, ceil, round), iar argument 

poate fi un scalar, un vector sau o matrice, ale cărui elemente se doresc a fi 

rotunjite. Atunci când elementele din argument sunt numere complexe, funcţiile de 

mai sus operează independent asupra fiecărei părţi (reală sau imaginară). Dacă 

considerăm vectorul, V = [-0.25 -7.2 –2.4-2.6i 0.499 0.501 2.71+3.49i


11.5i], atunci: 

fix(V) este [ 0 -7 -2-2i 0 0 2+3i 11i ]; 

floor(V) este [ -1 -8 -3-3i 0 0 2+3i 11i ]; 

ceil(V) este [ 0 -7 -2-2i 1 1 3+4i 12i ]; 

round(V) este [ 0 -7 -2-3i 0 1 3+3i 12i ]. 

Pentru aproximarea numerelor reale cu fracţii continue se utilizează 

funcţia rat, apelată cu una dintre sintaxele, 

[N,D] = rat(x), [N,D] = rat(x,tol), 

unde: x este numărul care trebuie aproximat cu fracţii continue ; tol este toleranţa 

care se acceptă între numărul x dat şi numărul y (aproximat), astfel încât 

y − x ≤ tol , având valoarea implicită, tol=10 -6 ; N, D sunt numărătorul, respectiv 

numitorul fracţiei, care aproximează pe x cu toleranţă tol, astfel încât abs(N./D - X) 

176 


ans = 

1/4 27/20 -691/200 841/625. 

Funcţia mod(x,y) calculează modulus (restul cu semn după împăţirea dintre 

x şi y), astfel că mod(x,y) = x - y.*floor(x./y) dacă y ~= 0, iar prin convenţie, 

mod(x,0) este x. Intrările x şi y trebuie să fie matrice reale de aceeaşi dimensiune, 

sau una trebuie să fie scalar. 

Funcţia rem(x,y) calculează restul împărţirii lui x la y, element cu element, 

astfel că mod(x,y) = x - y.*fix(x./y) dacă y ~= 0, iar prin convenţie, rem(x,0) este 

NaN. Intrările x şi y trebuie să fie matrice reale de aceeaşi dimensiune sau una 

trebuie să fie scalar. 

Dacă se calculează restul împărţirii vectorului x=[1 3 -6], la y=[2 3 4], cu 

z=rem(z,y), se ob=[2 3 4], cu z=rem(z,y), se obţine 

z=[ 1 0 -2] 

Funcţia mod(x,y) are acelaşi semn cu y, atunci când rem(x,y) are semnul lui 

x. Cele două funcţii mod(x,y) şi rem(x,y) sunt egale dacă x şi y au acelaşi semn, 

dar diferă dacă y sau x au semne diferite. Dacă X=[1.5 9 -4.5] şi Y=[-0.5 -3 4], 

atunci mod(X,Y) este [ 0 0 3.5], iar rem(X,Y) este [0 0 -0.5], dar mod(Y,X) 

este [1 6 -0.5], iar rem(Y,X) este [-0.5 -3 4]. Considerând X1=[2.5 6 –7] şi 

Y1=3, atunci rem(X1,Y1) este [2.5 0 -1], iar rem(Y1,X1) este [0.5 3 3], pe 

când mod(X1,Y1) este [2.5 0 2], iar mod(Y1,X1) este [0.5 3 -4]. 

Funcţia sign(x) asociază fiecărui element al vectorului x elementele –1, 0, 1, 

⎧1, 

x > 0 

⎪ 

după următoarea regulă: sign ( x) 

= ⎨0, x = 0 . Dacă x este complex, atunci 

⎪ 

⎩-1 

x < 0 

sign(x)=x./abs(x). 

8.6. Funcţii pentru aflarea unor numere importante 

Factorii primi ai unui număr natural pozitiv N, alţii decât 1, sunt calculaţi 

cu funţia factor(N). Dacă N=33, atunci factor(N), găseşte ca factori primi 3 şi 11. 

Generarea unei liste cu toate numerele prime mai mici sau egale cu un 

număr natural pozitiv N (altele decât 1), se face prin utilizarea funcţiei primes(N). 

Dacă N=33, atunci primes(33), produce lista, 

ans = 

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31, 

care conţine toate numerele prime mai


obţine răspunsul 1 atunci când este prim şi 0, altfel. De exemplu, pentru 

isprime(31) se obţine 1, iar pentru isprime(33) se obţine 0. 

Calculul celui mai mare divizor comun G, a două numere întregi a şi b, 

se obţine prin utilizarea funcţiei G=gcd(a,b). Pentru a=2310 şi b=273, funcţia 

gcd(a,b) găseşte 21, care este cel mai mare divizor comun. 

Calculul celui mai mic multiplu comun M, a două numere întregi a şi b, 

se realizează prin utilizarea funcţiei M=lcm(a,b). Pentru a=2310 şi b=273, funcţia 

lcm(a,b) se găseşte 30030, care este cel mai mic multiplu comun. 

Numărul tuturor combinaţiilor a N elemente, luate câte K (K

178 


• prin limita şirului 

( x) 

( x + 1) ⋅( x + 2) ( x + n) 

1 x ⋅ 

K 

= lim 

n 

x 

Γ → ∞ n! 

⋅n 

Principalele proprietăţi ale funcţiei Gamma sunt: 

• dacă argumentul x este un întreg, atunci funcţia Gamma este identică cu 

funcţia factorial, respectiv n ! = Γ( n +1) 

; 

Γ x + 1 = xΓ 

x ; 

• pentru orice z finit, este satisfăcută relaţia de recurenţă ( ) ( ) 

• cunoscând valoarea pentru x > 1, valorile pentru x < 1 se determină din 

⋅ x 

ecuaţia complementelor Γ( 1 π 

π 

− x) 

= 

= 

Γ x sin π ⋅ x Γ x + 1 sin π ⋅ x 

; 

• pentru 

1 ⎛ 1 ⎞ 

x = funcţia Γ⎜ 

⎟ = π . 

2 ⎝ 2 ⎠ 

( ) ( ) ( ) ( ) 

În Matlab, funcţia Gamma se apelează cu sintaxa y=gamma(x), unde x este 

argumentul iar y este valoarea calculată. Pentru x=2.5 se obţine 1.3293, iar pentru 

x=–0.5 se obţine -3.5449. 

Pentru x>0 se poate calcula logaritmul natural al funcţiei Gamma cu 

instrucţiunea gammaln(x), care corespunde lui log(gamma(x)), însă calculul se 

face printr-o metodă directă, fără a calcula gamma(x). 

Funcţia Gamma incompletă, gammainc(x,a), este definită de relaţia, 

x 

1 −t 

a−1 

P( x, 

a) 

= ∫ e t dt, 

a > 0, a ∈ R+ 

x ∈ R , 

Γ( 

a) 

şi are limitele: ( 0 , a) = 0, P( 

∞, 

a) 

= 1 

0 

P . 

Pentru x=1.25 şi a=0.5, cu gammainc(1.25,0.5) se obţine 0.8862. 

Pentru x=[0:0.1:15] şi diverse valori ale lui a, funcţia Gamma incompletă se 

obţine prin instrucţiunile: 

g_05=gammainc(x,0.5); g_1=gammainc(x,1); 

g_3=gammainc(x,3); g_10=gammainc(x,10), 

iar valorile sunt prezentate în figura 8.1. 

Complementul funcţiei P(x,a), notată cu Q(x,a), este de multe ori confundată 

cu funcţia gamma incompletă, 

Γ( 

x, 

a) 

1 −t 

a−1 

Q ( x, 

a) 

= 1− 

P( 

x, 

a) 

= = ∫ e t dt, 

a > 0, a ∈ R+ 

Γ( 

a) 

Γ( 

a) 

x 

x 

. 

x ∈ R 

şi are limitele, 

( 0 , a) 

= 1, P( 

∞, 

a) 

= 0 

Q .


Fig. 8.1. Funcţia Gamma incompletă pentru diverse valori ale lui a şi x 

8.7.2. Funcţiile Beta şi Beta incompletă 

B , , sau funcţia lui Euler de prima speţă, de variabile 

complexe p şi q, poate fi definită prin integrala, 

Funcţia Beta, ( p q) 

B 

1 

p− 

( p q) = t 

1 ( 1− 

t) 

∫ 

0 

q−1 

, dt , 

convergentă pentru R( p ) > 0 , ( ) > 0 

R q . 

Principalele proprietăţi ale funcţiei Beta sunt: 

• funcţia Beta, B ( p, q) 

, este simetrică în raport cu p şi q, B ( p q) B( q, 

p) 

obţinută prin schimbarea de variabilă 1 − t = τ , astfel că 

0 

1 

p p 

q p 

B p, q = − 1−τ τ dτ 

= τ 1−τ 

dτ 

B( 

q, 

p) 

; 

( ) ( ) ( ) 

∫ ∫ = 

1 

0 

, = ,

180 


• între funcţiile lui Euler B ( p, q) 

şi ( z) 

Γ 

( ) 

( p) Γ( q) 

B p, q = ; 

Γ( p + q) 

Γ există relaţia 

• pentru funcţia lui Euler de prima speţă avem egalitatea, 

( p) Γ( q + 1) 

( p + q + 1) 

( p + 1) Γ( q) 

( p + 1+ 

q) 

Γ 

Γ 

pB ( p, q + 1) 

= p 

= q 

= qB( p + 1, 

q) 

. 

Γ 

Γ 

În Matlab, funcţia Beta se apelează cu sintaxa b=beta(p,q), unde p şi q sunt 

argumentele, iar b este valoarea calculată. Pentru p=0.5 şi q=1.5 se obţine 1.5708. 

Pentru x>0 se poate calcula logaritmul natural al funcţiei beta, cu 

instrucţiunea betaln(p,q), care corespunde lui log(beta(p,q)), însă calculul se face 

printr-o metodă directă, fără a calcula beta(p,q). Pentru p=0.5 şi q=1.5 se obţine 

0.4516. 

Funcţia Beta incompletă, betainc(x,p,q), este definită de relaţia, 

B 

cu, 

inc 

( x, 

p, 

q) 

= 

1 

B( 

p, 

q) 

p , q > 0, p,q ∈ R+ x ∈[0,1] 

şi limitele: 

( 0 , p, 

q) = 0 

x 

p q ∞ 

p−1 

q−1 

x 

( ) 

( 1− 

x) 

⎡ B( p + 1, n + 1) 

n+ 

1⎤ 

∫ t 1− 

t dt = 

( ) 

⎢1 

+ ∑ x 

pB p, 

q B( p + q, 

n + 1) 

⎥ ⎦ 

B inc , B inc ( ∞, 

p, 

q) 

= 1. 

0 n= 

0 

Pentru x=[0:0.01:1] şi diverse valori ale lui p şi q, funcţia Beta incompletă se 

obţine prin: 

b1=betainc(x,0.5,5), b2=betainc(x,1,3), 

b3=betainc(x,8,10), b4=betainc(x,0.5,0.5), 

iar graficul este prezentat în figura 8.2. 

Pentru calculul funcţiei Beta incompletă se utilizează algoritmul din funcţia 

betacore, apelată în betainc(x,a,c) prin instrucţiunea betacore(x,a,b). 

⎣


Fig. 8.2. Funcţia Beta incompletă pentru diverse valori ale lui p, q şi x 

8.7.3. Funcţiile lui Bessel 

Printre funcţiile speciale, deosebit de importante sunt funcţiile lui Bessel, 

deoarece se întâlnesc în diverse probleme din mai toate domeniile fizicii şi ale 

tehnicii. 

Ecuaţia diferenţială 

2 

( 

2 2 

x y′′ 

( x) 

+ xy′ 

( x) 

+ x −ν 

) y( 

x) 

= 0 ⇔ 

2 

2 d y( 

x) 

dy( 

x) 

2 2 

x + x + ( x −ν 

) y( 

x) 

= 0 

2 

dx dx 

unde ν este un parametru real sau complex, se numeşte ecuaţia lui Bessel, iar 

soluţiile acestei ecuaţii se numesc funcţii Bessel. 

Funcţiile Bessel se mai numesc şi funcţii cilindrice datorită faptului că apar 

la rezolvarea ecuaţiei lui Laplace în coordonate cilindrice, în problemele la limită 

din teoria potenţialului (electric, termic, chimic). 

Soluţia generală a ecuaţiei lui Bessel pentru ν ≠ n întreg este 

y = C J x) 

+ C J ( ) 

1 ν 

( 

2 −ν 

x 

unde C 1 şi C 2 sunt constante arbitrare, iar J ν şi J -ν sunt funcţiile Bessel de speţa întâi 

şi ordinul ν, respectiv –ν. 

Funcţia Bessel de speţa întâi şi ordinul ν, pentru o valoare x, din domeniul de

182 


olomorfie (x)-T, unde T este o semidreaptă cu originea în x=0, este dată de relaţia 

J 

( −1) 

⎛ x ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

ν + 2 p 

∑ ∞ p 

ν 

( x) 

= 

. 

p= 

0 p! 

Γ( ν + p + 1) 

Între funcţiile Bessel cu indici de semne contrare, J ν şi J -ν , există relaţia 

n 

J 

− ν 

( x) 

= ( −1) Jν 

( x) 

. 

În Matlab, funcţia Bessel de speţa întâi şi ordinul niu (ν) real, pozitiv şi 

argumentul x se calculează cu instrucţiunea J=besselj(niu,x). Dacă x şi niu sunt 

vectori de dimensiunile m şi respectiv n, atunci J va fi o matrice cu dimensiunea 

m x n, în care elementul din poziţia (j,k) este dat de J(j,k)=besselj(niu(j),x(k)), cu 

j=1,…,m


punctelor unde se evaluază funcţia Neumann. 

Fig. 8.3. Funcţiile Bessel de speţa întâi şi ordin întreg 

Funcţiile Bessel de prima speţă (numite de multe ori de primul sau întâiul 

ordin) şi speţa a doua (numite şi de ordinul doi) sunt asemănătoare cu funcţiile 

trigonometrice şi, de fapt, funcţia J ν (x) corespunde lui cos(x) şi funcţia Y ν (x) 

corespunde lui sin(x). Aceasta sugerează deci să se definească pentru funcţiile 

cilindrice, funcţii care sunt legate de J ν şi Y ν în acelaşi mod cum funcţiile 

exponenţiale sunt legate de cele trigonometrice, adică 

( 1 ) ( ) ( 2 

H ( x) 

J ( x) 

iY x , H 

) ( x) 

J ( x) 

iY ( x ), 

ν 

= 

ν 

+ 

ν 

ν 

= 

ν 

− 

ν 

unde i este unitatea imaginară. 

( 1) ( 2) 

Funcţiile Hν ( x), 

Hν 

( x) 

se numesc funcţiile lui Bessel de speţa a treia 

(sau de ordinul trei) sau funcţiile lui Hankel. Acestea sunt cunoscute ca funcţiile 

( 1) 

( 2) 

Hankel de speţa întâi , H ν 

( x) 

, respectiv de speţa a doua, H ν 

( x) 

. 

Dacă ν ≠ n întreg, atunci 

−iνπ 

( ) Jν 

( x) e J 

ν 

( ) 

H 

1 ν 

( x) 

i 

x 

iνπ 

− 

− 

( ) Jν 

( x) e − J 

ν 

( ) 

= , 

2 ν 

( ) 

x − 

H x = −i 

. 

sinνπ 

sinνπ 

Schimbând pe ν în − ν , rezultă evident, 

( 1) iνπ 

( 1) 

( 2) −iνπ 

( 2) 

H 

− ν 

( x) 

= e Hν 

( x) 

, H 

− ν 

( x) 

= e Hν 

( x) 

.

184 


În Matlab, funcţiile Bessel de ordinul trei sau funcţiile lui Hankel sunt 

calculate cu instrucţiunea H=besselh(niu,k,z), unde niu este ordinul, k este ordinul 

sau speţa (k=1 pentru speţa întâi şi k=2 pentru speţa a doua), iar x ordonatele 

punctelor unde se evaluază funcţia Hankel. 

sunt: 

Valorile funcţiilor Bessel pentru valori foarte mici ale argumentului (|x|


d 

dx 

2 

2 

Y 

( x) Y ′′ ( x) 

( n −1) 

⎡n 

⎤ 1 

= 

n 

= 

⎢ 

−1 

Yn 

( x) + Yn 

( x) 

2 

+ 

⎣ x ⎥ 

. 

⎦ x 

n 1 

Dacă ordinul funcţiei Bessel este un multiplu impar al lui 1/2, atunci funcţia 

Bessel de prima speţă (ordinul întâi) poate fi exprimată, sub formă compactă, cu 

ajutorul funcţiilor trigonometrice elementare şi al puterilor negative, întregi şi 

fracţionale, ale lui x, 

J 

2 

xπ 

2 

xπ 

( x) = sin x, 

J ( x) = cos , 

1 1 

x 

− 

2 

2 

2 ⎛ 1 ⎞ 

2 ⎛ 1 

J ⎜ 

⎟ 

3 3 ⎜ 

2 

⎟ ⎞ 

xπ 

⎝ x ⎠ 

− xπ 

⎝ 

⎠ 

J 

2 

( x) = sin x − cos x , J ( x) = − sin x + cos x , 

2 ⎡ 

x 

⎛ 1 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ x ⎠ 

⎛ 1 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ x ⎠ 

( x) = A sin x + B cos x , întreg, 

1 ⎢ n 

n 

n 

n+ π 

2 ⎣ 

2 

⎥ ⎦ 

⎤ 

iar 

⎛ 1 ⎞ 

An 

⎜ ⎟, 

B 

⎝ x ⎠ 

n 

⎛ 1 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ x ⎠ 

sunt 

polinoame în x 

1 de grad cel mult n. 

Liouville a arătat că acestea sunt singurele funcţii Bessel care pot fi 

exprimate prin funcţii elementare, iar toate celelalte sunt funcţii transcendente noi. 

Funcţiile Bessel de prima speţă şi de ordin întreg pot fi reprezentaţi printr-o 

integrală definită. Astfel, 

J 

J 

2π 

2π 

1 

1 

1 

n 

i 2π ∫ 

2π 

∫ 

π ∫ 

0 

0 

0 

ix cosθ 

inθ 

ix sinθ 

−inθ 

( x) = e e dθ 

= e e dθ 

= cos( x sinθ 

− nθ 

) 

n 

, 

0 

1 

π 

π 

( x) = ∫ cos( x sinθ 

) dθ 

= ∫ cos( x sinθ 

) dθ 

= ∫ 

0 

2 

π 

π 

2 

0 

2 

π 

1 

0 

π 

cos ux 

1− 

u 

2 

du . 

De asemenea, funcţiile Bessel de prima speţă şi de ordin întreg, J n 

( x) 

, 

1 

= 

i2π 

x⎛ 

1 ⎞ 

⎜ζ 

− 

⎟ 

2⎝ 

ζ ⎠ 

admit reprezentarea 

n 

( ) ∫ n+ 

J 

x 

C 

e 

ζ 

1 

dθ 

dζ 

, unde C este un cerc cu centrul în 

punctul ζ = 0 sau o curbă simplă închisă care înconjură acest punct.

186 


8.7.4. Dezvoltarea în serie de funcţii Bessel a unei funcţii 

oarecare. Ortogonalitatea funţiilor Bessel de prima speţă 

şi zerourile lor. 

Se poate demonstra că o funcţie oarecare poate fi exprimată sub forma 

( x) a J ( ξ x) 

= ∑ ∞ f ν n ν 

, cu 0 ≤ x ≤ 1, adică poate fi exprimată cu ajutorul unui 

ν =1 

număr mare de funcţii Bessel de ordinul n. În această expresie ξ , ξ ,... 2 

ξ ,... sunt 

1 ν 

J ordonate după mărime (n>-1), n fiind număr real. 

rădăcinile funcţiei 

n 

( ξ ) 

Dacă n este real n>-1, toate zerourile funcţiei ( x) 

corespunzătoare are toţi coeficienţii reali. Funcţia ( x) = 0 

J n 

sunt reale, întrucât seria 

J n 

, cu n real, are o 

infinitate de rădăcini reale. 

Valorile coeficienţilor le obţinem în modul obişnuit, înmulţind ambii 

membrii ai egalităţii cu o asemenea funcţie, încât în membrul drept al egalităţii, 

integrând în domeniul 0 ≤ x ≤ 1, valoarea numai a unei singure integrale să rezulte 

diferită de zero. În acest fel, poate fi determinat coeficientul corespunnzător 

termenului respectiv. 

Funcţiile xJ 

n 

( ξ 

1x) , xJ 

n 

( ξ 

2x) , ... xJ 

n 

( ξν 

x) ,... , 0 ≤ x ≤ 1, formează 

o mulţime de funcţii ortogonale în domeniul 0 ≤ x ≤ 1, adică, 

1 

∫ 

0 

xJ 

n 

1 

( x) xJ 

( ξ x) dx xJ ( ξ x) J ( ξ x) dx = 0, i ≠ k 

ξ 

i 

n k 

= ∫ n i n k 

. 

Coeficienţii dezvoltării în serie 

f x = a J ξ x + a J ξ x + ... + a J ξ x 

( ) 

1 n 

( 

1 

) 

2 n 

( 

2 

) 

n n 

( 

n 

) + ... 

îi putem obţine prin înmulţirea ambilor membrii cu funcţia ( ξ x) 

0 

xJ n ν 

, integrând de 

la 0 la 1 şi ţinând seama de relaţia de ortogonalitate, 

1 

∫ 

0 

xJ 

n 

( ξ x) J ( ξ x) dx = 0, i ≠ k 

i 

n 

k 

, astfel că termenii din membrul drept vor fi nuli, 

cu excepţia unuia singur. 

Prin urmare, coeficientul alν -lea al dezvoltării în serie este: 

a 

ν 

1 

n 

( ξν 

) ∫ ) 

2 

0 

2 

= 

J ′ 

f ( x xJ ( ξ x)dx 

. 

8.7.5. Funcţiile Bessel modificate 

n 

ν 

În practică, nu obţinem direct formele canonice ale ecuaţiilor Laplace în 

coordonate cilindrice,


2 

2 

d y( 

x) 

1 dy( 

x) 

⎛ n ⎞ 

1 ( ) 0 

2 + + ⎜ − = ⇔ 

2 

⎟y 

x 

dx x dx ⎝ x ⎠ 

2 

2 d y( 

x) 

dy( 

x) 

x + x + 

x 

2 

dx dx 

dx ⎝ dx ⎠ 

2 2 

d ⎛ d ⎞ 2 2 

( x − n ) y( 

x) 

= 0 ⇔ x ⎜ x ⎟ + ( x − n ) y( 

) = 0 

ci, în general, trebuie să rezolvăm ecuaţii diferenţiale de forma: 

2 

2 

d y( 

x) 

1 dy( 

x) 

⎛ n ⎞ 

+ + ( ) = 0 

2 

⎜k 

− 

2 

⎟y 

x , 


care, cu schimbarea de variabilă z = kx ,se reduce la forma canonică. 

Soluţia generală a ecuaţiei anterioare se poate scrie sub forma 

y = C1J 

n 

( kx) 

+ C2J 

−n 

( kx) 

sau y = C1J 

n 

( kx) 

+ C2Yn 

( kx) 

, care, pentru n şi x ,iau 

valori complexe. 

2 

Pentru cazul paricular k = −1, ecuaţia anterioară devine 

2 

2 

d y( 

x) 

1 dy( 

x) 

⎛ n ⎞ 

+ + 1 ( ) = 0 

2 

⎜− 

− 

2 

⎟y 

x , 


având soluţia generală de forma, 

y = C1I 

n ( x) 

+ C2Kn( 

x) 

, 

unde I n (x) 

este funcţia Bessel modificată de speţa întâi, iar K n 

(x) 

este funcţia 

Bessel modificată de speţa a doua. 

Aceste funcţii modificate sunt echivalentele funcţiilor Bessel J n 

(x) 

şi 

Y n 

(x) , care diferă printr-un factor constant şi sunt date de expresiile, 

n 

n 

= i 

− J 

n 

( ix) ≡ ( − i) J 

n 

( ), 

π n+ 

1 

π 

i [ J ( ix) + iY ( ix) 

] = [ I ( x) − I ( x) 

] 

I ( x) 

ix 

n 

K ( x) 

n 

= 

n 

n 

−n 

2 

2sin nπ 

fiind denumite, din această cauză şi funcţiile Bessel de argument pur imaginar. 

În Matlab, aceste funcţii sunt calculate cu formula bi=besseli(n,x) şi 

bk=besselk(n,x), unde n este ordinul, iar x este argumentul pur imaginar. 

Pentru x pur imaginar, având valorile modulului x=[0:0.1:4], se reprezintă în 

figura 8.4, funcţiile Bessel modificate de speţa întâi (I) şi a doua (K), de ordinul 

n=0,1,2, calculate cu secvenţele Matlab: 

x =[0:0.001:3.5]; 

x1=[0.01:0.001:3.5]; K_0=besselk(0,x1); 

x2=[0.125:0.001:3.5]; K_1=besselk(1,x2); 

x3=[0.5:0.001:3.5]; K_2=besselk(2,x3); 

plot(x,I_0,x,I_1,'-.',x,I_2,'--',x1,K_0,x2,K_1,'-.',x3,K_2,'--'). 

I_0=besseli(0,x); I_1=besseli(1,x); I_2=besseli(2,x); 

n 

,

188 


Fig. 8.4. Funcţiile Bessel modificate 

Dacă comportarea funcţiilor Bessel de speţa întâi şi a doua seamănă cu aceea 

a funcţiilor care descriu mişcarea oscilatorie amortizată, (ceea ce a reieşit şi din 

faptul că pentru valori foarte mari ale argumentului ele pot fi înlocuite cu funcţii 

sinus, respectiv cosinus de amplitudine descrescătoare), comportarea funcţiilor 

Bessel modificate se aseamănă cu aceea a funcţiilor exponenţiale. 

Valorile funcţiilor Bessel modificate, pentru valori foarte mici ale 

argumentului (|x|


I 

I 

0 

( x) 

1 

≈ 1 , 

1 

− 

( x) 2x 

K 

K 

0 

( x) 

≈ 1 

1 

+ 

1 

2 

( x) x 

, |x|≅1. 

Pentru funcţiile Bessel modificate, sunt valabile următoarele formule de 

recurenţă: 

2n 

2n 

I 

n+ 1( x) = − I 

n 

( x) + J 

n−1( x) , K 

n+ 

1( x) = K 

n 

( x) + K 

n−1 

( x) 

, K′ 0 

( x) = −K1( x) 

, 

x 

x 

d 

1 

1 

I 

0 

( x) = I′ 

0 

( x) = I1( x) 

, I1( x) = xI ( x)dx 

dx 

x 

∫ 0 

, K1( x) = xK ( x)dx 

x 

∫ 0 

. 

Verificarea argumentelor funcţiilor Bessel se face cu besschk, apelată sub 

forma [MSG,n,x,SIZ] = besschk(n,x), în care în MSG se întoarce un mesaj 

referitor la n şi x, specificând dacă sunt numere şi dacă sunt reale, iar în SIZ se 

specifică dacă au aceeaşi dimensiune, concomitent cu un mesaj dacă nu au. 

8.7.6. Funcţiile lui Thomson 

Pe lângă funcţiile lui Bessel, de argument pur real sau pur imaginar, întâlnim 

1 

π 3 

şi funcţii de ordinul zero şi de argument i 2 i 

4 

x (respectiv xe ) sau i 2 x (respectiv 

π 

i 

4 

ixe ), a căror valoare este în general complexă. 

Pentru aceste funcţii, cu aplicaţii practice deosebite în electrotehnică, se 

folosesc notaţiile introduse de W. Thomson (lord Kelvin): 

π 

π 

⎛ i ⎞ ⎛ i ⎞ 

⎜ 4 ⎟ = ⎜ 4 

ber( x ) + ibei( 

x) 

= J 

⎟ 

0 

ixe 

I 

0 

xe , 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

3π 

π 

⎛ i ⎞ ⎛ i ⎞ 

+ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 

− 

4 

4 

ker( x ) ikei( 

x) 

K0 

ixe 

K 

0 

xe . 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

π 

⎛ i ⎞ 

−n 

Ţinând seama de I 

n 

( x) 

= i J 

n 

( ix), 

avem ⎜ ∑ ∞ 

4 

p 1 ⎛ x 

⎟ 

⎞ 

I 

0 

xe 

= i 

2 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ p= 

0 ( p! 

) ⎝ 2 ⎠ 

astfel că: 

3 

1 

4 

8 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 

2 

2 

⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ 

ber( x ) = Re J ⎜ ⎟ 

0 

Re ⎜ ⎟ 

i x 

= J 

0 

i x 

≈1− 

+ −... 

2 

⎜ ⎟ 

2 

⎜ ⎟ , 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( 2! ) ⎝ 2 ⎠ ( 4! ) ⎝ 2 ⎠ 

3 

1 

2 

6 

10 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 1 

2 

2 

⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ 

bei( x) 

= Im J ⎜ ⎟ 

0 

Im ⎜ ⎟ 

i x 

= − J 

0 

i x 

≈ − + −... 

2 

⎜ ⎟ 

2 

⎜ ⎟ 

2 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( 1! ) ⎝ 2 ⎠ ( 3! ) ⎝ 2 ⎠ ( 5! ) ⎝ 2 ⎠ 

Curbele funcţiilor ber(x) şi bei(x) sunt prezentate în figura 8.5 şi sunt 

2 p 

,

190 


calculate în Matlab cu instrucţiunile: 

x=[0:0.1:10]; ber=real(besselj(0,i^0.5*x)); bei=imag(besselj(0,i^1.5*x)); 

plot(x,ber,'-.',x,bei); xlabel('x'); ylabel('Functiile lui Thomson'). 

Prin definiţie, ber(x) şi bei(x) se numesc funcţiile lui Thomson. 

Acestea se generalizează pentru ν oarecare prin egalităţile: 

3π 

⎛ ± i ⎞ 

ber ± = ⎜ 4 ⎟ 

ν ( x ) ibeiν 

( x) 

Jν 

xe , 

⎝ ⎠ 

3π 

⎛ ± i ⎞ 

ker ( ) ± kei ( ) = ⎜ ⎟ 

− 4 

ν x i ν x Kν 

ixe , 

⎝ ⎠ 

3π 

⎛ ± i ⎞ 

(1) 

her( x ) + ihei( 

x) 

= H ⎜ 4 ⎟ 

ν 

xe 

. 

⎝ ⎠ 

Fig. 8.5. Funcţiile lui Thomson ber(x) şi bei(x)


8.7.7. Funcţia Airy 

Pe lângă funcţiile lui Bessel, de argument pur real sau pur imaginar, întâlnim 

şi funcţiile Airy, definite astfel: 

• W = airy(Z) - funcţia Airy, Ai(z), a elementelor Z; 

• W = airy(0,Z) – identică cu airy(Z); 

• W = airy(1,Z) – derivate funcţiei Airy, Ai'(z); 

• W = airy(2,Z) – funcţia Airy de speţa a doua, Bi(z); 

• W = airy(3,Z) – derivate funcţiei Airy de speţa a doua, Bi'(z). 

Dacă argumentul Z este o matrice, rezultatul este de acelaşi tip. 

Sub forma [W,IERR] = airy(K,Z), returnează în IERR şi informaţii 

referitoare la rezultatul calculelor. Astfel: 

• ierr = 1 argument illegal (Illegal arguments); 

• ierr = 2 depăşire spre infinit (Overflow. Return Inf.); 

• ierr = 3 acurateţe inadecvată (Some loss of accuracy in argument 

reduction) 

• ierr = 4 rezultatele sunt inadecvate (Complete loss of accuracy, z too 

large); 

• ierr = 5 nu este convergentă (No convergence. Return NaN). 

Relaţiile dintre funcţiile Airy şi Bessel modificate sunt: 

1 z 

Ai(z) = ⋅ ⋅ K 

π 3 

z 

Bi(z) 

3 

3 

2 

unde: ζ = ⋅ z 2 . 

3 

−1/ 

3 

( ζ ) 

( I ( ) + I ( ζ )) 

= ⋅ 

− 1/ 3 

ζ 

1/ 3 

În Matlab, relaţiile sunt: 

Ai(z) = 1/pi*sqrt(z/3)*K_1/3(zeta) 

Bi(z) = sqrt(z/3)*(I_-1/3(zeta)+I_1/3(zeta)) 

unde zeta = 2/3*z^(3/2). 

8.7.8. Funcţia eroare 

Funcţia eroare, erf(x), şi complementara funcţiei eroare, erfc(x), sunt cazuri 

speciale ale funcţiei Gamma incomplete, definite prin relaţiile: 

2 t 

erf(x) = ⋅∫ e 

− 

π 

x 

0 

2 

dt = P( 

x 

2 

,0.5) ,

192 


2 

erfc(x) = ⋅∫ − t 

e 

π 

x 

0 

2 

dt = 1− 

erf(x) 

în care P ( x 

2 ,0.5) 

este funcţia Gamma incompletă, iar argumentul x trebuie să fie 

real şi x ≥ 0 . 

Funcţia eroare şi complementara acesteia au limitele, 

erf(0) = 0 , erf( ∞ ) = 1, erfc(0) = 1, erfc( ∞ ) = 0 , 

şi respectă relaţiile de simetrie : 

erf(-x) = −erf(-x) , erfc(-x) = 2 − erfc(x) . 

Calculul valorii funcţiei eroare genaralizate, pentru x şi y scalar, vector sau 

matrice se face cu relaţia: 

2 

erf(x) = ⋅∫ − t 

e 

π 

y 

x 

2 

dt = erf(y) − erf(x) . 

Inversa funcţiei eroare, erfinv(y), returnează valoarea x pentru valori 

cunoscute ale argumentului y şi se apelează cu sintaxa x=erfinv(y). Valorile lui y 

- ∞ , + ∞ . 

trebuie să fie în intervalul [-1 1], iar x rezultă în intervalul ( ) 

Funcţia eroare, acoperitoare pentru fiecare argument x este: 

erfcx(x) 

2 

= x 

e ⋅erf(x) 

, 

care, pentru x foarte mare, este aproximată cu 

8.7.9. Funcţia integrală exponenţială 

1 1 ⋅ . 

π x 

Funcţia integrală exponenţială, expint, pentru fiecare element x>0, este 

definită prin: 

∞ 

∫ 

x 

−t 

e 

expint(x) = dt . 

t 

O altă definiţie a funcţiei integraleexponenţială este valoarea principală a 

integralei Chauchy, notată Ei şi definită prin: 

x 

∫ 

−∞ 

−t 

e 

Ei(x) = dt . 

t 

Relaţia dintre cele două definiţii este: 

expint(-x+i*0) = -Ei(x) - i*pi, pentru x > 0 

Ei(x) = real(-expint(-x)), pentru x > 0.


8.7.10. Polinoamele şi funcţiile Legendre asociate 

În coordonate carteziene x, y, z, ecuaţia lui Laplace ∆u = div grad u = 0 , 

se scrie, 

2 2 2 

∂ u ∂ u ∂ u 

+ + = 0 , 

2 2 2 

∂ x ∂ y ∂ z 

iar în coordonate sferice, r, θ , ϕ , această ecuaţie are forma, 

1 2 

∂ ⎛ ∂ U ⎞ 1 ∂ U ∂ ⎛ ∂ U 

sin 

2 ⎞ 

⋅ ⋅⎜ 

θ ⋅ ⎟ + ⋅ + ⋅ = 0 

2 2 

⎜r 

⋅ ⎟ , 

sinθ 

∂θ 

⎝ ∂θ 

⎠ sin θ ∂ ϕ ∂ r ⎝ ∂ r ⎠ 

unde: 

U ( r, θ , ϕ ) = u( r ⋅ sinθ 

⋅ cosϕ, 

r ⋅ sinθ 

⋅ sinϕ, 

r ⋅ cosθ 

) 

este funcţia obţinută din u ( x, y, 

z) 

prin schimbarea coordonatelor carteziene în 

sferice, 

x = r ⋅sinθ 

⋅cosϕ, 

y = r ⋅sinθ 

⋅sinϕ, 

z = r ⋅cosθ 

. 

Funcţiile u ( x y, 

z) 

numesc funcţii sferice. Gradul de omogenitate al funcţiei u ( x y, 

z) 

, , omogene în x, y, z, care satisfac ecuaţia lui Laplace se 

, se numeşte şi 

ordinul funcţiei sferice. 

Dacă u ( x, y, 

z) 

este o funcţie sferică de ordinul n, datorită omogenităţii, 

avem 

n 

n 

U r θ , ϕ = r ⋅u 

r ⋅sinθ 

⋅cosϕ, 

r ⋅sinθ 

⋅sinϕ, 

r ⋅cosθ 

= r ⋅ F θ , ϕ , 

( ) ( ) ( ) 

, 

n 

care, introdusă în ecuaţia lui Laplace, scrisă în coordonate sferice şi simplificând cu 

n 

r , conduce la: 

2 

1 ∂ ⎛ ∂ Fn 

⎞ 1 ∂ Fn 

⋅ ⋅⎜sinθ 

⋅ ⎟ + ⋅ + n⋅( n + 1) ⋅ F = 0 

2 2 

n 

. 

sinθ 

∂θ 

⎝ ∂θ 

⎠ sin θ ∂ ϕ 

Funcţiile F ( θ ,ϕ ) 

n 

, care verifică ecuaţia Laplace de mai sus, se numesc 

funcţii sferice superficiale de ordinul n, deoarece pe sfera cu centrul în origine şi de 

rază r = 1 avem: 

U , θ , ϕ = F θ , ϕ . 

( 1 ) 

n 

( ) 

Fiecărei funcţii sferice ( x, y, 

z) U ( r,θ ,ϕ ) 

funcţie sferică superficială 

n 

( θ ,ϕ ) 

superficiale F 

n 

( θ ,ϕ ) îi corespunde o funcţie sferică 

n 

u( x y, 

z) = U ( r, 

θ , ϕ ) = r ⋅ F ( θ , ϕ ) 

de acelaşi ordin n. 

, 

n 

u = de ordinul n îi corespunde o 

F şi, reciproc, fiecărei funcţii sferice

194 


De menţionat că schimbarea lui n în p = −n 

−1, lasă ecuaţia anterioară 

n 

neschimbată şi prin urmare, dacă U ( r, θ , ϕ ) r ⋅ Fn 

( θ , ϕ ) 

−n−1 

atunci şi funcţia ( r θ , ϕ ) r ⋅ F ( θ , ϕ ) 

1 

, = 

−n−1 

= este o funcţie sferică, 

U este o funcţie sferică. 

Polinoamele lui Legendre sau funcţiile lui Legendre de prima speţă sunt 

funcţii sferice superficiale, care satisfac ecuaţia lui Laplace. Acestea sunt 

polinoame de gradul n în x = cosα 

, conţinând numai puteri pare sau impare, după 

cum n este par sau impar, iar semnele termenilor săi alternează: 

P 

n 

⎛ n ⎞ 

E⎜ 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

k k 1⋅3⋅ 

5L 

= n ∑ ⋅ Cn−k 

⋅ 

k 

k = 0 2 ! 

( cos ) P ( x) = ( −1) 

( 2n 

− 2k 

−1) 

( n − k) 

n−2k 

α ⋅ x , 

⎛ ⎞ 

⎜ n ⎟ 

n 

în care E ⎜ ⎟ este partea întreagă a numărului . 

⎝ 2 ⎠ 

2 

De remarcat că, pentru α real, x ∈ [ − 1, 1] 

. 

Principalele proprietăţi ale polinoamelor lui Legendre sunt: 

• pot fi exprimate prin formula Olinde-Rodrigues, 

n 

1 d 2 

P ( ) ( ) n 

n 

x = x −1 

, 

n n 

2 n! 

d x 

sau formula lui Schlafli, ca o integrală pe o curbă oarecare, C, închisă cu x, 

un punct interior domeniului mărginit de C, 

P 

n 

2 

1 1 

( ) 

( ζ −1) 

x = ⋅ 

2 

n 

2π 

⋅ i 

∫ C 

n+ 

1 

( ζ − x) 

n 

dζ 

, 

• satisfac relaţia de recurenţă, care permite determinarea tuturor 

polinoamelor, când se cunosc două dintre ele, cu indici diferind printr-o 

unitate, 

n P − 2n 

+ 1 xP + nP = 0, 1,2,3 

( ) ( ) L 

+ 1 

n + 1 n n−1 

n = , 

• pentru x ∈ [ − 1, 1] 

iau valori reale în intervalul [ − 1, 1] 

, 

• au toate rădăcinile reale şi distincte, cuprinse în intervalul deschis ( 1 1) 

• polinomul lui Legendre ( x) 

Legendre, 

P n 

este o soluţie a ecuaţiei diferenţiale a lui 

2 

[( x −1) 

y' 

] − n( n −1) y = 0 ⇔ ( x −1) y" 

+ 2xy' 

−n( n −1) y = 0 

d 2 

, 

d x 

• polinoamele lui Legendre formează un sistem de funcţii ortogonale pe 

intervalul [ − 1, 1] 

, 

− ,


1 

⎧ 0 pentru k ≠ n 

⎪ 

∫ Pk 

( x) ⋅ Pn 

( x) 

⋅ dx 

= ⎨ 2 

, 

pentru k = n 

−1 

⎪⎩ 2n 

+ 1 

ceea ce permite să considerăm seria Fourier a unei funcţii f(x), integrabilă 

şi cu pătratul integrabil pe [ − 1, 1] 

, faţă de sistemul de funcţii format de 

polinoamele Legendre, a ⋅ P ( x ) cu coeficienţii Fourier generalizaţi 

a 

n 

1 

2 n + 1 

= 

2 

∫ 

−1 

f 

∑ ∞ 

n = 0 

( x ) ⋅ P ( x ) ⋅ d x 

n 

n 

n 

De menţionat că, polinomul lui Legendre P n 

( x) 

, este o soluţie particulară a 

2 

ecuaţiei lui Legendre, ( −1) y" 

+ 2xy' 

−n( n −1) y = 0 

x . 

Soluţia generală a ecuaţiei lui Legendre este 

⎡ x + 1 ⎤ 

y = Pn 

( x) ⋅ z = C ⋅ ⎢Pn 

( x) ⋅ln + K 

n−1 

( x) ⎥ + C1 

⋅ Pn 

( x) 

, 

⎣ x −1 

⎦ 

în care polinoamele ( x) 

de puteri. 

K n 1 

− 

se determină dezvoltând funcţia 

ln 

x + 1 

x −1 

în serie 

x + 1 

Funcţiile Qn ( x) = Pn 

( x) ⋅ln 

+ K 

n−1( x) 

se numesc funcţiile lui 

x −1 

Legendre de speţa a doua. Aceste funcţii verifică, evident, ecuaţia lui Legendre şi 

satisfac aceleaşi relaţii de recurenţă ca polinoamele lui Legendre. 

Funcţiile lui Legendre asociate se construiesc folosind funcţiile lui 

Legendre de prima speţă şi de speţa a doua şi sunt : 

m m 

d Pn 

( ) ( ) 

( x ) 

Pn 

m 

x 1 x 

2 2 

, 

= − 

, 

m 

d x 

m m 

2 d Q 

n 

( ) ( ) 

( x ) 

Q 

n m 

x 1 x 2 

, 

= − 

, 

m 

d x 

unde m şi n iau valorile 0, 1, 2, 3, …, iar m ≤ n . 

Funcţiile lui Legendre asociate sunt soluţii ale ecuaţiei diferenţiale: 

2 

2 ⎡ m ⎤ 

( 1− 

x ) y" 

−2x 

⋅ y' 

+ ⎢n( n + 1) − = 0 

2 ⎥ 

1 

⋅ y 

⎣ − x ⎦ 

şi pot fi exprimate sintetic sub forma:

196 


m m 

m 

2 d Pn 

( ) ( ) 

( x ) 

− 1 ⋅ 1 x 

Pn 

m 

( x ) 

2 

, 

= − 

, 

m 

d x 

în care n este gradul, iar m este ordinul. 

Calculul acestor funcţii se face în Matlab prin instrucţiunea 

P=legendre(n,x), care permite calculul funcţiilor Legendre de gradul n şi ordinul 

m=0, 1, …, n, evaluate pentru fiecare element x. De menţionat că n trebuie să fie 

un scalar întreg n < 256, iar x ∈ [ − 1, 1] 

, adică -1


0 -0.2985 -0.5879 -0.8585 -1.0998 -1.2990 

3.0000 2.9700 2.8800 2.7300 2.5200 2.2500 

iar instrucţiunea, 

P=legendre(2,0:0.1:0.5,'sch') 

are ca rezultat, 

P = 

-0.5000 -0.4850 -0.4400 -0.3650 -0.2600 -0.1250 

0 0.1723 0.3394 0.4957 0.6350 0.7500 

0.8660 0.8574 0.8314 0.7881 0.7275 0.6495 

de unde se observă diferenţa. 

Pentru m=1 şi n=1, ecuaţia diferenţială de gradul doi devine: 

2 ⎡ 1 ⎤ 

( 1− 

x ) y" 

−2x 

⋅ y' 

+ 

⎢ 

2 − ⋅ = 0 

2 

⎣ 1− 

⎥ 

y , 

x ⎦ 

iar soluţiile, pentru x=0:0.01:1 sunt calculate cu relaţia P1=legendre(2,x), pentru 

funcţiile Legendre asociate şi relaţia P2=legendre(2,x,'sch'), pentru funcţiile 

Schmidt seminormalizate, asociate funcţiilor Legendre. 

Reprezentarea grafică este redată în figura 8.6. 

1 

0.5 

P2 

0 

y 

-0.5 

P1 

-1 

-1.5 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 

x 

Fig.8.6. Soluţiile ecuaţiiei de gradul 2 cu funcţii Legendre

198 


8.7.11. Funcţii eliptice Jacobi 

Polinoamele lui Jacobi sunt de forma: 

− α 

β 

n 

1 ( x − a ) ( b − x ) d 

α + n 

J 

n 

( x ) = ⋅ 

( x − a ) ( b − x ) 

n 

n 

( a − b ) ( α + 1)( α + 2 ) L ( α + n ) d x 

unde α , β sunt două numere reale mai mari decât –1. 

Polinomul lui Jacobi (x) 

este o soluţie a ecuaţiei diferenţiale: 

J n 

β + n 

[ ] 

( x − a)( x − b) ⋅ y" + [( α + 1)( x − b) + ( β + 1)( x − a) 

] ⋅ y' 

−n( n + α + β + 1) ⋅ y = 0 

Totodată, polinoamele lui Jacobi, cuprind drept cazuri particulare, alte 

polinoame speciale, astfel: 

• pentru α = 0 , β = 0, a = −1, 

b = 1 se obţin polinoamele lui Legendre sub 

forma Olinde-Rodrigues; 

• dacă α = 0 , β = b , se obţine polinomul lui Laguere, până la o constantă ; 

2 

b 

• pentru a = −b, 

α = β = , se obţin polinoamele lui Hermite ; 

2 

1 

• pentru a = −1, 

b = 1, α = β = − , se obţin polinoamele lui Cebîşev. 

2 

În Matlab, funcţia [Sn,Cn,Dn] = ellipj(U,M, TOL), returnează valorile 

funcţiilor eliptice SN, CN şi DN, evaluate pentru fiecare element al argumentului U 

şi parametrului M, cu toleranţa TOL. Vectorii U şi M trebuie să aibă aceeaşi 

dimensiune sau unul să fie scalar, iar M are limitele 0


z=-10:0.1:10; f=1./sqrt(2*pi)*exp(-z.^2/2); 

plot(z,f); grid on; xlabel('z'); ylabel('f(z)'). 

Calculul funcţiei de repartiţie Laplace, 

f 

∞ 

1 

2 

= e 

− t 

dt 

2 ⋅π 

( z) ∫ 

f ( z) dz = ⋅ 

∫ 

−∞ 

∞ 

−∞ 

foloseşte secvenţa, 

F=trapz(z,1./(sqrt(2*pi))*exp(-z.^2/2)) 

care, pentru valorile anterioare, rezultă F=1. Limita de integrare, ∞ , se poate lua 

un număr între -5 şi -10, fără ca, prin aceasta, să se inducă erori semnificative. 

Fig. 8.7. Densitatea de probabilitate cu repartiţie normală normată 

8.8. Transformări de coordonate 

Dacă în unele probleme de teoria câmpurilor (termice, electrice, magnetice, 

barice) se utilizează un sistem de coordonate, nu întotdeauna sistemul cartezian 

este cel mai potrivit. De aceea, este necesar să studiem problema reprezentării 

funcţiilor scalare şi a funcţiilor vectoriale, precum şi a unor mărimi derivate, în 

coordonate oarecare. Mai mult, este necesar să putem transforma un sistem de 

coordonate în alt sistem de coordonate. 

Fie x, y, z coordonatele carteziene ortogonale ale unui punct arbitrar P (vezi 

figura 8.8).

200 


Poziţia unui punct ( x , y z ) 

P poate fi obţinută ca intersecţia planelor 

0 0 0, 

0 

x = x 0 

, y = y0 

, z = z0 

. Aceste plane se intersectează, două câte două, după 

dreptele 

y = y , z = z ; 

0 

z = z , x = x ; 

0 

x = x , y = y , 

0 

0 

0 

0 

paralele cu axele de coordonate. Fiecărui punct P 

0 

din spaţiu, îi este ataşat un 

r r r 

triedru i , j, 

k , care este acelaşi pentru toate punctele din spaţiu. 

Fig. 8.8. 

În coordonate cilindrice, poziţia unui punct P este caracterizată prin 

ρ ,ϕ, z , unde ρ este distanţa de la origine la proiecţia P ' a punctului P, pe planul 

xOy , ϕ este unghiul format de OP ' cu axa Ox , iar z cota lui P faţă de planul 

xOy . 

P ρ , ϕ z este intersecţia următoarelor suprafeţe: cilindru 

Punctul ( ) 

0 0 0, 

0 

ρ = ρ 0 

, semiplanul ϕ 

0 

ϕ = şi planul z = z0 

(vezi figura 8.9). 

Intersecţiile acestor suprafeţe, luate câte două, sunt: semidreapta 

variază numai ρ , cercul 

C 

ϕ 

, pe care variază numai ϕ şi dreapta 

C 

ρ 

, pe care 

C 

z 

, pe care 

variază numai z. 

r r r 

Notăm cu u , u , ρ ϕ 

uz 

vectorii unitari tangenţi la aceste curbe, în P 

0 

şi dirijaţi 

în sensul crescător al variabilelor respective. Aceşti vectori sunt determinaţi în 

toate punctele din spaţiu, cu excepţia axei Oz , în care u r u r , au direcţii 

ρ 

ϕ


nedeterminate. 

r r r 

Fiind ortogonali, doi câte doi, u , u , ρ ϕ 

uz 

formează un triedru nedegenerat, 

de referinţă pentru orice punct, variabil cu punctul în care este considerat. 

Fig. 8.9. 

Între coordonatele cilindrice şi coordonatele carteziene avem relaţiile: 

⎧x 

= ρ ⋅ cosϕ 

⎪ 

⎨ y = ρ ⋅ sinϕ 

⎪ 

⎩ z = z 

cu ρ ≥ 0 , 0 ≤ ϕ < 2π 

. 

Funcţia Matlab care realizează această transformare, din coordonate 

cilindrice în coordonate carteziene, este pol2cart. Aceasta poate fi apelată prin: 

[X,Y,Z] = pol2cart(TH,R,Z) 

în care TH este unghiul ϕ , R este raza ρ , iar Z este înălţimea z, iar X, Y, Z sunt 

coordonatele carteziene. Matricele TH, R şi Z trebuie să aibă aceeaşi dimensiune 

(sau oricare să fie scalar);TH este dat în radiani. 

De exemplu, dacă coordonatele punctului sunt TH=pi/6, R=2 şi Z=3, atunci: 

[X,Y,Z] = pol2cart(TH,R,Z), 

conduce la X = 1.7321, Y = 1.0000, Z = 3. 

Pentru plan, transformarea coordonatelor polare în carteziene se face cu 

instrucţiunea [X,Y] = pol2cart(TH,R), din care lipseşte Z. Coordonata Z nu suferă 

nici o transformare la trecerea dintr-un sistem de coordonate în altul. 

Transformarea inversă, din coordonate carteziene în coordonate polare se 

face după relaţiile:

202 


⎧ 

2 2 

ρ = x + y 

⎪ 

⎛ y ⎞ 

⎨ϕ 

= arctan⎜ 

⎟ 

⎪ ⎝ x ⎠ 

⎪ z = z 

⎩ 

⎛ y ⎞ 

cu ρ ≥ 0 , -π 

≤ arctan⎜ 

⎟ < π . 

⎝ x ⎠ 

Funcţia Matlab care realizează această transformare este cart2pol, care 

poate fi apelată prin instrucţiunea: 

[TH,R,Z] = cart2pol(X,Y,Z) 

sau 

[TH,R] = cart2pol(X,Y), 

în care X, Y, Z sunt coordonatele carteziene, iar TH este unghiul ϕ , R este raza 

ρ , Z este înălţimea z. Matricele X, Y şi Z trebuie să aibă aceeaşi dimensiune (sau 

oricare să fie scalar), iar TH este returnat în radiani. 

De exemplu, dacă X = 1.7321, Y = 1.0000, Z = 3, atunci prin 

instrucţiunea [TH,R,Z] = cart2pol(X,Y,Z), rezultă TH = 0.5236 =pi/6, R = 2.0000, 

Z = 3. 

În coordonate sferice, un punct P, este dat prin: r = OP , unghiul θ format 

de OP cu axa Oz şi unghiul ϕ , pe care îl face proiecţia OP ' a lui OP , pe planul 

xOy , cu axa Ox (vezi figura 8.10). 

În acest caz, curbele pe care variază numai unul dintre parametri sunt 

următoarele: semidreapta C ce porneşte din origine, semicercul meridian C şi 

r 

cercul C 

ϕ 

. 

Sensul crescător al parametrilor pe aceste curbe va fi indicat, respectiv, prin 

r r r 

vectorii unitari , u θ 

, u tangenţi curbelor în punctul considerat. 

u r 

ϕ 

Aceşti vectori sunt determinaţi în toate punctele care nu aparţin axei Oz şi 

sunt ortogonali, doi câte doi. 

r r r 

Triedrul , u θ 

, u poate fi considerat triedru de referinţă şi depinde de 

u r 

ϕ 

punct. 

Între coordonatele sferice şi coordonatele carteziene avem relaţiile: 

⎧x 

= r ⋅ sinθ 

⋅ cosϕ 

⎪ 

⎨ y = r ⋅ sinθ 

⋅ sinϕ 

⎪ 

⎩ z = r ⋅ cosθ 

cu r ≥ 0 , 0 ≤θ < π , 0 ≤ ϕ < 2π 

. 

Funcţia Matlab care realizează această transformare, din coordonate sferice 

θ


în coordonate carteziene este sph2cart, apelată cu, 

[X,Y,Z] = sph2cart(TH,PHI,R), 

în care TH este unghiul ϕ , respectiv azimutul, PSI este unghiul θ , respectiv 

elevaţia, R este raza r , iar X, Y, Z sunt coordonatele carteziene. Matricele TH, 

PHI şi R trebuie să aibă aceeaşi dimensiune (sau oricare să fie scalar), iar TH şi PSI 

sunt daţi în radiani. 

Fig. 8.10. 

De exemplu, dacă TH=pi/6, PHI= pi/4, R=2, atunci prin [X,Y,Z] = 

sph2cart(TH,PHI,R), se obţine X= 1.2247, Y = 0.7071, Z = 1.4142. 

Transformarea inversă, din coordonate carteziene în coordonate sferice, se 

realizează cu relaţiile: 

⎧ 

⎪ 

⎪ 

2 2 2 

r = x + y + z 

⎪ 

⎛ y ⎞ 

⎨ ϕ = arctan⎜ 

⎟ 

⎪ 

⎝ x ⎠ 

⎪ ⎛ ⎞ 

⎪ = ⎜ z 

θ arctan ⎟ 

⎪ ⎜ 2 2 ⎟ 

⎩ ⎝ x + y ⎠ 

cu r ≥ 0 , 0 ≤θ < π , 0 ≤ ϕ < 2π 

.

204 


Funcţia Matlab care realizează transformarea coordonatelor carteziene, în 

coordonate sferice, este cart2sph, apelată sub forma, 

[TH,PHI,R] = cart2sph(X,Y,Z), 

în care X, Y, Z sunt coordonatele carteziene, TH este unghiul ϕ , respectiv 

azimutul, PSI este unghiul θ , respectiv elevaţia, R este raza r . Matricele X, Y, Z 

trebuie să aibă aceeaşi dimensiune (sau oricare să fie scalar), iar TH şi PSI sunt 

returnaţi în radiani. 

De exemplu, dacă X= 1.2247, Y = 0.7071, Z = 1.4142, atunci prin 

[TH,PHI,R] = cart2sph(X,Y,Z) se obţine TH = 0.5236 = pi/6, PHI = 0.7854 = pi/4, 

R = 2.0000. 

8.9. Calculul produsului unor vectori 

Produsul scalar al vectorilor a şi b este numărul obţinut înmulţind produsul 

modulelor lor cu cosinusul unghiului format de cei doi vectori (vezi figura 8.11), 

a ⋅b 

= a ⋅b 

⋅ cosθ . 

Cel mai tipic exemplu de produs scalar a doi vectori este lucrul mecanic 

produs de o forţă constantă F = b , când punctul său de aplicaţie se deplasează de 

la O la A. Dacă se descompune F după direcţia OA şi perpendiculara pe această 

direcţie, componenta normală dă un lucru mecanic nul. Întreg lucrul mecanic al 

forţei F este dat de componenta după direcţia OA, componentă ce are expresia, 

F ⋅cosθ = b ⋅cosθ 

. Lucrul mecanic va fi produsul dintre această componentă şi 

π 

deplasarea a=OA. Dacă θ < , lucrul mecanic este activ şi se exprimă printr-un 

2 

π 

număr strict pozitiv, iar dacă θ > , lucrul mecanic este rezistent şi se exprimă 

2 

printr-un număr negativ. 

Principalele proprietăţi ale produsului scalar sunt: 

• a ⋅ b = b ⋅ a - este comutativ; 

• ( λ ⋅ a) ⋅b 

= λ ⋅( a ⋅b) 

• ( a b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅c 

, în care λ este un scalar oarecare; 

+ - este distributivă faţă de adunare; 

2 ≥ 

• a ⋅ a = a 0 , egalitatea având loc numai dacă a=0; 

• a ⋅b 

≤ a ⋅b 

- modulul unui produs scalar este mai mic sau egal cu produsul 

modulelor; 

• dacă produsul scalar a doi vectori este nul, atunci vectorii nenuli sunt 

perpendiculari. 

Considerăm vectorii a şi b , figura 8.11, exprimaţi într-un sistem de


coordonate carteziene, având ca bază vectorii i , j , k , unitari şi ortogonali, adică: 

i ⋅i 

= j ⋅ j = k ⋅ k = 1 , i ⋅ j = j ⋅ k = k ⋅i 

= 0 . 

Fig. 8.11. 

Ţinând seama de cele de mai sus, vectorii a şi b vor avea expresiile: 

a = a1 ⋅i 

+ a2 

⋅ j + a3 

⋅ k , b = b1 

⋅i 

+ b2 

⋅ j + b3 

⋅ k . 

Înmulţind scalar aceste sume şi ţinând seama de cele anterioare, se obţine: 

a ⋅ b = a ⋅b 

+ a ⋅b 

+ a ⋅ . 

Pentru 

1 1 2 2 3 b3 

b = a , avem : 

2 

2 

1 

2 

2 

2 

3 

a ⋅ a = a = a + a + a ⇒ a = a + a + a . 

2 

1 

Expresia care dă unghiul a doi vectori este: 

a1 

⋅b1 

+ a2 

⋅b2 

+ a3 

⋅b3 

cosθ 

= 

2 2 2 2 2 2 

a + a + a ⋅ b + b + b 

1 

2 

3 

1 

2 

Calculul produsului scalar a doi vectori A şi B, care trebuie să aibă aceeaşi 

lungime, se face cu instrucţiunea C = dot(A,B,DIM) sau C = dot(A,B), în care 

lipseşte dimensiunea DIM. Dacă DIM=size(A), în vectorul C se întoarce produsul 

element cu element dintre A şi B; dacă DIM =1, în vectorul C se întoarce suma 

produsului element cu element de pe fiecare coloană, iar dacă DIM =2, se întorce 

suma produsului element cu element de pe fiecare linie. 

Dacă A şi B sunt vectori coloană, atunci dot(A,B) este acelaşi lucru ca şi 

sum(A.*B). 

De exemplu, dacă: 

A = [ 1 2 3 B = [ 7 8 9 

4 5 6] 10 11 12 ] 

atunci, C=dot(A,B,3), este: 

⎡ 7 16 27⎤ 

⎡ 1* 7 2 *8 3*9 ⎤ 

C = ⎢ ⎥ ⇔ C = ⎢ 

⎥ 

⎣40 

55 72⎦ 

⎣4 *10 5*11 6 *12⎦ 

C=dot(A,B,1) este, 

C = 47 71 99 ⇔ C = 7 + 40 16 + 55 27 + 72 , 

[ ] [ ] 

3 

2 

2 

2 

3

206 


iar C=dot(A,B,2) este: 

⎡ 50 ⎤ ⎡ 7 + 16 + 27 ⎤ 

C = ⎢ ⎥ ⇔ C = ⎢ ⎥ . 

⎣167⎦ 

⎣40 

+ 55 + 72⎦ 

Dacă A este de dimensiunea 1 x N, iar B de dimensiunea N x 1, atunci 

produsul scalar poate fi calculat şi prin relaţia sum(A’.*B) sau sum(A.*B’). 

Considerând vectorii, 

a = 3⋅i 

− 4⋅ 

j + 0⋅ 

k , b = 1⋅i 

+ 2⋅ 

j − 2⋅ 

k , 

atunci produsul scalar este 

ab=dot(a,b)=sum(a.*b)=-5, 

iar unghiul dintre aceşti vectori este, 

alfa=acos(ab/(norm(a)*norm(b)))*180/pi = 109.4712 grade 

şi în care, 

norm(a)= sqrt(sum(a.^2)); norm(b)= sqrt(sum(b.^2)). 

Considerând vectorii a şi b într-un sistem cartezian, având expresiile 

anterioare, produsul vectorial al acestora este un vector c , perpendicular pe planul 

format de cei doi vectori, având expresia: 

i 

j 

k 

( a b − a b ) ⋅i 

+ ( a b − a b ) ⋅ j + ( a b − a b ) ⋅ k 

c = a × b = a a2 

a3 

= 2 3 3 2 3 1 1 3 1 3 2 1 

b b b 

1 . 

1 

2 

3 

Se observă că acest determinant se dezvoltă întotdeauna după prima linie şi 

nu are proprietăţile determinanţilor obişnuiţi. 

În Matlab, produsul vectorial este dat de funcţia cross(a,b). 

Sensul vectorului c este determinat de sensul trigonometric de aducere a 

vectorului a spre vectorul b , sau, în general, de parcurgere a curbei închise 

generată de cei doi vectori. 

Modulul produsului vectorial este egal cu aria paralelogramului determinat 

de cei doi vectori, (vezi şi figura 8.12), sau în general cu aria suprafeţei delimitate: 

c = a × b = a ⋅b 

⋅sinθ 

Utilitatea produsului vectorial rezidă în aceea că determină debitul de fluid 

ce trece printr-o suprafaţă, delimitată de vectorii a şi b , în unitatea de timp. 

Produsul vectorial are următoarele proprietăţi: 

• a × b = −b 

× a - este anticomutativ; 

• ( λ ⋅ a ) × b = λ ⋅ ( a × b) 

• ( a b) × c = a × c + b× 

c 

, în care λ este un scalar oarecare; 

+ - este distributiv faţă de adunare; 

• produsul vectorial a doi vectori colineari este nul, deoarece sin θ = 0 ;


• a × b ≤ a ⋅b 

- modulul unui produs scalar este mai mic sau egal cu 

produsul modulelor. 

Fig. 8.12. 

Produsul încrucişat, dintre vectorii A şi B, se calculează cu instrucţiunea 

C=cross(A,B), dar vectorii A şi B trebuie să aibă cel puţin 3 elemente, în direcţia 

produsului încrucişat. 

Dacă A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9], B=[10 11 12; 13 14 15; 16 17 18], atunci 

C=cross(A,B) conduce la C= [-27 -27 -27; 54 54 54; -27 -27 -27]. 

Considerând vectorii, 

a = 5⋅i 

− 3⋅ 

j −1⋅ 

k , b = −1⋅i 

−1⋅ 

j − 2⋅ 

k , 

atunci produsul vectorial este 

c=cross(a,b)=[ 5 11 -8], 

iar unghiul dintre aceşti vectori este 

alfa=asin(c/(norm(a)*norm(b)))*180/pi = [20.1838 49.3825 -33.5079] grade.

download - Sisteme de Programare pentru Modelare si Simulare

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template ?