( ) ( ) 0 ( )n ( ) 0 - Sisteme de Programare pentru Modelare si Simulare

15. REZOLVAREA NUMERICǍ A ECUAŢIILOR
DIFERENŢIALE
15.1. Ecuaţii diferenţiale. Soluţia generală. Soluţii particulare
Istoric, ecuaţiile diferenţiale au apărut din necesitatea modelării matematice a
fenomenelor din fizică, chimie şi inginerie. Mai recent, aceste ecuaţii diferenţiale apar în
modelele din medicină, biologie, antropologie şi calculul probabilităţilor.
O ecuaţie diferenţială este o ecuaţie care conţine funcţia şi una sau mai multe
derivate ale acesteia. Ecuaţia este o ecuaţie diferenţială ordinară (ODE), dacă funcţia
necunoscută depinde numai de o variabilă independentă.
Câteva exemple de ecuaţii diferenţiale ordinare (ODE) sunt,
du
• ecuaţia creşterii: = F( t)
⋅G(
t)
;
dt
2
d θ g
• ecuaţia pendulului: + ⋅sin(
θ)
= F(
t)
;
2
dt l
d
• ecuaţia van der Pol: + ε ⋅( y + 1) ⋅ + y = 0
2
dt
y
2
2
2
d Q dQ E
• ecuaţia oscilatorului LRC: L ⋅ + R ⋅ + = E(
t)
;
2
dt dt C
dy
2
• ecuaţia Riccati: + P(
x)
⋅ y + Q(
t)
⋅ y + R(
t)
= 0 sau
dt
dy
2
+ P(
x)
⋅ y + Q(
t)
⋅ y + R(
t)
= 0
dt
în care: t este variabila independentă, iar u ,θ,
y,
Q,
p , sunt variabilele dependente.
O ecuaţie diferenţială de ordinul n, este o relaţie de forma,
( n)
F( x, y,
y′ , L , y ) = 0 ,
( n)
în care n se numeşte ordinul ecuaţiei diferenţiale, F ( x, y,
y′ , L,
y ) este o funcţie
n+
1
reală definită pe [ a , b] × Y,
Y ⊂ R , având argumente variabila reală x ∈ [ a,
b]
, iar
( n)
y este o funcţie reală, având derivate până la gradul n, y ′, y′′
, L,
y .
O ecuaţie diferenţială se spune că este de ordin superior, dacă ordinul său, n, este
mai mare sau egal cu 2.
O funcţie y = ϕ( x)
, derivabilă de n ori pe [ a , b]
, se numeşte soluţie pe [ a , b]
,
dacă verifică ecuaţia,
n
F x, ϕ x , ϕ′ x , L , ϕ x =
(
( ( ) ( ) )
( )) 0
dy
dt
;

Rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale 301
pentru orice x ∈ [ a,
b]
.
Funcţia ( x , C1,
C2,
L,
C n )
( n)
n, F x, y,
y′ , L , y = , studiată într-un domeniu D ⊃ [ x,
y]
ϕ este soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale de ordinul
( ) 0
ecuaţiei şi dacă, prin alegerea convenabilă a constantelor
( x C , C , , )
, dacă ϕ este o soluţie a
C ,
1, C2 , L Cn
, funcţia
ϕ , 1 2 L C n , se transformă în orice soluţie a ecuaţiei diferenţiale, al cărui grafic
se află în domeniul D. Soluţia generală a unei ecuaţii diferentiale se numeşte şi integrală
generală a ecuaţiei considerate.
Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n, poate fi dată şi :
• implicit, printr-o relaţie de forma R( x, y,
C1 , C2,
L , C n ) = 0 , care
este denumită, de obicei, integrală generală;
⎧ x = ϕ( t,
C1,
C2,
L,
Cn
)
• parametric, printr-un sistem ⎨
.
⎩y
= ψ( t,
C1,
C2,
L,
Cn
)
( n)
Se numeşte soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale F( x, y,
y′ , L , y ) = 0 , o
*
funcţie y = ϕ ( x)
, x ∈ [ a,
b]
şi ( x y) ∈ D
, , care se obţine din soluţia generală, dând
valori particulare constantelor C 1, C2 , L , Cn
. Graficul unei soluţii particulare este o
curbă plană, numită curbă integrală.
Se numeşte integrală intermediară a ecuaţiei diferenţiale de ordinul n,
( n)
F( x, y,
y′ , L , y ) = 0 , o ecuaţie diferenţială de ordin n − k , care conţine k ≥ 1
( n−k
)
constante arbitrare, Ψ( x, y,
y′
, L , y , C1 , C2,
L,
Ck
) = 0 şi care este verificată de
integrala generală. În particular, dacă k = 1, obţinem integrala primă, având forma
( n−1)
Φ( x,
y,
y′
, L , y , C) = 0 .
Cunoaşterea unei integrale intermediare simplifică rezolvarea ecuaţiei iniţiale
deoarece, în acest caz, ecuaţia ce trebuie rezolvată este de ordin mai mic, anume n − k .
În particular, cunoaşterea a n integrale prime, distincte, este echivalentă cu cunoaşterea
soluţiei generale.
Operatorul linear, specific ecuaţiilor diferenţiale este definit ca
n
n-1
d
d
d
Ln = a0 ( x) ⋅ + a ( x) ⋅ + + an
( x) ⋅ + an
( x)
n 1
L
n−
1
−1
d x d x
d x
şi are următoarele proprietăţi :
L y + y = L y L ;
[ 1 2 ] n[ 1] n [ y2
]
[ C ⋅ y] = C ⋅ L [ y] , C const.
n +
L
n
O ecuaţie de forma
n
a x ⋅ y + a x ⋅ y
se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n, lineară şi neomogenă.
O ecuaţie de forma
n =
( ) ( n−1) ( ) ( ) + L + a ( x) ⋅ y′
+ a ( x) ⋅ y = f ( x) ⇔ L ( y)
= f ( )
0 1
n−1
n
n x

302
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
( n) ( n−1) ( x) ⋅ y + a ( x) ⋅ y + + a ( x) ⋅ y′
+ a ( x) ⋅ y = 0 ⇔ L ( y)
0
a0 1 L n−1
n
n = ,
se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n, lineară şi omogenă.
Pentru o ecuaţie diferenţială de ordinul n,
( n)
F( x, y,
y′ , L , y ) = 0
nu este întotdeauna necesar să se găsească soluţia generală, deoarece o ecuaţie dată,
corespunde unui anumit fenomen fizic.
O anumită soluţie a ecuaţiei diferenţiale, care descrie un fenomen fizic concret,
trebuie să verifice atât ecuaţia, cât şi să îndeplinească anumite condiţii, care o determină
în mod unic. Sunt două tipuri de condiţii : condiţii iniţiale, care apar în problemele
numite, probleme cu valori iniţiale (IVP – initial value problem) şi condiţii la margine,
care apar în problemele la limită (BVP – boundary value problem).
În general, se cere o soluţie a ecuaţiei date, astfel încât pentru x = x0
, funcţia y şi
( n−1)
derivatele ei y,
y′ , L , y , să ia valori date dinainte a0 , a1,
L , a n −1
,
( n−1)
y( x0 ) = a0,
y′
( x0
) = a1,
L , y ( x0
) = an−1
,
Problema determinării soluţiei y(x), care îndeplineşte aceste condiţii iniţiale se
numeşte problema lui Cauchy. Pentru o ecuaţie diferenţială lineară de ordinul n,
omogenă, există o singură soluţie y(x), care în punctul x 0 ∈ [ a,
b]
, satisface
condiţiile iniţiale. Soluţia unei ecuaţii diferenţiale neomogene se obţine, adăugând
la soluţia ecuaţiei omogene, o soluţie particulară (oarecare) a ecuţiei neomogene.
Problemele practice de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale cu condiţiile iniţiale pot fi
grupate astfel:
• probleme cu valori iniţiale, la care se cunosc valorile funcţiilor y i , în zona de
început a domeniului de definiţie, rezolvarea acestora furnizând informaţii
despre comportamentul funcţiilor y i , în zona de sfârşit a domeniului de
definiţie;
• probleme cu valori iniţiale şi finale, în care sunt cunoscute valorile funcţiilor
y i , în zonele de început şi sfârşit ale domeniului de definiţie, rezolvarea
completând informaţiile referitoare la aceste funcţii, în zonele din
interiorul domeniului de definiţie.
Orice ecuaţie diferenţială de ordin superior poate fi transformată în seturi de
ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi, dacă se face schimbarea de variabilă D’Alambert-
Euler, y ′ = p(x)
, unde p(x) este funcţia necunoscută, iar y este variabila independentă
y = y( p) .
Pentru cazul ecuaţiei diferenţiale de ordinul doi care are forma generală
y ′′ + m( x) y′
= n(x)
,
efectuarea schimbării de variabile duce la stabilirea relaţiilor :

Rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale 303
dp
y ′ = p(x) , = n(
x)
− m(
x)
⋅ p ⇔ p′
= n(
x)
− m(
x)
⋅ p ,
dp
unde m(x) şi n(x) , sunt funcţii oarecare cunoscute.
Generalizând, pentru cazul unei ecuaţii sau sistem de ecuaţii de gradul n,
schimbarea de variabile, aplicată secvenţial, produce modificarea sistemului până la
forma generală,
y′ = q x y , y , L , y , i = 1, ,
( ) n
i , 1 2 n L,
unde, funcţiile q i , sunt considerate cunoscute.
Problemele care se reduc la ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul întâi sunt, în
mod necesar, de tipul problemelor cu condiţii iniţiale, care sunt extrem de numeroase în
calculele inginereşti.
Ecuaţia fundamentală a dinamicii punctului material are forma vectorială,
M ⋅ a = F
unde a este acceleraţia punctului de masă M, iar F este rezultanta forţelor care
lucrează asupra punctului considerat.
În cazul punctului material care descrie o dreaptă, pe care o luăm ca axă Ox,
ecuaţia de mişcare devine,
2
d x ⎛ dx
⎞
M ⋅ = X ⎜ x,
, t ⎟ ,
2
d t ⎝ d t ⎠
unde X, este componenta forţei F după axa Ox, care depinde, în general, de
poziţia punctului mobil, de viteza lui şi de timp. Aceasta este o ecuaţie diferenţială
de ordinul al doilea.
Dacă X nu depinde de poziţia punctului x, atunci ecuaţia de mişcare devine,
2
d x ⎛ dx
⎞
dx
M ⋅ = X ⎜ , t ⎟ şi cu substituţia v = , ecuaţia se transformă în,
2
d t ⎝ d t ⎠
d t
dv
notatii
M ⋅ = X ( v,
t) ←⎯ cu alte ⎯⎯⎯ → M ⋅ y′
= F(
y,
t)
, adică o ecuaţie diferenţială de gradul
d t
întâi. De aici mai rezultă că, reciproc, orice ecuaţie diferenţială de gradul (ordinul) întâi
reprezintă o anumită mişcare a unui punct material.
Prin urmare, un sistem de ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul întâi, se poate
prezenta sub forma,
dy(
t)
M ⋅ = F(
t,
y)
⇔ M ⋅ y′
= F(
y,
t)
,
dt
şi de cele mai multe ori, matricea M este normalizată, M=1, astfel că, forma cea
mai frecventă este:
dy(
t)
= F(
t,
y)
⇔ y′
= F(
y,
t)
.
dt

304
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
15.2. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor difenţiale ordinare
(ODE)
Soluţia analitică a ecuaţiei difereţiale M ⋅ y′
= F( y,
t)
, poate fi obţinută doar în
unele cazuri simple, pentru majoritatea situaţiilor aceasta obţinându-se cu mare
dificultate. Din acest motiv, se caută metode mai uşoare, care să conducă la găsirea
soluţiei.
La ora actuală, se cunosc trei categorii de medode pentru rezolvarea ecuaţiilor
diferenţiale ordinare cu condiţii iniţiale, respectiv:
• metode analitice, prin care se obţin aşa numitele soluţii închise;
• metode bazate pe convertirea ecuaţiei diferenţiale în ecuaţie cu
diferenţe finite de ordinul întâi, căreia i se caută soluţia analitică
sau o soluţie pseudo-închisă;
• integrarea numerică a ecuaţiei diferenţiale, care apelează la
metode numerice şi conduce la soluţii numerice, numite şi soluţii
deschise.
Metodele numerice de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale pot fi divizate în două
clase:
• metode monopas sau metode de autopornire, la care,
comportamentul funcţiei la pasul curent este obţinut din
comportamentul funcţiei la pasul precedent, care, pentru început,
rezultă din condiţia iniţială y ( t 0 ) = y 0 ;
• metode multipaşi sau metode de continuare, la care este necesară
cunoaşterea funcţiei y în punctele precedente punctului în care se
caută soluţia şi, pentru aceasta, este necesară utilizarea pentru
început, a unei metode monopas.
Practic, soluţiile numerice ale ecuaţiilor diferenţiale se bazează pe dezvoltarea în
serie Taylor a funcţiei.
Pentru o problemă care se reduce la rezolvarea unei ecuaţii diferenţiale de forma:
y ′ = F( y,
t)
,
cu condiţia iniţială y ( t 0 ) = y 0 , dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei y (t ) , în t = t 0
este
y ′′ ( t0
)
2 y′′′
( t0
) 3
y ( t)
= y(
t0
) + y′
( t0
) ⋅( t − t0
) + ⋅( t − t0
) + ⋅( t − t0
) + L .
2!
3!
Valoarea funcţiei, y n+ 1 , la momentul t n+ 1, în funcţie de valoarea funcţiei, y n , la
momentul t n este
yn′′
2 y′′′
n 3
yn + 1 = yn
+ y′
n ⋅ h + ⋅ h + ⋅ h +L,
2! 3!

Rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale 305
unde h = t n+1 −tn
.
Exemple tipice de metode monopas sunt metodele Euler şi Runge Kutta. În metoda
Runge-Kutta, soluţia la pasul t n+ 1 este obţinută funcţie de y n , F ( t n,
y n ) , iar F(t,y) este
evaluată la paşi intermediari între t n şi t n+ 1, exclusiv. Creşterea preciziei se datorează
numărului mai mare de puncte în care se evaluează F, faţă de cazul seriei Taylor, când se
evalua doar în punctul t n . Toate metodele monopas sunt explicite.
Metodele multipas, care au o precizie mai mare, necesită cunoaşterea valorilor
y n−1, yn−2 ,L şi F n−1 , Fn−2 , L. Se disting metode explicite şi implicite. Dacă F este o
funcţie nelineară de y, pentru a obţine soluţia la fiecare pas, metodele implicite necesită
rezolvarea unor sisteme de ecuaţii nelineare, crescând timpul de calcul, dar asigură
avantajul stabilităţii numerice a soluţiei.
15.2.1. Concepte analitice
Pentru rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale ordinare (ODE), este uzuală
clasificarea acestora în :
• ecuaţii de ordinul întâi - ecuaţii de ordin superior;
• o singură ecuaţie - sisteme de ecuaţii;
• lineare
- nelineare;
• autonome
- neautonome sau cuplate;
• omogene
- neomogene;
• valori iniţiale - valori la limită.
În continuare, se va face analiza acestor categorii analitice, din punctul de vedere al
influenţării metodelor de calcul.
Aproape orice ODE de ordin superior, pentru început, se reduce la un sistem de
ecuaţii diferenţiale ordinare de primul ordin. Dacă avem o ecuaţie de ordinul n,
( n)
( n−1)
y = f ( t,
y,
y′
, L , y )
şi notăm
( i−1)
yi = y , i = 1,2, L,
n ,
putem scrie:
′
y = y
′
y = f ( t,
y , L , y ) i = 1,2, L,
1.
i
i+ 1, n
1 n
n −
′
Pentru sisteme neautonome, y 0 = t şi atunci y 0 = 1. Pentru sistemele autonome,
′
y = g ( y ), i = 1,2, L , n i = 1,2, L n
i i i
,
0 ( y i ) =
unde g 1.
În acest mod, sistemele de ecuaţii de ordin superioar se transformă în sisteme de
ecuaţii de primul ordin, după izolarea derivatei de ordin superior şi tratarea acesteia, în
sensul înlocuirii cu o ecuaţie sau sistem de ordinul întâi.

306
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
Metodele de calcul a sistemelor lineare şi nelineare nu sunt foare diferite, dar, în
mod uzual, timpul de calcul aferent sistemelor nelineare este considerabil mai mare.
Pentru a creşte viteza de calcul, sistemele de ecuaţii nelineare se linearizează,
y′
= B + A ⋅ y
unde
i
i
ij
j
A ij este o matrice costantă de (n+1) x (n+1), iar
B i este un vector constant de
lungime n+1. Sistemul linearizat se revolvă şi apoi, cu noile valori ale lui
A ij şi
se repetă liniarizarea, până când se îndeplineşte condiţia de acurateţe.
Distincţia dintre ODE omogene şi neomogene este fără importanţă pentru calculele
numerice, cu excepţia problemelor cu condiţii la margine. Termenul neomogen este
important pentru a obţine soluţia corectă şi, relativ neimportant, în stabilitatea numerică şi
−1
acurateţea analizei. În multe cazuri, utilizând transformarea x = y + A ⋅ B , ecuaţia
diferenţială se transformă în ecuaţia omogenă
analizei, este un sistem linear, omogen
Considerând că
y
i
= A ⋅ y .
Aij
are n+1 valori proprii,
diagonală a valorilor proprii şi matricea
z′ = λ ⋅ z , i = 0,1,2, n .
i ( i)
i L,
ij
i
ij
j
i
j
jk
k
B i ,
x′ = A ⋅ x , care, pentru generalizarea
j
λ ( i ) , i = 0,1,2, L,
n că Aij
este matricea
S ij , a vectorilor proprii, atunci
z
i
−1
ik
= S y şi
Deci, cu excepţia ecuaţiilor rigide (stiffness), pentru ecuaţiile de ordin superior sau
sistemele de ecuaţii, metodele de rezolvare şi analiza acestora sunt similare celor pentru o
singură ecuaţie de ordinul întâi. De notat că soluţiile unui sistem linear sunt
t
i )
zi
= e
λ (
ci
, i = 0,1,2, Ln
sau, funcţie de dependenţa originală a variabilelor,
λ t
i Sik
zk
Sike
(
λ( 0 )
t
λ(1)
t
λ(
n )
t
= = ci
sau zi
Si0e
c0
+ Si1e
c1
+ + Sine
cn
i )
z = L .
Condiţiile iniţiale, valori iniţiale sau valori la margine sau pe frontieră, sunt foarte
importante pentru alegerea metodelor de rezolvare. Deoarece câteva metode utilizate
pentru rezolvarea problemelor pe frontieră se bazează pe problemele cu valori iniţiale,
vom analiza pentru început problemele cu valori iniţiale.
15.2.2. Concepte numerice
În analiza diverselor metode utilizate în rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare
sunt folosite următoarele concepte numerice:
• acurateţea - corespunde erorilor globale de trunchiere, care pot fi de
amplitudine sau de fază;
• rigiditatea (stiffness) - dificultăţile de integrare a sistemelor de ecuaţii sau
ecuaţiilor de ordin mare, atunci când raportul dintre cea mai mare
valoare proprie şi cea mai mică valoare proprie este foarte mare;
• stabilitatea – asociată menţinerii soluţiei la o valoare finită, pentru orice
k

Rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale 307
pas al calculului şi, din acest punct de vedere, putem avea:
schemă numerică stabilă – soluţiile numerice rămân finite, la orice
modificare a pasului de timp;
schemă numerică instabilă – soluţiile numerice sar la valori infinite, la
orice modificare a pasului;
schemă numerică condiţionată stabil – soluţiile numerice rămân finite,
la o modificare în limite reduse a pasului;
• convergenţa – atunci când soluţiile ecuaţiilor numerice se apropie de
soluţia exactă, o dată ce dimensiunea intervalului h tinde spre zero,
dar nu este obligatoriu să se găsească soluţia exactă ;
• consistenţa – atunci când diferenţa dintre soluţia exactă şi numerică tinde
spre zero, independent de modul de a tinde spre zero al intervalului
de discretizare.
15.2.3. Metode mono-pas sau uni-pas
Ecuaţiile diferenţiale sunt ecuaţii fără „memorie”, adică valorile lui y(t), pentru t< t i
nu afectează direct valorile lui y(t), la t

308
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
h 2 , respectiv O(h 2 ).
Metoda Euler modificată ia în consideraţie valoarea medie a derivatei, pe un
subinterval. Considerarea doar a valorii derivatei la capătul din stânga al acestuia este
principala sursă de eroare. Astfel, după ce yn+ 1 = yn
+ Fn
⋅ h,
0 ≤ n ≤ N -1
, a fost
utilizat pentru primul subinterval, cu ajutorul lui t 1 şi y 1 corespunzător, pe care-l notăm
(1)
1
y , se determină F 1 , la capătul din dreapta şi se face media ( F + )/
2
0 F 1
. Aceasta se
consideră a fi F 0 , în ecuaţia iniţială şi se reia calculul, obţinând o valoare îmbunătaţită a
(2)
1
lui y 1 , pe care o notăm cu y . Dacă este cazul, procesul se repetă de un număr de p ori,
înainte de a trece la următorul subinterval, unde se procedează în acelaşi mod. Cu această
perfecţionare, metoda este foarte utilizată. Metoda se mai numeşte şi metoda implicită
într-un pas sau metoda punctului mijlociu, fiind aplicată sistemelor rigide.
Relaţia de recurenţă este,
y
n+
1
= y
j
+ K
2
,
0 ≤ n ≤ N -1,
( t , y ),
K = h ⋅ F( t + h 2, y + K 2),
K1
= h ⋅ F n n 2
n
n 1
Eroarea dată de toţi termenii care se omit este proporţională cu h 3 , respectiv O(h 3 ).
Pentru rezolvarea problemelor rigide (stiff) se aplică metoda lui Euler implicită,
care are la bază relaţia,
y n+ 1 = yn
+ h ⋅ F( tn+
1,
yn+
1)
.
În schema implicită, obţinerea soluţiei este mai dificilă, cu atât mai mult dacă f este
nelineară, dar metoda este mai stabilă.
O altă metodă de autopornire, dar cu o eroare de trunchiere considerabil mai mică,
este metoda Runge-Kutta, care face integrarea tot pe subintervale. Unul dintre
principalele avantaje ale metodei constă în faptul că se aplică uşor, pentru orice tip de
ecuaţie de ordinul întâi şi permite chiar varierea pasului reţelei.
Considerând subintervalul de discretizare dintre t n şi t n+ 1, metoda utilizează
estimarea valorii funcţiei, atât la capele subintervalului, cât şi la mijlocul acestuia.
Sunt cunoscute două submetode Runge-Kutta:
• metoda Runge-Kutta de ordinul 2 , la care sunt trunchiaţi termenii
conţinând derivate de ordin superior lui trei, din dezvoltarea în
serie Taylor a funcţiei şi care are la bază relaţiile de recurenţă,
y
K
n+
1
1
= y
n
= h ⋅ F
+ 0.5⋅( K1
+ K 2
),
0 ≤ n ≤ N -1,
( t , y ),
K = h ⋅ F( t + h,
y + K ),
n
n
2
n
Eroarea este proporţională cu h 3 , respectiv O(h 3 );
• metoda Runge-Kutta de ordinul 4 , la care sunt trunchiaţi termenii
conţinând derivate de ordin superior lui cinci, din dezvoltarea în
serie Taylor a funcţiei.
n
1

Rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale 309
y
K
n+
1
1
= y
n
= h ⋅ F
+ 1 6⋅
( K1
+ 2K
2 + 2K3
+ K 4 ),
0 ≤ n ≤ NJ -1,
( tn
, yn
),
K 2 = h ⋅ F( tn
+ h 2, yn
+ K1
2)
,
( t + h 2, y + K 2) , K = h ⋅ F( t + h,
y + K ).
K3
= h ⋅ F n
n 2 4
n
Eroarea este proporţională cu h 5 , respectiv O(h 5 ).
De menţionat că mărirea preciziei metodei nu este posibilă. Din relaţiile de
recurenţă se observă că, pentru determinarea funcţiei y în punctele reţelei de discretizare,
nu este nevoie decât de valoarea funcţiei în punctul precedent.
15.2.4. Metode multi-pas
Metodele multi-pas sunt metode de continuare şi deci, necesită aplicarea unor
metode uni-pas, care să permită cunoaşterea valorilor y n−1, yn−2 , L şi F n−1 , Fn−2 , L.
Prin aceasta, metodele se consideră că sunt „cu memorie”.
Relaţia de bază a metodelor multi-pas, aici cu m paşi, este
m
m
n+
1 −i
i n+
1−i
n+
1−i
=
i=
0
∑ a ⋅ y − h ⋅ ∑b
⋅ F(
t , y ) 0 ,
i
i=
0
fiind definită pentru un număr de m paşi şi de parametrii a i şi b i . O reducere a
generalizării este atunci când a 0 = 1 . Dacă b 0 = 0 , metoda este explicită, altfel este
implicită. De notat că algoritmii multi-pas necesită evaluarea numai a unei noi
funcţii, la fiecare pas.
Sunt foarte multe metode multi-pas, grupate în familii de metode, în care fiecare
membru al familiei găseşte soluţia, cu o anumită acurateţe. Cele mai populare familii sunt
familiile Adams-Bashforth, Adams-Moulton, Gear.
Metodele Adams-Bashforth consideră a = 1, b 0 - adică algoritmul este
1 −
explicit şi a i = 0 , i = 2,3, LK
, unde K este ordinul, respectiv m=K. Relaţiile, în funcţie
de ordin, sunt:
• Ordinul întâi: y = y + h ⋅ F(
t , y )
n+ 1 n
n n ;
1
• Ordinul secund: y + h ⋅( 3F(
t , y ) F(
t y )
y n+ 1 = n
n n − n−1
, n−1
;
2
1
• Ordinul trei: y n+ 1 = yn
+ h ⋅( 23F(
tn
, yn
) −16F(
tn−1,
y n−1+
5F(
tn−2,
yn−2
));
12
1 ⎛55F(
t
⎞
• Ordinul patru:
⎜
n , yn
) − 59F(
tn−1,
y n−1+
y = + ⋅
⎟
n+
1 yn
h
24
;
⎝+
37F(
tn−2,
yn−2
) − 9F(
tn−3,
yn−3)
⎠
⎛1901F
( t
⎞
⎜
n , yn
) − 2774F(
tn−1,
y n−1+
1
⎟
• Ordinul cinci: y n+
1 = yn
+ h ⋅⎜+
2616F(
tn−2
, yn−2
) −1274F(
tn−3,
yn−3)
⎟ ;
720
⎜
⎟
⎝
+ 251F
( tn−4,
yn−4
)
⎠
0 =
n
3

310
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
⎛4277F(
t
⎞
⎜
n , yn
) − 7923F(
tn−1,
y n−1)
+
1
⎟
• Ordinul şase: y n+
1 = yn
+ h ⋅⎜+
9982F(
tn−2,
yn−2
) − 7298F(
tn−3,
yn−3)
⎟ .
1440
⎜
⎟
⎝
+ 2877F(
tn−4,
yn−4
) − 475F(
tn−5,
yn−5)
⎠
Metodele Adams-Moulton consideră a = 1, b 0 - adică algoritmul este
1 −
implicit şi a i = 0,
i = 2,3, L K −1, unde K este ordinul, respectiv m=K. Relaţiile, în
funcţie de ordin, sunt:
• Ordinul întâi: y y + h F t , y ) ;
n+ 1 = n ⋅ ( n+
1 n+
1
1
• Ordinul secund: y y + h ⋅ ( F(
t , y ) F(
t , y )
0 ≠
n+ 1 = n
n+
1 n+
1 − n n ;
2
1
• Ordinul trei: y + h ⋅ ( 5F(
t , y ) + 8F(
t , y F(
t , y ))
y n+ 1 = n
n+
1 n+
1
n n−
n−1
n−1
;
12
1 ⎛9F(
t
⎞
• Ordinul patru:
⎜
n+
1,
yn+
1)
+ 19F(
tn
, y n)
−
y = + ⋅
⎟
n+
1 yn
h
;
24 ⎝−
5F(
tn−1,
yn−1
) + F(
tn−2,
yn−2
⎠
⎛251F
( t
⎞
⎜
n+
1,
yn+
1)
+ 646F(
tn,
y n)
−
1
⎟
• Ordinul cinci: y n+
1 = yn
+ h ⋅⎜−
2646F(
tn−1,
yn−1
) + 106F(
tn−2,
yn−2
) −⎟
;
720
⎜
⎟
⎝
−19F(
tn−3,
yn−3)
⎠
⎛475F(
t
⎞
⎜
n+
1,
yn+
1)
+ 1427F(
tn
, y n)
−
1
⎟
• Ordinul şase: y n+
1 = yn
+ h ⋅⎜−
798F(
tn−1,
yn−1
) + 482F(
tn−2,
yn−2
) −⎟
;
1440
⎜
⎟
⎝
−173F(
tn−3,
yn−3)
+ 27F(
tn−4,
yn−4
)
⎠
Metodele Gear consideră b0 ≠ 0 - adică algoritmul este implicit şi b i = 0 ,
i = 1,2,3, LK , unde K este ordinul, respectiv m=K.
Relaţiile, în funcţie de ordin, sunt:
• Ordinul întâi: y y + h F t , y ) ;
n+ 1 = n ⋅ ( n+
1 n+
1
1
• Ordinul secund: y n+ 1 = yn
+ ( 4yn
− yn−1
+ 2h
⋅ F(
tn+
1,
yn+
1)
) ;
3
1
• Ordinul trei: y n+ 1 = yn
+ ( 18yn
− 9yn−1
+ 2yn−2
+ 6h
⋅ F(
tn+
1,
yn+
1)
);
11
1 ⎛ 48yn
− 36yn−1
+ 16yn−2
− ⎞
• Ordinul patru: y n+
1 = yn
+
⎜
⎟ ;
25 ⎝ − 3yn−3
+ 12h
⋅ F(
tn+
1,
yn+
1)
⎠
1 ⎛360yn
− 300y
n−1+
200yn−2
− 75yn−3
+ ⎞
• Ordinul cinci: y n+
1 = yn
+
⎜
⎟ ;
137 ⎝+
12yn−4
+ 60h
⋅ F(
tn+
1,
yn+
1)
⎠

Rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale 311
• Ordinul şase:
1 ⎛360yn
− 450yn−1
+ 400yn−2
− 225yn−3
+ ⎞
y n+
1 = yn
+
⎜
⎟ ;
147 ⎝+
72yn−4
−10yn−5
+ 60h
⋅ F(
tn+
1,
yn+
1)
⎠
15.2.5. Sisteme de ecuaţii diferenţiale ordinare de gradul întâi
Un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordin superior poate fi transformat într-un
sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi, prin introducerea unor funcţii necunoscute.
Rezolvarea unui sistem de n ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi se poate reduce la
rezolvarea unei ecuaţii diferentiale de ordinul n şi invers.
Rezolvarea unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n se poate reduce la rezolvarea unui
sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi.
Un sistem ODE se poate scrie generic sub forma:
y′ = f ( t,
y),
y(0)
= y ,
0
unde y, este un vector de elemente y i şi f ( t,
y1,
y2,
y3,
L , ym
) , este vector funcţie,
cu elementele f i .
Din punctul de vedere al soluţiilor numerice, sistemele ODE sunt extensii înainte
ale tehnicii aplicate unei singure ODE. De exemplu, aplicând schema explicită Euler,
avem:
( n+
1) ( n)
( n)
( n)
( n)
( n)
( n)
yi = yi
+ h ⋅ f ( t , y1
, y2
, y3
L , ym
),
i = 1,2,3, L,
m .
Expresia din partea dreaptă poate fi calculată utilizând datele de la pasul anterior
astfel că, fiecare determinare se face prin avansarea calculului înainte, în sensul creşterii
lui t. Din punct de vedere conceptual, aceasta este singura deosebire fundamentală dintre
soluţionarea numerică a sistemelor, faţă de o singură ecuaţie.
O categorie aparte de sisteme ODE o reprezintă sistemele de ecuaţii lineare cu
coeficienţi constanţi, pentru care se pune problema rigidităţii (stiffness),
dy
= A⋅
y, y(0)
= y0
,
dt
unde A este o matrice de n x n , a constantelor. Sistemul este de n ecuaţii lineare cu
n funcţii necunoscute, cu coeficienţi constanţi, omogen.
Pentru ca sistemul să fie determinat, să aibă soluţii, trebuie ca toate valorile proprii
ale lui A să aibă partea reală negativă, analog cu cazul unei singure ecuaţii, y ′ = λ ⋅ y ,
când partea reală a lui λ , trebuie să fie negativă.
Aplicând schema Euler ,explicită, sistemului ODE avem
n
n
yn+1 = yn
+ h ⋅ A⋅
yn
= ( I + h ⋅ A) ⋅ yn
sau yn
= ( I + h ⋅ A) ⋅ y0 = B ⋅ y0
,
unde I, este matricea identitate. Pentru a avea soluţii numerice stabile, pentru cazul
n
lui n mare, trebuie ca matricea B să fie finită. Din algebra lineară rezultă că,
pentru aceasta, trebuie ca valorile proprii ale lui B, să aibă modulul mai mic sau cel
mult egal cu unitatea. Valorile proprii ale lui B sunt σi
= 1 + h ⋅ λi
, unde λ i , sunt
valorile proprii ale matricei A.
Prin urmare, pentru stabilitatea numerică, trebuie să avem:

312
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
2
1+ h ⋅ λi
≤ 1⇒
h ≤ .
λ
i max
Dacă rangul magnitudinii valorilor proprii este mare, de exemplu
S ≡ max λ min λ >> 1, unde S ,se numeşte raportul de rigiditate (stiffness ratio) şi
i
i
i
i
soluţiile se caută pentru o variaţie largă a variabilei independente t, avem aşa numitele
sisteme rigide (stiff). Acestea apar în situaţii reale, în care sunt cuplate sisteme cu timpi
diferiţi de răspuns la excitaţii exterioare, ca de exemplu: un sistem mecanic compus din
două părţi, una foarte rigidă şi cealaltă foarte flexibilă; amestecul a două substanţe
chimice cu rate de reacţie foarte diferită; strat limită.
În general, astfel de sisteme nu pot fi rezolvate prin scheme directe ci necesită
aplicarea unor metode implicite care, la rândul lor, conduc la necesitatea rezolvării unui
sistem algebric de ecuaţii nelineare, pentru care se aplică procedurile de calcul iterativ,
precum metoda Newton-Raphson.
Pentru rezolvare, sistemele de ecuaţii diferenţiale nelineare sunt supuse tehnicii de
linearizare. Pentru un sistem ODE, la fiecare moment este necesară rezolvarea sistemului
de ecuaţii algebrice,
( n+
1) ( n)
h ⎛ h ( n)
⎞ ( n+
1) ( n)
( n)
( n)
y = y + ⎜ I − A ⎟( f ( t , y ) + f ( t , y
), n = 1,2,3, Lm
2 ⎝ 2 ⎠
în care I, este matricea identitate, iar A este matricea Jacobian, recalculată la fiecare
pas,
⎡ df1
df1
df1
⎤
⎢
L
dy
⎥
⎢
1 dy2
dym
⎥
⎢df
2 df 2 df 2 ⎥
( n)
L
A = ⎢dy
dy dy ⎥ .
1 2
m
⎢
M M L M
⎥
⎢ df
⎥
⎢
m df m df m
L ⎥
⎢⎣
dy1
dy2
dym
⎥⎦
15.2.6. Probleme cu condiţii la margine
Problemele cu condiţii la margine (pe frontieră sau la limită) conduc, în mod
necesar, la ecuaţii diferenţiale de ordinul doi sau mai mare. Dintre acestea, ecuaţiile de
ordin impar, cu număr diferit de condiţii la cele două margini ale intervalului de definiţie
sunt, de regulă, greu de soluţionat numeric şi sunt transformate, de obicei, în ecuaţii de
ordin par, fie prin integrare, fie prin derivare.
Considerăm o ecuaţie de ordinul doi cu condiţii la margine,
y ′ = f ( x, y,
y′
) , y ( 0) = y0
, y ( L)
= yL
,
unde f, este o funcţie arbitrară.
Sunt cunoscute două tehnici pentru rezolvarea problemelor cu condiţii la margine:

Rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale 313
schimbarea variabilei – tehnică utilizată de metodele standard pentru
problemele cu valori iniţiale, precum metodele Runge-Kutta;
metode directe – bazate pe discretizarea puternică înainte şi
transformarea ecuaţiilor cu derivate, în ecuaţii diferentiale şi apoi,
rezolvând sistemul algebric astfel format.
15.2.7. Probleme cu valori proprii
În cazul în care ecuaţia diferenţială de ordinul doi cu condiţii la margine este
omogenă, caz frecvent întâlnit, ca de exemplu ecuaţia lui Helmholtz,
2
y ′ + k ⋅ y = 0 , y ( 0) = y(1)
= 0,
apare o problemă cu valori proprii,
k n = n ⋅ π, n = 1,2, L,
N
şi vectori proprii,
( x)
= sin( n ⋅ π⋅
x)
.
y n
2
2
Punând λ = -k
⋅ ∆x
, sistemul se poate scrie sub forma (A - λ ⋅ I ) ⋅ y = 0 , în
care I este maticea identitate, A este aşa numita matrice Stieltjes,
⎡−
2 1 L 0 ⎤ ⎡ y1
⎤
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
1 − 2 L 0
A =
⎥ , iar ⎢
y2
y = ⎥ .
⎢ M M L M ⎥ ⎢ M ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣ 0 0 L − 2⎦
⎣y N −1 ⎦
15.3. Funcţii Matlab pentru rezolvarea ODE
Funcţiile Matlab pentru rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare, ODE, încep cu
sintaxa ode,urmată de numere şi litere, care să precizeze tipul metodei folosite, astfel că,
în continuare, le numim generic, funcţii funode şi sunt prezentate în tabelul 15.1.
Toate funcţiile ode pot rezolva ecuaţii de tipul,
dy(
t)
M ⋅ = F(
t,
y)
⇔ M ⋅ y′
= F(
y,
t)
,
dt
iar funcţiile ode15s, ode23s, ode23t şi ode23tb pot rezolva şi ecuaţii de forma
dy(
t)
M ( t)
⋅ = F(
t,
y)
⇔ M ( t)
⋅ y′
= F(
y,
t)
.
dt
Funcţiile ode se apelează cu una dintre sintaxele:
• [T,Y] = funode('F',interval,y0), unde Y este matricea soluţiilor, în care
fiecărui rând îi corepunde un moment de timp din vectorul coloană
T , F o funcţie de variabile t şi y, interval este intervalul de
integrare, [to tfinal], iar pentru a obţine soluţii în anumite momente
(de exemplu toate crescătoare), intervalul este de forma [t0 t1 t2 …

314
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
tfinal], şi y0 este vectorul condiţiilor iniţiale;
• [T,Y] = funode('F',interval,y0,optiuni) face acelaşi lucru ca şi precedenta,
cu diferenţa că parametrii impliciţi de integrare au fost înlocuiţi cu
„opţiuni”, un argument creat cu funcţia odeset, care include
toleranţa erorii relative, TelTol=1e-3 şi un vector al erorii absolute,
AbsTol, ce are toate elementele egale cu 1e-6;
• [T,Y] = funode('F',interval,y0,optiuni,p1,p2,...) transferă funcţiei F
parametrii opţionali p1,p2,….
Funode
ode45
ode23
ode113
Metoda
numerică
Runge-
Kutta
Runge-
Kutta
Funcţii Matlab pentru ODE Tabel 15.1.
Tipul de
problemă
nerigide
(nonstiff)
nerigide
(nonstiff)
nerigide
(nonstiff)
ode15s diferenţe rigide
(stiff)
ode23s Rosenbrock rigide
modificată (stiff)
ode23t
ode23tb
Adams-
Bashfort-
Moulton
Runge-
Kutta
semi -
rigide
rigide
(stiff)
Complexitatea
ecuaţiei
Toreranţa
Utilizare
medie mică în mod uzual, se
recomandă a se încerca
prima dată
mică mare pentru toleranţe mari
ale erorii sau
rezolvarea ecuaţiilor
variabilă mică -
medie
cu complexitate medie
când se doreşte o
anumită toleranţă
pentru erori.
variabilă mică -
medie
când calculul cu ode45
durează prea mult
mică mare când se doresc
toleranţe mai mari în
ce priveşte eroarea, la
rezolvarea sistemelor
cu complexitate mare
medie mică când complexitatea
ecuaţiei este moderată
mică mare toleranţe mari ale
erorii, la rezolvarea
sistemelor complexe
Ode45 se bazează pe formula Runge-Kutta(de gradul 4, 5) cu adaptarea Dormand-
Prince şi rezolvă ecuaţiile într-un singur pas. Ode23 se bazează pe formula Runge-
Kutta(de gradul 2, 3), cu adaptarea Bogacki-Shampine şi rezolvă ecuaţiile prin mai mulţi
paşi. Ode15s se bazează pe formula diferenţială numerică, NDFs şi necesită mai mulţi
paşi pentru rezolvare. Ode23s se bazează pe formula modificată Rosembrock şi rezolvă
într-un singur pas. Ode23t se bazează pe formula Runge Kutta.
Pentru funcţiile ode15s si ode23s, care sunt nişte funcţii de complexitate mare,
dF
Jacobianul matricei are o mare influenţă asupra preciziei rezolvării şi de aceea, se
dy

Rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale 315
dF
setează J constant pe „on”, dacă Jacobianul este constant.
dy
Fiecare funcţie funode acceptă numai anumiţi parametri pentru a lucra corect, sau
pot fi specificaţi, dar sunt ignoraţi în rezolvare. Parametrii acceptaţi sunt redaţi în tabelul
15.2.
Funcţii Matlab pentru ODE Tabel 15.2.
Parametri ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s ode23t ode23tb
RelTol, AbsTol
OutputFcn, OutputSel,
Refine, Stats
Events
MaxStep, InitialStep
JConstant, Jacobian,
JPattern, Vectorized
-- -- --
Mass -- -- --
-- -- --
MassConstant -- -- --
MaxOrder, BDF -- -- -- --
Pentru a crea sau schimba opţiunile implicite pentru funcţiile funode, se foloseşte
funcţia odeset, care se apelează cu una dintre sintaxe:
• opţiuni = odeset ('nume1',valoare1,'nume2',valoare2,...) creează o structură
de opţiuni, în care argumentele nume1, nume2,… primesc valorile
valoare1, valoare2,…, argumentele nespecificate sunt iniţializate
automat, cu o matrice goală, [ ] şi este suficient să scriem numai
caracterele de început, care identifică în mod unic numele
argumentelor, fără a se ţine cont dacă, caracterele sunt litere mari
sau mici (nu e „case sensitive”);
• opţiuni = odeset (optiunivechi,'nume1',valoare1,...) schimbă conţinutul unei
structuri vechi de opţiuni, creată anterior;
• opţiuni = odeset (optiunivechi,optiuninoi) modifică o structură de opţiuni
vechi, combinând-o cu una nouă;
• odeset singur, fără nici o specificaţie, afişează toate argumentele precum şi
valorile lor posibile: AbsTol: [ positive scalar or vector {1e-6}],
BDF: [ on | {off} ], Events: [ on | {off} ], InitialStep: [ positive
scalar ], Jacobian: [ on | {off} ], JConstant: [ on | {off} ], JPattern:
[ on | {off} ], Mass: [ on | {off} ], MassConstant: [ on | {off}],
MaxOrder: [ 1 | 2 | 3 | 4 | {5} ], MaxStep: [ positive scalar ],
OutputFcn: [ string ], OutputSel: [ vector of integers ], Refine:
[ positive integer ], RelTol: [ positive scalar {1e-3} ], Stats: [ on |
{off} ], Vectorized: [ on | {off} ].

316
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
15.3.1. Rezolvarea Matlab a ecuaţiilor diferenţiale
Pentru rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale cu funcţiile funode, din Matlab este
necesară scrirea expresiei funcţiei F şi a soluţiei iniţiale, y, care depinde de elementele
funcţiei.
Forma Matlab a funcţiei F este:
function ydot=F(t,y)
y(1) = expresie 1; y(2) = expresie 2; y(3) = expresie 3;
ydot = [ y(1); y(2); y(3) ]
Forma pentru vectorul soluţii ,y0 este, de exemplu, [2; 0 ; 1], ceea ce reprezintă:
y(1) 0 = 2, y(2) 0 = 0, y(3) 0 = 1.
Pentru ODE de ordin superior este necesară transformarea acestora în ODE de
ordinul 1. De exemplu, pentru funcţia f(t, y, y', y'',..., y n-1 ),
se definesc,
y 1 = y ; y 2 = y' ; y 3 = y''; ... , y n = y n-1 ; Y=[ y 1 , y 2 , y 3 , y n ]
astfel că,
f(t, y, y', y'',..., y n-1 ) = f(t, y 1 , y 2 , y 3 , y n ) ; Y'=f(t,Y)
se scriu expresiile,
y 1 ' = y 2 ; y 2 ' = y 3 ; y 3 '= y 4 ; ... ; y n ' = y n ;
şi în final, funcţia F:
function ydot=F(t,y)
expresie 1: y 1 ' = y 2 ;
expresie 2: y 2 ' = y 3 ;
expresie 3: y 3 '= y 4 ;
….. ... ;
expresie n-1: y n ' = y n ;
ydot = [ expresie 1; expresie 2; expresie 3; ….; expresie n-1 ].
Pentru a scrie funcţia odef1.m, care să rezolve ecuaţia y''' + y'' + y' =0,se urmează
paşii:
Pasul 1: se definesc y1 = y ; y2 = y' ; y3 = y'' ;
Pasul 2: se scriu expresiile y1'= y2 ; y2' = y3 ; y3''' = - y'' -y' = -y3 - y2 ;
Pasul 3: se srie funcţia odef1:
% Function odef1.m
function ydot=odef1(t,y)
% ydot = [y(2);y(3); -y(3)-y(2)];
T1=y(2) ; T2=y(3) ; T3=-y(3) - y(2);
ydot = [ T1 ; T2 ; T3 ];
Rezolvarea acestei ecuaţii pe intervalul ti=[0 20] , cu soluţia iniţială y0= [10;1;0],
precum şi plotarea soluţiilor, se realizează cu următoarea secvenţă de program:
y0=[10;1;0]; ti=[0 20];
[t,y]=ode45('odef1',ti,y0);

Rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale 317
subplot(3,1,1); plot(t,y(:,1)); xlabel('t'); ylabel('dy/dt');
subplot(3,1,2); plot(t,y(:,2)); xlabel('t'); ylabel('d^2y/dt^2');
subplot(3,1,3); plot(t,y(:,3)); xlabel('t'); ylabel('d^3y/dt^3').
Graficul este reprezentat în figura 15.1.
Fig.15.1. Rezolvarea ecuaţiei odef1
Un exemplu de sistem cu complexitate mică este un sistem de ecuaţii care descriu
mişcarea unui corp rigid , asupra căruia nu acţionează forţe exterioare, dat de ecuaţiile,
y1′ = y2
⋅ y3
; y′ 2 = − y1
⋅ y3
; y3′ = −0.
51⋅
y1
⋅ y2
;
y 1 (0) = 0 ; y 2 (0) = 1; y 3 (0) = 1 .
Pentru rezolvare se creează o funcţie fişier .M :
function dy = rigid(t,y)
dy = zeros(3,1); % a column vector
dy(1) = y(2) * y(3); dy(2) = -y(1) * y(3); dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);
dy=[dy(1); dy(2); dy(3)];
În acest exemplu vom schimba toleranţa erorii cu comanda odeset şi vom rezolva,
pe intervalul [0 12], cu vectorul de condiţii iniţiale [0 11], la momentul 0.
options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);
[t,y] = ode45('rigid',[0 12],[0 1 1],options);
plot(t,y(:,1),'-r',t,y(:,2),'b-.',t,y(:,3),'g.'); ylabel('dy/dt , d^2y/dt^2 , d^3y/dt^3 ');
xlabel('t'); gtext('dy/dt') ; gtext('d^2y/dt^2') ; gtext('d^3y/dt^3').
Graficul funcţiei este redat în figura 15.2.
Un exemplu de sistem cu grad de complexitate mare sunt ecuaţiile Van der Pol,
ecuaţii ce descriu oscilaţiile

318
SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE ŞI SIMULARE
2
′ ; y2 = 1000⋅
( 1−
y1
) ⋅ y2
− y1
y 1 = y 2
′ ; y (0) 0 ; y (0) 1 .
1 =
2 =
Fig.15.2. Graficul funcţiei rigid
Pentru rezolvare se creează o funcţie fişier .M :
function dy = vdp1000(t,y)
dy = zeros(2,1); dy(1) = y(2); dy(2) = 1000*(1 - y(1)^2)*y(2) - y(1);
Se folosesc toleranţele absolute şi relative implicite (1e-3 şi respectiv 1e-6) şi vom
rezolva pe intervalul [0 3000], cu vectorul de condiţii initiale [0 2], la momentul 0.
[t,y] = ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]);
plot(t,y(:,1),'-o'); ylabel('dy/dt') ; xlabel('t');
Graficul primei derivate se prezintă în figura 15.3.
Fig.15.3. Graficul primei derivate a ecuaţiei Van der Pol