Geometrie computationala cu aplicatii in matlab - PIM Copy

VALER NIMINEŢ
CARMEN VIOLETA MURARU
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1 -1
-0.5
0
0.5
1

Conferenţiar univ. dr.
VALER NIMINEŢ
Lector univ.dr.
CARMEN VIOLETA MURARU
GEOMETRIE COMPUTAŢIONALA
CU APLICAŢII ÎN MATLAB
Iaşi, Editura PIM, 2009

Referent ştiinţific:
Prof.univ.dr. Victor Blănuţă
Editura PIM
Editură acreditată CNCSIS – 66/01.05.2006
Şoseaua Ştefan cel Mare şi Sfânt nr. 4, Iaşi – 700497
Tel.: 0730.086.676; Fax: 0332.440.730
www.pimcopy.ro
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României
NIMINEŢ, VALER
Geometrie computaţională cu aplicaţii în MATLAB / Valer Nimineţ,
Carmen Violeta Muraru. - Iaţi : PIM, 2009
Bibliogr.
ISBN 978-606-520-667-0
I. Muraru, Carmen Violeta
004:514
ISBN: 978-606-520-667-0

CUPRINS
CAP.1 ELEMENTE DE MATLAB..............................................................7
1.1 Introducere............................................................................. ........7
1.2 Calcule simple în Matlab. Vectori şi matrice...............................12
1.3 Reprezentarea grafică a curbelor şi suprafeŃelor...................... 30
1.3.1 Reprezentarea 2D........................................................30
1.3.2 Reprezentarea3D.SuprafeŃe........................................ 37
1.4 Calcul Simbolic în Matlab............................................................61
CAP. 2 GEOMETRIA DIFERENłIALĂ A CURBELOR ÎN PLAN
CU APLICAłII ÎN MATLAB.......................................................67
2.1 Reprezentări analitice ale curbelor plane......................................67
2.1.1 Reprezentarea explicită a unei curbe plane…………….....68
2.1.2 Reprezentarea implicită a unei curbe plane.........................73
2.1.3 Reprezentarea parametrică a unei curbe plane....................75
2.1.5 Curbe date în coordonate polare......................................... 79
2.2 Tangenta şi normala într-un punct al unei curbe plane.................82
2. 2.1. Tangenta şi normala într-un punct al unei curbe plane date
explicit.........................................................................82
2.2.2 Tangenta şi normala într-un punct al unei curbe plane date
implicit............................................................................84
2.2.3 Tangenta într-un punct al unei curbe plane date
parametric.......................................................................86
2.2.4 Tangenta într-un punct al unei curbe dată în coordonate
polare...............................................................................................92
2.2.5 Trecerea de la o reprezentare analitică de un tip la
reprezentarea de alt tip a unui arc de curbă .......................94
2.3 Ramuri infinite ale unor arce de curbă plană.............................. 95
2.4 Puncte singulare ale curbelor plane ...........................................98
2.4.1 Puncte singulare ale curbelor dateexplicit............................98
2.4.2 Puncte singulare ale curbelor date parametric .................. 100
2.4.3 Puncte singulare ale cubelor plane date printr-o ecuaŃie
implicită ………………………………………………….102
2.4.4 Forma unui arc de curbă în vecinătatea unui punct
regulat.................................................................................108
2.5 Curbura curbelor plane...............................................................114
2.5.1. DefiniŃia curburii unei curbe………………………….......114
3

2.5.2 Formulele lui Serre-Frenet pentru o curbă plană………….120
2.5.3 Calculul curburii unei curbe plane dată printr-o
parametrizare oarecare.........................................................121
2.6 Contactul a două curbe plane.......................................................123
2.6.1 DefiniŃia contactului a două curbe plane.
EcuaŃia de contact...............................................................123
2.6.2 Cerc osculator unei curbe plane într-un punct
neinflexionar al ei………………………………………..130
2.7 Înfăşurătoarea unei familii de curbe plane……………………...132
2. 7.1 Înfăşurătoarea unei familii de curbe ce depinde de un
parametru………………………………………………..132
2.7.2 Înfăşurătoarea unei familii de curbe plane ce depind de
doi parametri......................................................................138
2.8 Evoluta unei curbe plane. Evolvente asociate unei curbe
plane.............................................................................................140
2.8.1 Evoluta unei curbe plane.................................................... 141
2.8.2. Evolvente asociate unei curbe plane..................................144
CAP. 3 GEOMETRIA DIFERENłIALĂ A CURBELOR ÎN SPAłIU.
REPREZENTǍRI ÎN MATLAB...................................................152
3.1 Reprezentarea curbelor în spaŃiu.................................................152
3.2 Lungimea unui arc de curbă........................................................165
3.3 Triedrul lui Frenet........................................................................170
3.4 Formulele lui Frenet. Curbura şi torsiunea unei curbe
strâmbe........................................................................................176
3.5 Calculul curburii şi a torsiunii.....................................................182
CAP. 4 GEOMETRIA DIFERENłIALĂ A SUPRAFEłELOR
ŞI APLICAłII ÎN MATLAB......................................................184
4.1 NoŃiunea de suprafaŃă. Curbe pe o suprafaŃă..............................184
4.2 Planul tangent şi normala într-un punct la o suprafaŃă...............192
4.3 Prima formă fundamentală a unei suprafeŃe
şi aplicaŃiile ei.................................................................................197
4.3.1. DefiniŃia primei forme fundamentale şi determinarea
acesteia când suprafaŃa se dă sub diferite forme..........................197
4.3.2 Lungimea unui arc de curbă de pe suprafaŃă......................199
4.3.3 Unghiul a două curbe trasate pe o suprafaŃă……………...200
4.3.4 Elementul de arie al unei suprafeŃe…………………….....202
4

4.4 A doua formă fundamentală a unei suprafeŃe. Curbura unei curbe
de pe o suprafaŃă........................................................................ 203
4.4.1 A doua formă fundamentală a unei suprafeŃe.....................203
4.4.2. Curbura unei curbe pe o suprafaŃă. Teorema lui
Mensuier......................................................................................206
4.5 Linii importante ale unei suprafeŃe. Curburile principale..........210
4.5.1 Linii de curbură.................................................................210
4.5. 2 Curburile unei suprafeŃe...................................................213
4. 5. 3. Linii asimptotice.............................................................216
4. 5. 4. Linii geodezice...............................................................218
4.6 Câteva clase particulare de suprafeŃe.........................................220
4.6.1 SuprafeŃe riglate…………………………………...…....220
4.6.2 SuprafeŃe desfăşurabile....................................................221
CAP. 5 HIPERSUPRAFEłE ÎN SPAłII EUCLIDIENE........................224
5.1 DefiniŃia unei hipersuprafeŃe regulate. Exemple…………….....224
5.2 Vectori tangenŃi şi câmpuri de vectori……………………….....226
5.3 Prima formă fundamentală a unei hipersuprafeŃe………...........234
5.4 A doua formă fundamentală a unei hipersuprafeŃe.................... 238
5.5. Derivata covariantă şi geodezicele unei hipersuprafeŃe............245
5.6 Curburile principale ale unei hipersuprafeŃe..............................249
5.7 Curbura Riemanniană. EcuaŃiile lui Gauss şi Codazzi.
Teorema Egregium (Gauss) ........................................................253
5.8 SuprafeŃe în E3...........................................................................255
5.9 Teorema fundamentală a teoriei hipersuprafeŃelor.....................260
CAP. 6 CURBE DE APROXIMARE ŞI INTERPOLARE.
IMPLEMENTǍRI ÎN MATLAB.............................................265
6.1 Introducere ................................................................................265
6.2 Aproximarea uniformǎ a funcŃiilor continue........................... 269
6.3 Aproximarea în medie pătratică.............................................. 271
6.3.1 Regresia liniară..........................................................271
6.3.2 Regresia polinomială.................................................273
6.3.3 Regresia liniară ponderată.........................................279
6.4 DiferenŃe divizate.....................................................................283
6.5 DiferenŃe finite.........................................................................287
6.6 Interpolare polinomială............................................................292
6.6.1 Interpolare liniara (afina). Interpolare Lagrange...........293
6.6.2 Interpolare Newton........................................................301
5

6.6.3 Curbe Ferguson şi interpolare Hermite..........................313
6.7 Interpolare Spline......................................................................318
6.7.1 Interpolare cu funcŃii spline de ordinul întâi.................319
6.7.2 Interpolare cu funcŃii spline cubice...............................321
6.8 Curbe Bézier ...........................................................................333
6.9 Curbele B-spline......................................................................348
CAP. 7 PROBLEME PROPUSE...............................................................371
BIBLIOGRAFIE ………………………………………………………...392
6