format .pdf, 1.8 MB

L11. Să se rezolve în N ∗ ecuaţia 2 · 3 x =3· 2 y + 174.
Daniela Iosub, elevă, Iaşi
Soluţie. Cum x, y ∈ N ∗ ,atuncia = x − 1, b = y − 1 sunt numere naturale.
Împărţind ecuaţia prin 6, obţinem ecuaţia echivalentă 3 a =2 b +29, a, b ∈ N. Atunci
3 a =(3− 1) b +29, deci 3 a = M 3 +(−1) b +29,prinurmareb trebuie să fiepar,
b =2k, k ∈ N ∗ (deoarece este evident că b =0nu convine). Obţinem 3 a =4 k +29,
i.e. (4 − 1) a =4 k +29, de unde M 4 +(−1) a =4 k +29,adică a trebuie săfiepar,a =2l,
l ∈ N ∗ (a =0nu convine). În aceste condiţii, ecuaţia devine ¡ 3 l − 2 k¢¡ 3 l +2 k¢ =29
şi cum 29 este prim, iar 3 l −2 k < 3 l +2 k ,găsim că 3 l −2 k =1, 3 l +2 k =29.Sistemul
astfel format nu are soluţii în N şi atunci ecuaţia iniţială nuaresoluţii în N ∗ .
L12. Fie ABCD un patrulater convex; notăm {O} = AC ∩ BD, M mijlocul
lui (AB), N mijlocul lui (CD). Pentru propoziţiile P 1 : ABCD inscriptibil; P 2 :
OM ⊥ CD; P 3 : ON ⊥ AB, săsearatecă: a) P 1 ∧ P 2 ⇒ P 3 ; b) P 2 ∧ P 3 ⇒ P 1 ;
c) P 3 ∧ P 1 ⇒ P 2 (în legătură cu problema C:2265 din G. M. 3/2000).
Viorel Cornea şi Dan Ştefan Marinescu, Hunedoara
Soluţie. a) Dacă ABCD inscriptibil, din puterea punctului O faţă decercul
circumscris obţinem că OA · OC = OB · OD. Avem succesiv:
P 2 ⇒ OM −−→ · −−→ CD =0⇒ 1 ³ −→ −→ OA + OB´
·
2
⇒
³ −−→ OD −
−→ OC´
=0⇒
⇒ −→ OA · −−→ OD − −→ OA ·
−→ OC +
−→ OB · −−→ OD −
−→ OB ·
−→ OC =0⇒
⇒ −→ OA · −−→ OD − −→ −→ OB · OC +(OA · OC − OB · OD) =0 (1)
⇒ −→ OA · −−→ OD − −→ −→ OB · − (OA · OC − OB · OD) =0⇒
³ −→ −→ −−→ −→
OA − OB´³
OD + OC´
=0⇒−2 −→ −−→ AB · ON =0⇒ AB ⊥ ON.
b) Se procedează analog.
c) Dacă OM ⊥ CD,seobţine relaţia (1). DinON ⊥ AB deducem analog
−OD · OB + −→ −→ −−→ −→
OC · OB − OD · OA + OA · OC =0 (2)
Adunând (1) şi (2), găsim că OA · OC = OB · OD, adică ABCD este inscriptibil.
L13. Fie P ∈ R [X], P (X) =a 0 X n + a 1 X n−1 + ···+ a n−1 X + a n , n ≥ 2, cu
a 0 > 0 şi cu toate rădăcinile pozitive şi subunitare. Să searatecă (n − 1) a 0 + a 1 +
+(−1) n a n > 0.
Gheorghe Molea, Curtea de Argeş
Soluţie. Avem: (n − 1) a 0 + a 1 +(−1) n a n > 0 ⇔− a 1
− (−1) n a n