Elemente de analiza matematica - PIM Copy

editura pim

VERONICA BORCEA
CATALINA DAVIDEANU
ELEMENTE
DE
ANALIZA MATEMATICA
Editura PIM
Iaþi, 2007

Referent ştiinţific
Prof. Univ. Dr. Ion Crăciun
Univ. Tehnică “Gh. Asachi” Iaşi
EDITURA PIM
Soseaua Stefan cel Mare nr. 11 Iasi -700498
Tel. / fax: 0232-212740
e-mail:editurapim@pimcopy.ro
www.pimcopy.ro
EDITURĂ ACREDITATĂ CNCSIS BUCUREŞTI
66/01.05.2006
Descrierea CIP a Bibliotecii NaŃionale a României
BORCEA, VERONICA TEODORA
Elemente de analiză matematică / Veronica Borcea,
Cătălina Davideanu. - Iaşi : PIM, 2007
Bibliogr.
ISBN 978-973-716-810-8
I. Davideanu, Cătălina Ileana
517(075.8)

Cuprins
In loc de prefaţă
vii
1 RELAŢII BINARE. RELAŢII DE ORDINE 1
1.1 Relaţiibinare ........................... 1
1.2 Probleme ............................. 3
1.3 Aplicaţii (Corespondenţe) .................... 3
1.4 Probleme ............................. 5
1.5 Relaţiideordine. ......................... 6
1.6 Probleme ............................. 9
1.7 Mulţimeanumerelorreale .................... 9
1.8 Probleme ............................. 12
2 SPAŢII METRICE 19
2.1 Definiţia spaţiilormetrice .................... 19
2.2 Topologia spaţiilormetrice.................... 22
2.3 Probleme ............................. 26
2.4 Spaţii euclidiene şi spaţiiunitare ................ 28
2.5 Probleme ............................. 30
2.6 Spaţiivectorialenormate..................... 31
2.7 Probleme ............................. 32
2.8 Şiruri în spaţiimetrice ...................... 34
2.9 Probleme ............................. 42
2.10 Proprietăţi ale şirurilor în spaţiimetrice ............ 43
2.11Probleme ............................. 47
2.12 Spaţiimetricecomplete...................... 48
2.13Probleme ............................. 50
2.14 Mulţimi compacte în spaţiimetrice ............... 52
2.15 Limite extreme pentru şiruridenumerereale.......... 53
2.16Probleme ............................. 57
2.17 Metoda aproximaţiilor succesive ................. 58
2.18Probleme ............................. 60
iii

iv
CUPRINS
3 SERII DE NUMERE REALE 63
3.1 Definiţii. Proprietăţigenerale .................. 63
3.2 Seriinumericecutermenipozitivi................ 70
3.3 Seriicutermenioarecare..................... 78
3.4 Calcululaproximativalsumelorseriilor............. 82
3.5 Probleme ............................. 86
4 FUNCŢII VECTORIALE 97
4.1 Noţiunigenerale.......................... 97
4.2 Probleme ............................. 98
4.3 Limite de funcţii ......................... 99
4.4 Probleme .............................102
4.5 Funcţiicontinue..........................104
4.6 Probleme .............................107
4.7 Continuitatea aplicaţiilorliniare.................108
4.8 Funcţii continue pe mulţimi ...................110
4.9 Probleme .............................113
5 DIFERENŢIABILITATE 115
5.1 Definiţia diferenţialei.......................115
5.2 Derivate parţiale .........................119
5.3 Probleme .............................125
5.4 Derivarea funcţiilor compuse ...................131
5.5 Funcţiiomogene..........................136
5.6 Probleme .............................138
5.7 Derivate parţialedeordinsuperior ...............139
5.8 Probleme .............................142
5.9 FormulaluiTaylor ........................145
5.10Probleme .............................150
5.11Extremelocale ..........................153
5.12Probleme .............................156
5.13 Câmpuri scalare şi vectoriale ...................158
5.14Gradientulunuicâmpscalar...................159
5.15 Divergenţa şirotorulunuicâmpvectorial............162
5.16Probleme .............................166
5.17 Funcţii definiteimplicit......................167
5.18Probleme .............................177
5.19 Extreme condiţionate.......................181
5.20Probleme .............................194
5.21 Schimbăridevariabile ......................197
5.22Probleme .............................203

CUPRINS
v
6 INTEGRALE IMPROPRII (GENERALIZATE) 207
6.1 ProprietăţiremarcabilealeintegraleiRiemann.........207
6.2 IntegraleRiemanncuparametri.................209
6.3 Probleme .............................214
6.4 Integraleimproprii ........................219
6.5 Criterii de convergenţă ......................223
6.6 Probleme .............................235
7 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 241
7.1 Şiruri de funcţii..........................241
7.2 Probleme .............................248
7.3 Serii de funcţii...........................253
7.4 Probleme .............................258
7.5 Seriideputeri...........................265
7.6 Probleme .............................275
7.7 Dezvoltarea funcţiilorînseriideputeri .............279
7.8 Probleme .............................281
7.9 SeriiFourier............................283
7.10Probleme .............................287
8 CURBE ŞI SUPRAFEŢE 301
8.1 Noţiunigeneraledeteoriacurbelor ...............301
8.2 Noţiunigeneraledeteoriasuprafeţelor .............314
9 INTEGRALE CURBILINII 331
9.1 IntegralacurbiliniedetipulI...................331
9.2 Probleme .............................334
9.3 IntegralacurbiliniedetipulII ..................337
9.4 Probleme .............................342
10 INTEGRALE MULTIPLE 345
10.1 Integrala dublă ..........................345
10.2Probleme .............................355
10.3 Integrala triplă ..........................361
10.4Probleme .............................370
11INTEGRALEDESUPRAFAŢĂ 375
11.1 Integrale de suprafaţă detipulI.................375
11.2Probleme .............................380
11.3 Integrale de suprafaţă detipulII ................380
11.4Probleme .............................387

vi
CUPRINS
11.5Formuleintegrale .........................388
11.6Probleme .............................393