Elemente de mecanica punctului material si a ... - nocookie.net

Elemente de mecanica punctului material şi asolidului rigidOctavian3 noiembrie 2002

Cuprins1 Mecanicăgeometrică 71.1 Modelul matematic al spaţiului fizic............... 81.1.1 Punctele spaţiului fizic.................. 81.1.2 Direcţiile spaţiului fizic.................. 91.2 Spaţiul vectorilor legaţi...................... 101.3 Geometria spaţiului fizic ..................... 111.4 Reperecarteziene......................... 132 Mecanica punctului material 172.1 Cinematica ............................ 172.1.1 Traiectoria. Viteza. Acceleraţia ............. 182.1.2 Geometriatraiectoriei .................. 192.1.3 TriedrulluiFrenet.FormuleleFrenet-Serret ...... 262.1.4 Raza de curbură şi torsiunea ca funcţiidetimp .... 302.1.5 Forma traiectoriei în apropierea lui M ......... 312.1.6 Viteza şi acceleraţiaîntriedrulluiFrenet........ 342.1.7 Mişcarea circulară..................... 352.1.8 Mişcarea plană în coordonate polare (metoda transformăriiPrűfer) ....................... 372.1.9 Mişcarea relativă apunctuluimaterial ......... 382.1.10 O formulă matriceală înlegătură cuvectorulω ..... 462.1.11 O interpretare geometrică a vectorului ω ........ 482.1.12 Măsură şi integrală înSF ................ 502.1.13 Suprafeţe în SF. Plan tangent la o suprafaţă. Curbepe suprafeţe. Triedrul lui Darboux. Formulele Darboux-Ribaucour.Geodezice .................. 572.1.14 Formula Gauss-Ostrogradski. Prima formulă a lui Green.Integraledetippotenţial. EcuaţialuiPoisson ..... 712

CUPRINS 32.1.15 O formulă asimptotică pentruf 1 (M) .......... 882.1.16 Viteza areolară apunctuluimaterial .......... 902.1.17 Comentarii ........................ 922.2 Statica şidinamica ........................ 952.2.1 Principiiledinamicii ................... 972.2.2 Ecuaţiile diferenţialealeluiNewton...........1012.2.3 Repere inerţiale. Principiul relativităţii în meca- nicaclasică ...........................1042.2.4 Impulsul punctului material. Teorema impulsului . . . 1072.2.5 Momentul forţei. Momentul cinetic (orbital) al punctuluimaterial.Teoremamomentuluicinetic......1082.2.6 Lucrulmecanic.Puterea.................1112.2.7 Energia cinetică a punctului material. Teorema energieicinetice.......................1142.2.8 Legideconservare(I)...................1152.2.9 Legideconservare(II) ..................1172.2.10 Legideconservare(III)..................1252.2.11 Forţe conservative. Energie potenţială. Conservareaenergieimecanice.....................1272.2.12 Suprafeţele echipotenţiale şi liniile de forţă ale unuicâmpconservativ .....................1302.2.13 Câmpul gravitaţional. Potenţialul gravitaţional. Modelulpunctiform al corpurilor cereşti...........1302.2.14 Mişcareaîncâmpcentral.................1352.2.15 LegileluiJ.Kepler.ProblemaluiNewton .......1402.2.16 Problema celor două corpuri...............1442.2.17 EcuaţialuiJ.Kepler ...................1482.2.18 Limitele teoriei newtoniene a gravitaţiei ........1502.2.19 Teoremavirialului ....................1542.2.20 Punct material liber. Punct material supus unor legături.Condiţii de echilibru. Forţedefrecare.......1562.2.21 Ecuaţiile intrinseci ale lui L. Euler. Ecuaţiile mişcăriiîn triedrul lui Darboux. Legătura cu teorema energieicinetice ..........................1672.2.22 Principiul echivalenţei. Forţe inerţiale..........1692.2.23 Mişcarea în câmp gravitaţional terestru, în vid. Bătaiaşi săgeata traiectoriei. Parabola de siguranţă ......171

4 CUPRINS2.2.24 Mişcarea pe un plan înclinat în câmp gravitaţional terestru,în aer. Viteza limită a punctului material M ..1742.2.25 Soluţii convergente ale unei ecuaţii diferenţiale ordinarede ordinul I. Convergenţa unor funcţii p−absolut integrabile...........................1782.2.26Problemabalisticiiexterioare ..............1832.2.27 Ecuaţia diferenţială amişcării pe o curbă fixă ideală.Lucrul mecanic al forţelor de legătură ..........1912.2.28 Ecuaţia diferenţială a pendulului gravitaţional simplu(matematic). Formula perioadei mişcării. Legile pendululuisimplu.......................1922.2.29 Problema lui Wittenbauer şi ecuaţia diferenţială aoscilatoruluiarmonic....................1982.2.30 Ecuaţia diferenţială a pendulului gravitaţional sferic . . 2002.2.31 Stabilitatea echilibrului punctului material M .....2033 Mecanica solidului rigid 2063.1 Vectori şitensori .........................2083.1.1 Vectori alunecători. Principiul suprimării forţelor ...2083.1.2 Momentul unui vector faţă deoaxă. Momentul cineticfaţă deoaxă al punctului material. Teorema momentuluicinetic........................2113.1.3 Torsorul unui sistem de vectori. Sisteme de vectoriechivalente. Invarianţi ..................2133.1.4 Teorema lui P. Varignon. Cuplu de forţe. Reducereasistemelordevectori ...................2163.1.5 Axa centrală a unui sistem de vectori. Reducerea canonicăa unui sistem de vectori şi cazuri de degenerescenţăale ei. Centrul unui sistem de vectori paraleli. Centrulde greutate al unui corp material. Centrul de masă alunuisistemmecanic ...................2233.1.6 Tensorul de inerţiealunuisistemmecanic. Momentede inerţie. Formula lui Leibniz. Formula lui Lagrange.Formula Huygens-Steiner. Teorema Steiner-Lurie. FormulaEuler-Cauchy pentru calculul momentului de inerţiefaţă deoaxă ....................2313.1.7 Elipsoidul de inerţie al unui sistem mecanic. Axe principalede inerţie......................241

CUPRINS 53.2 Cinematica ............................2453.2.1 Formula lui L. Euler. Translaţia şi rotaţia soliduluirigid.TeoremaluiRivals.................2453.2.2 Interpretarea cinematică amişcării solidului rigid. Invarianţiimişcării. Teorema lui Chasles. Mişcarea pseudoelicoidalăa solidului rigid. Teorema lui I. Mozzi . . . 2493.2.3 Interpretarea geometricăamişcării solidului rigid. Axoide.Contactul simplu a două corpuri solide rigide . . 2503.2.4 Mişcarea relativă adouă corpuri solide rigide supuseunui contact simplu. Teorema Aronhold-Kennedy . . . 2543.2.5 Principiul independenţei mişcărilor. Compunerea translaţiilorşi rotaţiilor ......................2573.2.6 Mişcarea plană (plan-paralelă). Centrul instantaneude rotaţie (centrul vitezelor). Centroide. Mişcarea epicicloidală.Centrul geometric al acceleraţiilor. Cercurilelui Bresse. Centrul (polul) acceleraţiilor. Teoremacelor trei centre instantanee de rotaţie. Teoremaasemănării(Burmester-Mehmke) ............2583.3 Statica şidinamica ........................2763.3.1 Dinamica sistemului mecanic. Teorema impulsului. Teoremelecentrului de masă. Teoremele lui V. Vâlcovici şiS. Koenig. Teorema momentului cinetic. Teorema energieicinetice. Reprezentarea momentului cinetic şi aenergiei cinetice cu ajutorul tensorului de inerţie. Formulamomentului cinetic faţă deoaxă. Sisteme conservative..........................2763.3.2 Teorema momentului cinetic faţă deoaxă. O demonstraţiea formulei Huygens-Steiner cu ajutorul teoremeilui V. Vâlcovici (1929). Raza de giraţie.........2883.3.3 Solidul rigid cu o axă fixă. Ecuaţia diferenţialăamişcării.Echilibrarea solidului. Axe permanente şi axe spontanede rotaţie (libere). Principiul inerţiei pentru corpulsolid rigid. Pendulul fizic. Teoremele lui C. Huygens.Formulapendululuireversibil ..............2913.3.4 Variaţia acceleraţiei gravitaţionale la suprafaţa Pământului(devierea firului cu plumb). Devierea spre est încădere liberă (efectul Coriolis). Legea lui Baer. PendululluiL.Foucault...................300

6 CUPRINS3.3.5 Solidul rigid cu punct fix. Unghiurile lui Euler. ParametriiCayley-Klein. Matrice Pauli. Sistemul diferenţialal lui L. Euler. Mişcarea Euler-Poinsot. Conulpolodic şi conul herpolodic. Precesia regulată. Conulde precesie. Interpretarea geometrică amişcării (L.Poinsot). Polodia şi herpolodia. Ciclul lui Euler. Sistemuldiferenţial al lui G. Darboux. Cazul Lagrange-Poisson.Giroscopul....................308

Capitolul 1Mecanică geometrică”La început a fost mecanica. (Max von Laue, Mecanica, cf. [43], p. 25)”Mecanica clasică (newtoniană) are un caracter limitat, scosînevidenţă,printre altele, de trei din caracteristicile sale fundamentale:1. Nu se face distincţie între masă şi materie. Astfel, un punct materialreprezintă un punct din spaţiul fizic căruia i se ataşează unnumăr pozitiv,numit masă (cf.[76],p.3,8).2. Mecanica este deterministă (cunoscând poziţia şi viteza unui punctmaterial la un anumit moment, considerat iniţial, se pot determina poziţiaşi viteza punctului material la orice moment) (cf. [34], p. 213, [32], p. 19).Mecanicile avansate (care ţin seama de structura microscopică a materiei)pierd, în general, această calitate. Astfel, este binecunoscut faptul că înmecanica cuantică particulele atomice nu au simultan poziţia şi viteza binestabilite (cf. [32], p. 22). Asemenea teorii 1 utilizează relaţii privind valorilemedii ori probabilităţi ale mărimilor specifice (cf. [56], p. 285, [34], p. 680).3. Masa este independentă de viteză (cf. [54], p. 10) şi, în general, detimp.1 Acad. O. Onicescu le atribuie titlul generic de mecanici aleatoare (Langevin, Doob,Kolmogorov, De Broglie, Schrödinger). Fără a disemina excesiv, trebuie spus că înfizică(electrodinamică, mecanică ondulatorie), procedeul medierii este fundamental: mediereastatistică a electronilor în teoria lui Lorentz asupra electrodinamicii microscopice, formulaintensităţii de polarizare în cazul unui dielectric gazos, secţiunea eficace diferenţială adifuziei luminii pe electronul sferic liber, ş. a. m. d. (cf. [55], p. 138, 152, 172). Oabordare detaliată a unor asemenea chestiuni poate fi citită în [81].7

8 CAPITOLUL 1. MECANICĂ GEOMETRICĂExistă, de asemeni, o serie de fenomene fizice (de exemplu, cele legatede electromagnetism) care nu pot fi explicate prin intermediul mişcărilormecanice (cf. [32], p. 15).1.1 Modelul matematic al spaţiului fizic”Spaţiul nu reprezintă oînsuşire a vreunor lucruri în sine, nici pe acestea înraporturile lor reciproce, adică nici o determinare a lor care ar fi inerentă obiectelorînsele şi care ar subzista, chiar dacă am face abstracţiedetoatecondiţiile subiectiveale existenţei. (Immanuel Kant, Expunerea transcedentală a conceptului de spaţiu,cf. [37], p. 77)”Pentru a defini spaţiul fizic, notat SF, vom da un model al punctelor şidirecţiilor sale.Acesta va ţine seama de faptul că, în mecanica clasică, spaţiul este infinit(fără început sau sfârşit), omogen (simetrialatranslaţii) şi izotrop (simetriala rotaţii) (cf. [76], p. 7, [54], p. 8, [32], p. 53, 56). În particular, doiobservatori trebuie săevaluezelungimea unui obiect în mod identic, mărimeaobţinută coincizând la amândoi, independent de mişcarea instrumentelor demăsură ori a obiectului (cf. [32], p. 47).1.1.1 Punctele spaţiului fizicSă considerăm mulţimea R 3 = R × R × R numită şi spaţiu aritmetic.Elementele sale, notate A, B, C, ... se numesc punctele spaţiului fizic 2 .Folosim scrierea A =(x A ,y A ,z A ).Pe R 3 introducem o structură despaţiu metric. Mai precis, dacă P =(x P ,y P ,z P ) şi Q =(x Q ,y Q ,z Q ),atuncidistanţa euclidiană dintre punctelespaţiului fizic ested(P, Q) =q X(xQ− x P ) 2(cf. [57], p. 111).Spaţiul metric complet E 3 =(R 3 ,d) dă modelul punctelor spaţiului fizic.2 Subliniem lipsa operaţiilor în spaţiul aritmetic.

1.1. MODELUL MATEMATIC AL SPAŢIULUI FIZIC 91.1.2 Direcţiile spaţiului fizicPe R 3 ×R 3 introducem următoarea relaţiedeechivalenţă: (A, B)ρ(C, D)dacă, prin definiţie, avem⎧⎨⎩x B − x A = x D − x Cy B − y A = y D − y Cz B − z A = z D − z C .Elementul (A, B) se notează cu −→ AB şi poartă denumireadesegment orientat.A este originea segmentului orientat, iar B extremitatea sa. Douăsegmente orientate aparţinând aceleiaşiclasedeechivalenţă se numesc echipolente(cf. [57], p. 113).Elementele mulţimii VL= R 3 ×R 3 /ρ sunt numite vectori liberi sau direcţiiale spaţiului fizic. Ele se notează cuAB, CD, x, y, ...Pe mulţimea VL introducem o structură despaţiu liniar real. Aceastaeste dată deoperaţiile:1) ”+”:VL× VL→ VLdefinită prinformulaundeAB + BC = AC (regula lui Chasles);2) ” · ”:R × VL→ VLdefinită prinformula⎧⎨⎩λ · AB = AC,x C − x A = λ · (x B − x A )y C − y A = λ · (y B − y A )z C − z A = λ · (z B − z A ).Operaţiile +, · sunt bine definite, adicănudepinddealegereareprezentanţilorclaselor de echivalenţă. Vectorii x, y, undey = λ · x, poartădenumireade vectori coliniari.Spaţiul T R 3 =(VL,+, ·) se numeşte spaţiul vectorilor liberi sau spaţiultangent la R 3 .Să considerăm punctele O =(0, 0, 0), I =(1, 0, 0), J =(0, 1, 0) şi K =(0, 0, 1) din E 3 . Vectorii i not= OI, j not= OJ, k not= OK formează obazăaluiT R 3 . Aceasta se numeşte baza canonică aspaţiului vectorilor liberi. Ea dăorientarea spaţiului (cf. [44], p. 488).

10 CAPITOLUL 1. MECANICĂ GEOMETRICĂÎn particular, putem scrieAB =(x B − x A ) · i +(y B − y A ) · j +(z B − z A ) · k. (1.1)Spaţiul T R 3 este organizat ca spaţiu liniar euclidian. Astfel, formulaprodusului său scalar esteΦ(AB, AC) = X (x B − x A ) · (x C − x A ) not= AB · AC.Cu ajutorul produsului scalar definim unghiul ϕ ∈ [0, π] făcut de vectoriix, y. Formulasaestecos ϕ =x · y√x2 · py 2 not=cos(x, y).Mărimea |x| = √ x 2 se numeşte lungimea (modulul, norma) vectorului x.Spaţiul T R 3 este dotat cu o topologie de tip produs. Aceasta este introdusăcuajutorulfiltrelor de vecinătăţi (cf. [38], p. 56, [64], p. 14, [39], p.113). Mai precis, fie a 0 ∈ T R 3 . Atunci, există şi sunt unici scalarii reali x 0 ,y 0 , z 0 astfel încât a 0 = x 0 i + y 0 j + z 0 k.Mulţimea B(a 0 , ε) ={xi + yj + zk ||x − x 0 | , |y − y 0 | , |z − z 0 | < ε} este o vecinătate a vectorului a 0 . Sistemulfundamental de vecinătăţi al lui a 0 este V = {B(a 0 , ε) | ε > 0} (cf. [39],problema II.1.64, p. 144-145).Observăm că lungimea vectorilor liberi defineşte o normăpeT R 3 .Aceastagenerează, la rândul ei, o topologie a lui T R 3 care, dat fiind faptul cădim R T R 3 < +∞, va coincide cu topologia de mai sus (cf. [53], p. 196).Se arată uşor că operaţiile cu vectori din T R 3 sunt continue în raport cutopologiile produs (cf. [39], p. 181) ale lui T R 3 × T R 3 , respectiv R × T R 3 .Astfel, T R 3 este un spaţiu liniar topologic.Spaţiul liniar euclidian şi topologic T R 3 modelează direcţiile spaţiuluifizic.În final, observăm căceledouă modele, cel al punctelor şi cel al direcţiilor,sunt interrelaţionate, în sensul căqd(P, Q) = PQ 2 .1.2 Spaţiul vectorilor legaţiFie A un punct din E 3 . Atunci, introducem mulţimea VL A = { −→ AB |B ∈ E 3 }.

1.3. GEOMETRIA SPAŢIULUI FIZIC 11Elementele mulţimii VL A se mai numesc şi vectori legaţi în punctul A.Aplicaţia bijectivă f A : VL A → VLdată deformulaf A ( −→ AB) =AB, undeB ∈ E 3 , permite inducerea structurii liniare euclidiene şi topologice a lui T R 3pe VL A (cf. [57], p. 114). În particular,−→AB · −→ AC = AB · AC,unde B,C ∈ E 3 .Utilizăm notaţia T A R 3 =(VL A , +, ·) (cf. [57], p. 115).Trebuie precizat chiar de acum că diferitele mărimi fizice vectoriale (forţa,viteza, etc.) cu care operează mecanica teoretică sunt exprimate analiticprin tipuri diferite de vectori: liberi, legaţi, alunecători (sau glisanţi − cevor fi definiţi ulterior). De exemplu, forţa aplicată unuipunctmaterialsereprezintă printr-un vector legat. În schimb, vectorul viteză unghiulară alunui corp solid rigid aflat în mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe estedat printr-un vector alunecător (cf. [34], p. 166). O altă mărime vectorială,momentul unui cuplu de forţe ce acţionează asupra unui solid rigid, poate ficonsiderată vector liber (cf. [32], p. 149).Menţionăm că în lucrarea de faţă folosim doar baze ortonormate. De aceea,asupra caracterizărilor de tip tensorial ale mărimilor vectoriale nu se va insista.Pentru detalii, vezi [76], p. 952-981 sau [66], p. 236-253.1.3 Geometria spaţiului fizicModelul matematic al SF fiind deja prezentat, ne vom referi în continuarela o serie de elemente ale geometriei acestuia. Astfel, geometria spaţiului fiziceste de tip euclidian (punctual) (cf. [44], p. 530).Omulţime de puncte din E 3 ,notată D, constituieodreaptă dacă existăA ∈ E 3 şi vectorul τ cu proprietatea că(cf. [44], p. 503).În mod echivalent,unde −→ τ ∈ T A R 3 .D = {M ∈ E 3 : AM = λ · τ, λ ∈ R}D = {M ∈ E 3 : −−→ AM = λ · −→ τ , λ ∈ R},

12 CAPITOLUL 1. MECANICĂ GEOMETRICĂOmulţime de puncte din E 3 , notată P ,constituieunplan dacă existăA ∈ E 3 şi vectorii necoliniari τ, ν cu proprietatea că(cf. [44], p. 503).În mod echivalent,P = {M ∈ E 3 : AM = α · τ + β · ν, α, β ∈ R}P = {M ∈ E 3 : −−→ AM = α · −→ τ + β · −→ ν , α, β ∈ R},unde −→ τ , −→ ν ∈ T A R 3 .Spaţiile liniare Sp({τ}), Sp({τ, ν}) (adică, acoperirile liniare ale sistemelorde vectori {τ}, respectiv {τ, ν} dotate cu operaţiile induse de T R 3 ,cf. [67], p. 65, [75], p. 164) poartă denumirea de spaţii directoare ale drepteiD, respectiv planului P (cf. [44], p. 500).Două drepte(plane)suntparalele dacă nuaupunctecomune (intersecţialor este vidă) şi spaţiile lor directoare coincid. O dreaptă esteparalelă cu unplan dacă nu are puncte comune cu acesta şi spaţiul director al dreptei esteun subspaţiu al spaţiului director al planului (cf. [49], p. 83).Fiind date două drepte coplanare D 1 , D 2 ai căror vectori directori suntτ, ν vom spune că, prin definiţie, unghiul făcut de ele este ](τ, ν).O familie de puncte (M p ) p∈0,n este afin dependentă dacă existănumerelePreale (α p ) p∈0,n cu proprietatea că n α p = 1 şi punctul M ∈ E 3 (numitbaricentru) astfelîncâtp=0POM = n α p · OM p (∀) O ∈ M 3 .p=0O familie de puncte din E 3 care nu este afin dependentă vafi consideratăafin independentă (cf. [44], p. 500). Folosim notaţia M not P= n α p · M p .O familie de puncte (M p ) p∈0,n este afin dependentădacăşi numai dacăvectorii M 0 M 1 ,..., M 0 M n sunt liniar dependenţi (cf. [44], p. 501). Astfel,punctele A, B, C ∈ E 3 sunt coliniare dacăşi numai dacă familia lor este afindependentă.Aplicaţia F : E 3 → E 3 se numeşte afină dacă pentru orice A, B ∈ E 3 şiα, β ∈ R, undeα + β =1,arelocrelaţiaF (αA + βB) =α · F (A)+β · F (B).p=0

1.4. REPERE CARTEZIENE 13Introducem funcţia T : T R 3 → T R 3 prin formula T (AB) =F (A)F (B), undeA, B ∈ E 3 .Aceastavafi, evident,liniară (cf. [44], p. 506).Aplicaţia F : E 3 → E 3 se numeşte izometrică dacă d(A, B) =d(F (A),F (B)), unde A, B ∈ E 3 . Atunci, F este bijectivă, iar F −1 este izometrică(cf. [69], p. 128). O aplicaţie izometrică este, în mod obligatoriu, şi afină.În acest caz, funcţia T asociată ei devine o aplicaţie ortogonală (cf. [44], p.533) sau un operator izometric în sensul utilizat în [67], p. 268.Dându-se o aplicaţie izometrică F ,vaexistaobazăortonormatăaspaţiuluiT R 3 în raport cu care matricea de reprezentare a operatorului T să sescrie sub forma ⎛⎞cos α − sin α 0⎝ sin α cos α 0 ⎠ ,0 0 ±1unde α ∈ [0, 2π) (cf. [67], p. 95, 301) 3 .Atunci când aplicaţia F admite un punct fix (F (A) =A, unde A ∈ E 3 ),iar matricea operatorului T este⎛⎝cos α − sin α 0sin α cos α 00 0 1spunem că aplicaţia F desemnează orotaţie a SF de unghi α în jurul punctuluiA (cf. [67], p. 301, [75], p. 50, 53, [56], p. 23). Conform [56], teorema2, p. 25, orice rotaţie a SF în jurul punctului A este o rotaţie în jurulunei axe ce trece prin A. Aşa cum se poate observa din structura matriceide reprezentare a operatorului T , vectorul director al acestei axe este acelvector din baza ortonormată căruia îi corespunde ultima coloană a matricei.Rotaţiile spaţiului fizic joacă un rol fundamental în mecanica teoretică(cf.,deexemplu,[56],p.22-30).1.4 Repere cartezieneSpaţiul fizic SF este studiat cu ajutorul reperelor carteziene, adicăaldubletelor R =(O, −→ B ), unde O ∈ E 3 iar −→ B este o bază aluiT O R 3 (cf. [57],⎞⎠ ,3 Matricea de reprezentare M a operatorului T verifică relaţia formală¡ T (e1 ) T (e 2 ) T (e 3 ) ¢ = ¡ ¢e 1 e 2 e 3 ·M,unde {e 1 , e 2 , e 3 } este o bază aspaţiului T R 3 .

14 CAPITOLUL 1. MECANICĂ GEOMETRICĂp. 115).În cele ce urmează vomdaoreprezentaregrafică acestor repere.Aşadar, fie B = {e 1 , e 2 , e 3 } obazăaluiT R 3 . Considerăm că bazaBeste ortonormată, adică e i · e j = δ ij , unde δ este simbolul lui Kronecker.Baza −→ B = { −→ e 1 , −→ e 2 , −→ e 3 } aspaţiului T O R 3 se introduce conform relaţiilor−→ e i ∈ e i ,unde1 6 i 6 3. CândB este baza canonicăaluiT R 3 , R se numeştereper canonic al spaţiului fizic.Construim în E 3 trei drepte perpendiculare D 1 , D 2 , D 3 ,concurenteînpunctul O (vezi Figura 1.1). Dreapta D i = {B ∈ E 3 | −→ OB = λ · −→ e i ,λ ∈ R} se notează cuOx i şi se numeşte axă de coordonate a reperului R,unde 1 6 i 6 3. PlanulP ij = {B ∈ E 3 | −→ OB = α · −→ e i + β · −→ e j , α, β ∈ R}se notează cuOx i x j şi se numeşte plan de coordonate al reperului R, undei 6= j şi 1 6 i, j 6 3. La rândul său, reperul R se notează cuOx 1 x 2 x 3 şi senumeşte sistem (triedru) de axe de coordonate.Figura 1.1Fie M ∈ E 3 . Coordonatele lui M în R sunt scalarii reali x u cu proprietateacă−−→ POM = 3 x u · −→ e u .PDe asemeni, OM = 3 x u · e u .u=1Au loc relaţiile următoare:u=1e u = α u1 · i + α u2 · j + α u3 · k, u =1, 2, 3,unde numerele α u1 =cos(e u , i), α u2 =cos(e u , j), α u3 =cos(e u , k) se mainumesc şi cosinuşii directori ai vectorului e u în raport cu baza canonică aluiT R 3 (cf. [66], p. 121, [44], p. 532). Evident, det(α ij ) 6= 0.

1.4. REPERE CARTEZIENE 15Atunci,POM = 3 x u · e uu=1= (x 1 α 11 + x 2 α 21 + x 3 α 31 )i +(x 1 α 12 + x 2 α 22 + x 3 α 32 )j+(x 1 α 13 + x 2 α 23 + x 3 α 33 )k.În acest mod, punctul M este raportat la reperul R. Într-adevăr, conformrelaţiei (1.1) avem⎧⎨⎩x 1 α 11 + x 2 α 21 + x 3 α 31 = x M − x Ox 1 α 12 + x 2 α 22 + x 3 α 32 = y M − y Ox 1 α 13 + x 2 α 23 + x 3 α 33 = z M − z O .(1.2)Astfel, numerele x u sunt unic determinate pe baza elementelor x M − x O ,y M −y O , z M −z O , α uv .Relaţiile (1.2) sunt relaţiile de raportare ale punctuluiM la reperul R.În acest reper, segmentul orientat −−→ OM va fi reprezentat de segmentul dedreaptă OM dotat cu o săgeată careîlindică pe M. Deci, din punct devedere grafic, prinsegment orientat se înţelege un segment de dreaptă pecare s-a stabilit un sens de parcurs, alesaicidelaO către M. Punctul Oeste originea (punctul de aplicaţie) allui −−→ OM, iarM este extremitatea sa.Dreapta OM se numeşte dreapta-suport a segmentului orientat −−→ OM.Fie acum A ∈ E 3 ,cuA 6= O. Atunci, vectorul AM −−→ va fi reprezentatsub forma unui segment orientat în reperul R. Mai mult, ducând paraleleprin A la axele de coordonate Ox i ,obţinem reprezentarea grafică a reperuluiR =(A, −→ B ).Utilizarea segmentelor orientate în studiul SF poartă denumirea de metodagrafică. Un exemplu clar în această privinţă este dat de regula paralelogramului:dacăarelocrelaţia −→ OA + −→ OB = −→ OC, atunci punctele O, A, C şirespectiv B sunt vârfurile unui paralelogram.Numărul x u = OM · e u reprezintă proiecţia vectorului OM pe direcţiae u . În general, prin proiecţia vectorului a pe direcţia b vom înţelege numărul|a| cos(a, b) = a·b not= a|b| b .Să considerăm vectorul v =|b| b ,undeb 6= 0. Acesta se numeşte versorulsau vectorul-unitate al direcţiei b. Atunci, vectorul p = a b · v = a·b · b se|b| 2numeşte vectorul-proiecţie pe direcţia b al vectorului a.

16 CAPITOLUL 1. MECANICĂ GEOMETRICĂVectorul p admite următoarea caracterizare specifică analizei în spaţii cuprodus scalar (prehilbertiene). Fie V subspaţiul liniar generat de vectorul bîn T R 3 . Atunci, pe baza teoremei Schmidt (cf. [44], p. 364), există şi esteunic vectorul p ∈ V (numit proiecţia ortogonală a vectorului a pe V )astfelîncât|a − p| =inf |a − v| = dist (a, V ).v∈VÎn cazul de faţă, această proprietate poate fi justificată în mod direct.Astfel, cum V = Rb, casăgăsim numărul real λ 0 pentru care p = λ 0 b,calculăm expresia de mai josE(λ) =¯¯a − λb¯¯2 = ¡ a − λb ¢ 2= a 2 + λ 2 b 2 − 2λ(a · b), λ ∈ R.DiscriminantultrinomuluidegradulalII-leaînλ este∆ λ =4[(a · b) 2 − a 2 · b 2 ]=−4(a × b) 2 6 0,conform identităţii lui Lagrange (cf. [34], p. 34).Minimul expresiei E(λ), carearelocpentruλ 0 = a · b ¯¯b¯¯2 , (1.3)esteE(λ 0 )=− ∆ λ 04b 2 = ¯1¯b¯¯2 · ¯¯a × b¯¯2 . (1.4)Aşadar, p = a·b · b.|b| 2Aceste noţiuni se transpun cu uşurinţă în cazul vectorilor legaţi. Deexemplu, dacă −→ a ∈ T A R 3 , −→ a ∈ a, unde A ∈ E 3 , atunci vectorul-proiecţiepe direcţia b al lui −→ a este −→ p ∈ T A R 3 , −→ p ∈ p (cf. [34], p. 24). Din punct devedere grafic, semnificaţia mărimii −→ p este imediată (vezi Figura 1.2).Figura 1.2

Capitolul 2Mecanica punctului material2.1 CinematicaCinematica 1 ,încadrulcăreiaseintroducnoţiunile de traiectorie, vitezăşi acceleraţie ale unui punct material, se ocupă custudiulmişcărilor acestuiadinpunctdevederegeometric,fără aţine seama de masa lui şi de forţele lacare este supus (cf. [76], p. 5) .Se consideră un reper canonic R al SF. Structura topologică aspaţiuluiliniar T R 3 permite introducerea noţiunii de diferenţiabilitate.Astfel, fie Ω =n Qa=1I a ,undeI a ⊂ R sunt intervale netriviale înzestratecu topologia T Ia indusă de topologia uzuală aluiR (cf. [39],p. 112,133).nQMulţimea Ω, larândulsău, este înzestrată cu topologia produs (cf.[39], p. 181).Dacă σ : Ω → T R 3 este o aplicaţie scrisă subformaσ(q 1 , ..., q n )=x(q 1 , ..., q n )i + y(q 1 , ..., q n )j + z(q 1 , ..., q n )k,unde q a ∈ I a , 1 6 a 6 n, vom putea spune că σ ∈ C m (Ω,TR 3 ) dacăşi numaidacă x, y, z ∈ C m (Ω, R). Atunci când cel puţin unul dintre intervalele I anu este deschis vom presupune că existămulţimea G, deschisă în topologiauzuală aluiR n , astfel încât Ω ⊂ G şi σ ∈ C m (G, T R 3 ), respectiv x, y,a=1T Ia1 kínēsis, adicădeplasare,mişcare, schimbare. Cf. [58], p. 149.17

18 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALz ∈ C m (G, R). Aici,n ∈ N, m ∈ N ∪ {+∞}. Maimult(m0 este oconstantă numită masă, poartă denumirea de punct material (cf. [56], p.16). Componentele punctului material (ca element al spaţiului aritmetic R 3 )M =(x M (t),y M (t),z M (t))putând varia, punctul material trebuie privit ca fiind perpetuu în mişcare(mobil) (cf. [32], p. 18). Variabila considerată aici este timpul (cf. [34], p.214, 220).Modelul matematic al timpului ca variabilărealăţine seama de caracteristicileacestuia, admise de mecanica clasică: timpul este infinit (fără începutsau sfârşit), ireversibil (succesiunea evenimentelor nu poate fi modificată),absolut (independent de spaţiu) şi omogen (cf. [76], p. 8, [32], p. 42, 59,[54], p. 58). În particular, doi observatori evaluează timpulînmodidentic,”durata” unui fenomen coincizând la amândoi (cf. [34], p. 179, [32], p. 191),independent de mişcarea instrumentelor de măsură (cf.[32],p.47).Scopul mecanicii punctului material este acela de a studia comportamentulacestuia (mişcare/repaus) faţă dediferitereperealeSF. Astfel, calculelespecifice mecanicii teoretice nu au sens dacă nu se precizează reperul(numit,de obicei, sistem de referinţă) înraportcucareaufostefectuate(cf. [32],p.17, [76], p. 2).Despre vectorulOM = x(t)i + y(t)j + z(t)k not= r(t)se presupune, în general, căaparţine lui C ∞ (R,TR 3 ); în acest sens, mecanicanewtoniană este netedă (cf. [32], p. 19). Deşi derivatele de ordin n ≥ 3 nuvor fi prezente în ecuaţiile mecanicii teoretice, se pare că anumitemărimik,

2.1. CINEMATICA 19fizice care caracterizează fenomene ce implică variaţia extrem de rapidă întimp a modulului forţelor (ciocniri, cutremure, etc.) pot fi exprimate cuajutorul acestora (cf. [76], p. 292). Gradul de confort al unui autovehiculeste precizat folosind derivatele de ordinul n =3(supraacceleraţia) (cf.[63],p. 144). Vectorul r(t) se numeşte raza vectoare a punctului material M.Vectorul −−→ OM este vectorul de poziţie al punctului material M. MulţimeaΓ = {M(t) :t ∈ R}(locul geometric al punctelor prin care trece mobilul) se numeşte traiectoriapunctului material M. Asupra sa vom reveni în detaliu în subsecţiuneaurmătoare.Vectorul·r (t) =·x (t)i+ ·y (t)j+ ·z (t)k not= v(t)este vectorul-viteză al punctului material M. Aici, ” · ” not= d . Prin vitezadtpunctului material M înţelegem vectorul −−→ MN ∈ v(t). Atuncicândnuestepericol de confuzie, prin viteză vomînţelege şi mărimea v(t) def= |v(t)|.Vectorul··r (t) =··x (t)i+ ··y (t)j+ ··z (t)k not= a(t)este vectorul-acceleraţie al punctului material M. Prinacceleraţia punctuluimaterial M înţelegem vectorul −−→ MP ∈ a(t). Atunci când nu este pericol deconfuzie, prin acceleraţie vom înţelege şi mărimea a(t) def= |a(t)|.Încheiem această subsecţiune cu observaţia cănoţiunile cinematice de maisussedefinescînraportcuoricaredintrerepereledinSF în mod analog. Înplus, punctul material M poate fi în repaus faţă de un reper al SF (r(t) =constant) şi în mişcare faţă dealtul(v(t) > 0). Este, de asemeni, subînţelescă oricedouăreperealeSF se mişcă neted (C ∞ )unulfaţă de celălalt.2.1.2 Geometria traiectoriei”Existenţa lumii bazatăpeevidenţa experienţei naturale nu mai poate fi pentrunoi un fapt evident, ci doar un fenomen de valabilitate. (Edmund Husserl, Drumulcătre ego-ul transcedental, cf. [33], p. 48)”Vom analiza în cele ce urmează o serie de chestiuni privitoare la mulţimeaΓ. Înmodobişnuit, traiectoria punctului material este prezentatăcahodogra-

20 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALful 2 razei vectoare a acestuia (cf. [32], p. 23, [2], p. 134-135). Aceasta pentrucă, în principiu, traiectoria se stabileştecaurmareaobservaţiei (colectăriide date ”empirice”, experimentale 3 , etc.). Un exemplu elocvent îl constituiemişcarea planetelor în jurul Soarelui, explicată de Kepler pornind de latabelele de observaţii asupra planetei Marte aparţinând lui Tycho Brahe (cf.[34], p. 212). O situaţie total diferită apareînsă atunci când, de exemplu,punctul material este obligat să semişte pe o elipsă dată situată înplanulvertical (cf. [34], p. 401-402). Într-o formulare echivalentă, traiectoria punctuluimaterial M este locul geometric al poziţiilor succesive pe care le ocupăpunctul material în mişcarea sa faţă de sistemul de referinţă (cf. [76], p.282). Din acelaşi motiv (observaţia), traiectoria trebuie să satisfacăanumiterestricţii impuse de fenomenul fizic al mişcării punctului material (cf. [76],p. 281).Traiectoria punctului material este, astfel, continuă (punctulmaterialnupoate trece de la o poziţie la alta fără a parcurge poziţiile intermediare),univocă în raport cu timpul (punctul material nu poate ocupa simultan maimulte poziţii în spaţiu) şi permite introducerea noţiunilor de viteză şi acceleraţie(cf. [76], p. 281, [32], p. 19).Totuşi, traiectoria punctului material trebuie privită caoentitategeometrică(maidegrabădecâtcaocurbăparametrizată netedă, cf. [44], p.572), independentă de parametrizarea aleasă. Mai precis, traiectoria Γ ⊂ E 3este, în general, o curbă netedăorientată în sensul dat în [48], p. 13-23. A sevedea, de asemeni, prezentările făcute în [44], Cap. IV, § 5 şi [45], Cap. V.Să considerăm γ : I → E 3 o aplicaţie introdusă prinformulaOM = x(q)i + y(q)j + z(q)k = σ(q),unde M = γ(q), q ∈ I. Aplicaţia γ defineşte un drum neted (curbă parametrizatănetedă) (C ∞ )înSF dacă σ ∈ C ∞ (I,TR 3 ).Drumul neted γ : I → E 3 este numit regular când σ 0 (q) 6= 0în I, respectivbiregular când σ 0 (q) × σ 00 (q) 6= 0în I.Două drumuri netede γ : I → E 3 , ζ : J → E 3 sunt echivalente dacăexistă difeomorfismul (C ∞ ) λ : I → J (numit schimbaredevariabilă) astfel2 Fie w(t) ∈ T R 3 , t ∈ I, unde I este un interval netrivial al lui R, şi A ∈ E 3 . Loculgeometric al extremităţii vectorului −→ w ∈ T A R 3 , −→ w ∈ w(t), atuncicândt variază estehodograful vectorului w(t).3 Pentru deosebirea dintre empeiria (cunoaşterea cazurilor individuale, cf. [58], p. 269,299) şi experimentum crucis (experimente semnificative în concepţia lui I. Newton, cf.[12], p. 203) a se vedea excelentul tratat [12].

2.1. CINEMATICA 21încât γ = ζ ◦ λ. Când λ 0 (u) > 0, unde u ∈ I, drumurile γ, ζ devin pozitivechivalente (cf. [48], p. 11, 22).Mulţimea Γ ⊂ E 3 reprezintă ocurbă (netedă) în SF dacă pentruoriceM ∈ Γ există drumulnetedregularγ : I → E 3 (numit parametrizare locală)având următoarele proprietăţi:1) γ(I) este o vecinătate a lui M deschisă în raport cu topologia indusăpe Γ de topologia metrică aluiE 3 ;2) γ :(I,T I ) → (γ(I), T γ(I) ) este homeomorfism (cf. [48], p. 13, [44], p.584).Despre curba netedă Γ spunem că este orientabilă în SF dacă existăfamilia de parametrizări locale (γ a ) a∈A ,undeγ a :I a → E 3 ,(numită familieorientată) astfelîncât:1) Γ = S γ a (I a );a∈A2) dacă Γ ab este o componentă conexăamulţimii γ a (I a )∩γ b (I b ), a 6= b, înraport cu topologia indusă de topologia metrică aluiE 3 ,atuncidrumurileγ a | Iab: I ab → E 3 γ b | Iba: I ba → E 3 , (2.1)unde I ab =γ −1a (Γ ab ), I ba =γ −1b(Γ ab ), sunt pozitiv echivalente (cf. [57], p. 96,[44], p. 587, [48], p. 22).O parametrizare locală γ : I → E 3 a curbei orientabile Γ este compatibilăcu familia orientată (γ a ) a∈A dacă pentru orice a ∈ A astfel încâtγ(I)∩γ a (I a ) 6= ∅ şi pentru orice componentăconexă Γ a amulţimii γ(I)∩γ a (I a ),drumurileγ| I a : I a → E 3 γ a | J a : J a → E 3 ,unde I a = γ −1 (Γ a ), J a =γ −1a (Γ a ), sunt pozitiv echivalente (cf. [44], p. 587).În legătură cudefiniţiile de mai sus, se cuvin făcute următoarele afirmaţiide natură topologică:1) (T Γ ) γa (I a ) = T γa (I a );2) mulţimile γ −1a (Γ ab ) sunt intervale în R;3) mulţimile Γ ab sunt deschise în spaţiul (Γ, T Γ ).Justificarea afirmaţiei 1). Cumγ a (I a ) ∈ T Γ ,existămulţimea G ⊆ E 3 deschisăîn raport cu topologia metrică a acestuia astfel încât γ a (I a )=G ∩ Γ.Fie M ∈ (T Γ ) γa (I a ). Atunci, există H ⊆ E 3 deschisă în raport cu topologiametrică aluiE 3 astfel încât M = W ∩γ a (I a ),undeW = H ∩ Γ, deciM = H∩γ a (I a ),adică M ∈ T γa (I a). Invers, dacă M = H∩γ a (I a ),atunciM ⊆γ a (I a ) şi M = (H ∩ G) ∩ Γ, de unde M ∈ T Γ . În sfârşit, cumM = M∩γ a (I a ),avemcă M ∈ (T Γ ) γa (I a).

22 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALJustificarea afirmaţiei 2). Dată fiind suprarelativizarea 4 conexităţii (cf.[39], problema II.2.78, p. 174), mulţimea Γ ab este conexă înspaţiul (γ a (I a ),T γa (I a )). Atunci, cum aplicaţia γ −1a :(γ a (I a ), T γa (I a )) → (I a , T Ia ) este continuă,mulţim- ea γ −1a (Γ ab ) va fi conexă înspaţiul (I a , T Ia ). Ţinând încă odatăseama de suprarelativizarea conexităţii, deducem că γ −1a (Γ ab ) este o mulţimeconexă şi în spaţiul R dotat cu topologia uzuală T e ,adică un interval (cf.[39], problema II.2.73, p. 172).Justificarea afirmaţiei 3). Săarătăm că spaţiul (Γ, T Γ ) este local conex,adică fiecare punct M ∈ Γ admite un sistem fundamental de vecinătăţi formatdin mulţimi conexe (cf. [39], p. 152). Dacă M ∈ Γ, există parametrizarealocală γ : I → E 3 astfel încât M ∈ γ(I). Fie V o vecinătate a luiM în raport cu T Γ . Atunci, există r>0 astfel încât B(M,r) ∩ Γ ⊆ V , undeB(M, r) ={N ∈ E 3 : d(M,N)

2.1. CINEMATICA 23Spaţiul (Γ, T Γ ) fiind local conex, deoarece γ a (I a ) ∩ γ b (I b ) ∈ T Γ ,avemcăΓ ab ∈ T Γ .Aceastapentrucă un spaţiu (X, T ) este local conex dacă şi numaidacă componentele conexe ale mulţimilor deschise sunt mulţimi deschise (cf.[39], p. 152).Justificarea afirmaţiilor 1), 2), 3) s-a încheiat.Să considerăm curba netedă orientabilă conexă Γ şi familiile orientate(γ a ) a∈A , (ζ b ) b∈B , undeγ a : I a → E 3 ζ b : J b → E 3 .Fie a 0 ∈ A, b 0 ∈ B astfel încât γ a0 (I a0 )∩ζ b0 (J b0 ) 6= ∅ şi Γ a0 b 0ocomponentăconexă amulţimii γ a0 (I a0 ) ∩ ζ b0 (J b0 ).Aulocurmătoarele proprietăţi:1) drumurile γ a0 | Ia0 b 0: I a0 b 0→ E 3 şi ζ b0 | Ja0 b 0: J a0 b 0→ E 3 ,undeI a0 b 0=γa −10(Γ a0 b 0), J a0 b 0= ζ −1b 0(Γ a0 b 0),suntechivalente;2) (cf. [57], propoziţia 2, p. 98) dacă drumurile de la 1) sunt pozitivechivalente, atunci pentru orice a ∈ A, b ∈ B astfel încât γ a (I a ) ∩ ζ b (J b ) 6= ∅şi pentru orice componentă conexă Γ ab amulţimii γ a (I a ) ∩ ζ b (J b ), drumurileγ a | Iab: I ab → E 3 ζ b | Jab: J ab → E 3 (2.2)sunt pozitiv echivalente.Demonstraţia părţii 1). Se poate arăta uşor că, dacă f : (X, T ) →(Y,G) este continuă şi M ⊆ X, atuncif| M:(M,T M ) → (f(M), G f(M) ) estecontinuă (cf. [39], problemele II.3.1, II.3.2, p. 187). Astfel, aplicaţia λ =ζ −1b 0◦ γ a0 : I a0 b 0→ J a0 b 0este homeomorfism. Urmând [44], propoziţia 4.25,p. 585, să considerăm t 0 ∈ I a0 b 0şi u 0 = λ(t 0 ). Drumurile γ a0 : I a0 b 0→ E 3 ,ζ b0 : J a0 b 0→ E 3 sunt date prin formulele½ OM = x(q1 )i + y(q 1 )j + z(q 1 )k = σ a0 (q 1 ),M= γ a0 (q 1 ),q 1 ∈ I a0 b 0,OM = x 1 (q 2 )i + y 1 (q 2 )j + z 1 (q 2 )k = σ b0 (q 2 ),M= ζ b0 (q 2 ),q 2 ∈ J a0 b 0.(2.3)Dată fiind regularitatea lui ζ b0 ,avemcă 5 σb 0 0(u 0 ) 6= 0.Să presupunem căx 0 1(u 0 ) 6= 0. Atunci, conform teoremei de inversiune locală (cf. [64], p. 77),există intervalele deschise U, V în R, undeu 0 ∈ U, x 1 (u 0 ) ∈ V ,astfelîncâtx 1 | U: U → V să fie difeomorfism (C ∞ ). Mulţimea U ∩ J a0 b 0∈ T Ja0 b 0,de5 Conform celor menţionate la pagina 17, în cazul unui drum neted ζ : J → E 3 ,dacăintervalul J nu este deschis va exista un drum neted ζ ∗ : J ∗ → E 3 astfel încât J ⊂ J ∗ ,J ∗ ∈ T e şi ζ ∗ | J ∗ = ζ.

24 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALunde W not= λ −1 (U ∩ J a0 b 0) ∈ T Ia0 b 0.Fieacumt ∈ W .Avemcă M = γ a0 (t) =ζ b0 (λ(t)), de unde OM = σ a0 (t) =σ b0 (λ(t)). Ajungem la x(t) =x 1 (λ(t)) şiλ(t) =ϕ(x(t)), unde ϕ =(x 1 | U) −1 ,relaţie valabilă peintervalulW . Deci,λ ∈ C ∞ (W, J a0 b 0).Demonstraţia părţii 2). Construim mulţimile Γ + , Γ − în felul următor.Fie M ∈ Γ şi a ∈ A, b ∈ B astfel încât M ∈ Γ ab . Dacădrumurile(2.2)sunt pozitiv echivalente, atunci M ∈ Γ + .Altfel,M ∈ Γ − . Conform ipotezei,Γ a0 b 0⊆ Γ + ,deciΓ + 6= ∅. Presupunem prin absurd că Γ − 6= ∅. Evident,dacă M ∈ Γ ab şi M ∈ Γ − ,atunciΓ ab ⊆ Γ − . Deoarece Γ este local conexăşi Γ + = Γ \ Γ − , Γ − = Γ \ Γ + , deducem că mulţimile Γ + , Γ − sunt simultanînchise şi deschise în (Γ, T Γ ). Am folosit faptul că Γ ab ∈ T Γ ,undea ∈ A,b ∈ B. Ceea ce, conform [39], p. 151, este în contradicţie cu conexitatea luiΓ. Demonstraţia s-a încheiat.Vomreamintifaptulcănoţiunile de conexitate şi local conexitate nu suntechivalente (cf. [39], problema II.2.88, p. 177).Fie A mulţimea tuturor familiilor orientate ale curbei netede orientabileconexe Γ. Definim o relaţie de echivalenţă pe A spunând că două familiiorientate (γ a ) a∈A , (ζ b ) b∈B sunt echivalente dacă există a 0 ∈ A, b 0 ∈ B astfelîncât γ a0 (I a0 )∩ζ b0 (J b0 ) 6= ∅ şi Γ a0 b 0ocomponentăconexăamulţimii γ a0 (I a0 )∩ζ b0 (J b0 ) cu proprietatea că drumurileγ a0 | Ia0 b 0: I a0 b 0→ E 3 ζ b0 | Ja0 b 0: J a0 b 0→ E 3sunt pozitiv echivalente (cf. [57], p. 98). Despre două familii orientateechivalente spunem că suntla fel orientate.Conform celor demonstrate anterior, mulţimea claselor de echivalenţă aleacestei relaţii de echivalenţă are doar două elemente. Deaceea,ocurbănetedă orientabilăconexă Γ este considerată orientată (cu orientarea datăde familia orientată) dacă se precizează o familie orientată a sa. Există doardouă asemeneaorientări (cf. [57], p. 99).Exemplul tipic de curbă netedă orientată este dat de curba simplă. Ocurbă netedă Γ se numeşte simplă dacă există parametrizarea γ : I → E 3(numită globală) astfelîncâtγ(I) =Γ. Orientarea sa este dată de familiaorientată {γ} (cf. [48], p. 23, [44], p. 587).Să considerăm curba netedă orientată Γ. Fie(γ a ) a∈A , unde γ a : I a → E 3 ,familia de parametrizări locale care dă orientarea curbei şi M 0 ∈ Γ. Existăa ∈ A astfel încât M 0 ∈ γ a (I a ). Aplicaţia γ a : I a → E 3 este introdusă prin

2.1. CINEMATICA 25formulaOM = x a (q)i + y a (q)j + z a (q)k = σ a (q), M= γ a (q), q∈ I a .notDreapta T 0 = {N ∈ E 3 : −−−→ M 0 N = λ −→ w, λ ∈ R}, unde −→ w ∈ T M0 R 3 ,−→ w ∈ σ0a (q 0 ), M 0 = γ a (q 0 ), este tangenta la curba Γ în punctul M 0 . Fie−→ τ M0 versorul vectorului −→ w . Acesta are săgeata îndreptată însensulcreşteriivariabilei q (cf. [66], p. 261) şi este independent de parametrizarea adoptatădin familia orientată (γ a ) a∈A .Într-adevăr, fie b ∈ A, b 6= a, astfelîncâtM 0 ∈γ a (I a ) ∩ γ b (I b ).Notăm cu Γ ab componenta conexă amulţimii γ a (I a ) ∩ γ b (I b )care îl conţine pe M 0 (cf. [39], p. 151). Fie λ schimbarea de variabilăcorespunzătoare drumurilor (2.2). Atunci, conform (2.3), σ a (q) =σ b (λ(q)),unde q ∈ I ab . Prin derivare, σa(q) 0 =λ 0 (q)σb 0(λ(q)) şi obţinem că −→ w a =λ 0 (q 0 ) −→ w b ,unde −→ w a ∈ σa(q 0 0 ), −→ w b ∈ σb 0(λ(q 0)), −→ w a , −→ w b ∈ T M0 R 3 . Cumλ 0 (q 0 ) > 0, versorii vectorilor −→ w a , −→ w b coincid.Figura 2.1Practic, în cazul unei curbe netede orientate Γ, putem spune că orientareaface ca săgeţile versorilor −→ τ M să fieîndreptateîn aceeaşi parte atunci când Mparcurge curba (vezi Figura 2.1), deci că existăunsens de parcurs (mişcare)pe curbă.În acest moment putem preciza modul în care traiectoria punctului materialeste privită, în general, în mecanica teoretică, şi anume ca o curbă netedăorientată. Decelemaimulteori,mişcarea punctului material este investigatăpeporţiuni ale traiectoriei sale care sunt curbe simple având parametrizareaglobală (numită cinematică) datădeformulaσ = r(t). Variabilaparametrizării cinematice este timpul. Puncte singulare apar, de exemplu, lamişcarea pe cicloidă (cf. [32], p. 38, [59], problema 1.5.5, p. 11, [76], p. 297,312-313, [75], p. 98). Situaţii speciale se întâlnesc în cazul ciocnirilor, unde seimpun diferite restricţii privind netezimea parametrilor cinematici (cf. [34],

26 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALp. 614-622). ”Neregularităţi” asemănătoare intervin şi în alte capitole alemecanicii teoretice (vezi, de exemplu, [35], p. 80-94). Ele trebuie analizateseparat (cf. [32], p. 19).2.1.3 Triedrul lui Frenet. Formulele Frenet-SerretConstruim în continuare un reper cartezian special legat de punctul materialM, şi anume triedrul lui Frenet. Săconsiderăm că traiectoria Γ esteocurbăsimplăacărei parametrizare cinematică (globală) este biregulară.Relaţia σa(q) 0 × σa(q) 00 =(λ 0 (q)) 3 (σb 0 (λ(q)) × σ00 b (λ(q))), q ∈ I ab, unde σ a , σ bsunt formulele drumurilor (2.1) iar λ : I ab → I ba este schimbarea de variabilă,ne asigură căoricealtă parametrizare (locală sau globală) rămâne biregulară,deci că biregularitatea parametrizării cinematice este o proprietate atraiectoriei Γ (geometrică).Aplicăm procedeul de ortonormare Gram-Schmidt (cf. [44], p. 367-369,[67], p. 255) sistemului de vectori {v, a}:1) vectorii b 1 = v, b 2 = a − π V (a) sunt ortogonali, unde V , π V (a) reprezintăsubspaţiul liniar generat de vectorul v în T R 3 , respectiv proiecţia ortogonalăavectoruluia pe V ;2) versorii τ = 1 b |b 1|1, ν = 1 b |b 2|2 alcătuiesc sistemul ortonormat căutat.De asemeni, Sp({v, a}) =Sp({τ, ν}).Conform (1.3), (1.4), π V (a) = v·a · v şi ¯¯b v 2¯¯ = p E(λ 20 )= 1 ·|v × a|. Auvloc formulele:τ = 1v(t) v(t) ν = v(t) v(t) · a(t)[a(t) − v(t)], t∈ I,|v(t) × a(t)| v 2 (t)unde −∞ 6 α < β 6 +∞ şi I =(α, β).Introducem un al treilea vector β not= τ × ν.Atunci, reperul R =(M, −→ B ), undeB = {τ, ν, β}, estetriedrul lui Frenetal traiectoriei în punctul M. Se mai întâlnesc şi denumirile de triedrul axelorintrinseci ale traiectoriei în punctul M ori reperul natural al traiectoriei înpunctul M (cf. [76], p. 66).Triedrul lui Frenet este invariant la parametrizările locale pozitiv echivalente.Mai precis, ν este invariant la parametrizări locale echivalente aleaceleiaşi vecinătăţi deschise conexe a punctului M, pecândτ, β devin ±τ,±β, semnulcoincizândcucelalderivateiλ 0 aschimbării de variabilă (cf.[48], p. 21). De aceea, el este ataşat curbelor orientate.

2.1. CINEMATICA 27Un fapt esenţial se cuvine reamintit: orice drum neted regular γ poatefi parametrizat natural (adică, |σ 0 (q)| =1, unde q ∈ I) cupăstrarea pozitivechivalenţei (cf. [48], p. 12). Înlocuind parametrizarea cinematică atraiectoriei cu cea naturală, versorii din B devinτ = drdsν = 1 ·¯ d 2 r¯¯ d2 rβ = τ × ν,ds 2 ds 2unde s reprezintă variabila parametrizării naturale. Putem astfel introducetriedrul lui Frenet apelând doar la parametrizarea naturală a traiectoriei.Aceasta este o practică uzualăînlucrările de mecanică teoretică(cf.[76],p.64-67, [63], p. 155-158, [14], p. 89-91, [2], p. 138-139, [54], p. 24, etc.).Pentruaavealaîndemână o expunere a triedrului lui Frenet adecvatănevoilor specifice ale mecanicii teoretice, urmăm calculul făcut în [34], p.79-82.Punctul material M, ca în Figura 2.2, se deplasează dinpoziţia M 0 cătrepoziţia M 1 . Sensul de parcurs pe traiectorie este, evident, cel al creşteriivariabilei t.Putem defini funcţia (coordonata curbilinie) care calculează lungimea arculuide curbă M 0 M:ZZ t pPs(t) = ds = (x0 (q)) 2 dq (2.4)t 0M 0 M(t)(cf. [53], Teorema 7.4.4, p. 337). Aceasta reprezintă variabila parametrizăriinaturale a traiectoriei Γ pozitiv echivalentă cu parametrizarea cinematică(cf.[48], p. 12).Cum ·s (t) > 0 pentru t > t 0 , coordonata curbilinie s este inversabilă(local) şi avemIntroducem vectoruldtds = 1 dsdt= 1v(t) .τ = drds = drdt · dtds = 1 v(t) (2.5)v(t)= α(t)i + β(t)j + γ(t)k.Se observă că |τ| =1(caracteristica parametrizării naturale) şi v(t) =·s(t) · τ. Aşadar, τ este versorul vectorului-viteză, vectorul-viteză estedirecţia

28 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALtangentei la traiectorie (G. Roberval, 1635), iar viteza −→ v (t) este îndreptatăîn sensul mişcării.Figura 2.2şiÎn continuare, cum τ 2 =1, derivând în raport cu s obţinem căτ · dτds=0 (2.6)dτds = dτdt · dtds = 1v(t) [ α ·(t)i+ β ·(t)j+ ·γ (t)k]. (2.7)Prin calcul direct ajungem la formulaà !··xα= d = 1 [··x ( ·y 2 + ·z 2 )− ·x··( ·y y +dt v v 3·z··z)]şi analoagele ei. Vectorial, plecând de la·α= 1 [··x ( ·x 2 + ·y 2 + ·z 2 )− ·x ( ·x··x +v 3·y··y +·z··z)],vom putea scrie că·τ= 1 v 3 [v2 · a − (a · v)v]. (2.8)Folosind (2.8), se arată imediatcă τ6= ·0dacă şi numai dacă v × a 6= 0(condiţia de biregularitate a parametrizării cinematice a traiectoriei). Deci,dτds6=0şi, conform (2.6),dτds ⊥ τ.Introducem scalarul R>0 şi versorul ν plecând de la relaţiadτds = 1 · ν. (2.9)R

2.1. CINEMATICA 29Versorul ν defineşte direcţia normalei principale la traiectorie în punctulM, iarmărimea R reprezintă raza de curbură a traiectoriei în punctul M.Planul determinat de M cu spaţiul director generat în T M R 3 de vectorii −→ τ ,−→ ν este planul osculator al traiectoriei în punctul M.Versorul β, caredefineşte direcţia binormalei la traiectorie în punctul M,este introdus prin formula β = τ × ν.Tripletul (τ, ν, β), desens direct (τ × ν = β, ν × β = τ, β × τ = ν) 6 ,alcătuieşte o bază aluiT R 3 , astfel că existăşi sunt unici scalarii reali A, B,C cu proprietatea cădβ= Aτ + Bν + Cβ. (2.10)dsd(2.9)Deoarece β · τ = 0, (β · τ) = dβ · τ + β · ( 1 dβν) = · τ şi ds ds R ds β2 = 1,dds (β2 )=2· β · dβ , deducem că A = C =0.dsÎn cazul când B 6= 0, introducem scalarul real T plecând de la relaţiadβ= −T · ν. (2.11)dsMărimea T reprezintă torsiunea traiectoriei în punctul M. Semnul luiT este luat astfel încât T să fie pozitiv pentru o rotaţie 7 pozitivă (în senstrigonometric) a reperului natural în jurul lui −→ τ (cf. [76], p. 65).Folosind faptul că β × τ = ν, avemcădνds= dβds × τ + β × dτds = −T · ν × τ + 1 R · β × ν (2.12)= − 1 R · τ + T · β.Relaţiile (2.9), (2.11) şi (2.12) se numesc formulele Frenet-Serret (cf. [44],p. 578).Cazul B =0este cel al curbelor plane (cf. [48], p. 27). Planul osculatoral unei curbe plane este chiar planul curbei (cf. [48], p. 18), în timp cetorsiunea ”măsoară” abaterea curbei (strâmbe) de la planul osculator (cf.[48], p. 27).6 Faptul căbazaB = {τ, ν, β} are aceeaşi orientare ca baza canonicăaspaţiului T R 3 esteoconsecinţăaurmătoarei observaţii. Fiind daţi vectorii c, d, undec×d 6= 0, determinantulschimbării bazei, de la {i, j,k} la {c, d, c × d}, este(c, d, c × d) =¯¯c × d¯¯2 > 0.7 A se vedea interpretarea torsiunii cu ajutorul unghiului făcut de vectorii β în douăpoziţii din apropierea punctului M (cf. [48], p. 27).

30 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALCercul de rază R al cărui centru are, în raport cu triedrul lui Frenet,vectorul de poziţie R · −→ ν poartă denumireadecerc de curbură(osculator)altraiectoriei în punctul M. Centrulsău este centrul de curbură al traiectoriei.Cercul de curbură are tangenta la traiectorie ca tangentă în punctul M (veziFigura 2.3) (cf. [32], p. 24, [44], p. 566, 581). De aceea, în anumite problemede mecanică teoretică, se poate aproxima traiectoria (plană) cu un ”mic” arcal cercului de curbură, ”infinit” de aproape de M (cf.,deexemplu,[32],problema 3.8, p. 70, [59], problemele 3.2.9, 3.2.11, p. 40-41).Figura 2.32.1.4 Raza de curbură şi torsiunea ca funcţii de timpAu loc formuleleR =v3|v × a|T =Într-adevăr, din (2.8), (2.9) deducem că(v, a,·a)|v × a| 2 . (2.13)1R = 1 ¯¯¯¯a − a · vv 2 v v¯¯¯¯ = 1 |v × a| .2 v3 Să justificămceade-adouaformulă. Cum Sp({v, a}) =Sp({τ, ν}), unicadirecţie perpendiculară pe planul osculator este dată dev × a, deci(cf. [57], p. 148).Atunci, avem căβ = v × a|v × a|··|v × a| (v× a) − (v × a) · d (|v × a|)dtβ=|v × a| 2 .(2.14)

2.1. CINEMATICA 31Cum d (|v × a|) = p ddt dt (v × a)2 = (v×a)(v× a)·,ţinând seama de formula dubluluiprodus vectorial,|v×a|putemscriecă·β =(v × a) × [(v×·a) × (v × a)]|v × a| 3 =(v × a) × [((v×·a) · a)v]|v × a| 3··(a, v, a)a, a)=3[(v × a) × v] =(v,|v × a| |v × a| 3 [(v · a)v − v2 · a]= − v2 · (v, a, a)·|v × a| 3 (a − v · av v). 2Concluzia rezultă imediat aplicând (2.11).2.1.5 Forma traiectoriei în apropierea lui MTriedrul lui Frenet permite ”vizualizarea” formei traiectoriei Γ în vecinătateaunei poziţii oarecare a punctului material M, pe baza formulelor Frenet-Serret (cf. [57], p. 157-159, [44], p. 581-583).Fie t 2 ∈ (t 0 ,t 1 ) (vezi Figura 2.2) şi coordonata curbilinieZ tpPs(t) = (x0 (q)) 2 dq, t ∈ [t 0 ,t 1 ]. (2.15)t 2La fel ca anterior, s reprezintă variabila unei parametrizări naturale atraiectoriei Γ pozitiv echivalentă cu parametrizarea cinematică. Vom folositriedrul lui Frenet al traiectoriei corespunzător poziţiei M 2 = M(t 2 ).Conform (2.14), ecuaţia planului osculator al traiectoriei Γ în M 2 se scrieSă evaluăm expresia de mai jos[r − r(t 2 )] · [v(t 2 ) × a(t 2 )] = 0.E(t) =[r(t) − r(t 2 )] · [v(t 2 ) × a(t 2 )], t∈ [t 0 ,t 1 ].Astfel, dezvoltând funcţia r(t) în jurul lui t = t 2 ,avemcăE(t) = [v(t 2 ) × a(t 2 )] · [(t − t 2 )v(t 2 )+ 1 2 (t − t 2) 2 a(t 2 )+ 1 6 (t − t 2) 3 ·a (t 2 )+o((t − t 2 ) 3 )]

32 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL= 1 6 (v(t 2), a(t 2 ), ·a (t 2 ))(t − t 2 ) 3 + o((t − t 2 ) 3 )= 1 6 (t − t 2) 3 (C + α(t − t 2 )),unde C = T (t 2 ) ·|v(t 2 ) × a(t 2 )| 2 şi limt→t2α(t − t 2 )=0.Când traiectoria Γ este spaţială (strâmbă) în M 2 (adică, T (t 2 ) 6= 0), existăε > 0 suficient de mic astfel încât½ E(t) < 0, t∈ (t2 − ε,t 2 )E(t) > 0, t∈ (t 2 ,t 2 + ε)T (t 2 ) > 0,respectiv½ E(t) > 0, t∈ (t2 − ε,t 2 )T (tE(t) < 0, t∈ (t 2 ,t 2 + ε)2 ) < 0.¯ ¯Însă, pe de altăparte,E(t) = ¯M 2 M(t) ¯·|v(t 2 ) × a(t 2 )|·cos(β(t 2 ), M 2 M(t)).Variaţia semnului expresiei E(t) în (t 2 − ε,t 2 + ε) arată că unghiul făcut devectorii β(t 2 ), M 2 M(t) devine din ascuţit obtuz şi reciproc. Ceea ce înseamnăcă punctul material M traversează planul osculator al traiectoriei Γ în M 2în sensul indicat de săgeata versorului −→ β M2 (T (t 2 ) > 0), respectiv în sensinvers acestuia (T (t 2 ) < 0) (vezi Figura 2.4) (cf. [44], p. 564, [57], p. 159).Figura 2.4Să revenim la (2.15).Există şi sunt unice funcţiile f, g, h ∈ C ∞ (J, R), undeJ = s([t 0 ,t 1 ]),astfel încâtr(s) =r(0) + f(s)τ(0) + g(s)ν(0) + h(s)β(0), s∈ J.

2.1. CINEMATICA 33Evident, ¯ f(0) = g(0) = h(0) = 0. Prin derivări succesive, ¯ avem că:τ(0) = dr ,deundefds¯s=0 0 (0) = 1, g 0 (0) = h 0 (0) = 0; apoi, dτ =ds¯s=0 1 ν(0),R(0)de unde f 00 (0) = h 00 (0) = 0, g 00 (0) = 1 ;înfinal,R(0)d 2 τ1= (ds¯¯¯¯s=0 2 R(s) · dνds − R0 (s)R 2 (s) · ν(s))¯¯¯¯s=0= − 1R 2 (0) · τ(0) − R0 (0) T (0)· ν(0) +R 2 (0) R(0) · β(0),de unde f 000 (0) = − 1 , R 2 (0) g000 (0) = − R0 (0), R 2 (0) h000 (0) = T (0) . R(0)Dezvoltând funcţiile f, g, h în jurul lui s =0,obţinem formulele⎧⎪⎨f(s) =s − 16R 2 (0) s3 + o(s 3 )g(s) = 12R(0)⎪⎩s2 − R0 (0)6R 2 (0) s3 + o(s 3 )h(s) = T (0)6R(0) s3 + o(s 3 ).Admiţând, în imediata vecinătate a lui s =0,aproximaţiile ”grosiere”:f(s) =s g(s) =c 1 s 2 h(s) =c 2 s 3 , |s| ¿1,unde 8 c 1 = 1 , c 2R(0) 2 = T (0) , putem proiecta traiectoria Γ pe planele triedrului6R(0)lui Frenet:Figura 2.58 Deoarece raza de curbură este practic constantă în vecinătatea punctului M 2 coeficientulµ− R0 (0)6R 2 (0) = −1 6 · d 1ds R¯¯¯¯s=0din dezvoltarea lui g este nul.

34 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL2.1.6 Viteza şi acceleraţia în triedrul lui FrenetAm obţinut deja, folosind (2.5), relaţiaPrin derivarea sa, avem căv(t) =·s (t) · τ.a(t) = v=··s ·(t) · τ+ ·s (t)( dτds · dsdt ) (2.16)= ·v ·τ + v2R · ν.Atunci, proiecţiile vitezei şi acceleraţiei punctului material M pe axeletriedrului lui Frenet suntv τ = ·s v ν =0 v β =0a τ = ·v a ν = 1 R v2 a β =0.Relaţiile de mai sus, ca, de altfel, şi relaţia Sp({v, a}) =Sp({τ, ν}), aratăcă acceleraţia −→ a (t) a punctului material M se găseşte întotdeauna în planulosculator al traiectoriei în punctul M.Rolul formulelor din această subsecţiune este, într-un anumit sens, opuscelui al formulelor obţinute în subsecţiunile anterioare. Dacă pânăacum,ţinând seama de cunoaşterea parametrizării cinematice σ = r(t), se calculauelemente privitoare la forma (geometria) traiectoriei, aici traiectoriaeste cunoscută (ceea ce permite construcţia triedrului lui Frenet cu ajutorulcoordonatei curbilinii s), căutându-se în schimb poziţionarea elementelor cinematice−→ v , −→ a , chestiune specifică mecanicii teoretice.Putem scrie că−→ a =−→ a τ + −→ a ν ,unde −→ a τ ∈ ·v ·τ şi −→ a ν ∈ v2 · ν. Cu alte cuvinte, acceleraţia punctului materialRM se descompune într-o componentătangenţială −→ a τ (tangentă latraiectorieîn punctul M) şi o componentă normală −→ a ν (având direcţia normalei principalela traiectorie în punctul M). Componenta tangenţială se datoreazăvariaţiei modulului vitezei punctului material M, iar componenta normalăvariaţiei direcţiei vitezei punctului material M.

2.1. CINEMATICA 352.1.7 Mişcarea circularăPunctul material M se deplasează pe cercul C(O, R 0 ) situat în planul decoordonate Oxy al sistemului de referinţă R (vezi Figura 2.6), găsindu-se lamomentul iniţial în poziţia M 0 . O asemenea mişcare, numită circulară, esterealizată într-un singur sens.Introducem mărimea θ = θ(t) def= ](Ox, OM). Unghiul θ va creşte înpermanenţă (ceea ce dă orientarea cercului) şi este măsurat în radiani. Aici,M(0) = M 0 şi θ(0) = 0. Atunci,s = R 0 · θ şir(t) =R 0 (cos θ · i +sinθ · j) =R 0 · ρ.Cum cos θ =1 R 0(r · i) şi funcţia ”cos” este inversabilă pe intervalele[kπ, (k +1)π], undek ∈ Z, deducem că θ ∈ C ∞ (R, R).Avem căτ = drds = d(R 0 · ρ)d(R 0 · θ) = dρ = − sin θ · i +cosθ · jdθ= cos(θ + π 2 ) · i +sin(θ + π 2 ) · j.Astfel, considerând în T M R 3 versorii −→ ρ ∈ ρ, −→ τ ∈ τ, observăm că versorul−→ τ se obţine din−→ ρ prin rotire cuπîn sens trigonometric (cf. [34], p.2153). Ceea ce arată că operaţia de derivare a unui vector legat mobil însăconstant în modul are un echivalent (geometric) în mişcarea de rotaţie înjurul punctului său de aplicaţie (presupus fix) (cf. [32], p. 95-96).Figura 2.6De asemeni, dacă ϕ defdρ not= ](Oy, OM) şi considerăm versorul = η,dϕatunci, în T M R 3 ,versorul −→ η ,unde −→ η ∈ η, seobţine din −→ ρ prin rotire cu

36 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALπîn sens invers trigonometric. În particular, regăsim un rezultat menţionat2anterior, şi anume că versorul legat obţinut prin derivare are săgeata îndreptatăînsensulcreşterii variabilei de derivare.În continuare, cumdτds=dτd(R 0 · θ) = 1 R 0· dτdθ= 1 R 0· [cos(θ + π) · i +sin(θ + π) · j]= − 1 R 0· ρ,deducem că raza de curbură (constantă) a cercului este R 0 şi −→ ν = − −→ ρ ,unde −→ ν ∈ T M R 3 .Folosind formula vitezei, avem cădsv = ·s= θ=dθ· ·R ·0· θ . (2.17)Mărimea θ · not= ω poartă denumirea de viteză unghiulară (instantanee saumomentană) 9 a punctului material M.Vectorul-acceleraţie al punctului material M este dat dea(t) =·v ·τ + v2R 0· ν = R 0·ω ·τ − R 0 ω 2 · ρ,conform (2.17), astfel că formulele proiecţiilor acceleraţiei punctului materialM pe axele triedrului lui Frenet sunta τ = R 0· ·ω a ν = R 0 · ω 2 a β =0.Mărimea ω · not= ε se numeşte acceleraţie unghiulară (instantanee, momentană)a punctului material M. Mişcarea circulară vafi considerată uniformăcând ε (ca funcţie de t) este identic nulă şi uniform variată când ε este oconstantă nenulă (cf. [34], p. 154, [32], p. 33).9 Se poate arăta că, mai general, în mişcarea plană are loc formula v = ±R . θ, unde Reste raza de curbură a traiectoriei iar θ unghiul făcut de viteza punctului material cu odreaptă fixă din planul mişcării (cf. [32], problema 1.14, p. 39).

2.1. CINEMATICA 37Să proiectăm vectorul-viteză al punctului material M peaxeledecoordonate:not⎧⎪ ⎨ v i = v x = −R 0·θ sin θ = −ω · ynotv⎪ j = v y = R 0·θ cos θ = ω · x⎩ notv k = v z =0.Introducem vectorii −→ ω , −→ ε ∈ T O R 3 ,numiţi vector-viteză unghiulară, respectivvector-acceleraţie unghiulară ai punctului material M, cuajutorulrelaţiilorω = ω · k, −→ ω ∈ ω ε = ε · k, −→ ε ∈ ε.Atunci,v = ω × r,formulă esenţială în cadrul mecanicii teoretice. În plus, conform [32], p. 33,avema τ = ε × r a ν = ω × v.2.1.8 Mişcarea plană în coordonate polare (metoda transformăriiPrűfer)Ca şi la subsecţiunea anterioară, să presupunem că punctul material Mse mişcă înplanulOxy al reperului canonic R. Coordonatele sale pot fiexprimate prin formulele (transformarea Prűfer)x = r(t) · cos θ(t) y = r(t) · sin θ(t) z =0,unde r, θ ∈ C ∞ (R, R) şi r(t) > 0.Introducem vectorii ρ =cosθ · i +sinθ · j şi ε = − sin θ · i +cosθ · j. Lafel ca în cazul mişcării circulare, versorii −→ ρ , −→ ε ∈ T M R 3 ,unde −→ ε ∈ ε, suntortogonali (vezi Figura 2.7).Figura 2.7

38 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALAu loc formulele⎧⎨⎩a =(··v = ·r ·ρ + r θ ··εr −r θ· 2) · ρ +(2 ·r θ ·+r θ) ··· ε.(2.18)Într-adevăr, avem căv = d dt (r(t) · ρ(t)) = ·r ·ρ + r· ·ρşi·ρ= θ ··[cos(θ + π 2 ) · i +sin(θ + π ) · j] =·θ ·ε.2Pentru cea de-a doua formulă (2.18), prin derivarea primeia în raport cutimpul t, ajungem laşi, cumdemonstraţia se încheie.a = r ···ρ+ ·r · ρ ·+ ·r θ ··ε + r θ ···ε + r θ ·· ε·= r ···ρ +(2 ·r θ ·+r θ) ··· ε + r θ ·· ε··ε= θ ··[cos(θ + π) · i +sin(θ + π) · j] =− θ ··ρ,2.1.9 Mişcarea relativă a punctului materialMişcarea punctului material are loc întotdeauna în raport cu sistemul dereferinţă. În funcţie de alegerea acestuia, traiectoria punctului material este”văzută” (observată)caocurbăplanăsaustrâmbă(spaţială), degenerată,etc. Mai mult chiar, o alegere nepotrivită a sistemului de referinţă sepoatereflecta prin perturbarea caracteristicilor modelului matematic al spaţiului şitimpului (cf. [41], p. 12). Asupra acestor chestiuni vom reveni ulterior.Pentruastudiamişcările complexe (compuse) ale punctului material,în afara sistemului de referinţă R, se introduc unul sau mai multe reperecarteziene, notate R 0 , R 00 , etc. Subliniem faptul că reperele R, R 0 nu trebuieprivite ca nişte ”schelete” (triedre) abstracte, ele fiind desemnate de obiceiprin intermediul corpurilor sau sistemelor de corpuri întâlnite în viaţa de zi cuzi (trei muchii adiacente ale unei cărămizi paralelipipedice, ale unei camere,

2.1. CINEMATICA 39ş.a.m.d.). Să zicemcăopersoanăsegăseşte lângă şofer într-un automobilcare rulează peşosea. Persoana discută cuşoferul şi îşi subliniază ideilegesticulând cu mâna dreaptă. Un stop aflat pe şosea poate fi consideratdrept sistemul de referinţă R, întimpcemaşina este reperul (mobil) R 0 .Când mâna dreaptă apersoaneistănemişcată, putem spune că areaceeaşimişcare ca şi maşina. Mişcarea mâinii drepte a persoanei poate fi studiatămai uşor dacăsuntcunoscutemişcarea maşinii faţădestopşi mişcarea mâiniidrepte faţă depersoane(şofer) sau obiecte (scaune, bordul maşinii) aflate înrepaus faţă demaşină.Mişcarea punctului material faţă desistemuldereferinţă R (considerataprioric fix în mecanica teoretică) poartă denumireademişcare absolută.Mărimile cinematice ale mişcării absolute se numesc absolute (viteză absolută,acceleraţie absolută, etc.). La rândul său, mişcarea punctului materialfaţă de reperul cartezian R 0 este relativă, mărimile sale cinematice fiind relative.Cunoaşterea modului cum se mişcăreperul(mobil)R 0 faţădesistemuldereferinţă R permite, prin interrelaţionarea cu mişcarea relativă apunctuluimaterial, studiul mişcării absolute a punctului material M (cf. [32], p. 196).La începutul acestui capitol, noţiunea de diferenţiabilitate (în acord custructura topologică aSF) a fost introdusă cuajutoruldiferenţiabilităţii coordonatelorvectorului în sistemul de referinţă R. Acum, fiind date R =(O, −→ B ), unde B = {i, j,k}, şi R 0 =(A, −→ C ), undeC = {i 1 , j 1 , k 1 },săconsiderămaplicaţia w : I → T R 3 ,declasă C ∞ , pe care o introducem prinintermediul formulelorw(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k (2.19)= x 1 (t)i 1 + y 1 (t)j 1 + z 1 (t)k 1 .Spunem că mărimea vectorială·x 1 (t)i 1 + ·y 1 (t)j 1 + ·zµ not ∂w1 (t)k 1 =∂tR 0(cf. [63], p. 242) reprezintă derivata vectorului w(t) relativă la R 0 .Evident,mărimea w ·(t) = ·x (t)i+ ·y (t)j+ ·z (t)k se numeşte derivată absolută avectorului w(t) (adică, derivata sa relativă la sistemul de referinţă).Fie acum ρ versorul vectorului w(t). Cuajutorulformuleidubluluiprodusvectorial, derivând relaţia w(t) =w ρ·ρ(t), avemcă·w = ·w ρ · ρ + w ρ· ·ρ (2.20)

40 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL= w ·ρ · ρ + w ρ · (ω × ρ)= w ·ρ · ρ + ω × (w ρ · ρ)= w ·ρ · ρ + ω × w,unde ω = ρ× ρ ·(cf. [32], p. 96).Folosim ca analogie calculul din (2.20). Astfel, mărimea w ·ρ·ρ joacă”rolul” derivatei relative, fiind o derivată a ”coordonatei” w ρ ,întimpcemărimea ω × w reprezintă legătura dintre derivata absolută şi cea relativă,scrisă subformaunuiprodus vectorial. O asemenea legătură vafi stabilită încontinuare între w, · ¡ ¢∂w.∂t RFormula (2.20), deja întâlnită 0 în cazul particular al vectorului-acceleraţie,arată că, în general, derivata absolută a unui vector este oblică faţă devectorşi se descompune într-o componentă longitudinală (coliniarăcuvectorul),datorată variaţiei modulului acestuia, şi o componentă transversală(perpendicularăpe vector), datorată variaţiei direcţiei ρ(t) (cf. [32], p. 96). Vectorulω din (2.20) nu este unic, ci doar perpendicular pe ρ. Într-adevăr, pentruorice h ∈ R putem scrie că ρ=ω ·h ×ρ, undeω h = ρ× ρ ·+h · ρ.În schimb, există şi este unic vectorul ω, declasă C ∞ (ca funcţie de t),cu proprietatea că·⎧⎪ ⎨⎪ ⎩i 1 = ω × i 1·j 1 = ω × j 1·k 1 = ω × k 1 .Să justificăm aserţiunea de mai sus. Conform (2.20),Sp({j 1 , k 1 }) şi există relaţia·i 1 = ω 12 (t) · j 1 + ω 13 (t) · k 1 ,··unde ω 12 (t) = i 1 ·j 1 , ω 13 (t) = i 1 ·k 1 şi ω 12 , ω 13 ∈ C ∞ (I,R 3 ).În mod analog, ajungem la formulele⎧⎪⎨⎪⎩·i 1 = ω 12 (t) · j 1 + ω 13 (t) · k 1·j 1 = ω 21 (t) · i 1 + ω 23 (t) · k 1·k 1 = ω 31 (t) · i 1 + ω 32 (t) · j 1 .·i 1 ⊥ i 1 ,deci(2.21)·i 1 ∈(2.22)

2.1. CINEMATICA 41Derivând relaţia i 1 · j 1 =0în raport cu timpul t, avem··ω 12 = i 1 ·j 1 = − j 1 ·i 1 = −ω 21şi analoagele sale.Putem scrie acum vectorul căutat, şi anume···ω = ( j 1 ·k 1 )i 1 +( k 1 ·i 1 )j 1 +( i 1 ·j 1 )k 1 (2.23)= p(t) · i 1 + q(t) · j 1 + r(t) · k 1 .Într-adevăr, dacăţinem seama de identitateaω =(ω, j 1 , k 1 ) · i 1 +(i 1 , ω, k 1 ) · j 1 +(i 1 , j 1 , ω) · k 1 ,atunci, în acord cu (2.21), avem⎧·⎪⎨ i 1 ·j 1 =(i 1 , j 1 , ω) =r(t)·j 1 ·k 1 =(ω, j 1 , k 1 )=p(t)· ⎪⎩k 1 ·i 1 =(i 1 , ω, k 1 )=q(t).Relaţia (2.23) admite o formulare în spiritul celei a vectorului ω întrebuinţatăîn (2.20), şi anumeω = 1 2X(i1 ×·i).De asemeni, putem scrie căω =¯i 1 j 1 k 1j 1 k 1 i 1·k 1 i 1 j 1· ·¯¯¯¯¯¯¯făcând convenţiacadeterminantulsă fie dezvoltatdupă prima linie iar produseledin minorii de ordinul al doilea să fie produse scalare.Să presupunem, în continuare, că ar mai exista un vector ς care săverifice(2.21). Aceasta ar implica, în urma scăderii membru cu membru a relaţiiloromoloage,⎧⎨ (ω − ς) × i 1 =0(ω − ς) × j⎩1 =0(ω − ς) × k 1 =0,

42 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALde unde deducem că ω = ς (singurul vector paralel cu o bază aluiT R 3 fiindvectorul nul). Aserţiunea a fost probată.Să revenim la vectorul w(t) dat de (2.19). Prin derivare în raport cutimpul t, avemformula·w = [ ·x 1 (t)i 1 + ·y 1 (t)j 1 + ·z 1 (t)k 1 ]+[x 1 (t)···i 1 +y 1 (t) j 1 (2.24)+z 1 (t) k 1 ]µ ∂w= + ω × w.∂tR 0Se cuvine observat că ω= · ¡ ¢∂ω. Este evident căderivataabsolutăa∂t Rvectorului w(t) coincide cu derivata sa 0 relativă dacăşi numai dacă ω ×w =0(cf. [76], p. 323).Relaţiile (2.21) sunt cunoscute sub numele de formulele lui Poisson (cf.[32], p. 96, [34], p. 169, [76], p. 323, [63], p. 175).Pe baza (2.24), vom stabili, în continuare, legături între mărimile cinematiceale mişcărilor absolută şi relativă.Conform relaţiei lui Chasles,OM = OA + AM. (2.25)Fie x A (t), y A (t), z A (t) şi x 1 (t), y 1 (t), z 1 (t) coordonatele vectorului OA înR, respectiv vectorului AM în R 0 .Prin derivarea (2.25) în raport cu timpul t, avemcăv(t) = ·x A (t)i+ ·y A (t)j+ ·z A (t)k+··AM (2.26)= v A (t)+ AMµ ∂AM= v A (t)++ ω × AM.∂tR 0Mărimea v A (t) este ³ vectorul-viteză ´ al punctului A faţă desistemulde∂AMreferinţă R. Mărimea reprezintă vectorul-viteză relativă al punctuluimaterial M faţă de reperul R 0 ,şi aceasta deoarece AM³este´raza vectoare∂tR0 a punctului material M în reperul R 0 not.Folosimnotaţia = v rel (t).Aşadar, v rel (t) =·x 1 (t)i 1 + ·y 1 (t)j 1 + ·z 1 (t)k 1 .∂AM∂tR 0

2.1. CINEMATICA 43Mărimea v A (t)+ω ×AM poartă denumirea de vector-viteză detransport.Observăm că, dacă punctul material M se găseşte în repaus relativ, atunciv(t) =v A (t) +ω × AM. Este cazul mâinii nemişcate a persoanei de lângăşofer. Putem spune că toate persoanele, obiectele în repaus faţă demaşinăau vitezele absolute date de v(t) =v A (t)+ω × AM. Denumirea de viteză detransport (antrenare) devine astfel sugestivă.În concluzie,v(t) =v transp + v rel ,ceea ce reprezintă legea fundamentală de compunere a vitezelor în mecanicateoretică (cf. [34], p. 180, [32], p. 192, [76], p. 324).Vom deriva formula (2.24) în raport cu timpul t. Atunci,··w = d µµ ∂w+ ωdt ∂tR ·×w + ω× w ·(2.27)"à ¡ 0∂∂w¢ ! µ #∂t R ∂w=0+ ω∂t∂tR ·×w0+ ω ×R· µ 0 ¸∂w+ ω × + ω × (ω × w)∂tRµ ·0 µ ∂ 2 w∂w=+2 ω ×∂t 2 R∂tR 0¸+ ω ·×w + ω × (ω × w)µ 0 · µ ∂ 2 w∂w=+2 ω ×∂t 2 R∂tR 0¸+ ε × w + ω × (ω × w) .0Aplicând (2.27) relativ la (2.25), avem că··a(t) = a A (t)+ AM= a A (t)+a rel (t)+2(ω × v rel )+ε × AM + ω × ¡ ω × AM ¢= £ a A (t)+ε × AM + ω × ¡ ω × AM ¢¤ + a rel (t)+a Cor (t)= a transp + a rel + a Cor .Semnificaţiile mărimilor a transp , a rel sunt analoage celor ale mărimilorv transp , v rel . Mărimea a Cor reprezintă vectorul-acceleraţie Coriolis (complementară).Asupra sa vom reveni ulterior.Am obţinut astfel legea fundamentală de compunere a acceleraţiilor înmecanica teoretică (G. Coriolis, 1831) (cf. [32], p. 193, [34], p. 187, [76], p.325).

44 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALUn caz particular interesant are loc atunci când reperul R 0 este chiartriedrul lui Frenet. Pe baza relaţiilor (2.9), (2.11), (2.12), avem că⎧⎪⎨⎪⎩·τ= dτ· ·s= v · ν = ω × τds R·ν= − v · τ + vT · β = ω × νR·β= −Tv · ν = ω × β,unde ω = vT ·τ + v ·β (cf. [34], p. 174-175, [15], vol. I, p. 47, [59], problemaR3.1.7, p. 35).În finalul acestei subsecţiuni, să considerăm că, în afara reperului (mobil)R 0 ,maiexistăşi un al doilea reper cartezian (mobil) R 00 =(B, −→ D ), undeB ∈ E 3 şi D = {i 2 , j 2 , k 2 }.Mărimea ω din (2.21), care caracterizează într-oanumită măsură mişcarea reperului R 0 faţădeR, vafi notatăcuω 21 în cazulmişcării reperului R 00 faţă deR 0 ,cuω 12 în cazul mişcării reperului R 0 faţăde R 00 ,cuω 10 în cazul mişcării reperului R 0 faţă deR şi respectiv cu ω 20 încazul mişcării reperului R 00 faţă deR.Atunci, conform legii fundamentale de compunere a vitezelor,µ ∂ABv B (t) = v A (t)++ ω 10 × AB (2.28)∂tR 0= v A (t)+v rel,B + ω 10 × ABşi, respectivv A (t) =µ ∂BAv B (t)++ ω 20 × BA∂tR 00 (2.29)= v B (t)+v rel,A + ω 20 × BA,mărimile v rel,B , v rel,A reprezentând vectorul-viteză relativă al punctului Bfaţă dereperulR 0 , respectiv vectorul-viteză relativă al punctului A faţă dereperul R 00 .Prin sumarea membru cu membru a (2.28), (2.29), avem că0=v rel,A + v rel,B +(ω 10 − ω 20 ) × AB, (2.30)relaţie la care vom apela ulterior (cf. [34], p. 188).Au loc formuleleω 12 = ω 10 − ω 20 ω 21 = ω 20 − ω 10 . (2.31)

2.1. CINEMATICA 45Să justificăm, în continuare, această afirmaţie. Conform (2.21), (2.24),putem scrie⎧·³ i 1 = ´ ω 10 × i 1⎪⎨ ∂i= 1+ ω ∂t20 × i 1R·00³ i 2 = ´ ω 20 × i 2⎪⎩ ∂i= 2+ ω ∂t10 × i 2 ,R³ ´0 ³ ´∂ide unde deducem că 1=(ω ∂i∂t10 − ω 20 ) × i 1 , 2=(ωR 00 ∂t20 − ω 10 ) × i 2 .R 0În mod analog, ajungem la formulele⎧ ³³ ´´R =(ω 10 − ω 20 ) × i 1 00⎪⎨⎪⎩∂i 1∂t³∂j1∂t³∂k 1∂t´=(ω 10 − ω 20 ) × j 1R ´R 00 ³=(ω 10 − ω 20 ) × k 1 00∂i 2∂t³∂j2∂t∂k 2∂t=(ω 20 − ω 10 ) × i 2´ R 0=(ω 20 − ω 10 ) × j´2R 0 =(ω 20 − ω 10 ) × k 2 .R 0Dată fiind unicitatea vectorului ω din (2.21), justeţea afirmaţiilor din(2.31) este probată.În particular,ω 12 + ω 21 =0(cf. [34], p. 187).Introducem mărimileµ µ ∂ω12∂ω21= ε 12∂t∂tR 00 notR 0 notConform (2.24), (2.31), putem scriecăci ω 21 × ω 12 =0, respectiv= ε 21·ω 10not= ε 10·ω 20not= ε 20 .·ω 12 = ε 12 + ω 20 × ω 12 (2.32)= ε 12 +(ω 21 + ω 10 ) × ω 12= ε 12 + ω 10 × ω 12 ,·ω 21 = ε 21 + ω 10 × ω 21 . (2.33)

46 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALAtunci, prin sumarea membru cu membru a relaţiilor (2.32), (2.33), ajungemla 0= d dt (ω 12 + ω 21 )=ε 12 + ε 21 + ω 10 × (ω 12 + ω 21 ),deundeε 12 + ε 21 =0.În final, conform (2.31), (2.32), (2.33), putem scrie½ε10 = ε 20 + ε 12 + ω 20 × ω 12ε 20 = ε 10 + ε 21 + ω 10 × ω 21(cf. [15], vol. I, p. 100, [63], p. 266).2.1.10 O formulă matriceală înlegătură cuvectorulωVom nota cu (ω αβ ) α,β , respectiv (ωαβ ∗ ) α,β mărimile corespunzătoare vectorilorω 10 , ω 20 în (2.22). Astfel,⎧⎧··⎪⎨ i 1 = ω 12 · j 1 + ω 13 · k 1 ⎪⎨ i 2 = ω12 ∗ · j 2 + ω13 ∗ · k 2··j 1 = ω 21 · i 1 + ω 23 · k 1 j 2 = ω21 ∗ · i 2 + ω23 ∗ · k 2··⎪⎩⎪⎩k 1 = ω 31 · i 1 + ω 32 · j 1 . k 2 = ω31 ∗ · i 2 + ω32 ∗ · j 2 .Ştim deja că ω αβ (t) =−ω βα (t), ω ∗ αβ (t) =−ω∗ βα (t) şi ω αβ, ω ∗ αβ ∈ C∞ (I,R).Introducem cosinuşii directori (α mn ) m,n ai bazei D în raport cu baza Cprin formulele⎧⎨⎩i 2 = α 11 i 1 + α 12 j 1 + α 13 k 1j 2 = α 21 i 1 + α 22 j 1 + α 23 k 1k 2 = α 31 i 1 + α 32 j 1 + α 33 k 1 .Evident, α mn ∈ C ∞ not(I,R). Folosim notaţia (α mn ) m,n = A(t).Să considerăm matricele⎛⎞ ⎛⎞⎝ 0 ω 12 ω 13ω 21 0 ω 23ω 31 ω 32 0notate [ω], respectiv [ω ∗ ] (cf. [15], vol. I, p. 2).Atunci, are loc relaţia⎠⎝ 0 ω∗ 12 ω ∗ 13ω ∗ 21 0 ω ∗ 23ω ∗ 31 ω ∗ 32 0[ω ∗ ]=(·A +A[ω])A t .⎠ ,

2.1. CINEMATICA 47Pentru demonstrarea sa vom utiliza formalismul matriceal. Astfel, putemscrie⎛⎝⎞i 2j 2k 2⎛⎠ = A ⎝⎞i 1j 1⎠k 1¡i2 j 2 k 2¢=¡i1 j 1 k 1¢A t , (2.34)respectiv⎛[ω] = ⎜⎝·⎞i 1·j 1⎟·⎠k 1¡i1 j 1 k 1¢⎛[ω ∗ ]= ⎜⎝·⎞i 2·j 2⎟·⎠k 2¡i2 j 2 k 2¢.Evident, în această reprezentare a matricelor [ω], [ω ∗ ] produsele elementelorsunt produse scalare.Prin derivare în raport cu timpul t în (2.34), avem că[ω ∗ ] = [ ·A= [ ·A⎛⎛ ⎞i 1⎝ j 1⎠ + A ⎜⎝ ⎠ ] ¡ ¢i 2 j 2 k 2k 1⎛·⎞⎛ ⎞i 1i 1⎝ j 1⎠ ·+ A ⎜⎝j 1⎟k ·⎠ ] ¡ ¢i 1 j 1 k 1 At1k 1= ( ·A I 3 + A[ω])A t .·⎞i 1·j 1⎟·k 1În particular, dacă reperulR 00 este în repaus faţă deR 0 (adică, mărimile(α mn ) m,n sunt constante), are loc relaţia[ω ∗ ]=A[ω]A t . (2.35)Conform (2.35), putem spune că vectorul ω admite o reprezentare tensorială,datădematricea[ω], catensor antisimetric de ordinul al II-lea (cf.[34], p. 46, 169, [32], p. 97, [15], vol. I, p. 18).

48 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL2.1.11 O interpretare geometrică avectoruluiωSă presupunem că operatorul liniar T : T R 3 → T R 3 corespunde uneirotaţii a spaţiului fizic F : E 3 → E 3 ,deunghiα. Mai precis, vom consideracă matricea de reprezentare a operatorului T în raport cu baza B asistemuluide referinţă este ⎛⎞cos α − sin α 0⎝ sin α cos α 0 ⎠ .0 0 1Notând cu x, y, z, respectiv x 1 , y 1 , z 1 coordonatele vectorilor u, T u not= u 1în reperul canonic R, aulocrelaţiile⎧⎨⎩x 1 = x cos α − y sin αy 1 = x sin α + y cos αz 1 = z.(2.36)Atunci,conform[56],p. 26,dacă unghiul de rotaţie α este foarte mic,adică sin α w α, cos α w 1, (2.36)devin⎧⎨⎩x 1 = x − α · yy 1 = y + α · xz 1 = z.Vectorial, sistemul de formule (2.37) poate fi pus sub formau 1 = u + α × u,unde α def= α · k. Sau, echivalent (cf. [41], p. 30, [54], p. 56)∆u = u 1 − u= (α − 0) × u= ∆α × u,(2.37)ceea ce permite introducerea expresiei infinitezimale (diferenţiale) generaleδu = δα × u (2.38)(cf. [56], p. 31).Utilizăm notaţiile δu, δα în locul celor uzuale, respectiv du, dα pentru ascoate în evidenţă faptulcă aceste mărimi nu sunt, în general, integrabile.

2.1. CINEMATICA 49În schimb, dacă funcţiile α = α(t), u = u(α) sunt de clasă C ∞ (prezumţieobişnuită în cadrul mecanicii teoretice), expresia diferenţială (2.38)devineoexpresie exactă, adicădu = dα × u,de undedudt = dαdt × u = ω × u.Plecând de aici, putem spune că vectorulω dat de (2.23) este vectorulvitezăunghiulară(instantaneesau momentană) al mişcării reperului R 0 faţăde sistemul de referinţă R (cf. [32], p. 96, [63], p. 183, [76], p. 303-304, [14],p. 72). Se mai întâlneşte şi denumirea de vector de rotaţie (instantanee) (cf.[34], p. 169, [41], p. 30). La rândul său, vectorul ε devine vectorul-acceleraţieunghiulară (instantanee) al mişcării reperului R 0 faţădesistemuldereferinţăR.Nu vom insista în acest moment cu interpretarea mişcării reperului R 0 faţăde sistemul de referinţă R. A devenit însă evidentcă aceasta este o mişcarecomplexă care include printre ”ingredientele” sale o mişcare (instantanee)semănând rotaţiei (cf. [76], p. 309-310, 318-319).Totuşi, o serie de precizări privitoare la mişcarea instantanee a reperuluiR 0 faţă desistemuldereferinţă R pot fi făcute. Astfel, mulţimea⎛U = { ⎝cos α − sin α 0sin α cos α 00 0 1⎞⎠ : α ∈ R},dotatăcuoperaţia internăaînmulţirii matricelor, constituie un grup abelian.În particular, compunerea (obişnuită) a două aplicaţii ortogonale T i : T R 3 →T R 3 , cu matricele de reprezentare în raport cu baza B a sistemului de referinţă⎛eT i = ⎝ cos α ⎞i − sin α i 0sin α i cos α i 0 ⎠ ,i=1, 2,0 0 1constituie o aplicaţie ortogonală, având matricea de reprezentare⎛⎝ cos(α ⎞1 + α 2 ) − sin(α 1 + α 2 ) 0sin(α 1 + α 2 ) cos(α 1 + α 2 ) 0 ⎠0 0 1

50 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL(cf. [67], p. 141-142, [56], p. 23).Deaceea,pebazaformulei∆α =Z α(t1 )α(t 0 )dα =Z t1t 0·α dt =Z t1t 0ω(t)dt,putem considera o rotaţie a SF de unghi ∆α ca fiind compunerea unei succesiunide rotaţii instantanee, de unghi dα = ω(t)dt (cf. [54], p. 127). Seîntâlnesc aici noţiunile de izometrie (deplasare, mişcare) finită şi izometrie(deplasare, mişcare) elementară (infinit de mică, instantanee) ale SF, desemnândizometrii (aplicaţii izometrice) ce au loc într-un interval finit detimp ∆t = t 1 − t 0 , respectiv într-un timp infinitezimal dt (cf. [63], p. 174,[41], p. 137-139, [56], p. 28, [54], p. 83, 110).2.1.12 Măsură şi integrală înSFNoţiunea de punct material (corp punctiform), fundamentalăînmecanicaclasică, are o justificare (intuitivă) extrem de sugestivă. Aruncarea în gol aunei pietre de către cineva aflat pe marginea unei prăpastii, la munte, saucontemplarea pe timp de noapte a boltei cereşti sunt situaţii în care corpurilemateriale(piatra,stelele)secomportă ca şi cum nu ar avea dimensiuni (cf.[54], p. 8). Astfel, Isaac Newton înţelegea prin ”corpus” punctul material,cu referire la corpurile cereşti (cf. [76], p. 9). Se conturează ideeacăexistăprobleme specifice mecanicii teoretice în care, într-o primă aproximaţie (cf.[54], p. 8), corpurile materiale pot fi asimilate cu puncte geometrice dotatecu masă. Un corp material poate fi considerat punctiform într-o anumităproblemă dar acest lucru nu mai este posibil într-o altă problemă. De exemplu,globul terestru poate fi asimilat unui punct material în mişcareasaderevoluţie în jurul Soarelui, dar nu şi în rotaţia proprie diurnă (înjurulaxeipolilor) (cf. [32], p. 18, [41], p. 7).În cele ce urmeazăvomintroduceunaparat matematic (integrala Lebesgue)care ne permite să dovedim într-un mod satisfăcător de ce, de exemplu, înteoria newtoniană agravitaţiei planetele şi Soarele sunt considerate punctemateriale (cf. [34], p. 352, [32], p. 163, [54], p. 33). Un alt comentariu secuvine făcut aici. Mecanica teoretică (clasică) priveşte mişcarea corpurilorrigide ”macroscopice”, mişcare produsă cuvitezeobişnuite pentru om şi multinferioare vitezei luminii (cf. [76], p. 5). Aceasta presupune, în particular,cănusevaţine seama de materia incandescentă (plasmă, lavă), considerând,de obicei, densitatea corpurilor ca fiind o aplicaţie netedă, radial simetrică(cf. [76], p. 391).

2.1. CINEMATICA 51Justificarea noţiunii de punct material se bazează, în esenţă, pe utilizareaintegralelor de tip potenţial având formaZf(B)I(A) = ¯¯AB¯¯dλ(B), A ∈ E 3.ΩPlecând de la teoria atracţiei atracţiei gravitaţionale şi electromagnetism(cf., de exemplu, [68], p. 339) a luat fiinţă teoria potenţialului, disciplinămatematică desinestătătoare. Pentru o expunere riguroasă a se vedea [82],[7].Introducem noţiunile şi rezultatele acestei subsecţiuni urmând prezentărilefăcute în [80], [61], [68], [52]. O expunere elegantă a teoriilor integrării(Henstock-Kurzweil, Lebesgue) poate fi citităînmonografia profesorului C.P.Niculescu, ”Analizămatematică pe dreapta reală. O abordare contemporană”,Editura Universitaria, Craiova, 2002.Să considerăm M 6= ∅ omulţime oarecare. Familia S de părţi ale lui Mpoartă denumirea de semiclan (semi-inel) dacă suntsatisfăcute următoarelecondiţii:1) ∅∈S;2) A ∩ B ∈ S pentru orice A, B ∈ S;3) dacă A, B ∈ S astfel încât B ⊆ A, atunciexistă o familie cel multnumărabilă demulţimi (C n ) n>1 ⊆ S, disjunctedouăcâtedouă, care verificăegalitateaAÂB = SC nn>1(cf. [80], p. 37).În mod evident, o algebră de părţi ale mulţimii M în sensul dat în [61],p. 71-72, [52], p. 70, va fi şi semiclan.Ofuncţie σ−aditivă µ : S → [0, +∞] pentru care µ(∅) =0se numeştemăsură pe mulţimea M. Omăsură µ este considerată σ−finită dacă pentruorice A ∈ S există o familie (A n ) n>1 de elemente ale lui S, unde µ(A n ) < +∞,astfel încât A ⊆ S A n (cf. [80], p. 86, [61], p. 77, [52], p. 71).n>1O funcţie µ ∗ : P(M) → [0, +∞] se numeşte măsurăexterioară pe mulţimeaM dacă sunt îndeplinite condiţiile următoare:1) µ ∗ (∅) =0;P2) µ ∗ este σ−subaditivă, adică µ ∗ (E) 6 ∞ µ ∗ (E n ), unde E ⊆ S E n şiE, E n ∈ P(M), n > 1 (cf. [80], p. 88, [61], p. 82, [52], p. 74).n=1n>1

52 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALFiind datămăsura µ : S → [0, +∞] pe mulţimea M, introducem aplicaţiaµ ∗ : P(M) → [0, +∞] în felul următor:1) dacă existăoacoperire cel mult numărabilă apărţii E amulţimii Mcu elemente din S, adică E ⊆ S A n , atuncin>1µ ∗ P(E) =inf{ ∞ µ(A n )},unde infimumul este luat după toate acoperirile posibile (de acest tip);2) în caz contrar, µ ∗ (E) =+∞.Atunci, µ ∗ reprezintă omăsură exterioarăpemulţimea M şi µ ∗ (A) =µ(A), unde A ∈ S (cf. [80], p. 89-90, [61], p. 84-85). Măsura exterioară µ ∗este considerată generată de măsura µ.Fiind dată măsura exterioară µ ∗ : P(M) → [0, +∞], oparteE amulţimiiM se numeşte µ ∗ −măsurabilă dacă, prin definiţie, µ ∗ (F )=µ ∗ (E ∩ F )+µ ∗ ((MÂE) ∩ F ) pentru orice F ∈ P(M). Familia A a tuturor părţilorµ ∗ −măsurabile ale mulţimii M alcătuieşte o σ−algebră (clanborelian)(cf.[80], p. 35-36, 91-93, [61], p. 88).În sfârşit, dacă µ : S → [0, +∞] este o măsură pemulţimea M iarµ ∗ : P(M) → [0, +∞] este măsura exterioară generată deµ pe mulţimea M,atunci S ⊆ A, funcţia µ ∗ | Aconstituie o măsură pemulţimea M şi are locproprietatea de mai josn=1µ ∗ | A(A) =µ(A), A ∈ S(cf. [80], p. 94-95, [61], p. 88, [52], p. 80). Măsura µ ∗ | Areprezintă extindereastandard (Carathéodory) amăsurii µ la o σ−algebră depărţi ale mulţimii M.Fiind date mărimile −∞ 6 a i

2.1. CINEMATICA 532) λ(∆) =+∞, încazcontrar,este o măsură σ−finită înE 3 (cf. [80], p. 108-109, 112).Extinderea standard (Carathéodory) a măsurii λ definite anterior se numeştemăsură (Lebesgue)în SF. Părţile λ ∗ −măsurabile ale lui E 3 suntmulţimi măsurabile (Lebesgue) (cf. [80], p. 115, [61], p. 98). Pentru simplificareanotaţiei, convenim ca în cele ce urmează să desemnăm prin λ atâtmăsura definită pe semiclanul S al celulelor cât şi extinderea sa Carathéodory.Rezultatele menţionate anterior fac opţiunea noastră totalmentenaturală.σ−algebra B generată de familia părţilor deschise (în raport cu topologiametrică) ale lui E 3 (adică, intersecţia tuturor σ−algebrelor de părţi alelui E 3 care includ familia mulţimilor deschise) poartă denumirea de familiamulţimilor boreliene, elementelesalefiind mulţimi boreliene (Borel) (cf. [61],p. 74-75, [80], p. 57-58, [52], p. 71). Mulţimile boreliene ale lui E 3 suntmăsurabile Lebesgue (cf. [80], p. 117-118, [61], p. 99). Se cuvine reamintitfaptul că existămulţimi măsurabile Lebesgue care nu sunt mulţimi boreliene(cf. [61], p. 107-108).În particular, mulţimile deschise şi mulţimile închise sunt măsurabile înSF. De asemeni, mulţimile deschise în E 3 pot fi reprezentate ca reuniuni celmult numărabile de celule, disjuncte două câte două, cu muchii finite (adică,|b i − a i | < +∞, unde 1 6 i 6 3) (cf. [80], p. 113, 116).Ofuncţie f : E → R este măsurabilă (Lebesgue) atunci când, prindefiniţie, pentru orice număr real a mulţimile Lebesgue introduse mai jos{x ∈ E : f(x) >a} {x ∈ E : f(x) a} {x ∈ E : f(x) 6 a}sunt măsurabile Lebesgue. Se poate arăta că estesuficient ca unul dintrecele patru tipuri de mulţimi Lebesgue date mai sus să fie format numai dinmulţimi măsurabile, pentru ca funcţia f să fie măsurabilă (cf. [80], p. 122-123, [52], p. 88).Fiind dată funcţia f : E → R mărginită, unde λ(E) < +∞, putem introducesumele Lebesgue-Darboux inferioară şi superioară în modul obişnuitS(τ,f) not P= p sup f(x) · λ(E i )x∈E ii=1s(τ,f) not P= p inf f(x) · λ(E i ),x∈E ii=1unde τ = {E i :16 i 6 p} constituie o partiţie a mulţimii E cu mulţimimăsurabile, disjuncte două câtedouă.

54 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALAtunci, funcţia f : E → R este integrabilă Lebesgue pe mulţimea E dacăZinf S(τ,f)=sups(τ,f) not= f(M)dλ(M).ττÎn particular, orice funcţie mărginită f măsurabilă pemulţimea E va fi integrabilăLebesgue pe mulţimea E (cf. [80], p. 151-153, [52], p. 97-98).Omulţime E ⊆ E 3 se numeşte jordaniană (mulţime Jordan) dacă frontierasa, notată Fr(E), este măsurabilă Lebesgue şi λ(Fr(E)) = 0 (cf. [68],p. 213).În mod evident, E = i(E)∪(Fr(E)∩E). Măsura Lebesgue fiind completă(adică, pentru orice F ⊆ E, unde E ∈ A şi λ(E) =0,avemF ∈ A şiλ(F )=0) (cf. [80], p. 95, 116), deducem că orice mulţime Jordan E estemăsurabilă Lebesgue.Un exemplu ”natural” de mulţime jordaniană îl constituie mulţimile deschiseîn E 3 . Într-adevăr, dacă G ⊆ E 3 este o mulţime deschisă (în raportcu topologia metrică), atunci G ⊆ S ∆ n , unde (∆ n ) n>1 reprezintă celulecun>1muchii finite, disjuncte două câte două. Conform [64], problema 1.3, p. 31,Fr(G) ⊆ S Fr(∆ n ) şi, folosind σ−subaditivitatea măsurii Lebesgue, putemscrie căn>1P0 6 λ(Fr(G)) 6 ∞ λ(Fr(∆ n )) = 0.n=1Această proprietate a mulţimilor jordaniene de a fi reuniunea dintre omulţime deschisă (interiorul lor), uneori vidă, şi ceva ”neglijabil” (de măsurăLebesgue nulă) dă naştere unor complicaţii spectaculoase în teoria ecuaţiilorcu derivate parţiale (cf., de exemplu, [13], p. 171). În ceea ce priveşte”aproximarea”, în general, a mulţimilor măsurabile cu mulţimi boreliene (aşacum mulţimile deschise aproximează mulţimile Jordan), reamintim că, fiinddată mulţimea măsurabilă E din E 3 ,existăomulţime H, detipF σ ,şi omulţime K, detipG δ ,astfelîncâtH ⊆ E ⊆ K, λ(H) =λ(K), λ(KÂH) =0(cf. [80], p. 119-120). Astfel, orice mulţime măsurabilă este reuniunea dintreomulţime boreliană şi ceva ”neglijabil”.O funcţie continuă şi mărginită f, definită pemulţimea jordaniană E,unde λ(E) < +∞, este integrabilă Lebesgue (cf. [80], p. 125, [68], p. 215).Într-adevăr, pentru orice a ∈ R există mulţimea G a deschisă în raport cutopologia metrică aluiE 3 astfel încât{x ∈ E : f(x) >a} = f −1 ((a, +∞)) = G a ∩ E ∈ T EE

2.1. CINEMATICA 55(cf. [39], p. 179). Mulţimea E fiind măsurabilă Lebesgue, mulţimea {x ∈E : f(x) >a} va fi, la rândul ei, măsurabilă Lebesgue, ceea ce arată căfuncţia f este măsurabilă pemulţimea E. Mărginirea funcţiei f va implicaintegrabilitatea sa.Săconsiderăm o celulă cu muchii finite [a 1 ,b 1 ; a 2 ,b 2 ; a 3 ,b 3 ) în E 3 .Evident,aceasta este o mulţime jordanianăşi au loc egalităţiledemaijos(cf.[68],p.213)Zλ(∆) = λ(∆) = dλ(A)ZZZ∆= dxdydz,∆ultima integrală (triplă) desemnând integrala Riemann tridimensională înconformitate cu [68], p. 202, 216-217. Aici, ∆ = {M ∈ E 3 : a 1 6 x 6 b 1 ,a 2 6 y 6 b 2 ,a 3 6 z 6 b 3 }.Fiind datăomulţime deschisă (în raport cu topologia metrică) şi mărginităG ⊂ E 3 , putem deduce cu ajutorul sumelor Lebesgue-Darboux (cf. [80], p.151), respectiv sumelor Darboux asociate integralei Riemann (cf. [80], p.154-155, [62], p. 315-317) căZZZZf(M)dλ(M) = f(x, y, z)dxdydz,G∆unde f : G → R este o funcţie continuă.Definiţia integralei Lebesgue poate fi extinsă înmodnaturallafuncţiilefinite aproape peste tot (a.p.t.) (adică, luând valori finite în toate puncteledomeniului de definiţie cu excepţia unei părţi ”neglijabile” a acestuia), caşi la mulţimile E măsurabile având măsura Lebesgue infinită (cf. [80],p.180). Astfel, fiind dată funcţia f : E → [0, +∞] măsurabilă şi finită a.p.t.,mărimeaZsup f(M)dλ(M), (2.39)e eunde e reprezintă opartemăsurabilă aluiE astfel încât λ(e) < +∞, vafi notată cu R f(M)dλ(M). Dacă R f(M)dλ(M) < +∞, atuncif esteE Eintegrabilă Lebesgue pe mulţimea E.Se cuvine observat faptul că această definiţie a integrabilităţii Lebesguese bazează esenţial pe proprietatea măsurii Lebesgue de a fi σ−finită. Întradevăr,spaţiul (E 3 ,d) fiind separabil (cf. [39],p. 114,problemaII.1.68,p.

56 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL145-146), orice parte măsurabilă asapoatefi acoperită cu o familie cel multnumărabilă de bile deschise, având raza egală cu unitatea. Aceste bile, fiindmulţimi mărginite, au măsura Lebesgue finită. Justificarea observaţiei s-aîncheiat.În general, dacă f : E → R este o funcţie măsurabilă finită a.p.t., putemintroduce mulţimile Lebesgue de mai josE + = {M ∈ E : f(M) > 0} E − = {M ∈ E : f(M) < 0}.Să presupunem că celpuţin una dintre mărimileZZ|f(M)| dλ(M) |f(M)| dλ(M)E + E −este finită. MărimeaZ Z|f(M)| dλ(M) − |f(M)| dλ(M)E + E −se notează cu R f(M)dλ(M) şi, dacă R f(M)dλ(M) ∈ R, funcţia f esteE Econsiderată caintegrabilă Lebesgue pe mulţimea E. Princonvenţie, R f(M) ∅dλ(M) =0(cf. [80], p. 180, 182).Fiind dată funcţia f : E → R + măsurabilă finită a.p.t., unde E ⊆ E 3este o mulţime măsurabilă Lebesgue nu neapărat de măsură finită, are locegalitatea ZZf(M)dλ(M) = lim f(M)dλ(M), (2.40)En→+∞E nunde (E n ) n>1 sunt părţi măsurabile de măsură finită alemulţimii E, E n ⊆E n+1 şi E = S E n (cf. [80], p. 209, [68], p. 277). Această formulăvafin>1folosită înceleceurmează pentru calculul integralei Lebesgue a funcţiilorradial simetrice.Astfel, fie numerelereale0 0 (adică, f este radialsimetrică);2) f(M) este continuă peΩ r,R pentru orice 0

2.1. CINEMATICA 573) f(0) poate fi ±∞.Introducem notaţia f(M) not= f(r), unded(O, M) =r, pentru orice M ∈E 3 .Atunci,ZZ r 2f(M)dλ(M) =4π f(r) · r 2 dr,Ω r1 ,r 2unde 0

58 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALFie U ⊆ R 2 omulţime deschisă şi conexă. Să considerăm γ : U → E 3 oaplicaţie introdusă prinformulaOM = x(q 1 ,q 2 )i + y(q 1 ,q 2 )j + z(q 1 ,q 2 )k = σ(q 1 ,q 2 ), (2.42)unde M = γ(q 1 ,q 2 ), (q 1 ,q 2 ) ∈ U. Aplicaţia γ defineşte o suprafaţă parametrizatănetedă(C ∞ ) în SF dacă σ ∈ C ∞ (U, T R 3 ) şi∂σ∂q 1 (q1 ,q 2 ) × ∂σ∂q 2 (q1 ,q 2 ) 6= 0 (q 1 ,q 2 ) ∈ U.Două suprafeţe parametrizate netede γ : U → E 3 , ζ : V → E 3 suntechivalente dacă existădifeomorfismul (C ∞ ) λ : U → V (numit schimbarede variabile (parametri)) astfelîncâtγ = ζ ◦ λ. Cânddet (( ∂λ j ¯ not)∂q i i,j ) =¯(q 1 ,q 2 )D(λ 1 ,λ 2 )D(q 1 ,q 2 ) (q1 ,q 2 ) > 0, unde λ =(λ 1 , λ 2 ) şi (q 1 ,q 2 ) ∈ U, suprafeţele parametrizateγ, ζ devin pozitiv echivalente (cf. [48], p. 36).Mulţimea S ⊂ E 3 reprezintă osuprafaţă (netedă) în SF dacă pentruorice M ∈ S există suprafaţa parametrizată netedă γ : U → E 3 (numităparametrizare locală) avândurmătoarele proprietăţi:1) γ(U) este o vecinătate a lui M deschisă în raport cu topologia indusăpe S de topologia metrică aluiE 3 ;2) γ :(U, T U ) → (γ(U), T γ(U) ) este homeomorfism (cf. [48], p. 37, [44], p.590, [45], p. 178).Osuprafaţă netedă S se numeşte simplă dacă existăparametrizareaγ :U → E 3 (numită globală) astfel încât γ(U) =S.Despre suprafaţa netedă S spunem că esteorientabilă în SF dacă existăfamilia de parametrizări locale (γ a ) a∈A , unde γ a : U a → E 3 (numită familieorientată) astfelîncât:1) S = S γ a (U a );a∈A2) dacă S ab este o componentăconexăamulţimii γ a (U a )∩γ b (U b ), a 6= b, înraport cu topologia indusă de topologia metrică aluiE 3 , atunci suprafaţeleparametrizateγ a | Uab: U ab → E 3 γ b | Uba: U ba → E 3 ,unde U ab = γa−1 (S ab ), U ba = γ −1b(S ab ), sunt pozitiv echivalente (cf. [57], p.96).

2.1. CINEMATICA 59O parametrizare locală γ : U → E 3 a suprafaţei orientabile S estecompatibilă cu familia orientată (γ a ) a∈A dacă pentru orice a ∈ A astfelîncât γ(U) ∩ γ a (U a ) 6= ∅ şi pentru orice componentă conexă S a amulţimiiγ(S) ∩ γ a (S a ), suprafaţele parametrizateγ| U a : U a → E 3 γ a | V a : V a → E 3 ,unde U a = γ −1 (S a ), V a = γa −1 (S a ), sunt pozitiv echivalente (cf. [44], p. 587).În legătură cudefiniţiile de mai sus, se cuvin făcute următoarele afirmaţiide natură topologică:1) spaţiile (R 2 , T e ), (S, T S ) sunt local conexe (cf. [44], p. 590);2) mulţimile γ −1 (S ab ) sunt deschise şi conexe în spaţiul (R 2 , T e ).Justificarea afirmaţiei 1). Se ştie că omulţime G deschisă în(R 2 ,T e )este conexă înacestspaţiu dacă şi numai dacă, pentru orice u, v ∈ G existăoliniepoligonalăsituatăînG având capetele u, v (cf. [39], problema II.2.76,p. 173). Astfel, pentru orice u ∈ R 2 şi ε > 0, B(u, ε) = S [u, v] estev∈B(u,ε)omulţime conexă. Într-adevăr, pentru v 1 , v 2 ∈ B(u, ε), putem scrie că[v 1 ,u] ∪ [u, v 2 ] ⊂ B(u, ε). Un spaţiu topologic este local conex atunci cândfiecare punct al său admite un sistem fundamental de vecinătăţi format doardin mulţimi conexe. Ori, fiind dat u ∈ R 2 , familia V(u) ={B(u, r) :r>0}alcătuieştesistemuldevecinătăţi căutat. În concluzie, spaţiul (R 2 , T e ) estelocal conex. Să construim acum un sistem fundamental de vecinătăţi conexepentru M ∈ S. Fier>0 şi mulţimea γ(U)∩B(M, r) not= W , unde γ : U → E 3reprezintă o parametrizare locală asuprafeţei S, astfel încât M ∈ γ(U).Atunci, W ∈ T γ(U) , γ −1 (W ) ∈ T U . Fie u 0 ∈ γ −1 (W ) cu proprietatea căγ(u 0 )=M. Deoarece U ∈ T e , γ −1 (W ) ∈ T e şi există r 0 > 0 pentru careB(u 0 ,r 0 ) ⊆ γ −1 (W ). De aici, la fel ca în demonstraţia făcută în cazul curbelornetede, deducem că mulţimea γ(B(u 0 ,r 0 )) este deschisăşi conexă în(S, T S ).Ea face parte din sistemul fundamental de vecinătăţi căutat.Justificarea afirmaţiei 2). Cumspaţiul (S, T S ) este local conex, S ab ∈ T S .Concluzia rezultăţinând seama de faptul că γ a este un homeomorfism.Să considerăm suprafaţa netedă orientabilăconexă S şi familiile orientate(γ a ) a∈A , (ζ b ) b∈B , undeγ a : U a → E 3 ζ b : V b → E 3 .Definim o relaţie de echivalenţă pe mulţimea A a tuturor familiilor orientateale suprafeţei orientabile S spunând că familiile (γ a ) a∈A , (ζ b ) b∈B sunt

60 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALechivalente (la fel orientate) dacăexistă a 0 ∈ A, b 0 ∈ B astfel încât γ a0 (U a0 )∩ζ b0 (V b0 ) 6= ∅ şi S a0 b 0ocomponentăconexăamulţimii γ a0 (U a0 ) ∩ ζ b0 (V b0 ) cuproprietatea că suprafaţele parametrizateγ a0 | Ua0 b 0: U a0 b 0→ E 3 ζ b0 | Va0 b 0: V a0 b 0→ E 3 ,unde U a0 b 0= γ −1a 0(S a0 b 0), V a0 b 0= ζ −1b 0(S a0 b 0), sunt pozitiv echivalente (cf. [57],p. 98). În mod analog celor prezentate în cazul curbelor netede, mulţimeaclaselor de echivalenţă ale acestei relaţii de echivalenţă aredoardouăelemente.De aceea, o suprafaţă netedăorientabilăconexă S este consideratăorientată (cu orientarea dată de familia orientată) dacă se precizează ofamilieorientată asa. Există, aşadar, doar două asemenea orientări (cf. [57],p. 99). Exemplul tipic de suprafaţă netedă orientată este cel al suprafaţeisimple. Orientarea sa este dată de familia orientată {γ}, undeγ : U → E 3reprezintă parametrizarea globală asuprafeţei.Conform [48], p. 38, [44], p. 590, graficul unei funcţii netede de douăvariabile este o suprafaţă simplăînSF. Mai precis, fie V 6= ∅ omulţimedeschisă, mărginităşi conexăîn(R 2 , T e ).Săconsiderăm aplicaţia γ : U → E 3introdusă prinformulaOM = q 1 i + q 2 j + ϕ(q 1 ,q 2 )k = σ(q 1 ,q 2 ), (2.43)unde U ⊂ V , M = γ(q 1 ,q 2 ), (q 1 ,q 2 ) ∈ U şi ϕ ∈ C ∞ (V,R). MulţimeaU fiind compactă în(R 2 , T e ),cumfuncţia ϕ este continuă peU, mulţimeaS not= γ(U) ⊂ E 3 va avea măsura (Lebesgue) nulă înSF (cf. [68], p. 229).Atunci, urmând [68], p. 261,∂σ∂q 1 (q1 ,q 2 ) × ∂σ∂q 2 (q1 ,q 2 ) = (− ∂ϕ ∂ϕ)i +(− )j + k (2.44)∂q1 ∂q2 6= 0, (q 1 ,q 2 ) ∈ V.Se verifică imediatcă aplicaţia γ : U → γ(U) este homeomorfism.Să considerăm suprafaţa netedă orientată S. Fie(γ a ) a∈A ,undeγ a : U a →E 3 , familia de parametrizări locale care dă orientarea suprafeţei şi M 0 ∈ S.Există a ∈ A astfel încât M 0 ∈ γ a (U a ). Aplicaţia γ a : U a → E 3 este introdusăprin formulaOM = x a (q 1 ,q 2 )i + y a (q 1 ,q 2 )j + z a (q 1 ,q 2 )k = σ a (q 1 ,q 2 ),unde M = γ a (q 1 ,q 2 ), (q 1 ,q 2 ) ∈ U a .

2.1. CINEMATICA 61Planul {N ∈ E 3 :[ ∂σ a(q∂q 0,q 1 0) 2 × ∂σ 1 a(q∂q 0,q 1 0)] 2 · M 2 0 N =0} not= T M0 , undeM 0 = γ a (q0,q 1 0), 2 estetangent în punctul M 0 la suprafaţa S (cf. [48], p. 44-45, [44], p. 594). Asupra sa vom reveni ulterior. Fie −→ n M0 ∈ T M0 R 3 versoruldat de relaţia∂σ a−→(q∂q 0,q 1 0) 2 × ∂σn M0 ∈1 a(q∂q 0,q 1 0)2 2 ¯ ∂σa (q 1 ∂q 0,q0) 2 × ∂σa (q 1 1 ∂q 0,q0)2 . (2.45)¯2Figura 2.8Versorul −→ n M0 este independent de parametrizarea adoptată din familiaorientată (γ a ) a∈A (cf. [48], p. 48). Într-adevăr, fie b ∈ A, b 6= a, astfel încâtM 0 ∈ γ a (U a )∩γ b (U b ).Notăm cu S ab componenta conexă amulţimii γ a (U a )∩γ b (U b ) care îl conţine pe M 0 .Fieλ schimbarea de variabile corespunzătoare,adică γ a = γ b ◦ λ. La fel ca în cazul curbelor netede, avem σ a (q 1 ,q 2 )=σ b (λ 1 (q 1 ,q 2 ), λ 2 (q 1 ,q 2 )) şi∂σ a∂q 1 (q1 ,q 2 ) × ∂σ a∂q 2 (q1 ,q 2 ) = D(λ 1, λ 2 )D(q 1 ,q 2 ) (q1 ,q 2 ) · ∂σ b∂λ 1(λ 1 (q 1 ,q 2 ), λ 2 (q 1 ,q 2 ))× ∂σ b∂λ 2(λ 1 (q 1 ,q 2 ), λ 2 (q 1 ,q 2 )),unde (q 1 ,q 2 ) ∈ S ab (cf. [48], p. 36). Cum D(λ 1,λ 2 )D(q 1 ,q 2 ) (q1 ,q 2 ) > 0 în S ab ,justificareaafirmaţiei de mai sus s-a încheiat.Dreapta care trece prin M 0 şi are versorul director −→ n M0 poartădenumireade normală la suprafaţa S în punctul M 0 (cf. [48],p. 45,[44],p. 594,[45],p. 181).Reamintim faptul că, în cazul curbelor netede orientate Γ, orientareaputea fi ”vizualizată” cu ajutorul săgeţilor versorilor tangenţi la curbă, careerau îndreptate toate în aceeşi parte, inducând un sens de mişcare pe curba Γ.

62 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALO asemenea situaţie are loc şi aici, numai că îndreptarea săgeţilor versorilor−→ n M ,undeM ∈ S, trebuieprecizată de la început.Astfel, vezi Figura 2.8, putem alege ca versor normal exterior versorul−→ n M dat de (2.45) pentru orice M ∈ S, respectiv versorul − −→ n M pentru oriceM ∈ S (cf. [48], p. 48, [44], p. 603). Săgeţile acestora vor indica un sensde parcurgere (traversare) asuprafeţei (de exemplu, dinspre interior cătreexterior în cazul sferei).Fiind date suprafaţa netedă S şi curba Γ spunem că Γ este situată peS dacă Γ ⊂ S (cf. [48], p. 40, [44], p. 591-592). Necesitatea de a verificainvarianţa proprietăţilor (geometrice) ale curbelor şi suprafeţelor faţă deschimbările de variabile face dificil studiul acestora. De aceea, extrapolândnoţiunile de bază ori de câte ori este nevoie, vom realiza anumite calcule(cu semnificaţie geometrică) folosind în locul suprafeţei S şi al curbei Γsuprafaţa parametrizată γ : U → E 3 şi drumul neted regular ζ : I → E 3 ,unde ζ(I) ⊂ γ(U). Această preferinţă poatefi justificată înfelulurmător.Fie M 0 ∈ γ(U) şi (q0,q 1 0) 2 ∈ U astfel încât γ(q0,q 1 0)=M 2 0 . ExistămulţimeaV ⊂ U deschisăşi conexăîn(R 2 , T e ) astfel încât M 0 ∈ γ(V ) şi mulţimea γ(V )este o suprafaţă simplăînSF având parametrizarea globală γ| V: V → E 3(cf. [48], p. 40, [44], p. 591). Fie acum q 0 ∈ I astfel încât ζ(q 0 )=M 0 .Atunci, q0 1 = q 1 (q 0 ), q0 2 = q 2 (q 0 ). Evident, γ(V ) ∈ T γ(U) ,căci funcţia γ esteun homeomorfism, de unde ζ(I) ∩ γ(V ) ∈ T ζ(I) . Aplicaţia ζ fiind continuă,ζ −1 (ζ(I) ∩ γ(V )) ∈ T I . Ceea ce înseamnă, în particular, că vaexistaintervalulJ ⊆ I, unde J ∈ T I ,pentrucareq 0 ∈ J şi ζ(J) ⊂ γ(V ). Micşorândeventual acest interval, mulţimea ζ(J) va fi ocurbăsimplăînSF avândparametrizarea globală ζ| J: J → E 3 (cf. [48], p. 14, [44], p. 585) situată pesuprafaţa simplă γ(V ).Să considerăm, aşadar, suprafaţa parametrizatănetedă γ : U → E 3 introdusăprin formula (2.42). Fie, de asemeni, I ⊂ R un interval netrivial înzestratcu topologia T I indusă de topologia uzuală aluiR şi funcţiile q i : I → R,unde q i ∈ C ∞ (I,R), astfelîncât(q 1 (q),q 2 (q)) ∈ U pentru orice q ∈ I. Acestlucru este posibil deoarece T e = T R ×T R .Să presupunem, în plus, că dq1 , dq2dq dqnu se anulează simultanînI.Aplicaţia ζ : I → E 3 introdusă prinformulaOM = σ(q 1 (q),q 2 (q)) not= σ(q), (2.46)unde M = ζ(q), q ∈ I, va desemna un drum neted regular în SF. Într-

2.1. CINEMATICA 63adevăr, prin derivare,σ 0 (q) = dq1 ∂σ(q)dq∂q 1 (q1 ,q 2 )+ dq2dq(q)∂σ∂q 2 (q1 ,q 2 ),q∈ I. (2.47)Însă ∂σ (q 1 ,q 2 ) × ∂σ (q 1 ,q 2 ) 6= 0în U, ceea ce ne permite să deducem că∂q 1 ∂q 2σ 0 (q) =0dacă şi numai dacă dq1 (q) =0.Afirmaţia anterioară afostdq(q),dq2dqjustificată.Pentru q 0 ∈ I arbitrar fixat, există, conform celor precizate înainte, unsubinterval J, J ∈ T I ,alluiI care îl conţine pe q 0 şi pentru care ζ(J)constituie o curbăsimplăînSF. Putem astfel extrapola noţiunea de tangentăîn M 0 la curba simplă ζ(J) spunând că dreapta ce trece prin M 0 şi are vectoruldirector σ 0 (q 0 ) este tangenta în M 0 la drumul neted ζ : I → E 3 . Din (2.47)rezultă că σ 0 (q) ∈ Sp({ ∂σ (q 1 ,q 2 ), ∂σ (q 1 ,q 2 )}). Rezultatul este valabil, în∂q 1 ∂q 2particular, pentru q = q 0 .Acum, dându-se numerele reale a, b care nu sunt nule simultan, existăε > 0 suficient de mic astfel încât (q 1 0 + a · q, q 2 0 + b · q) ∈ U pentru oriceq ∈ (−ε, ε) not= I. Drumulregularζ a,b : I → E 3 introdus prin formulaOM = σ(q 1 0 + a · q, q 2 0 + b · q) =σ(q), (2.48)unde M = ζ a,b (q), q ∈ I, are direcţia tangentei în punctul M 0σ 0 (0) = a · ∂σ∂q 1 (q1 0,q 2 0)+b · ∂σ∂q 2 (q1 0,q 2 0)(cf. [45], p. 181, [48], p. 44). În concluzie, mulţimea direcţiilor tangentelor înpunctul M 0 la drumurile netede regulare situate pe suprafaţa parametrizatăγ : U → E 3 , înzestrată cuoperaţiile cu vectori induse de operaţiile dinT R 3 ,alcătuieşte un spaţiu liniar 2−dimensional, notat T M0 S,acărui bază{ ∂σ (q∂q 0,q 1 0), 2 ∂σ (q 1 ∂q 0,q 1 0)} 2 poartă denumirea de bază naturală (cf. [44], p. 594).2Astfel, devine clar că T M0 S reprezintă spaţiul director al planului T M0 , decică planul tangent în M 0 la suprafaţa S este, prin definiţie, mulţimea tuturortangentelor în punctul M 0 la curbe simple situate pe suprafaţa S (cf. [48], p.44-45, [45], p. 180-181, [44], p. 593-594).Introducem matricea G(M 0 , γ) dată prinformulaG(M 0 , γ) =µ (∂σ) 2∂q 1∂σ· ∂σ∂q 1 ∂q 2∂σ∂q 1 · ∂σ∂q 2( ∂σ∂q 2 ) 2 ¯¯¯¯(q 1 0 ,q2 0 )

64 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALFolosim notaţiile (cf. [34], p. 85, [48], p. 74)( ∂σ∂q 1 )2 not= g 11∂σ∂q 1 · ∂σ∂q 2 not= g 12 ( ∂σ∂q 2 )2 not= g 22 .Dacă g 11 (M) =1, g 12 (M) =g 21 (M) =0, unde M ∈ U, parametrizarealocală γ : U → E 3 se numeşte semigeodezică (cf. [44], p. 642, [48], p. 85).Considerând η : V → E 3 osuprafaţă parametrizatăechivalentăcuγ :U → E 3 şi λ : U → V schimbarea de variabile corespunzătoare, are locrelaţiaG(M 0 , γ) =à µ∂λjà µ∂λj· G(M 0 , η) ·∂qi,j!¯¯¯¯¯!¯¯¯¯¯(q i 10,q0 2) ∂q i i,jt(q 1 0 ,q2 0 ) .Justificarea acestei afirmaţii rezultă din faptul că γ = η◦λ şi putem aplicaformalismul matricealµ ∂σ∂qG(M 0 , γ) =1∂σ · ¡ ∂σ ∂σ∂q 1 ∂q.2∂q¢¯¯¯¯(q 2 0 1,q2 0 )Fiind daţi vectorii p, q ∈ T M0 S de coordonate p 1 , p 2 , respectiv q 1 , q 2 înbaza naturală, avem formulap · q = ¡ µ µ ¢ g11 gp 1 p 2 ·12 q1·(2.49)g 21 g 22 q 2= g 11 p 1 q 1 + g 12 (p 1 q 2 + p 2 q 1 )+g 22 p 2 q 2(cf. [48], p. 56, [68], p. 363).De asemeni, pe baza identităţii lui Lagrange, deducem cădet G(M 0 , γ) =∂σ¯∂q 1 (q1 0,q0) 2 × ∂σ2∂q 2 (q1 0,q0)2 ¯ .Fiind date suprafaţa simplă S introdusă de (2.43) şi funcţia continuăf :(S,T S ) → R, senumeşte integrală desuprafaţă mărimeaZZf(q 1 ,q 2 , ϕ(q 1 ,q 2 ))∂σ¯∂q × ∂σZ1 ∂q¯¯¯¯ dq 1 dq 2 not= f(M)dσ(M) (2.50)2U(cf. [68], p. 256, 259-260, [48], p. 94).S

2.1. CINEMATICA 65Reperul 10 R = (M, −→ B ), unde B = { ∂σ (q∂q 0,q 1 0), 2 ∂σ (q 1 ∂q 0,q 1 0), 2 n}, poartă2denumirea de reper natural al suprafeţei S în punctul M 0 (cf. [48], p. 73).Aici, n este introdus cu ajutorul reprezentantului său, −→ n M0 ∈ n.În spiritul formulelor Frenet-Serret, folosind convenţiadesumareaindicelui”mut” 2 Pk=1din B în raport cu B.1) Formula lui Gauss:2) Formula lui Weingarten:a k b k not= a k b k , se stabilesc coordonatele derivatelor vectorilor∂ 2 σ∂q i ∂q = ∂σj Γk ij∂q + h ijn; (2.51)k∂n∂q = −h jk ∂σijg i ∂q , kunde g ij = g ji , g ij sunt elementele matricei G(M 0 , γ) −1 , Γ k ij sunt simbolurilelui Christoffel (cf. [48], p. 74, [66], p. 266-267), adicăΓ k ij = 1 2 gkl ( ∂g jl∂q i+ ∂g il∂q j − ∂g ij∂q l ),şi h ij = n ·p. 385-386).Fiind date suprafaţa simplă S cu parametrizarea globală γ : U → E 3 şicurba simplă Γ cu parametrizarea globală ζ : I → E 3 situată pesuprafaţaS, reperulR =(M 0 , −→ C ) dat de M 0 ∈ Γ şi C = {τ, m, n}, unde 11 m = n × τ,poartă denumirea de triedrul lui Darboux al curbei Γ în punctul M 0 (cf. [34],p. 89, [57], p. 176). Versorii m, n, fiind perpendiculari pe τ, se găsesc înspaţiul liniar director al planului normal al triedrului lui Frenet în punctul∂ 2 σ(cf. [48], p. 73-75, [44], p. 628-629, [57], p. 170-171, [68],∂q i ∂q jM 0 . Introducem unghiul θ def= ](n, ν). Evident, θ ∈ C ∞ (R, R), θ = θ(t) şiare loc formulan =cosθ · ν +sinθ · β. (2.52)10 Baza B nu este, în general, ortonormată. Totuşi, în cazul unei parametrizări localesemigeodezice, reperul R va respecta cerinţele din definiţia reperului cartezian dacă înlocuim,în baza B, direcţia ∂σ∂q(q0,q 1 0) 2 cu versorul ei.211 Tripletul C este de sens direct căci (τ, m, n) =|n × τ| 2 > 0.

66 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALApoi,m = n × τ (2.53)= cosθ · (ν × τ)+sinθ · ¡β× τ ¢= sinθ · ν − cos θ · β.Vom evalua mărimile dτ , dm,dn prin coordonatele lor în baza C, ţinândds ds dsseama de formulele Frenet-Serret (2.9), (2.11), (2.12) (cf. [34], p. 90, [48], p.87-89). Astfel,dmdsÎn continuare,dnds= cosθ · dθdν dθdβ· ν +sinθ · +sinθ · · β − cos θ ·ds ds ds ds= ¡ sin θ · β +cosθ · ν ¢ · dθ − cos θ · (−T · ν)+sinθ ·ds·µ− 1 R · τ + T · β= − sin θ µ µ dθdθR · τ + ds · sin θ + T · sin θ · β +ds · cos θ+ T · cos θ) · ν.= − sin θ · dθdν dθdβ· ν +cosθ · +cosθ · · β +sinθ ·ds ds ds ds= ¡ − sin θ · ν +cosθ · β ¢ · dθ +sinθ · (−T · ν)+cosθ ·ds·µ− 1 R · τ + T · β= − cos θ µ µdθR · τ + ds · cos θ + T · cos θ · β + − dθds · sin θ− T · sin θ) · ν.Pe baza relaţiilor (2.52), (2.53) putem scrie că½ ν =cosθ · n +sinθ · mβ =sinθ · n − cos θ · m.Înlocuind aceste expresii în calculele anterioare, obţinem că⎧dτ⎨ = sin θ · m + cos θ · nds RRdm⎩= − sin θ · τ + ¡ dθ+ T ¢ · nds Rdsdn= − cos θ · τ − ¡ dθ+ T ¢ · m.ds Rds(2.54)(2.55)

2.1. CINEMATICA 67Relaţiile (2.55) se numesc formulele Darboux-Ribaucour (cf. [57], p. 176).Revenind la suprafaţa parametrizată γ : U → E 3 introdusă prin(2.42),spunem că drumul neted ζ : I → E 3 datde(2.46)estegeodezic dacă, prindefiniţie, avemσ 00 (q) ⊥ T M S M = ζ(q)pentru orice q ∈ I. În particular, cum τ(M) =|σ 0 (q)| −1 · σ 0 (q), V = Rσ 0 (q),π V (σ 00 (q)) = 0, obţinem că b 2 = σ 00 (q), deci vectorii σ 00 (q), ν(M), n(M) vorfi coliniari.Relaţia σ 00 (q) ⊥ σ 0 (q) ne conduce la d ( 1 dq 2 |σ0 (q)| 2 )= d ( 1 dq 2 σ0 (q) 2 )=σ 0 (q) ·σ 00 (q) =0,astfelcă mărimea |σ 0 (q)| este constantă înI.Drumul neted η : J → E 3 ,situatpesuprafaţa parametrizată γ : U → E 3 ,echivalent cu ζ : I → E 3 este geodezic dacă şi numai dacă schimbareadevariabilă λ : I → J corespunzătoare este afină 12 ,(cf. [48],p. 83,[44],p.637). În particular, parametrizarea naturală η : J → E 3 pozitiv echivalentăadrumului ζ : I → E 3 este un drum geodezic (cf. [48], p. 83, [44], p. 637-638).Vom spune despre curba Γ situată pesuprafaţa netedă S că reprezintăogeodezică (geometrică) a suprafeţei dacă pentrufiecare punct M ∈ Γ existăo parametrizare locală ζ : I → E 3 care este drum geodezic astfel încâtM ∈ ζ(I) (cf. [44], p. 635).Derivând relaţia (2.47), avemσ 00 (q) = dqi dqj(q) ·dq dq (q) ·de unde, conform formulei lui Gauss (2.51),σ 00 (q) = ( d2 q kdq 2∂ 2 σ∂q i ∂q j (q1 ,q 2 )+ d2 q i ∂σ(q) ·dq2 ∂q i (q1 ,q 2 ),+ Γk ij(q 1 ,q 2 ) dqidq · dqjdq ) · ∂σ∂q k (q1 ,q 2 ) (2.56)+h ij (q 1 ,q 2 ) dqidq · dqjdq · n(cf. [48], p. 84). Deoarece σ 00 (q) este coliniar cu n(M),σ 00 (q) · ∂σ∂q k (q1 (q),q 2 (q)) = 0, k =1, 2,12 Adică, λ(q) =c 1 q + c 2 , unde q ∈ I şi c 1 6=0.

68 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALastfel că drumulnetedζ : I → E 3 introdus prin formula (2.46) este geodezicdacă şi numai dacăd 2 q kdq 2 + 2 Pi,j=1Γ k ij(q 1 ,q 2 ) dqidq · dqjdq=0, k =1, 2, (2.57)unde q ∈ I (cf. [48], p. 84, [44], p. 638). Relaţiile (2.57) poartă denumireade ecuaţiile diferenţiale ale geodezicei.Introducând mărimile Q 1 = q 1 , Q 2 = q 2 , Q 3 = dq1 , dq Q4 = dq2 ,ecuaţiiledq(2.57) pot fi rescrise sub forma⎧⎪⎨⎪⎩unde f k (Q 1 ,Q 2 ,Q 3 ,Q 4 )=−dQ 1= Q 3dqdQ 2= Q 4dqdQ 3= fdq 1 (Q 1 ,Q 2 ,Q 3 ,Q 4 )dQ 4= fdq 2 (Q 1 ,Q 2 ,Q 3 ,Q 4 ),2 Pi,j=1Γ k ij(Q 1 ,Q 2 )Q i+2 Q j+2 .q ∈ I, (2.58)Funcţiile f k , k =1, 2, fiind de clasă C ∞ ,problemaCauchyataşată sistemuluidiferenţial (2.58) va admite soluţie unică, de clasă C ∞ . Existenţa şiunicitatea soluţiei clasice (C 1 ) provin din teorema Picard-Lindelöf (cf. [31],p. 8, [6], p. 35-38, [4], p. 124-125). Apoi, cum f k ∈ C ∞ ,deci dQ3 , dQ4 ∈ C 1 ,dq dqdeducem că Q 3 , Q 4 ∈ C 2 ,deundeQ 1 , Q 2 ∈ C 3 ,etc.Pentru M = ζ(q), săconsiderăm p(q) ∈ T M S dat de formulap(q) =p 1 (q) · ∂σ∂q 1 (q1 ,q 2 )+p 2 (q) · ∂σ∂q 2 (q1 ,q 2 ),q∈ I, (2.59)unde p 1 , p 2 ∈ C ∞ (I,R). Atunci, conform teoriei generale a dependenţeisoluţiilor de datele Cauchy, există ε > 0 astfel încât problema Cauchy⎧⎪⎨⎪⎩dQ 1dudQ 3= Q3dQ2du= Q4= f du 1(Q 1 ,Q 2 ,Q 3 ,Q 4 )dQ 4= f du 2(Q 1 ,Q 2 ,Q 3 ,Q 4 )Q 1 (0) = q 1 (q)Q 3 (0) = p 1 (q)Q 2 (0) = q 2 (q)Q 4 (0) = p 2 (q)să admităsoluţia unică Q i = Q i (u, q), unde u ∈ (−ε, ε), q ∈ I, şi Q i ∈C ∞ ((−ε, ε) × I,R), i = 1, 4 (cf. [31], p. 100-101, [6], p. 57-60, 102-105, [1],p. 259-264, [72], p. 341-352).

2.1. CINEMATICA 69Pe baza celor de mai sus pot fi deduse două rezultate fundamentaleprivind geodezicele.Mai întâi, pentru orice p ∈ T M0 S,existăundrumgeodezicζ :(−ε, ε) →E 3 astfel încât ζ(0) = M 0 şi σ 0 (0) = p (cf. [48], p. 85, [44], p. 639).Drumul geodezic ζ :(−ε, ε) → E 3 este introdus, conform (2.46), prin formula(p(q) =p)OM = σ(Q 1 (u, q 0 ),Q 2 (u, q 0 )) = σ(u),unde M = ζ(u), u ∈ (−ε, ε).Apoi, pentru orice punct M situat pe suprafaţa S există parametrizarealocală semigeodezică η : V → E 3 a suprafeţei S astfel încât M ∈ η(V ) (cf.[44], p. 643). Să justificăm această afirmaţie. Considerăm ζ : I → E 3dat de formula (2.46) un drum situat pe suprafaţa S. Conform (2.48), unasemenea drum există întotdeauna. Introducem vectorul p(q) impunând cap(q) ∈ T ζ(q) S, |p(q)| =1, p(q) · σ 0 (q) =0şi bazele {p(q), σ 0 (q)}, { ∂σ , ∂σ }∂q 1 ∂q 2să fie la fel orientate, q ∈ I. În acest fel, p(q) este unic determinat, p 1 ,p 2 ∈ C ∞ (I,R). Fie q 0 ∈ I fixat arbitrar. Vectorii p(q 0 ), σ 0 (q 0 ) fiind liniarindependenţi, nu există număr real α 6= 0astfel încât p 1 (q 0 )=α · dq1 (q dq 0) şip 2 (q 0 )=α · dq2 (q dq 0). Ceea ce înseamnă că¯p 1 (q 0 ) p 2 (q 0 )dq 1(q dqdq 0)2(q dq 0)¯ = D(Q1 ,Q 2 )¯D(u, q)¯(0,q0 )6= 0.Conform teoremei de inversiune locală, există 0

70 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALSă calculăm,înceleceurmează, expresia ∂ ( ∂σ 1(u, q) · ∂σ 1(u, q)). Mai∂u ∂u ∂qîntâi,µ ∂σ 1∂u (u, q) · ∂ ∂σ1∂u ∂q (u, q) = ∂σ µ 1 ∂ ∂σ1(u, q) ·∂u ∂q ∂u (u, q)= ∂ µ 1∂q 2 (∂σ 1∂u (u, q)2 "= ∂ 1# 2 ∂σ 1∂q 2 ¯ (u,∂uq)¯¯¯¯Însă, conform (2.56), (2.57),= 0.∂ 2 σ 1(u, q)kn(u, q),∂u2 unde n(M) not= n(u, q) şi M = η(u, q). De asemeni,∂σ 1∂q∂Q1 ∂σ(u, q) = (u, q) ·∂q ∂q 1 (Q1 ,Q 2 )+ ∂Q2∂q∈ T M η(V ).(u, q) · ∂σ∂q 2 (Q1 ,Q 2 )În concluzie, ∂2 σ 1(u, q) · ∂σ ∂u 2 1(u, q) =∂ ( ∂σ 1(u, q) · ∂σ 1(u, q)) = 0, adică∂q ∂u ∂u ∂qfuncţia u 7−→ ∂σ 1(u, q) · ∂σ 1(u, q), u ∈ (−h, h), este constantă (q =fixat).∂u ∂qAtunci,∂σ 1∂u (u, q) · ∂σ 1∂q (u, q) = ∂σ 1∂u (0,q) · ∂σ 1∂q (0,q)·= Q 3 (0,q) · ∂σ∂q 1 (Q1 ,Q 2 )+Q 4 (0,q) · ∂σ ¸∂q 2 (Q1 ,Q 2 )¸1·dq ∂σ· (q) ·dq ∂q 1 (Q1 ,Q 2 )+ dq2 ∂σ(q) ·dq ∂q 2 (Q1 ,Q 2 )= p(q) · σ 0 (q) =0.Am obţinut că g 11 (u, q) =1, g 12 (u, q) =g 21 (u, q) =0, unde (u, q) ∈ V .Justificarea afirmaţiei s-a încheiat 13 .13 Prezenţa parametrizării locale semigeodezice constituie un corespondent matematical faptului că universul curb (einsteinian) şi experienţele lui Galilei (lansarea unei bile defildeş peoplacădemarmurăaşezată orizontal), care au condus la formularea principiuluiinerţiei, coexistă (vezi [79], p. 158).

2.1. CINEMATICA 71Fie γ : U → E 3 o parametrizare locală semigeodezică asuprafeţei S,(q 1 0,q 2 0) ∈ U şi ζ : I → E 3 un drum neted introdus prin formulaOM = σ(q 1 0 + q, q 2 0)=σ(q),unde M = ζ(q), q ∈ I. Atunci, drumul ζ : I → E 3 reprezintă undrumgeodezic parametrizat natural pe suprafaţa S (cf. [48], p. 85, [44], p. 642).Să considerăm α, β ∈ I, cuα < β şi M 1 = ζ(α), M 2 = ζ(β). Atunci,Z βα|σ 0 (q)| dq = β − α.Fiind dat drumul neted η : I → E 3 situat pe suprafaţa S astfel încâtη(I) ⊂ γ(U) şi η(α) = M 1 , η(β) = M 2 , avem, conform (2.46), relaţiileq 1 (α) =q 1 0 + α, q 2 (α) =q 2 0 şi q 1 (β) =q 1 0 + β, q 2 (α) =q 2 0. Atunci, pe bazaformulei (2.49), putem scrie căZ βα|σ 0 (q)| dq =>Z βα·g 11 (q)( dq1dq (q))2 +2g 12 (q) dq1dq(q) · dq2dq (q)(q))2¸ 1+ g 22 (q)( dq22dqdqZ βdq 1¯ dq (q)¯¯¯¯ dq ≥ q 1 (β) − q 1 (α) =β − αα(cf. [48], p. 86, [44], p. 642).Aşadar, drumul geodezic este cel mai scurt drum situat pe suprafaţa Scare leagă între ele punctele M 1 , M 2 . Trebuie menţionat că nuoricedouăpuncte ale unei suprafeţe pot fi legate între ele printr-o geodezicăasuprafeţei.Un exemplu elocvent se găseşte în [57], p. 234-235.2.1.14 Formula Gauss-Ostrogradski. Prima formulă alui Green. Integrale de tip potenţial. Ecuaţialui PoissonIntroducem, în cele ce urmează, mulţimea jordaniană G ⊂ E 3 pe careovomnumidomeniu în SF. Astfel, fie U 0 , V 0 , W 0 6= ∅ mulţimi deschise,

72 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALmărginite şi conexe în (R 2 , T e ). Spunem că M ∈ G dacă, prin definiţie, auloc inegalităţileϕ 1 (y, z) 6 x 6 ϕ 2 (y, z), (y, z) ∈ U (2.60)ψ 1 (x, z) 6 y 6 ψ 2 (x, z), (x, z) ∈ Vη 1 (x, y) 6 z 6 η 2 (x, y), (x, y) ∈ W,unde U ⊂ U 0 , V ⊂ V 0 , W ⊂ W 0 , ϕ i ∈ C ∞ (U 0 , R), ψ i ∈ C ∞ (V 0 , R), η i ∈C ∞ (W 0 , R) şi i =1, 2. Aici,x, y, z reprezintă coordonatele punctului M înreperul canonic R. Cu alte cuvinte, o dreaptă având una din direcţiile i, j, ksau va intersecta domeniul G după un segment (eventual, degenerat într-unpunct) sau nu îl va intersecta deloc (cf. [68], p. 309).Dacă punctul M are coordonatele x 0 , y 0 , z 0 în reperul canonic R, (y 0 ,z 0 ) ∈U, (x 0 ,z 0 ) ∈ V , (x 0 ,y 0 ) ∈ W şi inegalităţile (2.60) sunt stricte, atunci M ∈i(G). Într-adevăr, funcţia ϕ 1 fiind continuăpeU 0 , inegalitatea ϕ 1 (y 0 ,z 0 ) 0 pentru careϕ 1 (y, z)

2.1. CINEMATICA 73De asemeni, mulţimile de forma {M ∈ E 3 : x = ϕ 1 (y, z), (y, z) ∈ U} aumăsura Lebesgue nulă. Măsura Lebesgue în SF fiind completă, putem spunecădomeniulG este reuniunea dintre mulţimea punctelor M, unde(y, z) ∈ U,(x, z) ∈ V , (x, y) ∈ W ,pentrucareinegalităţile (2.60) sunt stricte (notatăG 0 )şi ceva ”neglijabil”.Trebuie spus că mulţimea G 0 este chiar interiorul domeniului G. Justificareaacestei afirmaţii se poate face în mai multe feluri, apelând la teoriamăsurii Lebesgue, teoria gradului topologic, etc. Astfel, cum orice mulţimedeschisă înE 3 conţine măcar o celulă cumuchiifinite netrivială, deducem cămulţimile neglijabile (Lebesgue) au interiorul vid.Conform (2.43), mulţimileS sup = {M ∈ E 3 : z = η 2 (x, y), (x, y) ∈ W }S inf = {M ∈ E 3 : z = η 1 (x, y), (x, y) ∈ W }reprezintă suprafeţe simple în SF pe care, dat fiind faptul că direcţia kdesemnează verticala, levomnumipartea superioară, respectiv inferioară afrontierei lui G (cf. [68], p. 309).Pentru a nu trivializa definiţia mulţimii G, vom presupune că mulţimile{(y, z) ∈ U : x = ϕ 1 (y, z) =ϕ 2 (y, z), M ∈ G}{(x, z) ∈ V : y = ψ 1 (x, z) =ψ 2 (x, z), M ∈ G}{(x, y) ∈ W : z = η 1 (x, y) =η 2 (x, y), M ∈ G}sunt ”neglijabile” în R 2 . O asemenea prezumţie are un suport intuitiv imediat;practic, cerem ca intersecţia S sup ∩ S inf să fie ocurbă(nuneapăratnetedă). Atunci, frontiera mulţimii jordaniene G va fi formată din reuniuneasuprafeţelor simple S sup , S inf şi ceva ”neglijabil” în R 2 . Ceea ce ne permite,apelând la (2.50), săintroducemointegralăpeFr(G) pentru mărimi definitedoar pe S sup , S inf .Suprafeţele S sup , S inf fiind simple, orientarea lor va fi dată, prin convenţie,de n(M) pentru M ∈ S sup , respectiv −n(M) pentru M ∈ S inf . Justificareaacestei opţiuni va fi făcutăulterior. Notăm cu N(M) versorul normal exteriorîn ambele situaţii.Atunci, conform (2.44), avem relaţiileN(M) · k =1q, M ∈ S sup( ∂η 2∂x )2 +( ∂η 2∂y )2 +1

74 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL1N(M) · k = −q, M ∈ S inf .( ∂η 1∂x )2 +( ∂η 1∂y )2 +1Să considerăm funcţia f : E 3 → R, undef(M) =f(x, y, z), continuăpeG astfel încât funcţiile ∂f ∂f(M),∂x ∂y(M),∂f∂z (M), continuepemulţimea G0 ,săfie prelungibileprincontinuitatelaG (cf. [78], p. 18). Egalitatea G 0 = i(G)ne permite să vorbimdeprelungirea prin continuitate a unei funcţii de la G 0la G.Atunci, conform teoremelor generale de transformare a integralelor multipleîn integrale iterate (vezi [68], p. 221, 233, [52], p. 105-108), putem scriecăZZZGZZ∂f∂z (x, y, z)dxdydz ==WZZ[z=ηZ 2 (x,y)z=η 1 (x,y)∂f(x, y, z)dz]dxdy∂zf(x, y, η 2 (x, y))dxdyWZZ−Wf(x, y, η 1 (x, y))dxdy.Apoi, conform (2.50),ZZf(x, y, η 2 (x, y))dxdy =ZZf(x, y, η 2 (x, y)) · (N(M) · k)W=·WZs( ∂η 2∂x )2 +( ∂η 2∂y )2 +1dxdyS supf(M)(N(M) · k)dσ(M).Analog,ZZWZf(x, y, η 1 (x, y))dxdy = − f(M)(N(M) · k)dσ(M)S inf(cf. [68], p. 309-310).

2.1. CINEMATICA 75În concluzie,Z∂fG ∂zZFr(G)(M)dλ(M) = f(M)(N(M) · k)dσ(M). (2.61)”Procedând” în acelaşi mod pe direcţiile i, j, obţinem căZ∂fG ∂xZFr(G)(M)dλ(M) = f(M)(N(M) · i)dσ(M), (2.62)respectivZG∂f∂yZFr(G)(M)dλ(M) = f(M)(N(M) · j)dσ(M). (2.63)Fiind dată funcţia F : E 3 → T R 3 , unde F (M) =f 1 (M)i + f 2 (M)j +f 3 (M)k, M ∈ E 3 ,dacăfuncţiile f i : E 3 → R îndeplinesc aceleaşi condiţii cafuncţia f : E 3 → R, atunci, pe baza relaţiilor (2.61) - (2.63), putem scrie căZZdiv F (M)dλ(M) = F (M) · N(M)dσ(M), (2.64)GFr(G)unde div F (M) not= ∂f 1(M)+ ∂f 2(M)+ ∂f 3(M) reprezintă divergenţa funcţiei∂x ∂y ∂zF (M) (cf. [76], p. 393, [34], p. 97).Relaţia (2.64) poartă denumirea de formula Gauss-Ostrogradski (fluxdivergenţă)(cf. [34], p. 108, [68], p. 307-308). Funcţia F : E 3 → T R 3 ,unde F (M) =F (x, y, z) (conform (1.2)), desemnează uncâmp de vectori înSF (cf. [34], p. 95).Figura 2.9Formulele(2.61)-(2.64)potfi generalizate pentru reuniuni de domenii aleSF. AlegerealuiN 2 ca versor normal exterior (vezi Figura 2.9) atunci cândS reprezintă parteainferioară a frontierei lui G 1 , respectiv a lui N 1 atunci

76 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALcând S reprezintă parteasuperioară a frontierei lui G 2 face ca integralele pesuprafaţa S corespunzătoare să se anuleze reciproc prin sumare în momentulcând calculăm o integralăpemulţimea G 1 ∪G 2 (cf. [68], p. 310). Justificareaorientării suprafeţelor S sup , S inf s-a încheiat.Utilizarea integralei (Lebesgue) în SF permite aplicarea formulelor (2.61)- (2.64) şi în situaţiile în care funcţiile (continue) ∂f i, ∂f i, ∂f isunt modificate∂x ∂y ∂zpe o reuniune cel mult numărabilă de suprafeţe simple interioare lui G.Să considerăm funcţia g : E 3 → R continuă peG şi admiţând derivateparţialedepână la ordinul al II-lea, continue pe mulţimea G 0 ,caresăpoatăfi prelungite prin continuitate pe G. Folosimnotaţiile∇g(M) not= ∂g ∂g ∂g(M)i + (M)j +∂x ∂y ∂z (M)k∆g(M) not= ∂2 g g g∂x 2 (M)+∂2 ∂y 2 (M)+∂2 ∂z (M) 2ca să desemnăm mărimile numite gradientul, respectiv laplacianul funcţieig(M) (cf. [34], p. 96, 101). Prin calcul direct se verifică următoarele identităţidiv (∇g(M)) = ∆g(M) (2.65)div (g(M) · F (M)) = g(M) · div F (M)+∇g(M) · F (M).Atunci, are loc egalitateaZ[f(M)∆g(M)+∇f(M) · ∇g(M)]dλ(M) (2.66)ZG= f(M)∇g(M) · N(M)dσ(M)Fr(G)Relaţia (2.66) poartă denumirea de prima formulă aluiGreen(cf.[29], p. 108). Ea provine din teorema flux-divergenţă (2.64) aplicată pentruF (M) =f(M) · ∇g(M) şi ţinându-se seama de (2.65).Fie punctul M 0 de coordonate x 0 , y 0 , z 0 în reperul canonic R şi r>0astfel încât B(M 0 ,r) ⊂ G 0 . Aplicând formula (2.64), putem scrie căZZdiv F (M)dλ(M) = div F (M)dλ(M)GÂB(M 0 ,r)GZ− div F (M)dλ(M)B(M 0 ,r)

2.1. CINEMATICA 77===ZFr(G)Z−ZF (M) · N(M)dσ(M)Fr(B(M 0 ,r))Fr(G)Z+ZF (M) · n(M)dσ(M)F (M) · N(M)dσ(M)Fr(B(M 0 ,r))Fr(GÂB(M 0 ,r))F (M) · N(M)dσ(M)F (M) · N(M)dσ(M),unde n(M) = 1 · M r 0M şi M ∈ Fr(B (M 0 ,r)), conform [48], p. 47. Amobţinut astfel teorema flux-divergenţă pentru domeniile ”cu găuri” (cf. [29],p. 118).Fie ρ : E 3 → [0, +∞) o funcţie continuă peG ale cărei derivate deordinulI,continuepemulţimea G 0 ,potfi prelungite prin continuitate la G.Introducem funcţia f a : E 3 → [0, +∞) prin formulaZf a (M) =Gρ(A)¯¯AM¯¯a dλ(A), M ∈ E 3 ,unde 0

78 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL(cf. [78], p. 28).Au loc următoarele proprietăţi:1) f a ∈ C p (R 3 , R), unde a + p0 astfel încât B(M, R) ⊂ E 3 ÂG. Atunci, inf{d(N,P) :N ∈ B(M,R),P ∈ G} not= d 0 > 0 (cf. [39], problema II.1.64, p. 144-145). Mărginireamulţimii G implică sup{d(N,P) :N ∈ B(M,R), P∈ G} not= D 0 < +∞.Sunt valabile inegalităţile ¯¯MA¯¯a − ¯¯NA¯¯a 6 (¯¯MN¯¯ + ¯¯NA¯¯) a − ¯¯NA¯¯a,respectiv ¯¯NA¯¯a − ¯¯MA¯¯a 6 (¯¯MN¯¯ + ¯¯MA¯¯) a − ¯¯MA¯¯a, de unde¯¯¯¯MA¯¯a − ¯¯NA¯¯a¯¯ 6"à ¯ !¯MN¯¯ a (¯¯MA¯¯a · 1+ ¯ − 1#¯MA¯¯"à ¯ !+ ¯¯NA¯¯a ¯MN¯¯ a· 1+ ¯ − 1#).¯NA¯¯Dacă 0

2.1. CINEMATICA 796 6D0 2b · b · d0 b−1 · ¯¯MN¯¯µ 1D2a 30= 2a ·¯¯MN¯¯d03−a= C(a) · ¯¯MN¯¯ ,unde N ∈ B(M,R). De aici,|f a (M) − f a (N)| 6Z1ρ(A) ·¯ − 1¯G ¯¯MA¯¯a ¯NA¯¯a¯ dλ(A)6 d −2a0 sup ρ(B)B∈GZ¯· ¯¯¯MA¯¯a − ¯¯NA¯¯a¯¯ dλ(A)G6 d −2a0 C(a)· supB∈Gρ(B) · λ(G) · ¯¯MN¯¯ ,relaţie care dovedeşte continuitatea aplicaţiei f a (M) în punctul M (cf. [29],p. 114).Fie M ∈ G. Săconsiderăm e>0 fixat arbitrar şi δ = δ(e) > 0 astfel încât8πGÂB(M,2δ) 6= ∅, · (3δ)3−a· sup ρ(B) < e . Atunci, pentru N ∈ B(M,δ)3−a 2B∈Gobţinem căZ1|f a (M) − f a (N)| 6 ρ(A) ·¯ − 1¯G ¯¯MA¯¯a ¯NA¯¯a¯ dλ(A)Z16 sup ρ(B) ·¯ − 1¯B∈GB(M,2δ) ¯¯MA¯¯a ¯NA¯¯a¯ dλ(A)Z1+ ρ(A) ·¯ − 1¯¯¯MA¯¯a ¯NA¯¯a¯ dλ(A)GÂB(M,2δ)6 sup ρ(B) ·B∈G"4π3 − a · (2δ)3−a ++d −2a0 C(a) · λ(G) · ¯¯MN¯¯¤ ,ZB(M,2δ)1¯ dλ(A)¯NA¯¯aunde d 0 = inf{d(Q, P ) : Q ∈ B(M,δ), P ∈ GÂB(M, 2δ)} > δ, D 0 =sup{d(Q, A) : Q ∈ B(M,δ), A ∈ GÂB(M,2δ)} 6 sup{d(M, A) : A ∈

80 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALG} + δ. Însă B(M,2δ) ⊂ B(N,3δ). Într-adevăr, pentru P ∈ B(M, 2δ) avemd(N,P) 6 d(N,M)+d(M,P) < 3δ, conforminegalităţii triunghiului. Ceeace ne conduce laZB(M,2δ)În concluzie,Z1¯ dλ(A) 6¯NA¯¯aB(N,3δ)|f a (M) − f a (N)| 6 sup ρ(B) ·B∈G1¯ dλ(A) =¯NA¯¯a4π3 − a · (3δ)3−a .· 4π3 − a · (2δ)3−a + 4π3 − a · (3δ)3−a+d −2a0 C(a) · λ(G) · ¯¯MN¯¯¤< e 2 + d−2a 0 C(a)· sup ρ(B) · λ(G) · ¯¯MN¯¯ .B∈GeAlegând η = η(e) ∈ (0, δ) astfel încât d0 −2a C(a)· sup ρ(B)·λ(G)·¯¯MN¯¯

2.1. CINEMATICA 81µ a+1 1 ¯· cos(AN, i)¯¯ =· ¯(¯¯AN¯¯a+1 − ¯¯AM¯¯a+1 ) · cos(AM, i)|AM|·|AN|+[cos(AM, i) − cos(AN, i)] · ¯¯AM¯¯a+1¯¯¯µ a+161|AM|·|AN|¯· ¯¯¯AM¯¯a+1 − ¯¯AN¯¯a+1¯¯¯ +1· ¯¯cos(AM, i) − cos(AN, i)¯¯|AN| a+1şi1¯ [1 − (a +2)cos 2 1(AM, i)] − [1 − (a +2)cos 2 (AN, i)]|AM| a+2 |AN| a+2 ¯( µ a+2611¯ −|AM| a+2 |AN|¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯AM¯¯a+2 1+(a +2)− ¯¯AN¯¯a+2¯¯¯a+2|AM|·|AN|+ 1 · ¯¯cos¾2 (AM, i) − cos 2 (AN, i)¯¯ .|AN| a+2Aici,¯¯cos(AM, i) − cos(AN, i)¯¯ 6 || AN|·AM−|AM|·AN|¯1= ¯¯¯AN¯¯ (AN|AM|·|AN| |AM|·|AN|+NM) − ¯¯AM¯¯ ¯1· AN¯¯ = ¯(¯¯AN¯¯ − ¯¯AM¯¯)AN + ¯¯AN¯¯ · NM¯¯|AM|·|AN|6|AM| 1 · ¯¯¯¯AN¯¯ − ¯¯AM¯¯¯¯ +|AM| 1 · ¯¯NM¯¯ 6|AM| 2 · ¯¯NM¯¯şi ¯¯cos 2 (AM, i) − cos 2 (AN, i)¯¯ 6 2 ¯¯cos(AM, i) − cos(AN, i)¯¯ 6 4Folosind estimările anterioare se poate arăta că funcţiile fa, ∗ fa∗∗introduse prin formuleleZ à !fa(M) ∗ = ρ(A) ∂ 1¯ dλ(A), a+1< 3,∂x 0¯AM¯¯aG|AM|¯¯MN¯¯.: E 3 → RrespectivZ à !fa ∗∗ (M) = ρ(A) ∂2 1¯ dλ(A), a+2< 3G ∂x 2 ¯AM¯¯a0sunt continue.Fie M ∈ E 3 ÂG şi N = N(h) ∈ B(M,R), undeB(M,R) ⊂ E 3 ÂG, avândcoordonatele x 0 + h, y 0 , z 0 în reperul canonic R. Atunci,!Ã1 1¯ = ¯ +∂¯AN¯¯a ¯AM¯¯a ∂x 01¯¯AM¯¯a· h + o(|h|),

82 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALde unde rezultă căf a (N) =f a (M)+f ∗ a(M) · h + o(|h|)(cf. [68], p. 223). Un calcul asemănător celui cu care se justifică unicitateadiferenţialei unei funcţii într-un anumit punct (cf. [53], p. 260-261) nepermite să afirmăm căÎn mod analog,∂f a∂x 0(M) =f ∗ a(M), a+1< 3.∂ 2 f a(M) =f∂x 2 a ∗∗ (M), a+2< 30(cf. [29], p. 114).Fie M ∈ G. Introducem funcţia regularizantă h e :[0, +∞) → [0, +∞)dată de formula (cf. [68], p. 296)h e (r) =½112eunde e ∈ (0, 1 ) (vezi Figura 2.10).2,r> err2 · (3 − ), 0 6 r 6 e,e 2Figura 2.10sgn (e−r)Atunci, h e ∈ C 1 ([0, +∞), R) şi 6 he e (r) 6 1, 0 6 r |h0 e(r)| 6 1unde r>0. Deducemcă, pentru 0

2.1. CINEMATICA 83Aplicaţia f e : E 3 → [0, +∞) introdusă prinformulaZf e (M) = h a e(¯¯AM¯¯)ρ(A)dλ(A), M∈ E 3 a +1< 3,Gse găseşte în C 1 (R 3 , R). Înplus,∂f e Z(M) = ρ(A) ∂ (h a∂x 0 G ∂xe(¯¯AM¯¯))dλ(A).0Justificarea acestor afirmaţii se bazează pe un calcul asemănător celuifăcut anterior.În continuare,Z|f a (M) − f e ¯(M)| 6 ρ(A) ¯¯¯AM¯¯−a − h a e(¯¯AM¯¯) ¯ dλ(A)ZG¯= ρ(A) ¯¯¯AM¯¯−a − h a e(¯¯AM¯¯) ¯ dλ(A)B(M,e)·Z¯6 sup ρ(B) · ¯AM¯¯−a dλ(A)B∈GB(M,e)Z¸+ h a e(¯¯AM¯¯)dλ(A)B(M,e)4π6 2· sup ρ(B) ·B∈G3 − a e3−aşi, cum ¯ ∂∂x 0¡¯¯AM¯¯¢¯¯¯ 6 1,¯¯f a(M) ∗ − ∂f e Z(M)∂x 0¯ 6 ρ(A)∂¯ (¯¯AM¯¯−a ) − a · h a−1e (¯¯AM¯¯)S(M,e) ∂x 0 ·h 0 ∂e(¯¯AM¯¯) · (¯¯AM¯¯)∂x 0¯ dλ(A)4π6 sup ρ(B) ·{a ·B∈G3 − (a +1) e3−(a+1)Z+a · [(¯¯AM¯¯−1 ) a−1 +(e −1 ) a−1 ]B(M,e)· ¯¯AM¯¯−2 dλ(A)}= 4πa · 4 − a2 − a· sup ρ(B) · e 2−a .B∈G

84 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALEstimările de mai sus aratăcăfuncţiile {f e : e ∈ (0, 1 ∂fe)}, {2 ∂x 0: e ∈ (0, 1)}2converg uniform în G la f a , respectiv fa ∗ atunci când e tinde la zero (cf. [29],p. 115, 117, [68], p. 295). Aceasta implică existenţa în G a derivatei ∂fa∂x 0dată deformula∂f a= fa∗ ∂x 0(cf. [53], p. 283-284).Formula corespunzătoare derivatei de ordinul al II lea se va stabili în modanalog.Justificarea afirmaţiei 1) s-a încheiat.Prima jumătate a afirmaţiei 2) poate fi motivatăuşor. Astfel, din calculelefăcute în prima parte reiese căfuncţia f a este indefinit derivabilăpemulţimeaE 3 ÂG şi că derivatele sale (parţiale) se obţinprinderivareamărimii ¯¯AM¯¯−asub semnul integral. Putem, aşadar, scrie că∆f 1 (M) = R hiρ(A) ∂ 2(¯¯AM¯¯−1 )+ ∂2 (¯¯AM¯¯−1 )+ ∂2 (¯¯AM¯¯−1 ) dλ(A)G ∂x 2 0∂y02 ∂z0 2(2.68)= R ρ(A) P 1−3cos 2 (AM,i)dλ(A) =0.G|AM| 3Apoi, 0 6 f a (M) 6supB∈Gsemnificaţie ca la început. Astfel, cumρ(B)·λ(G) ·d −a0 , M ∈ E 3 ÂG, unde d 0 are aceeaşilim d 0 =+∞ pentru R>0 fixat,|OM|→+∞rezultă că lim f a (M) =0.|OM|→+∞Fie M ∈ G 0 .Atunci, ∂f 1∂x 0(M) = R ρ(A) ∂ 1G ∂x 0(|AM|)dλ(A). Folosind relaţia∂ 1∂x 0(|AM| )=− ∂ ( 1) (cf. [68], p. 337) şi (2.40), putem scrie că∂x |AM|∂f 1(M) = lim ρ(A)∂x 0 e&0ZGÂB(M,e)∂∂xÃ= lime&0ZGÂB(M,e)Z+Z= −GG∂∂xà !1¯ dλ(A)¯AM¯¯!1ρ(A) · ¯ dλ(A)¯AM¯¯1¯¯AM¯¯ · ∂∂x (ρ(A))dλ(A)Ã!∂1ρ(A) · ¯ dλ(A)∂x ¯AM¯¯

2.1. CINEMATICA 85Conform (2.62), (2.40),Z+G1¯¯AM¯¯ ·∂∂x (ρ(A))dλ(A).∂f 11(M) = − limρ(A) · ¯ · (N(A) · i)dσ(A)∂x 0 e&0 ¯AM¯¯ZFr(GÂB(M,e))Z1+ ¯¯AM¯¯ · ∂G ∂x (ρ(A))dλ(A)Z1= − ρ(A) · ¯ · (N(A) · i)dσ(A)¯AM¯¯Fr(G)Z1+ ¯¯AM¯¯ · ∂∂x (ρ(A))dλ(A).GSe cuvine făcută următoarea observaţie. Deşi, din raţiunile mecaniciiteoretice, am considerat că funcţia ρ(A) ia doar valori nenegative, aceastăproprietate a sa nu a influenţatînniciunfelcalculeledepânăacum.De aceea, cum inf{d(M, A) :A ∈ Fr(G)} > 0, deducem că mărimeaZ1[ρ(A)(N(A) · i)] · ¯¯AM¯¯dσ(A)Fr(G)este indefinit derivabilă iar derivatele sale (parţiale) se obţinprinderivareamărimii ¯¯AM¯¯−1 sub semnul integral. În ceea ce priveşte mărimeaZ1¯¯AM¯¯ · ∂ρ∂x (A)dλ(A),Gaplicaţia ∂ρ (A) fiind continuă peG, putem scrie că∂xà Z !∂ 1¯∂x 0¯AM¯¯ · ∂ρZà !G ∂x (A)dλ(A) ∂ρ=G ∂x (A) · ∂ 1¯ dλ(A).∂x 0¯AM¯¯Am folosit afirmaţia 1).Aşadar, există şi este continuă funcţia∂ 2 Zà !f 1∂ 1(M) = − [ρ(A)(N(A) · i)] · ¯ dσ(A)∂x 2 0Fr(G)∂x 0¯AM¯¯

86 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALPrin sumare,=Zà !∂ρ+G ∂x (A) · ∂ 1¯ dλ(A)∂x 0¯AM¯¯Zà !∂ 1[ρ(A)(N(A) · i)] · ¯ dσ(A)Fr(G)∂x ¯AM¯¯Zà !∂ρ−∂x (A) · ∂ 1¯ dλ(A).∂x ¯AM¯¯G∆f 1 (M) = X ∂ 2 f 1(M)∂x 2 0Z "= ρ(A) N(A) · X à ! #∂ 1¯ i dσ(A)Fr(G)∂x ¯AM¯¯Z ·X (A)i¸ " à ! #∂ρ X ∂ 1−· ¯ i dλ(A)G ∂x ∂x ¯AM¯¯Z " à ! #1= ρ(A) ∇ ¯ · N(A) dσ(A)¯AM¯¯Fr(G)Zà !1− ∇ρ(A) · ∇ ¯ dλ(A).¯AM¯¯GCum M ∈ G 0 ,există r>0 astfel încât B(M,r) ⊂ G 0 . Prima formulăa lui Green (2.66), scrisă pentru domeniul ”cu găuri” GÂB(M,r), undef = ρ(A), g = ¯¯AM¯¯−1 ,aratăcăZ " à !à !#11ρ(A)∆ ¯ + ∇ρ(A) · ∇ ¯ dλ(A)¯AM¯¯¯AM¯¯GÂB(M,r)Z" à ! #1=ρ(A) ∇ ¯ · N(A) dσ(A).¯AM¯¯Fr(GÂB(M,r))µCa şi anterior, ∆Z1|AM|GÂB(M,r)=0în GÂB(M,r), astfelcăà !1ρ(A)∆ ¯ dλ(A) =0.¯AM¯¯

2.1. CINEMATICA 87Apoi,=Z" à ! #1ρ(A) ∇ ¯ · N(A) dσ(A)¯AM¯¯Fr(GÂB(M,r))Z " à ! #1ρ(A) ∇ ¯ · N(A) dσ(A)¯AM¯¯Fr(G)Z" à ! #1+ ρ(A) ∇ ¯ · N(A) dσ(A).¯AM¯¯Fr(B(M,r))Deoarece N(A) =−n(A) =− 1 · MA,seajungelarà !1∇ ¯ · N(A) =− 1¯AM¯¯¯¯AM¯¯2 ∇(¯¯AM¯¯) 1· N(A) = ¯¯AM¯¯2 = r−2 ,unde A ∈ Fr(B(M, r)).Atunci, cum ρ(A) =ρ(M)+o(1) când d(A, M) tinde la zero, deducem căZ" à ! #1ρ(A) ∇ ¯ · N(A) dσ(A)¯AM¯¯Fr(B(M,r))Z= [ρ(M)+o(1)] · r −2 dσ(A)= 4π[ρ(M)+o(1)]Fr(B(M,r))(cf. [68], p. 262).În concluzie, apelând la (2.40), putem scrie căZà !1∇ρ(A) · ∇ ¯ dλ(A)¯AM¯¯Gà !1= limρ(A)[∇ ¯ · N(A)]dσ(A)r&0 ¯AM¯¯ZFr(GÂB(M,r))Zà !1= ρ(A) · [∇ ¯ · N(A)]dσ(A)¯AM¯¯Fr(G)à !1+ lim ρ(A)[∇ ¯ · N(A)]dσ(A)r&0 ¯AM¯¯ZFr(B(M,r))

88 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL=ZFr(G)à !1ρ(A) · [∇ ¯ · N(A)]dσ(A)+4π · ρ(M).¯AM¯¯Justificarea afirmaţiei 2) s-a încheiat.Egalitatea ∆f 1 (M) =−4π · ρ(M), undeM ∈ G 0 ,poartădenumireadeecuaţia lui Poisson (1813) (cf. [68], p. 358, [34], p. 381).2.1.15 O formulă asimptotică pentruf 1 (M)Rezultatul conţinut în această subsecţiune apeleazălateoriapolinoamelorLegendre (1785). Conform [23], p. 255-257, polinomul Legendre de ordinuln, notatP n (x), esteunica soluţie a ecuaţiei diferenţiale ordinare(1 − x 2 )y 00 − 2xy 0 + n(n +1)y =0, |x| < 1care verifică relaţia limx→1y(x) =1.Polinoamele {P n (x) :n > 0} admit următoarea reprezentare, cunoscutăsub numele de formula lui Rodrigues (1814)P 0 (x) =1 P n (x) = 12 n · n! · d n £¡x 2 − 1 ¢ n¤,n> 1dx n(cf. [67], p. 256-258, [78], p. 395-396).Areloc,deasemeni,egalitatea1√ = X ∞P n (x) · h n , |x| 6 1, |h| < 1,1 − 2xh + h2n=0convergenţa seriei din membrul drept fiind uniformă şi absolută (cf. [23],propoziţia 3.3, p. 257-258, [78], p. 397-398, [72], p. 283-285, [66], p. 513-514).Fie M ∈ E 3 ÂG. Ridicând la pătrat relaţia AM = OM − OA, avem¯¯AM¯¯2 = ¯¯OM¯¯2 + ¯¯OA¯¯2 − 2 ¯¯OM¯¯ · ¯¯OA¯¯ cos(OM, OA).De aici rezultă că⎛¯Ã ! ⎞1 1¯ = ¯¯AM¯¯ ¯OM¯¯ ·¯OA¯¯¯¯OA¯¯ 2⎝1 − 2¯¯OM¯¯ · cos(OM, OA)+ ¯ ⎠¯OM¯¯− 1 2=1¯¯OM¯¯ ·∞XP n (cos θ) ·n=0à ! ¯¯OA¯¯ n¯ , A ∈ G,¯OM¯¯

2.1. CINEMATICA 89¯unde θ = ](OM, OA), cândsup ¯OA¯¯ < ¯¯OM¯¯.A∈GPrin integrare termen cu termen (datorită tipului de convergenţă a seriei)ajungem laZ1f 1 (M) = ¯¯OM¯¯ · ρ(A)dλ(A)G+ ¯1 Z¯OM¯¯2 · ρ(A) ¯¯OA¯¯Ã !1cos θdλ(A)+O ¯G¯OM¯¯3Z1= ¯¯OM¯¯ · ρ(A)dλ(A)G+ ¯1 Z à ! à !¯OM¯¯2 ·OM1ρ(A) OA · ¯ dλ(A)+O¯OM¯¯¯G¯OM¯¯3m= ¯¯OM¯¯ + ¯m ·OM · 1 Z¸ρ(A)OAdλ(A)¯OM¯¯3 m Gà !1+O ¯ .¯OM¯¯3Invarianţa la izometrii (aplicaţii izometrice) a măsurii Lebesgue arată cămărimeaZm = ρ(A)dλ(A) (2.69)Geste independentă de alegerea reperului R. Într-adevăr, deoarece bazele dinT R 3 luate în considerare sunt ortonormate, matricea schimbării de bază vafiortogonală, putând fi astfel ”privită” drept matricea de reprezentare a unuioperator izometric (cf. [68], p. 268, [34], p. 39-41). Aşadar, mărimea mconstituie, conform calculului tensorial, o mărime scalară în SF (cf. [66], p.242).Fie N ∈ E 3 dat deZm · ON = ρ(A)OAdλ(A).Atunci, cumm · ON =ZGGρ(A)(ON + NA)dλ(A)

90 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALZ= m · ON + ρ(A)NAdλ(A),Gdeducem căZGρ(A)NAdλ(A) =0.Schimbând originea reperului R în punctul N, obţinemà !f 1 (M) = ¯m¯NM¯¯ + O 1¯¯NM¯¯3(2.70)pentru orice punct M aflat suficient de departe de G.Formula (2.70) reprezintă alura la distanţe mari a potenţialului newtonianf 1 (M) (modulo o constantă multiplicativă) al unui corp (mediu) materialocupând în SF domeniul G. Aici, mărimea m desemnează masa corpuluimaterial iar funcţia ρ(A) (numită densitate sau masă specifică) este stabilităprin consideraţii de natură experimentală (cf. [34], p. 378, 384-386, [76],p. 559-560, [56], p. 103-104). Punctul N constituie centrul de masă alcorpului material (cf. [56], p. 18, [34], p. 285, [76], p. 148). Este întâlnităşi denumirea de centru de inerţie (cf. [41], p. 29). Asupra acestor chestiunivom reveni ulterior.2.1.16 Viteza areolară a punctului materialLegea ariilor, care este valabilăîncazulmişcării punctului material M subacţiunea forţelor centrale (cf. [54], p. 17, [56], p. 129-130, [34], p. 229-232),dă naştere mărimii numită viteză areolară a punctului material (cf. [32], p.162, [41], p. 47, [76], p. 288, [63], p. 145-146, [14], p. 87-88, etc.).Mulţimea segmentelor OM(t), t ∈ I, reprezintăînSF osuprafaţă conică(adică, o suprafaţă riglată, desfăşurabilă, alecărei generatoare OM trec prinoriginea O a sistemului de referinţă R; cf. [48], p. 41). Considerând traiectoriaΓ a punctului material M parametrizată natural cu ajutorul coordonateicurbilinii s introdusă prin(2.4),suprafaţa conică va admite parametrizarealocală datădeformula(cf.[15],vol.I,p.52-53,[48],p.41).OP = k · r(s) =σ(k, s)

2.1. CINEMATICA 91Aria suprafeţei ”măturate” de segmentul OM atunci când punctul materialM aparcursunarcdecurbă de lungime s pe traiectoria Γ este, conform(2.50),ZZA(s) =∂σ ∂σ¯ (k, q) ×∂k ∂q (k, q)¯¯¯¯ dkdq,U(s)unde U(s) =[0, 1] × [0,s]. Astfel,cumputem scrie că∂σ ∂σ(k, s) ×∂k ∂sA(s) =⎛⎝= 1 2Z 10Z s0dr(k, s) = r(s) × k ·· ds= k r(s) × drds⎞⎛kdk⎠ · ⎝Z s0¸,⎞¯dr¯r(q) × dq ¯ dq ⎠¯dr¯r(q) × dq ¯ dq, s > 0.Apoi, prin derivare în raport cu timpul t, obţinem·A = dAds · ·s= 1 ¯2 ¯r × drds¯ · ·s= 1 µ ¯ dr2 ¯r × ds· ·s¯¯¯¯= 1 |r × v| .2Introducând vectorul −→ Ω ∈ T O R 3 , unde −→ Ω ∈ Ω, Ω def= 1 r ×v, numitviteză2areolară a punctului material M, arelocrelaţia¯¯−→ Ω ¯ = dAdt(cf. [32], p. 162, [34], p. 234).Vectorul Ω se numeşte vector-viteză areolară al punctului material M.Să descompunem vectorii r, v după douădirecţii ortogonale, dintre careuna coliniară cuk. Astfel,dacăr =(r · k)k + r ⊥ = r 0 k + r ⊥ v =(v · k)k + v ⊥ = v 0 k + v ⊥ ,

92 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALdeducem căΩ · k = 1 2 (r 0k × v ⊥ + r ⊥ × v 0 k + r ⊥ × v ⊥ ) · k= 1 2 (r ⊥ × v ⊥ ) · k = 1 2 (r ⊥, v ⊥ , k).Am folosit distributivitatea faţă deadunareavectorilora produsului vectorial(cf. [34], p. 29). Prin derivare în raport cu timpul t, avem r= · ·r 0 k+ r ·⊥ .Cum ·r 0 = d (r · k) =·r ·k = v · k = vdt 0 ,seajungela r ·⊥ = v ⊥ . Aplicând metodatransformării Prűfer mărimii r ⊥ ,obţinem căΩ · k = 1 2 r2 1·θ 1 , (2.71)unde r ⊥ = r 1 (cos θ 1 · i +sinθ 1 · j), relaţie la care vom apela ulterior (cf. [76],p. 402).2.1.17 ComentariiÎn încheierea discuţiei privind elementele de cinematică a punctului material,să trecem în revistă câteva chestiuni semnificative pentru mecanicateoretică asa.1) (cf. [32], p. 23) În general, mişcarea punctului material M se descompune(prin descompunerea vectorilor) în trei mişcări rectilinii ale proiecţiiloracestuia pe trei axe ortogonale de coordonate (MacLaurin, 1742). În fiecaremoment, viteza şi acceleraţia punctului material M se compun (vectorial)din vitezele şi acceleraţiile acestor proiecţii (H. Resal, 1862).2) Presupunem că punctul material M se deplasează pe curba netedăorientată Γ în intervalul de timp I. Atunci,pentrut 0 ∈ I are loc formular(t 0 + ∆t) =r(t 0 )+∆t · v(t 0 )+o(|∆t|).Când ∆t este suficient de mic (infinitezimal), putem scrie căr(t 0 + ∆t) =r(t 0 )+∆t · v(t 0 ). (2.72)Ecuaţia (2.72) aparţine tangentei în punctul M(t 0 ) la traiectoria Γ. Înconcluzie, ”infinit” de aproape de M(t 0 ), mişcarea punctului material Mpoate fi aproximată cuomişcarerectilinie(înliniedreaptă) uniformă desfăşuratăpetangentaînM(t 0 ) la curba Γ (cf. [76], p. 285).

2.1. CINEMATICA 933) Fie A ∈ E 3 considerat fix înraportcusistemuldereferinţă R şi−→ v A (t) ∈ T A R 3 , unde −→ v A (t) ∈ v. Notăm cu γ hodograful vectorului-vitezăv al punctului material M (R. Hamilton, 1846) dat cu ajutorul vectorilor−→ v A (t), unde t ∈ I. Atunci, vectorul director −→ η N al tangentei în punctulN(t) la γ verifică relaţia−→ η N ∈ a(t), t ∈ I.Cu alte cuvinte, acceleraţia punctului material M pe traiectoria Γ esteechipolentă cu viteza extremităţii vectorului −→ v A pe hodograful γ (cf. [32], p.23, [76], p. 285).4) Supraacceleraţia punctului material M în mişcarea pe curba simplăbiregulară spaţială Γ este nenulă. Maiprecis,·a= (···vv − v3) · τ +(3vR2 R− v2R 2 ·R) · ν + v3R T · β(cf. [76], p. 292).5) Presupunând că punctul material M se deplaseazăpesuprafaţa netedăsimplă S, putem stabili cu ajutorul formulelor Darboux-Ribaucour relaţiilede mai jos ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩·τ= ω × τunde ω = v( dθ + T ) · τ − v cos θds Rnotmărimile T g = dθnot= sin θ·m= ω × m·n= ω × n,· m + v sin θRnot= cos θR· n (cf. [34], p. 175-176). Aici,reprezintă torsiunea şi curbura+T, K ds g , K R ngeodezice, respectiv curbura normală (cf. [48], p. 64-65, 88-89, [57], p. 177).6) Să considerăm suprafaţa netedă S având parametrizarea locală γ :U → E 3 dată de (2.42). Introducem vectorul p ∈ T M(q 1 ,q 2 )S prin formulap(q 1 ,q 2 )=p 1 (q 1 ,q 2 ) · ∂σ∂q 1 (q1 ,q 2 )+p 2 (q 1 ,q 2 ) · ∂σ∂q 2 (q1 ,q 2 ),unde p 1 , p 2 ∈ C ∞ (U, R), (q 1 ,q 2 ) ∈ U. Atunci, prin liniarizare, urmândexpunerea făcută în [76], p. 962-964, putem scrie că(pi (q 1 + ∆q 1 ,q 2 + ∆q 2 )=p i (q 1 ,q 2 )+ ∂p i∂q j (q 1 ,q 2 ) · ∆q j∂σ∂q i (q 1 + ∆q 1 ,q 2 + ∆q 2 )= ∂σ∂q i (q 1 ,q 2 )+∆q j ·∂ 2 σ(q 1 ,q 2 ),∂q i ∂q j

94 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALunde i =1, 2. Am utilizat convenţia de sumare a indicelui ”mut”. Neglijândtermeniideordinulaldoileaîn∆q 1 , ∆q 2 ,obţinemp(q 1 + ∆q 1 ,q 2 + ∆q 2 )=p(q 1 ,q 2 )+(p i ·∂ 2 σ∂q i ∂q j + ∂p i∂q j · ∂σ∂q i ) · ∆qj .În continuare, conform formulei lui Gauss (2.51), avem că∆p = [(p i Γ k ij · ∂σ∂q k + p ih ij · n)+ ∂p k∂q j · ∂σ∂q k ] · ∆qj= (p i Γ k ij + ∂p k∂q j )∆qj · ∂σ∂q k + p ih ij ∆q j · n.Cum ∆p k = ∂p k∂q j ∆q j , ajungem, trecând la mărimi infinitezimale, la relaţiaδp =(p i Γ k ijδq j + δp k ) · ∂σ∂q k (q1 ,q 2 )+p i h ij δq j · n(q 1 ,q 2 ). (2.73)Fiind dat drumul neted ζ : I → E 3 , situat pe suprafaţa S, introdusprinformula (2.46), egalitatea (2.56) arată căexpresiadiferenţială anterioară esteexactă pentru p = σ 0 (q).Să considerăm q 0

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 95există unizomorfism liniar între spaţiile T M1 S, T M2 S care păstrează valoareaprodusului scalar (2.49) al vectorilor şi care nu depinde decât de curba Γ.Acesta se numeşte paralelism Levi-Cività (transport paralel) (cf. [57], p. 174,[76], p. 964).Curba Γ este considerată autoparalelă în sens Levi-Cività dacă pentruorice M ∈ Γ există o parametrizare locală asacareîlconţine pe M astfelîncât vectorii tangenţi la porţiunea de curbă dată de parametrizarea localărespectivă să-şi autocorespundă în transportul paralel (cf. [57], p. 176, [76],p. 965).Conform ecuaţiei (2.57), drumul neted ζ : I → E 3 situat pe suprafaţa Seste geodezic dacă şi numai dacă este autoparalel în sens Levi-Cività.Cu ajutorul relaţiei (2.73) se dăojustificare intuitivănoţiunii de transportparalel. Astfel, în SF, vectorul −→ u ∈ T O R 3 , unde −→ u ∈ u, poatefi transportatprin echipolenţă în orice punct A: −→ u A ∈ T A R 3 , −→ u A ∈ u. Vectorii −→ u , −→ u Afiind paraleli (geometric), δu =0. Atunci, considerând vectorul −→ p ∈ T M R 3 ,unde −→ p ∈ p şi p ∈ T M S, spunem că −→ p este transportat paralel de-a lunguldrumului neted ζ : I → E 3 din punctul M(q 0 ) până în punctul M(q 1 ) dacăvectorul-proiecţiepeplanulT M(q) S al lui δp este nul pentru orice q ∈ [q 0 ,q 1 ].2.2 Statica şi dinamicaConsideraţiile făcute până acum, neimplicând masa punctului material,s-au limitat la menţionarea anumitor aspecte de algebră liniară, geometriediferenţială a curbelor şi suprafeţelor, analiză realăşi teoria integraleiLebesgue, etc. Nu trebuie însă trasă concluzia, de aici, că mecanica teoreticăar reprezenta o înşiruire de procedee matematice (cf. [34], p. 215-216), fărălegăturăcuviaţa de zi cu zi. În schimb, mecanica teoreticăurmăreşte ”reproducerea”în cadrul unui model matematic a fenomenelor de mişcare mecanicăsau de echilibru ale corpurilor materiale, dând astfel posibilitatea descrierii şiprevederii unor asemenea fenomene (cf. [34], p. 211). Fireşte, aceste ”reproduceri”se realizează în mod aproximativ, simplificat, prin ”schematizarea”fenomenelor studiate (cf. [32], p. 11). Ca exemplu de model matematic(teoretic) am întâlnit deja punctul material (particula), noţiune prin careeste desemnat un corp material ale cărui dimensiuni şi rotaţii instantaneeproprii sunt neglijabile în problema dată (cf. [32], p. 18, [34], p. 220-221,[76], p. 3). De asemeni, prin punct material înţelegem şi cea mai ”mică”diviziune dintr-un corp material care are proprietăţile fizice ale acestuia (cf.

96 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL[63], p. 18), ceea ce este în acord cu caracterul de mărime aditivă al maseicorpurilor materiale (cf. [56], p. 15). Vezi (2.69).Rolul de bază în cele ce urmează îljoacănoţiunea de forţă. Aceastaare la origine senzaţia de efort care apare atunci când ridicăm sau ţinem ogreutate, când tragem sau împingem un corp pe o suprafaţă (cf. [32], p. 43).Cum putem preciza direcţia şi sensul în care realizăm acest efort, ca şi locul(punctul) în care ”apăsăm” ori de care ”tragem”, este normal ca forţa să fieabstractizată sub forma unui vector (cf. [32], p. 43, [34], p. 6, 221). Astfel,spunem că asupra punctului material M acţionează forţa −→ F dacă precizămvectorul −→ F ∈ T M R 3 (cf. [34], p. 8). Utilizarea unui alt model matematic alcorpurilor materiale va afecta, în general, definiţia forţei. În cazul corpurilorsolide rigide, de exemplu, forţele sunt reprezentate prin vectori alunecători(cf. [34], p. 8).Statica şi dinamica constituie părţi ale mecanicii teoretice (structurată,din punct de vedere metodologic şi istoric, în statică, cinematicăşi dinamică;cf. [76], p. 4, [34], p. 218) cu o evoluţie diferită. Statica s-a dezvoltat încădinantichitate 14 în legătură cu probleme specifice construcţiilor, care necesitau,mai ales, studiul echilibrului diferitelor corpuri materiale. Spre deosebirede statică, dinamica este o ştiinţă relativ ”tânără”, ale cărei principii suntformulate satisfăcător abia în secolele XVII-XVIII (cf. [76], p. 109, [34], p.211). D’Alembert consideră pentru prima oară statica drept un caz particularal dinamicii (cf. [34], p. 211). În 1743, el formulează metoda cinetostaticăde rezolvare a problemelor de dinamică (cf. [34], p. 217, [76], p. 13, [63], p.497-498).Statica studiază transformarea sistemelor de forţe aplicate corpurilor materialeîn sisteme echivalente şi condiţiile de echilibru ale acestor corpuri subacţiunea sistemelor de forţe date (cf. [34], p. 218, [76], p. 4, [63], p. 15).Dinamica 15 studiază mişcarea corpurilor materiale bazându-se pe rezultatelecinematicii şi ţinând seama de forţele care acţionează asupra lor, precumşi de masa lor (cf. [34], p. 219, [76], p. 5, [63], p. 15).14 Cf. [12], p. 26, ”pentru filozofia antică, staticul, imobilitatea, obţinuse un accent deîntâietate faţă de tot ce este dinamic, mişcător, în sensul că aceste categorii din urmă suntsocotite ca derivate, ca atribute ale neexistenţei sau ale semiexistenţei.” Zenon eleatul”demonstrează” că mişcărea este o contradicţie, o imposibilitate (vezi op. cit., p. 111).15 dýnamis, adică putere (Platon), potenţialitate (Aristotel), cf.[58], p. 69.

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 972.2.1 Principiile dinamiciiMecanica clasică este constituită pebazaatreiprincipii fundamentale,numite lex (legi), descrise de I. Newton în 1687 în lucrarea ”Principiilematematice ale filozofiei naturale” (cf. [32], p. 41, [34], p. 214, [63], p.19).Principiul inerţiei (lex prima). Un punct material îşi păstrează stareade repaus sau de mişcarerectilinieuniformă atâta timp cât nu intervine vreoforţă caresă-i modifice această stare.Acest principiu a fost dat iniţial, într-o formulare asemănătoare, de Galilei(1632) (cf. [76], p. 12, [32], p. 41, [34], p. 213, [63], p. 15-16). El combateteoria aristoteliană conform căreia un corp se opreşte atunci când forţeleaplicate asupra lui îşi încetează acţiunea (cf. [63], p. 14).Principiul inerţiei nu poate fi verificat ”în practică” deoarece corpurilemateriale nu pot fi sustrase complet acţiunii altor corpuri materiale 16 .Experienţa aratăcăuncorpmaterialseopuneacţiunilor exterioare menitesă-i schimbe starea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă descrisă deprincipiul inerţiei. Astfel, un automobil care se deplasează peşosea cu vitezămare (constantă) are tendinţa deaderapalaviraje,adicădea-şi menţinetraiectoria dreaptă (cf. [32], p. 42). Această opoziţie la schimbarea stării demişcare/repaus reprezintă inerţia corpurilor materiale.Într-o formulare mai cuprinzătoare a principiului inerţiei, putem spune căparticulele suficient de depărtate unele de altele (izolate între ele) se mişcăunele faţă de altele rectiliniu uniform 17 (cf. [32], p. 42).Principiul fundamental al dinamicii (lex secunda). Acceleraţiaunui punct material este proporţională cuforţa motoare aplicată şi este îndreptatăîndirecţia după careacţionează forţa. Newton a introdus masa m apunctului material M pentru a exprima această proporţionalitate între forţăşi acceleraţie:−→ F = m · −→ a (2.74)(cf. [76], p. 9).Principiul acţiunii şi reacţiunii (lex tertia). Oricărei acţiuni îicorespunde întotdeauna o reacţiune egală şi contrară; sau, acţiunile reciproceadouă puncte materiale sunt întotdeauna egale şi îndreptate în sens contrar16 Ointeresantă analiză a acestei chestiuni poate fi citită în [12], p. 83.17 Un punct material, deplasându-se pe o hiperbolăsubacţiunea forţei newtoniene (2.76),se va mişca rectiliniu uniform la infinit faţă de originea sistemului de referinţă -focarultraiectoriei sale. Vezi [60], exerciţiul 8.2, p. 14.

98 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL(cf. [76], p. 10). Cu alte cuvinte, fiind date punctele materiale M 1 , M 2aflate suficient de departe de alte puncte materiale pentru ca acestea să nule influenţeze mişcarea, dacă M 1 acţionează asupraluiM 2 cu forţa −→ F 12 ∈T M2 R 3 ,atuncişi M 2 acţionează asupra lui M 1 cu forţa −→ F 21 ∈ T M1 R 3 astfelîncât vectorii F 12 , F 21 sunt coliniari cu M 1 M 2 şi F 12 + F 21 =0(cf. [34], p.223-224). −→ F 12 este acţiunea, respectiv −→ F 21 este reacţiunea.Se cuvine subliniat faptul că avem de a face cu o interacţiune, forţele−→ F 12 , −→ F 21 fiind aplicate simultan,şi nu cu un proces cauză-efect (cf. [32], p.46).Extensia d’Alembert a legii lui Newton (2.74) (cf. [73], p. 494)(ma − F )δr =0împreună cu folosirea sistematică alucrului mecanic permit renunţarea laprincipiul acţiunii şi reacţiunii (cf. [56], p. 86, 113) în anumite situaţii (deexemplu, în absenţa frecării, cf. [76], p. 763, [41], p. 20). Nu vom urmaaceastă cale aici.Trebuie menţionat faptul că Newtonnumeşte reacţiunea −→ F 21 cu care M 2se ”împotriveşte” acţiunii lui M 1 forţă deinerţie (cf. [32], p. 201).În comentariul făcut de Newton principiului fundamental al dinamicii,comentariu denumit Corolarul I (cf. [76], p. 10, [63], p. 19), este precizatămodalitatea de compunere aforţelor care acţionează asupra unui punct material,şi anume regula paralelogramului. Aceasta era cunoscută înstaticăîncă din antichitate (Heron), dar o formulare precisă asaafostdatăabiadeStevin (1586) (cf. [32], p. 43, [76], p. 12, 109, [34], p. 215).Principiul paralelogramului (independenţei acţiunii forţelor). Unpunct material aflat sub acţiunea simultană a două forţe descrie (pornind dinrepaus) diagonala unui paralelogram având ca laturi aceste forţe, în acelaşitimp în care ar descrie separat fiecare latură subacţiunea forţei corespunzătoare.Astfel,à !X −→ XF h = m ·−→ a h .hhPrincipiul condiţiilor iniţiale (enunţat de Galilei, cf. [34], p. 213,224). Dacă două puncte materiale se găsesc suficient de departe de orice altepuncte materiale, forţele cu care ele interacţionează sunt bine determinatela momentul t, înmărime, direcţie şi sens, dacă se cunosc la acel momentpoziţiile relative ale celor două puncte materiale şi vitezele lor relative. În

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 99acest fel este combătută concepţia scolastică potrivit căreia mişcarea unuicorp poate fi determinată doar prin cunoaşterea poziţiei lui iniţiale (cf. [34],p. 213).În teoria sa, Newton consideră masa drept măsură acantităţii de materieconţinutăîncorpulmaterialşi element caracteristic al existenţei acestuia (cf.[32], p. 43, [76], p. 8, [63], p. 13). Aşa cum apare în (2.74), masa m apunctului material M reprezintă omăsură ainerţiei lui M, adică a graduluide opunere a punctului material la acţiunile exterioare menite să-i schimbestarea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă (cf. [34], p. 223). Întradevăr,cu cât masa unui corp este mai mare, cu atât acceleraţia corpului,produsă deoforţă dată, este mai mică. Practic, dacă seaflă laînceputînrepaus, corpul este tot mai greu de urnit concomitent cu mărirea masei lui.Ca măsură ainerţiei corpurilor, masa m poartă denumirea de masă inertă(inerţială), m = m i .În mecanicile avansate, spre deosebire de mecanica newtoniană, masacorpurilor nu mai este independentă de timp. Astfel, în mecanica relativistăavemm 0m = q , m 0 = masă de repaus,1 − v2c 2în mecanica invariantivă (O. Onicescu)m =m 0q1 − ε · v2ω 2 , ε ∈ {±1} ,unde ω poate fi considerat c (viteza luminii în vid), etc (cf. [32], p. 44,[56], p. 323). Când v ¿ c, adică v w 0, obţinem m w m c 0. Deci masa meste constantă (cf. [32], p. 49). Viteza c este aproximativ 3 · 10 8 m/s, faptdescoperitdeRőmer în 1676 pe baza observaţiilor astronomice asupra unuiadintre sateliţii lui Jupiter (cf. [43], p. 52).Oaltă manifestare a materiei în mecanica clasică este dată deproprietateacorpurilor materiale de a atrage corpurile din jur, adică deacreacâmp gravitaţional (cf. [63], p. 17, [32], p. 45-46, 173, [76], p. 508). Astfel,−→ −→ F = m · Γ , (2.75)unde −→ Γ reprezintă intensitatea câmpului gravitaţional generat de corpulpunctiform M. Legea atracţiei universale, descoperită deNewtonîn1687 (cf. [32], p. 163, 182, [54], p. 10) afirmă că două corpuri punctiforme se

100 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALatrag între ele cu o forţă directproporţională cu produsul maselor lor (gravitaţionale)şi invers proporţională cupătratul distanţei dintre ele. Aşadar 18 ,F = −γ · m1m 2· M1M 2, (2.76)r 2 runde γ =6, 67 · 10 −11 N · m 2 /kg 2 desemnează constanta atracţiei universale(H. Cavendish, 1798) (cf. [34], p. 358, [32], p. 163-165, [43], p. 45).Coeficientul de proporţionalitate m din (2.75) poartă denumireademasăgravifică (grea, gravitaţională, sarcină gravifică) (cf. [32], p. 46, [76], p.508), m = m g .În mecanica newtonianăseadmiteegalitatea masei inerţiale cu masa gravifică.Experienţa făcută deEőtvős arată cu o precizie de 10 −7 (cf. [54], p.10) că cele două masesuntproporţionale, raportul lor nedepinzând de formacorpului ori de materialul din care acesta este confecţionat (natura sa) (cf.[32], p. 183). În concluzie, inerţia şi gravitaţia (calitatea materiei de a creacâmp gravitaţional) sunt proprietăţi ale unei mase unice:m i≡ 1.m gAstfel, intensitatea −→ Γ va căpăta semnificaţia unei acceleraţii, notate −→ g ,numită acceleraţie gravitaţională (cf. [32], p. 29, 173). În vid, experimentelearată că toate corpurile cad cu aceeaşi acceleraţie g, independentă de masa,natura, dimensiunile ori forma lor (cf. [32], p. 29-30, 45). Vectorul −→ g are localdirecţia verticală (perpendiculara pe podeaua camerei) şi sens descendent(cf. [34], p. 242). Utilizând modelul sferic al Pământului, dreapta-suportalui −→ g trece prin centrul acestuia (cf. [32], p. 29, 183, 205). În realitate,”verticala” locului, determinată cuajutorulfirului cu plumb, suferăodeviaţieα (vezi Figura 2.11) ce se datorează mişcării de rotaţie a Pământului înjurul axei polilor şi care îşi atinge valoarea maximă (α max w 6 0 )peparalelaλ =45 ◦ (cf. [32], p. 205-206, [76], p. 148, 507-508, [34], p. 434-436).Acceleraţia gravitaţională g variază cu latitudinea şi altitudinea. La ecuator,g =9, 7805 m/s 2 iar la paralela 45 ◦ g =9, 80616 m/s 2 (cf. [32], p. 30).Oformulă de calcul aproximativă, cu valabilitate la nivelul mării, esteµg = g 0 · 1+ 1 288 · sin2 λ ,18 Conceptul lui Newton de ”acţiune la distanţă”aforţeiestedenaturămetafizică: ”Şinu încape vorbă că acest concept închidea în sine reziduuri paradoxale de gândire magică”,cf. [12], p. 109.

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 101unde λ defineşte latitudinea locului, iar g 0 desemnează acceleraţia gravitaţionalăla ecuator (cf. [34], p. 436, [76], p. 508-509). Ea va fi stabilităulterior.Figura 2.11Egalitatea masei gravifice cu masa inerţială permite determinarea maseiunui corp prin cântărire (cf. [32], p. 45, [54], p. 10).Greutatea unui corp reprezintă forţa cu care acesta este atras de Pământ,−→ G = m·−→ g . Static, greutatea se manifestă prinforţa cu care corpul apasă peun plan orizontal sau întinde firul de suspensie. Dinamic, greutatea producecăderea corpului lăsat liber. Aşacumamspusdeja,mărimea sa G, determinatăprinmăsurători fizice (greutate aparentă), reflectă mişcarea de rotaţieaPământului în jurul axei polilor.Prin introducerea relaţiilor (2.74), (2.76) este combătută definitiv teoriaaristoteliană aforţei tangentă la traiectorie (cf. [76], p. 431).2.2.2 Ecuaţiile diferenţiale ale lui NewtonRelaţia (2.74) arată că un punct material M 1 ,acţionând asupra altuipunct material M 2 ,îiimprimă acestuia din urmă oanumită acceleraţie −→ a 12 .Cu alte cuvinte, interacţiunea corpurilor se produce prin inducerea de acceleraţii,independent de natura fizică a respectivelor interacţiuni. Spunem căforţa, aşa cum apare ea în (2.74), dă unmodel al interacţiunii corpurilor (cf.[32],p.44).Relaţia (2.74) se mai numeşte şi definiţia dinamică aforţei.Ceea ce nu putem preciza în relaţia (2.74) este natura forţei: gravitaţională,electromagnetică, elastică, etc. Faptul că relaţia (2.74) caracterizeazăîn egală măsură toate forţele care intervin în viaţa de zi cu zi, indiferent despecificul lor, arată că ea reprezintă olege a naturii (cf. [32], p. 44). Pede altă parteînsă, necunoaşterea naturii forţei se reflectă prin aceea că nu

102 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALputem afirma nimic, de exemplu, despre traiectoria punctului material supusei.Fie punctul material M, demasă m, caracterizat la momentul iniţial almişcării sale faţă de sistemul de referinţă R de raza vectoare r 0 şi de vectorulvitezăv 0 . Presupunem că asuprasaacţionează forţa −→ F , undeAtunci, conform (2.74), avemF = − k · r, λ,k >0, λ 6= 2.λrm· ··r= − k r λ · r,de undeşiAşadar,ddtµ 12µ d 1dt 2 v2··r · r= ·− k m · 1r · λ³r· r· ´·r 2 = − k m · 1r · d µ 1 λ dt 2 r2 .= − k m · 1r · d µ 1 λ dt 2 r2= − k2m · ¡r 2¢ − λ2= k m · ddt· d ¡ ¢r2dtµ 1λ − 2 · r2−λ .Integrând în raport cu timpul t, obţinem că12 v2 − k m ·1λ − 2 r2−λ = 1 2 v2 0 − k m · 1λ − 2 r2−λ 0= constant, t > t 0 .Relaţia de mai sus, care leagă viteza punctului material M de distanţadintre acesta şi originea reperului R, este extrem de particulară. Dându-i luiλ valori din (0, 2) respectiv (2, +∞) ajungem la rezultate de natură diferită.În acest mod a devenit evident, pe de o parte, că estenevoiedecunoaştereaformulei forţei în (2.74) pentru rezolvarea anumitor probleme de dinamică.

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 103Pe de altă parte,relaţia (2.74) poate fi privită dreptscrierea vectorială aunui sistem de ecuaţii diferenţiale.Într-adevăr, ţinând cont de principiul condiţiilor iniţiale, are sens introducereaproblemei Cauchy de mai jos⎧⎪⎨⎪⎩m· ··r= F (t, r, ·r), t> t 0r(t 0 )=r 0·r (t 0 )=v 0 .(2.77)Proiectarea pe axele reperului canonic R a sistemului (2.77) ne conduce laecuaţiile diferenţiale ale lui Newton. După C. Truesdell, aceste ecuaţii aparsub formă explicită abia în 1749, la L. Euler (cf. [34], p. 216). În ”Principiilematematice ale filozofiei naturale” nu se găsesc ecuaţii diferenţiale sub formăexplicită. Elesuntîntâlniteîn”Metodafluxiunilor şi a seriilor infinite” scrisădeI.Newtonînjurulanului1671şi tipărită în 1736. Termenul de ”ecuaţiediferenţială” a fost introdus de G. Leibniz într-o scrisoare către Newton din1676 (cf. [72], p. 498 şi nota de subsol, p. 499).Sistemul diferenţial⎧··⎪⎨ x= 1 F m x(t, x, y, z, ·x, ·y, ·z)··y=⎪⎩1 F m y(t, x, y, z, ·x, ·y, ·z)(2.78)··z= 1 F m z(t, x, y, z, ·x, ·y, ·z)cu datele Cauchy(x(t 0 )=x 0 y(t 0 )=y 0 z(t 0 )=z 0·x (t 0 )=v 0x·y (t 0 )=v 0y·z (t0 )=v 0zva avea soluţie unică înC ∞ ([t 0 , +∞), R) dacă impunem ca funcţiile F x , F y ,F z să fie declasă C ∞ în raport cu ansamblul variabilelor lor şi, simultan,lipschitziene 19 în raport cu x, y, z, ·x, ·y, ·z.19 Această cerinţă este generică. În multe situaţii din viaţa de zi cu zi o asemenearestricţie nu are loc şi este nevoie de tehnici speciale (de exemplu, utilizarea principiuluiinerţiei - V. Vâlcovici), cf. [76], p. 398-399. Teoreme de unicitate a soluţiei unei problemeCauchy în absenţa ipotezei Lipschitz pot fi citite în [31], p. 35, - teorema van Kampen - sauîn J. Bownds, A uniqueness theorem for non-lipschitzian systems of ordinary differentialequations, Funkcialaj Ekvacioj 13(1970), p. 61-65.

104 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALExistenţa în [t 0 , +∞) asoluţiei problemei (2.77), respectiv în (−∞, +∞)atunci când timpul t nu apare sub formă explicită în (2.77), este în acord cucaracterul perpetuu al mişcării mecanice (cf. [56], p. 62). Împreună, existenţaşi unicitatea soluţiei problemei (2.77) asigură determinismul mecaniciinewtoniene.Rezolvarea (integrarea) problemei ( 2.77) se realizează prin determinareaintegralelor primef i (t, x, y, z, ·x, ·y, ·z) =C i , i = 1, 6,astfel caD(f 1 , ..., f 6 )6= 0D(x, y, z, ·x, ·y, ·z)(cf. [6], p. 170-171, [72], p. 356-357, [56], p. 62-63).Din punctul de vedere al teoriei generale a ecuaţiilor diferenţiale ordinare,lucrurile sunt lămurite. Totuşi, nu orice integrală aproblemei(2.77)găsităeste mulţumitoare. Dat fiind că ecuaţiile care intervin, plecând de la (2.77),în problemele de dinamică sunt, în general, complicate, se caută integraleprime care să poată fi interpretate din punct de vedere fizic. Astfel, sunt deinteres acelea dintre integralele problemei (2.77) care, conţinând relaţii întrecoordonatele punctului material, componentele vitezei sale pe axele sistemuluide referinţăşi timp, traduc în limbaj matematic proprietăţi mecanice alemişcării numite legi de conservare (cf. [34], p. 227, [56], p. 64).2.2.3 Repere inerţiale. Principiul relativităţii în mecanicaclasicăPrincipiul inerţiei, esenţial în mecanica newtoniană, poate fi regăsit prinintegrarea succesivă arelaţiei (2.74):Astfel,m· ··r= 0,t> t 0 . (2.79)r = r 0 + v 0 · (t − t 0 ),ceea ce dovedeşte caracterul rectiliniu al mişcării punctului material (v 0 6=0)în absenţa oricărei forţe.Matematic, calculul anterior este suficient de simplu pentru a părea neinteresant.În mecanică, însă, lucrurile nu se petrec la fel. Să presupunem că

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 105ţinem în mâna dreaptă obilădefier. La un moment dat, prin desfacereadegetelor, lăsăm bila să cadă. Ce s-a întâmplat, de fapt? Dacă vomconsideracă degetele mâinii drepte alcătuiesc sistemul de referinţă R, atunci bilade fier este în repaus (faţă dereperulR) şi, făcând abstracţie de presiuneaaerului, asupra sa nu acţionează nicioforţă exterioară. Conform principiuluiinerţiei, bila ar trebui să steapelocsau,încelmairău caz (fără valabilitate,dar îngăduit de dragul contradicţiei), să semişte rectiliniu uniform. În realitate,mişcarea sa, deşi rectilinie, este accelerată, cu formula aproximativă(se neglijează rezistenţa aerului)s = 1 2 g(t − t 0) 2în baza legii de cădere liberă a corpurilor materiale (cf. [76], p. 294, [32], p.27, [17], p. 68-69).Există, aşadar, sisteme de referinţăîncareunpunctmaterialliber (adică,nesupus vreunei acţiuni exterioare), aflat la un moment dat în repaus, începesă semişte cu de la sine putere (cf. [41], p. 12). Într-un asemenea sistem dereferinţă principiulinerţiei nu mai este valabil. Modelul matematic adoptatde mecanica clasică nupoatefi utilizat în situaţia descrisă mai sus. Astfel,bila de fier aflată la nivelul mâinii drepte cade dacă estelăsată liberă. Înschimb, aceeaşi bilă, odată translatată până pesol,varămâne în repaus(faţă dereperulR). Ceea ce dovedeşte că spaţiul nu este omogen în cazulde faţă.Analiza făcută succint problemei cu bila de fier pare, la prima vedere,complet falsă. Am neglijat în tot acest timp, în mod vizibil, prezenţa câmpuluigravitaţional al Pământului. Putem comenta situaţia în două moduri.Mai întâi, în cazul Pământului, efectul gravitaţiei este cunoscut, uşor depistabilîn viaţa de zi cu zi. Ce se întâmplă însădacă, alegând o altă zonăaspaţiului fizic pentru experienţele noastre, ne vom afla înrazadeacţiunea unor câmpuri despre care nu ştim nimic şi care nu se dovedesc la felde facil depistabile? Apoi, putem spune că, prin introducerea unui modelmatematic al SF, în particular cel având reperul canonic R datdedegetelemâinii drepte, alegem să axiomatizăm, abstractizăm, schematizăm, etc. anumitefenomene fizice. Putem, în concluzie, asimila Pământul în structuraSF astfel încât el să nu”sevadă” de la nivelul degetelor. Înglobarea forţeigravitaţionale în structura spaţiului este specifică mecanicii relativiste aluiEinstein (cf. [76], p. 429, 432).Rămânând în cadrul mecanicii newtoniene, vom numi reper inerţial acel

106 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALsistem de referinţă R în care modelul matematic al SF descris în primulcapitol şi principiile mecanicii sunt aprioric valabile (cf. [34], p. 221, [32], p.42, [54], p. 11).Nu există, evident, reper cartezian care să poată fi privit ca un sistemde referinţă riguros inerţial. În marea majoritate a problemelor de mecanicăeste ales ca sistem de referinţă inerţial un triedru cu originea în centrul demasă al sistemului solar (confundat aproape cu Soarele, cf. [76], p. 525) şiaxele dirijate spre trei stele care ne apar fixe pe bolta cerească (cf. [34],p.429, [54], p. 11).Într-o primă aproximaţie, la problemele de zi cu zi, implicând corpuri demărime obişnuită ce se deplasează pedistanţe mici, putem folosi un repercartezian local, legat de Pământ (aflat în repaus faţă decameră) (cf. [14], p.7-8, [34], p. 433, [2], p. 4). Aşa cum afirmă profesorul C. Iacob, sensul maiprofund al discuţiilor duse de Galilei împotriva adversarilor săi, în legăturăcuvalabilitatea sistemului heliocentric al lui Copernic revine tocmai la discutareaproblemei dacă un reper legat de centrul Soarelui şicuaxelededirecţii fixepoate fi socotit ca un reper inerţial sau dacă, din contră, un reper cu origineaîn centrul Pământului şi cu axele de direcţii fixe ar avea această proprietate(cf. [34], p. 429).O chestiune subsidiară celei a existenţei reperului inerţial se cuvine adusăîn discuţie. Am menţionat anterior faptul că, în mecanica newtoniană, durateleevenimentelor şi lungimea obiectelor (distanţele) sunt independente demişcarea instrumentelor de măsură. Se poate pune, în mod logic, următoareaîntrebare. În ce fel afectează mişcarea unui reper cartezian, luat ca sistemde referinţă într-oanumităproblemă de mecanică, principiile fundamentalepe care trebuie să le utilizăm la rezolvarea problemei?În primul rând, conform [56], p. 84-85, ţinând seama de relaţiile deraportare (1.2), deducem invarianţa scrierii principiilor fundamentale alemecanicii newtoniene atât cu vectori liberi cât şi cu vectori legaţi faţă deaplicaţiile izometrice ale SF. Apoi, pe baza definiţiei dinamice a forţei,tragem concluzia că principiile fundamentale ale mecanicii newtoniene suntinvariante la mişcarea rectilinie uniformă (ω =0, v transp = v 0 ) a reperuluicartezian R 0 în care ele trebuie folosite faţă deunaltrepercartezianR,”absolut” fix. Într-adevăr, aplicând legea de compunere a acceleraţiilor înmişcarea relativă, putem scrie căa = a rel ,

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 107de undeF = m · a rel .Această invarianţă a principiilor fundamentale ale mecanicii newtonienepoartă denumireadeprincipiul relativităţii (Galilei, 1632; cf. [32], p. 50)în mecanica clasică. Profesorul O. Onicescu formulează principiul relativităţiiastfel: informaţiile pe care ni le dau legile mecanicii despre poziţia unuisistem material sunt insensibile la o translaţie rectilinie şi uniformă globalăa universului care cuprinde în acelaşi timp obiectele şi reperul (cf. [56], p.86).Cazul general (ω 6= 0)vafi dezvoltat ulterior.Relaţiile (vezi (2.25))½AM = OM − r0 − v 0 · t 0t 0 = t − t 0 ,care fac trecerea de la R la R 0 , se numesc transformările Galilei (cf. [32], p.48, [34], p. 226, [76], p. 503).Aşadar, principiile fundamentale ale mecanicii sunt invariante la transformărileGalilei iar reperele inerţiale (în ipoteza existenţei a măcar unuia)se mişcă unulfaţă decelălalt rectiliniu uniform (cf. [32], p. 49, 50).2.2.4 Impulsul punctului material. Teorema impulsuluicăDin (2.74), ţinând seama de independenţa masei m faţă detimp,rezultăF = m · a = m · dvdtd(m · v)= .dtVectorul −→ p ∈ T M R 3 , −→ p ∈ p, unde p = m · v, poartă denumirea deimpulsul punctului material M. O formulare echivalentă a principiului fundamentalal dinamicii este dată derelaţia−→ F =d −→ pdt . (2.80)Sub această formă (forţa aplicată unui corp punctiform reprezintă variaţiaimpulsului acestuia pe unitatea de timp; cf. [56], p. 59), principiulfundamental al dinamicii poate fi folosit în mecanici avansate, de exemplu,

108 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALîn mecanica relativistă (cf. [32], p. 225), unde masa nu mai reprezintă, îngeneral, o mărime constantă (cf. [54], p. 10). Noţiunea de impuls a fostintrodusă deLeonardodaVincişi Galilei sub numele de ”impetus” (cf. [76],p. 375). Newton foloseşte denumirea de ”cantitate de mişcare” (cf. [34], p.227, [54], p. 9). Căutând o măsură amişcării mecanice, Descartes (1644)introduce mărimea m · v (cf.[76],p.384,[32],p.59).Integrând (2.80), avem (ε > 0)Zt 0 +εt 0 −εFdt = ∆p. (2.81)Mărimea din membrul stâng al egalităţii anterioare, numită percuţie (percusiune,impuls) aforţei −→ F atunci când intervalul de timp ∆t pe care areloc integrarea este foarte ”mic” (cf. [32], p. 52, [76], p. 400, [54], p. 15),se notează cuH. Astfel, are loc teorema impulsului: impulsul (percuţia)forţei rezultante aplicate punctului material este egal cu variaţia impulsuluiacestuia (cf. [32], p. 53, [34], p. 616).Încazulpunctuluimaterialliber,principiulinerţiei arată căp = constant. (2.82)(cf. [54], p. 9).Formula (2.81) se utilizează în teoria ciocnirilor, acolo unde apar restricţiide netezime a parametrilor cinematici (cf. [32], p. 53, [54], p. 15, [34], p.616-617):H = limZε&0t 0 +εt 0 −εFdt= m · v(t 0 +0)− m · v(t 0 − 0).2.2.5 Momentul forţei. Momentul cinetic (orbital) alpunctului material. Teorema momentului cineticFormula care dă teorema momentului cinetic va fi obţinută îndouăetape. Mai întâi, pornind de la (2.74), putem scrier × ma = mÃr × d r· != m"Ãr × d · ! µ #r dr+dtdt dt × r·

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 109= m · ddt= d (r × p)dt³r× r· ´= d (r × mv)dtşid(r × p) =r × F. (2.83)dtApoi, pentru A ∈ E 3 ales arbitrar, avem, conform (2.25),r × p = OA × p + AM × p r × F = OA × F + AM × F.Pe baza formulei (2.83), prin derivarea în raport cu timpul t aprimeiadintre egalităţile precedente, deducem căd ¡ ¢AM × p + vA × p + OA× p= ·OA × F + AM × F,dtunde v A reprezintă vectorul-viteză al punctului (mobil) A.Folosind (2.80), ajungem lad ¡ ¢AM × p = AM × F − vA × p. (2.84)dtNoţiunea de moment al forţei −→ F pleacă delaurmătorul experiment uşorde imaginat. Să considerăm, ca în Figura 2.12, un corp solid rigid (bară,roată, piatră, etc) care se poate roti liber în jurul unei axe verticale. Se puneproblema măsurării rotaţiei acestui corp atunci când acţionăm cu o anumităforţă asuprasa(înpunctulM).Figura 2.12

110 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALVectorul −→ M O ∈ T O R 3 , −→ M O ∈ M O ,undeM O = OM × F ,poartădenumireade momentul forţei −→ F (aplicată înM) faţă depolulO. Distanţa de lapolul O la dreapta ∆ determinată de punctul M şi de vectorul (director) Fse numeşte braţul forţei −→ F (cf. [32], p. 54). Evident, ¯¯M O¯¯ = rF sin α = Fb,unde b desemnează braţul forţei.Fie A ∈ ∆ ales arbitrar. Atunci,M O =(OA + AM) × F = OA × F, (2.85)vectorii AM, F fiind coliniari. Cu alte cuvinte, aplicând forţa −→ F în punctulA se obţine acelaşi efect de rotaţie ca în cazul aplicării forţei în punctul M,fenomen verificabil în mod direct. Calculul anterior dovedeşte, pe de altăparte, necesitatea unor informaţii suplimentare (în afara mărimii F ) atuncicând ne referim la o forţă aplicatăasupraunuicorp(mulţime de puncte) (cf.[34], p. 26-27). La această chestiune vom reveni ulterior.Noţiunea de moment al forţei −→ F afostdată riguros de P. Varignon. Subdenumirea de ”momento”, ea apare la Leonardo da Vinci (cf. [76], p. 12).În mod analog, putem defini momentul oricărui vector legat. Astfel, momentulvectorului −→ p faţă depolulO, notat −→ L O ,senumeşte moment cinetic(unghiular) al punctului material M faţă depunctulO (cf. [54], p. 16).Se foloseşte şi apelativul moment cinetic orbital (extern), fiind vorba de omărime care caracterizează mişcarea corpului punctiform pe traiectorie (orbită)(cf. [32], p. 55).Integrând (2.83), avem (ε > 0)K Onot=Zt 0 +εM O dt = ∆L O , (2.86)t 0 −εunde L O = r ×p, −→ L O ∈ L O .Astfel,arelocteorema momentului cinetic:impulsul momentului faţă depolulO al forţei rezultante aplicate punctuluimaterial este egal cu variaţia momentului cinetic al acestuia faţă depunctulO (cf. [32], p. 55).În cazul punctului material liber putem scrie (F , M O =0)L O = constant.Ca şi anterior, atunci când apar restricţii de netezime a parametrilor

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 111cinematici, sunt valabile egalităţileK O = limZε&0t 0 +εt 0 −εM O dt= r(t 0 ) × p(t 0 +0)− r(t 0 ) × p(t 0 − 0)= ∆L O(cf. [34], p. 618).În cazul mişcării plane, aplicând metoda transformării Prűfer, obţinemcă−→ L O = mr 2 ·θ ·−→ k =2m −→ Ω (2.87)(cf. [32], p. 126, [34], p. 233-234, [63], p. 300).În cazul mişcării circulare uniforme (ε =0) avem, conform (2.74), F =−mR 0 ω 2 · ρ = −mω 2 r, ceea ce ne conduce la (M O =0)L O = constant.Formula (2.84) reprezintă ovariantă a teoremei momentului cinetic datăfaţă de un punct mobil:dL Adt= M A − v A × p(cf. [34], p. 229).2.2.6 Lucrul mecanic. PutereaÎn mod evident, forţele sunt responsabile pentru mişcarea corpurilor materiale(cf. [25], p. 7). O măsură a efectului de mişcare mecanică pecareîl are aplicarea forţei −→ F asupra punctului material M este dată demărimeainfinitezimalăF · dr, (2.88)numită lucru mecanic elementar al forţei −→ F relativ la deplasarea elementarăd −→ r (cf. [34], p. 235, [76], p. 376, [63], p. 292, [2], p. 213, etc) a punctuluimaterial. Folosim notaţia d −→ r pentru a desemna deplasarea infinitezimală apunctului material în locul celei generale, δ −→ r , cf. [56], p. 31, dat fiind că d

112 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALr, under = r(t), este o mărime integrabilă (în raport cu timpul t) (cf. [56],p. 55, 64, [76], p. 746).Mărimea (2.88), notată δW ,esteinfluenţată numai de componenta tangenţialăaforţei −→ F (L.Euler,cf. [32],p. 56,[76],p. 377). Într-adevăr,cum forţa se găseşte în planul osculator al mişcării (vezi (2.74)), avemF =F τ·τ+F ν·ν. Deasemeni,dr = v(t)dt = ·s τdt, astfelcăF · dr = F τ vdt.Această observaţie stă labazaprincipiului lucrului mecanic virtual dinmecanica analitică (cf. [76], p. 758-761). Asupra sa vom reveni ulterior.ExpresiaδW = F (t, r, v)drreprezintă o cantitate diferenţială (infinitezimală) generală, numită formăPfaff (pfaffian) (cf. [76], p. 404), care nu este întotdeauna exactă (integrabilă).Să justificăm această afirmaţie. Am spus deja că sistemul diferenţial(2.78) admite soluţie unică în[t 0 , +∞), deci că existămărimile neteder = r(t), v = v(t). Astfel, la prima vedere, mărimea δW = F (t, r, v)dr =F (t, r(t), v(t)) · v(t)dt este integrabilă.Însă, pe de altă parte, chiar în cazul ”simplu” al mişcării rectilinii subacţiunea forţei −→ F ,integrareaefectivă aecuaţiei diferenţiale··x= 1 m F (t, x, ·x) =f(t, x, ·x), t> t 0 ,nu se poate realiza. Ca să dăm un exemplu elocvent, ecuaţia diferenţialăliniară şi omogenă deordinulalII-leaeste echivalentă cuecuaţia Riccati··x +a(t) ·x +b(t)x =0,t> t 0 ,·u +u 2 + a(t)u + b(t) =0,t> t 0 ,conform [46], p. 30, pe baza schimbării de variabilă ·x /x = u. Numai căsoluţiile ecuaţiilor Riccati nu pot fi, în general, exprimate prin cvadraturide funcţii elementare (cf. [72], p. 52). Fireşte, în cazul funcţiilor a(t), b(t)analitice, există posibilitatea obţinerii unor soluţii aproximative prin metodadezvoltării în serie de puteri. Cunoaşterea, de asemeni, a unei integrale

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 113(soluţii) particulare,permitegăsirea soluţiilor (cf., de exemplu, [76], p. 857-858). Cele spuse mai sus justifică afirmaţia privind neintegrabilitatea defacto amărimii F · dr. Pentruascoateînevidenţă gradul de generalitate alacesteia, am ”forţat” notaţiile, apelând la δW în locul lui dW cum ar fi fostcorect d. p. d. v. matematic.În cazul când punctul material M se deplasează pecurbasimplă Γ întrepoziţiile M(t 0 ) şi M(t 1 ) sub acţiunea forţei −→ F , unde F reprezintă uncâmpde vectori în SF, lucrulmecanictotal corespunzător deplasării este dat deintegrala curbilinieM(tZ 1 )ZW = F · dr = F x dx + F y dy + F z dzM(t 0 )M(t 1 )M(t 0 )(cf. [34], p. 236, [76], p. 378). O asemenea forţă −→ F se numeşte forţă decâmp (cf. [32], p. 65). Evident, integrala curbilinie de mai sus depinde deorientarea curbei (sensul de parcurs pe curbă) (cf. [76], p. 379). În general,lucrul mecanic total va fi desemnat prinZ t 1W = F · vdt.t 0Mărimea P (t) introdusă deformula⎛P (t) = d ⎝dtZ tt 0⎞F · vdq⎠ = F · vse numeşte puterea dezvoltată deforţa −→ F la momentul t (cf. [32], p. 57, [63],p. 295). În mod analog, P =F τ v.Noţiunea de lucru mecanic (”travail”)esteintrodusăîn1835dePronyînlegătură cuforţa de greutate −→ G . Ulterior, G. Coriolis utilizează noţiunea delucru mecanic şi în cazul altor forţe (cf. [76], p. 557).

114 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL2.2.7 Energia cinetică a punctului material. Teoremaenergiei cineticePornind iarăşi de la (2.80), avemF · dr = d (mv) · drdt= d (mv) · vdtdt= d µ 1dt 2 mv2 dt= d( 1 2 mv2 ).De unde,MărimeaW =ZM(t 1 )M(t 0 )F · dr = ∆E c = 1 2 mv2µ 12 mv2 . (2.89)se numeşte energia cinetică a punctului material M. Astfel,arelocteorema(variaţiei) energiei cinetice: lucrul mecanic efectuat de forţa rezultantăaplicată punctului material între momentele t = t 0 şi t = t 1 este egal cuvariaţia energiei cinetice a punctului material între aceste momente (cf. [32],p. 58, [34], p. 235, [76], p. 404).Formula (2.89) poate fi scrisă subformaE c (t 0 )+W = E c (t 1 ), (2.90)egalitate care exprimă, în particular, faptul că energia cinetică acorpuluipunctiform este egală cu lucrul mecanic ”cheltuit” pentru a aduce particuladin repaus până la viteza v sau cu lucrul mecanic necesar pentru a opriparticula (cf. [32], p. 58-59).Noţiunea de energie cinetică aapărut ca urmare a încercărilor de a găsio măsură (scalară) a mişcării mecanice. Forma acestei măsuri era iniţialmv (Descartes), apoi mv 2 (”vis viva”, forţă vie) şi ulterior 1 2 mv2 . Numelede ”forţă vie”aparepentruprimaoară în 1695, la Leibniz. Titulatura de”energie cinetică”afostintrodusădupă1850deThomson,Rankineşi Umov.

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 115Forma actuală a energiei cinetice a fost dată de Rankine (cf. [76], p. 384,556, [34], p. 235, [32], p. 59).Din (2.90) reiese că lucrul mecanic W poate fi pozitiv (lucru mecanicmotor), negativ (lucru mecanic rezistent)saunul.2.2.8 Legi de conservare (I)Săconsiderăm douăpunctemateriale,demasem 1 , m 2 şi raze vectoare r 1 ,r 2 ,aflat suficient de departe de orice alte puncte materiale ca acestea sănuleinfluenţeze, practic, mişcarea mecanică. Punctele materiale interacţioneazăprin intermediul forţelor −→ F 1 , −→ F 2 , conform principiului acţiunii şi reacţiunii,undeF 1 + F 2 =0.Aplicând teorema impulsului fiecăruia dintre punctele materiale, obţinemZ t 1t 0F 1 dt = ∆(m 1 v 1 )Z t 1t 0F 2 dt = ∆(m 2 v 2 ).De unde, prin sumare, avem că ∆(m 1 v 1 + m 2 v 2 )=0,adicăm 1 v 1 + m 2 v 2 = constant.Se produce, aşadar, un transfer de impuls de la un corp punctiform lacelălalt, realizat prin intermediul forţei, în procesul interacţiunii, cu păstrareaconstantă amărimii totale p 1 + p 2 (cf. [32], p. 53). Cu alte cuvinte, teoremaimpulsului exprimă olegedeconservare a mişcării mecanice.În continuare, să considerăm că are loc situaţia descrisă în Figura 2.13.Figura 2.13

116 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALAici, O reprezintă originea reperului inerţial R. Teorema momentuluicinetic ne conduce laZ t 1t 0OM 1 × (F 1 + F 3 )dt = ∆L 1Zt 1OM 2 × (F 2 + F 4 )dt = ∆L 2 ,t 0de unde, prin sumare, avem că∆(L 1 + L 2 ) =Z t 1¡OM1 × F 1 + OM 2 × F 2¢dtt 0=Z t 1£OM1 × F 1 + OM 2 × ¡ −F 1¢¤dtt 0=Z t 1¡OM1 − OM 2¢× F 1 dt=t 0Z t 1t 0M 2 M 1 × F 1 dt =0.În concluzie,L 1 + L 2 = constant.Deci, se produce un transfer de moment cinetic de la o particulă la cealaltă,prin intermediul forţei, în procesul interacţiunii, cupăstrarea constantă amărimii totale L 1 + L 2 (cf. [32], p. 56). Astfel, teorema momentului cineticexprimă olegedeconservare a mişcării mecanice.Existenţa mărimii mecanice impuls şi a legii de conservare a impulsuluieste legată de proprietatea de omogenitate aspaţiului fizic. Existenţa mărimiimecanice moment cinetic şi a legii de conservare a momentului cinetic ţinede proprietatea de izotropie aspaţiului fizic. În sfârşit, mărimea mecanicăenergie cinetică şi legea de conservare a energiei cinetice sunt în legătură cuproprietatea de omogenitate a timpului (cf. [32], p. 53, 56, 59).Subsecţiunea următoare are un caracter auxiliar, cititorul nefiind obligat să oparcurgă la prima lectură. Rolul său este pur ilustrativ şi anume acela de a insistaasupra legăturii fundamentale dintre mărimile mecanice definite până acumşimodelul matematic al spaţiului şi timpului. Argumentele folosite în subsecţiuneaurmătoare aparţin mecanicii hamiltoniene, complet formalizată matematic.

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 1172.2.9 Legi de conservare (II)Să considerăm punctul material M, presupus liber (adică, în absenţaacţiunii vreunei forţe, cf. [41], p. 12) faţă de reperul inerţial R. Plecând dela (2.79), prin înmulţire cu r, ·obţinemm r ··· r ·= m d µ 1 ·r 2 = m d µ 1dt 2 dt 2 v2= d µ 1dt 2 mv2 =0.Prin integrare în raport cu timpul t ajungem la relaţia12 mv2 = constant. (2.91)Semnificaţia energetică amărimii din membrul stâng al (2.91) a fost dejastabilită.În sine, calculul de mai sus este simplu. Să ne gândim doar ce ar însemnasă utilizăm, în locul produsului scalar euclidian, un produs scalar de tipul(2.49). Aceasta este numai una dintre complicaţiile pe care modelul matematical SF adoptat în capitolul întâi le evită. Fireşte, tot aici se găseşte bazaanumitor limitări ale mecanicii newtoniene. În esenţă, principiul inerţiei acăpătat formularea echivalentă (2.91), care reprezintă olege de conservare,adică, o relaţie ce statutează constanţa unei mărimi scalare caracterizândstarea mecanică a punctului material.Dorim, în cele ce urmează, să scoatem în evidenţă legătura profundădintremodelul matematic al spaţiului şi timpului şi principiile mecanicii newtoniene(cf. [56], p. 56). Acestea fiind stabilite plecând de la o serie de experienţe(cum ar fi, deexemplu,ceaalansării unei bile pe un plan orizontal perfectlucios, cf. [34], p. 444), este evident că locul experimentului intervine ”subtil”în formule.Să considerăm o mulţime finită alcătuită dinpunctematerialepecareocaracterizăm din punct de vedere mecanic cu ajutorul mărimilorq =(q 1 , ..., q s )·q= (·q 1 , ..., ·q s ).Cantităţile q i , ·q i , convenabil alese, se numesc coordonate, respectiv vitezegeneralizate. De exemplu, în cazul mişcării plane a punctului material,

118 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALmărimile r, θ,·r,·θ (cf. [54], p. 72). Nu întotdeauna avem nevoie să utilizămefectiv mărimile x, y, z, ·x, ·y, ·z (cf. [73], p. 500-501).Atunci, pe baza expunerii făcute în [41], p. 7-33, [54], p. 52-60, sistemulmecanic definit de mulţimeadepunctematerialearestarea mecanică datăde funcţiaL = L(t, q, ·q), (2.92)indiferent de complexitatea ei. Mărimea L poartă denumireadefuncţia luiJ. Lagrange (lagrangian) a sistemului mecanic. Este întâlnită şi denumireaspecializată depotenţial cinetic (cf. [76], p. 788, [73], p. 510).Între două poziţii, corespunzând momentelor t = t 1 şi t = t 2 , mişcareasistemului mecanic este dată deacţiunea generalăS =Z t 2t 1L(t, q, ·q)dt.Experienţa dezvăluie că, în mod natural, corpurile sunt ”leneşe”, adicăautendinţa să facă, în desfăşurarea acţiunii, modificări cât mai mici cu putinţăstării lor mecanice. Condiţiile de minim care trebuie, aşadar, impuse variaţiilormărimilor ce definesc starea mecanică a corpurilor sunt stabilite într-unmod asemănător determinării punctelor critice ale unei funcţii. Astfel, ca săaibă uncorespondentînrealitate, mărimea L verifică (plecânddelaδS =0)ecuaţiile Euler-Lagrange date mai josddtÃ!∂L∂ ·q− ∂L =0,i= 1,s. (2.93)∂q i iModalitatea de a stabili relaţiile (2.93) este prezentată cuextremăeleganţăîn[29],p.349şi următoarele, [71], [70], p. 205 şi următoarele.Să considerăm cazul particular al unui punct material liber. Teoretic,acesta poate ocupa orice poziţie în SF şi poate avea orice viteză(constantă).Atunci, q = (x, y, z) ≡ (r, x, y , z), unde r = p P ·x2 ,şi q= ( ·x, ·y, ·z) ≡r r r(v, ·xv , ·yv , ·zv ),undev = q P ·x2 .Mărimileρ = x r · i + y r · j + z r · k τ = ·xv · i + ·yv · j + ·zv · k

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 119desemnează versorii vectorilor r, v.Impunem ca lagrangianul L al punctului material liber să reflecte omogenitateaspaţiului şi timpului şi izotropia spaţiului. Adică, mărimea L să nudepindă explicit de t, de unde∂L∂t =0,de poziţia punctului material, de unde∂L∂r =∂L∂ ¡ ¢ = ∂Lx∂ ¡ ¢y= ∂L∂ ¡ ¢ =0zrrrşi de versorul τ (acesta, legat într-un punct al SF, sepoateroti), de unde∂L´ = ∂L ´ = ∂L ´ =0.∂ ∂ ∂³ ·xv³ ·yvÎn concluzie, L = L(v) (cf. [41], p. 13). Pentru simplificarea calculului,considerăm L = L(v 2 ).Ecuaţiile (2.93) devin în acest cazd³L 0 (v 2 )· ·x´=0dtd³L ·y´0 (v 2 )· =0dt³ ·zvd³L 0 (v 2 )· ·z´=0. (2.94)dtÎnaintedeatrecemaideparte,secuvineobservatcă formulele (2.93)rămân nemodificate dacă înlocuim lagrangianul L cu mărimeaL ∗ = L + C j· ·q j ,unde C j , j = 1,s, sunt constante.Impunem ca lagrangianul L al punctului material să reflecte şi relativitateaGalilei. Aceasta înseamnă, cu alte cuvinte, ca ecuaţiile ce caracterizeazămişcarea mecanică, şi anume (2.93) (cf. [41], p. 10), să nufie influenţate demişcările rectilinii uniforme ale reperului R 0 în care avem de rezolvat o problemăoarecare de mecanică teoretică faţă dereperulR ”absolut” fix.Dându-se o variaţie infinitezimală a vectorului-viteză al punctului materialv ∗ = v + δv (2.95)= v + ε 1 · i + ε 2 · j + ε 3 · k,

120 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALunde ε i = o(1), i = 1, 3, putem scrie căL(v ∗2 ) = L(v ∗2 )= L ¡ v 2 +2v · δv +(δv) 2¢ = L ¡ v 2 +2v · δv ¢= L(v 2 )+L 0 (v 2 ) · (2v · δv) .Am liniarizat expresia lui L, neglijând termenii infinitezimali de ordinulal doilea. Dacă mărimea L 0 (v 2 ) ar fi constantă, adică L 0 (v 2 )=C, atunciL 0 (v 2 ) · (2v · δv) =2C · ε j· ·q j .Astfel, privind egalitatea (2.95) ca o lege de compunere a vitezelor (mişcăriicaracterizate de v i se adaugăomişcare rectilinie uniformăinfinitezimală(instantanee)δv, vezi comentariul 2) de la p. 92), deducem că lagrangianulL(”considerat” în R 0 )semodifică înR după formulaL ∗ = L +2C · ε j· ·q j ,păstrând intacte ecuaţiiledemişcare.În concluzie, pe baza relaţiei L 0 (v 2 )=C, deducem că funcţiileL = Cv 2pot fi lagrangieni ai punctului material liber. În particular, mărimeaL = 1 2 mv2 (2.96)este lagrangianul punctului material liber M. Formula sa ţine seama deproprietăţile de omogenitate şi izotropie ale spaţiului, de omogenitatea timpului,de invarianţa masei m faţă detimporiviteză, ca şi de principiulrelativităţii. Aici, masa m afostintrodusă în calitatea sa de caracteristică acorpului punctiform. Coeficientul 1 joacă un rol de ”calibrare” (cf. [41], p.211, 16).Relaţiile (2.94), aplicate mărimii (2.96), ne conduc la·x, ·y, ·z = constant,adică v = constant. Mişcarea punctului material liber poate fi, aşadar, doarrectilinie, vectorul −→ v ∈ v fiind tangent la traiectorie.

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 121În acest sens trebuie înţeleasănoţiunea de reper inerţial (galilean): adică,un sistem de referinţă încareproprietăţile spaţiului şi timpului concură lavalabilitatea principiilor fundamentale ale mecanicii (cf. [41], p. 12-13, [54],p. 11).Să considerăm acum sistemul mecanic format din n puncte materiale, demase m i şi raze vectoare r i ,aflate suficientdedepartedeoricealtepunctematerialepentru ca acestea să nu le afecteze starea mecanică (de exemplu, prininducerea unui câmp gravitaţional). Pe baza unor consideraţii asemănătoarecelor precedente, introducem lagrangianul sistemului mecanic prin formulaL =nXi=1m i v 2 i2− V (r 1 , r 2 ,...) (2.97)P(cf. [41], p. 17). Mărimea T = n m i vi2 poartă denumireadeenergie cinetică2i=1a sistemului mecanic, iar mărimea V , care caracterizează interacţiunea celorn puncte materiale, se numeşte energie potenţială a sistemului mecanic.În formula lagrangianului L se reflectă douăproprietăţi fundamentale alemecanicii clasice:1) Interacţiunea corpurilor punctiforme aparţinând unui sistem mecanicînchis (neinfluenţat de exterior) este instantanee (fapt deja menţionat laprincipiul acţiunii şi reacţiunii) (cf. [41], p. 17).2) Orice mişcare mecanică în cadrul sistemului mecanic închis este reversibilă(cf. [41], p. 18).Să dăm o justificare a reversibilităţii mişcării mecanice independentă decaracterizarea cu ajutorul funcţiilor lui Lagrange a stării mecanice. Pentruaceasta, presupunem că în(2.77)avemF = F (r). Un asemenea formalismînglobează numeroase situaţii întâlnite în viaţa de zi cu zi. Notăm soluţiaproblemei Cauchy (2.77) cu u, unde(r(t), v(t)) = u (t; t 0 , (r 0 , v 0 )) ,t∈ R.Fie t 1

122 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALEcuaţia diferenţială vectorială m· ··r= F (r) devine în urma acestei transformărim · d2 rdt ∗2 = F (r), t ∗

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 123Mai întâi, plecând de la (2.92), impunem ca lagrangianul L al sistemuluimecanic închis să reflecte omogenitatea timpului, adicăsănudepindă explicitde mărimea t: L = L(q, ·q). Atunci,dLdt =i=1nXi=1Ţinând seama de (2.93), avem că" ÃdLnX d=dt dti=1nX d=dtde undeà nXddti=1Ã∂L· ·q!i + ∂L∂q i ∂ ·q· q ··i .i!∂L∂ ·q· ·q#i + ∂Li ∂ ·q· q ··iià !·q i · ∂L∂ ·q,i!·q i · ∂L∂ ·q− L =0.iMărimeanX ·E = q i · ∂Li=1 ∂ ·q− L = constantise numeşte energia mecanică (totală) a sistemului mecanic închis (cf. [41],p. 24, [54], p. 58). Evident, avem ∂L =0pentru expresia lagrangianului L∂tdată de (2.97), de unde, ţinând seama de (2.99), deducem în mod analog căE =2T − L = T + V.Impunem acum ca lagrangianul L dat de (2.97) să reflecte omogenitateaspaţiului. Astfel, considerând variaţia infinitezimală a razelor vectoare r i :unde ε j = o(1), j = 1, 3, avemr ∗ i = r i + δr i= r i + ε 1 · i + ε 2 · j + ε 3 · k,δL =nXi=1∂L∂r i· δr i = ε ·nXi=1∂L∂r i.

124 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALAici, ε = ε 1 · i + ε 2 · j + ε 3 · k. Formula a fost obţinută prinliniarizareaexpresiei lui L, neglijându-se termenii infinitezimali de ordinul al doilea.Deoarece ε este luat arbitrar, obţinemÃnXnX!∂L (2.98)0 = = d ∂L∂ri=1 i dt ∂vi=1 ià nX!= d m i v i .dti=1Mărimeap =nXm i v i = constanti=1se numeşte impulsul total al sistemului mecanic închis (cf. [41], p. 26, [54],p. 59).Egalitatea0 ==nXi=1nXi=1∂L∂r i= −F iarată că, în cazul sistemului mecanic alcătuit din n =2puncte materiale,este valabil principiul acţiunii şi reacţiunii:F 1 + F 2 =0.În final, impunem ca lagrangianul L datde(2.97)săreflecte izotropiaspaţiului. Astfel, considerând rotaţia infinitezimală (2.38),avemnXi=1∂V∂r iδr i = δα × r i δv i = δα × v i ,adicăr ∗ i = r i + δr i v ∗ i = v i + δv i .Din nou, prin liniarizarea expresiei lui L, ajungemlanXµ ∂LδL = · δr i + ∂L · δv i∂r i ∂v ii=1

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 125=(2.98)=nXi=1nXi=1· µ d ∂L· δr i + m i v i · δv i¸dt ∂v i³ ·p i ·δr i + p i · δv i´,unde p i = m i v i reprezintă impulsul celui de-al i−lea punct material al sistemuluimecanic.Ţinând seama de proprietăţile produsului mixt, putem scrie că·p i ·δr i = p ·i · (δα × r i )=δα ·³r i × p i´ ·Apoi,p i · δv i = ·p i · (δα × v i )=δα · (v i × p i ) .δL = δα ·nXi=1= δα · ddt³r i × ·p i +v i × p i´Ã nXi=1r i × p i!Deoarece δα este luat arbitrar, obţinemà nX!0= d r i × pdti .i=1.MărimeaL =nXr i × p i = constanti=1poartă denumireademoment cinetic total al sistemului mecanic închis (cf.[41], p. 31, [54], p. 60).2.2.10 Legi de conservare (III)Plecând de la teoremele impulsului şi momentului cinetic, putem obţine însituaţii particulare integrale ale sistemului diferenţial (2.78) cu semnificaţied. p. d. v. mecanic, adică legi de conservare.

126 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALAstfel, dacă forţa −→ F (rezultantă) aplicată punctului material M esteperpendiculară pe direcţia fixă u (adică, u= ·0), avem0=F · u = d(mv) · u = d (mv · u) .dt dtIntegrala v · u = constant arată că proiecţia vitezei punctului material peodirecţie fixă esteconstantă (cf. [34], p. 228).De asemeni, într-o altă situaţie, să presupunem că dreapta-suportaforţei−→ F trece prin originea O a reperului inerţial R. Conform(2.83),avemM O = dL O=0,dtde unde r × v = C = constant. Dacă vectorulC este nenul, atunci C · r =0,integrala primă fiindC 1 x + C 2 y + C 3 z =0,unde C = C 1·i+C2·j +C 3·k. Mişcarea punctului material M se desfăşoară,aşadar, într-un plan fix care trece prin O. Dacăînsă C =0,vectoriir, vsunt coliniari. Atunci, v = λ(t)·r, undeλ(t) =|r| −2 (v · r). Ţinând seama denetezimea parametrilor cinematici (r 6= 0), putem spune că λ este o funcţiede clasă C ∞ .Aulocurmătoarele relaţii·r = r(t) · ρ r= ·r ·ρ + r· ρ ·ρ· ρ= ·0.Astfel, cum ·r ·ρ + r· ρ= ·λ(t)r · ρ, prinînmulţire cu ρ în ambii membri,ajungem larespectiv ·ρ= 0.În concluzie,R t·r= λ(t)r,R tλ(τ)dτ λ(τ)dτtr(t) =r 0 e 0 ·t ρ0 = e 0 · r0 , (2.100)adică mişcarea punctului material se desfăşoară pe o dreaptă fixă trecândprinO 20 .Aici,ρ 0 = ρ(t 0 ), r 0 = r(t 0 ). Integraleleprimesuntdatede(2.100)(cf.20 Oaltă abordare a acestui caz, cf. [60], p. 2, se bazează peformulaµ d u= (u× u) . × udt u u 3 u = |u| ,întâlnită deja la p. 31. Astfel, pentru u = r, deducem că vectorulρ este constant.

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 127[34], p. 231-232).2.2.11 Forţe conservative. Energie potenţială. Conservareaenergiei mecaniceLucrul mecanic efectuat de forţa de câmp −→ F aplicată punctului materialM este introdus cu ajutorul integralei curbiliniiZW = F x dx + F y dy + F z dz.M 0 M 1Se pune problema să găsim condiţiipecaretrebuiesă le îndeplineascăfuncţiile F x , F y , F z pentru ca integrala W să nudepindă de traiectoria parcursăde punctul material M între poziţiile M 0 , M 1 .Spre a înţelege semnificaţia d. p. d. v. mecanic a unei asemeneachestiuni, vom folosi metoda planului înclinat (Galilei) (cf. [17], p. 68).Astfel, să considerăm un plan înclinat perfect lucios al cărui unghi de la bazăα ∈ ¡ 0, π 2¢poate fi făcut să varieze. Experienţa dezvăluie faptul că vitezacu care ajunge pe sol o bilă lansată în jos pe planul înclinat, de la înălţimeah, fără vitezăiniţială, este independentă de valorile lui α. Ţinând seama deformula Galilei-Torricelli a vitezei în mişcarea rectilinie, şi anumev 2 = v 2 0 +2as(cf. [32], p. 27, [76], p. 294), unde a = g sin α, găsim viteza bilei la bazaplanului înclinatv = p 2gh.Oatareindependenţă de drumul parcurs a vitezei v a bilei este transmisă,conform (2.90), lucrului mecanic W realizat de forţa de greutate −→ G . Înconcluzie, problema formulată anteriorîşi găseşte un echivalent în viaţa dezi cu zi.În mod natural, dacăpfaffianul F x dx + F y dy + F z dz ar fi exact, atunciW = U(M 1 ) − U(M 0 ),undedU = F x dx + F y dy + F z dz = ∇U(M) · dr.Deşi nu am precizat acest lucru, considerăm că tripletul (x, y, z) al coordonatelorpunctului material M (în reperul inerţial R), asupra căruia

128 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALacţionează câmpul de forţe F ,segăseşte într-o mulţime deschisăşi stelată înraport cu un punct al său din (R 3 , T e ) (cf. [28], p. 277). Vom subînţelege încontinuare căfuncţiile care intervin în discuţiesuntdeclasă C ∞ pe mulţimearespectivă.Condiţia necesară şi suficientă ca pfaffianul X(x, y, z)dx + Y (x, y, z)dy +Z(x, y, z)dz să fie oformă diferenţială totalăexactă este dată derelaţiile demaijos(cf.[73],p.425)∂X∂y = ∂Y∂x∂X∂z = ∂Z∂x∂Y∂z = ∂Z∂y .Justificarea lor se realizează la fel ca în cazul a două variabile independentex, y (condiţia lui L. Euler), întâlnit în cursurile de ecuaţii diferenţiale(cf. [47], p. 28). Pentru detalii, vezi [72], p. 104-106, 423, [28], p. 276-277.Să presupunem că forţa de câmp −→ F care acţionează asupra punctuluimaterial M între poziţiile M 0 = M(t 0 ) şi M 1 = M(t 1 ) este introdusă prinformula F = ∇U. Atunci, relaţia (2.90) devinesau, echivalent,E c (t 0 )+∆U = E c (t 1 )E c (M 0 ) − U(M 0 )=E c (M 1 ) − U(M 1 ).Mărimea V (M) = −U(M) se numeşte energia potenţială apunctuluimaterial M în câmpul (de forţe) F (cf. [76], p. 385, [34], p. 239). FuncţiaU poartă denumirea de potenţial (funcţie de forţă) al câmpului F (cf. [34],p. 237, [76], p. 73).Datorită modalităţii de definire, energia potenţială este unică până laoconstantăaditivă (cf. [76], p. 385). Această proprietateasapermiteadoptarea formulei (generice)V (M) =Z ∞MF · dr,unde lim F (M) =0. Formal, V (M 0 )=− F · dr, ceea ce arată că|OM|→+∞∞energia potenţială a punctului material M în poziţia M 0 este lucrul mecanic,MR0

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 129luat cu semn schimbat, efectuat de forţele câmpului F pentru a aduce punctulmaterial de la infinit în poziţia M 0 (cf. [32], p. 60). Poziţia ”de la infinit”desemnează, în fapt, o zonă unde influenţa câmpului F nu se face simţită(F (∞) = 0)(cf. [59],p. 86). Forţa −→ F introdusă cuajutorulformuleiF = ∇U se numeşte conservativă. La rândul său, F reprezintă uncâmp deforţe conservative (cf. [34], p. 239, [76], p. 406).Putem enunţa acum teorema conservării energiei mecanice: întruncâmp de forţe conservative are loc, în timpul mişcării, o transformarereciprocă a energiilor cinetică şi potenţială aleparticulei,sumaacestora(energiamecanică) rămânând constantă (cf. [32], p. 61).Să presupunem, în final, că asupra punctului material aflat într-un câmpde forţe conservative F acţionează forţa disipativă (neconservativă) −→ F ∗ .Atunci,conform (2.89), putem scrie căZ∆E c = W =M 1M 0Z= −∆V +¡F + F∗ ¢ · drM 1M 0F ∗ · dr,de unde∆(E c + V )=W ∗ .Astfel, lucrul mecanic al forţei disipative aplicată unui punct material Meste egal cu variaţia energiei mecanice a acestuia (cf.[32],p.61).Cazulcelmai des întâlnit în viaţa de zi cu zi este cel al forţelor rezistente −→ F (forţă defrecare, de rezistenţă la înaintare într-un fluid, etc), având sens opus vitezeirelative. Asemenea forţe, producând un lucru mecanic rezistent, diminueazăenergia mecanică a corpurilor materiale, transformând-o în căldură (cf.[76],p. 555-556, [56], p. 66-67).Numele de ”funcţie de forţă” apare în scrierile lui R. Hamilton. ”Potenţialul”,al cărui gradient dă forţa de atracţie (universală), a fost introdus de J.Lagrange (1777). Energia potenţială, definită prin schimbarea semnului luiU, estedată de H. Helmholtz (cf. [76], p. 557, [43], p. 45).

130 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL2.2.12 Suprafeţele echipotenţiale şi liniile de forţă aleunui câmp conservativMulţimea punctelor M ∈ E 3 care au proprietatea căU(x, y, z) =C,unde C ∈ R este arbitrar fixat, poată denumirea de suprafaţă echipotenţialăacâmpuluideforţe conservative F (cf. [76], p. 75-76, [32], p. 60). Deşi nueste dată caosuprafaţă parametrizată netedă, condiţia ∇U(M) 6= 0aratăcă, local, suprafaţa echipotenţială este o suprafaţăsimplă (cf. [48], p. 38-39).În concluzie, aceste mulţimi reprezintă suprafeţe netede în SF (cf. [44], p.590-591). Suprafeţele echipotenţiale se mai numesc şi suprafeţe de nivel alefuncţiei U (cf. [76], p. 405).Dacă punctul material M se găseştepesuprafaţa echipotenţială S, atuncisăgeata vectorului −→ F ∈ T M R 3 , −→ F ∈ F ,esteîndreptatăînsensulcreşteriimărimii C, decialdescreşterii energiei potenţiale V (M) (cf. [32], p. 61, [76],p. 406).Ocurbănetedă Γ având proprietatea că în orice punct M ∈ Γ vectorul−→ F ∈ TM R 3 este vectorul director al tangentei poartă denumirea de liniede forţă a câmpului (de forţe) F (cf. [32], p. 61). Din punct de vederediferenţial, coordonatele în reperul inerţial R ale punctelor M care alcătuiesclinia de forţă Γ sunt date de relaţiiledx= dy = dz ,F x F y F zcu convenţia obişnuită: anularea numitorului implică automat constanţa coordonateirespective (pe o anumită mulţime) (cf. [76], p. 71).Evident, lucrul mecanic efectuat de forţa de câmp −→ F aplicată asupraunuipunct material M care se deplaseazăpesuprafaţa echipotenţială S a câmpuluieste nul.2.2.13 Câmpul gravitaţional. Potenţialul gravitaţional.Modelul punctiform al corpurilor cereştiTeoriile generale ale câmpului gravitaţional (gravific) necesită cunoştinţe importantede mecanică relativistă, geometriavarietăţilor diferenţiabile, etc. O lecturăfundamentală în domeniu este constituită din lucrarea [42]. Recomandămexcelentul tratat [79].

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 131Să considerăm că origineaO a sistemului de referinţă inerţial R adăposteştemasa m 0 . Dată fiind imobilitatea apriorică aoriginiiO, caracterulde măsură ainerţiei atribuit maselor în mecaniva newtoniană poatefi scosdin cauză îndiscuţia de faţă înceeacepriveşte masa m 0 . Aşadar, singura”activitate” a masei m 0 este crearea unui câmp gravitaţional (gravific).Experienţa (”tubul” lui Newton, cf. [32], p. 29, independenţa perioadeipendulului de natura corpului utilizat, cf. [43], p. 42, etc) dezvăluie faptulcă în apropierea suprafeţei Pământului se comunică corpurilor o acceleraţieconstantă, verticală şi orientată înjos(Galilei, Newton) (cf. [43], p. 42).Atunci, în conformitate cu (2.76), un punct material oarecare M, demasăm, vacăpăta pe direcţia vectorului său de poziţie o mărimedetipacceleraţie,notată −→ Γ , unde −→ Γ ∈ T M R 3 ,cusăgeata îndreptată către originea O:Γ = −γ m 0r 2Forţa −→ F cu care masa m 0 atrage punctul material M este greutatea acestuia(în câmpul masei m 0 ):−→ F = m · −→ Γ .Pe baza relaţiilor (2.67), se verifică imediat formula−γ mm 0· r ³r 2 r = ∇ γ mm ´0.rAstfel, energia potenţială a particulei materiale M în câmpul gravitaţionalal originii O devineV (M) = −Z M∞· rr .F · dr =Z r∞γ mm 0dqq 2= −γ mm 0r(cf. [32], p. 174).Să justificăm acest calcul. Plecând de la dr = rdρ + ρdr, unde ρ desemneazăversorul razei vectoare r,şi ţinând seama de faptul că mărimile ρ şi dρsunt ortogonale, obţinemF · dr = −γ mm 0ρ · dr = −γ mm 0drr 2 r 2= F (r)dr

132 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL(cf. [34], p. 238). Justificarea s-a încheiat.În concluzie, câmpul gravitaţional al corpului punctiform (O, m 0 ) este uncâmp de forţe conservative.Sistemul de ecuaţii diferenţiale pus sub formă simetrică (cf. [72], p. 359-365)dx−γ mm 0x = dy−γ mm r 3 0y = dz−γ mm r 3 0zr 3arată că suprafeţele echipotenţiale sunt sfere concentrice iar liniile de forţăsunt razele acestor sfere în cazul câmpului gravitaţional punctiform (veziFigura 2.14).Mărimea V p (r) = 1 · V (M) poartă denumireadepotenţialul câmpuluimgravitaţional (punctiform). Evident,Γ = −∇V p .Se cuvine subliniat faptul că, în baza principiului acţiunii şi reacţiunii,între particulele (O, m 0 ) şi (M,m) are loc o interacţiune (gravitaţională).Acest lucru apare pregnant în formula (2.76), simetrică în ceea ce priveştemărimile m 1 , m 2 . De aceea, în mod natural, energiapotenţială V trebuieprivită caoenergie de interacţiune, cu repartizare egală a”contribuţiilor”celor două puncte materiale:V = −γ mm 0r= 1 ³2 m −γ m ´0+ 1 r 2 m 0³−γ m ´.rPractic, putem spune că energia de interacţiune gravitaţională adouăpuncte materiale este egală cu semisuma produselor dintre masa fiecăruia dinpunctele materiale şi potenţialul câmpului gravific generatdecelălalt punctmaterial.Figura 2.14În cazul a n puncte materiale (M i ,m i ), luând în calcul toate interacţiunile

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 133posibile, energia de interacţiune gravitaţională devineV =X µ ·12 m i −γ m j+ 1 µr ij 2 m j −γ m ¸i,r ij16i

134 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALstelelor, care ar fi formate teoretic din materie cosmică extremderarefiată(aflată ”la infinit”) prin contracţie (legare) gravitaţională. Fireşte, reacţiilenucleare care se produc măresc considerabil energia (cf. [32], p. 180).Presupunând că densitatea ρ(A) a corpului material, de masă m 0 ,careocupă înSF domeniul G îndeplineşte condiţiile precizate în subsecţiuneadedicată integralelor de tip potenţial, a devenit clar că mărimea⎛⎞ZΓ = γ · ∇ ⎝ρ(A)¯¯AM¯¯dλ(A) ⎠Greprezintă vectorul-acceleraţie (gravitaţională) căpătat de punctul materialM ∈ E 3 din partea câmpului gravific al corpului material. Alura la distanţemari a potenţialului newtonian −γ · f 1 (M) arată că, într-o anumităaproximaţie, acesta are formula V p (M) =−γ m 0, unde O desemnează centrulde masă alcorpuluimaterialiarpunctulM este exterior domeniului G.|OM|Obţinem, aşadar, aceleaşi valori ale potenţialului gravitaţional ca în cazulcâmpului gravific punctiform. Ceea ce dovedeşte în mod convingător căputemconsideraîntr-oseriedeproblemealemecaniciiteoreticecorpurilemateriale drept particule localizate în centrul de masă al corpurilor materialeşiavândcamasă chiar masa acestora. Sferoidul terestru şi, în general,corpurile cereşti reci (planete, sateliţi naturali), fiind corpuri de rotaţie d. p.d. v. geometric, găsesc un model potrivit în domeniul G definit în lucrareade faţă.Uncalculbazatpe(2.40)şi utilizarea coordonatelor sferice arată că, încazuluneisferederază R omogenă (ρ = constantă) ori având omogenitatesferică (ρ este radial simetrică), au loc formulele(−γ mm 0³ ,r>Rr ´V (M) =− 1γ mm 03 − r2 ,r

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 135(cf. [32], p. 179).= 3 5 γ m2R2.2.14 Mişcarea în câmp centralOforţă −→ F ,aplicată punctului material M, poartădenumireadeforţăcentrală dacă vectorul −→ F este vector director al dreptei OM. În funcţie desemnul mărimii F ·r, forţa centralăsenumeşte atractivă (F ·r 0) (cf. [76], p. 418, [63], p. 319). Un câmp de forţe Feste considerat central dacă forţele −→ F ∈ F sunt forţe centrale. Aici, punctulO, aprioricfix, reprezintă centrul câmpului de forţe. Câmpul gravitaţionalpunctiform, Γ = − ∂V p, constituie un exemplu elocvent de câmp central.∂rLegea ariilor. Formula lui J. BinetAm văzut anterior că mişcarea unui punct material M sub acţiunea uneiforţe (rezultante) centrale este plană. Aceasta ne permite să utilizăm metodatransformării Prűfer în planul mişcării. Cu notaţiile cunoscute, F = F ρ.Proiectând relaţia (2.74) pe direcţiile ρ, ε, avem, conform (2.18),⎧⎪⎨⎪⎩mmµ·· r −r θ2 ·= Fθ +r θ··=0.µ2 ·r ·(2.101)În mod evident, discuţia interesează atuncicândO 6= M. Aşadar, înmulţindcu r în ambii membri ai celei de-a doua relaţii (2.101), obţinem r 2 θ·= constant. Formula (2.87) arată că momentul cinetic faţă decentrulOalpunctului material M se conservă înmişcarea sa pe traiectorie. De asemeni,are loc legea ariilor: în mişcarea în câmp central, în jurul centrului O, apunctuluimaterialM,vectorulsău de poziţie ”mătură” suprafeţe de arii egaleîn intervale de timp egale (cf. [63], p. 320, [41], p. 47).Folosim în continuare prezentarea făcută în [34], p. 345-347, 354-357.Fie η unghiul vectorilor r 0 , v 0 . Din nou, conform (2.18), avem·¸·v 0 · ρ = v 0 cos η = ρ · r (t 0 )ρ + r(t 0 ) θ ·(t 0 )ε = ·r (t 0 )

136 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALşi v 0 · ε = v 0 sin η = r 0·θ (t0 ). Atunci, mărimea r 2 θ ·are valoarea C =r(t 0 )[r(t 0 ) θ ·(t 0 )] = r 0 v 0 sin η în timpul mişcării punctului material M.Prima dintre relaţiile (2.101) poate fi pusă subformam r ··−m C2·= F (t, r, θ, ·r, θ)r3 (cf. [76], p. 421). Am ţinut seama de expresia vectorilor r, v în coordonatepolare (F = F (t, r, v)).Prin derivarea funcţiei compuse r = r (θ (t)) în raport cu timpul t obţinem·r = drdθ · θ= · drdθ · Cr = −C d µ 1 2 dθ r··r = d µ−C d µ µ 1= −C d2 1· θ·dt dθ r dθ 2 rµ = − C2r · d 2 1.2 dθ 2 rFormulele elementare θ= ·C ¡ ¢1 2, r = ¡ 1 −1rr¢ne conduc la expresia· µ − mC2 d2 1+ 1 ¸ µ= F t, 1 r 2 dθ 2 r r r , θ, d µ 1.dθ rÎn cazul particular al forţei centrale −→ F independentă detimp,relaţia anterioarăreprezintă o ecuaţie diferenţială ordinară, numită ecuaţia (formula)luiJ.Binet(cf. [32], p. 169, [76], p. 421).Adăugând datele Cauchy( ¡ 1¢(θ0 )= 1 rr 0¡1r¢ 0(θ 0 )=− ·r(t 0 )C= − v 0 cos ηr 0 v 0 sin η = − 1r 0 tan η ,unde 22 θ(t 0 ) not= θ 0 ,obţinem problema Cauchy amişcării particulei în câmpcentral: ( ¡ 1¢ 00+ 1 = − F · ¡ ¢1 −2¡ r r mC 2 r1¢ ¡(θ0 )= 1 1¢ 0rr 0(θr 0 )=− 1 . (2.102)r 0 tan ηFireşte, în cazul câmpului gravitaţional, mărimea F are aspectul particulardat de F = F (r) =−γ mm 0. Însă formularea (2.102) are menirea săr 2scoată înevidenţă importanţa unui studiu calitativ al acestui gen de ecuaţiidiferenţiale ordinare.22 Dacă η = π 2 , atunci ¡ 1r¢ 0(θ0 )=0.

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 137Rezolvarea problemei Cauchy a mişcării în câmpul gravitaţionalpunctiformÎn câmp gravitaţional punctiform, ecuaţia lui J. Binet capătă formauneiecuaţii diferenţiale liniare şi neomogene cu coeficienţi constanţi:µ 1r 00+ 1 r = γm 0C 2 . (2.103)Termenul neomogen al ecuaţiei diferenţiale fiind constant, integrarea ecuaţieise reduce la determinarea unei soluţii particulare constante asa(cf. [24],p. 400). În cazul nostru, este vorba chiar de γm 0(cf. [63], p. 323). Astfel,C 2soluţia problemei Cauchy (2.102) este dată de1r = γm 0+ A cos θ + B sin θ,C2 unde⎧⎨⎩³A =³B =´1r 0− γm 0C 2 ´1r 0− γm 0C 2cos θ 0 + 1r 0 tan η sin θ 0sin θ 0 − 1r 0 tan η cos θ 0(cf. [34], p. 355). Să introducem mărimile λ, ψ prin A = λ cos ψ, B = λ sin ψ.Atunci 23 ,1r= γm 0+ λ cos (θ − ψ)C2 µ C2 −1 ·¸=1+ C2 √A2 + Bγm 0 γm 2 cos (θ − ψ) ,0respectivr =p1+e cos (θ − ψ) . (2.104)23 Unghiul ψ se introduce atunci când cel puţin una dintre mărimile A, B este nenulă.Observăm că, dacă η = π 2 şi r 0 = C2γm 0,problemaCauchyataşată ecuaţiei (2.103) admitesoluţia unică r = r 0 ,adică A = B =0. Mişcarea circulară uniformă este, aşadar, uncaz particular de mişcare în câmp gravitaţional punctiform (vezi [60], p. 9-10). Se poatearăta că existăosingurăcurbănetedăplană, nedegenerată (R 6= 0), pe care o particulăse mişcă uniform astfel încât dreapta suport a acceleraţiei sale să treacă printr-un punctfix, şi anume cercul (cf. [32], problemele 1.23, 1.24, p. 40).

138 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALCumA 2 + B 2 ===µ 1− γm 20 1+r 0 C 2 r0 2 tan 2 ηµ 1+ cos2 ηr02 r0 2 sin 2 + γ2 m 2 0− 2γm 0η C 4 C 2 r 0µ 1(r 0 sin η) 2 + γ2 m 2 01 − 2C2C 4 γm 0 r 0µ = v2 0C + γ2 m 2 01 − 2C22 C 4 γm 0 r 0· µ= γ2 m 2 01+ C2vC 4 γ 2 m 2 0 2 − 2 γm ¸0,0 r 0r ³ ´obţinem e = 1+ C2 v 2 γ 2 m 2 0 − 2 γm 00r 0, p = C2γm 0(cf. [63], p. 325).Relaţia r 2 θ= ·C, privităcaoecuaţie diferenţială ordinară cu variabileleseparabile (cf.[47],p.9-10),neconducelaformula timpului:C(t − t 0 )=Z θθ 0r 2 (q)dq.În general, C 6= 0, ceea ce dovedeşte că punctul material M se mişcă peconica (2.104), cu înclinarea axei focale dată deunghiulψ (cf. [34], p. 352),într-un singur sens ( θ= · C are semn constant) (cf. [41], p. 48, [76], p. 430).r 2Aceasta ne va permite să considerăm, în cele ce urmează, că unghiul θ creştemereu.O abordare echivalentă (teorema energiei mecanice)Câmpul de forţe centrale F = − ∂V ,undeV = V (r), fiind conservativ,∂renergia mecanică (totală) a punctului material rămâne constantă întimpulmişcării:E = 1 2 mv2 + V (r) =constant.Aici, energia cinetică a punctului material M poate fi pusă subformaE c (M) = 1 µ 2 m ·r ρ + r θ · 2ε = 1 2 m ·r 2 + 1 · 22 mr2 θ

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 139= 1 2 m ·r 2 + mC22r 2 .Cum ·r 2 = 2 C2[E − V (r)]− , alegându-ne un semn pentru valoarea mărimiim r 2·r, putem scrie, de exemplu, căr· 2r=m [E − V (r)] − L2 Om 2 r , 2unde L O reprezintă modulul momentului cinetic al punctului material M faţăde originea O (cf. [41], p. 48). Prin separarea variabilelor ajungem ladt =drq, (2.105)2[E − V (r)] − L2 Om m 2 r 2ceea ce ne permite estimarea t = t(r). De asemeni, tot prin separarea variabilelor,avemdθ = L O (2.105)d ¡ L Or¢dt = −mr2 q2m [E − V (r)] − ¡ L Or¢(2.106)2(cf. [32], p. 170), de unde, ţinând seama de formula elementară r =¡L LOr¢ −1, ¡O obţinem estimarea θ = θLOr¢. Ceea ce încheie integrarea parametrilormişcării: θ = θ(r).Detalii privind ecuaţiile diferenţiale de forma ·r 2 = X(r) pot fi găsite în[34], p. 325-327, [72], p. 182-187, etc.Poziţiile punctului material M în care ·r= 0(adică, v⊥a, conform (2.18),(2.101)) poartă denumirea de puncte de rebrusment (întoarcere) ale traiectorieisale (cf. [41], p. 49, [76], p. 314).În cazul particular al mişcării punctului material în câmp gravitaţionalpunctiform, teorema energiei mecanice devineE = 1 2 mv2 − γ mm 0= m ³r 2³v 2 0 − 2 γm 0v 2 − 2 γm 0rr 0´´, (2.107)de unde v 2 −2 γm 0= v 2 r 0−2 γm 0r 0şi v 2 =+2 γm 0.Aşadar, constantarcare exprimă raportul dintre dublul valorii energiei mecanice a punctului materialşi masa acestuia intervine în formula excentricităţii e a traiectoriei

140 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALpunctului material:sC 2e = 1+ 2E m · = 1+2 EL2 Oγ 2 m 2 0 mα 2r= 1+2 Epα , (2.108)unde α not= γmm 0 (cf. [34], p. 356, [41], p. 53, [32], p. 171). Aici, p = L2 O. mα2.2.15 Legile lui J. Kepler. Problema lui Newton”Admiraţia noastră pentru acest om sublim (n. n., J. Kepler) se împleteştecu un alt sentiment de admiraţie şi veneraţie, care, însă, nu mai e legat de ofiinţă umană, ci de misterioasa armonie a naturii în care ne-am născut. Încă dinantichitate, oamenii au imaginat curbe ale celor mai simple legi posibile: printreacestea, pe lângă linia dreaptă şi cercul, elipsa şi hiperbola. Pe acestea din urmăle regăsim - cel puţin cu o mare aproximaţie - în orbitele corpurilor cereşti.S-ar părea că raţiunea umană trebuie să construiască mai întâi, independent,formele, înainte de a le putea dovedi existenţa în natură. Din minunata operă de-oviaţă aluiKeplerînţelegem clar căexperienţa simplă nu poate genera cunoaşterea,aceasta fiind produsă doar prin compararea creaţiilor spiritului cu faptele observaţiei.(Albert Einstein, Johannes Kepler, [27], p. 57)”Plecând de la observaţiile astronomice ale lui Tycho Brahe, astronomulcurţii imperiale din Praga (cf. [34], p. 212), asistentul şi apoi succesorul său,Johann Kepler, formulează cele trei legi care guvernează mişcările planetelorîn jurul Soarelui (cf. [76], p. 430). Primele două legisuntenunţate în 1609,iar cea de-a treia în 1618 (cf. [34], p. 212).Legea întâi (traiectoria). Planetele, asimilate cu puncte materiale, semişcă în jurul Soarelui pe traiectorii eliptice, Soarele aflându-se într-unul dinfocarele elipsei.Legea a doua (aria). Vectorul de poziţie, dus de la Soare la planetă,”mătură” arii egale în intervale de timp egale.Legeaatreia(perioadaderevoluţie). Pătratul perioadei de revoluţiea planetei în jurul Soarelui este proporţional cu cubul semiaxei mari atraiectoriei, raportul de proporţionalitate fiind acelaşi pentru toate planetele.Prin problema lui Newton înţelegem calculul pe baza căruia se justifică,plecând de la (2.76), valabilitatea celor trei legi ale lui J. Kepler (cf. [34], p.354).r

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 141Am arătat deja, rezolvând problema Cauchy a mişcării în câmp gravitaţionalpunctiform, că traiectoria particulei este o conicăşi că are loc legeaariilor, adică cea de-a doua lege a lui Johann Kepler. Nu putem, fireşte,stabili doar pe baza consideraţiilor anterioare care dintre corpurile cereştise deplasează peoelipsăşi care, de exemplu, pe o hiperbolă. Totuşi, informaţiaastronomică indicăfaptulcă traiectoria este aproximativ elipticăîn cazul mişcării planetelor în jurul astrului solar ca şi în cazul revoluţieisateliţilor naturali ai acestora (cf. [34], p. 358). Traiectorii de tip hiperbolicau, se pare, anumite comete care traversează sistemul nostru solar (cf. [32],p. 173).Traiectoria particulei în câmp gravitaţional punctiform devine elipsăatuncicând e ∈ (0, 1). Parametrii (geometrici) ai elipsei sunt mărimile a, b, c,underp = L2 Oαm = b2e = 1+2 EL2 Oamα = c c = √ a 2 a2 − b 2 .Astfel, cumc 2 b2=1−a2 a 2 =1+2EL2 Omα , 2deducem căL 2 Oαma == − α (E

142 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALputem scrie că Ω = πab/T , de unde rezultăoformulăsimilarărelaţiei (2.111),şi anumeT 2a = b2 /a3 a 2 b 2 /T = p 2 π2 Ω . (2.112)2Să arătăm acum că formula (2.76) poate fi dedusă pornind de la legile luiKepler (cf. [8], problema 11.16, p. 322).Conform legii întâi, mişcarea planetei în jurul Soarelui este plană, ceeace ne permite să utilizăm coordonatele polare (metoda transformării Prűfer).Mai precis,pr =(2.113)1+e cos (θ − ψ)(vezi Figura 2.15).Cu notaţiile obişnuite, ţinând seama de (2.18), (2.83), (2.87) şi legeaariilor, avemr × F = d dt (r × mv) =2m d ¡ ¢Ωk =0dtdeoarece mărimile ρ × ε = k, respectiv Ω sunt constante în raport cu timpult. Acest lucru dovedeşte coliniaritatea vectorilor µ r, F . Aşadar, forţa −→ F··este centrală. Putem scrie că F = F ρ = m r −r θ2 ·ρ,pebazarelaţiilor(2.101).Săcalculăm, cu ajutorul formulei (2.113), mărimile care intervin în scriereavectorului F .Figura 2.15Astfel, derivând (2.113) în raport cu timpul t, obţinem·r=ep sin (θ − ψ)·θep sin (θ − ψ)2=[1 + e cos (θ − ψ)] [1 + e cos (θ − ψ)] 2 · 2Ωr . 2

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 143Însă [1 + e cos (θ − ψ)] 2 = p 2 /r 2 , de unde·r= 2Ωe sin (θ − ψ) . (2.114)pDerivareaînraportcutimpult a formulei (2.114) ne conduce la··r= 2Ωe·cos (θ − ψ) θ= 4Ω2 ecos (θ − ψ) · 1p pr . 2În sfârşit,¸·4Ω 2 eF = mpr cos (θ − ψ) − 2r4Ω2 .r 4Dar, conform (2.113), cos (θ − ψ) = p−r ,astfelcăreF = − 4Ω2 mpr 2 .De aici, ţinând seama de (2.112), deducem căF = −4π 2 · a3T · m2 r . (2.115)2Mărimea a 3 /T 2 fiind constantă, introducem coeficientul γ prin4π 2 · a3= γ · M, (2.116)T2unde M este masa (gravifică) a Soarelui, presupusă calocalizatăînorigineaO a sistemului de referinţă.În concluzie,F = −γ mM · ρ.r 2Justificarea prezenţei termenului M în (2.116) este următoarea: în bazaprincipiului acţiunii şi reacţiunii, planeta atrage Soarele cu o forţă egalăînmărime dar opusă casensforţei −→ F . În plus, căutăm o expresie a forţeigenerale de atracţie gravitaţională, ceea ce înseamnă căforţa cu care planetaatrage Soarele trebuie să aibă aceeaşi natură cu forţa de atracţie a Soarelui.Ori, o atare cerinţă se realizează introducând masa M care să joace ”rolul”mărimii m în (2.115) (cf. [34], p. 358). Justificarea s-a încheiat.

144 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL2.2.16 Problema celor două corpuriCalculele anterioare s-au referit la mişcarea planetei în jurul astrului solarpresupus (aprioric) fix. De asemeni, s-a considerat căinfluenţa gravitaţionalăa Soarelui asupra planetei este atât de mare încât orice altă influenţă, deaceeaşi natură (de exemplu, a Lunii asupra Pământului, cf. [76], p. 675), secuvine neglijată (cf. [59], p. 89).Să reluăm discuţia dintr-o perspectivă mailargă. Mai precis, să considerămsistemul mecanic închis a două particule materiale M 1 , M 2 ,demasem 1 , m 2 şi raze vectoare r 1 , r 2 în sistemul de referinţă inerţial R.Punctele materiale interacţionează gravitaţional, astfel căm 1 a 1 = F m 2 a 2 = −F, (2.117)unde F = γ m 1m 2· M1M 2, r = d(Mr 2 r 1 ,M 2 ). Are loc legea de conservare aimpulsului total: m 1 v 1 + m 2 v 2 = constant.Notăm cu G baricentrul dat de ponderile α i = m i /(m 1 + m 2 ) al celordouă puncte (geometrice) ale sistemului mecanic. Evident,(m 1 + m 2 ) · OG = m 1 r 1 + m 2 r 2şi, prin derivare în raport cu timpul t, avem(m 1 + m 2 ) · v G = m 1 v 1 + m 2 v 2 . (2.118)Conservarea impulsului total al sistemului mecanic arată căbaricentrulG are, faţă deR, omişcare rectilinie uniformă cu vitezav G =1m 1 + m 2(p 1 + p 2 ) .Introducem reperul R 0 cu originea în baricentrul G şi axele de coordonateparalele cu axele de coordonate ale sistemului de referinţă R. Mai precis,R =(O, −→ B ) şi R 0 =(G, −→ B ). Conform relativităţii Galilei, reperul cartezianR 0 este inerţial.Plecând de la (2.117), putem scrie căm 1 m 2 · (a 1 − a 2 ) = m 2 (m 1 a 1 ) − m 1 (m 2 a 2 )= m 2 F − m 1¡−F¢= (m 1 + m 2 ) · F,

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 145respectivm 1 m 2· a = F,m 1 + m 2(2.119)unde a = r...Cele două puncte materiale au în reperul R 0 razele vectoarer ∗ 1 = − m 2m 1 + m 2r r ∗ 2 =(cf. [41], p. 45, [32], p. 167).Astfel, egalitatea (2.119) poate fi pusă subforma:m 1m 1 + m 2r (2.120)m 1· ··r ∗ 1= F. (2.121)Relaţia (2.121), stabilită înR, sepăstrează în reperul R 0 şi reprezintălegea de mişcare în câmpul de forţe centrale F , de centru G, a unui punctmaterial cu masa m 1 şi raza vectoare r ∗ 1. Aici, F = −γ m 1m 2= −γ m 1m 3r 2 2(m 1 +m 2·) 2= F (r1) ∗ (cf. [76], p. 520).1r ∗21Figura 2.16Formula lui J. Binet ne conduce laµ d 2 1+ 1 = γ dθ 2 r1∗ r1∗ C · m 3 22 (m 1 + m 2 ) = ν 2 C . 2Forma acestei ecuaţii, identică aceleiaîntâlnitelamişcarea particulei încâmp gravitaţional punctiform, permite să afirmăm că primeledouălegialelui Kepler îşi păstrează valabilitatea în reperul R 0 . Cât despre cea de-a treialege, conform (2.111), avemT 2a 3= 4π2ν= 4π2γ · (m 1 + m 2 ) 2m 3 2µ= 4π2γ · 11+ m 21. (2.122)m 2 m 2

146 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALPoate părea ciudat că un punct ”gol” (fără masă), şi anume baricentrulG, atrage particulele cu masă. Totuşi, atunci când m 1 ¿ m 2 ,adică m 1m 2w 0,relaţiile (2.120) şi (2.122) devinr ∗ 1 = −r r ∗ 2 =0T 2a 3= 4π2γ · 1.m 2De exemplu, în cazul Pământului, masa Soarelui m 2 este de aproximativ333.000 ori mai mare decât masa m 1 aPământului (cf. [34], p. 431), astfelcă regăsim legile lui Johann Kepler în formularea dată lor anterior.Relaţiile (2.120), (2.118) arată că½m 1 r ∗ 1 = −m 2 r ∗ 2m 1 v rel,M1 = −m 2 v rel,M2 .Aici, vitezele relative sunt calculate în R 0 . Conform (2.107), putem scrie că(vezi [60], exerciţiul 14.1, p. 28)E rel,M1 = m 12= m 12µv rel,M 2 1− 2 γm3 2(m 1 + m 2 ) −2" µm2= m 2m 1· E rel,M2 .m 1 2v 2 rel,M 2− 2r ∗ 1µ #2 m2 γm 3 1(m 1 + m 2 ) −2m 1 r2∗În mod asemănător, păstrând notaţiile subsecţiunii 2.2.14, deducem că⎧η rel,M2 = η rel,M1ψ rel,M2 = π + ψ rel,M1⎪⎨⎪⎩³C 2γm 2 0C rel,M2 =´p rel,M2 = m 1³m 1m 2´2Crel,M1m 2p³ rel,M1´−2 ³ ´m= 1 C 2mrel,M 2 γm 0 2 rel,M 1A(B) rel,M2 = −λ rel,M2 =e rel,M2 = e rel,M1³m 1m 2´−1A(B)rel,M1³m 1m 2´−1λrel,M1 .

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 147În concluzie, mişcările punctelor materiale ale sistemului mecanic se desfăşoarăpe traiectorii asemenea (vezi Figura 2.17 a) în jurul baricentrului G(cf. [32], p. 167, [54], p. 38, [76], p. 518, 521).Cât despre mişcarea sistemului mecanic, trebuie precizat că, în general,cele două particule materiale realizează omişcare plană instantanee în jurulbaricentrului G dar că planulmişcării (instantanee) se deplasează rectiliniuuniform (cf. [56], p. 145).Figura 2.17 aFigura 2.17 bÎntr-adevăr, vectorii F , r fiind coliniari, deducem că0=r × m 1 + m 2m 1 m 2F = r× ··r= d dt (r× ·r).Astfel, vectorul α not= r× r ·desemnează omărime constantă, ceea ce neîngăduie să afirmăm că vectorulr se găseşte în unicul hiperplan al spaţiuluiT R 3 care este perpendicular pe α (cf. [56], p. 143). În particular, dreaptaM 1 M 2 (de vector director r)rămâne în permanenţăparalelăcuunplanavânddirecţia normală fixă (căci α · r =0) (vezi Figura 2.17 b).Formula (2.122) arată că ce-a de-a treia lege a lui Kepler este susceptibilăde a fi aproximativă. Maiprecis,dacă înlocuim reperul R 0 cu R 00 =(M 2 , −→ B ),relaţia (2.119) poate fi scrisă subformam 1 a rel = m 1 + m 2F = Fm ∗ . (2.123)2Aici, r=·· ³ ´∂ 2 rcăci ω =0, de unde v∂t 2 rel = r, ·a =··rel r.R 00La fel ca anterior, vectorii F ∗ , r sunt coliniari. Aceasta ne conduce la omişcare plană, făcând posibilă utilizarea transformării Prűfer, deci rescrierea

148 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALrelaţiei (2.123) sub forma unei ecuaţiialuiJ.Binet.Maiprecis,µ d 2 1+ 1 dθ 2 r r= − F µ ∗−2 1m 1 C · 2 r= γ(m 1 + m 2 )C 2în planul M 2 xy (am considerat α = αk, undeα > 0).Putem, aşadar, conform (2.111), aduce o corecţie celei de-a treia legi alui J. Kepler:T 2a 3µ= 4π2 · 1+ m −11γm 2 m 2(cf. [34], p. 361). Cu alte cuvinte, constanta din enunţul legii a treia depindede masa planetei.2.2.17 Ecuaţia lui J. KeplerSă revenim la problema mişcării particulei în câmpul gravitaţional punctiformal masei m 0 localizată în originea sistemului de referinţă inerţial R.Formulele (2.105), (2.106) realizează legătura între coordonatele particuleimateriale şi timp. Urmând expunerile făcute în [41], p. 55-56, [76], p.434-438, acesteia i se poate asigura o reprezentare parametrică extrem deconvenabilă.Maiîntâi,secuvineprecizatfaptulcăaxafocală a traiectoriei particuleimateriale este imobilă faţă de axele sistemului de referinţă R (vezi Figura2.15). Ea este caracterizată, după cumamvăzut anterior, de unghiul ψ.Este posibil, aşadar, pentru simplificarea calculelor, să alegemdreptaxadecoordonate Ox chiar axa focală a traiectoriei.Ţinând seama de (2.104), putem scrie căde under min =p1+e = a(1 − e) r max = p = a(1 + e),1 − ea = r min + r max2e = r max − r minr max + r min(cf. [59], p. 89), formule extrem de utile în rezolvarea problemelor demecanică teoretică.

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 149Conform (2.105), avemdt =drq2E+ 2αm r(2.109), (2.110)=− L2 Om 2 r 2 =r m−2E ·Însă p = a(1 − e 2 ), astfel căr mdt =−2E ·1√ −2Em ·rdrqa 2 e 2 − (a − r) 2 =mrdrq−r 2 + α r − −Erdrp−r2 +2ar − ap .r maα ·L2 O−2Emrdrqa 2 e 2 − (a − r) 2(cf. [41], p. 56, [76], p. 435).Facem schimbarea de variabilă naturală a − r = ae cos u şi integrămecuaţia diferenţială cu variabilele separate obţinută:r Z umat = aα · (1 − e cos q) dq.0S-a considerat călamomentuliniţial (t 0 =0) particula materialăsegăseaîn poziţia dată der = a(1 − e cos 0) = r min ,numită periheliul traiectoriei 24(poziţia r = r max reprezintă afeliul traiectoriei) (cf. [76], p. 431, 435, [41], p.54, 56).Aşadar,rma3t =α(2.111)(u − e sin u) = T (u − e sin u) ,2πformulă cunoscută subnumeledeecuaţia lui J. Kepler (cf. [34], p. 364, [76],p. 436).Apoi, conform (2.104), putem scrie căx = r cos (θ − ψ) = p − r = 1 £ ¡ ¢a 1 − e2− a (1 − e cos u) ¤e e= a (cos u − e)y = √ r 2 − x 2 = a √ 1 − e 2 sin u.24 În astronomie, aceastăpoziţiesenumeşte pericentru. Dacămasam 0 reprezintă Soarelesau Pământul, vorbim de periheliu, respectiv perigeu. În cazul unui corp ceresc oarecare,poziţia este periastrul traiectoriei, cf. [60], p. 6.

150 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALDe asemeni, cum cos (θ − ψ) =tan θ − ψ2==a(cos u−e)r=cos u−e,avem1−e cos usr1 − cos (θ − ψ) 1+e1+cos(θ − ψ) = 1 − e ·r1+e1 − e · tan u 2r1 − cos u1+cosu(cf. [34], p. 364).Parametrul u admite următoarea interpretare geometrică (cf. [76], p.436). Sănotăm cu M 1 , M 2 (vezi Figura 2.18) piciorul perpendicularei coborâtădin poziţia M a particulei materiale, în mişcare pe elipsă, pe axa focalăOx, respectiv intersecţia acestei perpendiculare cu cercul, situat în planulmişcării, care are drept diametru axa mare a traiectoriei. De asemeni, fie O 1centrul cercului. Egalitatea O 1 M 1 = O 1 O + OM 1 = ae + x ne conduce laa cos ] (M 2 O 1 M 1 )=ae + a(cos u − e) =a cos u, de unde ] (M 2 O 1 M 1 )=u.Figura 2.182.2.18 Limitele teoriei newtoniene a gravitaţieiÎn această subsecţiune urmăm prezentarea făcută în [76], p. 428-429.Teorema conservării energiei mecanice în cazul mişcării particulei în câmpgravitaţional punctiform, şi anume 1 2 mv2 − α = E, explicădecetraiectoriilerhiperbolice ( E>0) corespund unor puncte materiale care vin de la infinit cuviteză”iniţială” nenulă (facem ca r sătindăcătre +∞)întimpcetraiectoriileparabolice ( E =0) corespund unor particule care au la infinit viteza nulă (cf.[41], p. 55).Săconsiderăm un punct material de masă m 0 şi razăvectoarer în sistemulde referinţă inerţial R care vine de la infinit cu viteză nenulă (vezi Figura2.19).

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 151Figura 2.19Impunând în (2.104) ca r =+∞,obţinem ecuaţia trigonometricăaunghiurilorfăcute cu axa focală Ox de asimptotele traiectoriei:cos (θ − ψ) =− 1 e(e >1),de unde θ−ψ = ± ¡ π2 +arcsin1 e¢+2kπ, k ∈ Z. Diferenţa celor douăcantităţine conduce la unghiul ϕ al asimptotelor hiperbolei, drepte pe care am stabilitun sens de parcurs (orientare):Dacă η = π 2 ,cume =s1+ C2γ 2 m 2 0µv0 2 − 2 γm 0=r 0ϕ =2arcsin 1 e .v"u µr0 t v 2 21+0− 2 r 0v02γm 0γm 0#· sin 2 η,obţineme = r 0v02 − 1.γm 0Atunci când valoarea lui e este suficient de mare, putem scrie căϕ =2arcsin 1 e w 2 e w 2γm 0.r 0 v02Mărimea ϕ = 2γm 0r 0reprezintă unghiul de deviere a traiectoriei unei particulerapide în câmpul gravitaţional punctiform.v02Calculul anterior are următoarea justificare practică. Să presupunem călumina este constituită din particule materiale, numite fotoni, avândviteza

152 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALconstantă v 0 =3· 10 8 m/s. O rază luminoasă, provenind de la un astru îndepărtat,trece razant faţădesuprafaţa Soarelui şi suferă o deviere a traiectorieide unghi ϕ. Datele numerice sunt r 0 =696· 10 6 m (raza Soarelui), η = π 2(vezi Figura 2.20), m 0 =2· 10 30 kg. Obţinem ϕ =0 00 , 87 (grade sexagesimale).Valoarea determinată prinobservaţie astronomică, în timpul eclipseitotale de Soare, este ϕ real =1 00 , 74 (cf. [76], p. 429, [42], p. 339, [79], p. 159).Figura 2.20Oaltă neconcordanţă întremăsurătorile fizice şi calculul făcut în teorianewtoniană agravitaţiei priveşte aşa-zisul imobilism al axei focale a traiectorieiplanetelor în mişcarea lor circumsolară. Observaţia astronomică aarătatcă poziţiile periheliului planetelor variază întimp. Astfel,încazulplaneteiMercur avem de a face cu o deplasare seculară de43 00 , 5 (grade sexagesimale)(cf. [76], p. 432).S-a încercat corectarea teoriei clasice a gravitaţiei prin introducerea unuitermen aditiv în formula (2.76) sau luând în discuţie prezenţa unor planetefictive (încă nedescoperite). Rezultatele obţinute nu au fost însă mulţumitoare.Abia teoria relativistă acâmpuluigravitaţional [42], [79], oferă justificărifenomenelor descrise mai sus. O serie de detalii interesante privindvariaţia poziţiei periheliului planetelor pot fi citite în [41], p. 49-50, 59-60.În încheiere, să considerăm că asupra particulei materiale acţionează uncâmp de forţe centrale (gravitaţionale) având formula F (r) =− α + β , under 2 r 3β > 0.Atunci, problema (2.102) devine( ¡ 1¢ 00+(1+λ) 1 = γm 0¡ rr C 21¢ ¡(θ0 )= 1 1¢ 0rr 0(θr 0 )=− 1 , (2.124)r 0 tan ηunde λ not= βmC 2 .Convenimsălucrăm cu ordinul de aproximare β 2 w 0.

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 153Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale din (2.124) presupune, conform [24], p.399-400, stabilirea formulei soluţiei pentru ecuaţia diferenţială liniarăşi omogenăµ 00 1+(1+λ) 1 rr =0,adică, în particular, determinarea soluţiilor ecuaţiei algebrice z 2 +1+λ =0.Astfel, folosind dezvoltarea limitată afuncţiei radical în vecinătatea lui 1,avemz 1,2 = ±i √ µ1+λ w ±i 1+ λ .2Obţinem, aşadar, soluţia problemei (2.124) sub forma1r = γm 0µ1+C 2 (1 + λ) + A cos λ µθ + B sin 1+ λ θ,22unde ⎧⎨⎩hA =hB =Se ajunge laAici,1r 0− γm 0C 2 (1+λ)1r 0− γm 0C 2 (1+λ)p λ = C2 (1 + λ)γm 0e λ =icos ¡ 1+ 2¢ λ 1 θ0 + sin ¡ ¢1+ λ θ0(1+ λ 2 )r 0 tan η 2isin ¡ ¢1+ λ 1 θ0 − cos ¡ ¢1+ λ θ0 .2 (1+ λ 2 )r 0 tan η 2p λr =1+e λ cos £¡ ¢ ¤.1+ λ 2 (θ − ψ)s1+ C2 (1 + λ)γ 2 m 2 0·v 2 0¡1+λ sin 2 η ¢ − 2 γm 0¡Am ţinut seama de ordinul de aproximare: 1+λ 22¢w 1+λ. Ca şianterior, θ> ·0, deci unghiul θ creşte în permanenţă.r 0¸.Figura 2.21

154 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALSă presupunem călaunmomentdatplanetasegăseşte la periheliul traiectorieisale: r = r min , θ = ψ. Mişcarea desfăşurându-se în sens trigonometric(vezi Figura 2.21), planeta ajunge la afeliu pentru prima oară dupăcevec-πtorul său de poziţie s-a rotit cu unghiul . Planeta revine la periheliul dat1+λ/2de r = r min după încăorotaţie a vectorului său de poziţie cu unghiulπ. 1+λ/2Însă nouapoziţie a periheliului traiectoriei nu mai coincide cu poziţia iniţială.Diferenţa de unghi produsă este echivalentă uneirotiri în sens inverstrigonometric a dreptei ce uneşte centrul O cu poziţia iniţială a periheliului,de unghi∆ψ =π λ/22π − 2 · =2π1+λ/2 1+λ/2 w 2π λ µ1 − λ 2 2wπβmC = πβ2 αp ,unde p reprezintă parametrul traiectoriei ”neperturbate” (p = p 0 ), cu ordinulde aproximare dat de β 2 w 0 (cf.[41],p.60).2.2.19 Teorema virialuluiAceastă subsecţiune are un caracter auxiliar. Ea vine în continuarea calculelorde mecanică hamiltoniană prezentate în subsecţiunea ”Legi de conservare (II)”.Cititorul nu este obligat să o parcurgă la prima lectură.Teorema virialului (Clausius) priveşte media temporală a energiei cineticea unui sistem mecanic închis. Ea are o semnificaţie excepţională în proceselede măsurare fizică (cf. [56], p. 195-196).Să considerăm, aşadar, sistemul mecanic închis a n puncte materiale, demase m i şi raze vectoare r i în raport cu sistemul de referinţă inerţial R (cf.[41], p. 178), a cărui stare mecanică este caracterizată de lagrangianul (2.97).Spunem că energia potenţială V a sistemului mecanic este o funcţieomogenă de ordinul k ∈ Z dacă, prin definiţie, V (αr 1 , αr 2 ,...)=α k V (r 1 , r 2 ,...), undeα reprezintă oconstantăreală oarecare. Are loc următoarea teoremăaluiL.Euler:nX ∂VkV = · r i (2.125)∂r i(cf. [41], p. 37).i=1

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 155şiÎntr-adevăr, putem scrie căddα V (αr 1, αr 2 , ...) = d £α k V (r 1 , r 2 , ...) ¤dα= kα k−1 · V (r 1 , r 2 ,...)dnXdα V (αr ∂V1, αr 2 , ...) =∂ (αri=1 i ) · d (αr i)nXµ 1dα = α · ∂V · r i .∂ri=1iEgalând cele două expresii obţinemnXkα k ∂· V (r 1 , r 2 ,...)= V (αr 1 , αr 2 , ...) · r i .∂r ii=1Justificarea relaţiei (2.125) se încheie dacă alegemα =1.Acest tip de formule se dovedeşte esenţial, printre altele, în calcule legatede reducerea numărului de variabile. Cititorul poate consulta, de exemplu,lucrarea recentă acercetătorilor canadieni A. Bóna şi M. Slawiński, Raypathsas parametric curves in anisotropic, nonuniform media: differential-geometryapproach, apărută înNonlinear Analysis, 51(2002), p. 983-994.În continuare, conform (2.97), avem2T =nX(m i v i ) · v i =i=1ÃnXnX!p i · v i = d pdt i · r i −i=1i=1nXi=1r i· ·p i .Considerăm, în acord cu problemele vieţii de zi cu zi, că particulele sistemuluimecanic rămân ”permanent” într-o zonă mărginită a SF şi că existăo limitare superioară a valorilor vitezelor acestora.Media temporală a unei anumite mărimi Θ(t) este dată deformulaZΘ not 1t= lim Θ(τ)dτt→+∞ tt 0(cf. [41], p. 36).PMărimean p i · r i fiind mărginită, media derivatei sale temporale estei=1nulă:Ã nX!( nX)d1pdt i · r i = lim [pt→+∞ ti (t) · r i (t) − p i (t 0 ) · r i (t 0 )]i=1i=1

156 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL= mărginitinfinit=0.Conform (2.99) şi (2.125), deducem cănXnX− r i· p ·i = r i · ∂V = kV.∂r ii=1În concluzie, 2T = kV .Însă E = E = T + V ,deundeT =i=1kk +2 E V = 2k +2 E.Formula T = k V reprezintă teorema virialului.2În cazul particular al interacţiunii gravitaţionale (n =2şi una dintreparticule este localizată în originea sistemului de referinţă), cum V (r) =−γ m 1m 2constituie o funcţie omogenă degradk = −1, avem2T = −V şirE = −T

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 157Ceea ce arată căvârfulV este supus unei restricţii dată printr-o inegalitate,şi anumed(O, V ) 6 d maxsau, echivalent,x 2 V (t)+yV 2 (t)+zV 2 (t) − d 2 max 6 0(cf. [76], p. 123, [34], p. 387, [63], p. 328-329).Al doilea exemplu este furnizat de cartea ”Un veac de singurătate”,aparţinând scriitorului sudamerican G. G. Márquez, aflată într-un raft debibliotecă, la etajul al doilea al Bibliotecii Judeţene din Craiova. Volumulrespectiv poate fi scos din raft (deplasat orizontal) dar nu poate fi ridicatsau coborât (mişcat pe verticală) atâta timp cât se găseşte în raft. Cu altecuvinte, litera ”U” din titlul cărţii este supusă uneirestricţii dată printr-oegalitate, şi anumez U (t) =h,unde h reprezintă înălţimea (constantă) a raftului.Figura 2.22Exemplele anterioare arată că, în problemele vieţii de zi cu zi, asupracorpurilor acţionează o serie de restricţii, numite legături. În cazul uneiparticule, se întâlnesc denumirile de punct material liber şi punct materiallegat desemnând un corp punctiform care poate ocupa, în principiu, oricepoziţie în SF relativ la sistemul de referinţă R, respectiv un corp punctiformobligat, deexemplu,sărămână pe o suprafaţă, pe o curbă sau într-un punctfix (cf. [76], p. 110).Astfel, legăturile constituie restricţii de natură geometricăşi/sau cinematicăale posibilităţilor de mişcare ale punctului material. Legăturile bilateralese exprimă prin egalităţi (ecuaţii) de forma³´ϕ t, x, y, z, ·x, ·y, ·z =0,

158 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALpe când legăturile unilaterale vor fi date cu ajutorul inegalităţilor³´ϕ t, x, y, z, ·x, ·y, ·z 6 0.În funcţie de prezenţa explicită, respectiv absenţa timpului t din formulalegăturii, aceasta este reonomă (în prezenţa timpului t) sauscleronomă (înabsenţa timpului t).Admitemînceleceurmeazăcă olegătură nucedează (punctul materialnu poate fi ”smuls” legăturii) şi nu se modifică sau distruge în timp. Înplus,prezenţa explicită a timpului t în formula legăturii permite evoluţia acesteiadupă olegedată, independent de forţele care acţionează asupra punctuluimaterial (cf. [76], p. 476-477, [34], p. 387-388, [63], p. 328). Un exempluîn această privinţă esteoferitdeprezenţa unei pietricele în interiorul uneianvelope (aproximată, pentru simplitate, cu un tor 3−dimensional). Datorităexistenţeiuneispărturi de dimensiuni reduse, anvelopa se dezumflăîntimpulmişcării autovehiculului. Ceea ce înseamnăcă pietricica se găseşte într-un locdin ce în ce mai ”strâmt”, fenomen independent de forţele care acţioneazăasupra sa.Nu insistăm în privinţa unor asemenea chestiuni, ele fiind tratate pe bazacalculelor specifice mecanicii analitice (cf. [76], p. 482, 493). Oricum, a devenitclar că, atât în situaţia creionului legat de degetul arătător cât şi în ceaacărţii din raftul de bibliotecă, legăturile constituie expresii matematice aleinteracţiunii corpurilor, dar că efectele acestor interacţiuni sunt neglijabileîn cazul unuia dintre cele două corpuri implicate în proces. Astfel, tendinţacreionului de a ”trage”, la rândul său, de degetul arătător, respectiv a cărţiide a apăsa raftul de bibliotecă atuncicândcinevaîncearcăsă o deplasezevertical au consecinţe practic nule asupra degetului arătător ori a raftului debibliotecă. Cu alte cuvinte, legăturile au un sens local, identificându-se degetularătător şi raftul de bibliotecă cumediul înconjurător (cf. [32], p. 65). Înparticular, cele două aspecte referitoare la punctul material liber, şi anumeabsenţa acţiunii vreunei forţe (venite din partea ”mediului” înconjurător) şiposibilitatea de a ocupa indiferent ce poziţie în SF sub acţiunea unor forţecorespunzătoare se pun de acord.Vom stabili în continuare, pe baza expunerii făcută în [76], p. 112-124,ecuaţiile care intervin în statică, numite condiţii de echilibru ale punctuluimaterial. Următorul experiment poate fi uşor imaginat. Pe un plan înclinat(vezi Figura 2.23) este aşezată o bucată desăpun de casă (avândformăparalelipipedică) pe care o legăm cu sfoară. Variind unghiul β (0 6 β 6 90 ◦ )

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 159făcut de sfoară cusuprafaţa planului, putem împiedica bucata de săpun săalunece în jos pe planul înclinat. Evident, forţa întrebuinţată cuaceastăocazie ( −→ F , −→ F 1 , −→ F 2 , etc) va depinde de unghiul β.Asupra bucăţii de săpun (privită caun”punct”material)acţionează (înmod vizibil) douăforţe:Figura 2.23−→ −→ F (transmisă prin intermediul sforii) şi greutatea G .Bucatadesăpuneste, în plus, supusă uneilegături unilaterale, fiind obligată săsemişte pesuprafaţa planului înclinat (legătura este unilaterală căci, dacă forţa −→ F estesuficient de mare, bucata de săpun va părăsiplanulînclinat,fiind ridicatăîn aer). În mod evident, bucata de săpun interacţionează cu planul înclinat”responsabil” de existenţa restricţiei de mişcare a sa; mai precis, bucata desăpun apasă planul înclinat (acţiune), acesta intervenind cu o forţă necunoscută−→ R (reacţiune) asupra bucăţii de săpun (cf. [32], p. 46). În concluzie,asupra bucăţii de săpun acţionează treiforţe: două ”vizibile” −→ F , −→ G (forţa−→ F exercitată prinintermediul sforii se mai numeşte şi activă, cf.[32],p.65,[14], p. 18) şioatreia, −→ R , venind din partea ”mediului”. Putem, în modnatural, face să dispară planul înclinat punând în locul său forţa −→ R .Condiţiile de echilibru ale bucăţii de săpun trebuie să asigurerămânereaacesteia în repaus după aşezarea pe planul înclinat. Pentru determinarealor utilizăm principiul paralelogramului (independenţei acţiunii forţelor) şiprincipiul inerţiei (cf. [76], p. 112). Asupra bucăţii de săpun acţionândtrei forţe diferite, ele pot fi înlocuite cu una singură, rezultanta lor. Efectulacţiunii acesteia asupra corpului material va îngloba efectele acţiunii fiecăreiadintre cele trei forţe. Cum bucata de săpun trebuie să rămână înrepausodatăaşezată pe planul înclinat, starea sa mecanică nusuferăvreomodificare

160 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL(iniţial, săpunul era ţinut cu mâna), ceea ce arată că, pe baza principiuluiinerţiei, are loc relaţia−→ F +−→ G +−→ R =0. (2.126)”Slăbind” puţin sfoara, bucata de săpun va începe să alunece în jospe planul înclinat. Mişcarea sa este rectilinie. Aceasta ne permite să descompunemecuaţia (2.126) după douădirecţii ortogonale: una paralelă cusuprafaţa planului înclinat (direcţia mişcării posibile abucăţii de săpun) şicealaltă perpendiculară pe planul înclinat (vezi Figura 2.24).Figura 2.24Putem da şi o altă justificare (parţială) a acestei descompuneri: relaţia(2.126) arată că −→ R ∈ Sp({ −→ F, −→ G }). Forţele −→ −→ −→R , F , G fiind, aşadar,coplanare, ele se vor găsi în planul secţiunii verticale ( −→ G are direcţia verticaleidescendente) având unghiul la bază α (cf. [76], p. 118) prin planulînclinat ce conţine punctul material. Descompunerea relaţiei (2.126) se poateface după direcţiile oricărei baze (ortonormate) a spaţiului director al secţiunii.Aşadar, condiţiile necesare şi suficiente (cf. [76], p. 113) ca bucata desăpun să rămână în echilibru pe planul înclinat sunt½Fk + T − G k = F cos β + T − G sin α =0N + F ⊥ − G ⊥ = N + F sin β − G cos α =0.(2.127)Aici, −→ R = −→ N + −→ T iar semnul lui T depinde de tendinţa de mişcare abucăţii de săpun (vezi Figura 2.25) (cf. [63], p. 39-40, [14], p. 23-24, [76], p.128).

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 161Figura 2.25În general, dacă asupra unui punct material liber acţionează maimulteforţe −→ F i ,atunciformavectorialăacondiţiilor sale de echilibru este−→ X −→ F = Fi =0, (2.128)iunde −→ F desemnează rezultanta forţelor −→ F i .Condiţiile de echilibru se obţinproiectând (2.128) pe trei (două) direcţii ortogonale alese convenabil (cf.[14], p. 18). Problemele staticii punctului material liber (cf. [63], p. 29,[14], p. 18) se referă, pe de o parte, la determinarea poziţiei de echilibru aacestuia în reperul canonic R (forţele −→ F i fiind cunoscute) şi,pedealtăparte,la determinarea forţelor −→ F i care trebuie aplicate punctului material pentruca acesta să rămână înechilibruîntr-oanumităpoziţie. În acest al doileacaz, asupra forţelor −→ F i este necesar să fie impusecondiţii suplimentare (înparticular, β < 90 ◦ ;trăgând de sfoară perpendicular pe suprafaţa planuluiînclinat nu putem opri alunecarea bucăţii de săpun ci, cel mult, desprindebucata de săpun de planul înclinat) (cf. [76], p. 113-114).Forţa −→ R poartă denumirea de forţă delegătură (reacţiune) (cf. [32], p.65, [63], p. 31, [14], p. 18, [76], p. 115, 480). Dacă asupra componentelorsale −→ N , −→ T nu se impune nici o condiţie, problema echilibrului bucăţii desăpun este nedeterminată (cf. [76], p. 115). Aşa cum vom vedea ulterior,între mărimile N şi T are loc relaţia |T | 6 µN, constantaµ fiind determinatăexperimental (cf. [14], p. 23).Să considerăm punctul material M obligat să rămână pesuprafaţa simplăγ : U → E 3 . Legăturasaestebilaterală, punctul material M neputândpărăsi suprafaţa. Mişcarea (posibilă) a punctului material M sub acţiuneaunor forţe oarecare având loc pe suprafaţă, poziţia acestuia este caracterizatăcomplet de parametrii (variabilele) suprafeţei, numiţi grade de libertate alepunctului material (cf. [76], p. 110, 117, 479-480, [41], p. 7, [2], p. 57).

162 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALMicile variaţii (”slăbirea” sforii în cazul bucăţii de săpun) ale poziţiei punctuluimaterial M în jurul poziţiei sale de echilibru se fac pe un arc ”infinit”demicdecurbă situat pe suprafaţa γ : U → E 3 . Ori, aşa cum precizam lacomentariile făcute în finalul secţiunii precedente, o asemenea mişcare poatefi aproximată cu deplasarea punctului material pe tangenta la arcul de curbăîn poziţia sa de echilibru. Ceea ce implică faptulcădeplasările (posibile)”infinit” de mici ale punctului material M se realizează, practic, în planultangent la suprafaţa γ : U → E 3 în poziţia de echilibru a acestuia (cf. [76], p.750). Apare astfel, în mod natural, ideea de a descompune forţa de legăturănecunoscută −→ R în douăcomponente −→ N , −→ T , una coliniarăcuversorulnormalexterior al suprafeţei γ : U → E 3 în poziţia de echilibru a punctului material( −→ N )şi cealaltă ( −→ T )situatăînplanulT M0 , unde M 0 reprezintă poziţia deechilibru a punctului material M. În mod evident, ”rolul” componentei normale−→ N areacţiunii −→ R este de a împiedica punctul material să părăseascălegătura (bilaterală). La rândul său, componenta tangenţială −→ T areacţiunii−→ R va împiedica punctul material să se deplaseze pe legătură (cf. [76], p.116, [14], p. 19, [63], p. 31-32). Componenta −→ T poartă denumirea de forţăde frecare (cf. [76], p. 116, 480, [14], p. 19, [2], p. 61). Ea se datorează”asperităţilor” suprafeţei γ : U → E 3 (cf. [14], p. 21). Legătura γ : U → E 3este ideală (lucioasă, lucie) dacă T =0.Consideraţiile anterioare îşi păstrează valabilitatea atunci când punctulmaterial este obligat să rămână pecurbasimplă γ : I → E 3 . Singura deosebireconstă înfaptulcă, acum, componenta normală −→ N aforţei de legătură−→ R nu mai are o direcţie precizată, cisegăseşte în planul normal la curbaγ : I → E 3 în poziţia de echilibru M 0 a punctului material M.Forma vectorialăacondiţiilor de echilibru ale punctului material M supusunei legături lucii este−→ F + λ · −→nM0 =0(cf. [76], p. 117-118, [15], p. 60, vol. II), unde −→ F desemnează rezultantaforţelor efectiv (”vizibil”) aplicate punctului material M, respectiv−→ F + λ1 · −→ ν M0 + λ 2 · −→ β M0 =0.În practică, este utilă referirea la curba γ : I → E 3 ca intersecţie adouăsuprafeţe (cf. [48], p. 15). Atunci, putem scrie că−→ F + λ1 · −−→ (n 1 ) M0 + λ 2 · −−→ (n 2 ) M0 =0,

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 163unde −→ n 1 , −→ n 2 reprezintă versorii normali exteriori ai suprafeţelor γ i : U i → E 3 ,i =1, 2 (cf. [76], p. 120-121, [14], p. 20, [34], p. 399, [25], p. 20).În ceea ce priveşte legăturile unilaterale (date cu ajutorul inegalităţilor),acestea constituie legături ce pot fi părăsite de punctul material M în anumitecondiţii (situaţia creionului legat de degetul arătător al mâinii drepteatunci când sfoara nu este întinsă, respectiv a bucăţii de săpun ridicată depe planul înclinat prin acţiunea forţei −→ F ) (cf. [76], p. 122). O problemăde statică a punctului material M supus unei legături unilaterale se trateazăîn felul următor: presupunem, mai întâi, că legătura este bilaterală şi determinămpoziţia (poziţiile) de echilibru; apoi, pentru fiecare din aceste poziţii,analizăm sensul rezultantei −→ F . Dacă acesta nu asigură legătura (de exemplu,în cazul bucăţii de săpun, rezultanta −→ F = −→ F + −→ G asigură legătura,apăsând asupra planului înclinat), atunci poziţia de echilibru respectivă trebuieeliminată dinsoluţia problemei (cf. [76], p. 123, [34], p. 390).Legile lui C. Coulomb privind frecarea. Unghi de frecare. Conuride frecareIniţiem următorul experiment, ţinând seama de expunerea făcută în[32],p. 63-64. Pe o masă de lemn este aşezată ocărămidă (vezi Figura 2.26).Figura 2.26Forţa de frecare −→ T , notatăaicicu −→ F f ,poatefi pusăînevidenţăprinîmpingereauşoară acărămizii pe direcţie orizontală; în absenţa frecării, cărămidaar trebui să se deplaseze pe direcţia forţei −→ F . Ori, evident, acest lucru nuse petrece decât atunci când forţa −→ F ajunge suficient de intensă (F estesuficient de mare). Ceea ce arată că, la contactul cărămizii cu masa de lemn,intervin anumite forţe, datorate întrepătrunderii ”neregularităţilor” microscopiceale celor două suprafeţe care se întâlnesc (ating). Identificând masacu ”mediul” înconjurător, interacţiunea celor două corpuri (cărămidă, masă)

164 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALne va interesa doar din punctul de vedere al reacţiunii mediului, şi anume−→ −→ T . Faptul că, la un anumit moment, sub acţiunea unei forţe F suficientde intense, cărămida se urneşte din loc, începând să alunece într-o direcţieoarecare, dovedeşte că acele forţe necunoscute care apar în proces nu potfi oricât de intense, având o valoare maximă (determinabilă experimental).Forţa necunoscută care”reţine” cărămida (identificată cuun”punct”material)în repaus până când forţa activă −→ F devine suficient de intensă poartădenumirea de forţă de frecare statică (aderenţă). Valoarea sa maximă estenotată cuf s .Odatăurnită, cărămida poate fi făcută să alunece în mod uniform(v = constant) sub acţiunea unei forţe active −→ F = − −→ F f puţin mai micădecât forţa necesară pornirii din loc. În acest caz, faptul că, sub acţiuneaunei forţe active −→ F ,mişcarea este uniformă (a =0)implică prezenţa uneiforţe necunoscute, datorată ”ruperii” continue a ”neregularităţilor” microscopiceîn procesul alunecării (cf. [32], p. 64, [76], p. 125). Această forţă,de mărime f c ,senumeşte forţă de frecare de alunecare (cinetică) (cf. [76], p.124, [63], p. 35). Aşa cum am precizat anterior, f c

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 165de mult în intensitate, fenomen datorat interacţiunii (coeziunii) moleculelorsituate pe suprafeţele de contact (cf. [76], p. 126). La rândul său, coeficientulde frecare de alunecare variază cu viteza: el scade brusc la început (între 0şi 10 km/h) după careprezintăoevoluţie lentă (scădere) (cf. [63], p. 36).În acest mod poate fi explicat de ce un autovehicul frânează mai uşor dacăroţile sale nu sunt blocate complet, ci se rostogolesc şi alunecă simultan(cuovitezămaimică decât cea iniţială) (cf. [76], p. 126).În problemele privind echilibrul cu frecare al corpurilor materiale saurostogolirea fără alunecareapare coeficientul µ s ,pecândînproblemelededinamică sefoloseşte coeficientul µ c (cf. [32], p. 64, [76], p. 608-611). Întehnică intervinşi frecarea de rostogolire (cf. [32], p. 64, [63], p. 99-100, [76],p. 605-607, [2], p. 85-86), de pivotare (cf. [63], p. 102-103, [76], p. 617, [2],p. 87-89), hidrodinamică (cf. [76], p. 778), etc.Să revenim la ecuaţiile (2.127). Aşa cum se poate observa în Figura 2.25,estedeaşteptat ca mărimea forţei active −→ F să fie cuprinsă între o valoareinferioară F min şi una superioară F max ;într-adevăr, în primul caz, bucatade săpun are tendinţa să alunece în josul planului înclinat pe când în celde-al doilea caz, sub acţiunea forţei −→ F ,bucatadesăpun este gata să înceapăascensiunea pe planul înclinat. Inegalitatea |T | 6 µN, undeµ not= µ s w µ c(cf. [34], p. 389, [32], p. 64), ne conduce lasin α − µ cos αF min = Gcos β − µ sin β6 F 6 Gsinα + µ cos αcos β + µ sin β = F max(cf. [14], p. 24). Cu alte cuvinte, în cazul echilibrului punctului materialsupus unei legături aspre (cu frecare), mărimea F nu poate fi determinatăprecis, ci doar încadrată întreanumitevalori-limită. Aceeaşi situaţie are locîn cazul cărămizii aşezată peosuprafaţă orizontală (masa de lemn). Aici,intensitatea forţei active −→ F nu poate depăşi valoarea µN. Acest fenomenface utilă introducerea unor modalităţi geometrice de poziţionare a forţeirezultante −→ F ,şi anume conurile de frecare. Introducem unghiul ϕ ∈ [0, π 2 ),numit unghi de frecare (cf. [14], p. 21), prin formula tan ϕ = µ. Atunci,inegalitatea |T | 6 µN ne conduce la (vezi Figura 2.27) β 6 ϕ, unde βdesemnează unghiul făcut de forţele −→ R , −→ N .Evident,legătura dată demasade lemn fiind unilaterală, pentru a menţine cărămida în repaus este necesarca forţa −→ F să seafle înzona haşurată (cf. [76],p. 129,[14],p. 21). Dacălegătura ar fi fost bilaterală, rezultanta −→ F putea fi situată şi în porţiuneasimetrică (faţă desuprafaţa mesei) a zonei haşurate (cf. [76], p. 130).

166 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALFigura 2.27În general, dacă punctul material este supus unei legături bilaterale aspre,fiind obligat să rămână pesuprafaţa simplă γ : U → E 3 , putem construiconul cu două pânze (vezi Figura 2.28) având unghiul la centru 2ϕ şi axade simetrie (longitudinală) dată de normala la suprafaţă înM 0 . Punctul M 0desemnează opoziţie de echilibru a punctului material M dacă rezultanta−→ F se găseşte în interiorul sau, la limită, pe suprafaţa conului (cf. [76], p.130, [34], p. 391, [63], p. 37). În cazul unei legături bilaterale desemnate decurba simplă γ : I → E 3 ,construimconulcudouă pânze (vezi Figura 2.29)având unghiul la centru π − 2ϕ şi axa de simetrie (longitudinală) dată detangenta la curbă înpoziţia M 0 . Punctul M 0 reprezintăopoziţie de echilibrua punctului material M dacă rezultanta −→ F se găseşte în exteriorul sau, lalimită, pe suprafaţa conului (cf. [76], p. 131, [34], p. 398-399, [63], p. 38).Cele două conuri poartă denumireadeconuri de frecare (cf. [76], p. 131,[14], p. 21, [34], p. 391, [63], p. 37).Figura 2.28 Figura 2.29În sfârşit, în cazul legăturilor aspre, atunci când sunt cunoscute forţele−→Fi efectiv aplicate punctului material M, estedeaşteptat să existeoinfinitatede poziţii de echilibru ale acestuia, grupate în arcuri de curbă, respectiv”regiuni” ale unei suprafeţe (cf. [76], p. 127). Chestiunea delicată aaproximăriiµ s w µ c îifacepeuniiautorisă prefere scoaterea din discuţie, la acestnivel, a cazului punctelor de echilibru limită (determinate prin poziţionarea

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 167rezultantei −→ F pe suprafaţa conurilor de frecare) (cf. [14], p. 21, [34], p. 391,399, [26], p. 115).Axioma legăturilor. Sensul forţei de frecareRestricţia de mişcare impusă bucăţii de săpun, din experimentul descrisîn subsecţiunea precedentă, de către planul înclinat se face ”simţită” în calculprin introducerea reacţiunii necunoscute −→ R .Practic,odatăluatăînconsiderareaceastă forţă, putem elimina planul înclinat din problemă. Obţinemastfel un principiu general, cunoscut sub denumirea de axioma legăturilor(axioma eliberării, principiul forţelor de legătură, etc.) (cf. [76], p. 115, 480,[63], p. 31, 329, [14], p. 19, 135): olegătură, prezentă încadruluneiproblemede statica sau dinamica punctului material, poate fi înlocuită cuoforţănecunoscută, numită forţă delegătură, în aşa fel încât, sub acţiunea forţelorefectiv aplicate şi a forţei de legătură, punctul material să poată fi consideratliber. În cazul unui corp material solid rigid, în afara forţei de legătură sevaţine seama şi de momentul acesteia (cf. [63], p. 31).Aşadar, ecuaţia generală amişcării punctului material M poate fi scrisăsub formam · −→ a = −→ F + −→ R, (2.129)unde −→ F reprezintă rezultanta forţelor efectiv aplicate punctului materialM iar −→ R desemnează rezultanta reacţiunilor (forţelor de legătură) datoratelegăturilor la care punctul material M este supus.Forţa de frecare −→ T având rolul de a se împotrivi deplasării punctului materialM pe legătură, sensul său va fi opus celui al vitezei relative a punctuluimaterial M faţă delegătură (cf. [34], p. 389).2.2.21 Ecuaţiile intrinseci ale lui L. Euler. Ecuaţiilemişcării în triedrul lui Darboux. Legătura cuteorema energiei cineticeA devenit clar, deja, că rezolvarea unei probleme oarecare de mecanicăteoretică comportădouăetapemajore. Maiîntâi,se stabileşte un anumitreper al SF pe axele căruia vor fi proiectate expresiile (vectoriale) ale legilornaturii care intervin în proces. Apoi, se determină soluţia ecuaţiei sau sistemuluide ecuaţii diferenţiale obţinute în urma proiecţiei. În general, asemeneasoluţii nu pot fi exprimate cu ajutorul funcţiilor elementare, apelându-se

168 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALla dezvoltări în serie, reprezentări integrale pe baza unor nuclee specifice,etc. A se vedea, de exemplu, ecuaţia balisticii exterioare, cf. [34],p. 338-344, [76], p. 411-417, [63], p. 312-318 ori ecuaţia pendulului sferic, cf. [34],p. 410-413, [76], p. 497-498, [41], p. 51. Utilizând forma particulară aunorasemenea ecuaţii diferenţiale ori anumite reprezentări integrale ale mărimilorfizice legate de procesul în cauză, putem face o serie de consideraţii calitativeasupra fenomenului respectiv fără arezolvaefectiv ecuaţia ori sistemul diferenţial;cum ar fi, deexemplu,determinareaperioadei unei mişcări repetabile(periodice), cf. [41], p. 41, stabilirea unghiului de deplasare al vectorului depoziţie aparţinând unui punct de rebrusment pe traiectoria mişcării în câmpcentral, cf. [41], p. 49, calcule à la problema lui Abel, cf. [34], p. 405-406,[41], p. 43-44, ş. a. m. d. Triedrul lui Frenet, respectiv cel al lui Darbouxjoacă în acest context un rol fundamental.Astfel, în cazul mişcării unui punct material M pe o legătură bilateralăideală datădecurbafixă Γ în raport cu sistemul de referinţă inerţial R esteutilă proiectarea ecuaţiei generale (2.129) pe axele triedrului lui Frenet înpoziţia curentă a mobilului. Traiectoria acestuia este cunoscută, fiind datăchiar de curba Γ cu orientarea impusă desensul de mişcare al punctuluimaterial M (cf. [76], p. 483). Atunci, putem scrie căm ·v= F τ m v2R = F ν + N ν 0=F β + N β . (2.130)Formulele (2.130) poartă denumirea de ecuaţiile intrinseci de mişcare alelui L. Euler (cf. [34], p. 240). Ele permit determinarea în mod direct acomponentelor N ν , N β aparţinând forţei de legătură (cf. [15], p. 38).Dacă corpul punctiform M este supus legăturii fixe bilaterale ideale datăde suprafaţa simplă S, proiectarea ecuaţiei (2.129) pe axele triedrului luiDarboux ataşat traiectoriei particulei în poziţiasacurentă ne conduce lam ·v= F τ m v2R cos θ = F n + N m v2R sin θ = F m, (2.131)unde θ = ] (n, ν) (cf. [34], p. 394, [76], p. 494). Dată fiind modalitateade introducere a triedrului lui Darboux, relaţiile (2.131) capătă semnificaţiaunor ecuaţii intrinseci (cf. [48], p. 54, [76], p. 494).Un caz particular esenţial este acela în care, începând cu un momentoarecare t 0 , rezultanta −→ F aforţelor efectiv aplicate mobilului M îşi înceteazăacţiunea. Atunci, cum F τ = F n = F m =0, deducem căv = v 0 = constant 6= 0 sinθ =0,

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 169de unde θ ∈ {0, π}. Evident, cum θ ∈ C ∞ ([t 0 ,t 1 ], R), θ(t) este constant:θ(t) =0sau θ(t) =π, t ∈ [t 0 ,t 1 ]. În concluzie, în intervalul de timp [t 0 ,t 1 ]punctul material M se deplasează uniform pe o geodezică alegăturii S (cf.[48], p. 88).Prima dintre ecuaţiile intrinseci (2.130), (2.131), şi anume m ·v=F τ ,constituieo reformulare a teoremei energiei cinetice (cf. [76], p. 484). Întradevăr,plecând de la F τ = F·τ = m ·v= m v ··τ, avemcăµF·dr ds = ¡ F + N ¢ · dr = F·drdsµ = m·v ·drds = m dvdsµm dv=dt · v dt = d dtµ mv2= d .2dt · drµm v22dt2.2.22 Principiul echivalenţei. Forţe inerţialeÎn călătoriile cu automobilul devenim conştienţi frecvent de efectele inerţieicorpurilor materiale. Mai precis, ori de câte ori şoferul frânează brusc,pasagerul aflat pe ”locul mortului” simte că este aruncat în parbriz. Oaltă situaţie din viaţa de zi cu zi în care inerţia se face remarcată constăînalunecarea oblică apicăturilor de ploaie pe fereastra unui vagon de pasageri,în timpul mersului. Putem reproduce asemenea situaţii imaginându-ne următorulexperiment (vezi Figura 2.30): un cărucior închis (fără geamuri)sedeplasează rectiliniu uniform accelerat, cu acceleraţia −→ a .Figura 2.30 Figura 2.31

170 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALO persoană aflată îninteriorulcăruciorului constată deviereafirului desuspensie al unei bile de oţel, în timpul mişcării, cu unghiul θ dat de tan θ = a.gFaţă depersoanadinexperiment,biladeoţel se găseşte în repaus (dupăîncheierea micilor oscilaţii specifice, cf. [32], problema 3.6, p. 70, [59],problema 7.1.40, p. 111). Mai mult, persoana nu are posibilitatea să sesizezemişcarea căruciorului faţă de sol. În concluzie, putem afirma căbiladeoţel secomportăcaşi cum, în afara Pământului, ar mai exista o ”planetă” în spateleperetelui căruciorului (vezi Figura 2.31), responsabilă de existenţa unui câmpgravitaţional suplimentar −→ Γ 2 = − −→ a . Amatorii de filme science-fiction auputut remarca în secvenţele când camera de luat vederi survolează ”staţiaspaţială” că aceasta,”oprită” într-o zonă ”pustie”, ”îndepărtată” a spaţiuluicosmic, se roteşte în jurul unei axe imaginare. Acceleraţia (centrifugă) creatăde o asemenea mişcare le permite astronauţilor să umble pe pereţi (cf. [73],nota de subsol, p. 364). Iată, aşadar, o ilustrare elocventă a consideraţiiloranterioare.Pe baza legii fundamentale de compunere a aceleraţiilor în mecanica teoreticăputem scrie că (ω =0)0 = a rel = a − a transp − a Cor= a − a transp ,de unde a = a transp . Apoi, conform (2.129), avem0 = m · −→ a rel = −→ F + −→ R − m · −→ a transp (2.132)= −→ F + −→ R + m · (− −→ a )(cf. [34], p. 425, [31], p. 200). Formula anterioară aratăcă, în problemeleprivind comportamentul bilei de oţel relativ la sistemul de referinţă datdecăruciorul în mişcare, forţelor efectiv aplicate corpului punctiform (bila deoţel) şi forţelor de legătură liseadaugăoforţă specială, numită inerţială. Eanu trebuie confundată cuforţa de inerţie, neavând o existenţă reală, cifiindun efect al mişcării (cf. [76], p. 503, [32], p. 202). Asupra forţelor inerţialevom reveni ulterior.În concluzie, persoana din cărucior nu poate distinge dacă segăseşte întrunmediu aflat în mişcare accelerată faţă de un sistem de referinţă inerţialsau, dimpotrivă, se mişcă inerţial (faţă de stele) dar în prezenţa unui câmpgravitaţional suplimentar −→ Γ 2 (cf. [32], p. 184). Are loc astfel principiulechivalenţei dintre forţele de gravitaţie şi forţele inerţiale. Acest fapt este

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 171în concordanţă cu egalitatea dintre masa gravifică şi masa inertă. Se cuvinemenţionat că echivalenţa dintre gravitaţie şi inerţie are un caracter local (înzone limitate ale SF - interiorul automobilului - şi pe intervale mici de timp- perioada în care se produce frânarea - ).Reducerea formală prin formula (2.132) a unei probleme de dinamicapunctului material la o problemă de statică constituie esenţa metodei cinetostatice(cf.[32],p.202,[73],p.469-471, [63], p. 489, 497-498).2.2.23 Mişcarea în câmp gravitaţional terestru, în vid.Bătaia şi săgeata traiectoriei. Parabola de siguranţăUn corp punctiform de masă m este lansat din vecinătatea solului (cf.[34], p. 242), cu viteza −→ v 0 făcând unghiul α ∈ (0, π ) cu planul orizontal (vezi2Figura 2.32). Dorim să determinăm traiectoria sa neglijând rezistenţa aerului(mişcare în vid).O asemenea problemăaproximeazăsituaţia reală a unui proiectil expulzatdintr-o armă defoc(problema balisticii exterioare, cf. [34],p. 338;balisticainterioară desemnează, generic, studiile privind explozibilii folosiţi la lansareaproiectilelor, cf. [76], p. 412) atunci când viteza acestuia este foarte mică(cf. [34], p. 244). În particular, nu se ţine seama de curbura Pământului,raportând calculele la ”planul” orizontal (cf. [76], p. 409).În realitate, traiectoria proiectilului depinde sensibil de forma sa (cf. [63],p. 313, [32], p. 31), de viteza de lansare, etc. În plus, proiectilele au o mişcarede precesie în jurul centrului lor de masă (vezi Figura 2.33), datoratăacţiuniirezistenţei aerului (cf. [76], p. 663). Aceasta poate produce ”răsturnarea”proiectilului în aer, fenomen corectat cu ajutorul ghinturilor din interiorulţeviiarmeidefoc(cf.[17],p.127,[73],p.403).Figura 2.32

172 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALRelaţia (2.74) ne conduce în acest caz la··r= g, (2.133)de unde, ţinând seama de (2.13), deducem că mişcarea punctului materialeste plană. Justificarea acestui fapt poate fi realizată şi în mod direct (cf.[76], p. 407-408). Vom presupune, pentru simplitate, că poziţia iniţială amobilului M este originea O a planului de coordonate Oxy care coincide cuplanul mişcării (vertical).Proiectând ecuaţia (2.133) pe axele de coordonate, avem⎧⎪⎨⎪⎩··x= 0x(0) = 0·x (0) = v 0 cos αşi, prin integrări succesive, ajungem la⎧⎪⎨⎪⎩··y= −gy(0) = 0·y (0) = v 0 sin αx = v 0 t cos α y = − 1 2 gt2 + v 0 t sin α, (2.134)relaţii care constituie ecuaţiile parametrice ale traiectoriei punctului materialM (cf. [76], p. 408).Eliminând timpul t din (2.134), obţinem ecuaţia unei parabole cu axa desimetrie verticală (Galilei, cf. [76], p. 12, [73], p. 293), şi anumegy = −2v0 2 cos 2 α x2 + x tan α (2.135)= x tan α − gx22v 2 0¡1+tan 2 α ¢ .Formula v 2 = ·x 2 + ·y 2 permite determinarea vitezei corpului punctiformM numai în funcţiedeînălţime şi viteza iniţială:qqv = (v 0 cos α) 2 +(v 0 sin α − gt) 2 = v0 2 − 2gy (2.136)(cf. [34], p. 243). Ea poate fi obţinută, în mod echivalent, aplicând teoremaenergiei cinetice (cf. [76], p. 409, [34], p. 243, [25], p. 86)µ 1d2 mv2 = mg · dr = −mgj · drşi impunând ca energia potenţială lanivelulsolului(y =0)să fie nulă (cf.[59], problema 2.5.12, p. 28).

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 173Figura 2.33Vârful traiectoriei este determinat pe baza calităţii sale de punct critic algraficului funcţiei y = y(x) (cf.[32],p.30),deciţinând seama de y 0 (x max )=0:x max = 12g v2 0 sin 2α y max = 12g v2 0 sin 2 α.Datorită simetriei parabolei, punctul material M va reveni pe sol în poziţia(2x max , 0). Mărimile b not=2x max , h not= y max se numesc bătaia, respectivsăgeata traiectoriei balistice (cf. [76], p. 409, [32], p. 31).Timpul de urcare (mişcare pe parabolă corespunzând lui 0 6 x 6 x max ),egal cu timpul de coborâre, areformulat max =x maxv 0 cos α = v 0sin α.gDate fiind aplicaţiile practice ale unor asemenea chestiuni, se pune problemadeterminării unghiului de înclinare α al ţevii armei de foc, numit şiunghi de tragere (cf. [34], p. 244), pentru care proiectilul va lovi o ţintăaflată înpoziţia M 0 dată. Introducând parametrul u =tanα în (2.135),obţinem ecuaţia algebrică degradulalII-leagx 2· u 2 − x · u +µy + gx2 =0,2v02 2v02care arată că un proiectil nu poate atinge decât ţintele situate în regiunea(x, y) caracterizată prininegalitatea∆ u = x 2 − 4µy gx2 + gx22v02 2v02= 2g µ vx 2 20v02 2g − y − g x 2 > 0.2v02Mai precis, pentru a fi lovită, o ţintă trebuiesăsegăsească dedesubtulparabolei sau, la limită, pe parabola de ecuaţiey = − g x 2 + v2 0(2.137)2v02 2g

174 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL(cf. [76], p. 410). Aceasta poartă denumirea de parabolădesiguranţă (pentruun anumit v 0 ) a gurii de foc (cf. [25], p. 87, [34], p. 245, [32], p. 32).Curba (2.137) desemnează înfăşurătoarea familiei de traiectorii ale unuiproiectil lansat cu viteza iniţială v 0 realizatăprinvariaţia unghiului de tragereα (cf. [63], p. 310). Astfel, conform [24], p. 262, formula (2.137) se obţineprin eliminarea parametrului u între ecuaţiile½ f(x, y, u) =0∂f(x, y, u) =0,∂uunde f(x, y, u) = gx2 (1 + u 2 ) − xu + y. Prin fiecare punct M2v02 0 al paraboleide siguranţă (2.137) trece câte o curbă din familia (2.135), iar tangentelecelor două curbe în punctul M 0 coincid (cf. [72], p. 148). Detalii interesanteprivind traiectoriile (2.135) pot fi citite în [34], p. 245-246.Vârful P al parabolei (2.135) este, în particular, singurul punct de rebrusment(v⊥g) al acesteia. Evident, aici viteza punctului material M arevaloare minimă (·v= 0)şi, ţinând seama de τ = i, ν = −j şi egalitatea(2.136), obţinem formulelev 2 (P )=R · gv 0 = p g (R +2h)(cf. [32], problema 1.4, p. 37).2.2.24 Mişcarea pe un plan înclinat în câmp gravitaţionalterestru, în aer. Viteza limită a punctuluimaterial MUn punct material M, demasă m, avândvitezainiţială v 0 ,coboarădelaînălţimea h pe un plan înclinat cu unghiul de la bază α (vezi Figura 2.34).Coeficientul de frecare de alunecare este µ =tanψ, unde0 < ψ < α (cf.[59], problemele 2.3.13, 2.3.15, p. 25), iar viteza −→ v 0 este paralelă cuplanulînclinat.În afara forţei de frecare −→ F f = −µN · −→ τ (M) şi a greutăţii −→ G ,asupraparticulei acţionează rezistenţa aerului, sub forma unei forţe noi, şi anume−−→Frez = −mgϕ(v) · −→ τ (M)(cf. [76], p. 411-412). Funcţia ϕ(v) este, în general, necunoscută, fiind stabilităprin consideraţii experimentale (gazodinamică). Vom admite, totuşi,

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 175că ϕ(v) > 0 şi ϕ(0) ∈ [0, 1), ţinând seama de faptul că uncorppunctiform,fără vitezăiniţială, cum ar fi, deexemplu,obilădefier de mici dimensiuniţinută înpalmă la nivelul umerilor, va cădea pe verticală înjos,odatălăsat¯”liber”. Adică, ¯−→ ¯G ¯ > ¯−−→ F rez¯¯¯. Deasemeni,ϕ ∈ C ∞ ([0, +∞), R), ϕ 0 (v) > 0 şilim ϕ(v) =+∞ (cf. [34], p. 335).v→+∞La fel ca în cazul mişcării în vid, traiectoria este o curbă plană. Maiprecis, dacă (2.129) se scrie sub formama = mg + N + C(t)τ (2.138)= constant + C(t)τ,atunci, prin derivare în raport cu timpul t, avem·a = 1 m= 1 m½··dτds · dsdtC (t)τ + C(t)h ·C (t)τ + v iR C(t)ν .¸¾Figura 2.34În particular, ·a∈ Sp({τ, ν}) şi, cum Sp({τ, ν}) =Sp({v, a}), deducem că(v × a) · ·a=³v, a, a· ´=0.De aici, pe baza (2.13), rezultă că torsiunea T a traiectoriei este identicnulă. Desigur, traiectoria particulei se va afla pesuprafaţa planului înclinat,nefiind, însă, în general, rectilinie (cf. [34], p. 395). Impunem, în vedereaobiectivului final al acestei subsecţiuni, o condiţie suplimentară simplificatoare:la momentul iniţial, vectorii −→ v , −→ N şi −→ G sunt coplanari. Atunci,traiectoria punctului material M va fi dreapta de intersecţie cu suprafaţa

176 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALplanului înclinat a secţiunii verticale prin planul înclinat corespunzătoareunghiului diedru α.Relaţia (2.138) devine în acest cazm ··r= mg + N − [N tan ψ + mgϕ(v)] · τ(M).Prin proiectarea ei pe axele de coordonate, avem că··x= −g·sin α − N ··tan ψ − ϕ(v)¸y= 0=N − mg cos α.mgAici, coordonata curbilinie este dată des(t) =l − x(t). Eliminând necunoscutaN între cele două ecuaţii, obţinem− x= ·· ·v=¸·sin (α − ψ)g− ϕ(v) . (2.139)cos ψÎn mod evident, există şi este unică mărimea v ∗ > 0 astfel încât ϕ(v ∗ )=.Ecuaţia diferenţială (2.139) se scrie sub formasin(α−ψ)cos ψ·v= g [ϕ(v ∗ ) − ϕ(v)] ,t> t 0 , (2.140)unde v(t 0 )=v 0 . La fel ca până acum, soluţiile ecuaţiei(2.140)segăsec înC ∞ ([t 0 , +∞), R) iar problema Cauchy ataşată eiadmitesoluţie unică.Fiind dată soluţia v(t) aecuaţiei diferenţiale (2.140), este valabilă unaşinumai una dintre afirmaţiile următoare:1) Dacă v 0 >v ∗ , atunci v(t) este descrescătoare şi limt→+∞ v(t) =v∗ .2) Dacă v 0 = v ∗ , atunci v(t) =v ∗ pentru orice t > t 0 .3) Dacă v 0 t 0 astfel încât v(t 1 )=v ∗ . Atunci, funcţiav = v(t), unde v 0 = v(t 0 ) >v ∗ , trebuie să verifice problema Cauchy·v= g [ϕ(v ∗ ) − ϕ(v)] ,t> t 0 v(t 1 )=v ∗ .Dar această problemăadmitesoluţie unică, şi anume v(t) =v ∗ , ceea cecontrazice ipoteza v(t 0 ) 6= v ∗ . Aşadar, v(t) >v ∗ pentru orice t ∈ [t 0 , +∞).

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 177Cum ϕ este crescătoare, deducem că ϕ(v ∗ ) − ϕ(v(t)) < 0, de unde rezultăcă ·v< 0. Monotonia funcţiei v = v(t) împreună cumărginireasainferioarădovedesc existenţa limiteilim v(t)t→+∞ =v∗∗ ∈ R,unde v ∗∗ > v ∗ .Să presupunem că v ∗∗ >v ∗ .Cumv(t) ∈ [v ∗∗ ,v 0 ], putem separa variabileleîn (2.140), astfel cădvϕ(v ∗ ) − ϕ(v) = gdtşi, prin integrare, ajungem laZv(t)v 0Zv 0dτϕ(v ∗ ) − ϕ(τ) =v(t)dτϕ(τ) − ϕ(v ∗ ) = gÎnsă, pentru τ ∈ [v(t),v 0 ], putem scrie căde undeg (t − t 0 ) 6Ztϕ(τ) − ϕ(v ∗ ) > ϕ(v(t)) − ϕ(v ∗ ),Z1v 0ϕ(v(t)) − ϕ(v ∗ ) ·v(t)dτ =t 0dq = g (t − t 0 ) .v 0 − v(t)ϕ(v(t)) − ϕ(v ∗ ) ,t> t 0.Trecând la limită după t înambiimembriaiinegalităţii, ajungem la ocontradicţiev 0 − v ∗∗+∞ = g · (+∞) 6ϕ(v ∗∗ ) − ϕ(v ∗ ) < +∞.În concluzie, v ∗∗ = v ∗ . Mărimea v ∗ reprezintă viteza limită a punctuluimaterial (cf. [63], p. 318). Spunem că prezenţa rezistenţei aerului are unefect nivelator de viteze asupra mişcării pe planul înclinat a particulei M, cutendinţa de a o uniformiza (cf. [76], p. 414-415).Folosind ecuaţia (2.140), putem calcula mărimile x, t în funcţiedevitezav a punctului material. Astfel, prin integrarea ecuaţiilor diferenţialedx = −vdt dt = 1 g ·dvϕ(v ∗ ) − ϕ(v)

178 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALobţinemrespectivt(v) =t 0 + 1 g ·x(v) =x 0 − 1 g ·Z vv 0Z vv 0dqϕ(v ∗ ) − ϕ(q) ,qdqϕ(v ∗ ) − ϕ(q) .Mişcarea este, aşadar, complet determinată.Cazul limităalmişcării pe verticală(α = π , ψ =0) ne conduce la aceleaşi2rezultate. În particular, timpul de coborâre pe sol a mobilului M este maimare decât cel de urcare. Detalii privind mişcarea pe verticală subacţiuneagravitaţiei într-un mediu rezistent pot fi citite în [34], p. 335-337, [63], p.313-315, [76], p. 413-415, etc.2.2.25 Soluţii convergente ale unei ecuaţii diferenţialeordinare de ordinul I. Convergenţa unor funcţiip−absolut integrabileAceastă subsecţiune are un caracter auxiliar, cititorul nefiind obligat să oparcurgălaprimalectură.Să analizăm ecuaţia (2.140) dintr-un alt punct de vedere. Mai precis,vom arăta că dacă v(t) este o soluţie a ecuaţiei (2.140) pentru care existăl ∈ R astfel încât lim v(t) =l, atuncil =t→+∞ v∗ .Aceste soluţii ale ecuaţiei (2.140) se numesc convergente (cf. [5], p. 121).Eleaufoststudiateintensivîncadrulteoriei calitative a ecuaţiilor diferenţialeşi provin din probleme specifice mecanicii teoretice, fizicii matematice,chimiei, ecologiei, etc. O abordare multidimensională a unor asemeneachestiuni, bazată pemetoda mulţimilor ω−limită, poatefi citită în[6],p.150-156.În cele ce urmează, vom justifica afirmaţia făcută în deschidere sub formadată în[5],p.122.Astfel,săconsiderăm f : R → R oaplicaţie continuă şiecuaţia diferenţială·v= f(v), t> t 0 . (2.141)Dacă v(t) reprezintă osoluţie convergentă aecuaţiei (2.141) şilimt→+∞

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 179v(t) =l, atuncif(l) =0.Odemonstraţie a acestui fapt se găseşte în [18], p.80, 235. În ce ne priveşte, vom urma o cale diferită.Începem prin a dovedi că (I.Barbălat) o condiţie necesară şi suficientă ca·lim v (t) =0,undev reprezintă ofuncţie continuu diferenţiabilă cu limităt→+∞finită la+∞, definită pe[t 0 , +∞), estecafuncţia ·v să fie uniform continuăpe [t 0 , +∞).Implicaţia directă rezultă din proprietatea generală afuncţiilor continueavând limită finită la+∞ de a fi uniform continue în ”vecinătatea” lui +∞.Reciproc, să presupunem căexistăşirul strict crescător şi nemărginit superior(t n ) n>1 ,undet n+1 − t n > 1, astfelîncât¯ ·v (t n ) ¯ > ε 0 > 0 pentru orice n > 1.Deoarece ·v este uniform continuă, există η = η(ε 0 ) > 0 cu proprietatea că¯ ·v (t)− ·v (s) ¯ < ε 02 ,notunde |t − s| < η, t, s > t 0 . Introducem intervalele V n = (t n − ε,t n + ε)impunând ca 0 < ε < min{ 1, η}. Evident,V 2 n ∩ V m = ∅ pentru n 6= m.Fie t ∈ V n şi s = t n .Atunci,|t − s| < η, de unde¯ ·v (t)− ·v (t n )¯ < ε 02¯ ·v (t)¯ > ε 02 .Conform teoremei lui Lagrange, există s n ∈ (t n − ε,t 2 n + ε ) pentru care2v(t n + ε 2 ) − v(t n − ε 2 )=ε· ·v (s n ),n> 1. (2.142)Trecând la limită după n în ambii membri, ajungem la o contradicţie0 > ε · ε02 > 0.Să revenim la demonstraţia principală. Deoarecelimt→+∞v(t) =l, existăM > 0 astfel încât |v(t)| 6 M, t > t 0 . În plus, funcţia v este uniformcontinuă. Cum restricţia funcţiei f la intervalul [−M,M] este, la rândul ei,uniform continuă, deducem că f ◦ v, adică ·v, este uniform continuă.În sfârşit,·t→+∞0 = limv (t) =limft→+∞µ(v(t)) = flim v(t)t→+∞= f(l).

180 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALJustificarea afirmaţiilor privind ecuaţia (2.141) s-a încheiat.În cazul ecuaţiei (2.140), f(v) =g[ϕ(v ∗ )−ϕ(v)] şi, dată fiind injectivitateaaplicaţiei ϕ, deducem că f(l) =0va implica l = v ∗ .Fie funcţia v :[0, +∞) → [0, +∞) definită prin⎧⎨v(t) =⎩n 3 4½ · ³ ´2¸ ¾exp (t − n) 2 n +2n − 1 4 − t − 1 ,t∈0, în rest,h in, n +2n − 1 4unde n > 17. Atunci, funcţia v este continuu diferenţiabilă pe[0, +∞) şiv(t) =0.Totuşi,limlimt→+∞·v (n + 1 1 3n→+∞ 2 n− 4 )=2 6=0,ceea ce dovedeşte necesitatea unei ipoteze suplimentare (de exemplu, a condiţieide uniform continuitate).Se cuvin făcute câteva comentarii cu relevanţă hermeneutică.Mai întâi, în cazul unei funcţii continue şi nenegative g(t), integrabilăpe [t 0 , +∞), este relativ uşor de dovedit existenţa unui şir strict crescător şinemărginit superior (t n ) n>1 de numere reale pentru care lim g(t n)=0.On→+∞asemenea proprietate intervine, de exemplu, în demonstraţia unor rezultateprivind stabilitatea în sens Liapunov a soluţiilor sistemelor de ecuaţii diferenţiale(cf. [6], p. 137). Se pune în mod natural problema obţinerii unorcondiţii necesare şi suficiente ca lim g(t) =0. Ori, o asemenea condiţiet→+∞rezultă din calculele anterioare, şi anume uniform continuitatea funcţiei g.tREa se determină apelând la funcţia convergentă v(t) = g(s)ds, undet > t 0 .t 0O a doua problemă se referă la cazul unei funcţii continue g(t), definităpe [t 0 , +∞), despre care ştim că verifică relaţia lim g(t n)=L ∈ R. Suntn→+∞cerute condiţii necesare şi suficiente ca lim g(t) =L.t→+∞Profesorul C. Avramescu stabileşte în lucrarea Sur le comportement asymptotiquedes solutions des équations différentielles ordinaires, apărută înAnalele Ştiinţifice ale Universităţii ”Al. I. Cuza”, Iaşi, XIV, 2(1968), p. 297-311, următorul rezultat elegant: Fie dat şirul (t n ) n>1 tinzând la +∞ astfelîncât 0

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 181existe, este necesar şi suficient ca g(t) să fie uniform continuă peR + (op.cit., § 8, p. 309).Construcţia unui asemenea şir (t n ) n>1 în cazul funcţiei ·v (t) nu poate firealizată datorită condiţiei lim (t n+1 − t n )=0.Cumşirul (s n ) n>1 joacă înn→+∞acest context ”rolul” şirului (t n ) n>1 , restricţia anterioară, odată introdusă în(2.142), ar necesita înlocuirea constantei pozitive ε cu o mărime (depinzând·de n) caresătindăsprezeropemăsură cen creşte. Atunci, condiţia lim vn→+∞(s n )=0nu ar mai putea fi asigurată.În concluzie, dacă L =0, cerinţa lim (t n+1 − t n )=0poate fi înlocuităn→+∞tRcu aceea a convergenţei primitivei v(t) = g(s)ds.t 0Prima din cele două probleme precedente poate fi transpusă încazulgeneralalfuncţiilor p−absolut integrabile. Mai precis, fiind dată funcţiag :[t 0 , +∞) → R continuă astfelîncât ∞ R|g(t)| p dt < +∞, undep>0,t 0ocondiţie necesară şi suficientă ca lim g(t) =0este ca g(t) să fie uniformcontinuă. Justificarea acestei afirmaţii se realizează îndouăetape.t→+∞Mai întâi, vom arăta că ocondiţie necesară şi suficientă (mai restrictivă) cag(t) =0este ca g(t) să fie mărginită şi uniform continuă. Aceasta selimt→+∞reduce la a proba că funcţia |g(t)| p este uniform continuă atuncicândg(t)este mărginită şi uniform continuă. Aici, v(t) = t Rt 0|g(s)| p ds. În cea de-adoua etapă vomstabilică orice funcţie g :[t 0 , +∞) → R uniform continuăastfel încât ∞ Rt 0|g(t)| p dt < +∞, unde p>0, estemărginită.Vom dovedi prin inducţie matematică valabilitatea inegalităţii de mai jos¯¯|g(t 2 )| n+α − |g(t 1 )| n+α¯¯ 6 C n · [|g(t 2 ) − g(t 1 )| (2.143)+|g(t 2 ) − g(t 1 )| α + |g(t 2 ) − g(t 1 )| 1−α¤pentru orice t 1 ,t 2 > t 0 ,undeC n < +∞, n ∈ N, α ∈ [0, 1).Pasul ”k ⇒ k +1”se bazează pe formulele (a = |g(t 2 )|, b = |g(t 1 )|)a n+1+α − b n+1+α = a n+1 · a α − b n+1 · b α =(a n+1 − b n+1 )(a α + b α )−(ab) α (a n+1−α − b n+1−α )

182 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALşi ¯¯a n+1+α − b n+1+α¯¯ 6 D 1 ·|a − b| + D 2 · ¯¯a n+β − b n+β¯¯ ,unde D 1 =2(n +1)· sup |g(t)| n+α , D 2 =sup |g(t)| 2α , β =1− α. Aşadar,t>t 0 t>t 0¯¯a n+1+α − b n+1+α¯¯ 6 (D 1 + D 2 +1)(|a − b| + ¯¯a n+β − b n+β¯¯+ ¯¯a n+α − b n+α¯¯).Rămâne de arătat că |a s − b s | 6 |a − b| s pentru orice a, b > 0 şi s ∈ (0, 1).Pentru aceasta este nevoie de inegalitatea(x + y) s 6 x s + y s , x,y > 0, s∈ (0, 1).Într-adevăr, presupunând că 0 1, este uniform continuă. Înschimb, funcţia [g(t)] n ,unden ∈ N ∗ Â{1}, nu mai are o asemenea proprietate,dat fiind cădlimt→+∞ dt {[g(t)]n } = n· limt→+∞ tn−1 =+∞.Acest fapt dovedeşte necesitatea unei condiţii suplimentare pentru a ”păstra”uniform continuitatea trecând de la g(t) la |g(t)| p , unde p>0, şi oasemenea condiţie este mărginirea funcţiei g(t).Să presupunem acum, în etapa a doua a demonstraţiei, că g(t) nu estemărginită. Atunci, existăşirul strict crescător şi nemărginit superior (t n ) n>1astfel încât |g(t n )| = n pentru orice n ≥ 1. Există, de asemeni, şirul strictcrescător şi nemărginit superior (p n ) n>1 astfel încât t n

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 183avemlim (p n − t n )=0. (2.144)n→+∞Deoarece g(t) este uniform continuă, există η > 0 cu proprietatea că|g(t) − g(s)| < 1,unde |t − s| < η, t, s > t 0 . Conform (2.144), există numărul natural N ≥ 2pentru care p n − t n < η, adică |g(p n ) − g(t n )| < 1, unden ≥ N. Ajungemlao contradicţie, căci1 ≤ n 2 = |g(p n) − g(t n )| < 1, n ≥ N. (2.145)Facem observaţia că, pe baza (2.144), (2.145), o aplicare a teoremei luiLagrange ne permite săînlocuimuniform continuitatea lui g(t) cu mărginireafuncţiei g 0 (t) (presupusă continuă). O discuţie în acest sens poate fi citită înlucrările cercetătorilor japonezi K. Kamo şi H. Usami, Classification of propersolutions of some Emden-Fowler equations, publicată înHiroshima MathematicalJournal, 29(1999), p. 459-477 (aut. K. Kamo) şi Asymptotic forms ofpositive solutions of third-order Emden-Fowler equations, apărută înJournalof Mathematical Analysis and Applications, 271(2002), p. 297-312 (aut. K.Kamo şi H. Usami), respectiv în articolul lui O. Mustafa şi Y. Rogovchenko,Limit-point criteria for superlinear differential equations, publicatînBulletinof The Belgian Mathematical Society Simon Stevin, 11(2004), p. 431-44.2.2.26 Problema balisticii exterioarePresupunem că negăsim în aceleaşi condiţii ca în cazul mişcării curbiliniiîn vid sub acţiunea câmpului gravitaţional terestru. Dorim să studiemmişcarea corpului punctiform M ţinând seama de rezistenţa aerului, −−→ F rez =−mgϕ(v) · −→ τ (M) (vezi Figura 2.35).Atunci, (2.129) devinema = mg − mgϕ(v)τ. (2.146)Fireşte, conform celor deduse pentru ecuaţia (2.138), mişcarea punctuluimaterial M va avea loc în planul vertical care conţine viteza sa iniţială (cf.[76], p. 412). La fel ca anterior, putem proiecta relaţia precedentă peceledouă axe de coordonate, Ox (orizontala) şi Oy (verticala locului)··x= −gϕ(v)cosθ··y= −g − gϕ(v)sinθ,

184 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALunde θ def= ](τ, i).Figura 2.35Vom înlocui, în cele ce urmează, necunoscutele x, y cu mărimile v, θ.Într-adevăr, plecând de la formula v = v · τ, putem scrie că·x= v cos θ·y= v sin θ.Astfel,(·v cos θ − v θ ·sin θ = −gϕ(v)cosθ·v sin θ + v θ ·cos θ = −g [1 + ϕ(v)sinθ] .Privind formulele anterioare ca un sistem algebric având necunoscutele·v, v θ, ·obţinem·v= −g [sin θ + ϕ(v)] v θ= ·−g cos θ.În sfârşit, folosind teorema de derivare a funcţiei compuse v = v(θ(t)),ajungem la·dv·vdθ = ·= v tan θ + ϕ(v) ¸v(α) =v 0 . (2.147)θcos θÎnlocuirea mărimilor x, y cu mărimile ·v, v θ ·constituie esenţa metodeihodografice,aplicată cu mult succes în probleme de hidrodinamică(cf. [34],p. 338, [20], p. 344 şi următoarele). Ecuaţia (2.147) poartă denumirea deecuaţia balisticii exterioare (hodografului) (cf. [34], p. 339). Traiectoriaparticulei M se numeşte curbă balistică (cf. [32], p. 31).Determinarea mărimilor x, y, t în funcţiedeunghiulθ făcut de vitezapunctului material cu orizontala se bazează perelaţiile diferenţialedemai

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 185josrespectivdy·ydθ = ·θdx·xdθ = ·θ= v cos θ− g cos θv= − v2g tan θ= − v2g , (2.148)dtdθ = − vg cos θ . (2.149)Două formule utile în rezolvarea problemelor de mecanică teoretică suntd 2 ydx 2 = − g v 2 xR(M) =v2g cos θ(cf. [32], problema 3.19, p. 73, [63], p. 317).Într-adevăr, conform (2.148), (2.149), putem scrie căd 2 ydx 2 = ddxà ! dydθ= d (tan θ)dxdxdθ= d dt (tan θ) · 1·x=cos 2 θ · 1·x= − g cos θvcos 2 θ · 1·θ= − gv cos θ · 1 = − g .v x vx2Pentru stabilirea celei de-a doua relaţii ţinem seama de (2.16), (2.146).Astfel,a ν =v2= a · ν = g · ν = g cos θ.R(M)Urmând expunerile făcute în [34], p. 339-342, [76], p. 415-417, [25], p.90-92, vom stabili o serie de proprietăţi general-constitutive ale soluţiilorecuaţiei (2.147), respectiv curbei balistice.Impunem, în mod natural, ca, atâta timp timp cât vectorul −→ v este situatdeasupra paralelei dusă prinpoziţia curentă a mobilului M la orizontala Ox,să considerăm θ > 0. În schimb, atunci când −→ v se va găsi dedesubtulparalelei respective, avem θ < 0. Această presupunere este în acord cuformula·θ= − g cos θv< 0, θ ∈³− π 2 , π ´,2v x

186 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALcare aratăcă unghiul θ descreşte mereu pe traiectorie. În acest sens, problemaCauchy (2.147) trebuie înţeleasă caoproblemă avaloriifinale.1) În problema balisticii exterioare, viteza punctului material M este limitatăsuperior.Într-adevăr, din (2.147) rezultă cădvdθ =v [sin θ + ϕ(v)] . (2.150)cos θAtunci când 0 6 θ < α (mobilul se găseşte pe porţiunea ascendentă atraiectoriei), avem cos θ > cos α > 0. În plus, sin θ > 0, deci dv > 0. Apoi,dθdvcum ·v= · θ, ·obţinem că ·v6 0, de unde v(M) 6 vdθ 0 .Când θ ∈ ¡ − π, 0¤ ,avemcos θ > 0. Esteînsă posibil ca sin θ + ϕ(v) < 02pentru o anumită valoare a lui θ. Dată fiind continuitatea funcţiei ϕ, vaexista un subinterval al lui ¡ − π, 0¤ pe care2sin θ + ϕ(v) < 0.Atunci, −1+ϕ(v) 6 sin θ + ϕ(v) < 0, de unde ϕ(v) < 1. Cum[1, +∞) ⊂ϕ([0, +∞)), vaexistamărimea v ∗ > 0 pentru care ϕ(v ∗ )=1. De asemeni,v(t)

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 187adicădϕ(v)[log(v cos θ)] =dθ cos θ . (2.151)Când θ ∈ [0, α], funcţia v = v(θ) creşte (funcţia v = v(t) descreşte); deci,v(θ) > v(0) not= w 0 > 0, conform 2). Ce se întâmplă însăpe ¡ − π, 0¤ ?2Dacă v(θ) > v ∗ pentru orice θ ∈ ¡ − π, 0¤ , unde ϕ(v ∗ )=1,atunciafirmaţiade demonstrat ar fi justificată. Altfel, există subintervalul [θ 2 , θ 1 ] al2lui ¡ − π, 0¤ pe care v(θ)

188 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALÎnsă θ, θ1 ∗ ∈ ¡ − π, 0¤ ,deunde1 − sin θ ∗ 2 1 > 1 şi (1 − sin θ) −1 > [1 −sin ¡ ¢− π 2 ] −1 = 1.Aşadar,2v(θ) > 1 ½ 12 v(θ∗ 21)=w 0, θ1 ∗ =012 v∗ , θ1 ∗ < 0.4) În problema balisticii exterioare, traiectoria (curba balistică) admite oasimptotă verticală. Într-adevăr, ţinând seama de (2.148), (2.149), putemscrie cădydydx = dθ=tanθ,− π 2dxdθdyde unde lim = −∞. Apoi, cum lim x(θ) =θ&− π dxθ&−g· αR 1 v 2 (q)dq 6 1 ·π g22− π 2αRmax{v0,v 2 ∗2 }· dq < +∞ (cf. [76], p. 417), justificarea s-a încheiat. Asimptotaverticală este ”responsabilă” de reducerea semnificativă abătăii guriide foc, fiind unul dintre efectele principale ale rezistenţei aerului (cf. [34], p.341).5) În problema balisticii exterioare, există o disimetrie a ramurii descendentefaţă deramuraascendentă a traiectoriei. Săconsiderăm P 1 , P 2 douăpuncte situate pe curba balistică laaceeaşi înălţime y 0 .Ţinând seama de (2.151), (2.148), avem căddv xdx = (v cos θ)dθ= −g · ϕ(v) < 0,dxvdθceea ce arată că mărimea v x descreşte mereu pe traiectorie (cf. [34], p. 341).Pe de altă parte, sunt valabile relaţiilehZmaxy 0d 2 xZmaxydx dy = d 2 y2 dx · dy2 dx dx=x 1x maxZx 1ddx½ 12 [y0 (x)] 2 ¾dx = − 1 2 [y0 (x 1 )] 2 ,căci x max reprezintă unpunctcritic al funcţiei y = y(x).

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 189Aşadar,În mod analog,Figura 2.3612 [y0 (x 1 )] 2 = g ·12 [y0 (x 2 )] 2 = g ·hZmaxy 0hZmaxy 0dy.vx2dy,vx2ceea ce ne conduce la |y 0 (x 2 )| >y 0 (x 1 ), respectiv |tan θ 2 | > tan θ 1 sau, echivalent,|θ 2 | > θ 1 .6) Viteza punctului material M în poziţia P 1 este mai mare decât cea înpoziţia P 2 . Conform teoremei energiei cinetice, avem căµ 1d2 mv2 = ¡ ¢G + F rez · drPrin integrare, obţinem= −mgdy − mgϕ(v)cosθdx − mgϕ(v)sinθdy= −mgdy − mgϕ(v)v cos 2 θdt − mgϕ(v)v sin 2 θdt= −mgdy − mgϕ(v)vdt.12 mv2 (P 2 ) − 1 Z y 02 mv2 (P 1 ) = −mg · dy − mg ·y 0ceea ce justifică afirmaţia anterioară.= −mg ·Z t 2Z t 2t 1t 1ϕ(v)vdt < 0,ϕ(v)vdt

190 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL7) Dacă v = v(θ) este soluţia problemei Cauchy de mai jos(hdv= v dθtan θ + ϕ(v)cos θv(0) = w 0 ,i, θ ∈ ¡ − π 2 , 0¤(2.152)iarlimθ&− π 2v(θ) =l ∈ R, atunciϕ(l) =1.Cu alte cuvinte, dacă ecuaţiabalisticii exterioare admite o soluţiedetipconvergent, atunci limita acesteisoluţii are o valoare predefinită.Să presupunem că, în cazul soluţiei v a problemei (2.152), am avea ϕ(l) >1. Atunci, există θ 0 ∈ ¡ − π, 0¢ astfel ca v(θ) ∈ £ l, ¤ 3l2 2 2 , respectiv ϕ(v(θ)) ∈[ 1+ϕ(l) , 3ϕ(l)2] pentru orice θ ∈ ¡ − π, θ 2 2 0¤. Integrând ecuaţia (2.152) în raportcu θ, putem scrie căunde I (θ) = θ R0v (ξ)v(θ) =w 0 −θZ 0θ 0·v (q) tan q +sin ξ+ϕ(v(ξ))dξ. Dubla inegalitatecos ξ¸ϕ (v (q))dq − I (θ) ,cos ql2 · ϕ(l) − 1 Z θ 0dξ·2 cos ξθ6 I (θ) 63l2· 3ϕ (l)2·Z θ 0θdξcos ξ ,unde − π < θ 6 θ 2 0,neconducela lim I (θ) =+∞, fapt care intră înθ&− π 2contradicţie cu mărginirea vitezei v (θ). Unraţionament asemănător are locatunci când ϕ (l) < 1.La fel ca în cazul mişcării pe planul înclinat, se poate dovedi că vitezapunctului material M aflat în mişcarecurbiliniesubacţiunea gravitaţiei întrunmediu rezistent tinde către viteza limită v ∗ dată deϕ (v ∗ )=1(cf. [34],p. 342). Pentru detalii privind dependenţa de viteză, înălţime ori formaproiectilului a funcţiei ϕ (formula lui Siacci) ca şi transformarea ecuaţiei(2.147) într-o ecuaţie diferenţială de tip Bernoulli (cf. [4], p. 78-79, [47], p.25, [24], p. 378, etc) a se vedea [63], p. 312-313, [34], p. 342-344.

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 1912.2.27 Ecuaţia diferenţială amişcării pe o curbă fixăideală. Lucrul mecanic al forţelor de legăturăSă considerăm mişcarea punctului material M pe o legătură bilateralăideală dată de curba simplă Γ, având parametrizarea globală γ : I → E 3 ,unde γ = γ(q), subacţiunea forţei −→ F .CurbaΓ este presupusă fixă înraportcu sistemul de referinţă inerţial R iar −→ F = −→ F (q).Pe baza teoremei energiei cinetice, avemµ 1d2 mv2 = ¡ F + N ¢ · dr = F · drdeoarece forţa de legătură −→ N se găseşteînplanulnormalaltraiectorieiΓ înpoziţia curentă a mobilului. Lucrul mecanic elementar al forţei de legătură,şi anumeδW leg = N · dr,este întotdeauna nul, fapt valabil, evident, şi atunci când legătura bilateralăideală este dată deosuprafaţă simplă. Această proprietate constituie,după cum spuneam în subsecţiunea dedicată lucrului mecanic elementar, esenţaprincipiului lucrului mecanic virtual (deplasărilor virtuale) din mecanicaanalitică (cf. [63], p. 505, [14], p. 227).Au loc formulelev 2 = X X µ dx·x2 =dq · ·q 2= ·q 2 · X [x 0 (q)] 2 ,respectivF · dr = X F x dx =hXFx (q) · x 0 (q)idq.Aşadar,½d mdt 2 · X [x 0 (q)] 2 · ·q 2¾ = Q (q) · ·q,de unde, prin integrare în raport cu timpul t, obţinemm2½ h 2 h i ¾ 2ϕ (q (t)) · ·q (t)i− ϕ (q (t0 )) · ·q (t 0 ) =Zq(t)q 0Q (ξ) dξ.

192 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALAici, q (t 0 ) not= q 0 , ϕ (q) def= P [x 0 (q)] 2 . Mai departe,h iv0 2 + 2 ·2m ·q (t) =q(t)Rq 0ϕ (q (t))Q (ξ) dξ,unde v (t 0 ) not= v 0 .Ecuaţia diferenţială autonomăvu· t v2 0 + 2 · R qQ (ξ) dξmq 0q= ±,t> t 0 ,ϕ (q)caracterizează mişcarea punctului material M (cf. [76], p. 482, [34], p. 400).Cititorul poate consulta şi prezentarea făcută în [56], p. 95-96.2.2.28 Ecuaţia diferenţială a pendulului gravitaţionalsimplu (matematic). Formula perioadei mişcării.Legile pendulului simpluPendulul simplu este constituit dintr-un punct material M care se deplaseazăfără frecare pe o circumferinţă situată în plan vertical (cf. [76], p.484, [63], p. 331). Din punct de vedere practic, pendulul gravitaţional simplupoate fi realizat apelând la o legătură bilaterală, caînsituaţia mişcării uneibile metalice în interiorul unui jgheab cu secţiune circulară (cf. [34], p. 419);aici, rezultatele sunt influenţate de prezenţa frecării (cf. [76], p. 491); putemutiliza, de asemeni, legătura unilaterală care intervine în cazul mişcării oscilatoriia unui corp punctiform, suspendat de tavanul laboratorului printr-unfir inextensibil şi de masă neglijabilă, în jurul punctului de suspensie, subacţiunea forţei de greutate (vezi Figura 2.37) (cf. [63], p. 332, [32], p. 67);folosind obiecte de dimensiuni şi masă reduse, ca şi un fir de suspensie scurt,efectele rotaţiei terestre nu se vor face ”simţite” (mişcarea în rozetă) (cf.[32], p. 208-209, [34], p. 439).

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 193Figura 2.37În ceea ce priveşte firul de suspensie, vom admite (vezi Figura 2.38) cădistanţa dintre punctele materiale (particule) ce îl alcătuiescnusemodifică(inextensibilitate) pe parcursul experimentului. Mai precis, distanţele d, Ddintre centrele sferelor tangente care simbolizează punctele materiale din constituţiafirului de suspensie, respectiv punctul material greu (adică, m 0w 0, munde m 0 reprezintă masa firului, cf. [17], p. 75) suspendat rămân constanteindiferent de forţele care acţionează asupra lor. Punctul material greu, fiindatras de Pământ cu forţa gravitaţională −→ G ,acţionează asupra sferei tangentelui, aparţinând firului de suspensie, cu o forţă necunoscută, notată −→ T fir ;larândul său, sfera va reacţiona cu oforţă egalăînmărime şi de sens contrarpe care o vom nota tot −→ T fir . Forţa −→ T fir , aplicată primei sfere a firului desuspensie, tinde să deplaseze această sferă. Atunci, dat fiind că distanţa ddintre prima şi cea de-a doua sferă aparţinând firului de suspensie trebuie sărămână nemodificată, putem spune că forţa −→ T fir se transmite celei de-a douasfere a firului de suspensie.Figura 2.38 a Figura 2.38 b Figura 2.39Modelul firului de suspensie are drept caracteristică fundamentală faptulcă această transmisie de forţă se realizează integral (fără pierderi). Încontinuare,prezenţa forţei −→ T fir având punctul de aplicaţie în centrul celei de-a

194 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALdoua sfere a firului de suspensie (vezi Figura 2.39) poate fi considerată carezultat al acţiunii primei sfere din constituţia firului de suspensie; acest faptimplică, în baza principiului acţiunii şi reacţiunii, prezenţa unei ”noi” forţe−→T fir (reacţiune) aplicată în centrul primei sfere.Acum, forţa −→ T fir aplicată celei de-a doua sfere se va transmite celei deatreiasfereaflatăîncomponenţa firului de suspensie, forţa −→ T fir ”nouă”aplicată sferei întâi va ”aluneca” până în centrul celei de-a doua sfere afirului de suspensie, devenind ”noua” forţă −→ T fir a celei de-a doua sfere, ş. a.m. d. Practic, putem spune că forţa −→ T fir alunecă (glisează) instantaneu de-alungul firului până în punctul se suspensie al acestuia. Pentru ilustrarea unuiasemenea fenomen, forţa −→ T fir poartă denumirea sugestivă detensiune în firşi este utilizat elementul grafic de mai jos.Figura 2.40În cele ce urmează vom stabili ecuaţia diferenţială care caracterizeazăpendulul simplu (vezi Figura 2.41). La momentul iniţial t 0 , punctul materialM se găseşte în poziţia M 0 ,fără vitezăiniţială. Notăm cu θ unghiul făcutde dreptele OM şi Oy (verticala locului). Aici, coordonata curbilinie s estedată des = l (α − θ) .Putem scrie cărespectivρ = ¯OM =sinθ · i − cos θ · j¯OM¯¯= sin(π − θ) · i +cos(π − θ) · j,τ = dr d (l · ρ)=ds d [l (α − θ)] = −dρ dθdρ= =cos(π − θ) · i − sin (π − θ) · jd (π − θ)= − cos θ · i − sin θ · j.

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 195De asemeni, versorul −→ τ are săgeata îndreptată în sensul creşterii variabileide derivare, adică alscăderii unghiului θ.În sfârşit, conform (2.9), avem1l · ν = dτds = −1 l · dτdθ = 1 l · dτd (π − θ) ,de undeν = − sin θ · i +cosθ · j = −ρ.Versorul −→ ν se obţine din versorul −→ τ prin rotire cu π în sens invers2trigonometric.În mod natural, vom presupune că θ ∈ ¡ − π, ¢ π2 2 astfel încât θ > 0 dacăşinumai dacă x>0.Figura 2.41Proiectând (2.129) pe axele triedrului lui Frenet al traiectoriei în poziţiacurentă a punctului material M, obţinem⎧ma ⎪⎨ τ = m ·v= ¡ T + G ¢ · τ= G · τ = mg sin θ⎪⎩ma ν = m v2 = ¡ T + G ¢ (2.153)· νl= −T − mg cos θ.Aici, T = T · ρ. Ţinând seama de formula v = ·s= −l ·θ, primadinrelaţiile(2.153) ne conduce la ecuaţia diferenţială a pendulului matematic, şi anume··θ + g sin θ =0 (2.154)l(cf. [32], p. 67). Unghiul θ scăzând mereu pe traiectorie atunci când particulaM se deplasează delaM 0 către M 1 ,avem θ< ·0. Prinînmulţire cu θ ·în ambii

196 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALmembri ai (2.154), deducem căddtµ 12 · 2θ − g l · ddt (cos θ) =0,t> t 0.Dacă integrăm această relaţie în raport cu timpul t, avem· · ¸2·θ (t)¸2−·θ (t0 ) =2 g · [cos θ (t) − cos α] ,lde undev 2 =2gl (cos θ − cos α) (2.155)(cf. [34], p. 416). Am folosit faptul că v 0 = −l θ ·(t 0 )=0.Ecuaţia diferenţială a pendulului matematic poate fi stabilită şi într-unalt mod. Astfel, deoareceh ³r = l · ρ = l cos θ − π ´ ³· i +sin θ − π ´ i· j ,22deducem, pe baza (2.87), că L O = ml 2 ·θ ·k. Atunci, conform teoremeimomentului cinetic, putem scrie căml 2 θ ··= dL O· k = £ r × ¡ G + T ¢¤ · k = ¡ r, G, k ¢dt= −mgl sin θ(cf. [32], p. 67, [63], p. 334-335).Pe de altă parte, formulele (2.154), (2.155) pot fi obţinute direct, prinaplicarea teoremei energiei cinetice (cf. [34], p. 415). Recomandăm cititoruluisă consulte expunerea făcută teoriei pendulului matematic în [63], p. 332şi următoarele, respectiv detaliile relative la tensiunea în fir T din [34], p.419.Relaţia (2.155) arată că v(−α) =0. Cu alte cuvinte, punctul materialM se va opri în poziţia M 1 ,simetricăpoziţiei iniţiale M 0 faţă deverticalaOy. Mişcarea se reia în sens invers, cupăstrarea formulelor (2.154) şi (2.155)(cf. [76], p. 486). Astfel, perioada pendulului simplu (adică, durata necesarărevenirii particulei M în poziţia iniţială) reprezintă dublul duratei mişcăriiacesteia din poziţia M 0 până înpoziţia M 1 .

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 197Conform (2.155), avem−l θ= · p 2gl (cos θ − cos α),de undes µdθdt = − 4gsin 2 α l 2 − θ sin2 .2Separând variabilele şi integrând în ambii membri, obţinem căsZ−αsT2 = − l4g · dθq= 1 Zlααsin 2 α − 2 sin2 θ 2 g · dθq,sin 2 α · (1 − 2−α 2 u2 )unde sin θ = u(θ) · sin α (cf. [34], p. 418). Schimbarea de variabilă θ(u) =2 22arcsin(u · sin α ), u ∈ [−1, 1], ne conduce la2sZl1sZT =2g ·dup(1 − u2 )(1− k 2 u 2 ) =4 l1g ·dup(1 − u2 )(1− k 2 u 2 ) .−1Aici, k not=sin α.2Pe baza formulei lui Abel (cf. [53], p. 285),¡1 − k 2 u 2¢ − 1 2= 1+De asemeni, 1 R0s ⎡T = 4lg · ⎣·Z 10= 1+∞Xn=1∞Xn=101n! · 12 · 32 · 5 2n − 1 · ... · · k 2n · u 2n2 21 · 3 · 5 · ... · (2n − 1)k 2n · u 2n .2 · 4 · 6 · ... · (2n)√u 2n1−u 2du = 1·3·5·...·(2n−1) · π,astfelcă2·4·6·...·(2n) 2Z 10⎤u 2n√ du ⎦1 − u2s (l= 2πg · 1+du√ + X ∞1 − u2∞Xn=1n=11 · 3 · 5 · ... · (2n − 1)k 2n2 · 4 · 6 · ... · (2n))¸2·1 · 3 · 5 · ... · (2n − 1)· sin 2n α .2 · 4 · 6 · ... · (2n) 2

198 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALFolosind ordinul de aproximare α 4 w 0, putemscriecăsin α 2 = α 2 − α3sin 2 α 12 2 = α24 ,q ³ ´lde unde T =2π · 1+ α2 (cf. [76], p. 487). Cu ordinul de aproximareg 16α 2 w 0, obţinem formula lui GalileislT =2π(2.156)g(cf. [34], p. 417).Ordinul de aproximare α 2 w 0 este acceptat pentru unghiurile α < 6 ◦ (cf.[32], p. 68). Atunci, ecuaţia (2.154) devine··θ + g l θ =0,t> t 0, (2.157)iar soluţiile sale pot fi scrise sub forma θ(t) =A cos(ωt + ϕ), undeω = p gl(cf. [76], p. 485). Evident, perioada lor principală estedată de (2.156).Forma soluţiilor ecuaţiei (2.157) permite stabilirea legilor pendulului simplu(cf. [32], p. 68):1) Legea substanţei. Perioada mişcării nu depinde de masa punctuluimaterial ori natura materialului din care acesta este alcătuit.2) Legea izocronismului micilor oscilaţii (Galilei, cf. [17], p. 75).Oscilaţiile punctului material în jurul punctului de suspensie nu depind deamplitudinea lor unghiulară atunci când aceasta este mică (α < 6 ◦ ).3) Legea perioadei. Perioada oscilaţiilor este direct proporţională curădăcina pătrată din lungimea firului (pendulului) şi invers proporţională curădăcina pătrată dinacceleraţia gravitaţională.2.2.29 Problema lui Wittenbauer şi ecuaţia diferenţialăa oscilatorului armonicSă presupunem că punctulmaterialM se mişcă înplanulOxy al sistemuluide referinţă inerţial R respectând legear = C 1 · e C 2θ , C 2 6 0

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 199astfel încât viteza sa unghiulară ω să fie constantă (vezi Figura 2.41). Notămcu P proiecţia punctului M(x, y) pe axa Ox. Se pune problema de a determinaecuaţia diferenţialăf³x,´ ·· ·x, x =0care caracterizează mişcarea rectilinie a punctului P (Wittenbauer, cf. [8]).Figura 2.41căPrin derivarea relaţiei x = C 1 · e C 2θ cos θ în raport cu timpul t deducem·x= C 1 e C2θ ω · (C 2 cos θ − sin θ) =ωx · (C 2 − tan θ) . (2.158)Onouă derivare în raport cu timpul t ne conduce la··x = C 1 e C2θ ω 2 · £¡ C2 2 − 1 ¢ cos θ − 2C 2 sin θ ¤ (2.159)= ω 2 x · ¡C2 2 − 1 − 2C 2 tan θ ¢ .Conform (2.158), avemde unde··x= ω 2 x ·Ã"C 2 2 − 1 − 2C 2 C 2 −!#·x,ωx··x −2C 2 ω ·x +ω 2 ¡ 1+C 2 2¢x =0.În cazul particular C 2 =0,obţinem ecuaţia oscilatorului armonic (liniar)··x +ω 2 x =0(cf. [32], p. 66, [34], p. 330). Ea caracterizează mişcarea (rectilinie) apunctului ”material” P sub acţiunea unei forţe de tip central, numită elastică,şi anume −→ F = −k · −→ OP, unde k = mω 2 (cf. [76], p. 452, [19], p. 12). Cazul

200 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALC 2 6=0corespunde oscilatorului cu amortizare (vâscoasă) (cf. [19], p. 22),în prezenţa forţei de rezistenţă −−→ F rez = −m · λ 2 v · −→ i ,undeλ 2 = −2C 2 ω şi−→ i ∈ TP R 3 , −→ i ∈ i (cf. [34], p. 333).În general, ecuaţia mişcării punctului material M sub acţiunea unei forţeelastice (λ > 0)m r= ··−λ · r, t > t 0 ,ne conduce la³··0 = m r · r· ´+ λ³r· r· ´= d dt= d µE c + λ dt 2 r2· µ 1m2 v2 + λ r2¸2(cf. [76], p. 448).Formula E c + λ 2 r2 = C, obţinută prin integrare în raport cu timpul t,arată cămişcarea punctului material M se desfăşoară într-ozonă mărginită(r 2 6 2C < +∞) aSF. Mai precis, traiectoria (plană) a punctului materialλM sub acţiunea forţei elastice −→ F = −λ · −→ r constituie o elipsă înSF (cf.[76], p. 445-446, [34], p. 332).Nu vom insista asupra unor asemenea chestiuni, pe care le considerămca făcând parte, mai degrabă, din deschiderea unui curs de teoria vibraţiilormecanice ori a elasticităţii (rezistenţa materialelor).Ecuaţia (2.157) coincizând cu ecuaţia oscilatorului armonic, proiecţiapunctului material M pe tangenta la traiectorie în punctul său cel mai jos(y min = −l) vaexecutaomişcare oscilatorie liniară (cf. [76], p. 450, [34], p.414). Aici, x = lθ.2.2.30 Ecuaţia diferenţială a pendulului gravitaţionalsfericRevenim la problema corpului punctiform suspendat de un fir inextensibilşi lipsit de masă, fără a mai impune însă ca viteza iniţială amobiluluisă fienulă. Pentru valori mici ale acesteia, mişcareasevadesfăşura în interiorul şi,la limită, pe suprafaţa semisferei S, derazăegalăculungimeal a firului desuspensie şi având centrul în punctul de suspensie (vezi Figura 2.42). Notămcu P (x, z) proiecţia punctului material M pe planul orizontal Oxz (tavanullaboratorului).

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 201Figura 2.42Vom face referire în cele ce urmează doarlasituaţia când firul este întins.Acest fenomen se produce odată cu”potolirea”mişcării. Utilizând metodatransformării Prűfer, introducem mărimile r, θ date dex = r cos θ z = r sin θ,unde r ∈ [0,l], θ ∈ C ∞ (R, R).Atunci, l 2 = P x 2 = r 2 + y 2 şi v 2 = P ·x 2 = ·r 2 +r 2 θ· 2+ ·y 2 (cf. [34], p.411).Aplicăm teorema energiei cinetice şi ţinem seama de faptul că lucrulmecanic elementar al forţelor de legătură este nul. Astfel,µ 1d2 mv2 = G · dr = −mgdy,respectivµ d 1dt 2 mv2 = −mg ·y .Prin integrare în raport cu timpul t, ajungemlav 2 = 2 ·mg (y 0 − y)+ 1 ¸m2 mv2 0 = −2gy + h. (2.160)Ca şi anterior, teorema momentului cinetic implicădL Odt· j = d dt¡2mΩ · j¢=¡OP, G, j¢=0,deunde,conform(2.71),avemcă r 2 ·θ= C.Prin derivarea în raport cu timpul t arelaţiei l 2 = r 2 + y 2 , putem scrie căr· ·r +y· ·y= 0.

202 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALIntroducând mărimile ·r= − y ·yr , ·θ= C r 2 , r = p l 2 − y 2 în (2.160), obţinemFormula−2gy + h ===Ã− y ·yry2· ·y2l 2 − y 2 +! 2+ ¡ l 2 − y 2¢ µ Cr 2 2+ ·y 2C2l 2 − y + ·y 22µ1l 2· ·y2+C 2 .l 2 − y 2l ·y= ± p (−2gy + h)(l 2 − y 2 ) − C 2 (2.161)constituie ecuaţia diferenţială a pendulului gravitaţional sferic (cf. [76], p.497, [34], p. 412). Integrarea sa apelează lateoria funcţiilor eliptice (cf. [76],p. 645, [34], p. 413).Separând variabilele în (2.161), putem determina parametrii mişcării punctuluimaterial Mdt = ±l ·dypP(y)dθ = C r 2 dt = ±Cl · dy(l 2 − y 2 ) p P(y) ,unde P(y) =(−2gy + h)(l 2 − y 2 ) − C 2 (cf. [34], p. 412).Oabordareasemănătoare a problemei, bazată pe utilizarea coordonatelorsferice, poate fi citită în[41],p.51.Dată fiind forma polinomului P(y), avemP(±l) =−C 2 < 0 şilimy→+∞P(y) =+∞. Deducem de aici că polinomul P(y) are măcar o rădăcină y 3în intervalul (l, +∞). Dacă celelalte două rădăcini ale sale, notate y 1 , y 2 ,sevor afla în(−l, l), adică |y 1 y 2 |

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 203y = y 1 , y = y 2 , unde −l 0 există δ(ε) > 0astfel încât, fiind date mărimile x 0 , v 0 ∈ R, cu |x 0 |, |v 0 | < δ(ε), oricesoluţie

204 CAPITOLUL 2. MECANICA PUNCTULUI MATERIALx(t) aecuaţiei (2.162) care verifică datele Cauchy x(t 0 )=x 0 , ·x (t 0 )=v 0 vafi definită pe[t 0 , +∞) şi, în plus,|x(t)| , ¯ ·x (t) ¯ < ε, t> t 0 .Regăsim, în particular, controlul mărimii x(t) cu ajutorul cantităţilor x 0 ,v 0 . Demonstraţia rezultatului precedent se bazează pefuncţia lui LiapunovV(x, y), undeV : R 2 → R, introdusăprinformulaV(x, y) = 1 2 y2 +Z x0g(u)du(cf. [6], p. 143).Este evident că V(0, 0) = 0 şi V(x, y) > 0 pe o mică vecinătate a lui (0, 0)în (R 2 , T e ). Caracteristica esenţială afuncţiei lui Liapunov V(x, y) provinedin calculul următordh ³V x (t) , ·x´i(t) = ∂Vdt∂x · ·x (t)+ ∂V∂ ·x· ··x (t)= ·xhi(t) g (x (t)) + x ··(t)= 0,h ³şi anume d V x (t) , ·x´i(t) 6 0.dtÎn cazul particular al ecuaţiei (2.154), avemV(θ, ·θ) = 1 2· 2θ + g l(1 − cos θ) .Impunând ca l =1şi atribuind poziţiei y min = −l nivelul de energiepotenţială nulă, observăm că mărimea V(θ, θ) ·desemnează energia mecanică(totală) a punctului material M (de masă m =1)înmişcarea sa pe legăturaunilaterală ideală Γ (cf. [6], p. 142).Teoria stabilităţii ecuaţiilor diferenţialesedatorează cercetărilor întreprinsede H. Poincaré şi A. Liapunov, în mod independent. În timp cestudiile lui H. Poincaré au un caracter topologic (el introduce noţiunea deciclu-limită), A. Liapunov se preocupă devalabilitatea şi limitele problemeistabilităţii soluţiilor unui sistem diferenţial neliniar în primă aproximaţie

2.2. STATICA ŞI DINAMICA 205(liniarizare) (cf. [72], p. 527-528). Punctul de plecare îl constituie teza sade doctorat, intitulată ”Problema generală astabilităţii mişcării” (Harkov,1892) (cf. [6], p. 123, [76], p. 806). Cititorul poate consulta în aceastăprivinţă prezentările făcute în [6], Cap. IV, [76], p. 806-809, 814-820, [4],etc. Câteva dintre lucrările fundamentale în domeniu sunt [10], [22], [30]. Oserie de aplicaţii practice şi detalii extrem de interesante se găsesc în [9], [21],etc.Să presupunem acum că asupra punctului material M, supus unei legăturibilaterale ideale - constituită dinsuprafaţa simplă S acărei parametrizareglobală estedatăde(2.42)-,acţionează câmpuldeforţe conservativeF = ∇U. DacăpunctulmaterialM rămâne în echilibru, în acest câmpconservativ, în poziţia M 0 , deducem că forţa −→ F ∈ T M0 R 3 , −→ F ∈ F ,vafiortogonală vectorilor din T M0 S.Astfel,0=F · ∂σ ∂σ= ∇U ·∂qi ∂q = ∂Ui ∂q , i =1, 2i(cf. [34], p. 420). Însă formulele anterioare reprezintă condiţii necesare deextrem pentru funcţia U(q 1 ,q 2 ) (cf. [68],p. 97,[24],p. 251,etc.). Acestfapt este evident în cazul pendulului gravitaţional, unde poziţia de chilibruy min = −l se caracterizează prin valoarea minimă aenergieipotenţiale V =−U.Se poate arăta, privind mărimea V ca o formă pătratică pozitivdefinităîn vecinătatea echilibrului M 0 (cf. [76], p. 794, [56], p. 174), că poziţia deechilibru M 0 a punctului material M în câmpul de forţe conservative F estestabilă dacă M 0 reprezintă un punct de minim izolat al energiei potenţiale V .Rezultatul în cauză poartă denumirea de teorema Lagrange-Dirichlet (J.Lagrange (1788), G. Dirichlet (1846), cf. [32], p. 62) în mecanica teoretică(cf. [34], p. 421, [76], p. 794, [6], p. 143, [63], p. 551, etc.). Demonstraţia sariguroasă aparţine lui G. L. Dirichlet (cf. [76], p. 795-797).Un rezultat interesant, în ”spiritul” teoremei Lagrange-Dirichlet, priveştesistemul diferenţial de tip conservativ·u +∇V =0. (2.163)Aici, V = V (u 1 ,u 2 ,u 3 ). Dacă (C 1 ,C 2 ,C 3 ) reprezintă un minim izolat almărimii V ,atunciu(t) =C 1 i + C 2 j + C 3 k constituie o soluţie asimptoticstabilă a sistemului (2.163) (cf. [6], teorema 9, p. 144-145).

Capitolul 3Mecanica solidului rigidÎn subiectele dezbătute anterior (teoria newtonianăagravitaţiei, mişcareaproiectilelor pe curba balistică) am folosit, în locul unor corpuri materialedistincte prin formăşi structură interioară, puncte geometrice. Natura problemelorstudiate a făcut posibil acest lucru. Analiza unor fenomene diferite,în schimb, cum ar fi cel al mişcării titirezului (sfârlezei), cf. [32], p. 132-133,necesită introducerea altor modele matematice ale corpurilor materiale. Celmai simplu dintre acestea, solidul rigid, înlocuieşte, într-o primă aproximaţie(cf. [76], p. 133) a situaţiilor întâlnite în viaţa de zi cu zi, corpul materialcu un ansamblu discret de puncte materiale (cf. [54], p. 108, [41], p. 136).Modelul matematic al solidului rigid necesită, de asemeni, o actualizare adefiniţiei forţei.Generic, un sistem mecanic reprezintă omulţime de puncte materialeS = © (M i ,m i ):i = 1,n ª ,supuse unor legături reciproce (interacţiuni), care alcătuiesc un ”întreg”,deformabil într-o măsură maimică sau mai mare (R. Boscovich, 1758) (cf.[32], p. 75, [63], p. 18, [54], p. 108, [76], p. 3, [14], p. 7). Practic, putemconsidera că un corp este sistemul mecanic al ”particulelor” sale.Legile care guverneazămişcarea mecanicăaoricărui sistem de puncte materiale(mecanic) nu necesită axiome noi, ci se deduc din principiile mecaniciipunctului material (cf. [32], p. 75).Solidul rigid este acel sistem mecanic S căruia i se ataşează oproprietateesenţialmente geometrică (cf. [76], p. 560), şi anumeddt [d (M i,M j )] = 0, t> t 0 ,206

207unde 1 6 i, j 6 n. Cu alte cuvinte, distanţa dintre două puncte oarecareale solidului rigid S nu se modifică în timp, indiferent de mărimea forţeloraplicate asupra corpului material ori a mişcării efectuate de acesta (cf. [34],p. 161, [63], p. 18, [32], p. 76).Nu există, în realitate, corpuri perfect rigide. Totuşi, obiectele confecţionatedin materiale dure (metal, lemn, zidărie, etc.) pot fi privite ca soliderigide, într-o primă aproximaţie, atunci când forţele care se exercită asupralor nu depăşesc în intensitate (mărime) anumite limite (cf. [34], p. 8).Poziţia unui corp solid rigid S faţă de reperul canonic R este caracterizatădeşase parametri. Aceştia pot fi aleşi în mai multe feluri (cf. [76], p.168). Mai precis, să considerăm drept fixat un punct oarecare A al soliduluiS (în mod sugestiv, mişcarea generală a solidului rigid poate fi asemănată cuaceea a unei cărămizi care ”se dă peste cap”; aici, punctul A va fi ”fixat” cucretă într-unul din colţurile cărămizii). Poziţiasaestedatăcuajutorulatreiparametri, coordonatele punctului în R. Orice alt punct al corpului materialse va găsi pe o sferă derazăconstantăîntimp,centratăînA. Alegând,de exemplu, un punct B situat pe sfera de rază egală cu unitatea, putemcaracteriza poziţia acestuia cu numai doi parametri. Într-adevăr, cu ajutorulparalelelor duse prin punctul A la axele reperului R obţinemunsistemdecoordonate care ne furnizează, prin intermediul coordonatelor sferice, poziţiapunctului B. Un al treilea punct C, situat la distanţe neegale de A, B, vaaparţine cercului comun sferelor centrate în A şi B de raze d(A, C), respectivd(B,C). Poziţia sa pe cercul fix sedeterminăcuun parametru. Aşadar,pentru a preciza (fixa) poziţia unui corp solid rigid S la momentul t estesuficient să se precizeze poziţiilepecareleocupă în sistemul de referinţă R,la acel moment, trei puncte necoliniare ale acestuia (cf. [76], p. 167).Cunoaşterea poziţiei punctelor A, B, C ale rigidului S (vezi Figura 3.1)permite introducerea unui reper (mobil) R 0 solidar (rigid) legat de corpulsolid (cf. [41], p. 136). Într-adevăr, dacă O 1 reprezintă centrul cercului pecare se găseşte punctul C, putem alege pe acest cerc un al patrulea punct,notat D, astfel ca versorii vectorilor −−→ O 1 C, −−→ O 1 B, −−→ O 1 D să alcătuiască unsistemortonormat, de sens direct. În acest fel, putem spune că studiul mişcăriisolidului rigid S faţă de sistemul de referinţă R este acelaşi cu studiul mişcăriiunui reper R 0 solidar legat de rigid faţă dereperulR. În formularea profesoruluiO. Onicescu, rigidul este un corp ale cărui mişcări sunt replicamişcărilor euclidiene ale spaţiului care proced exact ca şi cum spaţiul întregar fi un rigid (cf. [56], p. 145). De asemeni, mişcarea unui sistem rigid se

208 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDextinde în mod firesc la întreg spaţiul şi se studiază fără aspecifica sistemulparticular considerat pentru a o defini (T. Levi-Cività) (cf. [56], p. 354).Formula v M = v O1 + ω × O 1 M, pe care o vom stabili ulterior, arată că vitezapunctelor M ale spaţiului ”rigid” creşte indefinit cu distanţa dintre M şidreapta determinată deO 1 şi de vectorul director ω, ceea ce face inutilizabilun asemenea model al corpului material în mecanicile avansate (ţinândseama de limitarea superioară a vitezei în Univers) (cf. [56], p. 354, [32],p. 94). Aici, ω constituie vectorul-viteză unghiulară instantaneealmişcăriireperului R 0 faţă deR iar v M , v O1 vitezele absolute ale punctelor M, O 1 .3.1 Vectori şi tensoriFigura 3.13.1.1 Vectori alunecători. Principiul suprimării forţelorTrecerea de la corpurile punctiforme (puncte geometrice) la solide complexe(mulţimi de puncte materiale) presupune luarea în discuţie a fenomenuluide transmitere (propagare) a forţei. Exemple de asemenea propagări seîntâlnesc la tot pasul în viaţa de zi cu zi: apăsarea furculiţei asupra uneibucăţi de brânză, ridicarea mânerului unui geamantan, apăsarea clanţei uneiuşi, împinsul pedalei de ambreiaj, etc. Aceste ”apăsări pe buton” comunicăpresiunea exercitată depalmă obiectelor cu care se află în contact: felia debrânză, arcul broaştei, etc. Astfel, un model matematic al forţei care se exercitădin partea mediului înconjurător asupra corpului solid rigid va trebuisăţină seama de conductibilitatea sa în ceea ce priveşte forţa.Să considerăm sistemul de referinţă R şi solidul rigid S. Odreaptă ∆ cetrece prin două puncteA, B ale corpului S are versorul director u.Presupunem că forţa −→ F ∈ T A R 3 acţionează asupraluiS astfel ca F =F u · u (adică, dreapta sa suport coincide cu ∆). Formula (2.85) arată căo

3.1. VECTORI ŞI TENSORI 209forţă −→ F 1 ∈ T B R 3 ,echipolentăcu −→ F , produce acelaşi efect asupra soliduluirigid S, şi anumeM O = OA × F = OB × F (3.1)(cf. [34], p. 54, [63], p. 44). Aşadar, momentul unei forţe −→ F faţă depolulO rămâne neschimbat atunci când punctul de aplicaţie al forţei se deplaseazăpe direcţia F (cf. [76], p. 45). Cu alte cuvinte, noţiunea de moment al forţeifaţă depolulO formalizează matematic fenomenul de propagare a acesteia.De aceea, prin definiţie, spunem că aexercita oforţă −→ F asupra corpuluisolid rigid S înseamnă a introduce vectorul F ∈ T R 3 şi axa (linia) sa deacţiune ∆ (cf. [76], p. 24). Un asemenea vector se numeşte alunecător sauglisant (P. Varignon, cf. [32], p. 145, [76], p. 25, [14], p. 24).Deşi nu am insistat anterior asupra acestui fapt, din punct de vedere ”tensorial”,vectorii liberi sunt caracterizaţi prin trei parametri (coordonatele lorîn baza B aspaţiului T R 3 ) iar vectorii legaţi prin şase parametri (coordonatelevectorului liber care constituie clasa de echipolenţă a vectorului legatca şi coordonatele punctului său de aplicaţie în R). Ceea ce este esenţial întroasemenea caracterizare a mărimilor vectoriale este tocmai modalitatea demodificare (variaţie) a acestor parametri odată cuschimbareareperului. Înmod natural, ne punem problema precizării acelor parametri care constituieexpresia tensorială a unui vector glisant. Aceşti parametri poartă denumireade coordonate plűckeriene (Plűcker) (cf. [34], p. 55, [76], p. 49).Dacă OA = xi + yj + zk şi F = Xi + Y j + Zk, atunci coordonatelevectorului M O sunt date de mărimileL = yZ − zY M = zX − xZ N = xY − yX(cf. [34], p. 53, [76], p. 48).Conform (3.1), M O · F =(OB, F,F )=0,deundeLX + MY + NZ =0.Cu alte cuvinte, doar cinci dintre numerele L, M, N, X, Y , Z sunt independente.Ele reprezintă ceicinci parametri care caracterizează tensorial, înmod biunivoc, un vector alunecător (cf. [2], p. 7, [76], p. 48-49).Din punct de vedere practic, cum vectorul F şi braţul său b sunt mărimicunoscute, există doardouă posibilităţi de alegere a dreptei-suport ∆ (vezi¯Figura 3.2). Aici, ¯−→ M O¯¯¯ =¯¯F ¯¯ · b.

210 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDFigura 3.2Sensul vectorului −→ M O este acela care desemnează dreapta∆ deoarecerotaţia lui −→ OA în jurul dreptei-suport a lui −→ M O trebuie să se realizeze în sensdirect trigonometric şi cu un unghi 6 180 ◦ (cf. [35], p. 49, [34], p. 27).Să presupunem acum că asupra punctului material A, aflat în constituţiacorpului solid rigid S, acţioneazădouăforţe −→ F 1 , −→ F 2 coliniare, egale în mărimedar de sens opus (vezi Figura 3.3).Evident, −→ F 1 + −→ F 2 =0, ceea ce exprimăfaptulcă prezenţa forţelor −→ F 1 , −→ F 2 nuimpietează cu nimic asupra stării mecanice curente a corpului S. Făcând săalunece, pe rând, cele două forţe până înpoziţia particulei B din constituţiarigidului, putem scrieF 1 + F 0 2 =0 F 2 + F 0 1 =0.Cu alte cuvinte, compresia (comprimarea) realizatăasupraluiS de forţele−→F1 , −→ F 0 2, respectiv extensia realizată deforţele −→ F 2 , −→ F 0 1 nu influenţează înniciun fel solidul rigid. Spunem că aceste forţe îşi fac echilibru şi pot fi suprimatefără aschimbastareaderepaussaumişcare a corpului (cf. [34],p. 8,[76],p. 134, [63], p. 42, [14], p. 24, etc). Proprietatea în cauză este cunoscutăsub denumirea de principiul suprimării forţelor.Figura 3.3

3.1. VECTORI ŞI TENSORI 2113.1.2 Momentul unui vector faţă deoaxă. Momentulcinetic faţă deoaxă al punctului material.Teorema momentului cineticDupă cumamvăzut anterior, mărimea vectorială −→ M O are o semnificaţiemecanică precisă atât în cazul vectorilor legaţi cât şi alunecători. Definireavectorului liber drept o clasă deechivalenţă (echipolenţa segmentelor orientate)face ca noţiunea de moment de pol O să nuîipoată fi ataşată (cf.[76], p. 45). Putem obţine, în schimb, o serie de concluzii interesante dacăinterpretăm anumite produse vectoriale ca ”momente”.Să considerăm vectorul legat sau alunecător −→ F cu dreapta-suport ∆ şi oaltădreaptă ∆ 1 de versor (director) w. Atunci, pentru P 1 , P 2 ∈ ∆ 1 şi A ∈ ∆,avemM P2 = P 2 A × F = ¡ P 2 P 1 + P 1 A ¢ × F= P 2 P 1 × F + M P1 ,respectivM P2 · w = ¡ P 2 P 1 , F,w ¢ + M P1 · w = M P1 · w.Aici, P 2 P 1 = k · w, k ∈ R. Aşadar, proiecţia pe dreapta ∆ 1 amomentuluiunui vector −→ F faţă deunpunct(pol)P al acesteia este independentă depoziţia lui P pe dreaptă (cf. [76], p. 46, [34], p. 55). Mărimea M P · w,notată M ∆1 , unde P ∈ ∆ 1 ,senumeşte momentul vectorului −→ F faţă deaxa∆ 1 (cf. [63], p. 44, [35], p. 49).Momentul M ∆1 admite următoarea caracterizare. Fie Π planul perpendicularpe dreapta ∆ 1 care o intersectează înP (vezi Figura 3.4).Figura 3.4Dacă proiectăm vectorul −→ F pe planul Π, atunci vom putea scrie căF = F 1 + F 2 = F 0 + k 1 · w PA = PA 0 + A 0 A = PA 0 + k 2 · w,

212 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDunde k 1,2 ∈ R, şiM ∆1 = w · £¡ PA 0 + k 2 · w ¢ × ¡ F 0 + k 1 · w ¢¤= ¡ w, PA 0 , F 0¢ + ¡ w, PA 0 ,k 1 w ¢ + ¡ w, k 2 w, F 0¢+(w, k 2 w, k 1 w)³ −→F ´³0−→F ´0 ¯= M P · w = M ∆1 = ± ¯−→ F 0¯¯¯ · d¯= ±d · ¯−→ F ¯ · sin α(cf. [34], p. 55). Cu alte cuvinte, momentul vectorului −→ F faţă deaxa∆ 1este egal cu momentul faţă de aceeaşi axă al vectorului-proiecţie al său pe unplan perpendicular pe ∆ 1 (cf.³[63], p. 46).−→F ´0Egalitatea M ∆1 = M P · w = F ⊥ · d, undeF ⊥ reprezintă proiecţiavectorului −→ F pe direcţia A 0 B 0 , scoate în evidenţă faptulcăefectulderotaţieal aplicării forţei −→ F asupra unui corp solid rigid care se poate roti liber înjurul axei fixe verticale ∆ 1 este produs numai de componenta transversală(pe axă) a lui −→ F (cf. [32], p. 54).³¯ −→F¯¯¯−→ ¯La rândul lor, formulele ¯M O´¯¯¯ = F¯¯¯ · b, M∆1 = ±d · ¯−→ F ¯ · sin αarată că:1) Momentul vectorului −→ F faţă depolulO este nul dacă şi numai dacăvectorul −→ F este nul sau dreapta sa suport trece prin punctul O (cf. [35], p.48, [34], p. 54).2) Momentul vectorului −→ F faţă deaxa∆ 1 este nul dacă şi numai dacăvectorul −→ F este nul sau dreapta sa suport este coplanară cudreapta∆ 1 (cf.[76], p. 48, [34], p. 56).În particular, în cazul unui solid rigid cu axă derotaţie fixă, o forţăavând linia de acţiune paralelă cuaxaderotaţie ori concurentă cu aceastanu produce rotaţie (cf. [32], p. 54).Calculele precedente pot fi aplicate şi unor mărimi vectoriale diferite deforţe. Astfel,ţinând seama de (2.87), (2.71), mărimeaL Oznot= L z = mr 2 1reprezintă momentul cinetic al punctului material faţă deaxaOz, exprimatîn coordonate polare (cf. [76], p. 402). Aici, planul Π este chiar Oxy.·θ 1

3.1. VECTORI ŞI TENSORI 213În sfârşit, teorema momentului cinetic faţă deaxaOz, aplicată punctuluimaterial M, este·Lz= M z ,notunde M Oz = M z .3.1.3 Torsorul unui sistem de vectori. Sisteme de vectoriechivalente. InvarianţiOperaţiile cu vectori glisanţi se definesc, în mod evident, prin extrapolareaoperaţiilor corespunzătoare cu vectori legaţi. Astfel, având vectoriialunecători −→ F 1 , −→ F 2 cu dreptele-suport concurente ∆ 1 , ∆ 2 (vezi Figura 3.5),putem construi suma lor, reprezentată de vectorul (alunecător) −→ F , undeF = F 1 + F 2 , cu linia de acţiune ∆ definită de punctul A comun dreptelor∆ 1 , ∆ 2 şi de vectorul director F (cf. [76], p. 233). O formulă elementară,utilă în cadrul problemelor de mecanică teoretică, este (vezi Figura 3.5)¯¯−→ ¯¯¯−→F 1¯¯¯2− F2¯¯¯2cos α =¯¯−→ ¯F ¯ · ¯−→ F 0¯¯¯(cf. [35], p. 224). Aici, −→ F 0 = −→ F 1 − −→ F 2 .Figura 3.5Săconsiderăm, în cele ce urmează, un sistem de vectori legaţi sau alunecători−→ F 1 , ..., −→ F n având dreptele-suport ∆ 1 , ..., ∆ n şi punctele A i ∈ ∆ i , unde1 6 i 6 n. Fixând punctul A ∈ E 3 în raport cu reperul canonic R, introducemvectorii −→ R A , −→ M A ∈ T A R 3 prin formulelenXR A = F i , −→ nXR A ∈ R A M A = AA i × F i , −→ M A ∈ M Ai=1i=1

214 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID(cf. [76], p. 55).Vectorii −→ R A , −→ M A poartă denumireaderezultantă generală sau vectorrezultant, respectiv moment rezultant al sistemului de vectori { −→ F i : i = 1,n}(cf. [34], p. 57, [35], p. 50).Fixând un al doilea punct B ∈ E 3 ,aulocrelaţiileR A = R B , (3.2)respectivM A =ÃnX ¡ ¢ nX!AB + BAi × F i = AB × F ii=1i=1+nX ³ −→Fi´M Bi=1(3.3)= M B + AB × R B(cf. [34], p. 59, [14], p. 31).Formula (3.2) arată că rezultanta generală −→ R A este ”transportată” înorice alt punct al SF într-un vector echipolent, şi anume −→ R B . Aplicaţiacare asociază fiecărui punct A ∈ E 3 vectorul −→ R A ∈ R A defineşte astfel uncâmp vectorial uniform (cf. [35], p. 52). De aceea, convenim să spunemcă rezultanta generală a unui sistem de vectori legaţi sau alunecători poatefi privită caunvectorliberşi constituie un invariant (mărime invariantă laschimbarea polului A) al sistemului (cf. [34], p. 57, 59).În ceea ce priveşte momentul rezultant, deducem căM A · R A = M B · R A + ¡ AB, R B , R A¢ (3.2)= M B · R B ,adică proiecţia momentului rezultant al unui sistem de vectori legaţi saualunecători pe direcţia vectorului rezultant este independentă dealegereapoluluiA, constituind un invariant al sistemului (cf. [32], p. 151).Dubletul³ −→Rτ A = A , −→ M A´se numeşte torsorul de pol A al sistemului de vectori { −→ F i : i = 1,n} (cf. [76],p. 56). El exprimă efectul mecanic al aplicării sistemului de forţe asupracorpului solid rigid S (cf. [63], p. 54). Dată fiind existenţa celui de-al

3.1. VECTORI ŞI TENSORI 215doilea invariant al sistemului de vectori, putem spune că aplicaţia care asociazăfiecărui punct A ∈ E 3 vectorul −→ M A ∈ M A defineşte un câmp vectorialechiproiectiv (cf. [35], p. 52).Atunci când rezultanta generală a unui sistem de vectori este nulă, câmpulvectorial al momentului rezultant devine uniform. Putem considera, astfel,momentul rezultant ca un vector liber (transportabil prin echipolenţăînoricepunct al SF) (cf. [34], p. 59, [35], p. 52-53).Se pune în mod natural problema simplificării (reducerii) unui sistem deforţe aplicate asupra corpului solid rigid, cu păstrarea efectului mecanic alacţiunii lor, şi aceasta pentru a putea clarifica şi rezolva diverse situaţii dinviaţa de zi cu zi, scopul final al mecanicii. Reducerea, prin operaţii specifice,aforţelor care intervin în probleme practice va permite stabilirea cu uşurinţă,în general, a efectului acestora asupra corpului material.Operaţiile elementare de echivalenţă cu ajutorul cărora putem modificaun sistem de vectori fără ainfluenţa torsorul acestuia sunt:1) glisarea unui vector pe dreapta sa suport;2) suprimarea a doi vectori egali în mărime dar de sens opus, având aceeaşidreaptă-suport;3) compunerea mai multor vectori cu acelaşi punct de aplicaţie A;4) descompunerea unui vector cu punctul de aplicaţie în A în mai mulţivectori cu acelaşi punct de aplicaţie (cf. [34], p. 60-61, [76], p. 52-54).Fiind date două sisteme de vectori legaţi sau alunecători, notate S 1 , S 2 ,spunem că, prin definiţie, elesuntechivalente dacă τ A (S 1 )=τ A (S 2 ), undeA ∈ E 3 .Relaţiile (3.2), (3.3) aratăcă o asemenea egalitate este independentăde alegerea polului A (cf. [35], p. 54). Se poate dovedi că sistemul devectori S 1 poate fi transformat pe baza operaţiilor elementare de echivalenţăîn sistemul S 2 dacă şi numai dacă celedouă sisteme sunt echivalente (cf.[35], p. 54, 57-58, [34], p. 61, 64-65). În particular, un sistem având torsorulnul (R A = M A =0) nu produce nici un efect mecanic asupra corpului solidrigid, putând fi eliminat sau adăugat în problemă înfuncţie de necesităţi (cf.[34], p. 64, [35], p. 57, [14], p. 29).Un sistem de vectori având torsorul nul este considerat echivalent cu zero(nul) (cf. [34], p. 64, [2], p. 22). Dat fiind scopul finalaloperaţiilor deechivalenţă, se întâlnesc şi denumirile de torsor de reducere (cf. [63], p. 55)pentru τ A (S), respectiv punct (centru) de reducere (cf. [32],p. 150,[63],p.54) pentru polul A.

216 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID3.1.4 Teorema lui P. Varignon. Cuplu de forţe. Reducereasistemelor de vectoriTÎn cazul în care n ∆ i = {A}, aulocrelaţiilei=1M B =nXBA i × F i =i=1nX ¡ ¢BA + AAi × F ii=1Ã nX!= BA × F i +i=1nX ¡ ¢ki · F i × F ii=1= BA × R A = M B³ −→RA´,unde k i ∈ R, 1 6 i 6 n, ceea ce arată că, întotdeauna, un sistem de vectoriculiniiledeacţiune concurente poate fi redus la un singur vector, rezultantalor (cf. [76], p. 140). Egalitatea³n −→Fio´ ³ −→RM B : i = 1,n = M B A´,B∈ E 3 ,este cunoscută subnumeledeteorema lui P. Varignon (1725) (cf. [32], p.152, [34], p. 60, [14], p. 37). Un alt caz al acestei formule, privind sistemelede forţe în plan, este discutat la p. 229. Considerând o dreaptă oarecare ∆,introdusă cu ajutorul punctului B ∈ E 3 şi al versorului director u, putemscrie că³ −→R³ −→RnX ¡ ¢M ∆ A´= M B A´· u = BAi × F i · u=nXi=1M ∆³ −→Fi´.Cu alte cuvinte, momentul în raport cu o axă oarecare al rezultantei unuisistem de vectori cu dreptele-suport concurente este egal cu suma algebricăa momentelor forţelor componente în raport cu aceeaşi axă (cf. [14], p. 38).Sub această formulare, teorema lui P. Varignon se mai numeşte şi teoremamomentelor (cf. [63], p. 48).Un caz particular important de sistem de vectori îl constituie cuplul deforţe. Prin cuplu de forţe înţelegem perechea { −→ F 1 , −→ F 2 } alcătuită dinforţei=1

3.1. VECTORI ŞI TENSORI 217egale în mărime şi de sens opus care au liniile de acţiune paralele (cf. [14],p. 27). Astfel,M A = AA 1 × F 1 + AA 2 × ¡ −F 1¢=¡AA1 − AA 2¢× F 1= A 2 A 1 × F 1 = M B .Câmpul vectorial definit de momentul rezultant al unui cuplu de forţeaplicate solidului rigid S fiind uniform, momentul rezultant al cuplului poatefi considerat drept vector liber (L. Poinsot, 1804) (cf. [32], p. 148-149, [34],p. 63).³ −→F1´Egalitatea M A = M A2 (vezi Figura 3.5) ne conduce la ¯¯M A¯¯ =r 0 · F 1 · sin α = F 1 · b. Aici, b reprezintă braţul cuplului (cf. [14], p. 27).Figura 3.5Mărimea M A (vector liber) constituie momentul cuplului (cf. [35], p. 56,[32], p. 146).Se cuvin făcute în acest moment câteva precizări relative la legătura dintrenoţiunea de moment al forţei faţă deunpol(axă) şi efectul de rotaţie produs prinaplicarea forţei respective asupra corpului material, efect la care am făcut referireanterior. Cum mecanica teoretică reproduce în cadrul unor modele matematiceîntâmplări din viaţa de zi cu zi, este natural ca introducerea unor noţiuni autoconţinutede tip matematic în discuţie să fie ilustrată prin menţionarea unor fapteexperimentale uşor de imaginat ori realizat efectiv. De aceea, aceste comentariiprivind rotaţia suferită de un corp cu ”axă fixă” sub acţiunea ”apăsării” ori ”tragerii” noastre trebuie luate numai în sens ilustrativ. Încercaţi,deexemplu,sărotiţi cu mâinile goale o elice de vapor! Am putea spune, pur intuitiv şi neriguros,că acolo unde există unmoment ar putea apărea şi o rotaţie. Dar o asemeneaafirmaţie are drept scop să ne ajute în a ne imagina fenomenul, nu în a realizademonstrarea unor ”întâmplări” mecanice precise.

218 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDRevenind la chestiunea cuplului de forţe, acesta seamănă cuo”pocniturădindegete” (ansamblu de mişcări opuse ale falangelor), deci ne-am aştepta să aparăorotaţie (cf. [35], p. 75). Şi, într-adevăr, dacă solidul rigid asupra căruia acţioneazăcuplul { −→ F 1 , −→ F 2 } este în repaus, liber, constituit dintr-un material omogen şi avândforma unei sfere S(O, R), atunci acesta va căpătaomişcarederotaţie când planulcuplului de forţe conţine punctul O (vezi Figura 3.6) (cf. [76], p. 137, [63], p.49). Rotaţia se va realiza în jurul axei ∆ perpendiculară în punctul O pe planulcuplului. Dar, trebuie ştiut că, în ciuda aparenţelor,uncupludeforţe nu conduceîn mod automat la o rotaţie. În general, determinarea mişcării unui solid rigid subacţiunea unui cuplu de forţe depinde de condiţiile iniţiale, de geometria maselor,etc (cf. [76], observaţiadelap. 137). Priviţi un copil care îşi aruncă jucăriile pepodea. Acţiunea copilului se repetă în mod aproximativ identic, dar ”rostogolirea”jucăriei pe sol diferă delacazlacaz,faptcepareafi în legătură cuforma jucăriei,greutatea ei, ş. a. m. d.Figura 3.6 Figura 3.7Revenind la sistemul de vectori { −→ F i : i = 1,n}, săconsiderăm un plan Πcare nu conţine punctele A i . Atunci, dreptele ∆ i vor intersecta planul Π încel mult n puncte.Putem, aşadar, fixa punctele O 1 , O 2 , O 3 ∈ Π necoliniare astfel încâtO k /∈ ∆ i pentru orice k, i. Vectorii O 1 A i , O 1 O 2 , O 1 O 3 sunt necoplanari, ceeace este echivalent cu¡ ¢ ¡ ¢O1 A i , O 1 O 2 , O 1 O 3 = O1 A i , O 2 O 1 , O 3 O 1= ¡ ¢O 1 A i , O 2 O 1 + O 1 A i , O 3 O 1 + O 1 A i= ¡ O 1 A i , O 2 A i , O 3 A i¢6=0.Vectorii −→ e 1i , −→ e 2i , −→ e 3i ,introduşi prin formula−→e αi ∈ O α A i ,−→e αi ∈ T Ai R 3 , α =1, 2, 3,

3.1. VECTORI ŞI TENSORI 219alcătuiesc o bază (neortonormată) a spaţiului T Ai R 3 . În concluzie, existăodescompunere unică avectorului −→ F i în T Ai R 3 pe direcţiile e αi (vezi Figura3.7), şi anume−→Fi = −→ Fi 0 + −→ Fi00+ −→ F 000 ,i= 1,n.Prin glisarea vectorilor −→ Fi 0 , −→ Fi 00 , −→ Fi000 până în punctele O 1 , O 2 , O 3 putemreduce sistemul iniţial la un sistem de trei vectori( nXi=1−→ F0i ,nX −→iFi 00 ,i=1 i=1)nX −→F 000i(cf. [34], p. 61-62, [35], p. 54-55).Sistemul { −→ R 1 , −→ R 2 , −→ R 3 } obţinut poate fi redus în continuare.Figura 3.8Astfel, să notăm cu Π 1,2 planele determinate de O 1 şi de dreapta-suporta vectorului −→ R 2 , respectiv O 1 şi dreapta-suport a vectorului −→ R 3 (vezi Figura3.8). În cazul cel mai complicat, Π 1 ∩ Π 2 = ∆. FixândunpunctO 0 ∈ ∆,O 0 6= O 1 , descompunem vectorul −→ R 2 după direcţiile O 1 O 2 , O 0 O 2 şi facem săgliseze vectorii −→ R2, −→ 0 R2 00 până în punctele O 0 , O 1 .Înfinal, ajungem la sistemulde doi vectori n −→R1+ −→ R2 00 + −→ R3, −→ 00 R2 0 + −→ oR30(cf. [34], p. 62-63, [35], p. 55-56).Următorul procedeu este cunoscut sub denumirea de reducerea forţei aplicatăunui corp solid rigid (cf. [63], p. 53, [14], p. 29). Săconsiderăm vectorul−→ F ,legatsaualunecător, având linia de acţiune ∆ (vezi Figura 3.9) şi A ∈ ∆.

220 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDÎntr-un punct oarecare B al solidului rigid aplicăm sistemul nul de forţe{ −→ F 1 , −→ F 2 } dat de F 1 = −F 2 = F . Atunci, sistemele de vectori { −→ F }, { −→ F, −→ F 1 ,−→F2 } sunt echivalente. Dubletul { −→ F, −→ F 2 } constituie un cuplu de forţe avândmomentul M. El poate fi înlocuit, păstrându-se echivalenţa, cu orice altcuplu { −→ F 0 , −→ F 00 } de moment M. Astfel, forţa −→ F aplicată unuisolidrigidSpoate fi ”transportată” în forţa −→ F 1 acărei linie de acţiune trece printr-unpunct convenabil ales dacă aducem în discuţie un cuplu de forţe suplimentar(cf. [63], p. 53-54, [14], p. 29-30). Cuplul { −→ F 0 , −→ F 00 } se numeşte compensator(cf. [32], p. 147). Aici, M = AB × F 2 = −AB × F = BA × F = M B ( −→ F ).Figura 3.9Figura 3.10Aşadar, pentru a deplasa forţa −→ F din punctul A în punctul B nesituatpe dreapta sa suport trebuie introdus un cuplu compensator al cărui moment(rezultant) este echipolent cu momentul forţei −→ F faţă depolulB (cf. [32],p. 147).

3.1. VECTORI ŞI TENSORI 221Torsorul τ B =( −→ F 1 , −→ M) caracterizează complet vectorul alunecător −→ F (cf.[76], observaţiadelap.50).Reducerea unui sistem de vectori { −→ F 1 , −→ ¯F 2 },unde ¯−→ ¯¯¯−→F 1¯¯¯ 6= F2¯¯¯, având liniilede acţiune ∆ 1 , ∆ 2 paralele poate fi realizată pe cale grafică, prin introducereasistemului nul { −→ f,− −→ f }, într-un mod extrem de simplu (vezi Figura 3.10).Ţinând seama de congruenţa triunghiurilor haşurate, avem| −→ f |¯¯−→tan αtan β = | −→ F 1| F 2¯¯¯ADtan α| −→ =f | ¯¯−→| −→ F tan β = DC= ADDBDB = b 1.b 1¯¯¯DC2F 2|Aşadar, b 1 ·putem scrie că¯¯−→ F 1¯¯¯ = b2 ·¯¯−→ F 2¯¯¯, deundeA1 E/A 2 E =¯¯−→ F 2¯¯¯ /¯¯¯−→ F1¯¯¯. Vectorial,A 1 E · F 1 + A 2 E · F 2 =0. (3.4)Cu alte cuvinte, deplasând echipolent forţele −→ F 1 , −→ F 2 pe dreapta A 1 A 2 până¯în punctul E, definit de relaţia A 1 E · ¯−→ ¯F 1¯¯¯ = A2 E · ¯−→ F 2¯¯¯ (interior sau exteriorsegmentului A 1 A 2 dupăcumforţele sunt la fel orientate sau invers orientate),vom obţine prin sumarea vectorială a acestora reducerea sistemului { −→ F 1 , −→ F 2 }(cf. [32], p. 148). Poziţionarea punctului E în raport cu segmentul A 1 A 2 sededuce din (3.4) pe baza definiţiei produsului scalar.Tehnica anterioară este utilizată pentru reducerea sistemelor de cupluride forţe. Într-adevăr, în cazul cuplurilor situate în plane paralele (avândmomentele coliniare), putem aduce vectorii într-un singur plan astfel încâtnoile cupluri să aibă acelaşi braţ (cf. [32], p. 149, [63], p. 50-52). Operaţiilese realizează prin introducerea sistemului nul { −→ f,− −→ f }.1) Deplasarea cuplului { −→ F,− −→ F } într-un plan paralel:Figura 3.11

222 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID2) Obţinerea, în plan, a unui anumit braţ b al cuplului { −→ F,− −→ F }:Figura 3.123) Aducerea, în plan, a vectorilor cuplului { −→ F,− −→ F } pe două drepteparalele ∆ 0 1, ∆ 0 2 date (cf. [63], p. 52):Figura 3.13În sfârşit, săconsiderăm cuplurile { −→ F 1 , − −→ F 1 }, { −→ F 2 , − −→ F 2 } situate în planeleΠ 1,2 .Aici,Π 1 ∩ Π 2 = d. Fixăm două puncte A, B ∈ d şi construim perpendicularele∆ 1,A , ∆ 1,B ∈ Π 1 , respectiv ∆ 2,A , ∆ 2,B ∈ Π 2 , în aceste puncte, pedreapta d. Evident, planele determinate de dreptele ∆ 1,A , ∆ 2,A şi ∆ 1,B , ∆ 2,Bsunt paralele (dreapta d reprezintă perpendicularalorcomună). Aducândvectorii −→ F 1 , − −→ F 1 şi −→ F 2 , − −→ F 2 pe dreptele ∆ 1,A , ∆ 1,B , respectiv ∆ 2,A , ∆ 2,Bobţinem cuplul { −→ F 1 + −→ F 2 , − −→ F 1 − −→ F 2 }.Efectul mecanic al acţiunii unei familii de cupluri de forţe asupra corpuluisolid rigid S este, aşadar,celalacţiunii unui singur cuplu de forţe,alcăruimoment este suma (vectorială) a momentelor cuplurilor de forţe iniţiale (cf.[76], p. 142).

3.1. VECTORI ŞI TENSORI 223Discuţia precedentă aratăcă, în cazul sistemului de vectori { −→ F i : i =1,n}, putem realiza, aplicând reducerea forţei −→ F i , o transformare a sistemuluide vectori iniţial într-un sistem alcătuit dintr-o familie de vectori cu dreptelesuportconcurente în punctul A, ales arbitrar, şi o familie de cupluri de forţe(cf. [14], p. 30, [63], p. 54). Astfel, orice sistem de forţe aplicate unui solidrigidsereducelaunsistemdevectorialcătuit din rezultanta forţelor iniţiale(transportate prin echipolenţă) şi un cuplu al cărui moment rezultant faţă depunctul de reducere A, ales arbitrar, este suma momentelor forţelor iniţialefaţă depolulA (cf. [34], p. 65, [35], p. 58).3.1.5 Axa centrală a unui sistem de vectori. Reducereacanonică aunuisistemdevectorişi cazuride degenerescenţă ale ei. Centrul unui sistemdevectoriparaleli. Centruldegreutatealunuicorp material. Centrul de masă alunuisistemmecanicDintre cele două metode de reducere a unui sistem oarecare de forţeacţionând asupra corpului solid rigid S, aceea care transformă sistemulîntrunvector −→ R A şi un cuplu de moment rezultant −→ M A posedă avantajuldeaputea fi realizată înorice punct de reducere A. Amvăzut că invarianţii R A ,M A · R A reprezintă elementecaracteristice ale ansamblului de forţe aplicatesolidului rigid, adică mărimi neinfluenţate de alegerea polului A. Se pune înmod natural problema de a investiga, odatăcalculaţi invarianţii într-o poziţieconvenabilă A, existenţa unui punct B al solidului rigid care, folosit dreptpunct de reducere aforţelor, să neconducă la un moment rezultant −→ M B calculatnumai cu ajutorul invarianţilor. Vrem, cu alte cuvinte, să găsim unpunct B în care torsorul τ B (S) să poată fi privit drept un obiect matematiccaracteristic sistemului S de forţe.Având la dispoziţie un vector (R A )şi un scalar (M A · R A ), determinareaaltui vector ( −→ M B )neconducelaproblema existenţeiunuipunctB pentrucare vectorii −→ R B , −→ M B sunt coliniari.Presupunând problema rezolvată, să considerăm că B este un punct alsolidului rigid pentru care R B ×M B =0. Atunci, pe baza (3.3), putem scrie

224 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDcă0 = R B × M A + R B × ¡ BA × R B¢= R A × M A + R 2 B · BA − ¡ BA · R B¢· RB= R A × M A − R 2 A · AB + ¡ AB · R A¢· RA ,de undeAB = R A × M AR 2 + λ · R A , λ ∈ R.AAşadar, punctul B se găseştepeodreaptă (cf. [35], p. 60). Reciproc,avemR B × M B = R B × M A + R B × ¡ ¢BA × R BÃ!R A × M A= R A × M A − R A ×× R A−R A × £¡ ¢ ¤λ · R A × RA= 0.În concluzie, locul geometric al punctelor B din SF pentru care mărimile−→ R B , −→ M B sunt coliniare este o dreaptă (cf. [34], p. 59). Ea se numeşte axacentrală a sistemului de forţe aplicate solidului rigid (cf. [32], p. 151, [14], p.33).Să descompunem momentul rezultant −→ M A după douădirecţii ortogonale,şi anume M A = α · R A + R ⊥ A. Înmulţind scalar în ambii membri cu R A ,obţinemAtunci,¯¯M A¯¯ =vuÃtM A = R A · M¯ A¯R A¯¯R A · M A¯¯R A¯¯! 2+¯·¯¯R ⊥ A¯2 >R 2 AR A¯¯R A¯¯ + R ⊥ A.¯¯R A · M A¯¯¯¯R A¯¯=constant.Aşadar, dacă lamomentult asupra solidului rigid acţionează forţele { −→ F i :¯i = 1,n}, mărimea ¯−→ M A¯¯¯ (ca funcţie de A) îşi va atinge minimul în punctele

3.1. VECTORI ŞI TENSORI 225axei centrale ∆ ( R ⊥ B =0). Reciproca este, de asemeni, adevărată (cf. [76],p. 57). De aceea, torsorul de reducere τ A (S) se mai numeşte şi minimalatunci când A ∈ ∆ (cf. [63], p. 57).Reducerea unui sistem de forţe S având primul invariant nenul (R A 6=0,condiţia de existenţă a axei centrale) se numeşte reducere canonică atuncicând centrul de reducere se găseşte pe axa ∆ (cf. [35], p. 58, [76], p. 136).Sunt valabile situaţiile de mai jos (cf. [34], p. 65-66).1) −→ R A · −→ −→M A 6= 0. Sistemul de forţe este echivalent cu vectorul R Aaplicat pe axa centrală ∆ şi cu un cuplu de moment M A ,aflat într-un planperpendicular pe axa ∆. Folosind ”ilustrarea” cuplului cu ajutorul rotaţiei,putem spune că mişcarea (instantanee) poate fi imaginată caoînşurubare înlungul axei centrale (mişcare elicoidală). Fireşte, în realitate, lucrurile nu sepetrec aşa. Interpretat astfel, un asemenea sistem se mai numeşte şi dinamăsau torsor răsucitor (cf. [76], p. 137).2) −→ R A 6=0, −→ M A =0. Sistemul este echivalent cu un vector unic −→ R Aglisant pe axa centrală ∆. Este cazul sistemului format din doi vectori culiniile de acţiune paralele (dreapta DE reprezintă axacentrală a acestuia).Aici, axa centrală poatefi determinată aplicândovariantăateoremei momentelor,vezi p. 229, privind sistemele de forţe în plan (cf. [14], p. 37-38).De exemplu, pentru un sistem alcătuit din forţe paralele (vezi Figura 3.14),putem scrie căFigura 3.14−F 1 · 0+F 2 · a − F 3 · (a + b) − F 4 · (a + b + c)+F 5 · (a + b + c + d)= (−F 1 + F 2 − F 3 − F 4 + F 5 ) · x,unde x desemnează distanţa de la polul A la axa centrală ∆ (cf. [76],aplicaţia 5 ◦ ,p.145).

226 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID3) −→ R A =0, −→ M A 6=0. Sistemul este echivalent cu un cuplu de momentM A .Nuexistăaxăcentralăşi momentul rezultant −→ M A al cuplului poate filegat în orice punct al solidului rigid.4) −→ R A , −→ M A =0. Sistemul este nul, putând fi eliminat din discuţie.Săconsiderăm un sistem de vectori { −→ F i : i = 1,n} având liniile de acţiuneparalele (de direcţie u). Atunci,ÃnX nXnX!R A = F i = F i · u = F i · ui=1şiM A =i=1i=1ÃnXnX!AA i × F i = F i · AA i × u.i=1i=1PCondiţia de existenţă a axei centrale este dată de n F i 6=0. În acest caz,i=1putem scrie cănPF i · AA "à i nX! #i=1M A = nP× F j · u = AG × R A .F j j=1j=1Punctul G ∈ E 3 este baricentrul de ponderi α p = F pnPF jj=1al familiei(A p ) p∈1,n şi se numeşte centrul sistemului de vectori paraleli (cf. [76], p.143). Conform [34], p. 67, pe baza (3.3), obţinemM G = M A + GA × R A = ¡ AG + GA ¢ × R A =0.¯Astfel, mărimea ¯−→ M A¯¯¯ (ca funcţie de A) îşi atinge minimul în punctul G,ceea ce arată că G ∈ ∆. Vectorul director al axei centrale fiind R A , deducemcă axa centrală a unui sistem de vectori paraleli ale căror linii de acţiuneau direcţia u este dreapta ce trece prin centrul G al sistemului de vectori şiare ca vector director direcţia u. CentrulG reprezintă unelementintrinsec(caracteristic) al sistemului de forţe (cf. [76], p. 144). FormulanPF i · OA ii=1OG = nPF jj=1

3.1. VECTORI ŞI TENSORI 227arată independenţa lui G faţă dedirecţia comună u avectorilor −→ F i .CentrulG este invariant, ca baricentru, la schimbarea sistemului de referinţă R. Înplus, partiţionând sistemul S de vectori paraleli în subsistemele S 1 , S 2 şinotând cu ∆ 1 , ∆ 2 axele centrale ale celor două subsisteme, se poate dovedică axacentrală(trecândprinG) a sistemului S constituie axa centrală asistemului de vectori { P −→ P −→ F , F } glisanţi pe axele ∆i (trecând prin G i ).S 1 S 2Evident, G va fi centrul noului sistem de vectori paraleli. Justificarea acestorafirmaţii poate fi citită în [34], p. 68-69, [35], p. 63-64.În cazul unui corp de dimensiuni obişnuite, centrul sistemului de forţe degreutate ale ”particulelor” din constituţia corpului material poartădenumireade centru de greutate al corpului (cf. [32], p. 154). Cum câmpul gravitaţionaleste doar local uniform (cf. [76], p. 148), nu vom putea vorbi, de exemplu,despre centrul de greutate al Oceanului Pacific!În sfârşit, în cazul sistemului mecanic S, baricentrulG corespunzătorPponderilor α i = m i /( n m j ) se numeşte centru de masă (cf. [32], p. 79).Astfel,j=1−→ rG = 1 m ·nXm k · −→ r k , (3.5)unde −→ r G , −→ r k reprezintă vectorii de poziţie ai punctelor G, M k ,iarm not= n Pconstituie masa sistemului mecanic (cf. [56], p. 16). FormulaOG =k=1nPm i g · OM ii=1nPm j gj=1m jj=1arată că centrul de masă şi centrul de greutate coincid pentru corpurile materialededimensiuniobişnuite(cf. [14], p. 56-57).Centrul de masă al unui sistem mecanic omogen (m i = m, 1 6 i 6 n)se bucură deoseriedeproprietăţi geometrice. Astfel,dacă sistemul mecanicadmite un plan, o axă sau un centru de simetrie, atunci centrul de masăse va găsi în planul, pe axa, respectiv în centrul de simetrie al configuraţieipunctelor materiale din sistem (cf. [76], p. 150, [14], p. 59). Vom justificaaceastă afirmaţie în cazul existenţei unui plan de simetrie. Formula (3.5)probează independenţa centrului de masă alsistemuluiS faţă de reperul

228 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDR. Făcând, eventual, o schimbare de reper, putem considera drept plan desimetrie al sistemului mecanic chiar planul de coordonate Oxy. Astfel,dacăun punct material al sistemului S va avea coordonatele x, y, a, unde a>0,va exista un punct material în cadrul sistemului S de coordonate x, y, −a.De unde deducem că Xm M · z(M) =0.M∈SPe de altăparte,ţinând seama de (3.5), avem z(G) =m −1· PM∈Sm M ·z(M).În concluzie, z(G) =0,adică G se găseşte în planul de coordonate Oxy.Mărimile m M · z(M) se numesc momente statice ale punctelor sistemuluimecanic faţă deplanulOxy (cf.[14],p.59).Egalitateam · z(G) = P M∈Sm M ·z(M) este cunoscută sub denumirea de teorema momentelor statice (cf.[76], p. 152, [63], p. 70-71). A se vedea şi [56], p. 17.Plecând de la (3.5), putem scrie căÃnXnX!nXm · OG = m k · OM k = m k · OG + m k · GM k .k=1k=1PRelaţia n m k · GM k =0,întâlnitădejalacalcululaluriiladistanţe marik=1apotenţialului newtonian, constituie o caracterizare echivalentă a centruluide masă al unui sistem mecanic. În cazul corpurilor (mediilor) materiale,formula centrului de masă sebazeazăpemărimea numită densitate. Astfel,OG = 1 ZZm · ρ(M) · OM dλ(M) m = ρ(M) dλ(M),Dunde D reprezintă domeniul ocupat în SF de corpul material (cf. [76], p.153-154, [63], p. 71-73, [56], p. 18-19).În încheierea acestei subsecţiuni, facem câteva comentarii privind sistemelede forţe în plan. Astfel,săconsiderăm sistemul de vectori { −→ F i : i = 1,n}ale căror linii de acţiune se găsesc într-un plan Π oarecare şi A ∈ Π. Dacă−→ R A 6=0,sistemuldevectorivaaveaoaxăcentrală, situată înplanulΠ.Vectorii u, v alcătuiesc o bază aspaţiului vectorial (director) al planului Π.Atunci,Dk=1PM A = n PAA i × F i = n (α i · u + β i · v) × F ii=1i=1

3.1. VECTORI ŞI TENSORI 229µ n µPnP= u × α i F i + v × β i F ii=1i=1= u × (α · u + β · v)+v × (γ · u + ε · v)= (β − γ) · u × v,ceea ce arată căvectorul −→ M A este sau nul sau perpendicular pe planul Π. Înambele situaţii, −→ M A · −→ R A =0,adică sistemul se reduce la un singur vector−→ R A glisant în lungul axei centrale ∆ (cf. [32], p. 152). Într-adevăr, cum−→ R A 6=0,există axa centrală ∆ şi atunci, luând A ∈ ∆, avemR ⊥ A =0,deunde M A =0.Invarianţa momentului rezultant faţădeoperaţiile elementare de echivalenţăneconducelaegalitatea(valabilăpentruoriceA ∈ Π)−→M A (S) = −→ M A ( −→ R B ), B ∈ ∆,care constituie teorema lui Varignon (cf. [76], p. 140). Teorema momentelor,vezidiscuţia de la p. 216, se formulează asemănător.Avem M A = AB × R B = AB × R A , de undeR A × M A = R A × ¡ AB × R A¢= R2A · AB − ¡ R A · AB ¢ · R A ,respectivAB = R A × M AR 2 + λ · R A , λ ∈ R.AAm regăsit ecuaţia axei centrale. În aceste condiţii, putem spune căformula din teorema lui Varignon, şi anume r×R O = M O ,reprezintă ecuaţiaîn reperul canonic R a axei centrale a unui sistem de forţe în plan (cf. [76],p. 58, 140). Acest rezultat a fost deja utilizat în cazul sistemelor de forţeparalele.Un al doilea comentariu priveşte reducerea pe cale grafică a sistemuluide forţe { −→ F i : i = 1,n} prin metoda poligonului funicular. Chiar dacă, înpractică, asemenea metode au fost înlocuite cu tehnici avansate, utilizândcalculatorul, pentru studentul matematician ele rămân relevante prin prismalegăturilor profunde cu geometria (de exemplu, cu geometria proiectivă, cf.[76], p. 242). Recomandăm cititorului expunerile metodelor grafice făcute în[76] ca şi regăsirea pe baza consideraţiilor de mecanica sistemelor de punctemateriale a unor teoreme din geometria sintetică în [35], [51], Cap. IV (de

230 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDexemplu, teoremele lui Leonardo da Vinci (1508) şi Commandino (1565), cf.[35], p. 129, [51], p. 97-98, 139, teorema lui Fagnano (1750), cf. [35], p. 154,[51], p. 11, teorema lui Viviani (1660), cf. [35], p. 217, etc).Sistemul de forţe în plan { −→ F 1 , −→ F 2 , −→ F 3 , −→ F 4 } este dat în Figura 3.15. Vomurma expunerile făcute în [76], p. 234-236, [32], p. 153, [63], p. 64-65, [35],p. 215-217.Mai întâi, plecând de la regula paralelogramului, putem construi regulatriunghiului (Figura 3.15 a) şi a poligonului forţelor (Figura 3.15 b) (cf. [34],p. 12-14, [63], p. 24-25). Ele vor fi aplicate aici. Astfel, fixând un punctA în planul forţelor în mod convenabil (Figura 3.15 c), transportăm prinechipolenţă forţa −→ F 1 în A, apoiforţa −→ F 2 în B, etc. Forţa care va închide liniapoligonală ABCDE, notată −→ R,constituierezultanta generală asistemuluide forţe în plan (metoda poligonului forţelor). Fixăm, apoi, un punct O înplanul forţelor, nesituat pe dreapta-suport a rezultantei −→ R,şi, folosind regulatriunghiului, construim forţele −→ f 0 , −→ f 1 , etc. Aici, f 0 + f 1 = F 1 , (−f 1 )+f 2 = F 2 , (−f 2 )+f 3 = F 3 şi (−f 3 )+f 4 = F 4 . Prin sumare, avem R =f 0 + f 4 . Alegând convenabil punctul F în planul forţelor (Figura 3.15 d),ducem paralela FG la dreapta AO, apoiparalelaGH la dreapta BO, etc.Figura 3.15Transportăm prin echipolenţă înpunctulG forţele −→ f 0 , −→ f 1 , unde −→ f 0∈

3.1. VECTORI ŞI TENSORI 231f 0 = AO, −→ f 1 ∈ f 1 = OB, în punctul H forţele − −→ f 1 , −→ f 2 , etc. Punctul O senumeşte pol, iar segmentele OA, OB, etc raze polare (cf. [76], p. 234). Sistemulde forţe iniţial este echivalent cu sistemul { −→ f 0 , −→ f 1 , − −→ f 1 , −→ f 2 , − −→ f 2 , −→ f 3 ,− −→ f 3 , −→ f 4 }. Aplicând principiul suprimării forţelor, vectorii −→ f 1 , − −→ f 1 , −→ f 2 , − −→ f 2 ,−→f3 , − −→ f 3 vor dispărea din sistem. Facem să gliseze forţele −→ f 0 , −→ f 4 până înpunctul comun L al liniilor lor de acţiune. În sfârşit, prin compunerea acestordouă forţe, găsim rezultanta sistemului iniţial, echipolentă cu −→ R. Liniapoligonală FGHIJK poartă denumireadepoligon funicular.Dacă poligonulforţelor rămâne deschis (A 6= E), atunci sistemul iniţialeste echivalent cu un singur vector, determinat cu ajutorul poligonului funicular.Dacă, în schimb, poligonul forţelor este închis iar forţele −→ f 0 , −→ f 4 (de-alungul razei polare AO) au sensuri opuse, atunci sistemul iniţial este echivalentcu cuplul { −→ f 0 , −→ f 4 }. În acest caz, poligonul funicular rămâne deschis.Când forţele −→ f 0 , −→ f 4 au acelaşi sens de-a lungul razei polare, sistemul iniţialva fi echivalent cu zero (poligonul funicular este închis) (cf. [76], p. 236-237,[63], p. 65).3.1.6 Tensorul de inerţie al unui sistem mecanic. Momentede inerţie. Formula lui Leibniz. Formulalui Lagrange. Formula Huygens-Steiner. TeoremaSteiner-Lurie. Formula Euler-Cauchy pentrucalculul momentului de inerţie faţă deoaxăChestiunile care urmează necesită referirea la mărimile numite tensorideordinulalII-lea. Datfiind caracterul restrâns al intervenţiei directe aproprietăţilor tensoriale specifice acestor mărimi, ne vom limita la expunereafăcută în[35],p. 46şi următoarele. Generalităţi privitoare la tensori potfi citite în [66], Cap. VIII. O prezentare elegantă a elementelor algebreitensoriale aparţine profesorilor G. Gheorghiu şi V. Oproiu, în GeometriaDiferenţială, p. 11-21. Momenteledeinerţie, pecareleintroducemaici,sunt tratate pe larg în [76], Cap. XXV, [63], p. 354 şi următoarele, etc.Să considerăm două repere carteziene R 0 =(B, −→ C ), R 00 =(C, −→ D ) aflateîn repaus faţă de sistemul de referinţă R. Notăm cu A matricea cosinuşilordirectori α mn ai bazei D în raport cu baza C. Atunci, matricea A este ortogonală(stochastică) şi are loc proprietatea A t = A −1 (cf. [35], p. 42, [77],propoziţia III.3, p. 102-103).

232 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDOmărime fizică sau geometrică, notată cu −→ X ,senumeşte tensor de ordinulalII-leadacăpoatefidescrisă (numeric) în raport cu un reper cartezianoarecare printr-o matrice din M 3 (R). Spunem că tensorul −→ X este reprezentattensorial de matricea[X] =(X ij ) i,j.Ca şi în cazul vectorilor, ceea ce conferă uncaractertensorial mărimii−→ X este modul în care componentele matricei [X] se modifică laschimbareareperului cartezian. Mai precis, dintre toate mărimile fizice ori geometriceexprimabile cu ajutorul matricelor numai cele supuse legii de transformarede mai jos[X ∗ ]=A · [X] · A tconstituie tensori de ordinul al II-lea (cf. [35], p. 44).Fiind daţi vectorii −→ u , −→ v ∈ T B R 3 , unde −→ u ∈ u, −→ v ∈ v, de coordonateu 1 , u 2 , u 3 , respectiv v 1 , v 2 , v 3 în reperul R 0 ,mărimea −→ T ,notată u ⊗ v şiintrodusăpebazamatricei(u i ·v j ) i,j , constituie un tensor de ordinul al II-lea.Ea poartă denumirea de produsul tensorial al vectorilor u, v. Într-adevăr,ţinând seama de calculul formal, putem scrie că⎛⎞[T ∗ ] = ⎝ u∗ 1u ∗ 2⎠ · ¡ v1 ∗ v2 ∗ v3∗u ∗ 3= A · [T ] · A t .¢=[A⎛⎝ u ⎞1u 2u 3⎛⎠] · [A ⎝ v ⎞1v 2⎠] tv 3În schimb, o mărime fizică sau geometrică descrisă (numeric) în raport cuun reper cartezian oarecare printr-un număr real este numită scalară dacănumărul în cauzănusemodificălaschimbareareperului(cf. [66],p. 254). Nuorice mărime fizică ori geometrică reprezentată printr-un număr real în raportcu un reper cartezian constituie un scalar. Există pseudoscalari, densităţi,capacităţi scalare, etc (cf. [66], p. 254). În cazul vectorilor −→ a , −→ b , −→ c ∈T B R 3 , unde −→ a ∈ a, −→ b ∈ b, −→ c ∈ c, de coordonate a i , b i , c i în reperulR 0 , mărimea (a, b, c), numită produs mixt, pecareodefinim cu ajutorulnumăruluiM =¯a 1 a 2 a 3notb 1 b 2 b 3 =(a, b, c)c 1 c 2 c 3¯¯¯¯¯¯(cf. [34], p. 31), va fi supusă legii de transformare M ∗ =detA · M = M. Eaeste, aşadar, scalară. Introducând în discuţie şi baze neortonormate (det A 6=1), mărimea (a, b, c) devine o densitate scalară (cf. [66], p. 255).

3.1. VECTORI ŞI TENSORI 233La rândul său, produsul scalar este o mărime scalară. Într-adevăr, conformcalculului formal, avem⎛a · b = ¡ ¢a 1 a 2 a 3 · ⎝ b ⎞1b 2⎠ ,b 3de unde¡ a∗1 a ∗ 2 a ∗ 3⎛ ⎞ ⎛¢· ⎝ b∗ 1b ∗ ⎠2 = [A ⎝ a ⎞ ⎛1a 2⎠] t · [A ⎝ b ⎞1b 2⎠]b ∗ 3a 3 b 3⎛= ¡ ¢ ¡a 1 a 2 a 3 · At · A ¢ · ⎝ b ⎞1b 2⎠b 3⎛= ¡ ¢a 1 a 2 a 3 · ⎝⎞b 1b 2⎠ .b 3Mărimea −→ E , reprezentată în reperul cartezian R 0 prin matricea⎛ ⎞i 1[E] = ⎝ j 1⎠ · ¡ ¢i 1 j 1 k 1 ,k 1unde C = {i 1 , j 1 , k 1 },constituietensorul-unitate (Kronecker) (cf. [35], p. 44,[34], p. 44).Mărimea c( −→ X ), numită contracţia tensorului −→ X (cf. [34], p. 50), estereprezentată înreperulR 0 de numărul (urma matricei [X])tr ([X]) not= X 11 + X 22 + X 33 .Cum tr (A · [X] · A −1 ) = tr ([X]) (cf. [50], problema 29, 4), p. 95),deducem că c( −→ X ) este un scalar.Modulul unui vector (liber) este o mărime scalară. Într-adevăr, are locrelaţia c( −→ X )=|x| 2 , unde −→ X = x ⊗ x (cf. [35], p. 46).În mod evident, operaţiile cu tensori (adunarea, înmulţirea cu scalari) sedefinesc cu ajutorul operaţiilor matricelor de reprezentare (cf. [34], p. 45).

234 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDPutem introduce acum mărimeaà nX!−→IO (S) = m k · r 2 k · −→ E −k=1nXm k · r k ⊗ r k ,notunde OM k = r k , 1 6 k 6 n, numită tensor de inerţie al sistemului mecanicS în punctul O din SF (cf. [76], p. 586, [41], p. 141). Caracterul tensorialal mărimii −→ I O (S) rezultă imediat din consideraţiile anterioare.Operatorul urmă fiind liniar (cf. [50], problema 29, 1), 2), p. 95), putemscrie căó −→IO´ nX!³ −→E´ nXc (S) = m k · r 2 k · c − m k · c (r k ⊗ r k ) .k=1k=1Astfel, c( −→ I O (S)) este reprezentată înreperulR 0 de numărul 2 ·ExpresiaI O (S) =k=1nXm k · r 2 kk=1nPm k · r 2 k .poartă denumirea de moment de inerţie polar al sistemului mecanic S (cf.[76], p. 567) în polul O. Însfârşit, c( −→ I O (S)) = 2 · I O (S).PCum n m k · GM k =0,obţinemk=1k=1I O (S) =nXm k · ¡OG ¢ 2 2nX+ GM k = m · OG + m k · GM 2 k.k=1k=1Egalitatea I O (S) =I G (S) +m · OG 2 constituie formula lui Leibniz.Conform ei, momentul de inerţie al sistemului mecanic S faţă depunctulOeste egal cu momentul său de inerţie faţădecentruldemasă G plus momentulde inerţie faţă depunctulO al punctului geometric G dotat cu masa totalăa sistemului mecanic (cf. [35], p. 147, [76], observaţiadelap. 575,[51],p.137).Aplicând formula lui Leibniz în punctele M i ,avemrelaţiileI Mi (S) =I G (S)+m · M i G 2 , 1 6 i 6 n,

3.1. VECTORI ŞI TENSORI 235de unde deducem cănXm i · I Mi (S) =m · I G (S)+m ·i=1respectivI G (S) = 12m ·= 1 m ·= 1 m ·nXnXm i · M i G 2 =2m · I G (S),i=1i=1m ià nXj=1X16i6j6nX16i6j6nm j · M i M 2 j!m i m j · MiM 2 j + M j M 2 i2m i m j · M i M 2 j.(3.6)Relaţia (3.6) reprezintă teorema lui Lagrange (1783) (cf. [35], p. 148).Cu ajutorul său, obţinem formula lui Lagrange, şi anumenXm k · OM 2 k = m · OG 2 + 1 m ·Xm i m j · M i M 2 j,k=116i6j6npe baza căreia pot fi stabilite numeroase relaţii (metrice) în geometria sintetică.De exemplu, fixând în vârfurile triunghiului ABC masele m A = m B =m C =1, formula lui Lagrange ne conduce la egalitateaXMA 2 =3MG 2 + 1 ¡a 2 + b 2 + c 2¢ ,3unde M este un punct oarecare din planul triunghiului (cf. [74], problema571, p. 64, [35], p. 150).Un alt exemplu îl constituie teorema lui Stewart (cf. [51], p. 9): fiinddat punctul M pe latura BC a triunghiului ABC, întreB şi C, arelocrelaţiaAM 2 · BC = AB 2 · MC + AC 2 · MB − BC · BM · CM.Presupunând că M este diferit de B şi C, plasăm în aceste puncte (geometrice)masele m B = CM, m c = BM. Atunci, cum m B · MB + m C ·MC =0,rezultăcă M este centrul de masă al sistemului mecanic S ={(B,m B ), (C, m C )} (cf. [35], p. 169). Pe baza formulei lui Leibniz, avemI A (S) = m B · AB 2 + m C · AC 2= I M (S)+(m B + m C ) · AM 2 .

236 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDFormula (3.6) ne conduce la I M (S) = m B·m Cm B +m C· BC 2 . Înlocuind mărimeaI M (S) în egalitatea anterioară, regăsim relaţia din teorema lui Stewart.Să considerăm acum dreapta ∆ care trece prin punctul O şi are versoruldirector u fix (vezi Figura 3.16). MărimeaI ∆ (S) =nXm k · d 2 k,k=1unde d knot= d(M k , ∆), desemnează momentul de inerţie al sistemului mecanicfaţă deaxa ∆ (C. Huygens, 1673) (cf. [32], p. 109, [76], p. 12, 565). Notămcu ∆ G dreapta determinată de centrul de masă G al sistemului mecanic S şide vectorul (director) u.Figura 3.16Evident, ∆ şi ∆ G sunt paralele. Are loc relaţia P k M k = P k Q k + Q k M k ,vectorii implicaţi găsindu-se în planul perpendicular pe direcţia u. Atunci,I ∆ (S) ==nXm k · ¡P ¢ 2k Q k + Q k M kk=1nXm k · d 2 +2· v ·k=1k=1nXm k · Q k M k + I ∆G (S),unde P k Q k = v şi ¯¯P k Q k¯¯ = d, 1 6 k 6 n. Însă Q k M k = Q k G + GM k ,astfelcănXnXnXm k · Q k M k = m k · (α k · u)+ m k · GM kk=1k=1à nXk=1m k α k!=· u.k=1

3.1. VECTORI ŞI TENSORI 237Deoarece u · v =0,obţinem egalitateaI ∆ (S) =I ∆G (S)+m · d 2 ,cunoscută şi sub numele de formula Huygens-Steiner (cf. [35], p. 174-175). Conform ei, momentul de inerţie al sistemului mecanic S faţă dedreapta ∆ este egal cu momentul de inerţie faţă de o dreaptă paralelă cu∆ trecând prin centrul de masă G plus masa totală m a sistemului mecanicînmulţită cupătratul distanţei dintre cele două drepte(cf. [76], p. 574, [34],p. 270, [73], p. 373). Demonstraţia formulei Huygens-Steiner a fost dată deL. Euler în 1749 (cf. [32], p. 120).Pe baza formulei Huygens-Steiner stabilim căI ∆ (S) − m · d 2 (∆, ∆ G )=I ∆ 0(S) − m · d 2 (∆ 0 , ∆ G ),unde ∆ 0 este o dreaptă oarecare paralelă cu∆ (cf. [34], p. 271, [76], p.574). Această relaţie exprimă variaţiaînraportcuaxa∆ de direcţie fixă amomentului de inerţie axial I ∆ (S) al sistemului mecanic (cf. [76], p. 567).Momentul de inerţie al sistemului mecanic S faţă deaxa∆ G ,numită axăcentrală, areurmătoarea expresieI ∆G (S) = 1 m ·X ¡m i m j Mi M j × u ¢ 216i6j6n(cf. [35], p. 175). Pentru stabilirea acesteia, săconsiderăm mai întâi un punctP ales arbitrar pe axa ∆ (vezi Figura 3.16). Atunci, conform identităţii luiLagrange (cf. [34], p. 34), avemd 2 k = ¯¯PM k¯¯2 −¯¯PP k¯¯2 =¯¯PM k¯¯2 −¡PMk · u ¢ 2= PM 2 k · u 2 − ¡ PM k · u ¢ 2=¡PMk × u ¢ 2.(3.7)Notăm cu ∆ i dreapta de direcţie u care trece prin punctul M i . Atunci,aplicând formula Huygens-Steiner, obţinem relaţiileI ∆i (S) =I ∆G (S)+m · d 2 (∆ i , ∆ G ), 1 6 i 6 n,de unde deducem cănXm i · I ∆i (S) = m · I ∆G (S)+m ·i=1= 2m · I ∆G (S)nXm i · d 2 (∆ i , ∆ G )i=1

238 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDdeoarece d(∆ i , ∆ G )=d(M i , ∆ G ). La fel ca anterior,I ∆G (S) = 1 m ·X16i6j6nÎnsă, din (3.7) rezultă că(∆ = ∆ i , P = M i )m i m j · d 2 (∆ i , ∆ j ).d 2 (∆ i , ∆ j )= ¡ M i M j × u ¢ 2(cf. [35], p. 176) şi demonstraţia se încheie.Să revenim la tensorul de inerţie −→ I O (S). Considerând că doi tensori deordinul al II-lea sunt egali dacă matricele lor de reprezentare în orice repercartezian sunt egale şi ţinând seama de biliniaritatea evidentă aprodusuluitensorial a doi vectori, se poate stabili relaţia−→IO (S) = −→ I G (S)+ −→ I O ({(G, m)}) , (3.8)cunoscută sub numele de teorema J. Steiner-L. Lurie (cf. [35], p. 183).Într-adevăr, conform formulei lui Leibniz, avemà nX! à nX!m k · OM 2 k · −→ E = m k · GM 2 k · −→ E +³m 2´· OG · −→ E.k=1k=1Apoi, cum OM k = OG+GM k , OM k ⊗OM k = OG⊗OG+OG⊗GM k +GM k ⊗ OG + GM k ⊗ GM k şiobţinemÃnXnX!m k · OG ⊗ GM k = OG ⊗ m k · GM k =0k=1k=1nXm k · GM k ⊗ OG =k=1nXm k · OM k ⊗ OM k = m · OG ⊗ OG +k=1à nX!m k · GM k ⊗ OG =0,k=1nXm k · GM k ⊗ GM k ,k=1

3.1. VECTORI ŞI TENSORI 239ceea ce încheie demonstraţia. În mod analog, tensorul central de inerţie−→IG (S) are următoarea expresie remarcabilă"Ã nX!−→IG (S) = 1nX2m · m i m j · M i M 2 j · −→ E (3.9)i=1 j=1#nX nX− m i m j · M i M j ⊗ M i M ji=1j=1(cf. [35], p. 184), de unde, dat fiind că M i M j ⊗ M i M j = M j M i⊗ M j M i,avem"Ã !#−→IG (S) = 1 Xm i m j M i M 2 −→ Xj E − m i m j M i Mm j ⊗ M i M j .1≤i≤j≤n1≤i≤j≤nAplicând contracţia tensorială în (3.8), (3.9), regăsim formula lui Leibniz,respectiv teorema lui Lagrange (cf. [35], observaţiile de la p. 184-185).Notând cu α, β, γ cosinuşii directori ai vectorului u în raport cu baza Baspaţiului T R 3 , putem scrie căI ∆ (S) =undeI 11 ==nXm k · d 2 kk=1(3.7)=nXm k · OM 2 k · u 2 −k=1nXm k (x 2 k + yk 2 + zk)(α 2 2 + β 2 + γ 2 ) −k=1nXm k · ¡OMk · u ¢ 2k=1nXm k (αx k + βy k + γz k ) 2k=1= I 11 α 2 + I 22 β 2 + I 33 γ 2 +2I 12 αβ +2I 13 αγ +2I 23 βγ,nXm k (yk 2 + zk) 2 I 22 =k=1I 12 = I 21 = −I 23 = I 32 = −nXm k x k y kk=1nXm k y k z kk=1nXm k (x 2 k + zk) 2 I 33 =k=1I 13 = I 31 = −nXm k (x 2 k + yk)2k=1nXm k x k z k(cf. [32], p. 112). Matricea (I ij ) i,j constituie matricea de reprezentare atensorului −→ I O (S) în sistemul de referinţă R =(O, −→ B ) (cf. [76], p. 587).k=1

240 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDMărimileJ 1 =nXm k x 2 k J 2 =nXm k yk 2 J 3 =nXm k zk,2k=1k=1k=1care verifică formuleleI 11 = J 2 + J 3 , I 22 = J 1 + J 3 , I 33 = J 1 + J 2 (cf.[76], relaţia d), p. 568) se numesc momente de inerţie planare ale sistemuluimecanic S. În mod evident, ele se scriu sub forma J = P m M ·d 2 (M,P), undeP desemnează unul din planele de coordonate ale sistemului de referinţă R.Mărimile I 12 , I 13 , I 23 poartă denumirea de momente de inerţie centrifugale(de deviaţie, relative la două plane)(cf. [32], p. 112, [63], p. 355, [14], p.166). Variaţia momentelor centrifugale este descrisă deorelaţie analoagăformulei Huygens-Steiner. Astfel, momentul de inerţie centrifugal faţă deunsistem de axe ortonormat al unui sistem mecanic S este egal cu momentulde inerţie centrifugal al acestuia faţă de un sistem având axele de coordonateparalele cu primul şi originea în centrul de masă G minus produsul dintremasa totală a sistemului mecanic şi coordonatele punctului G în sistemuliniţial (cf. [76], p. 575).RelaţiaI ∆ (S) =I 11 α 2 + I 22 β 2 + I 33 γ 2 +2I 12 αβ +2I 13 αγ +2I 23 βγreprezintă formula Euler-Cauchy (1827) pentru calculul momentului deinerţie axial (cf. [32], p. 116, [35], p. 186).Este uşor de observat căI 11 = I Ox (S) I 22 = I Oy (S) I 33 = I Oz (S).Momenteledeinerţie polare, axiale, planare şi centrifugale (faţă dedouăplane) au un caracter geometric (scalar) (cf. [14], p. 166). Într-adevăr,considerând un punct Q, odreaptă ∆ şi două plane concurente Π 1,2 aflatesuficient de departe de sistemul mecanic S, putem scrie căI Q (S) =I Π1 (S) =nXnXm k d 2 (M k ,Q) I ∆ (S) = m k d 2 (M k , ∆)k=1nXm k d 2 (M k , Π 1 ) I Π1 Π 2(S) =−k=1k=1k=1nXm k d(M k , Π 1 )d(M k , Π 2 )

3.1. VECTORI ŞI TENSORI 241pentru a desemna aceste momente. Ori, punctele, dreptele, planele şi distanţelesunt mărimi geometrice (cf. [57], propoziţiile2,4,p.109,propoziţia10, p. 111), adică independente de alegerea reperului cartezian R 0 .Se cuvine insistat însă asupra unei subtile diferenţe. Axa ∆ fiind fixată,mărimea I ∆ (S) este scalară (cf. [76], p. 577), adică independentădemodificareacoeficienţilor I ij din formula Euler-Cauchy. Cu alte cuvinte, alegând unnou reper cartezian R 000 =(O, −→ E ), unde E = {e 1 , e 2 , e 3 },şi reluând calcululformulei Euler-Cauchy, obţinemI ∆ (S) =I ∗ 11α ∗2 + I ∗ 22β ∗2 + I ∗ 33γ ∗2 +2I ∗ 12α ∗ β ∗ +2I ∗ 13α ∗ γ ∗ +2I ∗ 23β ∗ γ ∗ .Aici, I11, ∗ I22, ∗ I33 ∗ sunt momentele de inerţie axiale ale sistemului mecanicS faţă de axele de coordonate ale reperului R 000 . Afirmaţia analoagă estevalabilăşi pentru momentele de inerţie planare şi centrifugale. Aşadar, aparîn discuţie atât momentele de inerţie I Q , I ∆ , I Π1 , I Π1 Π 2cât şi elementele I ijale matricei de reprezentare [I O (S)], caresuntinterpretate ca momente deinerţie.3.1.7 Elipsoidul de inerţiealunuisistemmecanic. Axeprincipale de inerţieAfirmaţiile anterioare pot fi reluate într-un cadru mai general. Mai precis,fiind daţi un tensor simetric −→ X şi un vector u, reprezentaţi în reperulcartezian R 0 de matricea (simetrică) [X], respectiv de coordonatele u 1 , u 2 ,u 3 ale vectorului −→ u ∈ T B R 3 , −→ u ∈ u, mărimea3XC = X ij u i u ji,j=1este scalară.Într-adevăr, conform calculului formal, avem⎛C = ¡ ¢u 1 u 2 u 3 · [X] · ⎝de undeC ∗ = ¡ u ∗ 1 u ∗ 2 u ∗ 3⎛ ⎞¢· [X ∗ ] · ⎝ u∗ 1u ∗ ⎠2u ∗ 3⎞u 1u 2⎠ ,u 3

242 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID⎡ ⎛= ⎣A · ⎝ u ⎞⎤t⎡ ⎛1u 2⎠⎦· ¡A· [X] · A t¢ · ⎣A · ⎝ u ⎞⎤1u 2⎠⎦u 3 u 3⎛= ¡ ¢ ¡u 1 u 2 u 3 · A t A ¢ · [X] · ¡A t A ¢ · ⎝ u ⎞1u 2⎠u 3= C.Revenind la formula Euler-Cauchy, cum, în general, I ∆ (S) > 0, arelocegalitatea 2 µ γα√ + I 33I∆1 = I 11µ α√I∆ 2+ I 22µ β+2I 13α√I∆·γ β√ +2I 23 √ ·I∆ I∆γ√I∆. 2√ +2I 12 √ ·I∆ I∆β√I∆Cazul I ∆ (S) =0poate surveni atunci când toate punctele sistemuluimecanic S sunt coliniare (cf. [76], p. 580).Înfăţişarea specială arelaţiei precedente ne dă ”ideea” de a o interpretadin punctul de vedere al geometriei analitice. Astfel, considerând vectorulr = x · i + y · j + z · k, putem introduceΦ (r) =I 11 x 2 + I 22 y 2 + I 33 z 2 +2I 12 xy +2I 13 xz +2I 23 yz.Apelând la teoria formelor pătratice în spaţii euclidiene (cf. [67], p. 303-306), afirmăm că există baza ortonormată E aspaţiului T R 3 cu proprietateacă formapătratică Φ poate fi pusă subforma canonicăΦ (r) =I 1 x ∗2 + I 2 y ∗2 + I 3 z ∗2în reperul R 000 =(O, −→ E ). Maimult,mărimile I 1 , I 2 , I 3 sunt valorile proprii(reale) ale matricei [I] acoeficienţilor formei pătratice Φ şi sunt independentedemodificareabazei E. Un alt rezultat al teoriei formelor pătraticepriveşte valorile staţionare ale acestora pe sfera-unitate a spaţiului T R 3 .Astfel,mărimileinf|r|=1 Φ (r)sup Φ (r)|r|=1sunt atinse pentru vectori proprii ai matricei [I] şi sunt egale cu cea mai mică,respectivceamaimaredintrevalorilepropriiI 1 , I 2 , I 3 (cf. [67], p. 307-308).

3.1. VECTORI ŞI TENSORI 243Să considerăm acum locul geometric al punctelor M, de coordonate x, y,z în sistemul de referinţă R, pentrucareΦ ¡ OM ¢ =1.Această mulţime nu este vidă, căci putem alege x = √ αI∆, y = √I∆,z = √ γI∆. Calculul relativ la mărimea C ca şi existenţa unei forme canoniceaformeipătratice Φ arată cămulţimea punctelor M este descrisă derelaţiaI 1 x ∗2 + I 2 y ∗2 + I 3 z ∗2 =1în reperul R 000 . Fireşte, matricea asociată formeipătratice Φ se schimbă,odată cumodificarea bazei, în acelaşi fel cu matricea de inerţie [I O (S)] (cf.[67], p. 211). Observăm că punctulM se găseşte pe o cvadrică cucentru(cf. [76], p. 579).Deoarece I 1 = I11, ∗ I 2 = I22, ∗ I 3 = I33 ∗ şi punctele sistemului mecanic S nusunt toate coliniare, deducem că I 1 , I 2 , I 3 > 0 (cf. [14], p. 171), adică loculgeometric al punctelor M constituie un elipsoid, numit elipsoid de inerţie(L. Poinsot, cf. [34], p. 449) relativ la punctul O. Dacă punctele sistemuluimecanic S ar fi coliniare, atunci cvadrica s-ar reduce la un cilindru având caaxă dreaptacomună punctelor sistemului mecanic (cf. [76], nota de subsol,p. 580, [34], p. 449). Un asemenea sistem este numit rotativ (cf. [41], p.143). Axele reperului cartezian R 000 poartă denumirea de axe principale deinerţie, planele sale de coordonate se numesc planeprincipaledeinerţie, iarmărimile I 1 , I 2 , I 3 constituie momenteleprincipaledeinerţie (cf. [14], p.171, [63], p. 359, [76], p. 580) în raport cu punctul O.Revenind la formula Euler-Cauchy, are loc relaţiaI ∆ (S) =I 1 α ∗2 + I 2 β ∗2 + I 3 γ ∗2 (3.10)(cf. [76], p. 580, [32], p. 119, [63], p. 359).Rezultatul privind valorile staţionare ale formei pătratice Φ are o importanţădeosebită în mecanica teoretică. Astfel, în cazul unui solid rigid S cudistribuţie spaţială (punctele sistemului mecanic S nu sunt coplanare), fiindcunoscută matricea de inerţie [I] în sistemul de referinţă R, momentulsăude inerţie în raport cu o axă oarecare ∆ trecând prin originea O se va găsimereu între cea mai micăşi cea mai mare dintre valorile proprii ale matricei[I]. Acest fapt este în concordanţă cu(3.10),căci α ∗2 + β ∗2 + γ ∗2 =1.β

244 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDIntroducând notaţiile I 1 = 1 , Ia 2 2 = 1 , Ib 2 3 = 1 , deducem că momentelec 2principale de inerţie sunt invers proporţionale cu pătratul semiaxelor elipsoiduluide inerţie şi că momentelordeinerţie maxim respectiv minim lecorespund axa mică, respectiv axa mare a elipsoidului de inerţie (cf. [76], p.581).Să considerăm un sistem mecanic omogen S (m k = m, 1 6 k 6 n).O serie de proprietăţi geometrice ale configuraţiei punctelor acestuia ajutăla stabilirea elipsoizilor de inerţie. Următoarea observaţiesedovedeşte esenţială.Astfel, dacă matricea[I], calculată în sistemul de referinţă R, areforma⎛[I] = ⎝ I ⎞11 0 00 I 22 I 23⎠ ,0 I 32 I 33atunci ecuaţia caracteristică det ([I] − λ · I 3 )=0poate fi scrisă ca(I 11 − λ) ·¯ I22 − λ I 23I 33 − λ ¯ =0,I 32de unde deducem că axaOx areperuluiR este o axă principalădeinerţie aelipsoidului de inerţie având centrul în O. Căutarea celorlalte două axeprincipalede inerţiesereducelaplanulOyz, ceea ce constituie o predeterminareextrem de avantajoasă a planului lor principal de inerţie.Dacă planulOyz constituie un plan de simetrie al configuraţiei punctelordin sistemul mecanic S, atunci axa Ox va fi oaxăprincipalădeinerţie aelipsoidului centrat în O. Într-adevăr, dacă un punct al sistemului mecanicare coordonatele a, y, z, undea>0, va exista un alt punct de coordonate−a, y, z în cadrul sistemului mecanic. Atunci,− X M∈Sm M · x(M) · y(M) =0 − X M∈Sm M · x(M) · z(M) =0,adică I 12 = I 13 =0.Acelaşi rezultat are loc atunci când pentru fiecare punctde coordonate x, a, b al sistemului mecanic S va exista un alt punct de coordonatex, −a, −b în configuraţia sistemului, deci când sistemul mecanic aredrept axă de simetrie dreapta Ox. În concluzie, dacă un sistem mecanicomogen admite un plan de simetrie, respectiv o axă de simetrie, atuncimulţimea în cauză vafi un plan principal de inerţie, respectiv o axă principalădeinerţie pentru elipsoizii de inerţie centraţi în punctele ei (cf. [76],p. 583, [34], p. 451, [41], p. 142).

3.2. CINEMATICA 245Să presupunem acum că axaOx a sistemului de referinţă R este axăprincipală deinerţie pentru elipsoidul centrat în originea O. Aici, I 12 =I 13 =0. Săconsiderăm, de asemeni, că elipsoidul de inerţie cu centrul înpunctul O 0 , de coordonate h, 0, 0, admitedreaptaOx ca axă principalădeinerţie. Atunci, în reperul R 000 =(O 0 , −→ B ) avemnXnXI12 0 = − m k x 0 kyk 0 = − m k (x k − h) y kk=1= I 12 + h ·k=1nXm k y k = I 12 + h · my(G),k=1respectivI13 0 = I 13 + h · mz(G).Am folosit teorema momentelor statice. Relaţiile y(G) =0, z(G) =0arată că, în mod necesar, G ∈ Ox. Calculul anterior este valabil pentru oricenumăr h. Atunci, pentrucaodreaptăsă fie axăprincipalădeinerţie pentruelipsoizii de inerţie centraţi în două puncte ale sale, aceasta trebuie săconţinăcentrul de masă G al sistemului mecanic. De asemeni, o dreaptă ce trece prinG şi este axă principalădeinerţie a elipsoidului centrat într-un punct al său(diferit de G) vafi axă principalădeinerţie pentru elipsoizii centraţi în toatepunctele ei (cf. [34], p. 451). Elipsoidul centrat în G poartă denumireade elipsoid central de inerţie al sistemului mecanic S. Axele şi planele saleprincipale de inerţie se numesc axeprincipalecentraledeinerţie (libere),respectiv plane principale centrale de inerţie ale sistemului mecanic (cf. [14],p. 171, 174, [32], p. 120). Formula Huygens-Steiner arată că momentul axialde inerţie al sistemului mecanic S faţă deaxamareaelipsoiduluicentralde inerţieestecelmaimiccuputinţă (cf. [76], p. 581). Axele principalecentraledeinerţie ale corpului solid rigid joacă un rol important în dinamicaacestuia (cf. [32], p. 130-131).3.2 Cinematica3.2.1 Formula lui L. Euler. Translaţia şi rotaţia soliduluirigid. Teorema lui RivalsMişcările corpurilor materiale întâlnite în viaţa de zi cu zi sunt extremde diferite iar descrierea lor implică dificultăţi considerabile. Există însă,

246 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDîn cinematică, posibilitatea de a ”vizualiza” mişcarea spaţiului ”rigid” careaproximează corpul material. Astfel, o serie de teoreme din geometrie (Euler,Chasles, Mozzi) (cf. [34], p. 201, [69], p. 70, 161-162, [56], p. 27-28) aratăcă, atât în planul cât şi în spaţiul euclidian, trecerea delaopoziţie S 1 a uneifiguri geometrice la poziţia S 2 a aceleiaşi figuri geometrice se poate realizaprin compunerea unor translaţii şi rotaţii ale planului, respectiv spaţiului. Unasemenea proces constituie, aşadar, o reprezentare (imaginare) a ”mişcării”figurii geometrice. Apare ca naturală, în aceste condiţii, ideea de a reprezentamişcarea unui solid rigid (echivalentul ”mecanic” al unei figuri geometrice)cu ajutorul rotaţiilor şi translaţiilor instantanee (cf. [56], p. 26). Subliniemfaptul căoreprezentare amişcării mecanice nu constituie descrierea acesteia,ci modul cum ne-am putea imagina mişcarea respectivă (cf. [76], p. 318).Pentru a evidenţia asemănările dintre cazul ”static” al mişcărilor geometriceşi cel ”dinamic” al mişcărilor mecanice, săconsiderăm trei punctenecoliniare ale solidului rigid S. Atunci, cum¯¯M 1 M 3¯¯2= ¡ ¢ 2M 1 M 2 + M 2 M 3 =¯¯M 1 M 2¯¯2 +¯¯M 2 M 3¯¯2+2 ¯¯M 1 M 2¯¯ · ¯¯M 2 M 3¯¯ · cos ¡ M 1 M 2 , M 2 M 3¢,deducem că mişcarea solidului rigid conservă unghiul a două drepte coplanaredin constituţia sa. Mai general chiar, deoareceM 1 M 2 · M 3 M 4 = M 1 M 2 · ¡M3 M 2 + M 2 M 4¢= M 1 M 2 · M 2 M 4 − M 1 M 2 · M 2 M 3 ,observăm că unghiul a două drepte oarecare se conservă înmişcarea soliduluirigid (cf. [34], p. 163). Această proprietate este specifică izometriilorplanului şi spaţiului euclidian (cf. [69], teorema 4, p. 16, teorema 3, p.129-130).Ţinând seama de cele discutate în cadrul subsecţiunii privind mişcarearelativă a punctului material (aici, reperul R 0 =(A, −→ C ) este presupus solidarlegat de corpul solid rigid), putem scrie căv B (t) =v A (t)+ω × AB, (3.11)unde B reprezintăoparticulă oarecare din constituţia corpului material. Amaplicat formula (2.26) în careµ ∂AB=0∂tR 0

3.2. CINEMATICA 247deoarece B se află înrepausfaţă de reperul mobil R 0 . Egalitatea (3.11)desemnează distribuţia vitezelor în corpul rigid (cf. [76], p. 301), arătândmodul în care fiecărei particule B din constituţia acestuia i se atribuie (distribuie)viteza −→ v B ∈ T B R 3 , −→ v B ∈ v B . Obţinem astfel câmpul vectorial alvitezelor corpului solid rigid (cf. [63], p. 175). Relaţia (3.11) este cunoscutăsub numele de formula lui L. Euler (cf. [32], p. 98, [76], p. 349). Serecomandă cititorului eleganta prezentare făcută acestor chestiuni în [14], p.101-102.Cazul particular ω =0corespunde mişcării de translaţie a solidului rigid.Câmpul vitezelor este, la momentul t, uniform, iar traiectoriile tuturor particulelorsolidului rigid sunt identice ca formă. Cu alte cuvinte, o dreaptăsolidar legată decorpulmaterialsevadeplasaparalelcuea-însăşi (cf. [63],p. 180). În aceste condiţii, putem considera că solidul rigid are o viteză detranslaţie, aceastafiindunvectorliber (cf. [32], p. 94, [63], p. 181) care,legat în poziţia unei particule oarecare a solidului, ne dă viteza ei.Dacă două din punctele solidului rigid, A şi B, rămân în repaus în timpulmişcării sale, atunci avem de a face cu o mişcarederotaţie (cf. [63], p. 182).Relaţia (3.11) arată că ω × AB =0. Astfel, sau ω =0sau vectorii ω şi ABsunt coliniari. În cazul unei particule C, nesituate pe dreapta AB, egalitateav C = ω × AC 6= 0ne conduce, în particular, la ω 6= 0.Notăm cu P piciorul perpendicularei duse din punctul C pe dreapta AB.Atunci, cum¯¯AP ¯¯ =¯¯AC · AB¯¯AB¯¯¯¯¯BP¯¯ =¯¯BC · BA¯¯BA¯¯¯ ,deducem că mărimile ¯¯AP ¯¯, ¯¯BP¯¯ sunt constante. Astfel, punctul P se vagăsi la intersecţia sferelor centrate în A, B, deraze¯¯AP ¯¯, respectiv ¯¯BP¯¯,care sunt tangente. Deci, punctul P este fix (cf. [34], p. 164). Putem scriecăv C = ω × AC = ω × ¡ AP + PC ¢ = ω × PC (3.12)(cf. [32], p. 95).În concluzie, mişcarea particulei C se desfăşoarăînplanulΠ perpendicularpe dreapta AB în P . De asemeni, AC 2 = ¡ AP + PC ¢ 2 2 2= AP + PC ,deunde¯q¯¯AC¯¯2 ¯PC¯¯ = − ¯¯AP ¯¯2 = constant.

248 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDParticula C execută, aşadar, o mişcare circulară înplanulΠ şi regăsimformula vitezei ca produs vectorial (cf. [76], p. 303).Independenţa formulei (3.12) de poziţia lui P ne permite să introducemvectorul glisant −→ ω (t) definitdedreaptaAB (numită axă de rotaţie a soliduluirigid S) şi de vectorul ω (cf. [63], p. 183-184). El constituie vectorulvitezăunghiulară al corpului material. Viteza particulei C se bucură deoreprezentare remarcabilă, şi anume−→ vC = −→ M C ( −→ ω ) ∈ T C R 3(cf. [34], p. 166).Revenind la cazul general, să considerăm dreapta ∆(A, −→ ω ) care treceprin A şi are vectorul director ω(t). Ea va juca ”rolul” unei axe de rotaţie”instantanee” în interpretarea mişcării corpului material solid rigid.Cumµ ∂ 2 AB=0,∂t 2 R 0distribuţia acceleraţiilor în solidul rigid este dată dea B (t) =a A (t)+ε × AB + ω × ¡ ω × AB ¢(cf. [76], p. 301). Notând cu P piciorul perpendicularei duse din punctul Bpe dreapta ∆(A, −→ ω ), deducem căω × ¡ ω × AB ¢ = ω × ¡ ω × PB ¢ = −ω 2 (t) · PB.Aici, |ω| not= ω. Relaţia a B (t) =a A (t)+ε×AB −ω 2 (t)·PB este cunoscutăsub numele de teorema lui Rivals (cf. [34], p. 178, [32], p. 102). Mărimile−→ a ε ∈ T B R 3 , −→ a ε ∈a ε şi −→ a ω ∈ T B R 3 , −→ a ω ∈a ω ,undea ε = ε × ABa ω = −ω 2 · PB,poartă denumirea de acceleraţie rotitoare, respectiv axipetă (cf. [32], p. 101,[59], p. 33). Acceleraţia axipetă −→ a ω ,deşi are direcţia normalei principale înpoziţia curentă a particulei la traiectoria circulară ”instantanee” a acesteia,nu trebuie confundată cu acceleraţia normală −→ a ν (cf. [32], p. 102).

3.2. CINEMATICA 2493.2.2 Interpretarea cinematicăamişcării solidului rigid.Invarianţii mişcării. Teorema lui Chasles. Mişcareapseudoelicoidală a solidului rigid. TeoremaluiI.MozziFormula lui Euler privind distribuţia vitezelor în solidul rigid arată căviteza −→ v B a unei particule B oarecare din constituţia acestuia se compune dindouă ”ingrediente”: o viteză de”translaţie” −→ v A ∈ T B R 3 , −→ v A ∈ v A ,obţinutăprin echipolenţă dintr-un vector liber şi o viteză de”rotaţie” −→ M B ( −→ ω ), unde−→ ω este vectorul glisant definit de dreapta ∆(A,−→ ω ) şi de vectorul-vitezăunghiulară instantaneeω (cf. [34], p. 170, [32], p. 98). Reprezentareaunei componente a vitezei particulei ca moment ne dă ”ideea”uneianalogiicu problema reducerii sistemelor de vectori alunecători. Astfel, vectorul v A(liber) poate fi considerat ca momentul unui cuplu de ”viteze unghiulare”{ −→ ω 0 , − −→ ω 0 } (cf. [34], p. 182), de unde−→ vB = −→ M B³n −→ω ,−→ ω 0 , − −→ ω 0 o´.Mişcarea generală a solidului rigid, interpretată pe baza câmpului vitezelorsale (cf. [76], p. 318), poate fi considerată ca provenind din trei rotaţii(instantanee) simultane având vectorii-viteză unghiulară −→ ω , −→ ω 0 , − −→ ω 0 .Invarianţii sitemului de vectori { −→ ω , −→ ω 0 , − −→ ω 0 }, numiţi invarianţii (absoluţi)ai mişcării, suntR A = ω şi M A · R A = v A · ω (cf. [32], teoremele 1,2, p. 99, [76], p. 318). Axa centrală a sistemului esteAB = ω × v Aω 2+ λ · ω, λ ∈ R(cf. [34], p. 171).Sunt valabile următoarele situaţii (analogia statică-cinematică) (cf.[34],p. 182-183, [76], p. 333, [63], p. 258).1) v A · ω 6= 0. Sistemul de vectori este echivalent cu vectorul −→ ω glisantpe axa centrală ∆ şi cu un cuplu de moment v A ,aflat într-un plan perpendicularpe axa ∆. Mişcarea solidului rigid poate fi imaginată înfiecaremoment t ca fiind compusă dintr-o rotaţie instantanee (infinitezimală) înjurul unei axe variabile ∆(t) şi o translaţie instantanee (infinitezimală) înlungul acestei axe. Interpretată astfel,mişcarea corpului material solid rigidse mai numeşte şi pseudoelicoidală sau elicoidală momentană (instantanee)

250 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDsau rototranslaţie (cf. [32], p. 100, [76], p. 319, [34], p. 170). Reprezentareaprecedentă amişcării generale ca pseudoelicoidală este cunoscută dreptteoremalui Chasles (cf. [32], p. 100). Axa centrală ∆ poartă denumirea deaxă instantaneeamişcării (cf. [63], p. 238).În analogie cu existenţa torsorului minimal, axa instantanee a mişcăriieste locul geometric al punctelor solidului rigid cu viteza minimăînmomentulconsiderat (I. Mozzi, 1766) (cf. [32], p. 100, [76], observaţiadelap. 319,[63], p. 238).2) ω 6= 0, v A =0. Sistemul de vectori este echivalent cu un vector unic−→ ω glisant pe axa instantanee ∆. Astfel, la momentul t considerat, mişcareapoate fi imaginată caorotaţie în jurul axei ∆.3) ω =0, v A 6=0.Mişcarea se reprezintă lamomentult, din punctul de”vedere” al vitezelor, printr-o translaţie.4) ω =0, v A =0. Corpul material solid rigid se găseşte în repaus lamomentul considerat.3.2.3 Interpretarea geometricăamişcării solidului rigid.Axoide. Contactul simplu a două corpuri soliderigideChestiunile care urmează potfi justificate în mod intuitiv (neriguros)plecând de la descrierea unor situaţii ”ciudate” din viaţa de zi cu zi. Astfel, unschior începător care alunecă pe porţiunea de final (în apropierea cabanei) apârtieideschidelaPredealsebazeazăfrecventpeînălţimea clăparilor pentruanucădea. Schiurile sale au ”prins” viteză şi el, ţinându-şi corpul drept,”supravieţuieşte” printr-o ”sprijinire” de partea din spate a clăparilor. Amputea spune căelse lipeşte de corpul în mişcare (ansamblul schiurilor). Un altfenomen este trăit de cineva care traversează un pod mobil sau încearcă ”săşifacă echilibru”, stând în picioare, într-o barcă aflată în derivă pe lacul dinparcul central al Craiovei. În acest caz, protagonistul întâmplării caută săsepună ”în armonie” (echilibru) faţădesol (pământ, marginea lacului), adicăsăse dezlipească de mişcările de balans ale podului ori bărcii. Aceste fenomenene conduc la ”ideea” din interpretarea geometrică amişcării solidului rigid.Este evident că, în general, axa instantanee ∆ îşi schimbăpoziţia la fiecaremoment atât faţă de sistemul de referinţă R cât şi faţă de reperul R 0 =(A, −→ C ) solidar legat de corpul rigid. Dacă B ∈ ∆, atunciv B = λω, unde

3.2. CINEMATICA 251λ ∈ R, şi, conform (3.11), putem scrie căλω = v A + ω × AB. (3.13)Prin proiectarea relaţiei (3.13) pe axele de coordonate ale reperului mobilR 0 , respectiv fix R şi prin eliminarea parametrului λ din formulele acestorproiecţii găsim ecuaţiile scalare relative şi absolute ale axei instantanee ∆ (cf.[34], p. 171-172, [76], p. 318, [63], p. 238).Atunci când t variază, dreptele ∆(t) generează înraportcureperulmobilR 0 , respectiv cu sistemul de referinţă R câte o suprafaţă riglată. Prima dintresuprafeţe se numeşte axoidă mobilă iar cea de-a doua axoidă fixă (cf. [63],p. 239, [14], p. 120). Legea fundamentală decompunereavitezelor,aplicatăpunctului B, neconducelav(t) = v transp + v rel = v A + ω × AB + v rel (3.14)= λω + v rel .Se cuvine făcut următorul comentariu. La un moment t fixat, dreapta∆ are o anumită poziţie faţă de reperul mobil R 0 . Aceasta se va schimba,desigur, la momentul de timp următor. Însă, la momentul t, dreapta∆ nu se”mişcă” faţădeR 0 (timpul staţionează, este suspendat), ceea ce ne permite săfolosim formula lui Euler (utilizabilă doar pentru punctele care stau mereupe loc faţă deR 0 ) în cazul punctului B. Aplicarea legii de compunere avitezelor, în schimb, se realizează pentru un punct B fixat pe dreapta ∆,deci mobil în raport cu R 0 . Acest tip de raţionament va fi reluat ulterior. Seîntâlneşte formularea: ”punct mobil B acărui poziţie la momentul t coincidecu poziţia unei particule a solidului rigid”.Figura 3.17În mişcarea faţă de reperul cartezian R 0 , punctul B se deplasează petraiectoria (relativă) Γ 0 .Direcţia tangentei la Γ 0 în poziţia curentă a”particulei”B este chiar v rel . De asemeni, ω este vector (director) al generatoarei

252 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID∆ a axoidei mobile S 0 . Astfel, vectorii v rel , ω constituie o bază aspaţiuluiT B S 0 . În mod analog, vectorii v B , ω vor reprezenta o bazăaspaţiului directoral planului tangent în poziţia curentă a”particulei”B la axoida fixă S. Înconcluzie, din (3.14) rezultă că cele două suprafeţe S şi S 0 admit în fiecaremoment t un plan tangent comun (cf. [34], p. 183) (vezi Figura 3.17).Revenind la situaţiile descrise la începutul acestei subsecţiuni, în loc să”privim” mişcarea axei ∆ faţă de corp (reperul R 0 ), am putea săneimaginămcă lipim corpul solid rigid de dreaptă (axa∆). Astfel, deplasarea generală asolidului rigid poate fi considerată ca o ”rostogolire” a axoidei mobile pesteaxoida fixă (mişcarederotaţie înfăptuită în jurul axei ∆, cf. [76], p. 181)concomitent cu o ”alunecare” (translaţie) a axoidei mobile peste axoida fixăîn lungul dreptei ∆ (L. Poinsot (1834), Poncelet) (cf. [32], p. 101, [34], p.184, [76], p. 320, [15], p. 77).Două elemente noi intervin în această interpretare. Mai întâi, axoidelejoacă ”rolul” frontierelor a două ”corpuri” implicate într-o mişcare complexă(rostogolire şi alunecare). Se pune astfel problema definirii contactului adouăcorpuri solide rigide. Un al doilea element priveşte chiar mişcările complexeale solidului rigid. Ce înseamnă, aşadar, că un corp material solid rigid estesupus simultan mai multor mişcări?Începem cu chestiunea contactului dintre corpurile materiale. Astfel,considerând două solide rigide S 1 , S 2 care ocupă înSF domeniile G 1 , G 2mărginite de suprafeţele Fr(G 1 ), Fr(G 2 ), vom spune că acestea realizeazăun contact simplu (teoretic) dacă Fr(G 1 ) şi Fr(G 2 ) admit la fiecare momentt un acelaşi plan tangent T X (cf. [34], p. 184). Punctul (geometric) comunX este numit punct de contact (teoretic) (cf. [76], p. 179). Privit ca o ”particulă”mobilă, X(t) descrie câte o curbă pesuprafeţele Fr(G 1 ), Fr(G 2 ) (cf.[2], p. 78, [15], p. 101). Astfel,v abs = v transp + v rel ,unde v abs , v rel constituie vitezele particulei de contact X(t) faţă de repereleR, R 0 presupuse solidar legate de corpul S 1 , respectiv S 2 . Vectorul v transpne conduce la vectorul −→ v transp ∈ T X R 3 , −→ v transp ∈ v transp , care desemneazăviteza unui punct M al solidului rigid S 2 acărui poziţie coincide la momentult cu punctul de contact X(t). Aplicând formula lui Euler, avemv N = v M + ω × MN = v transp + ω × MNpentru o particulă N oarecare din constituţia corpului S 2 . Cu alte cuvinte,toate particulele acestui solid rigid primesc, la momentul t, ca ”ingredient” al

3.2. CINEMATICA 253vitezelor lor, un vector echipolent cu −→ v transp .Aresenssăafirmăm că v transpdefineşte alunecarea (translaţia) corpului S 2 pe corpul S 1 .Să considerăm vectorul glisant −→ ω situat pe dreapta-suport ∆(X, −→ ω ).Descompunându-i direcţia ω după douădirecţii ortogonale, ω = ω ⊥ + ω k ,astfel încât ω k ∈ T X Fr(G 1 ), putem introduce vectorii alunecători −→ ω n , −→ ω τcu ajutorul dreptelor-suport ∆(X, −→ ω ⊥ ), ∆(X, −→ ω k ): −→ ω n = −→ ω ⊥ , −→ ω τ = −→ ω k .Pe baza formulei lui Eulerv N = v transp + ω × MN= v transp + ω ⊥ × MN + ω k × MN,putem afirma că vectorii glisanţi −→ ω n , −→ ω τ definesc două rotaţii instantaneeale solidului rigid S 2 în jurul axelor ∆(X, −→ ω ⊥ ), ∆(X, −→ ω k ). Aceste mişcăridesemnează pivotarea, respectiv rostogolirea (instantanee) acorpuluiS 2 pecorpul S 1 (cf. [34], p. 185). Aici, −→ ω n , −→ ω τ reprezintă vectorii-viteză unghiularădepivotare, respectiv rostogolire ai solidului S 2 faţă deS 1 (cf. [15], p.106).O interpretare interesantă arelaţiei (3.14) poate fi citită în[15],p. 79.Astfel, în reperul R 0 axoida mobilă are parametrizarea dată deAB = ω × v A+ λ · ω = σω 2 m (t, λ) .Aici, q 1 = t, q 2 = λ, deunde∂σ m∂q 1× ∂σ m∂q 2= µ ∂AB∂t× ω = v rel × ω.R 0Apoi, în sistemul de referinţă R, axoidafixă are parametrizarea dată deOB = OA + AB = OA + ω × v Aω 2 + λ · ω = σ f (t, λ) ,de unde∂σ f∂q × ∂σ ·f1 ∂q = OB ×ω = v 2 B × ω.În sfârşit, conform (3.14), avemv B × ω = v rel × ω,egalitate care desemnează direcţia normalei la planul tangent comun T B alaxoidelor.

254 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID3.2.4 Mişcarea relativă adouă corpuri solide rigide supuseunui contact simplu. Teorema Aronhold-KennedyCorpurile rigide S 1 , S 2 se mişcă faţă de sistemul de referinţă R păstrândpunctul de contact X(t). Reperele carteziene R 0 =(A, −→ C ), R 00 =(B, −→ D )sunt presupuse solidar legate de S 1 , respectiv S 2 . Vom impune în plus ca, laun anumit moment t ∗ ,poziţiile particulelor A şi B în sistemul de referinţă Rsă coincidăcuX(t ∗ ). Folosind notaţiile de la subsecţiunea dedicată mişcăriirelative a punctului material, putem scrie că, la momentul t ∗ ,v rel,A (X)+v rel,B (X) =0 ω 12 + ω 21 =0şiω ⊥ 12 + ω ⊥ 21 =0 ω k 12 + ω k 21 =0.Am folosit relaţia (2.30) pentru A = B = X(t ∗ ). Formula vitezelorrelative ale punctului de contact X(t) este ilustrată elocventdeurmătoareasituaţie din viaţa de zi cu zi. Doi călători, aflaţi în trenuri de pasageri carese deplasează îndirecţii opuse pe linii de cale ferată paralele, se privesc şi”simt” că sedepărtează unuldecelălalt cu viteze egale dar de sensuri opuse,indiferent de vitezele trenurilor.Acelaşi fenomen apare şi în mişcările relative de pivotare, respectiv rostogolire,care se desfăşoară în oglindă (cf. [15], p. 100) una faţă decealaltă.Axele instantanee relative ∆ 12 , ∆ 21 au ecuaţiileAM = X(t ∗ )M = ω 12 × v rel,Aω 2 12BN = X(t ∗ )N = ω 21 × v rel,Bω 2 21= ω 12 × v rel,Aω 2 12+(−µ) · ω 12 .+ λ · ω 12+ µ · ω 21Deci, ∆ 12 = ∆ 21 . Este uşor de remarcat, în baza consideraţiilor precedenteprivind dubla calitate a ”particulei” B care intervine în (3.13), (3.14),că rezultatele referitoare la momentul t ∗ fixat au loc în orice moment t.Aşadar, axele instantanee ale mişcărilor pseudoelicoidale relative realizatedecorpurilesoliderigideS 1 , S 2 aflate în contact simplu coincid (cf. [15],p. 101, [34], p. 189). În practică, putem studia mişcarea corpurilor S 1 , S 2raportându-ne în mod convenabil la unul dintre ele.

3.2. CINEMATICA 255Introducem acum axele instantanee ∆ 10 (t), ∆ 21 (t) şi ∆ 20 (t). PuncteleC ijsituate pe aceste drepte sunt caracterizate prinAC 10 = ω 10 × v Aω 2 10,C 10 ∈ ∆ 10 BC 20 = ω 20 × v B,Cω202 20 ∈ ∆ 20BC 21 = ω 21 × v rel,B,Cω212 21 ∈ ∆ 21 .Vom arăta că dreptele ∆ 10 (t ∗ ), ∆ 21 (t ∗ ) şi ∆ 20 (t ∗ ) admit o perpendicularăcomună dacă ω 10 (t ∗ ) × ω 20 (t ∗ ) 6= 0. Într-adevăr, fie Y ∈ ∆ 10 (t ∗ ) şi Z ∈∆ 20 (t ∗ ). Impunem ca YZ⊥∆ 10 (t ∗ ), ∆ 20 (t ∗ ),adicăAtunci,YZ· ω 10 =0 YZ· ω 20 =0.³´0 = YZ· ω 10 = ω 10 · X(t ∗ )Z − X(t ∗ )Y= ω 10 · ¡BZ− AY ¢= ω 10 · (BC 20 + λ Z 20 · ω 20 − AC 10 − λ Y 10 · ω 10 )= ω 10 · BC 20 +(ω 10 · ω 20 ) · λ Z 20 − ω10 2 · λ Y 10şi0=ω20 2 · λ Z 20 − ω 20 · AC 10 − (ω 20 · ω 10 ) · λ Y 10.Sistemul cramerian½ ω210 · λ Y 10 − (ω 20 · ω 10 ) · λ Z 20 = BC 20 · ω 10are soluţiile(ω 10 · ω 20 ) · λ Y 10 − ω 2 20 · λ Z 20 = −AC 10 · ω 20⎧⎨⎩λ Y 10 = ( BC 20·ω 10)·ω 2 20 + (AC 10·ω 20)·(ω 10·ω 20 )ω 2 10·ω2 20 −(ω 10·ω 20 ) 2λ Z 20 = ( AC 10·ω 20)·ω 2 10 + (BC 20·ω 10)·(ω 20·ω 10 )ω 2 20·ω2 10 −(ω 20·ω 10 ) 2(cf. [15], p. 102-103).Evident,ω 2 10 · ω 2 20 − (ω 10 · ω 20 ) 2 = |ω 10 × ω 20 | 2 6=0.Fie acum V ∈ ∆ 10 (t ∗ ), W ∈ ∆ 21 (t ∗ ) pentru care VW·ω 10 = VW·ω 21 =0.În mod analog,½ ω210 · λ V 10 − (ω 21 · ω 10 ) · λ W 21 = BC 21 · ω 10(ω 10 · ω 21 ) · λ V 10 − ω 2 21 · λ W 21 = −AC 10 · ω 21 ,

256 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDde unde⎧⎨⎩λ V 10 = (BC 21·ω 10)·ω 2 21 +(AC 10·ω 21)·(ω 10·ω 21 )ω 2 10·ω2 21 −(ω 10·ω 21 ) 2λ W 21 = ( AC 10·ω 21)·ω 2 10 + (BC 21·ω 10)·(ω 21·ω 10 )ω 2 21·ω2 10 −(ω 21·ω 10 ) 2 .Să dovedimcă λ V 10 = λ Y 10, adică V = Y .Maiîntâi,ω 2 10 · ω 2 21 − (ω 10 · ω 21 ) 2 = |ω 10 × ω 21 | 2 (2.31)= |ω 10 × (ω 20 − ω 10 )| 2= |ω 10 × ω 20 | 2 ,ceea ce probează egalitateanumitorilor fracţiilor λ V 10, λ Y 10.Apoi,¡ ¢BC21 · ω 10 · ω221 = (ω 21 × v rel,B ) · ω 10(2.31), (2.28)= [(ω 20 − ω 10 ) × (v B − v A )] · ω 10= (ω 20 − ω 10 , v B − v A , ω 10 )= (ω 20 , v B − v A , ω 10 ) − (ω 10 , v B − v A , ω 10 )= (ω 20 , v B − v A , ω 10 )= (ω 20 , v B , ω 10 ) − (ω 20 , v A , ω 10 )= ¡ ¢BC 20 · ω 10 · ω220 − (ω 20 , v A , ω 10 )şi¡AC10 · ω 21¢· (ω10 · ω 21 ) =·ω10 × v Aω 2 10¸· (ω 20 − ω 10 ) · (ω 10 · ω 21 )= (ω 10, v A , ω 20 )· (ωω102 10 · ω 21 )(2.31)= (ω 10, v A , ω 20 )· ¡ω ¢ω102 10 · ω 20 − ω102= 1 · (ω 10 , v A , ω 20 ) · (ω 10 · ω 20 )ω 2 10+(ω 20 , v A , ω 10 )= ¡ ¢AC 10 · ω 20 · (ω10 · ω 20 )+(ω 20 , v A , ω 10 ) .Prin sumare membru cu membru a acestor relaţii se stabileşte egalitateanumărătorilor fracţiilor λ V 10, λ Y 10.

3.2. CINEMATICA 257În concluzie, YZ⊥∆ 10 (t ∗ ), ∆ 20 (t ∗ ) şi YW⊥∆ 10 (t ∗ ), ∆ 21 (t ∗ ).ConsiderândU ∈ ∆ 20 (t ∗ ), H ∈ ∆ 21 (t ∗ ) pentru care UH · ω 20 = UH · ω 21 =0se aratăabsolut analog că U = Z şi H = W (cf. [15], p. 104). Astfel, ZW⊥∆ 20 (t ∗ ),∆ 21 (t ∗ ). DacăpuncteleY , Z, W nu sunt coliniare, atunci dreptele ∆ 10 (t ∗ ),∆ 20 (t ∗ ), ∆ 21 (t ∗ ) vor fi toate perpendiculare pe planul triunghiului YZW,deci paralele. Vectorii lor directori fiind ω 10 , ω 20 şi ω 21 = ω 20 − ω 10 , deducemcă direcţiile ω 10 (t ∗ ), ω 20 (t ∗ ) sunt coliniare, adică ω 10 (t ∗ ) × ω 20 (t ∗ )=0, ceeace contrazice ipoteza.Dreapta d care trece prin punctele Y , Z, W este perpendiculara comunăaaxelor∆10 (t ∗ ), ∆ 21 (t ∗ ) şi ∆ 20 (t ∗ ). Acest rezultat constituie teoremaAronhold-Kennedy (cf. [15], p. 102). Desigur, dacă într-oanumităproblemădemecanică teoretică două dintre axe au un punct comun, dreapta dpoate degenera într-un punct.3.2.5 Principiul independenţei mişcărilor. Compunereatranslaţiilor şi rotaţiilorNe vom referi acum la cel de-al doilea element de noutate prezent îninterpretările cinematicăşi geometrică alemişcării generale a solidului rigid,şi anume existenţa mişcărilor simultane.Să presupunem că solidul rigid S 1 realizeazăomişcare de rotaţie absolută,caracterizată de vectorul-viteză unghiulară −→ ω 10 glisant pe axa fixă ∆ 10 ,iarcăsolidul rigid S 2 se roteşte în raport cu reperul R 0 în jurul unei axe fixe ∆ 21relative, având vectorul-viteză unghiulară −→ ω 21 . Cele două corpuri materialenu se află neapărat în contact, deşi, de obicei, mişcarea se imprimă (transmite)prin contact. În discuţia de faţă, corpurile sunt folosite în calitatea lorde spaţii (triedre) ”rigide”. Viteza unui punct material X solidar legat decorpul rigid S 2 este (A ∈ ∆ 10 , B ∈ ∆ 21 )v X = v transp + v rel = ω 10 × AX + ω 21 × BXdeoarece v A =0, v rel,B =0. Atunci, putem scrie că−→v X = −→ M X ( −→ ω 10 )+ −→ M X ( −→ ω 21 )= −→ M X ({ −→ ω 10 , −→ ω 21 }) ∈ T X R 3(cf. [34], p. 181). Formula obţinută aratăcă, interpretând viteza, punctulmaterial X realizează lamomentult două rotaţii absolute (instantanee), simultane,de axe ∆ 10 , ∆ 21 . De asemeni, ordinea celor două rotaţii anterioare

258 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDpoate fi inversată fără a impieta asupra mişcării compuse (cf. [34], p. 182).În concluzie, mişcările efectuate simultan de un mobil sunt independente unade alta, fapt care constituie principiul independenţei mişcărilor (Galilei)(cf. [32], p. 196).Existenţa sistemului de vectori alunecători { −→ ω 10 , −→ ω 21 } permite aplicareaanalogiei statică-cinematică. Astfel,dacăaxele∆ 10 , ∆ 21 sunt concurente înpunctul D,atuncisistemulvafi echivalent cu vectorul −→ ω , unde ω = ω 10 +ω 21 ,glisantpedreapta∆ determinată de punctul D şi de vectorul (director) ω.Cu alte cuvinte, compunerea a două rotaţii finite sau infinitezimale cu axeleconcurente se realizează după regula paralelogramului (G. Coriolis) (cf. [32],a), p. 196, [76], p. 329), fiind tot o rotaţie. În schimb, când axele ∆ 10 ,∆ 21 sunt paralele, sistemul de vectori-viteză unghiulară sau se reduce la unvector-viteză unghiulară rezultant care glisează peaxacentrală a sistemuluide vectori paraleli sau constituie un cuplu de vectori-viteză unghiulară, ceeace implică, interpretând viteza, o mişcaredetranslaţie (cf. [32], c), p. 196-197, [76], p. 331). Dacă axele∆ 10 , ∆ 21 sunt necoplanare, rotaţiile pot ficompuse reducând sistemul { −→ ω 10 , −→ ω 21 } în mod convenabil prin introducereade translaţii compensatoare (corespondentul cuplului compensator) (cf. [32],b), p. 196). Evident, aceeaşi discuţie are loc şi în cazul a mai mult de douămişcări de rotaţie simultane. În particular, compunerea mai multor mişcăride translaţie corespunde reducerii unui sistem de cupluri de vectori glisanţi,deci constituie o mişcare având distribuţia de viteze caracteristicătranslaţiei.Şi aici se utilizează regula paralelogramului, acărei aplicare este simplificatăde faptul că vectorii aduşi în discuţie sunt liberi (cf. [32], p. 196).3.2.6 Mişcarea plană (plan-paralelă). Centrul instantaneude rotaţie (centrul vitezelor). Centroide.Mişcarea epicicloidală. Centrul geometric al acceleraţiilor.Cercurile lui Bresse. Centrul (polul)acceleraţiilor. Teorema celor trei centre instantaneede rotaţie. Teorema asemănării (Burmester-Mehmke)Să presupunem acum că trei dintre punctele materiale din constituţiasolidului rigid S, şi anume M 1 , M 2 , M 3 , necoliniare, rămân pe tot parcursulmişcării acestuia într-un plan fix, deexemplu,unuldinplaneledecoordonate

3.2. CINEMATICA 259ale sistemului de referinţă R ([63], p. 190). Plecând de la considerente geometricediscutate anterior, putem spune că orice altă particulă M asoliduluirigid va evolua sau în planul (M 1 M 2 M 3 ) sau într-un plan Π paralel cu acesta(mişcare plan-paralelă) (cf. [14], p. 108). Într-adevăr, cumV [MM1 M 2 M 3 ] = 1 3 d ·S ∆M 1 M 2 M 3= 1 6 d · ¯¯M 1 M 2 × M 1 M 3¯¯= 1 6¯¯¡MM1 , MM 2 , MM 3¢¯¯(cf. [65], p. 72), unde d = dist (M, (M 1 M 2 M 3 )), justificarea afirmaţiei demai sus se reduce la a dovedi că¯¯M 1 M 2 × M 1 M 3¯¯ ,¯¯¡MM1 , MM 2 , MM 3¢¯¯ = constant.Conform identităţii lui Lagrange, avem¯¯M 1 M 2 × M 1 M 3¯¯2= ¯¯M¡ ¢ 21 M 2¯¯2 ·¯¯M 1 M 3¯¯2 − M1 M 2 · M 1 M 3= constant.De asemeni,¯¯MM 1 × ¡ ¢¯¯2MM 2 × MM 3= £ MM 1 × ¡ MM 2 × MM 3¢¤ 2= £¡ MM 1 · MM 3¢· MM2− ¡ MM 1 · MM 2¢· MM3¤ 2= ¡ MM 1 · MM 3¢ 2·¯¯MM 2¯¯2+ ¡ MM 1 · MM 2¢ 2·¯¯MM 3¯¯2−2 · ¡MM ¢ ¡ ¢1 · MM 3 · MM1 · MM 2· ¡MM ¢2 · MM 3= constant.Aplicând din nou identitatea lui Lagrange, putem scrie că£MM1 × ¡ ¢¤ 2MM 2 × MM 3 = ¯¯MM 1¯¯2 ·¯¯MM 2 × MM 3¯¯2− £ MM 1 · ¡MM ¢¤ 22 × MM 3= constant,

260 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDrespectiv¡ ¢ 2MM1 , MM 2 , MM 3 = ¯¯MM 1¯¯2 ·¯¯MM 2 × MM 3¯¯2− £ MM 1 × ¡ MM 2 × MM 3¢¤ 2= constant.Justificarea s-a încheiat. În particular, viteza şi acceleraţia punctului materialM rămân în planul Π pe tot parcursul mişcării solidului rigid (cf. [63],p. 190). Aceasta pentru că, în mod evident, traiectoria particulei M este ocurbă plană iar planul său osculator coincide cu planul Π (cf. [48], p. 27).Luând drept plan fixalmişcării planul de coordonate Oxy (vezi Figura 3.18),au loc relaţiile 1 Figura 3.18OM = OP + PM = OP ± d · k v P = OP= OM= v M .Astfel, punctele situate pe o paralelă laaxaOz realizează traiectorii identice,în plane paralele (cf. [76], p. 309). Putem reduce, aşadar, studiulmişcării punctului material M la acela al proiecţiei sale P (mişcare plană)(cf. [63], p. 191, [32], p. 103). În tehnică, planul Π se mai numeşte şi planmobil (cf. [63], p. 190).Reperul R 0 =(A, −→ C ) solidar legat de corpul rigid S este ales în aşa felîncât unul din planele sale de coordonate să coincidăcuplanulfix almişcării.Notând cu θ unghiul făcut de vectorii i, i 1 ,obţinem··i 1 =cosθ · i +sinθ · jj 1 = − sin θ · i +cosθ · j1 Semnul din prima formulă depinde de semispaţiul ales.

3.2. CINEMATICA 261(cf. [15], p. 85) şi·i 1 = ·θ ·j 1·j 1 = − ·θ ·i 1(cf. [34], p. 177).Introducând vectorul ω def= ω · k, undeω not= θ, ·deducem că (k = k 1 )···i 1 = ω × i 1 j 1 = ω × j 1 k 1 = ω × k 1 =0.Unicitatea reprezentării (2.21) ne permite să afirmăm că ω este vectorulvitezăunghiulară instantanee al mişcării reperului R 0 faţă de sistemul dereferinţă R. În particular, axa instantanee ∆ rămâne pe tot parcursul mişcăriiparalelăcuOz iar poziţia solidului rigid S este caracterizată complet de treiparametri: x A , y A , θ (cf. [34], p. 176, [76], p. 309).Notăm cu I(t) punctul de intersecţie al axei instantanee ∆ cu planul fixOxy (cf. [34], p. 199). Particula din constituţia solidului S care are, lamomentul t, poziţia I(t) va avea vectorul-viteză coliniar cu ω. Pe de altăparte, particula în cauză semişcă peocurbăsituatăînplanul(M 1 M 2 M 3 ),ceea ce implică faptulcă vectorul său viteză segăseşte în spaţiul directoral planului (M 1 M 2 M 3 ), ortogonal pe ω. Astfel,viteza particulei este nulă lamomentul t. PunctulI(t) poartă denumirea de centru instantaneu de rotaţie(cf. [34], p. 199, [76], p. 309). La rândul său, punctul de intersecţie al axei∆(t) cu planul Π în care evoluează particula M se numeşte centrul vitezelor(cf. [32], p. 103). Evident, viteza particulei corespunzătoare este nulă lamomentul t.Aplicând formula lui Euler, avem v M = v I +ω × IP = ω × IP = ω × IM.Deci, în interpretare cinematică, mişcarea solidului rigid poate fi imaginatăfie caotranslaţie (momentană) (când ω =0) fie caorotaţie (momentană) înjurul axei ∆ (Euler) (cf. [76], p. 309, [34], p. 199). Aceasta se numeşte axăinstantanee de rotaţie (cf. [14], p. 108). În cazul rostogolirii fără alunecare aunui cilindru omogen pe planul orizontal, axa de rotaţie ∆ este chiar generatoareade contact cu planul a cilindrului (Descartes, 1638) (cf. [32], exemplulde la p. 100, [76], aplicaţia 2 ◦ ,p.312).Păstrând analogia cu mişcarea geometrică, trebuiespuscă trecerea dinpoziţia A 1 B 1 a unui segment AB, situat în planul fix almişcării, în poziţiaA 2 B 2 din acelaşi plan poate fi realizată fie printr-orotaţie unică în jurulpunctului de intersecţie al mediatoarelor segmentelor A 1 A 2 , B 1 B 2 (numit şicentrul rotaţiilor finite) fie printr-o translaţie unică (cazul segmentelor A 1 B 1 ,A 2 B 2 paralele) (cf. [63], p. 193, [34], p. 201).

262 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDÎn mişcareasafaţă de sistemul de referinţă R, centrul instantaneu derotaţie I(t) descrie o curbă planănumită centroidă fixă sau bază (cf. [76],p. 310, [34], p. 202, [14], p. 108). Curba realizată deI(t) în mişcareasa faţă dereperulmobilR 0 poartă denumirea de centroidă mobilă(rulantă,rostogolitoare) (cf. [63], p. 194, [32], p. 104).Figura 3.19Notând cu s(t), s 1 (t) coordonatele curbilinii ale centrului I(t) pe bază, respectivrulantă, începând de la momentul iniţial t 0 (vezi Figura 3.19), putemaplica legea fundamentală de compunere a vitezelorv abs (I) =v transp (I)+v rel (I) =v rel (I)deoarece ”particula” I, caelementalconfiguraţiei punctelor materiale dincomponenţa solidului S, are la momentul t viteza de transport nulă (cf. [34],p. 202, [76], p. 311). De unde,·s (t) · τ = ·s 1 (t) · τ s(t 0 )=s 1 (t 0 )=0şi, prin integrare în raport cu timpul t, obţinem s(t) =s 1 (t), t > t 0 (cf.[14], p. 109). Am ţinut seama de faptul că axoidele, care sunt în acest cazsuprafeţe cilindrice având drept directoare centroidele (cf. [48], p. 41), admitplanul tangent comun T I(t) . Egalitatea coordonatelor curbilinii ale centruluiI(t) face posibilă următoarea interpretare geometrică amişcării plane: înfiecare moment t, mişcarea figurii plane (plăcii rigide) care conţine proiecţiaP poate fi considerată caorostogolirefără alunecare a rulantei (presupusăsolidar legată deplacă) peste bază, punctul de contact al celor două curbefiind centrul instantaneu de rotaţie I(t) (cf. [32], p. 104).

3.2. CINEMATICA 263Impunând ca λ =0în (3.13), obţinem0=v A + ω × AB,formulă care, proiectată pe axele triedrelor R, R 0 ,neconducelaecuaţiileparametrice ale rostogolitoareiξ = − v A,y 1ωη = v A,x 1ωζ =0(cf. [76], p. 309, [14], p. 108, [63], p. 195), respectiv ecuaţiile parametriceale bazeix = x A + ξ · cos θ − η · sin θ y = y A + ξ · sin θ + η · cos θ z =0(cf. [76], p. 310, [63], p. 195). Am folosit relaţiileOB = OA + AB = r A + ξ · i 1 + η · j 1= r A +(ξ · cos θ − η · sin θ) · i +(ξ · sin θ + η · cos θ) · j.În interpretare geometrică, mişcarea plană (plan-paralelă) este, aşadar,rostogolirea fără alunecare a unei curbe peste o altă curbă. De aceea, uniiautori numesc această mişcare epicicloidală (cf. [32], p. 104, [59], p. 36).Cicloida este, s. s., curba descrisă deunanumitpunctalroţiiunuiautomobilatunci când acesta execută omişcare rectilinie uniformă, fără patinare(alunecare) (cf. [76], aplicaţia 2 ◦ ,p. 312,[63],aplicaţia 1), p. 202-203,[59], problema 3.2.10, p. 41, [34], p. 204). La rândul său, epicicloida constituiecurba realizată deunanumitpunctalunuicerccareserostogoleştefără alunecarepeste un cerc fix (cf. [34], p. 205). Epicicloida reprezintă unelement esenţial al mecanicilor celeste aparţinând lui Ptolemeu şi Copernic(cf. [11], p. 17). O altă curbăspectaculoasă, hipocicloida, obţinută prinevoluţiaunuianumitpunctalunuicerccareserostogoleşte fără alunecareîntr-un cerc fix, este întâlnită înproblema lui Cardan (cf. [76], aplicaţia 3 ◦ ,p. 312-313, [63], p. 195, [59], problema 3.2.4, p. 38). Un exemplu uzual dehipocicloidă îloferă astroida (cf. [11], p. 56).Ne vom referi în continuare la distribuţia acceleraţiilor în mişcarea plană.Urmând calculul făcut în [59], problema 3.2.7, p. 39, 197, putem scrie căv P = ω × IP = ω × ¡ OP − OI ¢ ,

264 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDde undea P = v ·P = ε × IP + ω × (v P − v abs (I))= ε × IP + ω × ¡ ω × IP ¢ − ω × v abs (I)= ε × IP + ¡ ω · IP ¢ · ω − ω 2 · IP − ω × v abs (I)= ε × IP − ω 2 · IP − ω × v abs (I)deoarece vectorii ω, IP sunt ortogonali. Aici, v abs (I) desemnează vitezacucare centrul instantaneu I(t) se deplaseazăpebazăiarP reprezintă un punctoarecare al plăcii rigide. Punctul material P care, la momentul t ∗ ,arepoziţiacentrului instantaneu de rotaţie, va avea acceleraţia −→ a P ∈ T P R 3 , −→ a P ∈ a P ,unde (I = P )a P (t ∗ )=−ω × v abs (I (t ∗ )) .Deoarece direcţia vitezei centrului I pe bazăestedată de vectorul directoral tangentei comune a centroidelor la momentul t ∗ ,vectorula P (t) devinecoliniar cu direcţia normalei comune a centroidelor la momentul t ∗ (cf. [32],p. 136).Formulaa P = ε × IP − ω 2 · IP − ω × v abs (I)= a I + ε × IP − ω 2 · IPreprezintă un caz particular al teoremei lui Rivals.Ţinând seama de (2.16), are loc relaţiaa P (t ∗ )=a P,τ (t ∗ )+a P,ν (t ∗ )=a P,τ (t ∗ ),căci v P (t ∗ )=0.Astfel,direcţia acceleraţiei mobilului P va coincide, la momentult = t ∗ ,cudirecţia tangentei la traiectoria acestuia (vezi Figura 3.20).Cum v P (t ∗ )=0,poziţia respectivă desemnează unpunct de rebrusment altraiectoriei particulei P .Figura 3.20

3.2. CINEMATICA 265Două problemepotfi puse în mod natural. Prima se referă la determinareaacelor puncte materiale P din constituţia plăcii rigide care au, lamomentul t, viteza şi acceleraţia perpendiculare. Găsindu-se, în momentulrespectiv, într-un punct de rebrusment al traiectoriei lor (absolute), acesteavor constitui punctele de rebrusment ale plăcii rigide (la momentul t). Ceade-a doua problemă priveşte existenţa particulelor P care au, la momentul t,viteza şi acceleraţia coliniare. Evident, cum v P (t ∗ )=0, centrul instantaneude rotaţie ne procură asemenea puncte. Aflându-se, la momentul respectiv,într-un punct de inflexiune (cf. [48], p. 31) al traiectoriei lor (absolute),punctele respective desemnează punctele de inflexiune ale plăcii rigide (lamomentul t).Introducem punctul G(t) (a nu se confunda cu centrul de masă G al unuisistem mecanic, utilizat în dinamică), numit centrul geometric al acceleraţiilor(cf.[59],p.39),cuajutorulformuleiIG = − ω × v abs(I).ω 2Evident, ω × IG = − 1 · [(ω · vω 2 abs (I)) · ω − ω 2 · v abs (I)] = v abs (I), vectoriiω, v abs (I) fiind ortogonali.Atunci, conform calculelor din [59], problema 3.2.8, p. 40, 197-198, avema P = ε × IP − ω 2 · IP − ω × v abs (I)= ε × IP − ω 2 · IP + ω 2 · IG.Impunând ca punctul P să fie punct de inflexiune al plăcii rigide, adicăa P kv P , ajungem la a P ⊥IP,căci v P = ω × IP. Atunci,0=a P · IP = −ω 2 · IP 2 + ω 2 · ¡IP· IG ¢ .Egalitatea IP 2= IP · IG constituie reciproca teoremei catetei în triunghiulIPG. În concluzie, punctele de inflexiune ale plăcii rigide se găsescpe cercul de diametru IG. Parcurgând în sens invers demonstraţia precedentă,putem afirma că locul geometric al punctelor de inflexiune ale plăciirigide la momentul t este cercul de diametru IG, numit cercul inflexiunilorplăcii rigide (cf. [76], observaţia 3 ◦ ,p.314).Dacă P este un punct de rebrusment al plăcii, atunci a P kIP,astfelcă0 = a P × IP = ¡ ε × IP ¢ × IP − (ω × v abs (I)) × IP= −IP × ¡ ε × IP ¢ + IP × (ω × v abs (I))= −IP 2 · ε + ¡ ε · IP ¢ · IP + ¡ IP · v abs (I) ¢ · ω

266 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDdeoarece vectorii ω, IP sunt ortogonali. În plus, cum ε = ω= ·ω ··k = ε · k,deducem că şi vectorii ε, IP sunt ortogonali, deci¯¯IP¯¯2 · ε = ε ¯¯IP¯¯2 · k= ¡ IP · v abs (I) ¢ · ω = ω ¡ IP · v abs (I) ¢ · k.Din ³ ¯¯IP¯¯2 ω= IP · abs(I)´ε vrezultăcă, pe baza reciprocei teoremei catetei, punctul P se găseşte pe cerculde diametru IT, undeIT = ω ε v abs(I).La fel ca anterior, locul geometric al punctelor de rebrusment ale plăciirigide la momentul t este cercul de diametru IT, numit cercul de rebrusmental plăcii rigide (cf. [76], p. 314-315). În mod evident, cercul inflexiunilor şicercul de rebrusment (întoarcerilor) sunt ortogonale. Ele sunt cunoscute şisub denumirea de cercurile lui Bresse (cf. [26], p. 186).Cercurile lui Bresse au în comun centrul instantaneu I(t ∗ ). Pentru aceastaam speculat faptul căvectorulnulv P (t ∗ ) este simultan şi coliniar şi ortogonalcu vectorul a P (t ∗ ). În mod logic, ne punem întrebarea dacă osituaţie dualăse întâlneşte în cazul acceleraţiei. Mai precis, există puncte P în constituţiaplăcii rigide care să aibălaunanumitmomentt acceleraţia nulă?Pe baza distribuţiei acceleraţiilor în mişcarea generală a solidului rigiddeducem că0 = a P = a A (t)+ε × AP + ω × ¡ ω × AP ¢= a A (t)+ε × AP − ω 2 · AP .Formula ω 2 · AP − ε × AP = a A ,înmulţită vectorial la stânga cu ε, neconduce la (ε · AP =0)ω 2 · ¡ε× AP ¢ + ε 2 · AP = ε × a A ,de undeşiω 2 · ¡ω 2 · AP − a A¢+ ε2 · AP = ε × a AAP = ω2 · a A + ε × a Aε 2 + ω 4 (3.15)

3.2. CINEMATICA 267(cf. [32], p. 104, [14], p. 111, [63], p. 213). Cum vectorii a A şi ε × a A ,respectiv ε şi a A sunt ortogonali, avemrespectivAP · a A = ω2 · a 2 Aε 2 + ω 4= ¯¯AP ¯¯ ·|a A |·cos ] ¡ ¢AP , a Aq= AP 2 ·|a A |·cos ] ¡ ¢AP , a Aq|a A |=ε 2 + ω · ω 4 · a 2 4 A +(ε × a A ) 2 · cos ] ¡ ¢AP , a Aq|a A |=ε 2 + ω · |a 4 A | 2 (ω 4 + ε 2 ) · cos ] ¡ ¢AP , a ARelaţiile=|a A | 2√ε2 + ω 4 · cos ¡ AP , a A¢,¯¯AP × a A¯¯ = |(ε × a A) × a A |ε 2 + ω 4= |a A| 2 ·|ε|ε 2 + ω 4= ¯¯AP ¯¯ ·|a A |·sin ¡ AP , a A¢==|a A |ε 2 + ω 4 ·q|a A | 2 (ω 4 + ε 2 ) · sin ¡ AP , a A¢|a A | 2√ε2 + ω 4 · sin ¡ AP , a A¢.cos ¡ AP , a A¢=ω 2√ε2 + ω 4 sin ¡ AP , a A¢=|ε|√ε2 + ω 4arată că, la momentul t, unghiulfăcut de acceleraţia particulei A oarecaredin constituţia plăcii rigide cu dreapta AP ,undeP reprezintă unicul punct alplăcii care are la momentul respectiv acceleraţia nulă, este constant. PunctulP introdus de (3.15), notat cu W (t), poartă denumirea de centrul (polul)acceleraţiilor plăcii rigide (cf. [32], p. 104, [14], p. 110, [63], p. 210).În cazul mişcării uniforme (ε =0), observăm căIW = ω2 · a I + ε × a Iε 2 + ω 4= IG,= a Iω = −ω × v abs(I)2 ω 2

268 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDadică W = G (cf. [59], p. 36).Se cuvine făcută următoarea observaţie privind mărimea a I . Deşi amutilizat, pentru simplitate, notaţia a I ca să desemnăm vectorul a P (t ∗ ), trebuieînţeles faptul că I(t) este o ”particulă” mobilă şi că aulocrelaţiilev rel (I (t)) =v abs (I (t)) =a rel (I (t)) =a abs (I (t)) =µ ∂AI·∂tOIµ ∂ 2 AI∂t 2··OIR 0 v transp (I (t)) = 0R 0a transp (I (t)) = −ω × v abs (I)a Cor (I (t)) = 2 · ω × v rel (I(t)) = −2 · a transp (I (t)) .Astfel, formula a P (t ∗ )=−ω × v abs (I(t ∗ )) ”leagă”, într-un mod esenţial,mişcarea particulei plăcii rigide care coincide cu I(t) de mişcările (absolutăşi relativă) ale poziţiei sale, adică I(t).Egalitateaa A = ω 2 · AW − ε × AW (3.16)= ε × WA− ω 2 · WA= a A,ε + a A,ωexprimă faptulcă distribuţia acceleraţiilor în placa rigidă care efectuează omişcare în propriul său plan este identică cu cea întâlnită înmişcarea circulară.Cu alte cuvinte, interpretând acceleraţia, putem imagina mişcareaplană caorotaţie (momentană) în jurul axei determinate de centrul acceleraţiilorW şi de vectorul director ω (cf. [76], p. 314, [32], p. 105, [2], p.177).Revenind la cercurile lui Bresse, este clar căpolulW desemnează cel de-aldoilea punct comun al acestora (vezi Figurile 3.21, 3.22).

3.2. CINEMATICA 269Figura 3.21Notăm cu β unghiul făcut de vectorii AW , a A .Atunci,tan β = |ε|ω 2 (cf. [2],p. 177). Relaţia (3.16) arată că acceleraţiile −→ a A ale punctelor plăcii rigide segăsesc la momentul t de aceeaşi parte a ”razelor” WA,cucarefacunghiulβ(cf. [76], p. 314). Cu convenţia ca β > 0 dacă −→ a A este în dreapta segmentuluiWA, respectiv β < 0 dacă −→ a A este în stânga segmentului WA,obţinemtan β = ε ω 2(cf. [14], p. 115, [63], p. 213).Cum, în general, I 6= W , caracterul de interpretare cinematică amişcăriiplane (rotaţie momentană în jurul centrului I, respectiv rotaţie momentanăîn jurul polului W )alconsideraţiilor anterioare şi nu de descriere a acesteiaeste pus în evidenţă într-un mod elocvent.

270 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDFigura 3.22Ne vom referi în continuare la mişcarea relativă adouăplăci rigide supuseunui contact simplu în planul fix Oxy. Păstrând notaţiile de la subsecţiuneadedicată teoremei Aronhold-Kennedy, vom considera că reperele cartezieneR 0 ,R 00 solidar legate de plăci au unul din planele de coordonate în planul fixal mişcării. Frontierele celor două plăci rigide sunt curbele netede orientateΓ 1 , Γ 2 care admit punctul comun de tangenţă X(t). În plus, la momentult = t ∗ , originile A, B ale reperelor R 0 ,R 00 vor coincide cu X(t ∗ ). Este evidentcă putem ”gonfla” plăcile rigide, transformându-le în domenii G 1 , G 2 ale SFcare au drept frontiere două suprafeţe cilindrice tangente, de directoare Γ 1 ,Γ 2 ,cugeneratoarele date de dreptele de direcţie k. Planul tangent comuncelor două suprafeţe, şi anume T X(t) ,vafi planul perpendicular pe planulmişcării care îl intersectează pe acesta după tangenta comună acurbelorΓ 1 ,Γ 2 .Cum ω 10 = ω 10 ·k, ω 20 = ω 20 ·k, ω 21 =(ω 20 −ω 10 )·k, adică ω 10 ×ω 20 =0,teorema Aronhold-Kennedy nu poate fi aplicată aici. Mişcarea plăcilor rigideîn contact are ca ”ingrediente” alunecarea, respectiv rostogolirea. Mişcareade pivotare, fireşte, nu este definită înplan. Notăm cu I 10 , I 21 , I 20 cele

3.2. CINEMATICA 271trei centre de rotaţie corespunzătoare mişcărilor absolute şi relative. La felca în cazul general, centrele instantanee ale mişcărilor epicicloidale relativerealizate de plăcile rigide aflate în contact simplu coincid. Dacă aplicămlegea fundamentală de compunere a vitezelor, considerându-ne solidar legaţide prima dintre plăci, putem scrie căv abs (X) =v transp (X)+v rel (X)şi v transp (X(t ∗ )) = v rel,B (X). ”Particula” de contact X(t) deplasându-seatât pe Γ 1 cât şi pe Γ 2 , vitezele sale absolută şi relativă voraveacadirecţiechiar direcţia tangentei comune a acestor curbe în poziţia curentă de contact.Atunci, v rel,B (X) va fi coliniar cu direcţia respectivă. Însă v rel,B (X) =ω 21 ×I 21 B şi, cum I 21 B⊥v rel,B (X), deducem că centrul instantaneu I 21 se găseştepe normala (principală) comună în punctul curent de contact a frontierelorcelor două plăci rigide (cf. [34], p. 203). În particular, în cazul mişcăriirectilinii a unui automobil, centrul instantaneu de rotaţie al uneia dintreroţile acestuia se va găsi, indiferent dacă avemroată motoare sau roată trasă(pasivă), pe perpendiculara pe sol în punctul curent de contact cu drumulal roţii (vezi Figura 3.23) (cf. [76], aplicaţia 2 ◦ , p. 312, [63], aplicaţia 1), p.202-203).Figura 3.23Punctele materiale A, B evoluând în planul fix almişcării, punctele (geometrice)C ij introduse la demonstraţia teoremei Aronhold-Kennedy se vorgăsi, la rândul lor, în acest plan. Mai precis,C ij = I ij (t), 0 6 i, j 6 2.

272 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDÎn plus, cum vectorii ω 10 şi v A , ω 20 şi v B , ω 21 şi v rel,B sunt ortogonali,deducem căv A = −ω 10 × AC 10 v B = −ω 20 × BC 20 v rel,B = −ω 21 × BC 21 .De asemeni, conform (2.28), putem scrie căv B (t ∗ ) = v rel,B + v transp,B = v rel,B + v A + ω 10 × AB= v rel,B + v A (t ∗ ) ,poziţiile particulelor B şi A coincizând cu X(t ∗ ) la momentul t = t ∗ .În sfârşit, avemv rel,B (t ∗ ) = −ω 21 × BC 21 (3.17)= ω 10 × AC 10 − ω 20 × BC 20 .Cum A(t ∗ )=B(t ∗ ),ţinând seama de (2.31), sunt valabile egalităţile−ω 21 × BC 21 = ω 10 × BC 21 − ω 20 × BC 21(3.17)= ω 10 × AC 10 − ω 20 × BC 20 ,respectivω 20 × C 21 C 20 = ω 20 × ¡ C 21 B + BC 20¢= ω 20 × BC 20 − ω 20 × BC 21= ω 10 × AC 10 − ω 10 × BC 21= ω 10 × ¡ ¢AC 10 − AC 21= ω 10 × C 21 C 10 .Evident,0 = ¡ ¢ ¡ ¢ω 10 , C 21 C 10 , C 21 C 10 = ω10 × C 21 C 10 · C21 C 10= ¡ ¢ω 20 × C 21 C 20 · C21 C 10 = ¡ ¢ω 20 , C 21 C 20 , C 21 C 10= ¡ ¢C 21 C 20 , C 21 C 10 , ω 20= ¡ ¢C 21 C 20 × C 21 C 10 · ω20 .Presupunând că C 21 C 20 × C 21 C 10 6=0,vectoriiω 20 şi C 21 C 20 × C 21 C 10vor fi coliniari. Fiind nenuli, produsul lor scalar nu poate fi egal cu zero. Înconcluzie,C 21 C 20 × C 21 C 10 =0,

3.2. CINEMATICA 273adică centrele instantanee de rotaţie ale mişcărilor epicicloidale absolute şirelative realizate de plăcilerigidesupuseunuicontactsimplusuntcoliniare(cf. [15], p. 104-105). Rezultatul anterior este cunoscut sub denumirea deteorema celor trei centre instantanee de rotaţie (cf. [76], p. 345).Recomandăm cititorului elegantele expuneri făcute acestor chestiuni în [26],problema 3.4.3, p. 253-255, [63], p. 201-202. Teorema celor trei centreinstantaneederotaţie se utilizează în cinematica mecanismelor.Egalitatea ω 20 × C 21 C 20 = ω 10 × C 21 C 10 ne conduce, prin înmulţire vectorialăcuk la stânga în ambii membri, laC 20 C 21 = ω 10ω 20· C 10 C 21(cf. [63], p. 202).Câteva proprietăţi cu vizibilă relevanţă geometrică ale câmpurilor deviteze şi acceleraţii în mişcarea corpului material solid rigid se cuvin prezentate.1) Dacă M 1 , M 2 , M 3 sunt particule coliniare din constituţia solidului rigidS iar A 1 , A 2 , A 3 , respectiv B 1 , B 2 , B 3 sunt extremităţile vitezelor, respectivacceleraţiilor acestora, atunci punctele A 1 , A 2 , A 3 , respectiv B 1 , B 2 , B 3 suntcoliniare (cf. [15], p. 74).2) Vitezele punctelor A, B din constituţia solidului rigid S aflate pe odreaptă paralelă cu axa instantanee a mişcării sunt egale (cf. [15], p. 75).3) În aceleaşi condiţii ca la 2), proiecţiile acceleraţiilor punctelor A, B pedirecţia dreptei AB sunt egale (cf. [15], p. 80).4) Dacă M 1 , M 2 , M 3 sunt trei puncte necoliniare din constituţia uneiplăcirigidecaresemişcă într-un plan fix iarA 1 , A 2 , A 3 , respectiv B 1 ,B 2 , B 3 sunt extremităţile vitezelor, respectiv acceleraţiilor acestora, atuncitriunghiurile M 1 M 2 M 3 , A 1 A 2 A 3 şi B 1 B 2 B 3 sunt asemenea.Proprietăţile 4), împreună cu cazul lor degenerat 1), poartă numeledeteorema asemănării (Burmester-Mehmke) (cf. [63],p. 207,216,[76],p.351, [15], p. 75, [14], p. 114, 116, [2], p.175-176,179-180,etc.).Justificarealor se bazează pe formuleleOA i = OM i + v Mi= OM i + v A + ω × AM iOB i = OM i + a Mi= OM i + a A + ε × AM i + ω × ¡ ω × AM i¢,

274 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDunde 1 6 i 6 3, careneconduclaA i A j = OA j − OA i= M i M j + ω × M i M jB i B j = M i M j + ε × M i M j + ω × ¡ ¢ω × M i M j= ¡ 1 − ω 2¢ · M i M j + ε × M i M j , i 6= j.Vectorii M i M j şi ω × M i M j , M i M j şi ε × M i M j fiind ortogonali, avem¯¯A i A j¯¯ =q¯¯M i M j¯¯2 +¯¯ω × M i M j¯¯2= √ 1+ω 2 · ¯¯M i M j¯¯¯q¯B i B j¯¯ = (1 − ω 2 ) 2 · ¯¯M i M j¯¯2 +¯¯ε × M i M j¯¯2q= (1 − ω 2 ) 2 + ε 2 · ¯¯M i M j¯¯ ,ceea ce dovedeşte asemănarea triunghiurilor M 1 M 2 M 3 , A 1 A 2 A 3 şi B 1 B 2 B 3 .În schimb, dacă M 1 M 3 = λ · M 1 M 2 ,atunciA 1 A 3 = λ · A 1 A 2 şi B 1 B 3 =λ · B 1 B 2 .Justificarea s-a încheiat. Proprietatea 1) a fost utilizată înFigura3.23. Generalizarea teoremei Burmester-Mehmke pentru mărimi cinematicede ordin n > 3 afostrealizată cu ajutorul teoriei numerelor complexe decătre profesorul G. Theiller în 1930 (cf. [34], p. 200).5) Cunoscând vitezele −→ v 1 , −→ v 2 , −→ v 3 ,dedirecţii necoplanare, a trei puncteale solidului rigid S se poate determina axa instantanee a mişcării pseudoelicoidale(vezi Figura 3.24) (cf. [59], problema 3.1.5, p. 34).Urmăm calculele din [59], p. 34, 193-194. Astfel, dacă notăm cu A 1 , A 2 ,A 3 extremităţile vitezelor −→ v i transportate prin echipolenţă într-un punct Qales convenabil, direcţia normală laplanul(A 1 A 2 A 3 ) va fi dată de vectorulN = (v 1 − v 3 ) × (v 2 − v 1 )= v 1 × v 2 − v 3 × v 2 + v 3 × v 1= v 1 × v 2 + v 2 × v 3 + v 3 × v 1 .Deoarece v i = v Mi = v M0 + ω × M 0 M i ,undeM 0 este un punct de pe axainstantanee, putem scrie că (M 0 M inot= r i )v i × v j = v M0 × [ω × (r j − r i )] + [(ω × r i ) · r j ] · ω

3.2. CINEMATICA 275= v M0 × [ω × (r j − r i )] + (ω, r i , r j ) · ω= v M0 × [ω × (r j − r i )] + (r i , r j , ω) · ω= v M0 × [ω × (r j − r i )] + [(r i × r j ) · ω] · ω, 1 6 i, j 6 3,de undeN =[ω · (r 1 × r 2 + r 2 × r 3 + r 3 × r 1 )] · ω = λ · ω 6= 0.Figura 3.24Proiectând vitezele −→ v 1 , −→ v 2 , −→ v 3 pe planul Π paralel cu (A 1 A 2 A 3 ),avemv i = v M0 + ω × M 0 M i = v M0 + ω × ¡ ¢M 0 N i + N i M i= v M0 + ω × M 0 N i .Vectorii v M0 şi ω fiind coliniari, vectorii-proiecţie ai vitezelor −→ v i pe planulΠ vor avea direcţiile ω × M 0 N i . Cum vectorii-viteză v i sunt necoplanari,vectorii v i − v M0 nu sunt toţi coliniari. Dacă, de exemplu, (v 1 − v M0 ) ×(v 2 − v M0 ) 6= 0, atunci perpendicularele din N 1 , N 2 pe dreptele-suport alevectorilor-proiecţie, duse în planul Π, se vor intersecta într-un punct M depe axa instantanee ∆ (cf. [59], p. 194).

276 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID3.3 Statica şi dinamica3.3.1 Dinamica sistemului mecanic. Teorema impulsului.Teoremele centrului de masă. Teoremele luiV. Vâlcovici şi S. Koenig. Teorema momentuluicinetic. Teorema energiei cinetice. Reprezentareamomentului cinetic şi a energiei cinetice cu ajutorultensorului de inerţie. Formula momentuluicinetic faţă deoaxă. Sisteme conservativeSă considerăm sistemul mecanic S ale cărui particule au, în raport cusistemul de referinţă inerţial R =(O, −→ B ), razele vectoareOM knot= r k , 1 6 k 6 n.Introducând un reper cartezian (mobil) cu axeledecoordonatededirecţiifixe (cf. [32], p. 81), şi anume R 0 =(A, −→ B ), aulocrelaţiile (ω =0)r k = r A + r 0 k v k = v A + v 0 k,unde r 0 k = AM k, v 0 k =(∂r0 k) ∂t R 0 = r ·0 k . Dacă punctul G din SF reprezintăcentrul de masă al sistemului mecanic S, adicăr G = 1 m ·nXm k · r k v G = 1 m ·k=1(cf. [32], p. 79-80), atunci putem scrie cărespectivnXm k · r 0 k =k=1nXm k · v k ,k=1m not=nXm k · r k − m · r A = m · (r G − r A ) ,k=1nXm k · v 0 k = m · (v G − v A )k=1(cf. [34], p. 289).Presupunem că acţiunea mediului înconjurător asupra particulei M k dinconstituţia sistemului S este dată deforţa −→ F k ∈ T Mk R 3 , −→ F k ∈ F k ,numitănXk=1m k

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 277externă sau exterioară (cf. [32], p. 77, [34], p. 247). Interacţiunea particuleiM k cu celelalte puncte materiale ale sistemului mecanic se realizează prinintermediul forţei −→ F kl ∈ T Mk R 3 , −→ F kl ∈ F kl ,undeF kl + F lk =0 F kk =0. (3.18)Forţa −→ F kl se numeşte internă sau interioară (cf. [32], p. 75).Forţa −→ F k ∈ T Mk R 3 , −→ F k ∈ F k ,undenXF k = F kl ,l=1desemnează acţiunea sistemului mecanic S asupra celei de-a k−a particuledin componenţa sa.Un calcul simplu,nX ¡ ¢ X ¡ ¢nXR O = F k + F k = F kl + F lk +şiM O =====k=1nXF i = Fi=1nXr k × ¡ ¢F k + F k =k=1+nXr i × F ii=1X16k6l6nX16k6l6nnXr i × F ii=116k6l6nX16k6l6ni=1F i¡rk × F kl + r l × F lk¢£rk × F kl + r l × ¡ ¢¤nX−F kl + r i × F i(r k − r l ) × F kl +nXr i × F ideoarece vectorii r k − r l = M l M k şi F kl sunt coliniari (principiul acţiuniişi reacţiunii), arată că forţele interne ale sistemului mecanic nu se reflectăasupra mărimilor R O (S), M O (S) (cf.[34],p.250,253).i=1i=1

278 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDDacă, în plus, sistemul mecanic S este rigid, atuncirelaţiaµ µ 1 ¯10 = d ¯M l M2 k¯¯2= d2 M lM 2 kne conduce la= M l M k · d M l M kF kl · d r k + F lk · d r l = F kl · [d r k + d (−r l )]= F kl · d M l M k= F kl · M k M l · d M l M k= −F kl · M l M k · d M l M k= 0(cf. [34], p. 264). Aici, F kl = F kl·M k M l.|M k M l| 2Astfel,nX ¡ ¢δW = F k + F k · drk = X=k=1+nXF i · dr ii=1nXF i · dr i = δW ext .i=116k6l6n¡F kl · dr k + F lk · dr l¢Absenţa forţelor interioare ale sistemului mecanic din formulele precedenteeste în concordanţă cufaptulcă modelul matematic al corpurilor materialedat de solidul rigid face abstracţiedestructurainternă a acestora. Îngeneral, forţele interioare produc un lucrumecanicdedeformare(cf. [32], p.77). De exemplu, o copertă din plastic, odată îndoită, nu îşi recapătă formainiţială după încetarea acţiunii exterioare, etc.Vomstabiliînceleceurmează legături între mărimile care caracterizeazămişcarea mecanică a solidului S (impuls, moment cinetic, energie cinetică,lucru mecanic elementar) în reperele R, R 0 .Astfel,nXnXp = m k · v k = m k · v 0 k + m · v Ak=1= p 0 + m · v A ,k=1

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 279de unde, conform (2.80), prin derivare în raport cu timpul t, avem·p =nXk=1·p k =nX ¡ ¢F k + F k = Fk=1= ·p 0 +m · a A =Egalitatea µ ∂p0µ ∂p0∂tR 0 + m · a A .= F + m · (−a A )∂tR 0constituie teorema impulsului în reperul cartezian R 0 . Aşadar, derivatarelativă (locală) în raport cu timpul t aimpulsuluitotalp 0 al sistemuluimecanic S este egală cu rezultanta forţelor externe F plus o forţă inerţială(efect al mişcării reperului R 0 în raport cu un sistem de referinţă inerţial).Prin extrapolare, ne vom referi la mărimi vectoriale date ca vectori liberi (p,F )cuapelativulimpuls, forţă rezultantă, etc. Destinaţia finală acalculelorde faţă îngăduie o asemenea lipsă de rigurozitate în terminologie.Formulaà nX!p 0 = d m k · r 0 k = m · ddtdt (r G − r A ) (3.19)k=1= m··AG= m · v 0 Gimplicăµ ∂vm · a 0 0G = m · G= F + m · (−a A ) . (3.20)∂tR 0Relaţiile (3.19), (3.20) constituie teoremele centrului de masă. Eleconferă, în particular, o justificare modelului punctiform al corpurilor materiale(cf. [34], p. 252, [76], p. 526). Sistemul mecanic S se comportă, înconcluzie, ca şi cum ar fi concentrat în centrul său de masă G (cf. [76], p.525, [34], p. 298). Astfel, impulsul total al sistemului mecanic S legat în Gne dă impulsulparticuleiG acărei masă esteegalăcumasaîntreguluisistemşim · −→ a 0 G = −→ F + −→ F i ∈ T G R 3 ,unde −→ F ∈ F , −→ F i ∈ m · (−a A ). Terminologia adoptată pentrumărimile p 0 , Fpoate fi motivată şi prin teoremele centrului de masă.

280 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDImpunând ca A = O în (3.19), respectiv A = G în (3.20), obţinemm · −→ v G ∈ p m· −→ a G ∈ F (3.21)(cf. [32], teoremele 1, 2, p. 80). În lipsa forţelor exterioare (F k =0), m·v G =constant, deci impulsul total al sistemului mecanic se conservă. Fenomene careculul armelor de foc (izbitura în umăr produsă depatulpuştii în momentultragerii) ori mişcarea sistemului nostru solar (observaţia astronomică indicăfaptul că centrul de masă al sistemului solar se mişcă rectiliniu uniform cuaproximativ 20 km/s către un punct aflat în vecinătatea stelei Vega, numitApex) pot fi explicate în acest mod (cf. [34], p. 252, [76], p. 525, [63], p.376-377, [73], p. 390, [2], aplicaţia 1, p. 285-286).Momentul cinetic total, notatL O (S), al sistemului mecanic S verificăegalităţilenXnXL O (S) = r k × p k = m k · (r A + r 0 k) × (v A + v 0 k)Relaţiak=1k=1= m · r A × v A + r A ×+nXm k · r 0 k × v 0 kk=1Ã nXk=1! Ã nX!m k · v 0 k + m k · r 0 k × v Ak=1= m · r A × v A + r A × m · (v G − v A )+m · (r G − r A ) × v A+L 0 A(S)= m · [r A +(r G − r A )] × v A + m · r A × (v G − v A )+L 0 A(S)= m · r G × v A + m · r A × (v G − v A )+L 0 A(S).L O (S) =m · r G × v A + m · r A × (v G − v A )+L 0 A(S) (3.22)constituie prima teoremă aluiV.Vâlcovici(1915) (cf. [34], p. 289).De asemeni,nXnXL A (S) = r 0 k × p k = (r k − r A ) × p kk=1k=1= L O (S) − r A × p= L O (S) − r A × m · v G= L O (S) − m · r A × v G

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 281şi, din (3.22), deducem căL A (S) = m · r G × v A − m · r A × v A + L 0 A(S) (3.23)= m · AG × v A + L 0 A(S)(cf. [34], p. 289).Pentru A = G, (3.22)devineL O (S) =m · r G × v G + L 0 G(S), (3.24)adică momentul cinetic total (absolut) faţădepunctulO al sistemului mecanicS este egal cu momentul cinetic al acestuia în mişcarea (relativă) în jurul centruluide masă G plus un vector liber care, odată legatînO, nedămomentulcinetic al particulei G acărei masă esteegalăcumasaîntreguluisistem(cf.[76], p. 536, [63], p. 391). Acest rezultat constituie prima teoremă aluiS. Koenig (cf.[34],p.260,[14],p.177,[2],p.265).Conform (3.23), rezultă că(A = G)L G (S) =L 0 G(S)(cf. [76], p. 529-530, [34], p. 288). Mărimea L 0 G(S) din (3.24) se mai numeşteşi moment cinetic propriu sau intern (de ”spin”) al sistemului mecanic S (cf.[32], p. 83).Energia cinetică totală, notată E c (S), a sistemului mecanic S are formaRelaţiaE c (S) =nXk=112 m k · v 2 k == 1 2 m · v2 A + v A ·nXk=1Ã nXk=112 m k · (v A + v 0 k) 2!m k · v 0 k +nXk=1= 1 2 m · v2 A + v A · [m · (v G − v A )] + E 0 c(S)= 1 2 m · v2 A + m · v A · (v G − v A )+E 0 c(S).12 m k · v 02kE c (S) = 1 2 m · v2 A + m · v A · (v G − v A )+E 0 c(S) (3.25)

282 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDreprezintă adouateoremă a lui V. Vâlcovici (1929) (cf. [34], p. 290).Pentru A = G, din (3.25) se obţineE c (S) = 1 2 m · v2 G + E 0 c(S), (3.26)adică energia cinetică totală a sistemului mecanic S în sistemul de referinţăR este egală cu energia cinetică acentruluidemasă G înzestrat cu masaîntregului sistem plus energia cinetică relativă (proprie sau internă) a sistemuluiîn mişcarea sa în jurul lui G (cf. [76], p. 544, [34], p. 268). Formula(3.26) desemnează adouateoremăaluiS.Koenig(1751) (cf. [32], p.84, [2], p. 270).Pe baza (2.84) putem scrie cădL Adt=nXk=1ddt (r0 k × p k )=nX £r0k × ¡ ¢ ¤F k + F k − vA × p kk=1Ã nX!nX= r 0 k × F k + r 0 k × F k − v A × pk=1k=1³n −→Fko´= M A : k = 1,n − v A × p(cf. [34], p. 254). Atunci, conform (3.23), avem³n −→Fko´M A : k = 1,n − v A × pşi= dL0 Adt= dL0 Adt= dL0 Adt= dL0 AdtdL 0 Adt+ m··AG ×v A + m · AG× ·v A+ m · (v G − v A ) × v A + m · AG× ·v A+ m · v G × v A + m · AG× ·v A+ m · AG× ·v A −v A × (m · v G )(3.21)= dL0 A+ m · AG× v ·A −v A × pdt+ m · AG× v · ³n −→Fko´A = M A : k = 1,n(3.27)

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 283(cf. [34], p. 299). Pentru A = G, din (3.27) deducem că teorema momentuluicinetic, dL0 Gdt= M G ,seaplicăînmişcarea relativă a sistemului mecanic S înjurul lui G la fel ca în mişcarea absolută a acestuia faţă de un reper inerţial(ca şi cum G ar fifixînR) (cf. [76], p. 537, [63], p. 392).Relaţia (3.27) constituie teorema momentului cinetic în reperul cartezianR 0 (cf. [34], p. 299).În absenţa forţelor exterioare (F k =0), are loc conservarea momentuluicinetic L 0 G. Astfel pot fi explicate o serie de fenomene precum faptul că, înurma săriturii de la trambulină, schiorul ajunge pe pârtie în poziţia dorităori mişcările pe care le facem cu mâinile atunci când suntem în pericol de acădea, etc. (cf. [34], p. 261-262).La fel ca în dinamica punctului material, teorema momentului cineticconduce la teorema ariilor (L. Euler, D. Bernoulli (1746), D’Arcy (1747), cf.[34], p. 257), în care sunt implicate vitezele areolare ale proiecţiilor pe unplan fix aparţinând tuturor particulelor sistemului mecanic.Vom considera, în continuare, că sistemul mecanic S este rigid iar punctulA face parte din constituţia sa. Introducem un nou reper cartezian, R 00 =(A, −→ C ), solidar legat de corpul S şi notăm cu ω vectorul său viteză unghiulară(momentană).Centrul de masă G al solidului rigid S este solidar legat de acesta (cf.[34], p. 291). Într-adevăr, pe baza formulei lui Euler a distribuţiei de viteze,putem scrie căv G = 1 m ·nXm k · v k = 1 m ·k=1= v Q + ω ×à nXk=1= v Q + ω × QG,nXm k · ¡v ¢Q + ω × QM kk=1m km · QM kunde Q reprezintă o particulă oarecare a solidului rigid. Am ţinut seamade faptul că G constituie baricentrul mulţimii {M k : k = 1,n} din SF cuponderile α k = m k · m −1 ,adicăXG =!nXα k · XM k , (∀) X ∈ E 3 .k=1Însă v Q +ω ×QG este chiar viteza de transport a”particulei”G în raport

284 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDcu solidul S, deci,cualtecuvinte,centrulG este în repaus faţă decorpulmaterial solid rigid.Teorema impulsului (3.21) capătă formaF = m · a G = m· v ·G = m · d £vA + ω × AG ¤µdt= m ··vA + ω ··×AG + ω× AGh= m ··vA + ω ·×AG + ω × ¡ ω × AG ¢i(cf. [34], p. 299, [76], p. 564).În ceea ce priveşte lucrul mecanic elementar, avemδW ==nX ¡ ¢F k + F k · (drA + dr 0 k)k=1à nX! à nX! à nX!F k · dr A + F k · dr 0 k + F k · dr Ak=1 k=1k=1+nXF k · dr 0 kk=1= F · dr A + δW 0 ext = F · v A dt + δW 0 ext(cf. [34], p. 302). Însă, cum dr 0 k = v0 k dt =(v k − v A )dt =(ω × r 0 k )dt, obţinemδW 0 ext ===nXF k · dr 0 k =k=1nXF k · (ω × r 0 k) dtk=1nX ¡ ¢nX ¡ω, r0k , F k dt = r0k , F k , ω ¢ dtk=1k=1nX ¡ ¢ ³nr0 −→Fkk × F k · ωdt = MA : k = 1,no´· ωdtk=1= M A (S) · ωdtşi δW = F · v A dt + M A (S) · ωdt = R A (S) · v A dt + M A (S) · ωdt (cf. [34], p.301, [32], p. 111, [76], p. 563, [63], p. 362-363). Am ţinut seama în formulaanterioară defaptulcă atât rezultanta forţelor interioare cât şi momentul

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 285rezultant al sistemului alcătuitdeacesteforţe faţă deunpol,fix saumobil,sunt nule. Practic, spunând că solidul rigid nu are structură internă vomsubînţelege cămărimile R A (S), M A (S) se referănumailaforţele care provindin mediul înconjurător.Teorema energiei cinetice, aplicată punctelor materiale din constituţiasolidului rigid S, neconducelarespectivdE c (S) =nXµ 1d2 m k · vk2 =k=1nX ¡ ¢F k + F k · drk = δW extk=1= F · v A dt + δWext0 µ(3.25)= d m · v A · v G − 1 2 m · v2 A + Ec(S)0= m· v ·A ·v G dt + m · v A· v ·G dt − m · v A· v ·A dt + dEc(S)0= (m · a G ) · v A dt + m· v ·A · (v G − v A ) dt + dEc(S)0(3.21)= F · v A dt + m· v ·A · ¡ω× AG ¢ dt + dEc(S),0dE 0 c(S) =δW 0 ext − m· ·v A · ¡ω× AG ¢ dt, (3.28)formulă carereprezintă teorema energiei cinetice în reperul cartezian R 0(cf. [34], p. 302). Pentru A = G, din (3.28) rezultă că teorema energieicinetice, dE 0 c(S) =δW 0 ext, seaplicăînmişcarea relativă a solidului rigid Sîn jurul centrului de masă G la fel ca în mişcarea absolută aacestuia(faţăde R) (cf. [63], p. 396).Revenind la momentul cinetic L 0 A(S), au loc egalităţileL 0 A(S) ===nXr 0 k × p 0 k =k=1nXr 0 k × [m k · (v k − v A )]k=1nXm k · r 0 k × (ω × r 0 k)k=1Ã nXk=1m k · r 02k!· ω −nXm k · (ω · r 0 k) · r 0 k.k=1Dacă ω = p 1 · i 1 + p 2 · j 1 + p 3 · k 1 ,atunciL 0 A(S) =L 0 1 · i 1 + L 0 2 · j 1 + L 0 3 · k 1 ,

286 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDundeL 0 i =3XI ij · p j , 1 6 i 6 3, (3.29)j=1iar (I ij ) i,j este matricea de reprezentare a tensorului de inerţie −→ I A (S) în R 00(cf. [34], p. 292). Egalităţile (3.29) sunt scrise matriceal⎛ ⎞⎛⎝ L0 1L 0 ⎠2 =[I A (S)] · ⎝ p ⎞1p 2⎠L 0 3p 3(cf. [34], p. 294, [76], p. 587, [32], p. 114, [41], p. 150).Cu ajutorul identităţii lui Lagrange se realizează o reprezentare remarcabilăa energiei cinetice relative, şi anumeE 0 c(S) =nXk=112 m k · (ω × r 0 k) 2 == 1 2 · ω · "Ã nXk=1m k · r 02k= 1 2 · L0 A(S) · ω = 1 2 ·nXk=1!· ω −X16i,j631h2 m k · ω 2 · r 02k − (ω · r 0 k) 2i#nXm k · (ω · r 0 k) · r 0 kk=1I ij · p i · p j(cf. [34], p. 293, [32], p. 112, [76], p. 588, [63], p. 447, [14], p. 177). Dacănotăm cu ∆(A, −→ ω ) dreapta care trece prin punctul A şi are versorul directoru = ω ω ,atunci,cumI ∆(A, −→ ω ) (S) =I 11 · α 2 + I 22 · β 2 + I 33 · γ 2 +2I 12 · αβ +2I 13 · αγ +2I 23 · βγ,unde α = p 1, β = p 2, γ = p 3, deducem căω ω ωE 0 c(S) = 1 2 · I ∆(A, −→ ω ) (S) · ω 2(cf. [32], p. 109, [14], p. 180).Formula E 0 c(S) = 1 2 · L0 A(S) · ω = 1 2 ω · (L0 A(S) · u) = 1 2 ω · L0 ∆(A, −→ ω ) (S)ne conduce la expresia momentului cinetic relativ al solidului S faţă deaxa∆(A, −→ ω )L 0 ∆(A, −→ ω ) (S) =I ∆(A, −→ ω ) (S) · ω

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 287(cf. [32], p. 116).Dacă renunţăm la ipoteza de rigiditate impusă sistemului mecanic S şi oînlocuim cu cea de conservativitate dată deF kl = F kl · M k M l = F kl¡¯¯M k M l¯¯¢· Mk M l(cf. [34], p. 264-265, [32], p. 79), se deduce imediat căF kl · dr k + F lk · dr l = F kl · d M l Mµ k µ 1= −F kl · d2 · M kM 2 1l = −F kl · d2 · ¯¯M k M l¯¯2= −F kl · ¯¯M k M l¯¯ · d ¡¯¯M k M l¯¯¢µZ≡ d F kl¡¯¯M k M l¯¯¢·¯¯M k M l¯¯ · d ¡¯¯M k M l¯¯¢+const.)= dU kl .Mărimea V = −U = −PU kl16k6l6nva reprezenta energia potenţială asistemului conservativ S. Teorema energiei cinetice (aplicată particulelorsistemului) implicădE c = δW = dU + δW ext ,respectivd (E c + V )=δW ext . (3.30)Mărimea E c + V reprezintă energia mecanică (totală) a sistemului conservativ(cf. [34], p. 265, [32], p. 79). În particular, formula (3.30) aratăcă energia mecanică a unui sistem conservativ izolat este constantă (seconservă).Diferenţiala energiei cinetice a unui sistem mecanic S este, aşadar, egalăcu lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare, δW ext , plus lucrul mecanicPelementar al forţelor interne, δW int =n F k · dr k . Aceastăafirmaţie constituieteorema energiei cinetice a unui sistem mecanic oarecare (D.Bernoulli) (cf. [34], p. 263, [32], p. 78). Pe baza principiului acţiunii şireacţiunii, aplicat particulelor din componenţa sistemului S, la fel ca în dinamicapunctului material, se poate arăta că energia (mecanică) pierdutăde sistem (adică, ∆(E c + V )) esteegală cu lucrul mecanic produs de acestaasupra mediului înconjurător (cf. [34], p. 266).k=1

288 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDÎn tehnică, un sistem mecanic S este caracterizat d. p. d. v. al lucruluimecanic de mărimea numită randament (mecanic) (cf. [25], p. 83).3.3.2 Teorema momentului cinetic faţă deoaxă. Odemonstraţie a formulei Huygens-Steiner cu ajutorulteoremei lui V. Vâlcovici (1929). Raza degiraţieSă presupunem că solidul rigid S se roteşte în jurul unei axe fixe ∆(O, −→ ω ),unde ω = ω · u = ·θ ·u. Atunci, din (3.27) rezultă (A = O)·L 0 O (S) =M O (S).Prin înmulţire scalară cuu în ambii membri, deducem cădihL 0 ∆(O,dt−→ ω ) (S)= d h iL 0dtO(S) · u = M O (S) · u= M ∆(O, −→ ω ) (S)= I ∆(O, −→ ω ) (S) · ω ·.Obţinem astfel teorema momentului cinetic faţă deaxa∆(O, −→ ω )I ∆(O, −→ ω ) (S) · ··θ= M ∆(O, −→ ω ) (S) (3.31)(cf. [34], p. 258, [76], p. 593, [32], p. 124), relaţieextremdeutilă în aplicaţiişi care constituie analogul unghiular al legii fundamentale a lui Newton(2.74) (cf. [17], p. 123-124). Din (3.31) se deduce cu uşurinţă proprietateamomentului I ∆(O, −→ ω ) (S) de a fi omăsură ainerţiei la rotaţie manifestată decorpurile solide rigide (cf. [34], p. 259, [73], p. 369). Ca ilustrare elocventă aprincipiului (3.31), un glob pământesc de uz didactic gol pe dinăuntru se varoti mult mai ”repede” şi pe o perioadă detimpmaimare,odatăceafostmişcat, comparativ cu un glob de dimensiuni identice dar plin (cu momentde inerţie mai mare). O serie de probleme interesante (scaunul lui Jukovski,roata lui Prandtl, discul lui Picard, maşina lui Atwood) referitoare la teoremamomentului cinetic faţă deaxaderotaţie (fixă) pot fi citite în [32], p.125-126, [34], p. 275-276, [76], p. 532-533, [17], p. 121, etc.

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 289Figura 3.25 aFigura 3.25 bSe ştie că formula Huygens-Steiner, aplicată sistemului mecanic S, neconduce la egalitateaI ∆ (S) =I ∆ 0(S)+m · £d 2 (∆, ∆ G ) − d 2 (∆ 0 , ∆ G ) ¤ , (3.32)unde ∆ = ∆(O, −→ ω ), ∆ 0 = ∆(A, −→ ω ) şi ∆ G = ∆(G, −→ ω ). Însărelaţia anterioarăpoatefi obţinută şi în mod direct, din (3.25). Într-adevăr, folosindnotaţiile din Figura 3.25 (a, b, c), putem scrie căFigura 3.25 c

290 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDşirespectivAtunci,v A = ω × OA = ω × MA v G = ω × NGv k = ω × N k M k v 0 k = ω × P k M kv 0 G = ω × PG= ω × ¡ NG− NP ¢ = ω × ¡ NG− MA ¢= v G − v A ,v 2 A = |v A | 2 = ω 2 · ¯¯MA¯¯2 = ω 2 · d 2 (∆, ∆ 0 )v 2 k = ω 2 · d 2 (M k , ∆) v 02k = ω 2 · d 2 (M k , ∆ 0 )v 02 G = ω 2 · d 2 (∆ 0 , ∆ G )E c (S) =nXk=112 m k · v 2 k = 1 2 ω2 ·nXm k · d 2 (M k , ∆) = 1 2 I ∆ · ω 2k=1şiE 0 c(S) =nXk=112 m k · v 02k = 1 2 ω2 ·nXm k · d 2 (M k , ∆ 0 )= 1 2 I ∆ 0 · ω2 .k=1Mărimea R gir dată deI ∆ = m · R 2 gir poartă denumirea de rază degiraţiesau de inerţie (cf. [32], p. 110, [63], p. 356, [73], p. 369).De asemeni,v A · (v G − v A ) = ¡ ω × MA ¢ · v 0 G= ¡ ω × MA ¢ · ¡ω× PG ¢= ω 2 · d (∆, ∆ 0 ) · d (∆ G , ∆ 0 ) · cos ]VPU= ω 2 · d (∆, ∆ 0 ) · d (∆ G , ∆ 0 ) · cos β.Teorema lui Pitagora generalizată, aplicată în triunghiul GNP ,şi anumeGN 2 = GP 2 + PN 2 − 2GP · PN · cos α,

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 291unde α = π − β, vaimplicad 2 (∆, ∆ G )=d 2 (∆ 0 , ∆ G )+d 2 (∆, ∆ 0 )+ 2 ω 2 · v A · (v G − v A ) .Formula (3.32) se obţine prin înlocuirea mărimilor corespunzătoare în(3.25). Cazul A = G este tratat în [34], p. 269-270.3.3.3 Solidul rigid cu o axă fixă. Ecuaţia diferenţialăamişcării. Echilibrarea solidului. Axe permanenteşi axe spontane de rotaţie (libere). Principiulinerţiei pentru corpul solid rigid. Pendululfizic. Teoremele lui C. Huygens. Formula pendululuireversibilVom stabili în continuare ecuaţiile de mişcare ale unui corp material solidrigidcareadmiteoaxă fixă. Asemenea situaţii se întâlnesc frecvent în viaţade zi cu zi, un exemplu elocvent fiindoferitdecătre roata de bicicletă, prinsăîn două locuride cadrul acesteia. Păstrând notaţiile penultimei subsecţiuni,alegem drept axă derotaţie (fixă) dreapta Oz. În plus, A = O iar planulOx 00 y 00 al reperului cartezian R 00 coincide cu Oxy (vezi Figura 3.26). Punctelede ”prindere” ale solidului S pe axa ∆ sunt O şi Q. Cuajutorulreacţiunilor(forţelor de legătură) −→ R k este calculat efectul pe care mişcarea corpului materialîl are asupra axei (solidul ”apasă” axa, conform principiului acţiunii şireacţiunii, cu forţele − −→ R k ,cf. [34],p. 452). Aici,ω = ω(t) · k = ω(t) · k 1 ,ω = θ ·(t).Teorema impulsului (v A =0)m ·h ·ω ×OG + ω × ¡ ω × OG ¢i = F + R 1 + R 2 ,unde ω= ·( ∂ω)∂t R 00 = ω ·(t) · k 1 , se proiectează pe axele triedrului Ox 00 y 00 z 00( ω= ·ε): ⎧⎨ −m · (ξ2 00 · ε + ξ1 00 · ω 2 )=F x 00 + R 1,x 00 + R 2,x 00m · (ξ1 00 · ε − ξ2 00 · ω 2 )=F y 00 + R 1,y 00 + R 2,y 00 (3.33)⎩0=F z 00 + R 1,z 00 + R 2,z 00(cf. [34], p. 453, [76], p. 594). Mărimile ξ1, 00 ξ2, 00 ξ3 00 reprezintă coordonatelecentrului de masă G al solidului S (în R 00 ).

292 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDFigura 3.26Teorema momentului cinetic (3.27), şi anumedL 0 Odt³n −→F −→= M O , R1 , −→ o´ ³n −→F −→o´R 2 = M O , R2Ã !∂L 0 O=+ ω × L 0∂tO(S)R 00ne conduce la (OQ = h · k 1 )⎧⎨⎩I 13 · ε − I 23 · ω 2 = L − h · R 2,y 00I 23 · ε + I 13 · ω 2 = M + h · R 2,x 00I 33 · ε = N,(3.34)unde M O ({ −→ F }) =L · i 1 + M · j 1 + N · k 1 .Fireşte, M O ({ −→ R 1 })=0, linia deacţiune a forţei −→ R 1 trecând prin O.Ecuaţia diferenţială care guvernează mişcarea solidului S este ultimaecuaţie din (3.34):µ I ··33· θ= N t, θ, θ·,t> t 0 .căEa putea fi obţinutăşi în mod direct, prin aplicarea legii (3.31), observândM ∆³n −→F ,−→R1 , −→ R 2o´³n −→Fo´ ³n −→R1o´ ³n −→R2o´= M ∆ + M ∆ + M ∆³n −→R1o´ ³n −→R2o´= N + M O · k + M Q · k= N.

şi ½I13 · ε − I 23 · ω 2 = −h · ∆R 2,y 003.3. STATICA ŞI DINAMICA 293Odată cunoscută viteza unghiulară ω = θ, ·mărimile R 2,x 00, R 2,y 00 şi R 1,x 00,R 1,y 00 se determină din (3.34), respectiv (3.33). Mărimile R 1,z 00, R 2,z 00 nu potfi însă calculate. Acest fenomen este în concordanţă cuprincipiul suprimăriiforţelor. Astfel,dacăadăugăm la sistemul { −→ F, −→ R 1 , −→ R 2 } un sistem nul { −→ R 3 , −→ R 4 },unde −→ R 3 ∈ T O R 3 , −→ R 3 ∈ f · k 1 şi −→ R 4 ∈ T Q R 3 , −→ R 4 ∈−f · k 1 , necunoscuteleR 1,z 00, R 2,z 00 vor fi înlocuite cu cantităţile R 1,z 00 + f, R 2,z 00 − f în (3.33), fărăainfluenţa mişcarea (cf. [76], p. 595, [34], p. 454), căci legătura este indestructibilă.În tehnică, sistemul (nedeterminat) de şase ecuaţii cu şaptenecunoscute constituit din (3.33), (3.34) este denumit hiperstatic (cf. [14],p. 192). El devine rezolvabil (determinat, izostatic) dacăfolosim,deexemplu,în locul a două articulaţii sferice O şi Q oarticulaţie sferică O şi unacilindrică Q (cf. [63], p. 402, [14], p. 193).În cazul repausului (ω = ε =0), reacţiunile −→ R 1 , −→ R 2 se numesc statice. Eleverifică formulele⎧⎨⎩0=F x 00 + R1,x st00 + Rst 2,x 000=F y 00 + R1,y st00 + Rst 2,y 000=F z 00 + R1,z st00 + Rst½ 0=L − h · Rst2,y 000=M + h · R2,x st00. (3.35)2,z 00În timpul mişcării, acestora 2 li se adaugă, în general, o serie de termeninenuli (reacţiuni sau solicitări suplimentare dinamice, cf. [76], p. 902):Ri,x din00 = Rst i,x + ∆R 00 i,x 00Ri,z din00 = Rst i,z + ∆R 00 i,zRdin i,y00 = Rst i,y + ∆R 00 i,y 0000, i =1, 2.Din (3.33), (3.34), (3.35) obţinem, prin scădere membru cu membru,⎧⎨ −m · (ξ2 00 · ε + ξ1 00 · ω 2 )=∆R 1,x 00 + ∆R 2,x 00m · (ξ1 00 · ε − ξ2 00 · ω 2 )=∆R 1,y 00 + ∆R 2,y 00⎩0=∆R 1,z 00 + ∆R 2,z 00I 23 · ε + I 13 · ω 2 = h · ∆R 2,x 00(cf. [63], p. 403). Termenii suplimentari descrişi anterior (ca valori numericeabsolute) constituie ”răspunsul” trimis de solidul rigid agentului care2 Acum, mărimile Ri,x st 00, Rst i,y00, Rst i,z00, unde 1 6 i 6 3, suntdefinite chiar de relaţiile(3.35) (cf. [63], p. 402, [34], p. 454, relaţia (18.14)).

294 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDprovoacă mişcarea de rotaţie (axa rotoare Oz), adică expresiaunorforţede inerţie. Înacelaşi timp, ei desemnează unsistemdeforţe inerţiale -datprintr-o forţă centrifugă −→ F i şi un cuplu de moment M i (aici, torsorul forţelorinerţialeestecalculatfaţă depolulG, cf.[76],p.890,903)-,caresereduceîn mod obişnuit (cf. [32], p. 156-157, [76], § 3, p. 890-894).Insistăm pe faptul că asupra corpului material ”intervin” anumite efecte alemişcării sale neinerţiale, sub forma unor forţe aparente, inerţiale. Acestea produc”forţarea” punctelor de legătură O, Q, înarticulaţiile cărora apar forţe reale, deinerţie. Un exemplu simplu se cuvine adus în discuţie. Pe o platformă orizontală(vezi Figura 3.27), perfect lucioasă, este aşezat un corp punctiform legat de axul Oal platformei printr-un fir ”conţinând” un dinamometru (resort gradat). Mişcareacirculară uniformă a platformei produce o anumită întindere (constantă) a resortului.Odată produsă această întindere, corpul punctiform se găseşte în repausfaţă deplatformă. În schimb, mişcarea circulară a particulei este datorată acţiuniiforţei centripete −→ F ∈ T M R 3 , −→ F ∈ F , undeF = m · a abs = −m · Rω 2 · ρ.Datorită inerţiei, corpul punctiform se împotriveşte agentului care tinde să-ischimbe starea mecanică, deci platformei. Cum legătura particulei cu platforma serealizează prin intermediul firului, acesta va ”suporta” efectul inerţiei, fiind întins(tensionat) de forţa −→ F 0 .Forţa −→ F 0 , undeF 0 = −F,glisează de-a lungul firului cu resort până în punctul fix O.Figura 3.27Platforma, văzută careper cartezian, este, evident, neinerţială (putem spunecă, în acest sens, mişcarea circulară esteomişcare neinerţială). În raport cu platforma,corpul punctiform se găseşte în repaus, deşi de el ”trage” forţa −→ F . Aceasta

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 295înseamnă că asupra sa trebuie să mai acţioneze şi o altă forţă, necunoscută nouă.Situaţia a fost întâlnită dejaînsubsecţiunea referitoare la principiul echivalenţei.Forţa necunoscută, fictivă, ”echilibrează” acţiunea (vizibilă pe dinamometru) aforţei centripete −→ F .Easenumeşte inerţială: −→ F c ∈ T M R 3 , −→ F c ∈ F c , undeF c = F 0(cf. [32], p. 203). De aceea, în mod curent, efectul produs de rotaţia axei fixeasupra diferitelor părţi (piese) ale ansamblului particulelor solidului rigid este formalizatprin forţe aparente, inerţiale, pecând”răspunsul” acestor părţi, transmisîn punctele de prindere O, Q, se constituie într-un sistem de forţe reale, ce trebuieluate în calcul de proiectant şi care se numesc forţe de inerţie ( −→ F 0 ). Recomandămcititorului eleganta expunere a subiectului de faţă făcută în [32], p. 200 şi următoarele.Echilibrarea totală (generală) a solidului rigid S are loc atunci când∆R i,x 00 =0 ∆R i,y 00 =0 ∆R i,z 00 =0, i =1, 2.Dacă ξ 001 = ξ 002 =0,adică G ∈ ∆, atunci torsorul forţelor inerţialesereducela cuplul de moment M i (F i =0, M i 6=0). Astfel, deşi corpul material esteechilibrat static (cf. [2], p. 281), prezenţa momentului inerţial va provoca”forţarea” axei de rotaţie ∆, corpul rigid având tendinţa naturală ca, întimpul mişcării, să-şi transforme rotaţiaîntr-orotaţie în jurul uneia dintreaxeleprincipalecentraledeinerţie (cf. [76], p. 903). Pentru I 13 = I 23 =0(dreapta ∆ este axă principalădeinerţie a elipsoidului de inerţie centratîn O) arelocechilibrarea dinamică a solidului rigid S (cf. [63], p. 404).Echilibrarea unui corp material solid rigid se realizează fie prinîndepărtareafie prinadăugarea anumitor mase (cf. [76], p. 904-905, [73], p. 482). Înmod evident, dacă axaderotaţie ∆ este o axă principalăcentralădeinerţie,atunci solidul S va fi echilibrat total (cf. [34], p. 454, [32], p. 129).Suntem interesaţi acum de posibilitatea ca rotaţia rigidului să se realizezefără ca acesta să ”apese” legătura Q. Din (3.33), (3.34) rezultă imediatcă(R 2,x 00 = R 2,y 00 =0)I 13 = I 23 =0 L = M =0.Cu alte cuvinte, dacă i se imprimă corpului material solid rigid o rotaţie( ω(t 0 ) 6= 0) în jurul uneia dintre axele principale de inerţie ale elipsoiduluisău de inerţie centrat în ”punctul de sprijin” O iar momentul rezultant al

296 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDforţelor exterioare este coliniar cu axa de rotaţie, atunci corpul se va roti înjurul acestei axe, care rămâne fixă înspaţiu (cf. [76], p. 595, [34], p. 455).Un asemenea caz are loc atunci când linia de acţiune a rezultantei −→ F treceprin O. Dreapta∆ se numeşte axă permanentă derotaţie (cf. [63], p. 405).Ne punem, în mod logic, întrebarea: se poate ca, în timpul mişcării, corpulmaterial să nu ”apese” nici asupra legăturii O? Răspunsul este afirmativ.Într-adevăr, dacă rigidul este acţionat de un cuplu de forţe (F =0)avândmomentul M O coliniar cu axa de rotaţie (deci, forţele se găsesc într-un planperpendicular pe aceasta) şiatunci reacţiunile disparξ 001 = ξ 002 =0 I 13 = I 23 =0,R i,x 00 = R i,y 00 =0 ∆R i,x 00 = ∆R i,y 00 =0(cf. [76], p. 596). Axa de rotaţie este fixă înspaţiu, dar rigidul S nuacţionează asupraei. Un caz particular esenţial este cel dat de F = 0,M O = 0. Astfel, dacă unui corp material solid rigid liber i se imprimăorotaţieînjuruluneiadintreaxelesaleprincipalecentraledeinerţie iarasupra sa nu mai acţionează nici o forţă (exterioară), corpul îşi va continuamişcarea de rotaţie (devenită uniformă) în jurul acelei axe, care rămâne fixăîn spaţiu (cf. [34], p. 455). Dreapta ∆ poartă denumireadeaxă spontanăderotaţie sau axă liberă (cf. [32], p. 129).Putem formula în acestăsituaţie principiul inerţiei în mişcarea soliduluirigid: dacă un corp material solid rigid este izolat (sistemul forţelor externeeste nul), atunci centrul său de masă G se află înrepaussauînmişcarerectilinie uniformă şi, simultan, rigidul se poate roti uniform la nesfârşit înjurul unei axe principale centrale de inerţie (cf. [32], p. 131, [63], p. 405).Această rotaţie se mai numeşte şi mişcare Euler-Poinsot (cf. [76], p. 686,[34], p. 508).Dacă un corp material solid rigid se roteşte în jurul unei axe principalecentraledeinerţiecarecorespundeunuimomentprincipaldeinerţie extremal(minim sau maxim) în timp ce centrul său de masă (inerţie) stă peloc(cazulcreionului legat cu aţă de un vârf sau al farfurioarei ovale, cf. [32], p. 130) orise deplasează rectiliniu uniform (mişcarea obuzului după A. Krâlov, cf. [76],p. 810-814), atunci mişcarea solidului rigid este stabilă (soluţiile corespunzătoareale ecuaţiilor diferenţialececaracterizeazămişcarea solidului rigid suntstabile în sens Liapunov) (cf. [76], p. 640, 813, [34], p. 485).

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 297Un caz particular esenţial de solid rigid cu o axă fixăîlconstituiependululfizic. Vom considera (în interiorul laboratorului) un sistem de referinţă Ravând axa Ox pe direcţia verticală, în sens descendent (vezi Figura 3.28), întimp ce axa Oz (axa rotaţiei) este paralelă cupodeaua.Solidul rigid este omogen, alcătuitsimetricfaţă de planul vertical Oxy(planul mobil Ox 00 y 00 coincide cu Oxy). Astfel, centrul de masă G se va găsiîn Oxy. Mai mult chiar, alegem dreapta OG ca axă Ox 00 a reperului cartezianR 00 (ξ1 00 > 0). Planul Oxy se mai numeşte şi plan de oscilaţie al pendululuifizic S. Simetria configuraţiei particulelor lui S arată căaxarotaţiei Ozeste axă principalădeinerţie a elipsoidului de inerţie centrat în O, deciI 13 = I 23 =0(cf. [34], p. 457).Teorema impulsului (3.33) devine⎧⎨⎩−m · ξ1 00 · ω 2 = mg · cos θ + R 1,x 00 + R 2,x 00m · ξ1 00 · ε = −mg · sin θ + R 1,y 00 + R 2,y 000=R 1,z 00 + R 2,z 00.Teorema momentului cinetic (3.34) este dată de⎧⎨ 0=−h · R 2,y 000=h · R 2,x 00⎩I 33 · ε = −mg · ξ1 00 · sin θ,căci L = M =0.Ecuaţia diferenţială caredescriemişcarea pendulului fizic este, aşadar,·· mg · ξ00 1θ + · sin θ =0I 33(cf. [34], p. 456, [76], p. 596, [63], p. 406).Figura 3.28

298 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDPendulul matematic introdus de (2.154), unde l = I 33,poartă denumireamξ100de pendul simplu sincron (de lungime l) cu pendulul fizic S (cf. [34], p. 457,[76], p. 597, [63], p. 406).În ceea ce priveşte reacţiunile, R 2,x 00 = R 2,y 00 =0şi⎧⎨⎩R 1,y 00 = mg · sin θ + m · ξ1· 00 θ··R 1,x 00 = −mg · cos θ − m · ξ1· 00 θ·La fel ca în (2.155), avem·θ2= θ1 2 + 2g · (cos θ − cos θ 0 ) ,l·unde θ(t 0 )=θ 0 , θ (t 0 )=θ 1 (datele Cauchy ataşate ecuaţiei diferenţiale).Reacţiunile sunt în acest moment determinate (cf. [76], p. 600-601, [34], p.457).Perioada mişcării (în diverse grade de aproximaţie) se calculează cuformuleleobţinute pentru pendulul simplu, ţinând seama, fireşte, de sincronism(cf. [76], p. 597, [63], p. 406).Formula Huygens-Steiner se scrie în acest caz sub formaÎmpărţind cu m · ξ 001, obţinemI 33 = I ∆G + m · ξ 0021 .l =I ∆ G+ ξ 00m · ξ100 1 = ξ1 00 + l 0 . (3.36)Dreapta ∆ 0 care trece prin punctul O 0 de abscisă x 00 = l şi are vectoruldirector k (paralelă, aşadar, cu ∆ G )poartă denumirea de axă deoscilaţie apendulului fizic S (axa fixă ∆ constituie axa de suspensie a pendulului) (cf.[76], p. 597). Punctele O, O 0 sunt centrul de suspensie, respectic centrul deoscilaţie al acestuia (cf. [63], p. 406).Am stabilit, astfel, inegalitatea2.l>ξ 001. (3.37)Din (3.36) rezultă căl 0 · ξ 001 = I ∆ Gm ,

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 299ceea ce indică posibilitateacamărimile l 0 , ξ1 00 să-şi schimbe rolurile. Maiprecis, dacă ∆ 0 ar fi axa de suspensie, atunci ∆ ar desemna axa de oscilaţie(cf. [34], p. 458). Formula lui Galilei, şi anumes slT =2π ·g =2π · ξ1 00 + l 0(3.38)garată că, în urma inversării ”rolurilor” acestor axe, nu se produce vreo modificarea perioadei mişcării (cf. [32], p. 128). De aceea, axele de suspensieşi de oscilaţie se mai numesc şi reciproce (cf. [34], p. 458). Acest fenomenpoate fi abordat într-un cadru mai general. Dacă ∆ 1 , ∆ 2 sunt două (posibile)axe de suspensie paralele cu podeaua laboratorului (vezi Figura 3.29),atunci, ţinând seama de formula Huygens-Steiner, putem scrie căL i = I ∆ G+ l i ,m · l iunde l i este distanţa de la centrul de suspensie O i la centrul de masă G alsolidului (”fosta” abscisă ξ1), 00 iar L i reprezintă lungimea pendulului simplusincroncupendululfizic suspendat în O i , i =1, 2.Se vede imediat căFigura 3.29L i · l i − li 2 = I ∆ G, i =1, 2,mde unde, prin scădere, avemL 1 · l 1 − L 2 · l 2 = l 2 1 − l 2 2. (3.39)Presupunând că lungimile L i ar fi egale, adică L 1 = L 2not= l,avem(l 1 6= l 2 )l · (l 1 − l 2 )=(l 1 − l 2 ) · (l 1 + l 2 ) ,

300 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDdecil = l 1 + l 2 . (3.40)Cu alte cuvinte, dacă două axe de suspensie paralele, coplanare cu centrulde masă G al solidului rigid, conduc la lungimi egale ale pendulelor simplesincrone corespunzătoare, atunci valoarea comună a acestor lungimi va coincidecu suma distanţelor de la G la axe (cf. [76], p. 599). Formulele(3.37), (3.38) (reciprocitatea axelor), (3.40) desemnează teoremele lui C.Huygens (cf. [34], p. 459).Conform (3.38), putem scrie căg = 4π2 · LTi2 i , i =1, 2,de undeg4π = L 1= L 2 L 1 l 1= L 2l 2= L 1l 1 − L 2 l 2.2 T12 T22 l 1 T12 l 2 T22 l 1 T1 2 − l 2 T22În sfârşit, ţinând seama de (3.39), obţinemg =4π 2 l1 2 − l22 ·l 1 T1 2 − l 2 T22(cf. [34], p. 459). Această formulă este utilizată în determinarea experimentalăamărimii g. CândT 1 , T 2 iau valori apropiate, T 1 w T 2not= T ,găsimg =4π 2 · l1 + l 2,T 2adică formulapendulului reversibil (M. Prony, 1792, H. Kater, 1817) (cf.[76], p. 600, [34], p. 459, [32], p. 128). Alte pendule fizice sunt pendululde torsiune (Weber-Gauss), pendulul lui E. Mach, pendulul profesorului R.Woinaroski (inelar), etc. (cf. [32], p. 127, [34], p. 460-464).3.3.4 Variaţia acceleraţiei gravitaţionale la suprafaţaPământului (devierea firului cu plumb). Deviereaspre est în cădere liberă (efectul Coriolis). Legealui Baer. Pendulul lui L. Foucault”Pot, prin urmare, să calculezceseîntâmplă în realitatea sensibilă, deşi instrumentulcu care calculez este invenţia mea. (Nae Ionescu, Realitate şi concept,[36], p. 74)”

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 301Subsecţiunea de faţă este dedicatăprezentării succinte a unor probe mecaniceclasice privind rotaţia Pământului în jurul axei polilor.Figura 3.30Pământul, imaginat ca un solid rigid sferic, omogen, se roteşte în jurulaxei fixe S − N (vezi Figura 3.30) cu viteza unghiulară dată derelaţiaω =2π86.164(cf. [34], p. 433, [73], p. 329). Detalii de calcul privind mărimea ω pot ficitite în [63], p. 346.Pendulul matematic din Figura 3.31 se află în repaus. Formula (2.132),şi anumem · a rel = F + R − m · a transp − m · a Cor ,unde 3 a transp = ε × r + ω × (ω × r)= ω × (ω × r) =ω × £ ω × ¡ OP + PM ¢¤= ω × ¡ ω × PM ¢ = −ω 2 · PM(cf. [34], p. 427) şi a Cor =2· ω × v rel =0, a rel =0(punctul material M esteîn repaus faţă de laborator, deci faţă deR 00 ), ne conduce la0=G 0 + T + m · ω 2 · PM.3 Se arată uşor că vectorul-viteză unghiulară al mişcării reperului R 00 în raport cu sistemulde referinţă R este chiar ω = ω · k.

302 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDFigura 3.31Forţa −→ G 0 ∈ T M R 3 , −→ G 0 ∈ G 0 ,constituieforţa de atracţie (universală) constantă(datorităsfericităţii şi omogenităţii terestre) manifestată în procesulinteracţiunii gravitaţionale Pământ-corp punctiform. Vectorul −→ F c ∈ T M R 3 ,−→Fc ∈ F c ,undeF c = m · (−a transp ) ,desemnează oforţă inerţială, numită centrifugă (cf. [34], p. 426, [41], p.181).Obţinem egalitateaT + ¡ ¢G 0 + F c =0. (3.41)Vectorul −→ G ∈ T M R 3 , −→ G ∈ G, unde G = G 0 + F c = m · g, estegreutatea(aparentă) a particulei M la suprafaţa Pământului.Introducând, generic, mărimea a grav prin G 0 = m · a grav = −m · a grav·vers OM = −m · a grav · k 1 , proiectăm relaţia (3.41) pe axele triedrului R 00 :½ −m · g · cos α = −m · agrav + m · ω 2 d · cos λ−m · g · sin α = −m · ω 2 d · sin λ.Când λ = α =0(la ecuator), prima dintre ecuaţiile precedente devineµ g(0) = a grav − ω 2 R = a grav 1 − ω2 R.a gravSe ştie că ω2 Ra gravw ( 1 17 )2 = 1 (cf. [76], p. 509, [63], p. 349), deci289g(0) = 288 · a 289 grav. Apoi,tan α =ω 2 d · sin λa grav − ω 2 d · cos λ =ω 2 R · sin λ · cos λa grav · ¡1− 1 · 289 cos2 λ ¢

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 303= 1289 ·= 1 · sin 2λ.578sin λ · cos λ1 − 1 · 289 cos2 λ w 1 · sin λ · cos λ289Indepedenţa mărimii α (pentru λ fixat) de corpul material M, faptuşorde stabilit experimental, justifică echivalenţa dintre masa gravifică şi ceainerţială înmecanicateoretică (cf. [32], p. 183). În plus, pentru sin 2λ =1,adică λ =45 ◦ ,obţinem devierea maximă a verticalei locului (dată defirulcu plumb) faţă derazaPământului OA (cf. [34], p. 435, [32], p. 206). Eaeste α max w 6 0 (cf. [76], p. 508, [63], p. 349). Într-o exprimare spectaculoasăa acestui fenomen, se poate spune că zgârie-noriisuntaşezaţi strâmb pefundaţia lor!Au loc egalităţile1g (λ) =cos α · ¡agrav − ω 2 d · cos λ ¢= a µgravcos α · 1 − 1 289 · cos2 λµw a grav · 1 − 1 289 · cos2 λµ 288= a grav ·289 + 1 289 · sin2 λ= g(0) + a grav289 · sin2 λµ= g(0) · 1+ 1 288 · sin2 λ(cf. [34], p. 436). O formulă maiprecisă esteg(λ) =g 0 ·µ1 − 1 191 · cos2 λ ,unde g 0 =9, 832 m/s 2 (la Pol) (cf. [32], p. 206). A se vedea şi [76], p. 509.Să considerăm acum un alt punct material, notat tot cu M pentru simplitate,care cade liber de la înălţimea h (z 00 = h) pe sol. Din nou,m · a rel = G 0 + F c + m · (−a Cor )=G + m · (−a Cor ) ,

304 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDunde ω = ω·(cos λ·j 1 +sinλ·k 1 ).Mărimea −−→ F Cor ∈ T M R 3 , F Cor = m·(−a Cor ),având denumirea de forţă Coriolis (inerţială), afectează corpurile materialetreptat, odată cucreşterea vitezei lor (faţă de sol) (cf. [34], p. 426, [41], p.181). Pentru a uşura calculul, realizăm aproximareaG = m · g w −m · g(0) · k 1(cf. [34], p. 436). Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării în reperul cartezian R 00devin, aşadar,⎧µ···m· x ⎪⎨00 = −2m · ω · z 00 · cos λ− y ·00 · sin λm· y ··00 ·= −2m · ω· x 00 (3.42)· sin λ⎪⎩m· z ··00 ·= −m · g(0) + 2m · ω· x 00 · cos λ(cf. [63], p. 351). Lor le ataşăm datele Cauchy(x 00 (0) = 0 y 00 (0) = 0 z 00 (0) = h·x 00 (0) = 0·y 00 (0) = 0·z 00 (0) = 0.(3.43)Integrând ultimele două ecuaţii (3.42) în raport cu timpul t, obţinem, pebaza (3.43), ⎧⎨·y 00 = −2ω · x 00 · sin λ·⎩z 00 = −g(0) · t +2ω · x 00 · cos λ.Prin înlocuirea mărimilor y ·00 ·, z 00 în (3.42) ajungem la ecuaţia diferenţialăliniară cuperturbare afină··x 00 +4ω 2 · x 00 =2ω · g(0) · t · cos λ(cf. [34], p. 437). Soluţia sa este dată deAtunci,x 00 (t) = 1 · g(0) · cos λ · (2ωt − sin 2ωt) .4ω2 y 00 (t) = − 18ω 2 · g(0) · sin 2λ · ¡2ω 2 t 2 − 1+cos2ωt ¢z 00 (t) = h − 1 2 · g(0) · t2 · sin 2 λ − 14ω 2 · g(0) · cos2 λ (1 − cos 2ωt) .

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 305Făcând aproximaţiile sin q w q − q3 6 , cos q w 1 − q2 2 ,obţinemx 00 (t) =ω · g(0) · t3 3 · cos λ y00 (t) =0 z 00 (t) =h − 1 2 · g(0) · t2 (3.44)(cf. [34], p. 438, [76], p. 511, [63], p. 352).Timpul de cădere T al punctului material M este dat de relaţia (z 00 (T )=0)decisT =2hg(0) ,sx 00 (T )= 2 3 · ωh · 2h · cos λ.g(0)Formulele (3.44) corespund ordinului de aproximare ω 2 w 0 (De Sparre-Rudzki) (cf. [34], p. 438, [63], p. 352). Acest fenomen constituie deviereaspre est a corpurilor materiale în cădere liberă pe sol (cf. [32], p. 208).Formula de calcul uzuală estex 00 (T )=0, 022 · h 3 2 · cos λ(cf. [76], p. 511). O prezentare extrem de interesantă a calculelor precedentese găseşte în [41], problema 1, p. 182-183.Mai departe, să studiemmişcarea unui corp punctiform M, demasă m,care se deplasează fără frecare pe podeaua laboratorului (planul Ax 00 y 00 ).Atunci,m · a rel = G + N + F Cor= [N − m · g (0)] · k 1 + F Corşi, cum z 00 =0,ecuaţiile de mişcare (3.42) capătă forma⎧··⎪⎨ m· x 00 ·=2m · ω· y 00 · sin λm· y ··00 ·= −2m · ω· x 00 · sin λ⎪⎩·0=−m · g(0) + N +2m · ω· x 00 · cos λ,unde −→ N ∈ T M R 3 , −→ N ∈ N = N · k 1 , desemnează reacţiunea normală apodelei.

306 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDDe asemeni,µ ∂∂tR 00 µ 12 m · v2 rel= m · a rel · v rel= ¡ G + N ¢ · v rel =0(cf. [34], p. 443), căci vectorii v rel şi a Cor , respectiv v rel şi k 1 sunt ortogonali.Astfel, v 2 rel = v2 0.Înbazametodei hodografice, putem scrie căv x 00 = ·x 00 = v 0 · cos β v y 00 = ·y 00 = v 0 · sin β,unde β reprezintă unghiul făcut de vectorii v rel şi i 1 ,cuconvenţia ca unghiulβ să fie pozitiv dacă dreapta-suport a vectorului −→ v rel se obţine printr-o rotaţieîn sens trigonometric (în planul Ax 00 y 00 ) din dreapta-suport a vectorului −→ i 1 ∈T M R 3 , −→ i 1 ∈ i 1 ,şi negativ în caz contrar. Atunci, au loc egalităţile··x 00 = −v 0 · sin β· β··= 2ω· y 00 · sin λ =2ω · v 0 · sin β · sin λ,deci ·β= −2ω · sin λ. Prin integrare în raport cu timpul t rezultă căβ = β 0 − 2ω · t · sin λ,adică β descreşte în emisfera nordică (deasupra planului ecuatorial Oxy),realizându-se o deviere spre dreapta a corpului material în timp ce, în emisferasudică, va exista o deviere spre stânga, corpul punctiform tinzând săse apropie de ecuatorul pământesc (cf. [76], p. 509). Fenomenul anteriorconstituie legea lui Baer (cf. [34], p. 443, [63], p. 351). Se explică în acestfel uzura şinei drepte (respectiv stângi) la şinele de cale feratăcare”merg”dela sud spre nord (respectiv de la nord către sud), săparea malurilor drepte înrâuri (legea lui Baer a fost descoperită în râurile siberiene), devierea alizeelorşi a curenţilor marini (cf. [76], p. 509, [32], p. 206-207, [63], p. 351). Gheţariidesprinşi din calotele polare călătoresc spre sud (în emisfera nordică) şi setopesc, etc.Putem scrie, conform teoremei de derivare a funcţiilor compuse,·x 00 = dx00dβ · ·β·y 00 = dy00dβ · ·β,

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 307de undedx 00dβ = − v 02ω · sin λ · cos β dy 00dβ = − v 0 · sin β.2ω · sin λPrin integrare în raport cu β (β 0 =0, x 00 (β 0 )=y 00 (β 0 )=0), deducem căh[x 00 (β)] 2 + y 00 vi µ 2 20v 0(β)+= .2ω · sin λ 2ω ·|sin λ|Aşadar, mişcarea se desfăşoară peuncerc(vezi Figura 3.32) (cf. [32],problema 10.6, p. 213). Însă raza acestuia este atât de mare încât traiectoriapoate fi confundată cu o dreaptă (tangenta în poziţia iniţialălacerc)(cf. [34],p. 444).Figura 3.32 Figura 3.33Oexperienţă fascinantă a fost realizată în1851decătre L. Foucault,la Paris. Un pendul cu lungime extrem de mare şi masă apreciabilă estefăcut să oscileze în jurul punctului său de suspensie. Forţa Coriolis −−→ F Cor =−2m · −→ ω × −→ v rel se face ”simţită” datorită termenuluim. Ea deviazăspredreapta corpul punctiform M, iar acesta descrie o rozetă (plecânddinAcu viteză iniţială, cf. [32], p. 208) (vezi Figura 3.33). Notând cu −−−−→ F Cor,z 00vectorul-proiecţie al forţeiCoriolispeplanulAx 00 y 00 (practic, planul mişcării,datorită lungimii pendulului, cf. [41], problema 3, p. 183), avem relaţiileF Cor = −2m · (ω × v rel )= −2m · ω sin λ · k 1 × v rel − 2m · ω cos λ · j 1 × v rel= F Cor,z 00 + F Cor,y 00.Se poate arăta că perioada mişcării esteT z 00 = 2πω z 00= 2πω sin λ = 86.164sin λ

308 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID(cf. [34], p. 442). Rotaţia aparentă, în timpul mişcării, are sens inverstrigonometric (opus sensului de rotaţie al axelor planului Ax 00 y 00 dat de ω z 00)(cf. [76], p. 512, [34], p. 442). Experienţe cu pendulul sferic au mai fostfăcute de Viviani la Florenţa (1661) şi de Bartholini (1833), nefiind însăcunoscute de Foucault (cf. [32], p. 209).3.3.5 Solidul rigid cu punct fix. Unghiurile lui Euler.Parametrii Cayley-Klein. Matrice Pauli. Sistemuldiferenţial al lui L. Euler. Mişcarea Euler-Poinsot. Conul polodic şi conul herpolodic. Precesiaregulată. Conul de precesie. Interpretareageometrică a mişcării (L. Poinsot). Polodia şiherpolodia. Ciclul lui Euler. Sistemul diferenţialal lui G. Darboux. Cazul Lagrange-Poisson. GiroscopulSă presupunem căparticulaA din constituţia solidului rigid S coincide, întimpul mişcării acestuia, cu originea O a sistemului de referinţă (vezi Figura3.34).Atunci, poziţia solidului rigid S în sistemul de referinţă R poate fi caracterizatăcu ajutorul a trei parametri θ, ϕ, ψ, numiţi unghiurile lui Euler(cf. [34], p. 468, [63], p. 412, [54], p. 112, [15], p. 69-70). Astfel, unghiuldiedru al planelor de coordonate Oxy şi Ox 00 y 00 este unghiul de nutaţie θ.Dacănotăm cu U, U 0 punctele de intersecţie ale cercurilor mari E, E 1 , atunciunghiul făcut de axa fixă Ox cu dreapta UU 0 reprezintă unghiul de precesieψ. În sfârşit, unghiul făcut de dreapta UU 0 cu axa mobilă Ox 00 constituieunghiul de rotaţie proprie ϕ. Deci, un punct oarecare al solidului rigid, situat,de exemplu, pe axa Ox la momentul iniţial t 0 şi a cărui poziţie este dată,la momentul t, de un punct al axei Ox 00 (defapt, punctul în cauză s-aaflatmereu pe axa Ox 00 ,dar,lamomentuliniţial, axele s-au suprapus), poate firegăsit prin trei rotaţii succesive în sens trigonometric (cf. [54], p. 112):1) o rotaţie în jurul axei Oz având matricea de reprezentare (în Oxyz)⎛D ψ = ⎝cos ψ − sin ψ 0sin ψ cos ψ 00 0 1⎞⎠ ;

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 3092) o rotaţie în jurul axei Ox 00 (devenită, acum, dreapta OU, care se mainumeşte şi linia nodurilor (nodală), cf. [34], p. 465, [41], p. 155, [76], p.628) având matricea de reprezentare (în triedrul dat de OU, OV şi Oz)⎛Dθ = ⎝ 1 0 0 ⎞0 cosθ − sin θ ⎠ ;0 sinθ cos θFigura 3.343) o rotaţie în jurul axei Oz 00 având matricea de reprezentare (în triedruldat de OU, OV 0 şi Oz 00 )⎛cos ϕ − sin ϕ⎞0D ϕ = ⎝ sin ϕ cos ϕ 0 ⎠0 0 1(cf. [54], p. 114-115). Matricea D =D ϕ·D θ·D ψ defineşte rotaţia soliduluirigid S în jurul punctului fix O. Aceasta va fi, evident,orotaţie în juruluneiaxecetreceprinO (cf. [76], p. 621-626, [25], p. 53-57). Detalii privindasemenea transformări pot fi citite în [16], [15], p. 66-69, etc.Găsirea unui set de parametri independenţi care să descrie poziţia soliduluirigid în sistemul de referinţă constituie, în mod evident, o problemă fundamentalăa mecanicii sale. Din acest motiv, ne vom referi succint şi lacaracterizarea poziţiei reperului cartezian R 00 în raport cu R pe baza parametrilorCayley-Klein (cf. [54], p. 116-120). Săconsiderăm (vezi Figura 3.35)un punct M (extremitatea unui versor al axelor de coordonate aparţinândlui R 00 ) situat pe sfera-unitate din E 3 centrată înO. Atunci, proiecţia sastereografică pe planul Oxy este punctul P , unde

310 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDFigura 3.35OP = ξ · i + η · j.Folosind asemănarea triunghiurilor, putem scrie căde unde ξ =x , η =1−zxξ = y η = 1 − z1 ,y . Afixul ζ al punctului P verifică relaţiile1−zζ = ξ + i · η = 1+zx − i · y(cf. [34], p. 192).Orotaţiedeunghiε a solidului rigid S în jurul axei Oz este dată deecuaţiile scalare ⎧⎨ x 0 = x · cos ε − y · sin εy 0 = x · sin ε + y · cos ε⎩z 0 = z.Atunci, ζ 0 = e i·ε · ζ (cf. [54], p. 118, [34], p. 198) şi are loc egalitateaMatriceaζ 0 ei· ε2 · ζ=e −i· ε2µ α βQ ε = =γ δeste asociată transformării omografice (3.45).= δ · ζ + γβ · ζ + α . (3.45)µ e−i· ε2 00 e i· ε2

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 311Orotaţie de unghi ϑ a solidului rigid S în jurul axei Oy are ecuaţiilescalare⎧⎨ x 0 = x · cos ϑ + z · sin ϑy 0 = y⎩z 0 = z · cos ϑ − x · sin ϑ.Astfel, matricea asociată transformării (3.45) esteµ cosϑsinQ ϑ =ϑ 2 2− sin ϑ cos ϑ .2 2În sfârşit, în cazul unei rotaţii de unghi µ în jurul axei Ox a corpuluimaterial S, folosind ecuaţiile scalarededucem că⎧⎨⎩Q µ =x 0 = xy 0 = y · cos µ − z · sin µz 0 = y · sin µ + z · cos µ,µ cosµ2i · sin µ 2i · sin µ 2cos µ 2Componentele α, β, γ, δ din (3.45) reprezintă parametrii Cayley-Klein(cf. [54], p. 119) ai rotaţiei. Modalitatea de introducere a lor aratăcăaceştiasunt unici modulo oconstantămultiplicativă. Putem impune, suplimentar,ca det Q = α · δ − β · γ =1. Astfel, doar trei din parametrii Cayley-Kleinsunt independenţi.Matricele Q ε , Q ϑ , Q µ admit următoarea caracterizare:Q ε = I 2 · cos ε 2 + i · µ −1 00 1.· sin ε 2= I 2 · cos ε 2 + i · σ z · sin ε 2 ;Q ϑ = I 2 · cos ϑ µ 0 −i2 + i · · sin ϑ i 0 2= I 2 · cos ϑ 2 + i · σ y · sin ϑ 2 ;Q µ = I 2 · cos µ µ 0 12 + i · · sin µ 1 0 2= I 2 · cos µ 2 + i · σ x · sin µ 2 .

312 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDMatricele σ x , σ y , −σ z ,numitematrice Pauli (cf. [54], p. 123), îndeplinesccondiţiileσ x · σ y = −i · σ z σx 2 = σy 2 = σz 2 = I 2 .Astfel, folosind notaţiaputem scrie căundee A not=∞Xn=01n! · An , A 0 = I 2 ,A∈ M 2 (C) ,Q ε = e i·ε·S 1Q ϑ = e i·ϑ·S 2Q µ = e i·µ·S 3,S 1 = 1 2 · σ z S 2 = 1 2 · σ y S 3 = 1 2 · σ x(cf. [54], p. 124). Orice rotaţie (finită sau elementară) a solidului rigid Spoate fi caracterizată cu ajutorul unei matrice de formaQ = Q ϑ · Q µ · Q ε(cf. [54], p. 119), deci imaginată ca o compunere de rotaţii succesive în jurulaxelor de coordonate (cf. [76], p. 627, [15], p. 68).Revenind la caracterizarea poziţiei rigidului cu ajutorul unghiurilor luiEuler, au loc relaţiile (vezi Figura 3.36, a, b)⎧⎨⎩vers OU =cosψ · i +sinψ · jvers OV =cos ¡ ¢ ¡ ¢ψ + π 2 · i +sin ψ +π2 · j= − sin ψ · i +cosψ · j,Figura 3.36

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 313respectiv⎧⎨⎩vers OV 0 =cosθ · vers OV +sinθ · kk 1 =cos ¡ ¢ ¡ ¢θ + π 2 · vers OV +sin θ +π2 · k= − sin θ · vers OV +cosθ · k(cf. [34], p. 468).De aici, avem (vezi Figura 3.36, c)⎧i 1 =cosϕ · vers OU +sinϕ · vers OV 0=(cosϕ · cos ψ − sin ϕ · cos θ · sin ψ) · i+(cos ϕ · sin ψ +sinϕ · cos θ · cos ψ) · j⎪⎨+sinϕ · sin θ · kj 1 =(− sin ϕ · cos ψ − cos ϕ · sin ψ · cos θ) · i+(− sin ϕ · sin ψ +cosϕ · cos ψ · cos θ) · j+cosϕ · sin θ · kk 1 =sinθ · sin ψ · i − sin θ · cos ψ · j⎪⎩+cosθ · k.Conform (2.23), obţinem⎧·⎪⎨ p(t) = j 1 ·k 1 = ψ ·· sin θ · sin ϕ+ θ ·· cos ϕ·q(t) = k 1 ·i 1 = ψ ·· sin θ · cos ϕ− θ ·· sin ϕ·⎪⎩r(t) = i 1 ·j 1 = ψ ·· cos θ+ ϕ·(3.46)(3.47)(cf. [34], p. 470, [41], p. 157, [76], p. 629). Relaţiile (3.47) se mai numesc şiecuaţiile cinematice ale lui L. Euler (cf. [25], p. 58, [73], p. 267).Ca şi în cazul solidului rigid cu o axă fixă, notăm cu −→ R reacţiunea introdusădearticulaţia (sferică) O (cf. [62], p. 412). Teorema impulsuluih ·m · ω ×OG + ω × ¡ ω × OG ¢i = F + Rne conduce la ecuaţiile scalare⎧⎪⎨ m · [ξ3· ·q 00 −ξ2· 00 ·r +p · (p · ξ1 00 + q · ξ2 00 + r · ξ3) 00 − ξ1 00 · ω 2 ]=F x 00 + R x 00m · [ξ1· ⎪⎩00 ·r −ξ3· ·p 00 +q · (p · ξ1 00 + q · ξ2 00 + r · ξ3) 00 − ξ2 00 · ω 2 ]=F y 00 + R y 00m · [ξ2· ·p 00 −ξ1· ·q 00 +r · (p · ξ1 00 + q · ξ2 00 + r · ξ3) 00 − ξ3 00 · ω 2 ]=F z 00 + R z 00.

314 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDTeorema momentului cinetic,dL 0 Odtà !∂L 0 O=∂t³n −→F −→o´= M O , RR 00 + ω × L 0 O= M O³n −→Fo´,se proiectează pe axele reperului R 00 sub forma ecuaţiilor scalare⎧⎪⎨⎪⎩I ·p 11· +I ·q 12· +I ·r 13· +q · (I 13 · p + I 23 · q + I 33 · r)−r · (I 12 · p + I 22 · q + I 23 · r) =LI ·p 12· +I ·q 22· +I ·r 23· −p · (I 13 · p + I 23 · q + I 33 · r)+r · (I 11 · p + I 12 · q + I 13 · r) =MI ·p 13· +I ·q 23· +I ·r 33· +p · (I 12 · p + I 22 · q + I 23 · r)−q · (I 11 · p + I 12 · q + I 13 · r) =N.Acest ultim set de ecuaţii nu conţine componentele reacţiunii −→ R ,decireprezintă sistemul de ecuaţii diferenţiale care descrie mişcarea rigidului cupunct fix (cf. [34], p. 471). Introducând mărimile ϕ, ·θ, ·ψ ·din (3.47), obţinemcaracterizarea mişcării solidului rigid prin trei ecuaţii diferenţiale ordinare deordinul al II-lea cu necunoscutele ϕ, θ, ψ (cf. [34], p. 472). Dacă reperulR 00aredreptaxedecoordonatechiaraxeleprincipaledeinerţie ale elipsoiduluide inerţie centrat în O (adică, I ij =0, unde i 6= j), atunci sistemul diferenţialprecedent devine sistemul diferenţial (dinamic) al lui L. Euler⎧⎪⎨⎪⎩A· ·p +(C − B) · qr = LB· ·q +(A − C) · rp = MC· ·r +(B − A) · pq = N(3.48)(cf. [34], p. 472, [76], p. 631, [41], p. 163, [73], p. 451, [63], p. 413),notnotnotunde I 11 = A, I 22 = B, I 33 = C (notaţiile lui Euler) (cf. [34], p. 451).În anumite situaţii, acest sistem poate fi rezolvat direct, apelând la teoriafuncţiilor eliptice, deci fără amaiţine cont de (3.47) (cf. [34], p. 473).Un caz particular al (3.48) apare în mişcarea Euler-Poinsot. Aceastaeste mişcarea solidului rigid S asupra căruia acţioneazăforţa rezultantă −→ F ∈

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 315T O R 3 , −→ F ∈ F .Evident,L, M, N =0, deci (3.48) devine⎧⎪⎨ A· ·p +(C − B) · qr =0B· ·q +(A − C) · rp =0⎪⎩C· ·r +(B − A) · pq =0.(3.49)Înmulţind ecuaţiile (3.49) cu p, q, r, respectiv Ap, Bq, Cr şi integrândapoi în raport cu timpul t suma ecuaţiilor modificate, obţinem½ ¡ddt A · 12 p2 + B · 12 q2 + C · 1r2¢=02A · p 2 + B · q 2 + C · r 2 (3.50)= C 1 = constant,respectiv ½ d£ 1 (A · dt 2 p)2 + 1 (B · 2 q)2 + 1 (C · r)2¤ =02A 2 · p 2 + B 2 · q 2 + C 2 · r 2 (3.51)= C 2 = constant.Constantele din integralele prime (3.50), (3.51) se determinădincondiţiileiniţiale. Ele vor avea formuleleC 1 = H · µ 2 C 2 = H 2 · µ 2(cf. [76], p. 633), mărimile H, µ (µ >0) fiind, la rândul lor, calculate pebaza condiţiilor iniţiale. Se observă imediatcă, dacă notăm cu m 1,2 cel maimic, respectiv cel mai mare dintre momentele A, B, C, atunci³Xm 1 · Hµ 2 = m 1 · A · p2´adică6 X A 2 · p 2 = H 2 µ 2³X6 m 2 · A · p2´= m 2 · Hµ 2 ,m 1 6 H 6 m 2 .Ţinând seama de reprezentarea energiei cinetice relative ca o formă pătraticădecoeficienţi I ij ,avemE 0 c(S) = 1 2 L0 O · ω = 1 2 · ¡A· p 2 + B · q 2 + C · r 2¢(cf. [34], p. 472). Aşadar,C 1 =2· E 0 c(S)

316 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID(cf. [76], p. 634, [63], p. 416). La rândul său, teorema momentului cinetic(3.27),dL 0 ³nO −→F −→o´ ³n −→Fo´= M O , R = M O =0,dtarată că momentul cinetic relativ L 0 O este o direcţie fixă în SF,şi anumeL 0 O = L = constant.Atunci,¯¯L¯¯2 = L 02 O = X L 02i = A 2 p 2 + B 2 q 2 + C 2 r 2 ¯C 2 =(cf.[34],p.472,[76],p.634, [63], p. 416), deci ¯¯L¯¯ = H · µ şiµ = H · µ2H · µ = L0 O (S)¯¯L 0 · ω = ω L0O(S)O (S) ¯¯¯L 0 O¯2(cf. [34], p. 474).Se cuvin făcute, acum, câteva comentarii privind cinematica soliduluirigidcupunctfix. Astfel, axa instantanee ∆ amişcării sale generale treceprin punctul O. Cum punctele de pe axăauovitezădetranslaţie (transport)coliniară cu −→ ω , unde −→ ω ∈ ω, iar această viteză este identică în orice punctal dreptei ∆, deducem căv translaţie = v O =0.Cu alte cuvinte, mişcarea generală a rigidului cu punct fix poatefi imaginată,interpretând formula distribuţiei de viteze, ca o rotaţie instantaneeîn jurul axei ∆, numită axă derotaţie (momentană) (cf. [76], p. 315). Larândul lor, axoidele vor fi suprafeţe conice (conurile lui L. Poinsot) ce poartădenumirea de con polodic în cazul axoidei mobile, respectiv con herpolodicîn cazul axoidei fixe. Viteza de translaţie fiind nulă, mişcarea generală asolidului rigid cu punct fix (mişcarea sferică) se interpretează geometric caorostogolirefără alunecare a conului polodic peste conul herpolodic (cf. [32],p. 105).Ecuaţiile scalare relative şi absolute ale axei de rotaţie instantanee seobţin prin eliminarea parametrului λ fie direct din ecuaţia sa vectorialăOM = ω × v Oω 2 + λ · ω = λ · ω,

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 317fie din (3.13) (A =0, B = M) (cf. [63], p. 228). Astfel, ecuaţiile scalare aleaxei instantanee în reperul R 00 suntx 00p = y00q = z00r(3.52)(cf. [2], p. 181, [76], p. 629-630). Eliminând pe µ din (3.50), (3.51), avemA (A − H) · p 2 + B (B − H) · q 2 + C (C − H) · r 2 =0, (3.53)de unde, conform (3.52), ajungem la ecuaţia conului polodic:A (A − H) · x 002 + B (B − H) · y 002 + C (C − H) · z 002 =0. (3.54)Stabilind o ordine amărimilor A, B, C, cumarfi, deexemplu,A>B>C,conul (3.54) este real doar dacă H ∈ [A, C] (cf. [76], p. 635, [34], p. 474,[63], nota de subsol, p. 417).Atunci, sistemul (3.48) se reduce la⎧⎨⎩A · p 2 + B · q 2 + C · r 2 = H · µ 2A 2 · p 2 + B 2 · q 2 + C 2 · r 2 = H 2 · µ 2B· ·q +(A − C) · rp =0(3.55)(cf. [76], p. 634). Primele două ecuaţii permit reprezentarea componentelorp, r ca funcţii de q:p 2 =unde (f, g>0)B (B − C)A (A − C) · ¡f 2 − q 2¢ r 2 B (A − B)=C (A − C) · ¡g 2 − q 2¢ , (3.56)f 2 not=H (H − C)B (B − C) · µ2g 2 not=H (A − H)B (A − B) · µ2(cf. [34], p. 475, [76], p. 635). Prin scădere,g 2 − f 2 = µ 2 ·H (A − C) · (B − H) .B (B − C)(A − B)

318 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDÎn concluzie,q 2 6 min{f 2 ,g 2 } sgn (g 2 − f 2 )=sgn (B − H) .Să presupunem că B>H>C.Cumg 2 >f 2 , q 2 6 f 2 şir 2 >= µ 2 ·B (A − B)C (A − C) · ¡g 2 − f 2¢H (B − H)C (B − C) > 0,deducem că r(t) nu îşi schimbă semnulîntimpulmişcării (proprietatea luiDarboux).Ultima ecuaţie din (3.55) devinerdq (A − B)(B − C)dt = ± · p(fAC2 − q 2 ) · (g 2 − q 2 ). (3.57)Semnul din faţa radicalului se fixează lamomentuliniţial (cf. [34], p.not476). Într-adevăr, dacă r 0 = r(t 0 ) > 0, atuncir(t) > 0 în orice moment t.Deci sgn rp = sgn p. Dinecuaţia diferenţială (3.55) rezultă căsgn ·q= −sgn pr = −sgn p.Pentru p 0 = p(t 0 ) < 0, funcţia q(t) va creşte odată cucreşterea lui t(adică, semnul este ”+”).Prin separarea variabilelor în (3.57) obţinemt − t 0 = ±sAC(A − B)(B − C) ·Zq(t)q 0dsp(f2− s 2 ) · (g 2 − s 2 ) ,unde q 0 = q(t 0 ).Reprezentarea lui p ca funcţie de q (3.56) ne conduce la formulap 2 +B (B − C)A (A − C) · q2 =B (B − C)A (A − C) · f 2 = constant,

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 319ceea ce arată că ”punctul” (p, q) se mişcă peoelipsă (cf. [34], p. 475). Înparticular, funcţia q = q(t) este periodică, având perioada (k >0)sT = 2AC(A − B)(B − C) ·Z f−fsAC= 2k ·(A − B)(B − C) ·=r4B − C · AC · H − CA − H ·dsp(f2− s 2 ) · (g 2 − s 2 )Z 1−1Z 10dαp(1 − α2 ) · (1 − k 2 · α 2 )dαp(1 − α2 ) · (1 − k 2 · α 2 ) ,unde k 2 = f 2g 2 (cf. [34], p. 476, [76], p. 635-636, [63], p. 418, [41], p.168). Aşadar, conform (3.56), funcţiile p, q, r sunt periodice, având perioadacomună T .Odată determinate mărimile p(t), q(t), r(t), ne întoarcem la sistemul(3.47). Mişcarea Euler-Poinsot fiind caracterizată prin conservarea momentuluicinetic relativ, putem alege ca direcţie a axei (fixe) Oz vectorul L. Din(3.46) avem(cf. [34], p. 469). Deci,k = ¯L¯L¯¯ = L0 1H · µ · i 1 + L0 2H · µ · j 1 + L0 3H · µ · k 1 (3.58)sin ϕ · sin θ = A · pH · µ= A · pH · µ · i 1 + B · qH · µ · j 1 + C · rH · µ · k 1= ¡ k · i 1¢· i1 + ¡ k · j 1¢· j1 + ¡ k · k 1¢· k1= sinϕ · sin θ · i 1 +cosϕ · sin θ · j 1 +cosθ · k 1Conform (3.47), putem scrie că·ψ · sin θ = ·=sin θ · cos ϕ = B · qH · µψ · sin θ · ¡sin 2 ϕ +cos 2 ϕ ¢µ p− θ ·· cos ϕ · sin ϕ +cos θ = C · rH · µ . (3.59)µ q+ θ ·· sin ϕ · cos ϕ

320 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDDe asemeni,= p · sin ϕ + q · cos ϕ1=H · µ · A · p2 + B · q 2.sin θ(sin ϕ · sin θ) 2 +(sinθ · cos ϕ) 2 = sin 2 θ (3.60)=1H 2 · µ · ¡A 2 · p 2 + B 2 · q 2¢ ,2de unde· A · p 2 + B · q 2ψ= H · µ ·A 2 · p 2 + B 2 · q = H · µ · H · µ 2 − C · r 22 H 2 · µ 2 − C 2 · r > 0. 2La fel,·ϕ = r− ψ ·H · µ 2 − C · r 2· cos θ = r − C · r ·H 2 · µ 2 − C 2 · r 2= H · µ2 · (H − C)H 2 · µ 2 − C 2 · r 2 · r.·În particular, ψ (t + T )= ψ · ·(t), ϕ (t + T )= ϕ ·(t) şi sgn ϕ ·(t) =sgnr(t) =sgn r 0 =1(cf. [34], p. 477). Prin integrare în raport cu timpul t,avemψ(t + T )=ψ(t)+constantϕ(t + T )=ϕ(t)+constant.Din (3.59) reiese că funcţia cos θ(t) este pozitivă (considerăm r 0 > 0) şiadmite perioada T ,adică(θ(t 0 ) ∈ [0, π))³θ(t) ∈ 0, π ´, θ(t + T )=θ(t) sinθ(t + T )=sinθ(t).2Astfel, funcţiile sin ϕ(t), cos ϕ(t) admit perioada T , deciϕ(t + T )=ϕ(t) ± 2n · π, (3.61)unde n ∈ N ∗ ,şi, cum ϕ(t) este crescătoare, rezultă că ϕ(t + T )=ϕ(t)+2nπ.De asemeni, ·ψ> 0, deciψ(t + T )=ψ(t)+C 3 ,

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 321unde C 3 > 0 (cf. [34], p. 477). Aşadar, axa Oz 00 execută în jurul axei fixeOz o mişcaredeprecesieşi o mişcaredenutaţie şi, în acelaşi timp, solidulrigid se roteşte în jurul axei Oz 00 . Conform (3.61), revenirii axei instantaneeîn poziţia iniţială (în raport cu R 00 !) îi corespunde măcar orotaţie completăa rigidului în jurul axei Oz 00 .Cumsgn ϕ= ·sgn r 0 ,rotaţia proprie a rigiduluise realizează într-un singur sens pe parcursul mişcării (cf. [34], p. 478).Săanalizăm acum cazul H ∈ {A, B, C}. Astfel,dacă H = C, cumA−H,B − H>0, deducem căp(t) =q(t) =0şi, conform celei de-a treia ecuaţii din (3.49), r(t) =r 0 . Deci ω = r 0 · k 1 .Deoareceµ dω ∂ωdt = + ω × ω = r ·0 ·k 1 =0,∂tR 00deducem că axa de rotaţie instantanee are o direcţie fixă înSF. Cum A ·p 2 0 +B ·q0 2 +C ·r0 2 = C ·r0 2 = H ·µ 2 , A 2 ·p 2 0 +B 2 ·q0 2 +C 2 ·r0 2 = C 2 ·r0 2 = H 2 ·µ 2şi impunem ca r 0 > 0, vomavear 0 = µ, respectiv cos θ = C·r =1. DatăH·µfiind regularitatea funcţiei θ = θ(t), dinθ(t) ∈ {2kπ : k ∈ Z} rezultă că,pe baza proprietăţii lui Darboux, θ(t) =constant =2k 0 π.Aşadar, axa Oz 00 ,care este chiar axa de rotaţie (momentană) a rigidului şi, în acelaşi timp, axăprincipală deinerţie a elipsoidului de inerţie centrat în O, vacoincidecuaxafixă Oz. Solidul execută orotaţie uniformă în jurul unei axe principale deinerţie, care rămâne fixă înSF chiar dacă este fixată doar în punctul O.Subcazul H = A (p 0 > 0) conduce la o rotaţie uniformă în jurul axei Ox 00 ,fixă înSF (cf. [34], p. 479). În subcazul H = B (q 0 > 0), de asemeni, seproduce o rotaţie uniformă asoliduluirigidS în jurul axei Oy 00 ,carerămânefixă înSF. Singura deosebire faţă deprimeledouă subcazuri constă în aceeacă mişcarea de rotaţie este instabilă (cf. [34], p. 480, [41], problema 2, p.172).Să presupunem acum că A = B 6= C, H/∈ {A, B, C}. Acest caz are loc,în particular, pentru solidul rigid omogen, cu axa de simetrie Oz 00 ,careestecorp de rotaţie în jurul axei Oz 00 (cf. [34], p. 486, [76], proprietatea ε), p.583). Avem ½ A · (p 2 + q 2 )+C · r 2 = H · µ 2A 2 · (p 2 + q 2 )+C 2 · r 2 = H 2 · µ 2şi, prin rezolvarea sistemului cramerian cu necunoscutele p 2 +q 2 , r 2 ,obţinemp 2 + q 2 = H · µ2 · (C − H)A · (C − A)r 2 = H · µ2 · (H − A).C · (C − A)

322 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDRegularitatea lui r(t) implică, în baza proprietăţii lui Darboux,r(t) =r 0 , t > t 0 .Atunci, din (3.59) rezultă că cos θ(t) =constant, deci θ(t) =θ(t 0 ) not= θ 0 .Apoi,·ψ = H · µ ·= H · µA·ϕ = r− ·=H · µ 2 − C · r 2H 2 · µ 2 − C 2 · r = H · µ · A · (p2 + q 2 )2 A 2 · (p 2 + q 2 )ψ · cos θ = r 0 − ψ ··C · r 0H · µ· r 0 .µ1 − C AÎn sfârşit, apelând iarăşi la (3.59), avem½ p(t) =H·µH·µ· sin ϕ · sin θ =AAq (t) = H·µH·µ· sin θ · cos ϕ =AA· sin θ 0 · sin ϕ (t)· sin θ 0 · cos ϕ (t)şi, prin integrare în raport cu timpul t, găsim formulaµϕ(t) = 1 − C · r 0 t + ϕ 0A(cf. [34], p. 487, [76], p. 670-671, [41], p. 163, [63], p. 430), corespunzătoareunei rotaţii proprii uniforme.Axa de rotaţie instantanee ∆ are direcţia ω, undeω = p(t) · i 1 + q(t) · j 1 + r(t) · k 1(3.47)= ψ ··(sin θ · sin ϕ · i 1 +sinθ · cos ϕ · j 1 +cosθ · k 1 )+ θ ··(cos ϕ · i 1 − sin ϕ · j 1 )+ ϕ ··k 1 .Pe Figura 3.36 c) se vede căvers OU =cos(2π − ϕ) · i 1 +sin(2π − ϕ) · j 1 =cosϕ · i 1 − sin ϕ · j 1 .

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 323Utilizând figurile 3.36 a), b), regăsim formula (3.58), şi anume³ π θ´³k = cos2 − · vers OV 0 π θ´+sin2 − · k 1(cf. [34], p. 469), de unde= sinθ · vers OV 0 +cosθ · kh ³ 1π ϕ´ ³ π ϕ´ i= sinθ · cos2 − · i 1 +sin2 − · j 1+cosθ · k 1= sinθ · sin ϕ · i 1 +sinθ · cos ϕ · j 1 +cosθ · k 1Figura 3.37ω = ψ ··k+ θ ··vers OU+ ϕ ··k 1= ω 1 + ω 2 + ω 3

324 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID(cf. [34], p. 470, [76], p. 628, [63], p. 229-231). Această descompunere avectorului-viteză unghiulară instantanee este în acord cu imaginarea mişcăriisolidului rigid cu punct fix ca o compunere a trei rotaţii (în jurul axei fixeOz - precesia, în jurul liniei nodurilor OU - nutaţia, în jurul axei mobile Oz 00- rotaţia proprie). Aici, ω = ω 1 + ω 3 (mişcarea de nutaţienuseproduce).În concluzie, are loc o rotaţie a axei mobile Oz 00 în jurul axei fixe Oz (veziFigurile 3.37, 3.38), viteza unghiulară a planului Θ fiind d (ψ − π)= ψ=·dt 2constant (cf. [34], p. 487), concomitent cu o rotaţie proprie uniformă ( ϕ=·constant) a corpului material în jurul axei Oz 00 . Spunem că solidul rigid Srealizează omişcaredeprecesieregulată(uniformă) (cf. [76],p. 641,[41],p. 151) în care axa mobilă Oz 00 descrie o suprafaţă conică în jurul axei Oz,numită con de precesie (cf. [76], p. 646, [63], p. 431, [14], p. 203).Figura 3.38Elipsoidul de inerţie centrat în punctul O al solidului rigid S are ecuaţiaA · x 002 + B · y 002 + C · z 002 =1. (3.62)

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 325Am ţinutcontdefaptulcă axele reperului R 00 sunt chiar axele sale principalede inerţie. Cosinuşii directori ai versorului u al axei instantanee ∆ înraport cu baza C suntα = p(t) β = q(t) γ = r(t)ωω ω .Atunci, I ∆ (S) =I 11 · α 2 + I 22 · β 2 + I 33 · γ 2 = 1 · (A · p 2 + B · q 2 + C · r 2 ).ω 2De aici rezultă că, pe de o parte,µ 2 µ 2 µ 2 pA ·ω · √I q+ B ·∆ ω · √I r+ C ·∆ ω · √I =1,∆ceea ce înseamnă că punctele M 1,2 având raza vectoareOM 1,2 = ± 1 √I∆· ωωconstituie punctele de intersecţie ale axei instantanee ∆(t) cu elipsoidul(3.62).Pe de altă parte,I ∆ (S) = 1ω 2 · H · µ 2 ,deciOM 1,2 = ± 1µ · √H · ω(cf. [34], p. 481).Planul tangent la elipsoidul de inerţie(3.62)înM 1 se obţine prin dedublare(cf. [65], p. 171, [75], p. 69, [49], p. 146), adică areecuaţiaA ·p(t)µ · √H · x00 + B ·Direcţia normală pe acest plan esteq(t)µ · √H · y00 + C ·r(t)µ · √H · z00 =1.pn = A ·µ √ H · i q1 + B ·µ √ H · j r1 + C ·µ √ H · k 1 = 1µ √ H · L,deci odirecţie fixă înSF. De asemeni, distanţa de la punctul O la planultangent respectiv are formulad =1r P ³A·pµ·√H´2= µ · √HpPA2 · p 2 = 1 √H

326 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID(cf. [65], p. 74, [75], p. 39, [49], p. 90). Mărimile n, d fiind constante,cum punctul O este fix, deducem că planul tangent la elipsoidul de inerţieal solidului rigid S într-unul din punctele de intersecţie ale acestuia cu axainstantanee de rotaţie ∆ este fix (cf. [34], p. 481, [76], p. 637). Elipsoidulde inerţie fiind ”lipit” de corpul material, putem formula următoarea interpretaregeometrică remarcabilă (L. Poinsot, 1834) a mişcării sale: solidulrigid cu punct fix semişcă înspaţiu astfel încât, în timpul mişcării, elipsoidulsău de inerţie centrat în punctul fix să se rostogolească şi să pivotezepe un plan fix Π, dedirecţie normală L, aflat la distanţa √ 1Hde punctul fix(vezi Figura 3.39). Punctul de ”contact” M 1 neavând viteză detranslaţie,mişcarea se produce fără alunecare (cf. [76], p. 636-637, [34], p. 481, [63], p.420).Deoarece axa instantanee ∆(t) se mişcă, în general, în raport cu solidulS, punctele M 1,2 vor trasa două curbe pe elipsoidul de inerţie (3.62). Acesteaconstituie intersecţia conului polodic cu elipsoidul de inerţie, fiind, aşadar,ramuri ale unei curbe algebrice de ordinul al IV-lea, numită polodie. Întimpul mişcării corpului material, elipsoidul de inerţie va descrie o curbă înplanul Π, ”urmând” traiectoria punctului M 1 . Aceasta poartă denumirea deherpolodie. Luând în discuţie şi planul tangent în M 2 la elipsoidul de inerţie(3.62) (simetricul lui Π faţădeO), pe care elipsoidul traseazăocurbăidenticăherpolodiei, putem spune că herpolodia (cu ambele ramuri) este intersecţiaelipsoidului de inerţie al solidului S cu conul său herpolodic (cf. [63], p.420). Într-adevăr, dacă alegem ca direcţie a axei fixe Oz vectorul L, atunciplanul Π este paralel cu planul de coordonate Oxy, deci traiectoria mobiluluiM 1 nu este nimic altceva decât intersecţia planului Π cu o pânză aconuluiherpolodic. Detalii privind aceste curbe pot fi citite în [34], p. 482-487, [76],p. 637-639.Figura 3.39

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 327Relaţia A > B>Cne conduce laA · ¡x 002 + y 002 + z 002¢ > 1 > C · ¡x 002 + y 002 + z 002¢ ,unde x 00 , y 00 , z 00 sunt coordonatele punctului M 1 în R 00 . Astfel, cuminf d(O, M 1 ) 6 d 6 sup d(O, M 1 ),regăsim inegalitatea A > H > C (cf. [34], p. 481, [76], p. 637).Încheiem discuţia privitoare la mişcarea Euler-Poinsot a solidului rigidreferindu-ne la mişcarea Pământului în jurul Soarelui. Astfel, dacăPământular fi un elipsoid de rotaţie omogen al cărui centru de masă O se deplaseazăîn jurul Soarelui pe elipsa stabilită de legile lui J. Kepler (această traiectoriepoartă numeledeecliptică) iarforţele exterioare (de atracţie gravitaţională)s-arreducelaoforţă rezultantă acărei linie de acţiune trece prin centrul O,atunci mişcarea Pământului în jurul unui triedru de coordonate cu origineaîn O şi axele de direcţii fixe (îndreptate către trei stele considerate ca fixe, cf.[34], p. 429) va fi omişcare de precesie regulată. Aici, θ 0 =23 ◦ , 27 0 , C>A,1 − A = 1 (cf. [76], p. 675). CumC 306p(t) =P · sin (n · t + ϕ 0 ) q(t) =Q · cos (n · t + ϕ 0 ) r(t) =r 0 ,unde P = H·µ · sin θ A 0, Q = H·µ · cos θ A 0, n = ¡ 1 − A¢ C · r0 ,obţinem că axainstantanee ∆(t) revine în poziţia iniţială (faţă dereperulR 00 , realizând odescriere completă a conului polodic, cf. [76], p. 676) după T = 2π momente.|n|Mărimea T reprezintă 305 zile medii solare. În astronomie, ea este cunoscutădrept ciclul lui Euler (cf. [76], p. 671).Calculelecareurmeazăprivescmişcarea solidului rigid S cu punct fix subacţiunea greutăţii sale. O asemenea situaţie a fost deja întâlnită lapendululsferic. Astfel, ansamblul format din firul inextensibil şi lipsit de masă şicorpul punctiform se va comporta ca un solid rigid cu centrul de masă înpoziţia curentă a punctului material suspendat. Tensiunea în fir aredreptcorespondent forţa de legătură (staticăşi dinamică), ”transmisă” de punctulfix al rigidului, şi anume punctul de suspensie al pendulului. Am explicatanterior că firul funcţionează înipoteza rigidităţii, asigurând un caracterde vector glisant tensiunii −→ T . Vom presupune că axafixă Oz desemneazăverticala ascendentă a locului, adică G = m · g = −mg · k. Atunci, conform(3.58), avemG = −mg · ¡γ ¢· i 1 + γ 0 · j 1 + γ 00 · k 1 ,

328 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDunde γ =sinθ · sin ϕ, γ 0 =sinθ · cos ϕ, γ 00 =cosθ (cf. [34], p. 488), deciputem scrie căundeM O³ −→G´= L · i 1 + M · j 1 + N · k 1 ,L = mg · (ξ3 00 · γ 0 − ξ2 00 · γ 00 ) M = mg · (ξ1 00 · γ 00 − ξ3 00 · γ)N = mg · (ξ2 00 · γ − ξ1 00 · γ 0 ) .Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării sunt date de (3.48), (3.47). Teorema energieicinetice (3.28) în reperul R 0 =(O, −→ B ) (coincide cu sistemul de referinţăR) are formula·1dEc(S) 0 = d2 · ¡A 2¢¸· p 2 + B · q 2 + C · r= δWext 0 = G · d OG= −mg · k · d ¡ ξ1 0 · i + ξ2 0 · j + ξ3 0 · k ¢= −mg · k · ¡dξ1 · i + dξ 2 · j + dξ 3 · k ¢= −mg · dξ 3 .Am notat, sugestiv, cu ξ i , ξi, 0 ξi00 coordonatele centrului de masă G alsolidului S în reperele R, R 0 , R 00 . Evident, ξ i = ξi,unde1 0 6 i 6 3. Cumξ 3 = OG · k = k · (ξ1 00 · i 1 + ξ2 00 · j 1 + ξ3 00 · k 1 ),avemξ 3 = γ · ξ1 00 + γ 0 · ξ2 00 + γ 00 · ξ300(cf. [34], p. 489).Integrând în raport cu timpul t ecuaţiad·1dt 2 · ¡A· p 2 + B · q 2 + C · r 2¢ ¸+ mg · (γ · ξ1 00 + γ 0 · ξ2 00 + γ 00 · ξ3)00=0,ajungem la cea dintâi integrală primă algebrică înp, q, r, γ, γ 0 , γ 00 aproblemei,şi anumeA · p 2 + B · q 2 + C · r 2 +2· mg · (γ · ξ 001 + γ 0 · ξ 002 + γ 00 · ξ 003) =h 1 ,unde h 1 este o constantă care depinde de condiţiile iniţiale.

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 329Teorema momentului cinetic faţă deaxafixă Oz ne conduce lad³n −→G, −→o´dt [L0 z (S)] = M z R³n −→Go´ ³n −→Ro´= M z + M z =0deoarece forţele −→ G , −→ R au liniile de acţiune coplanare cu dreapta Oz. Prinintegrare în raport cu timpul t obţinemoadouaintegrală primă algebricăîn p, q, r, γ, γ 0 , γ 00 ,căciL 0 z (S) =L 0 O(S) · k = Ap · γ + Bq · γ 0 + Cr · γ 00 .Mai precis,A · p · γ + B · q · γ 0 + C · r · γ 00 = h 2 ,unde h 2 este o constantă depinzând de condiţiile iniţiale ale problemei, adicăde (ψ(t0 )=ψ 0 θ(t 0 )=θ 0 ϕ(t 0 )=ϕ 0··(3.63)ψ (t 0 )=ψ 1·θ (t0 )=θ 1 ϕ (t 0 )=ϕ 1(cf. [34], p. 472).O a treia integrală primăalgebricăînp, q, r, γ, γ 0 , γ 00 este dată chiar deforma particulară amărimilor γ, γ 0 , γ 00 :γ 2 + γ 02 + γ 002 =1(cf. [76], p. 653).Problema determinării soluţiilor sistemului de ecuaţii diferenţiale (3.48),(3.47) cu condiţiile iniţiale arbitrare (3.63) este complicată. Un caz particularal său îl constituie mişcarea Euler-Poinsot. Aici,ξ1 00 = ξ2 00 = ξ3 00 =0,adicăcentrul de masă G coincide cu punctul fix O al solidului rigid. Un comentariusecuvinefăcutîn acest moment. Rezolvarea, în mod independent, asistemului diferenţial al lui L. Euler (3.49) permite stabilirea direcţiei axeiinstantanee ∆(t)ω = p(t) · i 1 + q(t) · j 1 + r(t) · k 1şi obţinerea anumitor informaţii privind mişcarea mecanică arigidului. Totuşi,în afara unor situaţii excepţionale, integrarea sistemului diferenţial (3.47)nu poate fi înfăptuită. Într-adevăr, un calcul simplu arată căaulocrelaţiile⎧⎨⎩dγ= r(t) · dt γ0 − q(t) · γ 00dγ 0= p(t) · γ 00 − r(t) · γ(3.64)dtdγ 00= q(t) · γ − p(t) · γ 0 dt

330 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID(cf. [76], p. 652). Însă γ, γ 0 , γ 00 sunt coordonatele vectorului fix k în reperulmobil R 00 , ceea ce permite scrierea vectorială a sistemului (3.64) sub formaµ ∂k= −ω(t) × k.∂tR 00Justificarea formulelor (3.64) plecând de la scrierea lor vectorială se bazeazăpe(2.31). Cumω este vectorul-viteză unghiulară instantanee al reperuluiR 00 în mişcareasafaţă de reperul R, avemω 21 = ω. Atunci, vectorul vitezăunghiularăinstantanee al reperului R în mişcarea faţă dereperulR 00 va fiω 12 = −ω. Însfârşit, derivata ”absolută” a vectorului k (în R 00 ) se scrieµ µ ∂k∂k= + ω 12 × k∂tR∂t00 R= dkdt + ω 12 × k= [−ω(t)] × k(cf. [76], p. 650).Sistemul diferenţial (3.64) este cunoscut sub numele de sistemul diferenţialal lui G. Darboux (cf. [34], p. 498). S-a demonstrat că integrarea sapresupune rezolvarea unei ecuaţii de tip Riccati, ceea ce nu este posibil atuncicând nu ştim măcar o soluţie particulară (cf. [34], p. 190-194). În concluzie,putem afirma că integrarea ecuaţiilor de mişcare în cazul Euler-Poinsot nuse realizează complet (cf. [76], p. 655).Reducerealacvadraturiarezolvării sistemului diferenţial (3.48), (3.47)cu condiţiile iniţiale (3.63) are loc dacă, în afara celor trei integrale primedeja introduse, se mai cunoaşte o a patra integrală primăalgebricăînp, q,r, γ, γ 0 , γ 00 care să nuconţină timpul t în mod explicit. O justificare aacestui fapt, bazată peforma simetrică a sistemelor diferenţiale ordinare şipe teoria factorului integrant, poatefi citită în [76], p. 653-655. H. Poincaréaarătat că, în ipoteza existenţei celei de-a patra integrale prime algebriceîn p, q, r, γ, γ 0 , γ 00 , vom avea, în mod necesar, sau ξ1 00 = ξ2 00 = ξ3 00 = 0sau A = B. Astfel, dacă A = B, ξ1 00 = ξ2 00 =0, ξ3 00 6= 0(cazul Lagrange-Poisson) ori A = B =2C, ξ3 00 =0(cazul S. Kovalevskaia, 1888), ecuaţiile demişcare se integrează complet. În 1908, E. Husson demonstrează că acestesituaţii sunt singurele în care, în condiţii iniţiale arbitrare, existăoapatraintegrală primăalgebricăînp, q, r, γ, γ 0 , γ 00 (cf. [34],p. 499,[76],p.

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 331656). Impunând restricţii condiţiilor iniţiale, s-au găsit şi alte cazuri deintegrabilitate completă: Hess, Goreacev-Ciaplâghin, Bobilev-Steklov, etc.(cf. [76], p. 656-658).Revenind la sistemul diferenţialalluiG.Darboux,adevenitclardecespuneam că, în cadrul cinematicii, vectorul-viteză unghiulară instantaneeω(t) al mişcării unui reper oarecare R 0 faţă desistemuldereferinţă R caracterizeazăîntr-o anumită măsură mişcarea în cauză. Căci, pe baza sa putemrealiza interpretări ale mişcării mecanice însă nuodescriere a acesteia, faptechivalent cu rezolvarea unei ecuaţii Riccati fără cunoaşterea vreunei soluţiiparticulare.Să presupunem că negăsim în condiţiile cazului Lagrange-Poisson.Corpul material solid rigid este omogen, elipsoidul său de inerţie centrat înpunctul fix O constituie o suprafaţă derotaţie (A = B) iar centrul de masăG se găseştepeaxaprincipalădeinerţie Oz 00 .Primele două integrale prime ale mişcării pot fi puse sub forma⎧⎨⎩p 2 + q 2 = h 1−C·r 2 (t)Ap · γ + q · γ 0 = h 2− 2·mgAA− C A· ξ00 3 · γ 00· r(t) · γ00= β − b · r(t) · cos θ(t).Ceade-atreiaecuaţie diferenţială (3.49)devine ·r= 0,deunder(t) =r 0 , t > t 0 . (3.65)Relaţia (3.65) constituie cea de-a patra integrală primă algebrică înp, q,r, γ, γ 0 , γ 00 de care avem nevoie (cf. [34], p. 490). Astfel,½p 2 + q 2 = α − a · cos θ(3.66)sin θ · (p · sin ϕ + q · cos ϕ) =β − b · r 0 · cos θ.Aici, constantele α, β depind de condiţiile iniţiale iar constantele a, b>0(considerăm ξ3 00 > 0) reflectă caracteristicile rigidului.Înlocuind expresiile mărimilor p, q din (3.47) în (3.66), obţinem că⎧⎨· 2Apoi,⎩(β − b · r 0 · cos θ) 2 =· sin 2 θ+ θ· 2= α − a · cos θψ·ψ · sin 2 θ = β − b · r 0 · cos θ.µ ·ψ 2 · sin 2 θ · sin 2 θ(3.67)

332 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGID=µα − a · cos θ− ·θ2 · sin 2 θ= (α − a · cos θ) · sin 2 θ− θ· 2· sin 2 θ.Introducând variabila u =cosθ(t), formula precedentă devine·u 2 = (α − a · u) · ¡1− u 2¢ − (β − br 0 · u) 2= f(u)(cf. [34], p. 491, [76], p. 643, [63], p. 423).Observăm că f(±1) = −(β ± b · r 0 ) 2 .f(±1) < 0. În plus, f(u) =+∞, limlimu→+∞u→−∞În general, |β| 6= b ·|r 0 |,decif(u) =−∞. La momentuliniţial, u 0 =cosθ 0 . Admiţând că f(u 0 ) > 0, polinomul f(u) va avea treirădăcini (reale):u 1 ∈ (−1,u 0 ) u 2 ∈ (u 0 , 1) u 3 ∈ (1, +∞)(cf. [34], p. 492). Condiţia f(u 0 ) > 0 nu este improbabilă. Într-adevăr, dacăinvestigăm o situaţie din viaţa de zi cu zi, este de aşteptat ca mişcarea să seproducă deja atunci când începem să-i stabilim datele. Aşadar,(α − a · u 0 ) · ¡1 ¢− u 2 0 − (β − br0 · u 0 ) 2= ¡ p 2 (t 0 )+q 2 (t 0 ) ¢ · sin 2 θ (t 0 )− (p (t 0 ) · sin ϕ (t 0 )+q (t 0 ) · cos ϕ (t 0 )) 2 · sin 2 θ (t 0 ) .Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz (cf. [50], problema 37, p. 17)ne conduce laq(t 0 )cos ϕ(t 0 )p 2 (t 0 )+q 2 (t 0 )= ¡ p 2 (t 0 )+q 2 (t 0 ) ¢ · ¡sin 2 ϕ (t 0 )+cos 2 ϕ (t 0 ) ¢> (p (t 0 ) · sin ϕ (t 0 )+q (t 0 ) · cos ϕ (t 0 )) 2 .Egalitatea are loc în inegalitatea precedentă dacăşi numai dacă p(t 0)sin ϕ(t 0 ) =. Ori, o asemenea condiţie este mult prea restrictivă pentru a ”nimeri”într-o problemă obişnuită.Fie θ ∗ , θ ∗∗ ∈ (0, π) daţi de formulele cos θ ∗ = u 1 , cos θ ∗∗ = u 2 , θ ∗∗ < θ ∗ .Ca şi până acum, se poate arăta că soluţia u(t) aecuaţiei diferenţiale ·u=

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 333± p f(u) (semnul din faţa radicalului este stabilit în funcţiedecelalmărimii·u (t 0 )=−θ 1 · sin θ 0 , cf. [76], p. 643) evoluează întrevalorileu 1 , u 2 în modrepetat (periodic), având perioadaT =2·Z u 2u 1dτpf (τ)(cf. [34], p. 492, [76], p. 644, [63], p. 423). Cum u(t + T )=u(t), adicăcos θ(t + T )=cosθ(t), deducem căθ(t + T )=±θ(t)+2k · π ± θ(t) ∈ (θ ∗∗ +2l · π, θ ∗ +2l · π) ,unde k = k(t), l = l(t), k, l ∈ Z. Regularitateafuncţiei θ(t) implică⎧θ(t + T )=θ(t)+2k 0 π⎪⎨θ(t + T )=−θ(t)+2k 1 πθ(t) ∈ (θ ⎪⎩∗∗ +2l 0 · π, θ ∗ t > t+2l 0 · π)0 ,−θ(t) ∈ (θ ∗∗ +2l 1 · π, θ ∗ +2l 1 · π) ,de unde, dat fiind că θ(t 0 )=θ 0 ∈ (θ ∗∗ , θ ∗ ),obţinem θ(t+T )=θ(t) ∈ (θ ∗∗ , θ ∗ )pentru orice t > t 0 .Conform (3.67), (3.47), avem·ψ= β − b · r 0 · cos θsin 2 θrelaţii care ne conduc, în particular, la·ψ (t + T )=·ψ (t)·ϕ= r 0 − ψ ·· cos θ, (3.68)·ϕ (t + T )=·ϕ (t) (3.69)(cf. [63], p. 423).Integrarea efectivă aecuaţiei diferenţiale autonome ·u= ± p f(u) şi determinareamărimilor ψ, ϕ se realizează prin separarea variabilelor, apelând lateoria funcţiilor eliptice (cf. [76], p. 645).Folosind regula de derivare a funcţiei compuse ψ = ψ(u(t)), putemscriecă·dψdu = ψ·u = ± β − br 0 · u(1 − u 2 ) · pf(u) ,

334 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDceea ce ne permite estimarea ψ = ψ(u).În Figura 3.40 poate fi observat comportamentul punctului de intersecţie(de coordonate u, ψ(u)) alaxeimobileOz 00 cu sfera-unitate fixă. Notând cuu 0 soluţia ecuaţiei algebrice β − br 0 · u =0, sunt valabile următoarele situaţii(cf.[41],problema1,p.158-160, [34], p. 493-494, [63], p. 425):1) u 0 /∈ [u 1 ,u 2 ]. Curba descrisă de punctul de intersecţie seamănă cuosinusoidă sferică (cf. [63], p. 425), fiind tangentă cercurilor paralele u =·ψ este constant, deci mişcarea seu i . Din (3.68) rezultă căsemnulfuncţieiproduce într-un singur sens (cf. [34], p. 494).2) u 0 ∈ (u 1 ,u 2 ). Curba descrisădepunctuldeintersecţie rămâne tangentăcercurilor paralele u = u i ,darformează ”bucle” datorită faptuluicăfuncţia·ψ îşi schimbă semnul în u = u 0 . Integrând în raport cu timpul t relaţiile(3.69), obţinem ψ(t + T )=ψ(t)+ constant (cf. [34], p. 492), relaţie carejustifică fenomenul de deplasare al axei mobile în raport cu meridianul iniţial(pe sfera-unitate).Figura 3.40

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 3353) u 0 = u 2 . Curba descrisă de punctul de intersecţie devine semitangentămeridianului curent ψ = constant în punctele de ”contact” cu cercul u = u 2 .Asemenea puncte sunt puncte de rebrusment ale curbei. Spunem că, în acestcaz, curba are alură de tip cicloidal (cf. [63], p. 425). De asemeni, ψ> ·0, decimişcarea se realizează într-un singur sens. Poate fi demonstrat că u 0 6= u 1întotdeauna (cf. [34], p. 494-495).Am comentat înainte faptul că egalitatea f(u 0 ) = 0 nu se întâlneşte”uşor”. Mai precis, să presupunem că polinomul f(u) admite în (−1, 1) orădăcină dublă. O asemenea situaţie are o semnificaţie mecanică deosebită,căci egalitatea θ ∗ = θ ∗∗ desemnează lipsa mişcării de nutaţie. Ori, cumf(u 0 ) > 0, dacă f(u 0 ) > 0 şi u 0 >u 1 = u 2 ,atunciîn(u 0 , 1) ar exista o apatra rădăcină reală a polinomului; pentru u 0 0, unde u(t) ∈ [−1, 1], ne conducela u(t) =u 0 , respectiv θ(t) =θ 0 . Din (3.68) reiese că ψ= ·ϕ= ·constant, cazdescris sub anterior sub numele de mişcaredeprecesieregulată (cf. [34], p.495, [76], p. 646). Impunând ca polinomul f(u) să admităorădăcină dublău 0 =cosθ 0 se obţine o relaţieextremderestrictivă privind condiţiile iniţiale(3.63), şi anume:C · ψ 1 · ϕ 1 +(C − A) · ψ 1 · cos θ 0 = mg · ξ 003(cf. [76], relaţia (28.57), p. 646). Aşadar, precesia regulată în cazul Lagrange-Poisson constituie o situaţie absolut particulară spre deosebire de precesia regulatădinmişcarea Euler-Poinsot, produsă atuncicândelipsoiduldeinerţieconstituie o suprafaţă derotaţie. În ambele cazuri a fost modelată matematicprecesia Pământului în mişcarea sa circumsolară. Un calcul asemănător(cf. [76], p. 671-675), bazat pe dezvoltarea în serie de puteri cu coeficienţiidaţi de polinoamele Legendre pe care am prezentat-o în cadrul cinematicii(cf. [76], p. 674), arată căPământul realizează oprecesie(·ψ) anualăde50 00(16 00 datorită Soarelui,34 00 datorită Lunii),ceeaceînseamnă o deplasare însens invers trigonometric (retrograd) aaxeinodale(aechinocţiilor, cf. [76],p. 670, 673) pe ecliptică. Perioada mişcării de precesie este de aproximativ26.000 ani (cf. [76], p. 675, [32], p. 134). Tot datorită Lunii, mişcarea

336 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDPământului în jurul Soarelui cuprinde şi o nutaţie, cu perioada de aproximativ19 ani (cf. [76], p. 675-681, [32], p. 134).Rămânând în ipotezele cazului Lagrange-Poisson, vom considera că soliduluirigid i se imprimă orotaţie rapidă în jurul axei Oz 00 distinctă de verticalaascendentă Oz (0 < θ 0 < π). Cu alte cuvinte,p(t 0 )=q(t 0 )=0 r(t 0 )=r 0 6=0iar |r 0 | este extrem de mare (raportat la 1) (cf. [34], p. 495).Conform (3.66),½ α − a · cos θ0 = α − a · u 0 =0β − br 0 · cos θ 0 = β − br 0 · u 0 =0,adică u 0 = u 0 .Atunci,f(u) = (α − a · u) · ¡1− u 2¢ − (β − br 0 · u) 2= [a · (u 0 − u)] · ¡1− u 2¢ − b 2 r 2 0 · (u 0 − u) 2= (u 0 − u) · £a· ¡1− u 2¢ − b 2 r 2 0 · (u 0 − u) ¤ .Este clar că f(u 0 )=0, deci u 0 ∈ {u 1 ,u 2 }. Cum u 0 = u 0 şi u 0 6= u 1 ,concluzionăm că u 0 = u 2 .Negăsim în situaţia 3) (cf. [34], p. 496).Putem evalua diferenţa u 0 − u 1 ţinând seama de faptul că f(u 1 )=0şiu 1 6= u 0 .Astfel,a · ¡1− u 2 1¢− b 2 r 2 0 · (u 0 − u 1 )=0.Cum0

3.3. STATICA ŞI DINAMICA 337solidului rigid. Înplus(u 0 6= ±1),·¯ψ¯ = b · u0 − u1 − u ·|r u 0 − u 10| 6 b ·2 1 − max{u 2 1,u 2 0} ·|r 0|b ·|r 0 |=1 − max{u 2 1,u 2 0} · a (1 − µ u2 1) 1= O ,b 2 · r02 |r 0 |adică mişcarea de precesie este extrem de lentă. Însfârşit, cum¯ ϕ · (3.68)·−r 0¯¯¯ =¯ψ · cos θ¯ 6·¯ψ¯ ,obţinem căµ ¯ ϕ ·1−r 0¯¯¯ = O|r 0 |(cf. [34], p. 497). Solidul rigid se roteşte, aşadar, în jurul axei Oz 00 cu oviteză unghiulară extrem de apropiată vitezei unghiulare iniţiale.Continuăm calculul aproximaţiilor, observând că·u 2 = (α − a · u) · ¡1− u 2¢ − (β − br 0 · u) 26 (α − a · u) · ¡1− u 2¢ 6 α − a · uµ 1= a · (u 0 − u 1 )=O ,r0 2de unde ¯ ·u¯ = O( 1|r 0).Apoi,cumθ(t) = arccos u(t), avem| ·¯θ¯ 6¯ ·u¯µ ·p 1 − max{u21 ,u 2 ¯θ1¯0}= O .|r 0 |În sfârşit, din (3.47) reiese că·|p(t)| , |q(t)| 6¯ψ¯ +·¯θ¯µ 1|p(t)| , |q(t)| = O ,|r 0 |respectiv|r(t) − r 0 | 6 ¯ ϕ ··−r 0¯¯¯ +¯¯¯¯ ψ¯µ 1r(t) =r 0 + O .|r 0 |

338 CAPITOLUL 3. MECANICA SOLIDULUI RIGIDAstfel, la momentul t, momentul cinetic L O (S) ( R 0 = R) este”aproximativ”coliniar cu direcţia axei mobile Oz 00 . Solidul rigid se comportă caun giroscop (cf. [76], p. 660, [63], p. 426, [32], p. 131, [14], p. 199, etc.).Aplicaţiile tehnice ale giroscopului sunt excepţionale (giroscopul tinde să-şipăstreze axa de rotaţie fixă în SF) (cf. [76], p. 661-669, [73], p. 443-448):stabilizarea antiruliu a vapoarelor, compasul giroscopic, orizontul artificial,ş. a. m. d. Giroscopul a fost inventat de L. Foucault în 1852 (cf. [32], p.131).Detalii privind cel de-al doilea caz de integrare completă a ecuaţiilor(3.48), (3.47) în condiţii iniţiale arbitrare (S. Kovalevskaia) pot fi citite în[76], p. 648 şi următoarele, [34], p. 498-499, [25], p. 154-156, etc.

Bibliografie[1] V. Arnold, Ecuaţii diferenţiale ordinare, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică,Bucureşti, 1978[2] I. Aştefanei, D. Ilincioiu, Mecanica şi rezistenţa materialelor. Mecanica, teorieşi aplicaţii, Reprografia Universităţii din Craiova, 1992[3] I. Aştefanei, O. Mustafa, Mecanica fluidelor şi maşini hidraulice. Mecanicafluidelor reale, Reprografia Universităţii din Craiova, 1996[4] C. Avramescu, Ecuaţii diferenţiale şi integrale, Reprografia Universităţii dinCraiova, 1973[5] C. Avramescu, Méthodes topologiques dans la théorie des équations différentielles,Reprografia Universităţii din Craiova, 1998[6] V. Barbu, Ecuaţii diferenţiale, Editura Junimea, Iaşi, 1985[7] V. Barbu, Probleme la limită pentru ecuaţii cu derivate parţiale, EdituraAcademiei, Bucureşti, 1993[8] S. Bălan, Probleme de mecanică, Editura Didacticăşi Pedagogică, Bucureşti,1977[9] C. Belea, Automatică neliniară. Teorie, exemple şi aplicaţii, Editura Tehnică,Bucureşti, 1983[10] R. Bellman, Stability theory of differential equations, McGraw-Hill, Londra,1953[11] G. Berman, Cicloida, Editura Tehnică, Bucureşti, 1956339

340 BIBLIOGRAFIE[12] L. Blaga, Experimentul şi spiritul matematic, Editura Humanitas, Bucureşti,1998[13] H. Brézis, Analyse fonctionelle. Théorie et applications, Masson, Paris, 1992[14] D. Boiangiu, E. Caragheorghe, M. Radeş, L. Ghermănescu Ionescu, E. HaşeganuZamfirescu, S. Murgulescu, M. Savu, Mecanicăşi rezistenţa materialelor,Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982[15] D. Bolcu, S. Rizescu, Mecanică, vol. I, II, Editura Didactică şi Pedagogică,Bucureşti, 2001[16] M. Buculei, M. Marin, Elemente de mecanică teoretică. Teorie şi aplicaţii,Editura Universitaria, Craiova, 1994[17] I.Bunget,L.Burlacu,D.Ciobotaru,A.Costescu,V.Florescu,I.Munteanu,M. Rusu, S. Spânulescu, Compendiu de fizică, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică,Bucureşti, 1988[18] D. Buşneag, A. Dincă, D. Ebâncă, C. Niculescu, M. Popescu, I. Vladimirescu,G. Vraciu, Concursul de matematică ”GheorgheŢiţeica” 1979-1998, EdituraGil, Zalău, 1999[19] G. Buzdugan, L. Fetcu, M. Radeş, Vibraţii mecanice, Editura Didactică şiPedagogică, Bucureşti, 1979[20] E. Carafoli, V. Constantinescu, Dinamica fluidelor compresibile, EdituraAcademiei, Bucureşti, 1984[21] G. Cartianu, M. Săvescu, I. Constantin, D. Stanomir, Semnale, circuite şisisteme, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980[22] L. Cesari, Asymptotic behavior and stability problems in ordinary differentialequations, Springer Verlag, Berlin, 1959[23] A. Corduneanu, Ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii în electrotehnică, EdituraFacla, Timişoara, 1981[24] B. Démidovich (coord.), Recueil d’exercices et de problèmes d’analyse mathematique,Editura Mir, Moscova, 1972

BIBLIOGRAFIE 341[25] D. Drăghicescu, Curs de mecanică teoretică, Reprografia Universităţii dinCraiova, 1977[26] D. Drăghicescu, C. Pescăruş, Mecanică teoretică. Culegere de probleme, ReprografiaUniversităţii din Craiova, 1985[27] A. Einstein, Cum văd eu lumea. O antologie, Editura Humanitas, Bucureşti,1992[28] P. Flondor, O. Stănăşilă, Lecţii de analiză matematică, Editura All, Bucureşti,1993[29] A. Haimovici, Ecuaţiile fizicii matematice şi elemente de calcul variaţional,Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1966[30] A. Halanay, Teoria calitativă a ecuaţiilor diferenţiale, Editura AcademieiR.P.R., Bucureşti, 1963[31] P. Hartman, Ordinary differential equations, John Wiley & Sons, New York,1964[32] A. Hristev, Mecanicăşi acustică, Editura Didacticăşi Pedagogică, Bucureşti,1984[33] E. Husserl, Meditaţii carteziene. O introducere în fenomenologie, EdituraHumanitas, Bucureşti, 1994[34] C. Iacob, Mecanică teoretică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,1980[35] C. Iacob, Matematică aplicatăşi mecanică, Editura Academiei, Bucureşti,1989[36] N. Ionescu, Curs de logică (1934 - 1935), Editura Humanitas, Bucureşti, 1993[37] I. Kant, Critica raţiunii pure, Editura IRI, Bucureşti, 1994[38] J. Kelley, General topology, D. Van Nostrand Company, Limited, New York,1955[39] P.Kessler,Elementedeteoriamulţimilor şi topologie generală. Culegere deexerciţii şi probleme, Editura Secolul XXI, Craiova, 1996

342 BIBLIOGRAFIE[40] P. Korovkin, Inequalities, Little Mathematics Library, Editura Mir, Moscova,1986[41] L. Landau, E. Lifchitz, Mécanique, Editura Mir, Moscova, 1966[42] L. Landau, E. Lifchitz, Teoria câmpului, Editura Tehnică, Bucureşti, 1963[43] M. Laue, Istoria fizicii, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1963[44] C. Meghea, I. Meghea, Tratat de calcul diferenţial şi integral pentru învăţământulpolitehnic. Calcul diferenţial, Editura Tehnică, Bucureşti, 1997[45] G. Marinescu, Matematici superioare, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,1970[46] G. Marinescu, Teoria ecuaţiilor diferenţiale şi integrale, Editura Didactică şiPedagogică, Bucureşti, 1963[47] G. Moroşanu, Ecuaţii diferenţiale. Aplicaţii, Editura Academiei, Bucureşti,1989[48] G. Murărescu, Geometrie diferenţială, Reprografia Universităţii din Craiova,1998[49] G. Murărescu,M.Popescu,Cursdegeometrie,Reprografia Universităţii dinCraiova, 1976[50] C. Năstăsescu, C. Niţă, M. Brandiburu, D. Joiţa, Exerciţii şi probleme dealgebră pentru clasele IX-XII, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,1983[51] L. Nicolescu, V. Boskoff, Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică,Bucureşti, 1990[52] C. Niculescu, Analiză matematicăşi teoria funcţiilor, Reprografia Universităţiidin Craiova, 1988[53] C. Niculescu, Fundamentele analizei matematice. Analiza pe dreapta reală,Editura Academiei, Bucureşti, 1996[54] V. Novacu, Bazele teoretice ale fizicii. Vol. I: Mecanica clasică, EdituraTehnică, Bucureşti, 1990

BIBLIOGRAFIE 343[55] V. Novacu, Bazele teoretice ale fizicii. Vol. II: Electrodinamica, EdituraTehnică, Bucureşti, 1993[56] O. Onicescu, Mecanica, Editura Tehnică, Bucureşti, 1969[57] D. Papuc, Geometrie diferenţială, Editura Didacticăşi Pedagogică, Bucureşti,1982[58] F. Peters, Termenii filozofiei greceşti, Editura Humanitas, Bucureşti, 1993[59] C. Plăviţu, A. Hristev, L. Georgescu, D. Borşan, V. Dima, C. Stănescu, L.Ionescu, R. Moldovan, Culegere de probleme de mecanică fizică şi acustică,Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981[60] H. Pollard, Mathematical introduction to celestial mechanics, Prentice-Hall,New Jersey, 1966[61] A. Precupanu, Analiză matematică. Funcţii reale, Editura Didactică şi Pedagogică,Bucureşti, 1976[62] M. Predoi, Analiză matematică pentru ingineri. Teorie şi aplicaţii, EdituraUniversitaria, Craiova, 1994[63] M. Rădoi, E. Deciu, Mecanica, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,1981[64] S. Rădulescu, M. Rădulescu, Teoreme şi probleme de analiză matematică,Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982[65] M. Roşculeţ, Algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială,Editura Tehnică, Bucureşti, 1987[66] I. Şabac, Matematici speciale, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,1981[67] G. Şilov, Analiză matematică. Spaţii finit dimensionale, Editura ŞtiinţificăşiEnciclopedică, Bucureşti, 1983[68] G. Şilov, Analyse mathematique (fonctions de plusieurs variables réelles),Editura Mir, Moscova, 1974[69] D. Smaranda, N. Soare, Transformări geometrice, Editura Academiei, Bucureşti,1988

344 BIBLIOGRAFIE[70] V. Smirnov, Cours de mathématiques supérieures, vol. IV, Editura Mir,Moscova, 1975[71] E. Soós, Elemente de calcul variaţional, p. 307-365, în C. Iacob (coord.),Matematici clasice şi moderne , vol. III, Editura Tehnică, Bucureşti, 1981[72] V. Stepanov, Curs de ecuaţii diferenţiale, Editura Tehnică, Bucureşti, 1955[73] S. Targ, Theoretical mechanics. A short course, Editura Mir, Moscova, 1976[74] G. Ţiţeica, Culegere de probleme de geometrie, Editura Tehnică, Bucureşti,1965[75] C. Udrişte, Aplicaţii de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, EdituraDidactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1993[76] V. Vâlcovici, S. Bălan, R. Voinea (red.), Mecanica teoretică, Editura Tehnică,Bucureşti, 1963[77] I.Vladimirescu,M.Popescu,Algebră liniară şi geometrie analitică. Teorie şiaplicaţii, Editura Universitaria, Craiova, 1994[78] V. Vladimirov, Ecuaţiile fizicii matematice, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică,Bucureşti, 1980[79] G. Vrânceanu, N. Mihăileanu, Introducere în teoria relativităţii, EdituraTehnică, Bucureşti, 1978[80] B. Vulikh, A brief course in the theory of functions of a real variable (Anintroduction to the theory of the integral), Editura Mir, Moscova, 1976[81] B. Waerden, Group theory and quantum mechanics, Springer-Verlag, Berlin,1974[82] J. Wermer, Potential theory, Springer-Verlag, Berlin, 1981