(修改版2)（作者本科沦落在阜阳师范学院）

高 等 数 学
积 分 表
公 式 推 导

目
录
( 一 ) 含 有 ax b 的 积 分 (1~9)·······················································1
( 二 ) 含 有 ax b 的 积 分 (10~18)···················································5
2 2
( 三 ) 含 有 x a 的 积 分 (19~21)····················································9
2
( 四 ) 含 有 ax b ( a 0)
的 积 分 (22~28)············································11
2
( 五 ) 含 有 ax bx c ( a 0)
的 积 分 (29~30)········································14
2 2
( 六 ) 含 有 x a ( a 0)
的 积 分 (31~44)·········································15
2 2
( 七 ) 含 有 x a ( a 0)
的 积 分 (45~58)·········································24
2 2
( 八 ) 含 有 a x ( a 0)
的 积 分 (59~72)·········································37
2
( 九 ) 含 有 a bx c ( a 0)
的 积 分 (73~78)····································48
x a
x b
( 十 ) 含 有 或 ( x a)(
b x)
的 积 分 (79~82)···························51
( 十 一 ) 含 有 三 角 函 数 的 积 分 (83~112)···········································55
( 十 二 ) 含 有 反 三 角 函 数 的 积 分 ( 其 中 a 0)(113~121)·······················68
( 十 三 ) 含 有 指 数 函 数 的 积 分 (122~131)··········································73
( 十 四 ) 含 有 对 数 函 数 的 积 分 (132~136)··········································78
( 十 五 ) 含 有 双 曲 函 数 的 积 分 (137~141)··········································80
( 十 六 ) 定 积 分 (142~147)····························································81
附 录 : 常 数 和 基 本 初 等 函 数 导 数 公 式 ·········································85
说 明 ·····················································································86
团 队 人 员 ··············································································87

( 一 ) 含 有 ax b 的 积 分 (1~9)
dx 1
1.
ln
ax b C
ax b a
1
b
证 明 : 被 积 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 { x | x }
ax b
a
1
令 ax b t ( t 0) , 则 dt adx , dx dt
a
dx 1 1
dt
ax b a
t
1
ln
t C
a
dx 1
将 t ax b 代 入 上 式 得 : ln
ax b
ax b a
C
2.
( ax b)
μ
1
dx ( ax b)
a ( μ 1)
μ1
C
1
证 明 : 令 ax b t , 则 dt adx , dx dt
a
μ 1 μ
( ax b)
dx t dt
a
1 μ1
t
C
a ( μ 1)
将 t ax b代 入 上 式 得 :(
ax b)
μ
( μ 1)
1
dx ( ax b)
a ( μ 1)
μ1
C
3.
x 1
dx ax
b
b
ln ax
b
C
2
ax
b a
x
b
证 明 : 被 积 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 { x | x }
ax
b
a
1
1
令 ax
b t ( t 0) , 则 x t
b
, dx dt
a
a
1
t
b
x a 1 1 b
dx · dt 1 dt
2
ax
b
t a a
t
1 1 b
dt
dt
2
2
a
a
t
t b
ln
t C
2 2
a a
1
t
b
ln t
C
2
a
x 1
将 t ax
b代 入 上 式 得 : dx
2
ax
b a
ax
b
b
ln ax
b
C
- 1 -

- 2 -
C
b
ax
ln
b
b
ax
b
b
ax
a
dx
b
ax
x
C
b
ax
ln
a
b
b
ax
d
b
ax
a
b
dx
b
ax
b
a
C
b
ax
ln
a
b
x
a
b
b
ax
d
b
ax
a
b
dx
a
b
ax
d
b
ax
b
b
ax
a
b
dx
b
ax
abx
a
C
b
ax
a
dx
b
ax
a
dx
b
ax
b
a
dx
b
ax
abx
a
dx
b
ax
a
dx
b
ax
b
abx
b
ax
a
dx
b
ax
x
C
b
ax
ln
b
b
ax
b
b
ax
a
dx
b
ax
x
)
(
2
)
(
2
1
1
)
(
1
1
2
2
)
(
1
2
2
)
(
2
2
1
)
(
2
1
)
(
1
1
2
1
)
(
1
)
2
)
(
1
)
(
2
)
(
2
1
1
4.
2
2
3
2
3
3
2
3
2
2
2
2
3
2
3
3
2
3
3
2
1
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
由 以 上 各 式 整 理 得 :
证 明 :
C
x
b
ax
ln
b
C
b
ax
x
ln
b
C
b
ax
ln
b
x
ln
b
b )
d( ax
b
ax
b
dx
x
b
dx
b
ax
b
a
dx
x
b
dx
b )
( ax
b
a
bx
b
ax
x
dx
b
a
b
Ab
B
Aa
b
x
a
x
b
ax
b
ax
B
x
b
ax
x
a
b
x
x |
b
ax
x
x )
(
f
C
x
b
ax
ln
b
b
ax
x
dx
.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
]
1
[
)
(
B
1
A
1
0
A
B)
(A
B
)
A(
1
,
A
)
(
1
}
{
)
(
1
1
)
(
5
于 是
有
则
设
的 定 义 域 为
证 明 : 被 积 函 数
b
log
b
log
a
a
1
提 示 :

- 3 -
C
x
b
ax
ln
b
a
bx
C
b
ax
ln
b
a
bx
x
ln
b
a
b
ax
d
b
ax
b
a
dx
x
b
dx
x
b
a
dx
b
ax
b
a
dx
x
b
dx
x
b
a
b
ax
x
dx
b
a
C
b
b
a
Bb
aB
Ab
C
Aa
b
aB
Ab
x
a
x
Cx
b
ax
b
ax
x
b
ax
C
x
B
x
b
ax
x
a
b
x
x
b
ax
x
x
f
C
x
b
ax
ln
b
a
bx
b
ax
x
dx
1
1
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
)
(
1
B
A
1
0
0
1
B
)
(
C)
(A
)
B(
)
(
A
1
,
A
)
(
1
}
|
{
)
(
1
)
(
1
)
(
6.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
于 是
有
即
则
设
的 定 义 域 为
证 明 : 被 积 函 数
C
b
ax
b
b
ax
ln
a
C
b
ax
a
b
b
ax
ln
a
b
ax
d
b
ax
a
b
b
ax
d
b
ax
a
dx
b
ax
a
b
dx
b
ax
a
dx
b
ax
x
a
b
B
a
B
Ab
Aa
x
B
Ab
a
x
b
ax
x
b
ax
B
b
ax
A
b
ax
x
a
b
x
x |
b
ax
x
x )
(
f
C
b
ax
b
b
ax
ln
a
dx
b
ax
x
.
1
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
1
1
)
(
1
1
1
)
(
1
A
0
1
)
(
A
B
)
A(
,
)
(
)
(
}
{
)
(
1
)
(
7
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
于 是
有
即
则
设
的 定 义 域 为
证 明 : 被 积 函 数

- 4 -
C
b
ax
b
b
ax
ln
b
b
ax
a
dx
b
ax
x
b
ax
t
C
t
b
t
ln
b
t
a
C
t
ln
a
b
t
a
t
a
b
dt
t
a
b
dt
a
dt
t
a
b
dt
t
a
bt
t
b
dx
b
ax
x
t
a
bt
t
b
t
a
t
b
b
ax
x
dt
a
dx
,
b
t
a
x
,
t
t
b
ax
a
b
x
x |
b
ax
x
x )
(
f
C
b
ax
b
b
ax
ln
b
b
ax
a
dx
b
ax
x
.
2
3
2
2
2
3
3
3
3
2
3
3
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
1
)
(
)
2
(
1
2
1
1
2
1
1
2
)
(
2
)
(
)
(
1
1
0)
(
}
{
)
(
2
1
)
(
8
代 入 上 式 得 :
将
则
令
的 定 义 域 为
被 积 函 数
证 明 :
C
|
x
b
ax
ln|
·
b
b
ax
b
C
b
ax
·
b
b|
ln|ax
b
ln|x|
b
dx
b
ax
b
a
dx
b
ax
b
a
dx
x
b
b
ax
x
dx
b
a
D
b
a
B
b
A
1
Ab
0
D
Bb
2 Aab
0
Ba
Aa
Ab
D
Bb
2 Aab
x
Ba
Aa
x
Dx
Bbx
Bax
2 Aabx
Ab
x
Aa
Dx
b
ax
Bx
b
ax
A
1
b
ax
D
b
ax
B
x
A
b
ax
x
a
b
x
x |
b
ax
x
x )
(
f
C
|
x
b
ax
ln |
b
b
ax
b
b
ax
x
dx
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
)
(
1
1
1
1
1
)
(
1
1
1
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
}
{
)
(
1
·
1
)
(
1
)
(
9
于 是
有
则
设 :
的 定 义 域 为
证 明 : 被 积 函 数

( 二 ) 含 有 ax b 的 积 分 (10~18)
10.
2
ax b dx
3a
1
证 明 : ax b dx
a
( ax b)
2
3a
3
C
( ax b)
1
2
( ax b)
d(
ax b)
3
C
1 1
( ax b)
a 1
1
2
1
1
2
C
2
11.
(3 2 ) ( )
15a
3
x ax b dx ax b ax b C
2
证 明 : 令
2 2
t b 2t t b
ax b t ( t 0) , 则 x , dx dt , x ax b t
a a a
2
t b 2t
2 4 2
2 ( )
x ax b dx t dt t bt dt
a a a
2 5 2b
3 2 5 2b
3
d( t ) d( t ) t t C
2 2 2 2
5a
3a
5a 3a
3
2t
2
(3t 5 b)
C
2
15a
2 3
将 t ax b代 入 上 式 得 : x ax b dx
2 [3( ax b ) 5 b ] ( ax b ) C
15a
2
3
(3ax 2 b) ( ax b)
C
2
15a
12.
2
2
2 2
2
3
x ax b dx (15a
x 12abx
8b
) ( ax b)
C
3
105a
2
t b 2t
证 明 : 令 ax b t ( t 0) , 则 x , dx dt ,
a a
2 2 5 2 3
2 ( t b)
t b t 2bt
x ax b t
2
2
a
a
2
2 5 2 3
x ax b dx t t b t bt dt
a
( 2 )
3
2
2 6 2b
2 4b
4
t dt t dt t dt
3
a
3
a
3
a
2
2 1 61
2b
1 12
4b
1
t
t
t
3
3
3
a 1
6 a 1
2 a 1
4
2
2 7 2b
3 4b
5
t
t
t
C
3
3
3
7a
3a
5a
3
2t
4 2
2
(15t
35b
42bt
) C
3
105a
将 t
x
2
ax b代 入 上 式 得 :
2
ax b dx
105a
2
105a
3
3
( ax b)
(15a
2
x
2
3
15a
2
x
2
12abx
8b
15b
2
)
2
30abx
35b
( ax b)
3
C
41
2
C
42b
( ax b)
- 5 -

- 6 -
C
b
ax
b
ax
a
C
b
ax
a
b
b
ax
b
ax
a
dx
b
ax
x
b
ax
t
C
t
a
b
t
a
C
t
a
b
t
a
bdt
a
dt
t
a
dt
a
t
at
b
t
dx
b
ax
x
dt
a
t
dx
a
b
t
x
t
t
b
ax
C
b
ax
b
ax
a
dx
b
ax
x
)
(
)
2
(
3
2
)
(
2
)
(
)
(
3
2
2
3
2
2
2
1
1
2
2
2
2
,
2
,
0) ,
(
)
(
)
2
(
3
2
13.
2
2
2
2
3
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
代 入 上 式 得 :
将
则
证 明 : 令
C
b
ax
b
abx
x
a
a
C
b
ax
b
ax
b
b
abx
b
x
a
b
ax
a
dx
b
ax
x
b
ax
t
C
bt
b
t
a
t
C
t
b
t
b
t
a
dt
t
a
b
dt
b
a
dt
t
a
dt
bt
b
t
a
dt
a
t
t
a
b
t
dx
b
ax
x
dt
a
t
dx
a
b
t
x
t
t
b
ax
C
b
ax
b
abx
x
a
a
dx
b
ax
x
)
(
)
8
4
(3
15
2
)
(
)
(
10
15
)
2
3(
)
(
15
2
)
10
15
(3
15
2
)
3
2
5
1
(
2
4
2
2
)
2
(
2
2
1
)
(
,
2
,
0) ,
(
)
(
)
8
4
(3
15
2
14.
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
2
4
3
3
2
5
3
2
3
2
3
4
3
2
2
4
3
2
2
2
2
2
2
2
3
2
代 入 上 式 得 :
将
则
证 明 : 令

- 7 -
0)
(
2
0)
(
1
2
1,
2
t
2
)
(
1
2
2
0
2.
1
1
)
(
1
2
2
0
b
1.
2
2
1
,
2
,
0) ,
(
0)
(
2
0)
(
1
15.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
C
b
b
ax
arctan
b
b
C
b
b
ax
b
b
ax
ln
b
b
ax
x
dx
C
b
b
ax
arctan
b
b
ax
x
dx
b
ax
t
C
b
arctan
b
dt
b
t
dt
b
t
b
C
b
b
ax
b
b
ax
ln
b
b
ax
x
dx
b
ax
t
C
b
t
b
t
ln
b
dt
b
t
dt
b
t
dt
b
t
dt
a
t
t
a
b
t
b
ax
x
dx
dt
a
t
dx
a
b
t
x
t
t
b
ax
b
C
b
b
ax
arctan
b
b
C
b
b
ax
b
b
ax
ln
b
b
ax
x
dx
得 :
综 合 讨 论
代 入 上 式 得 :
将
时 ,
当
代 入 上 式 得 :
将
时 ,
当
则
证 明 : 令
C
a
x
a
x
ln
a
a
x
dx
2
1
21 2
2
:
公 式
C
a
x
arctan
a
a
x
dx
1
19 2
2
:
公 式

- 8 -
b
ax
x
dx
b
a
bx
b
ax
dx
b
ax
x
b
a
bx
b
ax
dx
b
ax
x
b
a
dx
b
ax
a
x
b
bx
b
ax
dx
b
ax
x
b
a
b
ax
d
x
b
bx
b
ax
dx
b
ax
x
b
a
x
d
b
ax
b
dx
b
ax
x
b
a
dx
x
b
ax
b
dx
b
ax
x
b
a
b
ax
x
dx
b
b
a
Bb
Ba
A
b
ax
x
x
b
ax
B
b
ax
x
b
ax
x
b
ax
x
dx
b
a
bx
b
ax
b
ax
x
dx
2
1
2
1
)
(
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
B
A
1
0
)
B(
A
1
,
A
1
2
16.
2
1
2
2
2
2
2
于 是
有
则
证 明 : 设
2
2
1
2
)
(
2
2
1
2
2
1
2
2
1
,
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
,
0) ,
(
2
17.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
ax
x
dx
b
b
ax
dx
b
ax
a
b
b
ax
b
b
ax
dx
x
b
ax
b
ax
t
dx
t
a
b
t
b
t
dt
b
t
b
t
dx
x
b
ax
dt
b
t
R
b
dt
b
t
b
t
dt
b
t
b
dt
dt
b
t
b
b
t
dt
b
t
t
dt
a
t
b
t
at
dx
x
b
ax
dt
a
t
dx
a
b
t
x
t
t
b
ax
b
ax
x
dx
b
b
ax
dx
x
b
ax
代 入 上 式 得 :
将
不 能 明 确 积 分
符 号 可 正 可 负
取 值 为
则
证 明 : 令

18.
ax b ax b a
dx
2
x
x 2
证 明 :
ax b
dx
2
x
1
ax b d
x
ax b
x
ax b
x
dx
x ax b
ax b a
x 2
1
d
x
1
( ax b)
x
ax b
dx
x ax b
1
2
a
dx
2
2 2
( 三 ) 含 有 x a 的 积 分 (19~21)
19.
dx 1 x
arctan C
2 2
x a a a
π π
2
证 明 : 令 x a tant
( t ) , 则 dx d(
a tant)
a sec t dt
2 2
1 dx 1
2 2 2
2 2 2
x a a (1 tan t)
a sec t
dx 1
2
a sec t dt
2 2 2 2
x a
a sec t
1
dt
a
1
t
C
a
x
x a tant
t arctan
a
x
dx
将 t arctan 代 入 上 式 得 :
a
2
x a
2
1 x
arctan C
a a
- 9 -

- 10 -
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
)
(
1)
2(
3
2
)
(
1)
2(
)
(
3)
(2
)
(
1)
2(
1
)
(
,
1
)
(
1)
(2
)
(
2
1
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
)
2
(1
)
(
1
2
)
(
1
2
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
1)
2(
3
2
)
(
1)
2(
)
(
20.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
x
dx
a
n
n
a
x
a
n
x
a
x
dx
n
a
x
x
a
n
a
x
dx
n
n
a
x
dx
n
a
x
x
na
dx
a
x
dx
a
x
2na
a
x
x
a
x
dx
n
dx
a
x
na
dx
a
x
n
a
x
x
dx
a
x
a
a
x
n
a
x
x
dx
a
x
x
n
a
x
x
x dx
a
x
n
x
a
x
x
a
x
x d
a
x
x
a
x
dx
a
x
dx
a
n
n
a
x
a
n
x
a
x
dx
则
令
移 项 并 整 理 得 :
证 明 :
C
a
x
a
x
ln
a
C
a
x
ln
a
a
x
ln
a
dx
a
x
a
dx
a
x
a
dx
a
x
a
x
a
a
x
dx
C
a
x
a
x
ln
a
a
x
dx
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
]
1
1
[
2
1
2
1
21.
2
2
2
2
证 明 :

2
( 四 ) 含 有 ax b ( a 0)
的 积 分 (22~28)
22.
1
arctan
dx ab
2
ax b 1
ln
2
ab
证 明 :
dx 1
2
ax b a
1
a
1 a
arctan x C
ab b
1 1 1
2. 当 b 0时 ,
2
ax b 2 b a
x ( ) x
a
dx 1
2
ax b a
2
2
1
a
x C
b
a x
a x
1
1. 当 b 0时 ,
2
ax b
x
x
x
2
a
b
2
b
a
(
(
1
ln
a
b
)
a
1
arctan
dx ab
综 合 讨 论 1, 2 得 :
2
ax b 1
ln
2
ab
2
1
1
1
1
ln
ab
b
b
b
)
a
2
arctan
( b 0)
2
x
x
C
1
b a
x
a
dx
dx
a x
a x
2
b
a
b
a
( b 0)
1
(
a
x C
b
2
b
b
b
)
a
(
C
2
1
C
1
a
b
)
a
a x
a x
( a 0)
2
1
a
a
x C
b
b
b
( b 0)
C
( b 0)
x 1
2
23. dx ln ax b C ( a 0)
2
ax b 2a
证 明 :
x
1 1
dx
2 2
ax b 2 ax b
d x
2
( )
1 1
d ax
2
2a
ax b
1
2
ln ax b C
2a
2
( b)
- 11 -

24.
2
x x b dx
dx
( a 0)
2
2
ax b a a ax b
2
2
x b ax 1
证 明 : dx dx
2
2
ax b a ax b b
b 1 1
( ) dx
2
a b ax b
b 1 b 1
dx dx
2
a b a ax b
x b dx
a a
2
ax b
2
dx 1 x
25. ln C ( a 0)
2
2
x( ax b) 2b ax b
dx
x
证 明 :
dx
2 2 2
x( ax b)
x ( ax b)
设 :
则
于 是
1
1 1
2 2
2 x ( ax b)
A
2 2 2 2
x ( ax b)
x ax b
1 A( ax b)
Bx
2 2
B
d x
2
( )
2
x ( Aa B)
Ab
1
A
Aa B 0 b
有
Ab
1
a
B
b
dx 1 1 a
x( ax b) 2
bx b( ax b)
2
[ ] d( x )
2 2
2
1 1 a 1
dx
d( x )
2 2
2
2
2b x 2b ax b
2 2
2
2
2b x 2b ax b
1 1 1 1
dx d( ax b)
1 1
2b
2b
2
1 x
·ln C
2
2 2
·ln x ?ln ax b C
2
b ax b
- 12 -

26.
x
2
dx
2
( ax b)
证 明 : 设 :
x
则
于 是
1
有
x
2
2
A(
ax
1
bx
1
( ax
2
2
Aa
B 0
Ab
1
dx
2
( ax b)
b)
a
b
b)
Bx
dx
2
ax b
A
2
x
2
B
2
ax b
x
2
( a 0)
( Aa B)
Ab
1
A
b
a
B
b
1 a
[ ] dx
2
2
bx b(
ax b)
1 1 a 1
dx dx
2
2
b x b ax b
1 a dx
bx b
2
ax b
2
dx a ax b 1
27. ( )
3 2
2 ln
2 2 C a 0
x ( ax b) 2b x 2bx
证 明 :
dx
x
( )
dx
( )
3 2 4 2
x ax b x ax b
设 :
则
1
1 1
4 2
2 x ( ax b)
dx
A B C
2
( )
4 2 2 4 2
x ( ax b)
x x ax b
1 Ax ( ax b) B( ax b)
Cx
2 2 2
4
4
2
( ) ( )
1
B
Aa
C
0
b
a
有 Ab Ba 0 A
2
b
Bb 1
2
a
C
b
2
于 是
dx
( )
3 2
x ax b
Aa C x Ab Ba x Bb
2
a 1 2 1 1 2 a 1 2
d( x ) d( x ) d( x )
2 2 4 2 2
2b
x 2b
x 2b
ax b
a 2 1 a
2
·ln x ?ln ax b C
2 2 2
2b 2bx 2b
2
a ax b 1
2 ln
2 2 C
2b x 2bx
- 13 -

- 14 -
( 五 ) 含 有 )
0
(
2
a
c
bx
ax 的 积 分 (29~30)
)
4
(
4
4
4
1
)
4
(
4
2
2
1,
4
4
4
1
)
(2
)
4
(
)
(
1
2
4
)
4
(
)
(
1
4
)
(
)
(
1
4
4
2.
4
2
)
(2
)
(
)
(
1
2
4
)
(
)
(
1
4
4
1.
)
(
)
(
1
4
)
(
)
(
4
1
0)
(
)
4
(
4
4
4
1
)
4
(
4
2
29.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ac
b
C
ac
b
b
2ax
ac
b
b
2ax
ln
ac
b
ac
b
C
b
4ac
b
2ax
arctan
b
ac
c
bx
ax
dx
C
ac
b
b
2ax
ac
b
b
2ax
ln
ac
b
b
ax
d
ac
b
b
2ax
a
a
dx
ac
b
b
2ax
a
dx
b
4ac
b
2ax
a
c
bx
ax
dx
ac
b
C
b
4ac
b
2ax
arctan
b
ac
b
ax
d
b
4ac
b
2ax
a
a
dx
b
4ac
b
2ax
a
c
bx
ax
dx
ac
b
dx
b
4ac
b
2ax
a
c
bx
ax
dx
b
4ac
b
2ax
a
c
bx
ax
a
ac
b
C
ac
b
b
2ax
ac
b
b
2ax
ln
ac
b
ac
b
C
b
4ac
b
2ax
arctan
b
ac
c
bx
ax
dx
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
得 :
综 合 讨 论
时 ,
当
时 ,
当
证 明 :
C
a
x
arctan
a
a
x
dx
1
19 2
2
:
公 式
C
2
1
21 2
2
a
x
a
x
ln
a
a
x
dx
:
公 式
2
1
)
(
2
)
(
2
1
2
1
)
(
2
)
(
2
1
2
1
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
2
1
1
2
1
)
(
2
1
)
)
(
2
1
2
1
(
)
(
2
1
2
1
1
1
0
2
2
2
)
(
1
2
)
(
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
)
(
)
(
2
1
)
(
2
)
(
28
2
2
2
2
2
b
ax
dx
b
b
ax
b
x
dx
b
ax
b
b
b
ax
abx
b
b
ax
dx
b
ax
b
b
abx
b
ax
ax
dx
b
ax
b
b
dx
x
ab
b
ax
ax
dx
b
ax
b
abx
b
ax
ax
b
B
b
A
Ab
Ba
Aa
Ab
Ba )x
Aa
(
Bax
b
ax
A
b
ax
B
ax
A
b
ax
ax
dx
ax
b
ax
b
ax
ax
ax
d
b
ax
b
ax
ax
b
ax
d
ax
b
ax
dx
0
a
b
ax
dx
b
b
ax
b
x
b
ax
dx
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
于 是 上 式
有
, 则
设 :
证 明 :

- 15 -
( 六 ) 含 有 )
0
(
2
2
a
a
x 的 积 分 (31~44)
c
bx
ax
dx
a
b
c
bx
ax
ln
a
dx
c
bx
ax
a
b
c
bx
ax
d
c
bx
ax
a
dx
c
bx
ax
b
a
dx
c
bx
ax
b
ax
a
dx
c
bx
ax
b
b
ax
a
dx
c
bx
ax
x
a
c
bx
ax
dx
a
b
c
bx
ax
ln
a
dx
c
bx
ax
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
)
(
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
0)
(
2
2
1
30.
证 明 :
C
)
(
,
1
AB |
|
,
AC |
|
B
Rt
1
0 ,
1
,
2
2
|
|
,
)
)
2
2
(
}
{
1
0)
(
C
)
(
31
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
a
x
x
ln
a
x
dx
0
x
a
x
C
x
a
x
ln
C
lna
x
a
x
ln
C
a
x
a
x
ln
C
tant
sect
ln
a
x
dx
a
x
tant
a
a
x
cost
sect
a
x
x
,
a
BC |
,|
t
ΔABC
C
tant
sect
ln
dt
sect
dt
t
a sec
a sect
a
x
dx
a sect
a
x
cost
sect
π
t
π
a sect
a
x
tdt
a sec
d( a tant
dx
,
π
t
π
a tant
x
R
x
x |
a
x
x )
(
f
a
a
x
x
ln
C
a
x
arsh
a
x
dx
.
2
2
则
中 , 设
在
则
可 令
的 定 义 域 为
被 积 函 数
证 明 :
C
tant
sect
ln
tdt
sec
|
|
公 式 87:

- 16 -
1
)
(
AB |
|
AC |
|
sint
AB |
|
,
AC |
|
,
|
,|
B
Rt
1
cos
1
1
1
1
)
(
)
(
0 ,
1
,
2
2
|
|
)
(
,
)
(
),
2
2
(
}
|
{
)
(
1
)
(
0)
(
)
(
32.
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
C
a
x
a
x
C
sint
a
a
x
dx
a
x
x
a
x
x
a
BC
t
ΔABC
C
sint
a
tdt
a
dt
sect
a
dt
t
a sec
t
sec
a
a
x
dx
t
sec
a
a
x
cost
sect
π
t
π
t
sec
a
a
x
tdt
a sec
a tant
d
dx
π
t
π
a tant
x
R
x
x
a
x
x
f
a
C
a
x
a
x
a
x
dx
2
3
3
3
3
3
3
2
则
中 , 设
在
则
可 令
的 定 义 域 为
被 积 函 数
证 明 :
C
a
x
dx
a
x
x
a
x
t
C
t
dt
dt
a
t
t
t
a
t
dx
a
x
x
dt
a
t
t
tdt
a
t
dx
a
t
x
t
t
a
x
a
C
a
x
dx
a
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
2
1
0) ,
(
0)
(
33.
代 入 上 式 得 :
将
则
证 明 : 令
C
a
x
C
a
x
a
x
d
a
x
dx
a
x
dx
a
x
x
dx
a
x
x
a
C
a
x
dx
a
x
x
2
2
2
3
1
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
1
)
(
2
3
1
1
2
1
)
(
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
)
(
0)
(
1
)
(
34.
证 明 :

- 17 -
C
)
(
2
2
C
)
(
)
(
2
2
31)
(
C
)
(
1
39)
(
C
)
(
2
2
1
0)
(
C
)
(
2
2
35.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
x
x
ln
a
a
x
x
a
x
x
ln
a
a
x
x
ln
a
a
x
x
dx
a
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x
ln
dx
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x
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x
x
ln
a
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x
dx
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dx
a
x
x
a
a
x
x
ln
a
a
x
x
dx
a
x
x
公 式
公 式
证 明 :
C
)
(
)
(
)
(
1
,
AB |
|
,
AC |
|
,
|
,|
B
Rt
cos
1
1
)
(
)
(
0 ,
1
,
2
2
)
(
)
(
),
2
2
(
}
|
{
)
(
)
(
0)
(
C
)
(
)
(
36.
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
a
x
x
ln
a
x
x
dx
a
x
x
0
x
a
x
C
lna
a
x
x
x
a
x
ln
C
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x
x
a
x
a
x
ln
C
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tant
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,sect
a
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x
x
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x
x
a
BC
t
ΔABC
C
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dt
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t
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t
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t
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t
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t
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t
π
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t
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|
t
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π
t
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x
R
x
x
a
x
x
x
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a
a
x
x
ln
a
x
x
dx
a
x
x
1
1
1
1
2
2
2
3
2
3
2
3
3
2
2
2
则
中 , 设
在
,
则
可 令
的 定 义 域 为
被 积 函 数
证 明 :
C
tant
sect
ln
dt
t
|
|
公 式 87:sec

- 18 -
1
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
2
1
1
1
2
)
(
2
1
0) ,
(
0)
(
1
37.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
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a
a
x
ln
a
C
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C
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C
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a
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a
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x
x
dx
代 入 上 式 得 :
将
则
证 明 : 令
C
2
1
21 2
2
a
x
a
x
ln
a
a
x
dx
:
公 式
b
nlog
b
log
a
n
a
提 示 :
1
1
1
)
(1
2
1
1
1
2
1
)
(1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
0) ,
(
1
1
1
0)
(
38.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
x
a
a
x
a
x
x
dx
x
t
C
t
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C
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x
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a
x
a
x
x
dx
a
C
x
a
a
x
a
x
x
dx
代 入 上 式 得 :
将
则
令
证 明 :

- 19 -
C
a
x
x
ln
2
a
a
x
2
x
dx
a
x
a
x
x
ln
a
a
x
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a
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C
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a
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a
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a
x
a
C
a
x
x
ln
2
a
a
x
2
x
dx
a
x
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
2
)
(
1
0)
(
)
(
39
1
即
2 得 ,
由 1
2
又
1
:
证 法
C
a
x
x
ln
2
a
a
x
2
x
dx
a
x
lna
2
a
a
x
x
ln
2
a
a
x
2
x
|
a
a
x
x
ln |
2
a
a
x
2
x
|
tant
sect
ln |
a
sect tant
a
a
x
,tant
a
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a
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x
a
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AC |
|
a
BC |
t,|
B
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,
tant
a
x
C
|
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a
2
tant
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a
2
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a
C
|
tant
sect
ln |
sectdt
sectdt
a
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a
2
sectdtant
a
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cost
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t
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t
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t
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a
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a
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a
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cost
,sect
2
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t
2
π
,
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t
tan
a
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t
2
π
tant
a
x
0
a
C
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x
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2
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2
x
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a
x
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
2
1
·
2
1
1
·
Rt
1
1
87
)
·
(
1
1
1
1
1
)
·
(
·
·
0 ,
1
·
1
)
(
2
)
(
)
(
39
综 合 12345 得
则
,
中 , 可 设
在
5
联 立 34 有
4
)
( 公 式
又
3
联 立 12 有
2
又
1
, 则
证 法 : 令
t
sec
t
tan
2
2
1
提 示 :
0)
(
)
(
1
31
a
C
a
x
x
ln
dx
a
x
2
2
2
2
:
公 式

- 20 -
C
a
x
x
ln
a
a
x
a
x
x
dx
a
x
C
x
a
x
ln
8
3a
a
x
8
x
3a
a
x
a
x
x
C
a
x
a
x
ln
a
8
3
a
x
a
a
x
8
3a
a
x
a
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x
a
x
a
tant
d
t
sec
a
a
a
x
t
,sect
a
x
tant
a
x
x
a
BC
t
ΔABC
C
tant
sect
ln
a
8
3
tant
sect
a
8
3
tant
t
sec
a
tant
d
t
sec
a
C
tant
sect
ln
tant
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dt
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tant
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tant
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t
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tant
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t
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tant
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tant
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tant
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t
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a
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t
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a
tant
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t
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a
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t
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a
dt
t
sec
t
tan
a
tant
t
sec
a
dt
tant
sect
t
sec
tant
a
tant
t
sec
a
t
sec
d
tant
a
tant
t
sec
a
tant
d
t
sec
a
a tant
d
t
sec
a
dx
a
x
t
sec
a
a
x
cost
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π
t
π
t
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a
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x
π
t
π
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R
x
x
a
x
x
f
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C
a
x
x
ln
a
a
x
a
x
x
dx
a
x
4
3
3
3
3
3
3
2
2
3
3
3
3
2
3
2
3
3
2
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
)
(
8
3
)
5
(2
8
)
(
)
(
4
4
cos
1
AB |
|
,
AC |
|
,
|
,|
B
Rt
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1)
(
)
3
(
4
1
3
3
1)
(
3
3
3
3
)
(
)
(
)
(
0 ,
1
,
2
2
|
|
)
(
),
2
2
(
}
|
{
)
(
)
(
0)
(
)
(
8
3
)
5
(2
8
)
(
40.
2
2
4
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
4
2
2
4
2
2
3
2
2
4
4
2
2
2
2
1
4
4
4
4
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
4
2
2
2
2
3
2
2
则
中 , 设
在
联 立 14 得
4
联 立 23 得 :
3
又
2
1
移 项 并 整 理 的 :
则
可 令
的 定 义 域 为
被 积 函 数
证 明 :
C
tant
sect
ln
dt
t
|
|
公 式 87:sec

- 21 -
C
a
x
C
a
x
a
x
d
a
x
dx
a
x
dx
a
x
x
a
C
a
x
dx
a
x
x
3
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
3
2
2
2
2
)
(
3
1
)
(
2
1
1
1
2
1
)
(
)
(
2
1
)
(
2
1
0)
(
)
(
3
1
41.
证 明 :

- 22 -
C
a
x
x
ln
a
a
x
a
x
x
dx
a
x
x
a
x
x
ln
a
x
a
x
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a
x
a
x
C
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x
C
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x
x
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t
ΔABC
C
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C
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tant
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dsect
t
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t
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t
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d
sect
t
tan
a
dx
a
x
x
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t
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a
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x
x
cost
sect
π
t
π
a sect
t
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x
x
π
t
π
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x
x
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x
x
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a
C
a
x
x
ln
a
a
x
a
x
x
dx
a
x
x
2
3
2
2
2
3
3
3
2
3
2
3
3
3
3
2
2
3
2
2
2
2
2
)
(
8
)
(2
8
)
(
8
8
0
8
)
(2
8
4
8
8
4
8
8
cos
1
AB |
|
,
AC |
|
,
|
,|
B
Rt
4
8
8
2
1
2
1
2
1
2
1
)
(1
4
4
)
(
4
1
3
3
)
(1
)
(
)
(
)
(
0 ,
1
,
2
2
|
|
)
(
),
2
2
(
}
|
{
)
(
0)
(
)
(
8
)
(2
8
42.
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
4
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
4
2
2
4
1
2
2
3
3
4
2
2
4
2
2
4
4
2
2
2
2
1
4
4
4
4
1
4
4
4
4
4
2
4
4
4
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
,
则
中 , 设
在
联 立 12 得 :
2
移 项 并 整 理 得 :
1
移 项 并 整 理 的 :
则
可 令
的 定 义 域 为
被 积 函 数
证 明 :
C
tant
sect
ln
dt
t
|
|
公 式 87:sec

- 23 -
)
(
)
(
2
)
(
2
2
1
1
2
)
(
2
1
) ,
0
(
0}
|
{
)
(
0)
(
43.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
x
a
a
x
ln
a
a
x
C
x
a
a
x
ln
a
a
x
C
a
a
x
a
a
x
ln
a
a
x
dx
x
a
x
a
x
t
C
a
t
a
t
ln
a
t
C
a
t
a
t
ln
a
a
t
dt
a
t
a
dt
dt
a
t
a
a
t
dt
a
t
t
dt
a
t
t
a
t
t
dx
x
a
x
dt
a
t
t
tdt
a
t
dx
a
t
x
a
t
t
t
a
x
x
x
x
a
x
x
f
a
C
x
a
a
x
ln
a
a
x
dx
x
a
x
代 入 上 式 得 :
将
则
且
令
的 定 义 域 为
证 明 : 被 积 函 数
C
)
(
2
1,
C
)
(
,
0
2.
C
)
(
0
1
AB |
|
,
AC |
|
,
|
,|
B
Rt
1
1
1
)
(1
0 ,
1
,
2
0
,
)
(
),
2
(0
,
0
1.
0}
|
{
)
(
0)
(
C
)
(
44.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
a
x
ln
x
a
x
dx
x
a
x
x
a
x
ln
x
a
x
dx
x
a
x
x
x
a
x
ln
x
a
x
dx
x
a
x
x
a
x
C
lna
x
a
x
ln
x
a
x
C
x
a
x
a
x
a
x
ln
dx
x
a
x
a
a
x
cost
sect
,
a
x
,tant
a
x
x
sint
a
x
x
a
BC
t
ΔABC
C
sint
tant
sect
ln
dsint
t
sin
sectdt
dt
t
sin
cost
sectdt
dt
t
sin
t
cos
cost
sectdt
dt
t
tan
sect
sectdt
dt
t
tan
t
tan
sect
tdt
a sec
t
a tan
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dx
x
a
x
t
a tan
sect
x
a
x
cost
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π
t
t
tan
a
a sect
x
a
x
tdt
a sec
a tant
d
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π
t
a tant
x
x
x
x
x
a
x
x
f
a
a
x
x
ln
x
a
x
dx
x
a
x
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
得 :
综 合 讨 论
时 同 理 可 证 得 :
当
则
中 , 设
在
,
则
时 可 令
当
的 定 义 域 为
被 积 函 数
证 明 :
C
tant
sect
ln
dt
t
|
|
公 式 87:sec
C
2
1
21 2
2
a
x
a
x
ln
a
a
x
dx
:
公 式

2 2
( 七 ) 含 有 x a ( a 0)
的 积 分 (45~58)
45.
dx x | x |
2 2
arsh C1
ln | x
x a | C
2 2
x a | x | a
( a 0)
证 法 1: 被 积 函 数 f(x)
1
2 2
x a
的 定 义 域 为 { x | x a或
x a}
1. 当 x a时 , 可 设 x a
sect
π
(0 t ), 则 dx a
sect
tantdt
2
2 2
2
π 2 2
x a a sec t
1 a
tant 0
t , x a a
tant
2
dx a
sect
tant
dt sectdt
2 2
x a a
tant
公 式 87: sec tdt ln | sect tant | C
ln | sect
tant | C
在 Rt ΔABC中 , 可 设 B
t ,| BC | a
1
sect
cost
x
dx
a
2 . 当 x a , 即 x a时 , 令
由 讨 论 1可 知
2
ln | sect
a
综 合 讨 论 1,
2, 可 写 成
2
x | AC |
, tant
a | BC |
x
dx
2
x
tant | ln |
2
ln
| x
| x
x
ln
2
a
ln | x
x
μ x , 即 x μ
dx
2
ln | x
a
2
μ
2
dμ
2
a
2
x a
a
x
, 则 | AB | x ,| AC |
2
2
2
x
2
x a
a
x
ln
| μ
2
2
a
a
a
2
a
2
2
| C
|
C
| C
| C
x | x |
arsh C
| x | a
2
2
2
|
4
5
4
3
μ
a
x
| C
ln
| x
1
2
2
2
ln | x
a
4
1
x
2
x
2
a
2
2
a
2
C
|
4
| C
- 24 -

45.
dx
2
x a
2
x | x |
arsh C
| x | a
证 法 2: 被 积 函 数 f(x)
2
x a
dx
2
x a
2. 当 x a , 即 x a时 , 令
由 讨 论 1可 知
ln | x
综 合 讨 论 1,
2, 可 写 成
1
2
x a
x
1. 当 x a时 , 可 设 x a
cht (t 0) , 则 t arch
a
2
2
1
2 2 2
a ch t
a
ln | x
a
sht
dt
a
sht
dx
2
2
x a
a
sht ,dx a
shtdt
2
x a
2
2
x a
dt t
C
x
x
arch C ln
a a
2
| C
μ x , 即 x μ
2
μ a
ln(
x
| x
x
ln
2
a
ln | x
dx
dμ
2
x a
2
3
2
| C
x
a
2
1
ln
| μ
2
x a
2
2
a
2
x a
) C
|
C
| C
( a 0)
的 定 义 域 为 { x | x a或
x a}
1
C
2
2
2
2
μ a
x | x |
arsh C
| x | a
4
5
4
2
ln
| x
1
2
| C
1
4
ln | x
2
x a
2
C
|
2
x a
2
4
| C
- 25 -

46.
( x
2
dx
a
2
)
a
证 明 : 被 积 函 数 f(x)
3
π
1. 当 x a时 , 可 设 x a
sect (0 t ), 则 dx a
sect
tantdt
2
2 2 3 3 3
π
2 2
( x a ) a tan
t 0
t , tant 0 , ( x a )
2
dx a
sect
tant 1 sect
dt dt
2 2 3 3 3
2
x a a tan
t a
3
( )
tan t
在 Rt ΔABC中 , 可 设 B
t ,| BC | a,
则 | AB | x ,| AC |
2 . 当 x a , 即 x a时 , 令 μ x , 即 x μ
( x
dx
x
x
a
a
( x
将 μ x代 入 得 :
综 合 讨 论 1,
2 得 :
2
2
2
2
2
a
1
2
a
1
2
a
由 讨 论 1可 知
C ( a 0)
2
a
2 2
x a
sint
x
dx
2 2 3 2
( x a ) a
2
)
3
1
)
( x
3
2
的 定 义 域 为 { x | x a或
x a}
2
1 cos t 1
dt
2
2
cost sin t a
1
d sint
2
sin t
1
C
sint
( μ
2
( μ
dx
d μ
2
( x
a
x
x
d μ
2
a
a
2
2
2
dx
a
)
3
a
2
)
2
2
3
)
)
2
3
a
3
a
C
a
2
2
2
x
x
μ
( μ
2
2
x
x
a
cost
dt
2
sin t
a
2
2
2
a
C
)
2
C
C
3
x
2
3 3
a tan
t
a
2
x
2 2
47. dx x a C ( a 0)
2 2
x a
证 明 :
x
x
a
2 2
1
1
(
2 2 )
2 (
2
)
dx x a d x
2
1
1
(
2 2 )
2 (
2 2
x a d x a )
2
1
1 1 1
(
2 2 )
2
x a C
2 1 1 2
2 2
x a C
- 26 -

48.
49.
( x
2
x
a
2
)
3
dx
证 明 : 被 积 函 数 f(x)
π
1. 当 x a时 , 可 设 x a
sect (0 t ), 则 dx a
sect
tantdt
2
x a
sect
π x sect
0
t ,
2 2 3 3 3
2
( )
2 2 2 3
x a a tan
t
( x a ) a tan
( x
在 Rt ΔABC中 , 可 设 B
t ,| BC | a
( x
2 . 当 x a , 即 x a时 , 令
( x
a
x
x
x
a
x
1
a
由 讨 论 1可 知
2
2
cott
2
a
( x
)
3
2 2
x a
1
dx
3
) a
)
3
dx
a
x
C
a
2
1 sec t 1 1
dt dt
2
2
a
tan t a
sin t
1 2 1
csc tdt cott C
a
a
( μ
将 μ x代 入 得 :
2
2
2
2
2
2
2
x
1
综 合 讨 论 1,
2 得 :
dx C
2 2 3
2 2
2
2
( x a ) x a
x x 2 2 a
2 2
dx x a ln
x
x a C ( a 0)
2 2
x a 2
2
证 明 :
2
x a
a
2
x
2
x
2
2
dx
2 x
a dx
2
dx
2
a
2 2
x a
由 1
2 得 :
x
2
x a
)
dx
x
ln
2
x a
2
3
μ
a
x
( x
( a 0)
的 定 义 域 为 { x | x a或
x a}
sect
2
a tan
a
2
2 2 2
x a a
dx
2 2
x a
(
( μ
2
2 2 2
x a dx a
2
2
2
2
2
x
dx
2
x
)
x
3
a
a
μ
3
a
a
μ x , 即 x μ
2
2
a
2
2
a
)
a
sect
tant dt
t
3
)
3
dμ
2
2
x a
2
2
ln
2
x a
2
2
2
x a
2
2
x a
C
dμ
μ
dx
) dx
1
x
C
2
2
dx
2
a
2
, 则 | AB | x ,| AC |
2
1
a
x
2
ln
1
2
x a
2
x
2
a
2
x
1
a
C
2
C
2
C
C
2
x a
2
C
x
3
2
t
a
2
1 ( 公 式 53)
2 ( 公 式 45)
- 27 -

- 28 -
C
a
x
x
ln
a
x
x
dx
a
x
x
,
C
a
x
x
ln
a
x
x
C
x
a
x
ln
ln a
a
x
x
C
x
a
x
x
a
x
ln
a
x
x
C
x
a
x
x
a
x
x
a
x
ln
a
x
x
dx
a
x
x
C
a
x
x
ln
a
x
x
dx
a
x
x
x
μ
C
a
μ
μ
ln
a
μ
μ
dμ
a
μ
μ
dμ
a
μ
μ
dx
a
x
x
μ
x
x ,
μ
a
x
a ,
x
C
a
x
x
ln
a
x
x
C
a
a
x
x
ln
a
x
x
dx
a
x
x
a
x
sect
a
a
x
tant
x
a
x
sint
a
x
AC |
x ,|
AB |
|
a
BC |
,|
t
B
ΔABC
C
sect
tant
ln
sint
C
t
cos
sint
ln
sint
C
t
sin
sint
ln
sint
C
sint
sint
ln
sint
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sint
ln
sint
ln
sint
sint
d
sint
sint
d
sint
d sint
t
sin
d sint
sint
sint
d sint
t
sin
d sint
t
sin
d sint
t
sin
d sint
t
sin
d sint
t
sin
d sint
t
sin
t
sin
d sint
t
sin
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sin
dt
t
cos
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sin
cost
dt
cost
t
sin
dt
t
sin
t
cos
t
cos
dt
t
tan
t
sec
dt
tant
sect
a
t
tan
a
t
sec
dx
a
x
x
t
tan
a
t
sec
a
x
x
π
t
t
tan
a
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sec
a
a
x
x
tantdt
sect
a
dx
π
t
sect
a
x
,
a
x
a
x
a
x
x |
a
x
x
f(x)
a
C
a
x
x
ln
a
x
x
dx
a
x
x
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
2
1
1
2
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
.
2
)
(
,
,
Rt
1
1)
(
1
(
2
1
1
1
1
(
2
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1)
(
1
1
2
1
1)
(
1
1
2
1
1
)
1
1
1
1
(
2
1
1
1
1
1
1
1
1
)
1
1
1
(
)
(1
1
1
1
)
(
)
(
2
0
)
(
)
2
(0
1.
}
{
)
(
0)
(
)
(
50
3
2
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
3
3
2
2
3
2
3
2
3
2
得 :
综 合 讨 论
代 入 得 :
将
可 知
由 讨 论
即
时 , 令
即
当
则 ,
中 , 可 设
在
)
)
,
, 则
时 可 设
当
或
的 定 义 域 为
证 明 : 被 积 函 数
b
nlog
b
log
a
n
a
提 示 :

51.
x
x
dx
2
a
2
1
arccos
a
证 法 1: 被 积 函 数 f(x)
1. 当 x a时 , 可 设 x a
sect
x
x
2
a
dx a sect tant
1
dt dt
2 2
2
x x a a sect
tant
a
1
t C1
a
a
a
x a
sect, cost , t arccos
x
x
dx 1 a
arccos C
2 2
x x a a x
2 . 当 x a , 即 x a时 , 令 μ x , 即 x μ
由 讨 论 1可 知
2
a
C
x |
综 合 讨 论 1,
2, 可 写 成
|
x
x
x
1
2
2
a sect
a
x
dx
2
2
a
( a 0)
的 定 义 域 为 { x | x a或
x a}
π
( 0 t ), 则
2
2
2
sec t
1 a sect
tant ,dx a
sect
tant d t
2
μ
dμ
μ
2
a
1
arccos
a
1 a
arccos C
a x
dx 1
arccos
2 2
x x a a
2
a
C
x |
|
a
μ
C
2
- 29 -

51.
dx 1 a
· arccos C
2 2
x x a a | x |
( a 0)
1
证 法 2: 被 积 函 数 f(x)
2 2
x x a
的 定 义 域 为 { x | x a或
x a}
1. 当 x a时 , 可 设 x a
cht (0 t)
, 则
x
x
2
x
a
x
dx
a
在 RtΔABC中 , 设 tany sht
y arctan(
sht ), | AC |
| BC |
cosy
| AB |
a
即 cosy cos arctan(
sht )
x
a
arctan(sht ) arccos C
x
dx 1
1
arctan(
sht ) C arccos
2 2
x x a a
a
2 . 当 x a , 即 x a时 , 令 μ x , 即 x μ
由 讨 论 1可 知
2
2
2
a
cht
a
sht a cht
sht ,dx a
sht dt
综 合 讨 论 1,
2, 可 写 成
2
x a
cht, cht
1 cht 1 1
dt
a
2
ch t a
1
sh
1
arctan(
sht ) C
a
x
a
sht
dt
a
cht
sht
a
x
x
x
,
a
dx
2
a
2
sht
x
2
μ
1 1
dt
a cht
2
x a
a
2
a , | AB |
dμ
μ
2
2
a
dsht
t
2
1
ch t
2
2
2
x a
a
, B y ,| BC | a
| AC |
a
x
1
arccos
a
| BC |
C
a
μ
1 a
arccos C
a x
dx 1 a
arccos C
2 2
x x a a | x |
dx
公 式 19:
2 2
x a
2
2
C
1
arctan
a
2
2
x
x
C
a
- 30 -

2 2
dx x - a
52. C ( a
0)
2 2 2 2
x x - a ax
1
证 明 : 被 积 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 { x | x a或
x a}
2 2 2
x x a
3
1 1 1 1 t
1 . 当 x a时 , 可 设 x (0 t ) , 则 dx dt ,
t a t x x a 1a t
3
dx t 1
( )
2 2 2 dt
2 2 2
x x a 1a t t
t
dt a t d t
2 2
1
at 2
1
1
(1
2 2 )
2 (
2 )
2 2 2 2 2 2
1
1
1
1
2 2 2 2 2 1 1
2 2 2
(1 a t ) d(1
2
2a
a t ) (1 a t ) C
2
2a
1
1
2
1
at
2
a
2 2
C
2 2
1 1 dx 1 2 1 2 1 x a
将 x , 即 t 代 入 上 式 得 1 a ( ) C C
2 2 2 2 2 2
t x
:
x x a a x a x
2 2
1 x a
C
2
a x
2 2
dx x a
x a 0 C
2 2 2
2
x x a ax
2 . 当 x a , 即 x a时 , 令 x
, 即 x
由 讨 论 1 可 知
2 2
dx
d
a
C
2 2 2
2 2 2
2
x x a a
a
2 2
dx x a
将 x代 入 上 式 得 : C
2 2 2
2
x x a ax
dx x a
综 合 讨 论 1 , 2 得 :
2 2 2
2
x x a ax
2 2
C
- 31 -

53.
x
2
a
2
x
dx
2
证 明 : 被 积 函 数 f(x)
1. 当 x a时 , 可 设 x a
sect
π
0
t
2
x
移 项 并 整 理 得 : a
2
在 Rt ΔABC中 , 可 设 B
t ,| BC | a
x
a
2
2
a
x
x
dx
2
2
a
a
a
a
a
a
a
tant
2
,
2
2
2
2
2
dx a
2
a 的 定 义 域 为 { x | x a或
x a}
2
2
2
x
a tant
d ( a
sect)
a
tant
sect a
tant
sect a
tant
sect a
2
a
tant d sect
2
2
a
2
2
a
2
2
a
tant
sect a
tant
sect a
tant
sect a
2
x a
a
2
ln
2
2
tant d sect
2
x a
a
x
π
(0 t ), 则
2
a tant
2
a
tant
sect
2
sect
2
a
2
ln
a
a
x
2
x 2 2 a
2 2
x a ln
x
x a C
2
2
π
2 . 当 x a时 , 可 设 x a
sect ( t 0) 同 理 可 证
2
2
2 2 x 2 2 a
综 合 讨 论 1,
2 得 : x a dx x a ln
x
2
2
,
2
2
2
2
x
a
x
2
2
2
2
sect dt a
sect dt a
ln
a
sect d tant
sec
sect (1
tan
x
a
2
3
2
tant d sect
t dt
C
x
2
a
2
2
sect tant
x
2
2
2
t)
dt
sect tan
tant d sect
a
ln
( a 0)
2
2
a tant
, 则 | AB | x ,| AC |
2
t dt
tant d sect
sect tant
x
2
x
2
C
1
a
a
2
C
2
1
C
- 32 -

54.
( x
2
a
证 明 :
2
( x
( x
)
( x
2
3
2
x
dx (2x
8
a
a
a
)
)
5a
dx x ( x
x ( x
x ( x
x ( x
x ( x
移 项 并 整 理 得 :
又
)
联 立 12 得 :
2
2
2
3
3
2
1
2
2
( x
x
d x
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
x
)
2
2
2
2
2
2
x
2
)
)
)
)
)
2
)
3
2
3
2
3
a
3
2
a
3
2
3
2
3
2
3
3
3
x
( x
( x
x
dx ( x
4
2
a
2
3
a
8
xd ( x
2
x ( x
a
a
ln
ln
a
(2x)
( x
a
a
x
a
x 2 2 3x
2 2
dx ( x a ) a x a
4
8
3 2
x a x 2 2 3x
2
( ) x a a
4 4
8
x 2 2 2 2 3
(2x
5a
) x a a
8
8
2
2
3
2
2
2
2
2
2
4
2
2
)
3
2
2
2
)
)
x
d x 3a
2
3
2
2
)
x
a
d x
)( x
4
2
1
2
3
2
2
2
3a
4
a
3
a
8
x
2
2
ln
x
2
)
a
2
2
2
1
2
2
a
x
a
d x
( x
)
( x
C
2
2
4
1
2
2
2
ln
3
a
8
x
d x
C
a
2
2
2
a
)
x
a
)
x
ln
d x
d x
( 公 式 53)
4
2
2
1
2
1
2
2
x
C
( a 0)
a
2
x
C
2
a
1
2
2
C
1
3
2 2 1 2 2 2
证 明 : x x a dx x a d( x )
2
2 2 2 2 3
55. x x a dx ( x a ) C ( a 0)
1
1
( 2 2 ) 2 ( 2 2
x a d x a )
2
1
1 1
1
2 2 2
( x a ) C
2 1 1 2
1 (
2 2 )
3
x a C
3
- 33 -

- 34 -
C
a
x
x
ln
a
a
x
a
x
x
dx
a
x
x
,
C
a
x
x
ln
a
a
x
a
x
x
dx
a
x
x
x
μ
C
a
μ
μ
ln
a
a
μ
)
a
μ
(
μ
dμ
a
μ
μ
dx
a
x
x
μ
x
x,
μ
a
x
a,
x
C
a
x
x
ln
a
a
x
a
x
x
C
a
x
x
ln
a
a
x
x
a
a
x
a
x
x
C
a
a
x
x
ln
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
x
a
dt
t
tan
d
t
sec
a
a
x
cost
,sect
a
a
x
tant
a
x
x
,
a
BC |
,|
t
ΔABC
C
tant
sect
ln
a
tant
sect
a
sect
t
tan
a
dt
t
tan
d
t
sec
a
C
tant
sect
ln
tant
sect
dt
sect
tant
sect
sect
d
tant
sect
d
tant
dt
sect
tant
sect
dt
sect
t
tan
dt
sect
tant
sect
sectdt
t
tan
tant
sect
tdt
sec
tant
sect
dtant
sect
tant
sect
sect
d
tant
d sect
tant
a
t
tan
sect
a
dt
t
tan
d
t
sec
a
d sect
tant
a
dt
t
sec
t
tan
a
t
tan
sect
a
d sect
tant
a
sect
td
sec
tant
a
t
tan
sect
a
d sect
t
sec
tant
a
t
tan
sect
a
d sect
t
tan
a
t
tan
sect
a
t
d tan
sect
a
dt
t
tan
t
sec
sect
a
dt
t
tan
d
t
sec
a
a sect
d
tant
t
sec
a
dx
a
x
x
tant
t
sec
a
a
x
x
tant
π
t
a tant
t
sec
a
a
x
x
,
π
t
sect
a
x
a
x
a
x
a
x
x |
a
x
x
x )
(
f
a
C
a
x
x
ln
a
a
x
a
x
x
dx
a
x
x
.
2
3
3
2
3
2
2
3
2
3
2
2
3
2
2
2
8
)
(2
8
1 2
8
)
(2
8
8
2
8
1
2.
8
)
(2
8
8
8
)
(
4
8
8
4
1
AC |
|
,
AB |
|
B
Rt
8
8
4
2
1
2
1
2
1
2
1
)
(1
4
4
3
3
3
3
3
3
1)
(
3
3
3
3
3
3
3
)
(
0 ,
,
2
0
|
|
)
2
(0
1.
}
{
0)
(
8
)
(2
8
56
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
4
2
2
4
2
2
3
2
2
4
4
2
2
2
2
1
4
4
4
4
1
4
3
4
4
4
3
2
4
3
4
4
2
4
3
4
2
4
3
4
3
4
3
4
3
4
2
4
4
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
得 :
综 合 讨 论
代 入 上 式 得 :
将
由 讨 论 得 :
则
时 , 令
即
当
则
中 , 设
在
将 3 式 代 入 2 式 得 :
3
移 项 并 整 理 得 :
又
2
移 项 并 整 理 得 :
1
则
可 令
时 ,
当
或
的 定 义 域 为
被 积 函 数
证 明 :

57.
2
x a
x
2
dx
证 法 1: 被 积 函 数
x
2
a
f(x)
1. 当 x a时 , 可 设 x a
sect
则
2
x a
x
2
2
2
x a
x
a
a
arccos C
| x |
2
x a
x
a
tant
a
sect
x a
sect,
2
cost
在 RtΔABC中 , 设 B
t, | BC | a, 则 | AB | x,
| AC |
| AC |
tant
| BC |
由 讨 论 1可 知
2
x a
a
2
x a
x
a
x
综 合 讨 论 1,
2, 可 写 成 :
2
,
dx a
sect
tant d t
a
tant
a
sect
tant
2
dx
dt a
tan tdt
a
sect
2
2
sin t 1
cos t 1
a
dt a dt a
2
2
cos t
cos t
cos
a
tant at
C
2
,
2
dx
π
(0 t ),
2
t
x
2
μ
2
x a
x
a
arccos
x
2
μ
a
2
( a 0)
的 定 义 域 为 { x | x a或
x a}
2 2
x a
dx a
tant a
t
C
x
2 2
a
x a a
arccos C
x
2 . 当 x a , 即 x a时 , 令 μ x , 即 x μ
a
2
2
a
a
arccos C
x
dx
d μ
x
2
a
μ
2
2
a
2
2
dt
t
x
dt
a
a
arccos
a
μ
a
a
arccos C
| x |
2
2
C
- 35 -

57.
2
x a
x
2
dx
x
2 2
x a
证 法 2: 被 积 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 { x | x a或
x a}
x
1. 当 x a时 , 可 设 x a
cht ( 0 t ),
则
2
x a
x
2 2
提 示 : ch t
sh t 1
( cht)
sht
( sht)
cht
a
2
x a
x
x a
cht, cht
在 RtΔABC中 , 设
y arctan(
sht ), | AC |
| BC |
cosy
| AB |
即 cosy cos arctan(
sht )
2 2
x a
2 2 a
dx x a a
arccos C
x
x
2 . 当 x a , 即 x a时 , 令 μ x , 即 x μ
由 讨 论 1可 知
2
2
2
a
a
arccos C
| x |
a
sht
a
cht
2
综 合 讨 论 1,
2, 可 写 成 :
( a 0)
2
sht
sh t
dx a
sht dt a dt
cht
cht
2
ch t1
a
dt a chtdt a
cht
1
a
chtdt a
dsht
2
1
sh t
a
sht
a
arctan(
sht ) C
tany sht
a
x
sht
cht
x
,
a
a
arctan(
sht ) arccos
x
2
x a
x
2
,dx a
sht dt
sht
dx
x
x
a
x
2
2
a
2
x a
x
2
x a
a
2
a , | AB |
2
2
1
ch t
μ
2
2
a
μ
dx
2
2
dμ
x
cht
dt
2
ch t
a
dx
公 式 19:
x a
2
x a
a
, B y ,| BC | a
| AC |
μ
a
a
a
arccos C
x
2
2
2
2
2
| BC |
2
1 x
arctan
a a
2 2
x
a
arccos
a
a
arccos C
| x |
2
a
μ
C
C
- 36 -

58.
2
x a
2
x
2
dx
2
x a
x
2
ln
x
x
2
a
2
C
( a 0)
证 明 :
2
x a
2
x
2
dx
x
2
a
2
1
d
x
2
x a
x
2
2
x a
x
2
2
x a
x
2
1
d
x
1
x
x
1
2
2
x
2x
( x
1
2
a
a
2
2
dx
2
a
2
)
1
2
dx
公 式 45:
x
dx
2
a
2
ln
x
x
2
a
2
C
2
x a
x
2
ln
x
x
2
a
2
C
2 2
( 八 ) 含 有 a x ( a 0)
的 积 分 (59~72)
59.
dx
x
arcsin C ( a 0)
2 2
a x a
1
证 明 : 被 积 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 { x | a
x a}
2 2
a x
π π
1
可 设 x a
sint ( t ), 则 dx a cost dt ,
2 2
2
a x
π π
1 1
t , cost 0
2 2
2 2
a x a cost
dx 1
a cost dt
2 2
a x a cost
x a sint
a
dx
2
x
2
dt
t C
t
x
arcsin
a
x
arcsin
a
C
2
1
a cost
- 37 -

- 38 -
C
x
a
a
x
x
a
dx
x
a
x
tant
x
a
BC |
x ,|
AC |
|
a
AB |
,|
t
B
ΔABC
C
tant
a
dt
t
sec
a
dt
t
cos
a
dt
cost
a
t
cos
a
x
a
dx
t
cos
a
x
a
cost
,
π
t
π
t
cos
a
x
a
dt
cost
a
dx
π
t
π
sint
a
x
a
x
a
x |
x
a
x )
(
f
a
C
x
a
a
x
x
a
dx
.
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
2
3
3
3
2
2
3
3
3
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
)
(
Rt
1
1
1
1
)
(
1
)
(
1
0
2
2
1
)
(
1
,
)
2
2
(
}
{
)
(
1
0)
(
)
(
60
则 ,
中 , 设
在
, 则
可 设
的 定 义 域 为
证 明 : 被 积 函 数
C
)
(
2
1
1
1
2
1
)
(
)
(
2
1
)
(
2
1
0)
(
C
61.
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
x
a
C
x
a
x
a
d
x
a
dx
x
a
dx
x
a
x
a
x
a
dx
x
a
x
证 明 :

x
1
62.
dx C ( a 0)
2 2 3 2 2
( a x ) a x
证 明 :
x
( a x )
2 2 3
3
1
(
2 2 )
2 (
2
)
dx a x d x
2
3
1
(
2 2 )
2 (
2 2
a x d a x )
2
3
1 1
1
2 2 2
( a x ) C
2 3 1 2
a
1
x
2 2
C
63.
a
x
2
2
x
x
dx
2
可 设 x a sint
2
a
x
x
a
证 明 : 被 积 函 数 f ( x)
π π
t ,
2 2
x
a
dx
a
a
x
2
a
2
2
a
2
2
a
2
2
a
2
x
cos t 0
x
arcsin C
a
2
a sin t
a cos t dt
cost
2
sin t dt
x
1
cos 2t
dt
2
2
a
dt cos 2t
d(2t)
4
2
a
t
sin2t C
4
2
a
t
sint cost C
2
在 Rt ΔABC中 , 设 B
t ,| AB | a
2
2
2
2
2
2
的 定 义 域 为 { x | a
x a}
2
a sin t
cost
2 2
x
a x
sint , cost
a
a
2
2
x x 2 2 a x
dx a x arcsin C
2 2
a x 2
2 a
a
x
( a 0)
π π
( t ), 则 dx a cos t dt ,
2 2
2
2
2
2
2
2
2
a
x
2
2
x
, 则 | AC | x ,| BC |
2
a
2 2
a sin t
a cost
2 2
提 示 : cos2t cos t sin t
sin2t 2
sint cost
2
1
2sin
x
2
2
t
- 39 -

- 40 -
C
a
x
arcsin
x
a
x
dx
x
a
x
x
a
x
tant
x
a
BC
x
AC
a
AB
t
B
ΔABC
C
t
tant
dt
d tant
dt
dt
t
cos
dt
t
cos
t
cos
dt
t
cos
t
sin
dt
t
a
t
cos
a
t
sin
dx
x
a
x
t
cos
a
t
sin
x
a
x
t
π
t
π
t
cos
a
t
sin
a
x
a
x
dt
t
a
dx
π
t
π
sint
a
x
a
x
a
x
x
a
x
x
f
0
a
C
a
x
arcsin
x
a
x
dx
x
a
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
3
2
2
2
3
3
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
)
(
|
,|
|
|
|
,|
Rt
1
1
cos
)
(
0
cos
,
2
2
)
(
,
cos
)
2
2
(
}
|
{
)
(
)
(
)
(
)
(
64.
则 ,
中 , 设
在
, 则
可 设
的 定 义 域 为
证 明 : 被 积 函 数

- 41 -
1
2
1
),
2
(0
0
2
1
0
1
1)
(
1
1
1
,
Rt
1
1
1
1
2
1
1)
(
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
2
0)
2
(
0
1.
0}
{
1
)
(
1
65
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
x
x
a
a
ln
a
x
a
x
dx
,
π
t
sint
a
x
a
x
.
C
x
x
a
a
ln
a
x
a
x
dx
x
a
a
C
x
x
a
a
ln
a
C
x
x
a
a
ln
a
C
x
a
x
a
ln
a
x
a
x
dx
x
a
sint
csct
x
x
a
cott
x
a
BC |
x ,|
AC |
|
a
AB |
,|
t
B
ΔABC
C
csct
cott
ln
a
C
sint
cost
ln
a
C
t
sin
)
( cost
ln
a
C
t
cos
)
( cost
ln
a
C
cost
cost
ln
a
C
cost
ln
a
cost
ln
a
)
cost
d(
cost
a
)
d(cost
cost
a
)d cost
cost
cost
(
a
d cost
t
cos
a
dt
t
sin
sint
a
dt
sint
a
dt
cost
a
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sint
a
x
a
x
dx
cost
sint
a
x
a
x
cost
,
t
π
|
cost
a
|
sint
a
x
a
x
dt
cost
a
dx
t
π
sint
a
x
x
a
x
a
x
a
x |
x
a
x
x )
(
f
0
a
C
x
x
a
a
ln
a
x
a
x
dx
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
得 :
综 合 讨 论
同 理 可 证
可 设
时 ,
当
则 ,
中 , 设
在
, 则
时 , 可 设
当
且
的 定 义 域 为
证 明 : 被 积 函 数

66.
2 2
dx a x
C ( a 0)
2 2 2
2
x a x a x
1
证 明 : 被 积 函 数 f ( x)
的 定 义 域 为 { x | a
x a且
x 0}
2 2 2
x a x
π
1. 当 a x 0时 , 可 设 x a sint ( t 0) , 则 dx a cos t dt ,
2
1 1 1
2 2 2 2 2
x a x a sin t a cos t
π π
1
1
t , cos t 0
3 2
2 2
2 2 2
x a x a sin t cost
dx
1
a cos t dt
2 2 2 3 2
x a x a sin t cost
1 1
dt
2 2
a
sin t
1
2
csc t dt
2
a
1
cott C
2
a
在 Rt ΔABC中 , 设 B
t ,| AB | a
cott
x
dx
a
x
2. 当 0 x a时 , 可 设 x a sint
综 合 讨 论 1, 2 得 :
x
2
2
2
2
a x
x
2
dx
a
2
2
2
a x
2
a x
x
2
2
C
π
(0 t ), 同 理 可 证
2
2
a x
2
a x
, 则 | AC | x ,| BC |
2
C
a
2
x
2
- 42 -

- 43 -
C
a
x
arcsin
a
x
a
x
C
a
x
a
x
a
a
a
x
arcsin
a
dx
x
a
a
x
a
, cost
a
x
sint
x
a
BC |
x ,|
AC |
|
a
AB |
,|
t
B
ΔABC
C
cost
sint
a
t
a
dx
x
a
cost
sint
a
t
a
cost
sint
a
dt
a
dx
x
a
dt
t
sin
a
cost
sint
a
d cost
sint
a
cost
sint
a
sint
d
cost
a
dt
t
cos
a
dx
x
a
dt
t
sin
a
dt
a
) dt
t
sin
(
a
dt
t
cos
a
dt
cost
a
cost
a
dx
x
a
cost
a
x
a
cost
,
π
t
π
cost
a
x
a
dt
cost
a
dx
π
t
π
sint
a
x
a
x
a
x |
x
a
x )
(
f
0
a
C
a
x
arcsin
a
x
a
x
dx
x
a
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Rt
2
2
2
1
0
2
2
,
)
2
2
(
}
{
)
(
2
2
67
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
则 ,
中 , 设
在
2 得 :
由 1
2
又
1
, 则
可 设
的 定 义 域 为
证 明 : 被 积 函 数

- 44 -
C
a
x
arcsin
a
x
a
x
a
x
C
a
x
arcsin
a
x
a
a
x
x
a
x
x
a
C
a
x
arcsin
a
x
a
a
x
x
a
x
dx
x
a
C
a
x
arcsin
a
x
a
x
x
d
x
a
x
d
x
a
a
x
a
x
dx
x
a
x
d
x
a
a
x
d
x
a
x
a
x
x
d
x
a
a
a
x
x
a
x
x
d
x
a
x
x
a
x
x
d
x
a
x
x
x
a
x
x
a
xd
x
a
x
dx
x
a
a
C
a
x
arcsin
a
x
a
x
a
x
dx
x
a
4
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
3
2
4
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
1
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
1
2
2
2
2
3
2
2
2
1
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
3
2
2
4
2
2
2
2
3
2
2
8
3
)
2
(5
8
8
3
8
3
)
4
4
(
8
3
8
3
)
(
4
)
(
67)
(
2
2
)
(
)
(
4
3
)
(
4
)
(
)
(
3
)
(
3
)
(
)
)(
(
3
)
(
)
(
3
)
(
)
(
)
2
(
2
3
)
(
)
(
)
(
)
(
0)
(
8
3
)
2
(5
8
)
(
68.
联 立 12 得 :
2
公 式
又
1
移 项 并 整 理 得 :
证 明 :
C
x
a
C
t
sin
a
dx
x
a
x
a
x
a
a
x
a
t
sin
a
x
sint
π
t
π
sint
a
x
C
t
sin
a
C
t
cos
a
dcost
t
cos
a
sint dt
t
a
dt
t
a
cost
sint
a
dx
x
a
x
cost
sint
a
x
a
x
t
π
t
π
t
a
t
a
x
a
x
dt
t
a
dx
π
t
π
sint
a
x
a
x
a
x
x
a
x
x
f
a
C
x
a
dx
x
a
x
2
2
2
3
2
3
2
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
3
3
3
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
)
(
3
1
)
(1
3
)
(
)
(
)
(1
,
)
2
2
(
)
(1
3
3
cos
cos
0
cos
,
2
2
|
cos
|
sin
,
cos
)
2
2
(
}
|
{
)
(
0)
(
)
(
3
1
69.
, 则
可 设
的 定 义 域 为
证 明 : 被 积 函 数

- 45 -
C
a
x
arcsin
a
x
a
a
x
x
C
a
x
arcsin
a
a
x
a
x
a
a
a
x
a
x
a
a
dx
x
a
x
a
x
,sint
a
x
a
cost
x
a
x
a
B
t
ΔABC
t
a
cost
sint
a
t
sin
t
a
dx
x
a
x
t
cost
sint
dt
cost
sint
cost
d
sint
dt
t
sin
cost
d
sint
dt
t
sin
dt
cost
sint
dt
t
sin
cost
sint
dt
t
cost
sint
sint
d
cost
cost
sint
cost
d
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d cost
sint
a
t
sin
t
a
dt
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cos
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sin
a
dx
x
a
x
dt
t
cos
t
sin
a
d cost
sint
a
t
sin
t
a
d cost
t
cos
sint
a
d cost
sint
a
t
sin
t
a
d cost
t
cos
sint
a
t
sin
t
a
t d cost
sin
a
t
sin
t
a
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sin
d
cost
a
dt
cost
cost
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sin
a
dt
t
cos
t
sin
a
sint
a
d
cost
t
sin
a
dx
x
a
x
cost
t
sin
a
x
a
x
t
π
t
π
cost
a
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sin
a
x
a
x
π
t
π
sint
a
x
a
x
a
x
x
a
x
x
f
a
C
a
x
arcsin
a
x
a
a
x
x
dx
x
a
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
8
)
(2
8
8
8
4
BC |
|
,
AC |
|
,
|
A
,|
B
Rt
C
8
8
cos
4
C
2
1
2
1
2
1
2
1
)
(1
cos
4
cos
4
3
3
cos
3
3
3
cos
3
)
(1
3
cos
3
3
cos
3
3
3
3
)
(
0 ,
cos
,
2
2
|
|
),
2
2
(
}
|
{
)
(
0)
(
8
)
(2
8
70.
4
2
2
2
2
4
2
2
4
3
3
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
4
4
3
4
2
2
2
1
4
3
4
4
2
2
2
2
4
4
3
4
4
4
3
4
4
3
4
4
3
4
4
4
4
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
则
中 , 设
在
联 立 14 得 :
4
联 立 23 得 :
3
又
2
1
移 项 并 整 理 得 :
则
可 令
的 定 义 域 为
被 积 函 数
证 明 :

- 46 -
2
1,
),
2
(0
0
2.
0
1
1)
(
,
1
,
|
,|
|
|
|
,|
Rt
cos
cos
1
cos
1)
(
2
cos
1)
(
1
1)
(
2
cos
1
1
2
cos
1
2
1
2
1)
(
1
1
2
1)
(cos
1
1
2
cos
)
1
1
1
1
(
2
1
1
1
1
cos
cos
cos
cos
0
cos
,
0
2
|
cos
|
cos
0)
2
(
0
1.
0}
|
{
1
)
(
)
(
71.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
x
x
a
a
ln
a
x
a
dx
x
x
a
π
t
sint
a
x
a
x
C
x
x
a
a
ln
a
x
a
dx
x
x
a
x
a
a
C
a
x
a
a
x
x
a
a
ln
a
C
a
x
a
a
x
x
a
a
ln
a
C
a
x
a
a
x
a
x
a
ln
a
dx
x
x
a
a
x
a
cost
x
a
sint
csct
x
x
a
cott
x
a
BC
x
AC
a
AB
t
B
ΔABC
C
t
a
csct
cott
ln
a
C
t
a
sint
cost
ln
a
C
t
a
t
sin
cost
ln
a
C
t
a
t
cos
cost
ln
a
C
t
a
cost
cost
ln
a
C
t
a
cost
ln
a
cost
ln
a
dt
sint
a
cost
d
cost
a
t
d
cost
a
dt
sint
a
t
d
cost
cost
a
dt
sint
a
dcost
t
cos
a
dt
sint
a
dt
t
sin
sint
a
dt
sint
a
dt
sint
a
dt
sint
t
sin
a
dt
sint
t
a
dt
t
a
sint
t
dx
x
x
a
sint
t
x
x
a
t
t
π
sint
a
t
a
x
x
a
dt
t
a
dx
t
π
sint
a
x
x
a
x
a
x
a
x
x
a
x
x
f
0
a
C
x
x
a
a
ln
a
x
a
dx
x
x
a
2
2
2
得 :
综 合 讨 论
同 理 可 证
可 设
时 ,
当
则 ,
中 , 设
在
, 则
时 , 可 设
当
且
的 定 义 域 为
证 明 : 被 积 函 数

72.
2
a x
2
x
2
dx
2
a x
x
2
x
arcsin C
a
( a 0)
证 明 : 被 积 函 数 f ( x)
2
a x
2
x
1. 当 a x 0时 , 可 设 x a sint
2
的 定 义 域 为 { x | a
x a且
x 0}
π
( t 0) , 则 dx a cos t dt
2
,
2
a x
2
x
2
a cos t
a
2
sin
2
t
π
2
t 0
,
cos t 0
2
a x
2
x
2
cos t
2
a sin t
2
a x
2
x
2
dx
cos t
a cos t dt
2
a sin t
2
cos t
dt
2
sin t
2
1
sin t
dt
2
sin t
2
csc tdt
cott
t C
dt
在 Rt ΔABC中 , 设 B
t ,| AB | a
则 ,
| AC | x ,| BC |
a
2
x
2
cott
2
a x
x
2
2 2
2 2
a x a x x
dx arcsin C
2
x
x
a
π
2. 当 0 x a时 , 可 设 x a sint (0 t ), 同 理 可 证
2
综 合 讨 论 1, 2 得 :
2
a x
2
x
2
dx
2
a x
x
2
x
arcsin C
a
- 47 -

- 48 -
( 九 ) 含 有 )
0
(
2
a
c
bx
a 的 积 分 (73~78)
C
2
2
1
)
(
4
2
1
)
(
)
(2
2
1
)
(2
)
(
)
(2
1
1
)
(2
)
(
)
(2
1
2
2
)
(
)
(2
1
2
]
)
(
)
[(2
4
1
]
4
)
[(2
4
1
0
Δ
0
0
1
0)
(
C
2
2
1
73 .
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
bx
ax
a
b
ax
ln
a
C
c
bx
ax
a
b
ax
ln
a
C
4ac
b
b
ax
b
ax
ln
a
b
ax
d
4ac
b
b
ax
a
b
ax
d
4ac
b
b
ax
a
a
dx
4ac
b
b
ax
a
c
bx
ax
dx
4ac
b
b
ax
a
b
ac
b
ax
a
c
bx
ax
4ac
b
a
c
bx
ax
c
bx
ax
f(x)
a
c
bx
ax
a
b
ax
ln
a
c
bx
ax
dx
2
2
2
2
2
2
恒 成 立
成 立 , 则
若 被 积 函 数
证 明 :
C
c
bx
ax
a
b
ax
ln
a
b
4ac
c
bx
ax
a
b
ax
C
c
bx
ax
a
b
ax
ln
a
b
4ac
c
bx
ax
a
b
ax
a
C
4ac
b
b
ax
b
ax
ln
a
b
4ac
c
bx
ax
a
b
ax
a
4ac
b
b
ax
b
ax
ln
4ac
b
4ac
b
b
ax
b
ax
a
a
b
ax
d
4ac
b
b
ax
a
a
dx
4ac
b
b
ax
a
dx
c
bx
ax
4ac
b
b
ax
a
b
ac
b
ax
a
c
bx
ax
4ac
b
a
c
bx
ax
c
bx
ax
f(x)
a
c
bx
ax
a
b
ax
ln
a
b
ac
c
bx
ax
a
b
ax
dx
c
bx
ax
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
3
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
8
4
2
)
(
4
2
8
2
2
2
4
1
)
(
)
(2
2
8
2
2
2
4
1
)
(
)
(2
2
2
)
(
)
(2
2
2
4
1
)
(2
)
(
)
(2
2
2
1
)
(
)
(2
2
1
]
)
(
)
[(2
4
1
]
4
)
[(2
4
1
0
Δ
0
0
0)
(
C
2
2
8
4
4
2
74.
恒 成 立
成 立 , 则
若 被 积 函 数
证 明 :
C
a
x
x
ln
a
a
x
x
dx
a
x
2
2
2
2
2
2
2
2
53
2
:
公 式
C
|
a
x
x
ln |
a
x
dx 2
2
2
2
公 式 45:

- 49 -
C
2
2
2
1
2
2
2
73)
(
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
)
(
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
)
(2
)
(
0)
(
C
2
2
2
1
75.
2
3
2
2
1
2
3
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
c
bx
ax
a
b
ax
ln
a
b
c
bx
ax
a
dx
c
bx
ax
x
C
c
bx
ax
a
b
ax
ln
a
b
C
c
bx
ax
a
b
ax
ln
a
a
b
dx
c
bx
ax
a
b
dx
c
bx
ax
a
b
c
bx
ax
a
dx
c
bx
ax
a
b
c
bx
ax
d
c
bx
ax
a
dx
c
bx
ax
a
b
dx
b
ax
c
bx
ax
a
dx
a
b
a
b
ax
c
bx
ax
dx
c
bx
ax
x
dx
b
ax
c
bx
ax
d
a
c
bx
ax
a
b
ax
ln
a
b
c
bx
ax
a
dx
c
bx
ax
x
公 式
又
上 式
变 换 成
可 将
证 明 :
C
2
1
)
(2
)
(
1
2
4
)
(2
4
]
)
(2
[
4
1
0
Δ
0
0
1
0)
(
C
2
1
76.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4ac
b
b
ax
arcsin
a
dx
b
ax
4ac
b
a
ax
bx
c
dx
a
b
ax
a
4ac
b
c
b
ax
b
a
ax
bx
c
4ac
b
a
ax
bx
c
ax
bx
c
f(x)
a
4ac
b
b
ax
arcsin
a
ax
bx
c
dx
2
2
2
2
2
有 解
成 立 , 则
若 被 积 函 数
证 明 :
原 题 : 有 误
C
2
1
2
4ac
b
b
ax
arcisn
a
ax
bx
c
dx
2

- 50 -
C
2
8
8
2
2
8
)
(
4
8
2
2
2
)
(2
)
(
2
2
4
1
)
(2
)
(2
)
(
2
2
1
)
(2
)
(
2
1
4
)
(2
4
]
)
(2
[
4
1
0
Δ
0
0
0)
(
C
2
8
8
2
77.
3
2
3
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
4ac
b
b
ax
arcsin
a
4ac
b
ax
bx
c
a
b
ax
C
4ac
b
b
ax
arcsin
a
4ac
b
ax
bx
c
a
a
b
ax
C
4ac
b
b
ax
arcsin
4ac
b
b
ax
4ac
b
b
ax
a
b
ax
d
b
ax
4ac
b
a
a
dx
b
ax
4ac
b
a
dx
ax
bx
c
a
b
ax
a
4ac
b
c
b
ax
b
a
ax
bx
c
4ac
b
a
ax
bx
c
ax
bx
c
f(x)
a
4ac
b
b
ax
arcsin
a
4ac
b
ax
bx
c
a
b
ax
dx
ax
bx
c
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
有 解
成 立 , 则
若 被 积 函 数
证 明 :
2
2
67
2
2
2
2
2
C
a
x
arcsin
a
x
a
x
dx
x
a
:
公 式
C
2
2
1
2
2
)
(
4
2
1
2
2
)
(2
)
(
2
1
)
(2
)
(2
)
(
1
2
)
(2
)
(2
)
(
2
2
1
)
(2
)
(2
)
(
2
2
1
2
1
2
)
(2
)
(
2
)
(2
4
1
]
)
(2
[
4
1
0
Δ
0
0
0)
(
C
2
2
1
78.
3
2
3
2
3
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
4ac
b
b
ax
arcsin
a
b
ax
bx
c
a
C
4ac
b
b
ax
arcsin
a
b
ax
bx
c
a
a
C
4ac
b
b
ax
arcsin
a
b
b
ax
4ac
b
a
b
ax
d
b
ax
4ac
b
a
b
b
ax
d
b
ax
4ac
b
b
ax
a
b
ax
d
b
ax
4ac
b
b
b
ax
a
a
a
dx
b
ax
4ac
b
x
a
dx
ax
bx
c
x
b
ax
4ac
b
a
c
b
ax
b
a
ax
bx
c
4ac
b
a
ax
bx
c
ax
bx
c
x
f(x)
a
4ac
b
b
ax
arcsin
a
b
ax
bx
c
a
dx
ax
bx
c
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
有 解
成 立 , 则
若 被 积 函 数
证 明 :
C
a
x
arcsin
x
a
dx
2
2
公 式 59 :
C
61
2
2
2
2
x
a
dx
x
a
x
:
公 式

- 51 -
( 十 ) 含 有 或 )
)(
( x
b
a
x
的 积 分 (79~82)
b
x
a
x
C
)
(
)
(
)
(
C
)
(
)
(
)
(
C
)
(
)
(
C
)
(
)
(
C
1)
(
)
(
1
1
)
(
C
1
)
(
1
1
)
(
1
1
)
(
C
]
1)
2(
1
1
2
1
)[
2(
1
1
)
(
1
,
1
,
1
1
,
1
1
AB |
|
1
AC |
|
1
BC |
|
B
Rt
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1)
(
1
,
1)
(
)
2
(0
0)
(
1)
(
1
)
(1
1
)
(1
1
)
2(
1
1
)
(
)
(1
1
)
2(
1
1
2
1
)
2(
)
(1
1
)
2(
1
1
)
2(
)
(1
1
)
2(
1
1
)
2(
]
)
(1
1
1
1
[
)
2(
)
(1
1
1
)
2(
)
(1
)
2(
)
(1
)
(
2
)
(1
)
(
2
1
0)
(
0
:
C
)
(
)
(
)
(
79
1
1
1
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
3
2
4
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
x
a
x
ln
a
b
b
x
a
x
b
x
b
x
a
x
ln
a
b
a
b
ln
b
a
b
x
a
x
b
x
b
x
a
x
a
b
ln
b
a
b
x
a
x
b
x
a
b
b
x
b
x
a
x
b
a
b
x
b
x
a
x
b
x
a
b
ln
b
a
dx
b
x
a
x
b
x
a
x
t
t
t
b
a
t
t
ln
b
a
t
t
b
a
t
t
ln
b
a
t
t
ln
b
a
t
t
t
t
ln
b
a
t
t
ln
b
a
dx
b
x
a
x
t
t
sin k
t
cosk
t
cot k
t
t
sin k
csck
t
t
k
ΔABC
k
sin
cosk
cotk
csck
ln
dk
sin k
k
sin
cosk
dk
sin k
dk
sin k
k
sin
cosk
dk
sin k
dk
k
sin
dk
k
sin
k
sin
dk
k
sin
k
cos
dk
k
tan
seck
tankdk
seck
k
tan
dt
t
tankdk
seck
d seck
k
tan
t
π
k
seck
t
t
dt
t
dt
t
dt
t
b
a
t
t
ln
b
a
dt
t
b
a
t
t
ln
b
a
dt
t
b
a
dt
t
b
a
dt
t
a
b
dt
t
a
b
dt
t
t
a
b
dt
t
t
a
b
dt
t
t
b
a
dt
t
b
a
t
t
dx
b
x
a
x
dt
t
b
a
t
dx
t
bt
a
x
t
b
x
a
x
t
b
x
a
x
b
x
a
x
ln
a
b
b
x
a
x
b
x
dx
b
x
a
x
.
代 入 上 式 得 :
将
,
则
,
中 ,
在
, 则
可 令
对 于
,
, 则
可 令
证 明

- 52 -
C
)
(
)
(
C
)
(
)
(
C
)
(
)
(
C
1
)
(
1
)
(
C
1
1
1
)
(
1
)
(
1
,
1
1
1
AB |
|
1
AC |
|
1
BC |
|
B
Rt
)
(
)
(
]
2
4
1
2
)[
2(
)
2(
2
4
1
2
2
2
1
2
1
)
2
(1
2
1
1
1
)
(1
1
,
1)
(
)
2
(0
0)
(
)
(1
1
)
(1
1
)
2(
1
1
)
(
)
(1
1
)
2(
1
1
2
1
)
2(
)
(1
1
)
2(
)
2(
)
(1
1
)
2(
1
1
)
2(
]
)
(1
1
1
1
[
)
2(
)
(1
1
1
)
2(
)
(1
)
2(
)
(1
)
(
2
)
(1
)
(
2
1
0)
(
0
:
C
)
(
)
(
80
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
4
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
b
a
x
b
x
a
b
a
x
arcsin
a
b
x
b
a
x
x
b
a
b
a
x
arcsin
a
b
a
b
x
b
x
b
a
x
a
b
x
b
a
x
a
b
x
b
arcsin
a
b
dx
x
b
a
x
x
b
a
x
t
t
t
a
b
t
t
arcsin
a
b
t
t
t
a
b
t
t
arcsin
a
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dx
x
b
a
x
t
t
sin k
t
cosk
t
k
ΔABC
C
cosk
sin k
a
b
k
a
b
C
k
sin
k
a
b
k
a
b
dx
x
b
a
x
C
k
sin
k
kdk
cos
dk
dk
k
cos
kdk
cos
dk
k
sec
kdk
sec
k
sec
dt
t
kdk
sec
dt
k
sec
t
π
k
tank
t
t
dt
t
dt
t
b
a
t
t
ln
b
a
dt
t
b
a
t
t
ln
b
a
dt
t
b
a
arcsint
a
b
dt
t
a
b
dt
t
a
b
dt
t
t
a
b
dt
t
t
a
b
dt
t
t
a
b
dt
t
a
b
t
t
dx
x
b
a
x
dt
t
a
b
t
dx
t
bt
a
x
t
x
b
a
x
t
x
b
a
x
a
b
a
x
arcsin
a
b
x
b
a
x
b
x
dx
x
b
a
x
.
代 入 上 式 得 :
将
,
则
,
中 ,
在
, 则
可 令
对 于
,
, 则
可 令
证 明

- 53 -
2
)
)(
(
BC |
|
AC |
|
AB |
|
BC |
|
AC |
|
B
Rt
2
19)
(
2
1
1
2
)
(1
)
(
2
1
1
|
|
1
1
)
(
|
|
,
)
(1
)
(
2
1
)
(
|
|
1
|
|
1
)
)(
(
:
)
(
2
)
(
81
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
a
b
a
x
arcsin
x
b
a
x
dx
a
b
a
x
arcsin
μ
,
a
b
a
x
sin μ
a
b
x
b
a
x
μ
ΔABC
x
b
a
x
arctan
μ
x
b
a
x
tan μ
C
x
b
a
x
arctan
C
arctant
dt
t
dt
t
a
b
t
t
t
t
a
b
dx
x
b
a
x
a
x
t
t
a
b
a
x
a
b
dt
t
a
b
t
dx
t
t
a
b
a
x
t
bt
a
x
x
b
a
x
t
dx
x
b
a
x
a
x
x
b
a
x
dx
b
a
C
a
b
a
x
arcsin
x
a )(b
x
dx
.
,
,
中 ,
在
, 则
令
公 式
于 是
,
,
, 则
令
证 明

- 54 -
C
4
)
(
)
)(
(
4
2
)
)(
(
C
)
1)
(
1)
(
1
(
4
)
(
C
)
1)
(
1)
(
1
(
4
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
4
)
(
)
)(
(
1
1
,
1
1
AB |
|
AC |
|
1
BC |
|
B
Rt
C
)
(
4
)
(
C
)
(
8
1
)
2(
)
)(
(
8
1
8
1
8
)
4
(4
32
1
8
4
32
1
8
4
4
1
2
2
8
1
2
4
1
)
(2
4
1
)
(1
,
1)
(
)
2
(0
0)
(
)
(1
)
(1
)
2(
)
(1
)
(
2
1
)
)(
(
1
1
1
)
(1
)
(
2
)
(1
)
(
2
)
(1
2
1
0)
(
0
)
)(
(
:
)
(
C
4
)
(
)
)(
(
4
2
)
)(
(
82
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
3
3
2
3
3
3
3
2
2
2
2
4
2
2
6
2
3
2
2
2
6
3
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
b
a
x
arcsin
a
b
x
b
a
x
b
a
x
dx
x
b
a
x
a
x
x
b
t
t
t
t
t
t
arcsin
a
b
t
t
t
t
t
t
arcsin
a
b
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
arcsin
a
b
dx
x
b
a
x
t
sin k
t
t
cosk
t
t
k
ΔABC
cosk
k
sin
k
cos
sin k
k
a
b
cosk
k
sin
k
cos
sin k
k
a
b
dx
x
b
a
x
C
cosk
k
sin
k
cos
sin k
k
C
cosk
k
sin
k
cos
sin k
k
C
k
sin
k
C
k
sin
k
dk
k
sin
dk
cosk
sin k
kdk
cos
k
sin
dk
k
sec
k
tan
kdk
sec
k
sec
k
tan
dt
t
t
kdk
sec
dt
k
sec
t
π
k
tank
t
t
dt
t
t
dt
t
t
b
a
dt
t
b
a
t
t
t
a
b
dx
x
b
a
x
t
a
b
a
x
b
a
t
a
b
t
at
a
b
at
a
x
dt
t
b
a
t
dt
t
b
at
t
t
at
dx
t
at
b
x
t
a
x
x
b
t
a
x
x
b
dx
a
x
x
b
a
x
dx
x
b
a
x
b
a
x
b
a
x
arcsin
a
b
x
b
a
x
b
a
x
dx
x
b
a
x
.
代 入 上 式 得 :
将
,
则
,
中 ,
在
联 立 以 上 两 式 得 :
, 则
可 令
对 于
,
, 则
可 令
证 明

( 十 一 ) 含 有 三 角 函 数 的 积 分 (83~112)
83.
sinx dx cosx
C
证 明 : sinx dx
( cosx)
sinx即
cosx为
sinx的 原 函 数
sinx dx
( sinx)
dx
dcosx
cosx
C
84.
cos x dx sin x C
证 明 : ( sin x)
cos x即
cos x dx
d sin x
sin x C
sin x为
cos x的 原 函 数
85.
tan x dx ln
cosx C
sinx
证 明 : tan x dx dx
cos x
1
d cos x
cos x
ln
cosx C
86.
87.
cot x dx ln
sin x
cos x
证 明 : cot x dx dx
sin x
1
d sin x
sin x
ln sin x C
π x
sec xdx ln | tan ( ) | C
ln|sec x tan x| C
4 2
1 cos x
证 明 : sec xdx dx dx
2
cos x cos x
1
1 1 1
d sin x
2
1
2
d sin x
sin x 1
sin x 2
1
1
ln
| 1
sin x | ln
| 1
sin x | C
2
2
1
2
1
2
C
1
ln
|
1
ln
sin x
sin x
1
sin x
2
cos x
| C
1 sin x
ln C
cos x cox
ln | sec x tan x | C
2
1
2
ln
2
1
sin x
2
1
sin x
1
sin x
C ln | | C
cos x
C
1
d sin x
1
sin x
- 55 -

- 56 -
1
)
(1
2
1
1)
(
1
)
(1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
)
(1
1
1
2
1
1)
(
1
1
2
1
1
1
1
1
(
2
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
88
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
x
cot
csc x
ln
C
sint
cost
ln
C
t
sin
cost
ln
C
t
cos
cost
ln
C
cost
cost
ln
C
cost
ln
cost
ln
cost
d
cost
cost
d
cost
)d cost
cost
cost
d cost
t
cos
dt
t
sin
sint
dt
sint
csc x dx
C
x
cot
csc x
ln
C
x
tan
ln
csc x dx
x
cot
csc x
sin x
cos x
x
cos
x
sin
x
sin
x
cos
x
sin
x
sin
x
cos
x
sin
x
tan
C
x
tan
ln
x
d tan
x
tan
x
d tan
x
cos
x
cos
x
sin
csc x dx
x
d tan
x
cos
dx
dx
x
cos
x
d tan
x
tan
x
tan
x
cos
x
sin
x
cos
x
sin
x
cos
x
sin
sin x
csc x
C
x
cot
csc x
ln
C
x
tan
ln
csc x dx
.
2
2
证 法 :
又
证 法 :

89.
90.
sec
2
x dx tan x C
证 明 : ( tan x)
sec
sec
( cotx)
csc
2
x dx
2
csc x dx cotx
C
2
证 明 : csc x dx
2
2
2
csc x dx
x即
d tant
tan x C
x即
cotx
C
tan x为
sec
2
( csc
x)
dx
cot x为
csc
dcotx
2
2
x的 原 函 数
x的 原 函 数
91.
sec x tan x dx sec x C
证 明 : ( sec x)
sec x tan x即
sec x tan x dx
d sec x
sec x C
sec x为
sec x tan x的 原 函 数
92.
cscx
cot x dx csc x C
( csc x)
cscx
cot x即
证 明 : cscx
cot x dx
cscx
cot x dx
d csc x
csc x C
( cscx
cot x)
dx
csc x为
cscx
cot x的 原 函 数
93.
94.
2 x
sin x dx
2
1
4
2
证 明 : sin x dx
cos
2
证 明 : cos
x
x dx
2
2
sin 2x
C
x dx
(
1
2
1
2
x
2
1
4
dx
1
4
1
2
cos2x)
dx
1
4
sin 2x
C
sin 2x
C
cos2xd2x
1 1
( cos2x)
dx
2 2
1 1
dx cos2xd2x
2 4
x 1
sin 2x
C
2 4
提 示 : sin
提 示 : cos
1
cos2
x
2
2 x
1
cos2
x
2
2 x
- 57 -

95.
sin
n
1
x dx sin
n
证 明 : sin
n
x dx
sin
n1
sin
n 1
x cos x
n
sin
n1
n1
cos x sin
cos x sin
cos x sin
cos x sin
cos x sin
移 项 并 整 理 得 : n
n
x sin x dx
x d cos x
n1
n1
n1
n1
n1
sin
1
x dx sin
n
n
x
x
n1
sin
x ( n 1)
x ( n 1)
x ( n 1)
n2
cos x d sin
n1
cos x ( n 1)
sin
cos
(1
sin
sin
x dx
n2
x dx cos x sin
n 1
x cos x
n
2
x
x sin
2
n1
n2
n2
x)
sin
n2
x cos x dx
n2
x dx ( n 1)
x ( n 1)
sin
x dx
x dx
x dx
sin
sin
n
x dx
n2
x dx
96.
cos
n
1
x dx cos
n
证 明 : cos
n
x dx
sin
n1
n 1
x sin x
n
cos
cos
n1
n1
sin x cos
sin x cos
sin x cos
sin x cos
sin x cos
移 项 并 整 理 得 : n
n
n1
n1
n1
n1
n1
x
x
x cos x dx
x d sin x
cos
x ( n 1)
x ( n 1)
x ( n 1)
1
x dx sin x cos
n
n
cos
n1
n2
sin x d cos
n1
sin x ( n 1)
cos
sin
(1
cos
cos
x dx
n2
x dx sin x cos
2
n 1
x
n
x
x s cos
2
n1
n2
n2
x)
cos
n2
x sin x dx
n2
x dx ( n 1)
x ( n 1)
cos
x dx
x dx
x dx
cos
cos
n
x dx
n2
x dx
- 58 -

97.
dx 1 cos x n 2 dx
dx
n
n1
n2
sin x n 1
sin x n 1
sin x
dx
1 1
证 明 : dx
dx
n
n2
2
sin x sin x sin x
1
d cot x
n2
sin x
cot x
1
cot x d
n 2
n2
sin x sin x
cot x
1n
cot x (2 n)
sin x cos x dx
n 2
sin x
2
cot x cos x
(2 n)
dx
n 2
n
sin x sin x
2
cot x 1
sin x
(2 n)
dx
n 2
n
sin x sin x
cot x
dx
1
(2 n)
dx (2 n)
dx
n 2
n
n2
sin x sin x
sin x
dx cot x
1
移 项 并 整 理 得 :(
n 1)
dx (2 n)
dx
n
n 2
n2
sin x sin x sin x
cos x
1
( n 2)
dx
n 1
n2
sin x sin x
dx 1 cos x n 2 dx
dx
n
n1
n2
sin x n 1
sin x n 1
sin x
98.
dx 1 sin x n 2 dx
n
n1
n2
cos x n 1
cos x n 1
cos x
dx 1 1
证 明 : dx
n
n2
2
cos x cos x cos x
1
d tan x
n2
cos x
tan x
1
tan x d
n 2
n2
cos x cos x
tan x
1n
tan x (2 n)
cos x sin x dx
n 2
cos x
2
tan x
sin x
( n 2)
dx
n 2
n
cos x cos x
2
tan x 1
cos x
( n 2)
dx
n 2
n
cos x cos x
sin x
dx
1
( n 2)
dx ( n 2) dx
n 1
n
n2
cos x cos x
cos x
dx sin x
1
移 项 并 整 理 得 :(
n 1)
( n 2)
dx
n
n 1
n2
cos x cos x cos x
sin x
1
( n 2)
dx
n 1
n2
cos x cos x
dx 1 sin x n 2 dx
n
n1
n2
cos x n 1
cos x n 1
cos x
- 59 -

- 60 -
1
1
1
)
(
1
]
1)
[(
)]
(
1)
[(
1)]
(
1)
[(
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(1
1)
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1
1
1
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(
1
1
1
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(
1
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[(1
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(
)
[(1
1)]
(
)
[(1
]
)
(1
1)
(
[
)
(
)
(
1
1
1
)
(
1
1
1
1
99
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
xdx
sin
x
cos
n
m
n
x
sin
x
cos
n
m
xdx
sin
x
cos
xdx
sin
x
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sin
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n
m
dx
x
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dx
x
sin
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x
sin
x
sin
x
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n
dx
x
cos
x
sin
x
sin
x
cos
n
dx
x
sin
sin x
x
cos
n
x
cos
cos x
x
sin
n
x
cos
x
sin
d
x
cos
x
sin
xd
cos
n
m
x
cos
x
sin
n
m
x
xd cos
sin
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n
m
xdx
sin
x
cos
sin xdx
x
cos
n
m
x
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xdx
sin
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m
m
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m
xdx
sin
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n
m
m
x
sin
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xd
sin
n
m
dx
x
cos
x
sin
m
dx
x
cos
x
cos
x
sin
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cos
x
sin
m
dx
x
cos
x
sin
x
cos
x
sin
m
dx
x
cos
cos x
x
sin
m
x
sin
sin x
x
cos
m
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x
sin
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cos
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sin
n
m
x
sin
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cos
n
m
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sin
x
cos
n
m
xdx
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sin
n
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xdx
d sin
xdx
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m
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sin
x
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.
n
m
n
m
n
m
n
m
n
n
n
m
n
n
n
n
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
m
m
n
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n
n
n
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m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
n
m
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m
n
m
m
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
证 明 2:
证 明 1:
2
1

- 61 -
x
b
a
cos
b
a
x
b
a
cos
b
a
x
b
a
x d
b
a
sin
b
a
x
b
a
x d
b
a
sin
b
a
xdx
b
a
sin
x dx
b
a
sin
dx
x
b
a
sin
x
b
a
sin
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sin ax
x
b
a
cos
b
a
x
b
a
cos
b
a
cosbx dx
sin ax
.
)
(
)
2(
1
)
(
)
2(
1
)
(
)
(
)
2(
1
)
(
)
(
)
2(
1
)
(
2
1
)
(
2
1
]
)
(
)
(
[
2
1
C
)
(
)
2(
1
)
(
)
2(
1
100
证 明 :
C
)
(
)
2(
1
)
(
)
2(
1
)
(
)
(
)
2(
1
)
(
)
(
)
2(
1
)
(
2
1
)
(
2
1
]
)
(
)
(
[
2
1
C
)
(
)
2(
1
)
(
)
2(
1
101
x
b
a
sin
b
a
x
b
a
sin
b
a
x
b
a
x d
b
a
cos
b
a
x
b
a
x d
b
a
cos
b
a
x dx
b
a
cos
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b
a
cos
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x
b
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cos
x
b
a
cos
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sin ax
x
b
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sin
b
a
x
b
a
sin
b
a
sinbx dx
sin ax
.
证 明 :
C
)
(
)
2(
1
)
(
)
2(
1
)
(
)
(
)
2(
1
)
(
)
(
)
2(
1
)
(
2
1
)
(
2
1
]
)
(
)
(
[
2
1
C
)
(
)
2(
1
)
(
)
2(
1
102
x
b
a
sin
b
a
x
b
a
sin
b
a
x
b
a
x d
b
a
cos
b
a
x
b
a
x d
b
a
cos
b
a
x dx
b
a
cos
x dx
b
a
cos
dx
x
b
a
cos
x
b
a
cos
cosbx dx
cosax
x
b
a
sin
b
a
x
b
a
sin
b
a
cosbx dx
cosax
.
证 明 :
)]
(
)
(
[
2
1
β
α
sin
β
α
sin
α cos β
sin
提 示 :
)]
(
)
(
[
2
1
β
α
cos
β
α
cos
α sin β
sin
提 示 :
)]
(
)
(
[
2
1
β
α
cos
β
α
cos
α cos β
cos
提 示 :

- 62 -
C
a
x
arctan
a
a
x
dx
2
2
1
公 式 19:
C
2
2
2
C
2
)
(
)
(
)
(
1
2
)
(
)
(
)
(
1
2
0
)
(
)
(
)
(
1
2
)
(
)
(
1
2
)
(
1
2
2
1
2
1
2
2
)
(1
1
1
2
)
(1
1
2
,
1
2
)
(1
2
1
)
2
(1
2
1
2
2
1
)
2
(
1
2
2
1
2
2
2
2
2
,
2
)
(
C
2
2
103
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
x
tan
a
arctan
b
a
b sin x
a
dx
x
tan
t
b
a
b
at
arctan
b
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b
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dt
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dx
dx
t
dx
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t
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x
sin
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x
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t
b
a
b
a
b
x
tan
a
arctan
b
a
sin x
b
a
dx
.
代 入 上 式 得 :
将
时
即 ,
当
则
令
证 明 :

- 63 -
C
2
1
21 2
2
a
x
a
x
ln
a
a
x
dx
:
公 式
C
2
2
1
2
2
1
2
)
(
)
(
)
(
1
2
)
(
)
(
)
(
1
2
)
(
)
(
)
(
1
2
0
)
(
)
(
)
(
1
2
)
(
)
(
1
2
)
(
1
2
2
1
2
1
2
2
)
(1
1
1
2
)
(1
1
2
,
1
2
)
(1
2
1
)
2
(1
2
1
2
2
1
)
2
(
1
2
2
1
2
2
2
2
2
,
2
)
(
C
2
2
1
104
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
b
x
tan
a
a
b
b
x
tan
a
ln
a
b
b sin x
a
dx
x
tan
t
C
a
b
b
at
a
b
b
at
ln
a
b
b
at
d
a
b
b
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b
at
d
a
b
b
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b
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d
b
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b
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b
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b
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b
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d
b
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b
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dt
b
a
b
at
a
dt
a
a
b
a
b
t
a
dt
a
bt
a t
dt
t
bt
t
a
t
b sin x
a
dx
t
bt
t
a
t
bt
a
b sin x
a
dt
t
dx
dx
t
dx
x
tan
dx
x
sec
dx
x
tan
dt
t
t
x
tan
x
tan
x
cos
x
sin
sin x
x
tan
t
b
a
a
b
b
x
tan
a
a
b
b
x
tan
a
ln
a
b
b sin x
a
dx
.
代 入 上 式 得 :
将
时
即 ,
当
则
令
证 明 :

- 64 -
2
2
1
θ
2 θ
cos
cos
提 示 :
C
a
x
arctan
a
a
x
dx
2
2
1
公 式 19:
C
x
tan
b
a
b
a
arctan
b
a
b
a
b
a
cos x
b
a
dx
x
tan
t
C
t
b
a
b
a
arctan
b
a
b
a
b
a
C
t
b
a
b
a
arctan
b
a
b
a
C
t
b
a
b
a
arctan
b
a
b
a
b
a
C
t
b
a
b
a
arctan
b
a
b
a
b
a
dt
t
b
a
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a
b
a
dt
b)
a
t
b
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b
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b
a
dt
b
a
t
b
a
cos x
b
a
dx
dt
t
dx
dx
t
dx
cos x
dx
x
cos
dx
x
sec
x
d tan
dt
t
b
a
t
b
a
t
t
b
a
cos x
b
a
t
t
x
tan
x
tan
cos x
x
tan
t
a
C
x
tan
b
a
b
a
arctan
b
a
b
a
b
a
cos x
b
a
dx
.
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
(
)
(
2
|
|
|
|
)
(
)
(
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
)
(
)
(
1
1
1
1
2
1
2
1
2
)
b
(
2
2
105
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
代 入 上 式 得 :
将
时
, 即
当
则 ,
证 明 : 令

- 65 -
2
2
1
2
1
1
1
1)
(
1
2
1
2
1
2
1
2
)
(
)
(
2
(
)
(
2
0
|
|
|
|
)
(
)
(
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
)
(
)
(
1
1
1
1
2
1
2
1
2
)
b
(
2
2
1
106
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
a
b
b
a
x
tan
a
b
b
a
x
tan
ln
a
b
b
a
b
a
cos x
b
a
dx
x
tan
t
C
a
b
b
a
t
a
b
b
a
t
ln
a
b
b
a
b
a
C
a
b
b
a
t
a
b
b
a
t
ln
a
b
b
a
b
a
C
a
b
b
a
t
a
b
b
a
t
ln
a
b
b
a
C
a
b
b
a
t
a
b
b
a
t
ln
b
a
a
b
b
a
C
a
b
b
a
t
a
b
b
a
t
ln
b
a
a
b
b
a
dt
a
b
b
a
t
b
a
dt
t
a
b
b
a
a
b
dt
a
b
t
b
a
dt
b)
a
t
b
a
a
b
b
a
,
b
a
dt
b
a
t
b
a
cos x
b
a
dx
dt
t
dx
dx
t
dx
cos x
dx
x
cos
dx
x
sec
x
d tan
dt
t
b
a
t
b
a
t
t
b
a
cos x
b
a
t
t
x
tan
x
tan
cos x
x
tan
t
a
C
a
b
b
a
x
tan
a
b
b
a
x
tan
ln
a
b
b
a
b
a
cos x
b
a
dx
.
代 入 上 式 得 :
将
,
即
当
则 ,
证 明 : 令
2
2
1
θ
2 θ
cos
cos
提 示 :
C
2
1
21 2
2
a
x
a
x
ln
a
a
x
dx
:
公 式

107 .
dx 1 b
arctan
tan x C
2 2 2 2
a cos x b sin x ab a
dx
1 1
证 明 :
dx
2 2 2 2
a cos x b sin x
2 2 2 2
cos x a b tan x
1
d tan x
2 2 2
a b tan x
1 1
d tan x
2
b
2
a 2
( tan x)
2
b
1 1
d tan x
2
b
a 2 2
( ) tan x)
b
1 b b
arctan
tan x C
2
b a a
1 b
arctan
tan x C
ab a
dx
公 式 19:
x a
1 x
arctan
a a
2 2
C
108.
dx
1 b tan x a
ln
C
2 2 2 2
a cos x b sin x 2ab
b tan x a
dx
1 1
证 明 :
dx
2 2 2 2
a cos x b sin x
2 2 2 2
cos x a b tan x
1
d tan x
2 2 2
a b tan x
1 1
d b tan x
b
( )
2
2
a ( b tan x)
1
b
1
( b tan x)
a
d ( b tan x)
1 1 b tan x a
ln
C
b 2a
b tan x a
1 b tan x a
ln
C
2ab
b tan x a
1 b tan x a
ln
C
2ab
b tan x a
2
2
dx 1 x a
公 式 21:
ln
2
x a 2a
x a
提 示 : log
2
a
b
1
log
a
b
C
- 66 -

109.
110.
111 .
112
1 1
x sin ax dx sin ax x cosax C
2
a a
1
证 明 : x sin ax dx x d cosax
a
1
1
x cosax cosax dx
a
a
1
1
x cosax cosax dax
2
a
a
1
1
x cosax sin ax C
2
a
a
2
1 2 2
2
x sin ax dx x cosax x sin ax cosax C
2
3
a
a
a
2
1 2
证 明 : x sin ax dx x d cosax
a
1 2 1
2
x cosax cosax dx
a
a
1 2 2
x cosax x cosax dx
a
a
1 2 2
x cosax x d sin ax
2
a
a
1 2 2
2
x cosax x sin ax sin ax dax
2
3
a
a
a
1 2 2
2
x cosax x sin ax cosax
2
3
a
a
a
1 1
x cosax dx cosax x sin ax C
2
a a
1
证 明 : x cosax dx x d sin ax
a
1 1
x sin ax sin ax dx
a a
1
1
x sin ax sin ax dax
2
a a
1
1
x sin ax cosax C
2
a a
1 2 2
a a a
1
a
1 2 1
2
x sin ax sin ax d( x )
a
a
1 2 2
x sin ax x sin ax dx
a
a
1 2 2
x sin ax x d cos ax
2
a
a
1 2 2 2
x sin ax x cos ax cos ax dax
2 3
a a a
1 2 2 2
x sin ax x cos ax sin ax C
2 3
a a a
2 2
. x cos ax dx x sin ax x cos ax sin ax C
2 3
证 明 :
2 2
x cos ax dx x d sin ax
- 67 -

( 十 二 ) 含 有 反 三 角 函 数 的 积 分 ( 其 中 0
2 2
113 . arcsin dx x arcsin a x C ( a 0)
114 .
- 68 -
x
x
a
a
x x x
证 明 : arcsin dx x arcsin x d arcsin
a a
a
x 1 1
xarcsin x dx
a
x 2
a
1 ( )
a
x x
xarcsin
dx
a
2 2
a x
x 1 1
2
xarcsin
d( x )
a 2
2 2
a x
a )(113~121)
1
x 1
(
2 2 )
2 (
2 2
xarcsin a x d a x )
a 2
1
x 1 1
1
2 2 2
xarcsin ( a x ) C
a 2 1 1 2
x
a
2 2
x arcsin a x C
2 2
x x a x x 2 2
x arcsin dx ( ) arcsin a x C ( a 0)
a 2 4 a 4
x
证 明 : 令 t arcsin , 则 x a sint
a
x
2
x arcsin dx a sint t d(
a sint)
a t sint cost dt
a
2
2
a
a
2
2
2
t
sin t dt t d cos t
4
2
2
a
a
t
cos2t
cos2t
dt
4
4
2
2
a
a
t
cos2t
cos2t
d2t
4
8
2
2
a
a
t
cos2t
sin 2t
C
4
8
2
2
a
2 a
t
(2cos
t 1)
sint cost C
4
4
2
2 2
a
2 a a
t
cos t t
sint cost C
2
4 4
在 Rt ΔABC中 , 可 设 B
t ,| AB | a,
则
cost
x arcsin
x
a
2
a x
a
2
,
sint
x
a
| AC | x ,| BC |
2
2 2 2
a x a x a
dx arcsin arcsin
2
2 a a 4
2 2
2
x a x a x x
arcsin arcsin
2 a 4 a 4
2 2
x a x x 2 2
( ) arcsin a x C
2 4 a 4
x
a
提 示 : sin
2
a
4
a
2
a
2
x
cos2x
cos
x
x
a
2
2
2x
2 sin x cos x
C
2cos
2
a x
a
2
2
x sin
2
x 1
C
2
x

- 69 -
C
x
a
a
x
a
x
arcsin
x
C
x
a
x
a
x
a
a
a
x
arcsin
x
C
x
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
x
a
x
arcsin
a
dx
a
x
arcsin
x
a
x
sint
a
x
a
cost
x
a
BC |
x ,|
AC |
|
a
AB |
,|
t
B
ΔABC
C
t
cos
a
cost
a
t
sin
t
a
C
t
cos
a
cost
a
t
sin
t
a
d cost
t
cos
a
cost
a
t
sin
t
a
dt
t
cos
sint
a
dt
sint
a
t
sin
t
a
dt
t
cos
sint
a
t
sin
t
a
dt
t
sin
a
t
sin
t
a
t
d sin
t
a
dt
cost
t
sin
t
a
sint
a
d
t
t
sin
a
dx
a
x
arcsin
x
sint
a
x
a
x
arcsin
t
a
C
x
a
a
x
a
x
arcsin
x
dx
a
x
arcsin
x
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
3
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
2
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3
2
)
2
(
9
1
3
9
3
3
9
3
3
,
Rt
9
3
3
2
1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
)
(1
3
3
3
3
3
)
(
,
0)
(
)
2
(
9
1
3
115
则 ,
中 , 可 设
在
则
令
证 明 :

x
x
a
a
x x x
证 明 : arccos dx x arccos x d arccos
a a
a
x 1 1
x arccos x dx
a
x 2
a
1 ( )
a
x x
x arccos
dx
a
2 2
a x
x 1 1
2
x arccos
d( x )
a 2
2 2
a x
2 2
116 . arccos dx x arccos a x C ( a 0)
1
x 1 -
(
2 2 )
2 (
2 2
x arccos a - x d a - x )
a 2
1
x 1 1
1
2 2 2
x arccos ( a - x ) C
a 2 1 1 2
x
a
2 2
x arccos a x C
117.
- 70 -
2 2
x x a x x 2 2
x arccos dx ( ) arccos a x C ( a 0)
a 2 4 a 4
x
证 明 : 令 t arccos , 则 x a cost
a
x
2
x arccos dx a cost t d(
a cost)
a t cost sint dt
a
2
2
a
a
2
2
2
t
sin t dt t d cos t
4
2
2
a
a
t
cos2t
cos2t
dt
4
4
2
2
a
a
t
cos2t
cos2t
d2t
提 示 : sin 2x
2 sin x cos x
4
8
2
2
cos2x
cos x sin x
2
2
a
a
2
t
cos2t
sin 2t
C
2cos
x 1
4
8
2
2
a
2 a
t
(2cos
t 1)
sint cost C
4
4
2
2 2
a
2 a a
t
cos t t
sint cost C
2
4 4
在 Rt ΔABC中 , 可 设 B
t ,| AB | a
sint
x arccos
x
a
2
a x
a
2
,
cost
2
2 2
a x x a x
dx arcsin arcsin
2
2 a a 4 a
2
2
x x a x x
arcsin arcsin
2 a 4 a 4
2 2
x a x x 2 2
( ) arcsin a x
2 4 a 4
x
a
, 则 | BC | x ,| AC |
2
a
4
a
2
C
x
a
x
2
a
2
x
C
2
2
a x
a
2
C

118.
3
2 x x x 1 2 2 2 2
x arccos dx arccos ( x 2a
) a x C ( a 0)
a 3 a 9
x
证 明 : 令 t arccos , 则 x a cost
a
2 x
2 2
3
2
x arccos dx a cos t t d a cost a t cos t sint dt
a
( )
3
a
3
t d cos t
3
3
3
a
3 a 3
t
cos t cos t dt
3
3
3
3
a
3 a
2
t
cos t cost (1 sin t)
dt
3
3
3
3
3
a
3 a
a
2
t
cos t cost dt cost sin t dt
3
3
3
3
3
3
a
3 a a 2
t
cos t sint sin t d sint
3
3 3
3
3
3
a
3 a a 1 3
t
cos t sint sin t C
3
3 3 1
2
3
3
3
a
3 a a 3
t
cos t sint sin t C
3
3 9
在 Rt ΔABC中 , 可 设 B
t ,| AB | a
则 ,
| BC | x ,| AC |
a
2
x
2
sint
2
a x
a
2
,
cost
x
a
x
2
arccos
3
3 3 2 2 3 2 2
x a x x a a x a a x
dx arcsin
3
3
a 3 a a 3 a 9 a
3
2
2 2
x x a 2 2 a x 2 2
arcsin a x a x
3 a 3
9
3
x x 1 2 2 2 2
arcsin ( x 2a
) a x C
3 a 9
a
C
2
x
2
C
x x a
a
a 2
x x x
证 明 : arctan dx x arctan x d x arctan
a a
a
x 1 1
xarctan x dx
a
x 2
1 ( )
a
a
x x
xarctan a dx
2 2
a
a x
x a 1 2
xarctan
d( x )
2 2
a 2
a x
xarctan x a 1 2 2
d( a x )
2 2
a 2
a x
xarctan x a 2 2
ln a x
a 2
C
2 2
a x
0
2 2
119 . arctan dx xarctan ln ( a x ) C ( a 0)
x x a
a
a 2
2 2
arctan dx x arctan ln ( a x ) C
- 71 -

120.
x 1 2 2 x a
x arctan dx ( a x ) arctan x C
a 2
a 2
x
证 明 : 令 t arctan , 则 x a tant
a
x
2
x arctan dx a tant t d a tant a
a
( )
2
a
2
t d sec t
2
2
2
a
2 a 2
t
sec t sec t dt
2
2
2
2
a
2 a
t
sec t tant
C
2
2
在 Rt ΔABC中 , 可 设 B
t ,| BC | a
( a 0)
t sec
2 2
1 a x x
sect , tant
cost a
a
2
2 2 2
x a x a x a x
x arctan dx arctan C
2
a 2 a a 2 a
1 2 2 x a
( a x ) arctan x C
2
a 2
2
t tant dt
, 则 | AC | x ,| AB |
a
2
x
2
121 .
3 3
2 x x x a 2 a 2 2
x arctan dx arctan x ln ( a x ) C
a 3 a 6 6
( a 0)
2 x 1 x 3
证 明 : x arctan dx arctan dx
a 3
a
3
x x 1 3 1 1
arctan
x
3 a 3
dx
x 2
1 ( )
a
a
3 3
x x a x
arctan
dx
2 2
3 a 3
a x
3 2
x x a x 2
arctan
d( x )
2 2
3 a 6
a x
3 2 2 2
x x a x a a
2
arctan
d( x )
2 2
3 a 6
a x
3 2
x x a 2 a a 2
arctan dx d( x )
2 2
3 a 6
6
a x
3
3
x x a 2 a 1 2 2
arctan
dx d( x a )
2 2
3 a 6
6
a x
3 3
x x a 2 a 2 2
arctan x ln a x C
3 a 6 6
2 2
a x
0
3
2 x x x
x arctan dx arctan
a 3
3
a 2 a 2 2
x ln ( a x ) C
a 6 6
- 72 -

( 十 三 ) 含 有 指 数 函 数 的 积 分 (122~131)
x 1 x
122 . a dx a C
ln a
x 1
x
证 明 : a dx ln a a dx
ln a
( a ) a ln a , 即 a ln a的 原 函 数 为 a
x x x x
x 1 x
a dx d( a )
ln a
1 x
a
C
ln a
123 .
e
ax
1
dx e
a
证 明 : 令
ax μ , 则 x
e
ax
ax
C
1
dx e
a
1
e
a
μ 1
, dx dμ
a a
μ 1 μ
dμ e C
a
ax
C
ax 1
ax
124 . x e dx ( ax 1)
e C
2
a
ax 1
ax
证 明 : x e dx x d( e )
a
1 ax 1 ax
x e e dx
a a
1 ax 1 ax
x e e d( ax)
2
a a
1 ax 1 ax
x e e C
2
a a
1
2 ( 1)
ax
ax e C
a
125
1 n
a a
n ax 1 n ax
证 明 : x e dx x d( e )
a
1 n ax 1 ax n
x e e d( x )
a a
1 n ax n n1
ax
x e x e d
a a
x
n ax n ax n1
ax
. x e dx x e x e dx
- 73 -

x x x 1 x
126 . xa dx a a C
2
lna ( lna)
x 1
x
证 明 : xa dx x d( a )
lna
1 x 1 x
x a a dx 公 式 122:
lna lna
a
1 x 1 x
x a a C
2
lna ( lna)
x
1
dx a
ln a
x
C
127
1 n
ln a ln a
n x 1 n x
证 明 : x a dx x d( a )
ln a
1 n x 1 x n
x a a d( x )
ln a ln a
1 n x n n1
x
x a x a dx
ln a ln a
n x n x n1
x
. x a dx x a x a dx
ax
1 ax
128 . e sinbx dx e ( a sinbx bcosbx)
C
2 2
a b
ax
1 ax
证 明 : e sinbx dx e d cosbx
b
1 ax 1
ax
e cosbx cosbxd ( e )
b
b
1 ax a ax a
ax
e cosbx e sinbx sinbx d( e )
2 2
b b b
1 ax a ax a
ax
e cosbx e sinbx sinbx d( e )
2 2
b b b
2 2
a b ax
1 ax a ax
移 项 并 整 理 得 : e sinbx dx e
2
b
cosbx e sinbx C
2
b
b
ax b ax a ax
e sinbx dx e cosbx e sinbx C
2 2 2 2
a b a b
1 ax
e ( a sinbx bcosbx)
C
2 2
a b
- 74 -

ax
1 ax
129 . e cosbxdx e ( b sinbx a cosbx)
C
2 2
a b
ax 1 ax
证 明 : e cosbxdx e d sinbx
b
1 ax 1
ax
e sinbx sinbxd ( e )
b
b
1 ax a
ax
e sinbx sinbx e dx
b
b
1 ax a ax
e sinbx e d cosbx
2
b
b
1 ax a ax a
ax
e sinbx e cosbx cosbxd ( e )
2 2
b b b
2
1 ax a ax a ax
e sinbx e cosbx e cosbxdx
2 2
b b b
2 2 2
a ax a b ax 1 ax a ax
(1 ) e cosbxdx e cosbxdx e sinbx e cosbx
2 2 2
b
b
b b
ax
1
e cosbxdx e ax ( b sinbx a cosbx)
C
2 2
a b
- 75 -

- 76 -
bx dx
sin
e
n
b
a
b
n
n
cosbx
nb
sinbx
a
bx
sin
e
n
b
a
bx
sin
e
n
b
a
a
bx
sin
cosbx
e
n
b
a
bn
bx dx
sin
e
n
b
a
b
n
n
bx
sin
e
b
n
n
bx
sin
cosbx
e
n
b
bx dx
sin
e
n
b
a
b
n
n
bx dx
sin
e
dx
e
bx
sin
n
n
b
n
b
a
bx
sin
e
n
n
b
a
bx
sin
cosbx
e
n
b
bx dx
sin
e
bx dx
sin
e
dx
e
bx
sin
n
n
b
n
b
a
bx
sin
e
n
n
b
a
bx
sin
cosbx
e
n
b
bx dx
cos
bx
sin
e
dx
e
bx
sin
bn
n
b
a
bx
sin
e
bn
a
dx
e
bx
sin
b
dx
e
bx
sin
bn
a
bx
sin
e
bn
a
cosbx
e
bx d
sin
dx
e
bx
sin
bn
a
bx
sin
e
bn
cosbx dx
bx
sin
e
cosbx dx
bx
sin
e
n
dx
e
bx
sin
b
a
bx
sin
e
b
dx
e
cosbx
bx
sin
n
b
bx
sin
e
a
sinbx
b
bx
sin
e
b
bx
sin
e
sinbx d
b
bx
sin
e
b
bx d sinbx
sin
e
b
cosbx dx
bx
sin
e
dx
e
bx
sin
b
cosbx dx
bx
sin
e
a
dx
e
sinbx
b
cosbx
e
a
bx
sin
cosbx
e
bx d
sin
cosbx
e
bx d
sin
n
b
bx
sin
cosbx
e
n
b
bx
cosbx d sin
e
n
b
bx dx
cos
bx
sin
e
bx dx
cos
bx
sin
e
bx dx
sin
e
dx
bx
cos
bx
sin
e
bx dx
sin
bx
sin
e
bx dx
sin
e
bx dx
sin
e
n
b
a
b
n
n
cosbx
nb
sinbx
a
bx
sin
e
n
b
a
bx dx
sin
e
.
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
ax
n
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
ax
n
n
ax
n
ax
n
ax
ax
n
n
ax
ax
n
ax
n
n
ax
ax
n
ax
n
n
ax
n
ax
n
ax
ax
n
n
ax
ax
n
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
ax
n
n
ax
ax
ax
n
ax
n
ax
n
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
1)
(
)
(
1
1)
(
1)
(
1
1)
(
1
1)
(
1)
(
1)
(
1)
(
1
6
6
1)
(
1)
(
1)
(
1
)
(
1
1)
(
1
]
1)
(
[
1
1
)
(
1
1
1
)
(
)
(
)
(
1)
(
1
1)
(
1
1)
(
1
)
(1
1)
(
)
(
1
130
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
移 项 并 整 理 得 :
式 代 入 1 式 得 :
将
将 5 式 代 入 2 式 得 :
5
将 4 式 代 入 3 式 的 得 :
4
移 项 并 整 理 得 :
又
3
又
2
又
1
证 明 :

- 77 -
bx dx
cos
e
n
b
a
b
n
n
sinbx
nb
cosbx
a
bx
cos
e
n
b
a
bx
cos
e
n
b
a
a
bx
cos
sinbx
e
n
b
a
bn
bx dx
cos
e
n
b
a
b
n
n
bx
cos
e
b
n
n
a
bx
cos
sinbx
e
n
b
bx dx
cos
e
n
b
a
b
n
n
bx dx
cos
e
dx
e
bx
cos
n
n
b
n
b
a
bx
cos
e
n
n
b
a
bx
cos
sinbx
e
n
b
bx dx
cos
e
bx dx
cos
e
dx
e
bx
cos
n
n
b
n
b
a
bx
cos
e
n
n
b
a
bx
cos
sinbx
e
n
b
bx dx
sin
bx
cos
e
dx
e
bx
cos
bn
n
b
a
bx
cos
e
bn
a
dx
e
bx
cos
b
dx
e
bx
cos
bn
a
bx
cos
e
bn
a
sinbx
e
bx d
cos
dx
e
bx
cos
bn
a
bx
cos
e
bn
sinbx dx
bx
cos
e
sinbx dx
bx
cos
e
n
dx
e
bx
cos
b
a
bx
cos
e
b
dx
e
sinbx
bx
cos
n
b
bx
cos
e
a
cosbx
b
bx
cos
e
b
bx
cos
e
cosbx d
b
bx
cos
e
b
bx d cosbx
cos
e
b
sinbx dx
bx
cos
e
dx
e
bx
cos
b
sinbx dx
bx
cos
e
a
dx
e
cosbx
b
sinbx
e
a
bx
cos
sinbx
e
bx d
cos
sinbx
e
bx d
cos
n
b
bx
cos
sinbx
e
n
b
bx
sinbx d cos
e
n
b
bx dx
sin
bx
cos
e
bx dx
sin
bx
cos
e
bx dx
cos
e
dx
bx
sin
bx
cos
e
bx dx
cos
bx
cos
e
bx dx
cos
e
bx dx
cos
e
n
b
a
b
n
n
sinbx
nb
cosbx
a
bx
cos
e
n
b
a
bx dx
cos
e
.
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
ax
n
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
ax
n
n
ax
n
ax
n
ax
ax
n
n
ax
ax
n
ax
n
n
ax
ax
n
ax
n
n
ax
n
ax
n
ax
ax
n
n
ax
ax
n
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
ax
n
n
ax
ax
ax
n
ax
n
ax
n
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
1)
(
)
(
1
1)
(
)
(1
)
(1
1
)
(1
1)
(
1)
(
)
(1
1
6
6
)
(1
)
(1
)
(1
1
)
(
1
1)
(
1
]
1)
(
[
1
1
)
(
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(1
1
)
(1
1
)
(1
1
)
(1
1)
(
)
(
1
131
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
移 项 并 整 理 得 :
式 代 入 1 式 得 :
将
将 5 式 代 入 2 式 得 :
5
将 4 式 代 入 3 式 的 得 :
4
移 项 并 整 理 得 :
又
3
又
2
又
1
证 明 :

( 十 四 ) 含 有 对 数 函 数 的 积 分 (132~136)
132 .
ln xdx x ln x x C
证 明 : ln xdx x ln x
x ln x
x ln x
x d ln x
1
x dx
x
dx
x ln x x C
133 .
dx
dx ln ln x C
x ln x
dx 1
证 明 : dx d ln x
x ln x
ln x
ln ln x C
1
提 示 :( ln x)
x
1 1
. x ln x dx x ln x C
n1 n1
n ln x
n
证 明 : x ln x dx ( n 1)
x dx
n 1
ln x dx
n !
n 1
n
n1
134 ( )
ln x n 1 1 x
x
n1
d
( ln x)
n1 n1
ln x 1 1 x
n
n
x dx
n1 n1
ln x n 1 1 x
2 n 1
( ) x
C
n1 n1
1 n1
1
x ( ln x ) C
n1 n1
- 78 -

135.
( lnx)
n
x
证 明 :(
lnx)
dx x ( lnx)
n
n
k0
x
n
( 1)
n
k0
n
nk
dx x ( lnx)
x ( lnx)
x ( lnx)
x ( lnx)
x ( lnx)
x ( lnx)
x ( lnx)
( lnx)
n
n
n
n
n
n
n
n
nk
n1
n!
( lnx)
k!
( 1)
( 1)
( 1)
( 1)
.......
2
1
0
( 1)
dx
k
xd( ln x)
( lnx)
nk
n1
n x ( lnx)
n x ( lnx)
n x ( lnx)
n x ( lnx)
n
x n (
ln x)
n!
( lnx)
k!
dx
n1
n1
n1
n1
k
n1
n
1
dx
x
xd( ln x)
n ( n 1)
n1
( lnx)
n2
n ( n 1)
x ( lnx)
n ( n 1)
x ( lnx)
n ( n 1)
( n 2) 4
3
2 ( lnx)
n ( n 1)
( n 2) 3
21
( lnx)
n2
n2
n ( n 1)
( n 2) ( n k 1)
( lnx)
n ( n 1)
( n 2) 5
4
3
( lnx)
dx
31
21
11
n ( n 1)
( n 2)
n ( n 1)
( n 2)( lnx)
x
x
x
nk
( lnx)
n3
n3
dx
m n 1 m1 n n m n1
136 . x ( ln x) dx x ( ln x) x ( ln x)
dx
m1 m1
m n 1
n m1
证 明 : x ( ln x) dx ( ln x) d( x )
m 1
1 m1 n 1 m1 n
x ( ln x) x d( ln x)
m1 m1
1 m1 n n m1 n1
1
x ( ln x) x ( ln x)
dx
m 1 m 1
x
1 m1 n n m n1
x ( ln x) x ( ln x)
dx
m1 m1
- 79 -

( 十 五 ) 含 有 双 曲 函 数 的 积 分 (137~141)
137.
shx dx chx C
证 明 : ( chx)
shx,
即 chx为
shx的 原 函 数
shx dx
d chx
chx C
138.
139.
ch x dx shx C
证 明 : ( shx)
chx,
即 shx为
chx的 原 函 数
ch x dx
th x dx ln chx C
d shx
shx C
shx
证 明 : th x dx dx
chx
1
d chx
chx
ln chx C
- 80 -
140.
141.
2 x
sh x dx
2
1
4
sh 2x
C
x x
2 e e
证 明 : sh x dx
dx
2
1 2x
2x
( e e 2) dx
4
2x
2x
e e x
C
8 8 2
2x
2x
x 1 e e
C
2 4 2
x 1
sh 2x
C
2 4
2 x
ch x dx
2
1
4
sh 2x
C
x x
2 e e
证 明 : ch x dx
dx
2
1 2x
2x
( e e 2) dx
4
2x
2x
e e x
C
8 8 2
2x
2x
x 1 e e
C
2 4 2
x 1
sh 2x
C
2 4
2
2
e
提 示 : chx
e
shx
e
提 示 : chx
e
shx
x
x
x
x
e
2
e
2
e
2
e
2
x
x
x
x
( 双 曲 余 弦 )
( 双 曲 余 弦 )
( 双 曲 余 弦 )
( 双 曲 余 弦 )

( 十 六 ) 定 积 分 (142~147)
142 . cos nx dx sin nx dx 0
1
证 明 1: cos nx dx cos nx d( nx)
n
1
( sin nx
)
n
1 1
sin ( n) sin ( n)
n n
2
sin ( n
)
n
0
1
证 明 2: sin nx dx sin nx d( nx)
n
1
( cos nx
)
n
1 1
cos ( n) cos ( n)
n
n
0
综 合 证 明 12 得 : cos nx dx
sin nx dx 0
143 . cos mx sin nx dx 0
证 明 : 1. 当 m
n时
2. 当 m
n时
1 1
cos mx sin nx dx cos ( m n) x cos ( n m)
x
2( m n) 2( n m)
1
1
[ cos ( m n) cos ( m n) ]
[ cos ( n m) cos ( n m)( )]
2( m
n)
2( n
m)
0 0 0
1
1
公 式 100:sin ax
cosbx dx cos(
a b)
x cos(
a b)
x C
2( a b)
2( a b)
cos mx sin nx dx cos mx sin mx dx
1
2m
1
4m
sin 2 mx d( mx)
sin 2 mx d(2 mx)
1
cos 2mx
4m
1
[ cos 2 m
cos ( 2 m
)]
4m
0
1 , 2 cos nx dx cos mx sin nx dx 0
综 合 讨 论 得 :
提 示 : sin 2x
2 sin x cosx
- 81 -

0
, m
n
144 . cos mx cos nx dx
,
m
n
证 明 : 1. 当 m
n时
1 1
cos mx cos nx dx sin ( m n) x sin ( m n)
x
2( m n) 2( m n)
1
1
[ sin ( m n)
sin ( m n)( )] [ sin ( m n) sin ( m n)(
)]
2( m
n)
2( m
n)
0 0 0
2. 当 m
n时
1
1
公 式 102:cosax
cosbx dx sin ( a b)
x sin ( a b)
x C
2( a b)
2( a b)
cos mx cos nx dx cos mx cos mx dx
1
m
2
cos mx d mx
( )
1 1
sin2mx
mx
4m
2m
1
[ sin 2 m
sin ( 2 m)]
4m
2 2
0
, m
n
综 合 讨 论 1 , 2 得 : cos mx cos nx dx
,
m
n
0
, m
n
145 . sinmx sin nx dx
,
m
n
证 明 : 1. 当 m
n时
2 x 1
公 式 94:
cos x dx sin 2x
C
2 4
1 1
sin mx sin nx dx sin ( m n) x sin ( m n)
x
2( m n) 2( m n)
1
1
[ sin ( m n)
sin ( m n)( )] [ sin ( m n) sin ( m n)(
)]
2( m
n)
2( m
n)
0 0 0
2. 当 m
n时
sin mx sin nx dx
1
m
1
1
公 式 101:sin ax
sinbx dx sin ( a b)
x sin ( a b)
x C
2( a b)
2( a b)
2
sin mx dx
2
sin mx d mx
( )
1 1
mx
sin2mx
2m
4m
1
[ sin 2 m
sin ( 2 m
)]
4m
2 2
0
, m
n
综 合 讨 论 1 , 2 得 : sin mx sin nx dx
,
m
n
2 x 1
公 式 93:
sin x dx sin 2x
C
2 4
- 82 -

0
, m
n
146 . sin mx sin nx dx cos mx cos nx dx
0
0
, m
n
2
证 明 : 1. 当 m
n时
0
0
1 1
sin mx sin nx dx sin ( m n) x sin ( m n)
x
2( m n) 2( m n)
0 0
1 1
[ sin ( m n) sin 0] [ sin ( m n) sin 0]
2( m n) 2( m n)
0 0 0
1 1
cos mx cos nx dx sin ( m n) x sin ( m n)
x
2( m n) 2( m n)
2
sin mx sin nx dx sin mx dx
0 0
0 0
1 1
[ sin ( m n) sin 0] [ sin ( m n) sin 0]
2( m n) 2( m n)
0 0 0
2. 当 m
n时
1
m
0 0
2
sin mx d mx
0
( )
1 1
mx
sin2mx
2m
4m
0 0
1
[ sin 2 m
sin 0] 0
4m
2
2
cos mx cos nx dx cos mx cos mx dx
1
m
2
cos mx d mx
0
( )
1 1
sin2mx
mx
4m
2m
0 0
1
[ sin 2 m
sin 0] 0
4m
2
2
0
, m
n
综 合 讨 论 1 , 2 得 : sin mx sin nx dx cos mx cos nx dx
0 0
, m
n
2
以 上 所 用 公 式 :
1
1
公 式 101:
sin ax
sinbx dx sin ( a b)
x sin ( a b)
x C
2( a b)
2( a b)
1
1
公 式 102 : cosax
cosbx dx sin ( a b)
x sin ( a b)
x C
2( a b)
2( a b)
2 x 1
公 式 93:
sin x dx sin 2x
C
2 4
2 x 1
公 式 94:
cos x dx sin 2x
C
2 4
- 83 -

147 .
I
I
n
n
π
2
0
证 明 1: I
n 1
I
n2
n
n
1
n 3 4 2
( n为 大 于 1的 正 奇 数 ) , I1
1
n n 2 5 3
n
1
n 3 3 1 π
π
( n为 正 偶 数 ) , I
0
n n 2 4 2 2
2
π
n 1
2
sin
n
0
当 n为 正 奇 数 时
I
当 n为 正 偶 数 时
证 明 2: I
n
sin x dx
n
n
n 1
sin x dx sin
n
1
( sin
n
cos
x dx
π
n 1
n 3 4 2
2
sinx dx
n n 2 5 3
0
π
n 1
n 3 4 2
( cos x)
2
0
n n 2 5 3
n 1
n 3 4 2
1
n n 2 5 3
特 别 的 , 当 n 1时 , I
π
n 1
n 3 3 1
I
2 0
n
sin x dx
n n 2 4 2
0
π
n 1
n 3 3 1
( x)
2
0
n n 2 4 2
n 1
n 3 3 1 π
n n 2 4 2 2
特 别 的 , 当 n 0时 , I
n
π
2
0
π
2
0
π
2
0
n1
π π
cos sin
2 2
n2
n
n 1
x dx I
n
n
n
n1
π
2
0
π
2
0
x cos x
n1
0
sin x dx ( x)
n
cos x dx亦 同 理 可 证
n 1
n
n 1
0 cos0)
n
n2
π
2
sinx dx ( cos x)
0
π
2
0
π
2
0
π
2
0
π
2
π
2
0
sin
sin
1
n2
n2
x dx
x dx
- 84 -

附 录 : 常 数 和 基 本 初 等 函 数 导 数 公 式
1.
( C ) 0
( C为 常 数 )
2.
( x
μ
) μ
x
μ1
(x ≠0)
3. ( sinx)
cosx
4.
( cosx)
sinx
5.
( tanx)
sec
2
x
6. ( cotx)
csc
2
x
7. ( secx)
secx
tanx
8.
( cscx)
cscx
cotx
9.
x x
( a ) a lna
( a为 常 数 )
10 .
x
( e ) e
x
11.
( log x)
a
1
x
lna
( a 0)
12.
1
( lnx)
x
13.
( arcsinx)
1
1
x
2
14.
( arccosx)
1
1
x
2
15.
1
( arctanx)
1
x
2
16.
1
( arccotx)
1
x
2
- 85 -

说 明
1. 感 谢 本 团 队 诸 成 员 的 高 数 老 师 的 谆 谆 教 导 , 感 谢 本 团 队 诸 成 员 间 的 合 作 , 感
谢 所 有 支 持 本 讲 义 编 辑 的 支 持 者
2. 本 讲 义 为 方 便 各 位 学 友 阅 读 , 排 版 采 用 每 一 单 面 都 是 一 个 或 几 个 完 整 证
明 过 程 的 原 则
3. 本 讲 义 中 的 每 一 题 仅 采 用 一 种 或 两 种 证 明 方 法 , 因 此 只 可 做 学 友 参 考 使 用
4. 由 于 本 讲 义 编 辑 的 比 较 匆 忙 , 难 免 有 些 推 导 和 输 入 错 误 , 还 望 广 大 学 友 给 予
批 评 和 指 正 。 反 馈 邮 箱 2633968548@qq.com 或 加 QQ:552394832
5. 各 位 有 意 愿 下 载 的 学 友 可 以 到 新 浪 爱 问 , 百 度 文 库 和 豆 丁 网 等 网 站 上 下 载
2013 年 5 月
n
n
6. 感 谢 浙 江 金 华 一 学 友 所 提 的 建 议 —— 把 dx 改 成 dx ( ), 因 为 两 者 其 实 是 不 同
的 。 因 此 对 第 11,23,25,27,47,52,55,62,112,113,116,119,121,122,124,
125,126,127,128,129,134,136,142,143,144,145,146 题 已 进 行 修 改 。
2013 年 11 月
- 86 -

- 87 -

献
给
我
们
的
大
一