Elevers kunskaper i mätning och geometri - Göteborgs universitet

10 NämNareN Nr 1 • 2010
Madeleine Löwing & Wiggo Kilborn
Elevers kunskaper
i mätning och geometri
I Nämnaren nr 4, 2009, finns en artikel som beskriver svenska elevers
kunskaper i aritmetik. Den beskriver första delen av ett projekt som kallas
Att våga se – och kunna ta ansvar. I den här artikeln beskrivs motsvarande
kartläggning av elevers kunskaper i mätning och geometri.
Vid kartläggningen av elevernas kunskaper har vi använt Skolverkets
diagnoser Diamant, som vi för högstadiets del kompletterat med
vårt eget uppföljningsmaterial Briljant. Med dessa instrument har vi
diagnos tiserat ca 20 000 elever från förskoleklass till årskurs 8. Det finns två
skäl till att den andra delen av kartläggningen omfattar mätning och geo metri.
Det ena skälet är att dessa är områden där svenska elever lyckas mindre bra
på internationella undersökningar som TIMSS (2007). Det andra skälet är att
ämnesstrukturen inom områdena mätning och geometri ser annorlunda ut
än inom aritmetiken. Tillsammans ger dessa två kartläggningar en bra bild av
grundskoleelevers kunskaper i matematik.
Redan i samband med utprövningen av Diamant i mätning och geometri
upptäckte vi allvarliga brister när det gäller elevers kunskapsutveckling. Ännu
på högstadiet hade många elever svårigheter med att hantera grundläggande
geometriska begrepp och de saknade även ett funktionellt språk för att kommunicera
geometri. Termer som romb, rätblock, cylinder och kon var okända
för många elever – och sannolikt också motsvarande begrepp. Frågan är varför
det ser ut så här. När vi diskuterar detta med lärare som deltagit i utvärderingen,
av vilka många nu deltar i kompetensutveckling i mätning och geometri, kan
vi se orsaker till detta. Det visar sig att lärare ofta saknar didaktiska kunskaper
i geometri, något som i sin tur leder till bristande kontinuitet ur elevernas perspektiv.
Detta är kanske inte så konstigt. På 1960-talet förkastade man inom
skolan den alltför formella syn på geometri som bygger på Euklides Elementa
och man försökte istället införa en avbildningsgeometri i svensk skola. Trots
en landsomfattande kompetensutveckling gav inte detta något resultat. Man
borde då ha sett till att bygga upp något hållbart alternativ för att undervisa om
den grundläggande geometrin, t ex utgående från van Hieles taxonomi. Det
gjordes inte och detta förbiseende har lett till att de flesta av dagens lärare vare
sig mött någon intressant geometriundervisning under sin skoltid eller någon
hållbar geometrididaktisk teori under sin lärarutbildning.
Kopierad med tillstånd av Nämnaren vt 2010

När vi studerar lärares undervisning och läromedlens uppläggning blir bristen
på geometrididaktiska idéer och kontinuitet i undervisningen ännu mer
uppenbar. Undervisningens innehåll ser i själva verket ungefär likadant ut i
årskurs 5 som i årskurs 8. En förklaring till detta kan vara att kursplanens uppnåendemål
för just geometri har sett nästan likadana ut i årskurs 9 som i årskurs
5. De lärare vi intervjuat kan inte se någon tolkbar skillnad. Ett exempel på
detta är följande mål att uppnå:
◊ Kunna avbilda och beskriva viktiga egenskaper hos vanliga geometriska
objekt samt kunna tolka och använda ritningar och kartor (mål i årskurs 9),
◊ ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna känna igen och beskriva
några viktiga egenskaper hos geometriska figurer och mönster samt
◊ kunna använda ritningar och kartor (gäller årskurs 5).
Vi ger nu ett antal exempel som belyser våra resultat när det gäller elevers
geometrikunskaper. Detta följer vi upp genom att ge exempel på hur läraren,
genom att utgå från enkla laborationer, kan ge eleverna alternativa vägar att
närma sig geometrin.
Plana figurer och begreppet symmetri
Symmetri är ett av de mest grundläggande begreppen inom geometrin. Vi gav
därför samma diagnos om symmetri (GSy) i årskurserna 1–4. På flera håll möttes
vi till en början av protester från lärarna eftersom de inte hade undervisat
om symmetri. Det visade sig emellertid att nästan alla elever kunde avgöra att
följande figurer är symmetriska.
Däremot kunde bara 12 % av eleverna i årskurs 4 rita ut symmetrilinjerna i en
liksidig triangel och bara 38 % symmetrilinjerna i en kvadrat. Elevernas förmåga
att redan i unga år uppfatta begreppet symmetri verkar inte ha utnyttjats
i undervisningen. Vår analys av konsekvenserna av detta ser ut på följande
sätt.
Redan i förskoleklassen lär sig eleverna att känna igen en cirkel, en liksidig
triangel och en kvadrat, även om många av dem (ännu i årskurs 4) kallar
kvadrat en för fyrkant och cirkeln för en rund grej. Vad vi däremot kan konstatera
är att eleverna inte vet vad som faktiskt menas med en triangel eller en
kvadrat eller vilka egenskaper dessa figurer har. De inser t ex inte att kvadraten
samtidigt är en parallellogram, en romb och en rektangel, eftersom kvadraten
har alla dessa figurers egenskaper samtidigt. Ett annat exempel är att bara
28 % av eleverna i årskurs 5 kan avgöra vilka två sidor i en parallelltrapets som är
parallella. För elever som inte behärskar grundläggande geometriska begrepp
är det givetvis omöjligt att analysera egenskaperna hos enkla figurer och kroppar
och de går därmed miste om väsentliga delar av geometriundervisningen.
Kopierad med tillstånd av Nämnaren vt 2010
NämNareN Nr 1 • 2010
11

12 NämNareN Nr 1 • 2010
En alternativ start av geometriundervisningen
Vi presenterar nu idéer om hur den grundläggande geometriundervisningen
kan läggs upp på ett annat sätt. Redan vid skolstarten bör man hjälpa eleverna
att successivt bygga upp grundläggande begrepp, genom att gå från det enkla
till det mer komplexa. Undervisningen om fyrhörningar kan t ex börja med
att bygga figurer av fyra olika långa blomsterpinnar. Man kan då fokusera på
begreppen sida och hörn liksom på diagonal och vinkel. Detta kan genomföras
redan i årskurs 1. I nästa steg inför man ett nytt begrepp genom att göra två
sidor parallella (parallelltrapetsen). Om man därefter använder fyra blomsterpinnar
som parvis är lika stora får man en parallellogram, vars motstående vinklar
är lika stora och som av diagonalen kan delas upp i två kongruenta trianglar.
Först när eleverna behärskar dessa grundläggande begrepp är det meningsfullt
att introducera de symmetriska figurerna rektangel och romb, med vinkelräta
symmetrilinjer m.m. Vid det här laget har eleverna tillägnat sig en grundläggande
terminologi som gör det möjligt att upptäcka och diskutera de egenskaper
som romben och rektangeln har gemensamma med parallellogrammen
samt att kvadraten har alla dessa egenskaper samtidigt. Om man börjar med
kvadraten blir det emellertid svårare för eleverna att se alla intressanta egenskaper
på grund av brist på variation.
I nästa steg kan man upprepa den här proceduren med figurer som klippts ut
i papper och eleverna kan därmed, via figurernas symmetriegenskaper, tränga
ännu djupare in i geometrins grunder. För att ta romben som exempel kan man
genom olika vikningar kring diagonalerna konstatera att motstående vinklar är
lika stora, att symmetrilinjerna är diagonaler som skär varandra med räta vinklar
och, med en ny vikning, att motstående sidor är parallella. Man får samtidigt
en idé om hur man kan bestämma arean av romben med hjälp av de trianglar
som bildas av diagonalerna.
På motsvarande sätt kan man bygga upp begrepp kring triangeln och cirkeln.
Det visar sig att en hel del av de uppgifter eleverna misslyckades med på
högstadiet kan lösas relativt enkelt genom att de använder enkla grundläggande
begrepp. Men så ser i allmänhet varken undervisning eller läromedel ut.
Många av de laborationer vi studerat leder visserligen till aktivitet bland eleverna,
men hjälper dem knappast att bygga upp grundläggande begrepp eller
tillägna sig termer för att diskutera dessa begrepp.
Kopierad med tillstånd av Nämnaren vt 2010

Om area
Area är ett område där många elever saknar känsla och begrepp. Medan eleverna
inte har några större svårigheter att använda enkla förutsägbara formler, så
får de problem när de ställs inför nya situationer, där de inte direkt kan använda
någon formel. I följande figur skall eleverna bestämma arean av det skuggade
området. De givna rutorna har storleken 1 cm 2 . I årskurserna 5, 6 och 7 är lösningsfrekvenserna
34 %, 45 % respektive 48 %. Redan i årskurs 5 borde många
elever kunna inse att om man från en rektangel med arean 35 cm 2 tar bort två
trianglar med den sammanlagda arean 10 cm 2 så blir det 25 cm 2 kvar. Ett mål att
uppnå i årskurs 5 är ju att eleven skall ”kunna jämföra, uppskatta och mäta ...
areor...”. Det allra enklaste är för övrigt att slå ihop de två vita trianglarna till en
rektangel som består av 10 rutor och man behöver då inte ens använda någon
formel.
I följande uppgift skall eleverna rita en rektangel med dubbelt så stor area som
den givna, skuggade rektangeln.
Det finns många enkla lösningar för den som vet vad som menas med area. Det
är ju bara att räkna rutor. Här följer två förslag till lösning.
Det visade sig emellertid att varannan elev i 5:an
och nästan lika många elever i 6:an och 7:an ritade
en rektangel, likformig med den givna rektangeln,
i skala 2 : 1 (se figur till höger). Den rektangeln har
som bekant fyra gånger så stor area som den givna
rektangeln.
De här exemplen visar att många elever saknar
känsla för geometri.
Kopierad med tillstånd av Nämnaren vt 2010
NämNareN Nr 1 • 2010
13

14 NämNareN Nr 1 • 2010
Om volym
När det gäller volym hade de flesta elever mycket ytliga kunskaper ännu i
årskurserna 7 och 8. Deras lärare förklarade detta med att de, enligt uppnåendemålen,
arbetar med volym först i årskurs 9. Detta tyder på två missuppfattningar.
Att ett mål är uppnåendemål i årskurs 9 innebär inte att det är då
man skall undervisa om detta. Det skall man ha gjort så långt tidigare att alla
elever skall kunna uppnå det målet i nian. Till detta kommer att mätning av
volym i själva verket är ett uppnåendemål redan i årskurs 5. Alla elever skall då
”kunna jämföra, uppskatta och mäta ... volymer...”. Det visar sig emellertid att
bara 29 % av eleverna i årskurs 8 kan bestämma höjden av en avbildad parallellepiped
med basytan 7 cm 2 och volymen 28 cm 3 , alltså att lösa ekvationen
7x = 28. En förklaring till elevernas bristande kunskaper om volym kan vara att
det av kursplanen inte framgår vilken typ av volym som avses. Gäller det vätskors
volym i liter eller geometriska kroppars volym i cm 3 ?
Bara 8 % av eleverna i årskurs 8 kan bestämma volymen av en låda som byggs
upp genom att man viker en kartong med måtten 21 dm x 15 dm där man i varje
hörn klippt bort en kvadrat med sidan 3 dm. Detta ger en låda med måtten
15 dm x 9 dm x 3 dm. Kan elevernas tillkortakommande bero på att de är så
ovana vid att laborera och resonera att de inte kan se lådan framför sig?
Om vinklar, skala och likformighet
Bristande förståelse av grundläggande geometriska begrepp i kombination
med bristande laborativ erfarenhet leder som redan nämnts till att eleverna
inte förmår se enkla lösningar på geometriska problem. Till sin hjälp att lösa
följande uppgifter hade eleverna en graderad linjal. En av uppgifterna handlar
om att ange i vilken skala den högra figuren har avbildats.
Bild av föremål i naturlig storlek (skala 1:1) Svar: Bild i skala ____ :1
Var tredje elev gör fel på den uppgiften, såväl i årskurs 4, 5 som 6. Det sker alltså
ingen kunskapsutveckling under tre år. (Att behärska skala är ett mål att uppnå
i årskurs 5.)
Kopierad med tillstånd av Nämnaren vt 2010

Ännu intressantare är nästa uppgift på diagnosen där eleverna ska ange skalan
mellan cirkeln till vänster och dess bild till höger.
Bild av föremål i naturlig storlek (skala 1 : 1) Svar: Bild i skala 1: ___
Bara varannan elev i årskurs 6 lyckades lösa uppgiften. Ett skäl till detta verkar
vara att de inte kan definiera en cirkel och därför inte har något att referera till.
Om de hade förstått att cirkeln definieras av dess radie så hade de haft något att
referera till och skulle då ha kunnat lösa uppgiften genom att jämföra radierna
eller diametrarna.
Följande uppgift är också intressant. Eleverna vet att vinkel A i den här likbenta
triangeln är 30° och skall bestämma övriga vinklar. Var fjärde elev i 7:an
och 8:an kan inte bestämma vinkel B och varannan elev kan inte bestämma
vinkel C.
C
A
30°
Genom symmetri (vikning längs mittpunktsnormalen till AB) kan man enkelt
konstatera att vinkel B = vinkel A. Alla elever borde långt tidigare, genom en
enkel laboration, ha lärt sig att vinkelsumman i en triangel är 180°.
Den mest intressanta uppgiften inom det här området är emellertid följande,
där eleverna skall bestämma sträckorna AD och CD i följande figuren
då de vet att AC är 9 cm. Bara 30 % av eleverna i årskurs 8 lyckades lösa uppgiften.
När vi diskuterade detta resultat med lärarna menade de att topptriangelsatsen
inte tas upp i deras läromedel förrän i årskurs 9 – och därmed inte tas
upp i undervisningen förrän i nian. Flera av dessa lärare verkade se geometrin
som ett antal formler, inte som en konstruktion av enkla begrepp som man kan
laborera sig fram till redan under de första skolåren.
A
C
D E
2 cm
6 cm
Kopierad med tillstånd av Nämnaren vt 2010
B
B
NämNareN Nr 1 • 2010
15

16 NämNareN Nr 1 • 2010
Laborationer för begreppsbildning
Genom att laborera med olika geometriska figurer redan i årskurserna 1-3 kan
eleverna få en grundläggande förståelse av geometri, vilket i sin tur hjälper dem
att förstå innebörden i geometriska problem. Enkla laborationer av det slag
som vi här presenterar kan dessutom leda till en rad intressanta och utvecklande
samtal om matematik.
För att bygga upp begreppet skala kan man låta eleverna utforska olika trianglar.
I följande triangel har läraren i förväg ritat sträckor parallellt med sidorna
och som går genom höjdernas mittpunkt. Den delas då upp i fyra kongruenta
(likadana) trianglar som är likformiga med den ursprungliga figuren.
Vid laborationen använder man sig av flera kopior av figuren och klipper ut
och jämför den hela figuren med dess delar. Man finner då att sidorna i den
stora triangeln är dubbelt så långa som motsvarande sidor i de små trianglarna.
Detta illustrerar poängen med begreppet skala.
Begreppen skala och likformighet är intimt kopplade till varandra. För att
ge elever en uppfattning om vad likformighet handlar om, kan man låta dem
laborera med figurer av följande slag. Läraren förbereder laborationen genom
att konstruera likformiga trianglar på följande sätt.
Först ritar man två transversaler, parallella med basen och på lika avstånd
från varandra. Detta kan även göras genom att man viker figuren.
Därefter vrider man figuren på följande sätt och upprepar proceduren två
gånger
Kopierad med tillstånd av Nämnaren vt 2010
A
C
E
H
G
D
B

Man utgår nu från den högra figuren som jämförs med utklippta trianglar av
olika storlek. Genom att jämföra delarna med hela figuren och studera och diskutera
olika samband kan eleverna upptäcka ett antal egenskaper som gäller
för skala och likformighet:
◊ CD är dubbelt så lång som EG och AB är tre gånger så lång som EG.
◊ CH är dubbelt så lång som EH och AH är tre gånger så lång som EH.
◊ DH är dubbelt så lång som GH och BH är tre gånger så lång som GH.
De kan, genom att jämföra stora och små trianglar, konstatera att vinklarna
HEG, HCD och HAB m.fl. är lika stora och att på samma sätt vinklarna HGE,
HDC och HBA m fl är lika stora etc.
De kan också se att
EH
CH
EG GH
= =
CD DH
1 EH
= och att
2 AH
= EG
AB
= GH
BH
= 1
3
vilket till en början bör uttryckas informellt. Elever som fått laborera på det här
sättet kan bygga upp en på konkretisering byggd förståelse för skala och likformighet
och kan mot denna bakgrund finna enkla strategier för att lösa uppgifter
som den med topptriangeln.
Sammanfattning
Våra erfarenheter efter en omfattande kartläggning och elevintervjuer är att
de flesta elever på högstadiet verkar sakna känsla för geometri. En orsak till
detta kan vara att eleverna under de tidigare årskurserna inte getts tillräckliga
möjligheter att bygga upp grundläggande geometriska begrepp och termer
med hjälp av laborationer. Detta leder i sin tur till att eleverna under senare årskurser
saknar såväl språk som begrepp för att föra enkla resonemang om geometriska
figurer och dess egenskaper. En förklaring till detta är att det under
flera år saknats en aktuell terminologibok, vilket leder till att många lärare saknar
en terminologi för den grundläggande geometrin.
När vi tillsammans med lärare har diskuterat resultaten på våra kartläggningar
av elevers kunskaper i mätning och geometri väcks frågan om hur det
kunnat bli så här. I Sverige har vi i flera decennier haft nationellt konstruerade
prov i matematik. Varför har man med hjälp av dessa nationella prov inte kunnat
se de brister som såväl TIMSS som Diamant beskriver? En sannolik orsak
kan härledas från gällande kursplan: Eftersom kursplanen saknar klart uttalade
mål, så har man inget att utvärdera kunskaperna mot. Man kan därför inte
veta om ett visst mål är uppnått eller inte. Förhoppningsvis kommer de nya
kursplanemålen att ge lärarna bättre stöd i deras arbete med geometri.
Litteratur
Kiselman, C. & Mowitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. NCM,
Göteborgs universitet.
Kopierad med tillstånd av Nämnaren vt 2010
NämNareN Nr 1 • 2010
17