MATEMATIK OCH OPTIONER - Matematiska vetenskaper

0 

MATEMATIK OCH OPTIONER 

Matematikkurs vid CTH och GU 

Christer Borell 

Matematiska institutionen CTH&GU 

412 96 Göteborg 

(Version: sep 99)

0 

Innehåll 

kap sid 

1 Några inledande ord om …nansiella derivat 1 

2 Konvexitet 9 

3 Måtteori 29 

4 Stokastiska grundbegrepp 53 

5 Konstruktion av Brownsk rörelse och Gaussiska processer 73 

6 Centrala gränsvärdessatsen 97 

7 Black-Scholes di¤erentialekvation 107 

8 Utdelningsprocesser 125 

9 Paley-Wiener-Zygmunds stokastiska integral 133 

10 Translation av Wienermått och prissättning av derivat 141 

11 Stokastiska integraler av Itôs typ 155 

12 Själv…nansierande portföljstrategier 177 

13 Flera underliggande aktier 193 

14 Stopptid 209 

15 HJM-modellen vid deterministisk volatilitetsstruktur 223 

Tentamensskrivningar med lösningar 239 

Referenser 273

1. Några inledande ord om …nansiella derivat 

Ett värdepapper som de…nieras i termer av andra värdepapper kallas ett …nansiellt 

derivat. Inledningsvis betraktar vi endast …nansiella derivat, som 

de…nieras av ett enda värdepapper, nämligen en aktie. Aktiens pris vid tiden 

t betecknas med S(t). Låt nu T vara ett givet framtida datum och antag att 

ett visst derivat i aktien kan inlösas vid tiden T och då utbetalar beloppet 

f(S(T )) . Ett sådant derivat sägs vara ett enkelt derivat av europeisk typ 

eller ett enkelt kontrakt av europeisk typ. Här kallas f utbetalningsfunktion 

eller kontraktsfunktion och T kallas slutdag eller mognadsdag för kontraktet. 

Ett motsvarande amerikanskt kontrakt med utbetalningsfunktionen f 

kan inlösas vid vilken tidpunkt t som helst före eller på slutdagen T om 

kontraktsinnehavaren så önskar och utbetalar då beloppet f(S(t)) . 

Antag nu att K är ett givet positivt tal. En europeisk köpoption i aktien 

med lösenpris K och slutdag T är rättigheten, men ej skyldigheten, att 

köpa en aktie till priset K vid tiden T . En europeisk säljoption i aktien med 

lösenpris K och slutdag T är rättigheten, men ej skyldigheten, att sälja en 

aktie till priset K vid tiden T: På liknande sätt är en amerikansk köpoption 

(säljoption) i aktien med lösenpris K och slutdag T rättigheten, men 

ej skyldigheten, att vid ett tillfälle köpa (sälja) en aktie till priset K under 

tidsperioden från nu fram till och med tidpunkten T . Slutdagen för en 

aktieoption kallas också lösendag. Ett enkelt derivat av europeisk typ med 

utbetalningsfunktionen 

c(s) = max(0; s K) 

och slutdagen T är på en friktionsfri marknad ekvivalent med en europeisk 

köpoption med lösenpriset K och lösendagen T: Notera också att på en friktionsfri 

marknad är ett enkelt derivat av europeisk typ med utbetalningsfunktionen 

p(s) = max(0; K s) 

och slutdagen T ekvivalent med en europeisk säljoption med lösenpriset K 

och lösendagen T . Köpoption heter ”call”på engelska och säljoption ”put”, 

vilket ligger till grund för våra beteckningar. I begreppet friktionsfri marknad 

inbegripes gratis transaktioner av värdepapper samt att in- och utlåningsräntan 

är lika. Därutöver antas att lån av värdepapper är gratis samt att 

1

2 

handel förekommer i delar av värdepapper. Vi bortser också från alla typer 

av skatter. I denna framställning förutsätts att alla kapitalmarknader är friktionsfria. 

Om inte annat anges förutsätts också att aktien ej ger utdelning 

och att räntan är konstant. 

Aktier och optionskontrakt är mycket gamla företeelser. Aktier har varit 

kända under minst 750 år. Merton berättar i sin bok ”Continuous-Time 

Finance” [MER1] om handel i köpoptionsliknande instrument på Amsterdams 

fondbörs för 350 år sedan. Optionskontrakt på jordbruksprodukter 

användes för övrigt redan av medeltidens köpmän [GEM] : Att värdera …nansiella 

derivat på ett teoretiskt övertygande sätt har emellertid varit svårt 

i historien och problemet …ck ingen tillfredsställande lösning förrän under 

1970-talet. Begreppet arbitrage dvs riskfri vinst är här mycket centralt. Det 

mest komplicerade momentet i detta sammanhang består dock i att förstå 

de underliggande värdepapperens prisdynamik. Den matematiska teorin för 

stokastiska processer har hittills spelat en avgörande roll för de framsteg som 

gjorts. 

En kombination av värdepapper kallas för en portfölj. Vi tillåter värdepappersinnehav 

i delar av värdepapper, som eventuellt kan vara negativa. 

Vi antar alltid att marknaden erbjuder obligationer. Betrakta en godtycklig 

portfölj A med värdet VA(t) vid tiden t. Om VA(T ) 0 medför att VA(t) 

0 för alla tider t < T så sägs dominansprincipen gälla (jmfr [S]). På en 

arbitragefri marknad gäller dominansprincipen. Om en portfölj består av 

aktier, obligationer och derivat av europeisk typ och portföljen är värdelös 

vid en viss tid, så medför dominansprincipen att portföljen är värdelös vid 

alla tidigare tidpunkter. En portföljstrategi där byte av värdepapper tillåts 

utan att portföljvärdet ändras i samband med bytet kallas själv…nansierande. 

Dominansprincipens de…nition kan generaliseras till denna allmännare situation. 

Vi utnyttjar i denna framställning ofta en obligation vars värde B(t) vid 

tiden t ges av ekvationen 

B(t) = Ce rt 

där C och r är positiva konstanter. Observera 

B(t) = B(0)e rt : 

Vi uppfattar här storheten r som kontinuerlig ränta. Stokastisk ränta studeras 

först i kapitel 15.

För att belysa dominansprincipen betraktar vi ett enkelt europeiskt derivat 

i aktien med slutdagen T och utbetalningsfunktionen 

f(s) = s: 

Låt v(t) beteckna derivatets värde vid tiden t. Antag först att 

v(t) > S(t): 

Detta leder till följande handlingsplan: utfärda derivatet och köp aktien vid 

tiden t; sälj aktien vid tiden T och ge likviden till innehavaren av kontraktet. 

Vid tiden t erhålls därvid beloppet v(t) för utfärdandet av derivatet och efter 

köp av aktien kvarstår nettot v(t) S(t): Strategin ökar således portföljvärdet 

från noll till (v(t) S(t))e r i tidsintervallet från t till T där 

och r är räntan. 

Antag nu att 

= T t 

v(t) < S(t): 

Denna olikhet leder till följande handlingsplan: låna aktien vid tiden t och 

sälj den omedelbart; köp därefter derivatet; vid tiden T utbetalar derivatet 

en summa som betalar köp av aktien, som lämnas tillbaka till långivaren. 

Strategin ger nettot S(t) v(t) vid tiden t. Vi har alltså funnit en strategi 

som ökar portföljvärdet från noll till (S(t) v(t))e r i tidsintervallet från t till 

T . En själv…nansierande strategi som under ett givet tidsintervall ökar portföljvärdet 

från noll till ett positivt värde kallas för en arbitragestrategi. Sådana 

strategier är naturligtvis populära och en e¤ektiv värdepappershandel 

eliminerar alla arbitragestrategier. På en e¤ektiv marknad har det aktuella 

derivatet därför värdet 

v(t) = S(t) 

vid tiden t. Att låna aktier som säljs och senare köps tillbaka för att kunna 

lämnas tillbaka till långivaren kan eventuellt komma i kon‡ikt med regler för 

värdepappershandel. Dessa regler växlar från tid till annan och från land till 

land. Aktieägaren kan dock alltid resonera som i exemplet genom att rent 

…ktivt låna av sig själv. Vi tar dominansprincipen som given i detta kapitel. 

Betrakta nu ett enkelt europeiskt derivat med lösendatum T och med 

utbetalningsfunktionen 

f(s) = s K 

3

4 

där K är en positiv konstant. På en marknad där dominansprincipen gäller 

får detta derivat värdet 

S(t) Ke r 

vid tiden t där som ovan = T t: Vid tiden T har nämligen derivatet ifråga 

samma värde som en portfölj bestående av en aktie och K obligationer. 

Väljs K så att motsvarande kontrakt är värdelöst vid teckningstiden t kallas 

K för aktiens terminspris vid tiden t för leverans vid tiden T och betecknas 

med S T term(t). Alltså gäller 

S T term(t) = S(t)e r : 

Vi kan som exemplen ovan visar värdera en del derivat av intresse med 

mycket enkla medel. Svårigheten ökar dock snabbt. Antag att en europeisk 

köpoption i aktien med lösenpriset K och lösendagen T har värdet 

c(t; S(t); K) vid tiden t. Det …nns inte något enkelt sätt att bestämma detta 

värde. I själva verket kräver problemet en mycket ingående analys av aktieprisets 

dynamik. Om p(t; S(t); K) betecknar värdet för en motsvarande 

europeisk säljoption, så …nns inte heller här någon enkel metod att bestämma 

optionsvärdet. Värdena för motsvarande optioner av amerikansk typ betecknas 

med C(t; S(t); K) respektive P (t; S(t); K). Inte heller dessa värden är 

enkla att bestämma. Om slutdagen T behöver betonas skriver vi p(t; S(t); K) 

= p(t; S(t); K; T ) och på motsvarande sätt för de övriga optionsvärdena. 

Följande relation mellan aktiepris, europeiskt köpoptionspris, europeiskt 

säljoptionspris och obligationspris är dock möjlig att visa utan kännedom om 

aktieprisets dynamik, nämligen 

S(t) c(t; S(t); K) = Ke r 

p(t; S(t); K): 

Vi behöver bara konstatera att relationen ifråga är sann för t = T samtidigt 

som vi noterar att vänstra ledet representerar värdet av en aktie och en 

utfärdad köpoption och högra ledet värdet av K obligationer och en utfärdad 

säljoption. Dominansprincipen medför att likheten även gäller före slutdagen 

(relationen kallas ”put-call parity relation” på engelska). Relationen visar 

att den europeiska säljoptionen är lätt att värdera, så snart vi kan prissätta 

den europeiska köpoptionen. Vi ser också att värdet p(S(T )) vid tiden T är 

uppnåeligt på en kapitalmarknad som endast består av aktien, den europeiska 

köpoptionen och obligationen. 

Betrakta nu för givna positiva konstanter A; B; K och L funktionen 

f(s) = min(A(s K) + ; B(L s) + )

där K < L och där s är en positiv variabel. Denna polygonfunktions derivata 

har tre språngpunkter. Om vi subtraherar funktionen B(L s) + från funktionen 

f(s) så erhålls en polygonfunktion vars derivata har två språngpunkter. 

Man inser nu lätt att en lämplig kombination av säljoptioner med olika löptid 

har värdet f(S(T )) vid tiden T . Vi utnyttjar här handel i delar av värdepapper. 

Värdet f(S(T )) vid tiden T är därför uppnåeligt på en kapitalmarknad 

som endast består av aktien, europeiska köpoptioner och obligationen. 

Om f(s) betecknar en godtycklig polygonfunktion i intervallet s > 0 så 

inser vi på liknande sätt att värdet f(S(T )) vid tiden T är uppnåeligt på en 

kapitalmarknad som endast består av aktien, europeiska köpoptioner i aktien 

och obligationen. Notera här att en godtycklig kontinuerlig funktion f på 

intervallet [0; S] kan approximeras likformigt med polygonfunktioner (beviset 

bygger på Bolzano-Weierstrass sats som garanterar att en oändlig punktföljd 

i det slutna begränsade intervallet [0; S] har minst en hopningspunkt). 

Av ovanstående drar vi slutsatsen att enkla europeiska kontrakt är ganska 

lätta att värdera så snart motsvarande punkt avgjorts för europeiska köpoptioner. 

Vi diskuterar nedan utöver vanliga köp- och säljoptioner av europeisk 

och amerikansk typ även mer invecklade så kallade betingade kontrakt. Bl 

a värderas medelvärdesoptioner och i näst sista kapitlet studeras ingående 

optionen att i slutet en given period få köpa en aktie till den allra lägsta 

aktiekurs som uppnåtts under perioden. Vi studerar också optionen att få 

byta en aktie mot en annan aktie t o m ett givet datum om kontraktsinnehavaren 

så önskar. Denna option illustrerar ett derivat som beror på ‡era 

underliggande aktier. 

Det är idag en vanlig uppfattning att aktiepriser styrs av slump åtminstone 

på kort sikt. Pris‡uktuationerna uppvisar likheter med molekylers och 

aggregat av molekylers ‡uktuationer, som först observerades av botanisten 

Brown år 1827 och som behandlades teoretiskt av Einstein 1905 [E] : Försök 

att förstå aktieprisers ‡uktuationer och europeiska köpoptioner ledde år 1900 

fransmannen Bachelier till det anmärkningsvärda arbetet ”Théorie de la 

spéculation”i Annales scienti…ques de l’École normale supérieure [BA] : Något 

överraskande behandlade Bachelier och Einstein samma matematiska grundekvationer. 

Den amerikanske matematikern Wiener gav år 1923 en stringent 

matematisk behandling av Brownsk rörelse [W ]. Bachelier, som redan i början 

av seklet stöddes av Poincaré, hade inget stort vetenskapligt in‡ytande 

under sin livstid och …ck ett tydligt erkännande för sin pionjärinsats inom 

matematisk …nans först några år efter sin bortgång 1946. Genom Blacks och 

Scholes lösning av det europeiska köpoptionsproblemet 1973 [BS], som byg- 

5

6 

ger på japanen Itôs kalkyl med Brownska trajektorier, framstår Bacheliers 

uppsats från år 1900 som en milstolpe i …nansmatematikens historia. För 

en intressant artikel om Bacheliers insatser inom matematisk …nans hänvisas 

till Samuelsons artikel [SAM2] : 

I de första sex kapitlen av denna framställning gör vi läsaren förtrogen 

med många fundamentala begrepp inom matematik såsom konvexitet, 

stokastiska processer och martingaler. I kapitel 7 härleder vi Black-Scholes 

berömda di¤erentialekvation med hjälp av den så kallade binomialmodellen 

som presenterades av Cox, Ross och Rubinstein [CRR] år 1979. Black- 

Scholes di¤erentialekvation ger teoretiska priser för enkla derivat av europeisk 

typ. De enkla amerikanska kontraktens teoretiska värden beräknas med hjälp 

av binomialapproximation. För att klargöra begreppet martingalmått, som 

spelar en nyckelroll i modern optionsteori, diskuterar vi i kapitel 10 translation 

av det så kallade Wienermåttet. Här spelar stokastiska integraler med 

deterministisk integrand en viktig roll. Detta integralbegrepp, som går tillbaka 

till ett arbete av Paley, Wiener och Zygmund [P W Z] från år 1933; 

behandlas i kapitel 9. hI 

kapitel 11 går vi in på Itôintegraler, som initierades 

av Itô i arbetena IT ^ i h 

O1 och IT ^ i 

O2 från 1942 respektive 1944. Det 

visar sig att Itôintegraler är ett suveränt hjälpmedel för att värdera …nansiella 

derivat och vi hoppas de kommer att ge läsaren stor glädje. Slutligen 

i det allra sista kapitlet behandlas Heaths, Jarrows och Mortons uppmärksammade 

modell för räntederivat i fallet av deterministisk volitilitetsstruktur 

[HJM] : 

Övningar 

I nedanstående övningar i detta kapitel förutsätts att marknaden erbjuder 

en aktie, en obligation och olika typer av aktiederivat. Vi antager dessutom 

att dominansprincipen gäller. Aktiens pris vid tiden t betecknas med S(t) 

och obligationens pris vid tiden t är lika med B(t) = B(0)e rt : Om t T så 

är = T t: 

1. Visa att 

C(t; S(t); K) max(0; S(t) K) och C(t; S(t); K) c(t; S(t); K):

2. Visa att 

3. Visa att 

(då aktien ej ger utdelning). 

4. Visa att 

5. Visa att 

och dra slutsatsen att 

c(t; S(t); K) max(0; S(t) Ke r ): 

C(t; S(t); K) = c(t; S(t); K) 

T0 T1 ) c(t; S(t); K; T0) c(t; S(t); K; T1): 

K0 K1 ) c(t; S(t); K0) c(t; S(t); K1) 

om derivatan i höger led existerar. 

6. Visa att 

7. Visa att 

0 

@ 

c(t; S(t); K) 

@K 

c(t; S(t); K) S(t): 

K0 K1 ) c(t; S(t); K0) c(t; S(t); K1) e r (K0 K1): 

Visa därefter att 

@ 

c(t; S(t); K) 

@K 

r 

e 

om derivatan i vänster led existerar. 

8. Visa att 

9. Visa att 

10. Visa att 

lim c(t; S(t); K) = 0: 

S(t)!0 

lim c(t; S(t); K; T ) = S(t): 

T !1 

2c(t; S(t); K0 + K1 

) c(t; S(t); K0) + c(t; S(t); K1): 

2 

7

8 

11. Visa att 

K P (t; S(t); K) max(0; K S(t)): 

12. Visa att det kan vara optimalt att inlösa en amerikansk säljoption före 

slutdagen 

13. En aktie har priset S(t) vid tiden t: Antag t0 < T och betrakta ett 

derivat av europeisk typ med slutdagen T som utbetalar beloppet S(t0) 

vid tiden T: Visa med hjälp av dominansprincipen att derivatets värde 

vid tiden t < t0 är lika med S(t)e r(T t0) ; där r betecknar räntan. 

Vilket värde har derivatet vid tiden t 2 [t0; T ]? 

14. Låt t0 < T och n 2 N+: Sätt h = 1 

n (T t0) och ti = t0 + ih; i = 

1; :::; n: Antag vidare att K > 0 och betrakta två europeiska derivat av 

medelvärdestyp med utbetalningarna 

och 

Xc = max(0; 

Xp = max(0; K 

1 

n + 1 

nX 

S(ti) K) 

i=0 

1 

n + 1 

nX 

S(ti)) 

vid tidpunkten T: Antag dessa derivat har värdena vc(t) resp vp(t) vid 

tiden t: Visa att om t 2 [tm 1; tm[ så gäller 

e r m 1 

n + 1 

i=0 

X 

S(ti) + 

1 e r(n m+1)h 

Ke r 

1 e rh 

vp(t): 

i=0 

Försök …nna ett liknande samband för t < t0: 

S(t) 

n + 1 

vc(t) = 

15. Låt t < t < T och antag att aktien utdelar S(t ) vid tiden t där 2 

]0; 1[ : Bestäm värdet vid tiden t för ett derivat i aktien som utbetalar 

S(T ) vid tiden T: 

16. Låt t < t < T och antag att aktien utdelar S(t ) vid tiden t där 

2 ]0; 1[ : Visa att 

S T term(t) = (1 )e r S(t):

2. Konvexitet 

I detta kapitel uppmärksammas några grundläggande resultat inom konvexitetsteorin 

samtidigt som det funktionalanalytiska språket nöts in. I slutet 

av kapitlet används separationssatsen för slutna konvexa koner för att utreda 

frågan om arbitrage i samband med den så kallade binomialmodellen för en 

aktie och en obligation i ett tidssteg. 

Alla vektorrum nedan är reella vektorrum. En delmängd A av ett vektorrum 

E sägs vara konvex, om sträckan som förbinder två godtyckliga punkter 

i mängden alltid ligger i mängden dvs om 

x; y 2 A ) x + (1 )y 2 A; 0 1: 

En funktion f : A ! R kallas konvex om A är konvex och 

x; y 2 A ) f( x + (1 )y) f(x) + (1 )f(y); 0 1: 

En stokastisk variabel X med värden i ett vektorrum E sägs vara binomialfördelad 

om det existerar a; b 2 E; a 6= b; och p 2 ]0; 1[ så att 

och 

P [X = a] = p 

P [X = b] = 1 p: 

Här de…nieras väntevärdet E [X] av X genom att 

dvs 

E [X] = aP [X = a] + bP [X = b] 

E [X] = pa + (1 p)b: 

(Bokstaven E kommer här från engelskans ”expectation”.) Alltså gäller att 

f(E [X]) E [f(X)] 

för varje konvex funktion de…nierad på E. Denna olikhet kallas Jensens 

olikhet. 

En funktion f är konkav om f är konvex. En konvex funktion f : 

E ! [0; 1[ sådan att f(x) > 0 om x 6= 0 sägs vara en norm på E om 

f är jämn dvs f( x) = f(x); x 2 E; och positivt homogen av graden ett 

9

10 

dvs f( x) = f(x); x 2 E; 0. Om f är en norm skriver man ofta 

f(x) =k x k : 

Ett vektorrum E och en norm k : k på E bestämmer ett normerat rum 

som ibland skrivs (E; k : k): Om a 2 E och r > 0 de…nieras 

B(a; r) = fx; x 2 E och k x a k< rg : 

Mängden B(a; r) kallas för en öppen boll med centrum a och radie r: En 

delmängd U av det normerade rummet E är öppen om det för varje a 2 U 

existerar r > 0 så att bollen B(a; r) är en delmängd av U: En öppen boll är 

en öppen mängd. Unionen 

A [ B = fx 2 E; x 2 A eller x 2 Bg 

av två öppna mängder A och B är öppen. Unionen av ett godtyckligt antal 

öppna mängder är också öppen. En delmängd F av det normerade rummet 

E kallas sluten om dess komplement 

är en öppen mängd. Snittet 

E n F = fx 2 E; x =2 F g 

A \ B = fx 2 E; x 2 A och x 2 Bg 

av två slutna mängder A och B är slutet. Detsamma gäller för snittet av 

ett godtyckligt antal slutna mängder. Snittet av alla slutna mängder som 

omfattar en given mängd A kallas för slutna höljet av A och betecknas med 

A. Unionen av alla öppna delmängder av en given mängd A kallas för det 

inre av A och betecknas med A o : En delmängd A av E sägs vara tät i E om 

A \ B(a; r) 6= ;; alla a 2 E och r > 0: 

Här betecknar ; den tomma mängden. Det normerade rummet ( E ; k : k) 

sägs vara separabelt om det …nns en sekvens (xn)n2N av element i E sådan 

att fxn; n 2 Ng är tät i E: En sekvens (xn)n2N i det normerade rummet E 

sägs vara konvergent om det …nns ett x 2 E så att 

lim 

n!1 k xn x k= 0: 

Det kan …nnas högst en sådan vektor x och vi skriver 

lim 

n!1 xn = x:

En delmängd K av E är kompakt om varje sekvens (xn)n2N av element i 

K innehåller en delföljd (xnk )k2N som konvergerar mot ett element i K. En 

sekvens (xn)n2N i E sägs vara en Cauchyföljd om det för varje " > 0 existerar 

ett p 2 N sådant att 

m; n > p )k xm xn k< " 

En konvergent följd är en Cauchyföljd. Det normerade rummet ( E ; k : k) är 

ett Banachrum om varje Cauchyföljd i E är konvergent. Rummet C([0; T ]) av 

alla reellvärda kontinuerliga funktioner de…nierade i det kompakta intervallet 

[0; T ] med normen 

k x k1= max j x(t) j 

0 t T 

är ett separabelt Banachrum. Konvergens i detta rum kallas med klassisk 

terminologi för likformig konvergens. 

Om E är ett vektorrum de…nieras 

E E = f(x; y); x; y 2 Eg : 

En avbildning ' : E E ! R kallas för en skalärprodukt i E om 

(i) avbildningen x ! '(x; y) är linjär för alla y 2 E 

(ii) '(x; y) = '(y; x) för alla x; y 2 E 

(iii) '(x; x) 0 för alla x 2 E med likhet om och endast om x = 0: 

Vi skriver i fortsättningen '(x; y) = (x; y) och 

k x k= p (x; x): 

Här uppfattas k x y k som avståndet mellan x och y. Med denna beteckning 

får vi kvadratregeln 

och parallellogramlagen 

k x + y k 2 =k x k 2 +2(x; y)+ k y k 2 

k x + y k 2 + k x y k 2 = 2 k x k 2 +2 k y k 2 : 

11

12 

Om x och y råkar vara ortogonala dvs om (x; y) = 0 så ger kvadratregeln 

likheten 

k x + y k 2 =k x k 2 + k y k 2 : 

Denna relation brukar kallas Pythagoras sats. Vi påminner också om Cauchy- 

Schwarz olikhet 

j (x; y) j k x kk y k 

som tillsammans med kvadratregeln ger triangelolikheten 

k x + y k k x k + k y k : 

Funktionen k : k blir således en norm på E. Ett vektorrum E och en skalärprodukt 

på E kallas ett Hilbertrum om motsvarande normerade rum är ett 

Banachrum. Rummet R n med skalärprodukten 

(x; y) = 

nX 

k=1 

xkyk 

är ett Hilbertrum. Bolzano-Weierstrass sats innebär att de slutna begränsade 

delmängderna av detta rum är kompakta. Rummet l 2 (N) bestående av alla 

sekvenser (xn)n2N i R sådana att 

1X 

n=0 

är ett Hilbertrum med skalärprodukten 

(x; y) = 

x 2 n < 1 

1X 

xnyn: 

Den slutna enhetsbollen fx; k x k 1g i detta rum är inte kompakt. 

I resten av detta kapitel betecknar H ett Hilbertrum. 

n=0 

Sats 1. (Närmaste punktegenskapen) Antag att A är en sluten, icketom 

och konvex delmängd av H och antag x 2 H . Då …nns en unik punkt 

y 2 A sådan att 

inf k x z k=k x y k : 

z2A

Bevis. Antag 

d = inf k x z k 

z2A 

och låt (zn)n2N vara en sekvens i A sådan att 

Parallellogramlagen ger nu likheten 

lim 

n!1 k x zn k= d: 

2(k x zm k 2 + k x zn k 2 ) = 4 k x 

och eftersom A är konvex följer att 

Härav drar vi slutsatsen att 

zm + zn 

2 

2 A: 

zm + zn 

2 

k 2 + k zn zm k 2 

2(k x zm k 2 + k x zn k 2 ) 4d 2 + k zn zm k 2 : 

Här är vänstra ledet godtyckligt nära 4d 2 om m och n väljs tillräckligt stora 

varför sekvensen (zn)n2N är en Cauchyföljd. Denna är således konvergent 

eftersom H är ett Hilbertrum. Antag 

lim 

n!1 zn = y: 

Då A är sluten gäller att y 2 A och vi får att 

inf k x z k=k x y k : 

z2A 

För att utreda entydighetsfrågan antages att vektorn y 0 2 A är sådan att 

Relationen 

och parallellogramlagen ger nu 

inf 

z2A k x z k=k x y0 k : 

4d 2 = 2(k x y k 2 + k x y 0 k 2 ) 

4d 2 = 4 k x 

y + y 0 

2 

k 2 + k y 0 

y k 2 : 

13

14 

Eftersom 

följer att 

4d 2 

y + y 0 

2 

2 A 

4d 2 + k y 0 

dvs y 0 = y. Detta avslutar beviset för sats 1. 

y k 2 

Vektorn y i sats 1 kallas för projektionen av x på A och betecknas med 

PA(x). 

Sats 2. Om A är en sluten, icke-tom och konvex delmängd av H och z 2 A 

gäller att 

(x PA(x); z PA(x)) 0 

för alla x 2 H. 

Bevis. Sätt y = PA(x). Om 0 < < 1 gäller att 

dvs 

dvs 

k x y k 2 k x ((1 )y + z) k 2 

k x y k 2 k (x y) (z y) k 2 

0 2 (x y; z y) + 2 k z y k 2 : 

Genom att dividera denna olikhet med och sedan låta ! 0 erhålls 

Härav följer sats 2 omedelbart. 

0 2(x y; z y): 

Om B är en delmängd av H så de…nieras 

B ? = fx 2 H; y 2 B ) (x; y) = 0 g : 

Mängden B ? är ett slutet delrum av H. Notera också att 

B \ B ? 

f0g

eftersom 

Vidare gäller att 

(x; x) = 0 ) x = 0: 

B (B ? ) ? : 

Sats 3. (Topologiskt komplement) Antag F är ett slutet delrum av H: 

Varje x 2 H har en entydig representation 

x = y + z 

där y 2 F och z 2 F ? : Vidare gäller att 

och 

y = PF (x) 

z = P F ?(x): 

Bevis. Antag x 2 H har två framställningar 

x = yk + zk; k = 0; 1; 

där y0; y1 2 F och z0; z1 2 F ? . Härav erhålls att 

y0 y1 = z1 z0 

där vänstra ledet tillhör F och högra ledet tillhör F ? . Eftersom F \F ? = f0g 

följer att y0 = y1 och z0 = z1: 

För att utreda existensfrågan noterar vi att 

(x PF (x); u PF (x)) 0 

för varje u 2 F enligt sats 2. Genom att ersätta u med u + PF (x) erhålls 

att x PF (x) 2 F ? . Alltså gäller att 

där v 2 F ? . Eftersom 

x = PF (x) + v 

x = v + PF (x) 

15

16 

och 

F (F ? ) ? 

så följer också (genom att ersätta F med F ? i ovanstående resonemang) att 

Detta avslutar beviset för sats 3. 

v = P F ?(x): 

Följande så kallade separationssats för slutna konvexa mängder har ‡era 

tillämpningar inom denna kurs. 

Sats 4. (Separationssatsen för slutna konvexa mängder) Antag A är 

en sluten, icke-tom och konvex delmängd av H och antag x 0 =2 A. Då …nns 

en vektor a 2 H och 2 R så att 

för alla x2 A. 

Bevis. Sätt 

så att 

Vi de…nierar nu a = x1 x0 och får 


(a; x0) < (a; x) 

x1 = PA(x0) 

(x0 x1; x x1) 0; x 2 A: 

(a; x1) (a; x); x 2 A: 

(a; x0) < (a; x1) 

eftersom a 6= 0. Vi kan därför de…niera = (a; x1) och sats 4 följer direkt. 

En icke-tom delmängd C av H sägs vara en konvex kon om C är konvex 

och 

x 2 C ) x 2 C

för alla 0. Separationssatsen för slutna konvexa koner får följande form. 

Sats 5. (Separationssatsen för slutna konvexa koner) Antag C är en 

sluten konvex kon och antag x 0 =2 C. Då …nns a2 H så att 

och 

för alla x 2 C. 

(a; x0) < 0 

(a; x) 0 

Bevis. Vi använder sats 4 med A = C och får a 2 H och 2 R så att 

(a; x0) < (a; x) 

för alla x 2 C. Eftersom 0 2 C måste vara icke-positivt. Om x 2 C gäller 

att x 2 C för alla > 0 och vi drar slutsatsen att (a; x) = 1 (a; x) 

1 där högra ledet konvergerar mot 0 då ! 1: Härav följer omedelbart 

sats 5. 

Antag a1; :::; an är en uppsättning vektorer i H. Dessa sägs vara positivt 

linjärt oberoende om 

nX 

k=1 

kak = 0 ) 1 = ::: = n = 0 

för alla 1; ::::; n 0: Om vektorerna e; f 2 H är ortogonala och nollskilda 

så är exempelvis uppsättningen e; f; e + f positivt linjärt oberoende. 

Om a1; :::; an 2 H så betecknar C(a1; :::; an) den minsta konvexa kon som 

innehåller a1; :::; an dvs 

( 

nX 

) 

C(a1; :::; an) = kak; 1; ::::; n 0 : 

k=1 

Sats 6. Den konvexa konen C(a1; :::; an) är sluten. 

17

18 

Bevis. Antag först att vektorerna a1; :::; an är positivt linjärt oberoende. Låt 

x tillhöra slutna höljet av C(a1; :::; an) och antag xj 2 C(a1; :::; an); j 2 N 

och 

lim 

j!1 xj = x: 

Skriv 

Vi påstår att 

xj = 

sup 

j;k 

nX 

k=1 

jkak: 

jk < 1: 

I motsatt fall …nns k0 2 f1; :::; ng och en växande följd (j ) 2N av naturliga 

tal så att 

max 

k=1;:::;n jvk = jvk0 > 0 

och j k0 ! 1; då ! 1: Härav följer att 

xj 

j k0 

= 

nX 

k=1 

Genom att utnyttja Bolzano-Weierstrass sats kan vi efter eventuell omnumrering 

antaga att varje sekvens 

j k 

j k0 

j k 

j k0 

; 2 N 

konvergerar mot ett visst icke-negativt tal k för k = 1; :::; n. Härav erhålls 

att 

nX 

kak = 0: 

k=1 

Eftersom k0 = 1 och vektorerna a1; :::; an är positivt linjärt oberoende har 

vi fått en motsägelse. Alltså gäller att 

sup 

j;k 

jk < 1 

och genom att utnyttja Bolzano-Weierstrass sats och relationen 

xj = 

nX 

k=1 

jkak 

ak:

så följer att x tillhör C(a1; :::; an): 

Det är nu lätt att avsluta beviset för sats 6. Antag nämligen att x 2 

C(a1; :::; an) och låt 

mX 

x = 

i=1 

där 1; :::; m > 0: Vi säger att denna representation är minimal om m ej kan 

göras mindre i denna typ av representation av vektorn x. Antag representationen 

är minimal. Vi påstår att vektorerna aki ; i = 1; :::; m; är positivt 

linjärt oberoende. I annat fall …nns icke-negativa tal i; i = 1; :::; m; ej alla 

lika med noll sådana att 

mX 

= 0: 

Härav erhålls att 

x = 

i=1 

iaki 

mX 

( i 

i=1 

iaki 

t i)aki 

där t > 0 väljes så att ( i t i) 0; i = 1; :::; m; och så att likhet inträ¤ar 

för något index i. Detta visar emellertid att vår tidigare representation av 

x ej är minimal och av denna motsägelse drar vi slutsatsen att vektorerna 

; i = 1; :::; m; är positivt linjärt oberoende. Således gäller att 

aki 

C(a1; :::; an) = [ [C(ak1; :::; akm); ak1; :::; akm positivt linjärt oberoende] : 

Den första delen av beviset visar nu resultatet eftersom en ändlig union av 

slutna mängder är sluten. 

Om x = (x1; :::; xn) är en vektor i R n och x1 0; :::; xn 0 skriver vi i 

fortsättningen ofta x 0: Vektorn x uppfattas här ofta som en kolonnmatris. 

Transponatet av en matris A becknas med A : Den vanliga skalärprodukten 

av två vektorer x och y i R n kan därför skrivas x y: 

Sats 7. (Farkas lemma) Antag A = (ajk)1 j m; 1 k n är en matris med 

reella element och antag b2 R m . Låt vidare ak; k=1,...,n, beteckna matrisens 

kolonner. Då gäller exakt ett av följande alternativ: 

19

20 

(i) ekvationen 

är lösbar 

(ii) det …nns h 2 R m så att 

Ax = b 

x 0 

h b < 0 

h ak 0; k = 1; :::; n: 

Bevis. Alternativet (i) gäller om och endast om b 2 C(a1; :::; an) och 

beroende på separationssatsen för slutna konvexa koner så gäller alternativet 

(ii) om och endast om b =2 C(a1; :::; an) . Detta bevisar sats 7. 

Korollarium 1. Antag A = (ajk)1 j m; 1 k n är en matris med reella element 

och antag b2 R m . Låt vidare ak; k=1,...,n, beteckna matrisens kolonner. 

Då gäller exakt ett av följande alternativ: 

(i) ekvationen 

är lösbar 

(ii) det …nns h 2 R m så att 

8 

< 

: 

Ax = b 

x1; :::; xn > 0; 2 R 

h b = 0 

h ak 0; k = 1; :::; n 

h ak > 0; för något k = 1; :::; n: 

Bevis. Antag först att ekvationerna i (i) och (ii) är uppfyllda. Då är 

(h A)x > 0: 

:

Men 

så 

h (Ax) = h (b ) = (h b) = 0 = 0 

(h A)x = 0 

och vi har fått en motsägelse. Alltså gäller högst en av (i) och (ii). 

Vi antar nu att (ii) ej är gäller och skall visa att ekvationen i (i) är lösbar, 

vilket avslutar beviset för Korollarium 1. Om (ii) ej gäller saknar systemet 

8 

>< 

>: 

h b 0 

h ( b) 0 

h ak 0; k 2 f1; :::; n g n fjg 

h ( aj) < 0 

lösning för j = 1; :::; n: Enligt Farkas lemma betyder detta att ekvationerna 

b 0 + ( b) 1 + a1x1 + ::: + aj 1xj 1 + aj+1xj+1 + ::: + anxn = aj 

0; 1; x1; :::; xj 1; xj+1; :::; xn 0 

är lösbara för alla j = 1; :::; n; dvs ekvationerna 

( 

a1x (j) 

1 + ::: + aj 1x (j) (j) 

(j) 

() 

j 1 + ajx j + aj+1x j+1 + ::: + anx 

= 1; 

(j) 

2 R 

x (j) 

1 ; :::; x (j) 

j 1 

; x(j) 

j+1 

; :::; x(j) 

n 

0; x (j) 

j 

: 

n = b (j) 

är lösbara för alla j = 1; :::; n: Genom att addera dessa ekvationer följer att 

ekvationen i (i) är lösbar. 

Exempel 1. Betrakta en matematisk modell för en kapitalmarknad bestående 

av en aktie med priset S(t) vid tiden t och en obligation med priset B(t) vid 

tiden t. Vi antager att tidsvariabeln t endast kan anta två värden, nämligen 

0 eller 1. Låt 

B(1) = B(0)e r 

där r > 0 och låt 

S(1) = S(0)e X : 

Vi antager här att X är en reellvärd binomialfördelad stokastisk variabel och 

att det går att välja u; d 2 R, som uppfyller u > d; så att händelsen 

[X 6= u och X 6= d] = fX =2 fu; dgg 

21

22 

aldrig inträ¤ar (dvs är en tom mängd). Speciellt följer att 

P [X = u] + P [X = d] = 1 

där varje term i vänster led är positiv. Denna enkla modell kallas binomialmodellen 

för en aktie och en obligation i ett tidssteg. 

Vi skall först de…niera begreppet arbitrage i denna modell. Betrakta 

därför en portfölj bestående av hS aktier och hB obligationer. Dess värde vid 

tiden t ges av 

v(t) = hSS(t) + hBB(t): 

Vi säger att ett arbitrage av första slaget uppstår om portföljen kan väljas 

så att 

v(0) = 0 och v(1) > 0: 

Genom att variera antalet obligationer i portföljen inses att ett arbitrage av 

första slaget uppstår om och endast om portföljen kan väljas så att 

v(0) < 0 och v(1) 0: 

Utskrivet mer explicit innebär detta att 

och 

hSS(0) + hBB(0) < 0 

hSS(0)e u + hBB(0)e r 0 

hSS(0)e d + hBB(0)e r 0 

vilket med tanke på Farkas lemma innebär att modellen saknar arbitrage av 

första slaget om och endast om det existerar reella tal x; y 0 sådana att 

Detta ekvationssystem har lösningen 

och vi ser att x; y 0 precis då 

S(0)e u x + S(0)e d y = S(0) 

B(0)e r x + B(0)e r y = B(0): 

x = e r er e d 

e u e d 

y = e r e u e r 

e u e d 

d r u:

Under dessa villkor på parametrarna saknar alltså modellen arbitrage av 

första slaget. 

Vi skall nu de…nera begreppet arbitrage av andra slaget. Betrakta därför 

som ovan en portfölj bestående av hS aktier och hB obligationer. Dess värde 

vid tiden t ges av 


Vi säger att ett arbitrage av andra slaget uppstår om portföljen kan väljas 

så att 

v(0) = 0; v(1) 0 och v(1) 6= 0: 

Utskrivet mer explicit innebär detta att 

hSS(0) + hBB(0) = 0 

och 

hSS(0)eu + hBB(0)er 0 

hSS(0)ed + hBB(0)er 0 

där strikt olikhet inträ¤ar i någon av de två olikheterna. Korollarium 1 

innebär att modellen saknar arbitrage av andra slaget om och endast om det 

existerar reella tal x; y > 0 och 2 R sådana att 

S(0)e u x + S(0)e d y = S(0) 

B(0)e r x + B(0)e r y = B(0) 

dvs om och endast om det existerar reella tal x; y > 0 och 2 R sådana att 

x = e r er e d 

e u e d 

y = e r e u e r 

e u e d 

Modellen saknar därför arbitrage av andra slaget precis då 

d < r < u: 

I fortsättningen arbetar vi endast med arbitrage av andra slaget och säger 

därför helt enkelt arbitage när vi menar arbitage av andra slaget. 

Binomialmodellen dominerar ‡era nya böcker inom teorin för …nansiella 

derivat (se t ex [J1] och [JT ]). Vi har även här valt att låta denna modell 

spela en mycket central roll i denna framställning. 

: 

23

24 

Övningar 

I nedanstående övningar i detta kapitel antags att dominansprincipen 

gäller. 

1. Visa att funktionen 

är konvex. 

2. Visa att funktionen 

är konvex. 

K ! c(t; S(t); K) 

K ! p(t; S(t); K) 

3. Visa att funktionen f : ]a; b[ ! R är konvex om f 00 0: 

4. Låt U vara en öppen konvex delmängd av Rn : Visa att en två gånger 

kontinuerligt deriverbar funktion f : U ! R är konvex om Hessematrisen 

@2f (x) 

@xj@xk 

1 j;k n 

är positivt semide…nit i varje punkt x 2 U: 

5. Visa att maximum två konvexa funktioner med samma de…nitionsmängd 

är konvex. 

6. Visa att öppna bollar är konvexa. 

7. Låt A vara en konvex delmängd av ett vektorrum. Visa att 

nX 

k=1 

kxk 2 A 

för alla x1; :::; xn 2 A och alla 1; :::; n 2 [0; 1] som uppfyller 

nX 

k=1 

k = 1:

8. Funktionen f : A ! R är konvex. Visa att 

f( 

nX 

k=1 

kxk) 

nX 

k=1 

kf(xk) 

för alla x1; :::; xn 2 A och alla 1; :::; n 2 [0; 1] som uppfyller 

nX 

k=1 

k = 1: 

9. Låt x1; :::xn > 0 och antag 1; :::; n 2 [0; 1] uppfyller 

Visa att 

Notera specialfallet 

n 

nY 

k=1 

nX 

k=1 

x k 

k 

v 

u 

t n Y 

k=1 

xk 

k = 1: 

nX 

k=1 

1 

n 

kxk: 

nX 

xk: 

10. Antag t1 < ::: < tn = T och låt 1; :::; n 2 [0; 1] uppfylla 

nX 

i=1 

i = 1: 

k=1 

Betrakta två aktiederivat av europeisk typ som utbetalar 

resp 

X = max(0; 

Y = max(0; 

nX 

i=1 

iS(ti) K) 

nY 

S(ti) i K) 

i=1 

vid tiden T där K > 0: Låt t < T: Visa att det första derivatets värde 

vid tiden t ej kan understiga det andra derivatets värde vid tiden t: 

25

26 

11. Låt A vara en delmängd av ett normerat rum. Visa att x 2 A om och 

endast om det existerar en följd (xn)n2N av element i A som konvergerar 

mot x: 

12. Låt (xn)n2N vara en följd i ett Banachrum sådan att 

Visa att serien 

är konvergent. 

1X 

k xn k< 1: 

n=0 

1X 

n=0 

13. Antag (E; k : kE) och (F; k : kF ) är normerade rum. En funktion 

f : E ! F sägs vara kontinuerlig om det för varje a 2 E och " > 0 

existerar > 0 så att 

xn 

k x a kE< )k f(x) f(a) kF < ": 

a) Visa att avbildningen x !k x kE är kontinuerlig. 

b) Antag 2 R. Visa att mängden 

fx 2 E; f(x) > g 

är öppen om f : E ! R är kontinuerlig. 

14. Antag F är ett Banachrum med normen k : kF : Låt vidare E1 vara 

ett tätt delrum av ett normerat rum E med normen k : kE och antag 

att funktionen f : E1 ! F är likformigt kontinuerlig (dvs till varje 

" > 0 existerar > 0 så att k x y kE< " ) k f(x) f(y) kF < så 

snart x; y 2 E1). Visa att det …nns en likformigt kontinuerlig funktion 

g : E ! F sådan att g(x) = f(x); x 2 E1. 

15. Visa att 

om F är ett slutet delrum av H. 

F = (F ? ) ?

16. Låt U vara en öppen konvex delmängd av R n och f : U ! R en konvex 

funktion. Visa att f är uppåt begränsad på varje sluten begränsad 

delmängd K av U. 


funktion. Visa att f är kontinuerlig. 


funktion. Visa att det till varje a 2 U …nns en vektor c 2 R n så att 

f(x) f(a) + c (x a); x 2 U: 

19. Funktionen f : [0; 1] ! R är kontinuerlig och funktionen ' : R ! R 

är konvex. Visa att 

'( 

Z 1 

0 

f(x)dx) 

Z 1 

0 

'(f(x))dx: 

20. Antag f : R ! ]0; 1[. Visa att funktionen ln f är konvex om och 

endast om funktionen 

e ax f(x); x 2 R 

är konvex för alla a 2 R. 

21. Funktionen f : R ! R är konvex. Visa att funktionen 

är konvex. 

g(x; y) = yf( x 

); x 2 R; y > 0 

y 

27

3. Måtteori 

Den mått- och integrationsteori, som har visat sig särskilt användbar inom 

teorierna för di¤erentialekvationer, Fourieranalys och stokastiska processer, 

utvecklades först i början av 1900-talet. Det …nns ett stort antal mycket bra 

böcker inom detta område (en av dessa är enligt vår mening Nevues klassiska 

bok ”Mathematical Foundations of the Calculus of Probability ”[N]). 

Vi återger här delar av denna viktiga teori och gör emellanåt vissa antydningar 

mot sannolikhetsteori för att träna in begreppsbildningen. Bevis går 

vi sällan in på. I ett viktigt exempel diskuteras begreppet martingalmått för 

binomialmodellen i ett tidssteg. 

Vi börjar med att något fördjupa den mängdlära vi berörde i föregående 

kapitel. Antag R är en abstrakt mängd. Vi skriver A R om varje element 

i A också tillhör R och säger att A är en delmängd av R: Alternativt säger 

vi i detta fall att R omfattar A och skriver R A. Om A; B R de…nieras 

snittet 

A \ B = fx 2 R; x 2 A och x 2 Bg 

och unionen 

A [ B = fx 2 R; x 2 A eller x 2 Bg : 

Dessa operationer utvidgas lätt till ett godtyckligt antal mängder. Vidare 

de…nieras 

A n B = fx 2 R; x 2 A och x =2 Bg : 

Mängden R n B kallas för komplementet till B: Tomma mängden betecknas 

med ;: Två mängder sägs vara disjunkta om snittet av dem är tomt. 

En klass A av delmängder av R kallas för en -algebra av delmängder av 

R om 

(i) R 2 A 

(ii) A 2 A ) R n A 2 A 

(iii) An 2 A, n 2 N ) [n2NAn 2 A. 

I detta fall kallas det ordnade paret (R; A) för ett mätbart rum. Klassen 

f;; Rg är -algebra av delmängder av R. Detsamma gäller klassen 2 R bestående 

av alla delmängder av R. Notera att snittet av -algebror av delmängder av 

R är en ny -algebra varför det till varje given klass C av delmängder av R 

29

30 

…nns en minsta -algebra av delmängder av R (med avseende på mängdinklusion) 

som omfattar C. Denna -algebra sägs genereras av C och betecknas 

med (C). Om E är ett normerat rum kallas den -algebra som genereras 

av de öppna delmängderna av E för Borel- -algebran i E och betecknas 

med B(E). Man kan visa att B(R) genereras av alla slutna (eller öppna) 

delintervall av R. 

Om R0 och R1 är två mängder och f : R0 ! R1 en funktion så de…nieras 

f 1 (A) = fx 2 R0; f(x) 2 Ag 

för varje delmängd A av R1: Speciellt gäller att 

f 1 (R1 n A) = R0 n f 1 (A): 

Antag nu att (Aj)j2J är en godtycklig familj delmängder av R1: Av de…nitionerna 

följer lätt att 

och 

f 1 (\j2JAj) = \j2Jf 1 (Aj) 

f 1 ([j2JAj) = [j2Jf 1 (Aj): 

Om (R1; A1) är ett mätbart rum och f : R0 ! R1 så de…nieras 

f 1 (A1) = f 1 (A); A 2 A1 : 

Härav följer att f 1 (A1) är en -algebra av delmängder av R0: Denna betecknas 

ofta (f) om missförstånd ej kan inträ¤a. 

Antag (R0; A0) och (R1; A1) är två mätbara rum och f : R0 ! R1 en 

funktion sådan att 

f 1 (A1) A0: 

Funktionen f sägs i detta fall vara (A0; A1)-mätbar eller helt enkelt bara 

mätbar om missförstånd ej kan inträ¤a. Om f : R0 ! R1 och (R1; A1) är ett 

mätbart rum så är enligt ovan (f) den minsta -algebra C av delmängder 

av R0 sådan att f är (C; A1)-mätbar. Antag vidare att g : R0 ! R n är 

en ( (f); B(R n ))-mätbar funktion. Man kan under dessa förutsättningar 

visa att det …nns en (A1; B(R n ))-mätbar funktion h : R1 ! R n sådan att 

g = h f. Det är en bra övning att försöka visa detta påstående då f antar 

exakt två värden.

Antag nu att (R; A) är ett mätbart rum. En funktion de…nierad i hela 

A och med värden i intervallet [0; +1] kallas ett positivt mått om (;) = 0 

och 

( [ 

1X 

An) = (An) 

n2N 

för varje sekvens An 2 A; n 2 N; av parvis disjunkta mängder. Den ordnade 

tripeln (R; A; ) sägs i detta fall vara ett positivt måttrum. Råkar (R) < 

+1 kallas för ett ändligt positivt mått och om (R) = 1 kallas för 

ett sannolikhetsmått. Den ordnade tripeln (R; A; ) kallas för ett ändligt 

positivt måttrum om är ett ändligt positivt mått och ett sannolikhetsrum 

om är ett sannolikhetsmått. Sannolikhetsrum betecknas ofta ( ; F; P ). 

Om (R; A; ) är ett positivt måttrum sägs ibland (något oprecist) vara ett 

positivt mått i R. Det så kallade räknemåttet cR i R som de…nieras av att 

cR(A) är lika med antalet element i A för varje A 2 A är ett konkret och 

enkelt exempel på ett positivt mått. 

Om E är ett normerat rum kallas positiva mått på B(E) för positiva 

Borelmått i E. Ett ändligt positivt Borelmått på B(R n ) är inre reguljärt 

med avseende på kompakta delmängder i den meningen att 

n=0 

(A) = sup f (K); K kompakt Ag ; A 2 B(R n ): 

Om vi talar om ett positivt mått i ett normerat rum E är det underförstått 

att måttet är ett positivt Borelmått om inte annat anges. 

Det …nns exakt ett positivt mått m på B(R) sådant att 

m([a; b]) = b a 

för varje a < b. Måttet m kallas för Lebesguemåttet i R. Existensen av 

detta mått är relativt svår att komma åt och faller utanför ramen för denna 

framställning. Om B 2 B(R) de…nieras 

BB(R) = fA 2 B(R); A Bg : 

Observera att BB(R) är en -algebra av delmängder av B: Måttet mB 

de…nierat av ekvationen 

kallas för Lebesguemåttet i B: 

mB(A) = m(A); A 2 BB(R) 

31

32 

Antag nu att (R; A; ) är ett …xt positivt måttrum. Om A R de…nieras 

den så kallade indikatorfunktionen för mängden A genom att 

1A(x) = 

1; x 2 A 

0; x =2 A: 

En funktion g : R ! R sägs vara en enkel mätbar funktion om den är 

(A; B(R))-mätbar och g endast antar ändligt många värden. Under dessa 

förutsättningar kan g skrivas 

g(x) = 

nX 

k=1 

k1Ak (x) 

för lämpliga parvis olika k 2 R; k = 1; :::; n; och parvis disjunkta Ak 2 

A; k = 1; :::; n. Om k 0; k = 1; :::; n; i denna representation de…nierar vi 

-integralen av funktionen g genom formeln 

Z 

nX 

g(x)d (x) = k (Ak): 

R 

Här de…nieras 0 1 = 0. 

Delintervall av R [ f 1g tilldelas i fortsättningen alltid den -algebra 

som genereras av delintervallen av intervallet ifråga. Om f : R ! [0; +1] är 

mätbar de…nieras integralen av f över R med avseende på måttet 

Z 

f(x)d (x) = 

genom 

sup 

Z 

R 

R 

k=1 

g(x)d (x); där g är enkel mätbar och 0 g f : 

Sats 1. (Lebesgues monotona konvergenssats) Antag (R; A; ) är ett 

positivt måttrum och antag att f n : R ! [0; 1] ; n 2 N; är en följd mätbara 

funktioner sådan att fn fn+1; n 2 N; och 

lim 

n!1 fn(x) = f(x); x 2 R: 

Då gäller att f är mätbar och 

Z 

Z 

lim 

n!1 

fn(x)d (x) = 

R 

R 

f(x)d (x):

Antag f : R ! [0; +1] är mätbar. Man kan visa att det …nns ickenegativa 

enkla mätbara funktioner gn; n 2 N, sådana att gn gn+1 och 

lim 

n!1 gn(x) = f(x); alla x 2 R: 

Lebesgues monotona konvergenssats medför nu att 

Z 

Z 

f(x)d (x) = lim gn(x)d (x): 

n!1 

R 

Vi skriver f 2 L 1 ( ) eller eventuellt för tydlighets skull f 2 L 1 (R; A; ) om 

f : R ! [ 1; +1] är mätbar och f + = max(0; f) och f = max(0; f) har 

ändliga integraler över R med avseende på måttet . I detta fall de…nieras 

Z 

Z 

f(x)d (x) = f + Z 

(x)d (x) f (x)d (x): 

R 

Om dessutom A 2 A, de…nieras också 

Z 

Z 

f(x)d (x) = 

A 

R 

R 

R 

R 

1A(x)f(x)d (x): 

I specialfallet att R = R och A är ett begränsat intervall med vänsterändpunkten 

a och högerändpunkten b skrivs 

Z 

Z b 

f(x)d (x) = f(x)d (x) 

A 

förutsatt att (fa; bg) = 0. Om a; b 2 R de…nieras integralerna 

Z 1 

a 

a 

f(x)d (x) 

och Z b 

f(x)d (x) 

1 

på liknande sätt förutsatt att (fag) = 0 i första fallet och (fbg) = 0 i 

andra fallet. Vi skriver också 

Z 

Z 1 

f(x)d (x) = f(x)d (x): 

R 

1 

33

34 

Om f 2 C([a; b]) dvs om f är en reellvärd kontinuerlig funktion i det 

kompakta intervallet [a; b] och m som vanligt betecknar Lebesguemåttet i R 

så gäller att 

Z b 

a 

f(x)dm(x) = 

Z b 

a 

f(x)dx 

där integralen i högra ledet är en vanlig Riemannintegral. 

Antag nu att (R; A; ) och (R; A; ) är två positiva måttrum. Då är + 

ett positivt mått och för varje f 2 L 1 ( ) \ L 1 ( ) gäller att 

Z 

R 

Z 

f(x)d( + )(x) = 

R 

Z 

f(x)d (x) + 

Vidare gäller för varje f 2 L1 ( ) och 2 [0; 1[ att 

Z 

Z 

f(x)d( )(x) = f(x)d (x): 

R 

R 

R 

f(x)d (x): 

Diracmåttet a i en given punkt a 2 R de…nieras för varje A 2 2 R genom 

relationen 

a(A) = 1A(a) 

där funktionen 1A är indikatorfunktionen för mängden A. De…nitionerna ger 

att Z 

f(x)d a(x) = f(a): 

R 

För alla a och b tillhörande R och icke-negativa tal p och q så uppfyller det 

positiva måttet = p a + q b relationen 

Z 

R 

f(x)d (x) = pf(a) + qf(b): 

Om ( ; F; P ) är ett sannolikhetsrum så kallas en mätbar funktion X : 

! R ofta för en reellvärd stokastisk variabel. Givet X 2 L1 (P ) de…nieras 

väntevärdet E [X] av X genom 

Z 

E [X] = X(!)dP (!) 

eller tydligare 

E P Z 

[X] = 

X(!)dP (!):

Råkar dessutom A 2 F de…nieras 

Z 

E [X; A] = 

A 

X(!)dP (!): 

För att illustrera begreppen ovan gör vi nu en liten paus i den allmänna 

måtteorin och återknyter till binomialmodellen från föregående kapitel. 

Exempel 1. Betrakta en kapitalmarknad bestående av en aktie med priset 

S(t) vid tiden t och en obligation med priset B(t) vid tiden t. Vidare antages 

att variabeln t endast kan antaga två värden, nämligen 0 eller 1: Vi skriver 

där r > 0 och 

B(1) = B(0)e r 

S(1) = S(0)e X 

där vi antar att X är en reellvärd binomialfördelad stokastisk variabel sådan 

att X 1 (fu; dg) = för lämpliga u; d 2 R som uppfyller u > d: Vi kan utan 

inskränkning anta att = fu; dg och X(!) = !; ! 2 : Dessutom förutsätts 

nu att u > r > d så att motsvarande modell är arbitragefri. 

Vår enkla kapitalmarknad utvidgas nu genom att vi tillför ett derivat i aktien 

av europeisk typ som utbetalar beloppet f(S(1)) vid tiden t = 1. Vilket 

värde skall detta derivat tilldelas vid tiden t = 0? För att besvara denna 

fråga betraktar vi en portfölj bestående av hS aktier och hB obligationer. 

Dess värde vid tiden t ges av 


Om vi kan bestämma hS och hB så att v(1) = f(S(1)) så de…nieras derivatets 

teoretiska värde vid tiden t = 0 som v(0). Observera att v(0) i så fall blir 

entydigt bestämt eftersom vår modell saknar arbitrage. 

Vi undersöker nu närmare ekvationen v(1) = f(S(1)): Om aktien går upp 

vid tiden t = 1 blir 

hSS(0)e u + hBB(0)e r = f(S(0)e u ) 

och om aktien går ned vid tiden t = 1 så blir 

hSS(0)e d + hBB(0)e r = f(S(0)e d ): 

35

36 

En kalkyl medför nu att 

och 

Härav följer att 

där 

och 

hSS(0) = f(S(0)eu ) f(S(0)e d ) 

e u e d 

hBB(0) = e r eu f(S(0)e d ) e d f(S(0)e u ) 

e u e d : 

v(0) = e r pf(S(0)e u ) + qf(S(0)e d ) 

p = er e d 

e u e d 

q = eu er eu : 

ed Vi kallar v(0) för derivatets teoretiska pris eller teoretiska värde. Genom 

att de…niera ett sannolikhetsmått Q = p u + q d i så följer att derivatets 

teoretiska pris vid tiden t = 0 ges av 

v(0) = e r E Q [f(S(1))] : 

I fortsättningen säger vi ofta pris (värde) istället för teoretiskt pris (teoretiskt 

värde) då missförstånd inte kan inträ¤a. Observera att Q(fug) > 0 och 

Q(fdg) > 0 eftersom u > r > d: 

Av relationen 

pe u + qe d = e r 

följer vidare att 

f(s) = s ) v(0) = S(0) 

vilket ekvivalent kan uttryckas med formeln 

S(0) = e r E Q [S(1)] : 

Måttet Q kallas martingalmått, en terminologi som blir klarare i senare avsnitt. 

Innan vi avslutar exemplet vill vi göra en del anmärkningar för det fall att 

utbetalningsfunktionen f är konvex. Om f är konvex så följer av relationen 

v(0) = e r E Q [f(S(1))]

och Jensens olikhet att 

Om vi nu dessutom antager att 

erhålls olikheten 

v(0) e r f(E Q [S(1)]) = e r f(e r S(0)) 

f(s) f( s); 0 < < 1; 

v(0) f(S(0)): 

Ett motsvarande amerikanskt kontrakt kan lösas in vid en godtycklig tidpunkt 

t 2 f0; 1g och utbetalar då beloppet f(S(t)) till innehavaren. Det är 

inte optimalt att inlösa kontraktet vid tiden t = 0 under samma förutsättningar 

på f . Motsvarande europeiska kontrakt har nämligen ett värde som 

ej understiger det värde som erhålles om det amerikanska kontraktet inlöses. 

Ett intressant specialfall erhålls för f(s) = max(0; s K) där K > 0 är ett 

givet tal. 

Om f(s) = max(0; K s); där K > 0; så är f fortfarande konvex men 

olikheten 

f(s) f( s); 0 < < 1 

gäller ej. En närmare analys visar också att det kan vara optimalt att inlösa 

motsvarande amerikanska kontrakt vid tiden t = 0. Detta inträ¤ar om 

e r p max(0; K S(0)e u ) + q max(0; K S(0)e d ) < max(0; K S(0)) 

dvs om S(0) är tillräckligt litet. Detta avslutar exemplet. 

Om (R; A; ) är ett positivt måttrum och f : R ! [0; 1] är mätbar så 

följer av Lebesgues monotona konvergenssats att funktionen 

Z 

(A) = f(x)d (x); A 2 A 

A 

är ett positivt mått. Detta mått betecknas med f dvs = f : Vi skriver 

också 

d (x) = f(x)d (x) 

37

38 

vilket motiveras av att 

Z 

R 

Z 

g(x)d (x) = 

R 

g(x)f(x)d (x) 

för varje mätbar funktion g: R ! [0; 1] : I fallet = m skrivs också 

Måttet i R de…nierat av ekvationen 

dm(x) = dx: 

d (x) = e x2 =2 dx 

p 2 

kallas för det kanoniska Gaussmåttet i R. Det gäller att (R) = 1 och 

Z 1 

1 

x 2 d (x) = 1: 

Antag nu att ( ; F; P ) är ett sannolikhetsrum och (R; A) ett mätbart 

rum. En mätbar avbildning X : ! R kallas för en R-värd stokastisk 

variabel. Denna inducerar ett så kallat fördelningsmått X genom ekvationen 

X(A) = P [X 2 A] ; A 2 A 

dvs X(A) är för givet A 2 A lika med sannolikheten för att händelsen 

[X 2 A] = f!; X(!) 2 Ag inträ¤ar: Med Lebesgues monotona konvergenssats 

visas att om f : R ! [ 1; 1] är mätbar gäller att f(X) 2 L1 (P ) om och 

endast om f 2 L1 ( X) och i förekommande fall gäller 

Z 

E [f(X)] = f(x)d X(x): 

Om X antar värden i [ 1; 1] och 

E X 2 Z 

= 

R 

R 

x 2 d X(x) 

är ändlig så följer av Cauchy-Schwarz olikhet att 

E [j X j] p E [X 2 ] < 1:

I detta fall de…nieras variansen Var(X) av X genom att 

Var(X) = E (X E [X]) 2 : 

En stokastisk variabel X med värden i en ändlig mängd R med n element 

säges ha en likformig fördelning om X = 1 

n cR: 

En stokastisk variabel X med värden i [a; b], där a < b; sägs ha en likformig 

fördelning om 

X(A) = 1 

m(A); A 2 B([a; b]): 

b a 

I detta fall gäller att E [X] = (b a)=2 och Var(X) = (b a) 2 =12: 

En reellvärd stokastisk variabel X med fördelningsmåttet sägs ha en 

N(0; 1)-fördelning. Detta skrivs X 2 N(0; 1) och motsvarande fördelningsfunktion 

betecknas med dvs 

(y) = 

Z y 

1 

e x2 =2 dx 

p 2 ; y 2 R: 

Inom matematisk …nans skrivs ofta N istället för : 

En reellvärd stokastisk variabel X sägs ha en N( ; 2 )-fördelning om 2 

R , 0 och X = + Y där Y 2 N(0; 1). En reellvärd stokastisk variabel 

sägs ha en normalfördelning om den är N( ; 2 )-fördelad för lämpliga 2 

R , 0: En reellvärd normalfördelad stokastisk variabel säges också ha en 

Gaussisk fördelning. 

Vårt intresse för normalfördelningen i denna kurs bottnar i empiriska 

studier av aktieavkastningar (en särskilt uppmärksammad publikation inom 

detta område utgör Famas artikel ”The behavior of stock market prices” 

[F A]). Betrakta nämligen en aktie med priset S(t) vid tiden t: Om > 0 

de…nieras 

X = ln 

S(t + ) 

: 

S(t) 

X kallas (i teoretisk …nans) för avkastningen av aktien över tidsintervallet 

[t; t + ]. Om vi be…nner oss vid tiden t är X okänd och det är naturligt 

att i en matematisk modell försöka beskriva X som en stokastisk variabel. 

Det …nns dock ingen typisk aktieavkastningsfördelning. För väl omsatta 

aktier förefaller dock aktieavkastningar kunna beskrivas relativt bra av normalfördelade 

stokastiska variabler under perioder av normala yttre förhållanden. 

39

40 

Antag (R; A; ) är ett positivt måttrum. En mängd A 2 A sägs vara 

en -nollmängd eller (om missförstånd ej kan inträ¤a) en nollmängd om 

(A) = 0 . Ett påstående P (x); där x 2 R; som gäller för alla x utanför en 

lämplig -nollmängd sägs gälla n.ö. [ ] eller om missförstånd ej kan inträ¤a 

helt enkelt n.ö: Förkortningen n.ö. uttalas ”nästan överallt”. Måttrummet 

(R; A; ) säges vara komplett om mängden 

N (A) = fB; B A för något A 2 A med (A) = 0g 

är en delmängd av A: Vi de…nierar 

A = fE; det existerar A; B 2 A så att A E B och (BnA) = 0g : 

Man kan visa att A är en -algebra och den kallas för -kompletteringen 

av A: Om E 2 A …nns A; B 2 A så att A E B och (BnA) = 0: 

Genom att de…niera (E) = (A) blir ett positivt mått. Måttet kallas 

för utvidgningen av måttet till -algebran A : Måttrummet (R; A ; ) är 

komplett. Om är ett sannolikhetsmått sägs ofta ”nästan säkert” istället 

för ”nästan överallt”. Uttrycket ”nästan säkert” förkortas n.s. Man kallar 

m-kompletteringen av Borel- -algebran i R för Lebesgue- -algebran i R. 

Om 0 f 2 L1 ( ) följer av olikheterna 

Z 

1 > f(x)d (x) s (f 1 ([s; +1])); s 0 

att 

R 

(fx 2 R; f(x) = 1g) = 0 

dvs mängden fx 2 R; f(x) = 1g är en nollmängd. Alltså är f reellvärd n.s. 

För två funktioner f; g 2 L1 ( ) som är lika n.s. gäller att 

Z 

Z 

f(x)d (x) = g(x)d (x): 

R 

Två funktioner som är lika n.s. identi…eras från och med nu. Varje f 2 L 1 ( ) 

har med denna konvention en reellvärd kopia i L 1 ( ) och det är härigenom 

lätt att de…niera summan av två funktioner i L 1 ( ): Det erbjuder heller 

inga svårigheter att de…niera multiplikation av funktion i L 1 ( ) med skalär. 

Härigenom blir L1 ( ) ett vektorrum och man kan visa att avbildningen 

Z 

f ! f(x)d (x) 

R 

R

är en linjär avbildning från L1 ( ) in i R. 

Om f 2 L1 ( ) de…nieras den så kallade L1 ( )-normen av f genom att 

Z 

k f k1= j f(x) j d (x): 

Följande egenskaper är lätta att veri…era, nämligen 

(i) k f k1=j jk f k1 

(ii) k f + g k1 k f k1 + k g k1 

(iii) k f k1 0 med likhet om och endast om f = 0 i L 1 ( ). 

R 

Med denna norm blir L 1 ( ) ett Banachrum. Varje Cauchyföljd i detta 

rum är således konvergent. De enkla mätbara funktionerna bildar en tät 

delmängd av L 1 ( ). 

Sats 2. (Lebesgues majorantsats) Antag f n 2 L 1 ( ); n 2 N, och 

Antag vidare att gränsvärdet 

sup j fn j2 L 

n2N 

1 ( ): 

lim 

n!1 fn(x) 

existerar och är lika med f(x) n.s. [ ] : Då gäller att f 2 L 1 ( ) och 

Speciellt gäller att 

Vi de…nierar klassen 

lim 

n!1 k fn f k1= 0: 

Z 

Z 

lim 

n!1 

fn(x)d (x) = 

R 

f(x)d (x): 

R 

L 2 (R; A; ) = f; f mätbar och f 2 2 L 1 (R; A; ) : 

41

42 

Om missförstånd ej kan uppstå skrivs L 2 (R; A; ) = L 2 ( ). Man de…nierar 

summa och skalärmultiplikation i L 2 ( ) analogt med motsvarande operationer 

i rummet L 1 ( ) och härigenom blir L 2 ( ) ett vektorrum, som med 

skalärprodukten 

Z 

(f; g) = 

R 

f(x)g(x)d (x) 

blir ett reellt Hilbertrum. Om f 2 L2 ( ); de…nieras 

s 

Z 

k f k2= f 2 (x)d (x) 

R 

och vi kallar detta uttryck för L 2 ( )-normen av f. De enkla mätbara funktionerna 

bildar en tät delmängd av L 2 ( ). Av Cauchy-Schwarz olikhet följer 

att 

L 2 (P ) L 1 (P ): 

Om X 2 L 2 (P ) gäller speciellt att 

Var(X) =k X E [X] k 2 2 : 

Kovariansen mellan två stokastiska variabler X; Y 2 L 2 (P ) de…nieras av 

Cov(X; Y ) = E [(X E [X])(Y E [Y ])] 

och om X; Y ej är kontanta n.s. de…nieras korrelationen mellan dem genom 

Cor(X; Y ) = 

Cov(X; Y ) 

p Var(X)Var(Y ) : 

Två stokastiska variabler X; Y 2 L 2 (P ) sägs vara okorrelerade om Cov(X; Y ) = 

0: 

Antag nu att X 2 L 1 ( ; F; P ) och låt G vara en -algebra av delmängder 

av sådan att G F. Det …nns då en unik stokastisk variabel Y 2 L 1 ( ; G; P ) 

sådan att 

E [X; A] = E [Y ; A] ; alla A 2 G: 

Här kallas Y det betingade väntevärdet av X givet G och betecknas med 

E [X j G] : Observera att E [j X j] E [j Y j] : Om X 2 L 2 ( ; F; P ) kan vi 

helt enkelt de…niera Y som ortogonala projektionen av X på L 2 ( ; G; P ). 

Det allmänna fallet X 2 L 1 ( ; F; P ) kan vi först reducera till fallet att

X är icke-negativ. Beroende på Lebesgues monotona konvergenssats kan 

vi nu också begränsa oss till det redan avklarade kvadratintegrabla fallet 

genom att ersätta X med min(X; n); där n 2 N. Om X1; :::; Xn betecknar 

stokastiska variabler de…nierade på betecknar (X1; :::; Xn) den minsta 

-algebra av delmängder av som gör X1; :::; Xn mätbara. Vi skriver i 

fortsättningen E [X j X1; :::; Xn] istället för E [X j (X1; :::; Xn)] : Om A 2 G 

skrivs E [1A j G] = P [A j G] : 

Ett positivt måttrum (R; A; ) sägs vara -ändligt om det existerar An; n 2 

N, så att R = [n2NAn och (An) < 1; n 2 N. Betrakta nu två positiva 

-ändliga måttrum (Rk; Ak; k); k = 1; 2: Vi de…nierar produktrummet 

R1 R2 = f(x1; x2); x1 2 R1 och x1 2 R1g 

och låter A1 A2 beteckna -algebran av delmängder av R1 R2 som genereras 

av alla mängder av typen 

A1 A2; A1 2 A1; A2 2 A2: 

Man kan visa att det existerar ett unikt positivt mått, här betecknat med 

1 2; de…nierat på -algebran A1 A2; sådant att 

( 1 2)(A1 A2) = 1(A1) 2(A2); A1 2 A1; A2 2 A2: 

Vidare gäller för varje mätbar funktion f : R1 R2 ! [0; 1] att 

Z 

Z Z 

f(x1; x2)d( 1 2)(x1; x2) = ( f(x1; x2)d 1(x1))d 2(x2) 

och 

Z 

R1 R2 

R1 R2 

Z 

f(x1; x2)d( 1 2)(x1; x2) = 

R2 

R1 

Z 

( 

R1 

R2 

f(x1; x2)d 2(x2))d 1(x1): 

Detta resultat kallas Fubinis sats. 

De…nitionen av produktmått kan lätt utsträckas till en ändlig produkt av 

positiva -ändliga mått. Vi skriver 

mn = m ::: m ; n st faktorer 

och kallar detta mått för det n-dimensionella Lebesguemåttet. Observera 

att m1 = m = mR: Om B 2 B(R n ) är en given mängd kallas måttet som 

43

44 

de…nieras av att (A) = mn(A) för alla A 2 B(Rn ) sådana att A B för 

Lebesguemåttet i B. Man kallar mn-kompletteringen av Borel- -algebran i 

Rn för Lebesgue- -algebran i Rn . Råkar B vara en axelparallell rektangel i 

Rn och f : B ! R en reellvärd kontinuerlig funktion så är 

Z 

Z 

Z Z 

f(x)dmn(x) = f(x)dx = f(x1; :::; xn)dx1:::dxn 

B 

B 

där integralerna i mittersta och högra leden är vanliga Riemannintegraler. 

Det kanoniska Gaussmåttet n i Rn ges av 

Z 

n(A) = e jxj2 =2 dmn(x) 

p n ; A 2 B(R 

2 n ) 

där 

A 

v 

u 

j x j= t n X 

är den vanliga normen i R n : I fortsättningen skriver vi också 

eller 

k=1 

x 2 k 

B 

d n(x) = e jxj2 =2 dmn(x) 

p 2 n 

d n(x) = e jxj2 =2 dx 

p 2 n : 

En R n -värd stokastisk variabel X sägs vara en kanonisk Gaussvariabel i R n 

om X = n: 

Vi skall nu ytligt beröra begreppet absolutkontinuitet för mått. Detta 

begrepp kommer senare att bli aktuellt i samband med martingalmått i mer 

realistiska modeller än ovan. Låt (R; A; ) och (R; A; ) vara positiva måttrum. 

Vi säger att måttet är absolutkontinuerligt med avseende på måttet 

om 

(A) = 0 ) (A) = 0; för A 2 A: 

Detta skrives

Vi avslutar kapitlet med att diskutera Fouriertransformen för ändliga 

positiva mått i Rn . Antag att är ett ändligt positivt mått på B(Rn ). 

Fouriertransformen ^ av de…nieras av ekvationen 

Z 

^( ) = e i( ;x) d (x); 2 R n 

där 

R n 

( ; x) = 

är den vanliga skalärprodukten i Rn . Lebesgues majorantsats visar omedelbart 

att ^ är kontinuerlig. Om X är en Rn-värd stokastisk variabel med 

fördelningsmåttet X så kallas funktionen 

E e i( ;X) Z 

= e i( ;x) d X(x); 2 R n 

R n 

för den karakteristiska funktionen för X. Notera att E e i( ;X) = ^ X( ); 2 

R n : 

Det kanoniska Gaussmåttet i R har Fouriertransformen 

Om vi skriver 

^( ) = 

nX 

k=1 

kxk 

^( ) = e 2 =2 : 

Z 1 

1 

cos ( x) d (x) 

så leder nämligen derivering och partiell integration till ekvationen 

d 

d 

^( ) = ^( ): 

Eftersom ^(0) = 1 så följer påståendet. En stokastisk variabel X som tillhör 

klassen N( ; 2 ) har därför den karakteristiska funktionen 

E e i X = e i 

1 

2 

2 2 

: 

Det kanoniska Gaussmåttet n i R n har Fouriertransformen 

^ n( ) = e j j2 =2 

45

46 

där j j är den vanliga normen av i R n : 

Sats 3. Om två ändliga positiva mått och i R n har samma Fouriertransformer 

så är måtten lika. 

Beviset bygger på följande lemma där beteckningen Cb(R n ) står för rummet 

av alla reellvärda begränsade och kontinuerliga funktioner de…nierade på 

R n : 

Lemma 1. Låt och vara två ändliga positiva Borelmått i Rn sådana 

att Z 

Z 

f(x)d (x) = f(x)d (x); alla f 2 Cb(R n ): 

Då är = : 

R n 

R n 

Bevis. Låt K vara en kompakt delmängd av R n och välj en sekvens fn 2 

Cb( R n ); n 2 N; sådan att fn fn+1; n 2 N, och 

lim 

n!1 fn = 1K: 

Detaljerna i konstruktionen lämnas som övning. Eftersom 

Z 

Z 

fn(x)d (x) = fn(x)d (x); n 2 N 

R n 

så ger Lebesgues monotona konvergenssats att 

R n 

(K) = (K): 

Genom att nu utnyttja att ändliga positiva Borelmått i R n är inre reguljära 

med avseende på kompakta delmängder följer Lemma 1. 

Bevis av sats 3. Vi har att för varje y 2 R n och > 0 att

Z 

Rn ^( )e i( ;y) e 

2 

2 

Z 

j j2 

d = 

Rn Z 

( 

Rn e i( ;x) e i( ;y) e 

enligt Fubinis sats. Här är högra ledet lika med 

Z 

n 

R n 

Z 

( 

Rn e i( ; x y 1 

) j j2 

e 2 d )d (x) = ( 

p Z 

2 n 

) 

En liknande formel med ersatt med ger nu att 

Z 

Z 

e 

1 

2 2 jx yj2 

d (x) = e 

R n 

R n 

R n 

2 

2 

e 

1 

2 2 jx yj2 

d (x): 

j j2 

d )d (x) 

1 

2 2 jx yj2 

d (x) 

Vi multiplicerar denna relation med f(y), där f 2 Cb(Rn ); och integrerar 

med avseende på y och får beroende på Fubinis sats 

Z Z 

Z Z 

( f(y)e 

1 

2 2 jx yj2 

dy)d (x) = ( f(y)e 

1 

2 2 jx yj2 

dy)d (x): 

R n 

R n 

Ett variabelbyte ger nu 

Z Z 

( 

R n 

R n 

f(x + y)e 1 

2 jyj2 

dy)d (x) = 

Z 

R n 

R n 

R n 

Z 

( 

Rn f(x + y)e 1 

2 jyj2 

dy)d (x): 

Vi låter nu ! 0 och får med hjälp av Lebesgues majorantsats att 

Z 

Z 

f(x)d (x) = f(x)d (x) 

R n 

R n 

och sats 3 är bevisad beroende på lemma 1. 

och 

Om är ett positivt mått i R de…nieras 

D = s 2 R; 

~(s) = 

Z 1 

1 

Z 1 

1 

e sx d (x) < 1 

e sx d (x); s 2 D: 

47

48 

Funktionen ~ kallas för Laplacetransformen av måttet : 

Korollarium 1. Om två positiva mått och i R har samma Laplacetransformer 

som är de…nierade i hela R så är måtten lika. 

Bevis. Vi de…nierar 

och 

f(s) = 

g(s) = 

Z 1 

1 

Z 1 

1 

e sx d (x); s 2 C 

e sx d (x); s 2 C: 

Funktionerna f och g är hela analytiska funktioner och eftersom de sammanfaller 

på reella axeln sammanfaller de överallt enligt Liouvilles sats inom 

teorin för analytiska funktioner. Speciellt följer att måtten och har 

samma Fouriertransformer varför måtten är lika enligt sats 3. Detta bevisar 

satsen. 

Övningar 

1. Betrakta binomialmodellen i exempel 1 och ett derivat av europeisk 

typ med en utbetalningsfunktionen 

där 

Antag 

Visa att 

f(s) = max(0; s K) 

S(0)e d < K < S(0)e u : 

hSS(1) + hBB(1) = f(S(1)): 

hS > 0 och hB < 0:

2. Antag att X är en binomialfördelad stokastisk variabel sådan att 

P [X = 1] = P [X = 1] = 1 

2 : 

Bestäm de 2 R för vilka olikheten 

gäller för alla a; b 2 R. 

E (a + bX) 4 

(E (a + bX) 2 ) 2 

3. Antag A R. Visa att A = f;; A; R n A; Rg är en -algebra av 

delmängder av R. 

4. Antag (Rk; Ak); k = 0; 1; är mätbara rum och låt f :R0 ! R1. Visa 

att klassen 

A 2 A1; f 1 (A) 2 A0 

är en -algebra. 

5. Antag (R; A) är ett mätbart rum och låt A R. Visa att funktionen 

1A är mätbar om och endast om A 2 A. 

6. En mängd A kallas uppräknelig om det …nns en omvändbart entydig 

funktion de…nierad på N med värdemängden A. En mängd sägs vara 

högst uppräknelig om den är ändlig eller uppräknelig. Visa att följande 

mängder är högst uppräkneliga a) ; b) falla jämna heltalg c) N 2 d) 

Q. 

7. Låt U vara en öppen delmängd av R. Visa att det …nns an 2 Q; n 2 N 

och rn 2 Q+ ; n 2 N; så att 

[ 

]an rn; an + rn[ = U: 

n2N 

8. Visa att (f]a; 1[ ; a 2 Rg) = B(R): 

9. Visa att två Borelsannolikhetsmått i R som ger samma mått för alla 

intervall av typen ]a; 1[ ; a 2 R; måste vara lika. 

10. Antag (R; A) är ett mätbart rum och låt f :R ! R. Antag 

fx 2 R; f(x) > ag 2 A 

för varje reellt tal a: Visa att f är (A; B(R))-mätbar. 

49

50 

11. Antag (R; A) är ett mätbart rum och låt f :R ! R. Antag 

fx 2 R; f(x) ag 2 A 

för varje reellt tal a: Visa att f är (A; B(R))-mätbar. 

12. Antag (R; A) är ett mätbart rum och låt f och g vara två reellvärda 

(A; B(R))-mätbara funktioner. Visa att f + g är (A; B(R))-mätbar. 

13. Antag (R; A) är ett mätbart rum och låt fn; n 2 N; vara en sekvens 

(A; B(R))-mätbara funktioner sådan att 

lim 

n!1 fn(x) 

existerar och är lika med f(x) för varje x 2 R: Visa att f är (A; B(R))mätbar. 

14. Antag (R; A) är ett mätbart rum och låt f : R ! [0; 1] vara mätbar. 

Antag n 2 N+ och sätt En;i = f 1 ( 

f 1 ([n; 1]) och 

Visa att gn gn+1 och 

gn = 

n2n X 

i=1 

i 1 

2 n ; i 

2 n ); 1 i n2 n ; Fn = 

i 1 

1En;i + n1Fn: 

2n lim 

n!1 gn(x) = f(x); alla x 2 R: 

15. Antag f; fn 2 L 2 ( ); n 2 N; och att 

lim 

n!1 k fn f k2= 0: 

Visa att det …nns en delföljd av sekvensen (fn)n2N som konvergerar 

mot f n.s [ ] : 

16. (Första hälften av Borel-Cantellis lemma) Antag ( ; F; P ) är ett 

sannolikhetsrum och An 2 F; n 2 N; händelser sådana att 

1X 

P (An) < 1: 

n=0

Visa att endast ändligt många av händelserna An; n 2 N; inträ¤ar med 

sannolikheten 1: De…nieras 

fAn i.o.g = \ [ 

så gäller alltså att 

n 0 k n 

P [An i.o.] = 0: 

Här betyder i.o. ”oändligt ofta”och kommer från engelskans ”in…nitely 

often”. 

17. Antag att f : R m ! R n är kontinuerlig. Visa att f är (B(R m ); B(R n ))mätbar. 

18. Visa att B(R m+n ) = B(R m R n ) = B(R m ) B(R n ): 

19. Beräkna väntevärde och varians för en reellvärd binomialfördelad stokastisk 

variabel. 

20. Antag X 2 N( ; 2 ) och K > 0:: Beräkna 

Ak 

E max(0; e X K) : 

21. Antag att den stokastiska variabeln X har en Gaussisk fördelning med 

väntevärdet noll. Visa att 

för alla komplexa tal z. 

E e zX = e z2 

2 E[X2 ] 

22. Visa att (x) = 1 ( x); x 2 R; och 

23. Visa att 

( 1 

x 

1 

x 3 )e x2 =2 

p 2 

1 (x) 

1 (x) 

1 

x 

1 

2 e x2 =2 ; x 0: 

e x2 =2 

p ; x > 0: 

2 

51

52 

24. Antag G 2 N(0; 1) och sätt för varje f 2 Cb (R) och t > 0 

h 

(Atf)(x) = E f(e t x + (1 e 2t ) 1 

i 

2 G) ; x 2 R 

dvs 

(Atf)(x) = 

Z 1 

1 

f(e t x + (1 e 2t ) 1 

2 y)e y2 

2 

Visa att om f 2 Cb (R) så gäller att Atf 2 Cb (R) och 

At1(At2f) = At1+t2f: 

dy 

p 2 ; x 2 R: 

25. Låt ( ; F; P ) = (R n ; B(R n ); n): Visa att varje linjär avbildning L : 

! R har en Gaussisk fördelning. 

26. Antag X; Y 2 L 1 ( ; F; P ) och låt G vara del- -algebra av F: Visa att 

E [1 j G] = 1 , E [aX j G] = aE [X j G] ; a 2 R; och E [X + Y j G] = 

E [X j G] + E [X j G] : Visa också att X Y ) E [X j G] E [Y j G] : 

27. Antag X 2 L 1 ( ; F; P ) och låt G0 och G1 vara -algebror sådana att 

G0 G1: Visa att 

E [E [X j G1] j G0] = E [X j G0] : 

28. (Jensens olikhet för betingat väntevärde) Antag X 2 L 1 ( ; F; P ) 

och låt ' : R!R vara en konvex funktion sådan att '(X) 2 L 1 ( ; F; P ). 

Visa att 

'(E [X j G]) E ['(X) j G] : 

(Ledning: Skriv 

för lämpliga ca; a 2 R.) 

'(x) = sup('(a) 

+ ca(x a)) 

a2R 

29. Antag fn ! f i L2 (R; A; 

Z 

) då n ! 1: Visa att 

lim 

n!1 

f 2 Z 

n(x)d (x) = f 2 (x)d (x): 

R 

30. Antag Xn 2 N(0; 2 n); n 2 N+; och Xn ! X i L 2 ( ; F; P ) då n ! 1: 

Visa att X 2 N(0; 2 ) för lämpligt 0: 

R

4. Stokastiska grundbegrepp 

I detta avsnitt diskuteras ‡era grundläggande sannolikhetsteoretiska begrepp 

såsom stokastiskt oberoende, martingal och markovegenskap. I slutet av 

kapitlet härleder vi värdet (dvs teoretiska värdet) för ett betingat kontrakt i 

binomialmodellen. 

Betrakta ett sannolikhetsrum ( ; F; P ) och n st -algebror G1; :::; Gn innehållna 

i F. Vi säger att -algebrorna G1; :::; Gn är stokastiskt oberoende 

om 

" 

n\ 

P 

# 

nY 

= P [Ak] 

k=1 

Ak 

för alla Ak 2 Gk; k = 1; :::; n: 

Antag nu att (Rk; Ak); k = 1; :::; n; är mätbara rum och låt Xk : ! 

Rk; k = 1; :::; n; vara stokastiska variabler. De stokastiska variablerna Xk; k = 

1; :::; n; sägs vara stokastiskt oberoende om -algebrorna (Xk); k = 1; :::; n; 

är stokastiskt oberoende. De…nieras 

k=1 

(X1; :::; Xn)(!) = (X1(!); :::; Xn(!)); ! 2 

så är detta ekvivalent med följande relation mellan fördelningsmåtten för de 

stokastiska variablerna X1; :::; Xn och (X1; :::; Xn), nämligen att 

(X1;:::;Xn) = X1 ::: Xn : 

Händelserna A1; :::; An 2 F sägs vara stokastiskt obereoende om indikatorfunktionerna 

1A1; :::; 1An är stokastiskt oberoende. Slutligen sägs en uppsättning 

-algebror (stokastiska variabler, händelser) vara stokastiskt oberoende 

om varje ändlig deluppsättning av dem är stokastiskt oberoende. 

Följande sats följer nu lätt från de…nitionerna och resultaten i föregående 

avsnitt och vi utelämnar beviset här. 

Sats 1. Låt Xk : ! R dk; k = 1; :::; n;vara stokastiska variabler. Föjande 

villkor är ekvivalenta: 

(i) X 1; :::; Xn är stokastiskt oberoende 

53

54 

(ii) 

" 

nY 

# 

E fk(Xk) = 

k=1 

nY 

E [fk(Xk)] 

om f k : R dk ! C; k = 1; :::; n; är kontinuerliga och begränsade. 

(iii) 

E 

om k 2 R dk; k = 1; :::; n: 

h 

e i Pn k=1 ( k ;Xk) 

i 

= 

k=1 

nY 

E e i( k ;Xk) 

En familj reellvärda stokastiska variabler (X(t))t2T kallas för en reellvärd 

stokastisk process. Vi skriver ofta X(t) = Xt: Indexmängden T kallas för 

tidsparametermängd och avbildningen 

t ! Xt(!) 

för en realisation, samplefunktion eller en trajektoria för processen. Om 

T0 T betecknar (X(t); t 2 T0) den minsta -algebra G av delmängder av 

som gör alla avbildningarna X(t); t 2 T0; (G; B(R))-mätbara. För varje 

n 2 N+ och t1;:::; tn 2 T de…nieras 

k=1 

t1;:::;tn = (X(t1);:::;X(tn)): 

Måtten t1;:::;tn , t1;:::; tn 2 T , n 2 N+; kallas för processens marginalfördelningar. 

Två reellvärda stokastiska processer med samma marginalfördelningar 

sägs vara ekvivalenta i fördelning. De sägs också vara versioner av 

samma stokastiska process. Om (X(t))t2T är en reellvärd stokastisk process 

och varje X(t) 2 L 1 (P ) de…nieras väntevärdesfunktionen av processen 

genom att 

t = E [X(t)] ; t 2 T: 

Funktionen kallas ofta helt enkelt för väntevärdet av processen (X(t))t2T . 

Om dessutom varje X(t) 2 L 2 (P ) de…nieras kovariansfunktionen 

C(s; t) = Cov(X(s); X(t)); s; t 2 T;

dvs 

C(s; t) = E [(X(s) s)(X(t) t)] ; s; t 2 T: 

En reellvärd stokastisk process sägs vara centrerad om den har väntevärdesfunktionen 

noll. En stokastisk process (Xt)t2f1;:::;ng skrivs ofta (Xk) n k=1 

och kan identi…eras med en R n -värd stokastisk variabel. Om varje Xk 2 

L 1 (P ) kan processens väntevärde uppfattas som en vektor i R n : 

En sekvens (Xn) 1 n=1 av stokastiska variabler kallas en i.i.d. om de stokastiska 

variablerna Xn; n 1; är stokastiskt oberoende och lika fördelade. Förkortningen 

kommer från engelskans ”independent identically distributed”. Antag 

nu att (Xn) 1 n=1 är en i.i.d. bestående av reellvärda stokastiska variabler. 

Motvarande stokastiska process av partialsummor (Zn) 1 n=1 , där Zn = 

X1 + ::: + Xn; n 1, kallas då en slumpvandring (engelska: random walk). 

Om a 2 R kallas processen (Un) 1 n=0, där U0 = a och Un = a + Zn; n 1; 

också för en slumpvandring och denna sägs starta i punkten a vid tiden 

n = 0: Elementen Xn; n 1; kallas ofta för slumpvandringens tillskott. En 

i.i.d. (Xn) 1 n=1 sägs vara en Gaussisk i.i.d. om elementen i följden är Gaussiskt 

fördelade. Motsvarande slumpvandringar kallas i detta fall för en Gaussiska 

slumpvandringar. 

Betrakta nu en aktie med priset S(t) vid tiden t 0 och låt vara en …x 

positiv parameter. Vi uppfattar aktiepriset S(0) vid tiden 0 som känt. Sätt 

Xn = X n = ln 

S(n ) 

; n 1: 

S((n 1) ) 

Den så kallade slumpvandringshypotesen för aktiepriset innebär att aktieavkastningarna 

(Xn) 1 n=1 är en i.i.d. för alla > 0 dvs att log-priserna ln S(n ); n 

0; är en slumpvandring för alla > 0: Om vi accepterar denna hypotes och 

på goda grunder antager att motsvarande slumpvandrings tillskott är ickedeterministiska 

kan vi de…niera 

och empiriskt skatta korrelationerna 

Yn = Y n = Xn E [Xn] 

p Var(Xn) 

k = E [YnYn+k] ; k = 1; 2; 3; ::: : 

Dessa skattningar är i regel mycket små tal och skattningen av 1 är nästan 

alltid positiv. Om vi accepterar slumpvandringshypotesen för aktiepriset 

55

56 

kan vi också skatta den empiriska fördelningen för Yn. Låt G 2 N(0; 1): En 

empirisk undersökning stöder i regel olikheterna 

och 

P [Yn y] > P [G y] ; y stort 

P [Yn y] > P [G y] ; y litet. 

Man brukar då säga att aktieavkastningen har ”fetare svansar än i normalfallet”. 

En mycket omfattande referenslista till empiriska studier av aktiepriser 

åter…nns t ex i Cox och Rubinsteins bok Option Markets [CR]. 

Att aktiepriser lämpligen beskrivs som slumpvandringar förefaller idag 

vara en mycket vanlig uppfattning. Inom teoretisk …nans antages dessutom 

i regel att motsvarande slumpvandringar är Gaussiska. Slumpvandringshypotesen 

kan dock inte sägas vara helt perfekt. De avvikelser som kan spåras 

mellan teoretiska optionspriser och marknadens priser torde bero på en viss 

oklarhet rörande aktieprisers dynamik. Vi skall i detta sammanhang heller 

inte glömma vårt antagande att kapitalmarknaden är friktionsfri, vilket inte 

är fallet i verkligheten. 

En reellvärd stokastisk process (X(t))t2T sägs vara en reellvärd Gaussisk 

process om varje linjärkombination 

nX 

k=1 

kX(tk); k 2 R, tk 2 T; n 2 N+; 

har en Gaussisk fördelning. Notera att i detta fall gäller att 

E 

h 

e i Pn k=1 kX(tk) i 

= e i Pn k=1 kE[X(tk )] 1 Pnj;k=1 2 

j kC ov(X(t j );X(tk )) 

: 

Sats 2. Låt (Xk) n k=1vara en reellvärd Gaussisk process och antag m 2 f1; :::; n 1g : 

Då är de stokastiska variablerna (Xk) m k=1 och (Xk) n k=m+1 stokastiskt oberoende 

om och endast om 

Cov(Xj; Xk) = 0; j = 1; :::; m; k = m + 1; ::; n:

Sats 2 innebär speciellt att två okorrelerade Gaussiska stokastiska variabler 

är stokastiskt oberoende. 

Bevis. I beviset antages att processen ha väntevärdet ( k) n k=1 : 

=): Om vi utnyttjar att Xj och Xk är stokastiskt oberoende för j m < 

k så följer att 

Cov(Xj; Xk) = E [(Xj j)(Xk k)] = 

E [Xj j] E [Xk k] = 0: 

Alltså är Cov(Xj; Xk) = 0; j = 1; :::; m; k = m + 1; ::; n: 

(=: Det gäller att 

h 

E e i Pn k=1 kXk i 

Här är 

och vi får att 

= e i Pn 1 Pn k=1 k ke 2 j;k=1 j kCov(Xj;Xk) : 

e 1 Pn 2 j;k=1 j kCov(Xj;Xk) = 

e 1 Pm 2 j;k=1 j kCov(Xj;Xk) 1 Pn e 2 j;k=m+1 j kCov(Xj;Xk) E 

h 

e i Pn k=1 kXk i 

= 

e i P m 

k=1 k k 1 P 

mj;k=1 

2 

j kC ov(Xj ;Xk ) 

e i Pn 1 Pnj;k=m+1 k=m+1 k k 2 

j kC ov(Xj ;Xk ) 

där högra ledet är lika med 

h 

E e i Pm k=1 kXk i h 

E e i Pn k=m+1 kXk i 

: 

Detta bevisar satsen. 

Begreppet stokastiskt oberoende är naturligtvis mycket intressant ur modellsynpunkt. 

Följande satser illustrerar att begreppet även har stora fördelar 

ur beräkningssynpunkt. 

Sats 3. Antag G är en -algebra och låt X 2 L 1 (P ) vara en reellvärd 

stokastisk variabel sådan att G och (X) är stokastiskt oberoende. Då gäller 

att 

E [X j G] = E [X] : 

57

58 

Bevis. Om A 2 G fås 

E [X; A] = E [X1A] 

och eftersom G och (X) är stokastiskt oberoende följer att högra ledet är 

lika med 

E [X] E [1A] = E [E [X] 1A] = E [E [X] ; A] : 

En konstant funktion är naturligtvis (G; B(R))-mätbar och satsen följer omedelbart. 

I fortsättningen lättar vi något på formalismen och säger helt enkelt att 

en reellvärd funktion är G-mätbar om den är (G; B(R))-mätbar. En funktion 

f : R n ! R som är (B(R n ); B(R))-mätbar kallas en Borelfunktion i R n . Om 

vi nedan talar om en mätbar funktion f : R n ! R så innebär detta att f är 

en Borelfunktion i R n . 

Följande sats visar att prediktering av framtida utfall är särskilt enkel ur 

beräkningssynpunkt i samband med Gaussiska processer. 

Sats 4. Låt (Xk) n k=1vara en reellvärd Gaussisk process med väntevärdet 

( k) n k=1 : Sätt Xk= k + Yk; k = 1; :::; n; och låt Un vara ortogonala projektionen 

av Yn på det delrum av L2 (P ) som spänns upp av Yk; k = 1; :::; n 1: 

Då är 

E [Xn j X1; :::; Xn 1] = n + Un: 

Bevis. Sätt Vn = Yn Un: Vi har att 

Cov(Xj; Vn) = 0; j = 1; :::; n 1 

varför Vn och X1; :::; Xn 1 är stokastiskt oberoende enligt sats 2. Härav fås 

E [Xn j X1; :::; Xn 1] = n + E [Un + Vn j X1; :::; Xn 1] 


n + Un + E [Vn j X1; :::; Xn 1] = n + Un + E [Vn] :

Resultatet följer nu av att E [Vn] = 0: 

Betrakta nu en sekvens reellvärda stokastiska variabler (Mn) 1 n=1 och en 

sekvens (Fn) 1 n=1 av -algebror innehållna i F; där som vanligt ( ; F; P ) 

betecknar det underliggande sannolikhetsrummet. Sekvensen (Mn; Fn) 1 n=1 

kallas en martingal om det för varje n 1 gäller att 

(i) Fn Fn+1 

(ii) (Mn) Fn 

(iii) Mn 2 L 1 (P ) och Mn = E [ Mn+k j Fn] ; k 1: 

Villkoret (i) kan uttryckas att sekvensensen (Fn) 1 n=1 är växande (i vid 

mening). En växande sekvens del- -algebror av F kallas ofta en …ltration. 

Varje X 2 L 1 (P ) de…nierar tillsammans med en växande sekvens (Fn) 1 n=1 av 

del- -algebror av F en martingal (Mn; Fn) 1 n=1 genom formeln 

Mn = E [ X j Fn] ; n 1: 

För att ytterligare belysa martingalbegreppet betraktar vi en reellvärd 

stokastisk process (Xn) 1 n=1 där varje Xn 2 L 1 (P ) och har förväntan noll. 

Vi antager också att de stokastiska variablerna Xn; n 1; är stokastiskt 

oberoende. Sätt 

och 

Zn = 

nX 

Xk; n 1 

k=1 

Fn = (X1; ::::; Xn); n 1: 

Av förutsättningarna följer för varje k 1 att 

E [ Zn+k j Fn ] = Zn + E [ Xn+1 + ::: + Xn+k j Fn] 

där sista termen är lika med 

E [ Xn+1] + :::: + E [ Xn+k] = 0: 

Detta visar att sekvensen (Zn; Fn) 1 n=1 är en martingal. 

59

60 

En reellvärd stokastisk process (Un) 1 n=1 sägs ha Markovegenskapen om 

E [f(Un+k) j U1; :::; Un] = E [f(Un+k) j Un] ; k; n 1; 

för varje Borelmätbar begränsad funktion f : R!R (en funktion g : R!R 

sägs vara Borelmätbar om den är B(R)-mätbar). För att illustrera detta 

begrepp låter vi (Xn) 1 n=1 vara en reellvärd stokastisk process med stokastiskt 

oberoende komponenter dvs de stokastiska variablerna Xn; n 1; är stokastiskt 

oberoende. Sätt 

nX 

Zn = Xk; n 1: 

k=1 

Om f : R!R är en begränsad Borelmätbar funktion och k 1 gäller att 

E [f(Zn+k) j Z1; :::; Zn] = E [f(Zn + Xn+1 + ::: + Xn+k) j Z1; :::; Zn] 

och eftersom de stokastiska variablerna (Z1; :::; Zn) och (Xn+1;:::; Xn+k) är 

stokastiskt oberoende är högra ledet lika med 

(E [f(z + Xn+1 + ::: + Xn+k)]) jz=Zn = E [f(Zn+k) j Zn] : 

Detta visar att processen (Zn) 1 n=1 har Markovegenskapen. Om slumpvandringshypotesen 

ger en riktig bild av ett aktiepris så följer speciellt att historien 

inte ger mer information om aktiens framtida prisutveckling än vad som 

åter…nns i dagens pris. All så kallad teknisk analys av det enskilda aktiepriset 

saknar i så fall prediktionsvärde. 

De…nitionerna av Markovegenskap, martingal och i.i.d. kan lätt ges över 

ett godtyckligt delintervall av N (eventuellt med ändligt många element). 

Generaliseringen till kontinuerlig tid berörs nedan. 

Om X är en stokastisk variabel och (Xk) n k=1 

är en i.i.d. sådan att X1 

och X har samma fördelning så sägs X1; :::; Xn vara stokastiskt oberoende 

observationer på X. 

Exempel 1. Betrakta en kapitalmarknad bestående av en aktie med priset 

S(t) vid tiden t och en obligation med priset B(t) vid tiden t. Tidsvariabeln 

t antar endast värdena 0; 1; 2; :::; T . Antag 

B(t + 1) = B(t)e r

där r > 0. Antag också att 

S(t + 1) = S(t)e X(t+1) 

där X(t + 1) = Xt+1 är en binomialfördelad stokastisk variabel sådan att 

X 1 

t+1(fu; dg) = för lämpliga u; d 2 R; som uppfyller u > d: Parametrarna 

u; d och r förutsätts vara konstanter. Dessutom antags att sekvensen (Xk) T k=1 

är en i.i.d. och att S(0) och B(0) är positiva tal. Denna modell kallas för 

binomialmodellen för en aktie och en obligation. Vi kan utan inskränkning 

anta att 

och att 

= f!; ! = (!1; :::; !T ) och !k 2 fu; dg ; k = 1; :::; T g 

Xk(!) = !k; ! 2 ; k = 1; :::; T 

Fr o m nu antages också att u > r > d: 

I fortsättningen låter vi F0 = f;; g och 

Observera att 

Ft = (S(1); :::; S(t)); t = 1; :::; T: 

Ft = (X(1); :::; X(t)); t = 1; :::; T: 

Kapitalmarknaden utvidgas nu med ett derivat i aktien som utbetalar beloppet 

Y vid tiden T där Y är en funktion av S(0); :::; S(T ) dvs en FT -mätbar 

funktion (det är här praktiskt att Y eventuellt får antaga negativa värden 

(jmfr kapitel 1 och värdering av terminskontrakt)). Ett sådant derivat kallas 

för ett betingat kontrakt av europeisk typ med slutdagen T (i matematiska 

miljöer identi…eras ofta derivatet och Y ). Vi skall nu de…niera derivatets 

teoretiska värde V (t) vid tiden t T då S(0); :::; S(t) således är kända: Här 

skall naturligtvis V (t) bestämmas som en funktion av S(0); :::; S(t): 

Vi vet att V (T ) = Y är en funktion av S(0); :::; S(T ): Antag att vi 

be…nner oss vid tiden t < T och att V (k) redan de…nierats som en funktion 

av S(0); :::; S(k) för k = T; :::; t + 1. För att bestämma V (t) bildas vid tiden 

t en portfölj bestående av hS(t + 1) aktier och hB(t + 1) obligationer. Dessa 

kvantiteter skall endast bero på S(0); :::; S(t) och ej på framtiden: Portföljens 

värde vid tiden t ges av 

v(t) = hS(t + 1)S(t) + hB(t + 1)B(t) 

61

62 

och från föregående kapitel vet vi att portföljen kan bestämmas så att 

hS(t + 1)S(t + 1) + hB(t + 1)B(t + 1) = V (t + 1): 

Vi de…nierar nu V (t) = v(t) och skriver 

och 

Ekvationen 

är ekvivalent med att 

och 

En räkning ger att 

och 

V u (t + 1) = V (t + 1)jXt+1=u 

V d (t + 1) = V (t + 1)jXt+1=d: 

hS(t + 1)S(t + 1) + hB(t + 1)B(t + 1) = V (t + 1) 

hS(t + 1)S(t)e u + hB(t + 1)B(t)e r = V u (t + 1) 

hS(t + 1)S(t)e d + hB(t + 1)B(t)e r = V d (t + 1): 

hS(t + 1)S(t) = V u (t + 1) V d (t + 1) 

e u e d 

hB(t + 1)B(t) = e r eu V d (t + 1) e d V u (t + 1) 

e u e d : 

Om vi de…nierar 

p = er e d 

e u e d 

och 

q = eu e r 

e u e d 

så erhåller vi nu formeln 

V (t) = e r pV u (t + 1) + qV d (t + 1) : 

Det är uppenbart att V (t) genom ovanstående de…nitioner endast beror av 

S(0); :::; S(t) för t = 0; :::; T: Vidare beror hS(t + 1) och hB(t + 1) endast på 

S(0); :::; S(t) för t = 0; :::; T 1:

Ovan antages att sekvensen (Xt) T t=1 är en i.i.d. Vi de…nierar nu det så 

kallade martingalmåttet Q i genom att 

där 

och 

Q = Q1 ::: QT 

Qk = p u + q d; k = 1; :::; T 

p = 1 q = er ed eu : 

ed Martingalmåttet Q kallas ibland för det riskneutrala måttet. Notera att varje 

Xt får fördelningen 

p u + q d 

relativt martingalmåttet Q och att sekvensen (Xt) T t=1 är en i.i.d. relativt Q: 

De…nitionen medför att 

Upprepning ger nu 

där = T t och vi får 

V (t) = e r E Q [V (t + 1) j Ft] : 

V (t) = e r E Q [V (T ) j Ft] 

V (t) = e r E Q [Y j Ft] : 

Konstruktionen visar också att måtten P och Q är ekvivalenta. 

Vi specialiserar nu Y och antar att Y = f(S(T )) dvs vi betraktar ett 

enkelt kontrakt av europeisk typ med slutdagen T: Eftersom processen (ln S(t)) T t=1 

har Markovegenskapen med avseende på Q (såväl som med avseende på P ) 

kan vi också skriva 

V (t) = e r E Q [f(S(T )) j S(t)] : 

Specialfallet f(s) = s är särskilt intressant. Med induktion fås omedelbart i 

detta fall att V (t) = S(t): Relationen 

kan nu skrivas 

V (t) = e r E Q [V (t + 1) j Ft] 

S(t)e rt = E Q S(t + 1)e r(t+1) j Ft 

63

64 

vilket medför att sekvensen (S(t)e rt ; Ft) T t=0 är en Q-martingal (dvs en martingal 

med avseende på det bakomliggande sannolikhetsrummet ( ; FT ; Q)). 

En sekvens h = (hS(t); hB(t)) T t=0, där hS(0) = hS(1); hB(0) = hB(1) och 

där varje hS(t + 1) och hB(t + 1) är Ft-mätbara, kallas en själv…nansierande 

strategi om 

hS(t)S(t) + hB(t)B(t) = hS(t + 1)S(t) + hB(t + 1)B(t); t = 0; :::; T 1: 

Motsvarande värdeprocess (Vh(t)) T t=0 de…nieras av att 

Vh(t) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t); t = 0; :::; T: 

Antag nu h = (hS(t); hB(t)) T t=0 är en själv…nansierande strategi med 

värdeprocessen (Vh(t)) T t=0: Då gäller för t T 1 att 

E Q e r Vh(t + 1) j Ft = E Q e r (hS(t + 1)S(t + 1) + hB(t + 1)B(t + 1)) j Ft = 

och det följer att 

E Q hS(t + 1)e r S(t + 1) + hB(t + 1)B(t)) j Ft = 

hS(t + 1)E Q e r S(t + 1) j Ft + hB(t + 1)B(t) = 

hS(t + 1)S(t) + hB(t + 1)B(t) = Vh(t) 

E Q e (T t)r Vh(T ) j Ft = Vh(t); t = 0; 1; :::; T: 

Sekvensen (e tr Vh(t); Ft) T t=0 är således en Q-martingal. 

Om h är en själv…nansierande strategi gäller att 

E Q e T r Vh(T ) j Ft = Vh(0) 

Det kan därför inte inträ¤a att Vh(0) = 0, Vh(T ) 0 och P [Vh(T ) > 0] > 0: 

Vår modell sägs därför vara arbitragefri. 

Om Y är en FT -mätbar funktion så visade vi ovan (genom baklänges 

induktion) att Y = Vh(T ) för en lämplig själv…nansierande strategi h. Man 

säger därför att modellen ifråga är komplett. Deta avslutar exempel 1. 

Sats 5. Betrakta binomialmodellen i T tidssteg och antag u > r > d: Det 

…nns endast ett sannolikhetsmått ekvivalent med P sådant att 

(e rt S(t); Ft) T t=0

är en -martingal och detta mått är lika med med Q: 

Bevis. Antag att Q0 och Q1 är sannolikhetsmått, ekvivalenta med P; sådana 

att (e rt S(t); Ft) T t=0 är en martingal relativt dessa mått. Om h = 

(hS(t); hB(t)) T t=0 är en själv…nansierande strategi så gäller för t T 1 och 

i = 0; 1 att 

E Qi e r Vh(t + 1) j Ft = E Qi e r (hS(t + 1)S(t + 1) + hB(t + 1)B(t + 1)) j Ft = 


Om t = 0 erhålls 

E Qi hS(t + 1)e r S(t + 1) + hB(t + 1)B(t)) j Ft = 

hS(t + 1)E Qi e r S(t + 1) j Ft + hB(t + 1)B(t) = 

för i = 0; 1 och därför måste 

hS(t + 1)S(t) + hB(t + 1)B(t) = Vh(t) 

E Qi e (T t)r Vh(T ) j Ft = Vh(t); t = 0; 1; :::; T: 

E Qi e rT Vh(T ) = Vh(0) 

E Q0 e rT Vh(T ) = E Q1 e rT Vh(T ) : 

Eftersom vår modell är komplett kan h väljas så att e rT V h (T ) är en godtycklig 

FT -mätbar funktion och det följer att Q1 = Q2: Slutligen gäller enligt 

exempel 1 att (e rt S(t); Ft) T t=0 är Q-martingal, vilket visar sats 5. 

Övningar 

1. Antag X och Y är reellvärda stokastiska variabler och låt f 2 Cb(R 2 ): 

Visa att 

E [f(X; Y ) j X] = g(X) 

där 

g(x) = E [f(x; Y )] ; x 2 R 

om X och Y är stokastiskt oberoende. 

65

66 

2. Antag att de stokastiska variablerna Xk 2 N( k; 2 k ); k = 1; :::; n; är 

stokastiskt oberoende. Visa att P n 

k=1 Xk 2 N( P n 

k=1 k; P n 

k=1 

3. Antag att de stokastiska variablerna X och Y är stokastiskt oberoende 

och likformigt 

q 

fördelade i intervallet [0; 1]. Visa att de stokastiska variablerna 

2 ln 1 

q 

cos(2 Y ) och 2 ln X 1 sin(2 Y ) är stokastiskt oberoende 

X 

och att båda tillhör klassen N(0; 1). 

4. Låt X; Y 2 N(0; 1) vara stokastiskt oberoende. Visa att 

E e max(X;X+Y ) = e 2 

( ) + 1 2 

e 2 ; 2 R: 

2 

5. En reellvärd stokastisk variabel X är Cauchyfördelad med parametrarna 

2 R och 0 om 

E e i X = e i j j ; 2 R. 

(Detta förkortas X 2 C( ; ):) Visa att om > 0 så är 

d X(x) = 

och om = 0 så är X = . 

1 dx 

2 + (x ) 2 

6. Antag att den stokastiska variabeln X är likformigt fördelad i intervallet 

. Visa att tan( X) 2 C(0; 1): 

1 1 ; 2 2 

7. Antag att de stokastiska variablerna Xk 2 C( k; k); k = 1; :::; n; är 

stokastiskt oberoende. Visa att Pn k=1 Xk 2 C( Pn k=1 k; Pn k=1 k): 

8. Antag att de stokastiska variablerna X; Y 2 N(0; 1) är stokastiskt 

2 C(0; 1). 

oberoende. Visa att Y 

X 

9. Antag att X1; :::; Xn 2 L2 (P ) är stokastiskt oberoende. Visa att 

nX 

nX 

Var( Xk) = Var(Xk): 

10. Antag X 2 L 2 (P ): Visa att 

k=1 

k=1 

P [j X j "] E [X2 ] 

" 2 ; " > 0: 

2 

k ):

11. Antag X 2 L 2 (P ). Visa Chebishevs olikhet 

P [j X E [X] j "] Var(X) 

" 2 ; " > 0: 

12. Antag X 2 L2 (P ) och = E [X]. Låt X1; :::; Xn vara stokastiskt 

oberoende observationer på X: Visa att om Zn = 1 Pn n k=1 Xk så gäller 

att 

Var(X) 

P j Zn j " 

n" 2 ; " > 0: 

(Monte Carlometoden beräknar en approximation av med skattningen 

Zn(!). Monte Carlometoden användes bl a av Ulam under 1940talet 

för att göra beräkningar inom kärnreaktorfysik. Metoden utnyttjas 

fortfarande inom detta område. Namnet ”Monte Carlometoden” 

brukar tillskrivas fysikern Nicholas Metropolis. Monte Carlometoden 

behandlas utförligt i den utmärkta boken ”Monte Carlo Methods” av 

Hammersley och Handscomb [HH].) 

13. Låt vara Lebesguemåttet i intervallet [0; 1] och antag f 2 L2 ( ): 

Beräkna R 1 

f(x)dx approximativt med Monte Carlometoden då a) f(x) = 

0 

x b) f(x) = sin x c) f(x) = 1 

x1=4 : Välj först 103 och därefter 106 slumptal. 

14. Antag f(x) = sin(x + 1); x 2 R. a) Beräkna 

I = 

Z 1 

1 

f(x)e x2 

2 

dx 

p 2 : 

b) Låt G1; :::; Gn 2 N(0; 1) vara stokastiskt oberoende. Beräkna approximationer 

av I med Monte-Carloskattningarna 

och 

MC2 = 1 

2n 

MC1 = 1 

n 

nX 

f(Gk) 

k=1 

nX 

(f(Gk) + f( Gk)) 

då b1) n = 10 3 : Gör tre försök. b2) n = 10 6 : Gör tre försök. 

k=1 

67

68 

15. Låt X vara en stokastisk variabel med värden i R d och antag A 2 

B(R d ). Sätt p = P [X 2 A] : Visa att om X1; :::; Xn är stokastiskt 

oberoende observationer på X så gäller att 

där 

P j Zn p j " 

1 

; " > 0; 

4n" 2 

Zn = 1 

n (1[X12A] + :::: + 1[Xn2A]): 

Monte Carlometoden beräknar en approximation av p med skattningen 

Zn(!): 

16. Låt X vara en kanonisk Gaussvariabel i R d : Beräkna P [X 2 A] approximativt 

med Monte Carlometoden då 

A = x; x = (x1; :::; xd) 2 R d och 0 xk 1; k = 1; :::; d 

för a) d = 1 b) d = 3 c) d = 6 d) d = 10: Välj först 10 3 och 

därefter10 6 slumpvektorer i R d : 

17. Låt x 2 [0; 1] och antag P [X = 0] = x och P [X = 1] = 1 x: Antag 

X1; :::; Xn är stokastiskt oberoende observationer på X. Visa att 

E f( 1 

n (X1 + ::: + Xn)) 

nX 

= f( k n 

) k n xk (1 

n 

x) 

k 

k=0 

för varje funktion f de…nierad på intervallet [0; 1]. 

18. Betrakta binomialmodellen med t = 0; 1; 2 och u > r > d: Ett derivat 

av europeisk typ utbetalar beloppet 

vid tiden t = 2: Antag 

Y = max(0; (S(0)S(1)S(2)) 1 

3 K) 

S(0)e d < K S(0)e 1 2 

u+ 3 3 d : 

Visa att derivatets värde vid tiden t = 0 är lika med 

e 2r 

h 

S(0)p 2 e u + S(0)pq(e 2 1 

u+ 3 3 d + e 1 

3 

där 

p = 1 q = er ed eu : 

ed u+ 2 

3 d ) p(1 + q)K 

i

19. Betrakta binomialmodellen och antag u > r > d och T = 2: En europeisk 

medelvärdesoption av europeisk typ utbetalar beloppet 

max 0; 1 

(S(0) + S(1) + S(2)) K 

3 

vid tiden 2; där K är ett givet positivt tal som uppfyller 

S(0) 

3 (1 + ed + e 2d ) < K < S(0) 

3 (1 + ed + e u+d ): 

Bestäm derivatets värde vid tiden 0. 

20. Låt (Xn) 1 n=1 vara en i.i.d. där varje Xn 2 N(0; 1): Sätt Fn = (X1; :::; Xn) 

och 

n 

X1+:::+Xn 

Mn = e 2 ; n = 1; 2; ::: : 

Visa att (Mn; Fn) 1 n=1 är en martingal. 

21. Betrakta en sekvens reellvärda stokastiska variabler (Mn) 1 n=1 och en 

sekvens (Fn) 1 n=1 av -algebror. Visa att sekvensen (Mn; Fn) 1 n=1är en 

martingal om det för varje n 1 gäller att 

(i) Fn Fn+1 

( ii) (Mn) Fn 

(iii) Mn 2 L 1 (P ) och Mn = E [ Mn+1 j Fn] : 

22. Visa att en reellvärd stokastisk process (Un) 1 n=1 har Markovegenskapen 

om 

E [f(Un+1) j U1; :::; Un] = E [f(Un+1) j Un] ; n 1; 

för varje Borelmätbar begränsad funktion f : R!R. 

23. Antag matrisen C = (C(j; k)) 1 j;k n har reella element är och är symmetrisk. 

Låt 

e1 = (e1(j)) n j=1; :::; en = (en(j)) n j=1 

vara en ON-bas i R n bestående av egenvektorer till C och låt 1; :::; n 

vara motsvarande egenvärden. Visa att 

C(i; j) = 

nX 

k=1 

kek(i)ek(j): 

69

70 

Antag C är positivt semi-de…nit dvs 1; :::; n 0 och de…niera 

X(i) = 

nX p 

k=1 

kek(i)Gk; i = 1; :::; n: 

Visa att (X(i)) n i=1 är en centrerad Gaussprocess med kovariansfunktionen 

C. 

24. Antag x1; x2; x3 och r är reella tal och x1 < x2 < x3: Betrakta en 

modell för en kapitalmarknad bestående av en aktie och en obligation 

där tiden t är lika med 0 eller 1. Aktiens pris vid tiden t betecknas med 

S(t) och obligationens pris vid tiden t betecknas med B(t): Det gäller 

att 

S(1) = S(0)e X 

där S(0) är en positiv konstant och där X: ! fx1; x2; x3g är en 

stokastisk varibel sådan att P [X = xk] > 0; k = 1; 2; 3: Vidare gäller 

att 

B(1) = B(0)e r 

där B(0) är en positiv konstant. Begreppet arbitrage de…nieras analogt 

med motsvarande begrepp i samband med binomialmodellen. 

a) Under vilka villkor på parametrarna x1; x2; x3 och r saknar modellen 

arbitrage? 

b) Antag x1 < r < x3 och representera X som identitetsavbildningen i 

mängden = fx1; x2; x3g : Visa att det …nns ‡era martingalmått dvs 

sannolikhetsmått i sådana att 

S(0) = e r E Q [S(1)] : 

Ge också exempel på ett derivat av europeisk typ som slutdagen 1 

utbetalar beloppet f(S(1)) och som har egenskapen att 

f(S(1)) 6= hSS(1) + hBB(1) 

för alla reella hB och hS (man säger därför att modellen ej är komplett). 

(Ledning: Om U och V är reellvärda stokastiska variabler så betyder 

relationen U 6= V att P [U = V ] < 1:)

25. Betrakta binomialmodellen i T tidssteg och låt h = (hS; hB) vara en 

själv…nansierande strategi. Visa att 

e rt Vh(t) = Vh(0) + 

(Ledning: Om 

så följer att 

tX 

k=1 

hS(k)(e rk S(k) e r(k 1) S(k 1)) 

A(t) = (e rt S(t); B(0)) = ( ~ S(t); B(0)) 

Vh(0) + 

Vh(0) + 

tX 

hS(k)( ~ S(k) S(k ~ 1)) = 

k=1 

tX 

h(k) (A(k) A(k 1)): 

k=1 

Gruppera därefter om termerna.) 

71

5. Konstruktion av Brownsk rörelse och Gaussiska processer 

I detta avsnitt konstruerar vi Brownsk rörelse med kontinuerliga trajektorier. 

Det är i detta sammanhang naturligt att också beröra konstruktionen av 

allmänna Gaussiska processer. Avslutningsvis belyses också olika samband 

mellan Brownsk rörelse och värmeledningsekvationen. 

Antag först att (Xi) n i=1 är en reellvärd centrerad Gaussisk process och låt 

cij = E [XiXj] ; i; j = 1; :::; n 

vara motsvarande kovariansmatris (dvs kovariansfunktion). Matrisen C = 

(cij)1 i;j n är symmetrisk eftersom 

E [XiXj] = E [XjXi] : 

Matrisen C är också positivt semi-de…nit ty om a = (a1; :::; an) 2 Rn gäller 

att 

nX 

nX 

a Ca = aicijaj = aiajE [XiXj] = 

E 

" nX 

i;j=1 

i;j=1 

aiajXiXj 

# 

= E 

i;j=1 

" 

( 

nX 

aiXi) 2 

# 

Antag nu omvänt att C = (cij)1 i;j n är en matris med reella element 

sådan att C är symmetrisk och positivt semi-de…nit. Vi skall visa att det 

…nns en centrerad reellvärd Gaussisk process med tidsparametermängden 

f1; 2; ::; ng som har kovariansmatrisen C: För att se detta använder vi spektralsatsen 

för symmetriska matriser och får en ON-bas 

i=1 

e1 = (e11; :::; en1); :::; en = (e1n; :::; enn) 

i R n bestående av egenvektorer för C: Låt 1; :::; n vara motsvarande egenvärden. 

Eftersom 

e i Cei = i; i = 1; :::; n 

så är 1; :::; n 0: Relationen Cek = kek kan skrivas 

nX 

=1 

ci e k = keik 

0: 

73

74 

och vi får 

nX 

=1 

ci e kejk = keikejk: 

Eftersom den matris som bildas av egenvektorerna som kolonner är en ortogonalmatris 

så måste denna matris också ha ortogonala rader dvs 

Alltså är 

nX 

nX 

e kejk = 

k=1 

keikejk = 

0; om 6= j 

1; om = j : 

k=1 

=1 k=1 

Låt nu (Gi) n i=1 vara en i.i.d. där G1 2 N(0; 1) och de…niera 

Xi = 

nX p 

k=1 

nX 

ci 

nX 

! 

e kejk = cij: 

keikGk; i = 1; :::; n: 

Processen (Xi) n i=1 är en reellvärd centrerad Gaussisk process och 

E [XiXj] = 

nX 

k=1 

keikejk = cij: 

Processen (Xi) n i=1 har alltså kovariansmatrisen C: 

En reellvärd centrerad Gaussprocess (W (t))t 0 med kovariansfunktionen 

E [W (s)W (t)] = min(s; t) 

kallas för en normaliserad reellvärd Wienerprocess eller en normaliserad endimensionell 

Brownsk rörelse. Det är inte alls klart att det …nns en normaliserad 

reellvärd Wienerprocess och det är naturligtvis inte heller klart varför 

begreppet är intressant. 

Vi behandlar först existensfrågan och startar med följande sats. 

Sats 1. Låt ( k) 1 k=0vara en följd sannolikhetsmått i R. Då …nns en sekvens 

reellvärda stokastiskt oberoende stokastiska variabler (Xk) 1 k=0 sådan att Xk = 

k; k 2 N; dvs 

P [Xk 2 A] = k(A); A 2 B( R); k 2 N:

Beviset för sats 1 utelämnas här (för bevis se t ex [N]).. 

Vi kan nu utreda existensen av normaliserad endimensionell Brownsk 

rörelse på följande sätt. Låt = m[0;1[ vara Lebesguemåttet i intervallet 

[0; 1[ : Antag (en)n2N är en ortonormerad bas för L 2 ( ). För varje …xt t 0 

Fourierutvecklas funktionen 1[0;t] i den ortonormerade basen (en)n2N så att 

där 

Eftersom Z 1 

blir 

an(t) = 

0 

1[0;t] = 

Z 1 

0 

1X 

an(t)en 

n=0 

1[0;s]1[0;t]d = 

min(s; t) = 

1[0;t]end ; n 2 N. 

1X 

an(s)an(t) 

n=0 

1X 

an(s)an(t): 

n=0 

I nästa steg skall vi konstruera en normaliserad endimensionell Brownsk 

rörelse med hjälp av en lämplig slumpserie. Antag (Gn)n2N är en i.i.d. med 

N(0; 1)-fördelade komponenter (sats 1 garanterar existensen av denna i.i.d.). 

Sätt 

1X 

W (t) = an(t)Gn 

n=0 

där serien för …xt t 0 konvergerar i L 2 (P ). Det följer processen (W (t))t 0 

är en reellvärd, centrerad och Gaussisk (se övning i kapitel 3) samt att 

dvs 

E [W (s)W (t)] = 

1X 

an(s)an(t) 

n=0 

E [W (s)W (t)] = min(s; t): 

Processen (W (t))t 0 är alltså en normaliserad reellvärd Wienerprocess. 

Som Gaussprocess karakteriseras processen W = (W (t))t 0 även av följande, 

nämligen 

75

76 

( ) W (0) = 0 

( ) W (t) 2 N(0; t) 

( ) om n 2 N+; och 0 t0 t1 ::: tn så är tillskotten 

W (t1) W (t0); W (t2) W (t1); :::; W (tn) W (tn 1) 

okorrelerade och därmed stokastiskt oberoende. 

En reellvärd stokastisk process (X(t))t 0 kallas för en reellvärd Wienerprocess 

om X(t) = x + W (t); t 0; för lämpliga x 2 R och > 0. En 

reellvärd Wienerprocess kallas också för en endimensionell Brownsk rörelse. 

En stokastisk process (X(t))t 0 sägs vara en reellvärd Wienerprocess med linjär 

drift eller en endimensionell Brownsk rörelse med linjär drift om X(t) = 

x + t + W (t); t 0; för lämpliga ; x 2 R och > 0. Parametern x 

kallas för startpunkt, parametern kallas för di¤usionskonstant och parametern 

kallas för driftskoe¢ cient. Ibland säger vi bara Wienerprocess istället 

för reellvärd Wienerprocess och Brownsk rörelse istället för endimensionell 

Brownsk rörelse om sammanhanget i alla fall är klart. 

Den geometriska Brownska rörelsemodellen för en aktie med priset S(t); t 

0; innebär att det så kallade log-priset 

ln S(t); t 0 

beskriver en Brownsk rörelse med linjär drift: Vi säger i detta fall att aktiepriset 

beskriver en geometrisk Brownsk rörelse med exponentiell drift. 

Parametern i denna modell kallas ofta för aktieprisets volatilitet. Den 

geometriska Brownska rörelsemodellen för en aktie går tillbaka till Samuelson 

[SAM1] ; som genom denna artikel modi…erar Bacheliers aritmetiska modell 

från år 1900 [BA]. 

Det fysikaliska fenomenet Brownsk rörelse går tillbaka till en observation 

av den holländske fysikern Jan Ingen-Housz 1785 (se [KSZ]). Botanisten 

Robert Brown fastslår i en publikation 1829 att fenomenet ifråga ej förorsakas 

av levande organismer [BR] och Albert Einstein drar 1905 slutsatsen att 

Brownsk rörelse förorsakas av kollisioner mellan molekyler och de observerade 

partiklarna [E] . 

En funktion : T T ! R sägs vara en kovarians på T om dels är 

symmetrisk dvs 

(s; t) = (t; s); s; t 2 T;

dels är positivt semi-de…nit dvs det för varje n 2 N+ ; a1; :::; an 2 R och 

t1; :::; tn 2 T gäller att 

nX 

ajak (tj; tk) 0: 

j;k=1 

Om (X(t))t2T är en reellvärd stokastisk process sådan att varje X(t) 2 L 2 (P ) 

gäller att kovariansfunktionen 

C(s; t) = Cov(X(s); X(t)); s; t 2 T 

är en kovarians på T ty C är uppenbarligen reellvärd och symmetrisk och 

2 

nX 

( 

nX 

ajakC(tj; tk) = E 4 ak(X(tk) 

) 3 

2 

E [X(tk)]) 5 0: 

j;k=1 

k=1 

I fortsättningen säger vi ofta kovarians istället för kovariansfunktion i 

samband med stokastiska processer. 

Sats 2. Låt T vara en godtycklig mängd och reellvärd funktion på T . 

Antag dessutom att är en kovarians på T . Då …nns en reellvärd Gaussisk 

process (X(t))t2T sådan att 

och 

(t) = E [X(t)] ; t 2 T 

(s; t) = Cov(X((s); X(t)); s; t 2 T: 

Två Gaussiska processer med dessa egenskaper är ekvivalenta i fördelning 

dvs har samma marginalfördelningar. 

Vi bevisar inte sats 2 här (för bevis se t ex [N]). Istället ger vi några 

konkreta exempel på Gaussprocesser som kommer fram genom sats 2. 

Låt som vanligt m1 beteckna Lebesguemåttet i R: Om f 2 L1 (m1) 

de…nieras Fouriertransformen ^ f av f genom ekvationen 

Z 

^f( ) = e i x f(x)dx; 2 R: 

R 

77

78 

Observera att för alla a1; :::; an; t1; :::; tn 2 R så gäller att 

nX 

ajak ^ Z 

f(tj tk) = 

j;k=1 

R 

j 

nX 

k=1 

ake itkx j 2 f(x)dx: 

Råkar f dessutom vara jämn dvs om f(x) = f( x) n.s. [m1] så är ^ f reellvärd 

och jämn ty 

Z 

^f( ) = f(x) cos( x)dx; 2 R: 

R 

Varje jämn och icke-negativ funktion f 2 L 1 (m1) de…nierar alltså en kovarians 

på R genom att 

(s; t) = ^ f(s t): 

Om X betecknar motsvarande centrerade Gaussiska process med tidsparametermängden 

R och kovariansen så gäller för varje …xt reellt tal a att 

E [X(s)X(t)] = ^ f(s t) = E [X(s + a)X(t + a)] : 

De stokastiska processerna (X(t))t2R och (X(t + a))t2R har därför samma 

marginalfördelningar. Av denna anledning sägs processen (X(t))t2R vara 

stationär. I specialfallet 

är 

f(x) = 1 

2 

1 

x 2 + 1 

4 

^f( ) = e 1 

2 j j : 

Motsvarande stationära centrerade Gaussiska process kallas en stationär normaliserad 

Ornstein-Uhlenbeckprocess. Om denna betecknas med U = (U(t))t2R 

följer att dess kovariansfunktion ges av 

Notera att processen 

E [U(s)U(t)] = e 1 

2 js tj : 

X(t) = e t 

2 W (e t ); t 2 R 

är centrerad Gaussisk med kovariansen 

e s+t 

2 min(e s ; e t ) = e 1 

2 js tj :

Processen (X(t))t2R är därför exempel på en stationär normaliserad Ornstein- 

Uhlenbeckprocess. 

Studiet av regularitetsegenskaper för Gaussprocessers samplefunktioner 

har varit ett aktivt forskningsfält ända in i vår egen tid. Vi visar här endast 

ett viktigt resultat inom det område. 

Sats 4. (Wieners sats) Det …nns en version av endimensionell Brownsk 

rörelse som har kontinuerliga trajektorier. 

Bevis. Det räcker att visa att det …nns en version av normaliserad endimensionell 

Brownsk rörelse som har kontinuerliga trajektorier. Den första delen 

av beviset påminner starkt om vårt existensbevis för normaliserad Brownsk 

rörelse medan den senare delen av beviset innehåller nya metoder. 

Vi arbetar först i tidsintervallet 0 t 1. Låt beteckna Lebesguemåttet 

i [0; 1] och antag (en)n2N är en ortonormerad bas för L2 ( ). För varje 

…xt t 2 [0; 1] Fourierutvecklas funktionen 1[0;t] i den ortonormerade basen 

(en)n2N så att 

1X 

1[0;t] = an(t)en 

där 

Eftersom 

blir 

an(t) = 

Z 1 

Z 1 

1X 

1[0;s]1[0;t]d = 

0 

n=0 

min(s; t) = 

0 

n=0 

1[0;t]end ; n 2 N. 

an(s)an(t); s; t 2 [0; 1] 

1X 

an(s)an(t); s; t 2 [0; 1] : 

n=0 

Antag nu att (Gn)n2N är en i.i.d. med N(0; 1)-fördelade komponenter 

och sätt 

1X 

V (t) = an(t)Gn 

n=0 

79

80 

där serien för …xt t 2 [0; 1] konvergerar i L 2 (P ). Det följer processen (V (t))0 t 1 

är en centrerad och Gaussisk samt att 

1X 

E [V (s)V (t)] = an(s)an(t); s; t 2 [0; 1] 

dvs 

n=0 

E [V (s)V (t)] = min(s; t); s; t 2 [0; 1] : 

Vi kallar därför processen (V (t))0 t 1 för en normaliserad endimensionell 

Brownsk rörelse i tidsintervallet [0; 1] : Den ortonormerade basen (en)n2N 

skall nu väljas så att slumpserien ovan är lätt att hantera med avseende på 

likformig konvergens i tidsvariabeln t. 

Sätt först 

h(t) = 1 1 

[0; ;1](t); t 2 R. 

2 

2[ (t) 1 [ 1 

n 1 

Vi de…nierar nu h00(t) = 1; 0 t 1; och för varje n 1 och j = 1; :::; 2 

sätts 

n 1 

hjn(t) = 2 2 h(2 n 1 t j + 1); 0 t 1: 

För varje n 1 och j = 1; :::; 2 n 1 gäller alltså 

8 

>< 

hjn(t) = 

>: 

n 1 

2 2 ; 

n 1 

2 

j 1 

2n 1 t < j 

1 

2 

2n 1 ; 

2 ; j 

1 

2 

2n 1 t 

j 

2 n 1 ; 

0; för övrigt i [0; 1] : 

Härav inses lätt att funktionerna h00;hjn; j = 1; :::; 2 n 1 ; n 1; som tillhör 

L 2 ( ); alla har längden ett och är parvis ortogonala. Vi påstår att dessa 

funktioner bildar en ortonormerad bas i L 2 ( ) . Antag nämligen att f 2 

L 2 ( ) är ortogonal mot var och en av funktionerna ifråga. För varje n 1 

och j = 1; :::; 2 n 1 följer då att 

och därmed är 

Z j 1 2 

2n 1 

j 1 

2n 1 

Z j 

2n 1 

j 1 

2n 1 

fd = 

fd = 1 

2n 1 

Z j 

2n 1 

j 1 2 

2n 1 

Z 1 

0 

fd 

fd = 0

ty 

Alltså är 

och därmed gäller att 

Z 1 

0 

Z k 

2n 1 

j 

2n 1 

fd = 

Z 1 Z b 

1[a;b]fd = 

0 

a 

Z 1 

0 

fh00d = 0: 

fd = 0; 1 j k 2 n 1 ; 

fd = 0; 0 a b 1: 

Alltså måste f = 0 och vi kan dra slutsatsen att funktionerna h00;hjn; j = 

1; :::; 2 n 1 ; n 1; är en ortonormerad bas i L 2 ( ): Denna ortonormerade bas 

kallas för Haarbasen i Hilbertrummet L 2 ( ): 

Låt nu G00;Gjn; j = 1; :::; 2 n 1 ; n 1; vara en i.i.d. med N(0; 1)-fördelade 

komponenter och sätt 

ajn(t) = 

Z 1 

1[0;t]hjnd ; j = n = 0 eller j = 1; :::; 2 

0 

n 1 ; n 1: 

Funktionerna ajn; j = n = 0 eller j = 1; :::; 2 n 1 ; n 1; är alla kontinuerliga. 

Observera också att för varje …xt n 1 så är 

Vi inför också 

och 

ajn(t)akn(t) = 0 om j 6= k: 

U0(t) = G00a00(t) 

2n 1 

X 

Un(t) = Gjnajn(t); n 1 

j=1 

och vet från diskussionen ovan att slumpserien 

1X 

V (t) = Un(t) 

n=0 

konvergerar i L 2 (P ) för varje …xt t 2 [0; 1] och att motsvarande process är 

en normaliserad Brownsk rörelse i tidsintervallet [0; 1] : Vi skall nu visa att 

serien 

1X 

n=0 

Un 

81

82 

konvergerar n.s. i Banachrummet C([0; 1]) med max-normen 

k x k1= max 

0 t 1 

j x(t) j= max 

t2[0;1]\Q 

j x(t) j : 

Här syftar n.s. på det bakomliggande sannolikhetsmåttet. Det räcker därför 

att visa att 

1X 

k Un k1< 1; n.s. 

n=0 

ty en absolutkonvergent serie i Banachrummet C([0; 1]) är konvergent. Låt 

därför n 1 och notera först att 

Men 

så 

Eftersom 

följer att 

P k Un k1> 2 n 

4 P max 

1 j 2n 1(j Gjn jk ajn k1) > 2 n 

4 : 

k ajn k1= 1 

2 n+1 

2 


4 2 n 1 P 

x 1 ) P [j G00 j x] 2 

och vi drar slutsatsen att 

" 

1X 

E 

n=0 

Z 1 

x 

h 

j G00 j> 2 n 

i 

1 

+ 4 2 : 

ye y2 =2 dy 

x p 2 


4 2 n e 2n=2 

1 [kUnk1>2 n 4 ] 

# 

= 

1X 

n=0 

e x2 =2 


4 < 1: 

Serien P1 n=0 1 [kUnk1>2 n 4 ] 

är således ändlig n.s. och det följer att serien 

1X 

n=0 

k Un k1 

konvergerar n.s: Det …nns alltså en representation W (t); 0 t 1; för 

normaliserad endimensionell Brownsk rörelse i tidsintervallet [0; 1] som har

kontinuerliga trajektorier. Låt W1(t); 0 t 1; vara en annan sådan representation 

och dessutom sådan att processerna (W (t))0 t 1 och (W1(t))0 t 1 

är stokastiskt oberoende. Sätt 

W (t) = W (1) + tW1(1=t) W1(1); t > 1: 

Man veri…erar lätt att processen (W (t))t 0 är en normaliserad endimensionell 

Brownsk rörelse, vilket avslutar beviset för Wieners sats. 

I fortsättningen låter vi alltid W = (W (t))t 0 beteckna en normaliserad 

Wienerprocess med kontinuerliga trajektorier. 

Brownsk rörelse har en serie märkliga egenskaper. Om T > 0 är …xt 

så har t ex kurvan (t; W (t)); 0 t T; oändlig längd. För att se detta 

de…nieras 

L (1) 

2 

n = 

n X1 

k=0 

j W ( 

så att Ln Ln+1. Vidare gäller att 

E 

h 

E 

h 

e 

e L(1) n 

i 

= E 

1 

2n=2 jW (T )ji 2n k + 1 k 

T ) W ( T ) j 

2n 2n h 

e 

1 

jW ( 2n i 2n T )j 

= 

E e jW (T )j 2 n=2 

där vi har uttnyttjat Jensens olikhet i sista ledet. Eftersom E e jW (T )j < 1 

följer nu att 

lim 

n!1 L(1) 

n = 1 n.s. 

och vi drar slutsatsen att kurvan (t; W (t)); 0 t T; har oändlig längd. 

Om 

de…nieras 


: 0 = t0 < t1 < ::: < tn 1 < tn = T 

L (2) Xn 

1 

= 

k=0 

(W (tk+1) W (tk)) 2 : 

L (2) ! T i L 2 (P ) 

83

84 

då indelningens …nhet 

= max 

0 k n 1 (tk+1 tk) 

går mot noll. Om G 2 N(0; 1) följer nämligen att 

Var(L (2) Xn 

1 

) = Var((W (tk+1) W (tk)) 2 Xn 

1 

) = Var(( p tk+1 tkG) 2 ) = 

Eftersom 


k=0 

Xn 

1 

k=0 

k=0 

(tk+1 tk) 2 Var(G 2 ) T Var(G 2 ) : 

E 

h 

(L (2) 

E 

h 

L (2)i 

= T 

T ) 2 

i 

! 0 då ! 0: 

En Brownsk trajektoria är inte deriverbar i någon punkt med sannolikheten 

ett (se t ex [McK] för ett kort bevis av denna Wienersats). En annan 

märklig egenskap för Brownsk rörelse framkommer genom Khintchines 

itererade logaritmlag som innebär att 

och 

P 

P 

" 

" 

lim sup 

t!0+ 

lim inf 

t!0+ 

W (t) 

p 2t ln(ln 1=t) = 1 

# 

= 1 

W (t) 

p = 

2t ln(ln 1=t) 

# 

1 = 1 

(se återigen t ex [McK]). Speciellt följer härav att händelsen 

W (t) > 0 för oändligt många t 2 [0; ] och 

W (t) < 0 för oändligt många t 2 [0; ] 

har sannolikheten 1 för varje > 0 . 

För optionsteori har olika samband mellan Brownsk rörelse och partiella 

di¤erentialekvationer fundamental betydelse. I enkla fall är sådana samband 

lätta att illustrera. I fortsättningen låter vi E beteckna klassen av alla reellvärda 

kontinuerliga funktioner f de…nierade på reella tallinjen sådana att 

sup(e 

x2R 

Cjxj j f(x) j) < 1

för en lämplig konstant C > 0 som eventuellt beror av f: Antag nu att f 2 E 

och betrakta värmeledningsekvationen 

Substitutionen 

ger den ekvivalenta formen 

@u 1 @ + @t 2 

2u @x2 = 0 

ujt=T = f; 0 < t < T; x 2 R. 

@u 

@ 

= 1 

@ 

2 

2u @x2 = T t 

uj =0 = f; 0 < < T; x 2 R 

som studeras i kurser i Fourieranalys. Vi får en lösning given av formeln 

Z 

(x y)2 dy 

u(t; x) = f(y)e 2 p 

2 

eller annorlunda uttryckt 

Z 

u(t; x) = 

R 

R 

f(x + y)e y2 

2 

dy 

p 2 

Bortsett från funktioner som är oerhört stora för stora j x j är detta den enda 

lösningen till det aktuella begynnelseproblemet (se t ex [F R]). Med något 

missbruk av språket säger vi att integralformeln ovan ger lösningen till den 

aktuella ekvationen (i vissa texter talar man om den ”fysikaliska lösningen” 

eller den ”ekonomiska lösningen”). Lösningen kan uttryckas med hjälp av 

Brownsk rörelse på följande sätt: 

u(t; x) = E [f(x + W ( ))] : 

Det …nns också en delvis annorlunda representation av lösningen u(t; x) 

med hjälp av Brownsk rörelse som kan vara attraktiv i samband med olika 

tillämpningar. De…niera 

Då är 

g(x) = E [f(x + W ( )] = E [f(x + (W (T ) W (t))] : 

E [f(W (T )) j W (t)] = E [f(W (t) + (W (T ) W (t)) j W (t)] = 

: 

85

86 

g(W (t)) 

(jmfr övning 1 i kapitel 4). Det är nu tilltalande att skriva 

g(x) = E [f(W (T )) j W (t) = x] 

och vi tar denna relation som de…nition av uttrycket i höger led. Vi har 

därför att 

u(t; x) = E [f(W (T )) j W (t) = x] : 

Sats 5. Antag a,b2 R och låt > 0: Om funktionen f 2 E så har ekvationen 

lösningen 

@u 2 @ + @t 2 

2u @x2 + a @u + bu = 0 

@x 

ujt=T = f; 0 < t < T; x 2 R 

u(t; x) = e b E [f(x + a + W ( ))] : 

De…nieras processen X(t) = at + W (t); 0 < t T; så gäller därför att 

Bevis. Sättes 

så får vi att 

och 

Alltså är 

och satsen följer omedelbart. 

u(t; x) = e b E [f(X(T ) j X(t) = x] : 

u(t; x) = e b v( ; 1 (a + x)) 

@v 

@ 

1 @ 

= 

2 

2v @x2 vj =0 = f( x): 

v( ; x) = E [f( (x + W ( )))] 

Sats 6. Antag a,b2 R och låt > 0: Om f(e x ) 2 E så har ekvationen 

@s2 + as @u + bu = 0 

@s 

ujt=T = f; 0 < t < T; s > 0 

@u 

@t + 2s2 @ 

2 

2u

lösningen 

Bevis. Sätt 

Då är 

u(t; s) = e b E 

@u 

@s 

h 

f(se (a 

s = e x : 

@u 1 

= 

@x s 

och 

@2u @s2 = @2u @x2 1 

s2 Insättning i di¤erentialekvationen ger 

@u 

@t + 

Vi utnyttjar nu slutvillkoret 

2 

2 

@2u + (a 

@x2 och får från föregående sats att 

och satsen är bevisad. 

u(t; s) = e b E 

2 

2 )@u 

@x 

u(T; e x ) = f(e x ) 

h 

f(e x+(a 

Betrakta nu för …xt t 0 -algebran 

2 

2 ) + W ( ) i 

) : 

@u 1 

: 

@x s2 Ft = (W ( ); t): 

+ bu = 0 : 

2 

2 ) + W ( ) i 

) 

En reellvärd stokastisk process (X(t))t 0 säges vara en Wienermartingal om 

det för alla t0; t 0 gäller att 

(a) X(t) är Ft-mätbar 

(b) X(t) 2 L 1 (P ) 

(c) E [X(t) j Ft0] = X(t0) så snart t0 t: 

87

88 

Om I är ett delintervall av intervallet [0; 1[ så sägs en reellvärd stokastisk 

process (X(t))t2I vara en Wienermartingal i I om villkoren (a); (b) och (c) 

gäller för alla t0; t 2 I: 

Vi vill speciellt framhålla två exempel på Wienermartingaler. Antag 0 

t0 t: Genom att utnyttja att Ft0 och (W (t) W (t0)) är stokastiskt 

oberoende följer att 

E [W (t) j Ft0] = E [W (t0) j Ft0] + E [W (t) W (t0) j Ft0] = 

W (t0) + E [W (t) W (t0)] = W (t0): 

En normaliserad Wienerprocess är alltså en Wienermartingal. Processen 

M (t) = e 

W (t) 

2 t 

2 ; t 0 

är också en Wienermartingal. Om > 0 får vi nämligen att 

varför 

E e W (t) j Ft0 = E e (W (t) W (t0)) e W (t0) j Ft0 = 

e W (t0) E e (W (t) W (t0)) j Ft0 = e W (t0) E e (W (t) W (t0)) = 

e W (t0) e 1 

2 E[( (W (t) W (t0))) 2 2 

] W (t0) (t t0) 

= e e 2 

E [M (t) j Ft0] = M (t0): 

Processen (M (t))t 0 kallas för en Brownsk exponentialmartingal med parametern 

: Denna process är bl a av intresse i samband med sats 6 som nu 

kan ges följande ekvivalenta formulering. 

Sats 6’. Antag a,b2 R och låt > 0: Om f(e x ) 2 E så har ekvationen 

lösningen 

@s2 + as @u + bu = 0 

@s 

ujt=T = f; 0 < t < T; s > 0 

@u 

@t + 2s2 @ 

2 

2u u(t; s) = e b E [f(se a M ( ))] :

Sats 6’kommer att spela en fundamental roll i utvecklingen av optionsteorin 

i senare avsnitt. 

Vi betraktar avslutningsvis i detta kapitel följande ekvation 

2 @ = 2 

2u @x2 + a @u c(x)u 

@x 

ujt=0 = f; t > 0; x 2 R 

@u 

@t 

där f antages tillhöra klassen E och c 0 är en kontinuerlig funktion 

de…nierad på R: Feynman-Kac formel säger att lösningen ges av 

h 

u(t; x) = E f(x + at + W (t))e R i 

t 

0 c(x+a + W ( ))d 

: 

Detta är konsistent med fallet då c är konstant beroende sats 5 (se också 

övningarna i detta kapitel och i kapitel 11). Det faller dock utom ramen för 

denna kurs att utförligt behandla Feynman-Kac formel (för mer information 

hänvisas till [KS] och referenser i denna bok). Det är emellertid värdefullt 

att känna till Feynman-Kac formel för att kunna gissa diverse sannolikheter 

för Brownsk rörelse. Vi ger två exempel. 

Sats 7 (Bachelier [1]) Om t; x > 0 så är 

P max 

0 t W ( ) x = 2 ( x p t ) 1: 

Vi gör ovanstående sats trovärdig genom följande resonemang. 

Antag att n 2 N+. Sätt cn = n1] 1;0[ så att 

och de…niera 

och 


cn(y) = 

h 

un(t; x) = E e R t 

0 

n; y < 0 

0; y 0 

cn(x+W ( ))d 

u(t; x) = P [x + W ( ) 0; alla 2 [0; t]] : 

lim 

n!1 un(t; x) = u(t; x); x > 0; t > 0 

i 

89

90 

eftersom processen W = (W (t))t 0 förutsätts ha kontinuerliga trajektorier. 

Då 

P [W ( ) < 0; oändligt många 2 [0; t]] = 1; t > 0 

följer också randvillkoret 

Vidare gäller begynnelsevillkoret 

u(t; 0) = 0; t > 0: 

u(0; x) = 1; x > 0: 

Vi går nu tillbaka till Feynman-Kacs formel, som visar att 

@un 1 @ 

= 

@t 2 

2un ; t > 0; x > 0 

@x2 och det är därför rimligt att funktionen u(t; x) uppfyller ekvationen 

@u 

@t 

1 @ 

= 

2 

2u ; t > 0; x > 0: 

@x2 Vi accepterar detta utan att gå in i ett detaljerat bevis. För att bestämma 

funktionen u noterar vi först att funktionen 

v(t; x) = E 1[0;1[(x + W (t)) = ( x p t ); t; x > 0 

löser värmeledningsekvationen 

@v 

@t 

1 @ 

= 

2 

2v : 

@x2 Genom anpasning av rand- och begynnelsevillkor drar vi sedan slutsatsen att 

u = 2v 1; vilket är liktydigt med sats 7. 

Problem. Betrakta ett aktiepris S(t) = S(0)e t+ W (t) ; t 0; som förutsätts 

beskriva av en geometrisk Brownsk rörelse med exponentiell drift och låt 

T > 0 vara ett givet tal. Antag också att a; b är positiva reella tal sådana 

att a < S(0) < b: Beräkna sannolikheten för händelsen 

a S(t) b; alla t 2 [0; T ] :

Vi räknar i samma anda som ovan fram en formel för sannolikheten i 

problemet. 

Sätt A = ln a; B = ln b och x0 = ln S(0): Den aktuella händelsen kan 

skrivas 

A x0 + t + W (t) B; alla t 2 [0; T ] : 

Sätt nu cn = n(1 1[A;B]) så att 

och de…niera 

och 


cn(y) = 

h 

un(t; x) = E e R t 

0 

0; A y B 

n; y < A eller y > B 

cn(x+ + W ( ))d 

u(t; x) = P [A x + + W ( ) B; alla 2 [0; t]] 

lim 

n!1 un(t; x) = u(t; x); A < x < B; t > 0 

eftersom processen W = (W (t))t 0 förutsätts ha kontinuerliga trajektorier. 

Genom att använda Khintchines itererade logaritmlag för Wienerprocessen 

följer också att 

u(t; A) = 0; t > 0 

och på liknande sätt drar vi slutsatsen att 

Vidare är 

Om vi observerar att 

u(t; B) = 0; t > 0: 

u(0; x) = 1; A x B: 

2 @2un @un 

@t = 

2 @x2 + 

@un 

; t > 0; A < x < B 

@x 

är det rimligt att funktionen u(t; x) uppfyller ekvationen 

@u 

@t = 

2 

2 

@2u @u 

+ ; t > 0; A < x < B 

@x2 @x 

i 

91

92 

och vi accepterar detta utan att gå in i ett detaljerat bevis. För att bestämma 

funktionen u sättes 

u = e kx v 


@u 

@x 

= ekx @v 

@x + kekx v 

och 

@2u @x2 = ekx @2v @v 

+ 2kekx 

@x2 @x + k2e kx v: 

Di¤erentialekvationen för u får nu formen 

@v 

@t = 

2 

2 

@2v @x2 + (k 2 + ) @v 

+ ( 

@x 

Därför väljs 

k = 2 

varav 

@v 

@t = 

2 @ 

2 

2v @x2 2 

Genom variabelseparation inses nu att 

1X 

v(t; x) = ane ( 

2 

2 

n=1 

2 

2 v: 

2 k 2 

2 

2 + n2 2 2 

2(B A) 2 )t sin 

+ k)v: 

x A 

B A n 

där 

an = 

2 

Z B 

e 

B A A 

2 x x 

sin 

B 

A 

n dx 

A 

och en enkel räkning visar att 

u(t; x) = 2e 

1X 4 n+1 2 n (1 + ( 1) e (B A) ) 

n=1 

2 (A x) 

e 2 (B A) 2 + n2 2 4 ( 

2 

n2 

2 2 

2 2 + 

2(B A) 2 )t sin 

x A 

n : 

B A 

Den angivna händelsen i det ursprungliga problemet bör alltså sannolikheten 

u(T; x0); vilket också är det korrekta svaret. 

Övningar

1. Antag att G1; G2 2 N(0; 1) och är okorrelerade. Visa att processen 

X(t) = G0 cos( t) + G1 sin( t); t 2 R 

är en stationär Gaussprocess för varje 2 R: 

2. Antag 0 < t1 < ::: < tn. Visa att 

Z 

A1 

Z 

::: 

P [W (t1) 2 A1; :::; W (tn) 2 An] = 

nY 

( 

1 

p 

2 (tk tk 1) e 

(xk xk 1 ) 2 

) 

2(tk tk 1 ) dx1:::dxn 

An k=1 

för godtyckliga A1; ::An 2 B(R): Här är x0 = 0 och t0 = 0: 

3. Antag > 0: Visa att funktionen 

har Fouriertransformen 

1 

x 2 + 2 

e 

4. Visa att processen X(t) = W (t); t 0; är en normaliserad Wienerprocess. 

5. Antag a > 0: Visa att processen X(t) = a 1 

2 W (at); t 0; är en normaliserad 

Wienerprocess. 

6. Antag t0 0: Visa att processen X(t) = W (t + t0) W ( t0); t 0; är 

en normaliserad Wienerprocess. 

7. Sätt X(0) = 0 och X(t) = tW ( 1 

t ); t > 0: Visa att (X(t))t 0 är en 

normaliserad Wienerprocess. 

8. Sätt X(t) = W (t) tW (1) och Y (t) = X(1 t) för 0 t 1. Visa 

att processerna (X(t))0 t 1 och (Y (t))0 t 1 har samma marginalfördelningar. 

9. Visa att 

P 

" 

lim sup 

t!1 

j j : 

# 

W (t) 

p = 1 = 1 

2t ln(ln t) 

93

94 

och 

10. Visa att 

P 

" 

lim inf 

t!1 

W (t) 

p = 

2t ln(ln t) 

# 

1 = 1 

E [f(W (t)) j Ft0] = E [f(W (t)) j W (t0)] ; t0 t 

för varje f 2 Cb(R); där 

Ft = (W ( ); t); t 0: 

11. Visa att en stationär normaliserad Ornstein-Uhlenbecks process U = 

(U(t))t 0 uppfyller likheten 

för varje f 2 Cb(R); där 

12. Lös ekvationen 

E [f(U(t)) j Ft0] = E [f(U(t)) j U(t0)] ; t0 t 

Ft = (U( ); t); t 0: 

1 @ = 2 

2u @x2 u(0; x) = sin x; t > 0; x 2 R 

@u 

@t 

Beräkna också lösningen approximativt med en lämplig Monte Carlometod. 

Gör numeriska jämförelser i specialfallet t = 4 och x = 1: 

13. Visa att 

P lim 

t!0+ tW (1=t) = 0 = 1: 

14. Låt (Xn) 1 n=1 vara en i.i.d. med Gaussiskt fördelade komponenter. Visa 

att 

lim 

n!1 

1 

n (X1 + ::: + Xn) = E [X1] n.s.

15. a) Sekvensen (ek)k2N är en ON-bas för L 2 (m[0;1]), där 

Sätt 

ak(t) = 

ek(t) = p 2 cos(k + 1 

) t; 0 t 1; k 2 N: 

2 

Z t 

0 

ek(s)ds = 

p 

1 2 sin(k + 2 

(k + 1 

2 ) 

) t 

; 0 t 1; k 2 N; 

och låt (Gk)k2N vara en i.i.d. där varje Gk 2 N(0; 1). Processen 

W (t) = 

1X 

ak(t)Gk; 0 t 1 

n=0 

är en normaliserad Brownsk rörelse i tidsintervallet från 0 till 1. Låt 

m; n 2 N+: Antag Wmn(t) är kontinuerlig för 0 t 1 och a¢ n i varje 

i intervall 1 , i = 1; :::; n samt sådan att 

i t n n 

Wmn( i 

) = 

n 

mX 

k=0 

ak( i 

n )Gk; i = 0; :::; n: 

Rita en trajektoria för processen Wm(t), 0 t 1; då m = 400 och 

n = 100: 

16. Betrakta randvärdesproblemet u 00 (x) = f(x); 0 x 1; under bivillkoren 

u(0) = u 0 (1) = 0: Visa att Greenfunktionen g(x; y) för detta 

problem är lika med min(x; y): Utnyttja detta för att visa att 

1X 

n=0 

2 

(n + 1 

2 

min(x; y) = 

)2 2 sin((n + 1 

2 

1 

) x) sin((n + ) y): 

2 

Antag slutligen att (Gn) 1 n=0 är en i.i.d. med N(0; 1)-fördelade kompo- 

nenter och sätt 

X(t) = 

1X 

n=0 

p 2Gn 

(n + 1 

2 ) 

sin((n + 1 

) t); 0 t 1: 

2 

Visa att X är en normaliserad endimensionell Brownsk rörelse i tidsintervallet 

[0; 1] : 

95

96 

17. Sätt Ft = (W ( ); t) för t 0: Beräkna E [W 2 (t) j Fs] och 

E [W 3 (t) j Fs] för 0 s t: 

18. Visa att processen W 2 (t) t; t 0; är en Wienermartingal. 

19. Antag att f tillhör klassen E och att c 

de…nierad på R: De…niera 

0 är en kontinuerlig funktion 

h 

[Atf] (x) = E f(x + at + W (t))e R i 

t 

0 c(x+a + W ( ))d 

; x 2 R 

för …xt t > 0: Visa att funktionen Atf tillhör klassen E och att 

Visa också att 

1 

lim 

t!0+ t f[Atf] (x) f(x)g = 

om f är tillräckligt reguljär. 

At1+t2f = At1(At2f): 

2 

2 

@2f + a@f 

@x2 @x 

c(x)f(x); x 2 R

6. Centrala gränsvärdessatsen 

Det …nns matematiska resultat som naturligt leder till hypotesen att aktieavkastningar 

approximativt är normalfördelade (för väl omsatta aktier på 

större börser under perioder av normala yttre förhållanden). I detta sammanhang 

skall vi uppmärksamma den så kallade centrala gränsvärdessatsen, 

som också kommer att få betydelse för vår första härledning av Black-Scholes 

teoretiska pris för enkla derivat av europeisk typ. 

Låt n; n 2 N+; och vara Borelsannolikhetsmått i R d . Sekvensen 

( n) n2N+ sägs konvergera svagt mot måttet om 

lim 

n!1 n(A) = (A) 

för varje A 2 B( R d ) sådant att randen av A är en -nollmängd dvs (@A) = 

0. Denna typ av konvergens förkortas 

n ) : 

Om Xn; n 2 N+; och X är R d -värda stokastiska variabler och 

Xn ) X 

så sägs sekvensen (Xn) n2N+konvergera mot X i fördelning. Denna typ av 

konvergens förkortas 

Xn ! X: 

Om nödvändigt anges här att n ! 1: 

Sats 1. (Centrala gränsvärdessatsen) Låt (X n) 1 n=1vara en i.i.d. där varje 

X n är R d -vard och begränsad n.s. (dvs det existerar en konstant C 2 [0; 1[ 

så att P [j Xn j C] = 1; n 2 N+). Antag Xn har väntevärdet och låt G 

vara en centrerad Gaussiskt fördelad R d -vard stokastisk variabel med samma 

kovarians som Xn: Sätt 

Zn = 1 

p n (X1 + ::: + Xn n ); n 2 N+: 

97

98 

Då gäller 

Zn ! G: 

För starkare versioner av centrala gränsvärdessatsen hänvisas till böcker 

i sannolikhetsteori (såsom tex [BOR]). Specialfallet då d = 1 och varje Xn i 

sats 1 är binomialfördelad visades (i mer klassisk form) av de Moivre 1733 (se 

t ex Lifshits bok ”Gaussian Random Functions”[LIF ]). Normalfördelningen 

var alltså känd före Gauss tid. 

För att visa centrala gränsvärdessatsen behandlar vi först en del Fourieranalytiska 

begrepp. Om f 2 L1 (md) de…nieras Fouriertransformen ^ f genom 

att 

Z 

^f( ) = e i( ;x) f(x)dx; 2 R d : 

R d 

Sats 2. (Inversionssatsen) Antag f 2 L 1 (md): Om ˆ f 2 L 1 (md) och om f 

är kontinuerlig och begränsad så gäller att 

Z 

f(x) = 

R d 

e i( ;x) ^ f( ) d 

(2 ) d ; x 2 Rd : 

Bevis. Som så mycket annat i denna kurs följer resultatet från kalkyl med 

Gaussiska stokastiska variabler. Om " > 0 gäller att 

Z 

Z Z 

f(y) 

dy: 

R d 

e i( ;x) e "2 

2 j j2 f( ^ 

d 

) = 

(2 ) d 

Här är högra ledet lika med 

Z ( Z 

x y 

i( ; 

f(y) e " ) e 1 

2 

R d 

Om vi sätter 

R d 

R d 

j j2 d 

p 2 d 

blir uttrycket i högra ledet lika med 

Z 

R d 

) 

dy 

p 2 d " d 

y x = "z 

f(x + "z)e 1 dz jzj2 2 p d 

2 

R d 

e i( ;x y) e "2 

j d j2 

2 

(2 ) d 

Z 

= 

R d 

f(y)e 

= E [f(x + "G)] 

1 

2" 2 jy xj2 dy 

p : d 

2 " d

där G är en kanonisk Gaussisk vektor i Rd . Alltså gäller 

Z 

R d 

e i( ;x) e "2 

2 j j2 f( ^ 

d 

) = E [f(x + "G)] 

(2 ) d 

och inversionssatsen följer genom att låta " ! 0+. 

Det …nns ett viktigt specialfall då förutsättningarna i inversionssatsen är 

uppfyllda. Låt C 1 0 (R d ) beteckna klassen av alla reellvärda funktioner f i R d 

som är oändligt många gånger kontinuerligt deriverbara i varje variabel och 

som dessutom är identiskt noll utanför en begränsad mängd. Ett exempel 

på en sådan funktion f får vi genom att de…niera 

där 

f(x) = 

dY 

f'(1 + xk)'(1 xk)g ; x = (x1; :::; xd) 2 R d 

k=1 

'(t) = 

e 1 

t ; t > 0; 

0; t 0: 

Om f 2 C 1 0 (R d ) gäller att ^ f 2 L 1 (md) ty genom att utföra partiell inte- 

gration med avseende på variabeln xk så erhålls för varje 

Z 

Z 

k 6= 0 att 

^f( ) = 

e i( ;x) f 0 xk (x)dx 

och upprepning ger 

Alltså är 


så ^ f 2 L 1 (md): 

R d 

^f( ) = 1 

(i k) n 

e i( ;x) f(x)dx = 1 

i k 

j k j n j ^ f( ) j 

Z 

R d 

Z 

R d 

e i( ;x) f (n) 

xk (x)dx; n 2 N: 

R d 

j f (n) 

xk (x) j dx; n 2 N 

sup 

2Rd (1+ j j) d+1 j ^ f( ) j< 1: 

99

100 

Korollarium 1. Om f 2 C 1 0 (R d ) gäller att ^ f 2 L 1 (md) och 

Z 

f(x) = 

R d 

e i( ;x) ^ f( ) d 

(2 ) d ; x 2 Rd : 

Sats 3. Antag n; n 2 N+; och är sannolikhetsmått i Rd sådana att 

Z 

lim 

n!1 

e i( ;x) Z 

d n(x) = e i( ;x) d (x); 2 R d : 

R d 

Då gäller att n ) : 

Bevis. Antag f 2 C 1 0 (R d ). Det gäller enligt ovan att ^ f 2 L 1 (md) och 

Alltså är 

Z 

och Z 

R d 

R d 

Z 

f(x) = 

R d 

Z 

f(x)d n(x) = 

Z 

f(x)d (x) = 

Förutsättningarna ger därför att 

Z 

Z 

lim 

n!1 

f(x)d n(x) = 

R d 

R d 

e i( ;x) ^ f( ) d 

(2 ) d ; x 2 Rd : 

R d 

R d 

Z 

Z 

R d 

R d 

e i( ;x) d n(x) 

^ f( ) d 

(2 ) d 

e i( ;x) d (x) f( ^ 

d 

) : 

(2 ) d 

R d 

f(x)d (x): 

Innan vi går vidare införs lite ny formalism. Om A och B är delmängder 

av R d de…nieras summan 

A + B = fz; z = x + y där x 2 A och y 2 Bg : 

Den slutna enhetsbollen i R d med centrum 0 och radie r > 0 betecknas med 

B(0; r) dvs 

B(0; r) = fx; j x j rg : 

Om r > 0 och A R d skriver vi Ar = A + B(0; r): Det slutna höljet av 

A R d betecknas med A och det inre av A betecknas med A o : Slutligen

101 

betecknar h 2 C 1 0 (R d ) en icke-negativ funktion som är noll utanför B(0; 1) 

och som uppfyller relationen 

Z 

R d 

h(x)dx = 1: 

Vi går nu vidare i beviset för sats 3. Låt K vara en godtycklig kompakt 

delmängd av Rd och de…niera för varje p 2 N+ funktionen 

fp(x) = p d 

Z 

h(p(x y))1K 1 (y)dy; x 2 R 

p 

d : 

R d 

Det följer att 0 fp 1 och eftersom 

Z 

fp(x) = 

erhålls också att 

h(z)1K 1 

B(0;1) 

p 

fp(x) = 

(x 

1; x 2 K 

0; x =2 K 2 

p 

Det gäller också att fp 2 C 1 0 (R d ): Olikheten 

ger därför att 

och 

lim inf 

n!1 

På liknande sätt visas att 

2 n(K ) 

p 

lim inf 

n!1 

Z 

n(K 2 ) 

p 

R d 

Z 

z 

)dz; x 2 Rd 

p 

: 

fp(x)d n(x) 

R d 

fp(x)d (x) 

n(K 2 ) (K): 

p 

lim sup 

n!1 n(K) (K 2 ) 

p 

och Lebesgues majorantsats medför att 

ty 

lim sup 

n!1 n(K) (K) 

lim 

p!1 1K 2 (x) = 1K(x); alla x 2 R 

p 

d :

102 

Antag nu att F är en sluten delmängd av R d . Då gäller först att 

Eftersom mängden F \ K 2 

p 

och 

n(F ) n(F \ K 2 ) + n(R 

p 

d nK 2 ): 

p 

är kompakt erhålls 

lim sup 

n!1 n(F ) (F \ K 2 ) + 1 lim inf 

p 

n!1 

lim sup 

n!1 n(F ) (F ) + 1 (K): 

Vi väljer nu K = B(0; r) med r > 0 stort och får 

lim sup 

n!1 n(F ) (F ): 

Genom att gå till komplement drar vi också slutsatsen att 

lim inf 

n!1 n(U) (U) 

n(K 2 ) 

p 

för varje öppen delmängd U av R d : 

Det är nu lätt att avsluta beviset för satsen. Antag A 2 B(R d ) och 

(@A) = 0. Av olikheten n(A) n(A) erhåller vi att 

och olikheten n(A) n(A o ) ger 


lim sup 

n!1 n(A) (A) = (A) 

lim inf 

n!1 n(A) (A o ) = (A): 

Bevis av sats 1. Vi har för varje 2 R d att 

så vi får 

E e i( ;Zn) = 

E e i( ;Zn) = 

nY 

E 

k=1 

n h 

E e i 

p ( ;X1 n 

h 

e i( ; X k pn ) i 

) io n 

:

Låt nu 

e it = 1 + it 

t2 2 + t3f(t); t 2 R 

där funktionen f är begränsad på begränsade intervall. Härav följer att 

1 

E e i( ;Zn) = 

1 

2n E ( ; X1 ) 2 + 1 

n 3=2 E ( ; X1 ) 3 f( 

Alltså gäller 

lim 

n!1 E ei( ;Zn) = e 1 

vilket beroende på sats 3 visar sats 1: 

E[( ;X1 ) 2 

1 

( ; X1 )) 

n1=2 2 ] 

103 

Låt nu (Xn) 1 n=1 vara en reellvärd i.i.d. där varje Xn är begränsad n.s. och 

har förväntan noll och variansen 2 > 0: Vi de…nierar 

Zk = 

kX 

Xj; k 2 N 

j=1 

med konventionen att en summa med mindre övre summationsindex än undre 

summationsindex är noll. Alltså är Z0 = 0: Om t är ett reellt tal betecknar 

[t] det största heltalet som är mindre än eller lika med t: Processen 

Y (t) = Z[t] + (t [t])X[t]+1; t 0 

är lika med Zk för t = k och är a¢ n i varje intervall [k; k + 1] där k 2 N: Vi 

de…nierar nu för varje n 2 N+ processen 

Wn(t) = 1 p n Y (nt); t 0: 

Notera att denna process har kontinuerliga trajektorier och 

Det gäller att 

Wn( k 

n ) = 1 p n 

kX 

Xj; k 2 N: 

j=1 

E [Wn(t)] = 0 

n 

:

104 

och 

E Wn(t) 2 = 1 

n ([nt] + (nt [nt])2 ) ! t 

då n ! 1. Med hjälp av centrala gränsvärdessatsen visas nu relativt lätt 

att 

Wn(t) ! W (t) 

för varje …xt t 0 där (W (t))t 0 betecknar en normaliserad reellvärd Wienerprocess 

med kontinuerliga trajektorier. Det är också relativt lätt att se att 

(Wn(t1); ::::; Wn(td)) ! (W (t1); ::::; W (td)) 

för alla t1; :::; td 0 och d 2 N+: 

Begreppet svag konvergens av sannolikhetsmått i R d och konvergens i 

fördelning för stokastiska vektorer i R d kan lätt generaliseras till separabla 

Banachrum. Donskers sats, som faller utanför denna kurs, innebär att 

processen (Wn(t))0 t T konvergerar i fördelning mot processen (W (t))0 t T 

då n ! 1 (se t ex den utförliga boken av Karatzas och Shreve [KS]). 

Övningar 

1. Låt Xn; Yn; n 2 N+ och X vara R d -värda stokastiska variabler sådana 

att 

Xn ! X: 

Antag 

Visa att 

lim 

n!1 P [j Xn Yn j "] = 0; alla " > 0: 

Yn ! X: 

2. Låt Xn; n 2 N+ och X vara R d -värda stokastiska variabler sådana att 

Visa att 

om f : R d ! R m är kontinuerlig. 

Xn ! X: 

f(Xn) ! f(X)

3. Visa att 

Wn(t) ! W (t) 

för varje …xt t 0 under samma förutsättningar som i texten ovan. 

4. Visa att 

för alla t1; :::; td 

texten ovan. 

(Wn(t1); ::::; Wn(td)) ! (W (t1); ::::; W (td)) 

105 

0 och d 2 N+ under samma förutsättningar som i 

5. Låt (Xj) n j=1 vara en i.i.d. Antag Zn(t) är kontinuerlig för 0 t 1 och 

k 1 

a¢ n i varje intervall n t k 

n , k = 1; :::; n; samt Zn(0) = 0: Rita 

två realisationer av processen (Zn(t))0 t 1; då 

a) 

och E e i Xk = e 1 

2 

b) 

och E e i Xk = e j j : 

Zn( k 1 

) = p 

n n 

2 

: 

Zn( k 1 

) = 

n n 

kX 

Xj; k = 1; :::; n 

j=1 

kX 

Xj; k = 1; :::; n 

j=1 

I båda fallen väljs n = 1000: (Ledning för b): om en stokastisk variabel 

U har en likformig fördelning i intervallet 2 ; 2 så gäller att 

E e i tan U = e j j ).

7. Black-Scholes di¤erentialekvation 

107 

Betrakta en modell för en kapitalmarknad bestående av en aktie med priset 

S(t) vid tiden t och en obligation vars pris B(t) vid tiden t uppfyller ekvationen 

B(t) = B(0)e rt : Antag att 

S(t) = S(0)e t+ W (t) ; t 0 

där (W (t))t 0 är en normaliserad Wienerprocess med kontinuerliga trajektorier 

och där 2 R och > 0. Det förutsätts här att B(0) och S(0) är 

positiva tal som är kända redan vid periodens början vid tiden t = 0: Denna 

modell kallas ofta för Black-Scholes modell. I Black-Scholes utvidgade modell 

betraktas utöver aktien och obligationen även alla derivat i aktien. Man 

skiljer ofta inte på Black-Scholes modell och motsvarande utvidgade modell. 

Vi förutsätter nu Black-Scholes modell och betraktar ett derivat av europeisk 

typ som utbetalar beloppet f(S(T )) vid tiden T 2 ]0; 1[. Vi antager 

att funktionen f(e x ) 2 E dvs f är kontinuerlig och det existerar ett C > 0 

så att 

sup(e 

x2R 

Cjxj j f(e x ) j) < 1: 

Detta antagande uttrycks f 2 P (jmfr engelskans ”payo¤ function”). Det 

är här praktiskt att tillåta utbetalningsfunktioner som eventuellt kan antaga 

negativa värden (jmfr kapitel 1 och värdering av terminskontrakt). 

För att komma fram till ett teoretiskt värde för derivatet vid tiden t < T 

skriver vi 

W (t ) = W (t) + V (t t) 

för godtyckligt t 2 [t; T ] ; där processen 

V ( ) = W ( + t) W (t); 0 

är stokastiskt oberoende av processen (W ( ))0 t. Sätt = T t och och 

notera att processen 

p V ( ); 0 

är en normaliserad Wienerprocess så vi kan utan inskränkning antaga att 

W (t ) = W (t) + p V ( t t ); t 2 [t; T ] :

108 

Processen (V ( )) 0 approximeras nu med en slumpvandring som i slutet av 

föregående kapitel. Först väljs ett N 2 N+. Därefter de…nieras h = =N och 

tn = t + nh; n = 0; 1; :::; N: 

Antag vidare att (Xn) 1 n=1 är en i.i.d. sådan att varje komponent antager 

vart och ett av värdena 1 med sannolikheten 1 

2 : Notera att E [Xn] = 0 och 

E [X2 n] = 1: Om tn = t hålls …xt är 

t t = nh 


p t 

V ( 

t p n 

) = V ( 

N ): 

Denna stokastiska variabel approximeras med den stokastiska variabeln 

p h 

nX 

j=1 

för varje n = 0; 1; :::; N: 

Vi skall nu genomföra ett resonemang som leder fram till ett rimligt teoretiskt 

värde för derivatet ovan. Resonemanget bygger bl a på följande förutsättningar: 

(a) derivathandel förekommer endast vid tidpunkterna t; t1; :::; tN 1; T 

(b) Wienerprocessen approximeras för …xt t = tn med W (t) + p h P n 

j=1 Xj 

(c) lämplig regularitet för approximerande optionspriser. 

Xj 

Låt nu N vara stort men …xt. Av ekvationen 

får vi approximationen 

där 

Alltså gäller 

S(tn) = S(t)e 

S(tn) 

(tn t)+ (W (tn) W (t)) 

~ S(n) 

~S(n) = S(t)e nh+ p h P n 

j=1 Xj : 

~S(n + 1) = ~ S(n)e h+ p hXn+1 :

Vi inför också beteckningen 

så att 

B(tn) = ~ B(n) 

~B(n + 1) = ~ B(n)e rh : 

109 

Med dessa beteckningar som bakgrund betraktas nu en …ktiv tidsdiskret 

kapitalmarknad bestående av en aktie med priset ~ S(n) vid tiden n, en obligation 

med priset ~ B(n) vid tiden n och ett derivat i aktien som utbetalar 

f( ~ S(N)) vid tiden N: Låt V (n) beteckna derivatets värde vid tiden n: Här 

gäller alltså att n 2 f0; 1; :::; Ng : Låt 

och 

Antag vidare att N är så stort att 

V u (n + 1) = V (n + 1)jXn+1=+1 

V d (n + 1) = V (n + 1)jXn+1= 1: 

h + p h > rh > h 

p h: 

Vår tidsdiskreta modell är alltså arbitragefri och exempel 1 i kapitel 4 ger 

följande rekurrensekvation, nämligen 

där 

V (n) = e rh (pV u (n + 1) + qV d (n + 1)) 

p = erh e h p h 

e h+ p h e h p h 

och q = 1 p: Resultaten i kapitel 4 visar också att V (n) är ( ~ S(n))-mätbar 

så vi kan skriva 

V (n) = v(t + nh; ~ S(n)): 

Observera här att V = VN och v = vN: Subindexet N utesluts ofta i det 

följande. 

Vi går nu vidare och inför beteckningen s = ~ S(0): Sätts n = 0 i rekurrensekvationen 

ovan får vi likheten 

v(t; s)e rh = pv(t + h; se h+ p h ) + qv(t + h; se h p h ):

110 


1 

2 

och efter förenkling erhålls 

p = e(r )h e p h 

e p h e p h = 

1 + (r )h 1 + p 1 h 2 

p 

h + o(h) 

p = 1 1 + (r 

2 

1 

+ (r 

2 

2h + o(h) 

; h ! 0 

2 

2 ) p h + o( p h) 

1 + o( p h) 

= 

2 

2 ) 

p 

h 

2 + o(ph); h ! 0: 

Alltså är 

q = 1 

2 

(r 

2 

2 ) 

p 

h 

2 + o(ph); h ! 0: 

Funktionen v = vN har en ändlig de…nitionsmängd och beror av N 2 N+. 

Vi antar nu att denna funktions de…nitionsområde kan utvidgas till en öppen 

mängd så att utvidgningen blir en gång kontinuerligt deriverbar i första 

variabeln (som betecknas med t) och två gånger kontinuerligt deriverbar i 

andra variabeln (som betecknas med x) och så att denna funktions beroende 

av N kan försummas för stora N: Detta medför att 

v(t + h; se h+ p h @v @v 

) = v(t; s) + (t; s)h + 

@t @s (t; s)s(e h+ p h 

Alltså gäller att 

1 @ 

2 

2v @s2 (t; s)s2 (e h+ p h 

v(t + h; se h+ p h ) = v(t; s) + @v 

@t 

På liknande sätt fås 

v(t + h; se h p h ) = v(t; s) + @v 

@t 

1) 2 + o(h); h ! 0: 

@v 

(t; s)h + (t; s)s(( + 

@s 

1 @ 

2 

2v @s2 (t; s)s2 2 h + o(h); h ! 0: 

@v 

(t; s)h + (t; s)s(( + 

@s 

2 

1)+ 

2 )h + p h)+ 

2 

2 )h 

p h)+

Vi utnyttjar nu att 

och insättning i ekvationen 

ger 

p v(t; s) + @v 

@t 

q v(t; s) + @v 

@t 

1 @ 

2 

2v @s2 (t; s)s2 2 h + o(h); h ! 0: 

e rh = 1 + rh + o(h); h ! 0 

v(t; s)e rh = pv(t + h; se h+ p h ) + qv(t + h; se h p h ) 

v(t; s)(1 + rh) + o(h) = 

@v 

(t; s)h + (t; s)s(( + 

@s 

@v 

(t; s)h + (t; s)s(( + 

@s 

då h ! 0: Efter förenkling erhålls 

@v @v 

(t; s)h + (t; s)s(( + 

@t @s 

då h ! 0. Nu är 

( + 

2 

2 )h + (p q) p h = ( + 

111 

2 

2 )h + p h) + 1 @ 

2 

2v @s2 (t; s)s2 2 h + 

2 

2 )h 

v(t; s)rh + o(h) = 

p 1 @ 

h) + 

2 

2v @s2 (t; s)s2 2 h 

2 

2 )h + (p q) p h) + 1 @ 

2 

2v @s2 (t; s)s2 2 h 

2 

)h + 2(r 

2 

rh + o(h); h ! 0 

2 

2 ) 

p 

h 

2 

(parametern försvinner!) och det följer (i vår snälla värld) att 

v(t; s)r = @v 

@t 

(t; s) + @v 

@s 

1 @ 

(t; s)sr + 

2 

2v @s2 (t; s)s2 2 : 

p h + o(h) = 

Denna partiella di¤erentialekvation, som framkommer i Black och Scholes 

publikation [BS] från 1973, kallas Black-Scholes di¤erentialekvation och brukar 

skrivas 

@v 

(t; s) + 

@t 

2 s 2 

2 

@2v (t; s) + rs@v (t; s) rv(t; s) = 0; t < T: 

@s2 @s

112 

Vårt ursprungliga derivat uppfyller också slutvillkoret 

v(T; s) = f(s): 

Motsvarande lösning får de…niera det teoretiska optionspriset. Sats 6’i kapitel 

5 ger oss nu följande 

Sats 1. Ett enkelt derivat av europeisk typ med utbetalningsfunktionen f 2 P 

och slutdagen T har värdet v(t; S(t)) vid tiden t där 

v(t; s) = e r E [f(se r M ( ))] 

och = T t: Om t t T så gäller att 

där = t t: 

v(t; s) = e r E [v(t ; se r M ( ))] 

Det kan påpekas ytterligare en gång att optionspriset i sats 1 inte beror 

på aktielog-prisets driftskoe¢ cient . Vi vill också ännu en gång påminna om 

att vi inte skiljer på pris (värde) och teoretiskt pris (värde) då missförstånd 

ej kan uppstå. 

Den senare delen av sats 1 följer av den första delen utan att utnyttja 

entydighetssatser för di¤erentialekvationer. Vi har nämligen från den första 

delen att 

v(t; s) = e r E 

h 

f(se (r 2 p i 

=2) + G) 

där G 2 N(0; 1). Om G 0 är en stokastiskt oberoende kopia av G så följer nu 

att 

e r E 

e r E 

h 

e r(T t ) E 

e r E [v(t ; se r M ( ))] = 

h 

f(se r M ( )e (r 2 =2)(T t )+ p T t G 0 

) 

ii 

= 

h 

e r(T t ) h 

E f(se (r 2 p p ii 

=2) 

e 

Ge (r 2 =2)(T t )+ T t G0 ) = 

e r E 

h 

f(se (r 2 =2) e p G) 

i 

:

113 

Om vi går tillbaka till härledningen av Black-Scholes di¤erentialekvation 

och följer funktionerna hS och hB i den diskreta modellen till gräns (N ! 1) 

så får vi med samma beteckning för gränsvärdena att 

och 

hS(t) = @v 

(t; S(t)) 

@s 

v(t; S(t)) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t): 

Högra ledet kan tolkas som ett innehav i aktien och obligationen som i varje 

tidpunkt har samma värde som optionen. Man kan visa att portföljstrategin 

kräver en initial investering men att strategin i övrigt är själv…nansierad 

på en friktionsfri marknad. En sådan strategi sägs vara själv…nansierande. 

En närmare analys kräver stokastisk di¤erentialkalkyl och vi återkommer till 

denna punkt i senare kapitel. Ekvationen 

1 = hS(t) hB(t) 

S(t) + 

v(t; S(t)) v(t; S(t)) B(t) 

kan tolkas som en relativ portfölj i aktien och obligationen. Om S(t) = s så 

är det relativa aktievärdet lika med 

@v 

@s 

v 

s = 

@v 

v 

@s 

s 

(symboliskt): 

Detta uttryck brukar kallas optionsprisets elasticitet med avseensde på aktiepriset. 

Antag fi 2 P, i = 1; :::; m; och låt ai; i = 1; :::; m; vara …xa reella tal. 

Om 

mX 

aifi(e x ) 0; alla x 2 R 


i=1 

VA(t) = e r " 

mX 

E aifi(se r # 

M ( )) 

i=1 

Dominansprincipen gäller alltså för …nansiella derivat av europeisk typ. 

0:

114 

Korollarium 1. En europeisk köpoption med slutdagen T och lösenpriset 

K har värdet c(t; S(t); K) vid tiden t < T där 

och 

c(t; s; K) = s (d1) Ke r 

d1 = 

d2 = 

ln s 

K 

ln s 

K 

+ (r + 2 

2 ) 

p 

2 

+ (r 2 ) 

p : 

(d2); 

En europeisk säljoption med slutdagen T och lösenpriset K har värdet p(t; S(t); K) 

vid tiden t < T där 

Bevis. Sats 1 ger att 

p(t; s; K) = Ke r 

c(t; s; K) = e r E 

h 

max(0; se (r 

( d2) s ( d1): 

2 

2 ) 

p i 

G 

K) 

där G är en N(0; 1)-fördelad stokastisk variabel. Härav följer att 

c(t; s; K) = e r " 

E se (r 

2 

2 ) 

p 

G 

K; G 

ln s + (r K 

2 

2 ) 

p 

# 

och därmed är 

Vidare är 

c(t; s; K) = e r 

e r E 

h 

se (r 

2 

2 ) 


Z 

s e 

x d2 

n h 

E se (r 

2 

2 ) 

p G; G d2 

( p +x) 2 

2 

i 

p G; G d2 

Z 

= s e 

x d2 

i 

2 

2 

K 

o 

(d2) : 

p x x 2 

2 

dx 

p2 = s ( p + d2) = s (d1): 

dx 

p2

Detta bevisar att 

c(t; s; K) = s (d1) Ke r 

(d2): 

115 

Säljoptionens värde kan härledas på liknande sätt. Resultatet följer alternativt 

från relationen 

p(t; s; K) = Ke r 

Detta avslutar beviset för korollarium 1. 

s + c(t; s; K): 

Övningarna i kapitel 1 visar att amerikanska köpoptioner (utan utdelning 

i den bakomliggande aktien) värderas som motsvarande europeiska kontrakt. 

För den amerikanska säljoptionen …nns idag ingen känd analytiskt given prisformel. 

Om v(t; S(t)) betecknar värdet vid tiden t för en amerikansk säljoption 

med lösenpriset K och slutdagen T så gäller att v uppfyller Black-Scholes 

di¤erentialekvation i ett från början okänt område av typen 

D = f(t; s); s > b(t); t < T g 

där b är en växande, kontinuerligt deriverbar funktion sådan att 


lim 

t!T 

b(t) = K: 

v(t; s) > max(K s; 0); (t; s) 2 D; 

v(t; s) = max(K s; 0); (t; s) 2 @D 

och 

dv 

(t; b(t)+) = 1; t < T: 

ds 

Det är optimalt att lösa in optionen om S(t) < b(t): Den kritiska randen 

s = b(t) beskrivs ej heller av något känt analytiskt uttryck. Det …nns explicita 

prisformler för den amerikanska säljoptionen i termer av den kritiska randen 

[CJM]. Om T ! +1 får optionen oändlig löptid (”perpetual option”). Låt 

v = v(s) vara värdet för rättigheten att sälja aktien för värdet K vid varje 

tidpunkt i framtiden. Då gäller att 

2 s 2 

2 

d2v + rsdv 

ds2 ds 

rv = 0:

116 

Denna Eulerekvation har de linjärt oberoende lösningarna v = s och v = 

s där 

= 2r 

2 : 

Den första lösningen är ej begränsad då s ! 1 och saknar intresse här. 

Antag därför v = As . Om 

och 

blir 

De…nieras 

så är därför 

v(s) = K 

1 + 

v(s) = K s 

dv 

(s) = 1 

ds 

s = K 

1 + : 

b = K 

1 + : 

b 

s 

; s > b: 

För mer information om den amerikanska säljoptionen hänvisas till [CJM] ; [MY ] 

och [W DH] (nedan ges också några numeriska illustrationer med hjälp av 

binomialapproximationen). 

Vi avslutar detta kapitel med en del numeriska resultat. Betrakta först 

ett enkelt derivat av europeisk typ med utbetalningsfunktionen f. För att 

bestämma dess värde v(t; S(t)) vid tiden t med binomialapproximationen får 

vi med beteckningar som ovan först att 

v(tN; se (N 2j) p h ) = f(se (N 2j) p h ); j = 0; 1; :::; N 

och sedan successivt för n = N 1; N 2; ::::; 1; 0; att 

v(tn; se (n 2j) p h ) = e rh (pv(tn+1; se (n+1 2j) p h ) + qv(tn+1; se (n 1 2j) p h )) 

för j = 0; 1; :::; n där 

p = erh e p h 

e p h e p h 

och q = 1 p: Vi har alltså valt driftskoe¢ cienten för log-priset lika med 

0 (jmfr [H]).

117 

Som numerisk illustration betraktar vi först europeiska köpoptioner i en 

aktie vars pris har volatiliteten 20 procent per år och aktiekursen 40 kr i detta 

ögonblick. Räntan antages vara 5 procent per år. De teoretiska priserna för 

köpoptionerna beräknas exakt med hjälp av korollarium 1. Som jämförelse 

beräknas i några specialfall köpoptionsvärden med binomialapproximationen 

för N = 5; N = 20 och N = 50. 

exakta varden N = 5 

Kn 1=12 4=12 7=12 

35 5:15 5:76 6:40 

40 1:00 2:17 3:00 

45 0:02 0:51 1:10 

N = 20 N = 50 

Kn 1=12 4=12 7=12 

35 5:15 5:77 6:39 

40 0:99 2:14 2:97 

45 0:02 0:51 1:11 

Kn 1=12 4=12 7=12 

35 5:14 5:77 6:45 

40 1:05 2:26 3:12 

45 0:02 0:54 1:15 

Kn 1=12 4=12 7=12 

35 5:15 5:76 6:40 

40 1:00 2:16 2:99 

45 0:02 0:51 1:11 

Om vi simulerar 1 miljon Gaussiska slumptal och beräknar motsvarande 

köpoptionsvärden med Monte Carlometoden får vi i enskilda försök följande 

jämförelser: 

exakta varden 10 6 slumptal 

Kn 1=12 4=12 7=12 

35 5:15 5:76 6:40 

40 1:00 2:17 3:00 

45 0:02 0:51 1:10 

Kn 1=12 4=12 7=12 

35 5:15 5:75 6:40 

40 1:00 2:17 3:00 

45 0:02 0:51 1:11 

För ett enkelt amerikanskt kontrakt med utbetalningsfunktionen f måste 

hänsyn tas till att det kan vara optimalt att inlösa kontraktet före slutdagen. 

Liksom för motsvarande europeiska kontrakt gäller att 

v(tN; se (N 2j) p h ) = f(se (N 2j) p h ); j = 0; 1; :::; N: 

Därefter beräknas successivt för tidpunkterna tn; n = N 1; N 2; ::::; 2; 1; 0; 

optionspriserna 

v(tn; se (n 2j) p h ) =

118 

max(f(se (n 2j) p h ); e rh (pv(tn+1; se (n+1 2j) p h ) + qv(tn+1; se (n 1 2j) p h ))) 

för j = 0; 1; :::; n: Som numerisk illustration av binomialapproximation för 

amerikanska säljoptioner väljer vi återigen en aktie vars pris volatiliteten 20 

procent per år och som just nu har värdet 40 kr. Räntan antages som ovan 

vara 5 procent per år. För lösenpriset K = 45 och tidslängden = 4=12 

till slutdagen erhålls med binomialapproximationen säljoptionsvärdet 5:08 

om N = 25 och 5:09 om N = 50; 75 ; 100 och 150: För motsvarande europeiska 

säljoption är värdet 4:78. Om istället = 1=12 blir det amerikanska 

säljoptionsvärdet 5 och en närmare analys visar att det är optimalt att inlösa 

optionen. 

Korollarium 1 kan användas för vissa valutaberoende …nansiella derivat. 

Som ett exempel antar vi att dollarkusen i kr är lika med (t) vid tiden 

t och betraktar rättigheten att få köpa en dollar för K kr vid tiden T om 

innehavaren av kontraktet har lust. Vi möter alltså här ett …nansiellt derivat 

av europeisk typ med utbetalningen 

X = max(0; (T ) K) 

vid tiden T: En dollar skiljer sig mycket från en aktie. T ex är ett dollarlån ej 

gratis ens på en friktionsfri marknad och ett dollarinnehav ger tillväxt först 

om dollarn placeras i något annat såsom t ex en amerikansk bank. Trots 

detta kan det aktuella derivatet värderas med hjälp av Korollarium 1. Om 

vi antar att den amerikanska marknaden erbjuder en obligation med priset 

Ba(t) = Ba(0)e rat vid tiden t så kan vi uppfatta 

S(t) = Ba(t) (t); t 0 

som prisprocessen för ett svenskt värdepapper. Vi antar att priset beskrivs 

av en geometrisk Brownsk rörelse med drift (jag skattar volatiliteten för 

dollarkursen i kr till ungefär 10.4% per år de senaste 12 åren). Vi kan nu 

skriva 

X = Ba(T ) 1 max(0; S(T ) Ba(T )K) 

och får att optionens värde v(t) vid tiden t < T ges av 

v(t) = Ba(T ) 1 c(t; S(t); Ba(T )K); T ) = 

Ba(T ) 1 Ba(t) (t) (D1) Ba(T )Ke r 

(D2)

där = T t; 

och 

D1 = 

D2 = 

Efter någon förenkling följer att 

ln Ba(t) (t) 

Ba(T )K 

+ (r + 2 

2 ) 

p = 

ln (t) 

K + (r ra + 2 

2 ) 

p 

ln (t) 

K 

2 

+ (r ra 2 ) 

p : 

v(t) = (t)e ra (D1) Ke r 

(D2) 

119 

(se Garman och Kohlhagen [GK]). Optionen att vi få sälja en dollar för 

K kr vid tiden T kan behandlas på liknande sätt. Optionen att få köpa 

en IBM-aktie till ett föreskrivet belopp i kr ett givet framtida datum kan 

inte behandlas lika enkelt. Detta derivat beror på två bruskällor, en från 

valutakursen och en från aktien och kan behandlas med Brownsk rörelse i 

två dimensioner (se kapitel 13). 

Statistiska analyser av historiska marknadspriser för optioner faller utanför 

ramen för denna kurs. Vi vill i alla fall göra en del anmärkningar som kan 

vara av intresse i detta sammanhang. Det är välkänt att aktieavkastningar 

har fetare svansar än den geometriska Brownska rörelsemodellen medger. 

Detta innebär att Black-Scholes teori undervärderar en köpoption då aktiepriset 

är mindre än lösenpriset (”out of the money call”) och på samma 

sätt undervärderar teorin en säljoption då aktiepriset är större än lösenpriset 

(”out of the money put”). Av relationen 

c(t; S(t); K) S(t) = p(t; S(t); K) Ke r 

följer då också att teorin undervärderar en köpoption då aktiepriset är större 

än lösenpriset (”in the money call”) och teorin undervärderar en säljoption 

då aktiepriset är mindre än lösenpriset (”in the money put”). En kalkyl visar 

att 

@c 

@ 


@p 

= 

@ = s 0 (d1) p = se d2 1 =2 

r 

lim c(t; s; K) = max(0; s Ke 

!0+ r ) 

2 

> 0:

120 

och 

Om s = S(t) och 

lim 

!1 c(t; s; K) = s: 

max(0; s Ke r ) < marknadspriset vid t < s 

för t < T (vilket är högst sannolikt) så kan därför skattas så att det 

råder ett perfekt samband mellan teoretiskt optionpris och marknadens optionspris. 

Denna skattning av standardavvikelsen kallas för den implicita 

standardavvikelsen för aktiepriset. Som funktion av lösenpriset uppvisar den 

implicita standardavvikelsen ofta en konvexliknande graf med ett minimum 

nära aktiepriset (”volatility with a smile”). En del forskare inom optionsområdet 

har hävdat att avvikelserna mellan teoretiska priser och marknadspriser 

i regel är små och försumbara. Andra har uttryckt att Black-Scholes teori 

kan bilda utgångspunkt för en för…nad teori. För mer information om dessa 

påståenden, se Gemmills bok [GEM] : 

Det teoretiska optionspriset i sats 1 måste modi…eras om aktien ger utdelning 

under optionens löptid. Sats 1 kan därför inte heller användas för 

valutaoptioner. Dessa komplikationer behandlas i nästa kapitel. 

Övningar 

I nedanstående övningar i detta kapitel förutsätts Black-Scholes modell 

och de standardbeteckningar vi infört ovan. 

1. Antag tiden mäts i år och att räntan r = ln 1:05: Betrakta en aktie 

med volatiliteten = 0:27 och en europeisk köpoption i aktien med 

slutdagen 20 mars och lösenpriset 100 kr. Under perioden 20 januari- 

20 februari stiger aktiepriset från 97 kr till 112 kr. Med hur många 

procent stiger det teoretiska optionspriset under samma period? 

2. Låt ' = 0 och c = c(t; s; K; T ). Visa att 

@c 

@s = (d1) (Delta) 

@2c '(d1) 

= p (Gamma) 

@s2 s

och 

@c 

@t 

Varför gäller att 

@c 

@r 

= K e r 

s'(d1) 

r 

= p rKe 

2 

1 

2 

@c 

@ 

= s'(d1) p 

(d2) (Rho) 

(d2) (T heta) 

(V ega): 

2 S 2 Gamma + rS Delta + T heta = rc? 

121 

3. Försök generalisera resultaten i detta kapitel till det fall utbetalningsfunktionen 

f är (B]0;1[(R); B(R))-mätbar och 

sup e 

x2R 

Cjxj j f(e x ) j< 1 

för en lämplig positiv konstant C: Antag därefter att K och L är positiva 

parametrar och försök behandla följande uppgifter: 

a) (”cash or nothing call”) Ett europeiskt derivat i aktien utbetalar 

ingenting om aktiepriset understiger K slutdagen T och i annat fall 

utbetalar derivatet beloppet L denna dag. Bestäm derivatets värde vid 

tiden t: 

b) (”asset or nothing call”) Ett europeiskt derivat i aktien utbetalar 

ingenting om aktiepriset understiger K slutdagen T och i annat fall 

utbetalar derivatet beloppet S(T ) denna dag. Bestäm derivatets värde 

vid tiden t: 

4. (Speciell ”as you like it”option eller ”chooser”option) Låt t < T < 

T1 och K > 0: Ett …nansiellt derivat ger innehavaren rättigheten, men 

ej skyldigheten, att vid tiden T välja antingen en europeisk köpoption i 

aktien med slutdagen T1 och lösenpriset K eller en europeisk säljoption 

i aktien med slutdagen T1 och lösenpriset K: Bestäm derivatets värde 

vid tiden t: 

5. Visa att 

@2c @ 2 = sd1d2 

'(d1) p

122 

och dra slutsatsen att funktionen ! c(t; s; K; T ) är en konvex funktion 

i intervallet ]0; 0] och en konkav funktion i intervallet [ 0; 1[ , 

där 

r 

2 se 

0 = j ln r 

K j: 

6. Sätt g( ) = c(t; 1; 1; T ) då T = T t 0 och observera att 

c(t; s; s; T ) = sg(T t): Nedan antages att 1=T + 2r + 2 =4 r 2 = 2 : 

a) Visa att g är konkav och g(0) = 0: Dra slutsatsen att g( ) g( ); 

0 1; 0 T: Rita slutligen grafen för funktionen 

y = g( ); 0 T då T = 1; = 0:25 och r = ln 1:05: 

b) Låt t t < T . Ett derivat i aktien utbetalar max(0; S(T ) S(t )) 

vid tiden T: Visa att derivatets teoretiska värde vid tiden t är lika 

med S(t)g(T t ): 

c) (”tandem option”) Låt = T t > 0 och sätt tj = t + j 

; j = n 

0; :::; n där n 2 N+. Ett derivat utbetalar max(0; S(tj) S(tj 1)) 

vid tiden tj för j = 1; :::; n: Visa att derivatets teoretiska värde 

vid tiden t är lika med nS(t)g( =n) och dra slutsatsen att detta 

värde ej understiger c(t; S(t); S(t); T ): 

7. Visa att ett enkelt derivat av europeisk typ i aktien med utbetalningsfunktionen 

f 2 P och slutdagen T har värdet v(t; S T term(t)) vid tiden t 

där 

v(t; sterm) = e r E [f(stermM ( ))] : 

8. Ett enkelt derivat av europeisk typ med utbetalningsfunktionen f 2 P 

och slutdagen T har värdet v(t; S(t)) vid tiden t där 

v(t; s) = e r E [f(se r M ( ))] : 

Antag funktionen f endast antager positiva värden och att funktionen 

ln f(e x ) är en konvex funktion av x: Visa att optionsprisets elasticitet 

med avseende på aktiepriset är en växande funktion av aktiepriset s: 

9. En amerikansk säljoption i aktien med slutdagen T och lösenpriset K 

har det teoretiska priset P (t; S(t); K; T ) vid tiden t: Antag = 0:25; 

r = ln 1:05; t = 0; T = 1=6; och K = 45: Rita grafen för funktionen 

y = P (s) = P (t; s; K; T ); 35 s 54: Rita i samma koordinatsystem 

grafen för funktionen y = max(0; K s); 35 s 54.

123 

10. Låt P (t; S(t); K) beteckna det teoretiska värdet vid tiden t för en 

amerikansk säljoption i aktien med slutdagen T och lösenpriset K och 

låt p(t; S(t); K) beteckna det teoretiska värdet för motsvarande säljoption 

av europeisk typ. Antag 

t = t0 < ::: < tN = T 

betecknar en indelning av intervallet [t; T ] som i texten ovan så att 

tk tk 1 = =N, k = 1; :::; N: Skillnaden 

P (t; s; K) p(t; s; K) 

kan approximeras med va(t0; s) ve(t0; s) som bestäms genom följande 

algoritm: beräkna först 

de…niera 

va(tN; se (N 2j) p h ) = ve(tN; se (N 2j) p h ) = 

max(0; K se (N 2j) p h ); j = 0; 1; :::; N; 

p = erh e p h 

e p h e p h 

och q = 1 p och beräkna därefter successivt för tidpunkterna tn; n = 

N 1; N 2; ::::; 2; 1; 0; optionspriserna 

va(tn; se (n 2j) p h ) = 

max(K se (n 2j) p h ; e rh (pva(tn+1; se (n+1 2j) p h )+qva(tn+1; se (n 1 2j) p h )) 

och 

ve(tn; se (n 2j) p h ) = 

e rh (pve(tn+1; se (n+1 2j) p h ) + qve(tn+1; se (n 1 2j) p h )) 

för j = 0; 1; :::; n: 

a) Hur stort behöver N vara för att ge ett approximativt bra värde 

på P (t; s; K) p(t; s; K) med denna algoritm? 

b) Hur stort behöver N vara för att ge ett approximativt bra värde 

på P (t; s; K) med binomialapproximationen? 

Experimentera med datorn! Studera också gärna artikeln [HW ] :

8. Utdelningsprocesser 

125 

Antag att en aktie med priset S(t) vid tiden t utdelar beloppet D > 0 vid 

tiden t : Vi har konventionen att S(t ) betecknar aktiekursen vid tiden t 

efter utdelning. Det är då naturligt att antaga att 

S(t ) S(t ) = D 

vilket i så fall innebär att trajektorian S(t); t 0; är diskontinuerlig i punkten 

t . Aktiepriset kan därför inte längre beskrivas av en geometrisk Brownsk 

rörelse och den modell för optionsvärdering som vi behandlat i föregående 

kapitel måste förkastas. Det är för övrigt inte självklart att ett aktiepris gör 

ett språng av exakt samma storlek som utdelningen då utdelningen avskiljs 

aktien (se Heath och Jarrow [HJ]) men vi kommer nedan genomgående att 

förutsätta detta. 

Det …nns många typer av utdelning. En aktie kan t ex utdela ett …xt 

belopp eller andra värdepapper. I samband med en aktieoption behöver 

utdelningarna i den underliggande aktien under optionens resterande livstid 

inte heller vara kända och kan då uppfattas som stokastiska storheter. Syftet 

med detta avsnitt är endast att uppmärksamma fenomenet utdelning och vi 

går inte särskilt grundligt fram. I intervallet [t ; T ] förutsätts att aktiepriset 

beskrivs av en geometrisk Brownsk rörelse med volatiliteten : Vi betecknar 

dagens datum med t och antar t < t : Vi försöker därefter …nna en portfölj 

A sådan att processen 

S ( ) = VA( ); t < t 

S( ); t T 

kan beskrivas av en geometrisk Brownsk rörelse med volatiliteten : Observera 

speciellt att 

VA(t ) = S(t ): 

Genom att sälja portföljen A omedelbart före tiden t och sedan köpa en 

aktie då utdelningen frånskilts så kan vi uppfatta processen (S ( )) t T 

som prisprocessen för ett värdepapper. Antag nu att ett derivat av europeisk 

typ utbetalar beloppet f(S(T )) vid tiden T , där f 2 P: Eftersom f(S(T )) = 

f(S (T )) så är det naturligt att de…niera derivatets teoretiska värde vid tiden 

t som 

E [f(s e r M ( ))]

126 

där = T t och 

s = S (t) = VA(t): 

Den enklaste typen av utdelning är procentuell utdelning och vi startar 

med detta fall. Antag därför att aktien utdelar beloppet 

D = S(t ) 

vid tiden t där är ett i förväg känt tal i intervallet ]0; 1[ : För att bestämma 

portföljen A antas att aktiepriset beskrivs av en geometrisk Brownsk rörelse 

med volatiliteten före utdelningen. Det räcker därför att välja A som en 

portfölj bestående av (1 ) aktier. Derivatets teoretiska värde vid tiden t 

blir lika med v(t; S(t)) där 

Härav följer följande sats. 

v(t; s) = e r E [f((1 )se r M ( ))] ; t < t : 

Sats 1. Antag n 2 ]0; 1[ ; n = 0; 1; :::; N; är givna tal. En aktie utdelar 

nS(tn) vid tiden tn; där n = 0; 1; :::; N; och t0 < t1 < ::: < tN < T: Före 

första utdelningen, mellan påföljande utdelningar och efter sista utdelningen 

antages aktiepriset beskriva en geometrisk Brownsk rörelse med exponentiell 

drift där volatiliteten i varje tidsinterval är lika med : 

Ett enkelt europeiskt derivat i aktien med utbetalningsfunktionen f 2 P 

och slutdagen T har värdet v(t; S(t)) vid tiden t < t0 där 

v(t; s) = e r " ( 

NY 

E f( (1 

) 

n) se r # 

M ( )) : 

n=0 

I nästa steg behandlar vi kontinuerlig utdelning. Antag > 0 är ett givet 

tal och att en aktie utdelar beloppet S(t)dt i intervallet [t; t + dt[ för varje t: 

Aktiepriset antages beskriva en geometrisk Brownsk rörelse med exponentiell 

drift där volatiliteten är lika med . Betrakta nu ett enkelt europeiskt derivat 

med utbetalningsfunktionen f 2 P och slutdagen T: Beroende på sats 1 

de…nieras det teoretiska värdet v(t; S(t)) vid tiden t < T; av ekvationen 

v(t; s) = e r E f(se (r ) M ( ))

127 

(jmfr valutaoptioner). 

Ett aktiebolag utdelar ofta ett i förväg bestämt belopp D per aktie vid 

en given tidpunkt. Samtidigt är sannolikheten positiv för att en geometrisk 

Brownsk rörelse vid en föreskriven tidpunkt är strikt mindre än D. Denna 

svårighet kan hanteras på följande sätt. Antag utdelningen frånskiljs aktien 

vid tiden t . Det är då vanligt att antaga att 

S( ) = De r( t ) 1[t;t [( ) + ~ S( ); t T 

där ~ S( ); t T; betecknar en geometrisk Brownsk rörelse med volatiliteten 

: Vid tidpunkten kallas ~ S( ) för den volatila delen av aktiepriset och 

De r( t ) 1[t;t [( ) för nuvärdet av utdelningen. Portföljen A består i detta 

fall av en aktie och 

D 

B(t ) 

obligationer. Således är 

s = S(t) De r(t t ) : 

Vi får också att ~ S( ) = S ( ); t T: Ett europeiskt derivat med 

utbetalningsfunktionen f 2 P får således det teoretiska priset v(t; S(t)) vid 

tiden t där 

v(t; s) = e r E f((s De r(t t ) )e r M ( )) : 

Om vi vill utnyttja binomialapproximation för att …nna ett approximativt 

optionspris vid tiden t de…nieras h = =N, 

och 

tn = t + nh; n = 0; 1; :::; N 

v N j = f(s e (N 2j) p h ); j = 0; 1; :::; N : 

Därefter beräknas successivt för tidpunkterna tn; n = N 1; N 2; ::::; 2; 1; 0; 

motsvarande optionspriser 

för j = 0; 1; :::; n, där 

v n j = e rh (quv n+1 

j 

n+1 

+ qdvj+1 ) 

qu = 1 qd = erh e p h 

e p h e p h :

128 

Storheten v 0 0 approximerar det sökta optionsvärdet. 

Vid motsvarande amerikanska kontrakt är det lämpligt att sätta upp ett 

träd för den volatila delen av aktiepriset och därefter till detta addera nuvärdet 

av den framtida utdelningen (se t ex [H]). Vi de…nierar 

f n j = 

( 

f(s e (n 2j) p h + De r(tn t ) ) om tn < t 

f(s e (n 2j) p h ) om tn t 

för j = 0; 1; :::; n: Låt vidare v N j = f(s e (N 2j) p h ); j = 0; 1; :::; N : Därefter 

beräknas successivt för tidpunkterna tn; n = N 1; N 2; ::::; 2; 1; 0; motsvarande 

optionspriser 

v n j = max(f n j ; e rh (pv n+1 

j 

+ qvn+1 j+1 )) 

för j = 0; 1; :::; n: Storheten v 0 0 approximerar det sökta optionsvärdet. 

Vi avslutar detta kapitel med några resultat av allmänt intresse i samband 

med utdelningar och amerikanska kontrakt. Framställningen förutsätter 

dominansprincipen och i övrigt dynamiska förutsättningar som ovan. 

Först utreds varför det inte kan vara optimalt att inlösa en amerikansk 

köpoption i intervallet [t; t1], där t1 < t är en i förväg given tidpunkt. 

Olikheten 

C(t1; S(t1); K; T ) S(t1) K 

dvs 

ger nämligen att 

C(t1; S(t1); K; T ) S(t1) 

C(t; S(t); K; T ) S(t) 

K 

B(t1) B(t1) 

K 

B(t) > S(t) K: 

B(t1) 

Förekomst av utdelning innebär dock att det kan vara optimalt att inlösa 

en amerikansk köpoption med lösenpriset K precis före utdelningen D 

frånskiljs. Vid tiden t , då utdelningen D avskilts, är 

C(t ; S(t ); K; T ) = c(t ; S(t ); K; T ): 

Om optionen inlöses vid tiden t erhålls beloppet 

S(t ) K:


C(t ; S(t ); K; T ) = max(S(t ) K; c(t ; S(t ); K; T )): 

Genom att utnyttja relationen 

erhålls 

S(t ) = S(t ) + D 

C(t ; S(t ); K; T ) = max(S(t ) (K D); c(t ; S(t ); K; T )): 

Eftersom 

@c 

@s = (d1) < 1 

följer att det …nns högst ett positivt tal sC sådant att 

och 

Råkar 

S(t ) (K D) > c(t ; S(t ); K; T )) om S(t ) > sC 

S(t ) (K D) < c(t ; S(t ); K; T )) om S(t ) < sC: 

S(t ) > sC + D 

129 

är det därför optimalt att inlösa den amerikanska köpoptionen vid tiden t 

Om 

: 

D K(1 e r 

) 

där = T t ; så är det inte optimalt med inlösen vid tiden t hur stort 

S(t ) än är. I detta fall är nämligen 

och 

S(t ) (K D) S(t ) Ke r 

c(t ; S(t ); K; T )) = e r E [max(0; se r M ( ) K)] js=S(t ) = 

E max(0; sM ( ) e r K) js=S(t ) > E sM ( ) e r K) js=S(t ) = 

varför 

S(t ) Ke r 

S(t ) (K D) < c(t ; S(t ); K; T )):

130 

Vi har här utnyttjat att E [X] > 0 för varje stokastisk variabel X som uppfyller 

X 0 och ej är lika med noll med sannolikheten 1. 

Vi har redan i kapitel 1 påpekat att det kan vara optimalt att inlösa en 

amerikansk säljoption före slutdagen. Betrakta nu en amerikansk säljoption 

med slutdagen T som utdelar beloppet D vid tiden t < T: Vi skall visa att 

det ej är optimalt att inlösa denna option i intervallet ]t0; t [ där t0 väljs så 

att 

r(t t0) 

D = K(e 

Det räcker därför att för ett godtyckligt t 2 ]t0; t [ visa att P (t; S(t); K; T ) > 

K S(t): Antag därför att P (t; S(t); K; T ) = K S(t) och bilda vid tiden 

t en portfölj A bestående av 1 säljoption av det aktuella slaget, 1 aktie och 

K=B(t) obligationer. Det gäller att 

1): 

VA(t) = (K S(t)) + S(t) K = 0: 

Genom att inlösa optionen omdelbart efter utdelningen frånskilts aktien följer 

att 

VA(t ) = D + K 

K 

B(t ) = 

B(t) 

D + K(1 e r(t t) ) > D + K(1 e r(t t0) ) = 0 

och det uppstår ett arbitrage. Alltså är P (t; S(t); K; T ) > K S(t) och det 

är därmed ej optimalt att inlösa säljoptionen i tidsintervallet ]t0; t [ : 

Om aktien utdelar kända belopp vid ‡era framtida tillfällen före ett 

derivats slutdag justerar man framställningen ovan så att man tar hänsyn 

till samtliga utdelningar. 

Övningar 

1. Låt t < t < T och antag att aktien utdelar beloppet S(t ) vid tiden 

t där är ett i förväg känt tal i intervallet ]0; 1[ : Bestäm värdet vid 

tiden t för ett derivat i aktien som utbetalar S(T ) vid tiden T: 

2. Låt t < t < T och antag att aktien utdelar S(t ) vid tiden t där 

är ett i förväg känt tal i intervallet ]0; 1[ : Visa att 

S T term(t) = (1 )e r S(t):

131 

3. Antag n 2 ]0; 1[ ,n = 0; 1; :::; N: En aktie utdelar nS(tn) vid tiden 

tn; där n = 0; 1; :::; N; och t0 < t1 < ::: < tN < T: Före första utdelningen, 

mellan påföljande utdelningar och efter sista utdelningen 

antages aktiepriset beskriva en geometrisk Brownsk rörelse med exponentiell 

drift där volatiliteten i varje period är lika med : Visa att ett 

enkelt europeiskt derivat i aktien med utbetalningsfunktionen f 2 P 

och slutdagen T har värdet v(t; S T term(t)) vid tiden t t0 där 

v(t; sterm) = e r E [f(stermM ( ))] : 

4. En viss konvertibel kan bytas mot en aktie vid varje tidpunkt t 2 [0; T [ : 

Om byte till aktie ej skett vid tidpunkten T inlöses konvertibeln mot 

att innehavaren erhåller beloppet K: Beskriv under lämpliga dynamiska 

antaganden rörande aktiepriset hur konvertibelns värde tiden vid tiden 

t < T kan bestämmas då aktien ger utdelningen D vid tiden t 2 ]t; T [.

9. Paley-Wiener-Zygmunds stokastiska integral 

133 

Vi skall nu behandla en typ av stokastiska integraler som diskuterades av 

Paley, Wiener och Zygmund redan år 1933 [P W Z]. Detta integralbegrepp 

leder oss naturligt in på Doobs maximalsats som är av oberoende intresse. 

Samtidigt skapar vi goda förutsättningar att kunna utveckla Itôs stokastiska 

integralbegrepp i senare kapitel. 

Låt (W (t))t 0 vara en normaliserad reellvärd Wienerprocess med kontinuerliga 

samplefunktioner och låt T0; T vara reella tal sådana att 0 T0 < T . 

Antag först f = 1I där I är ett delintervall av intervallet [T0; T ] med vänsterändpunkten 

a och högerändpunkten b. Vi de…nierar 

Z T 

T0 

Z 

f(t)dW (t) = 

I 

1dW (t) = 

Z b 

a 

1dW (t) = W (b) W (a): 

Notera att denna integral har en Gaussisk fördelning med väntevärdet noll 

och variansen b a: Om 

f(t) = 

nX 

k=1 

ck1Ik (t) 

där c1; :::; cn 2 R och intervallen I1; :::In [T0; T ] är parvis disjunkta (en 

sådan funktion kallas en speciellt enkel funktion) de…nieras 

Z T 

T0 

Notera att 

" Z T 

E f(t)dW (t) 

T0 

f(t)dW (t) = 

2 # 

= 

nX 

k=1 

c 2 k 

nX 

k=1 

ck 

Z 

Ik 

1dW (t): 

(langden for Ik) = 

Z T 

T0 

f 2 (t)dt: 

Antag nu att f 2 L 2 (m[T0;T ]) där m[T0;T ] betecknar Lebesguemåttet i 

[T0; T ]. Vi skall i nästa steg de…niera 

Z T 

T0 

f(t)dW (t)

134 

som en stokastisk variabel. Låt därför fk 2 L 2 (m[T0;T ]); k 2 N; vara speciellt 

enkla funktioner sådana att 

lim 

k!1 fk = f 

i L2 (m[T0;T ]): Relationen 

" Z T 

E fk(t)dW (t) 

T0 

Z T 

T0 

fm(t)dW (t) 

" Z T 

E (fk(t)dW (t) fm(t))dW (t) 

T0 

Z T 

T0 

(fk(t) f m(t)) 2 dt; k; m 2 N 

visar att sekvensen Z T 

fk(t)dW (t); k 2 N 

T0 

är en Cauchyföljd i L 2 (P ); som således är konvergent. Man visar lätt att 

gränsvärdet är oberoende av val av följd av speciellt enkla funktioner som 

konvergerar mot f och vi betecknar gränsvärdet med 

Z T 

T0 

f(t)dW (t): 

Det följer också att denna stokastiska integral har en Gaussisk fördelning 

med väntevärdet noll och variansen 

Z T 

Gränsvärdet uppfyller alltså relationen 

" Z T 

E f(t)dW (t) 

T0 

T0 

f 2 (t)dt: 

2 # 

Om f; g 2 L2 (m[T0;T ]) så följer också att 

" Z T 

2 

E (f(t) + g(t))dW (t) 

# 

= 

T0 

= 

Z T 

T0 

Z T 

T0 

2 # 

2 # 

f 2 (t)dt: 

= 

= 

(f(t) + g(t)) 2 dt

dvs 

" Z T 

E f(t)dW (t) + 

T0 

T0 

Z T 

Här är vänstra ledet lika med 

" Z T 

2 

E f(t)dW (t) 

# 

+ 2E 

och högra ledet lika med 

Z T 

T0 


E 

Z T 

T0 

T0 

g(t)dW (t) 

Z T 

T0 

2 # 

" Z T 

E g(t)dW (t) 

f 2 (t)dt + 2 

f(t)dW (t) 

T0 

Z T 

Z T 

T0 

T0 

= 

Z T 

T0 

Z T 

f(t)dW (t) 

f(t)g(t)dt + 

g(t)dW (t) = 

2 # 

Z T 

T0 

Z T 

T0 

(f(t) + g(t)) 2 dt: 

T0 

g 2 (t)dt 

g(t)dW (t) + 

f(t)g(t)dt: 

135 

Om f 2 L2 (m[T0;T ]) och T0 

integral att 

T1 T så ger de…nitionen av stokastisk 

Z T 

T0 

f(t)dW (t) = 

Z T1 

T0 

f(t)dW (t) + 

Z T 

T1 

f(t)dW (t): 

Vi kan nu lätt generera nya Wienermartingaler med vårt nya stokastiska 

integralbegrepp. För enkelhets skull antages att T0 = 0 och vi de…nierar 

Ft = (W ( ); t) 

för varje t 2 [0; T ]. Om f 2 L 2 (m[0;T ]) gäller 

E 

Z T 

0 

f( )dW ( ) j Ft = 

Z t 

0 

f( )dW ( ): 

Denna relation är självklar om f är indikatorfunktionen för ett intervall och 

följer därför genom superposition för speciellt enkla funktioner f. Allmänna 

fallet är nu en direkt följd av de…nitionen av stokastisk integral. Processen 

( 

Z t 

f( )dW ( ))0 t T 

0

136 

är alltså en Wienermartingal i intervallet [0; T ] : Vi antar återigen att f 2 

L 2 (m[0;T ]) och de…nierar 

Mf(t) = e R t 

0 f( )dW ( ) 

R 1 t 

2 0 f 2 ( )d 

; 0 t T: 

(Detta beteckningssätt är konsistent med tidigare beteckningssätt om f är 

en konstant positiv funktion.) Om 0 t0 t så gäller 

där 

R t 

t f( )dW ( ) 

Mf(t) = Mf(t0)e 0 

1 

X 

Mf(t0)e 2 E[X2 ] 

X = 

Z t 

t0 

f( )dW ( ) 

R 1 t 

2 t f 

0 2 ( )d 

= 

är en centrerad Gaussisk stokastisk variabel sådan att (X) och Ft0 är 

stokastiskt oberoende. Alltså är 

E [Mf(t) j Ft0] = Mf(t0): 

Processen (Mf(t)) 0 t T är således en Wienermartingal i intervallet [0; T ] : 

Vårt närmaste mål är att visa att varje martingal 

( 

Z t 

f( )dW ( ))0 t T 

0 

har en version med kontinuerliga trajektorier. För att utreda denna punkt 

går vi först fram ganska allmänt. 

Antag E är ett Banachrum med ändlig dimension eller Banachrummet 

C([0; T ]). Normen i E betecknas med k : k. En sekvens (Xn)n2N av 

stokastiska variabler med värden i E sägs konvergera i sannolikhet om det 

…nns en E-värd stokastisk variabeln X så att 

dvs 

lim 

n!1 P [k Xn X k "] = 0; " > 0 

lim 

n!1 E 

(ekvivalensen följer av olikheterna 

" 

P [k Y k "] E 

1 + " 

k Xn X k 

1+ k Xn X k 

k Y k 

1+ k Y k 

= 0 

" 

+ P [k Y k "] ; " > 0 

1 + "

137 

genom att sätta Y = Xn X): Vi skriver detta Xn ! X i L 0 (P ) då n ! 1: 

Konvergens i sannolikhet och konvergens i L 0 (P ) är alltså likvärda begrepp. 

Sats 1. Antag (Xn)n2N är en sekvens E-värda stokastiska variabler sådana 

att 

lim 

m;n!1 P [k Xm Xn k "] = 0; " > 0: 

Då …nns en E-värd stokastisk variabel X sådan att 

då n ! 1: 

Xn ! X i L 0 (P ) 

Bevis. Vi väljer först en strängt växande sekvens icke-negativa heltal (nk)k2N 

sådan att 

P k Xnk Xnk+1 k 2 k < 2 k ; k 2 N. 

Serien 

1X 

k=0 

1 fkXnk Xn k+1 k 2 k g 

har icke-negativa element och dess summa har ändlig förväntan. Seriens 

summa är därför ändlig n.s. Härav följer att serien 

Xn0 + 

1X 

k=0 

(Xnk+1 

Xnk ) 

är absolutkonvergent n.s. och därmed konvergent n.s. eftersom E är ett 

Banachrum. Låt X beteckna seriens summa. Det är enkelt att visa att X 

är en stokastisk variabel om E har ändlig dimension. Det följer vidare från 

diskutionen i början av nästa kapitel att X är mätbar om E är lika med 

Banachrummet C([0; T ]): Om " > 0 gäller att 

P [k Xm X k "] P [k Xm Xnk k "=2] + P [k Xnk X k "=2] 

och vi kan nu dra slutsatsen att Xm ! X i L 0 (P ) då m ! 1:

138 

Sats 1. (Doobs maximalsats) Antag (Xk; Fk)1 k n är en martingal med 

egenskapen att varje Xk 2 L p (P ) för ett …xt p 1. Då gäller att 

P max 

1 k n j Xk j " 

1 

" p E [j Xn j p ] ; " > 0: 

Bevis. Låt 1 k n och sätt 

\ 

! 

Ak = [j Xj j< "] \ [j Xk j "] : 

Notera att 

och att 

j

som har kontinuerliga trajektorier n.s. 

139 

Bevis. Vi börjar med att välja en följd speciellt enkla funktioner fn 2 

L 2 (m[0;T ]); n 2 N, som konvergerar mot f i L 2 (m[0;T ]): Det gäller att 

Z t 

0 

fn( )dW ( ) ! 

Z t 

0 

f( )dW ( ) i L 2 (P ) 

då n ! 1 för varje …xt t. För godtyckliga m; n 2 N gäller också att 

Wienermartingalen 

Xm(t) Xn(t) = 

Z t 

0 

(fm( ) fn( ))dW ( ); t 2 [0; T ] 

har kontinuerliga trajektorier. Om U betecknar en godtycklig ändlig delmängd 

av [0; T ] så ger Doobs maximalsats att 

varför 

P max 

t2U j Xm(t) Xn(t) j " 

P [k Xm Xn k1 "] 

1 

" 2 

1 

" 2 

Z T 

0 

Z T 

0 

(fm( ) fn( )) 2 d 

(fm( ) fn( )) 2 d : 

där k : k1 betecknar max-normen i C([0; T ]). Sekvensen (Xn)n2N konvergerar 

därför i sannolikhet mot en stokastisk variabel X med värden i Banachrummet 

C([0; T ]): För varje …xt t gäller också att 

och satsen är bevisad. 

Övningar 

X(t) = 

Z t 

0 

f( )dW ( ) n.s 

1. Anag X och Xn; n 2 N; är reellvärda stokastiska variabler sådana att 

Xn ! X n.s då n ! 1: Visa att Xn ! X i sannolikhet då n ! 1:

140 

2. Visa att konvergens i L 2 (P ) medför konvergens i L 0 (P ): 

3. Antag att (Gn)n2N är en i.i.d. där G0 2 N(0; 1). Låt (an)n2N vara en 

följd reella tal. Visa att serien 

1X 

n=0 

konvergerar n.s. om och endast om 

4. Visa att 

P max 

0 t ( 

Dra härav slutsatsen att 

2 

1X 

n=0 

anGn 

a 2 n < 1: 

+ W ( )) a e 

a ; a; > 0: 

a2 

P max W ( ) a e 2t ; a > 0: 

0 t 

Försök visa samma olikhet med hjälp av Bacheliers sats från kapitel 5. 

5. Antag f : [0; T ] ! R är kontinuerligt deriverbar. Visa att 

Z T 

0 

f(t)dW (t) = f(T )W (T ) 

Z T 

0 

f 0 (t)W (t)dt:

10. Translation av Wienermått och prissättning av derivat 

141 

Fixera T > 0 och låt C([0; T ]) beteckna Banachrummet av alla reellvärda 

kontinuerliga funktioner de…nierade i intervallet [0; T ] : Den underliggande 

normen ges av max-normen 

k x k1= max j x(t) j : 

0 t 1 

Vi visar först i detta kapitel hur reellvärda stokastiska processer (X(t))t2[0;T ] 

med kontinuerliga samplefunktioner kan representeras som Borelsannolikhetsmått 

i C([0; T ]). Detta leder oss till det så kallade Wienermåttet. Vi diskuterar 

också hur så kallade betingade kontrakt kan prissättas med hjälp av en 

lämplig translation av detta mått. 

Banachrummet C([0; T ]) är separabelt. Borel- -algebran B(C([0; T ])) är 

den minsta -algebra av delmängder av C([0; T ]); som innehåller alla öppna 

mängder. För enkelhets skull skriver vi C = C([0; T ]) och B = B(C([0; T ])): 

För varje …xt t 2 [0; T ] de…nieras en avbildning t : C ! R genom att 

t(x) = x(t) och vi låter S = ( t; t 2 [0; T ]) dvs S är den minsta -algebra 

av delmängder av C som gör alla avbildningarna t; t 2 [0; T ] ; mätbara. S 

kallas för den svaga -algebran av delmängder av C: Det är uppenbart att S 

B eftersom varje avbildning t är kontinuerlig. Det är också ganska lätt 

att visa den omvända mängdinklusionen nämligen att B S. För att se 

detta skriver vi först för godtyckligt a 2 C 

k x a k1= sup 

t2[0;T ]\Q 

j t(x) t(a) j : 

Denna relation medför att de öppna bollarna B(a; r); r > 0; tillhör S. Låt 

nu mängden fan; n 2 Ng vara en tät delmängd av C: Om U är en godtycklig 

öppen delmängd av C gäller att 

U = [ [B(an; r); B(an; r) U och 0 < r 2 Q] : 

Detta innebär att mängden U är en högst uppräknelig union av element i S 

varför U 2 S . Alltså måste B S och det följer att B = S: 

Antag ( ; F; P ) är ett sannolikhetsrum och (X(t))t2[0;T ] en reellvärd stokastisk 

process som har kontinuerliga trajektorier n.s. Vi påminner om beteckningssättet 

X(t) = Xt. Det är i det fortsatta resonemanget ingen begränsning 

att utgå från att alla trajektorier 

X(!) : t ! Xt(!)

142 

är kontinuerliga och vi antar därför detta i det följande (i annat fall kan vi 

göra mindre och därefter justera F och P på lämpligt sätt). Detta ger oss 

en avbildning 

X : ! C: 

Denna avbildning är mätbar sedd som en avbildning från ( ; F) in i (C; S): 

Om t1; :::tn 2 [0; T ] och A1; :::; An 2 B(R) gäller nämligen att 

f!; Xt1(!) 2 A1; :::; Xtn(!) 2 Ang 2 F: 

Avbildningen X är därför mätbar sedd som en avbildning från ( ; F) in 

i (C; B) eftersom B = S: Den stokastiska processen (X(t))t2[0;T ] ger oss 

således ett Borelmått i Banachrummet C genom fördelningsmåttet X för 

den stokastiska variabeln X. Om X är en normaliserad reellvärd Wienerprocess 

i tidsintervallet [0; T ] kallas motsvarande Borelsannolikhetsmått för 

Wienermåttet i C och betecknas i detta kapitel med . Sannolikhetsrummet 

(C; B; ) kallas för Wienerrummet och är av fundamental betydelse inom 

stokastisk analys. Istället för enbart Wienerrummet säger vi ibland för tydlighets 

skull Wienerrummet svarande mot endimensionell Brownsk rörelse 

i tidsintervallet från 0 till T . Begreppet abstrakt Wienerrum är något helt 

annat och berör ej direkt denna kurs (se t ex [NUA]). Vi de…nierar 

Wt(x) = x(t); x 2 C; 0 t T 

och får att processen (Wt)0 t T är en normaliserad reellvärd Wienerprocess 

relativt Wienerrummet (C; B; ). 

En avbildning : C ! R av formen 

nX 

(x) = ckx(tk) 

k=1 

där t1; :::; tn 2 [0; T ] och c1; :::; cn 2 R kallas för en svagt kontinuerlig linjärform 

på C: Klassen av alla sådana linjärformer betecknas med C0 . Om är 

ett Borelsannolikhetsmått på C så de…nieras Fouriertransformen ^ : C0 ! C 

genom att 

Z 

^( ) = e i (x) d (x): 

Skrivs (x) = Pn k=1 ckx(tk) följer därför att 

Z 

^( ) = 

C 

Rn e i(c1y1+:::+cnyn) 

d t1:::tn (y1; :::yn)

143 

där t1:::tn är fördelningsmåttet för den stokastiska variabeln x ! (x(t1); :::x(tn)) 

de…nierad på sannolikhetsrummet (C; B; ): Om två Borelsannolikhetsmått 

och i C har samma Fouriertransform så gäller därför att 

t1:::tn = t1:::tn 

för alla t1; :::; tn 2 [0; T ] och alla n 2 N+ beroende på entydighetssatsen 

för Fouriertransformen i R n : Eftersom S = B så följer sedan från entydighetssatser 

från allmän måtteori att = : Den intresserade läsaren hänvisas 

till speciallitteraturen. 

Om a 2 C de…nierar avbildningen x ! a + x en mätbar funktion från 

(C; B) in i (C; B): Fördelningsmåttet för denna stokastiska variabel de…nierad 

på sannolikhetsrummet (C; B; ) betecknas med a: Alltså gäller att 

a(A) = (A a); A 2 B: 

Om f är en begränsad och kontinuerlig funktion de…nierad på C så gäller 

därför att Z 

Z 

f(x)d a(x) = f(x + a)d (x) 

och Z 

Vi de…nierar nu 

och får att Z 

C 

C 

C 

Z 

f(x a)d a(x) = 

C 

f(x)d (x) 

W a 

t (x) = Wt(x) a(t); 0 t T; x 2 C 

C 

f(W a Z 

(x))d a(x) = 

C 

f(W (x))d (x): 

Processen (W a 

t )0 t T är därför en normaliserad reellvärd Wienerprocess i 

tidsintervallet från 0 till T relativt sannolikhetsrummet (C; B; a): 

Vi påminner om att måtten och a sägs vara ekvivalenta om 

och 

(A) = 0 ) a(A) = 0 

a(A) = 0 ) (A) = 0 

för A 2 B: Notera att den första implikationen medför den andra och tvärtom 

eftersom (A) = ( A) om A 2 B. Vårt närmaste mål är att ge ett

144 

tillräckligt villkor på a som garanterar att måtten och och a är ekvivalenta. 

Detta villkor är också nödvändigt men vi bevisar inte denna punkt. 

Låt nu f 2 L 2 (m[0;T ]) och betrakta den stokastiska integralen 

Z T 

0 

f(t)dWt: 

Med vår representation av den ingående Wienerprocessen är det naturligt att 

även tillåta skrivsättet Z T 

f(t)dx(t) 

för denna integral. 

0 

Sats 1. (Cameron-Martins sats) Antag h 2 L2 (m[0;T ]) och sätt a(t) = 

h( )d ; t 2 [0; T ] : Det gäller att 

R t 

0 

dvs 

d a(x) = e R T 

0 h(t)dx(t) 

a = Mh(T ) 

R 1 T 

2 0 h2 (t)dt 

d (x) 

Man kan omvänt visa att om a 2 C och måtten och a är ekvivalenta 

så existerar h 2 L2 ( ) så att a(t) = R t 

h( )d ; t 2 [0; T ] (se t ex [LIF ]). 

0 

Bevis. Innebörden av sats 1 är att 

Z 

a(A) = e R T 

0 h(t)dx(t) 

R 1 T 

2 0 h2 (t)dt 

d (x); A 2 B: 

A 

Vi beräknar därför Fouriertransformen av måtten i vänster och höger led och 

visar att dessa är lika. Låt 2 C 0 ha formen 

(x) = 

nX 

ckx(tk) 

där 0 t1 ::: tn. Efter omskrivning kan linjärformen skrivas 

(x) = b0x(t0) + 

k=1 

nX 

bk(x(tk) x(tk 1)) 

k=1

där t0 = 0: Denna representation ger 

Z 

e i (x) Z 

d a(x) = 

Z 

i (a) 

e e 

C 

i (x) i (a) 

d (x) = e 

C 

Z 

C 

e 

C 

i (x+a) d (x) = 

e i(b0x(t0)+ P n 

k=1 bk(x(tk) x(tk 1))) d (x): 

Eftersom (fx 2 C; x(0) = 0g) = 1 blir högra ledet lika med 

Z 

i (a) 

e 

C 

e i Pn k=1 bk(x(tk) 

1 Pn x(tk 1)) i (a) 

d (x) = e e 2 k=1 b2 k (tk tk 1) 

: 

Vi har alltså visat att 

Z 

e i (x) d a(x) = e i (a) e 1 Pn 2 k=1 b2 k (tk tk 1) 

: 

C 

Vi skall nu visa att högra ledet här också är lika med 

Z 

e i (x) e R T 

0 h(t)dx(t) 

R 1 T 

2 0 h2 (t)dt 

d (x): 

Notera först att denna integral är lika med 

Z 

Z 

C 

C 

C 

e i P n 

k=1 bk(x(tk) x(tk 1)) e R T 

0 h(t)dx(t) 

R 1 T 

2 0 h2 (t)dt 

d (x) = 

Pn k=1 e 

(ibk(x(tk) x(tk 1))+ R tk R 

t h(t)dx(t)) 1 T 

k 1 d (x)e 2 0 h2 (t)dt 

: 

145 

Om integration med avseende på Wienermåttet betecknas med E blir högra 

ledet lika med 

1 

2 

e 

E Pn k=1 (ibk(x(tk) x(tk 1))+ R tk t h(t)dx(t)) 

k 1 2 

1 

2 

e 

E Pn k=1 (ibk(x(tk) x(tk 1))+ R tk t h(t)dx(t)) 

k 1 2 

e 1 

2 

e 1 Pn 2 k=1 ( b2 k (tk 

R tk 

tk 1)+2ibk t h(t)dt) 

k 1 = 

e 1 R T 

2 0 h2 (t)dt 

= 

e 1 R T 

2 0 h2 (t)dt 

= 

P n 

k=1 b2 k (tk tk 1) e i P n 

k=1 bk(a(tk) a(tk 1)) = 

e i (a) e 1 Pn 2 k=1 b2 k (tk tk 1) 

:

146 


Antag nu att vi har en enkelt derivat av europeisk typ med utbetalningsfunktionen 

f och slutdagen T . Vi antager att f 2 P: Den underliggande 

aktien har priset S(t) vid tiden t och som vanligt arbetar vi i den geometriska 

Brownska rörelsemodellen. Alltså gäller att 

S(t) = S(0)e 

t+ W (t) 

där processen (W (t)) är en normaliserad Wienerprocess. Om vi de…nierar 

är 

= 

S(t) = S(0)e ( 

och om vi förutsätter S(0) vara känd blir 

2 =2 

2 =2)t+ W (t) 

E [S(t)] = S(0)e t : 

Det förutsätts som vanligt i det följande att kapitalmarknaden erbjuder en 

obligation vars pris B(t) = B(0)e rt vid tiden t: Det teoretiska priset v(t; S(t)) 

för derivatet ovan vid tiden t är därför lika med 

där 

v(t; s) = e r E [f(se r M ( ))] 

M ( ) = e 

2 

2 + W ( ) : 

I fortsättningen av detta kapitel antar vi att det bakomliggande sannolikhetsrummet 

( ; F; P ) är lika med Wienerrummet (C; B; ) och att W (t) = Wt, 

0 t T . Vi föredrar ofta att skriva Wt istället för W (t), särskilt i vissa 

komplicerade formler. 

Optionsvärdet v(t; S(t)) är ej i allmänhet lika med 

e r E [f(S(T )) j Ft] = e r E [f(se M ( ))] js=S(t) 

där Ft = (S( ); t) = (W ; t): En snarlik formel visar sig dock 

vara sann. Genom att de…niera ett lämpligt sannolikhetsmått Q, som är

147 

ekvivalent med sannolikhetsmåttet P; och låta E Q beteckna förväntan med 

avseende på måttet Q så gäller dock sambandet 

v(t; S(t)) = e r E Q [f(S(T )) j Ft] : 

Innebörden av denna formel är att funktionen i vänster led är lika med 

funktionen i höger led n.s. [Q] : Observera här att P = Q för en lämlig 

strikt positiv densitet varför måtten P och Q har ger nollmängder dvs 

NP (B) = NQ(B): 

Vi de…nierar nu Q = a där a(t) = r 

t; 0 t T: För att betona T - 

beroendet i Q skriver vi ibland Q = QT : Enligt Cameron-Martins sats gäller 

att 

och alltså 

Vidare är processen 

Q = e r WT 

1 r 

( 2 

P = e r WT + 1 r 

( 2 

) 2 T P 

) 2 T Q: 

W a (t) = W a 

t = Wt a(t); 0 t T 

enligt utredning ovan en normaliserad reellvärd Wienerprocess i tidsintervallet 

[0; T ] relativt sannolikhetsrummet ( ; F; Q): Observera att Ft = (W a ; 

t): Härav erhålls 

Sats 2 (Beräkningsformel för Q-mått) Antag g 2 Cb(R n 1 ) och låt 

t T1 ::: Tn 1 T: Då gäller att 

E 

h 

g(se (r 

E Q [g(S(T1); :::; S(Tn 1)) j Ft] = 

2 

2 )(T1 t)+ (WT 1 Wt) ; :::; se (r 

2 

2 )(Tn 1 t)+ (WT n 1 Wt) ) 

där s = S(t) skall sättas in i uttrycket i höger led när väntevärdet beräknats 

(detta led är därmed oberoende av T ): Alltså gäller även att 

E 

h 

g(se (r 

E Q [g(S(T1); :::; S(Tn 1)) j Ft] = 

2 

2 )(T1 t)+ W (T1 t) ; :::; se (r 

2 

2 )(Tn 1 t)+ W (Tn 1 t) ) 

där s = S(t) skall sättas in i uttrycket i höger led när väntevärdet beräknats. 

i 

i

148 

Bevis.Vi har att 

E Q g(S(t)e ( 

E Q g(S(t)e (r 

E Q g(se (r 

E 

h 

g(se (r 

vilket bevisar satsen. 

E Q [g(S(T1); :::; S(Tn 1)) j Ft] = 

2 

2 )(T1 t)+ (W T1 W t ) ; :::; S(t)e ( 

2 

2 )(T1 t)+ (W a T 1 W a t ) ; :::; S(t)e (r 

2 

2 )(T1 t)+ (W a T 1 W a t ) ; :::; se (r 

2 

2 )(T1 t)+ (WT 1 Wt) ; :::; se (r 

2 

2 )(Tn 1 t)+ (W Tn 1 W t ) ) j Ft = 

2 

2 )(Tn 1 t)+ (W a T n 1 W a t ) ) j Ft = 

2 

2 )(Tn 1 t)+ (W a T n 1 W a t ) ) = 

2 

2 )(Tn 

i 

1 t)+ (WT Wt) n 1 ) 

Om vi nu går tillbaka till vårt europeiska derivat med utbetalningsfunktionen 

f som vi diskuterade ovan så följer att 

E Q h 

[f(S(T )) j Ft] = E f(se (r i 

2 =2) + W (T t)) 

= 

Vi alltså bevisat prisformeln 

E [f(se r M ( ))] = e r v(t; s): 

v(t; S(t)) = e r E Q [f(S(T )) j Ft] : 

Beräkningsformeln för Q-mått gör det möjligt att …nna en prisformel för 

mycket allmänna derivat där utbetalningen vid tiden T får bero av aktiepriset 

under hela den tid kontraktet levt. Om exempelvis K > 0 och 

X = max(0; 1 

T 

Z T 

0 

S(t)dt K) 

talar vi om en aritmetisk medelvärdesoption av europeisk typ. I fallet 

X = max(0; e 1 R T 

T 0 ln S(t)dt K) 

har vi en så kallad geometrisk medelvärdesoption av europeisk typ. Observera 

att utbetalningarna i båda fallen är välde…nierade och dessutom stokastiska 

variabler. Ett derivat som utbetalar ett FT -mätbart belopp X vid tiden 

T kallas för ett betingat kontrakt (i matematiska miljöer identi…eras ofta

149 

derivatet och X). För att betona att utbetalning endast kan ske slutdagen T 

kan man tillägga att derivatet är av europeisk typ. Liksom för enkla derivat 

är det mycket praktiskt att tillåta att X får antaga negativa såväl som ickenegativa 

värden. 

Betrakta nu ett derivat som utbetalar ett belopp X 2 L 2 (Q) vid tiden T . 

Det är rimligt att de…niera derivatets (teoretiska) värde v(t) vid tiden t < T 

genom ekvationen 

v(t) = e r E Q [X j Ft] 

där som vanligt = T t. För att motivera detta antag först att t < T1 < 

::: < Tn = T och att 

X = f(S(T1); S(T2); :::; S(Tn)) 

där f : R n ! R är begränsad och mätbar. Från prisformeln för enkla derivat 

av europeisk typ följer att 

är av formen 

v(Tn 1) = e r(Tn Tn 1) E Q X j FTn 1 

g(S(T1); :::; S(Tn 1)) 

för en lämplig begränsad mätbar funktion g. Ett lämpligt induktionsantagande 

leder nu till att 

v(t) = e r(Tn 1 t) E Q T n 1 

[g(S(T1); :::; S(Tn 1)) j Ft] = 

e r(Tn 1 t) E Q [g(S(T1); :::; S(Tn 1)) j Ft] : 

Här är uttrycket i höger led lika med 

v(t) = e r(Tn 1 t) E Q e r(Tn Tn 1) E Q X j FTn 1 j Ft = 

e r(Tn 1 t) E Q e r(Tn Tn 1) E Q X j FTn 1 j Ft = 

e r E Q [X j Ft] : 

För godtyckligt X 2 L 2 (Q) de…nieras därför derivatets (teoretiska) värde v(t) 

vid tiden t < T av formeln 

v(t) = e r E Q [X j Ft] :

150 

Måttet Q kallas för martingalmåttet i tidsintervallet [0; T ] för den aktuella 

aktien och obligationen. 

Sats 3. Den geometriska medelvärdesoptionen av europeisk typ med lösenvärdet 

X = max(0; e 1 R T 

T 0 ln S(t)dt K) 

vid tiden T har det teoretiska priset 

vid tiden t 2 [0; T [ där 

och 

m = 1 

T 

Z t 

0 

v(t) = e r 

n 

1 

m+ 

e 2 2 

(d1) K 

o 

(d2) 

ln S( )d + (T t) ln S(t) + (r 

= 

r 

2 

(T t)3 

3T 2 ; 

d1 = m + 2 ln K 

d2 = m ln K : 

Beviset för sats 2 bygger på följande 

Lemma 1. Den stokastiska variabeln 

Z T 

0 

W (t)dt 

2 

2 

)(T t)2 

2 

de…nierad på sannolikhetsrummet ( ; F; P ) = (C; B; ) har en Gaussisk fördelning 

med väntevärdet noll och variansen T 3 =3. 

;

151 

Bevis av Lemma 1. Den stokastiska variabeln ifråga har en Gaussisk 

fördelning med väntevärdet noll eftersom Wienerprocessen (W (t))0 t T är 

en centrerad Gaussisk process. Partiell integration visar att 

Z T 

0 

W (t)dt = 

Z T 

0 

(T t)dW (t) 

(visa detta eller se kapitel 11) och resultatet följer av att 

" Z T 

2 

E W (t)dt 

# " Z T 

= E (T t)dW (t) 

0 

Z T 

(T t) 

0 

2 dt = T 3 =3: 

Denna varians kan också beräknas mer direkt. Det följer nämligen att 

" Z T 

2 

E W (t)dt 

# Z T Z T 

= E W (t)dt W ( )d = 

0 

E 

0 

Z T Z T 

Bevis av sats 3. Sätt 

så att 

och 

0 

0 

W (t)W ( )dtd = 

Z T Z T 

0 

0 

v(t) = e r E Q 

h 

0 

0 

Z T Z T 

0 

min(t; )dtd = T 3 =3: 

Z(t) = 


h 

Z t 

0 

max(0; e Z(t) 

T 

max(0; e z 

T 

0 

ln S( )d 

2 # 

= 

E [W (t)W ( )] dtd = 

i 

Z(T ) Z(t) 

+ T K) j Ft 

R 1 T 

+ T t ln S( )d 

i 

K) 

där z = Z(t) skall sättas in i uttrycket när väntevärdet beräknats. 

Av 

S(t) = S(0)e ( 

2 

2 )t+Wt

152 

får vi 

där 


ln S( ) = ln S(t) + ( 

ln S(t) + (r 


e r E 

2 

2 

2 )( t) + (W Wt) = 

2 )( t) + (W a W a 

t ) 

a(t) = r 

t: 

h 

max(0; e m+ R T 

T t (W a W a t )d 

h 

max(0; e m+ T 

e r E max(0; e m+ T 

e r E max(0; e m+ T 

R T 

t (W Wt)d 

R T t 

0 

W )d 

i 

K) = 

K) = 

q (T t) 3 

3 G K) 

där G 2 N(0; 1): En enkel räkning visar nu sats 2. 

i 

K) = 

En medelvärdesoption av europeisk typ som utbetalar värdet 

X = max(0; 1 

T 

Z T 

0 

S(t)dt K) 

slutdagen T har för närvarande ingen känd enkel prisformel uttryckt i elementära 

funktioner (problemet attackeras med stokastisk kalkyl i [DT G] ; 

[RS], [GY ], [Y ] och [W DH] ; se också kap 13). Detsamma gäller ett derivat 

som utbetalar värdet 

Y = max(0; 

nX 

j=1 

jS(tj) K) 

slutdagen T , där t0 < t1 < ::: < tn = T , 1; :::; n > 0 och P n 

j=1 j = 1: 

Observera att t här kan vara strikt mindre än t0: Om vi fortfarande har 

samma dynamiska förutsättningar på aktien och obligationen som ovan så

153 

följer att derivatets värde vid tiden t är lika med vY (t) = E Q [Y j Ft] : Allså 

är 

vY (t) = vY (t; (S(tj)tj t) 

där 

2 

vY (t; (s(tj))tj t) = E 4max(0; X 

tj>t 

K 0 = K X 

tj t 

jse (r 

2 

js(tj) 

3 

2 )(tj t)+ W (tj t) 0 

K ) 5 

och s = S(t): Bland numeriska beräkningsmetoder som kan användas för att 

beräkna optionspriset vY (t) vill vi nämna Monte Carlometoden [KV ] ; den 

snabba Fouriertransformen [CC] och en metod som bygger på approximation 

av täthetsfunktionen för den stokastiska variabeln 

X 

tj>t 

jse (r 

2 

2 )(tj t)+ W (tj t) 

[T W ] : Även numeriska metoder för partiella di¤erentialekvationer kan utnyttjas 

(se [RS] och [W DH] ; se också [GEM] som tar upp en del mer speciella 

metoder): 

Vi gör till sist några anmärkningar rörande Monte Carlometodens implementering 

i samband med denna medelvärdesoption. Om 

kan 

Z = max(0; 

nY 

S(tj) j K) 

j=1 

vZ(t) = E Q [Z j Ft] 

beräknas exakt (jmfr sats 2). Vidare gäller att 

vY (t) = vZ(t) + E Q [Y Z j Ft] : 

För att beräkna priset vY (t) med Monte Carlometoden är det lämpligt att 

först beräkna priset vZ(t) exakt och därefter det betingade väntevärdet 

E Q [Y Z j Ft]

154 

med Monte Carlometoden. Detta reducerar det statistiska felet markant 

jämfört med att direkt beräkna priset vY (t) med Monte Carlometoden [KV ] : 

Övningar 

1. Visa med beteckningar och förutsättningar som i texten ovan att 

E Q [S(t)e rt j Ft0] = S(t0)e rt0 ; 0 t0 t T (processen (S(t)e rt )0 t T 

kallas därför en Q-martingal). Beräkna också Q [S(T ) > K j Ft] = 

E Q 1[S(T )>K] j Ft då K > 0 och 0 t T: 

2. Ett derivat utbetalar 

X = 1 

n 

nX 

j=1 

S( j 

T ) 

n 

vid tiden T . Bestäm derivatets värde vid en godtycklig tidpunkt t 2 

[0; T ] genom att endast använda förekomsten av en obligation med 

priset B(t) = B(0)e rt vid tiden t och dominansprincipen: Antag därefter 

att aktiepriset S(t) beskriver en geometrisk Brownsk rörelse med exponentiell 

drift och visa att resultaten i detta avsnitt leder till samma 

värde för motsvarande derivat. 

I de följande övningarna i detta kapitel förutsätter vi Black-Scholes 

modell. 

3. Låt K > 0 och 0 < T0 < T1 < T: Ett derivat utbetalar beloppet X = 

(0; (S(T0)S(T1)S(T )) 1 

3 K) vid tiden T; där S(t) betecknar aktiens pris 

vid tiden t: Aktieprisets volatilitet är lika med . Bestäm derivatets 

värde vid en godtycklig tidpunkt t 2 [0; T ] . Lös motsvarande problem 

då 

X = max(0; 

nY 

j=1 

S( j 

! 1 

n 

T ) 

n 

4. Låt t < T0 < T och K > 0: Ett europeiskt derivat i aktien utbetalar 

S(T ) 

beloppet max( K; 0) slutdagen T: Bestäm derivatets värde vid 

S(T0) 

tiden t: 

K):

11. Stokastiska integraler av Itôs typ 

155 

Antag (W (t))0 t T är en reellvärd normaliserad Wienerprocess i tidsintervallet 

[0; T ] med kontinuerliga trajektorier. Vi har kapitel 9 de…nierat den 

stokastiska integralen 

Z T 

0 

h(t)dW (t) 

då integranden h är en deterministisk funktion av kvadratintegrabel typ 

över intervallet [0; T ]. I detta kapitel skall vi utvidga integralbegreppet till 

stokastisk integrand under lämpliga förutsättningar på integranden. Exempelvis 

skall vi ge en mening åt integralen 

Z T 

0 

f(W (t))dW (t) 

då f är en kontinuerlig funktion. I samband med de…nitionen uppstår här 

ett intressant fenomen som vi belyser i specialfallet f(x) = x: Antag därför 

att 

: 0 = t0 < t1 < ::: < tn 1 < tn = T 

är en indelning av intervallet [0; T ]. Om vi vill de…niera integralen 

Z T 

0 

W (t)dW (t) 

är det naturligt att välja tal k 2 [tk; tk+1] ; k = 0; :::; n 1; och därefter 

studera konvergensegenskaper för Riemannsumman 

Xn 

1 

I( ) = W ( k)(W (tk+1) W (tk)) 

k=0 

då indelningens …nhet gå mot noll. Om k = tk; k = 0; :::; n 1; skriver vi 

I( ) = Ivanster och om k = tk+1; k = 0; :::; n 1; skriver vi I( ) = Ihoger. 


Xn 

1 

Ivanster = W (tk)(W (tk+1) W (tk)) 

k=0

156 

och 


och 

Xn 

1 

Ihoger = W (tk+1)(W (tk+1) W (tk)): 

k=0 

X 

n 1 

Ihoger + Ivanster = (W 2 (tk+1) W 2 (tk)) = W 2 (T ) 

I kapitel 5 visade vi att 

k=0 

X 

n 1 

Ihoger Ivanster = (W (tk+1) W (tk)) 2 : 

X 

k=0 

n 1 

(W (tk+1) W (tk)) 2 ! T i L 2 (P ) 

k=0 

då indelningens …nhet går mot noll. Härav följer att 

Ihoger ! 1 

2 W 2 (T ) + 1 

2 T i L2 (P ) 

och 

Ivanster ! 1 

2 W 2 (T ) 

1 

2 T i L2 (P ) 

då indelningens …nhet går mot noll. Valet av sekvens k; k = 0; :::; n 1; i Riemannsumman 

I( ) har därför en avgörande betydelse för vilket gränsvärde 

vi får: Inom teorin för värdepapper är vänsteralternativet det bästa och detta 

medför att Z T 

0 

W (t)dW (t) = 1 

2 W 2 (T ) 

1 

T . 

2 

Om funktionen f : R ! R är två gånger kontinuerligt deriverbar så får vi 

också nedan den märkliga formeln 

Z T 

f(W (T )) = f(0) + f 

0 

0 (W (t))dW (t) + 1 

Z T 

f 

2 0 

00 (W (t))dt: 

I detta kapitel kommer vi främst att framhäva algebraiska egenskaper för 

stokastiska integraler. Av utrymmesskäl kan vi inte ge rättvisa åt aspekter

157 

som berör mätbarhet och topologi. Bland läroböcker inom stokastisk integration 

vill vi särskilt nämna Chung och Williams [CW ] ; Friedman [F R] och 

;ksendal [;K] : 

Vi startar vår utveckling av stokastisk integration med ett komplett sannolikhetsrum 

( ; F; P ) och en familj -algebror Ft; 0 t T; av delmängder 

av sådan att 

Ft1 Ft2 F; t1 t2: 

Familjen (Ft)0 t T kallas för en …ltration. Dessutom förutsätts här att 

A 2 F0 om A 2 F och P (A) = 0: 

Antag vidare att (W ( ))0 T är en normaliserad reellvärd Wienerprocess 

med kontinuerliga trajektorier de…nierad på sannolikhetsrummet ( ; F; P ) 

sådan att 

(W ( ); t) Ft 

och 

Ft och (W ( + t) W (t); T t 0) är stokastiskt oberoende 

för alla 0 t T: De…nitionerna, som kan synas trassliga, motiveras bl a av 

att de portföljer vi senare skall studera ofta innehåller ‡era aktier. 

Låt nu B [0; T ] = B[0;T ](R) beteckna mängden av alla A 2 B(R) som 

är en delmängd av intervallet [0; T ] : Antag också att p 2 [1; 1[ : En reellvärd 

funktion h(t; !); t 2 [0; T ] ; ! 2 ; sägs vara progressivt mätbar om 

avbildningen 

(t; !) ! h(t; !); (t; !) 2 [0; T0] 

är (B [0; T0] FT0)-mätbar för varje …xt T0 2 [0; T ] : Vi uppfattar här h = 

(h(t))0 t T som en stokastisk process. Man kan visa att det för en progressivt 

mätbar process h gäller att avbildningen 

t ! h(t; !); t 2 [0; T ] 

är B [0; T ]-mätbar för varje ! 2 och att avbildningen 

! ! h(t; !); ! 2 

är Ft-mätbar för varje t 2 [0; T ] : Om processen h = (h(t))0 t T är progressivt 

mätbar och dessutom Z T 

0 

j h(t) j p dt < 1 n.s.

158 

säger vi att h tillhöra klassen L p 

W 

n.s. säger vi att h tillhör klassen L 1 W 

snart Z T 

Om p 2 [1; 1[ är …xt låter vi M p 

W 

sådana att 

E 

0 

Z T 

[0; T ]. Råkar h 2 Lp 

W 

[0; T ] vara begränsad 

[0; T ]. Vi uppfattar här h som 0 så 

j h(t) j dt = 0 n.s. 

[0; T ] beteckna klassen av alla h 2 Lp 

W [0; T ] 

j h(t) j p dt < 1: 

0 

En stokastisk process (h(t))0 

terar en indelning 

t T sägs vara en trapprocess om det exis- 

sådan att 

0 = t0 < t1 < ::: < tn 1 < tn = T 

h(t) = h(tk); tk t < tk+1; k = 0; :::; n 1: 

Föjande approximationssatser ges här utan bevis (för bevis se t ex [F R]). 

Sats 1. (Approximationssats för L p 

W 

L p 

W [0; T ] ; där p 2 [1; 1[ : 

a) Det …nns gn 2 L p 

W 

[0; T ] ; p 2 [1; 1[) Antag h 2 

[0; T ] ; n 2 N; med kontinuerliga trajektorier så att 

lim 

n!1 

Z T 

0 

j gn(t) h(t) j p dt = 0 n.s. 

b) Det …nns trapprocesser gn 2 L p 

W [0; T ] ; n 2 N; så att 

Z T 

lim j gn(t) h(t) j 

n!1 

0 

p dt = 0 n.s. 

Sats 2. (Approximationssats för M 2 W [0; T ]) Antag h 2 M 2 W 

a) Det …nns gn 2 M 2 W 

[0; T ] : 

[0; T ] ; n 2 N; med kontinuerliga trajektorier så att 

lim 

n!1 E 

Z T 

0 

(gn(t) h(t)) 2 dt = 0:

) Det …nns trapprocesser gn 2 M 2 W 

Z T 

Antag nu att h 2 L 2 W 

för en viss indelning 

lim 

n!1 E 

0 

[0; T ] ; n 2 N; så att 

( gn(t) h(t)) 2 dt = 0: 

[0; T ] är en trapprocess sådan att 

h(t) = h(tk); tk t < tk+1; k = 0; :::; n 1 

0 = t0 < t1 < ::: < tn 1 < tn = T: 

Vi de…nierar i detta fall den stokastiska variabeln 

genom att sätta 

Z T 

0 

Z T 

0 

h(t)dW (t) 

Xn 

1 

h(t)dW (t) = h(tk)(W (tk+1) W (tk)): 

k=0 

De…nitionen är oberoende av val av indelning av intervallet [0; T ]. 

Låt oss nu dessutom antaga att trapprocessen h 2 M 2 W [0; T ]. Eftersom 

så följer det att 

Z T 


0 

h 2 Xn 

1 

(t)dt = 

1 > E 

X 

k=0 

Z T 

0 

h 2 (tk)(tk+1 tk) 

h 2 (t)dt = 

n 1 

E h 2 (tk) (tk+1 tk) 

k=0 

h(tk) 2 L 2 (P ); k = 0; :::; n 1: 

159

160 

Alltså är 

E 

Z T 

0 

Xn 

1 

h(t)dW (t) = E [h(tk)(W (tk+1) W (tk))] = 

k=0 

Xn 

1 

E [h(tk)] E [(W (tk+1) W (tk)] = 0: 

k=0 

Eftersom de stokastiska variablerna 

h(tk)(W (tk+1) W (tk)); k = 0; :::; n 1 

är ortogonala i L2 (P ) så ger Pythagoras sats också att 

" Z T 

2 

E h(t)dW (t) 

# 

Xn 

1 

= 

X 

0 

k=0 

E h 2 (tk)(W (tk+1) W (tk)) 2 = 

n 1 

E h 2 (tk) E (W (tk+1) W (tk)) 2 n 1 

= E h 2 (tk) (tk+1 tk) = 

k=0 

E 

Z T 

0 

h 2 (t)dt : 

Lemma 1. Antag h 2 L2 W [0; T ] är en trapprocess och låt " > 0 och N > 0 

vara givna. Då gäller att 

P j 

Z T 

Bevis. Antag att 

för en viss indelning 

0 

h(t)dW (t) j> " P 

Z T 

0 

X 

k=0 

h 2 (t)dt > N + N 

" 2 : 

h(t) = h(tk); tk t < tk+1; k = 0; :::; n 1 

0 = t0 < t1 < ::: < tn 1 < tn = T 

och låt m vara det största heltalet 

Z tm+1 

h 

n 1 sådant att 

2 mX 

(t)dt = 

0 

k=0 

h 2 (tk)(tk+1 tk) N:

Notera att 

Vi de…nierar 

Härav följer att hN 2 L2 W 

Z T 


Vidare är 

Härav erhålls att 

P j 

Z T 

0 

Nu är emellertid 

P j 

Z T 

och lemmat är bevisat. 

0 

0 

hN(t) = 

[tm+1 t] 2 Ft: 

[0; T ] och 

h 2 N(t)dt = 

h(t) om t < tm+1 

0 annars i [0; T ] : 

mX 

k=0 

E 

Z T 

( 

0 

hN(t)dW (t)) 2 

h(t) = hN(t) för t < T om 

h(t)dW (t) j> " P j 

P 

hN(t)dW (t) j> " 

Z T 

0 

h 2 (tk)(tk+1 tk) N: 

Z T 

0 

Z T 

0 

h 2 (t)dt > N : 

N: 

h 2 (t)dt N: 

hN(t)dW (t) j> " + 

1 

" 2 E 

" Z T 

hN(t)dW (t) 

0 

Vi skall nu de…niera den stokastiska integralen 

Z T 

0 

h(t)dW (t) 

för varje h 2 L 2 W [0; T ] : Välj därför först trapprocesser gn 2 L 2 W 

N; så att 

lim 

n!1 

Z T 

0 

( gn(t) h(t)) 2 dt = 0 

2 # 

N 

" 2 

161 

[0; T ] ; n 2

162 

i sannolikhet. Enligt lemma 1 gäller 

P j 

Z T 

P 

0 

gm(t)dW (t) 

Z T 

0 

Z T 

0 

gn(t)dW (t) j> " 

(gm(t) gn(t)) 2 dt > N + N 

" 2 

för varje " > 0 och N > 0 och det följer att 

lim P 

m;n!1 

j 

Z T 

0 

gm(t)dW (t) 

Z T 

0 

gn(t)dW (t) j> " = 0: 

Sekvensen 

Z T 

( gn(t)dW (t))n2N 

0 

konvergerar således i sannolikhet. Man visar lätt att gränsvärdet är oberoende 

av valet av sekvens gn 2 L2 W [0; T ] ; n 2 N; i konstruktionen ovan och vi 

betecknar gränsvärdet med 

Om speciellt h 2 M 2 W 

sats 2 att 

och 

Z T 

0 

h(t)dW (t): 

[0; T ] så följer ganska lätt från denna de…nition och 

E 

Z T 

" Z T 

E h(t)dW (t) 

0 

0 

h(t)dW (t) = 0 

2 # 

= E 

Z T 

Man kan också visa följande approximationssats. 

0 

h 2 (t)dt : 

Sats 3. (Approximationssats för stokastiska integraler) Antag h 2 

L2 W [0; T ] och låt gn 2 L2 W [0; T ] ; n 2 N; uppfylla 

lim 

n!1 

Z T 

0 

( gn(t) h(t)) 2 dt = 0 n.s.

Då gäller att 

Z T 

i sannolikhet då n ! 1. 

Vi får också 

0 

gn(t)dW (t) ! 

Z T 

0 

h(t)dW (t) 

163 

Sats 4. Antag h 2 L2 W [0; T ] och antag h har kontinuerliga trajektorier. Låt 

vidare 

n : 0 = tn;0 < tn;1 < ::: < tn;mn 1 < tn;mn = T 

vara en indelning av intervallet [0; T ] sådan att indelningens …nhet går mot 

0 då n ! 1. Då gäller att 

mn X1 

k=0 

i sannolikhet då n ! 1. 

h(tn;k)(W (tn;k+1) W (tn;k)) ! 

Bevis. Vi de…nierar trapprocesser gn 2 L 2 W 

Z T 

0 

h(t)dW (t) 

[0; T ] ; n 2 N; så att 

gn(t) = h(tn;k) i intervallet tn;k t < tn;k+1; 0 k mn 1: 

Då gäller att gn(t) ! h(t) likformigt i t 2 [0; T ] då n ! 1. Speciellt följer 

att 

lim 

n!1 

Z T 

0 

( gn(t) h(t)) 2 dt = 0 

och de…nitionen av den stokastiska integralen 

(eller sats 3) visar att 

Z T 

0 

Z T 

0 

gn(t)dW (t) ! 

h(t)dW (t) 

Z T 

0 

h(t)dW (t)

164 

i sannolikhet då n ! 1. Resultatet följer nu av att 

Z T 

0 

gn(t)dW (t) = 

mn X1 

k=0 

h(tn;k)(W (tn;k+1) W (tn;k)): 

Det inledande resonemanget i detta kapitel och sats 4 visar nu att 

Z T 

0 

W (t)dW (t) = 1 

2 W 2 (T ) 

1 

2 T: 

En stokastisk process (X(t))0 t T sägs vara en martingal med avseende 

på …ltrationen (Ft)0 t T om 

(a) (X(t)) Ft 

(b) X(t) 2 L 1 (P ) 

(c) E [X(t) j Ft0] = X(t0) så snart t0 t: 

För varje trappprocess h 2 M 2 W 

Z t 

0 

[0; T ] så är processen 

h( )dW ( ); t 2 [0; T ] 

en martingal med avseende på …ltrationen (Ft)0 t T . Genom approximation 

med trapprocesser följer att denna egenskap gäller för varje h 2 M 2 W [0; T ]. 

Processerna i klassen L2 W [0; T ] saknar i allmänhet integrabilitetsegenskaper 

och kan inte förväntas ha martingalegenskaper. Emellertid gäller följande 

Sats 5. Antag h 2 L2 W [0; T ]. Då gäller att processen 

Z t 

har en kontinuerlig version. 

0 

h( )dW ( ); t 2 [0; T ]

165 

Bevisskiss. Antag först att h 2 M 2 W [0; T ] och välj trapprocesser gn 2 

M 2 W [0; T ] ; n 2 N; så att 

lim 

n!1 E 

Z T 

0 

(gn(t) h(t)) 2 dt = 0: 

Processen Z t 

gn( )dW ( ); t 2 [0; T ] 

0 

har för varje …xt n kontinuerliga trajektorier och är en Wienermartigal. Det 

följer nu som i beviset för korollarium 1 i kapitel 9 att en lämplig version av 

processen 

Z t 

0 

h( )dW ( ); t 2 [0; T ] 

har kontinuerliga trajektorier n.s. 

Allmänna fallet är tekniskt något värre och vi hänvisar läsaren till [F R] 

för ett bevis. 

Fr o m nu antager vi att alla processer av typen 

där h 2 L2 W 

Om h 2 L2 W 

Z t2 

t1 

Z t 

0 

h( )dW ( ); t 2 [0; T ] 

[0; T ] är givna i en version med kontinuerliga trajektorier n.s. 

[0; T ] de…nieras 

h(t)dW (t) = 

Z t2 

0 

h(t)dW (t) 

Z t1 

Antag att a 2 L1 W [0; T ] och b 2 L2W (X(t)) t2[0;T ] uppfyller 

skriver vi 

X(t2) X(t1) = 

Z t2 

t1 

a(t)dt + 

Z t2 

dX(t) = a(t)dt + b(t)dW (t) 

t1 

0 

h(t)dW (t); 0 t1 t2 T: 

[0; T ] : Om en stokastisk process 

b(t)dW (t); 0 t1 t2 T

166 

och dX(t) kallas för en stokastisk di¤erential. Om dessutom c 2 L 1 W 

de…nieras 

Exempelvis ger formeln 

att 

c(t)dX(t) = c(t)a(t)dt + c(t)b(t)dW (t): 

Z t 

0 

W ( )dW ( ) = 1 

2 W 2 (t) 

d(W 2 (t)) = 2W (t)dW (t) + dt 

Vi har också den mindre överraskande formeln 

som följer av nästa sats. 

d(tW (t)) = W (t)dt + tdW (t) 

Sats 6. Antag f : [0; T ] ! R är kontinuerligt deriverbar. Då gäller att 

Z T 

Speciellt följer att 

Bevis. Låt 

så att 

0 

f(t)dW (t) = f(T )W (T ) 

Z T 

0 

1 

2 t 

f 0 (t)W (t)dt: 

d(f(t)W (t)) = f 0 (t)W (t)dt + f(t)dW (t): 

0 = t0 < t1 < ::: < tn 1 < tn = T 

Xn 

1 

f(tk)(W (tk+1) W (tk)) = f(T )W (T ) 

k=0 

Vi skriver nu för varje …xt k 2 f0; :::; n 1g 

där 

[0; T ] 

Xn 

1 

W (tk+1)(f(tk+1) f(tk)): 

k=0 

f(tk+1) f(tk) = (f 0 (tk+1) + "k)(tk+1 tk) 

max j "k j! 0 

k2f0;:::;n 1g

då indelningens …nhet går mot noll och får 

f(T )W (T ) 

Här gäller att 

f(T )W (T ) 

X 

Xn 

1 

f(tk)(W (tk+1) W (tk)) = 

k=0 

X 

n 1 

W (tk+1)(f 0 (tk+1) + "k)(tk+1 tk) = 

k=0 

n 1 

W (tk+1)f 0 n 1 

(tk+1)(tk+1 tk) + 

k=0 

Xn 

1 

W (tk+1)f 

k=0 

0 (tk+1)(tk+1 

Z T 

tk) ! 

0 

X 

"kW (tk+1)(tk+1 tk): 

k=0 

då indelningens …nhet går mot noll. Vidare gäller att 

Xn 

1 

j 

k=0 

W (t)f 0 (t)dt 

"kW (tk+1)(tk+1 tk) j T max j "k j max j W (t) j 

k2f0;:::;n 1g t2[0;T ] 

167 

där uttrycket i högra ledet konvergerar mot noll då indelningens …nhet går 

mot noll, vilket avslutar beviset för satsen. 

Vi skall nu behandla en ganska allmän produktregel för di¤erentialer inom 

stokastisk kalkyl. Antag ak 2 L1 W [0; T ] och bk 2 L2 W [0; T ] ; k = 1; 2, och låt 

dXk(t) = ak(t)dt + bk(t)dW (t); k = 1; 2: 

Vi påstår att följande produktformel gäller, nämligen 

d(X1(t)X2(t)) = X1(t)dX2(t) + X2(t)dX1(t) + b1(t)b2(t)dt 

dvs att det för …xa t1; t2 2 [0; T ] som uppfyller t1 t2 gäller att 

X1(t2)X2(t2) X1(t1)X2(t1) =

168 

Z t2 

t1 

Z t2 

t1 

X2(t)a1(t)dt + 


Z t2 

t1 

Z t2 

t1 

X1(t)b2(t)dW (t)+ 

X2(t)b1(t)dW (t) + 

Z t2 

t1 

b1(t)b2(t)dt: 

Om a1; a2; b1 och b2 är konstanta i intervallet [t1; t2] följer denna formel av 

en direkt kalkyl. Genom addition över olika intervall följer att formeln ovan 

[0; T ] ; k = 1; 2, är trapprocesser. Det 

är sann då ak 2 L1 W [0; T ] och bk 2 L2 W 

allmänna fallet följer nu genom approximation (för detaljer se [F R]). 

Antag nu att a 2 L1 W [0; T ] , b 2 L2W [0; T ] och låt 


dX n (t) = nX n 1 (t)dX(t) + 

dX(t) = a(t)dt + b(t)dW (t): 

n(n 1) 

X 

2 

n 2 (t)b 2 (t)dt; n = 2; 3; ::: : 

Fallet n = 2 är redan klart. Antag nu att formeln är sann för ett …xt n 2: 

Vi får då att 

dX n+1 (t) = d(X(t)X n (t)) = 

X(t)dX n (t) + X n (t)dX(t) + nX n 1 (t)b 2 (t)dt = 

nX n (t)dX(t) + 

n(n 1) 

X 

2 

n 1 (t)b 2 (t)dt+ 

X n (t)dX(t) + nX n 1 (t)b 2 (t)dt = 

= (n + 1)X n (n + 1)n 

(t)dX(t) + X 

2 

n 1 (t)b 2 (t)dt 

och formeln ovan följer med hjälp av induktion. Om q är ett polynom av en 

reell variabel drar vi därför slutsatsen att 


Notera speciellt att 

dq(X(t)) = q 0 (X(t))dX(t) + 1 

2 q00 (X(t))b 2 (t)dt: 

(dX(t)) 2 = b 2 (t)dt: 

(dt) 2 = 0dt = 0

och 

Eftersom rent formellt 

(dW (t)) 2 = dt: 

(dX(t)) 2 = (a(t)dt + b(t)dW (t)) 2 = 

a 2 (t)(dt) 2 + a(t)b(t)dtdW (t) + a(t)b(t)dW (t)dt + b 2 (t)(dW (t)) 2 

är det naturligt att också de…niera 

Med dessa konventioner följer att 

dtdW (t) = dW (t)dt = 0: 

dq(X(t)) = q 0 (X(t))dX(t) + 1 

2 q00 (X(t))(dX(t)) 2 : 

169 

Om f är kontinuerligt deriverbar ger vidare produktregeln för stokastiska 

di¤erentialer att 

d(f(t)q(X(t))) = f 0 (t)q(X(t))dt + f(t)dq(X(t)) = 

f 0 (t)q(X(t))dt + f(t)q 0 (X(t))dX(t) + 1 

2 f(t)q00 (X(t))(dX(t)) 2 : 

Vi inför nu u(t; x) = f(t)q(x) och får 

du(t; X(t)) = u 0 t(t; X(t))dt + u 0 x(t; X(t))dX(t) + 1 

2 u00 xx(t; X(t))(dX(t)) 2 : 

Genom superposition inses först att detta resultat gäller om u(t; x) är ett 

polynom av två reella variabler och därefter genom approximation att denna 

formel också gäller om u(t; x) är en gång kontinuerligt deriverbar i t 2 [0; T ] 

och två gånger kontinuerligt deriverbar i x 2 R 2 : Detta viktiga resultat går 

under namnet Itôs lemma. 

Sats 7. (Itôs lemma) Antag a 2 L1 W [0; T ] , b 2 L2W [0; T ] och låt 

dX(t) = a(t)dt + b(t)dW (t): 

Antag också att funktionen u(t; x) är en gång kontinuerligt deriverbar i t 2 

[0; T ] och två gånger kontinuerligt deriverbar i x 2 R 2 : Då gäller 

du(t; X(t)) = u 0 t(t; X(t))dt + u 0 x(t; X(t))dX(t) + 1 

2 u00 xx(t; X(t))(dX(t)) 2 :

170 

Korollarium 1. Ett aktiepris S(t); t 0, beskriver en geometrisk Brownsk 

rörelse med exponentiell drift. Aktiens volatilitet är lika med > 0 och 

Under dessa förutsättningar är 

E [S(t)] = S(0)e t ; t 0: 

dS(t) 

S(t) 

= dt + dW (t): 

Speciellt gäller att den Brownska exponentialmartingalen 

uppfyller ekvationen 

Här de…nieras 

Bevis. Skriv 

där 

Itôs lemma ger nu att 

S(t) ( 

M (t) = e 

2 

2 t+ W (t) ; t 0 

dM (t) = M (t)dW (t): 

dS(t) 

S(t) 

X(t) = ( 

= 1 

S(t) dS(t): 

S(t) = S(0)e X(t) 

2 

)t + W (t): 

2 

dS(t) = S(t)dX(t) + 1 

2 S(t)(dX(t))2 = 

2 

)dt + dW (t) + 

2 

och korollarium 1 är fullständigt bevisat. 

2 

dt = S(t)( dt + dW (t)) 

2

171 

I Black-Scholes modell uppfyller alltså aktiepriset den stokastiska di¤erentialekvationen 

dS(t) = S(t)dt + S(t)dW (t): 

Stokastiska di¤erentialekvationer förekom tidigt inom fysik. Langevins 

klassiska stokastiska di¤erentialekvationbeskriver hastigheten för en liten partikel 

med massan m i en vätska som dels påverkas av en friktionskraft enligt 

Stokes lag dels påverkas av de omgivande molekylernas stötkrafter (se t ex 

[NEL]). Första komponenten V (t) av hastighetsvektorn uppfyller ekvationen 

mdV (t) = V (t)dt + dW (t): 

där > 0 och > 0 är parametrar. Ekvationen kan skrivas 

dvs 

och integration ger 

dV (t) + m V (t)dt = m dW (t) 

d(e m t V (t)) = m e m t dW (t) 

V (t) = e m t V (0) + m 

Z t 

0 

e m (t ) dW ( ): 

Om V (0) = v är känt och a är stort visar en kalkyl att 

E [V (s + a)V (t + a)] 

2 

2 m e m js tj : 

Efter en lämplig skaländring av tid och rum får vi alltså i gränsen då a ! 1 

en stationär normaliserad Ornstein-Uhlenbeckprocess. 

Vi skall nu diskutera representation av stokastiska variabler genom stokastisk 

integration. Fixera därför först t 2 [0; T ] och låt Gt vara den -algebra av 

delmängder av som generas av (W ( ); t) och alla P -nollmängder. 

Låt därefter PR vara den minsta -algebra av delmängder av [0; T ] som 

generas av mängderna [t; u[ A där A 2 Gt och 0 t 

stokastisk process h = (h(t))0 t T sägs vara PR-mätbar om avbildningen 

(t; !) ! h(t; !); (t; !) 2 [0; T ]

172 

är PR-mätbar. I detta fall är avbildningen 

(t; !) ! h(t; !); (t; !) 2 [0; T0] 

(B [0; T0] FT0)-mätbar för varje …xt T0 2 [0; T ] . Alltså gäller att 

Eftersom ZZ 

L 2 ([0; T ] ; PR; m[0;T ] P ) M 2 W [0; T ] : 

[0;T ] 

h(t; !) 2 dtdP = E 

Z T 

( 

0 

h(t)dW (t)) 2 

för varje h 2 L 2 ([0; T ] ; PR; m[0;T ] P ) så följer att 

Z T 

h(t)dW (t); h 2 L 

0 

2 ([0; T ] ; PR; m[0;T ] P ) 

är ett slutet delrum av L 2 ( ; GT ; P ): 

Sats 8. (Itôs representationssats) Låt X 2 L 2 ( ; GT ; P ). Det …nns 

så att 

h 2 L 2 ([0; T ] ; PR; m[0;T ] P ) 

X = E [X] + 

Bevis. Antag f 2 L 2 (m[0;T ]) och låt 

Itôs lemma ger att 

så att 

Mf(t) = e R t 

0 f( )dW ( ) 

Z T 

0 

h(t)dW (t): 

R 1 t 

2 0 f 2 ( )d 

; t 2 [0; T ] : 

dMf(t) = f(t)Mf(t)dW (t) 

Mf(T ) = 1 + 

Z T 

0 

f(t)Mf(t)dW (t):

Det gäller också att 

Låt nu 

och sätt 

F = Z; Z = 

Observera att 

fMf 2 L 2 ([0; T ] ; PR; m[0;T ] P ): 

L0 = Y ; Y 2 L 2 ( ; GT ; P ) och E [Y ] = 0 

Z T 

g(t)dW (t) där g 2 L 

0 

2 ([0; T ] ; PR; m[0;T ] P ) : 

F L0: 

173 

Här är L0 är slutet delrum av L 2 ( ; GT ; P ) och vi visade före formuleringen 

av sats 8 att även F är slutet delrum av L 2 ( ; GT ; P ). Vi skall nu visa att 

F = L0: 

Antag därför att Y 2 L0 är ortogonal mot F: Om vi kan visa att Y = 0 

så följer att F = L0: Vi vet att Y är ortogonal mot Mf(T ) för varje f 2 

L 2 (m[0;T ]) och vi skall nu välja f på lämpligt sätt för att komma fram till 

att Y = 0. Låt därför 0 = t0 < t1 < ::: < tn = T och 1; 2; ::: n 2 R och 

de…niera 

f(t) = k; t 2 [tk 1; tk[ ; k = 1; :::; n: 

Vi får 

Mf(T ) = e 1W (t1)+ 2 (W (t2) W (t1))+:::+ n (W (tn) W (tn 1))+a 

där 

a = 1 

Z T 

f 

2 0 

2 ( )d 

är en konstant. Alltså gäller att 


och 

E Y e 1W (t1)+ 2 (W (t2) W (t1))+:::+ n (W (tn) W (tn 1)) = 0: 

Y+ = max(0; Y ) 

Y = max(0; Y ):

174 

och får 

Härav följer också att 

E Y+e 1W (t1)+ 2 (W (t2) W (t1))+:::+ n (W (tn) W (tn 1)) = 

E Y e 1W (t1)+ 2 (W (t2) W (t1))+:::+ n (W (tn) W (tn 1)) 

E Y+e s( 1 W (t1)+ 2 (W (t2) W (t1))+:::+ n (W (tn) W (tn 1))) = 

E Y e s( 1 W (t1)+ 2 (W (t2) W (t1))+:::+ n (W (tn) W (tn 1))) 

för alla reella s och därmed, enligt teorin för analytiska funktioner, för alla 

komplexa s: Speciellt är 

E Y+e i( 1 W (t1)+ 2 (W (t2) W (t1))+:::+ n (W (tn) W (tn 1))) = 

E Y e i( 1 W (t1)+ 2 (W (t2) W (t1))+:::+ n (W (tn) W (tn 1))) 

och med hjälp av inversionssatsen i kapitel 6 kan man nu visa att måtten 

Y P och Y+P lika: Alltså är Y = 0 och satsen är därmed visad. 

Övningar 

1. Antag a 2 R och 

X(t) = 

Z t 

Bestäm processens kovarians. 

0 

e a 

2 (t ) dW ( ); t 0: 

2. Betrakta den stokastiska di¤erentialekvationen 

dX(t) = dt + tdW (t) 

X(0) = 0: 

Visa att lösningen (X(t))t 0 är en Gaussprocess och bestäm dess kovarians. 

: 

:

3. Betrakta den stokastiska di¤erentialekvationen 

dX(t) = W (t)dt + tdW (t) 

X(0) = 0: 

175 

Visa att lösningen (X(t))t 0 är en centrerad Gaussprocess och bestäm 

dess kovarians. 

4. Antag x 2 R och låt (Xx(t))t 0 beteckna lösningen till ekvationen 

dX(t) = 1X(t)dt 

+ dW (t) 

2 

X(0) = x; t 0: 

a) Bestäm kovariansen för processen (Xx(t))t 0. b) Antag G 2 N(0; 1) 

och antag dessutom att G och (Xx(t))t 0 är stokastiskt oberoende. Sätt 

Y (t) = XG(t); t 0: Bestäm kovariansen för processen (Y (t))t 0. 

5. Antag a 2 L 1 W [0; T ] , b 2 L2 W 

dvs Z t 

a( )d + 

Visa att a = 0 och b = 0: 

6. Beräkna 

då 

7. Beräkna E [X 2 ] då 

0 

h(t) = 

X = 

[0; T ] och låt 

a(t)dt + b(t)dW (t) = 0 

Z t 

0 

b( )dW ( ) = 0; 0 t T: 

" Z T 

E h(t)dW (t) 

Z T 

0 

( 

Z t 

0 

Z t 

0 

0 

2 # 

e dW ( ); 0 t T: 

sin( + t)dW ( ))dW (t):

176 

8. Antag G 2 N(0; 1) och sätt 

Hn(x; y) = E [(x + i p yG) n ] ; n 2 N 

för godtyckliga x 2 R och y 0: Visa att H0(x; y) = 1; H1(x; y) = x; 

H2(x; y) = x 2 y; H3(x; y) = x 3 3xy och H4(x; y) = x 4 6x 2 y + 3y 2 : 

Visa också att 

@ 

@x Hn(x; y) = nHn 1(x; y); n = 1; 2; ::: 

och 

9. Visa att 

@ 

@y Hn(x; y) + 1 @ 

2 

2 

@x2 Hn(x; y) = 0; n = 2; 3; ::: 

e 

x 1 

2 2 y = 

M (t) = 

1X 

n=0 

1X 

n=0 

10. Visa med hjälp av Itôs lemma att 

Hn(W (t); t) = n 

Z t 

0 

n 

n 

n! Hn(x; y); 2 R: 

n! Hn(W (t); t); > 0: 

Hn 1(W (s); s)dW (s); n = 1; 2; ::: : 

11. Antag 

dX(t) = adt + dW (t) 

X (0) = x 

där a; x 2 R och > 0: Antag också att 

@u 

@t = 

2 @ 

2 

2u + a@u 

@x2 @x 

cu 

där c 0 är en kontinuerlig funktion de…nierad på R: Beräkna under 

förutsättning att u är tillräckligt reguljär di¤erentialen 

d(e R t 

0 c(X( ))d u(T t; X(t))): 

Visa också under samma förutsättningar att Feynman-Kac formel gäller 

dvs 

h 

u(T; x) = E u(0; X(T ))e R T 

0 c(X( ))d 

i 

: 

12. Antag s > 0 r en positiv konstant: Lös ekvationen dS(t) = S(t)( dt + 

dW (t)); t 0; då S(0) = s:

12. Själv…nansierande portföljstrategier 

177 

Vi betraktar i detta kapitel en aktie som beskriver en geometrisk Brownsk 

rörelse med exponentiell drift och visar att aktien tillsammans med en obligation 

med konstant värdetillväxt inte kan ge upphov till arbitrage. Vi de…nierar 

också begreppet själv…nansierande portföljstrategi i aktien och obligationen. 

Detta leder bl a till en alternativ de…nition av det teoretiska värdet för ett 

betingat kontrakt av europeisk typ jämfört med utvecklingarna i kapitel 7 

och 10. Avslutningsvis behandlar vi mer ytligt en allmännare situation då 

aktien tillåts ge kontinuerlig utdelning. 

Låt (C; B; ) vara Wienerrummet svarande mot endimensionell Brownsk 

rörelse i intervallet [0; T ] och låt B beteckna -kompletteringen av -algebran 

B: Utvidgningen av måttet till -algebran B betecknas återigen med : 

Vi antar att det underliggande sannolikhetsrummet ( ; F; P ) är lika med 

(C; B ; ) och att [Wt(x)] = x(t); 0 t T: Vi låter Ft vara den minsta 

-algebran av delmängder av som innehåller -algebran (W ; t) och 

alla P -nollmängder. Speciellt gäller alltså att FT = F: Som i tidigare avsnitt 

skriver vi ibland W (t) istället för Wt: 

Låt S(t) vara ett aktiepris som ges av ekvationen 

S(t) = S(0)e ( 

2 

)t+ W (t) 

2 

för 0 t T . Här förutsätts att S(0) är en positiv konstant. Notera att 

dS(t) = S(t)( dt + dW (t)): 

Vi betraktar också en obligation vars pris B(t) vid tiden t är lika med B(0)e rt ; 

där B(0) och r är positiva konstanter. Liksom i tidigare kapitel används 

ibland beteckningen = T t om 0 t T: Martingalmåttet Q i tidsintervallet 

[0; T ] svarande mot aktien och obligationen är lika med a där 

(se kapitel 10). Processen 

a(t) = r 

t; t 2 [0; T ] 

W a 

t = W a (t) = W (t) a(t); t 2 [0; T ]

178 

är en normaliserad Wienerprocess i tidsintervallet [0; T ] med avseende på 

sannolikhetsrummet ( ; F; Q) och det följer att 

Alltså måste 


eller 

dW (t) = r 

dt + dW a (t): 

dS(t) = S(t)(rdt + dW a (t)) 

d(e rt S(t)) = e rt S(t)dW a (t) 

e rt S(t) = S(0) + 

Z t 

0 

e r S( )dW a ( ): 

En liknande representation gäller för värdet av betingade kontrakt som vi 

skall se nedan. 

Vi diskuterar först ett enkelt kontrakt. Betrakta därför ett derivat av 

europeisk typ som utbetalar beloppet f(S(T )) slutdagen T där f 2 P: Vi 

postulerade i kapitel 7 att derivatets värde v(t) = v(t; S(t)) vid tiden t uppfyller 

Black-Scholes di¤erentialekvation 

v 0 t(t; s) + 

Slutvillkoret 

gav sedan 

2 

2 s2v 00 

ss(t; s) + rsv 0 s(t; s) rv(t; s) = 0; t < T; s > 0: 

Itôs lemma ger nu för t < T att 

v(T; s) = f(s) 

v(t; s) = e r E [f(se r M ( ))] : 

d(e rt v(t; S(t))) = 

e rt (v 0 t(t; S(t))dt+v 0 s(t; S(t))dS(t)+ 1 

2 v00 

ss(t; S(t))(dS(t)) 2 ) re rt v(t; S(t))dt = 

e rt (v 0 t(t; S(t)) + 

2 

2 S(t)2v 00 

ss(t; S(t)) + v 0 s(t; S(t))S(t)r rv(t; S(t)))dt+ 

e rt v 0 s(t; S(t))S(t)dW a (t) = e rt v 0 s(t; S(t))S(t)dW a (t)

179 

eftersom funktionen v(t; s) uppfyller Black-Scholes di¤erentialekvation. Det 

gäller alltså att 

Av 

e rt v(t; S(t)) = v(0; S(0)) + 

Vi påstår nu att processen 

följer först att 

v 0 s(t; s) = e r 

Z t 

0 

e r v 0 s( ; S( ))S( )dW a ( ) 

( e rt v 0 s(t; S(t))S(t))0 t T 2 M 2 W a [0; T ] : 

v(t; s) = e r 

e r 

e r 

1 p s 

Z 1 

1 

s p 

1 

Z 1 

Z 1 

1 

f(e (r 

(x 

1 

Z 1 

1 

f(se (r 

2 

2 ) + p x )e 1 

2 

2 

2 ) + p x )e 1 

2 (x 

ln s 

p )f(e (r 

xf(se (r 

De…nitionen av klassen P ger nu lätt att 

E Q 

Z T0 

varför varje …xt positivt T0 < T: Eftersom 

följer att 

e rT0 v(T0; S(T0)) = v(0; S(0)) + 


v(0; S(0)) 2 + 

0 

2 

x2 dx 

p 2 = 

ln s 

p ) 2 dx 

p2 

2 

2 ) + p x )e 1 

2 (x 

2 ) + p x )e 1 

2 

(v 0 s(t; S(t))S(t)) 2 dt < 1 

Z T0 

E Q (e rT0 v(T0; S(T0))) 2 = 

Z T0 

0 

0 

x2 dx 

p 2 : 

ln s 

p ) 2 dx 

p2 = 

e r v 0 s( ; S( ))S( )dW a ( ) 

E Q ( e r v 0 s( ; S( ))S( )) 2 d : 

e rT0 v(T0; S(T0)) = E Q e rT f(S(T )) j FT0

180 

så Jensens olikhet för betingat väntevärde ger 



(e rT0 v(T0; S(T0))) 2 E Q (e rT f(S(T ))) 2 j FT0 

E Q (e rT0 v(T0; S(T0))) 2 

v(0; S(0)) 2 + 

och därmed gäller att 

E Q 

E Q (e rT f(S(T ))) 2 

Z T0 

0 

Z T 

Vi har alltså visat representationen 

där processen 

e rt v(t; S(t)) = v(0; S(0)) + 

hs(t) = 

0 

E Q (e rT f(S(T ))) 2 

E ( e r v 0 s( ; S( ))S( )) 2 d : 

(v 0 s(t; S(t))S(t)) 2 dt < 1: 

Z t 

0 

v 0 s(t; S(t)); 0 t < T 

0; t = T 

e r hS(t)S( )dW a ( ) 

tillhör klassen M 2 W a [0; T ] : Med denna bakgrund övergår vi nu till att diskutera 

så kallade själv…nansierande portföljstrategier. 

En portföljstrategi bestående av hS(t) aktier och hB(t) obligationer vid 

tiden t säges vara själv…nansierande om portföljvärdet 

v(t) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t) 

vid tiden t 2 [0; T ] uppfyller ekvationen 

dv(t) = hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t) 

i intervallet 0 t T där hSS 2 M 2 W a [0; T ] och att hB 2 L1 W [0; T ] = 

L1 W a [0; T ]. De senare villkoren innebär utöver mätbarhetskrav att 

E Q 

Z T 

0 

(hS(t)S(t)) 2 dt < 1

och Z T 

0 

j hB(t) j dt < 1 n.s: 

Av de…nitionen följer att den diskonterade värdeprocessen (e rt v(t))0 t T 

är en Q-martingal. Vi har nämligen att 

d(e rt v(t)) = re rt v(t)dt + e rt dv(t) = 

re rt (hS(t)S(t) + hB(t)B(t))dt + e rt (hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t)) = 



hS(t)( re rt S(t)dt + e rt dS(t)) = hS(t)d(e rt S(t)): 

d(e rt S(t)) = e rt S(t)dW a (t) 

d(e rt v(t)) = e rt hS(t)S(t)dW a (t): 

181 

Den diskonterade värdeprocessen (e rt v(t))0 t T är därför en Q-martingal 

eftersom hSS 2 M 2 W a [0; T ] : 

För att motivera begreppet själv…nansierande portföljstrategi väljer vi en 

indelning 

0 = t0 < t1 < ::: < tn = T 

av intervallet [0; T ] och antar, utöver villkoren ovan, att hS och hB är trapprocesser 

av följande typ: 

och 

hS(t) = hS(tk); tk t < tk+1; k = 0; :::; n 1 

hB(t) = hB(tk); tk t < tk+1; k = 0; :::; n 1: 

Notera att värdeprocessen v(t); t 2 [0; T ] ; är kontinuerlig n.s. [Q] eller 

ekvivalent n.s. [P ] : Vi …xerar nu k 2 f0; :::; n 2g : Av ekvationerna 

och 

v(tk+1 ) = v(tk) + hS(tk)(S(tk+1) S(tk)) + hB(tk)(B(tk+1) B(tk)) 

v(tj) = hS(tj)S(tj) + hB(tj)B(tj); j = k; k + 1

182 

drar vi slutsatsen att 

hS(tk)S(tk+1) + hB(tk)B(tk+1) = 

hS(tk+1)S(tk+1) + hB(tk+1)B(tk+1) 

dvs omplacering från hS(tk) aktier och hB(tk) obligationer till hS(tk+1) aktier 

och hB(tk+1) obligationer vid tiden tk+1 kräver inte något extra kapitaltillskott 

men frigör heller inte kapital. Strategin kräver alltså endast en initial 

investering. 

Antag nu vi har en själv…nansierande portföljstrategi i aktien och obligationen 

med värdeprocessen 

v(t); t 2 [0; T ] : 

Strategin säges vara arbitragefri om det ej kan inträ¤a att v(0) = 0 samtidigt 

som P [v(T ) 0] = 1 och P [v(T ) > 0] > 0: 

Sats 1. Varje själ…nansierande portföljstrategi i aktien och obligationen är 

arbitragefri. 

Bevis. Vi låter hS(t), hB(t) och v(t) ha samma mening som ovan i de…nitionen 

av begreppet själv…nansierande portföljstrategi i aktien och obligationen 

och de…nierar 

X(t) = v(t) 

B(t) 

så att 

Vi de…nierar också 

och får 

d(B(t)X(t)) = hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t) = 

hS(t)dS(t) + 

B(t)X(t) hS(t)S(t) 

dB(t): 

B(t) 

g(t) = hS(t)S(t) 

B(t) 

hS(t)dS(t) = g(t)B(t) (rdt + dW a (t)) =


d(B(t)X(t)) = hS(t)dS(t) + 


g(t) dB(t) + g(t)B(t)dW a (t): 

B(t)X(t) hS(t)S(t) 

dB(t) = 

B(t) 

g(t)B(t)dW a (t) + X(t)dB(t) 

dX(t) = g(t)dW a (t): 

Eftersom g 2 M 2 W a [0; T ] ger ekvationen 

att 

X(T ) = X(0) + 

Z T 

X(0) = E Q [X(T )] : 

0 

g(t)dW a (t) 

183 

Om X(0) = v(0)=B(0) = 0 så kan det därför ej gälla att v(T ) = B(T )X(T ) 

0 n.s. [Q] och Q [v(T ) > 0] > 0. Eftersom måtten P och Q är ekvivalenta 

kan det därför ej heller gälla att v(T ) 0 n.s. [P ] och P [v(T ) > 0] > 0, 

vilket bevisar satsen. 

Antag nu att vi (oberoende av utvecklingarna i kapitel 7 och 10) vill 

värdera ett derivat av europeisk typ som utbetalar beloppet X 2 L 2 ( ; F; Q) 

vid tiden T : Notera att vi tillåter att X eventuellt antar negativa värden. 

Låt oss först antaga att det …nns en själv…nansierande portföljstrategi i aktien 

och obligationen sådan att portföljens värde vid tiden T är lika med X 

(sats 2 nedan visar att en sådan strategi existerar). Vi betraktar alltså en 

portfölj bestående av hS(t) aktier och hB(t) obligationer vid tiden t så att 

dess värdeprocess 


uppfyller 


i intervallet 0 t T och har slutvärdet 

v(T ) = X:

184 

Här förutsätts villkoren hSS 2 M 2 W a [0; T ] och hB 2 L1 W [0; T ] = L1W a [0; T ] 

gälla (man talar ibland om en hedge mot X om alla dessa förutsättningar är 

uppfyllda). Om en annan själv…nansierande strategi i aktien och obligationen 

har värdet X vid tiden T så har portföljernas skillnad värdet noll vid tiden 

T: Beroende på sats 1 har därför portföljernas skillnad värdet noll vid tiden 

0. Vi de…nierar nu derivatets teoretiska pris vid tiden 0 lika med v(0): Med 

samma typ av motivering kan vi nu de…niera derivatets teoretiska pris vid 

tiden t lika med v(t): 

Den prisde…nition vi här ger för derivat av europeisk typ leder till samma 

teoretiska värden som i kapitel 7 och 10: Vi tror det kan vara belysande att 

först bevisa detta påstående för ett enkelt derivat beroende på sambandet 

med di¤erentialekvationer. Betrakta därför ett derivat av europeisk typ som 

utbetalar värdet f(S(T )) slutdagen T där f 2 P: Vi postulerade i kapitel 

7 att derivatets värde v(t) = v(t; S(t)) vid tiden t uppfyller Black-Scholes 

di¤erentialekvation 

Slutvillkoret 

gav sedan 

v 0 t(t; s) + 

2 

2 s2v 00 

ss(t; s) + rsv 0 s(t; s) rv(t; s) = 0: 

v(T; s) = f(s) 

v(t; s) = e r E [f(se r M ( ))] : 

Vi de…nierar nu v(t; s) genom denna formel och skall visa att v(t; S(t)) 

ger derivatets värde vid tiden t enligt de…nitionen i detta kapitel. Observera 

först att v(t; s) löser Black-Scholes ekvation och de…niera 

och 

Itôs lemma ger 

hB(t) = 1 

B(t) (v(t; S(t)) v0 s(t; S(t))S(t)) 

hS(t) = 1 

S(t) (v(t; S(t)) hB(t)B(t)) = v 0 s(t; S(t)): 

dv(t; S(t)) = v 0 t(t; S(t))dt + v 0 s(t; S(t))dS(t) + 1 

2 v00 

ss(t; S(t))(dS(t)) 2 = 

(v 0 t(t; S(t)) + 

2 

2 S(t)2v 00 

ss(t; S(t)))dt + v 0 s(t; S(t))dS(t) =

hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t): 

185 

Det återstår således endast att visa att hSS 2 M 2 W a [0; T ] och hB 2 L1 W [0; T ] : 

Vi visade emellertid ovan att hSS 2 M 2 W a [0; T ] och det följer därefter från 

de…nitionerna och Cauchy-Schwarz olikhet att hB 2 L1 W [0; T ] : 

Innan vi lämnar vårt enkla derivat vill vi peka på en intressant invarians 

som lätt kommer fram från ovanstående. Antag som tidigare att f 2 P samt 

dessutom att f 0 och P [f(S(T )) > 0] > 0. För t < T gäller att v(t; s) > 0 


där 

och 

dv(t; S(t)) 

v(t; S(t)) = f(t; S(t))dt + f(t; S(t))dW (t) 

1 

v(t; S(t)) (v0 t(t; S(t)) + 

2 

f(t; S(t)) = 

2 S(t)2v 00 

ss(t; S(t)) + S(t)v 0 s(t; S(t))) 

f(t; S(t)) = S(t)v0 s(t; S(t)) 

: 

v(t; S(t)) 

Om vi också antar att och v 0 

s(t; s) 6= 0 för alla t < T och s > 0 så följer att 

f(t; S(t)) r 

f(t; S(t)) = 

v0 t(t; S(t)) + 2 

2 S(t)2v 00 

ss(t; S(t)) + S(t)v0 s(t; S(t)) rv(t; S(t)) 

S(t)v0 : 

s(t; S(t)) 

Eftersom funktionen v(t; s) uppfyller Black-Scholes di¤erentialekvation är 

denna kvot oberoende av f dvs 

f(t; S(t)) r 

f(t; S(t)) = 

Sats 2. Antag X 2 L 2 ( ; FT ; Q). Det …nns en själv…nansierande portföljstrategi 

i aktien och obligationen sådan att portföljens värde vid tiden T är 

r :

186 

lika med X: Värdet för ett europeiskt derivat i aktien som utbetalar värdet 

X slutdagen T är vid tiden t lika med 


Eftersom det …nns en själv…nansierande strategi i aktien och obligationen 

som har portföljvärdet X vid tiden T för varje X 2 L 2 ( ; FT ; Q) sägs 

vår modell vara komplett. Notera också att prisformeln i sats 3 är exakt 

densamma som den vi kom fram till i kapitel 10 för motsvarande derivat. 

Bevis. I beviset kan det utan inskränkning antagas att B(T ) = 1: Vi 

utnyttjar först Itos representationssats och skriver 

X = E Q [X] + 

där g 2 M 2 W a [0; T ] : Sätt därefter 

så att 

Vi får härav att 

Z T 

0 

g( )dW a ( ) 

X(t) = E Q [X j Ft] ; t 2 [0; T ] 

X(t) = X(0) + 

Z t 

0 

g( )dW a ( ): 

d(B(t)X(t)) = B(t)dX(t) + X(t)dB(t) = 

B(t)g(t)dW a (t) + X(t)dB(t) = B(t) g(t) ( dS(t) 

S(t) 

Sätt nu 

och 

g(t)B(t) 

dS(t) + (X(t) 

S(t) 

hS(t) = g(t)B(t) 

S(t) 

hB(t) = X(t) 

g(t) )dB(t): 

g(t) : 

rdt) + X(t)dB(t) =

Man ser lätt att 

och 

Det gäller vidare att 

och 

hSS 2 M 2 W a [0; T ] 

hB 2 L 1 W [0; T ] : 

B(t)X(t) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t) 

d(B(t)X(t)) = hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t): 

Derivatets värde vid tiden t är därför lika med 

B(t)X(t) = e r E Q [X j Ft] : 

187 

Den metod vi nu har för att bestämma optionsvärden är också lämplig 

om vi har utdelning i aktien. Återigen diskuterar vi först enkla europeiska 

kontrakt beroende på sambandet med di¤erentialekvationer. Betrakta därför 

ett derivat av europeisk typ med slutdagen T som utbetalar värdet f(S(T )) 

vid tiden T där f 2 P: Aktien utdelar kontinuerligt (t)S(t)dt i varje tidsintervall 

[t; t + dt] där (t) är en icke-negativ deterministisk funktion av tiden 

t. Vi antager också att är en styckvis konstant funktion i intervallet [0; T ]. 

Beroende på den ganska allmänna utdelningsprocessen i aktien antar vi denna 

gång att aktiepriset uppfyller ekvationen 

S(t) = S(0)e R t 

0 ( )d 

2 

2 t+ W (t) ; 0 t T 

för ett lämplig styckvis konstant funktion i intervallet [0; T ] : Observera 

att Itôs lemma ger 

dS(t) = S(t)( (t)dt + dW (t)); 0 t T: 

För att värdera optionen betraktar vi en portfölj bestående av hS(t) aktier 

och hB(t) obligationer vid tiden t och ansätter ekvationerna 

och 

v(t; S(t)) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t) 

dv(t; S(t)) = hS(t)(dS(t) + (t)S(t)dt) + hB(t)dB(t):

188 

Itôs lemma ger (om v(t; s) är tillräckligt reguljär) att 

dv(t; S(t)) = v 0 t(t; S(t))dt + v 0 s(t; S(t))dS(t) + 1 

2 v00 

ss(t; S(t))(dS(t)) 2 = 

(v 0 t(t; S(t)) + 

Vi de…nierar därför 

och 

och får 

2 

2 S(t)2v 00 

ss(t; S(t)))dt + v 0 s(t; S(t))dS(t): 

hS(t) = v 0 s(t; S(t)) 

hB(t) = 1 

B(t) (v(t; S(t)) v0 s(t; S(t))S(t))e r 

v 0 t(t; S(t)) + 

2 

2 S(t)2v 00 

ss(t; S(t)) = 

(t)S(t)v 0 s(t; S(t)) + r(v(t; S(t)) S(t)v 0 s(t; S(t)): 

Denna ekvation är uppfylld om 

v 0 t(t; s) + 

Vi skall också tänka på slutvillkoret 

2 

2 s2v 00 

ss(t; s) + (r (t))sv 0 s(t; s) rv(t; s) = 0: 

v(T; s) = f(s): 

För att lösa detta slutproblem inför vi processen 

där denna gång 

och de…nierar 


W a 

t = W a (t) = W (t) a(t); t 2 [0; T ] 

a(t) = 1 (rt 

Z t 

0 

Q = a: 

( ( ) + ( ))d ) 

dS(t) = S(t)((r (t))dt + dW a (t)); t 2 [0; T ] :

189 

Vidare är processen (W a (t))t2[0;T ] är en rellvärd normaliserad Wienerprocess 

i tidsintervallet [0; T ] med avseende på måttet Q och detta mått är enligt 

Cameron-Martins sats ekvivalent med måttet P: Vi har också att 

Processen 

S(t) = S(0)e R t 

0 ( )d 

S(0)e (r 

2 

2 t+ W (t) = 

2 

2 )t R t 

0 ( )d + W a (t) 

X(t) = e (rt R t 

0 ( )d ) S(t); t 2 [0; T ] 

är alltså en Q-martingal och måttet Q kallas för martingalmåttet svarande 

mot de aktuella värdepapperen i tidsintervallet [0; T ] : Itôs lemma ger att 

e rt ((v 0 t(t; S(t)) + 

och integration leder till formeln 

2 

d(e rt v(t; S(t))) = 

2 S(t)2v 00 

ss(t; S(t)))dt + v 0 s(t; S(t))dS(t) rv(t; S(t)dt) = 

e rt S(t)v 0 s(t; S(t))dW a (t) 

e rT v(T; S(T )) = e rt Z T 

v(t; S(t)) + 

t 

Alltså är 


e r S( )v 0 s( ; S( ))dW a ( ): 

E Q e rT v(T; S(T )) j Ft = e rt v(t; S(t)) 

v(t; S(t)) = e r E Q [f(S(T )) j Ft] 

dvs den gamla vanliga formeln. En mer lättfattlig formel uppstår om vi 

använder att 

S(T ) = S(t)e (r 

2 

2 ) 

R T 

t ( )d + (W a T W a t ) 

vilket ger 

Antag t ex att 

och 

v(t; s) = e r E 

(t) = 

h 

f(se r 

R T 

t 

t < t < t + h < T 

"; t t t + h 

0; annars 

i 

( )d 

M ( )) :

190 

där " > 0: Detta ger 

v(t; s) = e r E f(se r e "h M ( )) : 

Observera att den allra sista delen av sats 1 i kapitel 8 erhålls från detta 

resultat som ett gränsfall genom att välja 

e "h = 1 

och därefter låta h ! 0. 

Man kan ersätta ovanstående kalkyl som ledde fram till formeln 

v(t; S(t)) = e r E Q [f(S(T )) j Ft] 

med ett mer matematiskt resonemang precis som i fallet då aktien ej ger 

utdelning. Vi lämnar detta till övningarna. 

Övningar 

1. Betrakta Black-Scholes modell och låt X 2 L 2 ( ; FT ; Q): Antag en 

själv…nansierade portföljstrategi bestående av hS(t) aktier och hB(t) 

obligationer vid tiden t har värdeprocessen v(t) = hS(t)S(t)+hB(t)B(t) 

och uppfyller 


i intervallet 0 t T: Antag också att slutvärdet v(T ) = X: Utred 

entydighet för hS och hB: 

2. Antag vi har en obligation och en utdelande aktie som i slutet av detta 

kapitel. 

a) De…niera begreppet själv…nansierande portföljstrategi i aktien och 

obligationen. 

b) De…niera begreppet arbitrage och visa att modellen saknar arbitrage. 

c) De…niera innebörden av att modellen är komplett. Är modellen 

komplett enligt din de…nition?

d) De…niera det teoretiska priset för ett betingat kontrakt. 

3. Antag K > 0: Berstäm f(t; s) då 

a) f(s) = max(0; s K) 

b) f(s) = max(0; K s): 

191

192

13. Flera underliggande aktier 

193 

Finansiella derivat kan bero på ‡era underliggande aktier. Typiska exempel 

härpå är aktieindexoptioner och aktieindexterminer där index bestäms från 

en föreskriven grupp av aktier (se ”basket options”i [MR]). Om indexvärdet 

här uppfattas som en endimensionell geometrisk Brownsk rörelse med exponentiell 

drift så vi är dock tillbaka till den situation vi redan behandlat [H]. 

Det förekommer också optioner av icke-standardiserad form, som naturligt 

leder till ‡erdimenstionell stokastisk analys. Ett enkelt exempel härpå är optionen 

att få byta en given aktie mot en annan aktie ett …xt framtida datum 

om kontraktsinnehavaren så önskar [MAR]. Optionen på minimum av ‡era 

värdepapperspriser har också ofta diskuterats i litteraturen (se t ex [BOY ]): 

I boken [J2] sammanställs ‡era intressanta artiklar om exotiska optioner. 

Låt W (t) = (W1(t); :::; Wn(t)); t 0; vara en normaliserad R n -värd 

Wienerprocess dvs antag att processerna 

Wk = (Wk(t))t 0; k = 1; :::; n 

är stokastiskt oberoende normaliserade reellvärda Wienerprocesser. Vi uppfattar 

W (t) som en kolonnmatris med n rader. Processen 

W (t) = (W1(t); :::; Wn(t)); 0 t T 

kallas för en n-dimensionell normaliserad Wienerprocess i tidsintervallet [0; T ] : 

Om c = [c1:::cn] är en matris med reella element av typen 1 n blir processen 

X(t) = cW (t) = 

nX 

ckWk(t); t 0: 

k=1 

en centrerad stokastisk process med kovariansen 

E [X(s)X(t)] = 

nX 

k=1 

c 2 kE [Wk(s)Wk(t)] =j c j 2 min(s; t) 

dvs processen (X(t))t 0 är en centrerad reellvärd Wienerprocess. 

Antag vi har m st aktier, numrerade från 1 till m, där den i:te aktien har 

priset Si(t) vid tiden t. Vi inför nu vektorpriset 

S(t) = (S1(t); ::; Sm(t))

194 

vid tiden t. Den geometriska Brownska rörelsemodellen för dessa aktier innebär 

att log-vektorpriset 

ln S(t) = (ln S1(t); ::; ln Sm(t)) 

beskriver en Brownsk rörelse i R m med linjär drift för t 0 dvs det existerar 

en normaliserad Wienerprocess i W (t) = (W1(t); :::; Wn(t)); t 0; i R n så 

att 

Si(t) = e it+ iciW (t) ; i = 1; :::; m 

där 1;:::; m 2 R; 1; :::; m > 0 och där c 1; :::; c m är enhetsvektorer i R n : I 

detta fall säger vi också att vektorpriset S(t); t 0; beskriver en geometrisk 

Brownsk rörelse i R m med exponentiell drift. Vi antar nedan också att 

vektorerna c 1; :::; c m är linjärt oberoende. Detta antagande är ingen väsentlig 

begränsning ty i motsatt fall …nns reella tal i; i = 1; ::; m; ej alla noll så att 

funktionen 

mY 

i=1 

S i 

i (t); t 0 

är deterministisk, vilket är orimligt i realistiska fall. Vi skall i detta avsnitt 

studera …nansiella derivat i de m aktierna och behöver därför först studera 

stokastisk integration i ‡era variabler. 

Betrakta en normaliserad R n -värd Wienerprocess i W (t) = (W1(t); :::; Wn(t)); 

i tidsintervallet [0; T ] med kontinuerliga trajektorier. Det underliggande sannolikhetsrummet 

( ; F; P ) förutsätts vara komplett. Vi antar det är givet 

en familj av -algebror Ft; t 2 [0; T ] ; av delmängder av sådan att 

och 

Vi antar också att 

där 

Ft1 Ft2 F; t1 t2 

A 2 F0 om A 2 F och P (A) = 0: 

(W ( ); t) Ft 

Ft och (W ( + t) W (t); T 0) är stokastiskt oberoende 

för alla 0 t T:

195 

En reellvärd stokastisk process h = (h(t))0 t T sägs vara progressivt 

mätbar om avbildningen 

(t; !) ! h(t; !); (t; !) 2 [0; T0] 

är (B [0; T0] FT0)-mätbar för varje …xt T0 2 [0; T ] : En matris h = (hij) 

av reellvärda progressivt mätbara funktioner sägs tillhöra klassen L p 

W [0; T ] 

[0; T ]) om 

(eller M 2 W 

Råkar h 2 L p 

W 

L1 W 

Z T 

0 

j hij(t) j p dt < 1 n.s., alla i; j: 

[0; T ] vara begränsad n.s. säger vi att h tillhör klassen 

[0; T ]. Vi uppfattar här h som 0 så snart 

Z T 

Om p 2 [1; 1[ är …xt låter vi M p 

W 

sådana att 

E 

0 

Z T 

0 

j hij(t) j dt = 0 n.s., alla i; j: 

[0; T ] beteckna klassen av alla h 2 Lp 

W [0; T ] 

j hij(t) j p dt < 1; alla i; j: 

Om en h = (hij) är en m n-matris av funktioner tillhörande L 2 W 

de…nieras den stokastiska integralen 

nX 

k=1 

Z T 

0 

Z T 

0 

h1k(t)dWk(t); :::; 

h(t)dW (t) = 

nX 

k=1 

Z T 

Vi förutsätter nedan att alla processer av typen 

Z t 

0 

h( )dW ( ); 0 t T 

0 

hmk(t)dWk(t) 

! 

: 

[0; T ] 

där h 2 L2 W [0; T ] är givna i en version med kontinuerliga trajektorier n.s. Vi 

de…nierar också 

Z t2 

t1 

h(t)dW (t) = 

Z t2 

0 

h(t)dW (t) 

Z t1 

0 

h(t)dW (t); 0 t1 t2 T:

196 

Råkar h 2 M 2 W 

där 

E j 

mX 

i=1 

Z t2 

t1 

nX 

E 

k=1 

[0; T ] följer att 

h(t)dW (t) j 2 = 

Z t2 

t1 

2 

mX 

E 4 

i=1 

h 2 ik(t)dt = E 

j h(t) j 2 = 

Z t2 

t1 

mX 

i=1 

nX 

k=1 

Z t2 

t1 

hik(t)dWk(t) 

! 2 3 

5 = 

j h(t) j 2 dt ; 0 t1 t2 T 

nX 

h 2 ik(t): 

Vi kan nu de…niera stokastiska di¤erentialer av vektorvärda processer. 

[0; T ] är av typen m 1 

Antag att matriserna a 2 L1 W [0; T ] och b 2 L2W respektive m n: Om en stokastisk process (X(t)) t2[0;T ] uppfyller 

X(t2) X(t1) = 

skriver vi 

Z t2 

t1 

a(t)dt + 

Z t2 

t1 

k=1 


b(t)dW (t); alla 0 t1 t2 T 

och dX(t) kallas för en stokastisk di¤erential. Mer precist kallas dX(t) för 

en stokastisk di¤erential av typen (m; n): Om dessutom c 2 L1 W [0; T ] är av 

typen 1 m de…nieras 

c(t)dX(t) = c(t)a(t)dt + c(t)b(t)dW (t): 

Vi illustrerar först detta di¤erentialbegrepp genom att diskutera några 

exempel. I vårt inledande exempel visar vi att 

d(W1(t)W2(t)) = W1(t)dW2(t) + W2(t)dW1(t): 

För att se detta införs den endimensionella normaliserade Wienerprocessen 

Vi vet att 

X(t) = 1 

p 2 (W1(t) + W2(t)); 0 t T: 

dX 2 (t) = 2X(t)dX(t) + tdt:

Härav får vi att 

d(W1(t)W2(t)) = d(X 2 (t) 

1 

2 W 2 1 (t) 

1 

2 W 2 2 (t)) = 

2X(t)dX(t) W1(t)dW1(t) W2(t)dW2(t) = 

W1(t)dW2(t) + W2(t)dW1(t): 

197 

Vi skall nu visa en allmän produktregel för stokastisk di¤erentiering. Antag 

därför 

dXi(t) = ai(t)dt + 

där ai 2 L 1 W [0; T ] och bik 2 L 2 W 


nX 

bik(t)dWk(t); i = 1; 2: 

k=1 

d(X1(t)X2(t)) = X1(t)dX2(t) + X2(t)dX1(t) + 

[0; T ] ; i = 1; 2; k = 1; :::; n; alla är skalärvärda. 

nX 

b1k(t)b2k(t)dt: 

k=1 

Innebörden här är att det för …xa 0 t1 t2 T gäller att 

Z t2 

t1 

Z t2 

t1 


X1(t2)X2(t2) X1(t1)X2(t1) = 


nX 

k=1 

Z t2 

t1 

nX 

k=1 

Z t2 

t1 

X2(t)b1k(t)dW1(t) + 

X1(t)b2k(t)dW2(t)+ 

nX 

j=1 

Z t2 

t1 


Om ai; bik; i = 1; 2; k = 1; :::; n; är konstanta följer denna formel av en direkt 

kalkyl. Det allmäna fallet följer nu genom approximation med trapprocesser. 


Speciellt följer att 

dX1(t)dX2(t) = 

nX 


k=1 

(dt) 2 = 0 

dtdWk(t) = dWk(t)dt = 0

198 

och 

dWk(t)dWl(t) = 0 om k 6= l 

dWk(t)dWk(t) = dt: 

Produktregeln ovan kan därmed skrivas 

d(X1(t)X2(t)) = X1(t)dX2(t) + X2(t)dX1(t) + dX1(t)dX2(t): 

Om dX(t) är en stokastisk di¤erential av typen (1; n) och k är ett heltal 2 

så följer lätt med hjälp av induktion att 

dX k (t) = kX k 1 (t)dX(t) + 

k(k 1) 

X 

2 

k 2 (t)(dX(t)) 2 : 

Rätt tolkad gäller formeln även för k = 0; 1: 

Antag nu att dX1(t); dX2(t); :::; dXm(t) är stokastiska di¤erentialer av 

typen (1; n). Vi sätter 

och 

X(t) = (X1(t); X2(t); :::; Xm(t)) 

dX(t) = (dX1(t); dX2(t); :::; dXm(t)): 

Om funktionen u(x1; :::; xm) är två gånger kontinuerligt deriverbar påstår vi 

att 

du(X(t)) = ru(X(t)) dX(t) + 1 

dX(t) Hu(X(t))dX(t) 

2 

där 

Hu = 

@2u : 

@xi@xj 1 i;j m 

Specialfallet u(x1; :::; xm) = x k i där k är ett naturligt tal och i 2 f1; :::; mg är 

redan utrett ovan. Man visar lätt att om formeln är sann för två funktioner 

u1(x1; :::; xm) och u2(x1; :::; xm) så är formeln också sann för deras produkt 

u1(x1; :::; xm) u2(x1; :::; xm). Formeln gäller alltså för polynom i x1; :::; xm 2 

R. 

Om funktionen u(t; x1; :::; xm) är en gång kontinuerligt deriverbar i t 2 

[0; T ] och två gånger kontinuerligt deriverbar i x1; :::; xm 2 R så påstår vi att 

du(t; X(t)) = 

u 0 t(t; X(t))dt + ru(X(t)) dX(t) + 1 

dX(t) Hu;x(X(t))dX(t) 

2

där 

Hu;x = 

@ 2 u 

@xi@xj 1 i;j m 

: 

199 

Genom att uttnyttja vad vi vet i det tidsoberoende fallet visar man lätt att 

formeln gäller om u(t; x1; :::; xm) = f(t)q(x1; :::; xm) där f är kontinuerligt 

deriverbar och q(x1; :::; xm) är ett polynom i x1; :::; xm 2 R. Formeln följer 

nu för alla polynom u(t; x1; :::; xm) i variablerna t; x1; :::; xm. Genom approximation 

följer därför formeln för funktioner u(t; x1; :::; xm) som är en gång 

kontinuerligt deriverbara i t 2 [0; T ] och två gånger kontinuerligt deriverbara 

i x1; :::; xm 2 R: 

Sats 1. (Itôs lemma för vektorvärd Wienerprocess) Antag att funktionen 

u(t; x1; :::; xm) är en gång kontinuerligt deriverbar i t 2 [0; T ] och två 

gånger kontinuerligt deriverbar i x1; :::; xm 2 R: Antag också att 


där a = (a1;:::; am) 2 L 1 W [0; T ] och b = (bik)1 i m; 1 k n 2 L 2 W 

matriser av reellvärda funktioner. Då gäller att 

du(t; X(t)) = 

u 0 t(t; X(t))dt + ru(X(t)) dX(t) + 1 

dX(t) Hu;x(X(t))dX(t): 

2 

[0; T ] är 

Som vanligt betecknar (C; B; ) Wienerrummet svarande mot Brownsk 

rörelse i intervallet [0; T ] : Vi skriver 

8 

< 

: 

C n = C ::: C (n gånger) 

B n = B ::: B (n gånger) 

n = ::: (n gånger): 

och låter B n beteckkna n -kompletteringen av B n : Utvidgningen av måttet 

n till -algebran B n betecknas återigen med n : Nedan antager vi att det underliggande 

sannolikhetsrummet ( ; F; P ) är lika med sannolikhetsrummet 

(C n ; B n ; n ). Notera att 

C n = fx; x : [0; T ] ! R n är kontinuerligg :

200 

Om x = (x1; :::; xn) 2 C n och 0 t T de…nieras 

[W (x)] (t) = [(W1(x); :::; Wn(x))] (t) = x(t) = (x1(t); :::; xn(t)) 

och vi låter för …xt t 2 [0; T ] -algebran Ft vara den minsta -algebran av 

delmängder av som innehåller -algebran (W ( ); 0 t) och alla 

P -nollmängder. 

Vi återvänder nu till de m aktierna ovan och antager att aktiernas vektorpris 

S(t) = (S1(t); ::; Sm(t)) 

beskrivs av en m-dimensionell geometrisk Brownsk rörelse med exponentiell 

drift representerad på formen 

Si(t) = Si(0)e ( i 

2 

i 

2 )t+ iciW (t) ; i = 1; :::; m 

där 1;:::; m 2 R; 1; :::; m > 0 och där c 1; :::; c m är linjärt oberoende enhetsvektorer 

i R n : Notera att 

dSi(t) = Si(t)( idt + id(cW (t))i); i = 1; :::; m: 

Från och med nu antages att 

c = matrisen med raderna c1; :::; cm har rangen n: 

Man kan visa att detta villkor är ekvivalent med att processen S(t); 0 t 

T; genererar -algebran B n : Speciellt gäller då att m = n: I fortsättningen 

föredrar vi bokstaven m framför n: Vi de…nierar 

a(t) = ( r 1 

; :::; r m 

)t = 

r 

1 

m 

; t 2 [0; T ] 

och låter Q vara måttet i rummet sådant att processen W (t) c 1 a(t); t 2 

[0; T ] har fördelningsmåttet P: Vi inför också beteckningen 

så att 

W a (t) = (W a 1 (t); :::; W a m(t)) = W (t) c 1 a(t); t 2 [0; T ] 

d(cW (t)) = r 

dt + d(cW a (t)):

Alltså måste 

dSi(t) = Si(t)(rdt + id(cW a (t))i; i = 1; :::; m: 

201 

Utöver de m aktierna har vi också en obligation vars värde vid tiden t ges av 

ekvationen B(t) = B(0)ert ; där B(0) och r är positiva konstanter. Som ovan 

utnyttjas ibland beteckningen = T t: 

Betrakta nu en portföljstrategi som vid tiden t består av hSi (t) aktier i 

den i :te aktien för i = 1; :::; m och hB(t) obligationer. Vi inför nu 1 m 

matrisen 

hS(t) = [hS1(t):::hSm(t)] : 

Portföljstrategin sägs vara själv…nansierande om portföljens värde 

vid tiden t 2 [0; T ] uppfyller 



i intervallet 0 t T där hSiSi 2 M 2 W a [0; T ], i = 1; :::; m; och hB 2 

L1 W [0; T ] = L1W a [0; T ]. Utöver mätbarhetskrav innebär de senare villkoren 

att 

E Q 

Z T 

och Z T 

0 

(hSi (t)Si(t)) 2 dt < 1; i = 1; :::; m 

0 

j hB(t) j dt < 1 n.s. 

Strategin säges vara arbitragefri om det ej kan inträ¤a att v(0) = 0 samtidigt 

som och P [v(T ) 0] = 1 och P [v(T ) > 0] > 0: 

Sats 2. Varje själ…nansierande portföljstrategi i aktierna och obligationen är 

arbitragefri. 

Bevis. Låt hS(t) = [hS1(t):::hSm(t)] ; hB(t) och v(t) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t) 

vara som i de…nitionen av själv…nansierande portföljstrategi i aktierna och 

obligationen och antag v(0) = 0: Sätt 

X(t) = v(t) 

B(t)

202 

och 

Vi får därför 

och 

hS(t)dS(t) = 

hB(t)dB(t) = 


hSi 

gi(t) = i 

(t)Si(t) 

; i = 1; :::; m: 

B(t) 

mX gi(t)B(t) 

i=1 

i 

dSi(t) 

Si(t) = 

mX gi(t) 

dB(t) + 

i=1 

i 

mX gi(t)B(t) 

(rdt + id(cW a (t))i = 

i=1 

mX 

gi(t)B(t)d(cW a (t))i 

i=1 

X(t)B(t) hS(t)S(t) 

dB(t) = X(t)dB(t) 

B(t) 

d(X(t)B(t)) = X(t)dB(t) + 


dvs 

dX(t) = 

dX(t) = 

i 

mX gi(t) 

dB(t): 

i=1 

mX 

gi(t)B(t)d(cW a (t))i 

i=1 

mX 

gi(t)d(cW a (t))i 

i=1 

mX 

" 

mX 

# 

gi(t)cik 

k=1 

i=1 

dW a k (t): 

Alltså är processen X(t); 0 t T; en martingal med avseende på det 

underliggande måttet Q och vi får att 

0 = X(0) = E Q [X(T )] : 

Det kan därför inte gälla att Q [X(T ) 0] = 1 och Q [X(T ) 0] > 1: Det 

kan därför inte gälla att P [v(T ) 0] = 1 och P [v(T ) 0] > 0; vilket bevisar 

satsen. 

i

203 

Antag nu att vi vill värdera ett derivat av europeisk typ som utbetalar 

värdet X 2 L 2 ( ; F; Q) vid tiden T: Om det …nns en själv…nansierande portföljstrategi 

i aktien och obligationen sådan att portföljens värde vid tiden T 

är lika med X så de…nieras derivatets värde vid tiden t lika med motsvarande 

portföljs värde vid tiden t (sats 4 nedan visar att en sådan strategi existerar). 

Följande två satser kan nu visas nästan exakt som motsvarande resultat 

i föregående kapitel, som behandlar en underliggande aktie och vi går inte in 

på bevisen här. 

Sats 3. Antag X 2 L2 ( ; F; P ). Det …nns h 2 M 2 W 

Z T 

X = E [X] + 

0 

h(t)dW (t): 

[0; T ] så att 

Sats 4. Ett europeiskt derivat i aktierna utbetalar värdet X 2 L 2 ( ; F; Q) 

slutdagen T: Det …nns en själv…nansierande strategi i aktierna och obligationen 

som har värdet X vid tiden T: Optionens värde vid tiden t ges av 


Vi har nu utvecklat en kalkyl som lätt leder till Black-Scholes di¤erentialekvation 

i ‡era variabler. Betrakta en europeisk option med mognadsdatum 

T och lösenvärdet K. Utbetalningsfunktionen f(s) = f(s1; :::; sm); 

s1; :::; sm > 0; antags vara kontinuerlig och sådan att 

sup 

(x1;:::;xm)2Rm (e Cjxj j f(e x1 xm ; :::; e ) j) < 1 

för ett lämpligt positivt tal C: Vi skall härleda optionens värde v(t) vid tiden 

t < T: Ansätt därför 

v(t) = v(t; S(t)) = v(t; S1(t); :::; Sm(t)) 

och betrakta en själv…nansierande portföljstrategi som vid tiden t består av 

hSi (t) aktier i den i:te aktien för i = 1; :::; m och hB(t) obligationer: Vi utgår 

alltså från ekvationerna 

v(t; S(t)) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t)

204 

och 

där 

dv(t; S(t)) = hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t) 

hS(t) = [hS1(t):::hSm(t)] : 

Om funktionen v(t; s) är tillräckligt reguljär ger Itôs lemma 

dv(t; S(t)) = v 0 t(t; S(t))dt + rsv(t; S(t)) dS(t) + 1 

2 dS(t) H v;s(t; S(t))dS(t) = 

v 0 t(t; S(t))dt + 



(v 0 t(t; S(t)) + 

Eftersom 

mX 

i;j=1 

motiverar ekvationen 

att 

Vi får nu att 

och 

(v 0 t(t; S(t)) + 

mX 

i;j=1 

i j 

2 

i j 

00 

Si(t)Sj(t)vsisj 2 (t; S(t))) (cidW (t)cjdW (t)) + 

ij = 

rsv(t; S(t)) dS(t): 

nX 

cikcjk; i; j = 1; :::; m 

k=1 

dv(t; S(t)) = 

ijSi(t)Sj(t)v 00 

sisj (t; S(t)))dt + rsv(t; S(t)) dS(t): 

dB(t) = rB(t)dt 

dv(t; S(t)) = hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t) 

hS(t) = rsv(t; S(t)) : 

hB(t) = 1 

B(t) (v(t; S(t)) rsv(t; S(t)) S(t)) 

mX 

i;j=1 

i j 

2 

ijSi(t)Sj(t)v 00 

sisj (t; S(t)))dt = hB(t)dB(t) =


v 0 t(t; s) + 

mX 

i;j=1 

(v(t; S(t)) rsv(t; S(t)) S(t))rdt: 

i j 

2 sisj ijv 00 

sisj (t; s) + r 

mX 

i=1 

siv 0 si (t; s) rv(t; s) = 0 

205 

vilket är Black-Scholes di¤erentialekvation i ‡era variabler. Om vi nu som 

vanligt sätter = T t så leder slutvillkoret 

till att 

v(t; s) = e r E f(s1e (r 

v(T; s) = f(s) 

2 

1 

2 ) + 1c1W1( ) ; :::; sme (r 

2 

m 

2 ) + mcmWm( ) ) : 

Om vi omvänt de…nierar v(t; s) genom denna ekvation så får vi en själv…nansierande 

portföljstrategi i aktierna och obligationen genom att de…niera 

och 

hS(t) = rsv(t; S(t)) 

hB(t) = 1 

B(t) (v(t; S(t)) rsv(t; S(t)) S(t)): 

Detaljerna lämnas som öving. 

Om funktionen f är positivt homogen av graden 1 dvs 

f( s) = f(s); > 0 

så följer att optionens värde är ränteoberoende. Mer precist gäller att 

v(t; s) = E f(s1e 

2 

1 

2 + 1c1W ( ) ; :::; sme 

2 

m 

2 

+ mc1W ( ) ) : 

Vi undersöker nu detta fall närmare då m = 2. Vi har att 


v(t; s) = E f(s1e 

2 

1 

2 + 1c1W ( ) ; s2e 

q 

21 

0 = 2 12 1 2 + 2 2 

2 

2 

2 + 2c2W ( ) )

206 


I specialfallet 

erhålls för t < T optionsvärdet 

v(t; s) = E [f(s1; s2M 0( ))] : 

f(s) = fmin(s) = min(s1; s2) 

s2 ln s1 

v(t; s) = vmin(s) = s1 ( 

0 

2 

0 

2 

p ) + s2 ( 

ln s1 

s2 

0 

2 

0 

2 

p ): 

För optionen att byta första aktien mot den andra aktien vid tiden T om 

kontraktsinnehavaren så önskar är utbetalningsfunktionen lika med 

f(s) = f1!2(s) = max(0; s2 s1) = s2 min(s1; s2) 

och dess värde v(t; S(t)) = v1!2(t; S(t)) vid tiden t < T är lika med 

s2 ln 

s2 ( 

v1!2(t; s) = s2 vmin(s) = 

s1 + 2 0 

2 

Observera att Jensens olikhet ger 

0 

p ) s1 ( 

ln s2 

s1 

0 

2 

0 

2 

p ): 

v1!2(t; s) = E [f1!2(s1; s2M 0( ))] 

f1!2(E [(s1; s2M 0( ))]) = f1!2(s): 

Motsvarande amerikanska option att få byta första aktien mot den andra 

aktien fram t o m tidpunkten T om kontraktsinnehavaren så önskar är alltså 

inte mer värd än den europeiska och löses därför inte före mognadsdatum. 

Optionen värderas alltså exakt som sin europeiska motsvarighet. 

Från ovan vet vi att om ett betingat kontrakt utbetalar X 2 L 2 ( ; F; Q) 

vid tiden T; där Q är martingalmåttet och X 0, så är optionens värde vid 

tiden t lika med e r EQ [X j Ft]. Vi betraktar nu ett specialfall av formen 

Z T 

X = f(S(T ); 

0 

g(t; S(t))dt) 

då m = 1 och f och g är deterministiska funktioner. För att värdera detta 

kontrakt ansätts att derivatets värde vid tiden t är av formen 

v(t) = v(t; S(t); Z(t))

där 

Notera att 

Z(t) = 

Z t 

0 

g( ; S( ))d : 

dZ(t) = g(t; S(t))dt: 

207 

Vi betraktar nu en sjäv…nansierande portföljstrategi i aktien och obligationen 

och får på vanligt vis ekvationerna 

och 

Itôs lemma ger 

v(t; S(t)) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t) 

dv(t; S(t)) = hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t): 

dv(t; S(t)) = v 0 t(t; S(t); Z(t))dt+v 0 s(t; S(t); Z(t))dS(t)+v 0 z(t; S(t); Z(t))dZ(t)+ 

Detta motiverar att 


2 S(t) 2 

2 

v 00 

ss(t; S(t); Z(t))dt 

hS(t) = v 0 s(t; S(t); Z(t)) 

v 0 t(t; S(t); Z(t))dt + v 0 z(t; S(t); Z(t))dZ(t) + 

2 S(t) 2 

2 

v 00 

ss(t; S(t); Z(t))dt = 

hB(t)dB(t) = rhB(t)B(t)dt = r(v(t; S(t)) v 0 s(t; S(t); Z(t))S(t))dt: 


v 0 t(t; s; z) + rsv 0 s(t; s; z) + g(t; s)v 0 z(t; s; z) + 

Dessutom gäller alltså slutvillkoret 

Här kan fallet 

2 s 2 

v(T; s; z) = f(s; z): 

f(s; z) = max(0; e z=T K) 

g(t; s) = ln s 

2 v00 ss(t; s; z) rv(t; s; z) = 0:

208 

behandlas analytiskt som i kapitel 10. I specialfallet 

f(s; z) = max(0; z 

T 

g(t; s) = s 

leder en lämplig ansats till en förenklad di¤erentialekvation i lägre dimension 

(se övning 1). Fallet 

f(s; z) = max(0; z 

T 

g(t; s) = s 

kan också förenklas på liknande sätt [RS] : 

Övningar 

z 

1. Antag f(s; z) = max(s ) och g(t; s) = s (”average strike option”). 

T 

Ansätt 

v(t; s; z) = su(t; y); y = z 

s : 

Visa att 

och 

u 0 t(t; y) + (1 ry)u 0 y(t; y) + 1 

2 

u(T; y) = max(0; 1 

s) 

K) 

2 y 2 u 00 

yy(t; y) = 0 

y 

T ):

14. Stopptid 

209 

Vi illustrerar i detta kapitel begreppet stopptid. Syftet är dels att få en bättre 

förståelse för amerikanska kontrakt dels att öppna möjligheter att behandla 

nya typer av kontrakt. I slutet av kapitlet diskuteras bl a optionen att få 

köpa en aktie i slutet av en tidsperiod till den lägsta kursen under perioden. 

Låt ( ; F; P ) vara ett sannolikhetsrum och Fn F; n = 0; 1; :::; N; - 

algebror sådana att 

Fn Fn+1; n = 0; 1; :::; N 1: 

Sekvensen (Fn) N n=0 kallas för en …ltration i ändlig tid. En sekvens (Yn; Fn) N n=0 

kallas för en submartingal om 

och 

Yn 2 L 1 ( ; Fn; P ); n = 0; 1; :::; N 

Yn E [Yn+1 j Fn] ; n = 0; :::; N 1: 

Om denna olikhet ersätts med den omvända olikheten 

Yn E [Yn+1 j Fn] ; n = 0; :::; N 1 

talar vi istället om en supermartingal. En sekvens (Yn; Fn) N n=0 är alltså 

en martingal precis då sekvensen är både en submartingal och en supermartingal. 

Om (Yn; Fn) N n=0 är en martingal och f är en konvex funktion 

de…nierad på R så ger Jensens olikhet för betingat väntevärde att sekvensen 

(f(Yn); Fn) N n=0 är en submartingal såvida 

f(Yn) 2 L 1 ( ; Fn; P ); n = 0; 1; :::; N: 

Om detta integrabilitetsvillkor är uppfyllt så gäller samma slutsats så snart 

(Yn; Fn) N n=0 är en submartingal förutsatt att f är konvex och dessutom växande. 

Om …ltrationen (Fn) N n=0 är klar av sammanhanget säger vi att sekvensen 

(Yn) N n=0 är en martingal om sekvensen (Yn; Fn) N n=0 är en martingal. Ibland 

säger vi P -martingal istället för martingal om det underliggande sannolikhetsmåttet 

behöver förtydligas. Samma konventioner gäller sub- och 

supermartingaler. Observera att om (Yn) N n=0 är en växande talföljd n.s. så 

är (Yn) N n=0 en submartingal. Om sekvensen istället är avtagande n.s. så får 

vi en supermartingal.

210 

En avbildning : ! f0; 1; :::; Ng [ f1g sägs vara en stopptid med 

avseende på …ltrationen (Fn) N n=0 om händelsen [ n] 2 Fn för alla n 2 

f0; 1; :::; Ng : Om …ltrationen klart framgår av sammanhanget säger vi stopptid 

istället för stopptid med avseende på den …ltration som avses. Stopptiden 

sägs vara given i diskret tid eftersom …ltrationens indexmängd är ändlig. 

Observera att om = n0 för ett …xt n0 2 f0; 1; :::; Ng så är en stopptid. 

Om 0 och 1 är stopptider så är 

och 

0 _ 1 = max( 0; 1) 

0 ^ 1 = min( 0; 1) 

stopptider. 

De…nitionerna här ovan kan lätt utsträckas till en godtycklig ändlig indexmängd 

fn0; n0 + 1; ::::; Ng : Notera i detta fall att motsvarande stopptider 

antar sina värden i indexmängden fn0; n0 + 1; ::::; Ng : 

Stopptider i diskret tid uppträder t ex i samband med så kallade Bermudaoptioner. 

För att förklara innebörden av dessa optioner betraktar vi en 

aktie vars pris 

S(t) = S(0)e t+ W (t) ; t 0 

beskrivs av en geometrisk Brownsk rörelse med exponentiell drift. Det förutsätts 

också att kapitalmarknaden erbjuder en obligation vars värde B(t) vid 

tiden t är lika med B(0)e rt : Vi begränsar nu alla betraktelser till intervallet 

[0; T ] och låter (C; B; ) vara Wienerrummet svarande mot endimensionell 

Brownsk rörelse i intervallet [0; T ]. Vi antar ( ; F; P ) = (C; B ; ) och 

Wt(!) = !(t); 0 t T; där ! 2 . Liksom i tidigare kapitel skriver vi 

ibland W (t) istället för Wt om missförstånd ej kan inträ¤a. Martingalmåttet 

svarande mot de aktuella värdepappren i tidsintervallet [0; T ] betecknas med 

Q: Som ovan är = T t: 

En Bermudaoption de…nieras av en indelning 

t t0 < t1 < ::: < tN 1 < tN = T 

av intervallet [0; T ] och stokastiska variabler 

0 Xn 2 L 2 ( ; Fn; P ); n = 0; 1; :::; N 

där Ft är den minsta -algebra av delmängder av som innehåller (W ( ); 

t) och alla P -nollmängder: Bermudaoptionen kan inlösas vid vilken som

211 

helst av tidpunkterna tn; n = 0; 1; :::; N; och kontraktsinnehavaren erhåller 

beloppet Xn om optionen löses in vid tiden tn. Vi de…nierar nu induktivt 

och 

VN = XN 

Vn = max(Xn; E Q e r(tn+1 tn) Vn+1 j Fn ); n = N 1; N 2; :::; 0: 

Optionens teoretiska värde vid tiden t ges av 

E Q e r(t0 t) V0 j Ft : 

Vi ser av de…nitionerna att sekvensen (Vne rtn ) N n=0 är en Q-supermartingal 

som dominerar sekvensen (Xne rtn ) N n=0 i den meningen att 

Vne rtn Xne rtn : 

Det är inte optimalt att inlösa kontraktet före tiden tN = T om (Vne rtn ) N n=0 

är en Q-martingal. Notera att detta är fallet om sekvensen (Xne rtn ) N n=0 är 

en Q-submartingal. Ett intressant specialfall får vi för en köpoptionen av 

Bermudatyp där 

Xn = max(0; S(tn) K): 

Här är (Xne rtn ) N n=0 är en Q-submartingal och det är inte optimalt att inlösa 

optionen före slutdagen T: 

Sats 1. Om : ! fn; :::; Ng är en stopptid med avseende på …ltrationen 

(Fk) N k=n så gäller att 

där likhet inträ¤ar för stopptiden 

Vn E Q e r(t tn) X j Fn 

= min k 2 fn; :::; N 1g ; Xk > E Q e r(tk+1 tk) Vk+1 j Fk 

och där minumum över tomma mängden de…nieras som N: 

Bevis. Vi visar först olikheten 

Vn E Q e r(t tn) X j Fn

212 

där är en stopptid med avseende på …ltrationen (Fk) N k=n : Fallet n = N är 

trivialt. Antag nu att 

Vn+1 E Q e r(t tn+1) X j Fn+1 

där är en godtycklig stopptid med avseende på …ltrationen (Fk) N k=n+1 

nu är en stopptid med avseende på …ltrationen (Fk) N k=n så följer 

E Q e r(t tn) X j Fn = 

E Q e r(t tn) X 1[ =n] j Fn + E Q e r(t tn) X 1[ >n] j Fn = 

E Q Xn1[ =n] j Fn + E Q e r(t _(n+1) tn) X _(n+1)1[ >n] j Fn = 

Xn1[ =n] + 1[ >n]E Q e r(t _(n+1) tn) X _(n+1) j Fn = 

Xn1[ =n] + 1[ >n]E Q E Q e r(t _(n+1) tn) X _(n+1) j Fn+1 j Fn = 

Xn1[ =n] +1[ >n]E Q e r(tn+1 tn) E Q e r(t _(n+1) tn+1) X _(n+1) j Fn+1 j Fn 

Xn1[ =n] + 1[ >n]E Q e r(tn+1 tn) Vn+1 j Fn 

Vn1[ =n] + 1[ >n]Vn = Vn: 

Med hjälp av induktion drar vi nu slutsatsen att 

Vn E Q e r(t tn) X j Fn 

: Om 

för varje stopptid är med avseende på …ltrationen (Fk) N k=n : Att likhet inträ¤ar 

i denna olikhet när 

= min k 2 fn; :::; N 1g ; Xk > E Q e r(tk+1 tk) Vk+1 j Fk 

följer också genom induktion. Vi konstaterar att för denna stopptid råder 

likhet i induktionssteget ovan mellan varje led. Detta avslutar beviset för 

satsen. 

Vi övergår nu till att diskutera kontinuerlig tid. En avbildning 

: ! [0; T ] [ f1g 

sägs vara en stopptid med avseende på …ltrationen 

(Ft)0 t T

213 

om händelsen [ t] 2 Ft för alla t 2 [0; T ] : Om …ltrationen klart framgår 

av sammanhanget säger vi stopptid istället för stopptid med avseende på den 

…ltration som avses. En intressant stopptid i detta sammanhang ges av 

x = min f 2 [0; T ] ; W ( ) = xg 

där x > 0 är …xt. Minimum över tomma mängden de…nieras lika med 1: Vi 

har för varje …xt t 2 [0; T ] ekvivalensen 

Bacheliers sats från kapitel 5 säger att 

x > t , W ( ) < x; 0 t: 

P [W ( ) x för alla 0 t] = 2 ( x p t ) 1 

och eftersom högra ledet är en kontinuerlig funktion i x så vi får att 

P [ x > t] = 2 ( x p t ) 1: 

Genom derivering med avseende på t inses att 

där 

P [ x 

t] = 

Z t 

0 

f x( ) = x 3 

2 

f x( )d 

e x2 

2 

p : 

2 

Om : ! [0; T ] [ f1g är en stopptid med avseende på …ltrationen 

(Ft) 0 t T så de…nieras 

De…nitionen ger att 

F = fA 2 FT ; A \ [ t] 2 Ft; 0 t T g : 

[ t] 2 F ; 0 t T: 

Sats 2. Låt (M(t))t2[0;T ] vara en Wienermartingal i intervallet [0; T ] och 

en stopptid med avseende på …ltrationen (Ft) 0 t T sådan att T: Om 

E M 2 (T ) < 1

214 

så är 

och 

E [M( )] = E [M(0)] 

E [M(T ) j F ] = M( ) 

där [M( )] (!) = [M( (!))] (!); ! 2 : 

Bevis. Beroende på Sats 8 i kapitel 11 …nns f 2 M 2 W 

Z T 

Relationerna 

och 

ger 

M(T ) = E [M(T )] + 

M(t) = E [M(0)] + 

E [M(T )] = E [M(0)] 

M(t) = E [M(T ) j Ft] 

Z T 

Med lite ansträngning kan man nu visa att 

M( ) = E [M(0)] + 

0 

Z T 

0 

0 

f( )dW ( ): 

1[0;t]( )f( )dW ( ): 

1[0; ]( )f( )dW ( ) 

[0; T ] så att 

(se [F R]). Eftersom integranden i den stokastiska integralen tillhör M 2 W 


E 

Z T 

0 

1[0; ]( )f( )dW ( ) = 0 

[0; T ] 

och vi drar slutsatsen att E [M( )] = E [M(0)]. 

För att visa sista delen av satsen väljer vi A 2 F . Det räcker att visa 

att 

E [M(T ); A] = E [M( ); A] : 

Därför de…nieras 

U(!) = 

(!); ! 2 A 

T; ! =2 A :

Funktionen U är en stopptid och U T: Enligt första delen gäller nu att 

dvs 


vilket visar satsen. 

Sats 3. Antag 2 R och låt 

Då gäller 

E [M(U)] = E [M(T )] 

E [M( ); A] + E [M(T ); n A] = E [M(T )] 

E [M(T ); A] = E [M( ); A] 

W ( ) = + W ( ); 0 t: 

t 

P max W ( ) x = (x p ) e 

0 t t 

2 x ( 

Bevis. Vi kan antaga att t = T . Sätt 

och f = 1A där 

Då är 

a0( ) = ; 0 T: 

A = max W ( ) > x : 

0 T 

P max W ( ) > x 

0 T 

Z 

= 

Z 

f(a0 + !)d (!) = 

C 

f(!)d a0(!): 

Cameron-Martins sats ger alltså 

C 

x + t 

p ); x > 0: 

t 

P max 

0 T W ( ) > x = E [f(W )M (T )] = E 1[ x T ]M (T ) : 

Sats 2 ger vidare att högra ledet här är lika med 

E E 1[ x T ]M (T ) j F x^T = 

215

216 

E 1[ x T ]E [M (T ) j F x^T ] = E 1[ x T ]M ( x ^ T ) = 

E 1[ x T ]M ( x) = E 

Z T 

Om vi nu de…nierar 


Funktionen 

uppfyller 

0 

f x( )e 

och derivering visar att 

x 1 

2 2 

d = 

h 

1[ x T ]e 

Z T 

0 

x 

3 e 

2 

F (t) = P max W ( ) x 

0 t 

F (t) = 1 

G(t) = ( 

Z t 

0 

x 

3 e 

2 

(x )2 

2 

x t 

p ) e 

t 

2 x ( 

G(0+) = 1 = F (0+) 

F 0 (t) = G 0 (t): 

Alltså är F = G och satsen är bevisad. 

Korollarium 1. Antag 2 R och > 0 och låt 

Då gäller 

och 

x 1 

2 2 x 

(x )2 

2 

d 

p 2 : 

x + t 

p ) 

t 

W ; ( ) = + W ( ); 0 t: 

P max 

0 t W x t 2 x 

; ( ) x = ( p 2 ) e ( 

t 

P min 

0 t W ; ( ) x = ( 

i 

= 

d 

p 2 : 

x + t 

p t ); x > 0 

x + t 2 x x + t 

p 2 ) e ( p ); x < 0: 

t 

t

217 

Bevis. Första delen följer omedelbart från sats 3. Den sista delen följer nu 

från första delen om vi observerar att 

P min 

0 t W ; ( ) x = P min ( W ( )) x = 

0 t 

Detta bevisar korollarium 1. 

P max 

0 t W ; ( ) x : 

Betrakta nu samma aktie och obligation som ovan och två derivat i aktien 

som båda utfärdas vid tiden 0 och där det första derivatet utbetalar utbetalar 

vid tiden T och det andra 

S(T ) min S( ) 

0 T 

max S( ) S(T ) 

0 T 

vid samma tidpunkt: Vi skall avslutningsvis diskutera hur man kan bestämma 

de teoretiska optionspriserna vid tiden t 2 [0; T ] för dessa så kallade ”lookback 

options”. Vi koncentrerar oss på första fallet. Det andra fallet behandlas 

analogt. 

Låt v(t) beteckna det teoretiska värdet vid tiden t för ett derivat av som 

utbetalar 


0 T 

slutdagen T: Om Q betecknar martingalmåttet svarande mot de aktuella 

värdepapperen i tidsintervallet [0; T ] så är 

Det återstår alltså att beräkna 

v(t) = e r E Q S(T ) min 

0 T S( ) j Ft = 

S(t) e r E Q min 

0 T S( ) j Ft : 

E Q min 

0 T S( ) j Ft = E Q min( min S( ); min 

0 t t T S( )) j Ft =

218 

E Q S( ) 

min( min S( ); S(t) min 

0 t t T S(t) ) j Ft : 

Problemet har nu reducerats till att beräkna 

E Q S( ) 

min(m; s min 

t T S(t) ) 

där m och s under beräkningen av väntevärdet skall uppfattas som deterministiska 

variabler som efter beräkningen ersätts med 

respektive 

m = min S( ) 

0 t 

s = S(t): 

Det räcker därför att bestämma fördelningen för den stokastiska variabeln 

S( ) 

U = min 

t T S(t) 

relativt sannolikhetsmåttet Q: Vi påminner därför om att processen 

W a ( ) = W ( ) a( ); 0 T 

är en normaliserad Wienerprocess i tidsintervallet [0; T ] med avseende på det 

underliggande sannolikhetsmåttet Q om funktionen a väljs så att 

Härav följer 

P Q [U u] = P Q min 

t T 

P min 

t T 

(r 

a( ) = r 

2 

P min 

0 T t 

( 

2 

; 0 T: 

)( t) + (W ( ) W (t)) ln u = 

2 

)( t) + (W ( ) W (t)) ln u = 

2 

(r 

2 

) + W ( ) ln u : 

2 

Genom att utnyttja korollarium 1 kan nu v(t) beräknas med direkta metoder. 

Efter en del kalkyl får vi följande

Sats 4. Betrakta ett betingat kontrakt av europeisk typ som utbetalar värdet 

vid tiden T: Antag 0 t < T och 

och 


0 T 

= T t; 

s = S(t); 

m = min S( ); 

0 t 

d = ln s 1 

+ (r + 

m 2 

2 ) = p : 

Derivatets värde vid tiden t < T är lika med v(t; S(t)) där 

v(t; s) = s (d) e r m (d 

p 

)+ 

e r 

2 

2r s 

s 

m 

2r 2 

( d + 2r p ) e r 

( d) : 

219 

Man kan naturligtvis också studera ett derivat av amerikansk typ som 

kan inlösas vid vilken tidpunkt t som helst före eller på slutdagen T och då 

utbetalar 

X(t) = S(t) min S( ): 

0 t 

Det är ej optimalt att inlösa kontraktet före slutdagen eftersom 

e rt X(t); t T 

är en Q-submartingal (jmfr Bermudaoptionerna ovan). Ett derivat av amerikansk 

typ som kan inlösas vid vilken tidpunkt t som helst före eller på slutdagen T 

och då utbetalar 

X(t) = max S( ) S(t) 

0 t 

kan dock vara optimalt att inlösa före tiden T (se t ex [W DH]). 

För mer information rörande ”lookback options” h i hänvisas till artikeln 

[CV ] : Anders Öhgrens examensarbete vid CTH O och Hans-Peter Bermins 

doktorsuppsats från Lund [BE] rekommenderas också som intressant läsning.

220 

Problem. Antag ett aktiepris S(t) beskriver en geometrisk Brownsk rörelse 

med exponentiell drift och låt en viss obligation ha värdet e rt vid tiden t: 

Antag vidare att det är givet konstanter ; ; p och K som uppfyller 0 

< , p 2 ]0; 1[ och K > 0. Bestäm en själv…nansierande portföljstrategi i 

aktien och obligationen sådan att portföljvärdet är lika med K vid tiden 

och sådan att strategin med sannolikheten p leder till ruin i tidsintervallet 

t : 

Lösning. Låt h > 0 och sätt 

Th = min t 2 [ ; ] ; he r S(t) = (Ke r + hS( ))e rt 

med konventionen att minumum över tomma mängden är 1: Vi de…nierar 

vidare 

hS(t) = he r ; t min(T; ) 

och 

hB(t) = Ke r + hS( ); t min(T; ): 

För min(T; ) < t sätts hS(t) = hB(t) = 0: Korollarium 1 ger att 

Vi kan därför välja h så att 

Övningar 

P [Th ] ! 

P [Th 

0 då h ! 0 

1 då h ! 1: 

] = p: 

1. Betrakta aktien och obligationen i problemet ovan. Det …nns en själv- 

…nansierande strategi i aktien och obligationen så att motsvande portföljvärde 

är 1 vid tiden 0 och som med sannolikheten 1 leder till ruin i 

2 

intervallet 0; 1 : Antag i ett enskilt fall att strategin har ett positivt 

2 

värde K vid tiden 1: 

Det …nns då en själv…nansierande strategi så att 

2 

motsvande portföljvärde är K vid tiden 1 och som med sannolikheten 

2 

: Upprepa! Sannolikheten för att ruin 

1 

2 

leder till ruin i intervallet 1 

2 

; 3 

4

221 

inträ¤ar före tiden t 2 [0; 1[ konvergerar mot ett då t ! 1 : Motivera 

varför detta inte motsäger sats 1 i kapitel 12.

15. HJM-modellen vid deterministisk volatilitetsstruktur 

223 

Betrakta en så kallad nollkupongsobligation med mognadstiden T dvs ett 

kontrakt som betalar innehavaren beloppet 1 vid tiden T: Detta värdepapper 

kallas här en T -obligation: Vi betecknar obligationspriset vid tiden t med 

p(t; T ) och skriver 

p(t; T ) = e R(t;T )(T t) : 

Storheten R(t; T ) kallas för (T t)-räntan vid tiden t (jmfr begrepp såsom 

korta räntan, halvårsräntan, 5-årsräntan osv). Kurvan 

y = R(t; t + ); > 0 

kallas för avkastningskurvan vid tiden t: 

Nedan behandlas en arbitragefri modell för obligationer som brukar kallas 

HJM-modellen efter upptäckarna Heath, Jarrow och Morton [HJM]. Vi 

begränsar oss till så kallad deterministisk volatilitetsstruktur, vilket ger oss 

Gaussiska fördelningar för räntor. Detta betyder speciellt att räntor kan vara 

negativa med positiv sannolikhet, vilket kan verka onaturligt då kostnaden 

att förvara pengar normalt är mycket begränsad. Sannolikheten för negativ 

ränta i modellen är dock mycket liten och modellen används med stor 

framgång på olika marknader. För mer fullständiga framställningar av teorin 

för räntederivat räntederivat hänvisas till Bingham och Kiesel [BK] ; Björk 

[BT S] ; [BT O], Hull [H], Jarrow [J1] och Musiela och Rutkowski [MR]. 

Antag t S < T och låt R(t; S; T ) beteckna räntan för perioden [S; T ] 

kontrakterad vid tiden t: Kravet på arbitagefrihet medför att 

vilket inses av följande tabell. 

p(t; T ) = p(t; S)e 

R(t;S;T )(T S) 

tid t S T 

handling 

sälj en S-obligation 

st T -obligationer 

Notera att 

köp p(t;S) 

p(t;T ) 

kassa‡öde 0 -1 

R(t; T ) = R(t; t; T ): 

p(t;S) 

p(t;T )

224 

Den momentana forwardräntan f(t; T ) vid tiden T sedd från tidpunkten t 

de…nieras av gränsvärdet 

dvs 


f(t; T ) = lim 

S!T R(t; S; T ) 

f(t; T ) = 

@ ln p(t; T ) 

@T 

p(t; T ) = p(t; s)e R T 

s f(t;u)du ; t s T: 

Den korta räntan r(t) vid tiden t de…nieras av ekvationen 

r(t) = f(t; t): 

Antag beloppet 1 placeras i en obligation med närmast omedelbar inlösen 

och att det vid lösen utbetalade beloppet omedelbart placeras i en obligation 

med närmast omedelbar inlösen osv. Kapitalet B(t) vid tiden t blir då 

Observera att 

B(t) = e R t 

0 r(u)du : 

dB(t) = r(t)B(t)dt: 

Vi kan alternativt tänka oss att B(t) representerar banksaldot vid tiden t om 

beloppet 1 satts in i banken vid tiden 0: 

I fortsättningen betecknar T en …x framtida datum och vi betraktar 

endast obligationer med mognad före eller vid tidpunkten T : Låt nu 

C n = fx; x : [0; T ] ! R n är kontinuerligg 

och låt ( ; F; P ) = (C n ; B n ; n ) beteckna Wienerrummet svarande mot ndimensionell 

Brownsk rörelse i tidsintervallet [0; T ] : Om x = (x1; :::; xn) 2 

C n och 0 t T så de…nieras 

[W (x)] (t) = [(W1(x); :::; Wn(x))] (t) = x(t) = (x1(t); :::; xn(t)) 

och vi låter för …xt t 2 [0; T ] -algebran Ft vara den minsta -algebran av 

delmängder av som innehåller -algebran (W ( ); 0 t) och alla 

P -nollmängder.

225 

Utgångspunkten för HJM-modellen är att de momentana forwardräntorna 

uppfyller ekvationer av typen 

df(t; T ) = (t; T )dt + (t; T )dW (t); 0 t T T 

för lämpliga progressivt mätbara processer T = ( (t; T ))0 t T och T = 

( (t; T ))0 t T där 0 < T T : Här är (t; T ) en 1 n matris för varje t T: 

Måttet P kallas det fysikaliska måttet och processerna T ; 0 < T T ; 

kallas för modellens volatilitetsstruktur. I denna framställning antager vi 

att processerna T och T funktioner. 

; där 0 < T T ; är deterministiska dvs vanliga 

I fortsättningen antar vi alltid att T T : Om g = g(t; T ) är en funktion 

av t och T betecknar g0 T derivering med avseende på T dvs 

Sats 1. Det gäller att 

Det gäller också att 

där 

Bevis. Eftersom 

r(t) = f(0; t) + 

g 0 T (t; T ) = 

Z t 

(t) = f 0 Z t 

T (0; t) + (t; t) + 

0 

f(t; t) = f(0; t) + 

0 

@g(t; T ) 

@T 

(s; t)ds + 

Z t 

dr(t) = (t)dt + (t; t)dW (t) 

Z t 

0 

0 

Z t 

0 

T (s; t)ds + 

0 

(s; t)ds + 

Z t 

0 

(s; t)dW (s): 

0 

T (s; t)dW (s): 

(s; t)dW (s): 

och f(t; t) = r(t) följer första delen av satsen: Om vi också utnyttjar att 

och 

(s; t) = (s; s) + 

(s; t) = (s; s) + 

Z t 

s 

Z t 

s 

0 

T (s; u)du 

0 

T (s; u)du

226 

följer att 

Av relationen 

r(t) = f(0; t) + 

Z t 

erhåller vi nu att 

0 

r(t) = r(0) + 

och satsen är visad. 

Sats 2. Det gäller att 

där 

och 

Bevis. Sätt 

och kom ihåg att 

Z t 

0 

(s; s)dW (s) + 

(s; s)ds + 

Z t 

0 

f(0; t) = r(0) + 

Z t 

f 

0 

0 Z t 

T (0; s)ds + 

0 

Z t 

Z t 

0 

(s; s)dW (s) + 

0 

Z t 

s 

Z t 

0 

Z t 

s 

0 

T (s; u)du ds 

0 

T (s; u)du dW (s) 

Z t 

f 

0 

0 T (0; s)ds 

(s; s)ds + 

Z u 

0 

dp(t; T ) 

p(t; T ) = 

Z t 

0 

Z u 

0 

T (s; u)W (s) du 

(r(t) + A(t; T ) + 1 

2 j S(t; T ) j2 )dt + S(t; T )dW (t) 

A(t; T ) = 

S(t; T ) = 

Z(t) = 

Z T 

t 

Z T 

t 

Z T 

t 

(t; s)ds 

(t; s)ds: 

f(t; s)ds 

p(t; T ) = e Z(t) : 

0 

0 

T (s; u)ds du

Relationen 

ger nu att 

Z(t) = 

Z T 

+ 

t 

Z T 

t 

f(0; s)ds 

Z(0) 

Z t 

0 

f(t; s) = f(0; s) + 

f(0; s)ds 

Z t 

0 

f(0; s)ds + 

Z t 

0 

Z T 

u 

Z t 

0 

Z T 

t 

Z T 

t 

Z t 

0 

Z t 

0 

(u; s)du + 

(u; s)du ds 

(u; s)ds du 

(u; s)ds du 

Z t 

Den första delen av sats 1 ger nu att 

Z(t) = Z(0) 

Alltså är 

eller 

Z t 

0 

Z T 

u 

dZ(t) = r(t) 

u 

(u; s)ds du 

Z T 

t 

Z t 

0 

(u; s)ds du + 

Z t 

0 

(t; s)ds dt 

Z t 

Z t 

0 

0 

Z T 

u 

Z t 

Z T 

u 

0 

Z T 

Z T 

(u; s)dW (u) 

t 

Z T 

t 

Z t 

0 

227 

(u; s)dW (u) ds = 

(u; s)ds dW (u) = 

(u; s)ds dW (u)+ 

Z t 

u 

(u; s)ds dW (u): 

(u; s)ds dW (u)+ 

dZ(t) = (r(t) + A(t; T ))dt + S(t; T )dW (t): 

Eftersom p(t; T ) = e Z(t) följer nu sats 2 från Itôs lemma. 

t 

(t; s)ds dW (t) 

Z t 

0 

r(s)ds: 

Vi går nu fram analogt med Black-Scholes teori och söker ett sannolikhetsmått 

Q ekvivalent med P så att de diskonterade obligationspriserna 

p(t; T ) 

; 0 t T 

B(t) 

är Q-martingaler för alla T T : Notera att i detta fall är 

p(t; T ) 

B(t) 

= EQ p(T; T ) 

B(T ) 

j Ft

228 

dvs 

p(t; T ) = E Q 

h 

e R T 

t r( )d 

Som i tidigare kapitel är därför naturligt att starta med en deterministisk 

funktion h = (h1; :::; hn); där hj 2 L 2 ([0; T ]); j = 1; :::; n; och sätta 

där 


j Ft 

W 0 

t = Wt a(t); 0 t T 

a(t) = 

Z t 

0 

i 

: 

h(u)du; 0 t T : 

Q(A) = P (A a); A 2 FT 

så visar Cameron-Martins sats för vektorvärd Brownsk rörelse att P och Q 

är ekvivalenta samt 

dQ = e R T 

0 

h(u)dW (u) 

R 1 T 

2 0 jh(u)j2du dP 

(formuleringarna och bevisen för Cameron-Martins sats är nästan exakt lika 

i fallen n = 1 och n > 1): 

Eftersom 

dp(t; T ) 

p(t; T ) = 

blir nu 

(r(t) + A(t) + 1 

2 j S(t; T ) j2 )dt + S(t; T )dW (t) 

dp(t; T ) 

p(t; T ) = 

(r(t) + A(t; T ) + 1 

2 j S(t; T ) j2 +S(t; T )h(t))dt + S(t; T )dW 0 (t): 

För att de diskonterade obligationspriserna 

p(t; T ) 

; 0 t T 

B(t) 

skall bli en Q-martingal är det naturligt att ansätta 

A(t; T ) + 1 

2 j S(t; T ) j2 +S(t; T )h(t) = 0; 0 t T

dvs 

Z T 

(t; T ) = (t; T ) 

t 

eller mer explicit 

(t; T ) = (t; T ) 

Z T 

t 

(t; s) ds (t; T )h(t); 0 t T 

(t; s) ds 

nX 

j=1 

j(t; T )hj(t); 0 t T 

229 

(vi betecknar transponering av en matris C med C ). Det …nns alltså ett 

martingalmått om denna ekvation har en lösning för varje T T ; vilket vi 

fr o m med nu antager. I detta fall är alltså 

df(t; T ) = (t; T ) 

Z T 

t 

(t; s) dsdt + (t; T )dW 0 (t) 

där driftvektorn alltså är helt bestämd av volatilitetsstrukturen. Fr o m 

nu antager vi också följande determinantvillkor nämligen att det till varje 

T 2 ]0; T [ existerar T1; :::; Tn 2 [T; T ] ; där T1 < ::: < Tn; så att 

det f j(t; Tk)g 6= 0 för alla 0 t T: 

Antag nu att 0 < T < T och välj T1; :::; Tn 2 [T; T ] ; där T1 < ::: < Tn; 

så att det f j(t; Tk)g 6= 0 för alla 0 t T . Man kan lätt de…niera begreppet 

själv…nansierande strategi för gruppen av obligationer med mognad 

vid tidpunkterna T1; :::; Tn och placering i bank. Vi uppfattar här placering 

i bank som en placering vars tillväxt bestäms av den korta räntan. Om vi 

har ett europeiskt derivat med utbetalning X vid tiden T så kan vi, under 

lämpliga integrabilitetsvillkor på X; …nna en själv…nansierande strategi 

för dessa obligationer och placering i bank som har värdet X vid tiden T: 

Marknaden är i denna mening komplett. 

Exempel 1. Determinantvillkoret ovan är uppfyllt om n = 1 och (t; T ) = 

är en positiv konstant oberoende av t och T: I detta fall gäller att 

och 

df(t; T ) = 

Z T 

t 

dsdt + dW 0 (t) 

df(t; T ) = 2 (T t)dt + dW 0 (t)

230 

varför 

Notera att 

Vi får också att 

och 

Z T 

t 

f(t; s)ds = 

f(t; T ) = f(0; T ) + 2 t(T 

r(t) = f(0; t) + 

Z T 

t 

p(t; T ) = 

f(0; s)ds + 

p(0; T ) 

p(0; t) e 

2 

t 

2 ) + W 0 (t): 

2 t2 + W 0 (t): 

2 

2 tT (T t) + (T t)W 0 (t) 

2 

2 tT (T t) (T t)W 0 (t) : 

Denna formel framkom redan i en föregångare till HJM , nämligen Ho-Lees 

korträntemodell (se [BS]): 

Exempel 2. Determinantvillkoret ovan är uppfyllt om n = 2 och 

1(t; T ) = 1 

2(t; T ) = 2e (T t) 

där 1; 2 och är positiva konstanter (se [HJM]): 

Antag nu att 0 < T < T : Ett derivat som utbetalar beloppet X vid tiden 

T får det arbitragefria priset 

X(t) = B(t)E Q 

X 

B(T ) 

vid tiden t 2 [0; T ] : Vi utesluter återigen preciserade integrabilitetsvillkor på 

X för att inte tynga framställningen. 

Exempel 3. Ett lån på beloppet K; som kontrakteras vid tiden 0; löper med 

marknadsräntan L över perioden från T0 till T1: Här bestäms L av ekvationen 

p(T0; T1) = 

1 

1 + L 

j Ft

231 

där = T1 T0. Låntagaren betalar tillbaka beloppet (1 + L)K vid tiden 

T1. 

En swap med swap-räntan R utbetalar beloppet 

X = K (L R) 

vid tiden T1: Dess värde v(0) vid tiden 0 kan beräknas utan att känna 

volatilitetsstrukturen. För att se detta utgår vi från att 

v(0) = E Q 

h 

e R i 

T1 0 r(t)dt 

X 

där 

Om vi sätter R = 1 + R blir 

1 

X = K( 

p(T0; T1) 

1 R): 

v(0) = KE Q e R T1 0 r(t)dt 1 

( 

p(T0; T1) 

R ) = 

KE Q E Q e R T1 0 r(t)dt 1 

( 

p(T0; T1) R ) j FT0 = 

KE Q e R T0 0 r(t)dt 1 

( 

p(T0; T1) 

R )EQ 

h 

e 

R T1 i 

T r(t)dt 

0 j FT0 

KE Q e R T0 0 r(t)dt 1 

( 

p(T0; T1) R )p(T0; T1) = 

KE Q 

h 

e R i 

T0 0 r(t)dt 

(1 R p(T0; T1)) = K(p(0; T0) R p(0; T1)): 

Antag nu återigen att 0 < T < T : Ett derivat som utbetalar beloppet 

X 0 vid tiden T får det arbitragefria priset 

X(t) = B(t)E Q 

X 

B(T ) 

vid tiden t 2 [0; T ] : Antag nu dessutom att P [X(T ) > 0] = 1; så att 

P [X(t) > 0] = 1; 0 t T; och de…niera 

dQ X = 

j Ft 

X(T ) 

X(0)B(T ) dQ på FT :

232 

Sats 4. Om 

är en Q-martingal så är 

( Z(t) 

B(t) )0 t T 

( Z(t) 

X(t) )0 t T 

en Q X -martingal. 

Speciellt följer för 0 t min(T; ~ T ) att 

Z(T ) 

QX 

X(t)E 

X(T ) j Ft = ~ X(t)E Q ~ X 

" 

Z( ~ T ) 

~X( ~ T ) 

om ~ X; ~ T uppfyller samma förutsättningar som X; T: 

Bevis. Sätt 

och 

Låt 

Vi visar först att 

U = 

X(T ) 

X(0)B(T ) 

U(t) = E Q [U j Ft] = X(t) 

X(0)B(t) : 

E QX 

Om A 2 Ft gäller nämligen att 

Nu får vi att 

E QX 

Y = 

Z(T ) 

X(T ) : 

[Y j Ft] = 1 

U(t) EQ [Y U j Ft] : 

j Ft 

[Y 1A] = E Q [Y U1A] = E Q E Q [Y U j Ft] 1A = 

E QX 

E QX 

1 

U(t) EQ [Y U j Ft] 1A : 

[Y j Ft] = 1 

U(t) EQ [Y U j Ft] = 

#

X(0)B(t) Z(T ) X(T ) 

EQ 

X(t) X(T ) X(0)B(T ) j Ft = B(t) Z(T ) 

EQ 

X(t) B(T ) j Ft = Z(t) 

X(t) 

vilket visar satsen. 

där 

och 

så är 

Låt nu X vara en T -obligation och sätt Q X = Q T : Om 


p(t; T ) 

d 

B(t) 

dQ T = UdQ på FT 

U = 

1 

p(0; T )B(T ) 

U(t) = E Q [U j Ft] 

U(t) = 

= dp(t; T ) 

B(t) 

p(t; T ) 

p(0; T )B(t) : 

p(t; T ) 

B2 dB(t) = 

(t) 

1 

B(t) p(t; T )(r(t) + S(t; T )dW 0 p(t; T ) p(t; T ) 

(t)) r(t) dt = 

B(t) B(t) S(t; T )dW 0 (t): 

Således är 

Vi har därmed visat att 


U(t) = e R t 

0 S(u;T )dW 0 (u) 

dQ T = e R T 

0 S(u;T )dW 0 (u) 

W T (t) = W 0 (t) 

Z t 

0 

R 1 t 

2 0 jS(u;T )j2du : 

R 1 T 

2 0 jS(u;T )j2du dQ på FT 

S(u; T ) du; 0 t T 

233 

så är processen W T = (W T (t))0 t T en normaliserad Wiener process relativt 

sannolikhetsmåttet Q T :

234 

Problem 1. Låt 0 < T < ~ T , K > 0 och sätt A = 

där 

och 

Lösning. Sätt 

Eftersom 


(T ) = 

Q T (A) = (d2) 

d2 = ln p(0; ~ T ) 

Kp(0;T ) 

s Z T 

0 

(T ) 

1 

2 

2 (T ) 

j S(u; ~ T ) S(u; T ) j 2 du: 

Z(t; T ) = p(t; ~ T ) 

p(t; T ) : 

p(t; T ) 

p(0; T )B(t) = U(t) = eR t 

0 S(u;T )dW 0 (u) 

h 

p(T; ~ i 

T ) > K : Visa att 

R 1 t 

2 0 jS(u;T )j2du Z(t; T ) = p(0; ~ T ) 

p(0; T ) e 

R t0 

(S(u; ~ T ) S(u;T ))dW 0 (u) 1 R t0 

2 

(jS(u; ~ T )j 2 jS(u;T )j 2 )du 

: 


och får 

W 0 (t) = W T Z t 

(t) + 

0 

S(u; T ) du; 0 t T 

Z(t; T ) = p(0; ~ T ) 

p(0; T ) e 

R t0 

(S(u; ~ T ) S(u;T ))dW T (u) 1 R t0 

2 

jS(u; ~ T ) S(u;T )j 2 du 

: 

Om G 2 N(0; 1) så följer nu att 

Q T (A) = Q T [Z(T; T ) > K] = 

P 

" 

p(0; ~ T ) 

1 

(T )G 

e 2 

p(0; T ) 

2 (T ) > K 

#

och resultatet följer lätt. 

Problem 2. Låt K > 0; 0 T ~ T och sätt A = 

där 

Lösning. Sätt 

d1 = ln p(0; ~ T ) 1 + Kp(0;T ) 2 

Y (t; T ) = 

Q ~ T (A) = (d1) 

(T ) 

2 (T ) 

1 

Z(t; T ) 

Från lösningen av problem 1 ser vi att 

Y (t; T ) = 

och genom att utnyttja relationen 

får vi 

Y (t; T ) = 

Om G 2 N(0; 1) så följer nu att 

= d2 + (T ): 

= p(t; T ) 

p(t; ~ T ) : 

235 

h 

p(T; ~ i 

T ) > K : Visa att 

p(0; T ) 

p(0; ~ T ) e 

R t0 

(S(u;T ) S(u; ~ T ))dW 0 (u) 1 R t0 

2 

(jS(u;T )j 2 jS(u; ~ T )j 2 )du 

W 0 (t) = W ~ Z t 

T 

(t) + 

0 

S(u; ~ T ) du 

p(0; T ) 

p(0; ~ T ) e 

R t0 

(S(u;T ) S(u; ~ T ))dW ~ T 

(u) 1 

R t0 

2 

jS(u;T ) S(u; ~ T )j 2 du 

: 

Q ~ T (A) = Q T Y (T; T ) < 1 

K = 

P 

och resultatet följer lätt. 

p(0; T ) 

p(0; ~ T ) 

e (T )G 1 

2 

2 (T ) < 1 

K 

Sats 5. Antag T < ~ T < T : En europeisk köpoption på ~ T -obligationen med 

mognadstiden T och lösenpriset K har priset 

C(0) = p(0; ~ T ) (d1) Kp(0; T ) (d2)

236 

vid tiden 0: 

Om en europeisk säljoption på ~ T -obligationen med mognadstiden T och 

lösenpriset K har priset P (0) vid tiden 0 så gäller 

p(0; ~ T ) C(0) = Kp(0; T ) P (0): 

Bevis. Låt C(t) beteckna köpoptionens pris vid tiden t: Då är ( C(t) 

B(t) )0 t T 

en Q-martingal varför( C(t) 

p(t;T ) )0 t T en Q T -martingal. Alltså är 

Om A = 

Vidare är 

C(0) 

p(0; T ) 

h 

p(T; ~ i 

T ) > K så följer att 

C(0) 

p(0; T ) 

h 

= EQT (p(T; ~ T ) K) + 

i 

: 

h 

= EQT p(T; ~ i 

T )1A 

KQ T (A): 

h 

QT 

p(0; T )E p(T; ~ i 

T )1A = E Q 

" 

p(T; ~ T ) 

B(T ) 1A 

# 

= 

E Q 1AE Q 1 

B( ~ T ) j FT = E Q 1 

1A 

B( ~ T ) = p(0; ~ T )Q ~ T 

(A) 

och den första delen av sats 5 följer nu direkt från problem 1 och 2. 

Den senare delen av sats 5 följer lätt från de…nitionerna. 

Exempel 4. Ett lån på beloppet K; som kontrakteras vid tiden 0; löper med 

marknadsräntan L över perioden från T0 till T1: Här bestäms L av ekvationen 

p(T0; T1) = 

1 

1 + L 

där = T1 T0. Låntagaren betalar tillbaka beloppet (1 + L)K vid tiden 

T1.

En caplet med cap-räntan R utbetalar beloppet 

X = K max(L R; 0) 

237 

vid tiden T1: Dess värde v(0) vid tiden 0 kan lätt bestämmas med hjälp av 

sats 5. Vi har nämligen att 

v(0) = E Q 

h 

e R i 

T1 0 r(t)dt 

X 

och 

Om vi sätter R = 1 + R blir 

1 

X = K max( 

p(T0; T1) 

1 R): 

v(0) 

K = EQ e R T1 0 r(t)dt 1 

max( 

p(T0; T1) 

R ) = 

E Q E Q e R T1 0 r(t)dt 1 

max( 

p(T0; T1) R ) j FT0 = 

E Q e R T0 0 r(t)dt 1 

max( 

p(T0; T1) 

R )EQ 

h 

e 

R T1 i 

T r(t)dt 

0 j FT0 

E Q e R T0 0 r(t)dt 1 

max( 

p(T0; T1) R )p(T0; T1) = 

R E Q e R T 0 

0 r(t)dt max( 1 

R 

p(T0; T1)) 

dvs v(0) blir lika med KR multiplicerat med värdet vid tiden 0 för en 

europeisk säljoption på T1-obligationen med inlösen vid T0 och lösenpriset 

1 . Ett analytiskt värde på v(0) erhålls nu med hjälp av sats 5. 

R 

En cap, som är en summa av caplets, kan nu också ges en enkel prisformel.

TENTAMENSSKRIVNINGAR MED LÖSNINGAR 

239 

Beroende på en justering av begreppet arbitrage i textboken fr o m versionen 

efter juni 99 har vissa tentamensuppgifter på motsvarande sätt justerats för 

att fortfarande vara lämpliga övningsuppgifter. 

MATEMATIK OCH OPTIONER (CTH[T MA861]&GU[MAN690]) 

Skrivningsdag: 22/5 f (1997) 

Lokal: ML 11 

Hjälpmedel: Beta 

Inlämning skall ske i uppgifternas ordning; v.g. sidnumrera! 

Examinator och telefonvakt: Christer Borell, tel. 330 19 59 

Uppgift 4 ger maximalt 4 poäng; övriga uppgifter ger maximalt 3 poäng. 

Förutsättning: I uppgifterna 1, 4 och 5 förutsätts att aktiens pris S(t); 

t 0; beskriver en geometrisk Brownsk rörelse med exponentiell drift 

och volatiliteten : Dessutom erbjuder marknaden en obligation vars 

pris B(t) vid tiden t är lika med B(0)e rt : 

Beteckning: (W (t))t 0 betecknar genomgående en normaliserad reellvärd 

Wienerprocess. 

Uppgifter: 

1. Ett derivat i aktien utbetalar 1 

S(T ) 

värde vid tiden t 2 [0; T [ : 

slutdagen T > 0: Bestäm derivatets 

2. En reellvärd stokastisk process (X(t))0 t T löser den stokastiska di¤erentialekvationen 

dX(t) = 

1 

X(t)dt + dW (t) ; 0 t T; 

t + 1 

och uppfyller X(0) = 1: Beräkna E [X(t)(1 + X(t))] : 

3. Visa att processen W 3 (t) 3tW (t); t 0; är en Wienermartingal.

240 

4. Antag n 2 N+; 0 < T0 < T och 

Tj = T0 + j 

n (T T0); j = 1; :::; n: 

Ett derivat i aktien utbetalar j S(Tj) S(Tj 1) j vid tiden Tj för j = 

1; :::; n: Bestäm derivatets värde v(t) = vn(t) vid tiden t 2 [0; T0] : Visa 

också att vn(t) ! 1 då n ! 1: 

5. Ett enkelt europeiskt derivat i aktien med utbetalningsfunktionen f 2 

P och slutdagen T > 0 har värdet v(t; S(t)) vid tiden t 2 [0; T [ där 

v(t; s) = e r E 

h 

f(se (r 

2 

2 ) + W ( ) i 

) 

och = T t: Visa med hjälp härav att en europeisk köpoption i aktien 

med slutdagen T och lösenpriset K har värdet c(t; S(t); K) vid tiden t 

2 [0; T [ där 

c(t; s; K) = s (d1) Ke r 

(d2); 

och d2 = d1 

p : 

d1 = 

ln s 

K 

+ (r + 2 

2 ) 

p 

6. Låt m1 beteckna Lebesguemåttet i R och antag funktionen f 2 L1 (m1) 

är jämn och icke-negativ: Visa att funktionen (s; t) = ^ f(s t); s; t 2 R, 

har följande egenskaper: (i) 

s; t 2 R och (iii) 

är reellvärd, (ii) (s; t) = (t; s) för alla 

nX 

ajak (tj; tk) 0 

j;k=1 

för alla a1; :::; an; t1; :::; tn 2 R och alla heltal n 1. 

7. Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation i ett tidssteg 

med parametrarna u; d och r. De…niera begreppet arbitrage och avgör 

under vilka villkor på parametrarna som modellen är arbitragefri. 

8. Antag att ak 2 L 1 W [0; T ], bk 2 L 2 W 

[0; T ] och låt 

dXk(t) = ak(t)dt + bk(t)dW (t)

för k = 0; 1; 2: Visa att 

dX n n 1 

0 (t) = nX0 (t)dX0(t) + 

genom att utgå ifrån att 

n(n 1) 

2 

X 

n 2 

0 

(t)b 2 0(t)dt; n = 2; 3; ::: 

d(X1(t)X2(t)) = X1(t)dX2(t) + X2(t)dX1(t) + b1(t)b2(t)dt: 

241 


Skrivningsdag: 25 april 1998, kl 8 45 13 45 

Lokal: gamla maskinhuset 



Examinator och telefonvakt: Christer Borell, tel. 330 19 59 

OBS: Text på 2 sidor 

Nedan betecknar (W (t))t 0 en normaliserad reellvärd Wienerprocess. I uppgifterna 

2,4,6b och 8 förutsätts att aktiens pris 

S(t) = S(0)e ( 

2 

2 )t+ W (t) ; t 0; 

beskriver en geometrisk Brownsk rörelse med drift samt att marknaden erbjuder 

en obligation, vars pris B(t) vid tiden t är lika med B(0)e rt : Här är 

; ; S(0) och B(0) reella konstanter och ; S(0); B(0) > 0: 

1. Betrakta binomialmodellen i ett tidssteg för en aktie och en obligation, 

där parametrarna uppfyller u > r > d och u > 0 > d: Aktiens pris vid 

tiden t 2 f0; 1g betecknas med S(t): Ett aktiederivat av europeisk typ 

utbetalar beloppet 

max(0; 

S(0) + S(1) 

2 

S(0)) 

vid tiden t = 1: Bestäm derivatets värde vid tiden t = 0:

242 

2. Antag 2 R och betrakta ett aktiederivat av europeisk typ som utbetalar 

beloppet B(T ) 1 S(T ) slutdagen T: Derivatets värde vid tiden 

t < T är en funktion av B(t); S(t); T t; och : Bestäm denna 

funktion. 

3. Betrakta ekvationen 

dX(t) = X(t)dt + dW (t) 

X(0) = 0; t 0: 

a) Bestäm kovariansen för processen (X(t))t 0. b) Beräkna E 

hR 1 

0 X(t)dX(t) 

i 

: 

4. Låt t0 < T och betrakta ett aktiederivat av europeisk typ som utbetalar 

beloppet max(S(t0); S(T )) slutdagen T: Bestäm derivatets värde vid en 

godtycklig tidpunkt t t0: 

5. Bestäm fördelningen för den stokastiska variabeln R T 

W (t)dt, där T är 

0 

en positiv konstant. 

6. a) Formulera Itôs lemma. b) Visa att 

7. Antag 

dS(t) 

S(t) 

L (2) Xn 

1 

= 

k=0 

= dt + dW (t): 

(W (tk+1) W (tk)) 2 

där : 0 = t0 < t1 < ::: < tn 1 < tn = T betecknar en indelning av 

intervallet [0; T ] : Visa att 

då indelningens …nhet 

går mot noll. 

L (2) ! T i L 2 (P ) 

= max 

0 k n 1 (tk+1 tk)

243 

8. Ett enkelt aktiederivat av europeisk typ med slutdagen T har värdet 

v(t; S(t)) vid tiden t: Härled Black-Scholes di¤erentialekvation 

@v 

@t + 

2 s 2 

2 

@2v + rs@v 

@s2 @s 

med hjälp av stokastisk kalkyl. 

rv = 0; t < T; s > 0; 


Skrivningsdag: 2 juni 1998, kl 8 45 13 45 

Lokal: gamla maskinhuset 



Telefonvakt: Christer Borell, tel. 63 58 00 (Barken Viking, LKF-möte) 

Alternativt nås examinator på tel. 35 00 

OBS: Text på 2 sidor 

Nedan betecknar (W (t))t 0 en reellvärd normaliserad Wienerprocess. I 

uppgifterna 1, 4 och 8 förutsätts Black-Scoles modell. Här ges aktiens pris 

S(t) vid tiden t 0 av ekvationen 

S(t) = S(0)e ( 

2 

)t+ W (t) 

2 

där 2 R och där och S(0) är positiva konstaner. Obligationens pris B(t) 

vid tiden t 0 är lika med B(0)e rt ; där B(0) och r är en positiva konstanter: 

En europeisk köpoption i aktien med slutdagen T > 0 och lösenpriset K har 

i denna modell värdet s (d1) Ke r (d2) vid tiden t 2 [0; T [ , där 

d2 = d1 

d1 = 

p och = T t: 

ln s 

K 

+ (r + 2 

2 ) 

p ; 

1. Antag att K; T > 0 och S(0) < Ke T : Bestäm det största talet 0 > 0 

sådant att sannolikheten P [S(T ) > K] är en växande funktion av i 

intervallet [0; 0] :

244 

2. Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation, där parametrarna 

uppfyller u > r > 0 d och t 2 f0; 1; :::; ng : Aktiens 

pris vid tiden t betecknas med S(t): Ett aktiederivat av europeisk typ 

med slutdagen n utbetalar denna dag beloppet Y; där Y = S(n) om 

S(0) < S(1) < ::: < S(n) och Y = S(0) i annat fall. Bestäm derivatets 

värde vid tiden 0: 

3. Antag n 2 N+: a) Visa att 

1 

n 

nX 

k=1 

W ( k 

) = 

n 

Z 1 

0 

hn(t)dW (t) 

där 

hn(t) = 1 

k k 

; 

n n 

k + 1 

t < ; k = 0; :::; n 

n 

1: 

b) Beräkna variansen av den stokastiska variabeln 

X = 

Z 1 

0 

W (t)dt 

1 

n 

nX 

k=1 

W ( k 

n ): 

4. Ett derivat av europeisk typ utbetalar beloppet max(S(T ); K) slutdagen 

T > 0; där K > 0 är ett givet tal. Låt u(t; S(t)) beteckna derivatets 

värde vid tiden t < T: a) Visa att u0 s(t; s) = (d1). b) Visa att funktionen 

su0 s(t; s) 

; s > 0 

u(t; s) 

är strängt växande för …xt t: Ge en ekonomisk tolkning av denna egenskap. 

5. a) Bestäm Fouriertransformen av Gaussmåttet 

Z 

(A) = e x2 dx 

2 p ; A 2 B(R): 

2 

A 

b) Antag X 2 N( ; 2 ): Beräkna väntevärdet E e i X för reella tal : 

6. Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation i ett tidssteg 

med parametrarna u; d och r. De…niera begreppet arbitrage och avgör 

under vilka villkor på parametrarna som modellen är arbitragefri.

7. Antag T > 0 och sätt 

Visa att 

L (1) 

2 

n = 

n X1 

k=0 

j W ( 

k + 1 k 

T ) W ( T ) j : 

2n 2n lim 

n!1 L(1) 

n = 1 n.s. 

245 

8. Visa att varje själv…nansierande portföljstrategi i aktien och obligationen 

är arbitragefri i Black-Scholes modell. 

MATEMATIK OCH OPTIONER (CTH[T MA861],GU[MAN690]) 

Skrivningsdag: 8 maj 1999, kl 8 45 13 45 Lokal: mg Hjälpmedel: Beta 

Telefonvakt: Christer Borell, tel. 330 19 59 OBS: Text på 2 sidor 

Nedan betecknar (W (t))t 0 en normaliserad reellvärd Wienerprocess. I 

uppgifterna 3 och 6 förutsätts Black-Scholes modell. Aktiens pris S(t) vid 

tiden t 0 ges av ekvationen S(t) = S(0)e ( 

2 

2 )t+ W (t) ; där 2 R och där 

och S(0) är positiva konstanter. Obligationens pris B(t) vid tiden t 

lika med B(0)e 

0 är 

rt ; där B(0) och r är en positiva konstanter: 

1. (3p) Betrakta den stokastiska di¤erentialekvation 

dX(t) = 1 

X(t)dt + tdW (t); t 0 

2 

med begynnelsevärdet X(0) = 0: Beräkna E [X 2 (t)] : 

2. (3p) Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation, där 

parametrarna uppfyller u > r > 0; d = u och t 2 f0; 1; 2g : Aktiens 

pris vid tiden t betecknas med S(t): Ett aktiederivat av europeisk typ 

med slutdagen 2 utbetalar denna dag beloppet max(S(0); S(1); S(2)): 

Bestäm derivatets värde vid tiden 0:

246 

3. (3p) Låt t < T < T1 och K > 0: Ett …nansiellt derivat ger innehavaren 

rättigheten, men ej skyldigheten, att vid tiden T byta en europeisk 

säljoption i aktien med slutdagen T1 och lösenpriset K mot en europeisk 

köpoption i aktien med slutdagen T1 och lösenpriset K: Bestäm 

derivatets värde vid tiden t: 

4. (4p) Antag u(t; x) = x 4 + 7x 3 6tx 2 21tx + 3t 2 ; t 0; x 2 R. 

Visa att processen (u(t; W (t)))t 0 är en Wienermartingal. (Ledning: 

Använd Itôs lemma.) 

5. (3p) Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation då parametrarna 

uppfyller u r d; r > 0 och t 2 f0; 1g : Aktiens pris vid 

tiden t betecknas med S(t): Ett aktiederivat av europeisk typ utbetalar 

beloppet f(S(1)) vid tiden 1; där f är en reellvärd funktion med definitionsmängden 

S(0)e u ; S(0)e d : De…niera derivatets teoretiska pris 

vid tiden 0 . Motivera de…nitionen! 

6. (3p) Ett enkelt europeiskt derivat i aktien med utbetalningsfunktionen 

f 2 P och slutdagen T > 0 har värdet v(t; S(t)) vid tiden t 2 [0; T [ 

där 

v(t; s) = e r h 

E f(se (r 

2 

2 ) + W ( ) i 

) 

och = T t: Visa med hjälp härav att en europeisk köpoption i aktien 

med slutdagen T och lösenpriset K har värdet c(t; S(t); K) vid tiden t 

2 [0; T [ ; där c(t; s; K) = s (d1) Ke r (d2); 

och d2 = d1 

p : 

d1 = 

ln s 

K 

+ (r + 2 

2 ) 

p 

7. a) (1p) De…niera begreppet reellvärd Gaussisk process. b) (2p) Antag 

(Xt)t2f0;1g är en reellvärd Gaussisk process. Visa att X0 och X1 är 

stokastiskt oberoende om och endast om 

Cov(X0; X1) = 0: 

8. a) (2p) Antag funktionen f är kvadratiskt integrerbar i intervallet [0; T ] 

dvs f 2 L 2 (m[0;T ]): De…niera Paley-Wiener-Zygmunds stokastiska integral 

Z T 

0 

f(t)dW (t)

och visa att Z T 

b) (1p) Visa att 

E 

Z T 

om f; g 2 L 2 (m[0;T ]): 

0 

0 

Z T 

f(t)dW (t) 2 N(0; f 

0 

2 (t)dt): 

Z T 

Z T 

f(t)dW (t) g(t)dW (t) = f(t)g(t)dt 

0 

0 

247 

MATEMATIK OCH OPTIONER (CTH[T MA861],GU[MAN690]) 

Skrivningsdag: 22 maj 1999, kl 8 45 13 45 Lokal: mg Hjälpmedel: Beta 

Telefonvakt: Christer Borell, tel. 330 19 59 OBS: Text på 2 sidor 

Nedan betecknar (W (t))t 0 en reellvärd normaliserad Wienerprocess. I 

uppgift 4 förutsätts Black-Scholes modell. Aktiens pris S(t) vid tiden t 0 

ges av ekvationen S(t) = S(0)e ( 

2 

2 )t+ W (t) ; där 2 R och där och S(0) 

är positiva konstanter. Obligationens pris B(t) vid tiden t 

B(0)e 

0 är lika med 

rt ; där B(0) och r är positiva konstanter: 

Om x 2 R de…nieras x + = max(0; x) och cosh x = 1 

2 (ex + e x ): 

1. a) (3p) Lös den stokastiska di¤erentialekvationen 

dX(t) = X(t) 

dt + dW (t); 0 

1 t 

t < 1 

med begynnelsevärdet X(0) = 0: Visa att den stokastiska processen 

(X(t))0 t

248 

3. (3p) Visa att processen 

är en Wienermartingal. 

(e t 

2 cosh W (t))t 0 

4. En europeisk köpoption i aktien med slutdagen T och lösenpriset K har 

det teoretiska priset c(t; S(t); K) vid tiden t 2 [0; T [ ; där c(t; s; K) = 

s (d1) Ke r (d2); = T t; 

och d2 = d1 

a) (1p) 

b) (2p) 

d1 = 

p : Visa att 

ln s 

K 

@c 

@s 

c(t; s; K) 

c(t; s0; K) 

+ (r + 2 

2 ) 

p 

= (d1) 

> s 

s0 

om s > s0: 

5. (3p) Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation i ett 

tidssteg med parametrarna u, d och r: De…niera begreppet arbitrage 

och avgör under vilka villkor på parametrarna som modellen saknar 

arbitrage. 

6. (3p) Låt m beteckna Lebesguemåttet i R och antag att funktionen f 2 

L 1 (m) är jämn och icke-negativ. Visa att funktionen C(s; t) = ^ f(s t); 

s; t 2R, är en kovarians. 

7. (3p) Betrakta indelningen : 0 = t0 < t1 < ::: < tn 1 < tn = T av 

intervallet [0; T ] och de…niera 

L (2) Xn 

1 

= 

k=0 

(W (tk+1) W (tk)) 2 : 

Visa att L (2) ! T i L 2 (P ) då indelningens …nhet 

går mot noll. 

= max 

0 k n 1 (tk+1 tk)

249 

8. (3p) Antag funktionen f : [0; T ] ! R är kontinuerligt deriverbar. Visa 

att Z T 

Z T 

f(t)dW (t) = f(T )W (T ) f 0 (t)W (t)dt: 

0 

LOSNINGAR : MATEMATIK OCH OPTIONER f 22/5 (1997) 

Uppgift 1. Ett derivat i aktien utbetalar 1 

S(T ) 

derivatets värde vid tiden t 2 [0; T ] : 

0 

slutdagen T > 0: Bestäm 

Lösning: Sätt f(s) = 1; 

s > 0 och = T t: Derivatets värde vid tiden t 

s 

är lika med v(t; S(t)) där 


1 (2r 

e 

s 

v(t; s) = e r E 

v(t; s) = e r E 

2 

2 ) E e W ( ) = 1 

Svar: 1 

S(t) e( 2 2r) där = T t: 

h 

f(se (r 

se (r 

(2r 

e 

s 

2 

2 ) + W ( ) i 

) : 

1 

2 = 

) + W ( ) 2 

2 

2 ) e 2 

2 = 1 

s e( 2 2r) 

Uppgift 2. En reellvärd stokastisk process (X(t))0 t T löser den stokastiska 

di¤erentialekvationen 

dX(t) = 

1 

X(t)dt + dW (t) ; 0 t T; 

t + 1 

och uppfyller X(0) = 1: Beräkna E [X(t)(1 + X(t))] :

250 

Lösning: Vi skriver ekvationen på formen 

dX(t) + 1 

X(t)dt = dW (t) 

t + 1 

och får efter förlängning med den integrerande faktorn 

den ekvivalenta ekvationen 

Integration ger nu att 

dvs 

Om f 2 L 2 (m[0;t]) och 

gäller emellertid att 


och 

E X 2 (t) = 

e ln(t+1) = t + 1 

d((t + 1)X(t)) = (t + 1)dW (t): 

(t + 1)X(t) 1 = 

X(t) = 1 1 

+ 

t + 1 t + 1 

Y = 

Z t 

0 

Z t 

0 

Z t 

0 

( + 1)dW ( ) 

f( )dW ( ) 

E [Y ] = 0 och E Y 2 = 

1 

t + 1 

1 

t + 1 

2 

2 

+ 

( + 1)dW ( ): 

Z t 

E [X(t)] = 1 

t + 1 

+ 

1 

t + 1 

1 

t + 1 

0 

f 2 ( )d : 

2 

" Z t 

E ( + 1)dW ( ) 

0 

2 Z t 

0 

( + 1) 2 d 

2 

= 

2 # 

=

Svar: t3 +3t 2 +6t+6 

3(t+1) 2 

(t + 1) 3 + 2 

3(t + 1) 2 : 

251 

Uppgift 3. Visa att processen W 3 (t) 3tW (t); t 0; är en Wienermartingal. 

Lösning: Sätt X(t) = W 3 (t) 3tW (t); och Ft = (W ( ); t) för t 0: 

Det är tydligt att X(t) 2 L 1 (P ) och att X(t) är Ft-mätbar för varje t: Antag 

nu 0 t0 t: Det gäller att 

Här är 

E [X(t) j Ft0] = E W 3 (t) j Ft0 

3tE [W (t) j Ft0] : 

E [W (t) j Ft0] = E [W (t) W (t0) j Ft0] + E [W (t0) j Ft0] 

och eftersom (W (t) W (t0)) och Ft0 är stokastiskt oberoende följer att 

Alltså är 

Vi får också att 

E [W (t) W (t0) j Ft0] = E [W (t) W (t0)] = 0: 

E [W (t) j Ft0] = W (t0): 

E W 3 (t) j Ft0 = E ((W (t) W (t0)) + W (t0)) 3 j Ft0 = 

E (W (t) W (t0)) 3 j Ft0 + 3E (W (t) W (t0)) 2 W (t0) j Ft0 + 

3E (W (t) W (t0))W 2 (t0) j Ft0 + E W 3 (t0) j Ft0 = 

E (W (t) W (t0)) 3 + 3W (t0)E (W (t) W (t0)) 2 j Ft0 + 

3W 2 (t0)E [W (t) W (t0) j Ft0] + W 3 (t0) = 

0 + 3W (t0)E (W (t) W (t0)) 2 + 3W (t0) 2 E [W (t) W (t0)] + W 3 (t0) = 

0 + 3W (t0)(t t0) + 0 + W 3 (t0)) = 3W (t0)(t t0) + W 3 (t0):

252 

Utnyttjas ovanstående får vi 

E [X(t) j Ft0] = E W 3 (t) j Ft0 

3tE [W (t) j Ft0] = 

3W (t0)(t t0) + W 3 (t0) 3tW (t0) = X(t0): 

Processen (X(t))t 0 är därför en Wienermartingal. 

Alternativ lösning: Välj T > 0 godtyckligt och sätt 

dX(t) = a(t)dt + b(t)dW (t); 0 t T: 

Det räcker att visa att a = 0 och att 

Itôs lemma medför att 

och eftersom 

blir 

b 2 M 2 W [0; T ] : 

dW 3 (t) = 3W 2 (t)dW (t) + 1 

3 2W (t)dt 

2 

d(tW (t)) = W (t)dt + tdW (t) 

dX(t) = dW 3 (t) 3d(tW (t)) = 

3W 2 (t)dW (t) + 3W (t)dt 3W (t)dt 3tdW (t) = 

3W 2 (t)dW (t) 3tdW (t) = 3(W 2 (t) t)dW (t): 

Alltså är a = 0 och b(t) = 3(W 2 (t) 

b 2 M 

t); 0 t T: Det följer lätt att 

2 W [0; T ] ty om G 2 N(0; 1) så är 

Z T 

0 

E b 2 (t) dt = 

Z T 

0 

E (tG 2 

t) 2 dt = 

Uppgift 4. Antag n 2 N+; 0 < T0 < T och 

3 T 

E (G2 

3 

Tj = T0 + j 

n (T T0); j = 1; :::; n: 

1) 2 < 1:

253 

Ett derivat i aktien utbetalar j S(Tj) S(Tj 1) j vid tiden Tj för j = 1; :::; n: 

Bestäm derivatets värde v(t) = vn(t) vid tiden t 2 [0; T0] : Visa också att 

vn(t) ! 1 då n ! 1: 

Lösning: Om a är ett reellt tal så är j a j = 2 max(0; a) a: Vi låter först 

j 2 f1; :::; ng vara …xt. Utbetalningsbeloppet vid tiden Tj kan skrivas 

j S(Tj) S(Tj 1) j= 2 max(0; S(Tj) S(Tj 1)) S(Tj) + S(Tj 1): 

Ett derivat som vid tiden Tj utbetalar j S(Tj) S(Tj 1) j har därför enligt 

dominansprincipen värdet 

vid tiden Tj 1 där 

Här är 

2c(Tj 1; S(Tj 1); S(Tj 1); Tj) S(Tj 1) + S(Tj 1)e 

n = 1 

(T T0): 

n 

c(Tj 1; S(Tj 1); S(Tj 1); Tj) = S(Tj 1)bn 

där enligt Black-Scholes formel för den europeiska köpoptionens värde gäller 

att 

2 

(r + 2 

bn = ( )p n) e r n ( (r 

2 

2 )p n): 

Ett derivat som vid tiden Tj utbetalar j S(Tj) S(Tj 1) j har alltså enligt 

dominansprincipen värdet 

2S(t)bn S(t) + S(t)e r n = S(t)(2bn 1 + e r n ) 

vid tiden t 2 [0; Tj 1] : 

Ett derivat i aktien som utbetalar j S(Tj) S(Tj 1) j vid tiden Tj för 

j = 1; :::; n har därför värdet 

vid tiden t 2 [0; T0] : Här gäller att 

vn(t) = nS(t)(2bn 1 + e r n ) 

lim 

n!1 n( 1 + e r n ) = r(T T0): 

r n

254 

Vidare visar en Maclaurinutveckling av funktionen (x); x 2 R; att 

2 

(r + 2 

bn = ( )p n) e r n ( (r 

2 

2 )p n) = p 2 

då n ! 1: Härav följer att vn(t) ! 1 då n ! 1: 

Svar: Derivatets värde vid tiden t 2 [0; T0] är lika med 

där bn och n de…nieras ovan. 

nS(t)(2bn 1 + e r n ) 

p n + O( 1 

n ) 

LOSNINGAR : MATEMATIK OCH OPTIONER 25 april 1998 

Uppgift 1. Betrakta binomialmodellen i ett tidssteg för en aktie och en 

obligation, där parametrarna uppfyller u > r > d och u > 0 > d: Aktiens 

pris vid tiden t 2 f0; 1g betecknas med S(t): Ett aktiederivat av europeisk 

typ utbetalar beloppet 

max(0; 

S(0) + S(1) 

2 

S(0)) 

vid tiden t = 1: Bestäm derivatets värde vid tiden t = 0: 

Lösning: Sätt 

S(0) = s och 

Y = max(0; 

S(0) + S(1) 

2 

S(1) = se X : 

Derivatets värde vid tiden t = 0 ges av 

v(0) = e r E Q [Y ] 

där Q är martingalmåttet. Observera att 

X = u ) Y = s 

2 (eu 

S(0)); 

1)

och att 

Alltså är 

se r 

2 (eu 

v(0) = e 

Svar: S(0) 

2 (eu 1 ed 

r 

1) eu ed X = d ) Y = 0: 

r s 

2 (eu 

1) er ed eu s 

= 

ed 2 (eu 

1)Q [X = u] = 

1) 

r 1 ed 

eu : 

ed 255 

Uppgift 2. Antag 2 R och betrakta ett aktiederivat av europeisk typ som 

utbetalar beloppet B(T ) 1 S(T ) slutdagen T: Derivatets värde vid tiden 

t < T är en funktion av B(t); S(t); T t; och : Bestäm denna funktion. 

Lösning: Sätt f(s) = B(T ) 1 s ; s > 0 och = T t: Derivatets värde vid 

tiden t är lika med v(t; S(t)) där 

v(t; s) = e r h 

E f(se (r 

2 

2 ) + W ( ) i 

) : 


B(T ) 1 

Vi får därför att 

v(t; s) = B(T ) 1 

e r s e (r 

v(t; S(t)) = B(T ) 1 

Svar: e 1 

2 

( 1) 2 

e r E 

h 

s e (r 

2 

2 ) E e W ( ) = B(T ) 1 

B(T ) 1 

e (1 )r s e 1 

2 

e (1 )r S(t) e 1 

2 

Uppgift 3. Betrakta ekvationen 

( 1) 2 

B(t) 1 S(t) där = T t 

2 

2 

( 1) 2 

i 

) + W ( ) 

= 

e r s e (r 

: 

= e 1 

2 

dX(t) = X(t)dt + dW (t) 

X(0) = 0; t 0: 

( 1) 2 

2 

2 ) e 1 

2 

2 2 

= 

B(t) 1 S(t)

256 

a) Bestäm kovariansen för processen (X(t))t 0. b) Beräkna E 

Lösning: a) Vi skriver ekvationen på formen 

dX(t) + X(t)dt = dW (t) 

hR 1 

0 X(t)dX(t) 

i 

: 

och får efter förlängning med den integrerande faktorn e t den ekvivalenta 

ekvationen 

d(e t X(t)) = e t dW (t): 

Integration ger nu att 

dvs 

e t X(t) = 

X(t) = 

Speciellt gäller att E [X(t)] = 0: 

Antag nu att 0 s t: Då är 


e 

Z s 

s t 

X(s) = 

E [X(s)X(t)] = 

0 

e 2 d = 1 t 

(es 

2 

Z t 

0 

Z t 

0 

e 

Z t 

1[0;s]( )e 

0 

e dW ( ) 

t dW ( ): 

Z t 

1[0;s]( )e 

0 

För godtyckliga s; t 0 gäller därför att 

b) Eftersom 

s dW ( ) 

s e 

t d = 

e s t ) = 1 js tj 

(e 

2 

Cov(X(s); X(t)) = 1 js tj 

(e 

2 

E 

Z 1 

0 

X 2 (t)dt = 

Z 1 

0 

e s t ): 

E X 2 (t) dt = 

e s t ):

Z 1 

följer att processen (X(t))0 t 1 2 M 2 W 

Z 1 

Ekvationen 

ger nu att 

E 

Z 1 

0 

0 

1 

2 (1 e 2t )dt = 1 

4 (1 + e 2 ) < 1 

E 

0 

[0; 1] och vi får att 

X(t)dW (t) = 0: 

X(t)dX(t) = X 2 (t)dt + X(t)dW (t) 

X(t)dX(t) = E 

Svar: Cov(X(s); X(t)) = 1 

1 

4 (1 + e 2 ) 

Z 1 

0 

2 (e js tj e s t ); E 

X 2 (t)dt = 1 

4 (1 + e 2 ): 

hR 1 

0 X(t)dX(t) 

i 

= 

257 

Uppgift 4. Låt t0 < T och betrakta ett aktiederivat av europeisk typ som 

utbetalar beloppet max(S(t0); S(T )) slutdagen T: Bestäm derivatets värde 

vid en godtycklig tidpunkt t t0: 

Lösning: Vi har att 

max(S(t0); S(T )) = S(t0) + max(0; (S(T ) S(t0)): 

Låt v(t) beteckna derivatets värde vid tiden t: Om t 2 [t0; T ] så ger dominansprincipen 

att 

v(t) = S(t0)e r(T t) + c(t; S(t); S(t0); T ): 

Vi påminner om att det för t < T gäller att 

där 

c(t; s; K; T ) = s (d1) Ke r(T t) (d2) 

d1 = 

ln s 

K 

2 

+ (r + )(T t) 

2 p 

T t

258 

och d2 = d1 

p T t: Alltså är 

v(t0) = S(t0)(e r(T t0) + c(t0; 1; 1; T )) 

och dominansprincipen ger för t t0 att 

Här är 

v(t) = S(t)(e r(T t0) + c(t0; 1; 1; T )): 

c(t0; 1; 1; T )) = (( r + 1 

2 )p T t0) e r(T t0) (( r 1 

2 )p T t0)) 


v(t) = S(t)( (( r + 1 

2 )p T t0) + e r(T t0) (1 (( r 1 

2 )p T t0))) = 

S(t)( (( r + 1 

2 )p T t0) + e r(T t0) (( 

r + 1 

2 )p T t0)) = 

Svar: v(t) = S(t)( (( r + 1 

2 )pT t0)+e r(T t0) r 1 (( + 

t t0 

2 )p T t0)); 

LOSNINGAR : MATEMATIK OCH OPTIONER 2 juni 1998 

Uppgift 1. Antag att K; T > 0 och S(0) < Ke T : Bestäm det största talet 

0 > 0 sådant att sannolikheten P [S(T ) > K] är en växande funktion av 

i intervallet [0; 0] : 

Lösning. Sätt f( ) = P [S(T ) > K] och s = S(0): Relationen 

ger 

f( ) = P 

S(T ) = se ( 

h 

se ( 

2 

)T + W (T ) 

2 

2 

2 )T + W (T ) i 

> K =

P 

" 

W (T ) < 1 ln se( 

K 

2 

2 )T 

# 

= ( 1 p T (ln s 

K 

Eftersom 0 > 0 så är f 0 ( ) 0 om och endast om 

vilket betyder att 

d 

d 

1 

2 

1 (ln s 

K 

(ln s 

K 

+ ( 

+ ( 

eller r 

2 

T 

q 

2 K 

Svar: 0 = ln 2 

T S(0) 

2 

ln K 

s 

2 

)T ) 0 

2 

)T ) T 0 

2 

2 : 

+ ( 

2 

)T ): 

2 

259 

Uppgift 2. Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation, där 

parametrarna uppfyller u > r > 0 d och t 2 f0; 1; :::; ng : Aktiens pris vid 

tiden t betecknas med S(t): Ett aktiederivat av europeisk typ med slutdagen 

n utbetalar denna dag beloppet Y; där Y = S(n) om S(0) < S(1) < ::: < 

S(n) och Y = S(0) i annat fall. Bestäm derivatets värde vid tiden 0: 

Lösning. Eftersom S(0) är en känd konstant är derivatets värde v(0) vid 

tiden 0 är lika med e rn E Q [Y ] ; där Q är martingalmåttet. Här gäller att 

Q [S(0) < S(1) < ::: < S(n)] = Q [aktien går upp i varje tidssteg] = 

Alltså är 

v(0) = e rn e r e d 

e u e d 

e r e d 

e u e d 

n 

: 

n 

S(0)e nu + (1 

e r e d 

e u e d 

n 

)S(0)

260 

eller 

v(0) = e rn 1 + er e d 

Svar: e rn 

n 

1 + er ed eu ed e u e d 

n 

(e nu 

n 

(enu o 

1) S(0) 

Uppgift 3. Antag n 2 N+: a) Visa att 

1 

n 

nX 

k=1 

W ( k 

) = 

n 

Z 1 

0 

hn(t)dW (t) 

1) S(0): 

där 

hn(t) = 1 

k k 

; 

n n 

k + 1 

t < ; k = 0; :::; n 

n 

1: 

b) Beräkna variansen av den stokastiska variabeln 

X = 

Lösning: a) Det gäller att 


dvs 

nX 

k=1 

1 

n 

W ( k 

) = 

n 

nX 

k=1 

k=0 

Z 1 

0 

nX 

k=1 

W (t)dt 

1 

n 

nX 

k=1 

W ( k 

n ): 

((k n) (k 1 n))W ( k 

) = 

n 

Xn 

1 

k + 1 

(k n)(W ( ) W (k 

n n )) 

X 

(1 

W ( k 

n 1 

) = 

n 

k=0 

1 

n 

nX 

k=1 

W ( k 

) = 

n 

k + 1 

)(W (k ) W (k 

n n n )) 

Z 1 

0 

hn(t)dW (t):

) Det gäller att 

Z 1 

0 

W (t)dt = [(t 1)W (t)] t=1 

t=0 

och därmed Z 1 

W (t)dt = 

Alltså är 

Eftersom 

Z 1 

0 

0 

X = 

Z 1 

0 

Z 1 

(1 t hn(t)) 2 Xn 

1 

dt = 

Xn 

1 

k=0 

Z k+1 

n 

k 

n 

0 

Z 1 

0 

(1 t)dW (t): 

(1 t hn(t))dW (t): 

( k 

n 

k=0 

Z k+1 

n 

k 

n 

(t 1)dW (t) 

(1 t hn(t)) 2 dt = 

t) 2 dt = 1 

< 1 

3n2 261 

följer nu att E [X] = 0 och E [X 2 ] = 1 

3n 2 : Den stokastiska variabeln X har 

alltså variansen 1 

3n 2 : 

Svar: b) 1 

3n 2 

Uppgift 4. Ett derivat av europeisk typ utbetalar beloppet max(S(T ); K) 

slutdagen T > 0; där K > 0 är ett givet tal. Låt u(t; S(t)) beteckna derivatets 

värde vid tiden t < T: a) Visa att u 0 s(t; s) = (d1). b) Visa att funktionen 

su0 s(t; s) 

; s > 0 

u(t; s) 

är strängt växande för …xt t: Ge en ekonomisk tolkning av denna egenskap. 

Lösning: a) Det gäller att max(S(T ); K) = K + max(0; S(T ) K) och 

dominansprincipen medför att u(t; S(T )) = Ke r + c(t; S(t); K; T ). Vidare 

vet vi att 

c(t; s; K; T ) = s (d1) Ke r 

(d2):

262 

Med beteckningen ' = 0 får vi därför att 

@ 

@s c(t; s; K; T ) = (d1) 

1 

+ s 

s p '(d1) Ke r 1 

p '(d2): 

s 

Vidare följer att 

varför 

och 

b) Sätt 

Det följer att 

där 

s'(d1) = 1 

p 2 se 

r 1 Ke 

p s 

2 s 

(s) = 

e 

1 

s 

2 2 (ln 

Ke r 

1 

s 1 

2 2 (ln 

Ke r + 2 2 ) 2 

= 

@ 

c(t; s; K; T ) = (d1) 

@s 

u 0 s(t; s) = (d1): 

(s) = su0 s(t; s) 

u(t; s) : 

1 

2 2 ) 2 

= Ke r '(d2) 

s (d1) 

Ke r + s (d1) Ke r (d2) = 

s (d1) 

s (d1) + Ke r ( d2) = 

f(s) = ( d2) 1 

s 

1 

1 + Ke r f(s) 

1 

(d1) 

är en produkt av tre positiva strängt avtagande funktioner. Funktionen f(s) 

är därför strängt avtagande och funktionen (s) är därmed strängt växande. 

Betrakta en själv…nansierande strategi i aktien och obligationen, som 

innehåller u 0 s(t; S(t)) aktier vid tiden t och som har värdet max(K; S(T )) 

slutdagen T . Portföljens aktievärde vid tiden t < T ges av u 0 s(t; S(t))S(t) 

och portföljen består därför vid denna tidpunkt till 

S(t)u 0 s(t; S(t)) 

u(t; S(t)) 

100

263 

procent av aktier. Vi kan därför säga att denna procentandel växer strängt 

med aktiepriset om alla andra oberoende variabler hålls konstanta. 

LOSNINGAR : MATEMATIK OCH OPTIONER (CTH[T MA861],GU[MAN690]) 

Skrivningsdag: 8 maj 1999, kl 8 45 13 45 

Uppgift1. Betrakta den stokastiska di¤erentialekvation 

dX(t) = 1 

X(t)dt + tdW (t); t 0 

2 

med begynnelsevärdet X(0) = 0: Beräkna E [X 2 (t)] : 

Lösning. Ekvationen 

ger 

och därmed 

dX(t) + 1 

X(t)dt = tdW (t) 

2 

d(e t 

2 X(t)) = te t 

2 dW (t) 

e t 

Z t 

2 X(t) = 

0 

eftersom X(0) = 0: Härav följer att 

och 

e t 

Z t 

0 

X(t) = 

Z t 

E X 2 (t) = 

0 

Z t 

0 

e 

e 2 dW ( ) 

t 

2 dW ( ) 

( e 

2 e d = e t e ( 2 

t 

2 ) 2 d = 

2 + 2) t 

0 =

264 

t 2 

2t + 2 2e t SV AR 

Uppgift2. Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation, där 

parametrarna uppfyller u > r > 0, d = u och t 2 f0; 1; 2g : Aktiens pris vid 

tiden t betecknas med S(t): Ett aktiederivat av europeisk typ med slutdagen 2 

utbetalar denna dag beloppet max(S(0); S(1); S(2)): Bestäm derivatets värde 

vid tiden 0: 

Lösning. Sätt S(0) = s och 

S(t + 1) = S(t)e Xt+1 ; t = 0; 1: 

Låt V (t) beteckna derivatets värde vid tiden t: Vi har att 

0 

och de…nieras 


Alltså är 

B 

@ 

V (2)jX1=u;X2=u = max(s; se u ; se u+u ) = se 2u 

V (2)jX1=u;X2=d = max(s; se u ; se u+d ) = se u 

V (2)jX1=d;X2=u = max(s; se d ; se d+u ) = s 

V (2)jX1=d;X2=d = max(s; se d ; se d+d ) = s 

p = er ed eu = 1 q 

ed V (1)jX1=u = e r (pse 2u + qse u ) 

V (1)jX1=d = e r (ps + qs) = e r s 

V (0) = e r pe r (pse 2u + qse u ) + qe r s = 

se 2r p 2 e 2u + pqe u + q SV AR 

Uppgift3. Låt t < T < T1 och K > 0: Ett …nansiellt derivat ger innehavaren 

rättigheten, men ej skyldigheten, att vid tiden T byta en europeisk säljoption 

i aktien med slutdagen T1 och lösenpriset K mot en europeisk köpoption i 

aktien med slutdagen T1 och lösenpriset K: Bestäm derivatets värde vid tiden 

t: 

: 

1 

C 

A

265 

Lösning. Låt V (t) beteckna derivatets värde vid tiden t T: Förutsättningen 

ger att 

Men 

V (T ) = max(0; c(T; S(T ); K; T1) p(T; S(T ); K; T1)): 

S(T ) c(T; S(T ); K; T1) = Ke r(T1 T ) 

(”put-call parity relation”) och det följer att 

p(T; S(T ); K; T1): 

V (T ) = max(0; S(T ) Ke r(T1 T ) ) = c(T; S(T ); Ke r(T1 T ) ; T ): 

Dominansprincipen ger nu att 

Om t < T följer slutligen att 

V (t) = c(t; S(t); Ke r(T1 T ) ; T ): 

S(t) 

ln K V (t) = S(t) ( + r(T1 T ) + (r + 2 

)(T t) 

2 p ) 

T t 

K + r(T1 T ) + (r 

p 

T t 

SV AR : Derivatets värde vid tiden t < T är lika med 

Ke r(T1 T ) e r(T t) ( ln S(t) 

S(t) 

ln K S(t) ( + r(T1 T ) + (r + 2 

)(T t) 

2 p ) 

T t 

Ke r(T1 t) ( ln S(t) 

K + r(T1 T ) + (r 

p 

T t 

2 

2 

2 

2 

)(T t) 

): 

)(T t) 

): 

Uppgift4. Antag u(t; x) = x 4 + 7x 3 6tx 2 21tx + 3t 2 ; t 0; x 2 R. Visa 

att processen (u(t; W (t)))t 0 är en Wienermartingal. (Ledning: Använd Itôs 

lemma.) 

Lösning: Itôs lemma ger 

du(t; W (t)) = u 0 t(t; W (t))dt + u 0 x(t; W (t))dW (t) + 1 

2 u00 xx(t; W (t))(dW (t)) 2 =

266 

Här är 

och 

varför 


dvs 

(u 0 t(t; W (t)) + 1 

2 u00 xx(t; W (t)))dt + u 0 x(t; W (t))dW (t): 

u 0 t = 6x 2 

u 0 x = 4x 3 + 21x 2 

21x + 6t; 

12tx 21t 

u 00 xx = 12x 2 + 42x 12t 

@u 

@t 

1 @ 

+ 

2 

2u = 0: 

@x2 du(t; W (t)) = u 0 x(t; W (t))dW (t) 

u(t; W (t)) = 

eftersom u(0; 0) = 0: 

För att visa att processen 

Z t 

0 

Z t 

0 

u 0 x( ; W ( ))dW ( ) 

u 0 x( ; W ( ))dW ( ); t 0 

är en Wienermartingal …xerar vi ett 0 < T < 1 och sätter 

h(t) = u 0 x(t; W (t)); 0 t T: 

Det räcker nu att visa att h 2 M 2 W [0; T ] : Det är självklart att h är progressivt 

mätbar. Det återstår att visa att 

Observera först att 

Därför gäller att 

E 

Z T 

0 

h 2 (t)dt < 1: 

j x k j 1+ j x j 3 ; k 2 f0; 1; 2; 3g ; x 2 R: 

j u 0 x(t; x) j A(1+ j x j 3 ); 0 t T; x 2 R

där A = 4 + 21 + 12T + 21T: Eftersom 

följer att 

2A 2 

(1+ j x j 3 ) 2 

2(1 + x 6 ) 

Z T 

E h 

0 

2 Z T 

(t)dt E 2A 

0 

2 (1 + W 6 (t))dt = 

Z T 

(1 + E W 

0 

6 (t)) )dt = 2A 2 

Z T 

(1 + t 

0 

3 E W 6 (1)) )dt = 

2A 2 4 T 

(T + 

4 E W 6 (1)) ) < 1 

ty W (0; 1) 2 N(0; 1): Vi har därför visat att h 2 M 2 W 

[0; T ] : 

LOSNINGAR : MATEMATIK OCH OPTIONER (CTH[T MA861],GU[MAN690]) 

Skrivningsdag: 22 maj 1999, kl 8 45 13 45 

Uppgift 1. a) Lös den stokastiska di¤erentialekvationen 

dX(t) = X(t) 

dt + dW (t); 0 t < 1 

1 t 

267 

med begynnelsevärdet X(0) = 0: Visa att den stokastiska processen (X(t))0 t

268 

och integration ger 

ty X(0) = 0: Härav följer att 

X(t) 

1 t = 

Z t 

0 

1 

Z t 

X(t) = (1 t) 

0 

1 

1 

1 

dW ( ) 

dW ( ): 

Eftersom Wienerprocessen är en centrerad Gaussisk process så följer att 

den stokastiska processen (X(t))0 t

269 

Uppgift 2. Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation, där 

parametrarna uppfyller u > 0; d = u; r = u och t 2 f0; 1; 2g : Aktiens 

2 

pris vid tiden t betecknas med S(t): Ett aktiederivat av europeisk typ med 

slutdagen 2 utbetalar denna dag beloppet 

Bestäm derivatets värde vid tiden 0: 

Lösning: Sätt S(0) = s och 

(S(0) S(1)) + + (S(1) S(2)) + : 

S(t + 1) = S(t)e Xt+1 ; t = 0; 1: 

Låt V (t) beteckna derivatets värde vid tiden t: Vi har att 

0 

B 

@ 

och de…nieras 


dvs 

Alltså är 

V (2)jX1=u;X2=u = (s se u ) + + (se u se u+u ) + = 0 

V (2)jX1=u;X2=d = (s se u ) + + (se u se u+d ) + = s(e u 1) 

V (2)jX1=d;X2=u = (s se d ) + + (se d se d+u ) + = s(1 e d ) 

V (2)jX1=d;X2=d = (s se d ) + + (se d se d+d ) + = s(1 e 2d ) 

p = er ed eu = 1 q 

ed V (1)jX1=u = e r (0 + qs(e u 1)) 

V (1)jX1=d = e r (ps(1 e d ) + qs(1 e 2d )) 

V (1)jX1=u = sqe r (e u 1) 

V (1)jX1=d = se r (1 e d )(1 + qe d ) 

V (0) = e r (psqe r (e u 

sqe 2r (p(e u 

1) + qse r (1 e d )(1 + qe d )) = 

1) + (1 e d )(1 + qe d )) = 

se u e 

2 

u 1 

eu + 1 

SV AR 

: 

1 

C 

A

270 

Uppgiften är löst. 

Uppgift 3. Visa att processen 

är en Wienermartingal. 

(e t 

2 cosh W (t))t 0 

Lösning: Sätt Ft = (W ( ); 0 t): Antag först att a 2 R och låt 

t0 t: Då är 

E e aW (t) j Ft0 = E e a(W (t) W (t0)) e aW (t0) j Ft0 = 

e aW (t0) E e a(W (t) W (t0)) j Ft0 = e aW (t0) E e a(W (t) W (t0)) = e aW (t0) e a 2 

2 (t t0) : 

Alltså är 

E 

h 

e t 

i 

2 cosh W (t) j Ft0 = 1 

2 E 

h 

e t 

2 (e W (t) + e W (t) i 

) j Ft0 = 

1 t 

e 2 (E e 

2 W (t) j Ft0 + E e W (t) j Ft0 ) = 

1 t 

e 2 (e 

2 W (t0) 

1 

e 2 (t t0) 

1 

W (t0) 

+ e e 2 (t t0) 

t02 ) = e cosh W (t0): 

Uppgift 4. En europeisk köpoption i aktien med slutdagen T och lösenpriset 

K har det teoretiska priset c(t; S(t); K) vid tiden t 2 [0; T [ ; där c(t; s; K) = 

s (d1) Ke r (d2); = T t; 

och d2 = d1 

a) 

b) 

p : Visa att 

d1 = 

ln s 

K 

@c 

@s 

c(t; s; K) 

c(t; s0; K) 

+ (r + 2 

2 ) 

p 

= (d1) 

> s 

s0 

om s > s0:

Lösning: a) Vi har att 

@c 

@s = (d1) + s 1 

p e 

2 d2 1 

2 

(d1) + 1 

p 2 

(d1) + 1 

p 2 

@d1 

@s 

@d1 

@s 

@d1 

@s Ke r 1 

p2 e d2 2 2 

se d2 1 2 Ke r e d2 2 2 = 

se d2 1 2 Ke r e d2 1 2 +d1 

(d1) + e d2 1 n 

2 @d1 

p s Ke 

2 @s 

r e d1 

b) Det räcker att visa att funktionen 

är strängt växande. Men 

f 0 (s) = 

s @c 

@s 

f(s) = 

p 2 

2 

c(t; s; K) 

; s > 0 

s 

@d2 

@s = 

p 2 

2 = 

o 

= (d1): 

c 1 

s2 = s (d1) (s (d1) Ke r (d2)) 

s2 Ke r (d2) 

s2 > 0 

och det följer omedelbart att f är strängt växande. 

= 

271 

Alternativ lösning till b): Optionsprisets elasticitet med avseende på 

aktiepriset är lika med 

s @c 

c @s = 

Om s1 > s0 följer därför att Z s1 

dvs 

eller 

s (d1) 

s (d1) Ke r (d2) 

s0 

1 

c 

@c 

ds > 

@s 

Z s1 

s0 

1 

s ds 

> 1: 

ln c(t; s1; K) ln c(t; s0; K) > ln s1 ln s0 

c(t; s1; K) 

c(t; s0; K) 

s1 

> : 

s0

Referenser 

273 

1. [BA] Bachelier, L. (1900) Théorie de la spéculation. Annales scienti…ques 

de l’École normale supérieure 17, 21-86 

[BE] Bermin, H.-P. (1998) Essays on Lookback and Barrier Options. 

A Malliavin Calculus Approach. Lund Economic Studies. 

[BK] Bingham, N. H., Kiesel, R. (1998) Risk-Neutral Valuation. Pricing 

and Hedging of Financial Derivatives. Springer 

[BT ] Björk, T. (1994) Stokastisk kalkyl och kapitalmarknadsteori. Del 

1 och 2. Optimeringslära och Systemteori, Matematiska Institutionen, 

KTH, Stockholm 

[BT S] Björk, T. (1997) Interest rate theory. Financial Mathematics, 

editor: W. J. Runggaldier, Lecture Notes in Mathematics 1656, 

53-122. Springer. 

[BT O] Björk, T. (1998) Arbitrage Theory in Continuous Time. Oxford 

University Press. 

[BS] Black F., Scholes, M. (1973) The pricing of options and corporate 

liabilities. Journal of Political Economy 81, 637-659 

[BOR] Borkar, V. S. (1995) Probability Theory. An Advanced Course. 

Springer. 

[BOY ] Boyle, P. P. (1989) The quality option and timing option in 

future contracts. The Journal of Finance XLIV, 101-113 

[BR] Brown, R. (1829) Additional remarks on active molecules. Philosophical 

Magazine, 161-166. 

[CC] Carverhill, A., Clelow, L. (1990) Flexible convolution. Risk 

3=No 4, 25-29 

[CR] Cox, J. R., Rubinstein, M. (1985) Option Markets. Prentice 

Hall. 

[CV ] Conze, A., Viswanathan (1991) Path dependent options: the 

case of lookback options. The Journal of Finance XLVI/No 5, 

1893-1907 

[CW ] Chung, K. L., Williams, R. J. (1990) Introduction to Stochastic 

Integration. Birkhäuser.

274 

[CJM] Carr, P., Jarrow, R., Myneni, R. (1992) Alternative characterizations 

of American put options. Mathematical Finance 2, 

87-106 

[CRR] Cox, J. C., Ross, S. A., Rubinstein, M. (1979) Option pricing: 

a simpli…ed approach. J. of Financial Economics 7, 229-263 

[D] Du¢ e, D. (1992) Dynamic Asset Pricing Theory. Princeton University 

Press. 

[DT G] De Schepper, A., Teunen, M., Goovaerts, M.J. (1994) An analytic 

inversion of a Laplace transform related to annuities certain. 

Insurance: Mathematics and Economics 14, 33-37 

[E] Einstein, A. (1905) On the movement of small particles suspended 

in a stationary liquid demanded by the molecular-kinetic theory 

of heat. Ann. Physik 17 

[F A] Fama, E. F. (1965) The behavior of stock market prices. J. of 

Business 38, 34-105 

[F R] Friedman, A. (1975) Stochastic di¤erential equations and applications. 

Academic Press. 

[GK] Garman, M., Kohlhagen, S. (1983) Forein currency option values. 

Journal of International Money and Finance 2 231-237 

[GY ] German, H., Yor, M. (1993) Bessel processes, Asian options, and 

perpetuities. Mathematical Finance 3, 349-375 

[GEM] Gemmill, G. (1992) Option Pricing. McGraw Hill. 

[H] Hull, J. (1996) Options, Futures, and Other Derivative Securities. 

3rd ed. Prentice Hall. 

[HJ] Heath, D. C., Jarrow, R. A. (1988) Ex-dividend stock price 

behavior and arbitrage opportunities. Journal of Business 61, 95- 

108 

[HH] Hammersley, J.M., Handscomb, D.C. (1964) Monte Carlo Methods. 

Chapman and Hall. 

[HW ] Hull, J., White, A. (1988) The use of the control variate technique 

in option pricing. Journal of Financial and Quantitative 

Analysis 23 237-251 

[HJM] Heath, D., Jarrow, R., Morton, A. (1992) Bond pricing and 

the term structure of interest rates. Econometrica 60 , 77-106

275 

h 

IT ^ i 

O1 Itô, K. (1942) Di¤erenial equations determining Markov processes 

(in Japanese). Zenkoku Shijo Sūgaku Danwakai 1077, 1352-1400 

h 

IT ^ i 

O2 Itô, K. (1944) Stochastic Integral. Proc. Imperical Acad. 

Tokyo 20, 519-524 

[J1] Jarrow, R. (1995) Modelling Fixed Income Securities and Interest 

Rate Options. McGraw-Hill. 

[J2] Jarrow, R. (1995) Over the rainbow. Developments in exotic 

options and complex swaps. Risk Publications. 

[JT ] Jarrow, R., Turnbull, S. (1996) Derivative Securities. International 

Thomson Publishing. 

[KS] Karatzas, I., Shreve S. E. (1988) Brownian Motion and Stochastic 

Calculus. Springer-Verlag. 

[KV ] Kemna, A. G. Z., Vorst, A. C. F. (1990) A pricing method for 

options based on average asset values. Journal of Banking and 

Finance 14, 113-129 

[KSZ] Klafter, J., Shlesinger, M. F., Zumofen, G. (1996) Beyond 

Brownian motion. Physics Today 49, 33-39 

[LIF ] Lifshits, M.A. (1995) Gaussian Random Functions. Kluwer 

Academic Publishers. 

[MY ] Myneni R. (1992) The pricing of the american option. Ann. 

Appl. Prob. 2, 1-23 

[MAR] Margrabe, W. (1978) The value of an option to exchange one 

asset for another. Journal of Finance 33 177-186 

[McK] McKean, H. P. (1969) Stochastic Integrals. Academic Press. 

[MER1] Merton, R. (1990) Continuous-Time Finance. Oxford: Basil 

Blackwell. 

[MER2] Merton, R. (1973) Theory of rational option pricing. Bell 

Journal of Economics and Management 4, 141-183. 

[MR] Musiela, M., Rutkowski, M. (1997) Martingale Methods in Financial 

Modelling. Springer-Verlag. 

[N] Neveu, J. (1965) Mathematical Foundations of the Calculus of 

Probability. Holden-Day.

276 

[NEL] Nelson, E. (1967) Dynamical Theories of Brownian Motion. 

Mathematical Notes, Princeton University. 

[NUA] Nualart, D. (1995) The Malliavin Calculus and Related Topics. 

Springer-Verlag. 

[P W Z] Paley, R. E. A., Wiener, N., Zygmund, A. (1933) Math. 

Zeitschrift 37 647-668 

[RS] Rogers, L. C. G., Shi, Z. (1995) The value of an asian option. J. 

Appl. Prob. 32, 1077-1088 

[S] Smith, Jr., C. W. (1976) Option pricing. A review. Journal of 

Financial Economics 3, 3-51 

[SAM1] Samuelson, P. A. (1965) Rational theory of warrant pricing. 

Indust. Management Rev. 6, 13-32 

[SAM2] Samuelson, P. A. (1973) Mathematics of speculative price. 

SIAM Rev XX, 1-42 

[T W ] Turnbull, S.M., Wakerman, L. M. (1991) A quick algorithm 

for pricing average options. Journal of Financial and Qualitative 

Analysis 26, 377-389 

[W ] Wiener N. (1923) Di¤erential space, J. Math. Phys.2, 131-174 

[W DH] Wilmott, P., Dewynne, J., Howison, S. (1993 omtryck 1996) 

Option Pricing: Mathematical Models and Computation. Oxford 

Financial Press. 

[Y ] Yor, M. (1992) Some Aspects of Brownian Motion. Birkhäuser. 

h i 

O Öhgren, A. (1999) On the Pricing of Lookback Options. Master’s 

thesis, Chalmers. 

[;K] ;ksendal, B. (1985) Stochastic Di¤erential Equations. Springer- 

Verlag.

MATEMATIK OCH OPTIONER - Matematiska vetenskaper

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

Delete template?

Save as template ?