01.08.2013 Views

Övning accelererad rörelse inkl lösningar - Dropbox

Övning accelererad rörelse inkl lösningar - Dropbox

Övning accelererad rörelse inkl lösningar - Dropbox

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

<strong>Övning</strong> – Accelererad <strong>rörelse</strong><br />

G1. En löpare ökar hastigheten från 0 m/s till 6,0 m/s på tiden 2,0 s.<br />

Hur stor är löparens medelacceleration?<br />

G2. Vid en omkörning hade den omkörande bilen vid omkörningens början hastigheten<br />

20 m/s. Bilen <strong>accelererad</strong>e med den konstanta accelerationen 1,2 m/s 2 i 5,0 s.<br />

Vilken hastighet hade bilen efter accelerationen?<br />

G3. Man släpper en liten blykula från 10 meters höjd. Vilken acceleration har kulan när<br />

den har fallit 5,0 m? Bortse från luftmotstånd.<br />

G4. En sten släpps ned från ett 35 m högt torn. Hur lång tid tar fallet? Bortse från<br />

luftmotstånd.<br />

G6. Vid en omkörning hade bilen vid omkörningens början hastigheten 25 m/s. Bilen<br />

<strong>accelererad</strong>e med den konstanta accelerationen 1,8 m/s 2 i 5,0 s.<br />

Hur lång sträcka tillryggalades under accelerationen?<br />

G7. Hur lång tid tar det att accelerera en bil från hastigheten 18 km/h till hastigheten<br />

54 km/h, om bilens motor förmår åstadkomma en konstant acceleration av 1,2 m/s 2 ?<br />

G8. En blomkruka faller ut genom ett fönster. Hur stor är krukans medelhastighet, om den<br />

faller fritt under 1,8 s? Fallet antas ske utan friktion.<br />

G9. Släpet till en bil, som rör sig med farten 20 m/s lossnar från dragbilen. Friktionen mot<br />

underlaget och luften medför att släpvagnen får en retardation av 1,5 m/s 2 .<br />

Efter hur lång tid stannar släpvagnen?


G10. Efter att ha åkt nedför en fjällbrant har en skidåkare farten 24 m/s. Inbromsningen till<br />

stillastående tar 20 s. Hur lång blir bromssträckan om man antar att inbromsningen<br />

sker med konstant acceleration?<br />

G11. v-t-diagrammet beskriver <strong>rörelse</strong>n hos en kula som rullar nedför en ränna.<br />

Bestäm kulans acceleration.<br />

m/s<br />

10<br />

2<br />

v<br />

0,5 1,0<br />

G12. Diagrammet visar en v-t-graf för en bils inbromsning till stillastående.<br />

Beräkna bromssträckan.<br />

m/s v<br />

30<br />

20<br />

10<br />

1 2 3 4 5 6 s<br />

V5. Grafen visar v-t-grafen för en kropps <strong>rörelse</strong>.<br />

Beräkna kroppens medelhastighet under tiden 0 s - 10 s.<br />

m/s v<br />

5<br />

1<br />

5 10<br />

t<br />

s<br />

V6. En Formel I-bil accelererar med konstant acceleration från vila under 3,0 s.<br />

Bilen kör under denna tid 40 m. Hur stor är därefter bilens hastighet?<br />

V7. Ett litet föremål rör sig längs en rätlinjig bana på ett sådant sätt att avståndet s m från<br />

utgångspunkten kan bestämmas med formeln s = 3,0·t + 0,80·t 2 där t är tiden i<br />

sekunder efter starten. Hur stor är föremålets acceleration?<br />

t<br />

s<br />

t


V8. Rita en v-t-graf för ett lodrätt kast med begynnelsehastighet 25 m/s rakt uppåt. Rita i<br />

tidsintervallet 0 s ≤ t ≤ 5,0 s. Räkna med att tyngdaccelerationen är 10 m/s 2 .<br />

V14. Carl Lewis sprang vid ett tillfälle ett 100 m-lopp på 9,86 s. Antag att han <strong>accelererad</strong>e<br />

likformigt under de första 25,0 m av loppet och sprang resterande delen med konstant<br />

hastighet. Beräkna denna hastighet.<br />

M1. En bil A körde med hastigheten 72 km/h på en rak motorväg. Framför A körde en<br />

annan bil B, som hade hastigheten 90 km/h. Avståndet mellan de båda bilarna var<br />

50 m. A <strong>accelererad</strong>e med konstant acceleration och körde om B. Det tog<br />

30 sekunder från det att A startade omkörningen tills det att A låg 50 m framför B,<br />

som hela tiden höll samma hastighet.<br />

a) Hur lång sträcka körde A under denna omkörning?<br />

b) Beräkna accelerationen för bil A.<br />

M2. En bil A med hastigheten 54 km/h blir omkörd av en annan bil B som kör med<br />

hastigheten 72 km/h. Efter 10 s börjar bil A att accelerera med accelerationen<br />

2,0 m/s 2 och fortsätter med detta tills han har kört om B.<br />

Hur lång tid har det gått mellan dessa omkörningar?<br />

M6. Två poliser sitter i en polisbil vid sidan av en väg där hastighetsbegränsningen är<br />

70 km/h. Plötsligt ser de en bil som kommer i hög fart på vägen. Poliserna mäter<br />

bilens hastighet med radar och ser att bilen kör med hastigheten 105 km/h. Eftersom<br />

fartsyndaren inte ser polisbilen fortsätter han med samma hastighet. Poliserna beslutar<br />

sig för att försöka köra ifatt bilen och stoppa den. Poliserna börjar accelerera när den<br />

fortkörande bilen är jämsides med polisbilen. Polisbilen accelererar med<br />

accelerationen 3,5 m/s 2 till hastigheten 150 km/h och håller sedan denna hastighet.<br />

Hur lång tid tar det för polisbilen att hinna ifatt fartsyndaren, räknat från det<br />

ögonblick då polisbilen startar?<br />

M12. Pelle släpper en liten boll från ett fönster 8,0 m över marken. Precis rakt under står<br />

Nisse och kastar en likadan boll rakt uppåt i samma ögonblick som Pelle släpper sin.<br />

Bollen kastas från en höjd av 2,0 m över marken. Nisse kastar sin boll med<br />

hastigheten 7,5 m/s och lyckas verkligen med konststycket att träffa Pelles boll på<br />

vägen.<br />

a) På vilken höjd över marken träffar bollarna varandra?<br />

b) Åt vilket håll rör sig Nisses boll när bollarna träffar varandra?


Lösningar Accelererad <strong>rörelse</strong><br />

∆v<br />

6, 0 − 0<br />

G1. Medelaccelerationen am = = m/s<br />

∆t<br />

2,<br />

0<br />

2 =<br />

= 3,0 m/s2 Svar: 3,0 m/s 2<br />

G2. v = v o + a·t ger v = (20 + 1,2·5,0) m/s = 26 m/s<br />

Svar: 26 m/s<br />

G3. Om vi bortser från luftmotstånd, är accelerationen hos alla fallande kroppar i varje ögonblick lika med<br />

tyngdaccelerationen g = 9,82 m/s2 .<br />

Svar: 9,82 m/s 2<br />

G4. För fritt fall utan begynnelsehastighet gäller<br />

gt<br />

2<br />

s = , där s = 35 m<br />

2<br />

t =<br />

2 s<br />

=<br />

g<br />

Svar: 2,7 s<br />

2⋅<br />

35<br />

s = 2,67 s<br />

9,<br />

82<br />

G5. Då stenen kastas uppåt minskar dess hastighet. När stenen når sitt översta läge är hastigheten noll. Sedan<br />

faller stenen nedåt. Hastigheten byter då tecken (blir negativ). Det diagram som visar detta är c.<br />

Svar: c<br />

a ⋅ t<br />

2<br />

G6. s = vo ·t +<br />

2<br />

s = 147,5 m<br />

Svar: 150 m<br />

ger s = (25·5,0 +<br />

1,<br />

8⋅<br />

5,<br />

0<br />

2<br />

) m<br />

2<br />

G7. 18 km/h = 5,0 m/s och 54 km/h = 15 m/s.<br />

v = v o + a·t ger 15 = 5 + 1,2·t ⇒ t = 8,33 s<br />

Svar: 8,3 s


G8. v = v o + a·t ger sluthastigheten<br />

v = (0 + 9,82·1,8) m/s = 17,68 m/s.<br />

Eftersom accelerationen är konstant är medelhastigheten<br />

v<br />

o<br />

+ v 0 + 17,<br />

68<br />

v<br />

m<br />

= = m/s = 8,84 m/s<br />

2 2<br />

Svar: 8,8 m/s<br />

G9. v = vo + a·t ger med sluthastigheten v = 0 :<br />

0 = 20 – 1,5·t ⇒ t = 13,3 s<br />

Svar: 13 s<br />

G10. Eftersom accelerationen är konstant är<br />

v<br />

o<br />

+ v 24 + 0<br />

v<br />

m<br />

= = m/s = 12 m/s<br />

2 2<br />

s = v<br />

m<br />

·t = 12·20 m = 240 m<br />

Svar: 240 m<br />

G11. Kulans acceleration ges av lutningen av linjen i v-t-diagrammet.<br />

∆ v 6,<br />

0<br />

a = = m/s<br />

∆t<br />

1,<br />

0<br />

2 = 6,0 m/s2 Svar: 6,0 m/s 2<br />

G12. v-t-grafen är linjär. Alltså är accelerationen konstant.<br />

v<br />

o<br />

+ v<br />

Då accelerationen är konstant är medelhastigheten v<br />

m<br />

= .<br />

2<br />

Enligt grafen är vo = 30 m/s och v = 0 m/s.<br />

30 + 0<br />

v<br />

m<br />

= m/s =15 m/s<br />

2<br />

s = v<br />

m<br />

·t = 15·5 m = 75 m<br />

Svar: 75 m


V5. Vi bestämmer först hur lång sträcka som kroppen har förflyttat sig under de första 10 sekunderna. Denna<br />

sträcka representeras av arean av området under grafen. Detta område kan delas upp i en rektangel med<br />

arean<br />

s1 = 10 . 2 m = 20 m och en triangel med arean<br />

5⋅ 3<br />

s2 = m = 7,5 m<br />

2<br />

Total sträcka s1 + s2 = (20 + 7,5) m = 27,5 m. Detta har skett på tiden 10 s.<br />

27,<br />

5<br />

Medelhastigheten vm = m/s = 2,75 m/s<br />

10<br />

Svar: 2,8 m/s<br />

V6. Begynnelsehastighet: vo = 0. Sluthastighet: v<br />

Då accelerationen är konstant får vi:<br />

v<br />

o<br />

+ v<br />

0 + v<br />

s = ⋅t<br />

⇒ 40 = ⋅3,<br />

0<br />

2<br />

2<br />

2⋅ 40<br />

v = m/s = 26,7 m/s = 26,7<br />

3,<br />

0<br />

. 3,6 km/h = 96 km/h<br />

Svar: 27 m/s (96 km/h)<br />

V7. s = 3,0·t + 0,80 . t2 . Derivatan av denna funktion ger hastigheten v(t) uttryckt i enheten m/s.<br />

v(t) = 3,0 + 2 . 0,80 . t = 3,0 + 1,6 . t<br />

Om vi deriverar funktionen v(t) erhåller vi accelerationen a(t) uttryckt i enheten m/s2 .<br />

a(t) = 1,6<br />

Svar: 1,6 m/s 2


V8. v = v o + a·t ger med positiv riktning uppåt och<br />

a = –g = –10 m/s 2 ⇒ v = 25 – 10·t<br />

Tabell:<br />

t 0 1 2 2,5 3 4 5 s<br />

v 25 15 5 0 –5 –15 –25 m/s<br />

V14. Först likformig acceleration och sedan konstant hastighet innebär att v-t-grafen får<br />

nedanstående utseende:<br />

m/s<br />

v<br />

0<br />

v<br />

t<br />

9,86 - t<br />

9,86<br />

t<br />

s<br />

Första delen av loppet var 25 m och andra delen blir då 75 m. Arean av det markerade<br />

området i figuren representerar den totala sträckan.<br />

25<br />

2 =<br />

v ⋅t<br />

⇒ v·t = 50<br />

v·(9,86 – t) = 75 ⇒ 9,86v – v·t = 75<br />

Eftersom v·t = 50 erhålls: 9,86v – 50 = 75<br />

125<br />

v = m/<br />

s = 12,<br />

677 m/<br />

s<br />

9,<br />

86<br />

Svar: 12,7 m/s


90<br />

M1. 90 km/h = m/s = 25 m/s<br />

3,<br />

6<br />

72<br />

72 km/h = m/s = 20 m/s<br />

3,<br />

6<br />

a) Under de 30 sekunder som omkörningen tog körde B sträckan 25 . 30 m = 750 m.<br />

A körde denna sträcka plus ytterligare 100 m, dvs totalt 850 m.<br />

b) s = v . at<br />

2<br />

o t + , där v<br />

2 o = 20 m/s<br />

a är accelerationen.<br />

2s<br />

− 2v<br />

t<br />

a =<br />

o 2⋅ 850 − 2⋅<br />

20⋅<br />

30<br />

=<br />

m/s<br />

2<br />

2<br />

t<br />

30<br />

2 = 0,56 m/s2 Svar: a) 850 m b) 0,56 m/s 2<br />

54<br />

M2. 54 km/h = m/s = 15 m/s<br />

3,<br />

6<br />

72<br />

72 km/h = m/s = 20 m/s<br />

3,<br />

6<br />

B kör 5 m/s snabbare än A. Under de första 10 s får då B försprånget 5 . 10 m = 50 m.<br />

Låt t vara tiden från det att A börjar accelerera tills dess att A kör om B.<br />

Under tiden t kör A sträckan 15t +<br />

2,<br />

0<br />

⋅<br />

2<br />

2<br />

t<br />

= 15t + t 2<br />

På samma tid kör B sträckan 20t.<br />

A skall köra 50 m längre än B för att hinna ikapp.<br />

15t + t 2 = 20t + 50<br />

t 2 – 5t – 50 = 0<br />

t = 2,5 ± 2, 5 50<br />

2 + s = (2,5 ± 7,5) s<br />

t1 = 10 s (t2 = –5,0 s är orimligt)<br />

Den totala tiden mellan de båda omkörningarna blir då (10 + 10) s = 20 s<br />

Svar: 20 s


M6. Först beräknas den tid det tar för polisbilen att nå farten 150 km/h:<br />

v = v<br />

o<br />

+ at<br />

⇒<br />

150<br />

v - v<br />

− 0<br />

3,<br />

6<br />

t =<br />

o<br />

= s = 11,<br />

905 s<br />

a 3,<br />

5<br />

Under denna tid kör polisbilen sträckan:<br />

150<br />

v<br />

0<br />

o<br />

+ v<br />

+<br />

3,<br />

6<br />

s = ⋅t<br />

= ⋅11,<br />

905 m = 248,<br />

02 m<br />

2 2<br />

Under denna tid hinner fartsyndaren köra sträckan:<br />

s = v ⋅t<br />

=<br />

105<br />

⋅11,<br />

905 m = 347,<br />

22 m<br />

3,<br />

6<br />

Fartsyndaren har alltså ett försprång:<br />

(347,22 – 248,02) m = 99,21 m<br />

Polisbilen närmar sig fartsyndaren med farten<br />

(150 – 105) km/h = 45 km/h.<br />

Den tid som polisbilen behöver för att hinna ifatt fartsyndaren kan då lätt beräknas:<br />

t = s =<br />

v<br />

99,<br />

21<br />

s = 7,94 s<br />

45<br />

3,<br />

6<br />

Sammanlagt behövs då tiden:<br />

(11,905 + 7,94) s = 19,8 s<br />

Svar: 20 s<br />

M12.a) Vid tiden t = 0 är avståndet mellan bollarna 6,0 m.<br />

Antag att bollarna träffar varandra efter tiden t.<br />

2<br />

gt<br />

Pelles boll har då fallit sträckan s =<br />

2 .<br />

Vid tiden t har Nisses boll förflyttat sig sträckan<br />

6,0 – s.<br />

För denna boll gäller<br />

2<br />

gt<br />

6,0 – s = vot –<br />

2 , där vo = 7,5 m/s<br />

Om vi sätter in uttrycket för s ovan får vi<br />

2<br />

gt<br />

6,0 –<br />

2 = v 2<br />

gt<br />

ot –<br />

2<br />

6, 0<br />

vot = 6,0 t = =<br />

v<br />

o<br />

6, 0<br />

s = 0,80 s<br />

7, 5<br />

Pelles boll har då fallit<br />

2<br />

gt 9,82 ⋅ 0,802<br />

s = = m = 3,1 m<br />

2 2<br />

Bollarna träffar varandra i en punkt<br />

(8,0 – 3,1) m = 4,9 m över marken.<br />

b) Hastigheten på Nisses boll efter 0,80 s är<br />

v = v o – gt = (7,5 – 9,82·0,80) m/s = –0,36 m/s<br />

Eftersom hastigheten är negativ har bollen vänt och är på väg nedåt.<br />

Svar: a) 4,9 m b) nedåt

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!