Signaler - Saunalahti

Signaler - Information (F G Borg)................................... 2 

Inledning ..................................................................... 2 

Accelerometern som vinkelmätare ............................................. 2 

Wiener-filter .................................................................. 9 

Simulering av brus ........................................................... 10 

Organisk signalbehandlare i realtid - örat ..................................... 14 

Telegrafekvationen .......................................................... 20 

Reflexion och transmission .................................................. 25 

Heisenberg-relationen ....................................................... 27 

Lite informationsteori ........................................................ 29 

Tid-frekvens analys .......................................................... 36 

Noter ........................................................................ 38 

Litteratur .................................................................... 50 

1

“I don’t know anything, 

but I do know that 

everything is interesting 

if you go into it deeply enough.” 

Richard Feynman 

Inledning 

Signaler - Information 

En diskrettid signal är en räcka reella (eller komplexa) värden xn, n Z. En kontinuerligtid signal 

är en reellvärd (eller komplexvärd) funktion x(t) av tiden t R. En temperaturlogg som 

registrerar temperaturen vid regelbundna tidsintervaller ger ett exempel på en signal. Tekniken 

och fysiken kan till stora delar sägas handla om signaler; deras alstring, behandling och tolkning. 

Typiska signalproblem i tekniken gäller komprimering och denoising av signaler. 

Huvudproblemen kan sägas vara att omvandla en signal i en annan (t ex syntetisera tal från en 

text) eller att urskilja en signal bland “bakgrundsbrus”. Ett antal matematiska metoder har 

utvecklats för att handskas med dylika problem. Grunden för dessa metoder är Fourier-analys. 

Som början illustreras användningen av (diskret) Fourier-analys med ett exempel där en 

accelerometer nyttjas som vinkelmätare (inclinometer). 

Accelerometern som vinkelmätare 

En elektronisk kondensatortyp accelerometer ger en utgångsspänning som med god noggrannhet 

är proportionell till accelerationen i dess längdaxels riktning. Denna egenskap gör att den kan 

användas som vinkelmätare i tyngdkraftsfältet. Utgångsspänningen V blir 

(1) V a cos D b 

där a och b betecknar kalibreringskonstanter, och G vinkeln mellan längdaxeln och tyngdkraftsriktningen 

(den vertikala riktningen). I vårt fall var accelerometern fäst i en vridbar arm vars 

vridvinkel G (i det vertikala planet) man önskade kontinuerligt mäta med en tidsresolution på 

minst 5 ms. Problemet är att accelerometern fungerar också som en känslig “seismometer”; den 

registrar också vibrationer som t ex då vridarmen slår i ändläget. Typiska rörelser som skulle 

mätas var rörelser åter och fram hos vridarmen med en frekvens av storleksordningen 2 Hz. 

Eftersom “störningarna” kan väntas ha betydligt högre frekvens är det naturligt att försöka 

“filtrera” signalen genom att bortlämna alla komponenter över en viss frekvens fc (cut-off 

frequency). I princip, ifall signalen kan representeras som [1] 

(3) 

x t 5 cke i2fkt 

2

lir den filtrerade signalen (low-pass filter, le filtre passe-bas) 

(4) 

xc t 5 cke 

fk fc 

i2fkt 

Antag alltså att vi samplar signalen med frekvensen f (antal/sek) med regelbundna 

tidsintervaller , t = 1/ f. För en total mättid T erhåller vi N = f T antal värden xn, n = 0, ... , N - 

1, som vi kan representera på formen 

(5) 

N1 

xn 5 cke 

k0 

i2k n N 

där koefficienterna ck omvänt bestäms genom 

(6) 

eftersom 

ck 1 N 5 n0 

N1 

5k0 

N1 

xne i2n k N 

mn 

i2k e N N @n,m 

(7) . 

Jämför vi (5) och (3) ser vi att frekvenserna fk är givna genom (tiden t = n ,t ) 

(8) 

fk 

k 

N ,t k T k N f 

med f 1 ,t 

I vårt experiment var samplingsfrekvensen f ca 1400 Hz och för N valde vi N = 1024 (en 

exponent av 2 för att matcha FFT-algoritmen). Low-pass filtreringen (4) modifierades enligt 

följande standardmetod: 

A. Först “avtrendar” vi datan så att start- och slutvärdena sammanfaller: 

(9) 

x @ yn xn xN1 x0 

N 1 n 

B. Sedan beräknar vi “Fourier-koefficienterna” ck för y: 

3

(10) 

ck 1 N 5 n0 

N1 

yne i2n k N 

C. Därefter utför vi själva filtreringen genom att definiera nya Fourier-koefficienter dk genom 

(11) 

dk ck H fk 

där H är “transferfunktionen” (motsvarar kvadraten av en Butterworth-filter HB av fjärde 

ordningen, eller konvolutionen h = hB hB av dito responsfunktion) 

(12) 

H f 

1 

1 f 

8 

 

fc 

vilken uppenbarligen undertrycker komponenterna med frekvenser f > fc. 

D. Nästa steg är beräkna den omvända transformationen 

(13) 

N1 

c yn 5 dke 

k0 

i2k n N 

E. Från denna erhåller vi slutligen den filtrerade signalen x c genom att reversera avtrendningen i 

A: 

xn 

(14) . 

c yn c xN1 x0 

N 1 n 

Avtrendningen av datan gör att vi får en periodisk funktion y som beter sig bättre under 

Fourier-transformationen. Likaså används en “avrundad” avklippning i steg C för att stävja 

uppkomsten av högfrekventa komponenter (“ringing”) [2]. -- 

I vårt fall var vi också intresserade av att beräkna vinkelhastigheten. Deriverar vi (3) visavi tiden 

ser vi att hastighetsfunktionens Fourier-koefficienter ges som i 2F fk ck. Hastigheten beräknad 

med hjälp av filtrerad data blir därför 

(15) 

 

dxc 

dt n N1 

5 dk i2 

k0 

k N f ei2k n N xN1 x0 

N 1 f 

4

I de numeriska beräkningarna används en Fast Fourier Transformations-algoritm (FFT, efter 

Cooley och Tukey, 1965 [3]) som radikalt minskar beräkningstiden för transformationer av typen 

(5) och (6) ovan. 

200 

150 

100 

50 

0 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 

Fig. 1. Filtrerad vinkeldata och rådata. 

Figur 1 visar effekten av filtrering med fc = 10 Hz. Som kontroll användes också en optisk skiva 

(optic encoder) för att mäta vinkeln. Vinkelhastigheten beräknad både på basen av filtrerad 

accelerometerdata och utjämnad data från den optiska skivan ges i figur 2. 

600 

400 

200 

0 

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 

Smoothed encoder 

Smoothed accel. 

Fig. 2. Vinkelhastigheten beräknad på basen av filtrerad 

accelerometerdata och data från den optiska skivan 

5

150 

135 

120 

105 

90 

75 

60 

45 

30 

15 

0 

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 

Raw accel. 

Smoothed accel. 

Smoothed encoder 

Fig. 3. Vinkeldata för samma test som i fig. 3. 

Figur 4 visar ett typiskt “spektrum” för den ofiltrerade vinkeldatan. Spektrumet består av 

kvadraten på signalens Fourier-koefficienter avbildad som funktion av frekvensen. 

Vi har beskrivit “digital” filtrering [4]. Ofta filtreras signalerna analogt. En generisk lågpass 

RC-filter visas i fig. 5 bestående av ett motstånd R och en kondensator C. Ifall in-signalen 

(input, signaux d’entrée) Uin är en ren harmonisk signal (M = 2Ff ), 

(16) 

Uin ae it da är ut-signalen ocksa en harmonisk signa 

Uout beit där 

b 

a 

1 iRC 

vilket motsvarar en fasförskjutning = i ut-signalen (output, signaux de sortie) given genom 

(17) tan = RC 

Vi ser att (16) svarar mot en betydligt “tamare” avklippning än (12) med avklippningsfrekvensen 

(cut-off) fc, 

(18) 

fc 

1 

2RC 

I vårt fall var det fasförskjutningen som orsakade problem i.o.m. att den filtrerade signalen 

tidsfördröjs. Eftersom vi ville jämföra vinkelvärden (vinkelhastighet) med en samtidigt samplad 

kraftsignal var en sådan deformation av signalen oönskvärd och vi valde att filtrera signalen 

digitalt istället. 

6

3 

2 

1 

0 

0 20 40 

Frequency (Hz) 

60 80 

Fig. 4. Del av “spektrum” för rå vinkeldata. 

|ck| 2 avbildad på den vertikala axeln. 

Tidsfördröjningen visas tydligt av fig. 6. Fördröjningar av detta slag kan också beräknas från 

mätdata genom att använda korrelations-funktioner av typen 

(19) 

T 

f J 0 

U in t Uout t J dt 

Genom att bestämma tiden J för vilken | f (J) | är maximum erhåller man en typisk 

tidsfördröjning J (som är relaterad till fasförskjutningen = genom = M J för en sinusvåg med 

vågtalet M ). 

Uin 

R 

C 

Fig. 5. Lågpass RC-filter. 

7 

Uout

0 

0.002 

0.004 

500 600 700 800 900 1000 1100 

opt. 

acc. 

time (ms) 

Fig. 6. Grafen visar tidsförskjutningen mellan signalen från 

den optiska skivan och den elektroniskt filtrerade 

signalen från accelerometern (försedd med 

en 64 nF kondensator mellan signal och jord). 

Denhär sortens eliminering av störningar fungerar tämligen bra då både huvudsignalen och 

störningarna från gång till gång i stort sett är av samma slag. I vårt fall har vi t ex en enkel 

fram-åter rörelse. Skulle rörelsen innehålla överraskande ryck kanske proceduren inte fungerar så 

bra (fig. 7 nedan visar reaktionen på en Dirac-puls). Nämligen, rekonstruktionen av den 

filtrerade signalen kan inte återge alltför komplicerade kurvor eftersom rekonstruktionen 

använder sig bara av ca N fc/f stycken Fourier-komponenter (vilket i detta fall blir 1024 10/ 

1400 7). Resolutionen kan i princip förbättras genom att öka N, t ex genom att fortsätta 

signalen med konstanta värden (padding) i början och slutet. 

Vi kan ännu jämföra den elektroniska filtreringen (16) och den digitala filtreringen ovan. 

Ut-spänningen från RC-filtret ges av (vi antar att Uout = Uin = 0 i början) 

(20) 

Uout t 

t 1 

e 

RC 

tu 

RC Uin u du 

som är en konvolutionsekvation av formen 

(21) 

 

y t h t u x u du där 

h u 1 u 

e RC D u och 

RC 

D u 1omu 0 och 0 annars (Heavisides funktion 

8

Ekv (21) betecknas vanligen som y = h x (konvolution av h och x), medan h kallas responsfunktionen. 

Nämligen, matar vi in en “Dirac-signal” @(t) blir responsen y enligt (21) just y(t) = 

h(t). Vi definierar den kontinuerliga Fourier-transformationen enligt 

(22) 

 

X f Dess omvändning ges av 

(23) 

 

x t e i2ft x t dt 

e i2ft X f df 

Tar vi Fourier-transformationen av (21) erhåller vi 

(24) 

Y f H f X f där 

H f 

1 

1 i2fRC 

Vi kan också omvänt beräkna (med hjälp av residue-kalkyl) responsfunktionen h(t) för 

kontinuerlig tid till den digitala frekvensresponsen (12), 

(25) 

 

h t e i2ft 

1 

1 f 

fc 

zk exp i 8 (2k 1) 

En ideal lågpassfilter, 

(26) 

H f Nfc,fc f 

1 ifall fc f fc och 0 annars, 

har däremot responsfunktionen 

(27) 

h t 

sin 2fct 

t 

3 

8 df ifc 

4 5 zk exp i2zkfc t där 

k0 

 

Responsfunktionerna finns avbildade i figur 7 som bl a visar “ring-effekten” hos den ideala 

lågpassfiltern (26). 

9

Wiener-filter 

“Very little of mathematics is useful practically, 

and ... that little is comparatively dull ... 

We have concluded that the trivial mathematics 

is, on the whole, useful, and that real mathematics, 

on the whole, is not.” 

G H Hardy i A Mathematician´s Apology [5] 

“One of the chief duties of a mathematician 

in acting as an advisor to scientists is to 

discourage them from expecting too much 

from mathematics”. 

Norbert Wiener (1894-1964) [6] 

Ett typiskt signalbehandlingsproblem är att försöka lista ut ursprungssignalen x från den 

uppmätta signalen y, relaterade genom 

(28) y s x n 

där s står för en utjämning (smearing), t ex orsakad av elektronik, och n står för brus (noise). 

Fourier-transformerar vi ekv (28) erhåller vi 

10

(29) Y f S f X f N f 

ht () 1 

4 

sinc() t .5 

hRC() t 

1 

4 

3 

2 

1 

0 

1 

6 4 2 0 2 4 6 

5 t 

5 

Fig. 7. Responsfunktionerna för filtern (16), (26) och 

RC-filtern, alla med samma avklippningsfrekvens fc = 1. 

Graferna har skiftats i höjdled för att lättare skiljas 

från varandra. 

Ifall brustermen kan negligeras, och utjämningsfunktionen är bekant, kan vi lösa x från (s 

“dekonvoleras” med y) 

(30) 

X f Y(f) 

S(f) 

genom invers Fourier-transformation. Har man brus kan man försöka med Wiener-metoden; 

nämligen, man försöker återskapa signalen x genom att tillämpa en (optimerad) filter B på y 

som sedan dekonvoleras med s för att ge en signal z som man hoppas skall vara så nära den 

ursprungliga signalen x som möjligt [7]. I termer av Fourier-transformationer har vi 

(31) 

Z f Y(f)(f) 

S(f) 

Filteroptimeringsuppgiften gäller att välja B sådan att följande integral minimeras 

11

(32) 

S f 

S f 

z t x t 

2 dt Z f X f 

2 df 

2 (S(f)X(f) N(f))(f) S(f)X f 

2 C(f) 2 1 (f) 2 N f 

2 

2 (f) 2 

där vi satt C = S X , samt nyttjat Plancherels relation (övergång från integral över tiden till 

inegral över frekvensen) och förhållandet att bruset ej korrelerar med signalen. Minimering 

visavi B ger lösningen (Wiener-filter) 

(33) 

(f) 

C(f) 2 

C(f) 2 N(f) 2 

I praktiken försöker man från signalens spektrum uppskatta brustermen (med en glatt funktion) 

som extrapoleras in i signalområdet där man på så sätt kan skilja åt de båda termerna som ingår i 

högra membrum av (33). Wiener-filtern (lanserad på 40-talet) är bl a populär i bildbehandlingssammanhang 

(2D-version av filtret), men torde inom reglertekniken ha ersatts av Kalman-filter 

(lanserad på 60-talet) och dess generaliseringar. 

Simulering av brus 

Norbert Wiener 

För att testa filtreringsalgoritmer är det bra att kunna simulera brus. Tillexempel den tidsdiskreta 

signalen xk, 

12

(34) 

xk1 xk nk 

beskriver en Brown-process ifall nk är oberoende stokastiska variabler med samma 

normalfördelning N(0,I). I detta fall har vi ( j 0 ), 

(35) 

E xkj xk 2 

2 

j Ex k j konstant eftersom 

Exixj @ij Ex i 2 

där E[.] betecknar den stokastiska medelvärdesoperatorn. För motsvarande tidskontinuerlig 

Brown-process blir (35) (c, en konstant) 

(36) 

E (x(s) x(t)) 2 c s t 

Ett generellt fraktalt brus har istället variationen 

(37) 

E (x(s) x(t)) 2 c s t 2H 

(0 H 1) 

där Hurst-exponenten H = ½ motsvarar Brown-processen (för börskursers utveckling lär man ha 

t ex funnit H 0.65 [8]). Antag att x(0) = 0, då innebär (37) att 

(38) 

E[x(s)x(t)] c 2 s 2H t 2H s t 2H 

Väljer vi ett ändligt tidsintervall kan vi Fourier-analysera brussignalen för detta intervall och 

beräkna spektrumets väntevärden nyttjande (38), 

E X(f) 

(39) ; 

2 Ex s x t e i2f(st) dsdt E f2H1 d v s, spektrumet har en exponentfördelning (power law). Detta ger en enkel metod för att 

simulera brus med valbar Hurst-exponent H. Välj antalet komponenter N och skriv signalen på 

Fourier-formen 

(40) 

N1 

x k 5 cne 

n0 

i2k n N 

13

där cn är oberoende komplexa stokastiska variabler, 

(41) 

cn rne iDn 

rn är normalfördelade med medevärdet 0 och variansen n -2H-1 , medan Gn är likformigt fördelade i 

intervallet [-F, F]. I Mathcad (eller enkel C-kod) kan man t ex approximativt generera 

koefficienterna cn genom 

(42) 

cn 

 

12 

5 k1 

 

rnd 1 0.5 

i 5 k1rnd 

1 0.5 

 

 

12 

1 

n H1/2 

(summan av de likformigt fördelade variablerna rnd(1) - 0.5 har medelvärden 0 och variansen 

1/12). Brussignalen erhålls alltså genom att ta den inversa Fourier-transformationen av (42). 

Figurerna 8 och 9 visar resultaten av en dylik simulering med N = 256. 

Signal (amplitude) 

2.289368 

1.03050410 6 

spect 

k 

 

1 10 

1 10 100 

1 k 

50 

6 

1 10 5 

1 10 4 

1 10 3 

10 

1 

0.1 

0.01 

0.219011 

y m 

0.152059 

Fig. 8. Spektrumet |ck| 2 för (42) med H = ½. 

Log-log graf. 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

0.1 

Simulated Fractal Time Series 

0 50 100 150 200 250 300 

0 m 

Time 

255 

Fig. 9. Den simulerade tidsserien (40) för H = ½. 

14

Det fraktala bruset följer en skalningslag (“renormalisering”) enligt 

(43) 

xa(t) d 1 

aH x(at) 

dvs, om x(t) är en fraktal signal med Hurst-exponenten H, då är den skalade signalen xa(t) likså 

en fraktal signal med samma Hurst-exponent och statistiska egenskaper. Detta förhållande har 

också nyttjats som definierande egenskap för fraktala signaler. (Som graf betraktad har den 

fraktala signalen med Hurst-exponenten H en fraktal dimension D = 2 - H; sk 

Weierstrass-Mandelbrot fraktaler.) 

Inom tekniken används ofta för testningsändamål sk vitt brus som har en platt distribution 

där E[|X(f)| 2 ] är oberoende av frekvensen. Vi kan simulera detta på samma sätt som ovan genom 

att lämna bort faktorn n - 2H - 1 i (42). 

Signal (amplitude) 

y m 

3 

2 

2 

0 

White noise 

2 

0 50 100 150 200 250 300 

0 m 

Time 

Fig. 10. Simulering av vitt brus. 

Processen nk i (34) definierar också gaussiskt vitt brus [9]. För att få ljudprov på “vitt brus” kan 

man nyttja en radio, eller t ex skriva kommandon 

y=rand(10000,1); sound(y,5000) 

i Matlab (likformigt fördelat brus). Spektrumet kan plottas i Matlab med kommandon 

y=rand(1024,1); x=fft(y); x = x(1:512); semilogy(abs(x).^2) 

15 

255

Fig. 11. Spektrum för vitt brus. 

Vitt brus innebär i princip att energin fördelas jämnt över hela aktuella frekvensområdet, varpå 

dess användbarhet som testsignal baserar sig [10]. Termiska bruset (Johnson noise) i 

elektroniken utgör ett vitt brus inom ett begränsat frekvensintervall; enligt Nyquists teorem 

(1928) gäller för brusspänningen V : 

(44) 

 

EV t V s e 

 

i2f(ts) 4RkTdf 

4RkT@ t s 

där R betecknar kretsens elektriska motstånd, k är Boltzmanns konstant, och T betecknar 

temperaturen i Kelvin. Ekv (33) grundar sig på det klassiska ekvipartitionsteoeremet och måste 

enligt kvantmekaniken modifieras för frekvenser f > kT/h ( 6 10 12 Hz), där h betecknar 

Plancks konstant. 

Organisk signalbehandlare i realtid - örat 

Levande organismers växelverkan med omgivningen är möjligt tack vara de väl utvecklade 

sinnesorganen som förmår snappa upp signaler från omgivningen och förmedla dem vidare till 

hjärnan som försöker tolka signalerna. Hörseln är en av de centrala organen och är en mycket 

avancerad form av signalbehandlare. Tryckvågor i luften leds via ytterörat till trumhinnan som 

aktiverar hörselbenen i mellanörat vilka via en membran (det ovala fönstret) överför rörelsen till 

det vätskefyllda innerörat i form av vågor (travelling waves) i snäckan (cochlea) vilka retar 

speciella nervhår (stereocilier) som omvandlar rörelsen till elektriska signaler. Hammaren, städet, 

och stigbygeln utgör ett system för impedansampassning som optimerar energiöverföringen till 

16

vätskan i snäckan. I annat fall skulle ljudvågorna reflekteras tillbaka. Hörselbenen fungerar som 

en aktiv förstärkare och filter i.o.m. att t ex stigbygelmuskeln (M. stapedius) kan ha dämpande 

inflytande vid kraftiga ljud (acoustic stapedius reflex, ASR) samt optimerar den auditiva 

anpassningen vid svagt ljud. (De två musklerna stapedius och tensor tympani är f.ö. 

människokroppens minsta muskler.) Stapedius aktiveras också då man själv frambringar ljud för 

att inte hörapparaten skall överbelastas av det egna ljudet. En annan funktion är att muskelns 

anspänning dämpar de låga frekvenserna (dämpning i storleksordningen 20 dB samtidigt som 

stigbygeln förskjuts ca 50 m ur sitt viloläge) och underlättar urskiljningen av de högre 

frekvenserna som är typiska för talljud. 

Örats känslighet illustreras av det faktum att svängningar med en amplitud på endast 

omkr 10 -10 m (= 1 Å, ungefärlig diameter hos väteatomen) hos trumhinnan fortfarande kan vara 

hörbara ! Till denna slutsats kommer man utgående från att trumhinnans yta är omkr 60 - 80 mm 2 

och tröskeln för hörbara ljudvågor vid 1500 - 2000 Hz (det känsligaste området) uppmätts till 

omkr 10 -16 W/cm 2 (vilket tagits som nollnivån för decibelskalan). Denna känslighetsnivå ligger 

blott ett par magnituder över den termiska brusnivån. Det kan även anmärkas att transmissionen 

via hörselbenen fasförskjuter signalen med 180 grader och fördubblar det akustiska trycket. Man 

har också påvisat en elektrisk växelström i snäckan som om man låter den gå via förstärkare till 

högtalare återger den ursprungliga ljudsignalen (mikrofoneffekten). Det är fantastieggande att 

tänka sig hur detta intrikata system utvecklats under evolutionens gång. Hammaren lär komma 

från ledbenet i fiskens gälskelett, städet från kvadratbenet, och stigbygeln från pelarbenet. 

Vätskevågorna i snäckan har en intressant egenskap. För en ljudsignal med konstant 

frekvens kommer vågornas amplitud att nå maximum allt närmare basen desto högre frekvensen 

är. Hela det registrerbara frekvensområdet omfattar intervallet 20 - 20 000 Hz på tio oktaver (2 10 

1000). Snäckans känslighet för olika frekvenser brukar åskådliggöras med ett diagram där 

snäckan ritats som en spiral (med toppen in i spiralen) där varje punkt motsvarar ett 

frekvensvärde där vågorna med denna frekvens har maximal amplitud. Huvuddragen i 

frekvensernas fördelning kan förklaras med en enkel geometrisk modell av snäckan och 

hydrodynamikens ekvationer (Eulers ekvationer). Huruvida det finns någon teknisk imitation av 

snäckans filterprinciper är obekant men en hydraulisk bandpassfilter för extremt lågfrekventa 

havsvågor (0.001 Hz) har t ex konstruerats av Scripps Institution of Oceanography (La Jolla, 

CA) (beskrivs av Doebelin (1990)). 

17

Fig. 12. Örat. Från Nordisk Familjebok, 1957. 

18

Fig. 13. Mellan- och innerörat. (Keener, Sneyd, 1998.) 

19

Hårcellerna (mekanoreceptorer, alltsomallt omkr 30 000 till antalet) i snäckan är också avstämda 

för olika frekvenser så att de lågfrekvenskänsliga cellerna är i toppen och de högfrekvenskänsliga 

cellerna finns vid basen. I innerörat finns också balansorganen bestående av de tre 

hinnbåggångarna och de två hinnsäckarna (utriculus, sacculus). Dessa fungerar som 

accelerometrar; hinnbåggångarna mäter vinkelacceleration, och hinnsäckarna registrerar linjär 

acceleration. I hinnsäckarna finns det små mineralkorn, otoliter, som trycker mot cilieförsedda 

sinnesceller vid linjär acceleration (då man t ex lutar på huvudet). 

Även om människan har relativt god hörsel kan vi inte “se” med hörseln som t ex 

fladdermöss och tumlare kan med hjälp av ekon. Förmågan att urskilja de relevanta signalerna 

(ekon från ett bytesdjur t ex) bland allt “brus” förutsätter antagligen en frekvensdiskriminering 

med hög upplösning. Härvidlag möts vi av en princip som är central för sinnesceller, nämligen 

lateral inhibation. Tillexempel, vid en ren ton retas en sinnescell motsvarande denna frekvens 

samtidigt som cellen inhiberar sinnesceller i närliggande frekvensområden. Genom att s a s 

dämpa “resonansen” från de andra cellerna accentueras signalen från den rätt “avstämda” cellen. 

Denna princip har nyttjats i teorin för Artificiella Nervnät (neural networks), och återkommer 

också i en form i waveletanalysen. 

En enkel mekanisk modell för transmissionen från trumhinnan till stigbygellocket 

beskrivs i nedanstående figur. Vi har också ritat dess ekvivalenta kretsschema där massan (m) 

motsvaras av en spol med induktans (L), fjädern och dess fjäderkonstanten (k) motsvaras av en 

kondensator och inversionen av dess kapacitans (1/C), kraften (F) svarar mot spänningen (U), 

lägeskoordinaten (x) svarar mot laddningen (q), o s v. 

20

Fig 14. En schematisk modell för transmissionen från trumhinnan (m1) till 

stigbygellocket (m2) och dess kretsekvivalent. Kraften F motsvarar tryckvariationen 

i ytterörat som sätter trumhinnan i rörelse. Fjäderkonstanterna k1 och k2 

beskriver trumhinnans och stigbygellockets + ovala fönstrets elasticitet medan k3 

kontrolleras av M. stapedius. 

Kretsen utgör i princip en avstämningskrets där kapacitansen C3 kontrolleras av stapedius. 

Kretsens impedans Z vid frekvensen f (frekvenstalet M = 2F f ) blir 

(45) 

 

 

Z() i 

 

 

L1 1 

 

1 

2 

L1C1 

L2 

1 

 

1 

1 

1 

2 

 

L2C 2 

2C3 

 

 

 

 

Lägger vi på en harmonisk ingångsspänning med frekvenstalet M, blir spänningen över 

kondensatorn C2 lika med 

(46) 

Uout() 

1 

Z() 

 

1 

2C2C3 

i L2 2 1 

C1 

1 

 

C2 

Uin() 

I den mekaniska modellen motsvarar Re(Uin) kraften som påverkar trumhinnan och Re(Uout) 

kraften som påverkar stigbygellocket. Grafen nedan ger ett exempel för värdena L1 = 1, C1 = 20, 

L2 =1, C2 = 1, och C3 = 0.5 (som inte har något med fysiologiska värden att göra utan bara valda 

för att illustrera principerna). 

166.666667 

Re( u( x) 

) 

71.428571 

100 

0 

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 

0.567742 x 

1.116129 

Från grafen ser vi att systemet fungerar som en bandpassfilter mellan vågtalen 0.7 och ca 1 där 

också en fasförskjutning på 180 grader sker (spänningen/kraften ändrar tecken) och en 

förstärkning i medeltal av storleksordningen 10. 

En enkel modell för själva hårcellerna i snäckan baseras på en sorts bandpasskrets: 

21

Impedansen för denna krets blir ( g = 1/r ) 

(47) 

Z() 

iC g 

med 0 

gR 1 

LC ;? R L 

r 

L R 

C 

V 

Fig. 15. Efter Keener, Sneyd, 1998. 

1 

iL R 1 

 

 

g 

C . 

R 

LC i 

C 

2 0 2 i? 

Svängningarna av hårcellen alstrar en ionström som antas ge upphov till en spänning V = ZI 

enligt kretsschemat ovan. Följande graf visar magnituden av impedansen som en funktion av 

frekvenstalet då C = 10, R = 0.01, L = 0.01, och g = 1. Vi ser att kretsen kommer att ge störst 

utslag omkr M = 3 i detta fall. Desto midjesmalare kurva desto bättre frekvensdiskriminering. 

Absoluta värdet av impedansen (47) har maximum vid 

(48) 

max ˜ 2 92 4 4 0 ˜ 9 E ˜ 

1 

4 

˜ 2 ? 

0 2 

2 ; 9 R L 2 

˜ 2 

0.095169 

zx ( ) 

5.127772 10 3 

0.1 

0.05 

0 x 

I 

0 4 ˜ 4 

2˜ 9 

med 

0 

0 5 10 15 20 

22 

20

Kopplar man ihop massor och fjädrar i långa serier, alternativt motsvarande elektroniska 

komponenter, erhåller man en-dimensionell gitter (lattice) som kan ha intressanta signalegenskaper 

vilket behandlas i följande avsnitt (Remoissenet (1999) bygger sin studie av solitoner 

i stor utsträckning på dylika modeller). 

--- 

“Tuoreen norjalaistutkimuksen mukaan 

matkapuhelimen antennista säteilee lähetysvaiheessa 

sähkömagneettisia aaltoja.” 

HeSa 11.4.1990 

Telegrafekvationen 

Vi tänker oss en signalledning byggd upp av en serie likadana element: 

In-1 

L 

Vn-1 L1 C Vn Vn+1 

Jn-1 

Kirchoffs lagar ger för detta fall ekvationerna 

(49) 

Vn Vn1 L dIn1 

dt 

In In1 C dVn 

dt 

L1 

dJn 

dt Vn 

som tillsammans ger 

Jn 

In 

23 

In+1

(50) 

d2Vn dt2 

1 

L1C Vn 1 

LC (Vn1 Vn1 2Vn) 

Vi kan göra en övergång till det kontinuerliga fallet om vi inför en längdvariabel x = na där a 

betecknar längden för en kretsenhet vilken vi låter gå mot noll. Högra membrum i (50) övergår 

då i 

a2 LC d2V dx2 Koefficienten a 2 /LC kan skrivas som 1/lc där l = L/a och c = C/a är induktans respektive 

kapacitans per längdenhet. Koefficienten 1/L1C skrivs som 1/c där = L1a går mot ett finit 

värde då a går mot noll eftersom spolarna är parallellkopplade. Det kontinuerliga fallets 

ekvation blir alltså 

(51) 

d2V dt2 v0 2 d2V dx2 0 2V 0 

med v0 1 

lc 

och 0 

1 

c 

som är ett exempel på en telegrafekvation (telegrapher’s equation) för en kabel med 

självinduktans samt induktans och kapacitans visavi “jorden”. Ekvationen är av vågevaktiontyp 

och ansätter vi en partikulärlösning av formen 

(52) 

V x, t V0e i(kxt) 

ser vi att följande dispersionsrelation måste gälla 

(53) 

k 0 2 v0 2 k 2 

Ekv (53) betyder att signaler med frekvenstal under M0 inte kan propagera fritt längs kabeln 

vilken därför fungerar som en sorts högpassfilter. Den icke-linjära dispersionsrelationen innebär 

också att vågorna deformeras. Ansätter vi i analogi med (52) en lösning av formen 

(54) 

i knat 

Vn t V0e 

för den diskreta ekvationen (50) erhåller vi följande dispersionsrelation 

24

(55) 

k 0 2 4v0 2 a 2 sin 2 ka 2 

Ekv (55) betyder att vi i det diskreta fallet har en bandpassfilter med 

min 0 

max 0 2 4v0 2 a 2 

Byter vi ut spolen L1 i föregående grundkrets mot ett motstånd R1 (beskriver strömläckaget till 

jorden) och placerar ett annat motstånd R i serie med spolen L erhåller vi på liknande vis i det 

kontinuerliga fallet telegrafevationen (Heaviside 1876) 

(56) 

d2V dt2 ? 

dV 

dt 0 2 2 V v 

d 

0 2V dx2 0 

med 0 

? 

v0 

rg 

lc 

gl rc 

lc 

1 

lc 

där g motsvarar gränsvärdet av 1/R1a då a går mot noll och är konduktans per längdenhet. 

Telegrafekvationen (56) är förbunden med en intressant historia. Ekvationen går tillbaka 

på det självlärde geniet Oliver Heaviside (1850-1925) som ägnade sitt liv åt utvecklingen och 

tillämpningen av Maxwells teori efter att Maxwells bok Treatise on Electricity and Magnetism 

utkom 1873. Det är i Heavisides vektorformulering som Maxwells teori fortfarande lärs ut i 

läroböcker och vid högskolor. Oförskräckt hanterade han också divergerande summor, integraler 

och dervivator av bråktalsordningar och till matematikernas förtrytelse kom han till rätt resultat. 

Heaviside var pionjär inom “operator”-matematiken och vektoranalysen och deltog i flamberande 

debatter bl a mot kvaterionernas förkämpar. Heavside arbetade ända tills 24-åring som telegrafist 

i Danmark och hade alltså praktisk erfarenhet av elektroteknik. Hans kabelteori hade en mycket 

viktig förbättring jämförd med den tidigare versionen (1855) av W Thomson (Kelvin) 

(1824-1907). Nämligen, Thomsons modell beaktade endast resistansen och kapacitansen och 

negligerade induktansen. Löser vi dispersionsrelationen för (56) får vi 

(57) 

k i ? 

2 0 2 k2 2 ? 

v0 2 

4 

25

Gamma-termen beskriver alltså en dämpning av signalen (52). Heaviside insåg att man genom att 

öka induktansen l i (56) kan minska gamma-termen. Detta hade en stor ekonomisk betydelse. 

År 1858 lyckades man dra en 3745 km lång kabel över Atlanten. För att överkomma dämpningen 

som Thomsons teori förutskickade såg man som den enda möjligheten att skicka en så kraftig 

signal som möjligt. Kabeln matades med 2000 Volts spänning med följd att isoleringen 

förstördes och kabeln blev obrukbar inom en månad efter nedläggningen (en bidragande orsak 

kan också ha varit att kabeln förvarades i luft i två år före nedläggningen vilket kan ha gjort 

guttaperkaisoleringen skör). Signalhastigheten var ca 8 ord per minut i början men växte till det 

dubbla innan isoleringen förstördes. Heavisides lösning för att effektivera transmissionen var att 

med jämna mellanrum förse kabeln med spolar för att öka induktansen samt att använda 

högfrekventa signaler. Dock var det en G Campbell och en M I Pupin som stred om patenträttigheter 

och äran till upptäckten, en strid ur vilken Pupin gick segrande och fick ge namn åt 

“pupinspolar”. (För undervattenskablar ersatte man sedermera pupinspolarna med en speciell 

omlindning av ledningstrådarna efter en metod av Krarup.) Heaviside gjorde också den viktiga 

observationen att vi enligt (57) får en dispersionsfri propagering (M(k) linjär i k) ifall M0 = C/2 

vilket är detsamma som att g/c = r/l. Antag att vi kan representera spänningen som en integral 

(superposition av planvågor) 

(58) 

V x, t a k e i kx k t dk 

I (58) kan vi lösa ut a(k) genom Fourier-transformation 

(59) 

för att erhålla 

(60) 

a k 1 

2 eiky V y,0 dy 

V x, t 1 

2 ei k xy k t V y,0 dkdy 

Antag vi har en gaussisk puls 

(61) 

y2 

ik0y 

V y,0 e 2H2 i begynnelsen, då blir (60) till 

(62) 

V x, t 

H 

2 ei kx k t 

e H2 kk0 2 

 

2 dk 

26

Ifall vi har M(k) = v0k bibehåller vågpulsen (61) sin form, 

(63) 

V x, t eik0 (xv0t) 

e xv0t 

2 

 

2H2 

Den linjära relationen M(k) = v0k innebär att de olika frekvenskomponenterna hos en puls 

fortplantas med samma hastighet varför pulsen inte deformeras. I det allmännare fallet låt 

utveckla M(k) i Taylor-serie kring k0, 

(64) 

k k0 vgK PK 2 ... 

med vg 

d k0 

dk 

P d2 k0 

dk 2 

och K k k0 

(grupphastighet) 

då blir (62), ifall vi negligerar tredje och högre ordningens termer i (64), 

(65) 

V x, t 

H 

H2 2iPt ei k0x k0 t 

e 

 

xvgt 

2 

 

2 

H22iPt 

Detta visar att pulsens centrum fortplantas med grupphastigheten vg, samtidigt som pulsen 

sjunker ihop och breddas proportionellt till kvadratroten på tiden t. 

(66) 

som leder till 

(67) 

Istället för (58) kan vi utgå från 

V x, t b e i k xt d 

V x, t 1 

2 ei k x ts V 0, s dds 

Ekv (67) är lämpad för uppgiften att studera hur en signal V(0, t) som matas in vid x = 0 

fortplantas. För disperisionsrelationen (57) har vi (tecknet beroende på fortplantningsriktningen) 

27

(68) 

k 

För en harmonisk insignal 

(69) 

blir (67) 

(70) 

V 0, t e 9t 

1 

v0 2 0 2 i? 

V x, t e i(k(9)x9t) 

Ifall 9 >> M0 kan vi skriva (fortplantning i positiv x-riktning) 

(71) 

k(9) 9 v0 i ? v0 

Den imaginära delen i (71) bidrar med en exponentiell avklingning i (70). 

Ekvationen (51) är också bekant som den 1-dimensionella versionen av den relativistiska 

Klein-Gordon-ekvationen (1926) i kvantmekaniken för spin-0 partikel, som vanligen skrivs 

(72) 

d2O dt2 c2 2O mc2 

2 

O 0 

 

(c står för ljushastigheten, m för partikelmassan). Det är intressant att observera hur den 

icke-relativistiska Schrödinger-ekvationen härleds från (72). Vi antar att vågfunktionen O kan 

skrivas som 

(73) 

mc2 

O O0e t 

där O0 varierar långsamt med tiden; d v s, 

(74) 

d 2 O0 

dt 2 

mc2 

 

dO0 

dt 

då blir (72) ifall vi sätter in (73) 

28

(75) 

i dO0 

dt 

2 

2m 2 O0 0 

som är Schrödinger-ekvationen utan potentialterm. Skriver vi (65) som 

(76) 

V x, t e i k0x k0 t V0 , t 

med x vgt 

finner vi att V0 satisfierar en ekvation av Schrödinger-typ också, 

(77) 

i dV0 

dt P d2V0 d2 0 

Vi oberverar att medan (72) och (51) är tidssymmetriska - om V(x, t) är en lösning så är också 

V(x, -t) en lösning - är (75) och (77) uppenbart inte tidssymmetriska. Detta går tillbaka på 

ansatserna (73) och (76) där komponenten för propagering i positiv x-riktning skiljs ut. 

Reflexion och transmission 

Vi antar att två olika sorters kablar kopplats ihop vid x = 0 och att telegrafekvationen uppdelas 

på de två områdena I: x < 0 ,och II: x > 0, enligt, 

(78) 

d2V dt2 v0 2 d2V dx2 0 2V 0 x 0 

d2V dt2 v1 2 d2V dx2 1 2V 0 x 0 

Andra ordningens derivator i V har alltså en “step-singularitet” vid x = 0, varför V och dess 

första ordningens derivator är kontinuerliga i x = 0. Vi antar en inkommande planvåg (52) (med 

V0 = 1) samt som gränsvillkor att V är en utgående planvåg för x . För att dessa krav skall 

gå ihop med kontinuitetsvillkoret vid x = 0 hamnar vi att ansätta, 

(78) 

V x, t e i kxt Re i(kxt) 

V x, t Te i k´xt 

med k 1 v0 2 0 2 

k´ 1 v1 2 1 2 

29

för I resp. II. R-termen i (78) står för den reflekterande delen av vågen, T-termen för den 

transmitterande delen. Från kontinuitetsvillkoren vid x = 0 erhåller vi, 

1 R T 

(79) 

ik 1 R ik´T 

som ger 

(80) 

R 

k k´ 

k k´ 

Ekvationen (80) illustrerar “impedansanpassningens” betydelse. Om k och k´ har vitt skiljda 

värden reflekteras en stor del av signalen istället för att matas vidare i kabeldelen II (eller 

mottagaren). 

Vi kan också ge en alternativ behandling utgående från en harmonisk signal [11] 

V x, t V x e it 

genom vilken ekv (56) kan skrivas på formen (där vi inför strömmen I ) 

(56*) 

som leder till 

dV 

dx (r il)I 

dI 

dx g ic V 

d 2 V 

dx 2 2 V 

med 2 (r il) g ic 

vilket är en omskrivning av (56). Skriv lösningen till förgående ekvation som en summa 

V x Ve x Ve x 

av signal som fortplantas i positiv resp. negativ x-riktning (den reflekterande delen). Antag vi har 

en kabel som kopplas till en belastning Z vid x = 0. Vi får ekvationerna 

30

V x 0 V V 

I x 0 V V 

Z 

 

 

r il (V V) 

från vilka vi kan bestämma förållandet mellan V+ och V-, 

V 

Z0 

Z Z0 

Z Z0 V 

r il 

g ic 

där Z0 betecknar kabelns s k vågimpedans. Impedansanpassning Z = Z0 minimerar 

reflektionen. 

E 

Ze 

Vi observerar att ifall kabeln uppfyller Heavisides designformel, g/c = r/l, är vågimpedansen 

reell och omvänt, och har värdet Z0 

l 

c 

r 

g . För detta specialfal har vi också 

Z0 g ic 

varför den exponentiella dämpningen bestäms av faktorn Z0 g ( = r/Z0 ). Typiska värden för Z0 är 

kring 75 9. Ethernetkabel kan t ex ha Z0 = 50 9 (5 Mhz).[12] 

Heisenberg-relationen 

Antag vi har en signal av en närapå konstant frekvens f. För att mäta signalens frekvens är det 

uppenbart att vi behöver en tidslängd T på åtmistone en “vibration”, T f > 1. Överlagrar vi två 

signaler med frekvenserna f och f + ,f , 

(81) 

e i2ft Ae i2(f,f)t e i2ft(1 Ae i2,ft) 

31 

Z

ehövs en mättid T > 1/,f för att urskilja överlagringens (“svajningen”) frekvens; dvs, för att 

mäta en signals frekvens med noggrannheten ,f behövs en mättid om minst T > 1/,f. Detta är ett 

exempel på en Heisenberg-relation. (Dess kvantfysikaliska version: för att mäta en partikels 

energi med noggrannheten ,E ( = h ,f ) behövs en mättid om minst T > h/,E, där h är Plancks 

konstant.) Vi har motsvarande relation för x-koordinaten och vågtalet k (tre relationer i det 

3-dimensionella fallet). Matematiskt har dessa att göra med en Fourier-representation av typen 

(58) 

V x, t a k e i kx k t dk 

Ekv (61) och (62) ger ett exempel där |V(x, 0)| 2 och |a(k)| 2 båda är gaussiska fördelningar vars 

varianser i x och k satisfierar 

(82) 

Var x Var k H2 

2 

1 

2H 2 1 4 

Vi kan antaga utan inskränkning - för L 2 -integrerbara signaler - att 

(83) 

V x, t 

I detta fall har vi 

(84) 

2 dx 2 a k 

x x V x, t 

k 2 k a k 

2 dk 1 

2 dx 0 

2 dk 0 

Var k k2 2 k2 a k 2 dk i d V x, t 

dx 

2 

dk 

Låt a beteckna en reell parameter, då har vi en generell olikhet 

(85) 

x a d dx 

V x, t 

2 

dx 0 

som tack vare (83) och (84) kan skrivas, 

(86) 

k2 a 

 

1 

2k 

 

2 

 

 

x 2 a a 2 k 2 

2 

x2 1 4 1 

k2 0 

vilket betyder generellt att (Heisenberg 1927) 

32

(87) 

,x,k 1 2 

med ,x (x x) 2 

,k (k k) 2 

Likhetstecknet gäller ifall vi sätter integranden noll i (85) vilket ger ekvationen just för en 

gaussisk våg. (I kvantfysiken har (87) följande betydelse: för att mäta en partikels impuls - dess 

x-komponent - med en noggrannhet ,p ( = h,k ) fodras en mätsträcka - projicerad på x-axeln - 

av storleksordningen L h/,p.) För ett finit tidsavsnitt av en signal kan vi göra en liknande 

härledning för en tid-frekvens relation. En “tidsgaussisk” motsvarighet till signalen (63) skrivs 

(88) 

V x, t e i(k0x(k0 )t) e 

 

x 

v t 

0 2 

 

4,t2 

Ekv (63) och (88) är ekvivalenta via identifikationen v0 2 ,t 2 = I 2 /2 =,x 2 [13]. 

--- 

“IN NO IST LAT WHEY CRACTIC 

FROURE BIRS GROCIO PONDEMONE 

OF DEMONSTURES OF THE REPTAGIN 

IS REGOATIONA OF CRE” 

Modernistisk poesi ? C Shannons exempel 

på 3:e ordningens approximering av engelska 

språket baserad på dess “trigram” struktur. 

Lite informationsteori 

Termodynamiken, värmeläran, föddes under ångmaskinsåldern ur intresset att försöka faställa 

hur bränslet effektivast kunde omvandlas till mekaniskt arbete (Sadi Carnot). På motsvarande 

sätt har elektrificeringen och telegrafin fött fram informationsteorin. “The fundamental problem 

of communicaton is that of reproducing at one point either exactly or approximately a message 

selected at another point”, fastställer Claude Shannon [14] i sin klassiska A mathematical theory 

of communication (1948). Jämförelsen mellan termodynamiken och informationsteorin är mer än 

en analogi. De förbinds bl a genom statistisk mekanik varifrån informationsteorin t ex lånat 

begreppet entropi. De statiska metoderna är grundläggande för informationsteorin. Att överföra 

information t ex elektriskt är i sig inte något större problem. Utmaningen gäller att överföra 

maximal mängd information per tidsenhet givet vissa egenskaper hos kanalen. 

33

Vi behandlar ett enkelt fall med ett binärt system där vi kodar informationen i nollor och 

ettor som representeras t ex av spänningsområden 0 - 1 V och 2 - 5 V. Ett meddelande kodas 

alltså i strängar av typen 0001011101 ... . Antalet olika strängar av längden N (N “bitar”) blir 

(89) W 2 N 

d v s; strängar med N bitar kan alltsomallt koda W olika meddelanden. Ekv (89) gäller som en 

allmänn definition för mängden information N (i bitar, “bits”) i termer hur många W olika 

meddelanden denna information kan urskilja. Antag som att överföringen inte är felfri. Det finns 

en sannolikhet 0 

0001110100 ... med N tecken kan vi förmoda att Np bitar har bytt värde, men vi vet inte vilka. 

De förbytta tecknena kan vara fördelade på 

(90) 

We N 

 

Np 

 

olika vis i strängen som motsvarar en informationsmängd [15] 

(91) 

Ie log 2 

N 

 

Np 

log2N! log2Np! log2N 

1 p ! 

N p log 2 p 1 p log 2 1 p 

där vi nyttjat den asymptotiska Stirling-formeln ( N ) 

lnN! N lnN N 

Betydelsen av resultatet är följande: p g a av “störningarna” i kanalen överförs inte N bitar 

information utan I = N - Ie, 

(92) 

I N 1 H p,1 p 

med H p1, ..., pn D 5 pi log 2 pi 

Vi har subtraherat den andel information som behövs för att s a s lokalisera de felaktiga bitarna. I 

extremfallet p = 0.5 finns det inget samband mellan meddelandet och signalen som mottas och 

vi har I = 0. Ekv (92) anger den teoretiska kapaciteten hos det binära kanalsystemet som har felsannolikheten 

p. I praktiken inför man redundans i kodningen (och error-checking) för att 

motverka felkällorna/bruset (noise). Så länge p < 0.5 kan man sända meddelanden med önskad 

grad av tillförlitlighet; t ex, för att vara säker på att signalen för 1 går fram kan man sända en 

sträng av n stycken ettor: 11111 ... 1. Mottagaren beräknar medeltalet av n-strängen; ifall 

medeltalet är större än 0.5 tas signalen som 1. Givet p < 0.5 kan n alltid väljas så att 

34

sannolikheten för feltolkning är godtyckligt liten (medeltalet för den mottagna strängen närmar 

sig för stora n normalfördelningen N(1-p, p(1-p)/n) [16]). 

Vi generaliserar föregående exempel där vi antog att meddelandet i snitt består av lika 

andel av ettor och nollor samt att felsannolikheten för 0 1 och 1 0 var de samma (binary 

symmetric channel, BSC). 

r 

s 

1 - p 

0 0 

p 

q 

1 1 

1 - q 

Nu antar vi att frekvensen för ‘0’ är r vid källan och för ‘1’ följaktligen s = 1 - r. Felsannolikheten 

0 1 antas vara p och för 0 1 lika med q. För en N-sträng har vi i snitt rN nollor och 

(1 - r)N ettor. Antalet N-strängar med denna frekvensbegränsning är till antalet 

W N 

Nr 

 

 

vilket motsvarar en informationskapacitet hos källan (source) på 

Is log 2 W N r log 2 r s log 2 s N H(r, s) 

som för r = 0.5 blir Is = N i samstämmighet med ekv (89). Ifall t ex r = 0 är informationskapaciteten 

Is = 0 eftersom källan har bara 1-tillståndet. Då strängen når mottagaren kommer den 

i snitt att bestå av N(r(1 - p) + sq) nollor av vilka Nsq uppkommit genom feltolkningen 1 0. 

Motsvarande tal för ettor är N(s(1 - q) + rp) och Nrp. Vi kan därför uppskatta antalet 

felmöjligheter till 

We N r 1 p sq 

 

 

 

 

Nsq 

 

 

 

 

som motsvara informationsmängden 

N s 1 q rp 

Nrp 

35

(94) 

Ie log 2 We 

 

 

N 

 

 

 

 

 

sq log 2 

rp log 2 

sq 

r 

 

1p 

 

sq r 1 p log r 

1p 

2 r 

 

1p 

 

sq 

rp 

s 1q rp s 1 q log 2 

s 

 

1q 

 

s 

1q 

rp 

Vi kan skriva (94) på en elegantare form genom att införa följande beteckningar: 

p y|x villkorligsannolikhet för Y y givet att X 

p y, x sannolikhet för att Y y och X x 

Vi låter X beteckna den stokastiska variabeln för källan (med värden 0 och 1) och Y dito för den 

mottagna signalen. Vi har t ex p(X = 0) pX(0) = r och p(Y = 1|X = 0) pY|X(1|0) = q. Med dessa 

beteckningar kan informationskapaciteten utgående från (94) skrivas 

(95) 

I Is Ie N 

 

 

 

 

5 pX(xi) log 2 

N H X H X|Y 

1 

pX(xi) 5 pY yj 5 pX|Y xi|yj log 2 

 

 

 

 

 

 

 

1 

pX|Y xi|yj 

vari vi också definierat uttryckena H(X) för källans entropi och den villkorliga entropin 

(conditional entropy) H(X|Y). Ekv (95) är inte begränsad till binära system. Samma resonemang 

går igenom mutatis mutandis ifall vi använder ett större “alfabet” än {0, 1}. Den maximala informationskapaciteten 

C för en kanal kan bestämmas genom att söka en fördelning (“kodning”) pX 

som maximerar (95) givet pX|Y (channel capacity formula) [17]: 

(96) C maxX H X H X|Y 

Inom informationsteorin definieras 

(97) I X, Y D H X H X|Y H X H Y H X, Y 

som ömsesidig information (mutual information). Den senare likheten i (97) följer från 

definitionen för simultan entropi (joint entropy) 

(98) 

H X, Y D 55p xi, yj log 2 

1 

p xi, yj 

Vi kan generalisera föregående formler till kontinuerliga fördelningar. Vi hamnar dock att 

observera att kontinuerliga variabler implicerar som sådana oändlig information eftersom man 

36

kan koda ett oändligt meddelande t ex i form av decimalutvecklingen av ett reellt tal. I en naiv 

generalisering skulle vi ansätta p(xk) = fX(xk),x i föregående formler och skriva t ex 

H X 5 fX xk ,x log 2 

som övergår i en integral 

(99) 

fX x log 2 

1 

fX x 

1 

fX xk ,x 

dx lim 

,x@0 log 2 

1 

,x 

Den senare termen i (99) representerar entropin för “mätnoggrannheten” ,x. Eftersom vi är 

intresserad av skillnader i entropi “renormaliserar” vi (99) och definierar 

(100) 

o s v [18]. 

H X D fX x log 2 

1 

fX x dx 

H X, Y D fX,Y x, y log 2 

1 

fX,Y x, y 

dxdy 

 

Som ett exempel kan vi ta en s k gaussisk kanal med en “gaussisk signal” 

(101) 

fY|X y|x 

fX(x) 

1 

2 Hn 

e 

 

xy 2 

 

2Hn 2 

x2 

1 

e 2Hx 

2 Hx 

2 

Variansen In är ett mått på kanalens brus - desto mindre värde på In desto bättre följer “output” 

y med “input” x. Från (101) erhåller vi vidare 

(102) 

fY y fY|X y|x fX x dx 

1 

2 Hn 2 

 

e 

2 Hx xy 

2 

 

2 

 

Hn 2Hx 2 

Insätter vi dessa uttryck i formeln för ömsesidig entropi får vi det intressanta resultatet 

(103) 

I X, Y 1 2 log 

2 

 

Hx2 

2 1 

 

Hn 

37

för överförbar information per samplat signalvärde. Formeln för maximal informationsöverföring 

C (bitar per sekund) för en kanal med bandvidden B kallas Shannon-Hartleys formel (eller 

teorem) och skrivs [19] 

(104) C B log 2 S N 1 

där S/N står för signal-brus-förhållandet (signal-to-noise ratio) och är detsamma som Ix 2 /In 2 i 

föregående exempel. Eftersom Ix 2 och In 2 ofta är proportionella till signaleffekten är S/N detsamma 

som förhållandet mellan signalens och brusets medeleffekt vilket ofta anges i decibel. Vi 

kan visa att i den gaussiska modellen gaussiska signaler faktiskt maximerar I(X,Y). Vi måste 

också förklara faktorn B i (104). Nämligen, alla signaler med frekvenskomponenter begränsade 

till frekvensintervallet ( f, f + B ) kan återges genom att samplas vid regelbundna tidintervaller 

tn = n ,t, där ,t = 1/2B, vilket ger 2B samplingar per sekund (Nyquist-frekvensen) som 

multiplicerat med (103) ger uttrycket i (104). Vi förenklar behandligen en aning och antar att 

signalen u är begränsad till frekvensintervallet (0, B). Detta innebär att u representeras på 

Fourier-formen 

(105) 

N1 

u t E 5 cke 

kN 

i2kB t N 

N BT, fk k 

N B 

då T . Koefficienterna ck ges via 

(106) 

ck 1 

2N 5 

N1 

u n 

nN 

1 

2B 

ei2n k 

2B 

Insätter vi (106) i (105) erhålls (“Shannon’s Sampling Theorem” [20]) 

(107) 

u t E 1 

2N 55u 

n 

1 

2B ei2 k N Bt n 2 @ 

5 u 

n 

1 

2B 1 2 1 

e 

1 

i2u 

Bt n 2 du 

 

5 u 

n 

 

n 

1 

2B sin 

 

2 n 

 

Bt 2 

2 

 

Bt n 

2 

då N . Ekv (107) visar att en signal med bandbredd B är ekvivalent med en serie samplad 

med tidsintervallet ,t = 1/2B. Begränsning av signalens bandbredd innebär att man inte kan 

skicka en hur “komplicerad” signal som helst; denna begränsning uttryckt i tidsdimensionen är 

38

just den att signalen kan återges genom dess värden vid diskreta tidpunkter tn = n ,t (en aspekt av 

Heisenberg-relationerna). 

För ett diskret system är det enkelt att visa att entropin H(X) maximeras för en likformig 

fördelning pk = 1/n och har värdet log2 n. Nämligen, eftersom kurvan ln(x) är konvex och ligger 

under sin tangent, t ex vid punkten x = 1, har vi (den vänstra olikheten följer från den högra 

olikheten tillämpad på - ln(1/x)) 

vilket ger 

1 1 x 

ln x x 1 

ln n 5 pi ln 1 pi 5 pi lnnpi 5 pi 

1 

1 

npi 

- “Maximal information efterapar maximal slumpmässighet” [21]. Klart, desto mer förutsägbart 

ett meddelande är desto mindre information innehåller det. Extremexemplet är t ex en räcka 

11111 ... som högst förmedlar 1 bit information (om alternativet är ingen signal alls). Någon 

generell lösning på maximeringsproblemet (96) finns inte. Variation i det diskreta fallet leder till 

ekvationen 

(108) 

F xi|Y D 5 j 

0 

0 @I X, Y 5 @pX(i) 

i 

1 

log2 log2e F xi|Y 

pX(i) 

 

d 

 

pY|X yj|xi log 1 

2 

pX|Y xi|yj 

Termen betecknar Lagrange-faktorn som kommer från variationsvillkoret som säger att 

sannolikheterna pX(i) måste addera till 1. Ekv (108) leder till villkoret 

(109) pX(i) C 2 F xi|Y 

Tillexempel, den likformiga fördelningen pX(i) = 1/n satisfierar (109) ifall F(xi|Y) är oberoende 

av i för denna fördelning. Detta gäller ifall raderna i matrisen pij = pX|Y(yj|xi) är permutationer av 

den första raden - fallet kallas för likformig kanal (uniform channel). Då är 

(110) 

5 i 

pY|X yj|xi 

oberoende av j som ger att också Y är likformigt fördelat med vilket man slutligen visar att 

F(xi|Y) är oberoende av i. Detta i sin tur demonstrerar att den likformiga fördelningen uppfyller 

39

maximeringsvillkoret. En enkel räkning visar att den gaussiska kanalen med gaussisk signal 

också satisfierar villkoret (108) för maximal informationsöverföring [22]. Dessa exempel leder 

till gissningen att informationsöverföringen allmänt maximeras av en X-fördelning som 

efterliknar kanalens “brus”-statistisk. 

Det är instruktivt att granska kapacitetsformeln (104) i extremfallen S/N > 

1. I det förra fallet är signalstyrkan mycket liten i förhållande till brusnivån. Kommunikationen 

går ut på att sända en signal som samplas n gånger - och som är konstant under denna tid (tiden 

= n/2B) - varav man sedan räknar medelvärdet. Medelvärdets brusvarians minskar som In/n 

med n. Genom att välja n sådan att 

Hx Hn 

n dvs 

n H n 2 

Hx 2 

kommer sändarsignalen att skymta fram (medelvärde över brusnivån tolkas som ‘1’). Överföringshastigheten 

reduceras med denna metod som B/n vilket motsvarar (104) då S/N > 1 igen är Ix/In ett mått på hur många signalnivåer som kan urskiljas för varje 

samplat signalvärde. Detta ger en informationsöverföring kring 2Blog2(Ix/In ) bitar per sekund 

som överensstämmer med (104) för S/N >> 1. 

40

--- 

“... This is the standard western musical 

notation based on J.S. Bach’s ‘Well 

Tempered Piano’. Thus one could argue that 

wavelets were actually invented by J.S. Bach!” 

Claude Shannon 

M Vetterli och J Kovalevic i Wavelets and Subband 

Coding (1995: s. 6). 

Tid-frekvens analys 

Ljud är snabba variationer hos lufttrycket (också tryckvariationer i andra medier). Registrerar 

man trycket i en punkt erhåller man en funktion p(t) av tiden. Grafen av en sådan funktion är inte 

lätt att tolka som tal eller musik t ex. Antag man försöker rekonstruera partituret till ett 

musikstycke från ljudkurvan upptagen vid styckets framförande. Vilka noter s a s spelas vid en 

given tidpunkt ? Att beräkna spektrumet för hela tidsserien är inte så meningsfullt eftersom 

spektrumet inte anger vid vilken tidpunkt en viss frekvens uppträder. Det naturliga verkar vara att 

dela upp tidserien i korta tidsintervaller och beräkna spektrumet för dessa snuttar. Detta är 

grunden för fönster-Fourier-transformationen (WFT, Windowed Fourier Transformation), eller 

korttids-Fourier-transformationen (STFT, Short Time Fourier Transformation). Vi konvolerar 

ljudsignalen p(t) med en funktion (“fönster”) w(t) som är koncentrerad kring t = 0 - exv typ 

gaussisk puls - och beräknar Fourier-transformationen av den snuttifierade signalen, 

(111) 

pw t, u w(u t)p(u) 

Pw t, f e i2fu pw t, u du 

Efterföljande “planscher” ger vissa exempel. En vanlig dator har används för att banda in ljud 

med programmet “soundrecorder” (1-kanal, 8 bit, nominell samplingshastighet 22 050 S/s). 

Ljudfilerna (typ “wav”) har sedan behandlats i Matlab. Filen a.wav är bandad då a 1 anslagits och 

hållits ned på ett vanligt piano (utan pedaltramp). Pianots a 1 är s k normal-a vars grundton 

brukligen stäms till 440 Hz enligt den tempererade skalan [23]. Spektrumanalys av vårt gamla 

piano visar att det ganska väl håller sig till normvärdet 440 Hz - grundtonen är ca 444 Hz för a 1 . 

Samtidigt visar spektrumet ett antal övertorner som kommer från de andra a-strängarna. Varje 

tangent har sitt spektrala “fingeravtryck” beroende på pedaltramp [24]. Filen c_c.wav har bandats 

då vi spelat alla tangenter i normal-oktaven från c 1 till c 2 . Dess ljudkurva “wave graph” ger ingen 

direkt föreställning om skeendet, medan däremot spektrogrammet klart urskiljer de 13 tonerna 

(och deras övertoner). Spektrogrammet har konstruerats så att vi delat in ljudfilen i snuttar på 

1024 punkter på vilka vi applicerat FFT-transformationen (1024 punkter motsvarar här ett 

tidsintervall på 1024/22050 s 46 ms) [25]. “Ryggarna” i spektrumet för a.wav hänger ihop 

41

med “lober” som produceras hos Fourier-transformationer av tvärt avklippta tidsserier. Filen 

einst.wav är upptagning av a-l-b-e-r-t e-i-n-s-t-e-i-n på finlandssvenska. För att få spektrat för 

wine95.wav har vi nödgats tömma en butelj australiensiskt vin som vi sedan blåst på. Spektrat 

visar en “spik” vid ca 115 Hz och 49 Hz [26]. Slutligen, river man papper ( rivpap.wav ) får man 

en sorts bruspektrum. (En metod som lär användas för kvalitetskontroll i papperstillverkningen.) 

42

Noter 

[1] Fourier-seriernas historia går tillbaka på vågekvationen (d’Alembert 1747) 

(1) 

2 y 

x 2 1 c 2 

2y t2 0 

D’Alembert insåg att vilken som helst glatt funktion f(x ct) är en lösning till (1), speciellt de 

trigonometriska funktioner sin(x ct), etc. Han kom också på knepet med variabelseparering där 

man ansätter f(x,t) = a(x) b(t). Dessa utvecklingar föranledde D Bernoulli att förmoda att varje 

lösning till (1) kan skrivas som en trigonometrisk serie medan Euler kom med invändningar. 

Fourier nyttjade 1807 “Fourier-serier” för att lösa differentialekvationer i ett arbete som 

presenterades för Franska Akademin. Lagrange och Poisson underkände arbetet som i bearbetad 

version kom ut som boken Théorie Analytique de la Chaleur först år 1822. Fourier-serierna har 

haft en stor andel i skapandet av den modärna matematiken genom problematisering av 

funktionsbegreppet, konvergens, integrering, o s v. För historia se exv I. Grattan-Guiness, 

Joseph Fourier, 1768-1830 (MIT Press 1972). 

[2] Vår filterprocedur kan också beskrivas i term av en kostnadsfunktion i det kontinuerliga 

fallet. Nämligen, antag vi har uppmätt en kurva x(t) till vilken vi vill anpassa en glatt kurva y(t). 

En metod är att använda en kostnadsfunktion C(x, y) som för en given mätkurva x minimeras 

med avseende på y. Om t ex 

C x(t) y(t) 

2 

dt 

har vi förstås y = x. Ifall vi vill ha en jämnare anpassning till x som slätar ut brus och 

“störningar” kan vi addera en term(er) till C som beskriver “hastiga förändringar” hos y, såsom 

derivatorer av y visavi t. Filterproceduren för accelerometern motsvarar en dylik 

kostnadsfunktion av formen 

C 

 

 

x(t) 

2 

y(t) 

 

1 

fc 2n 

 

 

 

ny tn 2 

 

dt 

 

(med n = 4). Valet av exponenten n testades med data. För n < 4 började den filtrerade kurvan 

följa störningarna, och för n > 4 började Gibbs-effekten göra sig gällande. 

[3] J W Cooley, J W Tukey, “An algorithm for machine computation of complex Fourier series”, 

Mathematics of Computation, Vol. 19, pp. 297 - 301, Apr. 1965. Endel tillskriver redan Gauss 

upptäckten av FFT-algoritmen år 1805 - före Fourier presenterade sina serier 1807 - se Heideman 

M T et al., “Gauss and the history of the Fast Fourier Transform”, IEEE ASSP Magazine, Vol. 1, 

No. 4, pp. 14 - 21. Oct . 1984. FFT-algoritmen satte fart på utvecklingen av digital/diskret 

43

signalbehandling. Tidigare hade t ex realtids Fourier-analys varit en omöjlighet. Beräkningen av 

Fourier-koefficienter på dator kunde ta timmar ! 

Från "The Hartley Transform" 

av Ronald N. Bracewell. (Oxford Press, 1st ed, 1986, page 6): 

"When the FFT was brought into the limelight by Cooley and Tukey in 1965 it had an enthusiastic 

reception in the populous world of electrical signal analysis as the news spread via tutorial articles 

and special issues of journals. This ferment occasioned mild surprise in the world of numerical 

analysis, where related techniques were already known. Admirable sleuthing by M.T. Heideman, 

C.S. Burrus, and D.H. Johnson (to appear in 'Archive for History of the Exact Sciences') has now 

traced the origins of the method back to a paper of C.F. Gauss (1777-1855) written in 1805, where 

he says, 'Experience will teach the user that this method will greatly lessen the tedium of 

mechanical calculation.' " 

"A fascinating sidelight of the historical investigation is that Gauss' fast method for evaluating the 

sum of a Fourier series antedates the work on which Fourier's fame is based. We should hasten to 

add that Gauss' paper was not published until much later [Collected Works, Vol. 3 (Gottingen: 

Royal Society of Sciences, 1876)], and we should remember that, when Fourier introduced the idea 

of representing an arbitrary periodic function as a trigonometric series, eminent mathematicians 

such as Lagrange resisted it." 

Idén bakom FFT-algoritmen är genialiskt enkel. Diskret Fourier-transformation (DFT) y Y är 

definierad genom 

N1 

Yk 1 nk 

N 5 yn N med 

n0 

N e i2 1 N 

Ifall N är ett jämnt tal, N = 2m, kan Yk skrivas 

Eftersom 

följer att 

Yk 1 2 Pk N k Ik där 

Pk 1 m y0 y2 N 2k ... yN2 N (N2)k 

1 m y0 

k (N/21)k 

y2 N/2 ... yN2 

N/2 

Ik 1 m y1 y3 N 2k ... yN1 N (N2)k 

Pkm Pm;Ikm Ik 

N (km) N k 

44

Yk 1 2 Pk N k Ik 

Ykm 1 2 Pk k N Ik 

k 0, 1, ..., m 1 

Med andra ord, beräkningen av transformationen y Y av ordningen N har reducerats till 

beräkningen av två transformationer yjämn P och yudda I, båda av ordningen N/2. Om N är en 

potens av 2 kan denna uppdelning fortsättas tills vi kommer till den triviala transformationen för 

m = 1. Ifall beräkningen enligt ovanstående algoritm av ordningen N = 2 p omfattar Mp 

multiplikationer och Ap additioner har vi de rekursiva relationerna, 

Mp 2Mp1 2 p1 1 

Ap 2Ap1 2 p med 

M1 0;A1 1 

som har lösningen (m h a ansatsen ) 

Ap ap2 p och Mp bp2 p1 c 

Mp p 2 2p1 1 E N 2 log 2 N 

Ap p2p N log2N Motsvarande värden för beräkning av DFT direkt enligt definitionen är 

Mp (N 1) 2 

Ap N(N 1) 

Inbesparingen via FFT-algoritmen är alltså betydande för växande N. T ex för N = 1024 = 2 10 blir 

M10 (FFT) = 4097 medan M10(konventionell) = 998001 vilka förhåller sig som ca 1:243. Diskret 

wavelet-transformation är f.ö. ännu mer ekonomisk och antalet beräkningar växer endast som 

log2 N. 

[4] Mer exakt har vi gett prov på diskret-tid filtrering, d v s, baserad på en diskret tidsserie. 

Digital filtrering brukar avse en speciell diskret signalbehandling y = Ax definierad av en 

differensekvation av formen (funktionen filter.m i Matlab beräknar denna transformation) 

n 

m 

5k0 

bky[i k] 5 k0 

akx[i k] 

där x[i] är insignalvärdet vid tidpunkten ti. Ifall n = 0 kallas det en FIR-filter (finite impulse 

response), i annat fall för en IIR-filter (infinite impulse response). Definierar vi z-transformationen 

X(z) av en signal x som 

45

X(z) 5 xnz n 

z ? C 

då innebär ovanstående differensekvation att 

Y z H z X z med 

H z 5m k0 akz k 

n 5k0 bkz k 

z-inversen h[i] till transferfunktionen H(z) är responsfunktionen för x y definierad genom 

konvolutionen (faltning) 

yih xi D 5 h[i k]xk 

som omvänt ger just Y(z) = H(z)X(z). Huvuduppgiften för digital filterkonstruktion (filter design) 

är att realisera en önskvärd responsfunktion h digitalt inom givna noggrannhetsgränser; d v s, 

att i praktiken bestämma koefficienterna ak, bk som ger en önskvärd responsfunktion. Digitala 

filter är intressanta eftersom de är enkla att realisera med digitala kretsar. Man har i huvudsak två 

filterkontruktionsmetoder. Vi kan utgå från en kontinuerlig responsfunktion hc(t) och definiera 

den diskreta responsfunktionen h[n] som en sampling av den kontinuerliga responsfunktionen 

med tidsintervallet ,t, 

h[n] ,t hc(n,t) 

I detta fall ges den digitala filterns transferfunktion genom relationen 

(1) 

H(z)|ze i2f,t 

5 Hc(f n/,t) där 

n 

Hc f hc(t)e i2ft dt (Fourier-transformatio 

Föregående relation följer från den allmänna ekvationen (qua distributioner) 

 

5 n 

g(f na) 1 

a 5 gˆ(n/a)e 

n 

i2nf/a 

där “hatten” betecknar Fourier-transformerad funktion. (Högra membrum är periodisk funktion i 

f med perioden a vars Fourier-serie ges av högra membrum.) Man sätter g = ªc = Hc och a = 1/,t 

vilket ger relationen för transferfunktionen (man observerar att ¦(x) = hc(-x)). Oftast är det 

enklare att beräkna transferfunktionen genom 

46

(2) H z 5n h[n]z n 5n ,thc(n,t)z n 

Å andra sidan kan man utgå från en önskvärd transferfunktion H0(z) och söka en digital 

responsfunktion h sådan att 

H0(e i2f,t) E 5 h[n]e i2nf,t 

Tillexempel kan man välja att bestämma h[n] genom att minimera integralen (som ett mått på 

skillnaden) 

(3) 

2 

0 H0(e iD) 5 h[n]e inD 2 dD 

vars lösning som bekant ges av Fourier-koeffcienterna cn till H0, 

h[n] cn 1 

2 2 

H0(e 

0 

iD)e inDdD för sätter man in Fourier-utvecklingen för H0 i integralen ovan blir ju “skillnaden” (3) 

2 5 cn h[n] 2 

E x e m p e l: Digital version av RC-filter enligt första metoden (ekv (2)). RC-filtrets 

transferfunktion är 

Hc f 

fc 

1 

1 i f där 

fc 

1 

2RC (klippfrekvensen/cut-off 

Det är enkelt att kolla att dess responsfunktion ges av 

hc t 2fc e 2fct D t 

D t 1omt 0 annars 0 

Alltså blir det motsvarande digitala filtrets z-transferfunktion 

47

(4) 

H z 5 n0 

,thc(n,t)z n 

2fc,t 

1 e2fc,tz 1 

Differensekvationen för den digitala (lågpass-)filtern blir därmed 

(5) 

yne 2fc,t y[n 1] 2fc,t x[n] 

Använder vi summationsformeln (1) och summerar termerna parvist 

nyttjande 

1 if/fc 

Hc f n/,t Hc f n/,t 2 

(1 if/fc ) 2 (n/fc,t) 2 

2 5 n1 

får vi istället 

(6) 

x 

x 2 n 2 1 x 

coth x 

H z fc,t 1 e2fc,tz 1 

1 e2fc,tz 1 

Skillnaden (= F fc,t = (h(0+) + h(0-))/2) jämförd med (4) beror på diskontinuiteten hos hc(t) vid t 

= 0. Ekv (6) motsvarar differensekvationen 

(7) 

yne 2fc,t y[n 1] fc,t (x[n] e 2fc,t x[n 1]) 

Ekv (7) kan vara att föredra framom (6). I ett praktiskt exempel nyttjades (6) för att “snygga” upp 

effektdata beräknade från tryckdata från en trycksensor. Parametervärdena var fc = 4 Hz och ,t = 

1/100 som gav differensekvationen, 

(8) 

yn0.78 yn 10.25 xn 

utgående från (5). Det visade sig emellertid att energivärden beräknade från filtrerad effektdata 

systematiskt översteg energin beräknad från rådata med ca 13 %. Orsaken framgår om man antar 

att vi har en konstant insignal x i (8), då konvergerar y mot x 0.25/(1 - 0.78) 1.14 x. Använder 

vi däremot (7) får vi differensekvationen 

48

(9) 

yn0.78 yn 10.126 xn0.78 xn 1 

som för konstant input konvergerar mot x 0.126 1.78/ (1 - 0.78) 1.02 x som visar en 

betydligt reducerad “overshoot”-effekt vilket också besannades i energiberäkningarna. Ekv (8) 

kan jämföras med formlen för löpande N-medelvärden beräknade enligt 

--- 

y[n] 

N 1 

N 

y[n 1] 

. 

1 N x[n] 

“Analoga “ FIR/IIR-filter u v definieras genom en differential motsvarighet till 

differensekvationen ovan: 

(10) 

n 

5k0 

bkv (k) m 

5 k0 

v (k) (t) D dk v(t) 

dt k 

aku (k) där 

etc 

Genom att ta Fourier-transformationen av (10) erhålls 

vˆ f H i2f û f där 

H x 5m k0 akx k 

n 5k0 bkx k 

vilken kan analyseras med liknande metoder som i det digitala fallet. 

Aklippningsproceduren som användes för accelerometern är till uppsättningen 

annorlunda än den kausala digitala filtreringen eftersom vi har ekvationen 

yn 1 N 5 H(fk )e 

m,k 

i2fk,t(nm) x[m] 

h[n] 1 N 5 k 

H(fk )e i2fk,tn 

som är en icke-kausal variant av digitala filter i o m att y[n] beror av x[m] för m > n. 

Enär signalen behandlas av datorn är det enkelt att direkt realisera en önskvärd transferfunktion 

via FFT-algoritmen. 

[5] Bakom Hardys uttalande låg en pacifistisk förhoppning om att matematiken inte skulle kunna 

49

nyttjas för destruktiva ändamål .... “real mathematics has no effect on war”. Hardy räknade också 

t ex Einstein, Newton, Maxwell, Dirac, etc, som “real mathematicians” med motiveringen att 

kvantmekaniken, relativitetsteorin, etc, inte kommer att ha någon praktisk betydelse. Se vidare, S 

W Golomb, “Mathematics forty years after Sputnik”, The American Scholar, Spring 1998. 

[6] Norbert Wiener (1894- d.1964 i Stockholm) föddes i Columbia. Fadern Leo W var professor i 

slaviska språk vid Harvard. Norbert fick en ganska atypisk uppfostran (lärde sig läsa och skriva i 

3-års åldern) och började redan som 11-åring vid Tufts universitet där han 1909 som 14-åring tog 

B.A.-examen i matematik. Vid 18-års ålder förvärvade han Ph.D. i matematisk logik. Vid 

Harvard försökte han först doktorera i zoologi men ogillade arbetet i laboratoriet. Efter 

doktorsexamen sökte han sig till Cambridge där han studerade för Russell (som uppmanade 

honom att fördjupa sina kunskaper i matematik) och tog starka intryck av G H Hardy som 

introducerade honom bl a till teorin för komplexa variabler och Lebesgue-integralen. NW gjorde 

också en tur till Göttingen och tänkte återvända till Cambridge men VK I kom emellan. Hemma i 

U.S.A. rekryterades han av O Veblen till dennes ballistiska grupp i Aberdeen där Wiener 

arbetade under kriget. Fästmannen till NW:s syster Constanse råkade dö och efterlämnade ett 

värdefullt matematikbibliotek (Osgood, Lebesgue, Fréchet, Volterra, m m) som tillföll NW och 

med vars hjälp han lärde sig modärn matematik medan han under en svår 5-års period höll på 

med diverse arbeten inom journalistik och teknik. En avgörande vändning i NW:s liv inträffar år 

1919 då Osgood (Harvard) fixar en assistentplats åt honom vid MIT där han kom att göra sin 

matematiska karriär (professor från 1932 till 1960). NW gjorde viktiga bidrag inom området för 

harmonisk analys, stokastiska processer, potentialteori, distributionsteori, fast bland allmänheten 

är han kanske mest känd som upphovsmannen till begreppet kybernetik. NW blev år 1933 vän 

med en mexikansk psykolog, A Rosenblueth. Tankeutbytet med denna, samt arbetet med 

luftvärnssystem under VK II (som kunde tillämpas först efter krigets slut), gav impulserna till 

NW:s teorier kring kybernetik och feedback-system. Luftvärnssystemets problem var att utifrån 

brusig och ofullständig data förutse målets sannolika bana vilket ledde till tillämpningen av 

optimala filter. På ryskt håll utvecklade A N Kolmogorov liknande teorier. 

[7] I accelerometerproblemet är vi intresserade att bestämma den faktiska vinkeln y från 

accelerometerns utslag x. Antag vi har en tidsserie xn, och motsvarande vinklar yn. Vi antar att y 

kan beräknas från x genom en konvolution 

yn 5 k 

fkxnk 

Filterkoefficienterna fn bestäms genom att minimera 

5 n 

 

yn 5 k 

fkxnk 

2 

 

 

visavi fn. Motsvarande filter kallas också för Wiener-filter. En intressant variation erhålls om vi 

låter yn stå för framtida x-värden xn+a med tidsförskjutningen a. Vi får då en filter med vars hjälp 

man kan sålla fram “överraskande” data i tidsserier (data som avviker från Wiener-prediktionen). 

50

Wiener-filter används också för datakomprimering t ex av ljudsignaler. Nämligen, man kan 

beräkna Wiener-koefficeniterna och prediktionen för en tidsserie. Skillnaden mellan prediktionen 

och den faktiska signalen är ofta så pass liten att den kodas med mindre minneskrävande 

variabler (t ex 8-bitars variabler av typen byte för värden i intervallet 0 - 255) än själva signalen 

(som för 16-bitars data varierar i intervallet 0 - 65535). 

[8] Som en intressant kuriositet kan nämnas att en elev till Poincaré, L Bachelier, redan 1900 

beskrev kursutvecklingen på Paris Bourse i termer av “axiom” som definierar det vi idag kallar 

för Brown-process. Detta var fem år innan Einstein publicerad sin berömda avhandling i ämnet. 

[9] Så kallat “rött brus” x definieras utgående från gaussiskt vitt brus z genom den rekursiva 

algoritmen 

x[n] = x[n 1] z[n] 

där = är en parameter i intervallet (0,1). Beräknar för diskret Fourier-transformation för en 

N-serie ger föregående rekursionsrelation 

X[k] 

Z[k] 

1 = ei2 k N 

vars normaliserad spektrum är (Z:s spektrum är konstant) 

(1 =) 2 

1 = 2 2= cos 2 k 

N 

[10] Brus begränsat till bandbredden (0, B) kan simuleras via 

 

sin(2Bt n) 

f(t) 5 an 

n (2Bt n) 

baserad “på Shannon’s Sampling Theorem” (som behandlas senare). Shannon (1949) föreslår 

t ex att an väljs som normal-fördelade variabler med variansen P som blir densamma som 

brusets medeleffekt. (För en signal av längden T kan summationen begränsas till N BT 

termer.) Vitt brus nyttjas som en testsignal för att studera transferfunktioner. Antag vi har 

y[n] 5 h[n k] x[k] e[n] 

. 

Rött brus används bl a för att simulera bakgrundbrus i testserier och identifiera signaler som 

signifikant avviker från bruset. 

51

där e betecknar störningsbrus. Ifall insignalen x och bruset e ej är korrelerade har vi ( < .. > = 

statistiskt medelvärde) 

y[n]x[n k] 5 hj xn jx[n k] 

Om vi som insignal väljer vitt brus med korrelationsfunktionen 

x[m]x[n] = @n,m 

så kan transferfunktionen avläsas från 

h[k] y[n]x[n k] 1 = 

d v s, genom att beräkna korrelationen mellan insignal och utsignal för olika tidsförskjutningar k. 

[11] Observera de två olika konventionerna i fysik och elektricitetslära. I fysiken skrivs ofta en 

typisk harmonisk signal som 

V t E e it 

medan i elektricitetsläran skriver man vanligen (för spänning eller ström) 

V t E e it 

Det senare betyder att t ex admittansen för en kondensator är iMC istället för -iMC, att en spoles 

impedans är iML istället för -iML, o s v. Relationen mellan “fysik-kvantiteterna” och 

“el-kvantiteterna” är den att de är komplex-konjugerade: 

Vfysik V el 

En annan elektroteknisk egenhet är att man använder beteckningen ‘j’ för den imaginära enheten 

istället för ‘i’ (som vanligtvis står för strömmen istället). 

[12] Dämpningen uttrycks ofta som dB/ 100 m (decibel per 100 meter) och betecknas =. 

Styrkeförhållandet i decibel för signaler är definierat genom 

20 log 

V2 

V1 

 

 

I vårt speciallfall har vi V2 V1 exp 

varför vi får 

r 

Z0 x 

 

52

[13] I signalteorin används också en annan sorts “osäkerhetsrelation”. Givet en responsfunktion h 

och transferfunktionen H(f), då definieras “equivalent rectangular bandwidth” BW och “effective 

duration” T hos “pulsen” genom 

BW H(f) 2 df 

2 

H(f) max 

T ( h(t) dt) 2 

h(t) 2 dt 

Enlig Plancherels likhet har vi 

Därtill gäller 

H(f) 2 df h(t) 2 dt 

h(t) dt h(t)e i2ft dt h(t)e i2ft dt 

H(f) 

Kombinerar vi dessa resultat får vi “osäkerhetsrelationen” 

(1) 

= 20 log(e) r 

Z0 

BW T ( h(t) dt) 2 

2 

H(f) max 

1 

Tillexempel för en RC-filter med 

h t 2fce 2fct D(t) 

gäller likhetstecknet i (1) med 

100 868.6 

r 

Z0 

För en typisk ethernetkabel har vi = = 1.2 dB/ 100 m. Om man har tillgång exempelvis till 40 

dB-förstärkare fodras i detta exempel överförare/förstärkare (repeaters) med högst ca 3 km:s 

mellanrum (100 40/1.2 3333 m). 

53

BW fc 

T 1 

fc 

Likhetstecknet gäller också t ex för en gaussisk responsfunktion. 

[14] Claude E Shannon (1916 - 2001) verkade som matematiker vid Bell Telephone Laboratories 

åren 1941 - 1972. Viktiga förarbeten till Shannons berömda uppsats från 1948 hade presenterats 

av Harry Nyquist (“Certain factors affecting telegraph speed”, Bell Systems Technical Journal, 

April 1924; “Certain topics in telegraph transmission”, A.I.E.E. Trans. Vol. 47, April 1928) och 

R V L Hartley (“Transmission of Information”, Bell System Technical Journal, July 1928). 

Shannon betonar också betydelsen an Norbert Wieners formulering av “communication theory as 

a statistical problem” och hänvisar till N Wiener: The Interpolation - Extrapolation and 

smoothing of Stationary Time Series (Wiley 1949); Cybernetics (Wiley 1948). Förutom Wiener 

nämns också Birkhoff, Neumann, Koopman och Hoff med viktiga bidrag till teorin om 

ergodicitet. För begreppet stokastiska processer hänvisar Shannon till S Chandrasekhars artikel 

“Stochastic problems in physics and astronomy”, Rev. Mod. Phys. Vol. 15, No. 1, 1943. För 

begreppet entropi och formel för H(p) hänvisar Shannon till R C Tolman, Principles of Statistical 

Mechanics (Oxford 1938). 

Reaktionerna på Shannons uppsats “A mathematical theory of communication” (1948) 

var så pass entusiastiska att när uppsatsen omtrycktes 1949 i en bok tillsammans med Warren 

Weaver fick boken titeln The Mathematical Theory of Communication. - “Few other works of 

this century have had a greater impact on science and engineering. By this landmark paper and 

his several subsequent papers on information theory he has altered most profoundly all aspects of 

communication theory and practice”, bedömde prof Irving Reed vid ett symposium 1981. 

Shannon har hänvisat till omständigheten att han studerade både elteknik och matematik. -”It just 

happened that no one else was familiar with both fields at the same time.” Det vi kallar applied 

mathematics skyddes vid många matematikfakulteter ännu vid denna tid. 

1940 erhöll han graderna S.M. i electrical engineering och Ph.D. matematik. Matematikavhandlingen 

hette “An algebra for theoretical genetics”, ett försök att tillämpa Booles algebra 

inom genetiken. Shannon studerade först vid Michigan University och flyttade därifrån som 

forskningsassistent (1936) till MIT vid department of electrical engineering. Han blev specialist 

på Differential Analyzer, ett mekaniskt räknemonster konstruerats av Vannevar Bush som kunde 

lösa differentialekvationer upp till sjätte ordningen. “Programmeringen” gick ut på att maskinen 

plockades isär och sattes ihop på nytt. Vid arbetandet med reläer och kopplingar kom Shannon på 

tanken att använda Booles algebra för att analysera deras funktion. Dessa idéer utvecklade han i 

sin prisbelönade Master thesis i elektroteknik, “A symbolic analysis of relay and switching 

circuits” (1938). Shannon verkade också ett år (1940) vid the Institute of Advanced Study, 

Princeton, under Herman Weyls ledning. Det framgår inte av de korta biografiska skisserna 

huruvida de hade något utbyte av varandra. Shannon beskrivs som en “tinkerer” med hemmet 

fullt av mekaniska leksaker och musikinstrument (bl a fem stycken pianon). Han har också varit 

pionjär inom området Arificial Intelligence. Känd är t ex hans mekaniska labyrintlösande råtta 

Theseus. 

54

För biografiskt material om Shannon se uppsatsen av N J A Sloane, A D Wyner på 

www.research.att.com/~njas/doc/shannonbio.html. Sloane och Wyner har redigerat Shannons 

samlade verk. Shannon finns också intervjuad av J Hogan i Scientific American, Jan. 1990. 

[15] Hartley förslog att kvantifiera information via logaritmen med 10 som bas istället för 2; d v 

s, i dits istället för i bits. Begreppet “bit” tillskrivs J W Tukey. - “If the number if messages in the 

set is finite then this number or any monotonic function of this number can be regarded as a 

measure of the information produced when one message is chosen from the set all choices 

beingequally likely. As was pointed out by Hartley the most natural choice is the logarithmic 

function.” (Shannon, 1948). J W Tukey är också en av pionjärerna inom signalbehandling och 

informationsteori. Hans samlade verk har utgetts av CRC Press. (The Collected Works of John W 

Tukey. 1984 - , 8 vols., J A Billinger, ed.) 

[16] Med hjälp av Chebysevs olikhet (som följer direkt från variansens definition) 

[17] Vårt resonemang visar att C är en övre gräns för felfri kommunikation; omvänt, sänder man 

med högre hastighet kommer sannolikheten för fel att öka. Många i branchen överraskades av 

Shannons resultat om att man kunde uppnå felfri kommunikation upp till viss gräns C (med 

sannolikhet godtyckligt nära 1). Den allmänna föreställningen lär ha varit att felandelen ökar 

jämnt med ökande sändhastighet. --- “It may seem surprising that we should define a definite 

capacity C for a noisy channel since we can never send certain information in such a case. It is 

clear, however, that by sending the information in a redundant form the probability of errors can 

be reduced.” --- “It is possible to send through the channel with as small a frequency of errors or 

equivocation as desired by proper encoding.” (Shannon, 1949). Antag att vi accepterar en felnivå 

med sannolikheten p att ett godtyckligt tecken (bit) i ett slutligt avkodat meddelande är fel och att 

vi sänder med en hastighet av R bitar/s. Som tidigare kan vi resonera att den effektiva 

informationsöverföringen är R(1 - H(p, 1-p)) som i bästa fall är lika med kanalens kapacitet C. 

Alltså, sambandet mellan felnivå p och sändningshastigheten R blir 

(1) 

Prob X A H2 

A 2 

visas vidare att sannolikheten för feltolkning är mindre än Perr ifall vi väljer 

n 1 

Perr 

R 

p 1 p 

0.5 p 

C 

1 H 

 

p,1 p 

 

Omvänt, sänder vi med en hastighet R > C kan vi använda ekv (1) för bestämma en undre gräns 

för felnivån p. 

55

[18] Såsom Shannon påpekar är definitionen inte invariant visavi byten av koordinatsystem. 

[19] Shannon (1948) nämner att motsvarande formler också uppställts av N Wiener, W G Tuller 

och H Sullivan med varierande tolkningar. Kapacitetsformeln förklarar varför modemer kan 

arbeta med upp till 33.6 kbps (kilobits per second) kapacitet trots att rösttelefonlinjen endast har 

3000 Hz:s bandvidd (området täcker omkr 300 - 3300 Hz). 33.6 kbps är mycket nära den 

maximala kapaciteten för rösttelefonlinjer som lär vara kring 35 kbps och som motsvarar enligt 

kapacitetsformeln ett S/N förhållande på minst 3250 eller 10 log (3250) = 35 dB. (Decibelförhållandet 

mellan signal-effekter är definierat som 10 log(I2/I1).) 56 kbps modem kommer 

över 35 kpbs bara i mottagarriktningen (från användaren når kapaciteten högst 33.6 kbps) genom 

att sändaren kan kringå endel bruskällor. Trettio års utveckling ligger bakom dagens effektiva 

och billiga modem. Det är uppenbart från kapacitetsformeln att det är enklare att förbättra 

kapaciteten genom att öka bandvidden B än S/N förhållandet. Det går att sända högfrekventa 

signaler jämsides med vanliga röstsignaler längs telefonlinjerna. Detta har realiserats i ADSL 

(asymmetric digital subscriber line) som enligt G.lite standarden tillåter en mottagningshastighet 

på högst 1.5 Mbps och sändning med 0.5 Mbps. (Telefonledningen till konsumenten från 

DSL-relästationen får vara högst omkr 5.5 km lång.) 

[20] Shannons bevis hittas i C Shannon, “Communication in the presence of noise”, Proceedings 

of the Institute of Radio Engineers, Vol. 37, No. 1, Jan. 1949: 10 - 21. 

[21] T ex för en kanal med vitt brus föreslår Shannon en kodning där man samplar ett antal 

brussignaler S1, ..., Sn som används för de/kodningen (Sk ak). Mottagaren jämför signalen 

med Sk och om skillnaden är tillräckligt liten tolkar signalen som ak, e t c. 

[22] Gaussisk signal erhålls som lösning till problemet att maximera entropin hos källan ifall 

man påsätter ytterligare villkor. Nämligen, vi begränsar fördelningarna fX till sådana med 

konstant varians. Eftersom variansen är proportionell till effekten blir det en 

variation/maximering av entropin för signaler med given genomsnittseffekt. Variationsekvationen 

blir (vi använder naturlig logaritm här - skillnaden utgör bara en konstant faktor) 

0 @ fX(x) ln 

 

ln 

 

1 

fX(x) dx 1 fX(x)dx 2 x2fX(x)dx 

 

 

1 

fX(x) 1 1 2x 2 

@fX(x) dx 

 

med två Lagrange-faktorer 1 och 2. Lösningen till ekvationen är just den gaussiska signalen. 

Samma resonemang leder till Maxwell-fördelningen i statistisk mekanik där variabeln x ersätts 

av impulsvektorn och variansen är proportionell till kinetisk energi. Shannon granskade också 

problemet ifall man antar att fördelningen är begränsad till x 0 samt har ett fixerat medelvärde. 

Lösningen är en exponentiell fördelning, a exp(ax). 

56

[23] Musikskalorna har varit föremål för ibland hetsiga vetenskapliga och filosofiska 

diskussioner alltsedan Phytagoras’ och Aristoteles’ dagar. Berömt är bl a grälet mellan musici 

Gioseffo Zarlino och Vincenzo Galilei (far till den ryktbare astronomen). Zarlino höll på den 

jämna stämningen medan Galilei var en banbrytare för den tempererade stämningen (som alltså 

inte uppfanns av J S Bach ...). (Se t ex Jamie James, The Music of The Spheres. Copernicus 

1995.) Pianon stäms enligt den tempererade stämningen: oktaven som motsvarar intervallet 2:1 

indelas i 12 halvtoner där frekvensen för efterföljande halvtoner förhåller sig som 2 1/12 :1. 

[24] För att i praktiken konstruera ett tonigenkänningssystem kan man nyttja Neurala Nätverk 

som tränas för spektrat för de olika tonerna. 

[25] För analysen har vi konstruerat bl a nedanstående Matlab-funktioner, soundana.m och 

spgram0.m (sparas i Matlab-arkivet under dessa namn via exv “Notepad”). Ett kraftfullt 

alternativ till Matlab är f ö freeware-programmet Scilab som är besläktat med Matlab. 

function[Fs] = soundana(file, range) 

% SOUNDANA(file, range). Displays spectrum of sound (wav) file. 

% range = integer - factor that divides the frequency 

% range for the plotting. Typically range = 2 in order to 

% get rid of the redundant symmetrical part of the spectrum. 

% Function displays spectrum and the wave graph and the 

% frequencies for the first maximums of the spectrum (among 

% which one will find the peak values). 

% FB 6.12.1999 

[y, Fs] = wavread(file); 

K = length(y); 

PT = K/Fs; 

i = nextpow2(K)-1; 

N = 2^i; 

T = PT*N/K; 

x = fft(y, N); 

f = 1/T; 

if(range >= 1) S = floor(N/range); else S = N/2; end; 

z(1:S) = x(1:S); 

u = linspace(0, (S-1)*f, S); 

clf; 

semilogy(u, abs(z).^2); 

s = ['Spectrum for ' file]; 

s = [s ' Fs = ' num2str(Fs)]; 

s = [s ' Time = ']; 

s = [s num2str(PT)]; 

title(s); 

xlabel('Frequency (Hz)'); 

figure; 

t = linspace(0,PT,K); 

plot(t, y); 

s = ['Wave graph of ' file]; 

title(s); 

xlabel('Time (sec)'); 

ylabel('Amplitude'); 

[v, I] = sort(-abs(z)); 

freq = u(I); 

57

Fs; 

for i=1:10; freq(i), end; 

------- 

function[Fs] = spgram0(file, L, R, F, G) 

% SPGRAM0(file, L, R, F) - Displays spectrogram of sound (wav) file. 

% L = number of points (power of 2) of the window; eg L = 1024. 

% R = integer 8) 

% N - 1 = number of dt-time intervals 

t = linspace(0, (K-1)/Fs, K); 

tmid = linspace(dt/2, (N - 0.5)*dt, N-1); 

for i = 1:N; ysplit(1:L,i) = y(1+(i-1)*L:i*L);end; 

spec = fft(ysplit,L); 

[rs, cl] = size(spec); 

rss = floor(rs/2); 

spec = spec(1:rss,:); 

spec = abs(spec); 

maximum = max(max(spec)), 

a = linspace(1,0,128); 

map = [a',a',a']; 

%sets grayscale color 

colormap(map); 

X = linspace(0, (cl-1)*dt, cl); 

Y = linspace(F*f, (R+F-1)*f, R); 

size(spec), 

spec = spec((1+F):(R+F), :); 

if(G == 0) pcolor(X,Y,spec); else surfl(X,Y,spec); end; 

shading flat; 

s =['Spectrogram for ' file]; 

s = [s ' Fs = ' num2str(Fs)]; 

s = [s ' L = ' num2str(L)]; 

title(s); 

xlabel('Time (sec)'); 

ylabel('Frequency (Hz)'); 

elseif (L

Spektrat för a.wav har exv producerats med kommandot soundana(‘C:\shit\a.wav’, 2). 

[26] Resonansfrekvensen kring 115 Hz stämmer tämligen bra överens med Helmholtzs 

resonatormodell (se exv Bradbury (1968) s. 161 ) som för resonansfrekvensen f ger 

f c 

2 

A 

s V 

där A = flaskhalsens inre tvärsnittsarea, s = flaskhalsens längd, V = flaskans volym, c = 

ljudhastigheten (ca 340 m/s). För vinflaskan har vi A .000255 m 2 , s .08 m, V .00075 m 3 

vilka insatt i formeln ger f = 111 Hz. (Omvänt ger denna mätning ett enkelt sätt att bestämma 

ljudhastigheten.) Maximum vid ca 50 Hz är en märklig “artefakt”. Vid en upprepad blåsning var 

den försvunnen medan maximum vid 115 Hz kvarstod. Detta erinrar om problemet som brukar 

orsakas av nätströmmens 50 Hz signal som kan t ex spöka i EMG-tester (elektromyografi). 

(“Tomgångstest” visar att datorn själv är en svag ljudkälla med maximum kring 50 Hz, samt en 

fläkt som är av och på.) 

59

Litteratur 

1. Allis W P, Herlin M A, Thermodynamics and Statistical Mechanics. McGaw-Hill 1952. 

2. Bergh J, Ekstedt F, Lindberg M, Wavelets. Studentlitteratur 1999. 

3. Borg E, Counter S A, “The middle-ear muscles”. Scientific American, Aug. 1989. 

4. Bradbury T C, Theoretical Mechanics. Wiley 1968. 

5. Brislawn C M, “Fingerprints go digital”. Notices of the AMS, vol. 42, no. 1, 1995. 

6. Cheng C, Wavelet Signal Processing of Digital Audio with Application in Electro-Aucustic 

Music. M.A. thesis, Darthmouth College, 1996. Online 

www.eecs.umich.edu/~coreyc/thesis/thesis_html/ . 

7. Cipra B, “Engineers look at Kalman filtering for guidance”. SIAM News, Vol. 26, N0. 5, 

August 1993. 

8. Doebelin E O, Measurement Systems. Application and Design. McGraw-Hill 1990. 

9. Essenreiter R, Geophysical Deconvolution and Inversion with Neural Networks. 

Diplomarbeit, Geophysikalisches Institut, Universität Karlsruhe, 1996. Online 

http://www-gpi.physik.uni-karlsruhe.de/pub/robert/Diplom/Diplom.html . 

10. Gabel R A, Roberts R A, Signals and Linear Systems, 3d ed., Wiley 1987. 

11. Gardiner W, Quantum Noise. Springer 1991. 

12. Gasquet C, Wittowski P, Analyse de Fourier et Applications. Filtrage. Calcul Numerique. 

Ondelettes. Masson 1990. 

13. Glad T, Ljung L, Reglerteknik. Grundläggande Teori. Studentlitteratur 1989. 

14. Golomb S W, “Mathematics forty years after Sputnik”. The American Scholar, Spring 1998. 

15. Halme S J, Televiestintäjärjestelmät, Otatieto 1996. 

16. Hastings H M, Sugihara G, Fractals - A User’s Guide for the Natural Sciences. Oxford UP 

1993. 

17. Haykin S, Communication Systems. Wiley 1994. 

18. Jerrison D, Stroock D, “Norbert Wiener”. Notices of the AMS, vol. 42, no. 4, 1995. 

19. Keener J, Sneyd J, Mathematical Physiology. Springer 1998. 

20. Khinchin A I, Mathematical Foundations of Information Theory. Dover 1957. 

21. Knapp A W, “Group representations and harmonic analysis from Euler to Langlands, part 1”. 

Notices of the AMS, vol. 43, no. 4, 1996. 

22. Koornwinder T H (ed.), Wavelets: An Elementary Treatment of Theory and Applications. 

World Scientific 1993, 1995. 

23. Lindell I, Sähkötekniikan Historia. Otatieto 1994. 

24. Ma S-K, Statistical Mechanics. World Scientific 1985. 

25. MacKay D, “A short course in information theory”. Cavendish Laboratory, Cambridge 1995. 

Online version (ps) på ftp://wol.ra.phy.cam.ac.uk/pub/~mackay/info-theory, eller gå via 

www.math.washington.edu/~hillman/Entropy/infcode.html där det finns intressanta 

länkar till material om informationsteori och kodning. 

26. Mandrekar V, “Mathematical work of Norbert Wiener”. Notices of the AMS, vol. 42, no. 6, 

1995. 

27. Oppenheim A V, Schafer R W, Discrete-Time Signal Processing. Prentice-Hall 1989. 

28. Ottoson D, Nervsystemets Fysiologi. Natur & Kultur 1970. 

29. Palm III W J, Modeling, Analysis and Controls of Dynamical Systems. Wiley 1983. 

30. Pierce J R, An Introduction to Information Theory. Dover 1980.

31. Press W H, et al., Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computation. Cambridge UP 

1992. (Hemsida med online version på www.nr.com.) 

32. Rao V B, Rao H V, C++ Neural Networks and Fuzzy Logic. MIS:Press 1995. 

33. Remoissenet M, Waves Called Solitons. Concepts and Experiments. 3d ed., Springer 1999. 

34. Råde L, Westergren B, Mathematics Handbook for Science and Engineering. 4th ed., 

Studentlitteratur 1998. 

35. Saichev A I, Woyczynski W A, Distributions in the Physical and Engineering Sciences. Vol. 

1. Birkhäuser 1997. 

36. Shannon C, “A mathematical theory of communication”. Bell Systems Technical Journal, 

Vol. 27, July, October 1948 (två delar). Online version (54 sidor ps-format) hitta(de)s via 

webadressen www.math.washington.edu/~hillman/Entropy/infcode.html . Pdf-version på 

http://bell-labs.com/cm/ms/what/shannonday/shannon1948.pdf. Uppsatsen omtrycktes i 

boken The Mathematical Theory of Communication (Illinois University Press 1949) som har 

medförfattaren Warren Weaver. 

37. Sihvola A, Lindell I, Sähkömagneettinen Kenttäteoria 2. Dynaamiset Kentät. Otatieto 1996. 

38. “Special Report: High-Speed Internet for the Home”. Scientific American, Oct. 1999. 

39. Togneri R, Information Theory and Coding. Lecture notes, The University of Western 

Australia. Online version 19.05.1999 (pdf) hitta(de)s på webadressen 

www.ee.uwa.edu.au/~roberto/units/itc314 . 

40. Walker J S, “Fourier analysis and wavelet analysis”. Notices of the AMS, vol. 44, no. 6, 1997. 

41. Walker J S, A Primer on WAVELETS and Their Scientific Applications. Chapman & Hall/ 

CRC 1999. 

42. Vetterli M, Kovalevic J, Wavelets and Subband Coding. Prentice Hall 1995. 

43. W.B(ialek), “Physicist’s view of the neural code”. Princeton Lectures in Biophysics - June 

‘92. (Kopia av föreläsningsutkast.) 

44. Young I T, Gerbrands J J, van Vliet L J, Image Processing Fundamentals. Online 

www.ph.tn.tudelft.nl/courses/FIP/noframes/fip.html .

Signaler - Saunalahti

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

Delete template?

Save as template ?