F6

F6
LE1460 Analog elektronik
Måndag 2005-12-05 kl 13.15 – 17.00 i Omega
Allmänna tidsförlopp. Kapitel 4 Elkretsanalys.
Spolen
Laddningar i rörelse ger upphov till magnetfält. Detta gäller alltid.
Omvändningen är ej sann. Däremot kan förändringar i ett magnetfält skapa en
inducerad spänning. Med en lämplig utrustning skapas en ström. Utrustningen kallas
en generator.
En rak strömförande ledare omges alltså av ett fält. Då man lindar denna ledare till en
spole finns naturligtvis fältet kvar. Allt fält kommer att passera innuti spolen. Fältet
finns också utanför spolen.
Om man nu varierar strömmen genom ledaren, så kommer fältet att variera. Denna
förändring i fältet kommer att ge upphov till en spänning. Riktningen är sådan att den
motverkar sin uppkomst.
En konstant ström ger inte upphov till några förändringar.
För att få spänning över en resistans måste en ström flyta genom resistansen.
För att få spänning över en induktans måste strömmen som flyter genom induktansen
variera. Riktningar för ström och spänning är densamma. Se figur nedan.
R L
I→ i→
+ U _-
För resistansen gäller : U = R ⋅ I För spolen gäller
di
u = L ⋅
dt
+ u _-
...............................................................................................................................................................................................................
2005-12-05 H:\LE1460\F\F6.doc 1/12

Seriekoppling av resistanser.
Samma ström genom alla resistanser.
U = U + U + U
1
2
3
R ⋅ I = R1
⋅ I + R2
⋅ I + R3
⋅ I ger R = R1 + R2 + R3
För en spole gäller på motsvarande sätt.
Samma ström ger samma strömförändring.
U = U + U + U
1
2
3
di di di di
L ⋅ = L1
⋅ + L2
⋅ + L3
⋅ ger L = L1+L2+L3
dt dt dt dt
Parallellkoppling av resistanser
Samma spänning över alla resistanser
I = I + I + I
U
R
+
U
-
+
U
_
+
u
-
I→
1
1
2
2
3
+ U1 -
R1
U U U
= + +
ger
R R R
3
+ u1 -
L1
R1
I1
↓
R2
I2
↓
+ U2 -
R2
+ u2 -
L2
R3
I3
↓
1 1 1 1
= + +
R R R R
...............................................................................................................................................................................................................
2005-12-05 H:\LE1460\F\F6.doc 2/12
1
+ U3 -
R3
+ u3 -
L3
2
3

Motsvarande för en spole:
+
u
_
i = i + i + i
1
2
di di1
di2
di3
= + +
di di di di
3
u
L
u u u
= + +
L L L
Koppla ihop en resistans och en spole med en likspänningskälla.
U
i→
Vi får ekvationen
di
U= R ⋅ i + L ⋅
dt
Detta är en första ordningens diff.ekvation.
Lösningen är:
t
L1
i1
↓
L2
U −
τ
i(
t)
= ( 1−
e )
där τ = L/R
R
i2
↓
1
L3
i3
↓
2
...............................................................................................................................................................................................................
2005-12-05 H:\LE1460\F\F6.doc 3/12
3
1
L
=
1
L
1
1
+
L
2
1
+
L
3

I grafen nedan har jag valt att sätta R/L = 0.8 U/R = 1.
( )
x = 1 − e −.8t
> plot(1-exp(-0.8*t), t=0..8);
Ekvationen visar två saker.
A När spänningen slås till, så flyter ingen ström i kretsen. i(0) = 0.
Inget spänningsfall över resistansen. All spänning hamnar över spolen.
B Efter en lång tid så är e-delen lika med noll. Strömmen genom kretsen
är U/R. Inverkan av spolen har upphört.
En resistans har enheten ohm.
Minnesregel U = R*I U har enheten V och I har enheten A.
Då har R enheten V/A
En induktans har enheten Henry.
Minnseregel u = L di/dt.
Enheterna blir V = L* A/s
L har enheten Vs/A
Exponenten måste var enhetslös.
e
R
− ⋅t
L
R
⋅ t med enheter insatta
L
V
A ⋅ s = 1
Vs
A
...............................................................................................................................................................................................................
2005-12-05 H:\LE1460\F\F6.doc 4/12

L/R har alltså enheten sekund. L/R kallas tidskonstant och har fått beteckningen τ
Det är tidskonstanten som avgör hur fort grafen når sitt slutvärde.
Kondensatorn
Kondensatorn består i sitt enklaset utförande av två plattor med något isolerande
material mellan. När man laddar upp en kondensator får man positiva laddningar på
ena plattan, och exakt lika många negativa på andra plattan.
Symbolen avspeglar konstruktionen
Den mängd laddning som kan lagras är proportionell mot spänningen över
kondensatorn. Q = k U. Proportionalitetskonstanten betecknas med C och kallas
kapacitans. Alltså Q = CU
Kapacitansen är i sin tur proportionell mot plattans area, och omvänt proportionell
mot avståndet mellan plattorna.
A
C = ⋅ 0 ⋅
d
ε ε A betecknar area och d betecknar avståndet mellan plattorna.
( Från någon fysikkurs kanske Du minns att ε0 kallas dielektricitetskonstanten för
vaccum. μ0 är permeabiltitetskonstanten för vaccum. Sambandet mellan dessa är
1
ε 0 ⋅ μ 0 = 2
c
där c betecknar ljushastigheten.
De nummeriska värdena är μ 0
)
−7
= 4 ⋅ π ⋅10
Vs
ochε
0
Am
−12
= 8,
854 ⋅10
As
Vm
Parallellkoppling av kondensatorer.
U
Samma spänning över kondensatorerna.
Q = Q1 + Q2 +Q3 och Q = C*U leder till
C = C1 + C2 + C3
C1 C2 C3
...............................................................................................................................................................................................................
2005-12-05 H:\LE1460\F\F6.doc 5/12

Seriekoppling av kondensatorer.
Laddningarna i kondensatorerna lika. Det kan inte vara olika mängd laddningar på två
sammankopplade plattor. Totalspänningen är lika med summan av delspänningarna.
U = U1 + U2 + U3
Q Q Q
Q
U = + + och för alla tre tillsammans. = U
C C C
C
1
1 1 1 1
= + +
C C C C
1
U
2
2
3
3
Spänningsdelning med kondensatorer
+
U
-
C1
+ U1 -
C1
+ U1 -
C2
+ U2 -
C2
+ U2 -
C3
+ U3 -
Sök spänningen i punkten i förhållande till jord, uttryckt i U C1 och C2.
För att förtydliga vad som händer vid seriekoppling av kondensatorer ritar vi följande
bild.
+q -q +q -q
Hela seriekopplingen fungerar som en kondensator med laddningen q.
Vi har nu följande samband.
C1
⋅C2
Q = Ctot
⋅U
Q = C1
U1
Q = C2
U2
Ctot
=
C + C
...............................................................................................................................................................................................................
2005-12-05 H:\LE1460\F\F6.doc 6/12
1
Inom det streckade
området är totala
laddningen noll.
2

C1
⋅C2
Q = ⋅U
C + C 1 2
vilket ger:
Q
U1
=
C1
1 C1
⋅C2
U1
= ⋅ ⋅U
C C + C
1 1 2
C2
U1 =
C + C
⋅U
1
2
Inkopplingsförlopp
Koppla ihop en resistans och en kondensator med en likspänningskälla.
i →
Vi får ekvationen C u i R U + ⋅ =
uC får man ur relationen Q= C*U
i =
dQ
dt
Spänningen över kondensatorn kan nu tecknas
du
dt
C
U
1
+ ⋅u
R⋅
C
C
+ uR -
1
= U
R ⋅C
U −
τ
För spolen hade vi lösningen : i(
t)
= ( 1−
e )
R
du
= C ⋅
dt
τ
För kondensatorn får vi lösningen u ( t)
= U ( 1 − e )
Här kommer τ att ha ett annat värde τ = RC
För en RC- krets är tidskonstanten alltså RC och
för en RL-krets är tidskonstanten L/R
C
dΦ
I en spole är spänningen proportionellt mot , spännigen är ändlig, betyder att
dt
derivatan är ändlig. Men Φ = L*i. Strömmen måste också vara ändlig.
Strömmen är kontinuerlig.
+ uC -
I en kondensator är laddningen alltid kontinuerlig. Det innebär att spänningen över en
kondensator också är kontinuerlig.
...............................................................................................................................................................................................................
2005-12-05 H:\LE1460\F\F6.doc 7/12
t
t
−
C

Exempel
De här exemplen har en viss stil: Står inget annat så är kondensatorer oladdade från
början. ( En motsvarighet till mekanikens masslösa hjul och rep ). Brytaren ovan sluts
6
vid tiden noll. 1 u står för 1μ = 10 −
Vilka komponenter är inblandade i uppladdningen? Resistans R1 och kondensator C1.
Begynnelsevärdet är noll. Vad är slutvärdet? Borde bli 36 V.
Hur kommer man från 0 V till 36 V? Det borde vara något i stil med den streckade
kurvan.
Här har vi första ordningens diff-ekvationer. Vi har tidigare fått faktorn ( 1 e )
−
−
Där τ är tidskonstanten.
−6
Tidskonstanten för de inblandade komponenterna är R*C = 36*1μ = 36 ⋅ 1⋅10
enhet
blir sekunder.
uc = ( slutvärde – startvärde ) ( 1 e )
−
− + startvärde.
Slutvärde = 36 V
Startvärde =0 V
u
C
= 36 ⋅ ( 1 − e
− t
−6
36⋅10
)
t
τ
...............................................................................................................................................................................................................
2005-12-05 H:\LE1460\F\F6.doc 8/12
t
τ

Exempel
En omöjlig uppkoppling. Beräkna spänningen över kondensatorn som funktion av
tiden. Strömmen är 10 mA och kondensatorn har kapacitansen 5 μF.
Samband Q = C ⋅U
Q = i⋅
t
Här har vi en konstant ström som tillför laddningar till kondensatorn. Strömkällan
utför egentligen en omflyttning av laddningar mellan de två delarna av kondensatorn.
i
i ⋅ t = C ⋅U
U = ⋅ t Med insatta värden. U = 2000 t
C
Spänningen över kondensatorn når snabbt ett orealistiskt värde. För att få hög
kapacitans på en kondensator så är avståndet mellan plattorna litet. Man får ganska
snart ett överslag i kondensatorn.
Genomslagshållfastheten mäts i V/mm.
Luft c:a 3000 V/mm
Papper paraffinerat c:a 51 kV/mm
Avståndet mellan plattorna i en kondensator är mycket litet.
Maximal arbetsspänning är angiven för olika kondensatorer.
100V= / 63 V ~ Denna märkning betyder: Maximalt 100 V likspänning eller
maximalt 63 V växelspänning-
En del kondensatorer får enbart användas för likspänning. Då är beteckningen 100V =
En speciell typ av kondensatorer är elektrolytkondensatorer. Dessa har
spänningstålighet på exempelvis: 6,3 V= 10 V= 16 V= 25 V= osv.
Komponentpriset stiger med spänningståligheten. Kondensatortypen får enbart
användas för likspänning. Anslutningarna är betecknade med + och -. Man måste
koppla rätt pol till jord.
...............................................................................................................................................................................................................
2005-12-05 H:\LE1460\F\F6.doc 9/12

Exempel
Brytaren sluts vid tiden t=0. Beräkna hur späningen ändras över kondensatorn.
Innan tiden t=0 har brytaren varit öppen en lång tid.
Innan t = 0 så har kondensatorn uppladdats till 12 V. Ingen ström flyter i kretsen.
För kondensatorn gäller att startvärdet är +12 V.
När brytaren sluts så kommer kondensatorn att vara kopplad till en ekvivalent tvåpol.
Vid t =0 är spänningen över kondensatorn +12 V. Denna spänning kommer nu att
ändras så att den blir + 4V. Slutvärdet är + 4V.
Vilka komponenter är inblandade i förändeingen? Jo, C= 0.5 mF och R = 2 kΩ
Tidskonstanten blir τ = R C τ= 1 enheten är sekund.
uc = ( slutvärde – startvärde )
1 uc = ( 4 −12)
⋅(
1−
e ) + 12
uc = 4
+ 8 ⋅ e
−t
− t
( 1
e )
−
− + startvärde.
...............................................................................................................................................................................................................
2005-12-05 H:\LE1460\F\F6.doc 10/12
t
τ

t
−t
uc = 4 + 8 ⋅ e uc
0 4 +8*1 12
0,5 4 + 8* 0,6 8,9
2 4 + 8*0,14 5,1
4 4 + 8*0,02 4,1
> plot((4+8*exp(-t)),t=0..20);
>
>
Nu gör vi tvärtom. Brytaren har varit sluten en lång tid, och öppnas vid tiden t=0.
Startvärdet är nu 4V. Slutvärdet bör bli 12 V.
Vilka komponenter deltar i omladdnigen av kondensatorn?
C = 0,5 mF samt resistansen R1 = 6 kΩ
Tidskonstanten blir τ = R C τ= 3 enheten är sekund.
uc = ( slutvärde – startvärde )
− t
3 uc = ( 12 − 4)
⋅(
1−
e ) + 4
uc =
12 − 8 ⋅ e
−t
/ 3
( 1
e )
−
− + startvärde.
...............................................................................................................................................................................................................
2005-12-05 H:\LE1460\F\F6.doc 11/12
t
τ

plot((12-8*exp(-t/3)),t=0..20);
>
Lägg märke till skillnaden mellan dessa två grafer. En stor tidskonstant gör att det tar
längre tid att uppnå slutvärdet.
...............................................................................................................................................................................................................
2005-12-05 H:\LE1460\F\F6.doc 12/12