5 Blandad heltals linjär programmering

5 Blandad heltals linjär programmering
I många fall räcker det med reella variabler för att beskriva verkliga tekniska
problem. Det är t.ex. möjligt att välja en 2.8 mm tjock plåt för en reaktor med
volymen 4.5 m 3 . Ofta existerar det dock variabler som inte har någon verklig
fysikalisk betydelse om de beskrivs med reella variabler. Ett beslut att använda
1.8 personer för att installera 1.3 pumpar är svårt att realisera i praktiken.
Därmed har vi ett behov av att kunna använda variabler som begränsas till att
endast anta heltalsvärden.
Ett linjärt problem där några av variablerna begränsats till heltalsvariabler kan
skrivas i matrisform,
T T
min z = c1
x + c2
y
s.
t
Ax + By ≤ d
x ≥ 0
+
y ∈ Z
där reella variabler betecknats med x och heltalsvariabler med y. Problemet
som uppstår är då ett blandat heltals linjärt programmerings problem (Mixed
Integer Linear Programming, MILP). Heltalsvariabler är speciellt nyttiga då
man skall göra antingen-eller beslut. Exempel på sådana beslut är om en viss
apparat skall anskaffas för att göra en viss produkt. Besluten beskrivs då med
binära variabler som är heltalsvariabler begränsade till antingen 1 eller 0 där en
etta indikerar beslutet att skaffa apparaten medan noll anger att anskaffningen
inte bör göras.
5.1 Avrundning
Ett uppenbart sätt att erhålla heltalsvariabler är att avrunda heltalsvariablerna
efter att en LP lösning erhållits. Vi kan betrakta följande exempel av Danø,
1974.
max f = 3y1
+ 2y2
s.
t.
2y1
+ 3y2
≤ 14
2y1
+ y2
≤ 9
+
y1,
y2
∈ Z
Om problemet löses som ett LP problem, med t.ex. simplex metoden, erhålles
lösningen f=14.75 för y1=3.25 och y2=2.50. Genom avrundning kan följande
fyra kombinationer undersökas,

Optimering
2
y1 3 3 4 4
y2 2 3 2 3
Av dessa alternativ är det endast lösningen y1=3 och y2=2 som uppfyller
begränsningarna. Om vi betraktar problemet grafiskt ser vi att den optimala
lösningen är f=14 för y1=4 och y2=1 vilket är en lösning som inte kan uppnås
genom avrundning.
y 2
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 y1 f=10
I praktiken är heltalsvärden främst av intresse för små heltalsvärden t.ex. för
antingen-eller studier där variablerna begränsas till 0 eller 1. Heltalsvärden som
antar stora värden kan ofta approximeras som kontinuerliga variabler. Om
optimeringen inte resulterar i heltalsvärden försämrar inte avrunding upp eller
ner resultatet avsevärt, t.ex. antalet tändstickor i en tändsticksask. Ofta gör man
fel med större inverkan på resultatet redan i de approximationer man gör i
modelleringsskedet.
5.2 Skärande plan
Ett sätt att lösa MILP problem är att minska det möjliga området, genom att
introducera skärande plan. Efter att lämpliga skärande plan har adderats kan
lösningen erhållas som en hörnpunkt till det linjära problemet. För Danøs
exempel kan följande bivillkor adderas till problemet
y + y ≤ 5
y
1
1
≤ 4
y2
≤ 4
Om vi nu betraktar det möjliga området ser vi att alla hörnpunkter är
heltalslösningar och därmed kan problemet lösas med en LP metod och vi
erhåller en lösning som är en giltig heltalslösning.
2

y 2
5
4
3
2
1
y 2≤4
y 1≤4
y 1+y 2≤5
1 2 3 4 5 y1 Optimering
Det kan även noteras att samma resultat kan uppnås genom addition av ett enda
nytt skärande plan, y1+y2≤5. Frågan är då hur vi skall kunna få det minsta
antalet skärande plan som resulterar i en giltig optimal lösning.
Gomory föreslog 1958 en skärande plan algoritm (cutting plane) som
sekventiellt adderar begränsningar tills en optimal heltalslösning hittas.
Metoden som han föreslog kunde inte leva upp till de höga förväntningar man
hade ställt då metoden presenterades. Andra effektivare och mera komplicerade
metoder har presenterats av t.ex. Glover 1975 och Jeroslow 1990.
5.3 Branch and Bound
Branch and Bound (BB) är en effektiv metod för lösning av MILP problem.
Metoden föreslogs av Land och Doig 1960. Den var besvärlig att implementera
på dator då den kräver orimligt stort minnesutrymme. Dakin modifierade 1965
algoritmen så att den blev mera lämplig för datoranvändning. Funktionsprincipen
var dock den samma. BB baserar sig på tanken att om ett besvärligt
problem delas upp i mindre delar blir de nya mindre problemen lättare att lösa.
(Parallell: Brittiska imperiets - söndra och härska politik). BB algoritmen löser
en sekvens av relaxerade problem – för MILP fallet är det relaxerade problemet
ett LP problem. BB kan även användas vid lösning av MINLP problem.
BB startar med att lösa det heltals relaxerade problemet. (alla variabler
betraktas som reella variabler). Om denna lösnings heltalsvariabler antar
heltalsvärden, är detta lösningen till problemet. Om inte, är åtminstone en
heltalsvariabel t.ex. yi reell med värdet bj. Enligt Dakins metod delas bj upp i en
heltalsdel och en bråkdel enligt,
b j = N j + f j
där Nj är ett heltal och 0

Optimering
Man kan nu skapa två nya villkor
y j ≤ N j
y j ≥ N j + 1
Det är klart att ingetdera villkoret uppfylls med den funna lösningen. Genom
att addera dem turvis till det kontinuerliga problemet och lösa de bildade
problemen fås två nya lösningar (branching). Proceduren upprepas sedan för
de nya lösningarna tills alla heltalsvariabler antar heltalsvärden.
5.3.1 Exempel
Ett företag, IKEA, tillverkar bord och stolar. För tillverkning av ett bord
behövs en timmes arbetsinsats och 9 m² virke. På samma vis krävs för en stol 1
timme och 5 m² virke. För tillfället har vi 6 timmar och 45 m 2 virke till vårt
förfogande. Vinsten för ett bord är 8 € och för en stol 5 €. Maximera vinsten.
Vi betecknar y1=antalet bord och y2=antalet stolar och kan då formulera
problemet.
max f = 8y1
+ 5y2
s.
t.
4
y1
+ y2
≤ 6
9y1
+ 5y2
≤ 45
y ≥ 0
y∈
Z
Vi börjar med att lösa problemet som ett LP problem (vi antar att alla variabler
är reella) och får lösningen, f=41.25 vid hörnpunkten y1=3.75 och y2=2.25.
Problemet ses grafiskt i figuren nedan.
y 2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4
f
5
6 y1

Optimering
Lösningen f=41.25 är nu en övre gräns (eng. Upper bound) och vi vet att
heltalslösningen inte kan vara bättre än denna. Bägge variablerna har reella
värden och vi väljer nu den ena variabeln, t.ex. y1, och skapar två nya bivillkor
y1
≤ 3
y1
≥ 4
Om vi adderar dessa turvis till det ursprungliga problemet två nya
underproblem.
och
y 2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
max f = 8y1
+ 5y2
s.
t.
y1
+ y2
≤ 6
9y1
+ 5y2
≤ 45
y1
≥ 4
max f = 8y1
+ 5y2
s.
t.
y1
+ y2
≤ 6
9y1
+ 5y2
≤ 45
y1
≤ 3
LP-3
LP-2
1 2 3 4
f
5 6 y1 (LP-2)
(LP-3)
Det är uppenbart från figuren ovan att den ursprungliga lösningen y1=3.75 inte
längre kan fås för någotdera underproblemet. Vi ser även att vi inte har uteslutit
en enda möjlig heltalslösning. Dessutom har underproblemen inga
gemensamma lösningar.
5

Optimering
Vi väljer det ena problemet, LP-2, och löser det och får vinsten f=41.00 vid
y1=4.00 och y2=1.8. Sökningsproceduren kan nu illustreras med ett sökträd,
6
LP- 2
f=41
y =4
y =1 .8
1
2
y 1≥4
LP- 1
f=41.25
y =3 .75
y =2 .25
1
2
y 1≤3
LP- 3
Lösningen till LP-2 är inte ännu en möjlig lösning då y2 inte är ett heltal. Vi
adderar då åter två nya bivillkor till LP-2 problemet,
y2
≤ 1
y2
≥ 2
och vi får två nya underproblem LP-4 och LP-5,
och
max f = 8y1
+ 5y2
s.
t.
y1
+ y2
≤ 6
9y1
+ 5y2
≤ 45
y1
≥ 4
y2
≥ 2
max f = 8y1
+ 5y2
s.
t.
y1
+ y2
≤ 6
9y1
+ 5y2
≤ 45
y1
≥ 4
y2
≤ 1
(LP-4)
(LP-5)

y 2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
LP-5
1 2 3 4 5
6 y1 y=2
2
y=1
2
Optimering
Då vi löser LP-4 finns ingen möjlig lösning och därmed finns det inte heller
något sätt att följa denna gren vidare då man inte kan få ett omöjligt problem
möjligt genom addition av nya bivillkor.
y ´2≥2
LP- 4
No
Solution
LP- 2
f=41
y1=4
y =1 .8
2
y 1≥4
y 2≤1
LP- 5
LP- 1
f=41.25
y1=3
.7 5
y =2 .2 5
2
y 1≤3
LP- 3
Om vi löser underproblem LP-5 får vi f=40.56 då y1=4.44 och y2=1.0. Inte
heller denna lösning är en heltalslösning och vi konstruerar igen två nya
underproblem.
7

Optimering
och
8
y 2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
max f = 8y1
+ 5y2
s.
t.
y1
+ y2
≤ 6
9y1
+ 5y2
≤ 45
y1
≥ 4
y2
≤ 1
y1
≥ 5
max f = 8y1
+ 5y2
s.
t.
y1
+ y2
≤ 6
9y1
+ 5y2
≤ 45
y1
≥ 4
y2
≤ 1
y1
≤ 4
LP-7
y=4
1
y=5
1
LP-6
1 2 3 4 5
6 y1 (LP-6)
(LP-7)
f
Vid lösning av underproblem LP-7 får vi f=37.0 vid y1=4.0 och y2=1 och har
därmed uppnått vår första heltalslösning. Vi har även fått en undre gräns för
den slutliga lösningen som därmed kommer att finnas någonstans mellan 37
och 41.25 som är det högsta möjliga värde vi kan tänka oss uppnå och var
resultatet från LP-1. Sökträdet ser nu ut på följande sätt,

y ´2≥2
LP- 4
No
Solution
y ´1≥5
y 1≥4
LP- 2
f=41
y =4
y =1 .8
1
2
LP- 6
y 2≤1
LP- 5
f=40.56
y =4 .4 4
y =1
1
2
LP- 1
f=41.25
y =3 .7 5
y =2 .2 5
1
2
y 1≤4
LP- 7
f=37
y =4
y =1
1
2
y 1≤3
LP- 3
Optimering
Noderna som vi inte ännu beräknat är LP-6 och LP-3. LP-6 resulterar även i en
heltalslösning f=40.0 vid y1=5.0 och y2=0.0 vilket är ett bättre resultat än den
tidigare funna. Därmed har vi även fått en ny och bättre undre gräns och vi vet
då att lösningen kommer att finnas mellan 40 och 41.25.
LP-3 resulterar i f=39.0 för y1=3.0 och y2=3.0, vilket igen är en heltalslösning,
men inte lika god som den undre gränsen vi erhöll vid LP-6. Därmed har vi
undersökt alla underproblem (noder) i sökträdet och erhållit som resultat att
IKEA borde bygga fem bord och inga stolar. Det slutliga sökträdet ses i
följande figur.
9

Optimering
10
y ´2≥2
LP- 4
No
Solution
y ´1≥5
y 1≥4
LP- 2
f=41
y =4
y =1 .8
1
2
LP- 6
f=40
y =5
y =0
1
2
y 2≤1
LP- 5
f=40.56
y =4 .4 4
y =1
1
2
LP- 1
f=41.25
y =3 .7 5
y =2 .2 5
1
2
y 1≤4
LP- 7
f=37
y =4
y =1
1
2
y 1≤3
LP- 2
f=39
y =3
y =3
1
Ovanstående problem är ett exempel på ett heltals linjärt programmerings
problem (LIP) då endast heltalsvariabler ingår. Proceduren är likadan då endast
en del av variablerna bör anta heltalsvärden (MILP). Nya noder skapas
natuligtvis inte utgående från de reella variablerna. För ett enkelt exempel, som
det presenterade, verkar metoden klart överdimensionerad, men för problem
med ett stort antal heltals variabler är den en effektiv metod. En viktig
egenskap som inte framkommit i exemplet ovan är att undersökningen av en
gren kan avbrytas, förutom vid ickemöjliga lösningar och heltalslösningar,
även då funktionsvärdet blir sämre än den undre gränsen. Då en nod ger ett
funktionsvärde som är sämre än den bästa funna undre gränsen kan vi kapa av
denna gren och konstatera att det inte finns en lösning längre ned med ett bättre
funktionsvärde – funktionsvärdet kan aldrig bli bättre då nya begränsingar
adderas till. På detta sätt kan antalet noder som bör undersökas ofta reduceras
drastiskt.
2

5.3.2 Sökstrategi
Optimering
Sökträdet är inte unikt för ett givet problem då man närsomhelst kan välja
vilken heltalsvariabel yj som helst med ett reellt värde vid skapandet av nya
underproblem. Olika val resulterar i olika sökträd och därmed varierar även
lösningstiderna.
Sökstrategierna delas in i två huvudgrupper, depth-first och breadth-first. I
dept-first följs en gren ända tills en heltalslösning uppnåts medan i breadth-first
sökning alla noder på samma nivå beräknas förrän man går över till nästa nivå.
Ofta används depth-first strategin medan man på det sättet kan utnyttja simplex
tabellen från tidigare underproblem som startpunkter vid sökning och på det
viset undviker onödig minneslagring. En annan fördel med depth-first är att
man noterat att många lösningar mest sannolikt står att finna längre ned i
sökträdet. Därmed önskar man snabbt komma åt en heltalslösning och
samtidigt en undre gräns som gör det möjligt att kapa de återstående grenarna i
ett så tidigt skede som möjligt.
5.4 Heltalsvariabler i modellering
Några exempel på hur heltalsvariablerna kan utnyttjas i modellering av
problem ges som följande.
Val bland processenheter, då heltalsvariablerna begränsats till binära variabler,
Välj minst en enhet ∑ yi ≥ 1
i∈I
Välj en enhet ∑ yi = 1
i∈I
Välj högst en enhet ∑ yi ≤ 1
i∈I
Välj enhet i om enhet j väljs y j − yi
≤ 0
Välj enhet i då enhet j väljs y j − yi
= 0
Aktivering / deaktivering av kontinuerliga variabler
T.ex. om en pump inte valts måste volymströmmen genom denna ta
värdet noll. Detta kan skrivas som,
F L y ≤ F ≤ F U y
där F L och F U är undre och övre gränser för volymströmmen F genom
pumpen. För y=0, vilket betyder att ingen pump valts kommer flödet att
bli tvunget att anta värdet noll. Då y=1, gäller de normala gränserna för
flödet.
11

Optimering
Aktivering kan även användas vid approximering av en icke-linjär funktion
linjärt.
12
x L1
a +b x
1 1
x U1
x L2
a +b x
2 2
x U2
x L3
a +b x
Den ickelinjära funktionen, f(x), som ritats med tjockare linje i figuren
ovan kan approximeras med tre linjära funktiner. En binär variabel
introduceras för varje linjärisation som kan användas för att kontrollera
att endast en linjär funktion är aktiv i taget. Istället för att använda den
ickelinjära likhetsfunktionen i modellen kan den ersättas med följande
uppsättning uttryck.
f = z1
+ z2
+ z3
z1
= a1y1
+ b1x1
z2
= a2
y2
+ b2x2
z3
= a3y3
+ b3x3
y1
+ y2
+ y3
= 1
L1
U1
x y1
≤ x1
≤ x y1
L2
U 2
x y2
≤ x2
≤ x y2
L3
U 3
x y3
≤ x3
≤ x y3
där x Li och x Ui är de numeriska värdena vid gränserna till
giltighetsintervallen för varje linjärisation.
Det bör noteras att t.ex. konvexa kostnadsfunktioner inte förutsätter
användning av binära variabler, vilket kan ses i figuren nedan, där
samtliga linjärisationer är möjliga underestimatorer av funktionen och
därmed kan vara aktiva samtidigt.
3 3
x U3
f(x)
x

f(x)
Optimering
Då vi använder oss av binära variabler kan det uppstå situationer då vi önskar
använda produkterna y1y2 eller y1x1. Dessa kan skrivas om i linjär form med
följande transformatioer,
y1y2, där yi={0,1}
z ≥ y1
+ y2
−1
z ≤ y1
z ≤ y2
z används därmed istället för y1y2.
y1x1, där y1={0,1} och
L U
x ≤ x1
≤ x
z ≤
x +
1
z ≥ x −
1
z ≤ x
z ≥ x
U
L
y
y
( 1 − y1)
( 1 − y )
1
1
1
x
x
U
U
13

Optimering
5.5 Övningsuppgifter
1 Vi producerar två produkter, P1 och P2, med tre maskiner, M1, M2 och
M3.
P 1 måste bearbetas i M1 5 min/enhet P1
M2 3 min/enhet P1
M3 1 min/enhet P1
På motsvarande vis för P2
M1 1 min/enhet P2
M2 4 min/enhet P2
M3 3 min/enhet P2
P1 ger vinst 30 FIM/enhet och P2 ger vinst 20 FIM/enhet. Formulera
problemet!
2. Vi har två typers reaktorer och skall välja den kombination som minimerar
produktionskostnaderna av en viss produkt. Reaktor 1 omvandlar 95% av
råvaran x till produkt z och reaktor 2 på motsvarande vis 82%.
Vi önskar producera 10 enheter av produkten
Kostnaderna ges enligt,
Reaktor 1 7.5 + 7x
Reaktor 2 5.5 + 6x
Råvara 5x
5.6 Referenser
Gomory R.E., An Algorithm for Integer Solutions of Linear Programs, Bulletin
of the American Mathematical Society, Vol. 64, pp. 275-278, 1958
Jeroslow R.G. Two Mixed Integer Programming Formulations Arising in
Manufacturing Management, Discrete Applied Mathematics, Vol. 26. pp. 137-
157, 1990
Glover F., Polyhedral Annexation in Mixed Integer and Combinatorial
Programming, Mathematical Programming, Vol. 8, pp. 161-188, 1975
14

Optimering
6 Blandad heltals ickelinjär programmering
Metoder för lösning av ickelinjära problem med heltalsvariabler (Mixed integer
non-linear programming, MINLP) har utvecklats aktivt under de senaste
decennierna. Intresset för dessa metoder uppstår eftersom de flesta problemen
hör till denna kategori. De flesta metoderna för lösning av MINLP problem
baserar sig på sekventiell lösning av MILP och/eller NLP underproblem.
6.1 Branch and bound
Branch and bound tekniken för lösning av MILP problem kan även användas
för MINLP problem. Gupta och Ravindran introducerade metoden 1985. Den
största skillnade är att istället för lösning av det heltalsrelaxerade LP problemet
blir vi tvungna att lösa ett heltalsrelaxerat NLP problem. Fast Branch and
bound är en relativt effektiv metod uppstår det några problem då vi övergår till
lösning av MINLP problem. Ett är att NLP problem i allmänhet kräver mera
beräkningstid än LP problem och därmed kan den totala beräkningstiden bli
avsevärt längre. Ett annat problem uppstår då vi bestämmer undre gränser (vid
maximering). Om vi har ett icke-konvext problem finns det inga garantier för
att vi inte kan hitta en bättre lösning genom addition av nya bivillkor. Därmed
kan vi inte garantera globalt optimum utan att genomsöka hela sökträdet vilket,
inte är önskvärt eller ens möjligt om vi har ett större anatal variabler. Även om
vi genomsöker samtliga alternativ kan vi inte garantera globalt optimum ifall vi
inte kan garantera globalt optimum för underproblemen. Om det relaxerade
NLP problemet är konvext fungerar dock metoden och vi kan uppnå det
globala optimet.
6.2 Outer Approximation
Duran och Grossmann presenterad 1986 en algoritm där heltalsvariablerna är
binära variabler och de ickelinjära funktionerna är konvexa. Metoden kallas
Outer Approximation (OA) och problemet kan beskrivas med,
min c y f
T
+
s.
t.
g
( x)
x ∈ X
y ∈Y
+ By ≤ 0
=
=
( x)
{ x : x ∈ R,
A1x
≤ a1}
{ y : y ∈{
0,
1}
, A y ≤ a }
I OA löses en sekvens av NLP underproblem och MILP huvudproblem. MILP
huvudproblemet omfattar alla linjära begränsningar från det ursprungliga
MINLP problemet och linjärisationerna som erhålles vid lösning av NLP
underproblemen. NLP underproblemet söker optimala värden på de
kontinuerliga variablerna då de binära variablerna betraktas som konstanter och
lösningen som erhålles är en övre gräns för lösningen (minimering).
2
2
15

Optimering
Huvudproblemet väljer av de kvarvarande kombinationerna på de binära
variablerna den med det lägsta värdet på objektfunktionen. När detta lägsta
värde överskrider den övre gränsen avslutas algoritmen. Sekvensen illustreras i
följande figur,
16
MINLP
problem
NLP
underproblem
MILP
huvudproblem
Optimal lösning?
Ja
STOP
Nej
Nya binära
variabler
OA metoden är begränsad till linjära likhetsvillkor samt linjära och och olinjära
olikhetsvillkor. Denna algoritm har utvecklats vidare för att kunna hantera
olinjära likhetsvillkor av Kocis och Grossmann 1987. Viswanathan och
Grossmann utvecklade algoritmen vidare 1990 för att klara av
ickekonvexiteter. Global optimalitet kan inte garanteras för ickekonvexa
problem. Denna version är implementerad i DICOPT++ och ingår i GAMS
optimeringspaket.

6.3 Extended Cutting Plane
Optimering
Extended Cutting Plane metoden (Westerlund, Pettersson 1995) löser MINLP
problem with en linjär objekt funktion, linjära likhets- och olikhetsvillkor samt
olinjära olikhetsvillkor.
min
s.
t.
{ c x + c y}
Ax + By + d ≤ 0
Ex + Fy + h = 0
g
T x
( x,
y)
≤ 0
T y
xmin
≤ x ≤ xmax
ymin
≤ y ≤ ymax
(6.1)
Den iterativa procedure löser en sekvens av relaxerade MILP problem där de
ickelinjära begränsningarna approximeras med en uppsättning linjära
begränsningar. För att erhålla globalt optimum bör uppsättningen linjära villkor
vara valda så att inget av dem skär in i det möjliga området av det ursprungliga
problemet samt så att de är en god approximation av de olinjära villkoren nära
den optimala lösningen. För konvexa problem kan en sådan uppsättning enkelt
erhållas, medan för allmänna icke-konvexa problem kan detta inte ännu
garanteras.
Problemet som gavs ovan är, förutom de olinjära olikheterna, ett MILP
problem som kan lösas effektivt till globalt optimum. Vid den optimala
lösningen vet vi att vi kommer att ha antingen,
eller
( , ) 0
* *
x y =
g i (6.2)
( , ) 0
* *
x y ≤
gi (6.3)
där index i betecknar varje ickelinjärt bivillkor. Det approximativa problemet
kan då beskrivas med,
min
s.
t.
{ c x +
c y}
Ax + By + d ≤ 0
Ex + Fy + h = 0
l j
T x
( x,
y)
≤ 0
T y
xmin
≤ x ≤ xmax
ymin
≤ y ≤ ymax
:
j = 1,...,
m
17

Optimering
där lj(x,y) är en uppsättningn av m linjära begränsningar som erhållits med
Taylorserie expansion enligt,
18
k k ⎛ ∂g
⎞
k ⎛ ∂g
k
( x y)
g ( x y ) ( x x ) i ⎞
, = , + 1
⎜ ⎟ − + ⎜ ⎟ ( y − y )
k
li
i
⎝ ∂x
⎠ k k
x , y
Om funktionen är konvex vet vi att
( x,
y)
≤ g ( x,
y)
⎝ ∂y
⎠ k k
x , y
k
li i
stämmer för samtliga värden på x och y. Uppsättningen av linjäriserade
begränsningar erhålles iterativt då nya linjärisationer adderas till problemet för
de olinjäriteter som inte uppfyller 6.2 eller 6.3 vid varje MILP lösning.
Fast problem formuleringen (6.1) verkar begränsad, kan allmänna problem
skrivas i denna form. En ickelinjär objektsfunktion kan beskrivas som ett
bivillkor genom introduktion av en ny kontinuerlig variabel, xn+1.
min
s.
t
{ x }
n+
1
Ursprungliga
begränsingar
f
( x,
y)
x ≤ 0
− n+
1
Ickelinjära likhetsvillkor, h(x,y), kan skrivas om med två olikheter,
h
( x,
y)
− u ≤ 0
h(
x,
y)
− u ≤ 0
−
där u är antingen straffvariabler eller definierade noggrannhetskrav. Ett
problem med denna formulering är att åtminstone det ena villkoret kommer att
bli icke-konvext.
För att kunna hantera icke-konvexa problem har en metod som ersätter
linjärisationer som skär in i det möjliga området utvecklats. En förbättrad
variant av ECP metoden, α-ECP av Westerlund mfl. 1998, kan garantera
globalt optimum för pseudo-konvexa problem.

6.4 Övningsuppgift
1. Lös följande problem från Floudas, 1995.
min−
0.
7 y + 5 1
s.
t.
( x − 0.
2)
( x − 0.
5)
− exp 1 − x2
≤ 0
x2
+ 1.
1y
≤ −1
x1
−1.
2y
≤ 0.
2
0.
2 ≤ x1
≤ 1
− 2.
22554 ≤ x2
≤ −1
y = 0,
1
med t ex en spreadsheet lösare.
2
+ 0.
8
Optimering
6.5 Referenser
Duran M.A. and I.E. Grossmann. An outer-approximation algorithm for a class
of mixed-integer nonlinear programs. Math. Program., 36, pp. 307-339,1986
Floudas C.A. Nonlinear and mixed-integer optimisation, fundamentals and
applications. Oxford University Press, New York, 1995.
Gupta O.K. amd A. Ravindran. Branch and bound experiments in convex
nonlinear integer programming. Management Science, 31, 12, pp. 1533-1546,
1985.
Kocis G.R. and I.E. Grossmann. Relaxation strategy for the structural
optimisation of process flow sheets. Ind. Engng. Chem. Res. 26, pp. 1869-
1880, 1987.
Westerlund T. and F. Pettersson. An extended cutting plane method for
solving convex MINLP problems. Comp. Chem. Engng, 19, pp.S131-S136.
1995.
Westerlund T., Skrifvars H. Harjunkoski I. and R. Pörn. An extended cutting
plane method for a class of non-convex MINPL problem. Comp. Chem. Engng.
22, 3,pp.357-365. 1998.
Viswanathan J. and I.E. Grossmann. A combined penalty function and outerapproximation
method for MINLP optimisation. Comp. Chem. Engng. 14, 7,
pp. 769-782, 1990.
19