Al'Khwarizmi (36D), Majid - Mälardalens högskola

Majid Gorbani
mgy01001@student.mdh.se
CT3620
Mälardalens Högskola
13 oktober, 2005
___________________________________________________________________________
1

SAMMANFATTNING
Under 700- och 800-talet nådde den islamiska kulturen sin höjdpunkt efter det arabiska
anfallet som täckte Persien, Kina och en del av södra Europa. De områden som intogs bildade
en ganska enhetlig blandkultur. De samlade in all kunskap länder kunde erbjuda. Från Indien
hämtades det mesta av siffersystemet. De ägnade sig åt naturvetenskap och blev framstående
inom astronomi, matematik, kemi och medicin.
Det rika kulturarvet gick förlorat i Västeuropa men levde kvar och utvecklades i den arabiska
världen. Det var från de här områdena som den västeuropeiska kulturen hämtade nya
impulser.
Det är inget tvivel om att Al-khwarizmi spelade en viktig roll inom modern matematik och
datavetenskap. Han är en viktig länk för matematikens utveckling och räknekonst som har
rötter från bland annat gamla Indien, Persien och Grekland. Han skrev många böcker och
introducerade de aritmetiska beräkningar. En av hans viktiga böcker var ”Al -Jabr Va almuqabala”
som vi känner för (Algebra). Han införde regler på hur man löser matematiska
problem som andragradsekvationer. Efter Al-Khwarizmis död ungefär 400 år senare,
utvecklade ”Omar Khayyam” hans arbete, Khayyam införde ytterligare nya ekvationer och
introducerade regler för att lösa tredjegradsekvationer.
___________________________________________________________________________
2

INNEHÅLLSFÖRTECKNING
1 Introduktion........................................................................................................................ 4
2 Vetenskap, Religion och Makt........................................................................................... 4
2.1 Bagdad........................................................................................................................ 4
2.2 Europa, en isolerat kontinent...................................................................................... 4
3 Al-Khwarizmi..................................................................................................................... 5
3.1 Aritmetisk................................................................................................................... 6
3.2 Al-Khwarizmis algebra .............................................................................................. 7
4 Omar Khayyam ..................................................................................................................8
5 SLUTSATS ........................................................................................................................ 9
6 REFERENSER................................................................................................................. 11
___________________________________________________________________________
3

1 Introduktion
År 622, då profeten Muhammed flydde från Mecka till Medina, startade ett nytt skede inom
arabvärden. Redan under tiden profeten levde, inleddes en snabb utvidgning från den arabiska
halvön och senare under hans närmaste efterträdare kaliferna Abu-Bakr och Umar, erövrades
nästan hela orienten. Araberna i början av 700-talet nådde ända ner till Spanien. Södra delen
av Persien efter många år motstånd besegrades mot den arabiska invasionen och i nordöstra
av Persien (Khwarizm) genomfördes nu betydligt mer brutalt och till slut det persiska
imperiet föll. År 715 möttes den arabiska och Kinesiska trupper vid slaget i Talas (nu
Uzbekistan), det var där slutligen sattes stopp på den arabiska expansionen.
Samtidigt ledde spänningarna inom Centralasien och nordöstra Persien till ett uppror mot
araberna, som slutade med ett blodbad och massaker. De få efterlevande flydde så långt bort
de kunde. Till slut en ny arabisk ätt kom till makten ”Abbasiderna” i staden Bagdad. Det var
där allt vetenskap kom att ha sitt blomstrande tider som blev en mötesplats för olika
befolkning och dess kultur och kunskap, de var bland annat araber, syrier, perser, och indier
[Johansson04]
2 Vetenskap, Religion och Makt
2.1 Bagdad
Staden Bagdad, inte långt från det forna persiska centrat Ctesiphon (uttalas Tisfon),
grundlades år 762, och kalifen (ledare) al-Mansur förlade huvudstaden dit. Detta innebar att
centrum för det arabiska väldet nu låg i det forna persiska området. Även makteliten hade
starka persiska band. Abbasidernas släkt kom från Iran. Därefter blev det officiella språket
arabiska och det var till detta språk (och inledningsvis också till syriska) som
översättningarna av de grekiska och indiska verken kom att uträttas.
Att använda termen ”arabiska matematik” för den matematiska vetenskapen behöver inte
betyda att författarna var araber, framför allt under senare perioden var många av de var bland
annat från Persien och några arbeten skrevs också på persiska [Johansson04].
Den snabba expansionen av imperiet var avslutad och den nya härskande ätten hade stor
behov av nya kunskaper inom alla områden. De vetenskapliga områdena var främst inom
medicin, alkemi, astrologi och matematik.
2.2 Europa, en isolerat kontinent
Efter när Romariket föll med undantag av några få storstadscentra, i ett barbari som man
kunde tro att 1200 års romerskt styre skulle ha ”civiliserat bort” för alltid. Under kyrkans
ledning hamnade europierna i en primitiv fundamentalism med återföljande intolerans och
fientlighet mot sekulariserat vetande. Bibeln auktoritet och den absoluta tilltron till ett fåtal
favoriserade ”hedningar” som Aristoteles förkvävde inte bara all ny kunskap som tycktes
strida mot den uppenbarade sanningen utan också själva forskarandan, människornas
intellektuella nyfikenhet [Johansson04].
___________________________________________________________________________
4

Men däremot i arabvärden med sitt hela utsträckta välde inrättades bibliotek, observatorier
och forskningsinstitutioner. Med utgångspunkt i Koranens ord: ”Han har skapat himmel och
jord för att uppenbara sin sanning” [McLeish91] föresatte sig de arabiska vetenskapsmännen
att registrera allt vetande som människorna hade samlat och själva utveckla det vidare. De
gjorde upp omfattande program för publicering av sina egna vetenskapliga och matematiska
verk och för översättning av skrifter från persika, kinesiska och grekiska och andra språk.
3 Al-Khwarizmi
Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi (780 - 850), persisk matematiker och Astrolog, han var
ursprungligen från Khwarizm (nordöstra Persien). Den latinska stavningen av hans namn
varierar: Al-Khwarazmi, Al-Khwarizmi, Al-Khowarizmi, Al-Chorezmi. [wiki01]
Under kalifen al-Mamuns herravälde var han bosatt i staden Bagdad. Det var där han skrev
sina böcker och utförde sina astronomiska upptäckter. [wiki01]
Det finns inte så mycket skriven om Al-Khwarizmis liv, han är mest känd via de verk som
finns kvar från honom. Bland dessa verk kan man bland annat se två aritmetiska arbeten, ett
berömt verk om algebra och ett trigonometriskt arbete. I västvärden är han mest för att vara
grundare till "algoritm", benämningen algoritm kommer från hans namn Al-Khwarizmi.
Algoritm kan definieras som en systematisk procedur som beskriver hur man genom ett
begränsat antal steg utför en beräkning eller löser ett problem. Algoritmen tillämpas främst
inom matematik och datavetenskap. [wiki02]
Al-Khwarizmis insatser fick utomordentligt stor betydelse för matematikens utveckling. Hans
bok om aritmetik introducerade exempelvis de arabiska siffror i Europa och inledde en
process som slutade med att de nio arabiska siffrorna och tecknet för noll blev ett utvecklade
ämnet.
Hans verk omfattar bland annat två aritmetiska arbeten (varav ett finns bevarat i latinska
översättningar), ett berömt verk om algebra och ett trigonometriskt arbete. [McLeish91]
För att nämna några böcker som han har författat:
• Hesabolhend: som förklarar det indiska beräkningssystemet, översattes av Edgar
Bath för första gången till latin, översättningen av denna skrift heter Algorithmi de
Numero Indorium. Sedan översatte Rosen denna bok från latin till engelska, år 1831.
Den engelska versionen bevaras idag i Oxfords bibliotek, det arabiska originalet är
dock försvunnet.
• Al -Jabr Va al-muqabala: En annan bok, som västerländerna känner via dess
översättning till latin ”algebra”, är "al Jabr va moghabelah". Till skillnad från
"Hesabolhend" är originalet till "al Jabr va moghabeleh" inte förkommet.
• Zidj: är historiens äldsta arabiska bok om astronomi som är bevarad till sin helhet, de
astronomiska tabellerna i denna bok är till stor del påverkad av Batlamis astronomiska
tabeller.
• Sorat-ol-arz: boken om Aritmetiskt beräkningar.
___________________________________________________________________________
5

3.1 Aritmetisk
Aritmetik är en gren inom matematiken som innefattar elementära egenskaper hos speciella
aritmetiska operationer på tal. De traditionella operatorerna är addition, division,
multiplikation, och subtraktion; även om mera avancerade operatorer, såsom exponenter och
kvadratrötter. [wiki03]
Det finns två manuskripten om aritmetisk som brukar kallas ”Dixit algorizmi” som betyder på
latinsk ”algorizmi har sagt”, ena av verket är bevarat i Cambridge och den andra som nyligen
påträffats i New York. Både är utgivna och finns i översättning från latinskt till tyska
(Folkerts & Kunitzsch 1997) som är troligen är kopierats under 1200 talet från en nu okänd
1100-talsöversättning. Det arabiska verket finns inte kvar. Dixit algoritm behandlar det
decimala positionssystemet. I New York manuskriptet finns alla siffror utskrivna.
[Johansson04]
I Cambridge manuskriptet förekommer de indiska siffrorna bara mycket sporadiskt 1, 2, 3, 5
och 0. I New York-manuskriptet finns däremot alla siffror utskrivna. Vi kan se ett exempel av
Al-Khwarizmis manuskriptet på bilden nedan:
(Övers. efter Folkets & Kunitzsch 1997) [Johansson04]
Al-khwarizmi har sagt: Låt oss lovprisa Gud, vår Herre och vårt bistånd,
[---]
Att han leder oss på den rätta vägen och på sanningens väg och att han hjälper
oss i vår goda avsikt i det som vi har beslutat framlägga och förklara om
indiernas räknesätt med ix skrivtecken, genom vilka de på grund av sin
enkelhet och korthet framställa samtliga tal, på det att detta arbete må göra det
lättare för den som bemödar si om aritmetiken, det vill säga om såväl mycket
stora som mycket små tal och allt det som uppträder bland dess vid
multiplikation och division, men också om sammanräkning och fråndragning
et cetera.
Sedan presteras siffrorna:
Det gjorda ix skrivtecken, vars former är dessa: 9 [8 7 6 5 4 3 2] 1.
Bild 1: Ett exempel på hur Al-Khwarizmi skrev sina verk
Manuskriptet i helhet är delad i olika kapitel som bland annat behandlar:
• Utvidgning och för minskning (Capitulum augmentationis)
• Hur man bör fördubbla eller halvera ett tal
• Multiplikation (Capitulum in Multiplicatione)
• Division (Capitulum division)
• Bråk (fractiones)
___________________________________________________________________________
6

3.2 Al-Khwarizmis algebra
Al-Khwarizmis berömda algebra under 800-talet kom att få en enorm genomslagskraft i den
arabiska matematiken. Hans andra bok hette ”Kitab al-mukhatasar fi alhisab al-jabr va almuqabala”
(Kort Bok om Beräkning med Återställande och Reduktion). Denna bok finns idag
kvar i några arabiska och persiska handskrifter (en från 1342 finns i Oxford) samt i
handskrifter som går tillbaka på latinska översättningar av Robert av Chester (1145) eller av
(troligen) Gerad av Cermona (mitten av 1100-talet)[Johansson04]. Det är i detta verk för
första gången möter man termen algebra, som ungefär betyder att ”återställa” termerna i en
ekvation. Redan ganska tidigt har termen gradvis fått den generella innebörd som den har
idag. [Johansson04]
Boken inleds med ett avsnitt som behandlar lösning av ekvationer. Det är här vi finner det
algebraiska innehållet. Här introduceras de grundläggande termerna, som sedan återkommer i
alla följande algebraiska verk. Därefter följer lösningsregler för sex typer av ekvationer som
jag ska visa lite längre ner i rapporten. Det största avsnitt i hela arbetet som behandlar
problem i anslutning som till exempel uppdelningen av arvtagarna bland släktet efter barnens
kön och ålder enligt den islamiska regeln! Andra användningsområde var exempelvis så som
avtal, friköpta slavar med mera, allt som sagt enligt den tidens arabiska regler.
Att använda termen algebra ”al-jabr”, menade Al-Khwarizmi att återställa eller komplettera
ekvationernas både sidor, så att negativa termer ”återställs”. Se exempel nedan:
X^2 – 7 = 3 X^2 + 4X = 10
Termen al-mugqabala används för en slags förenkling eller reduktion av en ekvation som
innebär att en term som finns med i båda sidor av en ekvation kan elimineras, se i exemplet
nedan: [Johansson04]
X^2 + 7X= 3X + 5 X^2 + 4X = 5
Och när jag betraktade vad människorna önskar av räknekonsten, fann jag att
det alltid är ett tal. Och jag fann att varje tal är uppbyggt av enheten och att
enheten ingår i alla tal.
[---]
Och jag fann att de tal som man behöver i beräkning med återställande och
reduktion är av tre slag. De är RÖTTER och KVADRATER och ENKLA
TAL inte relaterad till ROT och inte KVADRAT. Och ROT är det ting som
ska multipliceras med sig själv, och består av enheten eller av det som är över
Den av talen eller det som är under den av bråken. Och KVADRATEN är allt
det som förenas av ROTEN multiplicerad med sig själv. Och det ENKLA
TALET är allt det som kan uttalas av tal utan referens till ROT eller
KVADRAT.
Bild 2: Ett exempel på hur Al-Khwarizmi skrev sina verk
Med bråk i texten ovan menade Al-Khwarizmi att det finns tal som är mindre än 1 som var ett
nytt begrepp. Rot är den ”obekanta” tal i ekvationen som senare i Europa betecknades som x.
___________________________________________________________________________
7

Al-khwarizmi med denna begreppsapparatur urskiljer sex huvudtyper av ekvationer och
formulerar för var och en av dem en Algoritm som ger lösningar för varje enskild
matematiska problem.
1. kvadrat är lika med rötter, ax^2 = bx
2. kvadrater är lika med tal, ax^2=c
3. rötter är lika med tal, bx = c
4. rötter och kvadrater är lika med tal, ax^2 + bx = c
5. kvadrater och tal är lika med rötter, ax^2 +c = bx
6. rötter och tal är lika med kvadrater, bx + c = ax^2
Regel nummer 1 är en förstagrads ekvation och nummer 6 är en andragradsekvation!
[McLeish91]
I allmänhet dessa både operationer, al-jabr och al-muqabala, var de första stegen i den
algoritm som al-khwarizmi utvecklade för lösningen i andragradsekvation.
Exemplet nedan visar en matta med okänd bredd som har längden 10 enheter, skärs av ett
stycke eller område med arean (21). Vi vill veta hur bred mattan är [se bild 3]. Alltså, den
obekanta storheten är bredden. Han kallade den för Roten.
Al-Khwarizmi säger: ”Vi har nu en andragradsekvation i en av de former för vilka vi har
utarbetat en lösningsmetod. Den är typen av 5: kvadrater (B*B) och tal (21) lika med rötter
(10B)” B^2+21=10B.
10
4 Omar Khayyam
21 kvadratenheter
B
B
Bild 3: en matta med okänd bredden
Problemet definieras som
följande:
B gånger B plus 21 är lika
med 10 gånger B
Omar Khayyam matematiker, poet, astronom föddes 1048 i staden Nishapur/Iran och dog i
samma stad året 1122. En stor del av sitt liv var han på resande fot, innan han fyllde 26,
arbetat han i observationerna i städer som Samarkand, Isfahan (Iran), Rei (Iran), Merv (Iran),
och andra centralasiatiska städer. Han utnämndes till hovens astronom hos sultanen Alp
___________________________________________________________________________
8

Arsalan och senare under återstoden av sitt liv stanna hemma i sin födelsestad och ägna sig åt
astronomi, matematik och poesi.
Khayyam skrev en bok om algebra som påminde mycket om Al-Khwarizmis arbete. Senare
skrev han en kommentar till Euklides och en avhandling om metoder för beräkning av
kvadratrötter och andra talrötter. [Johansson04]
Trots att al-khwarizmis bok om algebra redan var omkring 400 år gammal när Khayyam
började sitt arbete, hade man ännu inte dragit någon klar gräns mellan aritmetik och algebra.
Med andra ord båda var hjälpmedel för att finna värdena på obekanta tal genom at relatera
dem till bekanta tal. Omar Khayyam definierade formellt algebran som användningen av
ekvationer för att finna de obekanta talen med hjälp av fullständiga polynom. (Med polynom
menas ett matematiskt utrycks som innehåller bokstavsbeteckningar för variabler som kan ha
en eller flera potenser.) [Johansson04] Till skillnad från grekerna accepterade han även de
”irrationella” talen (tal som inte kan uttryckas som bråk, exempelvis kvadratroten ur 2)
[Johansson04]. Det unika i hans insats var emellertid att han delade in ekvationerna i 25 olika
typer istället för Al-Khwarizmis 6 ekvationer [se avsnitt 4.2].14 av dessa 25 typer var
förknippade med nya metoder som fick nya algoritmer som byggde på de så kallade
Kägelsnitten. Kägelsnitt är skärningen mellan ett plan och en cirkulär konisk yta [wiki05].
Dessa kunde representeras av andra gradekvationer, som stod för sådana geometriska figurer
som cirkeln, ellipsen, parabeln och hyperbeln eller för tredimensionella kroppar som kuben,
dodekaeder och tetraeder. Det var Omar Khayyam som kunde hitta regler för att kunna lösa
tredjegradekvationer. [math05]
Khayyams matematiska verk blev kända mycket sent i Europa. Hans algebra översattes först
under mitten av 1800-talet.
Men hur kom det sig att Khayyams verk inte översatte till latinskt under 1100- och 1200talet?
Det grundläggande skälet är kanske, att den matematiska kunskapen i Europa vid denna
tidpunkt, stod på en så låg nivå, att intresset helt fokuserade på äldre och mer elementära verk,
som Al-Khwarizmis algebra från 825-talet som översattes till latin under 1100-talet.
[Johansson04].
Omar Khayyam är inte bara känd för sitt matematiska verk utan för sina oerhört vackra
poesier som jag personligen tycker mycket om. Hans poesi som kallas för ”robaiyat” handlar
mest om liv och död, vin och kärlek. Han ställer skönheten och lyckan i nuet mot död och
förintelse. Avslutningsvis ska vi njuta av Omar Khayyams vackra poesi.
Drick vin, ty fyllest får du sofva under leran;
Förutan tröstare och vän, kamrat och maka.
Märk! Yppa denna gömda hemlighet för ingen:
”Den vissnade tulpanen blommar aldrig mer.”
När, på vårens första dag, molnet sköljer Tulpanens Kind,
Så upp med dig ur sömnen! Gjut med frejdigt mod, i Bägarna Vin!
Denna blomsterprakt, som idag är din ögonfägnad
Skall i morgon, oförminskad, spira upp ur stoftet efter dig.
Av Omar Khayyam [Johansson04]
5 SLUTSATS
Östervärdens främsta bidrag till matematiken och naturvetenskaperna gjorde under islams
storhet i Bagdad där alla gamla kunskapen samlades och utvecklades. Deras omfattande
___________________________________________________________________________
9

program för översättning till arabiska av perser, indier, greker och egypter räddade vad som
ännu fanns kvar och gjorde det tillgängligt för vetenskapen i framtiden. Denna kunskap blev
grunden till en vetenskaplig revolution i Europa på 1400- och 1500-talet. [McLeish91]
Bortsätt från det, kunde de också utveckla nya grenar inom matematik, till exempel algebra
och trigonometri. Det har påpekats att många som hänför förtjänsten av ett märkligt framsteg
inom ”arabiskt” matematik i själva verket var perser (bland annat Al-Khwarizmi, Omar
Khayyam), egypter och judar som har bidragit till allt dessa framsteg och upptäckter.
Al-Khwarizmi var en av de många (kanske 100-tals vetenskapsmän) som har varit ett
bidragande till utvecklingen av matematiken.
Arabernas tre viktiga insatser var: [McLeish91]
• Uppfann och spred kunskap om decimalsystemet. De utvecklade positionsmetoden för
representation av tal.
• Öppnade de våra ögon för att såväl bråk och heltal som alla andra slag av tal kan
inordnas under samma allmänna lagar. Och presenterade de negativa talen och
behandlingen av rötter och potenser.
• Visade att olika slag av talsystem inte bara är möjliga utan också utbytbara. Vi får
samma resultat oavsett om vi använder decimalsystem eller binärtsystem
Det skulle vara omöjligt utan Al-Khwarizmis enorma bidragande arbete och andra
matematiker som fortsatte hans arbete som (Omar Khayyam).
”Bagdad, de östra och västra arabiska kalifaten… [var] som de båda ändpunkterna i ett
jättelikt interkontinentalt system … mellan vilka den intellektuella strömmen … strömmen …
flöt … genom ett enda arabiskt språks supraledande kabel … strömmen gick, om vi fullföljer
liknelsen, från öster till väster därför att Orienten i allmänhet var sändaren och Västerlandet
mottagare. Karl Menniger[4]”. [McLeish91]
___________________________________________________________________________
10

6 REFERENSER
[McLeish91] John McLeish, “Matematikens kulturhistoria”, publisher: ScandBook AB, page
148-160, ISBN 0747509212
[Johansson04] Bo Göran Johansson, “Matematikens historia”, Publisher: Studentlitteratur,
page 148-160, ISBN 0747509212
[wiki01] Wikipedia entry: Al-Khwarizmi, http://en.wikipedia.org/wiki/Khwarizmi (besökt
datum: 051008)
[wiki02] Wikipedia : Algorithm, http://sv.wikipedia.org/wiki/Algoritm (besökt datum:
051002)
[wikii03] Wikipedia: Aritmetik, http://sv.wikipedia.org/wiki/Aritmetik (besökt datum:
051011)
[wiki04] Wikipedia : Karl Meninger, http://en.wikipedia.org/wiki/Karl_Menninger (besökt
datum: 051001)
[wiki05] Wikipedia : Kägelsnitt, http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt (besökt
datum: 051001)
[math05]matematisk institution i Stockhlom
http://www.math.su.se/~torbjorn/Undervisn/Ekvationsteori.pdf (besökt datum: 051001)
___________________________________________________________________________
11