Ellips 3: Lösningar till övningsprov

Ellips 3 • Geometri • Lösningar till uppgifterna • sid. 226 

Övningsprov 

Prov 1 

1 

a) 

Vi förlänger det vänstra vinkelbenet till vinkeln 78 så att det 

skär linjen s. Vi undersöker femhörningen 

 

ABC DE . 

Vinkelsumman är 

( 5 −2) ⋅ 180 

 

= 540 

( n −2) ⋅180 

 

EAB 

= 180 − 78 

 

= 102 sidovinklar 

 

ABC 

= 21 

alternatvinklar och 

l s 

BCD 

= α 

vertikalvinklar 

 

CDE 

= 360 − 310 

 

DEA 

= 207 

 

= 50 full vinkel 

Vi får ekvationen 

102 + 21 + α + 50 + 207 = 540 

380 + α = 540 

α = 160 

 

 

 

b) Anta att n ( n≥ 3) 

är antalet hörn i månghörningen. 

Vi får olikheten 

nn ( − 3) 

> 10 ⋅ 2 ( > 0) 

2 

nn ( − 3) > 20 

2 

n n 

Nollställen: 

−3 − 20> 0 

−3 − 20= 0 

2 

n n 

2 

3± ( −3) −4⋅1⋅ ( 20) 3± 89 

n = = 

21 ⋅ 

2 

⎧ 3+ 89 

⎪ n1 

= ≈6,2 

⎪ 2 

⎨ 

⎪ 3−89 ⎪⎩ 

n2 

= ≈−3,2 

2 

Olikheten är uppfylld om 

n 

6,2 

Eftersom n ≥ 3, 

duger värdena n = 7, 8, 9, ... . 

 

Svar a) α = 160 

b) En månghörning som har åtminstone 7 sidor.


2 

Cosinussatsen ger 

= + x − ⋅ ⋅x 

2 2 2 

 

7 8 2 8 cos60 

= + x − 

1 

x⋅ 

2 

− 8 + 15= 0 

2 

49 64 16 

2 

x x 

± − − ⋅ ⋅ 

x = 

21 ⋅ 

8± 2 

x = 

2 

x= 5 eller x= 

3 

2 

8 ( 8) 4 1 15 

Svar 3 eller 5 

x 

60° 

8 

7 

3 

Ab 

= 8,0 cm 

s = 5,0 cm 

Cylinderns höjd: 

2 

h 

sin 70 = 

5,0 

 

h = 5,0 ⋅ sin 70 = 4,698... ( cm) 

Cylinderns höjd är 

Svar 

3 ( ) 

 

V = Ah b = 8,0 ⋅5,0⋅ sin 70 = 37,58... ≈38cm 

3 

38 cm


4 

a) 

Medianen CD delar sidan AB i delarna 

AD= DB= 

Medianen BE delar sidan AC i delarna 

AE = EC = 

Triangeln ADC ger med Pythagoras sats 

CD 

CD 

CD 

2 

3 

2 

2 2 2 

2 

2 

CD 

= 2 + 3 

= 4+ 9 

= 13 

= ± 

( ) 

13 

Triangeln ABE ger med Pythagoras sats 

2 

2 2 ⎛3⎞ BE = 4 +⎜ ⎟ 

⎝2⎠ 2 4) 9 

BE = 16 + 

4 

2 73 

BE = 

4 

73 

BE = ( ± ) 

2 

b) 

Pythagoras sats ger 

a = 3 + 4 

2 

a = 9+ 16 

2 

a = 25 

a = ± 

5 

2 2 2 

( )


Bisektrissatsen ger 

x 3 

= 

y 5 

5 

y= x 

3 

Vi får ekvationssystemet 

() ⎧ 5 

1 ⎪ y= x insättning i ekvation () 1 

3 

( 2) 

⎨ 

⎪ 

⎩x+ 

y= 

4 

5 

x+ x= 

4 ⋅3 

3 

3x+ 5x= 12 

8x= 12 

x = 

x = 

12 

8 

3 

2 

Triangeln APC ger 

2 

b 

2 2 

= x + 3 

3 

x= 

2 

2 

2 ⎛3⎞ b = ⎜ ⎟ + 9 

⎝2⎠ 2 9 4) 

b = + 9 

4 

2 45 

b = 

4 

b = ( ± ) 

3 5 

b = 

2 

95 ⋅ 

4 

Svar a) CD = 13 och BE = 

73 

2 

3 5 

b) Bisektrisens längd är 

2 .


5 

d = 12 756 ( km) 

d 

R = = 6378( km) 

2 

Vi bestämmer vinkeln α i den rätvinkliga triangeln 

R 

cosα 

= 

R + 15 

6 378 

cosα 

= 

6 393 

α = 3,925... 

 

α ≈ 3,9 

Sträckan b, som båten måste 

färdas är 

α 

b= ⋅2πR 

 

360 

= 436,996... 

≈ 440 ( km) 

Svar 440 km 

 

6 

Alternativ 1: 

Triangeln ACE är liksidig 

eftersom sidorna 

AC, CE och EA är kordor 

till lika långa bågar 

ABC, CDE och EFA. 

Alltså är 

 

AEC 

= 60 eller α = 60 . 

Då är 

bågvinkelns gradtal är hälften 

 

 

ABC = 2α = 120 av gradtalet för 

motsvarande båge 

vilket ger 

Alltså är 

 

AEC = 360 − 120 = 240 

 

ABC = 120 eller β = 120 

 

.


Anta att längden av sidorna i triangeln ACE är a. 

Triangeln ABC ger med cosinussatsen 

2 

a 

2 2 

= r + r −2⋅r⋅r⋅ 

cos β 

 

β = 120 

cos120 =−cos60 

2 

a 

2 2 

 

= 2r −2r 

cos120 1 

=− 

2 

2 2 2 ⎛ 1 ⎞ 

a = 2r −2r ⋅⎜− ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

2 

a 

2 2 

= 2r 

+ r 

2 

a 

2 

= 3r 

a= ± 3r 

( ) 

Arean av triangeln ACE är 

1 

a= 3, r b= 3r 

A= absinα 

2 

α = 60 

1 3 

= 3r⋅ 3r⋅ sin60 sin60 = 

2 2 

1 3 

3r 

2 2 

2 

= ⋅ ⋅ 

= 

3 3 

4 

r 

2 

 

Alternativ 2 

Triangeln ACE är liksidig eftersom sidorna AC, CE och EA är 

kordor till lika långa bågar ABC, CDE och EFA . Medelpunkten 

i den omskrivna cirkeln för en liksidig triangeln är medianernas 

skärningspunkt. 

Punkten O delar medianerna i förhållandet 2:1. Alltså är 

2 

EO= m. 

3 

I en liksidig triangel sammanfaller medianen med höjden, vilket 

ger 

och då är 

m= h= 

a 3 

2 

2 a 3 a 3 

EO = ⋅ = 

3 2 3 

Å andra sidan är EO= r, 

vilket ger 

se boken s. 40


a 3 

= r ⋅3 

3 

a 3 = 3 r / 3 

a = 

3) 

3r 

3 3r 

= 

3 

= 3r 

Arean av triangeln ACE är 

1 

a= 3, r b= 3r 

A= absinα 

2 

α = 60 

1 

= 

2 

3r⋅ 

3rsin60 

sin60 = 

3 

2 

1 2 

= ⋅3r⋅ 2 

3 3 2 

= r 

4 

3 

2 

Svar Exakta värdet för triangelns area är 

3 

3 3 

4 

2 

r . 

7 

Jordglobens omkrets är 57,5 cm= 0,575 m . 

Jordens omkrets är 2π ⋅ 6 400 km = 12 800 000 π m . 

Jordglobens skala är 

0,575 m 1 

k = ≈ 

12 800 000 π m 70 000 000 

Arean A av Frankrike får vi ur förhållandet 

2 

2 

1cm ⎛ 1 ⎞ 

≈ ⎜ ⎟ 

A ⎝70 000 000 ⎠ 

A ≈70 000 000 ⋅ 1 cm = 490 000 km 

2 2 2 

Svar Skalan är 1:70 000 000. 

2 

Frankrikes area är 490 000 km 

.


8 

Anta att fartygets avstånd från fyren är x och att den sträcka som 

fartyget har rört sig är AB= s. 

Enheten är km. 

km 

v = 18 

h 

20 1 

t = 20 min = h = h 

60 3 

s= v⋅t km 1 

= 18 ⋅ h 

h 3 

= 6km 

FYR 

 

β = 180 − 70 = 110 sidovinklar 

Vinkelsumman i en triangel är 180 , vilket ger 

 

Sinussatsen ger 

30 + β + γ = 180 β = 110 

 

30 + 110 + γ = 180 

 

γ = 40 

 

x s 

s = 6(km) 

= 

sin30 sinγ γ = 40 

x 

 

sin30 

6 

= 

sin 40 

 

6sin30 

x = 

sin 40 

1 

6 ⋅ 

= 2 

0,642... 

1 

sin30 = 

2 

= 4,667... 

≈ 4,7 (km) 

Svar Fartygets avstånd från fyren är 4,7 km.


9 

GFC ∼ABC 

( ) 

vv 

Eftersom förhållandet mellan motsvarande sidor är konstant får 

vi att 

8 − x x 

= 

Kvoten mellan höjderna är densamma 

8 24 som kvoten mellan baserna. 

8⋅ x= 24⋅( 8−x) 

8x= 192 −24x 

32x = 192 

x = 

x = 

192 

32 

6 

Alltså är 

2 

Akvadrat 

6 36 

⋅ 100 % = ⋅ 100 % = ⋅ 100 % = 37,5 % 

A 

24 ⋅8 triangel 

12 ⋅8 

2 

10 

En regelbunden hexaeder eller 

kub 

kubens kantlängd s 

den mindre sfärens radie r 

den större sfärens radie R 

Vi bestämmer sfärernas radier 

med hjälp av längden av kubens 

kant. 

Den mindre sfärens diameter är samma som kubens kantlängd. 

s 

Alltså är 2 r = s eller r = . 

2 

Den större sfärens diameter är 

samma som rymddiagonalen i 

kuben. 

2 2 2 

x = s + s 

2 2 

x = 2s 

x= s 2 

2R 

= x + s 

2 2 

= 2s 

+ s 

= s 

Alltså är 

3 

2 2 

s 3 

R = 

2


Alternativ 1 

Sfärerna är likformiga. 

Radiernas förhållande är 

r s s 3 s 2 1 

k = = : = ⋅ = 

R 2 2 2 s 3 3 

a) Areornas förhållande är 

A 

A 

liten sfär 

stor sfär 

2 

2 ⎛ ⎞ 

= k = = 

1 1 

⎜ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 3 

b) Volymernas förhållande är 

V 

V 

3 

liten sfär 3 ⎛ ⎞ 

= k = ⎜ ⎟ = 

stor sfär ⎝ ⎠ 

1 1 

3 3 3 

Alternativ 2 

a) Den mindre sfärens area är 

2 

2 ⎛ s ⎞ 2 

Aliten sfär = 4πr = 4π⎜ 

⎟ = πs 

⎝2⎠ Den större sfärens area är 

2 

⎛ 2 s 3 ⎞ 

2 

Astor sfär = 4πR = 4π⎜ ⎟ = 3πs 

⎝ 2 ⎠ 

Areornas förhållande är 

2 

Aliten sfär π s 1 

= = 

A s 

stor sfär 

2 

3π3 b) Den mindre sfärens volym är 

3 3 

4 3 4 ⎛ s ⎞ π s 

Vliten sfär = πr = π⎜ ⎟ = 

3 3 ⎝2⎠ 6 

Den större sfärens volym är 

3 

3 3 

4 3 4 ⎛s 3⎞ 4 s 3 3 π s 3 

Vstor sfär = πR = π⎜ ⎟ = π = 

3 3 ⎝ 2 ⎠ 3 8 2 

Volymernas förhållande är 

3 3 3 

Vliten sfär πs πs 3 πs 

2 1 

= : = ⋅ = 

V π s 

stor sfär 

3 

6 2 6 3 3 3 

Svar a) 1:3 b) 1:3 3


Prov 2 

1 

a) 

Sjuhörningens vinkelsumma är 

( 7 −2) ⋅ 180 = 900 ( n −2) ⋅180 


 

4 ⋅ 90 + 237 + 270 + α = 900 

867 + α = 900 

 

α = 33 

 

 

Antalet diagonaler i sjuhörningen är 

77 ( −3) nn ( −3) 

= 14 

2 2 

b) Vi ritar en figur. 

Sträckans delningsförhållande ger kvoten 

48 m 12 

= 

x 5 

5⋅48 m 

x = = 20 m 

12 

Granhäckens totallängd är 48 m + 20 m = 68 m 

 

Svar a) α = 33 , antalet diagonaler är 14 b) 68 m


2 

Vi betecknar sektorns medelpunktvinkel med α och sektorernas 

radier med r1 och r2, r1 = 3, r2 

= 5. 

Arean av det skuggade området är skillnaden mellan sektorernas 

areor. Vi får ekvationen 

α 

 

360 

2 α 

⋅π ⋅5 − 

360 

2 

⋅π ⋅ 3 = 9 

α 

 

360 

⋅π⋅( 25 − 9) = 9 

 

α ⋅π ⋅16 

360 

= 9 

⋅ 

 

360 π ⋅16 

90 

 

360 

α = 9 ⋅ 

π ⋅ 16 

 

810 

α = 

4π 

 

4 

Omkretsen av det skuggade området är 

α α 

⋅ 2πr1+ ⋅ 2πr2 + 2⋅2 

360 360 

1 2 

2π( r1 r2) 

4 

810 

α 

= ⋅ + + 

 

360 

= 

 

810 

4π 

360 

⋅ 2π( 3+ 5) + 4 

= 

9 

810 

 

4 π ⋅ 360 

4 

= 9+ 4= 13 

 

2 

⋅ 2 π ⋅ 8 + 4 

Svar Omkretsen är 13. 

r = 3, r = 5 

α = 

4π


3 

Längdenheten är centimeter. 

a = 10, 

0 

b = 28 

α = 20° 

Vi bestämmer vinkeln β med sinussatsen. 

10,0 28 

= 

sin 20 sin β 

10,0 ⋅ sin β = 28sin 20 

 

α 

 

28sin 20 

sin β = 

10,0 

β = 73,266... eller β = 180 − 73,266... = 106,733... 

 

om β = 73,266... så är γ = 86,733... 

om β = 106,733... så är γ = 53,266... 

 

 

Eftersom triangeln är trubbvinklig så duger endast 

β = 106,733... ° och γ = 53,266... ° som lösning. 

b 

c 

β 

γ 

a 

Vi bestämmer sidan c med cosinussatsen 

2 2 2 

c = a + b −2abcosγ 

( ) 

2 2 

c= ± a + b −2abcosγ 

2 2 

c = 10,0 + 28 −2⋅10,0⋅28⋅ cos53,266... ° 

c = 20,861... (cm) 

Triangelns area är 

1 1 

 

Atriangel = bcsinα = ⋅28⋅20,861... ⋅ sin 20 = 99,89... ≈100 

cm 

2 2 

Svar 

c ≈21 cm, β ≈ 107 ° , γ ≈ 53 ° , area 100 cm 

2 

( 2 )


4 

Anta att x är den höjd som är ritad mot ett ben och att höjden h 

är ritad mot basen. 

Enligt Pythagoras sats är 

2 2 2 

h + 6 = 10 

2 

h = 100 −36 

2 

h = 64 

h ± 8 

( ) 

Triangelns area är 

a⋅h A = 

2 

12 ⋅8 

= 

2 

= 48 

Å andra sidan är 

10 ⋅ x 

A = = 5x 

. 

2 

Alltså är 

5x= 48 

3 

x = 9 

5 

a = 12 

h = 8 

Svar Höjdens längd är 3 

9 5 . 

5 

Vi betecknar det vågräta avståndet mellan punkten A och 

radiomasten C med x. 

Enheten är kilometer. 

a) 

Vi bestämmer x med sinussatsen 

x 1, 6 

= 

sin 22° sin135° 

xsin135°= 

1,6sin 22° 

1, 6sin 22° 

x = 

sin135° 

x = 0,8476... 

x ≈ 

0,85 (km) 

B 

23° 

22° 

1,6 

135° 

A 

C 

x


b) 

A 

9,0° 

Vi beräknar mastens höjd h ur ekvationen 

tan9,0°= 

h 

x 

h= xtan9,0° 

x 

1, 6sin 22° 

h = ⋅ tan9,0° 

sin135° 

h = 0,1342... 

h ≈ 0,13 (km) 

Svar a) Det vågräta avståndet är 850 m. 

b) Mastens höjd är 130 m. 

C 

h 

6 

Ur den 

vänstra 

rätvinkliga 

triangeln 

får vi med 

Pythagoras 

sats 

ekvationen 

( ) 2 

2 2 

KA = 20 + 50 − x 

På samma sätt ger den högra triangeln 

Enligt antagandet är KA= KB, 

vilket ger att 

eftersom KA> 0 och KB 

> 0 . 

Vi bestämmer x ur ekvationen 

( ) 2 

KB = 30 + x 

2 2 2 

2 2 

KA = KB 

2 

20 + 50 − x 

2 2 

= 30 + x 

2 2 2 

20 + 50 −2⋅ 50x+ x 

2 2 

= 30 + x 

2 2 2 

100x = 20 + 50 −30 

2 2 2 

20 + 50 −30 

x = = 20 

100 

Svar Fisken befinner sig 20 alnar från foten av den högre 

palmen.


7 

 

62 

k = ⋅2π⋅6400 

360 

= 6 925,4... 

≈ 6 900 ( km) 

Svar Parkano är 6 900 km norr om ekvatorn. 

8 

Den medelpunktsvinkel AOF som svarar mot bågen AF är också 

110 och medelpunktsvinkeln COD som svarar mot bågen CD är 

150 . 

Trianglarna 

 

AOF och COD är likbenta eftersom deras ben är 

radier i cirkeln. Basvinklarna i en likbent triangel är lika stora. 

Vi får 

 

180 −110 

 

α = = 35 

2 

 

180 −150 

 

β = = 15 

2 

Vinkelsumman i en fyrhörning är 360 . 

Fyrhörningen OCEA ger att 

 

AOC 

+ β + 25 + α = 360 

 

AOC 

+ 15 + 25 + 35 = 360 

 

AOC 

= 360 −15−25−35 

AOC 

= 285 

 

Medelpunktsvinkeln som svarar mot bågen ABC är 

 

360 − 285 = 75 

Svar Gradtalet för bågen 

ABC är 75 .


9 

a) ABE ∼ CDE ( vv) 

, eftersom 

1) 

EAB = ECD 

alternatvinklar 

och AB DC 

2) AEB = DEC 


Motsvarande sidor är proportionella vilket ger 

x 3a = 

y a 

ja 

v 3a 

= 

u a 

x 3 v 3 

= = 

y 1 u 1 

Alltså delar diagonalerna varandra i förhållandet 3:1 räknat 

från det hörn som ligger på den längre basen . 

b) Skalan för de likformiga trianglarna är k = 3:1, 

vilket ger att förhållandet mellan areorna är 

A1 

2 

= k 

A 

2 

1 2 

2 

A1 

⎛3⎞ = ⎜ ⎟ 

A2 

⎝1⎠ A1 

= 9 

A2 

A = 9A 


Då är 

A + A = 40 A = 9A 

9A2 + A2 

= 40 

10A2 = 40 

A = 4 

1 2 1 2 

2 

A = 40 − A = 40 − 4 = 36 

1 2 

Svar a) 3:1 räknat från hörnet på den längre basen 

b) Arean av triangeln ABE är 36 a.e. och arean av 

triangeln CDE är 4 a.e.


10 

Pyramidens höjd är h och sidokanten är 30 cm. 

Baskvadratens sida är 5+ 2+ 5= 12 ( cm) 

. 

Diagonalen i en kvadrat är 2 gånger längden av sidan 

(Pythagoras sats ), vilket ger att baskvadratens halva diagonal har 

längden 

12 2 

= 6 2 ( cm) 

. 

2 

ABC 

: 

h 

h 

h 

h 

2 2 

2 

2 

2 

( ) 

( ) 2 

= 30 − 6 2 

= 900 −72 

= 828 

= 36 ⋅23 

h = ± 6 23 

Pyramidens topp ligger på höjden 

5 + 6 23 = 33,77... ≈ 34 ( cm) 

Svar 34 cm


Prov 3 

1 

a) 

I 

triangeln ABC är 

 

BAC 

= 35 vertikalvinklar 

BCA 

= 180 −35 − 75 = 70 

I triangeln CDE är 

 

vinkelsumman i en triangel 

 

DCE 

= 70 vertikalvinklar 

CED 

= α 


 

CDE 

= 90 

l ⊥s 


 

70 + α + 90 

 

= 180 vinkelsumman i en triangel 

 

α = 20 

b) Vi ritar en figur. 

OA = OB = 150 m 

AB = 240 m 

Triangeln AOB är 

likbent, vilket ger att 

höjden OC = x halverar 

basen AB . 

Alltså är AC = 120 cm . 

Triangeln AOC ger med Pyhtagoras sats ekvationen 

2 2 

x + 120 

2 

= 150 

2 

x = 22500 −14400 

2 

x = 8100 

x = ( ± ) 8100 

x = 90 ( m) 

Alltså ligger stigen 90 meter från gräsmattans medelpunkt. 

Svar a) α = 20 

b) 90 m


2 

Vi ritar en figur D C 

E 

A F B 

Trianglarna AFD och AEB är kongruenta enligt (vvs) eftersom 

E= F 

| höjden är vinkelrät mot basen 

AB = AD | sidorna i en romb är lika långa 

A 

är gemensam 

3 

Anta att parallellogrammens diagonaler är x och y. Enligt 

cosinussatsen är 

x 

x 

2 2 

2 

( ) 

( ) 2 

 

= 5 + 5 2 −2⋅5⋅ 5 2 cos45 cos45 = 

= 25 + 50 −50 2 ⋅ 

2 

x = 25 + 50 −50 

2 

x = 25 

x = ± 5 

1 

2 

Vinkelsumman i en parallellogram är 360 , vilket ger 

 

 

2 ⋅ 45 + 2β = 360 

2β = 360 −90 

 

2β= 270 

 

β = 135 

 

1 

2


Enligt cosinussatsen är 

( ) 2 

2 

y 

2 

= 5 + 5 2 −2⋅5⋅ 5 2 cos135 

 

cos135 

=−cos45 

=− 

1 

2 

2 

⎛ 

y = 25 + 25⋅2−50 2 ⋅⎜− ⎝ 

1 ⎞ 

⎟ 

2 ⎠ 

2 

y = 25 + 50 + 50 

2 

y = 125 

y = ± 25⋅5 ( ) 

y = 5 5 

 

Svar Diagonalernas längder är 5 och 5 5 

4 

kök 

vard.rum 

hall 

sovrum badr. 

bibl. 

a) Anta att medelpunktsvinkeln som svarar mot badrummet är α , 

hallens radie r och husets radie R . Badrummets area är 

α 

 

360 

2 α 

⋅πR − 

360 

2 

⋅ πr 

= 15 

απ 

( 2 2 

R − r ) = 15 

 

360 

 

360 

⋅ 

( 2 2 

π R − r ) 

 

15⋅ 360 

α = 

( 2 2 

π R − r ) 

R = 7,0 

r = 2,7 

 

15⋅ 

360 

α = 

π 

2 2 ( 7,0 − 2,7 ) 

α = 41,21... ≈41


b) Anta att bibliotekets motsvarande medelpunktsvinkel är β . 

Bibliotekets area är 

β 2 β 2 

⋅πR − ⋅ πr 

= 25 

 

360 360 

β 

360 

 

25⋅ 360 

β = 

( 2 2 

π R − r ) 

 

25⋅ 360 

β = 

π 

( 2 2 

π ) 

⋅ R − r = 25 ⋅ 

2 2 ( 7,0 − 2,7 ) 

β = 68,68... 

 

 

360 

( 2 2 

π − ) 

R r 

R = 7,0 

r = 2,7 

Bibliotekets böjda väggar har längden 

β 

 

⋅ 2πR β = 68,68... , R= 

7,0 

 

360 

 

68,68... 

= ⋅2π⋅7,0 

360 

= 8,391... ≈8,4( 

m) 

β 

 

⋅ 2πr β = 68,68... , r = 2,7 

 

360 

 

68,68... 

= ⋅2π⋅2,7 

360 

= 3,236... ≈3,2( 

m) 

 

c) Köket består av en kvadrat och ett litet segment. Anta att 

segmentets motsvarande medelpunktsvinkel är 2γ . 

Den rätvinkliga triangeln OBC ger 

+ 2 = = 7,0 

2 

x 

2 2 

= 7,0 −2 

2 

x = 49 −4 

x = ± 45 

2 2 2 

x R R 

( ) 

x = 3 5 

Vi bestämmer vinkeln γ ur den 

rätvinkliga triangeln OBC 

2,0 

sinγ 

= 

7,0 

γ = 16,60... 

 

Motsvarande medelpunktsvinkel till bågen AC är 

2γ = 2⋅ 16,60... = 33,20... 

.


Kökets segment = sektor − medelpunktstriangeln 

33,20... 4,0 ⋅ x R = 7,0 

360 2 x = 3 5 

 

= 

2 

⋅π⋅R− 

33,20... 2 4,0 ⋅3 

5 

= ⋅π⋅7,0 − 

 

360 2 

= 0,7814... 

Kökets area = kvadrat + segment 

2 

= 4,0 + 0,7814... 

= 16,7814... 

( 2 ) 

≈17 

m 

Svar a) Badrummets motsvarande medelpunktsvinkel är 

41 

. 

b) Bibliotekets böjda väggar har längderna 3,2 m och 

8,4 m. 

2 

c) Kökets area är 17 m . 

5 

Triangelns medianer delar varandra i förhållandet 2:1 från 

spetsarna räknat. 

ADE ∼ ABC (vv) , eftersom 

A 

är gemensam 

E= C likbelägna vinklar , DE BC 

Skalan är 

hADE 2x 2 

k = = = . 

h 3x 3 

ABC 

Areornas förhållande 

2 

AADE 

2 ⎛2⎞ 4 

= k = ⎜ ⎟ = 

A ⎝3⎠ 9 

ABC 

Svar Linjen delar arean i förhållandet 4:5.


6 

Anta att cirkelns radie är x. Enligt Pythagoras sats är 

( ) 2 2 2 

8− x + 4 = x 

2 2 

64 − 16x+ x + 16 = x 

80 − 16x = 0 

16x = 80 

a) 

b) 

p 

p 

p 

p 

cirkel 

kvadrat 

cirkel 

kvadrat 

A 

A 

A 

A 

cirkel 

kvadrat 

cirkel 

kvadrat 

80 

x = = 5 

16 

= 2⋅π⋅ 5= 10π 

= 48 ⋅ = 32 

10π 5π 

= = 

32 16 

= ⋅ = 

= 88 ⋅ = 64 

25π 

= 

64 

2 

π 5 25π 

Svar a) Omkretsarnas förhållande är 5π 

. 

16 

b) Areornas förhållande är 25π 

. 

64 

7 

Vi ritar en figur. 

( ) 2 2 

Akvadrat = 2r = 4r 

Enligt Pythagoras sats är 

2 2 2 

( 2r) + ( 2r) = ( 2x) 

4r + 4r = 4x 

2 2 2 

x = 2r 

2 2 

( ) 

2 

2 2 

x = ± r = r 

Arean av området mellan cirklarna 

är 

A = A −4⋅A mellanrum kvadrat liten cirkels fjärdedel 

1 

A ( ) 

mellanrum = 4r −4⋅ πr = 4−π 

r 

4 

2 2 2 

Den större cirkelns radie är R 2r r ( 2 1) 

dess area är 

( ) 2 

Astor cirkel R 2 1 r 

2 2 

= π = π + . 

Areornas förhållande är 

= + = + r, vilket ger att


2 

A ( ) 

mellanrum 4 − π r 

= 

2 

Astor cirkel π ( 2 + 1) 

r 

= 

4−π = 

3−2 2) 

4−π 

π 2 + 1 

2 

2 

( ) π ( 2+ 2 2 + 1) 

4−π 3−2 2 4−π 

= ⋅ = ⋅ − ≈ 

2 

π 2 

3 − ( 2 2) 

π 

4 − π 

π 

Svar ( 3− 2 2) 

( 3 2 2) ( 0,047) 

8 

a) 

1 1 125 2 

V = ⋅ Aph= ⋅555 ⋅ ⋅ = = 

41 

3 3 3 3


b) Bastriangeln ABD ger 

( ) 2 2x 2 2 

= 5 + 5 

2 

4x= 50 

x 

2 

= 

50 

4 

50 5 2 

x = ( ± ) = 

2 2 

a = 5 + x 

a 

a 

a 

2 2 2 

2 

2 

2 

⎛5 2 ⎞ 

= 25 +⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

50 

= 25 + 

4 

75 

= 

2 

75 5 3 5 6 

a = ( ± ) = = 

2 2 2 

2 

c) 

b 

b 

2 2 

2 

⎛5⎞ = 5 +⎜ ⎟ 

⎝2⎠ 125 

= 

4 

125 5 5 

b = ( ± ) = 

2 2 

2 

1 5 5 

A= Abasyta + 4Asidoyta = 5⋅ 5+ 4⋅ ⋅5⋅ = 25+ 25 

2 2 

Svar a) Volymen är 

2 

41 3 . 

5 6 

b) Sidokantens längd är 

2 . 

c) Totala arean är 25 + 25 5 . 

5


9 

V = Vliten sfär − Vsfäriskt segm 1 + Vsfäriskt 

segm 2 

4 3 2⎛ h1⎞ 2⎛ 

h2 

⎞ 

= πr1 −πh1 ⎜r1− ⎟+ πh2 

⎜r2 − ⎟ 

3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

Vi bestämmer h och h . 

Eftersom 

1 2 

h1+ a= 10 h2 + a+ 

20 = 25 

h = 10 − a h = 5 −a 

1 2 

x a 

2 2 2 

2 2 

= 10 − och x = 25 − ( a+ 

20) 

2 2 2 

2 

10 − a = 25 − ( a+ 

20) 

2 2 

100 − a = 625 −a −40a−400 40a = 125 

a = 3,125 ( cm) 

2 , får vi 

Då är h = 6,875 cm och h = 1,875 cm . 

1 2 

3 3 

Alltså är V = 3 313,39... cm = 3,31339... dm ≈3,3l 

Svar 3,3 liter


10 

r = 3,0 cm 

R = 15 cm 

s = 40 cm 

A ( ) 

mantelyta = π R s+ x −πrx 

= π Rs+ πRx−πrx = πRs+ πx( 

R−r) MANTELYTA 

Vi bestämmer x. 

r x 

= 

R x+ s 

Rx = r ( x + s) 

Rx = rx + xs 

( R− r) x= rs 

rs 

x = 

R − r 

rs 

A ( ) 

mantelyta = πRs + π ⋅ ⋅ R −r 

R−r = πRs + πrs 

= π s( R+ r) 

= π ⋅ 40 15 + 3,0 

Alltså är 

Svar 

mantelyta 

( ) 

2 ( ) 

= 2 261,94... cm 

A = 2 261,94... cm 

= 22,6194... dm 

2 

= 0,226194...m 

2 

≈ 0,23 m 

2 

0,23 m 

2 

2 

ABC ∼ADE( 

vv)

Ellips 3: Lösningar till övningsprov

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

Delete template?

Save as template ?