Gamla Månadens problem (pdf) - Svenska Fysikersamfundet

fysikersamfundet.se

Gamla Månadens problem (pdf) - Svenska Fysikersamfundet

Månadens problem-arkivet

Månadens problem arrangeras av lektorsgruppen inom Svenska Fysikersamfundet

som en del av arbetet kring Wallenbergs fysikpris. Första måndagen varje månad

presenteras problem på tävlingens hemsida. Gymnasieelever kan arbeta i lag med

problemen och bland rätta inskickade lösningar lösningar lottas biobiljetter ut. Se

tävlingens hemsida

www.fysikersamfundet.se/fysiktavlingen

för mer information och aktuellt månadens problem.

I denna pdf-fil finns samtliga Månadens problem samlade. Först kommer uppgifterna,

en på varje sida, och sedan lösningsförslag.

En del av Månadens problem har utgått från tidningsurklipp. För att vara säkra

på att inte bryta mot eventuell upphovsrätt har vi inte tagit med dessa urklipp här.

Skulle du som lärare vilja ha en kopia av något tidningsurklipp så hör av dig till

christian.p.karlsson@gmail.com

Längst ned på varje sida har vi markerat om det behövs Fy 1-kunskaper eller Fy

2-kunskaper för att lösa uppgiften.

Om du läser detta på en dator kan du hoppa mellan uppgift och lösningsförslag

genom att klicka på symbolerna ✄ respektive ✁.


Uppgift 1 November 2012

Kal och Osborn sitter i hamnen i Göteborg och funderar. Plötsligt får Osborn en

snilleblixt.

"Dö Kal, borde man inte kunna gå ner i vikt om man dricker tillräckligt

kall Cola? Det går la åt en hel del energi för att värma den i magen?"

Vad säger du? Kan Osborn viktminska genom att dricka kall Cola? Svaret skall

vara baserat på relevanta och korrekta beräkningar samt rimliga antaganden. Nedan

visas innehållsdeklarationen på en Cola-flaska. ✄

[Fy 1]


Uppgift 2 November 2012

Urklippet nedan är taget från en informationsbroschyr som kom för några år sedan

från Vägverket. Använd data i figuren för att uppskatta hur lång reaktionstiden (det

vill säga tiden det tar innan farten börjar minska) är när man gör en panikinbromsning

med bil!

Glöm inte att beskriva och motivera de antaganden du gör. ✄

[Fy 1]


Uppgift 1 December 2012

Hur stor blir strömmen genom 47 Ω-motståndet i kretsen nedan? ✄

[Fy 1]

33 Ω

22 Ω

47 Ω

68 Ω

+

9,0 V


Uppgift 2 December 2012

Låten The Sick Note, som spelats in av bland annat The Dubliners (se www.youtube

.com/watch?v=fx7aoEBtPXA), handlar om den otursförföljde byggnadsarbetaren

Paddy. Paddy skulle ta ner tegelstenar i en tunna från 14:e våningen. Han fäste

ett rep, som löpte över en trissa, i tunnan och ställde sig nere på marken. Vad som

sedan hände framgår av låttexten (från www.patcooksey.com/ lyric_the_sick_note.html):

. . .

And so when I untied the rope, the barrel fell like lead

And clinging tightly to the rope I started up instead

I shot up like a rocket till to my dismay I found

That half way up I met the bloody barrel coming down.

Well the barrel broke my shoulder, as to the ground it sped

And when I reached the top I banged the pulley with my head

I clung on tightly, numb with shock, from this almighty blow

And the barrel spilled out half the bricks, fourteen floors below.

Now when these bricks had fallen from the barrel to the floor

I then outweighed the barrel and so started down once more

Still clinging tightly to the rope, my body racked with pain

When half way down, I met the bloody barrel once again.

The force of this collision, half way up the office block

Caused multiple abrasions and a nasty state of shock

Still clinging tightly to the rope I fell towards the ground

And I landed on the broken bricks the barrel scattered round.

I lay there groaning on the ground I thought I’d passed the worst

But the barrel hit the pulley wheel, and then the bottom burst

A shower of bricks rained down on me, I hadn’t got a hope

As I lay there bleeding on the ground, I let go the bloody rope.

The barrel then being heavier then started down once more

And landed right across me as I lay upon the floor

It broke three ribs, and my left arm, and I can only say

That I hope you’ll understand why Paddy’s not at work today.

Antag att tegelstenarna vägde 100 kg, tunnan 20 kg, Paddy 80 kg och att 14:e

våningen var belägen 40 m ovanför marken.

Undersök vilken av Paddys sex kollisioner som orsakade störst skada genom att

med beräkningar uppskatta den energi som absorberats av Paddy i var och en av

kollisionerna, givet följande antaganden:

• Antag att kollisionerna sker mellan likadana och plana ytor (bortse alltså från

att vissa tegelstenar kan vara kantiga och därmed extra skadliga).

• Kollisionerna anses vara fullständigt oelastiska och korta, och repet gör så

att tunnan omedelbart lossnar från Paddy vid kollisionerna på upp- och nedvägen.

Ytterligare två Youtube-klipp som kan vara av intresse:

Mythbusters har undersökt hur det skulle gått för Paddy i verkligheten, se www.you

tube.com/watch?v=Vt230Pd1oSo

På www.youtube.com/watch?v=iA5RGI3zn20 finns en slags video till låten. ✄


Uppgift 1 Januari 2013

När nu adventsljusstakarna börjar plockas bort från fönstren passar vi på att uppmärksamma

elljusstakens historia. I nedanstående klipp från Göteborgs-Posten

(den 3 december 2012) kan vi se att den första prototypen tillverkades av ljus från

kasserade julgransbelysningar som seriekopplades med en 75 W-lampa.

Elljusstaken, i dag en självklarhet i advents- och julpyntet i de flesta hem, uppfanns

1934 av den unge Oscar Andersson (1909-1996). Han arbetade då på Philips lager

i Göteborg och tog bland annat hand om julgransbelysningar som kom i retur. Oscar

bad om lov att få de trasiga belysningarna och började experimentera hemma i

föräldrahemmet i Landala. Han köpte en ljusstake av trä på Grand Bazar för två kronor,

borrade upp hålen för stearinljusen så att lampsocklarna passade och högg med

stämjärn en skåra på undersidan för sladdarna. Skåran täckte han med en pappremsa

och så är ju elljusstakarna fortfarande konstruerade. Julgransbelysningen har många

fler lampor än de sju i ljusstaken, så för att inte lamporna skulle får för hög spänning

och gå sönder kopplade Oscar en 75 watts glödlampa som motstånd. Den glödde bara

svagt och gick lätt att dölja bakom en gardin.

Nu var elljusstaken född. Oscar visade uppfinningen för försäljningschefen i Göteborg

som tyckte idén var lysande. Efter övertalning gick huvudkontoret i Stockholm

med på att göra en provserie på 2 000 exemplar som tillverkades av fabrikanten Sjölander

i Värnamo, som gjorde ljusstakar i trä.

Resten är historia. Men något patent tänkte Oscar aldrig på att ta och inom företaget

verkade alla ha glömt att det var Oscar som uppfann försäljningssuccén.

Det här grämde Oscar på gamla dar och svärsonen Hans Ahlquist bestämde sig för

att ta reda på sanningen. Han pratade med Oscar och hans gamla arbetskamrater

och spårade upp de första elljusstakarna som Oscar gjorde i Landala. Det är tack vare

Hans vi vet hur det verkligen gick till när elljusstaken uppfanns, se www.adventssljusstaken.se.

[GP 121203]

På www.adventsljusstaken.se kan man läsa att spänningen från vägguttag i Göteborg

vid den här tiden var 127 V och att julgransbelysningarna som Oscar Andersson

plockade isär bestod av 14 V-lampor. Antag att varje lampa gav effekten

3 W.

Hur stor effekt utvecklades i 75 W-lampan när den sjuarmade elljusstaken kopplades

i serie med denna? Motivera eventuella antaganden! ✄

[Fy 1]


Uppgift 2 Januari 2013

Elekroner accelereras av spänningen Uacc = 2,0 kV i ett elektronstrålerör och kommer

in i ett område mellan två parallella, ledande plattor, mellan vilka spänningen

också är U = 2,0 kV. Experimentuppställningen visas nedan (spänningarna

var dock annorlunda vid fotograferingstillfället). Avståndet mellan plattorna är

d = 5,5 cm.

(a) Beräkna avböjningen i y-led, y, för elektronerna när att de har rört sig sträckan

b = 7,0 cm i x-led i området mellan plattorna.

(b) Visa att avböjningen y i (a)-uppgiften varken beror av elektronernas massa eller

laddning. ✄

Schematisk figur av själva elektronstråleröret:

U

+


[Fy 2]

d

y

x

b

y

+

U acc

e –


Glödtråd


Uppgift 1 Februari 2013

I Ny Teknik den 12 oktober 2011 kunde man läsa om “Världens största snösmältare”.

Snösmältaren samlar snön i ett smältkar som värms av ett dieselaggregat

(se klipp nedan). Sidoborstarna når 2,5 meter åt vardera hållet räknat från järnvägsspårets

mitt.

Inte en vinter till med snökaos, sa Trafikverket och beställde en gigantisk snöröjare

av teknikföretaget Railcare i Skelleftehamn. . . .

Snow Removal 700 är ingen vanlig snöröjare som vräker undan snön från spåren. I

stället borstar den upp snön och smälter den i en stor uppvärmd smältvagn.

SR 700 blir världens största snösmältare för järnväg – en 60 meter lång, dieseldriven

koloss på drygt hundra ton som kan röja 700 meter spår med 10-20 cm nyfallen snö

på en halvtimme.

En operatör sköter borstarna, en lokförare kör tåget och en operatör sköter smältaggregatet.

• Sidoborstarna når 2,5 meter åt vardera hållet och sopar in snön från spår och

perrong mot mitten av spåret.

• All snö samlas upp av huvudborsten.

• Snön slungas in i smältvagnen bakom lokföraren.

• Smältkaret i smältvagnen värms av ett dieselaggregat.

• Det smälta vattnet samlas upp i nästa vagn som rymmer 50 kubikmeter. Ett

partikelfilter renar vattnet, som töms i närmaste dagvattenledning.

[NyT 111012]

(a) Uppskatta hur många liter diesel det går åt per timme för att smälta ett 10

cm tjockt nysnötäcke med densiteten 0,07 g/cm 3 och temperaturen –5 ◦ C. Energiinnehållet

i diesel kan antas vara detsamma som i bensin, 44 MJ/kg. Räkna med

att diesel har densiteten 0,81 kg/liter.

(b) Hur ofta behöver snösmältaren tömmas?

Här kan man läsa mer om snösmältaren:

www.nyteknik.se/nyheter/fordon_motor/jarnvag/article3283228.ece

www.trafikverket.se/Privat/Vagar-och-jarnvagar/Sa-skoter-vi-jarnvagar/Snorojningav-jarnvagen/Snosmaltningsmaskin/

www.railcare.se/download/Swe_Folder_Screen.pdf

http://norran.se/2012/12/skelleftehamn/succe-for-snosmaltaren/

www.nyteknik.se/nyheter/fordon_motor/jarnvag/article3594746.ece

www.nyteknik.se/nyheter/fordon_motor/jarnvag/article3646189.ece ✄

[Fy 1]


Uppgift 2 Februari 2013

Två punktladdningar Q1 = +q och Q2 = +4q befinner sig på avståndet a från

varandra. En tredje, positiv punktladdning Q3 ska placeras på sådant sätt att den

sammanlagda kraften som verkar på Q3 blir noll.

(a) Var ska Q3 placeras?

(b) Antag att att Q2 istället var negativt laddad (Q2 = −4q). Var skulle då Q3

placeras? ✄

[Fy 1]


Uppgift 1 Mars 2013

Jupiter omger sig med ett stort antal månar varav de fyra största, Io, Europa,

Ganymede och Callisto upptäcktes av Galileo Galilei i början av 1600-talet. Månarna,

framför allt Europa, har visat sig vara intressanta i sökandet efter liv utanför

jorden. Bland annat indikerar noggranna analyser av bilder på Europas isiga yta att

det under isytan finns, eller har funnits, flytande vatten. 1

Den näst största av Jupiters månar, Callisto, har massan 1,076 · 10 23 kg och medelradien

2 403 km. 2 Callisto består främst av en blandning av sten och is. Uppskatta

hur stor andel av Callistos volym som utgörs av is! Antag att stenen i Callisto har

lika stor densitet som kondriter (en typ av meteoriter), 3,10 · 10 3 kg/m 3 , och att

isen har densiteten 0,95 · 10 3 kg/m 3 . Redovisa eventuella andra antaganden som

görs vid beräkningarna. ✄

Figur 1 Callisto i maj 2001 från rymdsonden Galileo. Bild från http://en.wikipedia.org/

wiki/Callisto_(moon).

Figur 2 Jämförelse av jorden, månen och Callisto (längst ned till vänster). Bild från

http://en.wikipedia.org/wiki/Callisto_(moon).

[Fy 1]

1 Ett Youtube-klipp om Europa finns här: http://www.youtube.com/watch?v=37gEwRmPgK8

(från The Open University). Avsnitt fem av BBC-dokumentären The Wonders of the Solar System,

som finns på DVD, innehåller också en del om Europa (spola till ca 40.20).

2 Data från An Introduction to Astrobiology av Rothery, Gilmour och Sephton (Cambridge Uni-

versity Press, 2011).


Uppgift 2 Mars 2013

Två små vikter med massorna m och M (m < M) är sammanbundna med ett lätt

snöre som löper över en friktionsfri trissa. Snöret löper vertikalt och är hela tiden

spänt. De båda vikterna släpps från stillastående. Bestäm ett uttryck för den sträcka

en vikt har rört sig när den har uppnått farten v. ✄

[Fy 1]


Uppgift 1 April 2013

I en artikel i Scientific American från november 1973 (The Flying Leap of the Flea

av M. Rothschild, Y. Schlein, K. Parker, C. Neville och S. Sternberg) kan man

läsa om hur en loppas rörelse vid upphopp studerades med höghastighetskamera

(3500 bilder/s). Nedan visas ett hastighet-tid-diagram för loppans nästan vertikala

upphopp (diagrammet är gjort efter data i artikeln ovan).

Hastighet (cm/s)

140

120

100

80

60

40

20

0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Tid (ms)

(a) Hur långt har loppan kommit efter 0,5 ms? Efter 1,0 ms? Efter 1,5 ms?

(b) Bestäm loppans största acceleration. Jämför med tyngdaccelerationen.

(c) Hur stor är accelerationen vid tiden t = 0?

(d) Gör en uppskattning utifrån diagrammet hur högt upp i luften loppan kommer.

Se om det går att hitta litteraturvärden för loppors hopphöjd. Jämför och kommentera.

Loppan som filmades var av arten Xenopsylla cheopis. Dessa loppor är ca 1–2 mm

långa och väger ungefär 0,21 g. ✄

En sammanfattning av en senare studie (2011) av lopphopp finns här:

http://www.cam.ac.uk/research/news/mystery-of-how-fleas-jump-resolved

Elektronmikroskopibild av en loppa (med konstgjorda färger) och bild av loppa från Robert Hookes

Micrographia (1665). Från Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Flea och http://en.wikipedia

.org/wiki/Micrographia).

[Fy 1]

1.0

1.2

1.4


Uppgift 2 April 2013

Att det är jobbigt att cykla i motvind och lätt i medvind vet vi. Men hur är det om

vinden kommer rakt från sidan?

Undersök hur mycket jobbigare det blir om du cyklar i sidvind med en vindhastighet

som är lika stor som cykelns hastighet. Med “hur mycket jobbigare”

avses här hur många gånger större det arbete är som måste uträttas för att övervinna

luftmotståndet jämfört med när det är vindstilla.

Luftmotståndskraften är proportionell mot vindhastigheten i kvadrat och du får

anta att dess storlek är oberoende av vinkeln mellan cykeln och luftens hastighetsriktning.


[Fy 1]

Cykeltur i Los Angeles 1886. Från Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Penny-farthing).


Uppgift 1 Maj 2013

I många situationer inom naturvetenskapen kan man inte göra noggranna beräkningar

utan man måste nöja sig med grova uppskattningar. Det kan till exempel

röra sig om att beräkna hur många stjärnor det finns i en avlägsen galax. Man har

då bara tillgång på en mätning av ljusstyrkan med ganska stor onoggrannhet och

måste göra antaganden om vilken ljusstyrka varje stjärna har. En sådan beräkning,

eller snarare uppskattning, av antalet stjärnor har en ganska stor osäkerhet, och i de

flesta fall kan man bara ange ungefär rätt tiopotens.

Vi ska nu i ett exempel visa hur man kan göra en uppskattning där målet endast är

att komma fram till ett svar med rätt tiopotens.

Exempel: Hur många granar finns det i Småland?

Lösning: Utan att titta på en karta kan man anta att Småland är en kvadrat

med sidan 10 2 km = 10 5 m (Sverige är ungefär 200 mil långt). Låt oss vidare

anta att det är 10 m i genomsnitt mellan granarna och att hela Småland är

täckt av skog. Vi får nu:

Antal granar ≈ 105 · 10 5

10 · 10

1010

= = 108

102 Den här typen av uppskattningar kallas ibland Fermi-beräkningar, efter den italienske

fysikerna Enrico Fermi (1901–1954).

(a) Använd ovanstående sätt att resonera för att uppskatta hur många liter mjölk

som produceras i Sverige under ett år.

Bild från http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cow_and_calf.jpg

(b) Hur många liter bensin tankas i svenska bilar under ett år?

(c) Hur många liter vatten finns det på jorden? Antag att allt vatten samlades ihop

till en jättelik vattendroppe. Hur stor diameter skulle en sådan droppe ha? Jämför

med jordens diameter. ✄

Här finns en sevärd animerad film om Fermi-uppskattningar:

http://ed.ted.com/lessons/michael-mitchell-a-clever-way-to-estimate-enormous-numbers

[Fy 1]


Uppgift 2 Maj 2013

Två små, lätta ringar är trädda på en horisontell stav. Ringarna är fritt rörliga längs

med staven och sammanbundna med ett lätt snöre med längden a. En vikt fästs

mitt på snöret. Låt friktionstalet mellan ringarna och staven vara µ. Visa att det

µa

största möjliga avståndet mellan ringarna när vikten hänger stilla är . ✄

[Fy 1]

√ 1+µ 2


Uppgift 1 September 2013


Uppgift 1 (Lösningsförslag) November 2012

Antag att Osborn dricker 100 ml (= 1,0 · 10 −4 m 3 ) Cola med temperaturen 0 ◦ C.

Antag vidare att Colan har samma densitet och specifika värmekapacitet som vatten

(1,0 · 10 3 kg/m 3 respektive 4,2 · 10 3 J/(kg K)). Energimängden som åtgår för att

värma Colan till kroppstemperatur (37 ◦ C) blir då

W = cm∆T = cρ V ∆T

= 4,2 · 10 3 · 1,0 · 10 3 · 1,0 · 10 −4 · (37 − 0) J

= 16 · 10 3 J.

Detta är ungefär en faktor 10 mindre än den energi som 100 ml Cola innehåller

enligt innehållsdeklarationen.

Att försöka viktminska genom att dricka kall Cola är således inte någon bra idé.

(Svar) ✁


Uppgift 2 (Lösningsförslag) November 2012

Vi antar att v-t-diagrammet vid en inbromsning ser ut som nedan.

v 0

v

t br

Den sökta reaktionstiden är tbr. Bromssträckan s ges av arean mellan grafen och

t-axeln, det vill säga

s = v0tbr + v0(ttot −tbr)

.

2

Men accelerationen kan skrivas

(1)

a = ∆v −v0

=

∆t ttot −tbr

⇒ ttot −tbr = − v0

a ,

vilket insatt i (1) ger

s = v0tbr − v2 0

2a .

Dividera med v0 så får vi

s

v0

= tbr − v0

. (2)

2a

(Observera att här är a < 0, därav minustecknet.) Detta samband har formen y =

kx + m. Vi ritar nu ett diagram som visar s/v0 som funktion av v0. Om vår modell

stämmer så bör vi få en rät linje. Skärningen med y-axeln ger oss tbr och lutningen

är lika med −1/2a.

s / v 0 (s)

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

0

t tot

v0 (km/h) v0 (m/s) s (m) s/v0 (s)

70 19,4 43 2,21

50 13,9 27 1,94

30 8,33 13 1,56

5

10

v 0 (m/s)

15

t

20


Vi ser att det går att anpassa en rät linje, vilket indikerar att modellen är rimlig.

Anpassar vi en rät linje får vi tbr = 1,1 s.

Svar: Reaktionstiden verkar vara 1,1 s.

Kommentar: De flesta av de som skickade in lösningar resonerade sig fram till

sambandet (2) eller motsvarande på annat vis än ovan. Andra termen i högerledet i

(2), som ger förflyttningen under själva inbromsningen, kan erhållas genom energiresonemang

(∆Wk = Fs) eller från rörelseformler (v2 − v2 0 = 2as). Insättning av

kända värden ger sedan tre ekvationer med två obekanta, varav reaktionstiden är

den ena.

En variant för att sedan bestämma reaktionstiden är att med hjälp av de tre ekvationerna

ställa upp tre stycken olika ekvationssystem, vart och ett med två av

ekvationerna. Lösning av dessa ekvationssystem ger tre värden på reaktionstiden,

och avslutningsvis kan ett medelvärde beräknas.

Överbestämda ekvationssystem kan också lösas i minsta kvadratmening (ligger

dock en bit utanför gymnasiekurserna). Vi utgår från ett ekvationssystem skrivet i

matrisform,

Ax = b.

Man kan visa att den “bästa" lösningen ges av

x = [(A t A) −1 A t ]b,

där A t är transponatet till A. För mer detaljer, till exempel vad som menas med

“bästa” lösningen, se någon linjär algebra-bok (till exempel Linear algebra with

applications av G. Williams (Jones and Bartlett Publishers, 2011) eller Tillämpad

linjär algebra av J. Petersson (1993)). ✁


Uppgift 1 (Lösningsförslag) December 2012

Vi noterar först att de tre vänstra motstånden är parallellkopplade. Deras ersättningsresistans

ges av

1

RE

= 1 1 1

+ +

33 Ω 22 Ω 47 Ω ⇒ RE = 10,31 Ω.

Totala ersättningsresistansen är således (10,31 + 68) Ω = 78,31 Ω, och huvudströmmen

är

I =

9,0 V

= 0,1149 A.

78,31 Ω

Spänningen över de parallellkopplade motstånden är

RE · I = 10,31 Ω · 0,1149 A = 1,184 V.

Den sökta strömmen är

1,184 V

47 Ω

= 0,025 A.

Svar: 25 mA ✁


Uppgift 2 (Lösningsförslag) December 2012

Vi undersöker en kollision i taget. I samtliga beräkningar försummar vi inverkan

av luftmotstånd.

1. Paddy på väg upp mot tunna på väg ned:

Låt Paddys och tunnans fart när de möts vara v m/s. Energiprincipen ger

(nollnivå vid marken)

120 · 9,82 · 40 = (120 + 80) · 9,82 · 20 +

vilket ger v = 8,86 m/s.

(120 + 80) · v2

,

2

Låt Paddys och tunnans gemensamma fart efter stöten vara u m/s. Rörelsemängdens

bevarande ger (positiv riktning nedåt)

120 · 8,86 + 80 · (−8,86) = (120 + 80) · u,

vilket ger u = 1,77 m/s. I kollisionen omvandlas alltså

(120 + 80) · 8,862 J −

2

rörelseenergi till andra energiformer.

2. Paddy slår i trissan:

(120 + 80) · 1,772

2

J = 7,5 · 10 3 J

Vi antar att Paddys och tunnans rörelseenergi direkt efter stöten på uppvägen

(se ovan) inte går förlorad. Låt Paddys fart när han slår i trissan vara v m/s.

Energiprincipen ger (nollnivå vid marken)

(120 + 80) · 1,772

(120 + 80) · 9,82 · 20 + =

2

(120 + 80) · v2

= 80 · 9,82 · 40 + ,

2

vilket ger v = 9,04 m/s. I kollisionen med trissan kommer

80 · 9,042 J = 3,3 · 10

2

3 J

rörelseenergi att omvandlas till andra energiformer.

3. Paddy på väg ned mot tunna på väg upp:

Låt Paddys och tunnans fart när de möts vara v m/s. Observera att tunnan

med tegelstenar nu har massan 70 kg. Energiprincipen ger (nollnivå vid

marken)

80 · 9,82 · 40 = (80 + 70) · 9,82 · 20 +

vilket ger v = 5,12 m/s.

(80 + 70) · v2

,

2

Låt Paddys och tunnans gemensamma fart efter stöten vara u m/s. Rörelsemängdens

bevarande ger (positiv riktning nedåt)

80 · 5,12 + 70 · (−5,12) = (80 + 70) · u,


vilket ger u = 0,34 m/s. I kollisionen omvandlas alltså

(80 + 70) · 5,122 J −

2

(80 + 70) · 0,342

2

J = 2,0 · 10 3 J

rörelseenergi till andra energiformer (andra termen i vänsterledet ovan är

egentligen försumbar).

4. Paddy träffar marken:

Vi antar att Paddys och tunnans rörelseenergi direkt efter stöten på nedvägen

(se ovan) inte går förlorad. Låt Paddys fart när han slår i marken vara v m/s.

Energiprincipen ger (nollnivå vid marken)

(80 + 70) · 0,342

(80 + 70) · 9,82 · 20 + =

2

(80 + 70) · v2

= 70 · 9,82 · 40 + ,

2

vilket ger v = 5,13 m/s. I kollisonen med marken kommer

80 · 5,132 J = 1,1 · 10

2

3 J

rörelseenergi att omvandlas till andra energiformer.

5. Paddy träffas av fallande tegelstenar:

När tegelstenarna lämnar tunnan har de lägesenergin (nollnivå vid marken)

50 · 9,82 · 40 J = 19,6 · 10 3 J,

som under fallet omvandlas till rörelseenergi. I kollisionen med Paddy kommer

alltså 19,6 · 10 3 J rörelseenergi att omvandlas till andra energiformer.

6. Paddy träffas av den fallande tunnan:

Högst upp har den nu tomma tunnan lägesenergin (nollnivå vid marken)

20 · 9,82 · 40 J = 7,9 · 10 3 J,

som under fallet omvandlas till rörelseenergi. I kollisionen med Paddy kommer

alltså 7,9 · 10 3 J rörelseenergi att omvandlas till andra energiformer.

Om vi nu antar att all energi som förloras i respektive kollision absorberas av Paddy

så blir den av Paddy absorberade energin:

Kollision Absorb. energi

1 Paddy på väg upp möter tunna på väg ned 7,5 kJ

2 Paddy slår i trissan 3,3 kJ

3 Paddy på väg ned möter tunna på väg upp 2,0 kJ

4 Paddy slår i marken 1,1 kJ

5 Paddy träffas av tegelstenar 19,6 kJ

6 Paddy träffas av tunnan 7,9 kJ

Svar: Värst för Paddy bör vara att få tegelstenarna över sig.

Kommentar: Farten före stötarna på upp- och nedvägen kan också beräknas med

hjälp av Newtons andra lag och rörelseformler. Newton II på Paddy respektive

tunnan ger

Mg − Fs = Ma

Fs − mg = ma


där M är tunnans massa, m är Paddys massa och Fs är spännkraften i repet. Elimineras

Fs fås

a =

M − m

M + m g.

Farten kan sedan beräknas med hjälp av 2as = v 2 − v 2 0 .

I lösningen ovan har vi antagit att ingen rörelseenergi försvinner direkt efter stöten

på upp- och nedvägen. Det gör ingen större skillnad för slutresultatet om man

gör detta antagande eller utgår från att Paddy efter stötarna på upp- och nedvägen

startar om med hastigheten 0. ✁


Uppgift 1 (Lösningsförslag) Januari 2013

Vi antar att 75 W-lampan hade sådana egenskaper att de sju seriekopplade julgranslamporna

lös som vanligt, det vill säga med effekten 3 W och med spänningen

14 V över vardera lampa. Strömmen genom en julgranslampa fås då ur

P = UI ⇒ I = P

U

3

= A = 0,214 A.

14

Strömmen genom 75 W-lampan var lika stor eftersom den var seriekopplad. Spänningen

över 75 W-lampan bör då ha varit

127 V − 7 · 14 V = 29 V,

och den sökta effekten var

P = UI = 29 V · 0,214 A = 6,2 W.

Svar: 6 W ✁

Kommentar: Alternativt kan man anta att lampornas resistanser är konstanta vid

olika belastningar. Man får då ett värde på den sökta effekten som är lite större än

ovanstående, 8 W.


Uppgift 2 (Lösningsförslag) Januari 2013

(a) Elektronernas hastighet när de lämnar elektronkanonen fås ur (minskningen av

elektrisk lägesenergi är lika stor som ökningen av rörelseenergin)

vilket ger

qeUacc = mv2

2 ,

v =

2qeUacc

m =


2 · 1,602 · 10 −19 · 2,0 · 10 3

9,11 · 10 −31 m/s = 2,65 · 10 7 m/s. (3)

Hastigheten är mindre än 10 % av ljushastigheten, så vi behöver inte räkna relativistiskt.

Vi antar sedan att elektronerna rör sig med samma fart tills de kommer

in mellan plattorna. Vi antar vidare att det elektriska fältet mellan plattorna är homogent

och att fältstyrkan utanför plattorna är noll (så att elektronerna inte börjar

böja av i y-led förrän de kommer in mellan plattorna). Den elektriska fältstyrkan

mellan plattorna är

E = U

d

= 2,0 · 103

0,055 V/m = 36,4 · 103 V/m. (4)

Nu följer vi en elektrons rörelse. Den elektriska kraften på en elektron som befinner

sig mellan plattorna är

F = qeE = 1,60 · 10 −19 · 36,4 · 10 3 N = 5,83 · 10 −15 N. (5)

Accelerationen i y-led kan bestämmas med hjälp av Newtons andra lag:

R = ma ⇒ a = R

m = 5,83 · 10−15 N

9,11 · 10 −31 m/s2 = 6,40 · 10 15 m/s 2 . (6)

(Notera att accelerationen på grund av det elektriska fälet är ca 1015 gånger större

än tyngdaccelerationen!) Tiden det tar för en elektron att röra sig 7,0 cm i x-led fås

ur

x = v0xt ⇒ t = x

= 0,070

2,65 · 107 s = 2,64 · 10−9 s. (7)

Sökta läget i y-led är således

y = v0yt + at2

2 =

v0x


0 + 6,40 · 1015 · (2,64 · 10 −9 ) 2

2


m = 0,022 m. (8)

(b) Insättning av x = b och uttrycket (3) för hastigheten i x-led i uttrycket (7) för

tiden ger, efter kvadrering,

t 2 = x2

v2 0x

=

b2

=

2qeUacc

m

b2m .

2qeUacc

(9)

Insättning av (4) och (5) i (6) ger ett uttryck för accelerationen:

a = R qeE qe U

= = · . (10)

m m m d

Insättning av (9) och (10) i (8) ger till sist ett utryck för avböjningen:

y = 0 + at2

2

1 qeU

= ·

2 md · b2m =

2qeUacc

b2 U

· .

4d Uacc

Avböjningen beror alltså inte av elektronernas massa eller laddning.

Svar: (a) 2,2 cm (b) Se ovan. ✁


Uppgift 1 (Lösningsförslag) Februari 2013

(a) Vi räknar på vad som händer under en timme. Snösmältaren hinner då köra

1 400 m. Volymen av den snö som borstas upp är

V = 0,1 · (2,5 + 2,5) · 1400 m 3 = 700 m 3 .

Denna mängd snö har massan

m = ρ V = 0,07 · 10 3 · 700 kg = 49 · 10 3 kg.

Energin som behövs för att värma snön till 0 ◦ C och smälta den ges av

W = cm∆T +cs m = (2,2·10 3 ·49·10 3 ·5+334·10 3 ·49·10 3 ) J = 16,9·10 9 J.

Mängden diesel som går åt ges av

16,9 · 109 J

44 · 106 = 384 kg.

J/kg

Sökta dieselvolymen ges till sist av

384 kg

= 474liter.

0,81 kg/liter

(b) Uppsamlingsbassängen rymmer enligt tidningsartikeln 50 kubikmeter. I (a)uppgiften

fann vi att snön som samlas in under en timme har massan 49 · 10 3 kg.

Motsvarande smältvatten har volymen

49 · 10 3 kg

998 kg/m 3 = 49,1 m3 .

Tiden till första tömning ges av

50 m3 49,1 m3 = 1,02 h.

/h

Svar: (a) 470 liter (b) Ungefär en gång i timmen. ✁


Uppgift 2 (Lösningsförslag) Februari 2013

(a) Q3 måste placeras på linjen som sammanbinder Q1 och Q2. Vi låter avståndet

från Q3 till Q1 vara xa och avståndet från Q3 till Q2 (1 − x)a.

+q

a

+Q +4q

F F

1 2 1

2

xa (1 – x) a

Sammanlagda kraften på Q3 ska vara noll, vilket ger

k qQ

x2 4qQ

= k

a2 (1 − x) 2a 2 ,

där k är konstanten i Coulombs lag och Q är Q3:s laddning. Omflyttning ger ekvationen

(1 − x) 2 = 4x 2 ,

som kan skrivas om till

x 2 + 2 1

x − = 0.

3 3

Löser vi denna andragradsekvation får vi

x = − 1 2

±

3 3 .

Endast den positiva roten, x = 1

från Q2.

2a

3

3 , är intressant. Q3 ska alltså placeras a

3 från Q1 och

(b) Nu måste Q3 placeras på förlängningen av en linje mellan Q1 och Q2. Vi låter

avståndet från Q3 till Q1 vara xa och avståndet från Q3 till Q2 (1 + x)a.

F 1

+Q +q -4q

F 2

xa

a

1 2

(1 + x) a

Sammanlagda kraften på Q3 ska vara noll, vilket ger

k qQ

x2 4qQ

= k

a2 (1 + x) 2a 2 ,

där k är konstanten i Coulombs lag och Q är Q3:s laddning. Omflyttning ger ekvationen

(1 + x) 2 = 4x 2 ,


som kan skrivas om till

x 2 − 2 1

x − = 0.

3 3

Löser vi denna andragradsekvation får vi

x = 1 2

±

3 3 .

Endast den positiva roten, x = 1, är intressant. Q3 ska alltså placeras a från Q1 och

2a från Q2.

Svar: (a) På avståndet a

3 från Q1 och 2a

3 från Q2. (b) På avståndet a från Q1 och 2a

från Q2 enligt figur ovan. ✁


Uppgift 1 (Lösningsförslag) Mars 2013

Låt volymandelen is vara x. Ett uttryck för den totala densiteten kan då tecknas

ρ = mis + msten

V

= xV ρis + (1 − x)V ρsten

V

där V är Callistos totala volym. Efter lite algebra fås nu

x = ρsten − ρ

.

ρsten − ρis

Insättning av

ρ =

1,076 · 10 23

4π · (2,403 · 10 6 ) 3

och övriga densitetsvärden ger

x =

3

3,10 − 1,851

3,10 − 0,95

= 0,58.

kg/m 3 = 1,851 · 10 3 kg/m 3

= xρis + (1 − x)ρsten,

Svar: 58 % ✁


Uppgift 2 (Lösningsförslag) Mars 2013

Energiprincipen ger (se figur nedan)

0 = Mv2

2

+ mv2

2

vilket kan skrivas om till

eller

s(Mg − mg) =

s = v2 (M + m)

·

2g (M − m) .

Svar: s = v2 (M+m)

2g · (M−m)

+ mgs + (−Mgs)

(M + m)v2

2

Före: Efter:

m M 0-nivå

Kommentar: Uppgiften går också att lösa genom att använda Newtons andra lag

för att bestämma vikternas acceleration och sedan rörelseformler för att bestämma

förflyttningen. Newtons andra lag kan i sin tur användas på två sätt. Antingen

ställer man upp Newtons andra lag för de bägge vikterna eller så betraktar man de

två vikterna som ett system och ställer upp Newtons andra lag för detta. I första

fallet får man ett ekvationssystem med två ekvationer som innehåller snörkraften

och accelerationen som okända, vilka kan bestämmas.

s

s

v

m

M

v


Uppgift 1 (Lösningsförslag) April 2013

(a) Sökta förflyttningarna ges av arean under v-t-grafen som kan uppskattas med

hjälp av trianglar och rektanglar enligt

∆s0−0,5 = 0,50 · 10−3 · 0,34

2

m = 0,09 · 10 −3 m

∆s0−1,0 = 1,0 · 10−3 · 0,90

m = 0,45 · 10

2

−3 m


1,2 · 10−3 · 1,13

∆s0−1,5 =

+ 0,3 · 10

2

−3

· 1,28 m = 1,1 · 10 −3 m

(b) Accelerationen är som störst när v-t-grafen är som brantast, det vill säga ungefär

vid 0,55 ms. Accelerationen ges av tangentens lutning i den punkten

a =

Detta är 1,2·103

9,8

(0,73 − 0) m/s

(0,80 − 0,20) · 10 −3 s = 1,2 · 103 m/s 2 .

≈ 120 gånger större än tyngdaccelerationen!

(c) Accelerationen ges av tangentens lutning i origo

a =

(0,38 − 0) m/s

(0,80 − 0) · 10 −3 s = 0,48 · 103 m/s 2 .

(d) Efter 1,2 s ökar inte längre hastigheten vilket innebär att loppan där släpper

kontakten med underlaget. Loppan kommer alltså att göra ett upphopp med utgångshastigheten

1,3 m/s. Vi antar att hoppet är vertikalt och att luftmotstånd kan

försummas. Hopphöjden fås då ur (positiv riktning uppåt)

2as = v 2 − v 2 0 ⇒ s = v2 − v2 0

2a = 02 − 1,32 m = 0,09 m.

2 · (−9,82)

I artikeln som det refereras till i uppgiften står att loppor av den undersökta arten

kan hoppa upp till 90 mm upp i luften. En medelloppa hoppar upp 60-70 mm.

Dessa siffror är i linje med resultatet från beräkningen. Det finns dock andra lopparter

som kan hoppa betydligt högre, över 3 dm upp i luften.

Svar: (a) 0,09 mm, 0,45 mm respektive 1,1 mm. (b) 1,2 km/s 2 (c) 0,48 km/s 2

(d) 9 cm. ✁


Uppgift 2 (Lösningsförslag) April 2013

När det är vindstilla och man cyklar med farten v är relativa vindhastigheten v och

luftmotståndskraften F0 = kv 2 , där k är en proportionalitetskonstant. Om vi antar

att den cyklade sträckan är s är det mot luftmotståndskraften uträttade arbetet

Avindstilla = F0 s.

Vindstilla:

Cyklistens rörelseriktning

v F 0 = kv 2

Sidvind med vindhastigheten v:

v

v

2v

Blåser det sidvind enligt uppgiften blir relativa vindhastigheten √ 2v. Luftmotståndskraften

är nu F = k( √ 2v) 2 = 2kv 2 = 2F0.

Luftmotståndskraftens komposant i rörelseriktningen är

Fs = 2F0

√2 = √ 2F0.

Det mot luftmotståndskraften uträttade arbetet är nu

Asidvind = Fs s = √ 2F0 s = √ 2Avindstilla.

Det är alltså 1,4 gånger (eller 40 %) jobbigare att cykla i sidvind än när det är

vindstilla.

Svar: 1,4 gånger ✁

F s

F


Uppgift 1 (Lösningsförslag) Maj 2013

Man kan resonera på olika sätt, och göra olika uppskattningar, när man löser Fermiproblem.

Här visas exempel på hur man kan resonera.

(a) Antag att varje svensk konsumerar 2 liter mejeriprodukter per vecka, det vill

säga 10 2 liter per år. Det bor ungefär 10 7 personer i Sverige. Om det produceras

lika mycket som det konsumeras innebär detta att att den årliga mjölkproduktionen

är 10 2 · 10 7 liter = 10 9 liter.

(På www.svenskmjolk.se/Statistik/ kan man läsa att det under år 2012 vägdes in

2 860 000 ton mjölk i Sverige. Uppskattningen gav alltså rätt storleksordning.)

(b) Antag att en bil rullar 1 000 mil per år (i snitt 3 mil per dag). Typisk bensinförbrukning

är 1 liter per mil. I vaje bil tankas alltså 10 3 liter bensin per år. Antalet

bilar uppskattas till 10 6 . Det bör alltså tankas 10 3 · 10 6 liter = 10 9 liter bensin per

år i svenska bilar.

(Enligt http://spbi.se/statistik/volymer/volymer-drivmedel/ utlevererades under 2012

nästan 4 miljoner m 3 bensin. Uppskattningen gav alltså rätt storleksordning.)

(c) Vi approximerar jorden med en kub med sidan 1 000 mil = 10 7 m (jordens

omkrets är ungefär 4 000 mil). Kubens begränsningsarea är 6 · 10 7 · 10 7 m 2 ≈

10 15 m 2 . Antag att hela jorden är täckt med vatten med djupet 1 km = 10 3 m.

Totala vattenvolymen är då 10 15 ·10 3 m 3 = 10 18 m 3 . Om vi antar att vattendroppen

har formen av en kub blir kantlängden (10 18 ) 1 3 m = 10 6 m, vilket är ungefär en

tiondel av jordkubens kantlängd. Vattendroppen bör alltså ha en diameter som är

ungefär en tiondel av jordens diameter.

(På en hemsida från U.S. Geological Survey (http://ga.water.usgs.gov/edu/earthhow

much.html) finns en bild som visar allt vatten på jorden som en droppe ovanför

USA, med en diameter som är lite större än en tiondel av jorddiametern. Det

framgår inte hur de har räknat, men vi utgår från att de har gjort ordentlig uppskattning.

Återigen gav vår uppskattning rätt storleksordning.)

Notera att ju fler antaganden som behöver göras, desto bättre brukar uppskattningen

bli. När man gör många antaganden minskar risken att samtliga antaganden

alla är över- eller underskattningar. ✁


Uppgift 2 (Lösningsförslag) Maj 2013

Låt avståndet mellan ringarna när de är på största möjliga avstånd från varandra

vara x.

a

2

x

2

x

α

Betrakta den högra ringen. Tre krafter verkar på den: en uppåtriktad kraft från

staven, en friktionskraft från staven och en kraft från snöret. När ringarna är så

långt från varandra som möjligt är friktionen fullt utvecklad, det vill säga Ff = µFN.

F s

F N

F f = µ F N

x

2

a

2

F N

F f = µ F N

Eftersom ringen är i jämvikt måste de tre krafterna bilda en triangel enligt figuren

ovan till höger. Pythagoras sats i denna krafttriangel ger

F 2

s = (µFN) 2 + F 2 N ⇒ Fs = 1 + µ 2 FN.

Likformiga trianglar ger nu

x

2

a

2

= µFN

Fs

=

µFN

1 + µ 2 FN

⇒ x =

α

µa

1 + µ 2 .

F s


Uppgift 1 (Lösningsförslag) September 2013