27.10.2013 Views

Gamla Månadens problem (pdf) - Svenska Fysikersamfundet

Gamla Månadens problem (pdf) - Svenska Fysikersamfundet

Gamla Månadens problem (pdf) - Svenska Fysikersamfundet

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

<strong>Månadens</strong> <strong>problem</strong>-arkivet<br />

<strong>Månadens</strong> <strong>problem</strong> arrangeras av lektorsgruppen inom <strong>Svenska</strong> <strong>Fysikersamfundet</strong><br />

som en del av arbetet kring Wallenbergs fysikpris. Första måndagen varje månad<br />

presenteras <strong>problem</strong> på tävlingens hemsida. Gymnasieelever kan arbeta i lag med<br />

<strong>problem</strong>en och bland rätta inskickade lösningar lösningar lottas biobiljetter ut. Se<br />

tävlingens hemsida<br />

www.fysikersamfundet.se/fysiktavlingen<br />

för mer information och aktuellt månadens <strong>problem</strong>.<br />

I denna <strong>pdf</strong>-fil finns samtliga <strong>Månadens</strong> <strong>problem</strong> samlade. Först kommer uppgifterna,<br />

en på varje sida, och sedan lösningsförslag.<br />

En del av <strong>Månadens</strong> <strong>problem</strong> har utgått från tidningsurklipp. För att vara säkra<br />

på att inte bryta mot eventuell upphovsrätt har vi inte tagit med dessa urklipp här.<br />

Skulle du som lärare vilja ha en kopia av något tidningsurklipp så hör av dig till<br />

christian.p.karlsson@gmail.com<br />

Längst ned på varje sida har vi markerat om det behövs Fy 1-kunskaper eller Fy<br />

2-kunskaper för att lösa uppgiften.<br />

Om du läser detta på en dator kan du hoppa mellan uppgift och lösningsförslag<br />

genom att klicka på symbolerna ✄ respektive ✁.


Uppgift 1 November 2012<br />

Kal och Osborn sitter i hamnen i Göteborg och funderar. Plötsligt får Osborn en<br />

snilleblixt.<br />

"Dö Kal, borde man inte kunna gå ner i vikt om man dricker tillräckligt<br />

kall Cola? Det går la åt en hel del energi för att värma den i magen?"<br />

Vad säger du? Kan Osborn viktminska genom att dricka kall Cola? Svaret skall<br />

vara baserat på relevanta och korrekta beräkningar samt rimliga antaganden. Nedan<br />

visas innehållsdeklarationen på en Cola-flaska. ✄<br />

[Fy 1]


Uppgift 2 November 2012<br />

Urklippet nedan är taget från en informationsbroschyr som kom för några år sedan<br />

från Vägverket. Använd data i figuren för att uppskatta hur lång reaktionstiden (det<br />

vill säga tiden det tar innan farten börjar minska) är när man gör en panikinbromsning<br />

med bil!<br />

Glöm inte att beskriva och motivera de antaganden du gör. ✄<br />

[Fy 1]


Uppgift 1 December 2012<br />

Hur stor blir strömmen genom 47 Ω-motståndet i kretsen nedan? ✄<br />

[Fy 1]<br />

33 Ω<br />

22 Ω<br />

47 Ω<br />

68 Ω<br />

+<br />

9,0 V<br />


Uppgift 2 December 2012<br />

Låten The Sick Note, som spelats in av bland annat The Dubliners (se www.youtube<br />

.com/watch?v=fx7aoEBtPXA), handlar om den otursförföljde byggnadsarbetaren<br />

Paddy. Paddy skulle ta ner tegelstenar i en tunna från 14:e våningen. Han fäste<br />

ett rep, som löpte över en trissa, i tunnan och ställde sig nere på marken. Vad som<br />

sedan hände framgår av låttexten (från www.patcooksey.com/ lyric_the_sick_note.html):<br />

. . .<br />

And so when I untied the rope, the barrel fell like lead<br />

And clinging tightly to the rope I started up instead<br />

I shot up like a rocket till to my dismay I found<br />

That half way up I met the bloody barrel coming down.<br />

Well the barrel broke my shoulder, as to the ground it sped<br />

And when I reached the top I banged the pulley with my head<br />

I clung on tightly, numb with shock, from this almighty blow<br />

And the barrel spilled out half the bricks, fourteen floors below.<br />

Now when these bricks had fallen from the barrel to the floor<br />

I then outweighed the barrel and so started down once more<br />

Still clinging tightly to the rope, my body racked with pain<br />

When half way down, I met the bloody barrel once again.<br />

The force of this collision, half way up the office block<br />

Caused multiple abrasions and a nasty state of shock<br />

Still clinging tightly to the rope I fell towards the ground<br />

And I landed on the broken bricks the barrel scattered round.<br />

I lay there groaning on the ground I thought I’d passed the worst<br />

But the barrel hit the pulley wheel, and then the bottom burst<br />

A shower of bricks rained down on me, I hadn’t got a hope<br />

As I lay there bleeding on the ground, I let go the bloody rope.<br />

The barrel then being heavier then started down once more<br />

And landed right across me as I lay upon the floor<br />

It broke three ribs, and my left arm, and I can only say<br />

That I hope you’ll understand why Paddy’s not at work today.<br />

Antag att tegelstenarna vägde 100 kg, tunnan 20 kg, Paddy 80 kg och att 14:e<br />

våningen var belägen 40 m ovanför marken.<br />

Undersök vilken av Paddys sex kollisioner som orsakade störst skada genom att<br />

med beräkningar uppskatta den energi som absorberats av Paddy i var och en av<br />

kollisionerna, givet följande antaganden:<br />

• Antag att kollisionerna sker mellan likadana och plana ytor (bortse alltså från<br />

att vissa tegelstenar kan vara kantiga och därmed extra skadliga).<br />

• Kollisionerna anses vara fullständigt oelastiska och korta, och repet gör så<br />

att tunnan omedelbart lossnar från Paddy vid kollisionerna på upp- och nedvägen.<br />

Ytterligare två Youtube-klipp som kan vara av intresse:<br />

Mythbusters har undersökt hur det skulle gått för Paddy i verkligheten, se www.you<br />

tube.com/watch?v=Vt230Pd1oSo<br />

På www.youtube.com/watch?v=iA5RGI3zn20 finns en slags video till låten. ✄


Uppgift 1 Januari 2013<br />

När nu adventsljusstakarna börjar plockas bort från fönstren passar vi på att uppmärksamma<br />

elljusstakens historia. I nedanstående klipp från Göteborgs-Posten<br />

(den 3 december 2012) kan vi se att den första prototypen tillverkades av ljus från<br />

kasserade julgransbelysningar som seriekopplades med en 75 W-lampa.<br />

Elljusstaken, i dag en självklarhet i advents- och julpyntet i de flesta hem, uppfanns<br />

1934 av den unge Oscar Andersson (1909-1996). Han arbetade då på Philips lager<br />

i Göteborg och tog bland annat hand om julgransbelysningar som kom i retur. Oscar<br />

bad om lov att få de trasiga belysningarna och började experimentera hemma i<br />

föräldrahemmet i Landala. Han köpte en ljusstake av trä på Grand Bazar för två kronor,<br />

borrade upp hålen för stearinljusen så att lampsocklarna passade och högg med<br />

stämjärn en skåra på undersidan för sladdarna. Skåran täckte han med en pappremsa<br />

och så är ju elljusstakarna fortfarande konstruerade. Julgransbelysningen har många<br />

fler lampor än de sju i ljusstaken, så för att inte lamporna skulle får för hög spänning<br />

och gå sönder kopplade Oscar en 75 watts glödlampa som motstånd. Den glödde bara<br />

svagt och gick lätt att dölja bakom en gardin.<br />

Nu var elljusstaken född. Oscar visade uppfinningen för försäljningschefen i Göteborg<br />

som tyckte idén var lysande. Efter övertalning gick huvudkontoret i Stockholm<br />

med på att göra en provserie på 2 000 exemplar som tillverkades av fabrikanten Sjölander<br />

i Värnamo, som gjorde ljusstakar i trä.<br />

Resten är historia. Men något patent tänkte Oscar aldrig på att ta och inom företaget<br />

verkade alla ha glömt att det var Oscar som uppfann försäljningssuccén.<br />

Det här grämde Oscar på gamla dar och svärsonen Hans Ahlquist bestämde sig för<br />

att ta reda på sanningen. Han pratade med Oscar och hans gamla arbetskamrater<br />

och spårade upp de första elljusstakarna som Oscar gjorde i Landala. Det är tack vare<br />

Hans vi vet hur det verkligen gick till när elljusstaken uppfanns, se www.adventssljusstaken.se.<br />

[GP 121203]<br />

På www.adventsljusstaken.se kan man läsa att spänningen från vägguttag i Göteborg<br />

vid den här tiden var 127 V och att julgransbelysningarna som Oscar Andersson<br />

plockade isär bestod av 14 V-lampor. Antag att varje lampa gav effekten<br />

3 W.<br />

Hur stor effekt utvecklades i 75 W-lampan när den sjuarmade elljusstaken kopplades<br />

i serie med denna? Motivera eventuella antaganden! ✄<br />

[Fy 1]


Uppgift 2 Januari 2013<br />

Elekroner accelereras av spänningen Uacc = 2,0 kV i ett elektronstrålerör och kommer<br />

in i ett område mellan två parallella, ledande plattor, mellan vilka spänningen<br />

också är U = 2,0 kV. Experimentuppställningen visas nedan (spänningarna<br />

var dock annorlunda vid fotograferingstillfället). Avståndet mellan plattorna är<br />

d = 5,5 cm.<br />

(a) Beräkna avböjningen i y-led, y, för elektronerna när att de har rört sig sträckan<br />

b = 7,0 cm i x-led i området mellan plattorna.<br />

(b) Visa att avböjningen y i (a)-uppgiften varken beror av elektronernas massa eller<br />

laddning. ✄<br />

Schematisk figur av själva elektronstråleröret:<br />

U<br />

+<br />

–<br />

[Fy 2]<br />

d<br />

y<br />

x<br />

b<br />

y<br />

+<br />

U acc<br />

e –<br />

–<br />

Glödtråd


Uppgift 1 Februari 2013<br />

I Ny Teknik den 12 oktober 2011 kunde man läsa om “Världens största snösmältare”.<br />

Snösmältaren samlar snön i ett smältkar som värms av ett dieselaggregat<br />

(se klipp nedan). Sidoborstarna når 2,5 meter åt vardera hållet räknat från järnvägsspårets<br />

mitt.<br />

Inte en vinter till med snökaos, sa Trafikverket och beställde en gigantisk snöröjare<br />

av teknikföretaget Railcare i Skelleftehamn. . . .<br />

Snow Removal 700 är ingen vanlig snöröjare som vräker undan snön från spåren. I<br />

stället borstar den upp snön och smälter den i en stor uppvärmd smältvagn.<br />

SR 700 blir världens största snösmältare för järnväg – en 60 meter lång, dieseldriven<br />

koloss på drygt hundra ton som kan röja 700 meter spår med 10-20 cm nyfallen snö<br />

på en halvtimme.<br />

En operatör sköter borstarna, en lokförare kör tåget och en operatör sköter smältaggregatet.<br />

• Sidoborstarna når 2,5 meter åt vardera hållet och sopar in snön från spår och<br />

perrong mot mitten av spåret.<br />

• All snö samlas upp av huvudborsten.<br />

• Snön slungas in i smältvagnen bakom lokföraren.<br />

• Smältkaret i smältvagnen värms av ett dieselaggregat.<br />

• Det smälta vattnet samlas upp i nästa vagn som rymmer 50 kubikmeter. Ett<br />

partikelfilter renar vattnet, som töms i närmaste dagvattenledning.<br />

[NyT 111012]<br />

(a) Uppskatta hur många liter diesel det går åt per timme för att smälta ett 10<br />

cm tjockt nysnötäcke med densiteten 0,07 g/cm 3 och temperaturen –5 ◦ C. Energiinnehållet<br />

i diesel kan antas vara detsamma som i bensin, 44 MJ/kg. Räkna med<br />

att diesel har densiteten 0,81 kg/liter.<br />

(b) Hur ofta behöver snösmältaren tömmas?<br />

Här kan man läsa mer om snösmältaren:<br />

www.nyteknik.se/nyheter/fordon_motor/jarnvag/article3283228.ece<br />

www.trafikverket.se/Privat/Vagar-och-jarnvagar/Sa-skoter-vi-jarnvagar/Snorojningav-jarnvagen/Snosmaltningsmaskin/<br />

www.railcare.se/download/Swe_Folder_Screen.<strong>pdf</strong><br />

http://norran.se/2012/12/skelleftehamn/succe-for-snosmaltaren/<br />

www.nyteknik.se/nyheter/fordon_motor/jarnvag/article3594746.ece<br />

www.nyteknik.se/nyheter/fordon_motor/jarnvag/article3646189.ece ✄<br />

[Fy 1]


Uppgift 2 Februari 2013<br />

Två punktladdningar Q1 = +q och Q2 = +4q befinner sig på avståndet a från<br />

varandra. En tredje, positiv punktladdning Q3 ska placeras på sådant sätt att den<br />

sammanlagda kraften som verkar på Q3 blir noll.<br />

(a) Var ska Q3 placeras?<br />

(b) Antag att att Q2 istället var negativt laddad (Q2 = −4q). Var skulle då Q3<br />

placeras? ✄<br />

[Fy 1]


Uppgift 1 Mars 2013<br />

Jupiter omger sig med ett stort antal månar varav de fyra största, Io, Europa,<br />

Ganymede och Callisto upptäcktes av Galileo Galilei i början av 1600-talet. Månarna,<br />

framför allt Europa, har visat sig vara intressanta i sökandet efter liv utanför<br />

jorden. Bland annat indikerar noggranna analyser av bilder på Europas isiga yta att<br />

det under isytan finns, eller har funnits, flytande vatten. 1<br />

Den näst största av Jupiters månar, Callisto, har massan 1,076 · 10 23 kg och medelradien<br />

2 403 km. 2 Callisto består främst av en blandning av sten och is. Uppskatta<br />

hur stor andel av Callistos volym som utgörs av is! Antag att stenen i Callisto har<br />

lika stor densitet som kondriter (en typ av meteoriter), 3,10 · 10 3 kg/m 3 , och att<br />

isen har densiteten 0,95 · 10 3 kg/m 3 . Redovisa eventuella andra antaganden som<br />

görs vid beräkningarna. ✄<br />

Figur 1 Callisto i maj 2001 från rymdsonden Galileo. Bild från http://en.wikipedia.org/<br />

wiki/Callisto_(moon).<br />

Figur 2 Jämförelse av jorden, månen och Callisto (längst ned till vänster). Bild från<br />

http://en.wikipedia.org/wiki/Callisto_(moon).<br />

[Fy 1]<br />

1 Ett Youtube-klipp om Europa finns här: http://www.youtube.com/watch?v=37gEwRmPgK8<br />

(från The Open University). Avsnitt fem av BBC-dokumentären The Wonders of the Solar System,<br />

som finns på DVD, innehåller också en del om Europa (spola till ca 40.20).<br />

2 Data från An Introduction to Astrobiology av Rothery, Gilmour och Sephton (Cambridge Uni-<br />

versity Press, 2011).


Uppgift 2 Mars 2013<br />

Två små vikter med massorna m och M (m < M) är sammanbundna med ett lätt<br />

snöre som löper över en friktionsfri trissa. Snöret löper vertikalt och är hela tiden<br />

spänt. De båda vikterna släpps från stillastående. Bestäm ett uttryck för den sträcka<br />

en vikt har rört sig när den har uppnått farten v. ✄<br />

[Fy 1]


Uppgift 1 April 2013<br />

I en artikel i Scientific American från november 1973 (The Flying Leap of the Flea<br />

av M. Rothschild, Y. Schlein, K. Parker, C. Neville och S. Sternberg) kan man<br />

läsa om hur en loppas rörelse vid upphopp studerades med höghastighetskamera<br />

(3500 bilder/s). Nedan visas ett hastighet-tid-diagram för loppans nästan vertikala<br />

upphopp (diagrammet är gjort efter data i artikeln ovan).<br />

Hastighet (cm/s)<br />

140<br />

120<br />

100<br />

80<br />

60<br />

40<br />

20<br />

0<br />

0.0<br />

0.2<br />

0.4<br />

0.6<br />

0.8<br />

Tid (ms)<br />

(a) Hur långt har loppan kommit efter 0,5 ms? Efter 1,0 ms? Efter 1,5 ms?<br />

(b) Bestäm loppans största acceleration. Jämför med tyngdaccelerationen.<br />

(c) Hur stor är accelerationen vid tiden t = 0?<br />

(d) Gör en uppskattning utifrån diagrammet hur högt upp i luften loppan kommer.<br />

Se om det går att hitta litteraturvärden för loppors hopphöjd. Jämför och kommentera.<br />

Loppan som filmades var av arten Xenopsylla cheopis. Dessa loppor är ca 1–2 mm<br />

långa och väger ungefär 0,21 g. ✄<br />

En sammanfattning av en senare studie (2011) av lopphopp finns här:<br />

http://www.cam.ac.uk/research/news/mystery-of-how-fleas-jump-resolved<br />

Elektronmikroskopibild av en loppa (med konstgjorda färger) och bild av loppa från Robert Hookes<br />

Micrographia (1665). Från Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Flea och http://en.wikipedia<br />

.org/wiki/Micrographia).<br />

[Fy 1]<br />

1.0<br />

1.2<br />

1.4


Uppgift 2 April 2013<br />

Att det är jobbigt att cykla i motvind och lätt i medvind vet vi. Men hur är det om<br />

vinden kommer rakt från sidan?<br />

Undersök hur mycket jobbigare det blir om du cyklar i sidvind med en vindhastighet<br />

som är lika stor som cykelns hastighet. Med “hur mycket jobbigare”<br />

avses här hur många gånger större det arbete är som måste uträttas för att övervinna<br />

luftmotståndet jämfört med när det är vindstilla.<br />

Luftmotståndskraften är proportionell mot vindhastigheten i kvadrat och du får<br />

anta att dess storlek är oberoende av vinkeln mellan cykeln och luftens hastighetsriktning.<br />

✄<br />

[Fy 1]<br />

Cykeltur i Los Angeles 1886. Från Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Penny-farthing).


Uppgift 1 Maj 2013<br />

I många situationer inom naturvetenskapen kan man inte göra noggranna beräkningar<br />

utan man måste nöja sig med grova uppskattningar. Det kan till exempel<br />

röra sig om att beräkna hur många stjärnor det finns i en avlägsen galax. Man har<br />

då bara tillgång på en mätning av ljusstyrkan med ganska stor onoggrannhet och<br />

måste göra antaganden om vilken ljusstyrka varje stjärna har. En sådan beräkning,<br />

eller snarare uppskattning, av antalet stjärnor har en ganska stor osäkerhet, och i de<br />

flesta fall kan man bara ange ungefär rätt tiopotens.<br />

Vi ska nu i ett exempel visa hur man kan göra en uppskattning där målet endast är<br />

att komma fram till ett svar med rätt tiopotens.<br />

Exempel: Hur många granar finns det i Småland?<br />

Lösning: Utan att titta på en karta kan man anta att Småland är en kvadrat<br />

med sidan 10 2 km = 10 5 m (Sverige är ungefär 200 mil långt). Låt oss vidare<br />

anta att det är 10 m i genomsnitt mellan granarna och att hela Småland är<br />

täckt av skog. Vi får nu:<br />

Antal granar ≈ 105 · 10 5<br />

10 · 10<br />

1010<br />

= = 108<br />

102 Den här typen av uppskattningar kallas ibland Fermi-beräkningar, efter den italienske<br />

fysikerna Enrico Fermi (1901–1954).<br />

(a) Använd ovanstående sätt att resonera för att uppskatta hur många liter mjölk<br />

som produceras i Sverige under ett år.<br />

Bild från http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cow_and_calf.jpg<br />

(b) Hur många liter bensin tankas i svenska bilar under ett år?<br />

(c) Hur många liter vatten finns det på jorden? Antag att allt vatten samlades ihop<br />

till en jättelik vattendroppe. Hur stor diameter skulle en sådan droppe ha? Jämför<br />

med jordens diameter. ✄<br />

Här finns en sevärd animerad film om Fermi-uppskattningar:<br />

http://ed.ted.com/lessons/michael-mitchell-a-clever-way-to-estimate-enormous-numbers<br />

[Fy 1]


Uppgift 2 Maj 2013<br />

Två små, lätta ringar är trädda på en horisontell stav. Ringarna är fritt rörliga längs<br />

med staven och sammanbundna med ett lätt snöre med längden a. En vikt fästs<br />

mitt på snöret. Låt friktionstalet mellan ringarna och staven vara µ. Visa att det<br />

µa<br />

största möjliga avståndet mellan ringarna när vikten hänger stilla är . ✄<br />

[Fy 1]<br />

√ 1+µ 2


Uppgift 1 September 2013


Uppgift 1 (Lösningsförslag) November 2012<br />

Antag att Osborn dricker 100 ml (= 1,0 · 10 −4 m 3 ) Cola med temperaturen 0 ◦ C.<br />

Antag vidare att Colan har samma densitet och specifika värmekapacitet som vatten<br />

(1,0 · 10 3 kg/m 3 respektive 4,2 · 10 3 J/(kg K)). Energimängden som åtgår för att<br />

värma Colan till kroppstemperatur (37 ◦ C) blir då<br />

W = cm∆T = cρ V ∆T<br />

= 4,2 · 10 3 · 1,0 · 10 3 · 1,0 · 10 −4 · (37 − 0) J<br />

= 16 · 10 3 J.<br />

Detta är ungefär en faktor 10 mindre än den energi som 100 ml Cola innehåller<br />

enligt innehållsdeklarationen.<br />

Att försöka viktminska genom att dricka kall Cola är således inte någon bra idé.<br />

(Svar) ✁


Uppgift 2 (Lösningsförslag) November 2012<br />

Vi antar att v-t-diagrammet vid en inbromsning ser ut som nedan.<br />

v 0<br />

v<br />

t br<br />

Den sökta reaktionstiden är tbr. Bromssträckan s ges av arean mellan grafen och<br />

t-axeln, det vill säga<br />

s = v0tbr + v0(ttot −tbr)<br />

.<br />

2<br />

Men accelerationen kan skrivas<br />

(1)<br />

a = ∆v −v0<br />

=<br />

∆t ttot −tbr<br />

⇒ ttot −tbr = − v0<br />

a ,<br />

vilket insatt i (1) ger<br />

s = v0tbr − v2 0<br />

2a .<br />

Dividera med v0 så får vi<br />

s<br />

v0<br />

= tbr − v0<br />

. (2)<br />

2a<br />

(Observera att här är a < 0, därav minustecknet.) Detta samband har formen y =<br />

kx + m. Vi ritar nu ett diagram som visar s/v0 som funktion av v0. Om vår modell<br />

stämmer så bör vi få en rät linje. Skärningen med y-axeln ger oss tbr och lutningen<br />

är lika med −1/2a.<br />

s / v 0 (s)<br />

2.5<br />

2.0<br />

1.5<br />

1.0<br />

0.5<br />

0.0<br />

0<br />

t tot<br />

v0 (km/h) v0 (m/s) s (m) s/v0 (s)<br />

70 19,4 43 2,21<br />

50 13,9 27 1,94<br />

30 8,33 13 1,56<br />

5<br />

10<br />

v 0 (m/s)<br />

15<br />

t<br />

20


Vi ser att det går att anpassa en rät linje, vilket indikerar att modellen är rimlig.<br />

Anpassar vi en rät linje får vi tbr = 1,1 s.<br />

Svar: Reaktionstiden verkar vara 1,1 s.<br />

Kommentar: De flesta av de som skickade in lösningar resonerade sig fram till<br />

sambandet (2) eller motsvarande på annat vis än ovan. Andra termen i högerledet i<br />

(2), som ger förflyttningen under själva inbromsningen, kan erhållas genom energiresonemang<br />

(∆Wk = Fs) eller från rörelseformler (v2 − v2 0 = 2as). Insättning av<br />

kända värden ger sedan tre ekvationer med två obekanta, varav reaktionstiden är<br />

den ena.<br />

En variant för att sedan bestämma reaktionstiden är att med hjälp av de tre ekvationerna<br />

ställa upp tre stycken olika ekvationssystem, vart och ett med två av<br />

ekvationerna. Lösning av dessa ekvationssystem ger tre värden på reaktionstiden,<br />

och avslutningsvis kan ett medelvärde beräknas.<br />

Överbestämda ekvationssystem kan också lösas i minsta kvadratmening (ligger<br />

dock en bit utanför gymnasiekurserna). Vi utgår från ett ekvationssystem skrivet i<br />

matrisform,<br />

Ax = b.<br />

Man kan visa att den “bästa" lösningen ges av<br />

x = [(A t A) −1 A t ]b,<br />

där A t är transponatet till A. För mer detaljer, till exempel vad som menas med<br />

“bästa” lösningen, se någon linjär algebra-bok (till exempel Linear algebra with<br />

applications av G. Williams (Jones and Bartlett Publishers, 2011) eller Tillämpad<br />

linjär algebra av J. Petersson (1993)). ✁


Uppgift 1 (Lösningsförslag) December 2012<br />

Vi noterar först att de tre vänstra motstånden är parallellkopplade. Deras ersättningsresistans<br />

ges av<br />

1<br />

RE<br />

= 1 1 1<br />

+ +<br />

33 Ω 22 Ω 47 Ω ⇒ RE = 10,31 Ω.<br />

Totala ersättningsresistansen är således (10,31 + 68) Ω = 78,31 Ω, och huvudströmmen<br />

är<br />

I =<br />

9,0 V<br />

= 0,1149 A.<br />

78,31 Ω<br />

Spänningen över de parallellkopplade motstånden är<br />

RE · I = 10,31 Ω · 0,1149 A = 1,184 V.<br />

Den sökta strömmen är<br />

1,184 V<br />

47 Ω<br />

= 0,025 A.<br />

Svar: 25 mA ✁


Uppgift 2 (Lösningsförslag) December 2012<br />

Vi undersöker en kollision i taget. I samtliga beräkningar försummar vi inverkan<br />

av luftmotstånd.<br />

1. Paddy på väg upp mot tunna på väg ned:<br />

Låt Paddys och tunnans fart när de möts vara v m/s. Energiprincipen ger<br />

(nollnivå vid marken)<br />

120 · 9,82 · 40 = (120 + 80) · 9,82 · 20 +<br />

vilket ger v = 8,86 m/s.<br />

(120 + 80) · v2<br />

,<br />

2<br />

Låt Paddys och tunnans gemensamma fart efter stöten vara u m/s. Rörelsemängdens<br />

bevarande ger (positiv riktning nedåt)<br />

120 · 8,86 + 80 · (−8,86) = (120 + 80) · u,<br />

vilket ger u = 1,77 m/s. I kollisionen omvandlas alltså<br />

(120 + 80) · 8,862 J −<br />

2<br />

rörelseenergi till andra energiformer.<br />

2. Paddy slår i trissan:<br />

(120 + 80) · 1,772<br />

2<br />

J = 7,5 · 10 3 J<br />

Vi antar att Paddys och tunnans rörelseenergi direkt efter stöten på uppvägen<br />

(se ovan) inte går förlorad. Låt Paddys fart när han slår i trissan vara v m/s.<br />

Energiprincipen ger (nollnivå vid marken)<br />

(120 + 80) · 1,772<br />

(120 + 80) · 9,82 · 20 + =<br />

2<br />

(120 + 80) · v2<br />

= 80 · 9,82 · 40 + ,<br />

2<br />

vilket ger v = 9,04 m/s. I kollisionen med trissan kommer<br />

80 · 9,042 J = 3,3 · 10<br />

2<br />

3 J<br />

rörelseenergi att omvandlas till andra energiformer.<br />

3. Paddy på väg ned mot tunna på väg upp:<br />

Låt Paddys och tunnans fart när de möts vara v m/s. Observera att tunnan<br />

med tegelstenar nu har massan 70 kg. Energiprincipen ger (nollnivå vid<br />

marken)<br />

80 · 9,82 · 40 = (80 + 70) · 9,82 · 20 +<br />

vilket ger v = 5,12 m/s.<br />

(80 + 70) · v2<br />

,<br />

2<br />

Låt Paddys och tunnans gemensamma fart efter stöten vara u m/s. Rörelsemängdens<br />

bevarande ger (positiv riktning nedåt)<br />

80 · 5,12 + 70 · (−5,12) = (80 + 70) · u,


vilket ger u = 0,34 m/s. I kollisionen omvandlas alltså<br />

(80 + 70) · 5,122 J −<br />

2<br />

(80 + 70) · 0,342<br />

2<br />

J = 2,0 · 10 3 J<br />

rörelseenergi till andra energiformer (andra termen i vänsterledet ovan är<br />

egentligen försumbar).<br />

4. Paddy träffar marken:<br />

Vi antar att Paddys och tunnans rörelseenergi direkt efter stöten på nedvägen<br />

(se ovan) inte går förlorad. Låt Paddys fart när han slår i marken vara v m/s.<br />

Energiprincipen ger (nollnivå vid marken)<br />

(80 + 70) · 0,342<br />

(80 + 70) · 9,82 · 20 + =<br />

2<br />

(80 + 70) · v2<br />

= 70 · 9,82 · 40 + ,<br />

2<br />

vilket ger v = 5,13 m/s. I kollisonen med marken kommer<br />

80 · 5,132 J = 1,1 · 10<br />

2<br />

3 J<br />

rörelseenergi att omvandlas till andra energiformer.<br />

5. Paddy träffas av fallande tegelstenar:<br />

När tegelstenarna lämnar tunnan har de lägesenergin (nollnivå vid marken)<br />

50 · 9,82 · 40 J = 19,6 · 10 3 J,<br />

som under fallet omvandlas till rörelseenergi. I kollisionen med Paddy kommer<br />

alltså 19,6 · 10 3 J rörelseenergi att omvandlas till andra energiformer.<br />

6. Paddy träffas av den fallande tunnan:<br />

Högst upp har den nu tomma tunnan lägesenergin (nollnivå vid marken)<br />

20 · 9,82 · 40 J = 7,9 · 10 3 J,<br />

som under fallet omvandlas till rörelseenergi. I kollisionen med Paddy kommer<br />

alltså 7,9 · 10 3 J rörelseenergi att omvandlas till andra energiformer.<br />

Om vi nu antar att all energi som förloras i respektive kollision absorberas av Paddy<br />

så blir den av Paddy absorberade energin:<br />

Kollision Absorb. energi<br />

1 Paddy på väg upp möter tunna på väg ned 7,5 kJ<br />

2 Paddy slår i trissan 3,3 kJ<br />

3 Paddy på väg ned möter tunna på väg upp 2,0 kJ<br />

4 Paddy slår i marken 1,1 kJ<br />

5 Paddy träffas av tegelstenar 19,6 kJ<br />

6 Paddy träffas av tunnan 7,9 kJ<br />

Svar: Värst för Paddy bör vara att få tegelstenarna över sig.<br />

Kommentar: Farten före stötarna på upp- och nedvägen kan också beräknas med<br />

hjälp av Newtons andra lag och rörelseformler. Newton II på Paddy respektive<br />

tunnan ger<br />

Mg − Fs = Ma<br />

Fs − mg = ma


där M är tunnans massa, m är Paddys massa och Fs är spännkraften i repet. Elimineras<br />

Fs fås<br />

a =<br />

M − m<br />

M + m g.<br />

Farten kan sedan beräknas med hjälp av 2as = v 2 − v 2 0 .<br />

I lösningen ovan har vi antagit att ingen rörelseenergi försvinner direkt efter stöten<br />

på upp- och nedvägen. Det gör ingen större skillnad för slutresultatet om man<br />

gör detta antagande eller utgår från att Paddy efter stötarna på upp- och nedvägen<br />

startar om med hastigheten 0. ✁


Uppgift 1 (Lösningsförslag) Januari 2013<br />

Vi antar att 75 W-lampan hade sådana egenskaper att de sju seriekopplade julgranslamporna<br />

lös som vanligt, det vill säga med effekten 3 W och med spänningen<br />

14 V över vardera lampa. Strömmen genom en julgranslampa fås då ur<br />

P = UI ⇒ I = P<br />

U<br />

3<br />

= A = 0,214 A.<br />

14<br />

Strömmen genom 75 W-lampan var lika stor eftersom den var seriekopplad. Spänningen<br />

över 75 W-lampan bör då ha varit<br />

127 V − 7 · 14 V = 29 V,<br />

och den sökta effekten var<br />

P = UI = 29 V · 0,214 A = 6,2 W.<br />

Svar: 6 W ✁<br />

Kommentar: Alternativt kan man anta att lampornas resistanser är konstanta vid<br />

olika belastningar. Man får då ett värde på den sökta effekten som är lite större än<br />

ovanstående, 8 W.


Uppgift 2 (Lösningsförslag) Januari 2013<br />

(a) Elektronernas hastighet när de lämnar elektronkanonen fås ur (minskningen av<br />

elektrisk lägesenergi är lika stor som ökningen av rörelseenergin)<br />

vilket ger<br />

qeUacc = mv2<br />

2 ,<br />

v =<br />

2qeUacc<br />

m =<br />

<br />

2 · 1,602 · 10 −19 · 2,0 · 10 3<br />

9,11 · 10 −31 m/s = 2,65 · 10 7 m/s. (3)<br />

Hastigheten är mindre än 10 % av ljushastigheten, så vi behöver inte räkna relativistiskt.<br />

Vi antar sedan att elektronerna rör sig med samma fart tills de kommer<br />

in mellan plattorna. Vi antar vidare att det elektriska fältet mellan plattorna är homogent<br />

och att fältstyrkan utanför plattorna är noll (så att elektronerna inte börjar<br />

böja av i y-led förrän de kommer in mellan plattorna). Den elektriska fältstyrkan<br />

mellan plattorna är<br />

E = U<br />

d<br />

= 2,0 · 103<br />

0,055 V/m = 36,4 · 103 V/m. (4)<br />

Nu följer vi en elektrons rörelse. Den elektriska kraften på en elektron som befinner<br />

sig mellan plattorna är<br />

F = qeE = 1,60 · 10 −19 · 36,4 · 10 3 N = 5,83 · 10 −15 N. (5)<br />

Accelerationen i y-led kan bestämmas med hjälp av Newtons andra lag:<br />

R = ma ⇒ a = R<br />

m = 5,83 · 10−15 N<br />

9,11 · 10 −31 m/s2 = 6,40 · 10 15 m/s 2 . (6)<br />

(Notera att accelerationen på grund av det elektriska fälet är ca 1015 gånger större<br />

än tyngdaccelerationen!) Tiden det tar för en elektron att röra sig 7,0 cm i x-led fås<br />

ur<br />

x = v0xt ⇒ t = x<br />

= 0,070<br />

2,65 · 107 s = 2,64 · 10−9 s. (7)<br />

Sökta läget i y-led är således<br />

y = v0yt + at2<br />

2 =<br />

v0x<br />

<br />

0 + 6,40 · 1015 · (2,64 · 10 −9 ) 2<br />

2<br />

<br />

m = 0,022 m. (8)<br />

(b) Insättning av x = b och uttrycket (3) för hastigheten i x-led i uttrycket (7) för<br />

tiden ger, efter kvadrering,<br />

t 2 = x2<br />

v2 0x<br />

=<br />

b2<br />

=<br />

2qeUacc<br />

m<br />

b2m .<br />

2qeUacc<br />

(9)<br />

Insättning av (4) och (5) i (6) ger ett uttryck för accelerationen:<br />

a = R qeE qe U<br />

= = · . (10)<br />

m m m d<br />

Insättning av (9) och (10) i (8) ger till sist ett utryck för avböjningen:<br />

y = 0 + at2<br />

2<br />

1 qeU<br />

= ·<br />

2 md · b2m =<br />

2qeUacc<br />

b2 U<br />

· .<br />

4d Uacc<br />

Avböjningen beror alltså inte av elektronernas massa eller laddning.<br />

Svar: (a) 2,2 cm (b) Se ovan. ✁


Uppgift 1 (Lösningsförslag) Februari 2013<br />

(a) Vi räknar på vad som händer under en timme. Snösmältaren hinner då köra<br />

1 400 m. Volymen av den snö som borstas upp är<br />

V = 0,1 · (2,5 + 2,5) · 1400 m 3 = 700 m 3 .<br />

Denna mängd snö har massan<br />

m = ρ V = 0,07 · 10 3 · 700 kg = 49 · 10 3 kg.<br />

Energin som behövs för att värma snön till 0 ◦ C och smälta den ges av<br />

W = cm∆T +cs m = (2,2·10 3 ·49·10 3 ·5+334·10 3 ·49·10 3 ) J = 16,9·10 9 J.<br />

Mängden diesel som går åt ges av<br />

16,9 · 109 J<br />

44 · 106 = 384 kg.<br />

J/kg<br />

Sökta dieselvolymen ges till sist av<br />

384 kg<br />

= 474liter.<br />

0,81 kg/liter<br />

(b) Uppsamlingsbassängen rymmer enligt tidningsartikeln 50 kubikmeter. I (a)uppgiften<br />

fann vi att snön som samlas in under en timme har massan 49 · 10 3 kg.<br />

Motsvarande smältvatten har volymen<br />

49 · 10 3 kg<br />

998 kg/m 3 = 49,1 m3 .<br />

Tiden till första tömning ges av<br />

50 m3 49,1 m3 = 1,02 h.<br />

/h<br />

Svar: (a) 470 liter (b) Ungefär en gång i timmen. ✁


Uppgift 2 (Lösningsförslag) Februari 2013<br />

(a) Q3 måste placeras på linjen som sammanbinder Q1 och Q2. Vi låter avståndet<br />

från Q3 till Q1 vara xa och avståndet från Q3 till Q2 (1 − x)a.<br />

+q<br />

a<br />

+Q +4q<br />

F F<br />

1 2 1<br />

2<br />

xa (1 – x) a<br />

Sammanlagda kraften på Q3 ska vara noll, vilket ger<br />

k qQ<br />

x2 4qQ<br />

= k<br />

a2 (1 − x) 2a 2 ,<br />

där k är konstanten i Coulombs lag och Q är Q3:s laddning. Omflyttning ger ekvationen<br />

(1 − x) 2 = 4x 2 ,<br />

som kan skrivas om till<br />

x 2 + 2 1<br />

x − = 0.<br />

3 3<br />

Löser vi denna andragradsekvation får vi<br />

x = − 1 2<br />

±<br />

3 3 .<br />

Endast den positiva roten, x = 1<br />

från Q2.<br />

2a<br />

3<br />

3 , är intressant. Q3 ska alltså placeras a<br />

3 från Q1 och<br />

(b) Nu måste Q3 placeras på förlängningen av en linje mellan Q1 och Q2. Vi låter<br />

avståndet från Q3 till Q1 vara xa och avståndet från Q3 till Q2 (1 + x)a.<br />

F 1<br />

+Q +q -4q<br />

F 2<br />

xa<br />

a<br />

1 2<br />

(1 + x) a<br />

Sammanlagda kraften på Q3 ska vara noll, vilket ger<br />

k qQ<br />

x2 4qQ<br />

= k<br />

a2 (1 + x) 2a 2 ,<br />

där k är konstanten i Coulombs lag och Q är Q3:s laddning. Omflyttning ger ekvationen<br />

(1 + x) 2 = 4x 2 ,


som kan skrivas om till<br />

x 2 − 2 1<br />

x − = 0.<br />

3 3<br />

Löser vi denna andragradsekvation får vi<br />

x = 1 2<br />

±<br />

3 3 .<br />

Endast den positiva roten, x = 1, är intressant. Q3 ska alltså placeras a från Q1 och<br />

2a från Q2.<br />

Svar: (a) På avståndet a<br />

3 från Q1 och 2a<br />

3 från Q2. (b) På avståndet a från Q1 och 2a<br />

från Q2 enligt figur ovan. ✁


Uppgift 1 (Lösningsförslag) Mars 2013<br />

Låt volymandelen is vara x. Ett uttryck för den totala densiteten kan då tecknas<br />

ρ = mis + msten<br />

V<br />

= xV ρis + (1 − x)V ρsten<br />

V<br />

där V är Callistos totala volym. Efter lite algebra fås nu<br />

x = ρsten − ρ<br />

.<br />

ρsten − ρis<br />

Insättning av<br />

ρ =<br />

1,076 · 10 23<br />

4π · (2,403 · 10 6 ) 3<br />

och övriga densitetsvärden ger<br />

x =<br />

3<br />

3,10 − 1,851<br />

3,10 − 0,95<br />

= 0,58.<br />

kg/m 3 = 1,851 · 10 3 kg/m 3<br />

= xρis + (1 − x)ρsten,<br />

Svar: 58 % ✁


Uppgift 2 (Lösningsförslag) Mars 2013<br />

Energiprincipen ger (se figur nedan)<br />

0 = Mv2<br />

2<br />

+ mv2<br />

2<br />

vilket kan skrivas om till<br />

eller<br />

s(Mg − mg) =<br />

s = v2 (M + m)<br />

·<br />

2g (M − m) .<br />

Svar: s = v2 (M+m)<br />

2g · (M−m)<br />

+ mgs + (−Mgs)<br />

(M + m)v2<br />

2<br />

Före: Efter:<br />

m M 0-nivå<br />

Kommentar: Uppgiften går också att lösa genom att använda Newtons andra lag<br />

för att bestämma vikternas acceleration och sedan rörelseformler för att bestämma<br />

förflyttningen. Newtons andra lag kan i sin tur användas på två sätt. Antingen<br />

ställer man upp Newtons andra lag för de bägge vikterna eller så betraktar man de<br />

två vikterna som ett system och ställer upp Newtons andra lag för detta. I första<br />

fallet får man ett ekvationssystem med två ekvationer som innehåller snörkraften<br />

och accelerationen som okända, vilka kan bestämmas.<br />

s<br />

s<br />

v<br />

m<br />

M<br />

v<br />


Uppgift 1 (Lösningsförslag) April 2013<br />

(a) Sökta förflyttningarna ges av arean under v-t-grafen som kan uppskattas med<br />

hjälp av trianglar och rektanglar enligt<br />

∆s0−0,5 = 0,50 · 10−3 · 0,34<br />

2<br />

m = 0,09 · 10 −3 m<br />

∆s0−1,0 = 1,0 · 10−3 · 0,90<br />

m = 0,45 · 10<br />

2<br />

−3 m<br />

<br />

1,2 · 10−3 · 1,13<br />

∆s0−1,5 =<br />

+ 0,3 · 10<br />

2<br />

−3 <br />

· 1,28 m = 1,1 · 10 −3 m<br />

(b) Accelerationen är som störst när v-t-grafen är som brantast, det vill säga ungefär<br />

vid 0,55 ms. Accelerationen ges av tangentens lutning i den punkten<br />

a =<br />

Detta är 1,2·103<br />

9,8<br />

(0,73 − 0) m/s<br />

(0,80 − 0,20) · 10 −3 s = 1,2 · 103 m/s 2 .<br />

≈ 120 gånger större än tyngdaccelerationen!<br />

(c) Accelerationen ges av tangentens lutning i origo<br />

a =<br />

(0,38 − 0) m/s<br />

(0,80 − 0) · 10 −3 s = 0,48 · 103 m/s 2 .<br />

(d) Efter 1,2 s ökar inte längre hastigheten vilket innebär att loppan där släpper<br />

kontakten med underlaget. Loppan kommer alltså att göra ett upphopp med utgångshastigheten<br />

1,3 m/s. Vi antar att hoppet är vertikalt och att luftmotstånd kan<br />

försummas. Hopphöjden fås då ur (positiv riktning uppåt)<br />

2as = v 2 − v 2 0 ⇒ s = v2 − v2 0<br />

2a = 02 − 1,32 m = 0,09 m.<br />

2 · (−9,82)<br />

I artikeln som det refereras till i uppgiften står att loppor av den undersökta arten<br />

kan hoppa upp till 90 mm upp i luften. En medelloppa hoppar upp 60-70 mm.<br />

Dessa siffror är i linje med resultatet från beräkningen. Det finns dock andra lopparter<br />

som kan hoppa betydligt högre, över 3 dm upp i luften.<br />

Svar: (a) 0,09 mm, 0,45 mm respektive 1,1 mm. (b) 1,2 km/s 2 (c) 0,48 km/s 2<br />

(d) 9 cm. ✁


Uppgift 2 (Lösningsförslag) April 2013<br />

När det är vindstilla och man cyklar med farten v är relativa vindhastigheten v och<br />

luftmotståndskraften F0 = kv 2 , där k är en proportionalitetskonstant. Om vi antar<br />

att den cyklade sträckan är s är det mot luftmotståndskraften uträttade arbetet<br />

Avindstilla = F0 s.<br />

Vindstilla:<br />

Cyklistens rörelseriktning<br />

v F 0 = kv 2<br />

Sidvind med vindhastigheten v:<br />

v<br />

v<br />

2v<br />

Blåser det sidvind enligt uppgiften blir relativa vindhastigheten √ 2v. Luftmotståndskraften<br />

är nu F = k( √ 2v) 2 = 2kv 2 = 2F0.<br />

Luftmotståndskraftens komposant i rörelseriktningen är<br />

Fs = 2F0<br />

√2 = √ 2F0.<br />

Det mot luftmotståndskraften uträttade arbetet är nu<br />

Asidvind = Fs s = √ 2F0 s = √ 2Avindstilla.<br />

Det är alltså 1,4 gånger (eller 40 %) jobbigare att cykla i sidvind än när det är<br />

vindstilla.<br />

Svar: 1,4 gånger ✁<br />

F s<br />

F


Uppgift 1 (Lösningsförslag) Maj 2013<br />

Man kan resonera på olika sätt, och göra olika uppskattningar, när man löser Fermi<strong>problem</strong>.<br />

Här visas exempel på hur man kan resonera.<br />

(a) Antag att varje svensk konsumerar 2 liter mejeriprodukter per vecka, det vill<br />

säga 10 2 liter per år. Det bor ungefär 10 7 personer i Sverige. Om det produceras<br />

lika mycket som det konsumeras innebär detta att att den årliga mjölkproduktionen<br />

är 10 2 · 10 7 liter = 10 9 liter.<br />

(På www.svenskmjolk.se/Statistik/ kan man läsa att det under år 2012 vägdes in<br />

2 860 000 ton mjölk i Sverige. Uppskattningen gav alltså rätt storleksordning.)<br />

(b) Antag att en bil rullar 1 000 mil per år (i snitt 3 mil per dag). Typisk bensinförbrukning<br />

är 1 liter per mil. I vaje bil tankas alltså 10 3 liter bensin per år. Antalet<br />

bilar uppskattas till 10 6 . Det bör alltså tankas 10 3 · 10 6 liter = 10 9 liter bensin per<br />

år i svenska bilar.<br />

(Enligt http://spbi.se/statistik/volymer/volymer-drivmedel/ utlevererades under 2012<br />

nästan 4 miljoner m 3 bensin. Uppskattningen gav alltså rätt storleksordning.)<br />

(c) Vi approximerar jorden med en kub med sidan 1 000 mil = 10 7 m (jordens<br />

omkrets är ungefär 4 000 mil). Kubens begränsningsarea är 6 · 10 7 · 10 7 m 2 ≈<br />

10 15 m 2 . Antag att hela jorden är täckt med vatten med djupet 1 km = 10 3 m.<br />

Totala vattenvolymen är då 10 15 ·10 3 m 3 = 10 18 m 3 . Om vi antar att vattendroppen<br />

har formen av en kub blir kantlängden (10 18 ) 1 3 m = 10 6 m, vilket är ungefär en<br />

tiondel av jordkubens kantlängd. Vattendroppen bör alltså ha en diameter som är<br />

ungefär en tiondel av jordens diameter.<br />

(På en hemsida från U.S. Geological Survey (http://ga.water.usgs.gov/edu/earthhow<br />

much.html) finns en bild som visar allt vatten på jorden som en droppe ovanför<br />

USA, med en diameter som är lite större än en tiondel av jorddiametern. Det<br />

framgår inte hur de har räknat, men vi utgår från att de har gjort ordentlig uppskattning.<br />

Återigen gav vår uppskattning rätt storleksordning.)<br />

Notera att ju fler antaganden som behöver göras, desto bättre brukar uppskattningen<br />

bli. När man gör många antaganden minskar risken att samtliga antaganden<br />

alla är över- eller underskattningar. ✁


Uppgift 2 (Lösningsförslag) Maj 2013<br />

Låt avståndet mellan ringarna när de är på största möjliga avstånd från varandra<br />

vara x.<br />

a<br />

2<br />

x<br />

2<br />

x<br />

α<br />

Betrakta den högra ringen. Tre krafter verkar på den: en uppåtriktad kraft från<br />

staven, en friktionskraft från staven och en kraft från snöret. När ringarna är så<br />

långt från varandra som möjligt är friktionen fullt utvecklad, det vill säga Ff = µFN.<br />

F s<br />

F N<br />

F f = µ F N<br />

x<br />

2<br />

a<br />

2<br />

F N<br />

F f = µ F N<br />

Eftersom ringen är i jämvikt måste de tre krafterna bilda en triangel enligt figuren<br />

ovan till höger. Pythagoras sats i denna krafttriangel ger<br />

F 2<br />

s = (µFN) 2 + F 2 N ⇒ Fs = 1 + µ 2 FN.<br />

Likformiga trianglar ger nu<br />

x<br />

2<br />

a<br />

2<br />

= µFN<br />

Fs<br />

=<br />

µFN<br />

1 + µ 2 FN<br />

⇒ x =<br />

α<br />

µa<br />

1 + µ 2 .<br />

F s<br />


Uppgift 1 (Lösningsförslag) September 2013

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!