Kontrollskrivning 2 Namn: Personnummer:

it.kth.se

Kontrollskrivning 2 Namn: Personnummer:

1(3)

2B1115 Ingenjörsmetodik HT 2005

Kontrollskrivning 2

Namn:

Personnummer:

Skriv tydligt! Tillåtna hjälpmedel är kompendierna, linjal och miniräknare, samt

engelsk-svenskt lexikon.

Uppgift 1

Beräkna 1:a och 2:a derivatorna av funktionen:

2

( x) = ln( 1 x )

y = f +

Lösningsförslag:

Använd kedjeregeln genom att skriva:

2

2

= f ( g( x)

) = ln( 1 x ), där g ( x) = 1+

x

y +

då får vi:

∂y

y′

( x)

=

∂x

1

= 2x


2

1+

x

( x) ∂g( x) ∂f

( x)

=

∂x

2x

=

1+

x

2


∂g

För att beräkna andra derivatan deriverar vi enligt kvotregeln:

=

y′′

( x)

2⋅

=

⎛ 2x

∂⎜

⎝1+

x

=

∂x

2




=

2

2

( 1+

x ) − 2x

⋅ 2x

2 − 2x

=

2 2

2

( 1+

x ) ( 1+

x ) 2

(1 p)


2(3)

2B1115 Ingenjörsmetodik HT 2005

Kontrollskrivning 2

Namn:

Personnummer:

Uppgift 2

Finns det något extremvärde (lokalt maximum eller minimum) för funktionen:

( x)

y = f =

x

e

2

Lösningsförslag:

Extremvärden bestäms genom att söka nollställen till 1:a derivatan:

x 2

( x) ∂( e ) 2

= 2x

⋅e

= 0

∂f

x

y ′ = =

, som bara har lösningen x = 0 ,

∂x

∂x

x 2

eftersom e > 0.

I punkten x = 0 , så blir andraderivatan:

x 2 x 2

x 2

2 x 2

( 2x

⋅e

) = 2e

+ 2x

⋅2xe

= ( 2 + 4x

) e = [ = 0] = 2


y′ =

x

∂x

dvs vi har ett min-värde.

(1 p)


3(3)

2B1115 Ingenjörsmetodik HT 2005

Kontrollskrivning 2

Namn:

Personnummer:

Uppgift 3

Beräkna 1:a och 2:a derivatorna av tvåvariabelfunktionen:

y = f =

Lösningsförslag:

( x , x ) sin( x ) ( x )

1 2

1

cos

2

Här använder vi partiella derivator där den ena variabeln x1

eller x2

hålls konstant

under deriveringen med avseende på den andra variablen.

∂y

∂x

∂y

∂x

1 x2=

konst

2 x1=

konst

= cos

= −sin

( x ) cos( x )

1

2

( x ) sin( x )

1

2


2

∂x


y

2

1

2

∂x

y

2

2

2

∂ y

∂x

∂x

1

x2=

konst

x1=

konst

2

2

∂ y

∂x

∂x

2

1

= −cos

= −cos

= −sin

= −sin

( x ) cos( x )

1

2

( x ) cos( x )

1

( x ) sin( x )

1

2

( x ) sin( x )

1

Lägg märke till symmetrin i 2:a derivatorna.

(2 p)

2

2

More magazines by this user
Similar magazines