04.11.2014 Views

Formelsamling i Reglerteknik

Formelsamling i Reglerteknik

Formelsamling i Reglerteknik

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

<strong>Formelsamling</strong> i <strong>Reglerteknik</strong><br />

Laplacetransformation<br />

Antag att f : IR → IR är en styckvis kontinuerlig funktion.<br />

Laplacetransformen av f definieras av<br />

Slutvärdesteoremet<br />

F(s) = L(f)(s) =<br />

∫ ∞<br />

0 − e −st f(t)dt<br />

lim f(t) = lim sF(s)<br />

t→∞ s→0<br />

under förutsättning att alla poler till sF(s) har negativ realdel (Res < 0).<br />

Begynnelsevärdesteoremet<br />

lim f(t) = lim sF(s)<br />

t→0 s→∞<br />

under förutsättning att gränsvärdet i högerledet existerar och är ändligt.<br />

Tabell över laplacetransformer<br />

f(t) L(f) = F(s) Kommentarer<br />

δ(t) 1 Impuls (“Diracfunktionen”)<br />

θ(t)<br />

1<br />

s<br />

Enhetssteg (0 om t < 0 och 1 om t ≥ 0)<br />

tθ(t)<br />

1<br />

Enhetsramp<br />

e −at θ(t)<br />

te −at θ(t)<br />

sin bt θ(t)<br />

cosbt θ(t)<br />

e −at sin bt θ(t)<br />

e −at cosbt θ(t)<br />

s 2<br />

1<br />

s + a<br />

1<br />

(s + a) 2<br />

b<br />

s 2 + b 2<br />

s<br />

s 2 + b 2<br />

b<br />

(s + a) 2 + b 2<br />

s + a<br />

(s + a) 2 + b 2 1


Räkneregler för laplacetransformer<br />

f(t) L(f) = F(s) Kommentarer<br />

af(t) + bg(t) aF(s) +<br />

(<br />

bG(s)<br />

)<br />

Linjäritet<br />

1 s<br />

f(at)<br />

a F Skalning<br />

a<br />

f(t − t 0 )θ(t − t 0 ) e −t0s F(s) Fördröjning<br />

e −at f(t) F(s + a) Dämpning<br />

tf(t)<br />

− dF<br />

ds<br />

df<br />

sF(s) − f(0 − ) Derivering<br />

∫ t<br />

0<br />

dt<br />

d 2 f<br />

dt 2<br />

f(τ)dτ<br />

s 2 F(s) − df<br />

dt (0− ) − sf(0 − )<br />

1<br />

s F(s)<br />

Integrering<br />

Stabilitetskriterier<br />

För att ett linjärt tidsinvariant system med överföringsfunktion G(s) skall<br />

vara stabilt krävs att samtliga poler till G(s) har negativ realdel (Res < 0).<br />

Rouths metod<br />

Karakteristisk ekvation<br />

Rouths tabell:<br />

a 0 a 2 a 4 . . .<br />

a 1 a 3 a 5 . . .<br />

c 0 c 1 c 2 . . .<br />

d 0 d 1 d 2 . . .<br />

a 0 s n + a 1 s n−1 + a 2 s n−2 + · · · + a n−1 s + a n = 0<br />

där<br />

c 0 = a 1a 2 − a 0 a 3<br />

, c 1 = a 1a 4 − a 0 a 5<br />

, . . .<br />

a 1 a 1<br />

osv<br />

d 0 = c 0a 3 − a 1 c 1<br />

, . . .<br />

c 0<br />

Antalet teckenväxlingar hos talen i den första kolumnen (längs till vänster)<br />

är lika med antalet rötter till den karakteristiska ekvationen som har positiv<br />

2


ealdel (Res > 0). Systemet är stabilt precis då detta antal är 0 (inga<br />

teckenväxlingar i första kolumnen)<br />

Stabilitetsmarginaler<br />

Låt L(s) beteckna kretsförstärkningen (loop gain) i systemet. Observera<br />

att detta är den öppna slingans överföringsfunktion. Det slutna systemets<br />

karakteristiska ekvation blir då 1+L(s) = 0. Om L(s) är en rationell funktion<br />

kan denna ekvation skrivas om som en polynomekvation.<br />

Nyquistkriteriet<br />

Överkorsningsfrekvensen (skärfrekvensen) ω c definieras som den lägsta frekvens<br />

för vilken |L(iω c )| = 1. Fasmarginalen definieras som ϕ m = π + arg L(iω c ) =<br />

180 ◦ +arg L(iω c ). Den naturliga egensvängningsfrekvensen (resonansfrekvensen)<br />

ω π definieras som den lägsta frekvens för vilken arg L(iω π ) = −π = −180 ◦ .<br />

Amplitudmarginalen definieras som A m = 1/|L(iω π )|.<br />

L(iω)<br />

1<br />

A m<br />

ω = ω π<br />

x<br />

ϕ m<br />

ω = ω x c<br />

Figur 1: Stabilitetsmarginaler i ett nyquistdiagram<br />

3


Det förenklade nyquistkriteriet säger då att om alla poler till L(s) har negativ<br />

realdel så gäller att det slutna systemet är stabilt precis då ϕ m > 0 och<br />

A m > 1.<br />

Relativ dämpning och odämpad egensvängningsfrekvens<br />

Överföringsfunktionen för ett andra ordningens system med stabila komplexa<br />

poler men utan nollställen kan skrivas<br />

ω 2 n<br />

G(s) =<br />

s 2 + 2ζω n s + ωn<br />

2<br />

där ω n är den odämpade egensvängningsfrekvensen. I följande figur visas<br />

stegsvaren för ett sådant system för olika värden på relativa dämpningen ζ.<br />

2.0<br />

1.8<br />

1.6<br />

1.4<br />

1.2<br />

1.0<br />

0.8<br />

0.6<br />

0.4<br />

0.2<br />

0.0<br />

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20<br />

Figur 2: Stegsvar för system med ω n = 1 och ζ = 0, 0.2, 0.3, 0.5, 0.7 och 1.0.<br />

Det maximala värdet på stegsvaret avviker från stegsvarets slutvärde (den<br />

statiska förstärkningen G(0) som här är 1). Översvängen (överslängen) M p<br />

definieras som denna skillnad dividerat med statiska förstärkningen. M p ges<br />

av följande formel<br />

ζπ<br />

−√ M p = e 1 − ζ<br />

2<br />

4


Fasavancerande kompensering (PD/lead-kompensering)<br />

G PD (s) = K 1 √<br />

b<br />

1 + T d s<br />

1 + 1 b T d s<br />

= KG lead (s)<br />

vilken har den fördelen att den rent fasavancerade delen (’lead-filtret’) har<br />

amplitudfunktionen = 1 vid den frekvens där faskurvan har sitt maximum.<br />

Givet önskad överkorsningsfrekvens ω c och fasmarginal ϕ m kan följande metod<br />

för fasavancerande kompensering formuleras:<br />

(i) Bestäm hur mycket fasen behöver ökas vid ω = ω c :<br />

∆ϕ = ϕ m − ( 180 ◦ + arg G p (iω c ) )<br />

(ii) Om ∆ϕ > 0 så används ett lead-filter G lead (s) där b väljs så att filtrets<br />

fasfunktion kan uppnå värdet ∆ϕ. Detta realiseras genom att välja b så att<br />

∆ϕ = ϕ max där<br />

ϕ max = arcsin b − 1<br />

b + 1<br />

⇐⇒<br />

b = 1 + sin ϕ max<br />

1 − sin ϕ max<br />

ϕ max är maximala värdet på filtrets fasfunktion argG lead (iω).<br />

(iii) Den frekvens för vilken lead-filtrets fasfunktion har sitt maximum kan<br />

uttryckas som<br />

√<br />

b<br />

ω max =<br />

T d<br />

Eftersom lead-filtret väljs så att dess maximala fas inträffar vid den önskade<br />

skärfrekvensen ω c så måste följaktligen ω max = ω c varav det direkt följer att<br />

T d =<br />

√<br />

b<br />

ω c<br />

(iv) Lead-filtret ovan är uttryckt på sådan form så att |G lead (iω max )| = 1.<br />

Eftersom villkoret för förstärkningen K är<br />

|G PD (iω c )G p (iω c )| = 1<br />

innebär detta att<br />

K =<br />

1<br />

|G p (iω c )|<br />

5

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!