Formelsamling i Reglerteknik
Formelsamling i Reglerteknik
Formelsamling i Reglerteknik
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Formelsamling</strong> i <strong>Reglerteknik</strong><br />
Laplacetransformation<br />
Antag att f : IR → IR är en styckvis kontinuerlig funktion.<br />
Laplacetransformen av f definieras av<br />
Slutvärdesteoremet<br />
F(s) = L(f)(s) =<br />
∫ ∞<br />
0 − e −st f(t)dt<br />
lim f(t) = lim sF(s)<br />
t→∞ s→0<br />
under förutsättning att alla poler till sF(s) har negativ realdel (Res < 0).<br />
Begynnelsevärdesteoremet<br />
lim f(t) = lim sF(s)<br />
t→0 s→∞<br />
under förutsättning att gränsvärdet i högerledet existerar och är ändligt.<br />
Tabell över laplacetransformer<br />
f(t) L(f) = F(s) Kommentarer<br />
δ(t) 1 Impuls (“Diracfunktionen”)<br />
θ(t)<br />
1<br />
s<br />
Enhetssteg (0 om t < 0 och 1 om t ≥ 0)<br />
tθ(t)<br />
1<br />
Enhetsramp<br />
e −at θ(t)<br />
te −at θ(t)<br />
sin bt θ(t)<br />
cosbt θ(t)<br />
e −at sin bt θ(t)<br />
e −at cosbt θ(t)<br />
s 2<br />
1<br />
s + a<br />
1<br />
(s + a) 2<br />
b<br />
s 2 + b 2<br />
s<br />
s 2 + b 2<br />
b<br />
(s + a) 2 + b 2<br />
s + a<br />
(s + a) 2 + b 2 1
Räkneregler för laplacetransformer<br />
f(t) L(f) = F(s) Kommentarer<br />
af(t) + bg(t) aF(s) +<br />
(<br />
bG(s)<br />
)<br />
Linjäritet<br />
1 s<br />
f(at)<br />
a F Skalning<br />
a<br />
f(t − t 0 )θ(t − t 0 ) e −t0s F(s) Fördröjning<br />
e −at f(t) F(s + a) Dämpning<br />
tf(t)<br />
− dF<br />
ds<br />
df<br />
sF(s) − f(0 − ) Derivering<br />
∫ t<br />
0<br />
dt<br />
d 2 f<br />
dt 2<br />
f(τ)dτ<br />
s 2 F(s) − df<br />
dt (0− ) − sf(0 − )<br />
1<br />
s F(s)<br />
Integrering<br />
Stabilitetskriterier<br />
För att ett linjärt tidsinvariant system med överföringsfunktion G(s) skall<br />
vara stabilt krävs att samtliga poler till G(s) har negativ realdel (Res < 0).<br />
Rouths metod<br />
Karakteristisk ekvation<br />
Rouths tabell:<br />
a 0 a 2 a 4 . . .<br />
a 1 a 3 a 5 . . .<br />
c 0 c 1 c 2 . . .<br />
d 0 d 1 d 2 . . .<br />
a 0 s n + a 1 s n−1 + a 2 s n−2 + · · · + a n−1 s + a n = 0<br />
där<br />
c 0 = a 1a 2 − a 0 a 3<br />
, c 1 = a 1a 4 − a 0 a 5<br />
, . . .<br />
a 1 a 1<br />
osv<br />
d 0 = c 0a 3 − a 1 c 1<br />
, . . .<br />
c 0<br />
Antalet teckenväxlingar hos talen i den första kolumnen (längs till vänster)<br />
är lika med antalet rötter till den karakteristiska ekvationen som har positiv<br />
2
ealdel (Res > 0). Systemet är stabilt precis då detta antal är 0 (inga<br />
teckenväxlingar i första kolumnen)<br />
Stabilitetsmarginaler<br />
Låt L(s) beteckna kretsförstärkningen (loop gain) i systemet. Observera<br />
att detta är den öppna slingans överföringsfunktion. Det slutna systemets<br />
karakteristiska ekvation blir då 1+L(s) = 0. Om L(s) är en rationell funktion<br />
kan denna ekvation skrivas om som en polynomekvation.<br />
Nyquistkriteriet<br />
Överkorsningsfrekvensen (skärfrekvensen) ω c definieras som den lägsta frekvens<br />
för vilken |L(iω c )| = 1. Fasmarginalen definieras som ϕ m = π + arg L(iω c ) =<br />
180 ◦ +arg L(iω c ). Den naturliga egensvängningsfrekvensen (resonansfrekvensen)<br />
ω π definieras som den lägsta frekvens för vilken arg L(iω π ) = −π = −180 ◦ .<br />
Amplitudmarginalen definieras som A m = 1/|L(iω π )|.<br />
L(iω)<br />
1<br />
A m<br />
ω = ω π<br />
x<br />
ϕ m<br />
ω = ω x c<br />
Figur 1: Stabilitetsmarginaler i ett nyquistdiagram<br />
3
Det förenklade nyquistkriteriet säger då att om alla poler till L(s) har negativ<br />
realdel så gäller att det slutna systemet är stabilt precis då ϕ m > 0 och<br />
A m > 1.<br />
Relativ dämpning och odämpad egensvängningsfrekvens<br />
Överföringsfunktionen för ett andra ordningens system med stabila komplexa<br />
poler men utan nollställen kan skrivas<br />
ω 2 n<br />
G(s) =<br />
s 2 + 2ζω n s + ωn<br />
2<br />
där ω n är den odämpade egensvängningsfrekvensen. I följande figur visas<br />
stegsvaren för ett sådant system för olika värden på relativa dämpningen ζ.<br />
2.0<br />
1.8<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
1.0<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0.0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20<br />
Figur 2: Stegsvar för system med ω n = 1 och ζ = 0, 0.2, 0.3, 0.5, 0.7 och 1.0.<br />
Det maximala värdet på stegsvaret avviker från stegsvarets slutvärde (den<br />
statiska förstärkningen G(0) som här är 1). Översvängen (överslängen) M p<br />
definieras som denna skillnad dividerat med statiska förstärkningen. M p ges<br />
av följande formel<br />
ζπ<br />
−√ M p = e 1 − ζ<br />
2<br />
4
Fasavancerande kompensering (PD/lead-kompensering)<br />
G PD (s) = K 1 √<br />
b<br />
1 + T d s<br />
1 + 1 b T d s<br />
= KG lead (s)<br />
vilken har den fördelen att den rent fasavancerade delen (’lead-filtret’) har<br />
amplitudfunktionen = 1 vid den frekvens där faskurvan har sitt maximum.<br />
Givet önskad överkorsningsfrekvens ω c och fasmarginal ϕ m kan följande metod<br />
för fasavancerande kompensering formuleras:<br />
(i) Bestäm hur mycket fasen behöver ökas vid ω = ω c :<br />
∆ϕ = ϕ m − ( 180 ◦ + arg G p (iω c ) )<br />
(ii) Om ∆ϕ > 0 så används ett lead-filter G lead (s) där b väljs så att filtrets<br />
fasfunktion kan uppnå värdet ∆ϕ. Detta realiseras genom att välja b så att<br />
∆ϕ = ϕ max där<br />
ϕ max = arcsin b − 1<br />
b + 1<br />
⇐⇒<br />
b = 1 + sin ϕ max<br />
1 − sin ϕ max<br />
ϕ max är maximala värdet på filtrets fasfunktion argG lead (iω).<br />
(iii) Den frekvens för vilken lead-filtrets fasfunktion har sitt maximum kan<br />
uttryckas som<br />
√<br />
b<br />
ω max =<br />
T d<br />
Eftersom lead-filtret väljs så att dess maximala fas inträffar vid den önskade<br />
skärfrekvensen ω c så måste följaktligen ω max = ω c varav det direkt följer att<br />
T d =<br />
√<br />
b<br />
ω c<br />
(iv) Lead-filtret ovan är uttryckt på sådan form så att |G lead (iω max )| = 1.<br />
Eftersom villkoret för förstärkningen K är<br />
|G PD (iω c )G p (iω c )| = 1<br />
innebär detta att<br />
K =<br />
1<br />
|G p (iω c )|<br />
5