Reglerteknikövningar, Del 5

Övningar i Reglerteknik
PD-reglering och faskompensering
En PD-regulator har en bra och en dålig egenskap. Den dåliga egenskapen är
att den kraftigt förstärker de delar av en signal som har hög frekvens. Detta
innebär att högfrekventa störningar i mätsignaler mycket kraftigt påverkar
styrsignalen på ett negativt sätt. Den bra egenskapen är att PD-regulatorn
ger en positiv fasvridning för högre frekvenser och därmed vid återkoppling
en dämpande och stabiliserande effekt på regleringen. Av samma skäl som
att D-delen i en PID-regulator ofta väljs att lågpassfilteras så är det vanligt
att en PD-regulator modifieras genom att koppla in ett lågpassfilter (på hela
PD-delen). Detta resulterar i en s.k. fasavancerande kompensering (leadkompensering).
Denna kompenseringslänk har överföringen
G R (s) = K ′ 1 + T d s
1 + 1 b T ds
Följande figur visar bodediagrammet för fallet K ′ = 1, T d = 3 s och b = 9
Amplitude
1
10
0
10 −2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
60
Phase
50
40
30
20
10
0
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
1

En annan parametrisering ger följande alternativa överföringsfunktion
G R (s) = K 1 √
b
1 + T d s
1 + 1 b T ds
= KG lead (s)
vilken har den fördelen att den rent fasavancerade delen (’lead-filtret’) har
amplitudfunktionen = 1 vid den frekvens där faskurvan har sitt maximum.
Givet önskad överkorsningsfrekvens ω c och fasmarginal ϕ m kan följande metod
för fasavancerande kompensering formuleras:
(i) Bestäm erforderligt faslyft
∆ϕ = ϕ m − 180 ◦ − arg G p (iω c )
(ii) Om ∆ϕ > 0 så används ett lead-filter G lead (s) där b väljs så att filtrets
fasfunktion kan uppnå värdet ∆ϕ. Detta realiseras genom att välja b så att
∆ϕ = ϕ max där
ϕ max = arcsin b − 1
b + 1
⇐⇒
b = 1 + sin ϕ max
1 − sin ϕ max
ϕ max är maximala värdet på filtrets fasfunktion arg G lead (iω).
(iii) Den frekvens för vilken lead-filtrets fasfunktion har sitt maximum kan
uttryckas som
√
b
ω max =
T d
Eftersom lead-filtret väljs så att dess maximala fas inträffar vid den önskade
skärfrekvensen ω c så måste följaktligen
√
b
T d
= ω c
(iv) Lead-filtret ovan är uttryckt på sådan form så att |G lead (iω max )| = 1.
Eftersom villkoret för förstärkningen K är
|G PD (iω c )G p (iω c )| = 1
innebär detta att
K =
1
|G p (iω c )|
2

60. En process har överföringsfunktionen
G P (s) =
4
(s + 1) 3
a. Bestäm ω c , ϕ m , ω π och A m för systemet (okompenserat).
b. Beräkna vilken förstärkning K som behövs i en proportionell regulator för
att få överkorsningsfrekvensen ω c = 1 rad/s. Ange också vad fasmarginalen
blir för detta val av K.
c. Avgör om det finns någon förstärkning K så att överkorsningsfrekvensen
ω c blir 2 rad/s. Ange i så fall motsvarande fasmarginal.
d. Avgör om det finns någon förstärkning K så att fasmarginalen ϕ m blir
60 ◦ . Ange i så fall motsvarande överkorsningsfrekvens.
e. Dimensionera en lead-kompensator G R (s) (enligt ovanstående metod) för
systemet som ger ω c = 2 rad/s och ϕ m = 45 ◦ .
f. En alternativ variant av faskompensering är att helt enkelt förkorta bort
alla 3 polerna och ersätta dem med 3 andra poler. Bestäm K och T i en
faskompensering
(s + 1)3
G R (s) = K
(T s + 1) 3
så att det kompenserade systemet får överkorsningsfrekvensen ω c = 2 rad/s
och fasmarginalen ϕ m = 45 ◦ .
g. Bestäm vilken faskompensation (ökning av fas) som maximalt kan uppnås
med en kompenseringslänk av tredje ordningen (som den i föregående deluppgift).
61. Ett system
Y (s) =
1
s(1 + 4s) U(s)
regleras med en proportionell regulator G ( s) = K. Stabilitetsmarginalerna
är fullt acceptabla då K = 0.5 användes. Däremot önskas ett 4 ggr så
snabbt system med ungefär samma marginaler. Bestäm en (1:a ordningens)
kompenseringlänk som uppfyller detta.
3

62. Systemet
har följande bodediagram
G(s) =
e−0.6s
s(s + 1)
1
10
Amplitude
0
10
−1
10
−2
10
−3
−1
10
10
−50
−100
−150
−200
−250
−300
−350
−400
−450
−500
−550
−1
10
10
0
Phase
0
10
1
10
1
10
a. Uppskatta med hjälp av bodediagrammet vilket värde på förstärkningen
K i en P-regulator som skall väljas för att erhålla ω c = 1 rad/s. Bestäm
också ett ungefärligt värde på fasmarginalen.
b. Bestäm en fasavancerande (=lead) kompensering som ger fasmarginalen
ϕ m = 60 ◦ för det kompenserade systemet och överkorsningsfrekvensen ω c = 1
rad/s.
4