Formelsamling i Matematik TNYT 03

Formelsamling i Matematik TNYT 03
1. Konjugat- och kvadreringsreglerna
2. Andragradsekvation Lösningsformeln
x 2 + px + q = 0 har lösningarna
(a + b)(a − b) =a 2 − b 2
(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
x = − p 2 ± √ (p
2
) 2
− q
3. Potenser
För reella tal x, ochy och positiva tal a och b gäller,
a x a y = a x+y a x
a y = ax−y (a x ) y = a xy a −x = 1 a x a 0 =1
4. Logaritmer
För positiva tal y gäller:
(ab) x = a x b x
( a
b
) x
=
a x
b x a 1 n =
n √ a
10 x = y ⇔ x =lgy e x = y ⇔ x =lny
För positiva tal x och y gäller:
lg(xy) =lgx +lgy
ln(xy) =lnx +lny
5. Räta linjens ekvation
( x )
lg =lgx − lg y
y
( x )
ln =lnx − ln y
y
lg x p = p · lg x
ln x p = p · ln x
k = y 2 − y 1
,
x 2 − x 1
lutningen för linjen genom punkterna (x 1 ,y 1 )och(x 2 ,y 2 )där x 1 ≠ x 2 .
k 1 = k 2 villkor för parallella linjer.
k 1 · k 2 = −1 villkor för vinkelräta linjer.
Olika former för räta linjens ekvation:
y = kx + m linje har lutningen k och skär y-axeln i punkten(0,m).
y − y 1 = k(x − x 1 ) linje har lutningen k och går genom punkten (x 1 ,y 1 ).
ax + by + c = 0 allmän form, där a, b och c är konstanter
6. Potensfunktioner y = C · x a , där C och a är konstanter.
7. Exponentialfunktioner y = C · a x , där C och a är konstanter, a>0, och a ≠1.
1

8. Derivatans definition
9. Deriveringsregler
f ′ f(a + h) − f(a) f(x) − f(a)
(a) = lim
= lim
h→0 h
x→a x − a
Funktion
Derivata
x a a är ett reellt tal a · x a−1
k · x a k är en konstant k · a · x a−1
a x (a>0)
ln x (x >0)
e x
e kx
1
x
sin x
a x · ln a
1
x
e x
k · e kx
− 1 x 2
cos x
cos x
− sin x
tan x 1 + tan 2 x = 1
cos 2 x
f(x)+g(x)
f ′ (x)+g ′ (x)
f(x) · g(x)
f(x)
f
, g(x) ≠0
g(x)
f(g(x))
f ′ (x) · g(x)+f(x) · g ′ (x)
′ (x) · g(x) − f(x) · g ′ (x)
(g(x)) 2
f ′ (g(x)) · g ′ (x)
10. Koordinatgeometri
Avståndsformeln:
Avståndet d mellan två punkter med koordinaterna (x 1 ,y 1 )och(x 2 ,y 2 ) är
√
d = (x 2 − x 1 ) 2 +(y 2 − y 1 ) 2
Mittpunktsformeln:
Om M är mittpunkt på sträckan AB där A =(x 1 ,y 1 )ochB =(x 2 ,y 2 )
har M koordinaterna
x m = x 1 + x 2
2
y m = y 1 + y 2
2
2

11. Rätvinkliga trianglar
ABC är en rätvinklig triangel.
c
B
a
A
b
C
Definitioner:
sin A = a ( motstående katet )
c = hypotenusan
tan A = a ( motstående katet )
b = närliggande katet
Pythagoras sats:
cos A = b ( närliggande katet )
c = hypotenusan
a 2 + b 2 = c 2
OP är radie i en enhetscirkel. Koordinaterna för P är (x 1 ,y 1 ).
sin v = y 1 cos v = x 1 tan v = sin v
cos v = y 1
x 1
, då cos v ≠0
P(x y )
1 1
y
v
o
x
12. Exakta värden
Vinkel v (grade) 0 ◦ 30 ◦ 45 ◦ 60 ◦ 90 ◦ 180 ◦ 270 ◦
(radianer) 0
π
6
sin v 0
1
cos v 1
tan v 0
π
4
√
2
2 2
√ √
3 2
2 2
√
3
3
1
π
3
π
3π
2
π
2
√
3
2
1 0 −1
1
2
0 −1 0
√
3 Ej def. 0 Ej def.
3

13. Godtyckliga trianglar
ABC är en godtycklig triangel.
C
b
a
A
c
B
Sinussatsen:
sin A
a
= sin B
b
= sin C
c
Cosinussatsen:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
14. Trigonometriska formler
sin(−v) =− sin v
cos(−v) = cos v
sin v = cos(90 ◦ − v) cos v = sin(90 ◦ − v)
sin(180 ◦ − v) = sin v cos(180 ◦ − v) =− cos v
sin(180 ◦ + v) =− sin v cos(180 ◦ + v) =− cos v
sin(v + n · 360 ◦ )=sinv n heltal cos(v + n · 360 ◦ ) = cos v n heltal
tan(v + n · 180 ◦ ) = tan v n heltal
sin 2 v + cos 2 v =1
sin 2v = 2 sin v cos v
cos 2v = cos 2 v − sin 2 v = 2 cos 2 v − 1=1− 2 sin 2 v
sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v
cos(u + v) = cos u cos v − sin u sin v
sin(u − v) = sin u cos v − cos u sin v
cos(u − v) = cos u cos v + sin u sin v
a sin x + b cos x = √ a 2 + b 2 sin(x + v) a sin x − b cos x = √ a 2 + b 2 sin(x − v)
där a>0, b>0, tan v = b a , 0◦