Kapitel 4
Kapitel 4
Kapitel 4
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Bild + bild + bild är en summa av bilder.
4<br />
talföljder och summor<br />
Inledande aktivitet<br />
Undersök<br />
hittar du mönstret?<br />
1 Vilken figur, vilka bokstäver eller vilket tal<br />
motsvarar frågetecknet?<br />
a)<br />
b) A B C Ö A B Ä Ö A ?<br />
c) 3, 4, 6, 9, 13, 18, ?<br />
2 De tre första kvadrattalen kan beskrivas<br />
med följande figur.<br />
1 4 9<br />
1<br />
3 6<br />
a) Vilka är de fjärde och femte kvadrattalen?<br />
b) Vilket är det n:te kvadrattalet?<br />
3 De tre första triangeltalen kan beskrivas<br />
med följande figur.<br />
?<br />
b) Det n:te triangeltalet kan beräknas med<br />
formeln T n = nn ( +1)<br />
2<br />
Kontrollera att formeln stämmer för de<br />
första fem triangeltalen.<br />
4 Ett A4-papper är cirka 0,1 mm tjockt.<br />
a) Hur tjockt blir papperet om vi viker det på<br />
mitten 4 gånger?<br />
b) Hur tjockt blir det om vi viker det n gånger?<br />
c) Hur många gånger skulle vi behöva vika<br />
papperet för att det ska bli 10 cm tjockt?<br />
(Går det?)<br />
5 I IQ-test finns ofta uppgifter där det gäller att<br />
upptäcka samband mellan tal.<br />
Här följer två exempel. Kan du lösa dem?<br />
a) Vilka tal fattas?<br />
1 8 9 64 25 ? 49<br />
4 9 1<br />
3 6<br />
a) Vilka är de fjärde och femte triangeltalen?<br />
1 4 27 16 125 ? 343<br />
b) Finn nästa tal och bokstav!<br />
5 Y 4 P 3 I 2 D …<br />
4 talföljder och summor 193
4.1 Talföljder<br />
Vad menas med en talföljd?<br />
En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal, uppställda i en<br />
bestämd ordning och enligt en bestämd regel. Varje tal har alltså<br />
ett bestämt ordningsnummer.<br />
Exempel 1 1, 4, 9, 16, 25, … , 100 Talföljden är ändlig.<br />
Talföljden ges av formeln a = n<br />
n<br />
2 , där n = 1, 2, 3, …, 10<br />
Det första talet är 1 2 = 1. Vi skriver a 1<br />
= 1 .<br />
Utläses ”a ett är lika med ett”.<br />
Det andra talet är 2 2 = 4 . Vi skriver a 2<br />
= 4 .<br />
Utläses ”a två är lika med fyra”.<br />
2<br />
Det tionde talet är a 10<br />
= 10 = 100 .<br />
Exempel 2 7, 9, 11, 13, 15, … Talföljden är oändlig.<br />
Det första talet a 1<br />
= 7<br />
Det andra talet a 2<br />
= 7+ 1⋅ 2 = 7+ 2 = 9<br />
Det tredje talet a 3<br />
= 7+ 2⋅ 2 = 7+ 4 = 11<br />
Det fjärde talet a 4<br />
= 7+ 3⋅ 2 = 7+ 6 = 13<br />
Talen ges av formeln a = 7+ ( n<br />
n −1)<br />
⋅2<br />
4101 Ange de tre första talen i den talföljd där det n:te talet är<br />
a n = 3 + 4n.<br />
Det första talet är a 1 = 3 + 4 · 1 = 7<br />
Det andra talet är a 2 = 3 + 4 · 2 = 11<br />
Det tredje talet är a 3 = 3 + 4 · 3 = 15<br />
Svar: Formeln a n = 3 + 4n ger talföljden 7, 11, 15, 19, …<br />
4102 Vilket ordningsnummer har talet 180 i talföljden a 500 − 20 n?<br />
n =<br />
Vi löser ekvationen<br />
500 – 20 n = 180<br />
500 – 180 = 20 n<br />
320<br />
20 = n<br />
n = 16<br />
Svar: Talet 180 har ordningsnummer 16.<br />
194 4.1 talföljder
4103 Finn en enkel formel för det n:te talet a n i talföljden<br />
a) 1, 3, 5, 7, 9, … b) 1, 1 4 , 1 9 , 1<br />
16 , 1<br />
25 , …<br />
a) Vi får nästa tal genom att hela tiden lägga till 2.<br />
För att få t ex det femte talet, börjar vi med 1 och lägger till<br />
4 · 2, d v s a 5 = 1 + 8 = 9.<br />
På samma sätt får vi det n:te talet a n så här:<br />
a n = 1 + (n – 1) · 2 = 1 + 2n – 2 = 2n – 1 som ger de<br />
udda talen.<br />
b) I nämnaren har vi kvadraterna på termernas ordningsnummer.<br />
Exempelvis är a 5 = 1 5 2 . Det betyder att a n = 1 n 2 .<br />
4104 Ange de fyra första talen i den talföljd där<br />
a) a = 5 n<br />
n<br />
c) a = n 2<br />
−<br />
n<br />
1<br />
b) a = 3 n<br />
n −2<br />
d) a = n( n + 1)<br />
n<br />
4105 Beräkna det tolfte talet, dvs a 12<br />
, i<br />
talföljden<br />
n−<br />
a) a n<br />
= 3⋅2 1 b) a = 64 − 2( n<br />
n + 1)<br />
4109 Folkmängden i en stad var 250 000<br />
år 2000. Ange ett uttryck för folkmängden<br />
P n , där n är antalet år efter 2000, om<br />
a) ökningen är 5 000 personer per år<br />
b) ökningen är 2 % per år.<br />
4106 Ange en formel för antal punkter i figur<br />
nummer n<br />
1 2 3 4<br />
. . . .<br />
4107 Vilket ordningsnummer har talet 100<br />
i talföljden<br />
a) a n = 20 + 4n b) a n = n(n + 1) + 10?<br />
4108 Finn en formel för det n:e talet a n<br />
i talföljden<br />
a) 3, 7, 11, 15, 19, …<br />
b) 1, 3, 9, 27, …<br />
c) 4, 8, 12, 16, …<br />
d) 2, 5, 10, 17, 26, …<br />
4110 Finn två olika formler som ger en talföljd<br />
som börjar så här: 2, 4, 8, …<br />
4111 Skriv en formel A n som ger storleken av en<br />
vinkel i en regelbunden n-hörning (n ≥ 3).<br />
4.1 talföljder 195
Historik<br />
Fibonaccis talföljd<br />
Den italienske matematikern Leonardo Fibonacci<br />
eller Leonardo från Pisa (1170–1250) brukar<br />
räknas som medel tidens störste.<br />
Under sin uppväxt i Nordafrika och under sina<br />
resor lärde han sig de indiska (arabiska) siffrorna<br />
och såg de stora fördelar de gav för matematiken.<br />
År 1202 skrev han den berömda boken Liber<br />
Abaci (boken om räkning), som gjorde honom<br />
berömd och bidrog till att de krångliga romerska<br />
siffrorna allt mer övergavs.<br />
a<br />
b<br />
I spiralmönster hos<br />
t ex ananas, kottar<br />
och solrosens frön<br />
hittar vi tal ur<br />
Fibonaccis talföljd.<br />
Fibonacci har gett namn åt talföljden<br />
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …<br />
där varje tal är summan av de två föregående.<br />
Fibonacci fann talföljden när han studerade<br />
kaniners fortplantning. Talen anger hur antalet<br />
kaninpar ökar varje månad, om vi räknar med<br />
att ett kaninpar ger upphov till ett nytt kaninpar<br />
varje månad (förutom den första månaden) samt<br />
att inga kaniner dör.<br />
Talföljden har genom åren fascinerat många<br />
människor, då den dyker upp på de mest oväntade<br />
ställen.<br />
a + b<br />
Gyllene snittet = a + b<br />
a<br />
= a b = 1 + √ 5<br />
2<br />
Kvoten mellan ett tal och föregående i Fibonaccis talföljd<br />
närmar sig Gyllene snittet.<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
1 2<br />
1 3 3<br />
4 6<br />
1<br />
4<br />
1<br />
1<br />
Pascals kända<br />
triangel gömmer<br />
också Fibonaccis<br />
talföljd.<br />
1 I texten ovan ser vi de 12 första elementen i<br />
Fibonaccis talföljd.<br />
a) Beräkna de 13:e och 14:e elementen.<br />
b) Ange en rekursiv formel för talföljden.<br />
2 Visa hur Fibonacci fann sin talföljd. Starta<br />
med ett kaninpar och notera sedan för några<br />
månader hur många kaninpar du har, om de<br />
ökar enligt texten ovan. Rita figur.<br />
3 Beräkna kvoterna 13/8, 21/13, 34/21 och<br />
55/34 och jämför med Gyllene snittet.<br />
4 Studera Pascals triangel.<br />
a) Om vi räknar från toppen så har triangeln<br />
fem horisontella rader. Hur bör den 6:e<br />
raden se ut?<br />
b) Ritar vi om triangeln 1<br />
kan vi få: 1 1<br />
1 2 1<br />
1 3 3 1<br />
1 4 6 4 1<br />
Studera de nya diagonalerna, vad ser du?<br />
196 4.1 talföljder
4.2 Geometrisk summa<br />
Hur beräknas en geometrisk summa?<br />
Vi har talföljden 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, …<br />
Vi kommer från ett tal till nästa genom att multiplicera med 2,<br />
d v s kvoten mellan ett tal och det föregående är hela tiden 2.<br />
Geometrisk talföljd Vi kallar en sådan talföljd geometrisk och säger att den har kvoten k = 2.<br />
Första talet a 1 = 5<br />
Andra talet a 2 = a1 ⋅ k = 5⋅ 2=<br />
10<br />
2 2<br />
Tredje talet a 3 = a ⋅ k = 5⋅ 2 = 5⋅ 4 = 20<br />
1<br />
3 3<br />
Fjärde talet a 4 = a ⋅ k = 5⋅ 2 = 5⋅ 8=<br />
40<br />
1<br />
4 4<br />
Femte talet a 5 = a1<br />
⋅ k = 5⋅ 2 = 516 ⋅ = 80<br />
…<br />
n:te talet a n = a ⋅<br />
k n −1<br />
1<br />
Summan av de fem första talen skrivs s 5<br />
.<br />
s 5<br />
= 5 + 10 + 20 + 40 + 80 = 155<br />
Kan vi finna en formel för summan av talen i en geometrisk talföljd?<br />
Vi börjar med en formel för s 5<br />
och kan sedan generalisera resultatet.<br />
2 3 4<br />
s = a+ ak + ak + ak + ak Båda leden multipliceras med kvoten k .<br />
5<br />
ks = ak + ak + ak + ak + ak<br />
5<br />
2 3 4 5<br />
Vi tar den undre summan minus den övre summan:<br />
5<br />
ks − s = ak − a<br />
5 5<br />
5<br />
s ( k− 1) = ak ( − 1)<br />
s<br />
5<br />
5<br />
5<br />
ak ( − 1)<br />
=<br />
k − 1<br />
5<br />
52 ( − 1)<br />
För talföljden ovan får vi s 5<br />
= = 155<br />
2−<br />
1<br />
På samma sätt visas allmänt:<br />
Geometrisk summa<br />
En geometrisk summa s<br />
n<br />
n<br />
a( k −1)<br />
=<br />
k −1 , k ≠ 1<br />
4.2 geometrisk summa 197
4201 I en geometrisk talföljd är första talet 20 och kvoten 3.<br />
Beräkna summan av de 8 första talen.<br />
Första talet a = 20 , kvoten k = 3 och antal tal n = 8<br />
Formeln för den geometriska summa s<br />
20( 3 −1) =<br />
= 65 600<br />
3−1<br />
s 8<br />
8<br />
n<br />
n<br />
a( k −1)<br />
=<br />
ger<br />
k −1<br />
4202 Beräkna den geometriska summan<br />
50 + 50 ⋅ 11 , + 50 ⋅ 11 , + ... + 50 ⋅11<br />
,<br />
2 12<br />
Första talet a = 50 , kvoten k = 1,1 och antal tal n = 13<br />
(Obs! n = 13. Summan består av 12 tal med kvoten 1,1<br />
samt första talet 50. )<br />
50( 11 , −1)<br />
=<br />
= 1226, 13...<br />
≈1226<br />
11 , −1<br />
s 13<br />
13<br />
4203 Skriv de fem första talen i den geometriska<br />
talföljd där<br />
a) första talet är 8 och kvoten är 3<br />
b) a = 80 och k = 0,5.<br />
4204 Beräkna summan av de 10 första talen i<br />
den geometriska talföljd där<br />
a) a = 4 och k = 3<br />
b) första talet är 1000 och kvoten är 1,05<br />
4205 Beräkna den geometriska summan<br />
a) 10 + 10 · 1,02 + … + 10 · 1,02 13<br />
b) 1000 + 1000 · 0,8 + … + 1000 · 0,8 7<br />
4206 I en geometrisk talföljd med kvoten 2 är<br />
summan av de fem första talen 1860.<br />
Vilket är det första talet a?<br />
4207 Är talföljden geometrisk? Beräkna i så fall<br />
summan av de 12 första talen.<br />
a) 5, 8, 11, 14, 17, …<br />
b) 64, 48, 36, 27, …<br />
c) 32 ; 40 ; 50 ; 62,5 ; …<br />
d) 4, 5, 7, 10, 14, …<br />
4208 Bestäm talet x med två decimaler ur<br />
ekvationen<br />
x + x · 1,2 + x · 1,2 2 + … + x · 1,2 9 = 10 000<br />
4209 I en geometrisk talföljd med 6 tal är<br />
kvoten 3 och summan 1 820.<br />
Vilket är det sista talet?<br />
4210 Åtta plastkuber har sidlängder som bildar<br />
en geometrisk talföljd. De tre första sidorna<br />
är 10 cm, 8 cm och 6,4 cm.<br />
. . . .<br />
a) Vilken sidlängd har de åtta kuberna<br />
sammanlagt? Svara med en decimal.<br />
b) Vilken volym har de åtta kuberna<br />
sammanlagt? Svara med heltal.<br />
4211 I en geometrisk talföljd är första talet 100<br />
och det andra talet 150. Hur många tal<br />
måste talföljden innehålla för att summan<br />
ska överstiga 2 000 000?<br />
4212 Bestäm de sex första talen i en geometrisk<br />
talföljd där a 3 = 20 och a 6 = 1 280.<br />
198 4.2 geometrisk summa
Ekonomiska och naturvetenskapliga tillämpningar<br />
4213 Tomas har ett bankkonto med 3,00 % fast ränta. Tomas<br />
farfar satte in 5000 kr på kontot för fyra år sedan. Vid nyår<br />
de senaste fem åren har Tomas morfar satt in 1000 kr<br />
på kontot. Vilket belopp har pengarna från<br />
a) farfar vuxit till på fyra år?<br />
b) morfar vuxit till direkt efter sista insättningen?<br />
a) 5000 kr har på fyra år vuxit till 5000 ∙ 1,03 4 kr ≈ 5628 kr<br />
Svar: Pengarna från farfar har vuxit till 5 628 kr<br />
b) Vi ritar en tidslinje och visar vad varje insättning har vuxit till<br />
vid det femte årsskiftet.<br />
år 1 år2 år 3 år 4 år 5<br />
1000 1000 ∙ 1,03 4 (första insättningen)<br />
1000 1000 ∙ 1,03 3 (andra insättningen)<br />
1000 1000 ∙ 1,03 2 (tredje insättningen)<br />
1000 1000 ∙ 1,03 (fjärde insättningen)<br />
1000 1000 (sista insättningen)<br />
Beloppet beräknas med formeln för en geometrisk summa.<br />
Första talet a = 1000 , kvoten k = 1,03 och antalet termer n = 5.<br />
s<br />
n<br />
=<br />
n<br />
a( k −1)<br />
k −1<br />
=<br />
5<br />
1000( 103 , −1)<br />
103 , −1<br />
≈ 5309<br />
Svar: Pengarna från morfar har vuxit till 5 309 kr<br />
4.2 geometrisk summa 199
4214 En patient får var fjärde timme medicin i form av en<br />
tablett på 100 mg. När 4 timmar gått finns fortfarande 75 %<br />
av den gamla tabletten kvar i blodet. Anta att medicineringen<br />
fortsätter på detta sätt.<br />
Hur stor mängd av medicinen har patienten i blodet efter<br />
a) 3 tabletter b) 10 tabletter?<br />
Låt M n vara den mängd i milligram som finns i blodet efter<br />
n tabletter.<br />
a) M 1 = 100<br />
M 2 = 100 · 0,75 + 100<br />
Kvar av första tabletten<br />
Ny tablett<br />
M 3 = 100 · 0,75 2 + 100 · 0,75 + 100 = 231,25<br />
Kvar av första och andra tabletten<br />
Ny tablett<br />
Svar: Efter tre tabletter finns 231 mg i blodet.<br />
b) M 10 = 100 · 0,75 9 + 100 · 0,75 8 + 100 · 0,75 7 + … + 100 · 0,75 + 100<br />
Mängden beräknas med formeln för en geometrisk summa.<br />
Första talet a = 100 , kvoten k = 0,75 och antalet termer n = 10<br />
s<br />
n<br />
n<br />
10<br />
a( k −1)<br />
100( 075 , −1)<br />
=<br />
= = 377, 474...<br />
≈377<br />
k −1<br />
075 , −1<br />
Svar: Efter 10 tabletter finns 377 mg i blodet<br />
200 4.2 geometrisk summa
4215 Till vilket belopp växer 10 000 kr med<br />
ränta på ränta om<br />
a) räntesatsen är 3 % och tiden 10 år<br />
b) räntesatsen är 5 % och tiden 7 år<br />
c) räntesatsen är 0,5 % och tiden är 6 år?<br />
4216 På ett bankkonto sätter Hedvig in 2 500 kr<br />
vid slutet av tio på varandra följande år.<br />
Ränta på ränta beräknas efter 4 %. Hur stor<br />
är behållningen omedelbart efter den sista<br />
insättningen? Ta hjälp av figuren nedan.<br />
1 2 3 8 9 10<br />
2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500<br />
År<br />
2500 · 1,04<br />
2500 · 1,04 2<br />
2500 · 1,04 3<br />
2500 · 1,04 7<br />
2500 · 1,04 8<br />
2500 · 1,04 9<br />
Vi räknar med en genomsnittlig årlig tillväxt<br />
på 5 % och att hon inte behöver betala<br />
några skatter eller andra avgifter för<br />
fonden.<br />
4220 Vilket alternativ är bäst om årsräntan<br />
antas vara 6 %?<br />
A Att få 6 000 kr i början av 2003<br />
B Att få 9 000 kr i början av 2010<br />
C Att få 1 000 kr i början av vart och ett<br />
av åren 2003, 2004, …, 2009, 2010<br />
4221 Veterinären Elsa behandlar en sjuk häst.<br />
Första dagen får hästen 10 g av en viss<br />
medicin, varefter dosen halveras varje dag.<br />
Hur mycket medicin bör Elsa skriva ut<br />
recept på, om hela behandlingen omfattar<br />
en vecka?<br />
4217 Niklas har fått en öroninfektion. Var sjätte<br />
timme får han antibiotika i form av en tablett<br />
på 200 mg. När han efter sex timmar<br />
får en ny tablett på 200 mg, återstår av den<br />
gamla dosen 40 % i blodet.<br />
Vilken mängd antibiotika har han i blodet<br />
efter<br />
a) 3 tabletter b) 10 tabletter?<br />
4218 Ett nybyggt hus sjunker 1,8 cm det första<br />
året. Man uppskattar att huset därefter<br />
fortsätter att sjunka och att det för varje år<br />
sjunker med en tredjedel av vad det sjönk<br />
närmast föregående år.<br />
a) Hur mycket sjunker huset det andra<br />
året?<br />
b) Hur mycket räknar man med att huset<br />
sjunker de tio första åren?<br />
4219 Nilla sparar i en aktiefond. Hon satte in<br />
1 000 kr i början av 2001 och har sedan<br />
dess satt in 1 000 kr i början av varje år.<br />
Hur mycket är hennes aktiefond värd<br />
direkt efter insättningen år 2020?<br />
4222 Sagan berättar om schackspelets uppfin-<br />
nare, att han av Persiens konung som<br />
belöning lovades få vad han önskade. Han<br />
bad då att få 1 sädeskorn för första rutan på<br />
ett schackbräde, 2 för den andra, 4 för den<br />
tredje osv. För var och en av schackbrädets<br />
64 rutor ville han ha dubbelt så mycket som<br />
för den närmast föregående.<br />
Hur många sädeskorn begärde schackspelets<br />
uppfinnare i belöning? Är det möjligt<br />
att skaffa denna belöning? Vi antar att<br />
1 000 sädeskorn väger ungefär 30 g och<br />
att världsproduktionen av säd är ungefär<br />
2 · 10 12 kg/år.<br />
4.2 geometrisk summa 201
4223 Louise ska få en gåva på 6000 kr när hon fyller 18 år.<br />
Hur stor summa bör hon få, om hon istället får gåvan idag,<br />
på sin 14-årsdag?<br />
Vi räknar med 4 % årlig ränta på ränta.<br />
Nuvärde<br />
Vi ska räkna ut nuvärdet, dvs. värdet idag av en framtida<br />
betalning. Hur mycket är pengarna värda idag, om de ska<br />
växa till 60 00 kr på fyra år?<br />
Vi kallar nuvärdet för x och ställer upp ekvationen<br />
x ∙ 1,04 4 = 6 000<br />
6 000<br />
x = ≈ 5129<br />
4<br />
104 ,<br />
Svar: Louise bör få 5 129 kr på sin 14-årsdag<br />
4224 Mona tog i början av år 2008 ett lån på 100 000 kr. Hon ska<br />
Annuitet betala lånet med 10 lika stora belopp (annuiteter) i slutet av<br />
varje år med början 2008. Ränta på ränta beräknas efter 6 %.<br />
Hur stor är varje annuitet?<br />
Vi ritar en tidslinje och anger vad lånet samt varje annuitet<br />
vuxit till vid slutet av det 10:e året.<br />
2008 2009 . . . . . . 2016 2017<br />
År<br />
100 000 x x x x x x x x x x<br />
x · 1,06<br />
x · 1,06 2<br />
.....<br />
x · 1,06 9<br />
Värdet av de tio avbetalningarna med ränta ska tillsammans<br />
vara lika stort som värdet av 100 000 med<br />
tio års ränta.<br />
x + x · 1,06 + x · 1,06 2 + … + x · 1,06 9 = 100 000 · 1,06 10<br />
Vänstra ledet är en geometrisk summa.<br />
Summaformeln ger (a 1 = x och k = 1,06)<br />
x (1,06 10 – 1)<br />
= 100 000 · 1,06<br />
1,06 – 1<br />
10 x = 13 586,80<br />
Svar: Annuiteten är 13 600 kr (13 586,80 kr).<br />
9 års ränta<br />
på denna<br />
avbetalning.<br />
202 4.2 geometrisk summa
4225 I en affärsuppgörelse ingår att Anton<br />
ska betala 75 000 kr i dag och 25 000 kr<br />
om 5 år. Vad borde Anton betala om uppgörelsen<br />
varit att hela summa ska betalas<br />
a) i dag b) om 5 år?<br />
Vi räknar med 3,5 % årlig ränta på ränta.<br />
4226 Mats lovade Carina att vid slutet av år 2014<br />
betala henne 8 000 kr. Men så småningom<br />
ändrade han sig och ville göra sig skuldfri<br />
fem år i förtid, d v s 2009.<br />
Hur mycket blir nuvärdet av 8 000 kr om<br />
vi räknar med en årsränta på 5 %, d v s<br />
hur mycket ska Mats betala till Carina för<br />
att pengarna efter fem år ska vara värda<br />
8 000 kr?<br />
4229 En patient tar varje morgon medicin i form<br />
av en tablett på 20 mg. För varje dygn utsöndrar<br />
kroppen 50 % av den ursprungliga<br />
mängden. Hur stor mängd av medicinen<br />
har patienten i blodet efter n tabletter?<br />
4230 En trissvinnare kan få 50 000 kr i månaden<br />
varje månad i 25 år. Vinnaren blir lite<br />
nyfiken på vad dessa pengar är värda idag.<br />
a) Vilken månadsränta motsvarar en årsränta<br />
på 4 %?<br />
b) Vad är nuvärdet för hela trissvinsten,<br />
om vi räknar med en årsränta på 4 %?<br />
4227 I ett kärnkraftverk frigörs energi när<br />
atomkärnor delas. En neutron som träffar<br />
kärnan av en uranatom delar den i två<br />
mindre, samtidigt som tre nya neutroner<br />
frigörs som kan dela andra urankärnor.<br />
1:a generationen 2:a generationen<br />
Hur många kärnor kan maximalt delas<br />
av de hundra första generationerna<br />
neutroner?<br />
4228 Vid slutet av 2005 tog Andrea ett lån på<br />
100 000 kr. Lånet ska betalas tillbaka<br />
genom lika stora belopp (annuiteter) vid<br />
slutet av åren 2008 till och med 2012.<br />
Hur stor ska annuiteten vara, om lånet ska<br />
vara helt betalt när annuiteten vid slutet av<br />
2012 är betald? Räkna med 7 % årsränta.<br />
4231 År 2000 uppskattades den totala mängd<br />
olja som fanns kvar i världen till cirka<br />
1 000 miljarder fat (1 fat = 159 liter).<br />
Världsförbrukningen låg då på cirka<br />
85 miljoner fat per dag. När kan oljan antas<br />
ta slut, om förbrukningen sedan dess<br />
a) ökar med 4 % årligen<br />
b) minskar med 4 % årligen?<br />
4.2 geometrisk summa 203
Aktivitet<br />
Laborera<br />
Hur högt studsar bollen?<br />
Materiel: En boll (tennisboll eller liknande),<br />
tumstock eller måttband (2 m).<br />
1 a) Låt bollen falla fritt från en viss höjd<br />
(fallhöjden x cm) som du mäter.<br />
Mät den höjd som bollen kommer upp till<br />
efter studsen (studshöjden y cm).<br />
Variera fallhöjden och visa dina resultat<br />
i en tabell.<br />
b) Hur många procent av fallhöjden blir studshöjden?<br />
c) Formulera en slutsats om studshöjd och<br />
fallhöjd.<br />
2 Anta att bollen faller från 10 m.<br />
a) Beräkna studshöjden efter den andra<br />
studsen.<br />
b) Beräkna studshöjden efter den tionde<br />
studsen.<br />
c) Beräkna hur långt bollen har rört sig sammanlagt<br />
då den träffar marken för tionde<br />
gången. Rita figur.<br />
d) Kan den sammanlagda sträckan som bollen<br />
rört sig bli hur stor som helst? Undersök och<br />
diskutera!<br />
204 4.2 geometrisk summa
4.3 Kalkylmodeller<br />
Kalkylprogram<br />
Exempel<br />
Jonna har skadat sitt knä när hon sprang tjejmilen. Mot svullnaden får<br />
hon var åttonde timme en tablett på 210 mg. När hon efter 8 timmar<br />
tar en ny dos återstår 30 % av den gamla i blodet. Hur beror den mängd<br />
medicin hon har i blodet av det antal tabletter hon tagit?<br />
Vi visar detta i en tabell.<br />
Tabell Tablett nr Kvar av gamla tabletter Efter ny tablett<br />
1 0 0 + 210 = 210<br />
2 0,30 · 210 = 63 63 + 210 = 273<br />
3 0,30 · 273 = 81,9 81,9 + 210 = 291,9<br />
4 0,30 · 291,9 = 87,57 87,57 + 210 = 297,57<br />
…<br />
Upprepade beräkningar i tabellform görs bäst med ett kalkylprogram.<br />
Vi kallar då tabellen för ett kalkylblad.<br />
I ett kalkylblad är raderna numrerade 1, 2, 3, 4, …<br />
Kolumnerna har bokstavsbeteckningar A, B, C, D, …<br />
Kalkylblad<br />
Likhetstecknet i = B3 + 210<br />
anger att det är en formel.<br />
I ruta A1 har vi skrivit in texten Tablett nr<br />
I ruta B2 har vi skrivit in talet 0<br />
I ruta C3 har vi skrivit in formeln = B3 + 210<br />
Att A3 = A2 + 1 betyder att värdet i A3 blir 1 + 1 = 2<br />
Att B3 = 0,3 * C2 betyder att värdet i B3 blir 0,3 · 210 = 63<br />
Att C3 = B3 + 210 betyder att värdet i C3 blir 63 + 210 = 273 osv<br />
4.3 kalkylmodeller 205
4301 Tabellen visar några enkla ränteberäkningar.<br />
A B C D<br />
1 Kapital 1/1 (kr) Räntesats (%) Ränta (kr) Kapital 31/12 (kr)<br />
2 5 000 2 100 5 100<br />
3 5 100 3<br />
a) Beräkna värdena i rutorna C3 och D3.<br />
b) Vilka formler ska stå i rutorna C3 och D3?<br />
a) I C3 får vi värdet: 0,03 · 5 100 = 3 · 5 100 /100 = 153<br />
I D3 får vi värdet: 5 100 + 153 = 5 253<br />
b) C3 = B3 * A3/100 (om vi ändrar räntesatsen i B3 så ändras också värdet i C3)<br />
D3 = A3 + C3<br />
Vi börjar nu med några<br />
enkla övnin gar på kalkylblad<br />
utan dator.<br />
4302 Petras pappa har fått diagnosen högt blodtryck.<br />
Han ska varje morgon ta en tablett<br />
Plendil på 10 mg. För varje dygn utsöndrar<br />
kroppen 50 % av den verksamma substansen.<br />
Tabellen visar mängden verksam<br />
substans i milligram efter de första<br />
tabletterna.<br />
A B C<br />
1 Tablett nr<br />
Kvar av gamla<br />
tabletter<br />
2 1 0 10<br />
3 2 5 15<br />
Efter ny<br />
tablett<br />
4 3 7,5 17,5<br />
5 4<br />
a) Beräkna värdena i de tomma rutorna.<br />
b) Vilka formler ger dessa värden?<br />
4303 Den procentuella årliga ändringen av en<br />
aktieposts värde redovisas i tabellen.<br />
1 År<br />
A B C D E<br />
Ändring<br />
%<br />
Värde<br />
1/1<br />
2 2008 20 120 000<br />
3 2009 –5<br />
Ändring<br />
kr<br />
Värde<br />
31/12<br />
a) Beräkna värdena i de tomma rutorna.<br />
b) Skriv formler för de beräkningar som<br />
görs i tabellen.<br />
4304 En person betalar av (amorterar) på ett lån<br />
i slutet av varje år som tabellen visar.<br />
1 År<br />
A B C D E F<br />
Skuld 1/1<br />
Räntesats<br />
Amortering<br />
2 2008 5 80 000 20 000<br />
3 2009 7 15 000<br />
4 2010 7,5 40 000<br />
Ränta<br />
Skuld<br />
31/12<br />
a) Hur stor är skulden i slutet av år 2010<br />
(efter amorteringen detta år)?<br />
b) Skriv formler för de beräkningar som<br />
görs i tabellen.<br />
4305 Mia släpper en boll från höjden 2,4 m. För<br />
varje studs når bollen 75 % av den tidigare<br />
höjden. I en tabell för Mia in den sträcka i<br />
meter bollen rört sig omedelbart efter en<br />
studs.<br />
A B C D<br />
1 Studs nr Fallhöjd Studshöjd Sträcka<br />
2 1 2,4 1,8 2,4<br />
3 2 1,8 1,35 6,0<br />
4 3<br />
a) Beräkna värdena i rad 4 (för studs nr 3).<br />
b) Vilka formler ger dessa värden?<br />
206 4.3 kalkylmodeller
4306 Tabellen visar behållningen i kronor på ett bankkonto där<br />
uttag görs i slutet av varje år. (Ingen hänsyn tas till att kapitalinkomster<br />
beskattas.)<br />
Nu låter vi ett<br />
kalkylprogram<br />
göra beräkningarna<br />
i våra tabeller.<br />
a) Vilka formler ska stå i rutorna D2 och F2?<br />
b) Vilken formel ska stå i ruta B3?<br />
c) Skriv in tabellen med formler i ett kalkylprogram.<br />
Kopiera alla formler nedåt t o m rad 7.<br />
d) Vilken fördel är det att ha formler i kolumnerna C och E?<br />
e) Hur stor är behållningen på kontot 2013-12-31?<br />
f) Hur stor hade behållningen blivit om räntesatsen varit 4 %?<br />
g) Hur stort årligt uttag (i jämna hundratal kronor) kan man<br />
högst göra, om man vill att behållningen 2013-12-31 inte ska<br />
understiga 100 000 kr? Vi räknar med räntesatsen 4 %.<br />
a) D2 = C2 * B2/100 och F2 = B2 + D2 – E2<br />
b) B3 = F2<br />
c) När du skriver in formeln i t ex D2, skriver du bara = C2 * B2/100.<br />
Markera kolumnerna fr o m den ruta (cell) som ska kopieras och<br />
nedåt t o m rad 7.<br />
d) Du kan då lätt ändra räntesats och uttag. Ändrar du värdet i C2,<br />
så ändras allt i tabellen som beror av C2.<br />
e) I ruta F 7 avläses 161 190 kr (161 189,54)<br />
f) 173 468 kr (173 468,10)<br />
g) Variera uttaget i E2.<br />
Uttaget 23 000 kr ger behållningen 100 505 kr.<br />
Uttaget 23 100 kr ger behållningen 99 842 kr.<br />
Högsta uttaget är alltså 23 000 kr.<br />
Så här kan utskriften från ett kalkylprogram se ut:<br />
År Kapital 1/1 Räntesats (%) Ränta Uttag 31/12 Kapital 31/12<br />
2008 200 000 4 8 000 23 000 185 000<br />
2009 185 000 4 7 400 23 000 169 400<br />
2010 169 400 4 6 776 23 000 153 176<br />
2011 153 176 4 6 127,04 23 000 136 303,04<br />
2012 136 303 4 5 452,12 23 000 118 755,16<br />
2013 118 755,2 4 4 750,21 23 000 100 505,37<br />
4.3 kalkylmodeller 207
4307 Alexandra satsar pengar i en aktiefond. Hon tror att den ska öka i värde<br />
med 10 % per år. I början av varje år sätter hon in ett visst belopp i fonden.<br />
Hennes kalkylmodell är<br />
a) Vilka formler ska stå i E2 och F2?<br />
b) Vilka formler ska stå i A3, B3, C3 och D3?<br />
c) Skriv in kalkylmodellen och fyll i alla formler nedåt t o m rad 11<br />
(år 2016).<br />
d) Vilket värde har fonden 2016-12-31?<br />
e) Vilket blir fondens värde om tillväxten är 15 % per år?<br />
f) Låt tillväxten vara 15 % och variera insättningen så att värdet<br />
2016-12-31 blir 150 000 kr.<br />
4308 En läkare vill ha en kalkylmodell som visar hur mängden verksam substans<br />
i kroppen ökar när patienten börjar med en ny medicin. Kalkylmodellen<br />
ska visa mängden kvarvarande substans då en ny tablett har tagits.<br />
Fullborda kalkylmodellen och använd den på följande fall: En patient tar<br />
varje dygn en tablett på 50 mg. Efter ett dygn återstår 40 % av den ursprungliga<br />
mängden. Vilken mängd av den verksamma substansen finns i<br />
kroppen efter den 10:e tabletten?<br />
4309 Den svenske matematikern Helge von Koch studerade i början av 1900-<br />
talet en kurva som efter honom brukar kallas Kochs snöflingekurva. Den<br />
konstrueras så här:<br />
Grundfiguren är en liksidig triangel med sidan 3 längdenheter. Varje sida<br />
delas sedan i tre lika delar. Den mellersta delen tas bort och ersätts med<br />
en liksidig triangel, som figuren visar. Nästa figur bildas på samma sätt.<br />
a) Gör ett kalkylblad som visar omkrets och area för figur nummer n.<br />
b) Ange det lägsta värde på n för vilket omkretsen överstiger<br />
1 000 längdenheter.<br />
c) Vad händer med arean då n ökar obegränsat?<br />
1 2 3 4<br />
2 3 4<br />
208 4.3 kalkylmodeller
Upprepade beräkningar med grafritande räknare<br />
Exempel<br />
En ny bil kostar 285 000 kr. Värdeminskningen är 15 % per år. Efter hur många år är bilen för<br />
första gången värd mindre än 150 000 kr?<br />
Beräkningsrutin<br />
Så här kan du göra med din räknare:<br />
EXE på en<br />
del räknare<br />
285 000 ENTER Startvärdet läggs in. I räknarfönstret kan det se ut så här:<br />
Det lagras i variabeln Ans.<br />
285000<br />
Ans × 0,85 ENTER<br />
ENTER<br />
ENTER<br />
osv<br />
Ger värdet efter 1 år.<br />
Du får Ans × genom<br />
att bara trycka på ×.<br />
Nu är det nya Ans-värdet<br />
= det gamla × 0,85.<br />
Ger värdet efter 2 år,<br />
d v s det nya Ans-värdet<br />
× 0,85.<br />
Ger värdet efter 3 år.<br />
Efter 4 år är värdet mindre än 150 000 kr.<br />
285000.00<br />
Ans * 0.85<br />
242250.00<br />
205912.50<br />
175025.63<br />
148771.78<br />
Värdet<br />
efter 1 år<br />
Värdet<br />
efter 4 år<br />
4310 En villaägare har lånat 800 000 kr till<br />
en fast årlig ränta av 6 %.<br />
Hur stort är lånet efter 5 år, om det<br />
amorteras (betalas av) med 60 000 kr<br />
vid varje års slut?<br />
Beräkningsrutin:<br />
800 000 ENTER Startvärdet har<br />
lagrats i Ans.<br />
Ans × 1,06 – 60 000 ENTER Ger lånet efter 1 år<br />
sedan avbetalningen<br />
gjorts.<br />
ENTER Ger lånet efter 2 år<br />
sedan avbetalningen<br />
gjorts.<br />
osv<br />
Svar: Efter 5 år är lånet 732 355 kr.<br />
Ans * 1.06-60000<br />
800000.00<br />
788000.00<br />
775280.00<br />
761796.80<br />
747504.61<br />
732354.88<br />
4.3 kalkylmodeller 209
4311 Ett radioaktivt ämne väger 95 pg. Massan<br />
av ämnet minskar för varje timme med<br />
12 %.<br />
a) Hur mycket återstår av ämnet efter<br />
4 timmar?<br />
b) När återstår mindre än 20 pg?<br />
4312 Klockan 08.00 finns det i en näringslösning<br />
85 bakterier/ml. Antalet ökar med 35 %<br />
under varje 30-minutersperiod. När finns<br />
det fler än 1 000 bakterier/ml i lösningen?<br />
4313 En bank erbjuder sina kunder att köpa<br />
obligationer värda 10 000 kr/st. De ska<br />
växa med 8 % ränta samt en årlig bonus på<br />
400 kr som utdelas i slutet av varje år och<br />
som också ger ränta.<br />
a) Hur ser beräkningsrutinen ut i detta<br />
fall?<br />
b) Vad är obligationen värd efter 5 år?<br />
c) När är obligationen värd 50 000 kr?<br />
4314 Den svenska björnstammens storlek är svår<br />
att uppskatta. År 2008 uppskattades den<br />
till 2 800 djur. Hur stor är den 2013 (fem<br />
år senare), om den naturliga tillväxten är<br />
4,4 % per år och man skjuter 200 björnar<br />
per år?<br />
4315 När en organism dör, avtar halten C-14<br />
långsamt. Efter en tusenårsperiod återstår<br />
88,6 % av den ursprungliga mängden.<br />
Hur många procent återstår efter 6 000 år?<br />
4316 Camilla får låna 50 000 kr av bilfirman,<br />
när hon köper en begagnad bil. Hon får betala<br />
11,5 % i årsränta på lånet. Vid slutet av<br />
varje år ska hon betala bilfirman 12 000 kr.<br />
a) Hur mycket är kvar av lånet efter 3 år?<br />
b) När är lånet slutbetalt?<br />
4317 En stipendiefond på 300 000 kr förvaltas av<br />
en bank, som under en tioårsperiod garanterar<br />
en årlig tillväxt på 8 %.<br />
<br />
Under de fem första åren delas vid årets<br />
slut ut ett stipendium på 15 000 kr, och<br />
under de följande fem åren delar man på<br />
samma sätt ut 20 000 kr årligen.<br />
Hur stor är fonden efter 10 år?<br />
4318 Skriv en beräkningsrutin som ger talföljden<br />
a) 0,4; 0,04; 0,004; …<br />
b) 100; 40; 16; 6,4; …<br />
4319 Om mönstret fortsätter oändligt långt<br />
får man en figur som brukar kallas<br />
Sierpińskis triangel, efter den polske matematikern<br />
Wacław Sierpiński (1882–1969).<br />
a) Hur många färgade trianglar är det i<br />
figur nr 20?<br />
b) Den första figuren är färgad till 100 %.<br />
Hur stor andel av figur nr 20 är färgad?<br />
210 4.3 kalkylmodeller
Aktivitet<br />
Sant eller falskt?<br />
Diskutera<br />
Diskutera i par eller grupp. Sant eller falskt?<br />
Motivera svaret!<br />
1 I en talföljd är alltid det andra talet större än<br />
det första talet.<br />
2 Talföljden 5, 8, 12, 17, 23 ges av a n = 3n + 2.<br />
3 2, 4, 6, 8, 10, 12 är exempel på en geometrisk<br />
talföljd.<br />
4 Alla tal i talföljden a n = n 2 + n är jämna<br />
heltal.<br />
6 I en geometrisk talföljd är kvoten mellan ett<br />
tal och det föregående alltid samma.<br />
7 Summan 5 + 5 ∙ 1,1 + 5 ∙ 1,1 2 + … +<br />
+ 5 ∙ 1,1 10 har elva termer.<br />
8 Den sjunde termen i den geometriska summan<br />
ovan är 5 ∙ 1,1 7 .<br />
9 100 + 100 ∙ 1,04 + 100 ∙ 1,04 2 + … +<br />
+ 100 ∙ 1,04 n < 25 000 för alla värden på n.<br />
10 100 + 100 ∙ 0,96 + 100 ∙ 0,96 2 + … +<br />
+ 100 ∙ 0,96 n < 2 500 för alla värden på n.<br />
5 Talet 54 ingår i talföljden a n = 5n – 3<br />
4 talföljder och summor 211
Problem för alla 4<br />
1 Dela talet 147 i tre delar, så att den andra 5 Efter två löneförhöjningar är den nya lönen<br />
999 999<br />
för att summan ska överstiga<br />
1 000 000 . a<br />
delen blir dubbelt så stor som den första<br />
och den tredje delen dubbelt så stor som<br />
den andra.<br />
15/8 av den ursprungliga. Hur stor var den<br />
första höjningen (i procent), om den andra<br />
höjningen var dubbelt så stor som den första<br />
(i procent)?<br />
2 I ett datorspel ska du försöka gissa ett be-<br />
stämt tresiffrigt tal. För varje gissning får du<br />
2+ 4+ 8+ 16 +...+ 4 096<br />
en ledtråd. Vad svarar du efter denna dialog 6 Förenkla<br />
3+ 6+ 12+ 24...<br />
+ 6144<br />
med datorn?<br />
7 Funktionen<br />
123 Ingen siffra rätt!<br />
f ( x) = (2 – a) x 3 + (a 2 – 2a – 2) x 2<br />
456 En siffra rätt, men i fel läge!<br />
antar ett minimivärde för x = 2. Bestäm a.<br />
789 En siffra rätt, men i fel läge!<br />
075 Två siffror rätt, varav en i rätt läge! 8 Figuren OAB är en cirkelkvadrant. Med OA<br />
och OB som diametrar är två cirkelbågar<br />
087 En siffra rätt, men i fel läge!<br />
ritade. Bestäm förhållandet mellan de båda<br />
skuggade områdena a och b.<br />
3 Ett tåg med hastigheten 30 m/s passerar en<br />
300 m lång tunnel på 30 s. Hur lång tid tar<br />
B<br />
det för tåget att passera en stolpe?<br />
4 Bestäm det minsta antal termer som ska<br />
adderas i uttrycket 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + …<br />
b<br />
O<br />
A<br />
9 Gränsvärdet lim ( ) 1<br />
h<br />
/ 3<br />
8+<br />
− 2<br />
h→0<br />
h<br />
med f ′ (a).<br />
är lika<br />
a) Vilken är funktionen f och vilket är<br />
a-värdet?<br />
b) Beräkna f ′ (a) exakt.<br />
10 Bestäm summan av de tio första talen i en<br />
geometrisk talföljd där a 2 = 6 och a 5 = 162.<br />
212 4 talföljder och summor
Hemuppgifter 4<br />
4.1 Talföljder<br />
1 Ange de tre första talen i den talföljd där<br />
a) a n = 7 – 2n<br />
b) a n + 1 = a n + n 2 och a 1 = 10<br />
2 Finn en formel för det n:te talet i tal följden<br />
a) 5, 8, 11, 14, …<br />
b) 1 2 , 1 5 , 1<br />
10 , 1<br />
17 , 1<br />
26 , …<br />
3 Ange en formel för antalet punkter i<br />
figur nr n.<br />
1 2 3 4<br />
4.2 Geometrisk summa<br />
4 Beräkna summan av 8 tal i den geometriska<br />
talföljd, där första talet är 4 och kvoten är<br />
1,5.<br />
5 Ange den geometriska summa som kan<br />
beräknas med 02 3 6<br />
, ( − 1 )<br />
3−<br />
1<br />
6 Beräkna den geometriska summan och avrunda<br />
resultatet till heltal.<br />
a) 5 + 5 · 1,08 + 5 · 1,08 2 + … + 5 · 1,08 20<br />
b) 20 + 20 · 0,8 + 20 · 0,8 2 + … + 20 · 0,8 19<br />
7 Bestäm talet x med två decimaler ur<br />
ekva tionen<br />
x + x · 0,6 + x · 0,6 2 + … + x · 0,6 11 = 25 000<br />
8 Morfar Sven vill att hans båda barnbarn ska<br />
ha 100 000 kr på var sitt konto när de fyller<br />
20 år. Hur mycket bör han då sätta in på<br />
a) Jennys konto när hon fyller 10 år<br />
b) Martins konto när han fyller 14 år?<br />
Räntesatsen antas hela tiden vara 4,5 %.<br />
9 Hur mycket bör Filip sätta in på ett bank -<br />
konto vid slutet av varje år, om han efter den<br />
30:e insättningen vill ha 200 000 kr på sitt<br />
konto? Räntesatsen antas vara 5,25 %.<br />
10 En patient får var sjätte timme medicin i form<br />
av en tablett på 200 mg. När 6 timmar har<br />
gått återstår det 20 % av den tidigare medicinen<br />
i kroppen. Hur stor mängd medicin har<br />
patienten i kroppen efter<br />
a) 5 tabletter b) 50 tabletter?<br />
4.3 Kalkylmodeller<br />
11 Kalkylmodellen visar kapitalets tillväxt på ett<br />
bankkonto där insättningar görs i början av<br />
varje år. Gör de beräkningar som formlerna<br />
beskriver. Hur stor är behållningen på kontot<br />
i början av år 2011?<br />
A B C D E<br />
1 År Räntesats Insättning Kapital 1/1 Ränta<br />
2 2009 3 3000 = C2 = B2*D2/100<br />
3 2010 4 = C2+1000 = D2+E2+C3 = B3*D3/100<br />
4 2011 5 = C3+1000 = D3+E3+C4<br />
12 En villaägare tog i början av 2001 ett lån på<br />
1 200 000 kr till en fast årlig ränta på 7 %.<br />
Lånet amorteras (betalas av) med 75 000 kr<br />
vid slutet av varje år. Hur stor var villa ägarens<br />
skuld vid slutet av 2006, omedelbart efter den<br />
sjätte amorteringen? Gör en beräkningsrutin<br />
för grafritande räknare och bestäm detta.<br />
4 talföljder och summor 213
Sammanfattning 4<br />
Talföljd<br />
En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal,<br />
uppställda i en bestämd ordning och enligt en<br />
bestämd regel.<br />
En talföljd kan anges på olika sätt:<br />
1 Genom en formel för det n:te talet.<br />
Formeln a n = n(n + 1) ger talföljden 2, 6,<br />
12, 20, …<br />
2 Genom uppräkning.<br />
Om de fyra första talen är 2, 6, 12, 20, så är<br />
det rimligt att det 5:e talet är 30. (Vi ökar med<br />
4, 6, 8, 10, osv.)<br />
Geometrisk talföljd<br />
Det n:te talet: a n = a 1 · k n – 1 , där k = kvoten av<br />
ett tal och närmast föregående tal.<br />
I den geometriska talföljden 5, 10, 20, 40, …<br />
är kvoten k = 2.<br />
Geometrisk summa<br />
Summan s n av de n första talen i en geometrisk<br />
talföljd beräknas med formeln<br />
s n = a k n<br />
n<br />
1( − 1) a1( 1 − k )<br />
=<br />
k − 1 1 − k<br />
Exempel<br />
I den geometriska summan<br />
64 + 64 · 0,5 + 64 · (0,5) 2 + 64 · (0,5) 3 + … +<br />
+ 64 · (0,5) 7 är a 1 = 64, k = 0,5 och n = 8<br />
s n = 64 1 0 5 8<br />
( − , )<br />
= 127,5<br />
1−<br />
0,<br />
5<br />
Modell med geometrisk talföljd<br />
En förälder sätter vid slutet av 18 på varandra<br />
följande år in 2 000 kr åt sitt barn på ett konto.<br />
Ränta på ränta beräknas efter 5 %.<br />
1 2 17<br />
År<br />
......... 18<br />
2000 2000<br />
2000 2000 2000<br />
2000 · 1,05<br />
. . . . . . .<br />
2000 · 1,05 16<br />
2000 · 1,05 17<br />
Omedelbart efter den 18:e insättningen är behållningen<br />
i kronor den geometriska summan<br />
2 000 + 2 000 · 1,05 + 2 000 · 1,05 2 + … +<br />
+ 2 000 · 1,05 17<br />
a 1 = 2000, k = 1,05 och n = 18<br />
2000( 105 , − 1)<br />
s 18 = ≈ 56 265<br />
105 , − 1<br />
18<br />
Nuvärde<br />
En skuld på 50 000 kr ska betalas tillbaka vid<br />
slutet av år 2015. Om den betalas redan vid slutet<br />
av år 2010, d v s 5 år i förväg, och ränta på ränta<br />
beräknas efter 12 %, ska man betala N kr där<br />
N · 1,12 5 = 50 000, d v s N = 50 000/1,12 5 .<br />
N kallas skuldens nuvärde år 2010.<br />
214 4 talföljder och summor
Blandade övningar 4 A<br />
Blandade övningar 4A och 4B är två likvärdiga och parallella test som båda omfattar<br />
kapitel 1 – 4. De innehåller uppgifter på A-, B- och C-nivå och avslutas med<br />
Utredande uppgifter.<br />
Del I<br />
Utan räknare<br />
6 Beräkna det 5:e talet i en geometrisk talföljd<br />
med a 1 = 2 och k = 3.<br />
1 Låt y = x 3 + 5x.<br />
a) Bestäm y′.<br />
b) Beräkna y′ (3).<br />
2 Förenkla så långt som möjligt<br />
3 Lös ekvationen<br />
a) x 3 – 9x = 0<br />
b) lg x = 2<br />
4 Derivera<br />
a) g (x) =<br />
x 2<br />
4<br />
b) h (x) = 2e 3x<br />
5 Figuren visar grafen till y = f (x).<br />
a<br />
2 – a 6 .<br />
7 Värdet av en bil är V (t) kr, där t är tiden i år<br />
räknat från den dag bilen köptes som ny.<br />
Vad betyder det att<br />
a) V (3) = 110 000<br />
b) V′ (3) = –15 000?<br />
8 Beräkna f′ (2) då f (x) = 4x + 4 x<br />
9 Grafen visar hur temperaturen y °C i en kopp<br />
kaffe sjunker med tiden x minuter. Tangenten<br />
i punkten (20, 55) är ritad.<br />
°C<br />
80<br />
y<br />
(20, 55)<br />
y<br />
x<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2 3 4<br />
x<br />
10<br />
20<br />
Bestäm ur figuren y′ (20).<br />
min<br />
2<br />
För vilka x-värden är<br />
a) f′ (x) = 0<br />
b) f′ (x) < 0?<br />
4215 talföljder och summor 4 talföljder och summor 215
Del II Med räknare<br />
10 Lös ekvationen<br />
15 Beräkna kvoten<br />
värdeminskning i procent motsvarar detta?<br />
x<br />
y om lg x – lg y = 3.<br />
a) ln x + ln 2 = ln 5<br />
b) 2 + 1 = 1<br />
16 Bestäm koordinaterna för minimipunkten<br />
x x − 2<br />
på kurvan y = 4x 2 – 16x + 7 genom att<br />
11 I vilken punkt på kurvan y = 1 + 12x – 4x 2<br />
är lutningen –12?<br />
12 Vad gör kalkylbladet?<br />
använda derivata.<br />
17 En viss geometrisk summa kan beräknas med<br />
5<br />
4 000 ⋅ ( 103 , − 1)<br />
A B C<br />
103 , − 1<br />
a) Skriv ut termerna i den geometriska<br />
1 1 = A1 · A1 = B1<br />
summa som kan beräknas med uttrycket<br />
2<br />
3<br />
= A1 + 1<br />
= A2 + 1<br />
= A2 · A2<br />
= A3 · A3<br />
= C1 + B2<br />
= C2 + B3<br />
ovan.<br />
b) Formulera ett problem som handlar om en<br />
verklig situation. Ditt problem ska kunna<br />
lösas genom att beräkna uttrycket<br />
Genomför beräkningarna och tala om vilken<br />
5<br />
summa som beräknats i ruta C3.<br />
4 000 ⋅ ( 103 , − 1)<br />
103 , − 1<br />
(NP C vt 05)<br />
13 Tredjegradsfunktionen y = f (x) har ett<br />
lokalt minimivärde som är positivt. Funktionens<br />
derivata har grafen<br />
18 Tabellen visar folkmängden i Sverige den<br />
31 december år 1960–2000.<br />
y<br />
År Folkmängd<br />
1960 7 497 967<br />
y = f'(x)<br />
1970<br />
1980<br />
8 081 229<br />
8 317 937<br />
x<br />
1990 8 590 630<br />
3<br />
3<br />
2000 8 882 792<br />
Beräkna den årliga genomsnittliga förändringshastigheten<br />
av befolkningen i Sverige<br />
Skissa grafen till y = f (x).<br />
14 Bestäm f′ (x) då f (x + h) = x 2 + 2hx + h 2 .<br />
under perioden 1960 – 2000.<br />
19 Christian köpte 2003 en dator för 7 495 kr.<br />
År 2008 sålde han den för 950 kr. Vilken årlig<br />
216 4 talföljder och summor
20 Funktionen f (x) = 2x 3 – 3x 2 – 12x + a har<br />
ett maximivärde och ett minimivärde. Hur<br />
stort är minimivärdet om maximivärdet är<br />
30?<br />
21 Temperaturen y °C för en lasagne som placeras<br />
i en ugn kan beräknas med ekvationen<br />
y = 200 – 180 · e – k x<br />
där x minuter är den tid lasagnen stått inne i<br />
ugnen.<br />
a) Vilken temperatur har lasagnen då den<br />
sätts in i ugnen?<br />
b) Vilken temperatur har ugnen?<br />
c) Vid den tidpunkt då lasagnen sätts in i<br />
ugnen stiger temperaturen med 2,0 °C /<br />
min. Vilken temperatur har lasagnen efter<br />
24 minuter?<br />
22 Beräkna ändringskvoten<br />
f( 101 , ) − f( 0, 99)<br />
002 ,<br />
för funktionen f ( x) = x · e x . Kvoten ger ett<br />
närmevärde till funktionens derivata för<br />
x = a.<br />
a) Vilket värde har a och vilket värde har<br />
ändringskvoten?<br />
b) Bestäm ett bättre närmevärde till f′ (a).<br />
23 Bestäm talen a, b och c så att grafen till<br />
funktionen<br />
y = ax 2 + bx + c<br />
går genom punkten (0, 1) och har linjen<br />
y = x – 1 till tangent i punkten (1, 0).<br />
24 Funktionen f (x) = ax 2 + b där a och b är<br />
konstanter.<br />
a) Bestäm f′ (x) då a = 4 och b = 3.<br />
b) Då a = 4 och b = 3 har ekvationen<br />
f (x) = f′ (x) två olika lösningar.<br />
Visa detta.<br />
c) Undersök om det finns något samband<br />
mellan a och b då ekvationen<br />
f (x) = f′ (x) har två olika lösningar.<br />
25 Den färgade rektangeln i figuren har höjden<br />
x cm och arean y cm 2 .<br />
26<br />
x<br />
b<br />
h<br />
(cm)<br />
a) Då b = 18 cm och h = 24 cm kan<br />
arean skrivas<br />
y = 18x – 0,75x 2 , 0 < x < 24.<br />
Bestäm rektangelns maximala area.<br />
b) Visa hur man kommer fram till uttrycket<br />
för arean ovan.<br />
c) Både triangelns form och värdet på b<br />
och h kan variera. Malin påstår att rektangelns<br />
maximala area alltid är hälften<br />
av triangelns area. Undersök om detta är<br />
sant.<br />
Utredande uppgifter<br />
Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter<br />
följande kriterier:<br />
• vilka matematiska kunskaper du har visat<br />
• vilka slutsatser du har kommit fram till<br />
• hur väl du har redovisat ditt arbete och genomfört<br />
dina beräkningar.<br />
Studera mönstret av färgade kvadrater ovan.<br />
Den största (1:a) kvadraten har arean 1 dm 2 .<br />
a) Vilken exakt area har den andra?<br />
Den tredje? Den n:te?<br />
b) Undersök hur totala arean beror av antal<br />
kvadrater.<br />
c) Undersök hur kvadraternas totala omkrets<br />
beror av antal kvadrater.<br />
4 talföljder och summor 217
Blandade övningar 4 B<br />
Del I<br />
1 Derivera<br />
a) y = 5x – 2<br />
b) y = x 3 + x 3<br />
c) y = 5e –4x<br />
2 Förenkla<br />
Utan räknare<br />
2<br />
2h+ h .<br />
h<br />
3 Lös ekvationen<br />
a) x 3 = 16 x<br />
b) (x + 2) 2 = (x – 3) 2<br />
8 Figurerna återger graferna till sex olika<br />
derivator f′ (x).<br />
Vilken eller vilka av funk tionerna f (x)<br />
a) är avtagande för alla x<br />
b) har en graf med endast en extrempunkt<br />
c) har ett lokalt minimum<br />
d) har en graf med en terasspunkt<br />
e) har ett lokalt maximum ?<br />
A<br />
1<br />
f '(x)<br />
1<br />
x<br />
D<br />
1<br />
f '(x)<br />
1<br />
x<br />
4 Lös ekvationen och svara exakt.<br />
a) 10 x = 3<br />
b) 2 x 5 = 50<br />
c) 6 x = 12<br />
5 Ge exempel på ett rationellt uttryck som inte<br />
är definierat för x = 1.<br />
B<br />
1<br />
f'(x)<br />
1<br />
x<br />
E<br />
1<br />
f '(x)<br />
1<br />
x<br />
6 För funktionen f (x) = 5e k x gäller att<br />
f′ (0) = 10. Vilket värde har talet k?<br />
C<br />
f '(x)<br />
F<br />
f '(x)<br />
7 Emelie undersöker en tredjegradsfunktion<br />
och gör följande tabell.<br />
x –1 0 1 2 3<br />
1<br />
1<br />
x<br />
1<br />
1<br />
x<br />
f (x ) 5 1 3 5 1<br />
f ′ (x ) –9 0 3 0 –9<br />
a) Bestäm f (0).<br />
b) Bestäm f′ (1).<br />
c) Bestäm minimipunktens koordinater.<br />
d) För vilka x är funktionen växande?<br />
218 4 talföljder och summor
9 Förenkla<br />
a) f (a + h) – f (a – h) om f (x) = x 2 .<br />
b)<br />
f( 3+ h) − f ( 3)<br />
h<br />
om f (x) = x 2 + 5x.<br />
10 Beräkna y′ (2) om y = 4 +<br />
6 2<br />
x x<br />
11 Bestäm koordinaterna för den punkt på<br />
kurvan y = e x<br />
där y′ = e.<br />
12 En funktion f har egenskaperna<br />
2<br />
2<br />
f (0) = 2 f′ (0) = 1 f′ (2) = 0<br />
Skissa grafen till en funktion som har dessa<br />
egenskaper. (NP C vt 98)<br />
13 Förenkla<br />
3<br />
15 , a − 6a<br />
15 , a + 075 ,<br />
14 Lös ekvationen lg x 5 = 10.<br />
15 Bestäm lutningen i den punkt på kurvan<br />
y = 9x 1/3 där x = 8.<br />
16 Bestäm ekvationen för de tangenter som<br />
från punkten (0, –2) kan dras till kurvan<br />
y = 0,5x 2 .<br />
Del II<br />
Med räknare<br />
17 Bestäm f′ (3) om f (x) = x 3 – 6x 2 + 4.<br />
18 Beräkna den geometriska summan<br />
3 000 + 3 000 · 1,07 + 3 000 · 1,07 2 + …<br />
… + 3 000 · 1,07 49<br />
19 Lös ekvationen. Svara exakt och med ett närmevärde<br />
med tre decimaler.<br />
a) 7 · x 5 = 13<br />
b) 7 · 5 x = 13<br />
20 I en affärsuppgörelse ingår att företaget<br />
BYGG AB ska betala beloppet 400 000 kr idag<br />
och resten, 600 000 kr, om 4 år. Vad borde<br />
BYGG AB betala, om uppgörelsen varit att<br />
hela summan ska betalas idag? Hänsyn tas till<br />
en årlig ränta av 7,5 %.<br />
21 Folkmängden i en kommun har fördubblats<br />
under en 35-årsperiod. Beräkna den årliga<br />
procentuella ökningen, om den antas ha varit<br />
lika stor varje år.<br />
4 talföljder och summor 219
22 Värdet i kronor av en maskin förändras enligt<br />
funktionen<br />
25<br />
f (x) = 250 000 · 0,85 x<br />
där x är tiden i år sedan maskinen var ny.<br />
a) Vad betyder 0,85 i detta fall?<br />
b) Beräkna och tolka f (5).<br />
c) Beräkna derivatan f′ (5) genom att skriva<br />
om exponentialfunktionen med basen e.<br />
d) Visa hur du kan kontrollera värdet på<br />
f′ (5) med din räknare.<br />
e) Tolka vad f′ (5) betyder i detta fall.<br />
23 Rita kurvan<br />
y = x 3 – 180 x 2 + 6 000x + 45 000<br />
och bestäm extrempunkternas koordinater<br />
med hjälp av derivata.<br />
24 Marcus arbetar som forskare. Måndagen den<br />
5 maj kl 09.00 glömde Marcus av misstag ett<br />
radioaktivt preparat på sitt arbetsbord.<br />
Tre dygn senare upptäckte han preparatet.<br />
Aktiviteten var då 150 MBq. (En becquerel,<br />
1 Bq, är enheten för aktivitet, d v s antal sönderfall<br />
per sekund.)<br />
Efter ytterligare två dygn hade aktiviteten<br />
gått ned till 119 MBq. Aktiviteten hos ett<br />
radioaktivt preparat avtar exponentiellt med<br />
tiden.<br />
Hur stor var aktiviteten den 5 maj kl 09.00?<br />
<br />
För att en viss medicin ska få avsedd effekt<br />
behöver en patient ha 15 mg av medicinen i<br />
kroppen. Om man ger hela denna medicinmängd<br />
på en gång finns risk för allvarliga<br />
biverkningar. Patienten får därför små doser<br />
medicin med en timmes mellanrum.<br />
Efter 10 sådana lika stora doser upphör medicineringen,<br />
och patienten ska då ha 15 mg av<br />
medicinen i kroppen.<br />
Hur stora ska dessa doser vara, om man vet<br />
att medicinen börjar verka omedelbart och<br />
att 16 % av den bryts ner i kroppen<br />
per timme? (NP C vt 96)<br />
26 I en formelsamling står det att funktionen<br />
f (x) = ln x har derivatan f′ (x) = 1 x<br />
för<br />
alla x > 0. Undersök om denna deriveringsregel<br />
verkar vara riktig. Du behöver inte<br />
utföra ett bevis. (NP C ht 96)<br />
220 4 talföljder och summor
Utredande uppgifter<br />
Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter<br />
följande kriterier:<br />
• vilka matematiska kunskaper du har visat<br />
• vilka slutsatser du har kommit fram till<br />
• hur väl du har redovisat ditt arbete och genomfört<br />
dina beräkningar.<br />
27 a) Bestäm koordinaterna för maximipunkten<br />
på kurvan y = 8 – 2x 2 .<br />
b) y = f (x) är en andragradsfunktion vars<br />
graf har en maximipunkt på y-axeln.<br />
Visa att grafen till funktionens derivata<br />
alltid är en rät linje, med negativ lutning,<br />
som går genom origo.<br />
28 En låda i form av ett rätblock har en kvadratisk<br />
basyta och saknar lock. De fyra sidoytorna<br />
och bottenytan har tillsammans arean<br />
192 cm 2 .<br />
29<br />
. . .<br />
Varje kloss har en höjd och bredd som är 80 %<br />
av den intill. Den första är 20 cm hög.<br />
a) Hur många klossar har vi om den första är<br />
20 cm och den minsta 4,2 cm hög?<br />
b) Hur hög blir stapeln om vi ställer dem på<br />
varandra?<br />
c) Undersök hur hög stapeln blir, beroende<br />
på hur många klossar vi har samt hur hög<br />
den första är.<br />
h<br />
(cm)<br />
x<br />
x<br />
a) Bestäm lådans volym då baskanten<br />
x = 10,0 cm.<br />
b) Bestäm lådans volym då höjden<br />
h = 10,0 cm.<br />
c) Vilka dimensioner har lådan då volymen<br />
är maximal?<br />
d) När volymen är maximal finns det ett<br />
enkelt samband mellan baskanten x och<br />
höjden h. Undersök detta också för den<br />
totala arean 363 cm 2 och försök sedan att<br />
visa sambandet allmänt genom att sätta<br />
den totala arean till A cm 2 .<br />
4 talföljder och summor 221
4<br />
4104 a) 5, 10, 15, 20<br />
b) 1, 4, 7, 10<br />
c) 0, 3, 8, 15<br />
d) 2, 6, 12, 20<br />
4105 a) a 12 = 6 144 b) a 12 = 38<br />
4106 a n = n 2<br />
4107 a) n = 20 b) n = 9<br />
4108 a) a n = 4n – 1<br />
b) a n = 3 n – 1<br />
c) a n = 4n<br />
d) a n = n 2 + 1<br />
4109 a) P n = 250 000 + 5 000n<br />
b) P n = 250 000 ∙ 1,02 n<br />
4110 T ex a n = 2 n , a n = n(n – 1) + 2<br />
4111 A n =<br />
= ( n − 2 ) ⋅ 180°<br />
360°<br />
n = 180°−<br />
n<br />
Historik – Fibonaccis talföljd<br />
1 a) 233, 377<br />
b) a n + 2 = a n + 1 + a n , a 1 = 1,<br />
a 2 = 1<br />
2 månad kaninpar<br />
1 1<br />
2 1<br />
3 1 + 1 = 2<br />
4 1 + 2 = 3<br />
5 2 + 3 = 5<br />
månad 1<br />
månad 2<br />
månad 3<br />
månad 4<br />
månad 5<br />
3 Kvoterna<br />
13<br />
8 ≈ 1,625<br />
21<br />
13 ≈ 1,6154<br />
34<br />
21 ≈ 1,6191<br />
55<br />
34 ≈ 1,6177<br />
verkar närma sig Gyllene snittet,<br />
1+<br />
5<br />
2<br />
≈ 1,6180<br />
4 a) 1 5 10 10 5 1<br />
b) Diagonalernas summa blir<br />
Fibonaccis talföljd.<br />
4203 a) 8, 24, 72, 216, 648<br />
b) 80, 40, 20, 10, 5<br />
4204 a) 118 096<br />
b) 12 578<br />
4205 a) 160<br />
b) 4 161<br />
4206 a = 60<br />
4207 a) Ej geometrisk<br />
10<br />
43 ( − 1)<br />
( 3−<br />
1)<br />
10<br />
1 000(, 105 − 1)<br />
(, 105−<br />
1)<br />
8<br />
1 000( 08 , − 1)<br />
08 , − 1<br />
b) Talföljden är geomtrisk med<br />
summan 248 k = 0,75<br />
c) Talföljden är geomtrisk med<br />
summan 1 735 k = 1,25<br />
d) Ej geometrisk<br />
4208 x ≈ 385,23<br />
4209 1 215 första talet = 5<br />
4210 a) 41,6 cm k = 0,8<br />
4211 23<br />
b) 2 040 cm t k = 0,8 3<br />
100(, 15 n − 1)<br />
> 2 000 000<br />
15 , − 1<br />
4212 5 , 5, 20, 80, 320, 1 280<br />
4<br />
4216 30 015 kr<br />
10<br />
2 500(, 104 − 1)<br />
(, 104 − 1)<br />
4217 a) 312 mg b) 333 mg<br />
4218 a) 0,6 cm<br />
b) 2,7 cm<br />
4219 33 066 kr<br />
10<br />
18 , (( 1 / 3) − 1)<br />
( 1 / 3−<br />
1)<br />
4220 C är bäst<br />
I början av år 2010 ger<br />
A: 6 000 ∙ 1,06 7<br />
B: 9 000<br />
8<br />
1 000(, 106 − 1)<br />
C:<br />
(, 106−<br />
1)<br />
4221 20 g (19,84…)<br />
4222 Antal korn = 2 64 – 1 ≈ 1,8 · 10 19<br />
Massa ≈ 5,5 · 10 14 kg<br />
Svarar mot ungefär 300 världsproduktionsår.<br />
4225 a) 96 049 kr b) 114 076 kr<br />
4226 6 268 kr<br />
4227 2,57 ∙ 10 47 k = 3<br />
4228 27 923 kr<br />
x( 107 , 5 − 1)<br />
= 100 000 · 1,077<br />
107 , − 1<br />
4229 40(1 – 0,5 n ) mg<br />
4230 a) Cirka 0,33 % (0,327…)<br />
Lös ekvationen x 12 = 1,04<br />
b) Ungefär 9,6 miljoner<br />
Beräkna summan av alla<br />
nuvärden.<br />
1<br />
k = och n = 300<br />
1,<br />
0327<br />
4221 a) Efter 21 år.<br />
b) Oljan tar aldrig slut.<br />
Summan närmar sig<br />
85 ⋅ 365<br />
1− 0,<br />
96<br />
4302 a) B5 = 8,75, C5 = 18,75<br />
b) B5 = C4/2, C5 = 10 + B5<br />
k = 4 och a 1 = 5 4<br />
4215 a) 13 439 kr<br />
b) 14 071 kr<br />
c) 10 304 kr<br />
svar och lösningar 251
4303 a) D2 = 24 000<br />
E2 = 144 000<br />
C3 = 144 000<br />
D3 = –7 200<br />
E3 = 136 800<br />
b) D2 = B2 * C2/100<br />
E2 = C2 + D2<br />
C3 = E2<br />
4304 a) 17 491<br />
b)<br />
D3 = B3 * C3/100<br />
E3 = C3 + D3<br />
C<br />
D<br />
2 80000 20 000<br />
3 = F2 15 000<br />
4 = F3 40000<br />
E<br />
F<br />
2 = B2*C2/100 = C2 – D2 + E2<br />
3 = B3*C3/100 = C3 – D3 + E3<br />
4 = B4*C4/100 = C4 – D4 + E4<br />
4305 a) B C D<br />
4 1,35 1,0125 8,7<br />
b) B C D<br />
4 C3 75*B4 D3 + 2*C3<br />
4307 a) E2 = D2 * C2/100<br />
F2 = C2 + E2<br />
b) A3 = A2 + 1<br />
B3 = B2<br />
C3 = F2 + B3<br />
D3 = D2<br />
d) 87 656 kr (87 655,84)<br />
e) 116 746 kr (116 746,38)<br />
f) 6 723 kr årlig insättning ger<br />
150 007 kr.<br />
4308 83 mg (83,324...)<br />
4309 b) n = 18<br />
= 9 3<br />
4<br />
c) Arean närmar sig 6,235 a.e.<br />
Omkretsen i figur n är<br />
1<br />
4<br />
p n = 9 ⋅ ⎛ n −<br />
⎝ ⎜ ⎞<br />
3⎠<br />
⎟<br />
Arean i figur n är<br />
A n =<br />
⎛ 1 ⎛<br />
1<br />
3 1 4 4<br />
4<br />
+ + +<br />
⎛ ⎞<br />
+ +<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎜ 9 ⎝<br />
⎜<br />
9⎠<br />
⎟ ...<br />
⎝<br />
⎜<br />
9⎠<br />
⎟<br />
⎝ ⎝<br />
A n → 3,6<br />
2 n−1<br />
3 då n → ∞<br />
⎞ ⎞<br />
⎟ ⎟<br />
⎠ ⎠<br />
4311 a) 57 pg<br />
b) Efter 13 h.<br />
4312 Efter 4,5 h.<br />
9 perioder om 30 min.<br />
4313 a) 10 000 ENTER<br />
Ans × 1,08 + 400 ENTER<br />
ENTER<br />
o s v<br />
b) 17 040 kr<br />
c) Efter 17 år (50 500 kr).<br />
4314 2 380 (2 381)<br />
4315 48,4 %<br />
4316 a) 29 011 kr<br />
b) Efter 6 år.<br />
4317 401 046 kr<br />
4318 a) 0,4 ENTER<br />
Ans × 0,1<br />
ENTER<br />
ENTER<br />
o s v<br />
b) 100 ENTER<br />
Ans × 0,4<br />
ENTER<br />
ENTER<br />
o s v<br />
4319 a) 3 19 = 162 261 467<br />
b) 0,423 %<br />
Problem för alla 4<br />
1 21, 42 och 84<br />
2 905<br />
3 20 s<br />
Tågets längd a m.<br />
a + 300<br />
30<br />
600<br />
30 s = 20 s<br />
4 Minst 20 termer<br />
= 30 ger a = 600.<br />
5 25 %<br />
Om den första höjningen är x %<br />
och den gamla lönen a kr så gäller<br />
x<br />
a · (1 +<br />
100 )(1 + 2x ) =<br />
100<br />
= a ⋅ 15 8<br />
x = 25<br />
6 2 / 3<br />
7 a = 1<br />
f ′ (2) = 0 ger a 1 = 1 och<br />
a 2 = 4.<br />
a = 1 ger f min<br />
a = 4 ger f max<br />
a<br />
8<br />
b = 1<br />
2<br />
π( 2r)<br />
Om OA = 2r så är =<br />
4<br />
π r 2 – a + b som ger a = b<br />
9 a) f (x) = x 1/3 , a = 8<br />
1<br />
b) f ′ (8) =<br />
12<br />
10 59 048<br />
Hemuppgifter 4<br />
1 a) 5, 3, 1<br />
b) 0, 2, 6<br />
2 a) a n = 2 + 3n<br />
b) a n =<br />
1<br />
1 + n<br />
3 a n = n(n + 1)<br />
a n = a n – 1 + 2n, a 0 = 0<br />
4 197 (197,031 25)<br />
2<br />
5 0,2 + 0,6 + 1,8 + 5,4 + 16,2 +<br />
+ 48,6<br />
0,2 + 0,2 · 3 + 0,2 · 3 2 + 0,2 · 3 3 +<br />
+ 0,2 · 3 4 + 0,2 · 3 5<br />
6 a) 252 b) 99<br />
7 x ≈ 10 021,82<br />
12<br />
x( 1−<br />
0, 6 )<br />
= 25 000<br />
04 ,<br />
8 a) 64 393 kr<br />
b) 76 790 kr<br />
9 2 883 kr (2 883,40 kr)<br />
10 a) 250 mg (249,92)<br />
b) 250 mg (250 · (1 – 0,2 50 ))<br />
252 svar och lösningar
11<br />
C D E<br />
2 3 000 3 000 90<br />
3 4 000 7 090 283,6<br />
4 5 000 12 373,6<br />
12 373,60<br />
12 1 200 000 ENTER<br />
Ans × 1,07 – 75 000 ENTER<br />
ENTER<br />
o s v<br />
1 264 380 kr (1 264 379,62 kr)<br />
Blandade övningar 4A<br />
1 a) y ′ = 3x 2 + 5 b) y ′ (3) = 32<br />
a<br />
2<br />
3<br />
3 a) x 1 = 0, x 2 = –3, x 3 = 3<br />
b) x = 100<br />
4 a) g ′ (x) = x 2<br />
b) g ′ (x) = 6 e 3x<br />
5 a) För x = 1 och för x = 3.<br />
b) För 1 < x < 3.<br />
6 162<br />
7 a) Efter 3 år är värdet 110 000 kr.<br />
b) Efter 3 år är värdeminskningen<br />
15 000 kr/år.<br />
8 f ′ (2) = 3<br />
9 y ′ (20) = –1,25<br />
Tangentens k-värde<br />
55 − 80<br />
= –1,25<br />
20 − 0<br />
10 a) x = 2,5<br />
b) x 1 = 1, x 2 = 4<br />
Multiplicera alla termer med<br />
x(x – 2). Ekvationen kan skrivas<br />
x 2 – 5x + 4 = 0.<br />
11 I punkten (3, 1).<br />
12 1 1 1 1<br />
2 2 4 5<br />
3 3 9 14<br />
Summan 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14<br />
C3 = (A1) 2 + (A2) 2 + (A3) 2 =<br />
= 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14<br />
13<br />
y = f(x)<br />
3<br />
y<br />
f ′ har för<br />
x = –3 teckenväxlingen – 0 +<br />
x = 3 teckenväxlingen + 0 –<br />
14 f ′ (x) = 2x<br />
15<br />
x<br />
y = 1 000<br />
16 (2, –9)<br />
17 a) 4 000 + 4 000 · 1,03 +<br />
+ 4 000 · 1,03 2 +<br />
+ 4 000 · 1,03 3 + 4 000 · 1,03 4<br />
b) T ex: ”Joachim sparar pengar<br />
genom att vid slutet av varje år<br />
sätta in 4 000 kr på ett bankkonto.<br />
Räntan är 3,00 %. Hur<br />
stor är behållningen på kontot<br />
omedelbart efter den femte<br />
insättningen?”<br />
18 Ökning med 35 000 per år<br />
(34 621).<br />
19 33,8 % (33,84...)<br />
20 Minimivärdet är 3.<br />
21 a) 20 °C<br />
y (0) = 200 – 180 = 20<br />
b) 200 °C<br />
c) 62 °C<br />
22 a) a = 1;<br />
ändringskvoten ≈ 5,436 745<br />
b) Beräkna t ex<br />
f(, 1 0001) − f( 0, 9999)<br />
≈<br />
0,<br />
0002<br />
≈ 5,436 564<br />
(Det exakta värdet är 2e.)<br />
23 a = 2, b = –3, c = 1<br />
y (0) = 1 ger c = 1. De övriga<br />
villkoren ger ekvationssystemet<br />
⎧ a + b = –1<br />
⎨<br />
⎩ 2a + b = 1<br />
3<br />
x<br />
24 a) f ′ (x) = 8x<br />
b) Ekvationen 4x 2 + 3 = 8x har<br />
lösningen x 1 = 0,5, x 2 = 1,5.<br />
c) Ekvationen ax 2 + b = 2ax har<br />
två olika lösningar då b < a.<br />
25 a) 108 cm 2 (För x = 12.)<br />
b) Om topptriangelns bas är z cm<br />
så ger likformighet<br />
z 24 − x<br />
=<br />
18 24<br />
z = 18 – 0,75x<br />
y = x · z = 18x – 0,75x 2<br />
c) Ja,det är sant.<br />
2<br />
y = bx – bx och y ′ = 0<br />
h<br />
då x = 0,5h.<br />
Rektangelns maximala area<br />
är 0,25bh, vilket är hälften av<br />
triangelns area, 0,5bh.<br />
26 a) 1 1 1<br />
2 dm2 ;<br />
4 dm2 ; dm 2<br />
2 n − 1<br />
b) Då n = 5 är den totala arean<br />
1,9375 dm 2 .<br />
Då n = 10 är den totala arean<br />
1,9980 dm 2 .<br />
Den totala arean har gränsvärdet<br />
2 dm 2 då n växer<br />
obegränsat.<br />
c) Den 1:a kvadratens omkrets<br />
är 4 dm.<br />
Den 2:a kvadratens omkrets<br />
är 2 2 dm.<br />
Den 3:e kvadratens omkrets<br />
är 2 dm.<br />
Den n:e kvadratens omkrets är<br />
4<br />
dm.<br />
2<br />
n<br />
( ) − 1<br />
Kvadraternas totala omkrets<br />
1<br />
4 1− ⎛ n<br />
⎛<br />
⎝ ⎜<br />
⎞ ⎞<br />
⎜<br />
2 ⎠<br />
⎟ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
ges av s n =<br />
dm<br />
1<br />
1 −<br />
2<br />
som närmar sig<br />
4 2<br />
dm ≈ 13,65 dm<br />
2 − 1<br />
då n växer obegränsat.<br />
svar och lösningar 253
Blandade övningar 4B<br />
1 a) y ′ = 5 c) y ′ = –20 e – 4x<br />
b) y ′ = 3x 2 + 1 3<br />
2 2 + h<br />
3 a) x 1 = 0, x 2 = – 4, x 3 = 4<br />
b) x = 0,5<br />
4 a) x = lg 3<br />
1<br />
5<br />
b) x = ( 25)<br />
c) x = lg 12<br />
lg 6 eller x = ln 12<br />
ln 6<br />
5 T ex<br />
6 k = 2<br />
2<br />
x − 1<br />
7 a) f (0) = 1 c) (0, 1)<br />
b) f ′ (1) = 3 d) 0 < x < 2<br />
8 a) E f ′ ( x ) < 0 för alla x<br />
b) A, B och C<br />
f ′ ( x ) har endast ett nollställe<br />
c) C och D Det finns ett x där<br />
f ′ ( x ) har teckenväxlingen<br />
– 0 +<br />
d) B och F<br />
e) A, D och F<br />
9 a) 4ah b) 11 + h<br />
10 y ′ (2) = –2,5<br />
11 (0,5; 0,5e)<br />
12<br />
1<br />
y<br />
2 A<br />
B<br />
1<br />
2<br />
I punkten A (0, 2) är lutningen 1.<br />
I punkten B är lutningen 0.<br />
13 2a – 4a 2<br />
14 x = 100<br />
15 Lutningen är 0,75.<br />
16 y = 2x – 2, y = –2x – 2<br />
17 f ′ (3) = –9<br />
18 1 219 587<br />
x<br />
1<br />
5<br />
13<br />
19 a) x =<br />
⎛ ⎞<br />
⎝<br />
⎜<br />
7 ⎠<br />
⎟ ≈ 1,132<br />
ln<br />
⎛ 13⎞<br />
⎝<br />
⎜<br />
7 ⎠<br />
⎟<br />
b) x = ≈ 0,385 eller<br />
ln 5<br />
lg<br />
⎛ 13⎞<br />
⎝<br />
⎜<br />
7 ⎠<br />
⎟<br />
x = ≈ 0,385<br />
lg 5<br />
20 849 280 kr<br />
Låt x kr vara det belopp som<br />
växer till 600 000 kr på 4 år om<br />
räntesatsen är 7,5 %.<br />
x · 1,075 4 = 600 000<br />
BYGG AB borde betala<br />
(x + 400 000) kr.<br />
21 2,0 %<br />
22 a) Värdet minskar med 15 %<br />
per år.<br />
b) Efter 5 år är värdet 111 000 kr.<br />
(110 926)<br />
c) f ′ (5) = –18 000 (–18 028)<br />
d) nDerive(250 000 * 0,85 ^ X ,<br />
X , 5) ≈ –18 028 eller<br />
d/dx(250 000 * 0,85 x , 5) ≈<br />
≈ –18 028<br />
e) När maskinen är 5 år gammal<br />
så minskar värdet med<br />
18 000 kr/år.<br />
23<br />
110 000<br />
50 200<br />
170 000<br />
Maxpunkt: (20, 101 000),<br />
minpunkt: (100, –155 000).<br />
24 212 MBq<br />
Modellen y = C · a x ger<br />
⎧ C · a 3 = 150<br />
⎨<br />
⎩ C · a 5 = 119<br />
5<br />
C⋅<br />
a 119<br />
Ledvis division ger = .<br />
3<br />
C⋅<br />
a 150<br />
Beräkna först a och sedan C.<br />
25 2,9 mg<br />
26 Beräkna t ex ett närmevärde<br />
till derivatan med en central<br />
differenskvot för några x > 0.<br />
x<br />
1<br />
x<br />
1 1 ≈ 1<br />
4 0,25 ≈ 0,25<br />
10 0,1 ≈ 0,10<br />
Regeln verkar OK!<br />
27 a) (0, 8)<br />
f ( x +0001 , ) −f ( x −0, 001)<br />
0,<br />
002<br />
b) Funktionen kan skrivas<br />
y = a – bx 2 , där b > 0.<br />
Derivatan y ′ = –2bx. Derivatans<br />
graf är en rät linje, med<br />
negativ lutning (k = –2b).<br />
Derivatans värde är noll då<br />
x = 0. Linjen går alltså genom<br />
origo.<br />
28 a) 230 cm 2<br />
h = 2,3 cm<br />
b) 188 cm 2<br />
x ≈ 4,331 cm<br />
c) 8 cm × 8 cm × 4 cm<br />
d) A = 192 cm 2 ger x = 8 cm<br />
och h = 4 cm.<br />
A = 363 cm 2 ger x = 11 cm<br />
och h = 5,5 cm.<br />
x<br />
h =<br />
2<br />
Totala arean A = 4xh + x 2 .<br />
Lös ut h och skriv volymen<br />
V = x 2 · h.<br />
Ekvationen V ′ (x) = 0 har<br />
A<br />
lösningen x = . Sätt in<br />
3<br />
detta x-värde i formeln för h.<br />
29 a) 8<br />
b) 83 cm (83,22...)<br />
c) Om antalet klossar är n och<br />
den första klossens höjd är a 1<br />
så blir stapelns höjd<br />
a 1 · 5(1 – 0,8 n ).<br />
10 klossar ger höjden 4,46a 1<br />
20 klossar ger höjden 4,94a 1<br />
30 klossar ger höjden 4,99a 1<br />
Stapelns höjd kommer att<br />
närma sig 5a 1 då n växer<br />
obegränsat (n → ∞).<br />
254 svar och lösningar
KÄLLFÖRTECKNING till bilderna<br />
Siffrorna anger sida och bildens placering på sidan.<br />
Foton:<br />
Bonde Irene 58<br />
Folio Bildbyrå, Stockholm<br />
Cederling Peter 196<br />
Halvarsson Katja 180<br />
Hertzell Daniel 172<br />
Heikne Hans 53, 72, 101, 112, 122, 169,<br />
181,190, 213, 216<br />
IBL Bildbyrå AB, Stockholm<br />
Albert Lamber Photography/SPL 192<br />
Andersson Thomas 128<br />
Brissaud Eric 10<br />
Carlsson Lars 120<br />
Dallet J.D./AGE 210<br />
First Light 6<br />
Hart Davis Adam/Science Photo Library 204<br />
Image State 68<br />
Kinsman Edward/AGE 70<br />
Lambert Andrew/Science Photo Library 205<br />
Popperfoto 115:2<br />
Science Photo Library 115:1<br />
Science Photo Library/Protection Agency 129<br />
Science Source 98<br />
INA Agency AB, Stockholm<br />
Bildagentur Huber/Graefenhain 174<br />
Institut Mittag Leffler 158:2<br />
Johnér Bildbyrå AB, Stockholm<br />
Berggren Hans 97<br />
Bjurling Hans 131<br />
Halling Sven/Naturbild 80<br />
Koller Lena 81<br />
Niemi Tero/Naturbild 60<br />
Rietz Magnus 38<br />
Workbook Stock 90<br />
Ödmann Johan 28<br />
Link Bildbyrå, Stockholm<br />
Ehrs Bruno 200<br />
Hjälmrud Berno 46<br />
Johansson Gerry 209<br />
Smoliansky Gunnar 12:2<br />
Ulin Pia 17<br />
Nordic Photos Bildbyrå, Stockholm<br />
Leijon Mikael 164<br />
Lundgren Ewa 89:1<br />
Lundström Gunilla/MIRA 24<br />
Norenlind Nils-Johan/Tiofoto 91<br />
Peters Heinrich 74<br />
Photononstop/Nordic Photos 126<br />
Tukler, Anders/Greatshots 195<br />
Wiklander Björn 137<br />
Pressens Bild AB/Stockholm 158<br />
Scanpix Bildbyrå AB, Stockholm<br />
Audrey David/Corbis 212<br />
Carlgren Thomas 175<br />
Carlsson Jan E 199<br />
Dahlström Jan Håkan/Bildhuset 199<br />
Ehrs Bruno 89:2<br />
Ekströmer Jonas 203<br />
Fuste Raga José/AGE 177<br />
Gillberg Dick 127<br />
Gustafsson Jeppe 133<br />
Henriksson Janerik 42<br />
Jensen Michael 81<br />
Lane Justin/EPA 11<br />
Latz Michael 12:1<br />
Mikrut Jack 189<br />
Neilsen Kim/AP Photo 148<br />
Ochsenreiter Augustin/AP 69<br />
Poppe Cornelius 59<br />
Vandystadt Philippe Blondel 84<br />
Westerlund Åsa 201<br />
Wiklund Anders 111<br />
Statens Konstmuseer,<br />
Stockholm/Svenska Porträttarkivet<br />
M. Hallman efter G Lundberg: ”Samuel<br />
Klingenstjärna”(1773) 158:1<br />
Teckningar:<br />
Johan Hesselstrand<br />
Matematiska illustrationer:<br />
Mats Karlsson<br />
Björn Magnusson<br />
256 källförteckning till bilderna