01.12.2014 Views

Kapitel 4

Kapitel 4

Kapitel 4

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

Bild + bild + bild är en summa av bilder.


4<br />

talföljder och summor<br />

Inledande aktivitet<br />

Undersök<br />

hittar du mönstret?<br />

1 Vilken figur, vilka bokstäver eller vilket tal<br />

motsvarar frågetecknet?<br />

a)<br />

b) A B C Ö A B Ä Ö A ?<br />

c) 3, 4, 6, 9, 13, 18, ?<br />

2 De tre första kvadrattalen kan beskrivas<br />

med följande figur.<br />

1 4 9<br />

1<br />

3 6<br />

a) Vilka är de fjärde och femte kvadrattalen?<br />

b) Vilket är det n:te kvadrattalet?<br />

3 De tre första triangeltalen kan beskrivas<br />

med följande figur.<br />

?<br />

b) Det n:te triangeltalet kan beräknas med<br />

formeln T n = nn ( +1)<br />

2<br />

Kontrollera att formeln stämmer för de<br />

första fem triangeltalen.<br />

4 Ett A4-papper är cirka 0,1 mm tjockt.<br />

a) Hur tjockt blir papperet om vi viker det på<br />

mitten 4 gånger?<br />

b) Hur tjockt blir det om vi viker det n gånger?<br />

c) Hur många gånger skulle vi behöva vika<br />

papperet för att det ska bli 10 cm tjockt?<br />

(Går det?)<br />

5 I IQ-test finns ofta uppgifter där det gäller att<br />

upptäcka samband mellan tal.<br />

Här följer två exempel. Kan du lösa dem?<br />

a) Vilka tal fattas?<br />

1 8 9 64 25 ? 49<br />

4 9 1<br />

3 6<br />

a) Vilka är de fjärde och femte triangeltalen?<br />

1 4 27 16 125 ? 343<br />

b) Finn nästa tal och bokstav!<br />

5 Y 4 P 3 I 2 D …<br />

4 talföljder och summor 193


4.1 Talföljder<br />

Vad menas med en talföljd?<br />

En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal, uppställda i en<br />

bestämd ordning och enligt en bestämd regel. Varje tal har alltså<br />

ett bestämt ordningsnummer.<br />

Exempel 1 1, 4, 9, 16, 25, … , 100 Talföljden är ändlig.<br />

Talföljden ges av formeln a = n<br />

n<br />

2 , där n = 1, 2, 3, …, 10<br />

Det första talet är 1 2 = 1. Vi skriver a 1<br />

= 1 .<br />

Utläses ”a ett är lika med ett”.<br />

Det andra talet är 2 2 = 4 . Vi skriver a 2<br />

= 4 .<br />

Utläses ”a två är lika med fyra”.<br />

2<br />

Det tionde talet är a 10<br />

= 10 = 100 .<br />

Exempel 2 7, 9, 11, 13, 15, … Talföljden är oändlig.<br />

Det första talet a 1<br />

= 7<br />

Det andra talet a 2<br />

= 7+ 1⋅ 2 = 7+ 2 = 9<br />

Det tredje talet a 3<br />

= 7+ 2⋅ 2 = 7+ 4 = 11<br />

Det fjärde talet a 4<br />

= 7+ 3⋅ 2 = 7+ 6 = 13<br />

Talen ges av formeln a = 7+ ( n<br />

n −1)<br />

⋅2<br />

4101 Ange de tre första talen i den talföljd där det n:te talet är<br />

a n = 3 + 4n.<br />

Det första talet är a 1 = 3 + 4 · 1 = 7<br />

Det andra talet är a 2 = 3 + 4 · 2 = 11<br />

Det tredje talet är a 3 = 3 + 4 · 3 = 15<br />

Svar: Formeln a n = 3 + 4n ger talföljden 7, 11, 15, 19, …<br />

4102 Vilket ordningsnummer har talet 180 i talföljden a 500 − 20 n?<br />

n =<br />

Vi löser ekvationen<br />

500 – 20 n = 180<br />

500 – 180 = 20 n<br />

320<br />

20 = n<br />

n = 16<br />

Svar: Talet 180 har ordningsnummer 16.<br />

194 4.1 talföljder


4103 Finn en enkel formel för det n:te talet a n i talföljden<br />

a) 1, 3, 5, 7, 9, … b) 1, 1 4 , 1 9 , 1<br />

16 , 1<br />

25 , …<br />

a) Vi får nästa tal genom att hela tiden lägga till 2.<br />

För att få t ex det femte talet, börjar vi med 1 och lägger till<br />

4 · 2, d v s a 5 = 1 + 8 = 9.<br />

På samma sätt får vi det n:te talet a n så här:<br />

a n = 1 + (n – 1) · 2 = 1 + 2n – 2 = 2n – 1 som ger de<br />

udda talen.<br />

b) I nämnaren har vi kvadraterna på termernas ordningsnummer.<br />

Exempelvis är a 5 = 1 5 2 . Det betyder att a n = 1 n 2 .<br />

4104 Ange de fyra första talen i den talföljd där<br />

a) a = 5 n<br />

n<br />

c) a = n 2<br />

−<br />

n<br />

1<br />

b) a = 3 n<br />

n −2<br />

d) a = n( n + 1)<br />

n<br />

4105 Beräkna det tolfte talet, dvs a 12<br />

, i<br />

talföljden<br />

n−<br />

a) a n<br />

= 3⋅2 1 b) a = 64 − 2( n<br />

n + 1)<br />

4109 Folkmängden i en stad var 250 000<br />

år 2000. Ange ett uttryck för folkmängden<br />

P n , där n är antalet år efter 2000, om<br />

a) ökningen är 5 000 personer per år<br />

b) ökningen är 2 % per år.<br />

4106 Ange en formel för antal punkter i figur<br />

nummer n<br />

1 2 3 4<br />

. . . .<br />

4107 Vilket ordningsnummer har talet 100<br />

i talföljden<br />

a) a n = 20 + 4n b) a n = n(n + 1) + 10?<br />

4108 Finn en formel för det n:e talet a n<br />

i talföljden<br />

a) 3, 7, 11, 15, 19, …<br />

b) 1, 3, 9, 27, …<br />

c) 4, 8, 12, 16, …<br />

d) 2, 5, 10, 17, 26, …<br />

4110 Finn två olika formler som ger en talföljd<br />

som börjar så här: 2, 4, 8, …<br />

4111 Skriv en formel A n som ger storleken av en<br />

vinkel i en regelbunden n-hörning (n ≥ 3).<br />

4.1 talföljder 195


Historik<br />

Fibonaccis talföljd<br />

Den italienske matematikern Leonardo Fibonacci<br />

eller Leonardo från Pisa (1170–1250) brukar<br />

räknas som medel tidens störste.<br />

Under sin uppväxt i Nordafrika och under sina<br />

resor lärde han sig de indiska (arabiska) siffrorna<br />

och såg de stora fördelar de gav för matematiken.<br />

År 1202 skrev han den berömda boken Liber<br />

Abaci (boken om räkning), som gjorde honom<br />

berömd och bidrog till att de krångliga romerska<br />

siffrorna allt mer övergavs.<br />

a<br />

b<br />

I spiralmönster hos<br />

t ex ananas, kottar<br />

och solrosens frön<br />

hittar vi tal ur<br />

Fibonaccis talföljd.<br />

Fibonacci har gett namn åt talföljden<br />

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …<br />

där varje tal är summan av de två föregående.<br />

Fibonacci fann talföljden när han studerade<br />

kaniners fortplantning. Talen anger hur antalet<br />

kaninpar ökar varje månad, om vi räknar med<br />

att ett kaninpar ger upphov till ett nytt kaninpar<br />

varje månad (förutom den första månaden) samt<br />

att inga kaniner dör.<br />

Talföljden har genom åren fascinerat många<br />

människor, då den dyker upp på de mest oväntade<br />

ställen.<br />

a + b<br />

Gyllene snittet = a + b<br />

a<br />

= a b = 1 + √ 5<br />

2<br />

Kvoten mellan ett tal och föregående i Fibonaccis talföljd<br />

närmar sig Gyllene snittet.<br />

1<br />

1<br />

1 1<br />

1 2<br />

1 3 3<br />

4 6<br />

1<br />

4<br />

1<br />

1<br />

Pascals kända<br />

triangel gömmer<br />

också Fibonaccis<br />

talföljd.<br />

1 I texten ovan ser vi de 12 första elementen i<br />

Fibonaccis talföljd.<br />

a) Beräkna de 13:e och 14:e elementen.<br />

b) Ange en rekursiv formel för talföljden.<br />

2 Visa hur Fibonacci fann sin talföljd. Starta<br />

med ett kaninpar och notera sedan för några<br />

månader hur många kaninpar du har, om de<br />

ökar enligt texten ovan. Rita figur.<br />

3 Beräkna kvoterna 13/8, 21/13, 34/21 och<br />

55/34 och jämför med Gyllene snittet.<br />

4 Studera Pascals triangel.<br />

a) Om vi räknar från toppen så har triangeln<br />

fem horisontella rader. Hur bör den 6:e<br />

raden se ut?<br />

b) Ritar vi om triangeln 1<br />

kan vi få: 1 1<br />

1 2 1<br />

1 3 3 1<br />

1 4 6 4 1<br />

Studera de nya diagonalerna, vad ser du?<br />

196 4.1 talföljder


4.2 Geometrisk summa<br />

Hur beräknas en geometrisk summa?<br />

Vi har talföljden 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, …<br />

Vi kommer från ett tal till nästa genom att multiplicera med 2,<br />

d v s kvoten mellan ett tal och det föregående är hela tiden 2.<br />

Geometrisk talföljd Vi kallar en sådan talföljd geometrisk och säger att den har kvoten k = 2.<br />

Första talet a 1 = 5<br />

Andra talet a 2 = a1 ⋅ k = 5⋅ 2=<br />

10<br />

2 2<br />

Tredje talet a 3 = a ⋅ k = 5⋅ 2 = 5⋅ 4 = 20<br />

1<br />

3 3<br />

Fjärde talet a 4 = a ⋅ k = 5⋅ 2 = 5⋅ 8=<br />

40<br />

1<br />

4 4<br />

Femte talet a 5 = a1<br />

⋅ k = 5⋅ 2 = 516 ⋅ = 80<br />

…<br />

n:te talet a n = a ⋅<br />

k n −1<br />

1<br />

Summan av de fem första talen skrivs s 5<br />

.<br />

s 5<br />

= 5 + 10 + 20 + 40 + 80 = 155<br />

Kan vi finna en formel för summan av talen i en geometrisk talföljd?<br />

Vi börjar med en formel för s 5<br />

och kan sedan generalisera resultatet.<br />

2 3 4<br />

s = a+ ak + ak + ak + ak Båda leden multipliceras med kvoten k .<br />

5<br />

ks = ak + ak + ak + ak + ak<br />

5<br />

2 3 4 5<br />

Vi tar den undre summan minus den övre summan:<br />

5<br />

ks − s = ak − a<br />

5 5<br />

5<br />

s ( k− 1) = ak ( − 1)<br />

s<br />

5<br />

5<br />

5<br />

ak ( − 1)<br />

=<br />

k − 1<br />

5<br />

52 ( − 1)<br />

För talföljden ovan får vi s 5<br />

= = 155<br />

2−<br />

1<br />

På samma sätt visas allmänt:<br />

Geometrisk summa<br />

En geometrisk summa s<br />

n<br />

n<br />

a( k −1)<br />

=<br />

k −1 , k ≠ 1<br />

4.2 geometrisk summa 197


4201 I en geometrisk talföljd är första talet 20 och kvoten 3.<br />

Beräkna summan av de 8 första talen.<br />

Första talet a = 20 , kvoten k = 3 och antal tal n = 8<br />

Formeln för den geometriska summa s<br />

20( 3 −1) =<br />

= 65 600<br />

3−1<br />

s 8<br />

8<br />

n<br />

n<br />

a( k −1)<br />

=<br />

ger<br />

k −1<br />

4202 Beräkna den geometriska summan<br />

50 + 50 ⋅ 11 , + 50 ⋅ 11 , + ... + 50 ⋅11<br />

,<br />

2 12<br />

Första talet a = 50 , kvoten k = 1,1 och antal tal n = 13<br />

(Obs! n = 13. Summan består av 12 tal med kvoten 1,1<br />

samt första talet 50. )<br />

50( 11 , −1)<br />

=<br />

= 1226, 13...<br />

≈1226<br />

11 , −1<br />

s 13<br />

13<br />

4203 Skriv de fem första talen i den geometriska<br />

talföljd där<br />

a) första talet är 8 och kvoten är 3<br />

b) a = 80 och k = 0,5.<br />

4204 Beräkna summan av de 10 första talen i<br />

den geometriska talföljd där<br />

a) a = 4 och k = 3<br />

b) första talet är 1000 och kvoten är 1,05<br />

4205 Beräkna den geometriska summan<br />

a) 10 + 10 · 1,02 + … + 10 · 1,02 13<br />

b) 1000 + 1000 · 0,8 + … + 1000 · 0,8 7<br />

4206 I en geometrisk talföljd med kvoten 2 är<br />

summan av de fem första talen 1860.<br />

Vilket är det första talet a?<br />

4207 Är talföljden geometrisk? Beräkna i så fall<br />

summan av de 12 första talen.<br />

a) 5, 8, 11, 14, 17, …<br />

b) 64, 48, 36, 27, …<br />

c) 32 ; 40 ; 50 ; 62,5 ; …<br />

d) 4, 5, 7, 10, 14, …<br />

4208 Bestäm talet x med två decimaler ur<br />

ekvationen<br />

x + x · 1,2 + x · 1,2 2 + … + x · 1,2 9 = 10 000<br />

4209 I en geometrisk talföljd med 6 tal är<br />

kvoten 3 och summan 1 820.<br />

Vilket är det sista talet?<br />

4210 Åtta plastkuber har sidlängder som bildar<br />

en geometrisk talföljd. De tre första sidorna<br />

är 10 cm, 8 cm och 6,4 cm.<br />

. . . .<br />

a) Vilken sidlängd har de åtta kuberna<br />

sammanlagt? Svara med en decimal.<br />

b) Vilken volym har de åtta kuberna<br />

sammanlagt? Svara med heltal.<br />

4211 I en geometrisk talföljd är första talet 100<br />

och det andra talet 150. Hur många tal<br />

måste talföljden innehålla för att summan<br />

ska överstiga 2 000 000?<br />

4212 Bestäm de sex första talen i en geometrisk<br />

talföljd där a 3 = 20 och a 6 = 1 280.<br />

198 4.2 geometrisk summa


Ekonomiska och naturvetenskapliga tillämpningar<br />

4213 Tomas har ett bankkonto med 3,00 % fast ränta. Tomas<br />

farfar satte in 5000 kr på kontot för fyra år sedan. Vid nyår<br />

de senaste fem åren har Tomas morfar satt in 1000 kr<br />

på kontot. Vilket belopp har pengarna från<br />

a) farfar vuxit till på fyra år?<br />

b) morfar vuxit till direkt efter sista insättningen?<br />

a) 5000 kr har på fyra år vuxit till 5000 ∙ 1,03 4 kr ≈ 5628 kr<br />

Svar: Pengarna från farfar har vuxit till 5 628 kr<br />

b) Vi ritar en tidslinje och visar vad varje insättning har vuxit till<br />

vid det femte årsskiftet.<br />

år 1 år2 år 3 år 4 år 5<br />

1000 1000 ∙ 1,03 4 (första insättningen)<br />

1000 1000 ∙ 1,03 3 (andra insättningen)<br />

1000 1000 ∙ 1,03 2 (tredje insättningen)<br />

1000 1000 ∙ 1,03 (fjärde insättningen)<br />

1000 1000 (sista insättningen)<br />

Beloppet beräknas med formeln för en geometrisk summa.<br />

Första talet a = 1000 , kvoten k = 1,03 och antalet termer n = 5.<br />

s<br />

n<br />

=<br />

n<br />

a( k −1)<br />

k −1<br />

=<br />

5<br />

1000( 103 , −1)<br />

103 , −1<br />

≈ 5309<br />

Svar: Pengarna från morfar har vuxit till 5 309 kr<br />

4.2 geometrisk summa 199


4214 En patient får var fjärde timme medicin i form av en<br />

tablett på 100 mg. När 4 timmar gått finns fortfarande 75 %<br />

av den gamla tabletten kvar i blodet. Anta att medicineringen<br />

fortsätter på detta sätt.<br />

Hur stor mängd av medicinen har patienten i blodet efter<br />

a) 3 tabletter b) 10 tabletter?<br />

Låt M n vara den mängd i milligram som finns i blodet efter<br />

n tabletter.<br />

a) M 1 = 100<br />

M 2 = 100 · 0,75 + 100<br />

Kvar av första tabletten<br />

Ny tablett<br />

M 3 = 100 · 0,75 2 + 100 · 0,75 + 100 = 231,25<br />

Kvar av första och andra tabletten<br />

Ny tablett<br />

Svar: Efter tre tabletter finns 231 mg i blodet.<br />

b) M 10 = 100 · 0,75 9 + 100 · 0,75 8 + 100 · 0,75 7 + … + 100 · 0,75 + 100<br />

Mängden beräknas med formeln för en geometrisk summa.<br />

Första talet a = 100 , kvoten k = 0,75 och antalet termer n = 10<br />

s<br />

n<br />

n<br />

10<br />

a( k −1)<br />

100( 075 , −1)<br />

=<br />

= = 377, 474...<br />

≈377<br />

k −1<br />

075 , −1<br />

Svar: Efter 10 tabletter finns 377 mg i blodet<br />

200 4.2 geometrisk summa


4215 Till vilket belopp växer 10 000 kr med<br />

ränta på ränta om<br />

a) räntesatsen är 3 % och tiden 10 år<br />

b) räntesatsen är 5 % och tiden 7 år<br />

c) räntesatsen är 0,5 % och tiden är 6 år?<br />

4216 På ett bankkonto sätter Hedvig in 2 500 kr<br />

vid slutet av tio på varandra följande år.<br />

Ränta på ränta beräknas efter 4 %. Hur stor<br />

är behållningen omedelbart efter den sista<br />

insättningen? Ta hjälp av figuren nedan.<br />

1 2 3 8 9 10<br />

2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500<br />

År<br />

2500 · 1,04<br />

2500 · 1,04 2<br />

2500 · 1,04 3<br />

2500 · 1,04 7<br />

2500 · 1,04 8<br />

2500 · 1,04 9<br />

Vi räknar med en genomsnittlig årlig tillväxt<br />

på 5 % och att hon inte behöver betala<br />

några skatter eller andra avgifter för<br />

fonden.<br />

4220 Vilket alternativ är bäst om årsräntan<br />

antas vara 6 %?<br />

A Att få 6 000 kr i början av 2003<br />

B Att få 9 000 kr i början av 2010<br />

C Att få 1 000 kr i början av vart och ett<br />

av åren 2003, 2004, …, 2009, 2010<br />

4221 Veterinären Elsa behandlar en sjuk häst.<br />

Första dagen får hästen 10 g av en viss<br />

medicin, varefter dosen halveras varje dag.<br />

Hur mycket medicin bör Elsa skriva ut<br />

recept på, om hela behandlingen omfattar<br />

en vecka?<br />

4217 Niklas har fått en öroninfektion. Var sjätte<br />

timme får han antibiotika i form av en tablett<br />

på 200 mg. När han efter sex timmar<br />

får en ny tablett på 200 mg, återstår av den<br />

gamla dosen 40 % i blodet.<br />

Vilken mängd antibiotika har han i blodet<br />

efter<br />

a) 3 tabletter b) 10 tabletter?<br />

4218 Ett nybyggt hus sjunker 1,8 cm det första<br />

året. Man uppskattar att huset därefter<br />

fortsätter att sjunka och att det för varje år<br />

sjunker med en tredjedel av vad det sjönk<br />

närmast föregående år.<br />

a) Hur mycket sjunker huset det andra<br />

året?<br />

b) Hur mycket räknar man med att huset<br />

sjunker de tio första åren?<br />

4219 Nilla sparar i en aktiefond. Hon satte in<br />

1 000 kr i början av 2001 och har sedan<br />

dess satt in 1 000 kr i början av varje år.<br />

Hur mycket är hennes aktiefond värd<br />

direkt efter insättningen år 2020?<br />

4222 Sagan berättar om schackspelets uppfin-<br />

nare, att han av Persiens konung som<br />

belöning lovades få vad han önskade. Han<br />

bad då att få 1 sädeskorn för första rutan på<br />

ett schackbräde, 2 för den andra, 4 för den<br />

tredje osv. För var och en av schackbrädets<br />

64 rutor ville han ha dubbelt så mycket som<br />

för den närmast föregående.<br />

Hur många sädeskorn begärde schackspelets<br />

uppfinnare i belöning? Är det möjligt<br />

att skaffa denna belöning? Vi antar att<br />

1 000 sädeskorn väger ungefär 30 g och<br />

att världsproduktionen av säd är ungefär<br />

2 · 10 12 kg/år.<br />

4.2 geometrisk summa 201


4223 Louise ska få en gåva på 6000 kr när hon fyller 18 år.<br />

Hur stor summa bör hon få, om hon istället får gåvan idag,<br />

på sin 14-årsdag?<br />

Vi räknar med 4 % årlig ränta på ränta.<br />

Nuvärde<br />

Vi ska räkna ut nuvärdet, dvs. värdet idag av en framtida<br />

betalning. Hur mycket är pengarna värda idag, om de ska<br />

växa till 60 00 kr på fyra år?<br />

Vi kallar nuvärdet för x och ställer upp ekvationen<br />

x ∙ 1,04 4 = 6 000<br />

6 000<br />

x = ≈ 5129<br />

4<br />

104 ,<br />

Svar: Louise bör få 5 129 kr på sin 14-årsdag<br />

4224 Mona tog i början av år 2008 ett lån på 100 000 kr. Hon ska<br />

Annuitet betala lånet med 10 lika stora belopp (annuiteter) i slutet av<br />

varje år med början 2008. Ränta på ränta beräknas efter 6 %.<br />

Hur stor är varje annuitet?<br />

Vi ritar en tidslinje och anger vad lånet samt varje annuitet<br />

vuxit till vid slutet av det 10:e året.<br />

2008 2009 . . . . . . 2016 2017<br />

År<br />

100 000 x x x x x x x x x x<br />

x · 1,06<br />

x · 1,06 2<br />

.....<br />

x · 1,06 9<br />

Värdet av de tio avbetalningarna med ränta ska tillsammans<br />

vara lika stort som värdet av 100 000 med<br />

tio års ränta.<br />

x + x · 1,06 + x · 1,06 2 + … + x · 1,06 9 = 100 000 · 1,06 10<br />

Vänstra ledet är en geometrisk summa.<br />

Summaformeln ger (a 1 = x och k = 1,06)<br />

x (1,06 10 – 1)<br />

= 100 000 · 1,06<br />

1,06 – 1<br />

10 x = 13 586,80<br />

Svar: Annuiteten är 13 600 kr (13 586,80 kr).<br />

9 års ränta<br />

på denna<br />

avbetalning.<br />

202 4.2 geometrisk summa


4225 I en affärsuppgörelse ingår att Anton<br />

ska betala 75 000 kr i dag och 25 000 kr<br />

om 5 år. Vad borde Anton betala om uppgörelsen<br />

varit att hela summa ska betalas<br />

a) i dag b) om 5 år?<br />

Vi räknar med 3,5 % årlig ränta på ränta.<br />

4226 Mats lovade Carina att vid slutet av år 2014<br />

betala henne 8 000 kr. Men så småningom<br />

ändrade han sig och ville göra sig skuldfri<br />

fem år i förtid, d v s 2009.<br />

Hur mycket blir nuvärdet av 8 000 kr om<br />

vi räknar med en årsränta på 5 %, d v s<br />

hur mycket ska Mats betala till Carina för<br />

att pengarna efter fem år ska vara värda<br />

8 000 kr?<br />

4229 En patient tar varje morgon medicin i form<br />

av en tablett på 20 mg. För varje dygn utsöndrar<br />

kroppen 50 % av den ursprungliga<br />

mängden. Hur stor mängd av medicinen<br />

har patienten i blodet efter n tabletter?<br />

4230 En trissvinnare kan få 50 000 kr i månaden<br />

varje månad i 25 år. Vinnaren blir lite<br />

nyfiken på vad dessa pengar är värda idag.<br />

a) Vilken månadsränta motsvarar en årsränta<br />

på 4 %?<br />

b) Vad är nuvärdet för hela trissvinsten,<br />

om vi räknar med en årsränta på 4 %?<br />

4227 I ett kärnkraftverk frigörs energi när<br />

atomkärnor delas. En neutron som träffar<br />

kärnan av en uranatom delar den i två<br />

mindre, samtidigt som tre nya neutroner<br />

frigörs som kan dela andra urankärnor.<br />

1:a generationen 2:a generationen<br />

Hur många kärnor kan maximalt delas<br />

av de hundra första generationerna<br />

neutroner?<br />

4228 Vid slutet av 2005 tog Andrea ett lån på<br />

100 000 kr. Lånet ska betalas tillbaka<br />

genom lika stora belopp (annuiteter) vid<br />

slutet av åren 2008 till och med 2012.<br />

Hur stor ska annuiteten vara, om lånet ska<br />

vara helt betalt när annuiteten vid slutet av<br />

2012 är betald? Räkna med 7 % årsränta.<br />

4231 År 2000 uppskattades den totala mängd<br />

olja som fanns kvar i världen till cirka<br />

1 000 miljarder fat (1 fat = 159 liter).<br />

Världsförbrukningen låg då på cirka<br />

85 miljoner fat per dag. När kan oljan antas<br />

ta slut, om förbrukningen sedan dess<br />

a) ökar med 4 % årligen<br />

b) minskar med 4 % årligen?<br />

4.2 geometrisk summa 203


Aktivitet<br />

Laborera<br />

Hur högt studsar bollen?<br />

Materiel: En boll (tennisboll eller liknande),<br />

tumstock eller måttband (2 m).<br />

1 a) Låt bollen falla fritt från en viss höjd<br />

(fallhöjden x cm) som du mäter.<br />

Mät den höjd som bollen kommer upp till<br />

efter studsen (studshöjden y cm).<br />

Variera fallhöjden och visa dina resultat<br />

i en tabell.<br />

b) Hur många procent av fallhöjden blir studshöjden?<br />

c) Formulera en slutsats om studshöjd och<br />

fallhöjd.<br />

2 Anta att bollen faller från 10 m.<br />

a) Beräkna studshöjden efter den andra<br />

studsen.<br />

b) Beräkna studshöjden efter den tionde<br />

studsen.<br />

c) Beräkna hur långt bollen har rört sig sammanlagt<br />

då den träffar marken för tionde<br />

gången. Rita figur.<br />

d) Kan den sammanlagda sträckan som bollen<br />

rört sig bli hur stor som helst? Undersök och<br />

diskutera!<br />

204 4.2 geometrisk summa


4.3 Kalkylmodeller<br />

Kalkylprogram<br />

Exempel<br />

Jonna har skadat sitt knä när hon sprang tjejmilen. Mot svullnaden får<br />

hon var åttonde timme en tablett på 210 mg. När hon efter 8 timmar<br />

tar en ny dos återstår 30 % av den gamla i blodet. Hur beror den mängd<br />

medicin hon har i blodet av det antal tabletter hon tagit?<br />

Vi visar detta i en tabell.<br />

Tabell Tablett nr Kvar av gamla tabletter Efter ny tablett<br />

1 0 0 + 210 = 210<br />

2 0,30 · 210 = 63 63 + 210 = 273<br />

3 0,30 · 273 = 81,9 81,9 + 210 = 291,9<br />

4 0,30 · 291,9 = 87,57 87,57 + 210 = 297,57<br />

…<br />

Upprepade beräkningar i tabellform görs bäst med ett kalkylprogram.<br />

Vi kallar då tabellen för ett kalkylblad.<br />

I ett kalkylblad är raderna numrerade 1, 2, 3, 4, …<br />

Kolumnerna har bokstavsbeteckningar A, B, C, D, …<br />

Kalkylblad<br />

Likhetstecknet i = B3 + 210<br />

anger att det är en formel.<br />

I ruta A1 har vi skrivit in texten Tablett nr<br />

I ruta B2 har vi skrivit in talet 0<br />

I ruta C3 har vi skrivit in formeln = B3 + 210<br />

Att A3 = A2 + 1 betyder att värdet i A3 blir 1 + 1 = 2<br />

Att B3 = 0,3 * C2 betyder att värdet i B3 blir 0,3 · 210 = 63<br />

Att C3 = B3 + 210 betyder att värdet i C3 blir 63 + 210 = 273 osv<br />

4.3 kalkylmodeller 205


4301 Tabellen visar några enkla ränteberäkningar.<br />

A B C D<br />

1 Kapital 1/1 (kr) Räntesats (%) Ränta (kr) Kapital 31/12 (kr)<br />

2 5 000 2 100 5 100<br />

3 5 100 3<br />

a) Beräkna värdena i rutorna C3 och D3.<br />

b) Vilka formler ska stå i rutorna C3 och D3?<br />

a) I C3 får vi värdet: 0,03 · 5 100 = 3 · 5 100 /100 = 153<br />

I D3 får vi värdet: 5 100 + 153 = 5 253<br />

b) C3 = B3 * A3/100 (om vi ändrar räntesatsen i B3 så ändras också värdet i C3)<br />

D3 = A3 + C3<br />

Vi börjar nu med några<br />

enkla övnin gar på kalkylblad<br />

utan dator.<br />

4302 Petras pappa har fått diagnosen högt blodtryck.<br />

Han ska varje morgon ta en tablett<br />

Plendil på 10 mg. För varje dygn utsöndrar<br />

kroppen 50 % av den verksamma substansen.<br />

Tabellen visar mängden verksam<br />

substans i milligram efter de första<br />

tabletterna.<br />

A B C<br />

1 Tablett nr<br />

Kvar av gamla<br />

tabletter<br />

2 1 0 10<br />

3 2 5 15<br />

Efter ny<br />

tablett<br />

4 3 7,5 17,5<br />

5 4<br />

a) Beräkna värdena i de tomma rutorna.<br />

b) Vilka formler ger dessa värden?<br />

4303 Den procentuella årliga ändringen av en<br />

aktieposts värde redovisas i tabellen.<br />

1 År<br />

A B C D E<br />

Ändring<br />

%<br />

Värde<br />

1/1<br />

2 2008 20 120 000<br />

3 2009 –5<br />

Ändring<br />

kr<br />

Värde<br />

31/12<br />

a) Beräkna värdena i de tomma rutorna.<br />

b) Skriv formler för de beräkningar som<br />

görs i tabellen.<br />

4304 En person betalar av (amorterar) på ett lån<br />

i slutet av varje år som tabellen visar.<br />

1 År<br />

A B C D E F<br />

Skuld 1/1<br />

Räntesats<br />

Amortering<br />

2 2008 5 80 000 20 000<br />

3 2009 7 15 000<br />

4 2010 7,5 40 000<br />

Ränta<br />

Skuld<br />

31/12<br />

a) Hur stor är skulden i slutet av år 2010<br />

(efter amorteringen detta år)?<br />

b) Skriv formler för de beräkningar som<br />

görs i tabellen.<br />

4305 Mia släpper en boll från höjden 2,4 m. För<br />

varje studs når bollen 75 % av den tidigare<br />

höjden. I en tabell för Mia in den sträcka i<br />

meter bollen rört sig omedelbart efter en<br />

studs.<br />

A B C D<br />

1 Studs nr Fallhöjd Studshöjd Sträcka<br />

2 1 2,4 1,8 2,4<br />

3 2 1,8 1,35 6,0<br />

4 3<br />

a) Beräkna värdena i rad 4 (för studs nr 3).<br />

b) Vilka formler ger dessa värden?<br />

206 4.3 kalkylmodeller


4306 Tabellen visar behållningen i kronor på ett bankkonto där<br />

uttag görs i slutet av varje år. (Ingen hänsyn tas till att kapitalinkomster<br />

beskattas.)<br />

Nu låter vi ett<br />

kalkylprogram<br />

göra beräkningarna<br />

i våra tabeller.<br />

a) Vilka formler ska stå i rutorna D2 och F2?<br />

b) Vilken formel ska stå i ruta B3?<br />

c) Skriv in tabellen med formler i ett kalkylprogram.<br />

Kopiera alla formler nedåt t o m rad 7.<br />

d) Vilken fördel är det att ha formler i kolumnerna C och E?<br />

e) Hur stor är behållningen på kontot 2013-12-31?<br />

f) Hur stor hade behållningen blivit om räntesatsen varit 4 %?<br />

g) Hur stort årligt uttag (i jämna hundratal kronor) kan man<br />

högst göra, om man vill att behållningen 2013-12-31 inte ska<br />

understiga 100 000 kr? Vi räknar med räntesatsen 4 %.<br />

a) D2 = C2 * B2/100 och F2 = B2 + D2 – E2<br />

b) B3 = F2<br />

c) När du skriver in formeln i t ex D2, skriver du bara = C2 * B2/100.<br />

Markera kolumnerna fr o m den ruta (cell) som ska kopieras och<br />

nedåt t o m rad 7.<br />

d) Du kan då lätt ändra räntesats och uttag. Ändrar du värdet i C2,<br />

så ändras allt i tabellen som beror av C2.<br />

e) I ruta F 7 avläses 161 190 kr (161 189,54)<br />

f) 173 468 kr (173 468,10)<br />

g) Variera uttaget i E2.<br />

Uttaget 23 000 kr ger behållningen 100 505 kr.<br />

Uttaget 23 100 kr ger behållningen 99 842 kr.<br />

Högsta uttaget är alltså 23 000 kr.<br />

Så här kan utskriften från ett kalkylprogram se ut:<br />

År Kapital 1/1 Räntesats (%) Ränta Uttag 31/12 Kapital 31/12<br />

2008 200 000 4 8 000 23 000 185 000<br />

2009 185 000 4 7 400 23 000 169 400<br />

2010 169 400 4 6 776 23 000 153 176<br />

2011 153 176 4 6 127,04 23 000 136 303,04<br />

2012 136 303 4 5 452,12 23 000 118 755,16<br />

2013 118 755,2 4 4 750,21 23 000 100 505,37<br />

4.3 kalkylmodeller 207


4307 Alexandra satsar pengar i en aktiefond. Hon tror att den ska öka i värde<br />

med 10 % per år. I början av varje år sätter hon in ett visst belopp i fonden.<br />

Hennes kalkylmodell är<br />

a) Vilka formler ska stå i E2 och F2?<br />

b) Vilka formler ska stå i A3, B3, C3 och D3?<br />

c) Skriv in kalkylmodellen och fyll i alla formler nedåt t o m rad 11<br />

(år 2016).<br />

d) Vilket värde har fonden 2016-12-31?<br />

e) Vilket blir fondens värde om tillväxten är 15 % per år?<br />

f) Låt tillväxten vara 15 % och variera insättningen så att värdet<br />

2016-12-31 blir 150 000 kr.<br />

4308 En läkare vill ha en kalkylmodell som visar hur mängden verksam substans<br />

i kroppen ökar när patienten börjar med en ny medicin. Kalkylmodellen<br />

ska visa mängden kvarvarande substans då en ny tablett har tagits.<br />

Fullborda kalkylmodellen och använd den på följande fall: En patient tar<br />

varje dygn en tablett på 50 mg. Efter ett dygn återstår 40 % av den ursprungliga<br />

mängden. Vilken mängd av den verksamma substansen finns i<br />

kroppen efter den 10:e tabletten?<br />

4309 Den svenske matematikern Helge von Koch studerade i början av 1900-<br />

talet en kurva som efter honom brukar kallas Kochs snöflingekurva. Den<br />

konstrueras så här:<br />

Grundfiguren är en liksidig triangel med sidan 3 längdenheter. Varje sida<br />

delas sedan i tre lika delar. Den mellersta delen tas bort och ersätts med<br />

en liksidig triangel, som figuren visar. Nästa figur bildas på samma sätt.<br />

a) Gör ett kalkylblad som visar omkrets och area för figur nummer n.<br />

b) Ange det lägsta värde på n för vilket omkretsen överstiger<br />

1 000 längdenheter.<br />

c) Vad händer med arean då n ökar obegränsat?<br />

1 2 3 4<br />

2 3 4<br />

208 4.3 kalkylmodeller


Upprepade beräkningar med grafritande räknare<br />

Exempel<br />

En ny bil kostar 285 000 kr. Värdeminskningen är 15 % per år. Efter hur många år är bilen för<br />

första gången värd mindre än 150 000 kr?<br />

Beräkningsrutin<br />

Så här kan du göra med din räknare:<br />

EXE på en<br />

del räknare<br />

285 000 ENTER Startvärdet läggs in. I räknarfönstret kan det se ut så här:<br />

Det lagras i variabeln Ans.<br />

285000<br />

Ans × 0,85 ENTER<br />

ENTER<br />

ENTER<br />

osv<br />

Ger värdet efter 1 år.<br />

Du får Ans × genom<br />

att bara trycka på ×.<br />

Nu är det nya Ans-värdet<br />

= det gamla × 0,85.<br />

Ger värdet efter 2 år,<br />

d v s det nya Ans-värdet<br />

× 0,85.<br />

Ger värdet efter 3 år.<br />

Efter 4 år är värdet mindre än 150 000 kr.<br />

285000.00<br />

Ans * 0.85<br />

242250.00<br />

205912.50<br />

175025.63<br />

148771.78<br />

Värdet<br />

efter 1 år<br />

Värdet<br />

efter 4 år<br />

4310 En villaägare har lånat 800 000 kr till<br />

en fast årlig ränta av 6 %.<br />

Hur stort är lånet efter 5 år, om det<br />

amorteras (betalas av) med 60 000 kr<br />

vid varje års slut?<br />

Beräkningsrutin:<br />

800 000 ENTER Startvärdet har<br />

lagrats i Ans.<br />

Ans × 1,06 – 60 000 ENTER Ger lånet efter 1 år<br />

sedan avbetalningen<br />

gjorts.<br />

ENTER Ger lånet efter 2 år<br />

sedan avbetalningen<br />

gjorts.<br />

osv<br />

Svar: Efter 5 år är lånet 732 355 kr.<br />

Ans * 1.06-60000<br />

800000.00<br />

788000.00<br />

775280.00<br />

761796.80<br />

747504.61<br />

732354.88<br />

4.3 kalkylmodeller 209


4311 Ett radioaktivt ämne väger 95 pg. Massan<br />

av ämnet minskar för varje timme med<br />

12 %.<br />

a) Hur mycket återstår av ämnet efter<br />

4 timmar?<br />

b) När återstår mindre än 20 pg?<br />

4312 Klockan 08.00 finns det i en näringslösning<br />

85 bakterier/ml. Antalet ökar med 35 %<br />

under varje 30-minutersperiod. När finns<br />

det fler än 1 000 bakterier/ml i lösningen?<br />

4313 En bank erbjuder sina kunder att köpa<br />

obligationer värda 10 000 kr/st. De ska<br />

växa med 8 % ränta samt en årlig bonus på<br />

400 kr som utdelas i slutet av varje år och<br />

som också ger ränta.<br />

a) Hur ser beräkningsrutinen ut i detta<br />

fall?<br />

b) Vad är obligationen värd efter 5 år?<br />

c) När är obligationen värd 50 000 kr?<br />

4314 Den svenska björnstammens storlek är svår<br />

att uppskatta. År 2008 uppskattades den<br />

till 2 800 djur. Hur stor är den 2013 (fem<br />

år senare), om den naturliga tillväxten är<br />

4,4 % per år och man skjuter 200 björnar<br />

per år?<br />

4315 När en organism dör, avtar halten C-14<br />

långsamt. Efter en tusenårsperiod återstår<br />

88,6 % av den ursprungliga mängden.<br />

Hur många procent återstår efter 6 000 år?<br />

4316 Camilla får låna 50 000 kr av bilfirman,<br />

när hon köper en begagnad bil. Hon får betala<br />

11,5 % i årsränta på lånet. Vid slutet av<br />

varje år ska hon betala bilfirman 12 000 kr.<br />

a) Hur mycket är kvar av lånet efter 3 år?<br />

b) När är lånet slutbetalt?<br />

4317 En stipendiefond på 300 000 kr förvaltas av<br />

en bank, som under en tioårsperiod garanterar<br />

en årlig tillväxt på 8 %.<br />

<br />

Under de fem första åren delas vid årets<br />

slut ut ett stipendium på 15 000 kr, och<br />

under de följande fem åren delar man på<br />

samma sätt ut 20 000 kr årligen.<br />

Hur stor är fonden efter 10 år?<br />

4318 Skriv en beräkningsrutin som ger talföljden<br />

a) 0,4; 0,04; 0,004; …<br />

b) 100; 40; 16; 6,4; …<br />

4319 Om mönstret fortsätter oändligt långt<br />

får man en figur som brukar kallas<br />

Sierpińskis triangel, efter den polske matematikern<br />

Wacław Sierpiński (1882–1969).<br />

a) Hur många färgade trianglar är det i<br />

figur nr 20?<br />

b) Den första figuren är färgad till 100 %.<br />

Hur stor andel av figur nr 20 är färgad?<br />

210 4.3 kalkylmodeller


Aktivitet<br />

Sant eller falskt?<br />

Diskutera<br />

Diskutera i par eller grupp. Sant eller falskt?<br />

Motivera svaret!<br />

1 I en talföljd är alltid det andra talet större än<br />

det första talet.<br />

2 Talföljden 5, 8, 12, 17, 23 ges av a n = 3n + 2.<br />

3 2, 4, 6, 8, 10, 12 är exempel på en geometrisk<br />

talföljd.<br />

4 Alla tal i talföljden a n = n 2 + n är jämna<br />

heltal.<br />

6 I en geometrisk talföljd är kvoten mellan ett<br />

tal och det föregående alltid samma.<br />

7 Summan 5 + 5 ∙ 1,1 + 5 ∙ 1,1 2 + … +<br />

+ 5 ∙ 1,1 10 har elva termer.<br />

8 Den sjunde termen i den geometriska summan<br />

ovan är 5 ∙ 1,1 7 .<br />

9 100 + 100 ∙ 1,04 + 100 ∙ 1,04 2 + … +<br />

+ 100 ∙ 1,04 n < 25 000 för alla värden på n.<br />

10 100 + 100 ∙ 0,96 + 100 ∙ 0,96 2 + … +<br />

+ 100 ∙ 0,96 n < 2 500 för alla värden på n.<br />

5 Talet 54 ingår i talföljden a n = 5n – 3<br />

4 talföljder och summor 211


Problem för alla 4<br />

1 Dela talet 147 i tre delar, så att den andra 5 Efter två löneförhöjningar är den nya lönen<br />

999 999<br />

för att summan ska överstiga<br />

1 000 000 . a<br />

delen blir dubbelt så stor som den första<br />

och den tredje delen dubbelt så stor som<br />

den andra.<br />

15/8 av den ursprungliga. Hur stor var den<br />

första höjningen (i procent), om den andra<br />

höjningen var dubbelt så stor som den första<br />

(i procent)?<br />

2 I ett datorspel ska du försöka gissa ett be-<br />

stämt tresiffrigt tal. För varje gissning får du<br />

2+ 4+ 8+ 16 +...+ 4 096<br />

en ledtråd. Vad svarar du efter denna dialog 6 Förenkla<br />

3+ 6+ 12+ 24...<br />

+ 6144<br />

med datorn?<br />

7 Funktionen<br />

123 Ingen siffra rätt!<br />

f ( x) = (2 – a) x 3 + (a 2 – 2a – 2) x 2<br />

456 En siffra rätt, men i fel läge!<br />

antar ett minimivärde för x = 2. Bestäm a.<br />

789 En siffra rätt, men i fel läge!<br />

075 Två siffror rätt, varav en i rätt läge! 8 Figuren OAB är en cirkelkvadrant. Med OA<br />

och OB som diametrar är två cirkelbågar<br />

087 En siffra rätt, men i fel läge!<br />

ritade. Bestäm förhållandet mellan de båda<br />

skuggade områdena a och b.<br />

3 Ett tåg med hastigheten 30 m/s passerar en<br />

300 m lång tunnel på 30 s. Hur lång tid tar<br />

B<br />

det för tåget att passera en stolpe?<br />

4 Bestäm det minsta antal termer som ska<br />

adderas i uttrycket 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + …<br />

b<br />

O<br />

A<br />

9 Gränsvärdet lim ( ) 1<br />

h<br />

/ 3<br />

8+<br />

− 2<br />

h→0<br />

h<br />

med f ′ (a).<br />

är lika<br />

a) Vilken är funktionen f och vilket är<br />

a-värdet?<br />

b) Beräkna f ′ (a) exakt.<br />

10 Bestäm summan av de tio första talen i en<br />

geometrisk talföljd där a 2 = 6 och a 5 = 162.<br />

212 4 talföljder och summor


Hemuppgifter 4<br />

4.1 Talföljder<br />

1 Ange de tre första talen i den talföljd där<br />

a) a n = 7 – 2n<br />

b) a n + 1 = a n + n 2 och a 1 = 10<br />

2 Finn en formel för det n:te talet i tal följden<br />

a) 5, 8, 11, 14, …<br />

b) 1 2 , 1 5 , 1<br />

10 , 1<br />

17 , 1<br />

26 , …<br />

3 Ange en formel för antalet punkter i<br />

figur nr n.<br />

1 2 3 4<br />

4.2 Geometrisk summa<br />

4 Beräkna summan av 8 tal i den geometriska<br />

talföljd, där första talet är 4 och kvoten är<br />

1,5.<br />

5 Ange den geometriska summa som kan<br />

beräknas med 02 3 6<br />

, ( − 1 )<br />

3−<br />

1<br />

6 Beräkna den geometriska summan och avrunda<br />

resultatet till heltal.<br />

a) 5 + 5 · 1,08 + 5 · 1,08 2 + … + 5 · 1,08 20<br />

b) 20 + 20 · 0,8 + 20 · 0,8 2 + … + 20 · 0,8 19<br />

7 Bestäm talet x med två decimaler ur<br />

ekva tionen<br />

x + x · 0,6 + x · 0,6 2 + … + x · 0,6 11 = 25 000<br />

8 Morfar Sven vill att hans båda barnbarn ska<br />

ha 100 000 kr på var sitt konto när de fyller<br />

20 år. Hur mycket bör han då sätta in på<br />

a) Jennys konto när hon fyller 10 år<br />

b) Martins konto när han fyller 14 år?<br />

Räntesatsen antas hela tiden vara 4,5 %.<br />

9 Hur mycket bör Filip sätta in på ett bank -<br />

konto vid slutet av varje år, om han efter den<br />

30:e insättningen vill ha 200 000 kr på sitt<br />

konto? Räntesatsen antas vara 5,25 %.<br />

10 En patient får var sjätte timme medicin i form<br />

av en tablett på 200 mg. När 6 timmar har<br />

gått återstår det 20 % av den tidigare medicinen<br />

i kroppen. Hur stor mängd medicin har<br />

patienten i kroppen efter<br />

a) 5 tabletter b) 50 tabletter?<br />

4.3 Kalkylmodeller<br />

11 Kalkylmodellen visar kapitalets tillväxt på ett<br />

bankkonto där insättningar görs i början av<br />

varje år. Gör de beräkningar som formlerna<br />

beskriver. Hur stor är behållningen på kontot<br />

i början av år 2011?<br />

A B C D E<br />

1 År Räntesats Insättning Kapital 1/1 Ränta<br />

2 2009 3 3000 = C2 = B2*D2/100<br />

3 2010 4 = C2+1000 = D2+E2+C3 = B3*D3/100<br />

4 2011 5 = C3+1000 = D3+E3+C4<br />

12 En villaägare tog i början av 2001 ett lån på<br />

1 200 000 kr till en fast årlig ränta på 7 %.<br />

Lånet amorteras (betalas av) med 75 000 kr<br />

vid slutet av varje år. Hur stor var villa ägarens<br />

skuld vid slutet av 2006, omedelbart efter den<br />

sjätte amorteringen? Gör en beräkningsrutin<br />

för grafritande räknare och bestäm detta.<br />

4 talföljder och summor 213


Sammanfattning 4<br />

Talföljd<br />

En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal,<br />

uppställda i en bestämd ordning och enligt en<br />

bestämd regel.<br />

En talföljd kan anges på olika sätt:<br />

1 Genom en formel för det n:te talet.<br />

Formeln a n = n(n + 1) ger talföljden 2, 6,<br />

12, 20, …<br />

2 Genom uppräkning.<br />

Om de fyra första talen är 2, 6, 12, 20, så är<br />

det rimligt att det 5:e talet är 30. (Vi ökar med<br />

4, 6, 8, 10, osv.)<br />

Geometrisk talföljd<br />

Det n:te talet: a n = a 1 · k n – 1 , där k = kvoten av<br />

ett tal och närmast föregående tal.<br />

I den geometriska talföljden 5, 10, 20, 40, …<br />

är kvoten k = 2.<br />

Geometrisk summa<br />

Summan s n av de n första talen i en geometrisk<br />

talföljd beräknas med formeln<br />

s n = a k n<br />

n<br />

1( − 1) a1( 1 − k )<br />

=<br />

k − 1 1 − k<br />

Exempel<br />

I den geometriska summan<br />

64 + 64 · 0,5 + 64 · (0,5) 2 + 64 · (0,5) 3 + … +<br />

+ 64 · (0,5) 7 är a 1 = 64, k = 0,5 och n = 8<br />

s n = 64 1 0 5 8<br />

( − , )<br />

= 127,5<br />

1−<br />

0,<br />

5<br />

Modell med geometrisk talföljd<br />

En förälder sätter vid slutet av 18 på varandra<br />

följande år in 2 000 kr åt sitt barn på ett konto.<br />

Ränta på ränta beräknas efter 5 %.<br />

1 2 17<br />

År<br />

......... 18<br />

2000 2000<br />

2000 2000 2000<br />

2000 · 1,05<br />

. . . . . . .<br />

2000 · 1,05 16<br />

2000 · 1,05 17<br />

Omedelbart efter den 18:e insättningen är behållningen<br />

i kronor den geometriska summan<br />

2 000 + 2 000 · 1,05 + 2 000 · 1,05 2 + … +<br />

+ 2 000 · 1,05 17<br />

a 1 = 2000, k = 1,05 och n = 18<br />

2000( 105 , − 1)<br />

s 18 = ≈ 56 265<br />

105 , − 1<br />

18<br />

Nuvärde<br />

En skuld på 50 000 kr ska betalas tillbaka vid<br />

slutet av år 2015. Om den betalas redan vid slutet<br />

av år 2010, d v s 5 år i förväg, och ränta på ränta<br />

beräknas efter 12 %, ska man betala N kr där<br />

N · 1,12 5 = 50 000, d v s N = 50 000/1,12 5 .<br />

N kallas skuldens nuvärde år 2010.<br />

214 4 talföljder och summor


Blandade övningar 4 A<br />

Blandade övningar 4A och 4B är två likvärdiga och parallella test som båda omfattar<br />

kapitel 1 – 4. De innehåller uppgifter på A-, B- och C-nivå och avslutas med<br />

Utredande uppgifter.<br />

Del I<br />

Utan räknare<br />

6 Beräkna det 5:e talet i en geometrisk talföljd<br />

med a 1 = 2 och k = 3.<br />

1 Låt y = x 3 + 5x.<br />

a) Bestäm y′.<br />

b) Beräkna y′ (3).<br />

2 Förenkla så långt som möjligt<br />

3 Lös ekvationen<br />

a) x 3 – 9x = 0<br />

b) lg x = 2<br />

4 Derivera<br />

a) g (x) =<br />

x 2<br />

4<br />

b) h (x) = 2e 3x<br />

5 Figuren visar grafen till y = f (x).<br />

a<br />

2 – a 6 .<br />

7 Värdet av en bil är V (t) kr, där t är tiden i år<br />

räknat från den dag bilen köptes som ny.<br />

Vad betyder det att<br />

a) V (3) = 110 000<br />

b) V′ (3) = –15 000?<br />

8 Beräkna f′ (2) då f (x) = 4x + 4 x<br />

9 Grafen visar hur temperaturen y °C i en kopp<br />

kaffe sjunker med tiden x minuter. Tangenten<br />

i punkten (20, 55) är ritad.<br />

°C<br />

80<br />

y<br />

(20, 55)<br />

y<br />

x<br />

2<br />

1<br />

1<br />

1<br />

2 3 4<br />

x<br />

10<br />

20<br />

Bestäm ur figuren y′ (20).<br />

min<br />

2<br />

För vilka x-värden är<br />

a) f′ (x) = 0<br />

b) f′ (x) < 0?<br />

4215 talföljder och summor 4 talföljder och summor 215


Del II Med räknare<br />

10 Lös ekvationen<br />

15 Beräkna kvoten<br />

värdeminskning i procent motsvarar detta?<br />

x<br />

y om lg x – lg y = 3.<br />

a) ln x + ln 2 = ln 5<br />

b) 2 + 1 = 1<br />

16 Bestäm koordinaterna för minimipunkten<br />

x x − 2<br />

på kurvan y = 4x 2 – 16x + 7 genom att<br />

11 I vilken punkt på kurvan y = 1 + 12x – 4x 2<br />

är lutningen –12?<br />

12 Vad gör kalkylbladet?<br />

använda derivata.<br />

17 En viss geometrisk summa kan beräknas med<br />

5<br />

4 000 ⋅ ( 103 , − 1)<br />

A B C<br />

103 , − 1<br />

a) Skriv ut termerna i den geometriska<br />

1 1 = A1 · A1 = B1<br />

summa som kan beräknas med uttrycket<br />

2<br />

3<br />

= A1 + 1<br />

= A2 + 1<br />

= A2 · A2<br />

= A3 · A3<br />

= C1 + B2<br />

= C2 + B3<br />

ovan.<br />

b) Formulera ett problem som handlar om en<br />

verklig situation. Ditt problem ska kunna<br />

lösas genom att beräkna uttrycket<br />

Genomför beräkningarna och tala om vilken<br />

5<br />

summa som beräknats i ruta C3.<br />

4 000 ⋅ ( 103 , − 1)<br />

103 , − 1<br />

(NP C vt 05)<br />

13 Tredjegradsfunktionen y = f (x) har ett<br />

lokalt minimivärde som är positivt. Funktionens<br />

derivata har grafen<br />

18 Tabellen visar folkmängden i Sverige den<br />

31 december år 1960–2000.<br />

y<br />

År Folkmängd<br />

1960 7 497 967<br />

y = f'(x)<br />

1970<br />

1980<br />

8 081 229<br />

8 317 937<br />

x<br />

1990 8 590 630<br />

3<br />

3<br />

2000 8 882 792<br />

Beräkna den årliga genomsnittliga förändringshastigheten<br />

av befolkningen i Sverige<br />

Skissa grafen till y = f (x).<br />

14 Bestäm f′ (x) då f (x + h) = x 2 + 2hx + h 2 .<br />

under perioden 1960 – 2000.<br />

19 Christian köpte 2003 en dator för 7 495 kr.<br />

År 2008 sålde han den för 950 kr. Vilken årlig<br />

216 4 talföljder och summor


20 Funktionen f (x) = 2x 3 – 3x 2 – 12x + a har<br />

ett maximivärde och ett minimivärde. Hur<br />

stort är minimivärdet om maximivärdet är<br />

30?<br />

21 Temperaturen y °C för en lasagne som placeras<br />

i en ugn kan beräknas med ekvationen<br />

y = 200 – 180 · e – k x<br />

där x minuter är den tid lasagnen stått inne i<br />

ugnen.<br />

a) Vilken temperatur har lasagnen då den<br />

sätts in i ugnen?<br />

b) Vilken temperatur har ugnen?<br />

c) Vid den tidpunkt då lasagnen sätts in i<br />

ugnen stiger temperaturen med 2,0 °C /<br />

min. Vilken temperatur har lasagnen efter<br />

24 minuter?<br />

22 Beräkna ändringskvoten<br />

f( 101 , ) − f( 0, 99)<br />

002 ,<br />

för funktionen f ( x) = x · e x . Kvoten ger ett<br />

närmevärde till funktionens derivata för<br />

x = a.<br />

a) Vilket värde har a och vilket värde har<br />

ändringskvoten?<br />

b) Bestäm ett bättre närmevärde till f′ (a).<br />

23 Bestäm talen a, b och c så att grafen till<br />

funktionen<br />

y = ax 2 + bx + c<br />

går genom punkten (0, 1) och har linjen<br />

y = x – 1 till tangent i punkten (1, 0).<br />

24 Funktionen f (x) = ax 2 + b där a och b är<br />

konstanter.<br />

a) Bestäm f′ (x) då a = 4 och b = 3.<br />

b) Då a = 4 och b = 3 har ekvationen<br />

f (x) = f′ (x) två olika lösningar.<br />

Visa detta.<br />

c) Undersök om det finns något samband<br />

mellan a och b då ekvationen<br />

f (x) = f′ (x) har två olika lösningar.<br />

25 Den färgade rektangeln i figuren har höjden<br />

x cm och arean y cm 2 .<br />

26<br />

x<br />

b<br />

h<br />

(cm)<br />

a) Då b = 18 cm och h = 24 cm kan<br />

arean skrivas<br />

y = 18x – 0,75x 2 , 0 < x < 24.<br />

Bestäm rektangelns maximala area.<br />

b) Visa hur man kommer fram till uttrycket<br />

för arean ovan.<br />

c) Både triangelns form och värdet på b<br />

och h kan variera. Malin påstår att rektangelns<br />

maximala area alltid är hälften<br />

av triangelns area. Undersök om detta är<br />

sant.<br />

Utredande uppgifter<br />

Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter<br />

följande kriterier:<br />

• vilka matematiska kunskaper du har visat<br />

• vilka slutsatser du har kommit fram till<br />

• hur väl du har redovisat ditt arbete och genomfört<br />

dina beräkningar.<br />

Studera mönstret av färgade kvadrater ovan.<br />

Den största (1:a) kvadraten har arean 1 dm 2 .<br />

a) Vilken exakt area har den andra?<br />

Den tredje? Den n:te?<br />

b) Undersök hur totala arean beror av antal<br />

kvadrater.<br />

c) Undersök hur kvadraternas totala omkrets<br />

beror av antal kvadrater.<br />

4 talföljder och summor 217


Blandade övningar 4 B<br />

Del I<br />

1 Derivera<br />

a) y = 5x – 2<br />

b) y = x 3 + x 3<br />

c) y = 5e –4x<br />

2 Förenkla<br />

Utan räknare<br />

2<br />

2h+ h .<br />

h<br />

3 Lös ekvationen<br />

a) x 3 = 16 x<br />

b) (x + 2) 2 = (x – 3) 2<br />

8 Figurerna återger graferna till sex olika<br />

derivator f′ (x).<br />

Vilken eller vilka av funk tionerna f (x)<br />

a) är avtagande för alla x<br />

b) har en graf med endast en extrempunkt<br />

c) har ett lokalt minimum<br />

d) har en graf med en terasspunkt<br />

e) har ett lokalt maximum ?<br />

A<br />

1<br />

f '(x)<br />

1<br />

x<br />

D<br />

1<br />

f '(x)<br />

1<br />

x<br />

4 Lös ekvationen och svara exakt.<br />

a) 10 x = 3<br />

b) 2 x 5 = 50<br />

c) 6 x = 12<br />

5 Ge exempel på ett rationellt uttryck som inte<br />

är definierat för x = 1.<br />

B<br />

1<br />

f'(x)<br />

1<br />

x<br />

E<br />

1<br />

f '(x)<br />

1<br />

x<br />

6 För funktionen f (x) = 5e k x gäller att<br />

f′ (0) = 10. Vilket värde har talet k?<br />

C<br />

f '(x)<br />

F<br />

f '(x)<br />

7 Emelie undersöker en tredjegradsfunktion<br />

och gör följande tabell.<br />

x –1 0 1 2 3<br />

1<br />

1<br />

x<br />

1<br />

1<br />

x<br />

f (x ) 5 1 3 5 1<br />

f ′ (x ) –9 0 3 0 –9<br />

a) Bestäm f (0).<br />

b) Bestäm f′ (1).<br />

c) Bestäm minimipunktens koordinater.<br />

d) För vilka x är funktionen växande?<br />

218 4 talföljder och summor


9 Förenkla<br />

a) f (a + h) – f (a – h) om f (x) = x 2 .<br />

b)<br />

f( 3+ h) − f ( 3)<br />

h<br />

om f (x) = x 2 + 5x.<br />

10 Beräkna y′ (2) om y = 4 +<br />

6 2<br />

x x<br />

11 Bestäm koordinaterna för den punkt på<br />

kurvan y = e x<br />

där y′ = e.<br />

12 En funktion f har egenskaperna<br />

2<br />

2<br />

f (0) = 2 f′ (0) = 1 f′ (2) = 0<br />

Skissa grafen till en funktion som har dessa<br />

egenskaper. (NP C vt 98)<br />

13 Förenkla<br />

3<br />

15 , a − 6a<br />

15 , a + 075 ,<br />

14 Lös ekvationen lg x 5 = 10.<br />

15 Bestäm lutningen i den punkt på kurvan<br />

y = 9x 1/3 där x = 8.<br />

16 Bestäm ekvationen för de tangenter som<br />

från punkten (0, –2) kan dras till kurvan<br />

y = 0,5x 2 .<br />

Del II<br />

Med räknare<br />

17 Bestäm f′ (3) om f (x) = x 3 – 6x 2 + 4.<br />

18 Beräkna den geometriska summan<br />

3 000 + 3 000 · 1,07 + 3 000 · 1,07 2 + …<br />

… + 3 000 · 1,07 49<br />

19 Lös ekvationen. Svara exakt och med ett närmevärde<br />

med tre decimaler.<br />

a) 7 · x 5 = 13<br />

b) 7 · 5 x = 13<br />

20 I en affärsuppgörelse ingår att företaget<br />

BYGG AB ska betala beloppet 400 000 kr idag<br />

och resten, 600 000 kr, om 4 år. Vad borde<br />

BYGG AB betala, om uppgörelsen varit att<br />

hela summan ska betalas idag? Hänsyn tas till<br />

en årlig ränta av 7,5 %.<br />

21 Folkmängden i en kommun har fördubblats<br />

under en 35-årsperiod. Beräkna den årliga<br />

procentuella ökningen, om den antas ha varit<br />

lika stor varje år.<br />

4 talföljder och summor 219


22 Värdet i kronor av en maskin förändras enligt<br />

funktionen<br />

25<br />

f (x) = 250 000 · 0,85 x<br />

där x är tiden i år sedan maskinen var ny.<br />

a) Vad betyder 0,85 i detta fall?<br />

b) Beräkna och tolka f (5).<br />

c) Beräkna derivatan f′ (5) genom att skriva<br />

om exponentialfunktionen med basen e.<br />

d) Visa hur du kan kontrollera värdet på<br />

f′ (5) med din räknare.<br />

e) Tolka vad f′ (5) betyder i detta fall.<br />

23 Rita kurvan<br />

y = x 3 – 180 x 2 + 6 000x + 45 000<br />

och bestäm extrempunkternas koordinater<br />

med hjälp av derivata.<br />

24 Marcus arbetar som forskare. Måndagen den<br />

5 maj kl 09.00 glömde Marcus av misstag ett<br />

radioaktivt preparat på sitt arbetsbord.<br />

Tre dygn senare upptäckte han preparatet.<br />

Aktiviteten var då 150 MBq. (En becquerel,<br />

1 Bq, är enheten för aktivitet, d v s antal sönderfall<br />

per sekund.)<br />

Efter ytterligare två dygn hade aktiviteten<br />

gått ned till 119 MBq. Aktiviteten hos ett<br />

radioaktivt preparat avtar exponentiellt med<br />

tiden.<br />

Hur stor var aktiviteten den 5 maj kl 09.00?<br />

<br />

För att en viss medicin ska få avsedd effekt<br />

behöver en patient ha 15 mg av medicinen i<br />

kroppen. Om man ger hela denna medicinmängd<br />

på en gång finns risk för allvarliga<br />

biverkningar. Patienten får därför små doser<br />

medicin med en timmes mellanrum.<br />

Efter 10 sådana lika stora doser upphör medicineringen,<br />

och patienten ska då ha 15 mg av<br />

medicinen i kroppen.<br />

Hur stora ska dessa doser vara, om man vet<br />

att medicinen börjar verka omedelbart och<br />

att 16 % av den bryts ner i kroppen<br />

per timme? (NP C vt 96)<br />

26 I en formelsamling står det att funktionen<br />

f (x) = ln x har derivatan f′ (x) = 1 x<br />

för<br />

alla x > 0. Undersök om denna deriveringsregel<br />

verkar vara riktig. Du behöver inte<br />

utföra ett bevis. (NP C ht 96)<br />

220 4 talföljder och summor


Utredande uppgifter<br />

Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter<br />

följande kriterier:<br />

• vilka matematiska kunskaper du har visat<br />

• vilka slutsatser du har kommit fram till<br />

• hur väl du har redovisat ditt arbete och genomfört<br />

dina beräkningar.<br />

27 a) Bestäm koordinaterna för maximipunkten<br />

på kurvan y = 8 – 2x 2 .<br />

b) y = f (x) är en andragradsfunktion vars<br />

graf har en maximipunkt på y-axeln.<br />

Visa att grafen till funktionens derivata<br />

alltid är en rät linje, med negativ lutning,<br />

som går genom origo.<br />

28 En låda i form av ett rätblock har en kvadratisk<br />

basyta och saknar lock. De fyra sidoytorna<br />

och bottenytan har tillsammans arean<br />

192 cm 2 .<br />

29<br />

. . .<br />

Varje kloss har en höjd och bredd som är 80 %<br />

av den intill. Den första är 20 cm hög.<br />

a) Hur många klossar har vi om den första är<br />

20 cm och den minsta 4,2 cm hög?<br />

b) Hur hög blir stapeln om vi ställer dem på<br />

varandra?<br />

c) Undersök hur hög stapeln blir, beroende<br />

på hur många klossar vi har samt hur hög<br />

den första är.<br />

h<br />

(cm)<br />

x<br />

x<br />

a) Bestäm lådans volym då baskanten<br />

x = 10,0 cm.<br />

b) Bestäm lådans volym då höjden<br />

h = 10,0 cm.<br />

c) Vilka dimensioner har lådan då volymen<br />

är maximal?<br />

d) När volymen är maximal finns det ett<br />

enkelt samband mellan baskanten x och<br />

höjden h. Undersök detta också för den<br />

totala arean 363 cm 2 och försök sedan att<br />

visa sambandet allmänt genom att sätta<br />

den totala arean till A cm 2 .<br />

4 talföljder och summor 221


4<br />

4104 a) 5, 10, 15, 20<br />

b) 1, 4, 7, 10<br />

c) 0, 3, 8, 15<br />

d) 2, 6, 12, 20<br />

4105 a) a 12 = 6 144 b) a 12 = 38<br />

4106 a n = n 2<br />

4107 a) n = 20 b) n = 9<br />

4108 a) a n = 4n – 1<br />

b) a n = 3 n – 1<br />

c) a n = 4n<br />

d) a n = n 2 + 1<br />

4109 a) P n = 250 000 + 5 000n<br />

b) P n = 250 000 ∙ 1,02 n<br />

4110 T ex a n = 2 n , a n = n(n – 1) + 2<br />

4111 A n =<br />

= ( n − 2 ) ⋅ 180°<br />

360°<br />

n = 180°−<br />

n<br />

Historik – Fibonaccis talföljd<br />

1 a) 233, 377<br />

b) a n + 2 = a n + 1 + a n , a 1 = 1,<br />

a 2 = 1<br />

2 månad kaninpar<br />

1 1<br />

2 1<br />

3 1 + 1 = 2<br />

4 1 + 2 = 3<br />

5 2 + 3 = 5<br />

månad 1<br />

månad 2<br />

månad 3<br />

månad 4<br />

månad 5<br />

3 Kvoterna<br />

13<br />

8 ≈ 1,625<br />

21<br />

13 ≈ 1,6154<br />

34<br />

21 ≈ 1,6191<br />

55<br />

34 ≈ 1,6177<br />

verkar närma sig Gyllene snittet,<br />

1+<br />

5<br />

2<br />

≈ 1,6180<br />

4 a) 1 5 10 10 5 1<br />

b) Diagonalernas summa blir<br />

Fibonaccis talföljd.<br />

4203 a) 8, 24, 72, 216, 648<br />

b) 80, 40, 20, 10, 5<br />

4204 a) 118 096<br />

b) 12 578<br />

4205 a) 160<br />

b) 4 161<br />

4206 a = 60<br />

4207 a) Ej geometrisk<br />

10<br />

43 ( − 1)<br />

( 3−<br />

1)<br />

10<br />

1 000(, 105 − 1)<br />

(, 105−<br />

1)<br />

8<br />

1 000( 08 , − 1)<br />

08 , − 1<br />

b) Talföljden är geomtrisk med<br />

summan 248 k = 0,75<br />

c) Talföljden är geomtrisk med<br />

summan 1 735 k = 1,25<br />

d) Ej geometrisk<br />

4208 x ≈ 385,23<br />

4209 1 215 första talet = 5<br />

4210 a) 41,6 cm k = 0,8<br />

4211 23<br />

b) 2 040 cm t k = 0,8 3<br />

100(, 15 n − 1)<br />

> 2 000 000<br />

15 , − 1<br />

4212 5 , 5, 20, 80, 320, 1 280<br />

4<br />

4216 30 015 kr<br />

10<br />

2 500(, 104 − 1)<br />

(, 104 − 1)<br />

4217 a) 312 mg b) 333 mg<br />

4218 a) 0,6 cm<br />

b) 2,7 cm<br />

4219 33 066 kr<br />

10<br />

18 , (( 1 / 3) − 1)<br />

( 1 / 3−<br />

1)<br />

4220 C är bäst<br />

I början av år 2010 ger<br />

A: 6 000 ∙ 1,06 7<br />

B: 9 000<br />

8<br />

1 000(, 106 − 1)<br />

C:<br />

(, 106−<br />

1)<br />

4221 20 g (19,84…)<br />

4222 Antal korn = 2 64 – 1 ≈ 1,8 · 10 19<br />

Massa ≈ 5,5 · 10 14 kg<br />

Svarar mot ungefär 300 världsproduktionsår.<br />

4225 a) 96 049 kr b) 114 076 kr<br />

4226 6 268 kr<br />

4227 2,57 ∙ 10 47 k = 3<br />

4228 27 923 kr<br />

x( 107 , 5 − 1)<br />

= 100 000 · 1,077<br />

107 , − 1<br />

4229 40(1 – 0,5 n ) mg<br />

4230 a) Cirka 0,33 % (0,327…)<br />

Lös ekvationen x 12 = 1,04<br />

b) Ungefär 9,6 miljoner<br />

Beräkna summan av alla<br />

nuvärden.<br />

1<br />

k = och n = 300<br />

1,<br />

0327<br />

4221 a) Efter 21 år.<br />

b) Oljan tar aldrig slut.<br />

Summan närmar sig<br />

85 ⋅ 365<br />

1− 0,<br />

96<br />

4302 a) B5 = 8,75, C5 = 18,75<br />

b) B5 = C4/2, C5 = 10 + B5<br />

k = 4 och a 1 = 5 4<br />

4215 a) 13 439 kr<br />

b) 14 071 kr<br />

c) 10 304 kr<br />

svar och lösningar 251


4303 a) D2 = 24 000<br />

E2 = 144 000<br />

C3 = 144 000<br />

D3 = –7 200<br />

E3 = 136 800<br />

b) D2 = B2 * C2/100<br />

E2 = C2 + D2<br />

C3 = E2<br />

4304 a) 17 491<br />

b)<br />

D3 = B3 * C3/100<br />

E3 = C3 + D3<br />

C<br />

D<br />

2 80000 20 000<br />

3 = F2 15 000<br />

4 = F3 40000<br />

E<br />

F<br />

2 = B2*C2/100 = C2 – D2 + E2<br />

3 = B3*C3/100 = C3 – D3 + E3<br />

4 = B4*C4/100 = C4 – D4 + E4<br />

4305 a) B C D<br />

4 1,35 1,0125 8,7<br />

b) B C D<br />

4 C3 75*B4 D3 + 2*C3<br />

4307 a) E2 = D2 * C2/100<br />

F2 = C2 + E2<br />

b) A3 = A2 + 1<br />

B3 = B2<br />

C3 = F2 + B3<br />

D3 = D2<br />

d) 87 656 kr (87 655,84)<br />

e) 116 746 kr (116 746,38)<br />

f) 6 723 kr årlig insättning ger<br />

150 007 kr.<br />

4308 83 mg (83,324...)<br />

4309 b) n = 18<br />

= 9 3<br />

4<br />

c) Arean närmar sig 6,235 a.e.<br />

Omkretsen i figur n är<br />

1<br />

4<br />

p n = 9 ⋅ ⎛ n −<br />

⎝ ⎜ ⎞<br />

3⎠<br />

⎟<br />

Arean i figur n är<br />

A n =<br />

⎛ 1 ⎛<br />

1<br />

3 1 4 4<br />

4<br />

+ + +<br />

⎛ ⎞<br />

+ +<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ ⎜ 9 ⎝<br />

⎜<br />

9⎠<br />

⎟ ...<br />

⎝<br />

⎜<br />

9⎠<br />

⎟<br />

⎝ ⎝<br />

A n → 3,6<br />

2 n−1<br />

3 då n → ∞<br />

⎞ ⎞<br />

⎟ ⎟<br />

⎠ ⎠<br />

4311 a) 57 pg<br />

b) Efter 13 h.<br />

4312 Efter 4,5 h.<br />

9 perioder om 30 min.<br />

4313 a) 10 000 ENTER<br />

Ans × 1,08 + 400 ENTER<br />

ENTER<br />

o s v<br />

b) 17 040 kr<br />

c) Efter 17 år (50 500 kr).<br />

4314 2 380 (2 381)<br />

4315 48,4 %<br />

4316 a) 29 011 kr<br />

b) Efter 6 år.<br />

4317 401 046 kr<br />

4318 a) 0,4 ENTER<br />

Ans × 0,1<br />

ENTER<br />

ENTER<br />

o s v<br />

b) 100 ENTER<br />

Ans × 0,4<br />

ENTER<br />

ENTER<br />

o s v<br />

4319 a) 3 19 = 162 261 467<br />

b) 0,423 %<br />

Problem för alla 4<br />

1 21, 42 och 84<br />

2 905<br />

3 20 s<br />

Tågets längd a m.<br />

a + 300<br />

30<br />

600<br />

30 s = 20 s<br />

4 Minst 20 termer<br />

= 30 ger a = 600.<br />

5 25 %<br />

Om den första höjningen är x %<br />

och den gamla lönen a kr så gäller<br />

x<br />

a · (1 +<br />

100 )(1 + 2x ) =<br />

100<br />

= a ⋅ 15 8<br />

x = 25<br />

6 2 / 3<br />

7 a = 1<br />

f ′ (2) = 0 ger a 1 = 1 och<br />

a 2 = 4.<br />

a = 1 ger f min<br />

a = 4 ger f max<br />

a<br />

8<br />

b = 1<br />

2<br />

π( 2r)<br />

Om OA = 2r så är =<br />

4<br />

π r 2 – a + b som ger a = b<br />

9 a) f (x) = x 1/3 , a = 8<br />

1<br />

b) f ′ (8) =<br />

12<br />

10 59 048<br />

Hemuppgifter 4<br />

1 a) 5, 3, 1<br />

b) 0, 2, 6<br />

2 a) a n = 2 + 3n<br />

b) a n =<br />

1<br />

1 + n<br />

3 a n = n(n + 1)<br />

a n = a n – 1 + 2n, a 0 = 0<br />

4 197 (197,031 25)<br />

2<br />

5 0,2 + 0,6 + 1,8 + 5,4 + 16,2 +<br />

+ 48,6<br />

0,2 + 0,2 · 3 + 0,2 · 3 2 + 0,2 · 3 3 +<br />

+ 0,2 · 3 4 + 0,2 · 3 5<br />

6 a) 252 b) 99<br />

7 x ≈ 10 021,82<br />

12<br />

x( 1−<br />

0, 6 )<br />

= 25 000<br />

04 ,<br />

8 a) 64 393 kr<br />

b) 76 790 kr<br />

9 2 883 kr (2 883,40 kr)<br />

10 a) 250 mg (249,92)<br />

b) 250 mg (250 · (1 – 0,2 50 ))<br />

252 svar och lösningar


11<br />

C D E<br />

2 3 000 3 000 90<br />

3 4 000 7 090 283,6<br />

4 5 000 12 373,6<br />

12 373,60<br />

12 1 200 000 ENTER<br />

Ans × 1,07 – 75 000 ENTER<br />

ENTER<br />

o s v<br />

1 264 380 kr (1 264 379,62 kr)<br />

Blandade övningar 4A<br />

1 a) y ′ = 3x 2 + 5 b) y ′ (3) = 32<br />

a<br />

2<br />

3<br />

3 a) x 1 = 0, x 2 = –3, x 3 = 3<br />

b) x = 100<br />

4 a) g ′ (x) = x 2<br />

b) g ′ (x) = 6 e 3x<br />

5 a) För x = 1 och för x = 3.<br />

b) För 1 < x < 3.<br />

6 162<br />

7 a) Efter 3 år är värdet 110 000 kr.<br />

b) Efter 3 år är värdeminskningen<br />

15 000 kr/år.<br />

8 f ′ (2) = 3<br />

9 y ′ (20) = –1,25<br />

Tangentens k-värde<br />

55 − 80<br />

= –1,25<br />

20 − 0<br />

10 a) x = 2,5<br />

b) x 1 = 1, x 2 = 4<br />

Multiplicera alla termer med<br />

x(x – 2). Ekvationen kan skrivas<br />

x 2 – 5x + 4 = 0.<br />

11 I punkten (3, 1).<br />

12 1 1 1 1<br />

2 2 4 5<br />

3 3 9 14<br />

Summan 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14<br />

C3 = (A1) 2 + (A2) 2 + (A3) 2 =<br />

= 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14<br />

13<br />

y = f(x)<br />

3<br />

y<br />

f ′ har för<br />

x = –3 teckenväxlingen – 0 +<br />

x = 3 teckenväxlingen + 0 –<br />

14 f ′ (x) = 2x<br />

15<br />

x<br />

y = 1 000<br />

16 (2, –9)<br />

17 a) 4 000 + 4 000 · 1,03 +<br />

+ 4 000 · 1,03 2 +<br />

+ 4 000 · 1,03 3 + 4 000 · 1,03 4<br />

b) T ex: ”Joachim sparar pengar<br />

genom att vid slutet av varje år<br />

sätta in 4 000 kr på ett bankkonto.<br />

Räntan är 3,00 %. Hur<br />

stor är behållningen på kontot<br />

omedelbart efter den femte<br />

insättningen?”<br />

18 Ökning med 35 000 per år<br />

(34 621).<br />

19 33,8 % (33,84...)<br />

20 Minimivärdet är 3.<br />

21 a) 20 °C<br />

y (0) = 200 – 180 = 20<br />

b) 200 °C<br />

c) 62 °C<br />

22 a) a = 1;<br />

ändringskvoten ≈ 5,436 745<br />

b) Beräkna t ex<br />

f(, 1 0001) − f( 0, 9999)<br />

≈<br />

0,<br />

0002<br />

≈ 5,436 564<br />

(Det exakta värdet är 2e.)<br />

23 a = 2, b = –3, c = 1<br />

y (0) = 1 ger c = 1. De övriga<br />

villkoren ger ekvationssystemet<br />

⎧ a + b = –1<br />

⎨<br />

⎩ 2a + b = 1<br />

3<br />

x<br />

24 a) f ′ (x) = 8x<br />

b) Ekvationen 4x 2 + 3 = 8x har<br />

lösningen x 1 = 0,5, x 2 = 1,5.<br />

c) Ekvationen ax 2 + b = 2ax har<br />

två olika lösningar då b < a.<br />

25 a) 108 cm 2 (För x = 12.)<br />

b) Om topptriangelns bas är z cm<br />

så ger likformighet<br />

z 24 − x<br />

=<br />

18 24<br />

z = 18 – 0,75x<br />

y = x · z = 18x – 0,75x 2<br />

c) Ja,det är sant.<br />

2<br />

y = bx – bx och y ′ = 0<br />

h<br />

då x = 0,5h.<br />

Rektangelns maximala area<br />

är 0,25bh, vilket är hälften av<br />

triangelns area, 0,5bh.<br />

26 a) 1 1 1<br />

2 dm2 ;<br />

4 dm2 ; dm 2<br />

2 n − 1<br />

b) Då n = 5 är den totala arean<br />

1,9375 dm 2 .<br />

Då n = 10 är den totala arean<br />

1,9980 dm 2 .<br />

Den totala arean har gränsvärdet<br />

2 dm 2 då n växer<br />

obegränsat.<br />

c) Den 1:a kvadratens omkrets<br />

är 4 dm.<br />

Den 2:a kvadratens omkrets<br />

är 2 2 dm.<br />

Den 3:e kvadratens omkrets<br />

är 2 dm.<br />

Den n:e kvadratens omkrets är<br />

4<br />

dm.<br />

2<br />

n<br />

( ) − 1<br />

Kvadraternas totala omkrets<br />

1<br />

4 1− ⎛ n<br />

⎛<br />

⎝ ⎜<br />

⎞ ⎞<br />

⎜<br />

2 ⎠<br />

⎟ ⎟<br />

⎝ ⎠<br />

ges av s n =<br />

dm<br />

1<br />

1 −<br />

2<br />

som närmar sig<br />

4 2<br />

dm ≈ 13,65 dm<br />

2 − 1<br />

då n växer obegränsat.<br />

svar och lösningar 253


Blandade övningar 4B<br />

1 a) y ′ = 5 c) y ′ = –20 e – 4x<br />

b) y ′ = 3x 2 + 1 3<br />

2 2 + h<br />

3 a) x 1 = 0, x 2 = – 4, x 3 = 4<br />

b) x = 0,5<br />

4 a) x = lg 3<br />

1<br />

5<br />

b) x = ( 25)<br />

c) x = lg 12<br />

lg 6 eller x = ln 12<br />

ln 6<br />

5 T ex<br />

6 k = 2<br />

2<br />

x − 1<br />

7 a) f (0) = 1 c) (0, 1)<br />

b) f ′ (1) = 3 d) 0 < x < 2<br />

8 a) E f ′ ( x ) < 0 för alla x<br />

b) A, B och C<br />

f ′ ( x ) har endast ett nollställe<br />

c) C och D Det finns ett x där<br />

f ′ ( x ) har teckenväxlingen<br />

– 0 +<br />

d) B och F<br />

e) A, D och F<br />

9 a) 4ah b) 11 + h<br />

10 y ′ (2) = –2,5<br />

11 (0,5; 0,5e)<br />

12<br />

1<br />

y<br />

2 A<br />

B<br />

1<br />

2<br />

I punkten A (0, 2) är lutningen 1.<br />

I punkten B är lutningen 0.<br />

13 2a – 4a 2<br />

14 x = 100<br />

15 Lutningen är 0,75.<br />

16 y = 2x – 2, y = –2x – 2<br />

17 f ′ (3) = –9<br />

18 1 219 587<br />

x<br />

1<br />

5<br />

13<br />

19 a) x =<br />

⎛ ⎞<br />

⎝<br />

⎜<br />

7 ⎠<br />

⎟ ≈ 1,132<br />

ln<br />

⎛ 13⎞<br />

⎝<br />

⎜<br />

7 ⎠<br />

⎟<br />

b) x = ≈ 0,385 eller<br />

ln 5<br />

lg<br />

⎛ 13⎞<br />

⎝<br />

⎜<br />

7 ⎠<br />

⎟<br />

x = ≈ 0,385<br />

lg 5<br />

20 849 280 kr<br />

Låt x kr vara det belopp som<br />

växer till 600 000 kr på 4 år om<br />

räntesatsen är 7,5 %.<br />

x · 1,075 4 = 600 000<br />

BYGG AB borde betala<br />

(x + 400 000) kr.<br />

21 2,0 %<br />

22 a) Värdet minskar med 15 %<br />

per år.<br />

b) Efter 5 år är värdet 111 000 kr.<br />

(110 926)<br />

c) f ′ (5) = –18 000 (–18 028)<br />

d) nDerive(250 000 * 0,85 ^ X ,<br />

X , 5) ≈ –18 028 eller<br />

d/dx(250 000 * 0,85 x , 5) ≈<br />

≈ –18 028<br />

e) När maskinen är 5 år gammal<br />

så minskar värdet med<br />

18 000 kr/år.<br />

23<br />

110 000<br />

50 200<br />

170 000<br />

Maxpunkt: (20, 101 000),<br />

minpunkt: (100, –155 000).<br />

24 212 MBq<br />

Modellen y = C · a x ger<br />

⎧ C · a 3 = 150<br />

⎨<br />

⎩ C · a 5 = 119<br />

5<br />

C⋅<br />

a 119<br />

Ledvis division ger = .<br />

3<br />

C⋅<br />

a 150<br />

Beräkna först a och sedan C.<br />

25 2,9 mg<br />

26 Beräkna t ex ett närmevärde<br />

till derivatan med en central<br />

differenskvot för några x > 0.<br />

x<br />

1<br />

x<br />

1 1 ≈ 1<br />

4 0,25 ≈ 0,25<br />

10 0,1 ≈ 0,10<br />

Regeln verkar OK!<br />

27 a) (0, 8)<br />

f ( x +0001 , ) −f ( x −0, 001)<br />

0,<br />

002<br />

b) Funktionen kan skrivas<br />

y = a – bx 2 , där b > 0.<br />

Derivatan y ′ = –2bx. Derivatans<br />

graf är en rät linje, med<br />

negativ lutning (k = –2b).<br />

Derivatans värde är noll då<br />

x = 0. Linjen går alltså genom<br />

origo.<br />

28 a) 230 cm 2<br />

h = 2,3 cm<br />

b) 188 cm 2<br />

x ≈ 4,331 cm<br />

c) 8 cm × 8 cm × 4 cm<br />

d) A = 192 cm 2 ger x = 8 cm<br />

och h = 4 cm.<br />

A = 363 cm 2 ger x = 11 cm<br />

och h = 5,5 cm.<br />

x<br />

h =<br />

2<br />

Totala arean A = 4xh + x 2 .<br />

Lös ut h och skriv volymen<br />

V = x 2 · h.<br />

Ekvationen V ′ (x) = 0 har<br />

A<br />

lösningen x = . Sätt in<br />

3<br />

detta x-värde i formeln för h.<br />

29 a) 8<br />

b) 83 cm (83,22...)<br />

c) Om antalet klossar är n och<br />

den första klossens höjd är a 1<br />

så blir stapelns höjd<br />

a 1 · 5(1 – 0,8 n ).<br />

10 klossar ger höjden 4,46a 1<br />

20 klossar ger höjden 4,94a 1<br />

30 klossar ger höjden 4,99a 1<br />

Stapelns höjd kommer att<br />

närma sig 5a 1 då n växer<br />

obegränsat (n → ∞).<br />

254 svar och lösningar


KÄLLFÖRTECKNING till bilderna<br />

Siffrorna anger sida och bildens placering på sidan.<br />

Foton:<br />

Bonde Irene 58<br />

Folio Bildbyrå, Stockholm<br />

Cederling Peter 196<br />

Halvarsson Katja 180<br />

Hertzell Daniel 172<br />

Heikne Hans 53, 72, 101, 112, 122, 169,<br />

181,190, 213, 216<br />

IBL Bildbyrå AB, Stockholm<br />

Albert Lamber Photography/SPL 192<br />

Andersson Thomas 128<br />

Brissaud Eric 10<br />

Carlsson Lars 120<br />

Dallet J.D./AGE 210<br />

First Light 6<br />

Hart Davis Adam/Science Photo Library 204<br />

Image State 68<br />

Kinsman Edward/AGE 70<br />

Lambert Andrew/Science Photo Library 205<br />

Popperfoto 115:2<br />

Science Photo Library 115:1<br />

Science Photo Library/Protection Agency 129<br />

Science Source 98<br />

INA Agency AB, Stockholm<br />

Bildagentur Huber/Graefenhain 174<br />

Institut Mittag Leffler 158:2<br />

Johnér Bildbyrå AB, Stockholm<br />

Berggren Hans 97<br />

Bjurling Hans 131<br />

Halling Sven/Naturbild 80<br />

Koller Lena 81<br />

Niemi Tero/Naturbild 60<br />

Rietz Magnus 38<br />

Workbook Stock 90<br />

Ödmann Johan 28<br />

Link Bildbyrå, Stockholm<br />

Ehrs Bruno 200<br />

Hjälmrud Berno 46<br />

Johansson Gerry 209<br />

Smoliansky Gunnar 12:2<br />

Ulin Pia 17<br />

Nordic Photos Bildbyrå, Stockholm<br />

Leijon Mikael 164<br />

Lundgren Ewa 89:1<br />

Lundström Gunilla/MIRA 24<br />

Norenlind Nils-Johan/Tiofoto 91<br />

Peters Heinrich 74<br />

Photononstop/Nordic Photos 126<br />

Tukler, Anders/Greatshots 195<br />

Wiklander Björn 137<br />

Pressens Bild AB/Stockholm 158<br />

Scanpix Bildbyrå AB, Stockholm<br />

Audrey David/Corbis 212<br />

Carlgren Thomas 175<br />

Carlsson Jan E 199<br />

Dahlström Jan Håkan/Bildhuset 199<br />

Ehrs Bruno 89:2<br />

Ekströmer Jonas 203<br />

Fuste Raga José/AGE 177<br />

Gillberg Dick 127<br />

Gustafsson Jeppe 133<br />

Henriksson Janerik 42<br />

Jensen Michael 81<br />

Lane Justin/EPA 11<br />

Latz Michael 12:1<br />

Mikrut Jack 189<br />

Neilsen Kim/AP Photo 148<br />

Ochsenreiter Augustin/AP 69<br />

Poppe Cornelius 59<br />

Vandystadt Philippe Blondel 84<br />

Westerlund Åsa 201<br />

Wiklund Anders 111<br />

Statens Konstmuseer,<br />

Stockholm/Svenska Porträttarkivet<br />

M. Hallman efter G Lundberg: ”Samuel<br />

Klingenstjärna”(1773) 158:1<br />

Teckningar:<br />

Johan Hesselstrand<br />

Matematiska illustrationer:<br />

Mats Karlsson<br />

Björn Magnusson<br />

256 källförteckning till bilderna

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!