3. Stokastiska variabler

15
3. Stokastiska variabler
Ett slumpmässigt försök ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöket.
Talet är inte känt före försöket utan bestäms av vilket utfall som kommer att uppstå, alltså
av slumpen. Man kallar talet en stokastisk variabel eller slumpvariabel, förkortat s.v.
Man talar om en flerdimensionell s.v. om det slumpmässiga försöket ger flera tal.
Stokastiska variabler betecknas med X, Y , Z, osv.
Definition 3.1. En stokastisk variabel (s.v.) X är en reellvärd funktion definierad
på ett utfallsrum Ω, dvs
X : Ω ↦→ R
Definition 3.2. Om den s.v. X antar ett ändligt eller uppräkneligt oändligt antal
olika värden k = x 1 ,x 2 ,x 3 ... säger vi att X är diskret annars säger vi att X är
kontinuerlig.
Exempel 3.3. a) Låter vi X vara antal ögon som kommer upp vid ett kast av en tärning,
så antar X värdena k = 1,2,... ,6. Den s.v. X är alltså diskret.
b) Om X är livslängden hos en komponent, så antar X alla värden i intervallet [0, ∞[, dvs
X är en kontinuerlig s.v.
Exempel 3.4. Tillbaka till Exempel 2.44. Bland 12 enheter finns 5 av en viss sort (t.ex.
vita, defekta, dyrbara osv.) och 7 av en annan sort. Bestäm sannolikheten för antal defekta
om man tar på måfå och utan återläggning n = 4 enheter.
Lösning:

16 3 STOKASTISKA VARIABLER
3.1. Diskreta s.v.
Definition 3.5. Antag att X är en diskret s.v. som antar värdena k = x 1 ,x 2 ,x 3 ....
1. Funktionen
p X (k) = P(X = k), k = x 1 ,x 2 ,x 3 ... ,
kallas sannolikhetsfunktionen för den s.v. X och uppfyller
(a) p X (k) ≥ 0 för all k
(b) ∑ p X (k) = 1.
k
2. P(X ∈ A) = ∑ k∈Ap X (k).
3. Funktionen
F X (k) = P(X ≤ k)
kallas fördelningsfunktionen för X. Den har egenskaperna
{ 0, x → −∞
(a) F X (x) →
1, x → ∞
(b) F X (x) är en icke-avtagande funktion av x
(c) F X (x) är kontinuerlig till höger för varje x
4. Vi får att
(a) sannolikheten för högst k av en sort ges av
F X (k) = ∑ j≤k
p X (j)
(b) sannolikheten för minst k av en sort ges av
1 − F X (k) = ∑ j≥k
p X (j)
(c) sannolikheten för exakt k av en sort ges av
F X (k) − F X (k − 1) = p X (k).

3.1 Diskreta s.v. 17
Exemplet nedan beskriver en av de viktigaste diskreta fördelningarna: Binomialfördelningen.
Exempel 3.6. Tillbaka till Exempel 2.24. En viss frösort har 80% grobarhet. Om man
planterar 10 st. av dessa frö, hur stor är sannolikheten att
1. exakt k st. gror, där k = 0,1,2,... ,10.
2. högst 1 gror
3. minst 2 gror
Lösning:

18 3 STOKASTISKA VARIABLER
3.2. Diskreta fördelningar
Låt 0 < p < 1. Den s.v. X har
1. Tvåpunktsfördelning om
p X (a) = p, p X (b) = 1 − p.
2. Likformig fördelning om
p X (k) = 1 m ,
k = 1,2,... ,m.
3. För-första-gången-fördelning, X ∈ ffg(p) om
p X (k) = (1 − p) k−1 p, k = 1,2,... .
4. Geometrisk fördelning, X ∈ Geo(p) om
p X (k) = (1 − p) k p, k = 0,1,2,... .
5. Binomialfördelning, X ∈ Bin(n,p) om
( ) n
p X (k) = p k (1 − p) n−k ,
k
k = 0,1,2,... ,n.
6. Hypergeometrisk fördelning, X ∈ Hyp(N,n,p) om
( ) ( )
Np N(1 − p)
k n − k
p X (k) = ( ) , k = 0,1,2,... ,Np.
N
n
7. Poisson-fördelning, X ∈ P(µ) om
p X (k) = µk
k! e−µ , k = 0,1,2,... , µ > 0.

3.3 Kontinuerliga s.v. 19
3.3. Kontinuerliga s.v.
En kontinuerlig s.v. X antar alla värden i ett intervall A = [a,b], så att
P(X ∈ A) = P(a ≤ X ≤ b).
Här finns ingen sannolikhetsfunktion utan vi gör följande definition.
Definition 3.7. X är en kontinuerlig s.v.:
1. Om det finns en funktion f X (x) sådan att
P(a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
f X (x)dx
för alla A = [a,b], säges X vara en kontinuerlig s.v.
2. Funktionen f X (x), kallas täthetsfunktionen för X och uppfyller
(a) f(x) ≥ 0 för alla x ∈ R
(b)
∫ ∞
−∞
f(x)dx = 1
3. f X (x) anger hur mycket sannolikhetsmassa per längdenhet som finns i punkten
x.
4. Funktionen F X (x) = P(X ≤ x), −∞ < x < ∞, kallas fördelningsfunktionen
för den s.v. X och uppfyller
F X (x) = P(X ≤ x) =
∫ x
−∞
f(x)dx.
5. För egenskaper hos fördelningsfunktionen F X (x), se Definition 3.5.
6. I varje punkt x där f X (x) är kontinuerlig gäller att
F ′ X (x) = f X(x).

20 3 STOKASTISKA VARIABLER
3.4. Kontinuerliga fördelningar
Den s.v. X har
1. Normalfördelning, X ∈ N(µ,σ) om
där µ och σ > 0 är givna tal.
f X (x) = 1
σ √ 2π e−(x−µ)2 /2σ 2 , −∞ < x < ∞,
2. Likformig fördelning, X ∈ U(a,b) om
⎧
1 ⎪⎨
f X (x) = b − a a < x < b,
⎪⎩
0 annars
Andra beteckningar
Rektangulär fördelning, X ∈ R(a,b).
3. Exponentialfördelning, X ∈ Exp(µ), µ > 0, om
⎧
1 ⎪⎨
f X (x) = µ e−x/µ x > 0,
⎪⎩
0 x ≤ 0
Observera att i Blomsbok så är X ∈ Exp(λ), där λ = 1 µ .

3.4 Kontinuerliga fördelningar 21
Exempel 3.8. Låt X vara livslängden i timmar hos en komponent och låt
där c > 0.
f X (x) =
{ ce
−0.01x
x > 0,
0 x ≤ 0
1. Bestäm konstanten c så att f X (x) blir en täthetsfunktion för X.
2. Bestäm också sannolikheten att en sådan komponent har en livslängd som överstiger
200 timmar.
3. Vad är sannoliketen att av 5 sådana komponenter exakt två har en livslängd som
överstiger 200 timmar. Antag att oberoende föreligger.
4. Antag att 2 sådana komponenter sammankopplas till ett system. Vad är sannolikheten
att systemets livslängd överstiger 200 timmar om komponenterna seriekopplas
Komponenterna parallellkopplas
Lösning:

22 3 STOKASTISKA VARIABLER
3.5. Funktioner av stokastiska variabler
I exemplet nedan ska vi titta på hur vi kan bestämma fördelningen för en funktion Y = g(X)
av s.v. X.
Exempel 3.9. Antag att X ∈ U(−1,2) och låt Y = X 2 . Bestäm täthetsfunktionen f Y (y).
Lösning: Eftersom den s.v. Y antar endast icke-negativa värden y ≥ 0, så är
Anta nu att y ≥ 0. Då gäller
Derivering m.a.p y ger:
F Y (y) = P(Y ≤ y) = 0 för y ≤ 0.
F Y (y) = P(Y ≤ y) = P(X 2 ≤ y) = P(− √ y ≤ X ≤ √ y)
= P(X ≤ √ y) − P(X ≤ − √ y) = F X ( √ y) − F X (− √ y).
⎧
⎨
f Y (y) =
⎩
1
2 √ (
fX ( √ y) + f X (− √ y) ) , y > 0
y
0 y ≤ 0.
Eftersom X har täthetsfunktionen f X (x) = 1/3, −1 < x < 2, så är
En kontroll visar att
∫ ∞
−∞
⎧
⎪⎨
f Y (y) =
⎪⎩
f Y (y)dy = 1.
1
3 √ y , 0 < y < 1
1
6 √ y , 1 ≤ y ≤ 4
0, annars.

3.6 Binomialfördelningen 23
3.6. Binomialfördelningen
Binomialfördelningen som är en av de viktigaste diskreta fördelningarna uppträder vid
oberoende slumpmässiga försök. Antag att man utför n oberoende försök där en händelse
A inträffar med sannolikheten P(A) = p och alltså är P(A ∗ ) = 1 −p. Låt oss betrakta fallet
då A inträffar k gånger. En av många tänkbara följder är att dessa inträffar enligt
En annan följd är
A 1 ,A 2 ,A 3 ,... ,A
} {{ k ,A ∗ }
k+1 ,A∗ k+2 ,...,A∗ n .
} {{ }
k st.
n−k st.
A ∗ 1,A ∗ 2,A ∗ 3,... ,A ∗ n−k−1,A n−k ,A n−k+1 ,... ,A n .
} {{ } } {{ }
n−k st.
k st.
( ) n
Totalt vet vi att det finns olika kominationer av dessa var och en med sannolikheten
k
(1 − p) n−k p k .
Om vi låter den s.v. X vara antal gånger som händelsen A inträffar, så antar X värden
k = 0,1,2,... ,n. Vidare ges sannolikheten för att A inträffar k gånger, dvs X = k, av
( ) n
P(X = k) = (1 − p) n−k p k , k = 0,1,2,... ,n.
k
Att detta är en sannolikhetsfunktion följer av att
( ) n
(1 − p) n−k p k ≥ 0, k = 0,1,2,... ,n
k
samt binomialsatsen Sats 2.41 att
1 = (p + (1 − p)) n =
n∑
( n
k
k=0
)
p k · (1 − p) n−k .
Vi säger då att X är binomialfördelad, X ∈ Bin(n,p).

24 3 STOKASTISKA VARIABLER
3.7. Poissonfördelningen
Antag att händelser inträffar slumpmässigt och oberoende av varandra i tiden. Låt N(t)
vara antal händelser som inträffar under tidsintervallet (0,t). Vi delar upp intervallet (0,t)
i n lika delintervall av längd t . Vi tänker oss nu att n är så stort att sannolikheten för
n
2 händelse eller fler ska inträffa i ett delinterval är 0. Då är antalet händelser N(t) i hela
intervallet lika med antalet delintervall som det inträffar en händelse i. Om vi låter p vara
sannolikheten för att en händelse inträffar i ett delintervall så är N(t) ∈ Bin(n,p) med
väntevärdet E(N(t)) = np. (Vi definierar begreppet väntevärde i Kapitel 5.)
Vi antar vidare att dessa händelser inträffar med en konstant intensitet λ per tidsenhet,
dvs antal förväntade händelser under tiden (0,t) är µ = λt. Vi får därmed att
np = λt dvs p = µ n .
Låt oss nu titta närmare på fördelningen för N(t) för stora n som vi har antagit ovan.
Eftersom N(t) ∈ Bin(n,p), där p = µ , så gäller att
n
P(N(t) = k) =
=
( n
k
)
p k (1 − p) (n−k) =
n(n − 1) · · · (n − k + 1) µ k (1 − µ/n) n
n k k! (1 − µ/n) k .
n! µ
) k (
1 −
(n − k)! · k!( µ ) n−k
n n
Vi undersöker nu vad som händer med sannolikheten P(N(t) = k) för stora värden på n.
Eftersom
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
n k → 1, n → ∞,
och
enligt standardgränsvärde så gäller att
Dessutom gäller att
och
∞∑
k=0
(1 − µ/n) k → 1, n → ∞,
(1 − µ/n) n → e −µ , n → ∞
P(N(t) = k) → µk
k! e−µ n → ∞.
µ k
k! e−µ ≥ 0
µ k ∑
∞
k! e−µ = e −µ
k=0
µ k
k! = e−µ e µ = 1.
Vi säger att den s.v. X har poissionfördelning med parametern µ, X ∈ Po(µ), om
P(X = k) = µk
k! e−µ , k = 0,1,2,3,... .

3.8 Exponentialfördelningen 25
3.8. Exponentialfördelningen
Låt som tidigare N(t) vara antal händelser som inträffar under tiden (0,t) med den konstanta
intensitetn λ. Då är
P(N(t) = k) = (λt)k e −λt .
k!
Låter vi nu X 1 vara tiden fram till första händelsen inträffar, så gäller att
Fördelningsfunktionen för X 1 är då
P(X 1 > t) = P(N(t) = 0) = e −λt ,
F X1 (t) = P(X 1 ≤ t) = 1 − e −λt , t ≥ 0.
Funktionen
f X1 (t) = d dt F X 1
(t) = λe −λt , t ≥ 0,
är en täthetsfunktion för X 1 , ty
och
∫ ∞
0
f X1 (t) ≥ 0
f X1 (t)dt = 1.
Låter vi nu X 2 vara tiden mellan 1:a och 2:a händelsen, så får vi på samma sätt som ovan
att X 2 har samma fördelningsfunktion som X 1 . Fortsätter vi på detta sätt får vi en följd
av s.v. {X 1 ,X 2 ,X 3 ,...,} med samma fördelningsfunktion, där X 3 som är tiden mellan 2:a
och 3:a händelsen osv.
Vi säger att X har en exponentialfördelning med parameter λ > 0, X ∈ Exp(λ), om
f X (x) =
{ λe
−λx
x > 0,
0 x ≤ 0
Observera att i formelsamlingen så är X ∈ Exp(µ), där µ = 1 λ .
En viktig egenskap hos exponentialfördelningen är vad som kallas för minneslöshet. T.ex.,
kan X vara livslängden hos en komponent. Om vi ska beräkna sannolikheten för att komponenten
ska fungera ytterliggare x tidsenheter givet att den har fungerat i t tidsenheter
får vi
P(X > x + t|X > t) =
P(X > x + t, X > x)
P(X > t)
= e−λ(x+t)
e −λt
= e −λx = P(X > x),
dvs P(X > x + t|X > t) är oberoende av t. Man skulle kunna säga att en komponent som
har fungerat i t tidsenheter skulle fungera lika bra som en ny. En komponent åldras inte!

26 3 STOKASTISKA VARIABLER
3.9. Geometriska fördelningen
Vi låter som tidigare p vara sannolikheten för att en händelse inträffar och X vara antalet
försök tills första händelsen inträffar. Då är
en sannolikhetsfunktion för X, ty
och
P(X = k) = (1 − p) k p, k = 0,1,2,...
p
(1 − p) k p ≥ 0
∞∑
(1 − p) k 1
= p
1 − (1 − p) = 1.
k=0
Vi säger då att X har en geometrisk fördelning, X ∈ Geo(p).
Geometriska fördelningen är nära besläktad med exponentialfördelningen. T.ex., så är
1. Geometriska fördelningen är minneslös, ty
P(X ≥ k + n|X ≥ n) =
=
P(X ≥ k + n, X ≥ n)
P(X ≥ n)
= p ∑ ∞
j=k+n
(1 − p)j
p ∑ ∞
(1 − p)j
j=n
(1 − p)n+k
(1 − p) n = (1 − p) k = P(X ≥ k).
Detta visar att P(X ≥ k + n|X ≥ n) inte beror på n.
2. Geometriska fördelnnigen kan för små p approximeras med exponentialfördelningen, ty
om n = λt
p så
F X (n) = P(X ≤ n) = P(X ≤ λt
λt
) = 1 −(1 −p) p
p
dvs X är exponentialfördelad för små p.
(
= 1 − (1 −p) 1/p) λt
→ 1 −e −λt , p → 0,
Anmärkning 3.10. Vi har ovan använt summan för geometriska serien. T.ex så är
∞∑
j=0
q j = 1
1 − q , |q| < 1
och
∞∑
j=n
q j = qn
, |q| < 1,
1 − q