Ladda ner utdrag ur Fördjupning år 8 - Sanoma Utbildning

Evighetskalender
Vilken veckodag var det när du föddes På vilken veckodag fyller
du 18 år Med den här ”evighetskalendern” kan du ta reda på det.
Gör så här när du ska ta reda på veckodagen:
Lägg ihop följande fyra tal:
• De två sista siffrorna i det år man ska ta reda på veckodagen.
1
• av dessa två siffror. Endast heltalsdelen ska tas med.
4
• Månadens tal, titta i Tabell 1
• Datum på den dag man ska ta reda på veckodagen.
För år under
1700-talet läggs 4 till de fyra talens summa
1800-talet läggs 2 till de fyra talens summa
2000-talet läggs 6 till de fyra talens summa
2100-talet läggs 4 till de fyra talens summa
Ta reda på vilken veckodag som
19 a) nyårsdagen var år 2000
b) julafton kommer att vara på år 2010
c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969
20 a) ABBA vann Melodifestivalen med ”Waterloo” i Brighton
den 6 april 1974
b) Carolina Klüft tog olympiskt guld i sjukamp i Aten
21 augusti 2004
c) Berlinmuren öppnades den 9 november 1989
21 a) du föddes
b) du ska fylla 18 år
c) dina familjemedlemmar föddes
Dividera denna summa med 7. Den rest du får anger i Tabell 2 den veckodag du söker.
Exempel:
Vilken veckodag var 7 november 1991
Eftersom det är
Följande fyra tal läggs ihop:
1900-talet är det ingen
• 91
tilläggssiffra.
91
• 22 ( = 22,75. Heltalsdelen är 22)
4
• 4
• 7
Summa: 124
124 dividerat med 7 ger resten 5. I Tabell 2 ser du att 5 är en torsdag.
7 november 1991 var alltså en torsdag.
Tabell 1
Januari 1*
Februari 4*
Mars 4
April 0
Maj 2
Juni 5
Juli 0
Augusti 3
September 6
Oktober 1
November 4
December 6
Tabell 2
Söndag 1
Måndag 2
Tisdag 3
Onsdag 4
Torsdag 5
Fredag 6
Lördag 0
* Vid skottår används 0 för januari och 3 för februari
Skottår är de år som har en
dag extra, den så kallade
skottdagen. Skottår infaller
vart fjärde år räknat fr.o.m. år 4
e.Kr. (d.v.s. alla årtal som är
jämnt delbara med 4). Undantag
sker för årtal jämnt delbara
med 100. Dock är årtal jämnt
delbara med 400 skottår. Alltså
var åren 1896 och 1904 skottår
men inte år 1900. År 2000 var
skottår eftersom det är jämnt
delbart med 400.
10
Mer om tal
Mer om tal
11

Det binära talsystemet
Vårt talsystem har tio som bas. Med siffrorna 0–9 kan vi skriva alla
tal med basen 10.
Exempel
5 324 = 5 · 1 000 + 3 · 100 + 2 · 10 + 4 · 1
5 32 = 5 · 10 3 + 3 · 10 2 + 2 · 10 1 + 4 · 10 0
Det binära talsystemet har två som bas. Med siffrorna 0 och 1 kan
vi skriva alla tal med basen 2.
11 i binär form skrivs 11 två
11 två = 1 · 2 1 + 1 · 2 0 = 2 + 1 = 3 i tiosystemet = 3 tio
1010 två = 1 · 2 3 + 0 · 2 2 + 1 · 2 1 + 0 · 2 0 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 tio
22 Talen är skrivna i det binära talsystemet.
Skriv talen i tiosystemet, alltså på det sätt
som vi är vana vid.
a) 10 två b) 100 två c) 1111 två d) 10010 två
23 Talen är skrivna i tiosystemet.
Skriv talen i det binära systemet.
a) 5 b) 9 c) 20 d) 35
Magiska kort
Exempel
Man kan läsa om gamla
kulturer som räknade med
basen två. Det finns minoritetsgrupper
i Australien
som fortfarande räknar
”ett, två, två och ett, två
tvåor, två tvåor och ett ….”
Numera används det binära
talsystemet främst i datorer.
En av siffrorna betyder
”ström på” och den
andra siffran ”ström av”.
Be en person att tänka på ett tal mellan 1 och 100. Visa korten på
nästa sida ett i taget och fråga om talet finns på korten. Lägg efter
hand ihop de tal som är det första talet på varje kort som personen
har svarat ja på.
Summan av talen är det tal som personen har tänkt på!
Personen tänker på talet 37. Talet 37 finns på de kort som har
talen 1, 4 och 32 som första tal:
Addera talen och du får talet 37.
24 Var en matematiktrollkarl och be en kamrat att tänka på ett tal och
fråga sedan på vilka kort talet finns. Berätta sedan för kamraten
vilket tal hon eller han tänkte på. Pröva gärna flera gånger för att
visa att du är en duktig ”trollkarl”.
25 Varför fungerar trolleriet Undersök vilken sorts tal som står först
på alla kort. Förklara varför metoden fungerar.
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47
49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71
73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99
2 3 6 7 10 11 14 15 18 19 22 23
26 27 30 31 34 35 38 39 42 43 46 47
50 51 54 55 58 59 62 63 66 67 70 71
74 75 78 79 82 83 86 87 90 91 94 95 98 99
4 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23
28 29 30 31 36 37 38 39 44 45 46 47
52 53 54 55 60 61 62 63 68 69 70 71
76 77 78 79 84 85 86 87 92 93 94 95
100
8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27
28 29 30 31 40 41 42 43 44 45 46 47
56 57 58 59 60 61 62 63 72 73 74 75
76 77 78 79 88 89 90 91 92 93 94 95
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63 80 81 82 83
84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95
32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63 96 97 98 99
100
64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87
88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100
12
Mer om tal
Mer om tal
13

Geometriska satser
Nu ska du praktiskt undersöka de geometriska satserna
genom att rita cirklar och mäta vinklar.
Här följer några satser som handlar om vinklar i cirklar. Då är det bra att
känna till två begrepp, medelpunktsvinkel och randvinkel.
Cirkelbågen b har ändpunkterna A och B på cirkeln.
Dra radier från A och B till cirkelns medelpunkt.
Då bildas medelpunktsvinkeln m.
Dra sträckor från en punkt C på cirkeln till A och B.
Då bildas randvinkeln (periferivinkeln) p.
Man säger att m och p står på bågen b.
Randvinkelsatsen
Medelpunktsvinkeln är dubbelt så stor som
randvinkeln på samma båge.
m = 2 · p
A
b
C
p
m
p
m
B
1
2
18 Rita en cirkel med radien 5 cm och dra två radier så att en
medelpunktsvinkel 120° bildas. Konstruera en randvinkel
på samma båge. Se bild 2 i rutan. Mät randvinkeln.
Hur stor är den
19 Rita en cirkel med radien 5 cm och rita tre randvinklar
på samma båge, (bild 3 i rutan). Mät randvinklarna.
Hur stora är de
20 Rita en cirkel med radien 5 cm och rita tre randvinklar
på samma halvcirkelbåge, (bild 4 i rutan). Mät randvinklarna.
Hur stora är de
21 Rita en cirkel med radien 5 cm. Rita en fyrhörning som är
inskriven i cirkeln, (bild 5 i rutan). Mät fyrhörningens vinklar
och jämför de vinklar som står mitt emot varandra.
Vad finner du
Följdsats 1 till randvinkelsatsen
Alla randvinklar på samma båge är lika
stora.
a = b = c
a
b
c
3
Exempel
a) Räkna ut vinkeln x.
Vinkeln x är medelpunktsvinkel
på samma båge som randvinkeln ADB.
D
65°
y
C
4
x = 2 · 65° = 130°
Vinkeln x = 130°
A
x
B
Följdsats 2 till randvinkelsatsen
Randvinkeln på en halvcirkelbåge är 90°.
b) Räkna ut vinkeln y.
Vinkeln y är randvinkel på samma båge som randvinkeln ADB.
Vinkeln y = 65°
x
Följdsats 3 till randvinkelsatsen
I en fyrhörning som är inskriven i en cirkel
är motstående vinklar tillsammans 180°.
a + b = 180°
a
b
5
22 Räkna ut vinkeln x.
M är cirkelns medelpunkt.
80°
23 Räkna ut vinklarna a och b.
M är cirkelns medelpunkt.
a
b
140°
28
Geometri
Geometri
29

Area med algebra
Olikfärgade keramikplattorna har använts
för att göra vackra golvmönster i Westminster
Abbey, Londons mest berömda kyrka.
Mönstret har formen av en rektangel med
sidorna 4x och 2x.
x x 2
x
38 Skriv ett uttryck för omkrets och area av figurerna.
a) b) 3x
c)
2x
3x 3x
3x
2x
2x
2x
x
x
33 Hur stor är arean av
a) de gröna plattorna
39 d) 3x
e) 2x
f)
x
x
3x
2x
x
x
x
b) de svarta plattorna
c) hela mönstret
2x
2x
x
34 Hur stor är arean av
a) de gröna plattorna
b) de svarta plattorna
c) hela mönstret
I alla tider har det varit populärt att med mosaik lägga mönster som ger intryck av
djup. Golvet på bilden finns i ett utgrävt hus på ön Delos i Grekland och är ungefär
2 300 år gammalt.
35 Längden av en platta i detta mönstret är y.
Skriv ett uttryck för arean av hela mönstret.
36 Hur stor area har de
a) gröna plattorna
b) vita plattorna
Teckningen till höger visar hur mönstret är uppbyggt av vita, bruna och svarta
geometriska former.
Figur A har sidorna 3x och 4x
A B
Arean av B är 3x · 4x – 2x · 3x = 12x 2 – 6x 2 = 6x 2
Arean av A är 3x · 4x = 12x 2
Omkretsen är 2 · 3x + 2 · 4x = 14x
Figur B får man genom att klippa bort en rektangel
4x
med sidorna 2x och 3x ur A.
37 Vilken omkrets har den svarta figuren B Jämför med A:s omkrets.
3x
40 Vilka geometriska former har de olika plattorna i den
högra figuren
41 En vit platta har arean a. Vilken area har då
a) en brun platta b) en svart platta
42 Hur stor är area har alla
a) de vita plattorna b) bruna plattorna c) svarta plattorna
40
Algebra och ekvationer
Algebra och ekvationer
41