5. Väntevärde och varians

32 5 VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS
5. Väntevärde och varians
Exempel 5.1. En grupp teknologer vid ITN sl˚ar sig ihop för att starta ett företag som
utvecklar datorspel. Man vet att det är 80% chans för ett felfritt spel som kan säljas för
fullt pris 595 kr. Dock finns det 15% chans att fel uppst˚ar som gör att spelet säljs till det
reducerade priset 440 kr. Dessutom finns det 5% chans att spelet pga fel kasseras till kostnad
p˚a 180 kr. För att kunna säga n˚agot om vinsten per spel resonerar gruppen som man gjorde
i kursen TNG006.
Lösning: Antag att man tillverkar N spel, där N1 av dem säljes för fullt pris, N2 säljes till
reducerat pris och N3 kasseras, s˚a att
Den totala vinsten är
Vinsten per spel blir
595N1 + 440N2 − 180N3
N
För ett stort antal tillverkade spel bör
N1
N
≈ 0.8,
D˚a blir vinsten per spel approximativt
N = N1 + N2 + N3.
595N1 + 440N2 − 180N3.
N2
N
= 595 N1
N
≈ 0.15,
+ 440N2
N
N3
N
≈ 0.05.
595 · 0.8 + 440 · 0.15 − 180 · 0.05 = 533.
− 180N3
N .
Vi har räknat ut en förväntad vinst per spel. Vi kan ocks˚a resonera s˚a här.
L˚at X = “vinsten per spel”. Där är X en diskret s.v. som antar värdena x = −180,440,595
och har sannolikhetsfunktionen
P(X = −180) = 0.05, P(X = 440) = 0.15, P(X = 595) = 0.80.
Den förväntade vinsten per spel är d˚a
E(X) = −180 · P(X = −180) + 440 · P(X = 440) + 595 · P(X = 595) = 533.
Vi kallar E(X) för väntevärdet för den s.v. X och gör följande definition.

5.1 Väntevärde 33
5.1. Väntevärde
Definition 5.2. Väntevärdet för den s.v. X definieras av
⎧ �
⎪⎨
xpX(x) diskret s.v.,
x
E(X) = � ∞
⎪⎩ xfX(x)dx kontinuerlig. s.v.
Andra beteckningar är µ eller µX.
−∞
Tolkning: Väntevärdet är ett lägesm˚att som anger var sannolikhetsmassan ligger i
“genomsnitt”. T.ex har vi i envariabelanalysen visat att E(X) är x-koordinaten för tyngdpunkten
för den plana ytan under grafen till y = f(x). Nästa sats visar hur man beräknar
väntevärdet för funktioner av s.v.
Sats 5.3. L˚at Y = g(X). D˚a är
⎧ �
⎪⎨
g(x)pX(x) diskret s.v.,
x
E(Y ) = � ∞
⎪⎩ g(x)fX(x)dx kontinuerlig. s.v.
−∞
L˚at Z = g(X,Y ). D˚a är
⎧ ��
g(x,y)pXY (x,y) diskret s.v.,
⎪⎨ x y
E(Z) = � ∞ � ∞
⎪⎩ g(x,y)fXY (x,y)dx kontinuerlig. s.v.
−∞ −∞
Bevis:
Exempel 5.4. Antag att fX,Y (x,y) = 2, d˚a 0 < y < x < 1. Bestäm E(X 2 Y ).
Lösning:

34 5 VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS
5.2. Varians
Vi använder Sats 5.3 till att definiera ett spridningsm˚att.
Definition 5.5. L˚at X vara en s.v.
1. Variansen, V (X), är ett m˚att p˚a hur utspridd sannolikhetsmassan är för den
s.v. X och definieras via
V (X) = E((X − µ) 2 ).
2. Standardavvikelsen definieras via
Figur 5.6.
D(X) = � V (X).
Standardavvikelsen betecknas ocks˚a σ eller σX.
Ofta är det enklast att beräkna variansen enligt nästa sats.
Sats 5.7. Steiners sats.
Bevis:
V (X) = E(X 2 ) − (E(X)) 2 .

5.2 Varians 35
Exempel 5.8. L˚at den s.v. X1 anta värdena k = −1,1, och ha sannolikhtesfunktionen
pX1 (−1) = 1/2 och pX1 (1) = 1/2. L˚at ocks˚a den s.v. X2 anta värdena k = −10,10, där
pX2 (−10) = 1/2 och pX2 (10) = 1/2. Beräkna väntevärde och varians för X1 resp. X2.
Lösning:
Exempel 5.9. Antag att den s.v. X antar värdena k = 0,1,2, där
Beräkna väntevärde och varians för X.
Lösning:
pX(0) = 1/4, pX(1) = 1/2, pX(2) = 1/4.

36 5 VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS
Exempel 5.10. Beräkna väntevärdet, standardavvikelsen och median för den s.v. X
i Exempel 3.8, dvs X ∈ Exp(µ), där µ = 100.
Lösning:

5.3 Räknelagar för väntevärde 37
5.3. Räknelagar för väntevärde
Följande räknelagar för väntevärde gäller.
Sats 5.11. L˚at X och Y vara s.v. D˚a är
1. E(aX + b) = aE(X) + b
2. E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y )
3. Om X och Y är oberoende s˚a
Figur 5.12.
Bevis:
E(XY ) = E(X) · E(Y ).

38 5 VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS
5.4. Räknelagar för varians
Följande räknelagar för variansen gäller.
Sats 5.13. Det gäller att
Bevis:
1. V (aX + b) = a 2 V (X)
2. V (aX + bY ) = a 2 V (X) + b 2 V (Y ) + 2ab(E(X · Y ) − E(X) · E(Y )).
3. Om X och Y är oberoende, s˚a är
(a) V (aX + bY ) = a 2 V (X) + b 2 V (Y ).
�
(b) σaX+bY = a2σ2 X + b2σ2 Y .

5.4 Räknelagar för varians 39
Exempel 5.14. Antag att E(X) = 2, E(X 2 ) = 5, E(Y ) = 1 och V (Y ) = 3, där X och Y
är oberoende s.v. Beräkna E(XY ), E(X 2 Y 2 ) samt D(6X − 7Y ).
Lösning:
Exempel 5.15. L˚at X1 och X2 vara oberoende och ha sannolikhetsfunktion som i
Exempel 5.9. Bestäm sannolikhetsfunktion, väntevärde och varians för summan X1 + X2.
Lösning:

40 5 VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS
Exempel 5.16. Den s.v. X är likformigt fördelad p˚a (−1,1). L˚at Y = e X och beräkna
E(Y ); dels direkt och dels genom att först beräkna och använda täthetsfunktionen för Y .
Lösning:
Exempel 5.17. Bestäm väntevärdet för livslängden hos det seriekopplade systemet i
Exempel 3.8.
Lösning:

5.5 Stora talens lag 41
5.5. Stora talens lag
Nedan formulerar vi en viktig lag inom teorin för sannolikhetsläran. Lagen säger att det
aritmetiska medelvärdet av flera oberoende s.v. med samma väntevärde µ liggar nära µ,
bara antalet är tillräckligt stort.
Sats 5.18. Antag att Xj, j = 1,2,... , är oberoende s.v. s˚adana att E(Xj) = µ,
j = 1,2,.... L˚at
¯Xn = 1 �
Xk.
n
D˚a gäller för alla ε > 0 att
k=1
P(µ − ε < ¯ Xn < µ − ε) → 0, n → 0.
För att bevisa satsen behöver man följande kända olikheter.
Sats 5.19. Antag X vara en s.v. med väntevärde µ och standardavvikelse σ > 0. L˚at
k > 0. D˚a gäller
1. Markovs olikhet:
2. Tjebysjovs olikhet:
Figur 5.20.
P(X ≥ k) ≤ µ
k .
P(|X − µ| ≥ kσ) ≤ 1
k 2.