Matematik te kavram boyutu

Matematiksel Kavramların Gelişimi
(Limit, Türev ve İntegral)
Sitemizi ilgiyle takip eden bir arkadaşımızın “Tarihe baktığımızda her şeyin bir
ihtiyaçtan doğduğunu görüyoruz elbette matematikte öyle fakat bu matematikteki
türev, integral, tan, cot, sin, cos vb. şeyler nasıl bir ihtiyaçtan doğmuş, bunlar nedir
neyle alakalıdır?” şeklindeki sorusu bizi matematiksel kavramların gelişim sürecine dair bir
çalışmayı sitemizde yayınlamaya yönlendirdi. Bu çalışma, muhakkak ki çok daha kapsamlı
bir araştırma ve düzenleme süreci gerektiriyor. Ancak, uzun bir süre bu konu ile ilgili sessiz
kalmaktansa elimizdeki bazı bilgileri vaktimiz oldukça yayınlamayı uygun gördük. Belki de
bir yazı dizisi şeklinde adım adım yayınlayabiliriz. İlk konumuz olarak da limit, türev ve
integral kavramlarını tanıtarak başlayalım.
Genel anlamda bilimin gelişim sürecine baktığımızda hemen hemen her kavramın
insanoğlunun bir ihtiyacını karşılamak amacı ile keşfedildiğini ya da icat edildiğini
görmekteyiz. Hemen hemen diyorum. Çünkü her kavramın çıkış noktası mutlak anlamda bir
ihtiyaç değildir.
Özel olarak matematikten devam edelim! Matematikte de birçok kavram insanoğlunun
bir ihtiyacını karşılama kaygısı ile doğmuştur. Örneğin, matematiğin doğum yerinin eski
Mısır uygarlığı olduğu kabul edilir. Buna gerekçe olarak da Nil nehrinin kıyılarında yer alan
arazilerin sınırlarının her yıl Nil nehrinin taşması ile bozulması ve bu sınırların, Nil nehrinin
çekilmesinden sonra tekrar düzenlenmesi amacı ile çeşitli geometrik yöntemlere ihtiyaç
duyulması gösterilmektedir. Matematiğin bugün kullandığımız kendine has diline
kavuşmasını yani cebirselleşmesini ise cebirin kurucusu olan Harezmi’ye borçluyuz.
Tabii ki bir ihtiyacın yanında bazen diğer bilim dallarında olduğu gibi sırf bilim ile
uğraşmanın, doğanın kurallarını bazı matematik formülleri ve matematiğin kendine has dili ile
ifade edebilmenin verdiği hazdan dolayı da çeşitli keşifler yapılmıştır.
Örneğin, Anadolu’da yaşamış bir matematikçi olan Apollonyus (okunuşunu yazdım☺)
kum saatinin çeşitli pozisyonlarında içindeki kumun aldığı şekilleri incelemiş ve bu sayede
elips, hiperbol ve parabol gibi kavramları keşfetmiştir. Bugünkü modern matematik
kitaplarımızda bu kavramlar ile ilgili bilgilerin çoğu Apollonyus’tan geliyor. Apollonyus’un
bu kavramlara neden ihtiyaç duyduğunu bilmiyoruz ☺. Büyük ihtimal doğanın içinde olan
bazı ilişkileri matematiksel olarak ifade etmenin verdiği zevk O’nu bu çalışmaya itti. Ama
yüzyıllar sonra Keppller, Apollonyus’un bu keşfini yıldızların ve çeşitli gök cisimlerinin
1

yörüngelerinde kullandı. Fakat Apollonyus kendisinden yüzyıllar sonra uzay çalışmalarında
kullanılsın diye çember elips gibi şekillerin denklemleri ile ilgilenmemişti.
Yukarıda anlatılanlar neticesinde öncelikle kendimizi şu konuda ikna etmeliyiz. Her
şey bir ihtiyaçtan doğmak zorunda değil. Ama muhakkak mantıklı ilişkiler yumağı içinde
oluşturulan her kavram ileride kimsenin tahmin edemeyeceği bir yerde işe yarayabilir. Hatta
yeni bir çağ bile açabilir.
Şimdi lafı fazla uzatmadan asıl konumuza gelelim;
Düzensis geometrik şekillerin alanlarını veya hacimlerini hesaplamak istiyorsunuz. Ya
da kıvrılarak akan bir nehrin boyunu hesaplamanız gerekiyor. Ne yapabiliriz?
Arşimed bir çemberin çevresini ve alanını hesaplama çalışmaları sırasında çemberin
içine köşeleri çemberin sınırı üzerinde olacak şekilde çokgenler çizmiş ve çokgenlerin kenar
sayısı arttıkça bu çokgenin alanı ve çevresinin yavaş yavaş azalarak arttığını fark etmiş;
Bu duruma biraz daha cebirsel bir yaklaşım getirelim;
Bu çokgenlerin kenar sayısına bağlı olarak alanını ve çevresini veren birer fonksiyon
yazarsak (burada kenar sayısı fonksiyonlardaki meşhur x değişkeni, alan ya da çevre de y
değeri olacak ☺) x değişkenine giderek artan değerler verdiğimizde y’nin davranışını
inceleme işi, x sonsuza giderken y = f(x)’in limitini aramak anlamına gelmektedir. Burada işin
matematiksel incelemesine fazla girmeden belirteyim ki bu limit değeri de seçilen fonksiyona
bağlı olarak çemberin alanını ve çevresini vermektedir. (hatta yarıçapı özel olarak 1 alırsanız
alanı veren fonksiyonun limiti size meşhur π sayısını verir.)
Bu hikâye bize limit kavramının nasıl çıkmış olabileceğine dair fikir vermektedir.
Fakat bu kadar da kısıtlı değil. Bir de şöyle bir duruma göz atalım;
Aracınızla bir A şehrinden B şehrine yol alıyorsunuz. Yol boyunca her an için o ana
kadar kaç km yol kat ettiğinizi not alıyorsunuz ve bu değerleri zaman değişkeni x, mesafe
değişkeni de y olmak üzere koordinat sistemi üzerinde işaretleyip grafiğini çiziyorsunuz.
Tabii ki eğer bir otobanda seyrediyor ve hızınızı yolculuk boyunca sabit tuttuysanız bu grafik
doğrusal olarak artan bir şekilde olacaktır. Grafiğin son değeri de A ve B arasındaki mesafeyi
2

gösterecektir. Tabii ki böyle bir durum ülkemizin yollarında pek de mümkün değil. Bu yüzden
yolculuğunuz değişken hızlarda olacaktır. Peki, yolculuğunuz tamamlandıktan sonra sadece
elinizde bu grafik varken yolculuk esnasında özel bir x0 anındaki aracınızın hız göstergesinin
ne gösterdiğini merak ediyorsunuz. (niye böyle bir şeyi merak edeyim ki diye sormayın.
Merak edenler bilim adamı oluyor zaten ☺) Ne yapabiliriz bir bakalım;
x0’a dilediğiniz kadar yakın bir x anı ile x0 arasındaki ortalama hızı nasıl bulduğumuzu
herkes bilir. Toplam yol bölü toplam zaman ortalama hızı vermektedir. x0 anına kadar kat
edilen mesafe y0, x anına kadar kat edilen mesafe y olmak üzere ortalama hız;
V
ort
3
y − y
=
x − x
Fonksiyonu ile bulunabilir. (burada x0 ve y0 sabit değerler, y de x’e bağlı bir değer
olduğundan bu fonksiyonun bağımsız değişkeni x dir.)
Şimdi keşfe sebep olabilecek fikir geliyor; “eğer x ile x0 arasındaki mesafe ne kadar az
olursa x0 anındaki anlık hıza (aracımızın hız göstergesinin gösterdiği hız) o kadar yakın bir
değer elde edilir.”
Burada da x değişkeni x0’a yaklaşırken Vort fonksiyonunun davranışı incelenmektedir
ki bu da bağımsız değişkenin sonsuz yerine belirli bir değere yaklaşırken fonksiyonun
limitidir.
Burada x değişkeninin x0’a ne kadar yaklaşacağı merak konusudur. Bu yakınlık sonsuz
derecede küçük olmalıdır. bu sonsuz küçük tabirinin İngilizce karşılığı “infinitesimal”
kelimesidir. Limit kavramının temelini oluşturduğu sonsuz küçükler hesabı “Calculus of
infinitesimals” bugün matematiğin önemli bir ana bilim dalıdır.
şey değildir.
Türev ve integral aslında limit kavramının biraz daha özelleşmiş hallerinden başka bir
Türev bir fonksiyonun anlık değişim hızı olarak tanımlanır ve yukarıda limit ile ilgili
olarak anlatılan ikinci hikâye tam olarak türevdir.
Tabii burada şunu belirtmeden geçemeyeceğim; yukarıda anlatılan hikâye türevin çıkış
noktası olmayabilir. Sadece ne işe yarayabileceğini dair bir örnek olsun diye verdim.
İntegral ise bazı düzensiz geometrik şekillerin çevresi, alanı ve hacmi gibi özelliklerini
bu şekilleri daha düzenli şekillere parçalayıp bu düzenli şekillerin çevre, alan ve hacimlerinin
toplamından yararlanarak hesaplamak için kullanılır. Bu işlemde de limitin katkısı
tartışılamaz.
görülebilir.
Yukarıda anlatılan çemberin alanını bulma işi de bir integrasyon işlemi olarak
0
0

Bu anlatılanlar sayfalar dolusu sürecek şekilde açılabilir, örneklendirilebilir. Umarım
Limit, türev ve integral’in de faydalı ve bir ihtiyacımızı gidermiş olduğuna ikna olmak için
yeterli olmuştur.
Bu yazıda bu kavramların teknik yönlerine değinilmemiştir. Bir fonksiyonun limitini
alma, türevini hesaplama ve integralini bulma gibi işlemler ise matematiğin bir başka harika
boyutudur.
Bunu da şöyle açıklayayım;
Bir kavram bir probleme çare olarak keşfedilmiş olabilir. Ancak o kavramı daha sonra
ilgili problemden soyutlayarak kavram üzerindeki cebirsel özellikleri incelemek matematiğin
soyutluk özelliğinin bir gücüdür.
Artık siz yukarıda anlatılan olaylar ile ilgilenmezsiniz. Sadece elinize fonksiyonu alır,
bu fonksiyonun limiti, türevi ve integrali ile ilgili önemli keşiflere ve yeniliklere imza
atabilirsiniz. Bu sayede artık bu kavramlar daha farklı alanlarda ve daha karmaşık
problemlerin çözümünde kullanılabilecek bir hale gelir. Yani olgunlaşır.
Tabii burada bence dikkat edilmesi gerek bir husus var; Kavramları öğretirken cebirsel
özelliklerin arasında kaybolmamalıyız. Öğrencilerimizi bilim adamlarının bu kavramları
keşfederken yaşamış oldukları süreçlerin benzerlerine yönlendirmeliyiz. Belki bu süreçlerin
bazıları bizim uydurmamız olan sahte süreçler olacaktır, ama en azından öğrencilerimiz bu
şekilde öğrendikleri kavramlara “öğretmenimizin bize aktardığı bilgi” gözüyle değil “bana ait
bilgi” gözüyle bakabileceklerdir.
MATEMATIK ÖGRETMENI : OSMAN AYDOGDU
4