i ÖZET Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve ...

i
ÖZET
Bu çalışmanın amacı, homotopi pertürbasyon metodu ve homotopi analiz
metodunu kullanarak bazı lineer ve nonlineer problemlerin çözümlerini elde etmek ve
çözümlerin karşılaştırmasını yapmaktır.
Üç bölümden oluşan bu çalışmanın I. bölümünde, homotopi kavramı ve
pertürbasyon teorisi kısaca verilmiş, homotopi pertürbasyon metodu tanıtılmış ve bu
metot bir ve iki-boyutlu homojen, üç-boyutlu homojen olmayan değişken katsayılı ısı-
tipi ve dalga-tipi başlangıç ve sınır değer problemlerine uygulanarak çözümler elde
edilmiş ve bulunan çözümlerin yakınsaklık analizi verilmiştir.
II. Bölümde homotopi analiz metodu tanıtılmış ve bu metot kullanılarak lineer
backward ve forward Kolmogorov ve nonlineer Fokker-Planck denklemlerinin h -
yakınsaklık kontrol parametresine bağlı seri çözümleri elde edilmiş ve çözümlerin
analizi yapılmıştır.
III. Bölümünde her iki metotla bulunan çözümler karşılaştırılmış ve elde edilen
sonuçlar değerlendirilmiştir.

ii
ABSTRACT
The purpose of this study is obtaining the solutions of certain linear and
nonlinear problems by using homotopy perturbation method and homotopy analysis
method and making the comparison of these solutions.
This study consists three chapters in total and in the first chapter the concept of
homotopy and perturbation theory are given briefly, the homotopy perturbation method
is introduced and solutions are obtained by applying this method to one and two-
dimensional homogeneous, three-dimensional nonhomogeneous heat-like and wave-like
initial and boundary value problems with variable coefficients. Then convergence
analysis of the found solutions is given.
In the second chapter, homotopy analysis method is introduced and by using this
method the series solutions according to the h -convergence control parameter of linear
backward and forward Kolmogorov and nonlinear Fokker-Planck equations are
obtained and analysis of the solutions is made.
In the third chapter, the solutions found by both of the methods are compared.
In conclusion, the results obtained are evaluated.

iii
ÖNSÖZ
Bu çalışmanın her aşamasında bana rehberlik eden, tecrübesini benimle
paylaşan, güler yüzü ile beni motive eden değerli hocam Prof. Dr. Turgut ÖZĐŞ ’e,
verdiği tüm emekler ve geleceğe yönelik kazandırdığı bilimsel bakış açısı için teşekkür
ederim.
Doktora eğitimim süresince yardımlarını ve desteğini esirgemeyen, değerli
hocam Prof. Dr. Hülya ĐŞCAN ’a, ilgisi ve yol gösterici yorumları için teşekkür ederim.
Ayrıca bana maddi ve manevi her türlü desteği veren aileme en içten
teşekkürlerimi sunarım.

iv
ĐÇĐNDEKĐLER
ÖZET……………………………………………………………………………………..i
ABSTRACT……………………………………………………………………………..ii
ÖNSÖZ………………………………………………………………………………….iii
ĐÇĐNDEKĐLER………………………………………………………………………….iv
GĐRĐŞ…………………………………………………………………………………….1
I.BÖLÜM/HE’NĐN HOMOTOPĐ PERTÜRBASYON METODUNUN DEĞĐŞKEN
KATSAYILI ISI-TĐPĐ VE DALGA TĐPĐ DENKLEMLERE UYGULANMASI………4
1.1. Homotopi Pertürbasyon Metodu…………………………...……………………….4
1.1.1. Homotopi kavramı……………………………………………………………......4
1.1.2. Pertürbasyon teorisinin genel tanımı ve tarihçesi………………………………...7
1.1.3. Homotopi Pertürbasyon Metodunun Tanımı ve Uygulamaları…………………..9
1.2. Değişken Katsayılı Isı -Tipi ve Dalga-Tipi Denklemlerin Çözümü için He’nin
Homotopi Pertürbasyon Metodu……………………………………………………….17
1.2.1. Denklemin çözümü için homotopi pertürbasyon metodu…………….……...…18
1.2.2. Isı-tipi modeller…………………………………………………….……………20
1.2.3. Dalga tipi modeller………………………………………………………………27
1.2.4. Homotopi pertürbasyon metodunun değişken katsayılı ısı-tipi ve dalga-tipi
denklemler için yakınsaklığı…………………………………………………………....34
1.2.5. Isı-tipi modellerde yakınsaklık…………………………………………………36
1.2.6. Dalga-tipi modellerde yakınsaklıkl………………..………………........……..47
1.3. Fokker-Planck Denkleminin Homotopi Pertürbasyon Metodu ile Çözümü……..63
II. BÖLÜM / HOMOTOPĐ ANALĐZ METODUNUN FOKKER-PLANCK
DENKLEMĐNE UYGULANMASI…………………………………..………………..73
2.1. Homotopi Analiz Metodu……………………………………….……..…………..73
2.1.1 Homotopi-türevinin özellikleri……………………………………………...…....78
2.1.2. Deformasyon denklemleri………………………………................................….83
2.1.3. Sıfırıncı-derece deformasyon denklemi………………………............................90
2.1.4. Yüksek-derece deformasyon denklemi………………………………………….92
2.1.5. Yakınsaklık teoremi………………………………………………………..........93

v
2.2. Fokker-Planck Denkleminin Çözümü için Homotopi Analiz Metodu………...…..95
2.2.1. Fokker-Planck denkleminin homotopi analiz metodu ile çözümü için örnekler ..97
III. BÖLÜM/HOMOTOPĐ PERTÜRBASYON METODU ĐLE HOMOTOPĐ ANALĐZ
METODUNUN KARŞILAŞTIRILMASI………………………………….…………131
SONUÇLAR…………………………………………….…………………………….141
KAYNAKLAR………………………………………………………………………..143
ÖZGEÇMĐŞ………………………………………………………………………...…148

GĐRĐŞ
1
Bu çalışmanın amacı, bir veya iki-boyutlu homojen, üç-boyutlu homojen
olmayan değişken katsayılı ısı-tipi, dalga-tipi başlangıç ve sınır değer problemlerini
homotopi pertürbasyon metodu ile çözmek ve çözümün yakınsaklığını göstermek, lineer
backward ve forward Kolmogorov ve nonlineer Fokker-Planck denklemlerini homotopi
analiz metodu ile çözmek ve homotopi pertürbasyon metodu ile homotopi analiz
metodunun Fokker-Planck denklemleri üzerinde karşılaştırmasını yapmaktır.
Çözümü zor olan bir problemi, kolay çözülebilir bir probleme dönüştürmeyi
sağlayan homotopi metodu, son yıllarda mühendislik uygulamalarında ve nonlineer
problemlerin çözümlerinde kullanılmaktadır.
Homotopi pertürbasyon metodu (HPM), 1998 yılında Ji-Huan He [1-7]
tarafından verilmiştir. He, metodu oluştururken pertürbasyon tekniği ile homotopi
kavramını birleştirmiş ve nonlineer problemleri, çözümü kolay lineer problemlere
dönüştürmüştür. Bilindiği gibi bu yöntemler, 90’lı yıllarda ortaya çıkan yöntemler olup
temelde seri çözümlere dayanırlar. Çözümlerin seri şeklinde olması ve bazı durumlarda
çözümlerin kapalı formlarının elde edilebilmesi, bu yöntemleri farklı dallarda çalışan
bilim adamları arasında popüler kılmış ve çözümlerin farklı yorumlarının
yapılabilmesini sağlamıştır. Bu çalışmada çözülen problemlerin bir kısmının literatürde
analitik metotlarla çözümleri olmasına rağmen, bu çözümlerin analizinin yapılması
mümkün değildir. Burada kullanılan yaklaşımlarla, elde edilen literatürde mevcut ve
yeni çözümlerin analizinin yapılması sağlanmıştır. Birçok araştırmacı homotopi
pertürbasyon metodunu çeşitli problemlere uygulamıştır [8-18].
Benzer şekilde homotopi kavramı ile Taylor serisini birleştiren ”homotopi analiz
metodu (HAM)” ise 1992’de Shijun Liao [19-31] tarafından verilmiştir. Homotopi
pertürbasyon metodundan farklı olarak homotopi analiz metodu ile bir analitik seri
çözüm tekniğinde yakınsaklığın kontrolü de sağlanmıştır. Birçok araştırmacı çeşitli
fiziksel ve mühendislik problemini bu yöntemle başarılı bir şekilde çözmüştür [32-38].
Liao, metot için yeni tanım ve teoremler vererek bazı kavramlara açıklık getirmiş [31]
ve 2003 yılında yayınlanan ”Beyond Perturbation: Introduction to the homotopy

2
analysis method” adlı kitabında [19], homotopi analiz metodunun Lyapunov yapay
parametre metodu, δ -açılım metodu, Adomian ayrışım metodu gibi diğer non-
pertürbatif metotlarının genel hali olduğunu kanıtlamış ve homotopi pertürbasyon
metodunun da kendi yönteminin bir özel hali olduğunu göstermiştir.
Son yıllarda bazı araştırmacılar, homotopi petürbasyon metodu ve homotopi
analiz metodunun karşılaştırılmasını veren makaleler yazmışlardır [39-43]. Fakat bu
makalelerin yeterli analiz içermedikleri görülmüştür. Yapılan literatür taraması
sonucunda, metotların karşılaştırılması için yazılan makalelerin yeterli olmadığı
tespitine dayanarak bazı lineer ve nonlineer problemler her iki yöntemle çözülüp çözüm
analizlerinin yapılması amaçlanmıştır.
Yukarıdaki çalışmalardan yararlanılarak, üç bölümden oluşan bu çalışmanın I.
bölümünde homotopi kavramı ve pertürbasyon teorisi kısaca verilmiş, homotopi
pertürbasyon metodu tanıtılmış ve bu metot bir ve iki-boyutlu homojen, üç-boyutlu
homojen olmayan değişken katsayılı ısı-tipi ve dalga-tipi başlangıç ve sınır değer
problemlerine uygulanarak çözümler elde edilmiş, bulunan çözümlerin yakınsaklık
analizi yapılmıştır. Homotopi analiz metodu ile bulunan çözümlerle karşılaştırma
yapmak için, J.Biazar vd. [44] tarafından homotopi pertürbasyon metodu ile bulunan
çözümler detaylı şekilde verilmiştir.
II. Bölümde homotopi analiz metodu tanıtılmış ve bu metot kullanılarak, lineer
backward ve forward Kolmogorov ve nonlineer Fokker-Planck denklemlerinin h -
yakınsaklık kontrol parametresine bağlı seri çözümleri elde edilmiştir. Çözümlerin
analizi yapıldığında yakınsamaların, Liao’nun iddia ettiği gibi, h -yakınsaklık kontrol
parametresine bağlı olduğu ve h -yakınsaklık kontrol parametresinin -1 olması
durumunda elde edilen seri çözümlerin tam çözümü verdiği görülmüştür. II. bölümde
Fokker-Planck denklemi için homotopi analiz metodu ile bulunan 4. dereceden yaklaşık
çözümler, çalışmanın III. Bölümünde J.Biazar vd. [44] tarafından homotopi
pertürbasyon metodu ile bulunan çözümlerle karşılaştırılmış ve her iki çözümün de tam
çözüme yakınsadığı görülmüştür.
Yukarıda homotopi pertürbasyon ve homotopi analiz metotları ile verilen
literatür çalışmalarında her iki yöntemin iyi sonuçlar verdikleri ifade edilmesine rağmen
S. Liang ve D.J. Jeffrey’in evrim denklemi üzerinde homotopi pertürbasyon metodu ve
homotopi analiz metodu ile yaptığı karşılaştırmada [43] ise homotopi pertürbasyon

3
metodu ile bulunan çözümün yakınsak olmadığı, homotopi analiz metodu ile bulunan
çözümün h -yakınsaklık kontrol parametresine bağlı olarak çok yavaş (30.dereceden
yaklaşım) yakınsadığı görülmüştür.
Bu makaleye dayanarak her iki metodun da problem bağımlı oldukları tespit
edilmiştir. Dolayısı ile hüküm oluşturabilmek için daha farklı problemlerin bu
metotlarla çözülerek analizlerinin yapılması gerekmektedir.

I. BÖLÜM
4
1. HE’NĐN HOMOTOPĐ PERTÜRBASYON METODUNUN DEĞĐŞKEN
KATSAYILI ISI-TĐPĐ VE DALGA TĐPĐ DENKLEMLERE UYGULANMASI
1.1. Homotopi Pertürbasyon Metodu
1.1.1. Homotopi kavramı
Homotopi kavramı, 1895 yılında Henri Poincaré tarafından “Analysis Situs, Journal
de l'École Polytechnique ser 2, 1 (1895) pages 1-123.” adlı makalede tanıtılmıştır.
Homotopi, diferansiyel topolojinin önemli konularından biridir. Bu kavram daha sonra
homolojinin temellerini oluşturmuştur. Đki dönüşüm arasındaki homotopinin genel
tanımı ise ilk olarak 1911 yılında L.E.J. Brouwer tarafından verilmiştir. Đki
matematiksel obje, biri diğerine sürekli olarak deforme oluyorsa homotopiktirler denir.
1.1.1.1. Tanım f : X → Y , g X → Y
için Η( x , 0)
= f ( x)
ve Η( x 1)
= g(
x)
: sürekli dönüşümler, = [ 0,
1]
I olsun. Her x ∈ X
, eşitliklerini sağlayan bir Η : X × I → Y sürekli
dönüşümü varsa f ve g homotopiktir denir. Bu durumda Η dönüşümüne f ve g
arasında bir homotopidir denir.
1.1.1.1. Örnek:
tanımlansın.
X Y =
n
= IR ve
n
x ∈ IR olmak üzere ( x)
x
n
n
Η : IR × I → IR , Η( x t)
= ( 1−
t)
f ( x)
f = , g ( x)
= 0 biçiminde
, ile tanımlanan Η dönüşümü f ve
g arasında bir homotopidir. Đki fonksiyon arasında birden fazla homotopi
2
tanımlanabilir. ( x,
t)
= ( 1−
t ) f ( x)
Η ile tanımlanan
1
f ve g arasında yine bir homotopidir.
Η :
n
n
1 IR × I → IR dönüşümü de

2
1.1.1.2.Örnek: f , g : X → IR sürekli dönüşümler olsun.
( x , t)
= ( − t)
f ( x)
+ t g(
x)
, Η( x , 0)
= f ( x)
ve Η( x 1)
= g(
x)
Η 1
5
2
Η : X × I → IR ,
, biçiminde tanımlanan Η
dönüşümü f ve g arasında bir homotopidir. Yani f ve g homotopiktir.
1.1.1.2. Tanım: f : X → Y sürekli dönüşümü sabit bir dönüşüme homotopik ise f ’ye
null-homotopiktir denir.
Bazı durumlarda homotopinin kısıtlanmış bir tipi göz önüne alınır. Bu kısıtlama
altında bir alt kümenin deformasyonla sabit kalması istenir.
Uç noktaları aynı x 1 ve x 2 olan basit f ve g yayları göz önüne alınsın. Yukarıda
belirtilen yönteme göre; 1.1.Şekilde gösterildiği gibi, ortadaki yay ailesinin her
elemanının aynı x 1 ve x 2 uç noktalarına sahip olması şartıyla f , g ’ye sürekli deforme
olsun. Bu durumda f ve g dönüşümleri, x 1 ve x 2 ’yi kapsayan bir alt kümeye göre
homotopiktir denir . Bu tanım aşağıdaki biçimde ifade edilir.
1.1.1.3. Tanım: f : X → Y , g : X → Y sürekli dönüşümler, A ⊆ X olsun. Eğer her
t ∈ I ve her x ∈ A için H ( a,
t)
= f ( a)
= g(
a)
olacak biçimde bir H : X × I → Y
homotopisi varsa f ve g dönüşümleri A alt kümesine göre homotopiktir denir.
1.1.1.4. Tanım: f ve g , I = [ 0,
1]
aralığından X ’e tanımlanan sürekli dönüşümler
olmak üzere; f ve g aynı 0 x başlangıç, x 1 bitiş noktalarına sahipseler ve
Her s t ∈ I
, için Η( s , 0)
= f ( s)
ve Η( s 1)
= g(
s)
Η ( 0, t ) = x0
ve Η ( 1, t ) = x1
, ,
olacak biçimde sürekli bir Η : I × I → X dönüşümü varsa Η ’ye f ve g arasında yol
homotopisi denir. f , g topolojide yol olarak adlandırıldıklarından oluşturulan
homotopiye yol homotopisi denir.
.

1.1. Şekil
6
Đlk koşul, H ‘nin f ve g arasında bir homotopi olduğunu, ikinci koşul ise her t için
( s)
H ( s t)
1 = denklemi ile tanımlanan f 1 yolunun 0 x ’dan 1
f ,
x ’e giden bir yol olduğunu
belirtir. Başka bir deyişle, ilk koşul, H ‘nin f ’den g ’ye deformasyonun sürekli bir
yolunu temsil ederken ikinci koşul, yolun uç noktalarının deformasyon boyunca sabit
kaldığını belirtir.

1.1.2. Pertürbasyon teorisinin genel tanımı ve tarihçesi
7
Pertürbasyon teorisi [46], tam olarak çözülemeyen bir problemin yaklaşık
çözümünü bulmak için kullanılan matematiksel metotlar içerir. Eğer problem, bir
“küçük” terim eklenerek tam olarak çözülebilen probleme formüle ediliyorsa probleme
pertürbasyon teorisi uygulanabilir. Pertürbasyon teorisi, problemin çözümünü, tam
olarak çözülebilen problemden sapmayı ölçen bir “küçük” parametrenin kuvvet serisi
cinsinden bulmayı amaçlar. Kuvvet serisindeki ilk terim, tam olarak çözülebilen
problemin çözümü iken, diğer terimler, çözümde başlangıç problemine göre sapmayı
tanımlarlar. A çözümüne yaklaşım için aşağıdaki küçük parametreye göre açılan
(burada parametre ε ’dur) seri verilsin:
A ε
0 1 2
= ε A0
+ ε A1
+ A2
+ .....
Bu örnekte A 0 , tam olarak çözülebilen başlangıç probleminin bilinen çözümünü
ve A ,.... , bir sistematik yöntemle iteratif olarak bulunan daha yüksek dereceden
1, A2
çözümleri gösterir. ε ’ un çok küçük olması durumunda, yukarıdaki serinin yakınsak
olması, küçük ε değeri için bulunan daha yüksek dereceden çözümlerin daha az önemli
olduğu anlamına gelir. Bir yaklaşık pertürbasyon çözümü, seriyi bir yerden sonra kesip,
genelde sadece ilk iki terimi, başlangıç çözümü ve “birinci derece” pertürbasyon
düzeltmesini, bırakarak elde edilir. ε çok küçük olmasına rağmen, bazı problemlerde
çözüm yakınsak olmayabilir. Birçok önemli problemde küçük pertürbasyonların
verilmesi, çözümlerin niceleyici ve niteleyici özelliklerini ortaya koyar fakat bu

8
özellikler, pertürbe edilmeyen problemlerin çözümlerininkilerden oldukça farklı
olabilirler.
Örneğin ;
( 0)
1
u′ + u − ε = 0 , u =
ve
( 0)
1
u′ − u − ε = 0 , u =
−t
denklemleri göz önüne alınsın. Birinci denklemin çözümü u(
t)
= ε + ( 1 − ε ) e iken
−t
pertürbe edilmemiş denklemin çözümü u ( t)
= e
( t)
− u ( t)
≤ ε
0 ’dir. 1
t olduğunda 0
t
0 ’ dir ve u( t)
− u0
( t)
= ε 1−
e elde
u , denklemin yaklaşık çözümü olarak düşünülemez.
Pertürbasyon metotları, orjinal problemin, tam olarak çözmeye yetecek kadar
basitleştirilmiş formuyla başlar. Genel yöntem, fen ve mühendislikte çok kullanılan
matematiksel bir araçtır: basitleştirilmiş bir problemle başlamak ve aşamalı olarak
düzeltmeler eklerken düzelmiş problemin giderek gerçeği temsil eden formüle
yakınlaşmasını sağlamak.
Hemen hemen bütün pertürbasyon metotları, bir denklemde küçük bir
parametrenin olması gerektiği varsayımına dayanır. Bu küçük parametre varsayımı,
pertürbasyon tekniklerinin uygulamalarını önemli ölçüde kısıtlar. Nonlineer
problemlerin özellikle kuvvetli nonlineerliğe sahip olanların hepsinde küçük
parametreler yoktur. Bir küçük parametrenin belirlenmesi zor ve özel teknikler
gerektirir. Küçük parametrenin uygun seçimi ideal sonuçlar vermesine rağmen,
uygunsuz seçimi de ciddi anlamda kötü sonuçlara yol açabilir. Uygun bir küçük
parametre bulunsa bile, çoğu durumda, pertürbasyon metotları ile bulunan yaklaşık
çözümler, sadece parametrenin küçük değerleri için geçerlidir. Örneğin, çoklu ölçek
metoduyla (the method of multiple scales) çözülen yaklaşımlar, sistem parametresi
küçük olduğu sürece geçerlidir. Fakat yaklaşımlara da tamamen güvenilmez çünkü
parametrenin ne kadar küçük olması gerektiğine dair bir kriter yoktur. Buna rağmen
pertürbasyon teorisi, birçok dönemde, birçok farklı alanda kullanılmıştır. 20. yüzyılın
sonunda, kuantum fiziğinde pertürbasyon teorisi ile ilgili göze çarpan
memnuniyetsizlik, sadece açılımda ikinci dereceden öteye gitmedeki zorlukları

9
içermesi değil aynı zamanda pertürbatif açılımın yakınsak olup olmadığı hakkındaki
sorularla da karşı karşıya kalınmasıdır. Bu da pertürbasyon metotlarının sınırlamaları
olduğunu gösterir.
Pertürbasyon metotlarının kısıtlı olması, tam olarak çözülebilen modellerin
çalışıldığı non-pertürbatif analiz alanına büyük bir ilgi duyulmasına yol açmıştır. Bu
alandaki prototipik modeller; kuvvetli nonlineerliğe ve ilginç çözümlere sahip KdV
denklemi ve sonsuz derecede pertürbasyon uygulanılsa bile pertürbasyon teorisi ile
çözüme ulaşılamayan solitonlardır.
Bu bölümde, topolojideki homotopi kavramı ile pertürbasyon tekniğini
birleştirerek pertürbasyon metotlarının dezavantajlarını ortadan kaldıran ve sadece zayıf
nonlineer denklemler için değil aynı zamanda kuvvetli nonlineerliğe sahip denklemler
için de elde edilen çözümlerin, tüm çözüm bölgesinde geçerli olduğu, yarı analitik bir
metot olan homotopi pertürbasyon metodu tanıtılacaktır.
1.1.3. Homotopi Pertürbasyon Metodunun Tanımı ve Uygulamaları
Homotopi, diferansiyel topolojinin önemli bir konusudur. Bir nonlineer cebirsel
denklemin bütün köklerini bulmak için homotopi teknikleri uygulanabilir. Bunu
göstermek için aşağıdaki denklem göz önüne alınsın:
( x)
= 0
f , x ∈ IR . (1.1.1)
Bu denklemde homotopiyi uygulayabilmek için, ∈[
0,
1]
p bir gömme (embedding)
parametresi, x 0 , (1.1.1) denkleminin başlangıç yaklaşımı olmak üzere aşağıdaki
[ 0,
] IR
H : IR × 1 → homotopisi kurulabilir.
( , ) ( ) ( 1 ) [ ( ) ( 0 ) ] 0 = − − + = x f f p
pf p H ξ
ξ ξ , IR ∈ ξ , [ ] 1 , 0 ∈ p (1.1.2.a)
veya

( p)
= f ( ) − f ( x ) + pf ( x ) = 0
, 0
0
10
H ξ ξ
∈ IR
Bu denklemlerden
( , 0)
( ) ( 0 ) 0 = − = x f f
ξ , ∈[
0,
1]
p (1.1.2.b)
H ξ ξ
(1.1.3)
( ξ, 1)
= f ( ξ ) = 0
H (1.1.4)
olduğu açıktır.
p = 0 ’dan p = 1’e
değiştikçe, H ( , p)
ξ değeri f ( ξ ) − f ( x ) ’dan ( ξ )
bir topolojik deformasyondur. f ( ξ ) − f ( x ) ve ( ξ )
0
0
f ’ye değişir. Bu
f de homotopiktirler. 0 ≤ p ≤ 1
olduğundan gömme (embedding) parametresi “küçük parametre” olarak düşünülebilir.
Pertürbasyon tekniği uygulanarak, (1.1.2) denkleminin çözümü aşağıdaki gibi p ’nin
bir kuvvet serisi olarak yazılabilir;
2
ξ = ξ + p ξ + p ξ + ......
(1.1.5)
0
1
2
p parametresi 1’e yakınsarken (1.1.2.a.,b.) denklemleri, (1.1.1) denklemine karşı gelir
ve (1.1.5) serisi, (1.1.1) denkleminin bir yaklaşık çözümü olur ve çözüm
x = → ξ = ξ + ξ + ξ + ...
(1.1.6)
lim p 1 0 1 2
olarak bulunur.
(1.1.2) denkleminin yaklaşık çözümünü elde etmek için f ( ξ ) fonksiyonu, ξ 0 noktası
civarında Taylor serisine açılır;
2 1
2 2
f ( ξ ) = f ( ξ0
) + f ′ ( ξ0
)( pξ1
+ p ξ2
+ ... ) + f ′
( ξ0
)( pξ1
+ p ξ2
+ ... ) + ...
(1.1.7)
2!
(1.1.7) eşitliği, (1.1.2.b) eşitliğinde yerine konup, p ’nin kuvvetlerine göre katsayılar
eşitlenerek
( ) − f ( x ) = 0
p ξ , (1.1.8)
0
: f 0 0
( ) + f ( ) = 0
p ′ ξ ξ x , (1.1.9)
1
: f 0 1 0
2
1
2
p : f ′ ( ξ0 ) ξ 2 + f ′
( ξ 0 ) ξ1
= 0 , (1.1.10)
2!
3
1
1
3
p : f ′ ( ξ 0 ) ξ3
+ f ′
( ξ0
) 2ξ
′
1ξ
2 + f ( ξ 0 ) ξ1
= 0 , (1.1.11)
2!
3!
.
.
denklemleri elde edilir.

Đlk dört denklemden ξ 1 , ξ 2 , ξ3
çözülerek
( x0
)
′ ( ξ )
0
11
f
ξ1
= − , (1.1.12)
f
f ′′
ξ 2 = −
2!
ξ
3
= −
f ′′
bulunur.
2 ( ξ0
) ξ1
f ′ ( ξ )
0
( ξ0
) ξ1
f ′ ( ξ )
0
ξ
2
f ′′
= −
2!
f
−
f ′
3!
( ξ0
)
′ ( ξ )
0
3 ( ξ0
) ξ1
f ′ ( ξ )
0
⎛ f
⎜
⎝ f
( x0
)
′ ( ξ )
0
1 ⎛
= −
2 ⎜
⎝
2
⎟ ⎞
, (1.1.13)
⎠
f
f
′′ ( ξ0
)
′ ( ξ )
p = 1 iken birinci dereceden yaklaşık çözüm
( ξ 0 )
′ ( ξ )
0
0
2
⎞ ⎛ f
⎟
⎜
⎠ ⎝ f
( x0
)
′ ( ξ )
0
⎞
⎟
⎠
3
f ′ ′′
+
6 f
( ξ0
)
′ ( ξ )
0
⎛ f
⎜
⎝ f
( x0
)
′ ( ξ )
0
⎟ ⎞
⎠
3
(1.1.14)
f
x = ξ0
+ ξ1
= ξ 0 − , (1.1.15)
f
biçiminde elde edilir. Bu çözüm
x
n+1
= ξ −
n
f
f
( ξ n )
′ ( ξ )
n
. (1.1.16)
iterasyon formülü kullanılarak da yazılabilir.
(1.1.8) denkleminin bir çözümü olan ξ 0 = x0
da (1.1.16) denkleminde yerine konularak
( xn
)
′ ( x )
f
xn+1
= xn
−
(1.1.17)
f
n
Newton iterasyon formülü elde edilir. Benzer olarak ikinci dereceden yaklaşık çözüm
x = ξ + ξ + ξ , (1.1.18)
0
1
2
biçimindedir ve iterasyon formülüyle
x
n+
1
veya
( ξ n )
′ ( ξ )
( ξ n )
′ ( ξ )
( ξ n )
′ ( ξ )
2
2
⎟ f f ′
⎛ f ⎞
= ξ − −
⎜
n
, (1.1.19.a)
f n f n ⎝ f n ⎠
( xn
)
′ ( x )
( xn
)
′ ( x )
( xn
)
′ ( x )
2
1
2
⎟ f f ′
⎛ f ⎞
x = − −
⎜
n+
xn
. (1.1.19.b)
f n f n ⎝ f n ⎠
biçiminde gösterilir.Üçüncü dereceden yaklaşık çözüm ise
x = ξ + ξ + ξ + ξ
(1.1.20)
0
1
2
olduğundan iterasyon formülüyle
3

x
n+
1
veya
( ξ n )
′ ( ξ )
( ξ n )
′ ( ξ )
( ξ n )
′ ( ξ )
12
′
( ξ n )
′ ( ξ )
′′ ( ξ n )
′ ( ξ )
( ξ n )
′ ( ξ )
2
2
3
1
2
2
6
⎟ f f ′
⎛ f ⎞ ⎪
⎧ ⎛ f ⎞ f ′ ⎪
⎫⎛
f ⎞
= ξ − −
⎜
⎟ − ⎨ ⎜
⎟ − ⎬ ⎜
n
(1.1.21.a)
f n f n ⎝ f n ⎠ ⎪⎩ ⎝ f n ⎠ f n ⎪⎭ ⎝ f n ⎠
( xn
)
′ ( x )
( xn
)
′ ( x )
( xn
)
′ ( x )
′
( xn
)
′ ( x )
′′ ( xn
)
′ ( x )
( xn
)
′ ( x )
2
2
3
1
1
2
2
6
⎟ f f ′
⎛ f ⎞ ⎪
⎧ ⎛ f ⎞ f ′ ⎪
⎫⎛
f ⎞
x
⎜
⎟ − ⎨ ⎜
⎟ − ⎬ ⎜
n+
= xn
− −
(1.1.21.b)
f n f n ⎝ f n ⎠ ⎪⎩ ⎝ f n ⎠ f n ⎪⎭ ⎝ f n ⎠
ile verilir [47,48].
2
1.1.1.3. Örnek ( x)
= x + x − 2 = 0
f ikinci dereceden polinomunun çözümleri
Homotopi pertürbasyon metodu kullanılarak aşağıdaki gibi bulunur;
x 0 başlangıç çözümü ile başlanır ve ( ) ( ) ( )( ) 0 1
f ξ − f x = ξ − x ξ + x + =
0 =
( 1)
0 =
( 2)
denklemi çözülürse; ξ 0 ve ξ = −1
çözümleri bulunur. Bu çözümler ikinci
0
dereceden yaklaşık çözüm için (1.1.19.a) iterasyon formülünde yerine konularak
x
x
( 1)
( 1)
1
= ξ
0
( 2)
( 2)
1
( 1)
= ξ
0
f
−
f ′
f
−
f ′
( 1)
( ξ0
)
( 1)
( ξ )
0
( 2)
( ξ 0 )
( 2)
( ξ )
0
f ′
−
2 f ′
f ′
−
2 f ′
( 1)
( ξ 0 )
( 1)
( ξ )
0
( 2)
( ξ 0 )
( 2)
( ξ )
0
⎛ f
⎜
⎝ f ′
⎛ f
⎜
⎝ f ′
( 1)
( ξ 0 )
( 1)
( ξ )
0
⎞
⎟
⎠
( 2)
( ξ0
)
( 2)
2
( ξ )
0
⎞
⎟
⎠
f
= −
f
2
f
= −
f
0
( 0)
′ ( 0)
f ′
−
2 f
( −1)
′ ( −1)
0
( 0)
′ ( 0)
f ′
−
2 f
⎛ f
⎜
⎝ f
( −1)
′ ( −1)
0
( 0)
′ ( 0)
⎞
⎟
⎠
⎛ f
⎜
⎝ f
2
0
0
= −2
( −1)
′ ( −1)
2
x = −2
, x = 1 çözümleri elde edilir. Bulunan çözümler denklemin tam çözümleridir.
1
( )
1
1.1.1.4. Örnek f ( x)
= x − ε cosh x denkleminin x = 0 civarında bir kökünü bulmak
için x 0 başlangıç çözümü ile başlanarak (1.1.19.b) denkleminden sadece bir
0 =
iterasyonla
x
1
= x
0
−
f
f
( x0
)
′ ( x )
0
f ′
−
2 f
( x0
)
′ ( x )
0
⎛ f
⎜
⎝ f
( x0
)
′ ( x )
0
⎞
⎟
⎠
2
f
= −
f
( 0)
′ ( 0)
f ′
−
2 f
( 0)
′ ( 0)
⎛ f
⎜
⎝ f
⎞
⎟
⎠
2
2
( 0)
⎞ ε
⎟ = ε +
′ ( 0)
2
çözümü bulunur. ε = 0.
20 olduğunda, denklemin tam çözümü, x 0.
5050 iken ikinci
dereceden yaklaşık çözümü x 0.
49129 ’dur.
1 =
Yukarıda, cebirsel denklemleri çözmek için homotopi pertürbasyon metodu kullanılarak
oluşturulan yeni iteratif metodun yakınsaklığı analiz edilerek metodun en az üçüncü
dereceden yakınsak olduğu kanıtlanmıştır [48]:
⎠
1 =
2
0
= 1

13
(1.1.1) denkleminin çözümü için oluşturulan iteratif metot, aşağıdaki algoritmalardan
birisi kullanılarak verilebilir.
1.1.1.1. Algoritma Verilen bir ξ 0 için oluşturulan iteratif yöntemle
ξ
n+1
= ξ −
n
f
f
( ξ n )
′ ( ξ )
yaklaşık çözümü hesaplanır.
n
. (1.1.22)
1.1.1.2. Algoritma Verilen bir ξ 0 için oluşturulan iteratif yöntemle
( ξ n )
′ ( ξ )
( ξ n )
′ ( ξ )
( ξ n )
′ ( ξ )
2
1
2
⎟ f f ′
⎛ f ⎞
ξ = − −
⎜
n+
ξ n
(1.1.23)
f n f n ⎝ f n ⎠
yaklaşık çözümü hesaplanır.
1.1.1.3. Algoritma Verilen bir ξ 0 için oluşturulan iteratif yöntemle
( ξ n )
′ ( ξ )
( ξ n )
′ ( ξ )
( ξ n )
′ ( ξ )
′
( ξ n )
′ ( ξ )
′′ ( ξ n )
′ ( ξ )
( ξ n )
′ ( ξ )
2
2
3
1
1
2
2
6
⎟ f f ′
⎛ f ⎞ ⎪
⎧ ⎛ f ⎞ f ′ ⎪
⎫⎛
f ⎞
ξ ⎜
⎟ − ⎨ ⎜
⎟ − ⎬ ⎜
n+
= ξ n − −
(1.1.24)
f n f n ⎝ f n ⎠ ⎪⎩ ⎝ f n ⎠ f n ⎪⎭ ⎝ f n ⎠
yaklaşık çözümü hesaplanır.
Aşağıda 1.1.1.2.Algoritmanın yakınsaklığı incelenecektir.
1.1.1.6. Tanım = ξ − r , n . derecede kesme hatası olmak üzere
en n
en+
1
lim = c , (1.1.25)
n→∞
k
e
n
olacak biçimde bir k ≥ 1 sayısı ve bir c ≠ 0 sabiti varsa k ’ye metodun yakınsaklık
derecesi denir.
1.1.1.TEOREM: ( x)
= 0
f nonlineer bir denklem ve f yeterince diferansiyellenebilir
bir fonksiyon ise (1.1.23) denklemi ile tanımlanan iteratif metot için yakınsaklık
derecesi en az üçtür.
Kanıt: r , f ’nin bir kökü olsun. f yeterince diferansiyellenebildiğinden , r civarında
( )
n
f ξ , f ( ξ )
′ ve f ′ ( ξ )
n
= ξ − r olmak üzere ;
en n
′ fonksiyonları seriye açılarak
n
2 3 4 5
( ) f ′ ( r)[
e + c e + c e + c e + c e + ... ]
f ξ ,
n
= n 2 n 3 n 4 n 5 n
c
n
1 f
=
n!
f
( n)
( r)
′ ( r)
, n = 1,
2,
3,...
ve

14
( ) ( )[ ]
...
6
5
4
3
2
1
5
6
4
5
3
4
2
3
2
+
+
+
+
+
+
′
=
′ n
n
n
n
n
n
e
c
e
c
e
c
e
c
e
c
r
f
f ξ ,
( ) ( )[ ]
...
42
30
20
12
6
2
5
7
4
6
3
5
2
4
3
2
+
+
+
+
+
+
′
=
′
′ n
n
n
n
n
n
n
e
c
e
c
e
c
e
c
e
c
e
c
r
f
f ξ ,
(1.1.26)
denklemleri elde edilir. (1.1.26)’dan
( )
( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
+
+
+
+
=
′
−
−
...
4
3
2
1
...
4
3
2
3
4
2
3
2
3
5
2
4
3
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
e
c
e
c
e
c
e
c
e
c
e
c
c
e
f
f
r
ξ
ξ
ξ ,
( )
( )
( )
( )
2
2
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
′
′′
−
n
n
n
n
f
f
f
f
ξ
ξ
ξ
ξ
=
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
...
8
24
12
12
4
6
8
3
4
6
2
1
...
2
2
2
2
6
24
120
2
2
12
12
4
6
2
2
3
3
2
3
2
3
2
2
4
2
2
2
3
3
2
3
2
2
3
2
3
3
2
4
2
2
2
3
3
5
2
5
2
2
2
3
2
3
2
4
2
2
3
2
2
n
n
n
n
n
n
n
e
c
c
c
c
c
c
e
c
c
c
c
e
c
c
c
e
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
e
c
c
c
c
c
c
e
c
c
c
e
(1.1.27)
...
4
3
2
1
...
4
3
2
3
4
2
3
2
3
5
2
4
3
2
+
+
+
+
+
+
+
+
=
n
n
n
n
n
n
e
c
e
c
e
c
e
c
e
c
e
c
c
A
ve
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
...
8
24
12
12
4
8
9
4
6
2
1
...
2
2
2
2
6
24
120
2
2
12
12
4
6
2
2
1
3
3
2
3
2
3
2
2
4
2
2
2
3
2
3
2
2
3
2
3
3
2
4
2
2
2
3
3
5
2
5
2
2
2
3
2
3
2
4
2
2
3
2
n
n
n
n
n
n
e
c
c
c
c
c
c
e
c
c
c
e
c
c
c
e
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
e
c
c
c
c
c
c
e
c
c
c
B
olmak üzere
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
B
A
e
f
f
f
f
f
f
r n
n
n
n
n
n
n
n
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
′
′
′
−
′
−
−
2
2
2 ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ

3
2
2
3
8c2
− 2c3
− 4c2
+ [ 2c2
( 3c3
+ 13c2
+ 6c3
) − ( 12c4
+ 16c2c3
+ 2c2
) ] en
+ ...
2
2
3
2 2
( 1+
2c
e + 3c
e + ... ) ( 1+
( 2c
+ 4c
) e + ( 3c
+ 8c
+ 6c
+ 4c
) e + ... )
15
3
= e n
. (1.1.28)
2
2
n
3
Yukarıdaki terimlerin hepsi birleştirilerek
n
2
( 2)
( r)
′ ( r)
2
3
n
3
( 3)
( r)
′ ( r)
2
3
2
( 2)
( r)
′ ( )
1
1
1
lim 4 2 4
2 ⎟ e
⎛ f ⎞ f ⎛ f ⎞
= c − c − c = ⎜ ⎟ − − ⎜
⎠
n+
1 3
2
3 2 3 2
n→∞
⎜ 2!
⎟ 3!
⎜
e
⎝ f ⎠ f ⎝ 2!
f r
n
2
n
, (1.1.29)
elde edilen (1.1.29) denklemi, 1.1.1.2.Algoritmanın yakınsaklık derecesi en az üç olan
bir metot olduğunu gösterir.
Görüldüğü gibi, bu metot klasik Newton – Raphson iteratif kök bulma metodunu
modifikasyonları ile birlikte sistematik olarak vermektedir.
Homotopi pertürbasyon metodunun kullanıldığı en geniş alan diferansiyel
denklemlerdir. Metot, çözümü zor veya uzun olan bir nonlineer veya lineer problemi
çözümü kolay olan lineer denklem sistemine indirger. Bu çalışmada homotopi
pertürbasyon metodu diferansiyel denklemlere aşağıdaki gibi uygulanmıştır.
Homotopi pertürbasyon metodu, çeşitli lineer ve lineer olmayan denklemlerin
çözümü için alışılmamış ve etkin bir metottur. Genel nonlineer bir denklem üzerinde
metodun diferansiyel denklemlere uygulanışı gösterilsin. A genel bir diferansiyel
operatör, B bir sınır operatörü, f(r) bilinen analitik bir fonksiyon, Γ , Ω bölgesinin
sınırı olmak üzere;
A( u)
− f ( r)=0, r∈ Ω
(1.1.30)
nonlineer denkleminin sınır koşulları;
B ( u,
∂u
) = 0 , r∈ Γ
(1.1.31)
∂n
olsun. A operatörü, L bir lineer ve N bir nonlineer operatör olmak üzere; L ve N
gibi iki parçaya ayrılarak (1.1.30) denklemi aşağıdaki biçimde yeniden yazılır;
L ( u)
+ N ( u)
− f ( r ) = 0 (1.1.32)
I
R I
v : Ω× 0,
1 → R
bir dönüşüm, p ∈[
0,
1]
bir gömme parametresi,
Homotopi tekniğiyle, [ ]
u 0 (1.1.30) denkleminin sınır koşullarını sağlayan başlangıç yaklaşımı olmak üzere;
rrrr
(1.1.33.a) veya (1.1.33.b) denklemlerini sağlayan bir H ( v(
, p),
p)
= 0 homotopisi
aşağıdaki gibi oluşturulur.
rrrr
rrrr
H ( v ( , p),
p)
= ( 1−
p)
L(
v)
− L(
u0
) + p A(
v)
− f ( ) = 0,
p ∈ 0,1 , (1.1.33.a)
veya
[ ] [ ] [ ]

16
rrrr
rrrr
H v(
, p),
p)
= L(
v)
− L(
u ) + pL(
u ) + p
(1.1.33.b)
( 0
0
[ N(
v)
− f ( ) ] = 0
Homotopilerinden
( , 0 , 0)
( ) ( 0 ) = − = u L v L
v
rrrr
H (1.1.34)
( ) 0
ve
rrrr
rrrr
H ( v(
, 1),
1)
= A(
v)
− f ( =
(1.1.35)
denklemleri elde edilir.
)
p = 0 olduğunda (1.1.32) denklemi, lineer denklem olurken, p = 1 iken lineer olmayan
rrrr
orjinal denkleme dönüşür. p parametresinin p = 0 ’dan p = 1’e
değişimi, v(
p)
rrrr
çözüm serisinin, u ( ) başlangıç yaklaşımından, denklemin çözümü olan u ( )rrrr
’ye
0
değişimini verir. Bu bir deformasyondur.Bu durumda ( ) ( 0 ) 0 = − u L v L ve
rrrr
A ( v)
− f ( = denklemlerine de “homotopiktirler “denir. Burada görüldüğü gibi,
)
homotopi pertürbasyon metodunun amacı, çözümü zor bir problemin, çözümü basit olan
bir probleme sürekli bir deformasyonunu elde etmektir. Eğer p ( 0 ≤ p ≤ 1)
gömme
parametresi “küçük parametre” olarak düşünülürse, pertürbasyon tekniğiyle, (1.1.30)
denkleminin çözümü p ’nin kuvvet serisi olarak yazılabilir;
2
v = v + pv + p v + ...
(1.1.36)
0
1
2
p → 1 iken denklemin yaklaşık çözümü
u = lim p →1 v = v0
+ v1
+ v2
+ ...
(1.1.37)
olarak bulunur. Buradan da görüldüğü gibi, (1.1.30) denkleminin çözümü olan u ( )rrrr
ve
rrrr
başlangıç yaklaşımı u ( ) homotopiktirler. Bu yüzden uygun bir başlangıç yaklaşımı
0
ve uygun homotopi seçmek, problemin çözümü için önemlidir. Homotopinin uygun
seçilmemesi durumunda çözümün yakınsaklığının garanti edilememesi, başlangıç
yaklaşımının uygun olarak seçilmemesi durumunda istenilen çözüme ulaşılmaması,
çözümü bulmak için sonsuz iterasyon gerekmesi, alınan çoğu örnekte yakınsaklığın
sağlanmasına rağmen genel bir yakınsaklık kriteri verilmemiş olması bu metodun
dezavantajlarından bazılarıdır. Metodun en büyük avantajı ise metodun klasik
pertürbasyon tekniklerinin kısıtlamalarını ortadan kaldırıp, birçok alanda nonlineer tipte
probleme uygulanması ve istenilen çözümlerin elde edilmesidir. Metodun yakınsaması
homotopi yolunun doğru seçimine bağlıdır.

17
1.2. Değişken Katsayılı Isı -Tipi ve Dalga-Tipi Denklemlerin Çözümü için He’nin
Homotopi Pertürbasyon Metodu
Literatürde, fiziksel problemler için büyük ilgi gören ısı-tipi ve dalga-tipi
modeller üzerine çalışmalar vardır [49-55]. Bu fiziksel problemler, deprem şiddeti [49],
bir çok bükümlü, iki katlı süper iletken yassı telde bağlaşımlı akımlar [50], topraktaki
homojen olmayan elastik dalgalar [51], vb. fenomenleri tanımlarlar. Diğer taraftan
Navier-Stokes denklemleri, bazı özel durumlarda çeşitli ısı-tipi denklemlere
dönüştürülebilirler. Bu da bu tip problemlerin fiziksel bilimlerde önemini ortaya koyar.
Literatürde olmasına rağmen çözümlerin analizi yapılamadığı için seri tabanlı
çözümlere ihtiyaç duyulduğu açıktır. Seri çözüm elde eden bu tip tekniklerden biri de
Adomian ayrışım metodudur (ADM) . Örneğin Wazwaz ve Gorguis [53] değişken
katsayılı ısı -tipi ve dalga-tipi denklemlerin çözümü için Adomian ayrışım metodunu
uygulamışlardır. Momani [54] aynı metodu değişken katsayılı zaman kesirsel ısı -tipi
ve dalga-tipi denklemlere uygulamıştır. Shou ve He [55] farklı ısı-tipi ve dalga-tipi
denklemleri çözmek için varyasyonel iterasyon metodunu kullanmışlar ve bu metot ile
Adomian polinomlarının karmaşık hesabında ortaya çıkan hataları ortadan
kaldırmışlardır. Bu yöntemlerin her birinin olumlu ve olumsuz yönleri vardır.
Çalışmamızda, ısı-tipi ve dalga-tipi denklemlere, He’nin homotopi pertürbasyon
metodu uygulanarak metodun kolaylığı ve doğruluğu gösterildi. Bu metot, son
zamanlarda fizik ve mühendislikte kullanılan çeşitli problemler için başarıyla
kullanılmıştır.

18
1.2.1. Denklemin çözümü için homotopi pertürbasyon metodu
A genel bir diferansiyel operatör, B bir sınır operatörü, f(r) bilinen bir analitik
fonksiyon, Γ , Ω bölgesinin sınırı olmak üzere, aşağıdaki nonlineer diferansiyel
denklem göz önüne alınsın;
A( u)
− f ( r)=0, r∈ Ω
(1.2.1)
Sınır koşulları;
B ( u,
∂u
) = 0 , r∈ Γ
(1.2.2)
∂n
A operatörü, L lineer ve N nonlineer operatör olmak üzere; L ve N gibi iki
parçaya ayrılabilir . (1.2.1) denklemi aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilir ;
L ( u)
+ N ( u)
− f ( r ) = 0 . . (1.2.3)
R
v : Ω × 0,
1 → olmak üzere; p ∈[
0,
1]
’ nin bir
Homotopi tekniğini kullanarak, [ ]
gömme parametresi, u 0 ’ın (1.2.1) denkleminin sınır koşullarını sağlayan başlangıç
rrrr
yaklaşımı olduğu, (1.2.4.a) veya (1.2.4.b) denklemlerini sağlayan bir H ( v(
, p),
p)
= 0
homotopisi oluşturulur.
rrrr
rrrr
H ( v ( , p),
p)
= ( 1−
p)
L(
v)
− L(
u0
) + p A(
v)
− f ( ) = 0,
p ∈ 0,1 , (1.2.4.a)
[ ] [ ] [ ]
veya
rrrr
rrrr
H v(
, p),
p)
= L(
v)
− L(
u ) + pL(
u ) + p
(1.2.4.b)
( 0
0
[ N(
v)
− f ( ) ] = 0
(1.2.4.a) veya (1.2.4.b) denklemlerinden
( , 0 , 0)
( ) ( 0 ) = − = u L v L
v
rrrr
H (1.2.5)
( ) 0
ve
rrrr
rrrr
H ( v(
, 1),
1)
= A(
v)
− f ( =
(1.2.6)
)
denklemleri elde edilir.
rrrr
p parametresinin, p = 0 ’dan p = 1’e
değişimi, v(
p)
çözüm serisinin,
rrrr
u ( ) başlangıç yaklaşımından, denklemin çözümü olan u ( )rrrr
’ye değişimini verir.
0

Buna topolojide deformasyon denir. Ayrıca ( ) ( 0 ) 0 = − u L v L ve
19
A ( v)
− f (
denklemlerine de “homotopiktirler “denir. Eğer p ; ( 0 ≤ p ≤ 1)
gömme (embedding)
parametresi “küçük parametre” olarak düşünülürse, klasik pertürbasyon tekniği
uygulanarak, (1.2.4) denkleminin çözümü p ’nin kuvvet serisi olarak yazılabilir;
2
v = v + pv + p v + ...
(1.2.7)
0
1
2
p parametresi 1’e yakınsarken (1.2.1) denkleminin yaklaşık çözümü ;
u = p → v = v + v + v + ...
(1.2.8)
lim 1 0 1 2
olarak bulunur.
He’nin homotopi pertürbasyon metodunun başlıca avantajlarından biri, pertürbasyon
denkleminin topolojideki homotopi kavramını kullanarak, serbestçe birçok farklı şekilde
oluşturulabilmesidir. Bu çalışmada homotopi pertürbasyon metodu, değişken katsayılı
ısı-tipi ve dalga-tipi modellere uygulanmıştır.
)
rrrr
=

1.2.2. Isı-tipi modeller
20
Yerkabuğunda, dipteki doygun-akışkan gözenekli ortamda akışkan geçişini
gösteren termo-gözenekli-elastik denklemler ve termo-gözenekli-elastisite teorisi, her
zaman ısı-tipi denklemlerle ifade edilebilir. Homotopi pertürbasyon metodunu
kullanarak çözümü göstermek için aşağıdaki örnekler göz önüne alınmıştır.
1.2.2.1.Örnek
Sınır koşulları:
( 0 , t)
= 0,
t
u u ( 1,
t)
= e ,
(1.2.9)
Başlangıç koşulu:
2 ( x,
0)
x .
u = (1.2.10)
olan
1 2
u xx
t = x u , 0 < x < 1,
t > 0,
(1.2.11)
2
bir-boyutlu başlangıç ve sınır değer problemi homotopi pertürbasyon metodu ile
aşağıdaki gibi çözülür.
He’nin homotopi pertürbasyon metoduna göre, aşağıdaki homotopi oluşturulur:
2
∂v
∂u0
⎛ 1 2 ∂ v ∂u0
⎞
H ( v,
p)
= − − p ⎜ x − = 0
2
2
⎟
(1.2.12)
∂t
∂t
⎝ ∂x
∂t
⎠
Çözüm serisi
2 3
v = v + pv + p v + p v + .....
(1.2.13)
0
1
2
3
biçimindedir. (1.2.10) başlangıç koşulu göz önüne alınarak ( ) 2
u 0 x,
t = x seçilip, u 0 ve
(1.2.13) denklemi, (1.2.12) denkleminde yerine konup p ’nin aynı kuvvetlerinin
katsayıları eşitlenerek, aşağıdaki diferansiyel denklem sistemi elde edilir.
0 ∂v0
∂u0
p : − = 0,
∂t
∂t
2
1 ∂v1
1 2 ∂ v0
∂u0
p : = x − ,
2
∂t
2 ∂x
∂t
0
2 ( x,
0)
x
v = ,
1
( x,
0)
= 0
v ,

2
2 ∂v2
1 2 ∂ v1
p : = x , 2
∂t
2 ∂x
2
3 ∂v3
1 2 ∂ v2
p : = x , 2
∂t
2 ∂x
2
4 ∂v4
1 2 ∂ v3
p : = x , 2
∂t
2 ∂x
.
.
2
n ∂vn 1 2 ∂ vn−1
p : = x , 2
∂t
2 ∂x
.
.
.
Sistem çözülerek
2 ( x t)
v = ,
v
0 , x
2 ( x t)
x t
1 , = ,
2 2
x t
v 2 ( x,
t)
= ,
2!
21
2
( x,
0)
= 0
v ,
3
( x,
0)
= 0
v , (1.2.14)
4
( x,
0)
= 0
v ,
( x,
0)
= 0
vn , ( n = 2,3,4,….)
2 3
x t
v 3(
x,
t)
= , (1.2.15)
3!
2 4
x t
v 4 ( x,
t)
= ,
4!
.
.
2 n
x t
vn
( x,
t)
= ,
n!
.
.
.
çözümleri elde edilir.

22
p parametresi 1’e yakınsarken (1.2.11) denkleminin çözümü ;
u = p → v = v + v + v + ...
(1.2.16)
lim 1 0 1 2
olmak üzere
u(
x,
t)
= x
2
2 2
2 x t
+ x t +
2!
+
2
x t
3!
3
+
2
x t
4!
4
2
x t
+ ...... +
n!
bulunur. Bulunan bu seri çözümün kapalı formu
u(
x,
t)
=
t
x e
2
incelenen problemin tam çözümünü verir.
1.2.2.2.Örnek
Neumann sınır koşulları:
( 0 , y,
t)
= 0,
u x u x ( 1, y,
t)
= 2sinh
t,
( x,
0,
t)
= 0,
n
+ .......
(1.2.17)
(1.2.18)
u y u y ( x,
1,
t)
= 2cosh
t,
(1.2.19)
ve başlangıç koşulu:
2 ( x,
y,
0)
y .
u = (1.2.20)
olan
2 ( y u + x u ) , 0 < x,
y < 1,
> 0,
1 2
u yy
t = xx
t
(1.2.21)
2
iki-boyutlu ısı-tipi modeli, homotopi pertürbasyon metodu ile aşağıdaki gibi çözülür.
2
2
∂v
∂u0
1 ⎛ 2 ∂ v 2 ∂ v ∂u0
⎞
H ( v,
p)
= − − p
= 0,
2
2
2 ⎜ y + x − ⎟
(1.2.22)
∂t
∂t
⎝ ∂x
∂y
∂t
⎠
2
Homotopisi oluşturulup (1.2.20) başlangıç koşulu göz önüne alınıp u ( x,
y,
t)
= y
seçilerek, u 0 ve (1.2.13) denklemi, (1.2.22) denkleminde yerine konup p ’nin aynı
kuvvetlerinin katsayıları eşitlenerek, aşağıdaki diferansiyel denklem sistemi elde edilir.
0 ∂v0
∂u0
p : − = 0,
∂t
∂t
2
2
1 ∂v
1 ⎛ 1
2 ∂ v0
2 ∂ v0
∂u
⎞ 0
p : =
,
2
2
2 ⎜ y + x −
⎟
∂t
⎝ ∂x
∂y
∂t
⎠
0
0
2 ( x,
y,
0)
y
v = ,
1
( x,
y,
0)
= 0
v ,

2
2
2 ∂v
1 ⎛ 2
2 ∂ v1
2 ∂ v ⎞ 1
p : =
,
2
2
2 ⎜ y + x
⎟
∂t
⎝ ∂x
∂y
⎠
2
2
3 ∂v
1 ⎛ 3
2 ∂ v2
2 ∂ v ⎞ 2
p : =
,
2
2
2 ⎜ y + x
⎟
∂t
⎝ ∂x
∂y
⎠
2
2
4 ∂v
1 ⎛ 4
2 ∂ v3
2 ∂ v ⎞ 3
p : = ⎜
⎟,
2
2
2 ⎜
y + x
∂t
⎟
⎝ ∂x
∂y
⎠
.
.
.
.
.
.
.
2
2
5 ∂v
1 ⎛ 5
2 ∂ v4
2 ∂ v ⎞ 4
p : =
,
2
2
2 ⎜ y + x
⎟
∂t
⎝ ∂x
∂y
⎠
2
2
6 ∂v
1 ⎛ 6
2 ∂ v5
2 ∂ v ⎞ 5
p : =
,
2
2
2 ⎜ y + x
⎟
∂t
⎝ ∂x
∂y
⎠
2
2
n ∂v 1 ⎛ 2
2 ⎞
n ∂ vn−1
∂ vn−1
p : = ⎜
⎟,
2
2
2 ⎜
y + x
∂t
⎟
⎝ ∂x
∂y
⎠
23
2
( x,
y,
0)
= 0
v ,
3
( x,
y,
0)
= 0
v ,
4
( x,
y,
0)
= 0
v ,
5
( x,
y,
0)
= 0
v ,
6
( x,
y,
0)
= 0
v ,
v n
( x,
y,
0)
= 0
. (1.2.23)
Sistem çözülerek
0
2 ( x,
y,
t)
y
v = ,
v
1
2 ( x y,
t)
x t
, = ,
2 2
y t
v 2 ( x,
y,
t)
= ,
2!
2 3
x t
v 3(
x,
y,
t)
= , (1.2.24)
3!
2 4
y t
v 4 ( x,
y,
t)
= ,
4!
,

2 5
x t
v 5 ( x,
y,
t)
= ,
5!
2 6
y t
v 6 ( x,
y,
t)
= ,
6!
.
.
.
2 2n
y t
v2n
( x,
y,
t)
= ,
( 2n)!
.
.
.
v
2n
+ 1
( x,
y,
t)
2 2n+
1
x t
= ,
( 2n
+ 1)!
çözümleri elde edilir.
(1.2.13) denkleminde p parametresi 1’e yakınsarken (1.2.21) denkleminin çözümü
u = lim p →1 v = v0
+ v1
+ v2
olmak üzere
u
2
y t
2!
2
+ ...
2
x t
3!
3
2
y t
4!
24
2
x t
5!
2
y t
6!
2 2
( x,
y,
t)
= y + x t + + + + + + .......... .
4
( ) ( ) ⎟ 2 4 6
2n
3 5
2n+
1
2⎛
t t t t ⎞ 2⎛
t t t ⎞
= y ⎜
⎜1+
+ + + .... + + .... ⎟ + x ⎜
⎜t
+ + + ........ + + ....... (1.2.25)
⎝ 2!
4!
6!
2n
! ⎠ ⎝ 3!
5!
2n
+ 1 ! ⎠
elde edilir.
Bulunan çözüm serisi kapalı formda yazılırsa
2
2
( x,
y,
t)
y cosh t + x t
u = sinh
(1.2.26)
problemin tam çözümünü verir.
1.2.2.3.Örnek
Neumann sınır koşulları:
( 0 , y,
z,
t)
= 0,
4 4 t
u u ( 1,
y,
z,
t)
= y z ( e −1),
( x,
0,
z,
t)
= 0,
4 4 t
u u ( x,
1,
z,
t)
= x z ( e −1),
(1.2.27)
( x,
y,
0,
t)
= 0,
4 4 t
u u
( x,
y,
1,
t)
= x y ( e −1),
5
6

Başlangıç koşulu:
( x,
y,
z,
0)
= 0.
25
u (1.2.28)
1 2
ut xx yy zz
4 4 4
2 2
olan = x y z + ( x u + y u + z u ) , 0 < x,
y,
z < 1,
t > 0,
(1.2.29)
36
üç-boyutlu, homojen olmayan başlangıç ve sınır değer problemi homotopi pertürbasyon
metodu kullanılarak çözülür. Burada homotopi
∂v
∂u
⎛ 0 4
H(
v,
p)
= − − p⎜
⎜
x y
∂t
∂t
⎝
0 < x,
y,
z < 1,
t > 0,
4
z
4
+
1
36
⎛
⎜ x
⎝
2
2
∂ v
+ y 2
∂x
2
2
∂ v
+ z 2
∂y
2
2
∂ v ⎞ ∂u
⎞ 0
− ⎟ = 0
2 ⎟
∂z
∂ ⎟
⎠ t ⎠
4 4 4
biçiminde alınırsa (1.2.28) başlangıç koşulu göz önüne alınıp u ( x,
y,
z,
t)
= x y z t
seçilerek, u 0 ve (1.2.13) denklemi, (1.2.30) denkleminde yerine konup p ’nin aynı
0
,
(1.2.30)
kuvvetlerinin katsayıları eşitlenerek, aşağıdaki diferansiyel denklem sistemi elde edilir.
0 ∂v0
∂u0
p : − = 0,
∂t
∂t
1
p
2
p
3
p
.
.
.
n
p
.
2
2
2
∂v ⎛ v v v ⎞
1 4 4 4 1 2 ∂ 0 2 ∂ 0 2 ∂ 0 ∂u0
: = x y z + ⎜ x y z ⎟ −
t
⎜
+ +
2
2
2
∂
36 x y z ⎟
⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠ ∂t
∂v2
4
: = x y
∂t
∂v3
4
: = x y
∂t
4
4
z
z
4
4
+
+
1 ⎛
⎜ x
36 ⎝
2
1 ⎛
⎜ x
36 ⎝
2
∂
v
2
1
2
∂x
∂
v
2
2
2
∂x
+ y
+ y
2
2
∂
v
2
1
2
∂y
∂
v
2
2
2
∂y
+ z
2
+ z
2
2
∂ v ⎞ 1
⎟
2
∂z
⎠
∂
v
2
2
2
∂z
2
2
2
∂v ⎛
⎞
n 4 4 4 1 2 ∂ vn−1
2 ∂ vn−1
2 ∂ vn−1
: = x y z + ⎜
⎟
⎜
x + y + z
2
2
2
∂t
36
⎟
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
⎞
⎟
⎠
0
( x,
y,
z,
0)
= 0
v ,
1
( x,
y,
z,
0)
= 0
v ,
2
( x,
y,
z,
0)
= 0
v ,
3
( x,
y,
z,
0)
= 0
v ,
v n
( x,
y,
z,
0)
= 0
( n = 2,3,4,….)
. (1.2.31)

Sistem çözülerek
v
0
4 4 4
( x y,
z,
t)
x y z t
, = ,
4 4 4 2
x y z t
v 1(
x,
y,
z,
t)
= ,
2!
4 4 4 3
x y z t
v 2 ( x,
y,
z,
t)
= ,
3!
26
4 4 4 4
x y z t
v 3 ( x,
y,
z,
t)
= , (1.2.32)
4!
.
.
.
.
.
v
n
( x,
y,
z,
t)
4 4 4 n
x y z t
=
( n + 1)!
çözümleri elde edilir.
+ 1
,
(1.2.13) denkleminde, p parametresi 1’e yakınsarken, (1.2.29) denkleminin çözümü
u = lim p →1 v = v0
+ v1
+ v2
olmak üzere
u
( x,
y,
z,
t)
+ ...
4 4 4
4 4 4 x y z t
= x y z t +
2!
2
x
+
4
4
y z
3!
2 3 4
4 4 4⎛
t t t
= x y z ⎜
⎜t
+ + + + ...... +
⎝ 2!
3!
4!
bulunur. Bu seri çözümün kapalı formu
4 4 4 t
( x,
y,
z,
t)
= x y z ( e −1)
4
t
3
x
+
t
4
n+
1
4
y z
4!
( ) ⎟⎟ n + 1 !
4
⎞
.
⎠
t
4
4 4 4 n
x y z t
+ ...... +
!
( n + 1)
+ 1
+ .......... .
(1.2.33)
u (1.2.34)
problemin tam çözümünü verir.

1.2.3. Dalga tipi modeller
Aşağıdaki dalga tipi denklemlerde de homotopi pertürbasyon metodu kullanılarak
çözümler elde edilmiştir.
1.2.2.4.Örnek
Neumann sınır koşulları:
( 0 , t)
= 0,
27
u u ( 1, t)
= 1+
sinht,
(1.2.35)
Başlangıç koşulları:
( x,
0)
x,
2
u = ut ( x,
0)
= x .
(1.2.36)
olan
1 2
u xx
tt = x u , 0 < x < 1,
t > 0,
(1.2.37)
2
bir-boyutlu başlangıç ve sınır değer probleminde
2 2
2 2
∂ v ∂ u ⎛ 0 1 2 ∂ v ∂ u ⎞ 0
H ( v,
p)
= − − p⎜
⎟ = 0,
2 2 ⎜
x − 2 2
∂ ∂ 2
⎟
(1.2.38)
t t ⎝ ∂x
∂t
⎠
homotopisi kullanılarak (1.2.36) başlangıç koşulları göz önüne alınıp u ( x t)
= x t + x
2
seçilerek, u 0 ve (1.2.13) denklemi, (1.2.38) denkleminde yerine konup p ’nin aynı
kuvvetlerinin katsayıları eşitlenerek, aşağıdaki diferansiyel denklem sistemi elde edilir.
2 2
0 ∂ v0
∂ u0
p : - = 0,
2 2
∂t
∂t
2
2 2
1 ∂ v1
1 2 ∂ v0
∂ u0
p : = x − ,
2
2 2
∂t
2 ∂x
∂t
2
2
2 ∂ v2
1 2 ∂ v1
p : = x ,
2
2
∂t
2 ∂x
2
2
3 ∂ v3
1 2 ∂ v2
p : = x ,
2
2
∂t
2 ∂x
.
.
.
2
0 ( x,
0)
x , v0 ( x,
0)
= x
t
v =
1
( x,
0)
= 0
v , ( x,
0)
= 0
2
( x,
0)
= 0
v1 t
v , ( x,
0)
= 0
3
( x,
0)
= 0
v2 t
v , ( x,
0)
= 0
v3 t
0 ,

.
2
2
n ∂ vn 1 2 ∂ vn−1
p : = x ,
2
2
∂t
2 ∂x
.
.
.
.
.
.
Sistem çözülerek
( x t)
= x t x
2
v 0 , + ,
2 3
x t
v 1(
x,
t)
= ,
3!
2 5
x t
v 2 ( x,
t)
= ,
5!
28
( x,
0)
= 0
vn , n ( x,
0)
= 0 ( n = 2,3,4,….)
v t
(1.2.39)
2 7
x t
v 3 ( x,
t)
= , (1.2.40)
7!
.
.
.
.
.
.
v
n
( x,
t)
2 2n+
1
x t
= ,
( 2n
+ 1)!
çözümleri elde edilir.
(1.2.13) denkleminde, p parametresi 1’e yakınsarken, (1.2.37) denkleminin çözümü
u = lim p →1 v = v0
+ v1
+ v2
olmak üzere;
+ ...

u
( x,
t)
2 3
2 x t
= x + x t +
3!
+
2
x t
5!
5
+
2
x t
7!
7
29
x
+ ..... +
t
2 2n+
1
( 2n
+ 1)
+ ... ..
!
( ) ⎟ 3 5 7
2n+
1
2⎛
t t t t ⎞
= x + x ⎜
⎜t
+ + + + .... + + ......
⎝ 3!
5!
7!
2n
+ 1 ! ⎠
bulunur. Seri çözümün kapalı formu
2
( x,
t)
x + x t
(1.2.41)
u = sinh
(1.2.42)
problemin tam çözümüdür.
1.2.2.5.Örnek
Neumann sınır koşulları:
( 0 , y,
t)
= 0,
u x u x ( 1, y,
t)
= 4cosh
t,
( x,
0,
t)
= 0,
u y u y ( x,
1,
t)
= 4sinh
t,
(1.2.43)
Başlangıç koşulları:
4 ( x,
y,
0)
x ,
4
u = ut ( x,
y,
0)
= y .
(1.2.44)
olan
2 ( x u + y u ) , 0 < x,
y < 1,
> 0,
1 2
u yy
tt = xx
t
(1.2.45)
12
iki boyutlu başlangıç ve sınır değer probleminde aşağıdaki homotopi oluşturularak
2 2
2
2 2
∂ v ∂ u 1 ⎛
0
2 ∂ v 2 ∂ v ∂ u ⎞ 0
H ( v,
p)
= − − p ⎜
⎟ = 0,
2 2
2
2 2
12 ⎜
x + y −
∂ ∂
⎟
(1.2.46)
t t ⎝ ∂x
∂y
∂t
⎠
4 4
(1.2.44) başlangıç koşulları göz önüne alınıp u ( x,
y,
t)
y t + x
0
= seçilerek, 0
(1.2.13) denklemi (1.2.46) denkleminde yerine konup p ’nin aynı kuvvetlerinin
katsayıları eşitlenerek, aşağıdaki diferansiyel denklem sistemi elde edilir.
u ve

2 2
0 ∂ v0
∂ u0
p : − = 0,
2 2
∂t
∂t
30
2
2
2 2
1 ∂ v 1 ⎛
1
2 ∂ v0
2 ∂ v0
∂ u ⎞ 0
p : =
,
2
2
2 2
12 ⎜ x + y −
⎟
∂t
⎝ ∂x
∂y
∂t
⎠
2
2
2
2 ∂ v 1 ⎛
2
2 ∂ v1
2 ∂ v ⎞ 1
p : =
,
2
2
2
12 ⎜ x + y
⎟
∂t
⎝ ∂x
∂y
⎠
2
2
2
3 ∂ v 1 ⎛
3
2 ∂ v2
2 ∂ v ⎞ 2
p : =
,
2
2
2
12 ⎜ x + y
⎟
∂t
⎝ ∂x
∂y
⎠
.
.
.
.
.
2
2
2
n ∂ v 1 ⎛ 2
2 ⎞
n ∂ vn−1
∂ vn−1
p : =
,
2
2
2
12 ⎜ x + y
⎟
∂t
⎝ ∂x
∂y
⎠
.
.
.
Sistem çözülerek
0
4 4
( x,
y,
t)
y t x
v = + ,
4 2 4 3
x t y t
v 1(
x,
y,
t)
= + ,
2!
3!
4 ( x,
y,
0)
x
4
v 0 = , 0 ( x,
y,
0)
y
1
( x,
y,
0)
= 0
v t =
v , ( x,
y,
0)
= 0
2
( x,
y,
0)
= 0
v1 t
v , ( x,
y,
0)
= 0
3
( x,
y,
0)
= 0
v2 t
v , ( x,
y,
0)
= 0
( x,
y,
0)
= 0
v3 t
vn , ( x,
y,
0)
= 0
vn t
( n = 2,3,4,….)
(1.2.47)

4 4 4 5
x t y t
v 2 ( x,
y,
t)
= + ,
4!
5!
31
4 6 4 7
x t y t
v 3 ( x,
y,
t)
= + , (1.2.48)
6!
7!
.
.
.
.
.
v
n
( x,
y,
t)
x t
=
4 2n
+
y
4 2n+
1
( 2n)
! ( 2n
+ 1)!
çözümleri elde edilir.
t
,
(1.2.13) denkleminde, p parametresi 1’e yakınsarken, (1.2.45) denkleminin çözümü
u = lim p →1 v = v0
+ v1
+ v2
olmak üzere
u
2
t
2!
+ ...
3
t
3!
4 4 4 4 4 4 4 4
( x,
y,
t)
= x + y t + x + y + x + y + x + y + ......
4
t
4!
5
t
5!
⎟ 2 4 6
3 5 7
4⎛
t t t ⎞ 4 ⎛ t t t ⎞
= x ⎜
⎜1+
+ + + ... ⎟ + y ⎜
⎜1+
t + + + + .....
(1.2.49)
⎝ 2!
4!
6!
⎠ ⎝ 3!
5!
7!
⎠
bulunur. Seri çözümün kapalı formu
4
4
u ( x,
t)
= x cosh t + y sinh t
(1.2.50)
incelenen problemin tam çözümüdür
1.2.2.6.Örnek
Sınır koşulları:
2 t 2 t
( ) = ( − ) + ( − )
u 0, y, z, t y e 1 z e 1 ,
−
2 t 2 t
( ) = ( + )( − ) + ( − )
u 1, y, z, t 1 y e 1 z e 1 ,
−
2 t 2 t
( ) = ( − ) + ( −
)
u x,0, z, t x e 1 z e 1 ,
−
6
t
6!
7
t
7!

2 t 2 t
( ) = ( + )( − ) + ( − )
u x,1, z, t 1 x e 1 z e 1 ,
−
2 2 t
( ) = ( + )( − )
u x, y,0, t x y e 1 ,
2 2 t t
( ) ( )( ) ( )
32
u x, y,1, t x y e 1 e 1 ,
−
= + − + − (1.2.51)
Başlangıç koşulu:
2 2 2
( , , ,0) 0, ( , , ,0)
u x y z = u x y z = x + y − z
(1.2.52)
olan
t
2 2 2 1 2 2 2
utt = ( x + y + z ) + ( x uxx + y uyy + z uzz ) , 0 < x, y, z < 1, t > 0,
(1.2.53)
2
üç-boyutlu başlangıç ve sınır değer probleminde
2 2
∂ v ∂ u ⎡
⎤
0
H ( v,
p)
= − − p
2 2 ⎢
2
2
2 2 ⎥
∂t
∂t
⎣
2 ⎜
⎟
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠ ∂t
⎦
2
2
2 2
2 2 2 1 ⎛ 2 ∂ v 2 ∂ v 2 ∂ v ⎞ ∂ u0
( x + y + z ) + ⎜ x + y + z ⎟ − = 0
homotopisi oluşturularak (1.2.52) başlangıç koşulu göz önüne alınıp
0
2 2 2
( , , , ) ( )
(1.2.54)
u x y z t = x + y − z t seçilerek, u 0 ve (1.2.13) denklemi (1.2.54) denkleminde
yerine konup p ’nin aynı kuvvetlerinin katsayıları eşitlenerek, aşağıdaki diferansiyel
denklem sistemi elde edilir.
2 2
0 ∂ v0
∂ u0
p : − = 0,
2 2
∂t
∂t
∂
⎛
⎜
⎝
1 ⎛
2 ⎜
⎝
∂
( x,
y,
z,
0)
= 0
2 2 2
v 0
, v0 ( x,
y,
z,
0)
= x + y − z
t
1
p : ( ) ⎟ 2
2
2
2
2
1 ⎜ 2 2 2
2 0 2 0 2 0
0
= x + y + z + ⎜ x + y + z ⎟ −
2
2
2
2
2
2
p :
∂t
∂
v
v
2
2
2
∂t
1 ⎛
=
⎜ x
2 ⎝
2
∂
v
2
1
2
∂x
+ y
2
∂
v
2
1
2
∂y
v
∂x
+ z
2
2
∂ v ⎞ 1
⎟
2
∂z
⎠
∂
v
∂y
∂
v
∂z
1
⎞
⎟
⎠
∂
u
∂t
⎞
⎠
( x,
y,
z,
0)
= 0
v , ( x,
y,
z,
0)
= 0
2
( x,
y,
z,
0)
= 0
v1 t
v , ( x,
y,
z,
0)
= 0
v2 t

.
.
.
.
3
p :
n
p
.
.
.
∂
v
2
3
2
∂t
1 ⎛
=
⎜ x
2 ⎝
2
∂
v
2
2
2
∂x
+ y
2
∂
v
2
2
2
∂y
+ z
2
∂
v
2
2
2
∂z
33
2
2
2
2
∂ v ⎛
⎞
n 1 2 ∂ vn−1
2 ∂ vn−1
2 ∂ vn−1
: = ⎜
⎟
⎜
x + y + z
2
2
2
2
∂t
2
⎟
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
Sistem çözülerek
0
2 2 2
( x,
y,
z,
t)
= ( x + y z ) t,
v −
2
t
v1 −
2!
2 2 2
2 2 2
( x,
y,
z,
t)
= ( x + y + z ) + ( x + y z ) ,
4
t
v2 −
4!
⎞
⎟
⎠
3
t
3!
5
t
5!
2 2 2
2 2 2
( x,
y,
z,
t)
= ( x + y + z ) + ( x + y z ) ,
3
( x,
y,
z,
0)
= 0
v , ( x,
y,
z,
0)
= 0
( x,
y,
z,
0)
= 0
v3 t
vn , ( x,
y,
z,
0)
= 0
vn t
( n = 2,3,4,….)
(1.2.55)
6
7
2 2 2 t 2 2 2 t
v3 ( x,
y,
z,
t)
= ( x + y + z ) + ( x + y − z ) ,
(1.2.56)
6!
7!
.
.
.
2 2 2
( x,
y,
z,
t)
= ( x + y + z )
( 2n)
2n+
1
2 2 2 t
( x + y − z ) ,
( )
2n
t
vn
+
( n = 1,2,3,4,….)
!
2n
+ 1 !
.
.
çözümleri bulunur.

34
(1.2.13) denkleminde, p parametresi 1’e yakınsarken, (1.2.53) denkleminin çözümü
u = lim p →1 v = v0
+ v1
+ v2
olmak üzere
+ ...
2 3 4 n+
1
⎛ ⎞
2 2 t t t t
u ( x, y, z, t) = ( x + y ) ⎜
t + + + + ....... + + ....... ⎟ +
2! 3! 4! ( n + 1 ) ! ⎟
⎝ ⎠
2 3 4 5 n+
1
⎛ 2 t t t t t ⎞
n
( )
( n + )
z ⎜
− t + − + − + ....... + − 1 + ...... ⎟
2! 3! 4! 5! 1 ! ⎟
⎝ ⎠
elde edilir. Seri çözümün kapalı formu
2 2 t 2 t
u ( x, y, z, t ) =( x y )( e 1) z ( e 1)
−
problemin tam çözümünü verir.
(1.2.57)
+ − + − (1.2.58)
Görüldüğü gibi, örneklerin hepsinde, uygun homotopi ve uygun başlangıç
yaklaşımları seçildiğinden tam çözümler elde edilmiştir. Yukarıdaki örneklerde bulunan
çözümlerin yakınsaklık analizi, 1.2.4 alt bölümünde verilecektir.
1.2.4. Homotopi pertürbasyon metodunun değişken katsayılı ısı-tipi ve dalga-tipi
denklemler için yakınsaklığı
J.Biazar ve H.Ghazvini’nin makalesinde [59], yazarlar tarafından verilen aşağıdaki
teoreme göre, değişken katsayılı ısı-tipi ve dalga-tipi denklemlere, homotopi
pertürbasyon metodu uygulanarak bulunan çözümün yakınsaklık analizi yapılmıştır.
1.2.4.1.Teorem: X ve Y Banach uzayları, N : X → Y
∀v , v~
∈ X ; N ~ ~
γ <
( v)
− N(
v ) ≤ γ v − v , 0 < 1.
sağlayan bir kesin daraltan dönüşüm olsun. Bu durumda Banach sabit nokta teoremine
göre N ( u)
= u olacak biçimde bir u sabit noktası vardır.

35
Homotopi pertürbasyon metodu ile elde edilen Vn
= N(
V n ), V
∗
∗
serisi ve ( u)
= { u ∈ X u − u < r}
B r
önüne alınırsa
n
i) V u ≤ γ v − u ,
n − 0
ii) B ( u)
Vn r
∈ ,
iii) lim = u.
Vn n→∞
sağlanır.
Kanıt:
i) n üzerinden tümevarım yapılırsa, n = 1 için
1
( V ) − N(
u)
≤ v u .
V − u = N
γ −
sağlanır.
0
n−1
Tümevarım hipotezine göre V − u ≤ v − u
V
n
− u
bulunur.
=
N
0
−1
1
1 = ∑
0
− n
n −
i=
açık yuvarı ile v = u ∈ B ( u)
V = 0 0 r
n−1
γ 0 olduğundan
n−1
n
( V ) − N(
u)
≤ γ V − u ≤ γ γ v − u = γ v − u .
n−1
ii) (i)’yi kullanarak
n−1
n
n
Vn − u ≤ v − u ≤ γ r < r ⇒ Vn
∈ Br
elde edilir.
( u)
γ 0 .
n→∞
Vn n→∞
0
u , n = 1,
2,
3,...
0 olduğu göz
n
iii) (ii)’den ve lim γ = 0 olduğundan lim − u = 0 ve lim = u bulunur.
Vn n→∞
0
i

1.2.5. Isı-tipi modellerde yakınsaklık
36
1.2.4.1.Teoremden yararlanılarak 1.2.2.1-1.2.2.6. örneklerde seçilen homotopilerin
çözümlerin yakınsaklığı için uygun homotopiler olduğu gösterilecektir. Çözümlerin
yakınsaklığını gösterirken uygun kesin daraltan bir N dönüşümünün var olduğunu
göstermek yeterlidir.
1.2.2.1.Örnek için
Sınır koşulları:
( 0 , t)
= 0,
t
u u ( 1,
t)
= e ,
Başlangıç koşulu:
2 ( x,
0)
x .
u =
olan
1 2
ut xx
= x u , 0 < x < 1,
0 ≤ t ≤ 1,
2
bir-boyutlu başlangıç ve sınır değer problemi için çözümün yakınsaklığı incelenecektir.
Bulunan diferansiyel denklem sisteminden
2 ( x t)
v 0 , = x ,
2 ( x t)
x t
v1
, = ,
2 2
x t
v 2 ( x,
t)
= ,
2!
2 3
x t
v 3 ( x,
t)
= ,
3!
2 4
x t
v 4 ( x,
t)
= ,
4!
.
.

2 n
x t
vn
( x,
t)
= ,
n!
.
.
.
çözümleri elde edilmiştir.
37
Elde edilen seri çözümün yakınsaklığı incelenerek de denklemin tam çözümü
u
2 t ( x t)
x e
, = olarak bulunur.
n
0 = v0
u0
Vn
= ∑
j=
0
V =
v
j
olsun. 1.2.4.1.Teoremine göre, homotopi pertürbasyon
metodunun yakınsaklığı için yeterli şart V n = N(
V n−1
), sağlayan N ’nin kesin daraltan
dönüşüm olmasıdır. Buradan
2 2 t 2
v0 − u = x − x e = x 1−
elde edilir.
2 2 2 t 2
V1 − u = v0
+ v1
− u = x + x t − x e = x 1+
t −
bulunur.
Her ∈[
0,
1]
e
t
≤ 2
x
e
t
1− e 1 t
t
,
t
+
1−
e
t
t için 1 + ≤ γ = 0.
4180232930 < 1 olduğundan,
t
1−
e
2 t
V1
− u ≤ γ x 1− e = γ v0
− u
elde edilir.
2
2
V2 − u = v0
+ v1
+ v2
− u =
2 2 2
x + x t + x
2 t
− x e
2
= x 1+
t + −
bulunur.
t
2!
2
≤ x 1+
t − e
t
t
2!
e
2
t
1+
2!
1+
t − e
t
t

2
t
t için 1+
2!
t
1+
t − e
Her ∈[
0,
1]
V2 − u ≤ 2
γ v0 − u
elde edilir.
V
3
− u =
bulunarak
v
Her ∈[
0,
1]
0
t için
V3 − u ≤ 3
γ v0 − u
+ v + v + v − u =
1
2
3
38
≤ 0.3038944040

1.2.2.2.Örnek için
Neumann sınır koşulları:
( 0 , y,
t)
= 0,
u x u x ( 1, y,
t)
= 2sinh
t,
( x,
0,
t)
= 0,
u y u y ( x,
1,
t)
= 2cosh
t,
Başlangıç koşulu:
2 ( x,
y,
0)
y .
u =
olan
39
2 ( y u + x u ) , 0 < x,
y < 1,
0 ≤ ≤ 2,
1 2
ut yy
= xx
t
2
iki-boyutlu ısı-tipi model için çözümün yakınsaklığı incelenecektir.
Diferansiyel denklem sisteminden elde edilen çözümler
0
2 ( x,
y,
t)
y
v = ,
v
1
2 ( x y,
t)
x t
, = ,
2 2
y t
v 2 ( x,
y,
t)
= ,
2!
2 3
x t
v 3 ( x,
y,
t)
= ,
3!
2 4
y t
v 4 ( x,
y,
t)
= ,
4!
2 5
x t
v 5 ( x,
y,
t)
= ,
5!
2 6
y t
v 6 ( x,
y,
t)
= ,
6!
.
2 2n
y t
v2n
( x,
y,
t)
= ,
( 2n)!
.
.
v
2n
+ 1
( x,
y,
t)
biçimindedir.
2 2n+
1
x t
= ,
( 2n
+ 1)!

40
Elde edilen seri çözümün yakınsaklığı incelenerek de denklemin tam çözümü
2
2
( x,
y,
t)
y cosh t + x t
u = sinh olarak bulunur:
( x y t)
2
2
u , , tam çözümü, u1 = y cosh t ve u2 = x sinh t ve u = u1
+ u2
, V n seri çözümü
n
n
2 v2
j , V2n+
1 = ∑ v2
j+
1 olmak üzere; n = V2
n + V2n
+ 1
j 0
j=
0
de V n = ∑
=
1.2.4.1.Teoreme göre Vn = N( Vn−1) , V 0 = v0
= u0
için
2 2
2
v − u = y − y cosh t = y 1 − cosh
0
1
bulunur.
V
2
− u
1
=
elde edilir.
v
≤ y
Her ∈[
0,
2]
2
0
2
+ v
2
− u
1
1−
cosh t
=
y
2
2
y t
+
2!
2
2
t
1+
2!
1−
cosh t
− y
2
t
V biçiminde yazılırak
2
2 t
cosh t = y 1+
− cosh t
2!
t
2
t
için 1+ 2!
1−
cosh t
≤ 0.
2759383390 = γ 1 < 1 olduğu kullanılarak
V − u ≤γ
v − u
1
bulunur.
V
4
− u
1
=
elde edilir.
1
v
0
0
+ v
2
1
+ v
4
− u
1
=
= y
≤ y
y
2
2
2
2
y t
+
2!
2
2
y t
+
4!
− y
2 4
t t
1+
+ − cosh t
2!
4!
4
cosh t
4
t
2
t
1+
− cosh t 1+
4!
2
2!
t
1+
− cosh t
2!
2

41
Her [ ]
2
,
0
∈
t için 1
2
4
1253339866
.
0
cosh
!
2
1
!
4
1 γ
<
≤
−
+
+
t
t
t
olduğu kullanılarak
1
0
2
1
1
4
u
v
u
V −
≤
− γ
bulunur.
t
t
t
t
t
t
t
y
t
t
t
t
y
t
y
t
y
t
y
t
y
y
u
v
v
v
v
u
V
cosh
!
4
!
2
1
!
6
1
cosh
!
4
!
2
1
cosh
!
6
!
4
!
2
1
cosh
!
6
!
4
!
2
4
2
6
4
2
2
6
4
2
2
2
6
2
4
2
2
2
2
1
6
4
2
0
1
6
−
+
+
+
−
+
+
≤
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
elde edilir.
Her [ ]
2
,
0
∈
t için 1
4
2
6
0695090853
.
0
cosh
!
4
!
2
1
!
6
1 γ
<
≤
−
+
+
+
t
t
t
t
olduğundan
1
0
3
1
1
6
u
v
u
V −
≤
− γ
bulunur.
Benzer biçimde devam edilerek
1
0
1
1
2
u
v
u
V
n
n
−
≤
− γ elde edilir.
t
t
x
t
x
t
x
u
v sinh
sinh
2
2
2
2
1
−
=
−
=
−
bulunur.
t
t
t
t
t
x
t
t
t
x
t
x
t
x
t
x
u
v
v
u
V
sinh
!
3
1
sinh
sinh
!
3
sinh
!
3
3
2
3
2
2
3
2
2
2
3
1
2
1
−
+
−
≤
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
elde edilir.

42
Her [ ]
2
,
0
∈
t için 1
1804254830
.
0
sinh
!
3
1 2
3
<
=
≤
−
+ γ
t
t
t
olduğu kullanılarak
2
1
2
2
1
u
v
u
V −
≤
− γ
bulunur.
t
t
t
t
t
t
t
x
t
t
t
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
u
v
v
v
u
V
sinh
!
3
!
5
1
sinh
!
3
sinh
!
5
!
3
sinh
!
5
!
3
3
5
3
2
5
3
2
2
5
2
3
2
2
2
5
3
1
2
3
−
+
+
−
+
≤
−
+
+
=
−
+
+
=
−
+
+
=
−
elde edilir.
Her [ ]
2
,
0
∈
t için 2
3
5
0915091335
.
0
sinh
!
3
!
5
1 γ
<
≤
−
+
+
t
t
t
t
olduğundan
2
2
2
3
γ
≤
− u
V 2
1
u
v −
elde edilir.
t
t
t
t
t
t
t
t
t
x
t
t
t
t
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
u
v
v
v
v
u
V
sinh
!
5
!
3
!
7
1
sinh
!
5
!
3
sinh
!
7
!
5
!
3
sinh
!
7
!
5
!
3
5
3
7
5
3
2
7
5
3
2
2
7
2
5
2
3
2
2
2
7
5
3
1
2
5
−
+
+
+
−
+
+
≤
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
bulunur.
Her [ ]
2
,
0
∈
t için 2
5
3
7
0544884725
.
0
sinh
!
5
!
3
!
7
1 γ
<
≤
−
+
+
+
t
t
t
t
t
olduğu kullanılarak

γ
3
V5 − u2
≤ 2 1 2 u v −
elde edilir. Benzer biçimde devam edilerek
V
+ − u ≤ γ v − u bulunur.
2n
1
1
n
2
Buradan; lim Vn − u =
n→∞
n→∞
bulunur.
( x,
y t)
=
u ,
lim ∑ n→∞
j=
1.2.2.3.Örnek için
Sınır koşulları:
1
n
v j
0
2
43
lim ( V ) − ( u + u )
V2 n 2n
1
+ + ≤ lim u +
n
≤ lim 1 v0
− u1
n→∞
γ + n
γ 2
n→∞
=0
2 t 2 t
( ) = ( − ) + ( − )
u 0, y, z, t y e 1 z e 1 ,
−
1
lim 1 2
2
v − u
V2n − 1
n→∞
2
2
= y cosh t + x sinh t problemin tam çözümüdür.
2 t 2 t
( ) = ( + )( − ) + ( − )
u 1, y, z, t 1 y e 1 z e 1 ,
−
2 t 2 t
( ) = ( − ) + ( − )
u x,0, z, t x e 1 z e 1 ,
−
2 t 2 t
( ) = ( + )( − ) + ( − )
u x,1, z, t 1 x e 1 z e 1 ,
−
2 2 t
( ) = ( + )( − )
u x, y,0, t x y e 1 ,
2 2 t t
( ) = ( + )( − ) + ( − )
u x, y,1, t x y e 1 e 1 ,
−
Başlangıç koşulu:
2 2 2
( , , ,0) = 0, ( , , ,0)
= + −
u x y z u x y z x y z
olan
t
2 2 2 1 2 2 2
( x + y + z ) + ( x u + y u + z u ) ,
utt zz
= xx yy
0 < x,
y,
z < 1,
0 ≤ t ≤
2
lim V2n+ 1 − u2
n→∞
üç-boyutlu başlangıç ve sınır değer problemi için çözümün yakınsaklığı incelenecektir.
Diferansiyel denklem sisteminden
v
0
4 4 4
( x y,
z,
t)
x y z t
, = ,
4 4 4 2
x y z t
v 1(
x,
y,
z,
t)
= ,
2!
1
2

4 4 4 3
x y z t
v 2 ( x,
y,
z,
t)
= ,
3!
4 4 4 4
x y z t
v 3(
x,
y,
z,
t)
= ,
4!
.
.
.
.
v
n
( x,
y,
z,
t)
4 4 4 n
x y z t
=
( n + 1)!
+ 1
çözümleri elde edilmiştir.
,
Elde edilen seri çözümün yakınsaklığı incelenerek de denklemin tam çözümü
4 4 4 t
( x,
y,
z,
t)
= x y z ( e −1)
u bulunur.
n
n = ( n 1)
V 0 = v0
= u0
Vn
= ∑
j=
0
V N V −
1.2.4.1. Teorem kullanılarak
v
0
− u
=
elde edilir.
V − u =
1
bulunur.
4 4 4 4 4
x y z t − x y z
v
0
= x
y
4
v
j
44
olsun.
t
4 4 4 t
( e −1)
= x y z t − e + 1
4 4 4 2
4 4 4 x y z t 4 4
+ v1
− u = x y z t + − x y z
2!
4
4
z
4
2
t t
1+
t + − e
2!
4 4 4
≤ − + 1
t
x y z t e
4
2
t
1+
2!
t
t − e + 1
t ( e −1)
2
t
⎡ 1⎤
Her t ∈ ⎢0,
⎥
için 1+
2!
≤ γ = 0.
1595015349 < 1 olduğundan,
t
⎣ 2⎦
t − e + 1
,

45
u
v
u
V −
≤
− 0
1 γ
bulunur.
( )
t
t
e
t
t
t
z
y
x
e
z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x
u
v
v
v
u
V
−
+
+
+
=
−
−
+
+
=
−
+
+
=
−
!
3
!
2
1
1
!
3
!
2
3
2
4
4
4
4
4
4
3
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
2
1
0
2
≤
t
e
t
t
z
y
x −
+
+
!
2
1
2
4
4
4
t
e
t
t
t
−
+
+
+
!
2
1
!
3
1 2
3
elde edilir.
Her
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈
2
1
,
0
t için
t
e
t
t
t
−
+
+
+
!
2
1
!
3
1 2
3
≤ 0.121744643

V3 − u ≤ 3
γ v0 − u
bulunur. Benzer biçimde devam edilerek
Vn − u ≤ n
γ v0 − u elde edilir.
n→∞
n→∞
0
46
Buradan; lim Vn − u ≤ lim n
γ v − u =0 bulunur.
( x,
y,
z t)
=
u ,
lim ∑ n→∞
j=
n
v j
0
4 4 4 t
= y z ( e −1)
x tam çözümdür.
1.2.6. Dalga-tipi modellerde yakınsaklık
1.2.2.4.Örnek için
Neumann sınır koşulları:
( 0 , t)
= 0,
u u ( 1, t)
= 1+
sinh t,
Başlangıç koşulları:
( x,
0)
x,
2
u = ut ( x,
0)
= x .
olan
1 2
utt xx
= x u , 0 < x < 1,
0 ≤ t ≤ 1,
2
bir-boyutlu başlangıç ve sınır değer problemi için çözümün yakınsaklığı incelenecektir.
Diferansiyel denklem sisteminden
( x t)
= x t x
2
v +
0 , ,
2 3
x t
v 1(
x,
t)
= ,
3!
2 5
x t
v 2 ( x,
t)
= ,
5!

2 7
x t
v 3 ( x,
t)
= ,
7!
.
.
.
.
v
n
( x,
t)
2 2n+
1
x t
= ,
( 2n
+ 1)!
çözümleri bulunmuştur.
47
Elde edilen seri çözümün yakınsaklığı incelenerek de denklemin tam çözümü olan
2
( x,
t)
x + x t
u = sinh bulunur.
n
n = ( n 1)
V 0 = v0
= u0
Vn
= ∑
j=
0
V N V −
1.2.4.1. Teoreme göre
2 2
2
v − u = x t − x sinh t = x t − sinh t
0
bulunur.
v
j
olsun.
2 3
3
2 x t 2
2 t
V1 − u = v0
+ v1
− u = x t + − x sinh t = x t + − sinh t ,
3!
3!
elde edilir.
Her ∈[
0,
1]
2
≤ x t − sinh t
3
t
1+
3!
t − sinh t
t
3
t
için ≤ 1+
3!
t − sinh t
= γ = 0.
0487127233 < 1 olduğundan,
V u ≤ v − u
1 − γ 0
bulunur.

2 3 2 5
3 5
2 x t x t 2
2 t t
V2 − u = v0
+ v1
+ v2
− u = x t + + − x sinh t = x t + + − sinh t
3!
5!
3!
5!
elde edilir.
Her ∈[
0,
1]
t için
V2 − u ≤ 2
γ v0 − u
bulunur.
V
3
− u =
elde edilir.
v
Her ∈[
0,
1]
0
t için
48
3
2 t
≤ x t + − sinh t
3!
5
t
+
5!
t
t + − sinh t
3!
1 3
5
t
+
5!
≤ 0.0235740850

1.2.2.5.Örnek için
Neumann sınır koşulları:
( 0 , y,
t)
= 0,
u x u x ( 1, y,
t)
= 4cosh
t,
( x,
0,
t)
= 0,
u y u y ( x,
1,
t)
= 4sinh
t,
Başlangıç koşulları:
4 ( x,
y,
0)
x ,
4
u = ut ( x,
y,
0)
= y .
olan
2 ( x u + y u ) ,
1 2
utt yy
49
= xx 0 < x,
y < 1,
0 ≤ t ≤
12
iki boyutlu başlangıç ve sınır değer problemi için çözümün yakınsaklığı incelenecektir.
Diferansiyel denklem sisteminden
0
4 4
( x,
y,
t)
y t x
v = + ,
4 2 4 3
x t y t
v 1(
x,
y,
t)
= + ,
2!
3!
4 4 4 5
x t y t
v 2 ( x,
y,
t)
= + ,
4!
5!
4 6 4 7
x t y t
v 3(
x,
y,
t)
= + ,
6!
7!
.
.
.
.
v
n
( x,
y,
t)
x t
=
4 2n
+
y
4 2n+
1
( 2n)
! ( 2n
+ 1)!
çözümleri bulunmuştur.
t
,
1
3

50
Elde edilen seri çözümün yakınsaklığı incelenerek de denklemin tam çözümü olan
4
4
u ( x,
t)
= x cosh t + y sinh t bulunur. u( x,
t)
tam çözümü,
4 2 j
4
4
1 x t
u1 = x cosh t , u2 = y sinh t ve u = u1
+ u2
, v j = , v
( 2 j)!
1 1 2
olmak üzere, Vn
= ∑ v j , Vn
= ∑ v
=
=
j
n
0
j
n
0
2
j
2
j
4 2 j+
1
y t
= ve
( 2 j + 1)!
1 2 1 2
, Vn
= Vn
+ Vn
= ∑ v j + ∑ v j = ∑ v
yazılarak 1.2.4.1. Teoreme göre Vn = N( Vn−1) , V 0 = v0
= u0
için
1
4 4
4
v − u = x − x cosh t = x 1 − cosh
0
1
elde edilir.
V
1
1
− u
1
bulunur.
=
v
1
0
+ v
1
1
− u
1
=
x
4
+ x
4
t
≤ x
n
j = 0
1−
cosh t
n
j = 0
2
2
t 4
4 t
− x cosh t = x 1+
− cosh t
2!
2!
2
t
⎡ 1⎤
Her t ∈ ⎢0,
⎥
için 1+ 2!
≤ 0.
0092080477 = γ 1 < 1
⎣ 3⎦
1−
cosh t
olduğu kullanılarak
V − u ≤γ
v − u
1
1
1
bulunur.
V
1
2
− u
1
=
elde edilir.
1
v
1
0
1
0
+ v
1
1
1
+ v
1
2
− u
1
=
= x
≤ x
x
4
4
4
+ x
4
2 4
t t 4
+ − x cosh t
2!
4!
2 4
t t
1+
+ − cosh t
2!
4!
4
t
2
t
1+
− cosh t 1+
4!
2
2!
t
1+
− cosh t
2!
4
n
j = 0
2
t
1+
2!
1−
cosh t
v = v + v
j
j
1
j
2
j
biçiminde

51
Her
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈
3
1
,
0
t için 1
2
4
0036968107
.
0
cosh
!
2
1
!
4
1 γ
<
≤
−
+
+
t
t
t
olduğundan
1
1
0
2
1
1
1
2
u
v
u
V −
≤
− γ
bulunur.
t
t
t
t
t
t
t
x
t
t
t
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
x
u
v
v
v
v
u
V
cosh
!
4
!
2
1
!
6
1
cosh
!
4
!
2
1
cosh
!
6
!
4
!
2
1
cosh
!
6
!
4
!
2
4
2
6
4
2
4
6
4
2
4
4
6
4
4
4
2
4
4
1
1
3
1
2
1
1
1
0
1
1
3
−
+
+
+
−
+
+
≤
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
elde edilir.
Her
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈
3
1
,
0
t için 1
4
2
6
0019919445
.
0
cosh
!
4
!
2
1
!
6
1 γ
<
≤
−
+
+
+
t
t
t
t
olduğu kullanılarak
1
1
0
3
1
1
1
3
u
v
u
V −
≤
− γ
bulunur. Benzer biçimde devam edilerek
1
1
0
1
1
1
u
v
u
V
n
n
−
≤
− γ elde edilir.
t
t
y
t
y
t
y
u
v sinh
sinh
4
4
4
2
2
0
−
=
−
=
−
bulunur.
t
t
t
t
t
y
t
t
t
y
t
y
t
y
t
y
u
v
v
u
V
sinh
!
3
1
sinh
sinh
!
3
sinh
!
3
3
4
3
4
4
3
4
4
2
2
1
2
0
2
2
1
−
+
−
≤
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
elde edilir.

52
Her
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈
3
1
,
0
t için 1
0055394161
.
0
sinh
!
3
1 2
3
<
=
≤
−
+ γ
t
t
t
olduğu kullanılarak
2
2
0
2
2
2
1
u
v
u
V −
≤
− γ
bulunur.
t
t
t
t
t
t
t
y
t
t
t
t
y
t
y
t
y
t
y
t
y
u
v
v
v
u
V
sinh
!
3
!
5
1
sinh
!
3
sinh
!
5
!
3
sinh
!
5
!
3
3
5
3
4
5
3
4
4
5
4
3
4
4
2
2
2
2
1
2
0
2
2
2
−
+
+
−
+
≤
−
+
+
=
−
+
+
=
−
+
+
=
−
elde edilir.
Her ⎥ ⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈
3
1
,
0
t için 2
3
5
0026421050
.
0
sinh
!
3
!
5
1 γ
<
≤
−
+
+
t
t
t
t
olduğundan
2
2
2
2
2
γ
≤
− u
V 2
2
0
u
v −
bulunur.
t
t
t
t
t
t
t
t
t
y
t
t
t
t
t
y
t
y
t
y
t
y
t
y
t
y
u
v
v
v
v
u
V
sinh
!
5
!
3
!
7
1
sinh
!
5
!
3
sinh
!
7
!
5
!
3
sinh
!
7
!
5
!
3
5
3
7
5
3
4
7
5
3
4
4
7
4
5
4
3
4
4
2
2
3
2
2
2
1
2
0
2
2
3
−
+
+
+
−
+
+
≤
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
elde edilir.

Her
⎡ 1⎤
∈ ⎢0,
⎥
⎣ 3⎦
53
7
t
1+ 7!
≤ 0.
0008404769 < γ
t t
t + + − sinh t
3!
5!
t için 3 5
2
olduğu kullanılarak
γ
2
3 2
V3 − u2
≤ 2 0 u2
V
2
n
2
n
2
v − bulunur. Benzer biçimde devam edilerek
− u ≤ γ v − u elde edilir.
2
0
Buradan lim Vn − u =
n→∞
n→∞
bulunur.
( x,
y t)
=
u ,
lim ∑ n→∞
j=
1.2.2.6.Örnek için
Sınır koşulları:
n
v j
0
2
1 2
lim V − ( u + u )
Vn n
2 t 2 t
( ) = ( − ) + ( − )
u 0, y, z, t y e 1 z e 1 ,
−
1
+ ≤ lim u +
1
2
≤
Vn n→∞
− 1
Vn − u
2
lim 2
n→∞
n 1
n 2
limγ 1 v0
− u1
+ lim γ 2 v0
− u2
n→∞
n→∞
=0
4
4
= x cosh t + y sinh t problemin tam çözümüdür.
2 t 2 t
( ) = ( + )( − ) + ( − )
u 1, y, z, t 1 y e 1 z e 1 ,
−
2 t 2 t
( ) = ( − ) + ( − )
u x,0, z, t x e 1 z e 1 ,
−
2 t 2 t
( ) = ( + )( − ) + ( − )
u x,1, z, t 1 x e 1 z e 1 ,
−
2 2 t
( ) = ( + )( − )
u x, y,0, t x y e 1 ,
2 2 t t
( ) = ( + )( − ) + ( − )
u x, y,1, t x y e 1 e 1 ,
−
Başlangıç koşulu:
2 2 2
( , , ,0) = 0, ( , , ,0)
= + −
u x y z u x y z x y z
olan
t
2 2 2 1 2
2 2
( x + y + z ) + ( x u + y u + z u ) ,
utt zz
= xx yy
0 < x,
y,
z < 1,
0 ≤ t ≤
2
üç-boyutlu başlangıç ve sınır değer problemi için çözümün yakınsaklığı incelenecektir.
1
4

Diferansiyel denklem sisteminden
0
2 2 2
( x,
y,
z,
t)
= ( x + y z ) t,
v −
2
t
v1 −
2!
54
3
t
3!
2 2 2
2 2 2
( x,
y,
z,
t)
= ( x + y + z ) + ( x + y z ) ,
4
t
v2 −
4!
5
t
5!
2 2 2
2 2 2
( x,
y,
z,
t)
= ( x + y + z ) + ( x + y z ) ,
6
7
2 2 2 t 2 2 2 t
v3 ( x,
y,
z,
t)
= ( x + y + z ) + ( x + y − z ) ,
.
6!
7!
.
.
2 2 2
( x,
y,
z,
t)
= ( x + y + z )
( 2n)
2n+
1
2 2 2 t
( x + y − z ) ,
( )
2n
t
vn
+
(n=1,2,3...)
!
2n
+ 1 !
.
.
çözümleri bulunmuştur.
Elde edilen seri çözümün yakınsaklığı incelenerek de denklemin tam çözümü
2 2 t 2 t
u ( x, y, z, t ) =( x y )( e 1) z ( e 1)
−
+ − + − bulunur. u ( x, y, z, t ) tam çözümü,
2 2 t
u 1 = ( x + y )( e −1)
, u 2
2 −t
= z ( e
1
−1)
ve u = u1
+ u2
; v0
2 2 2
= ( x + y )t , v0
2
= −z
t ve
v
1
j
( )
( ) ( ) ⎟ 2 j 2 j+
1
2 2 ⎛ t t ⎞
= x + y ⎜ + ,
⎝ 2 j ! 2 j + 1 ! ⎠ ( ) ( ) ⎟⎟
2 j 2 j+
1
2 2 ⎛ t t ⎞
v = ⎜ j z − (j=1,2,3,…) olmak üzere;
⎝ 2 j ! 2 j + 1 ! ⎠
n
1 2 1 1
j = v j v j , Vn
= ∑ v j
j=
0
v +
n
2
, Vn
= ∑ v
j=
0
2
j
1 2 1 2
ve Vn
= Vn
+ Vn
= ∑ v j + ∑ v j = ∑ v
biçiminde yazılırsa 1.2.4.1.Teoreme göre Vn = N( Vn−1) , V 0 = v0
= u0
için
v
1
0
− u
1
bulunur.
=
2 2 2 2 t
2 2 t
( x + y ) t − ( x + y )( e −1)
= ( x + y ) t − e + 1
n
j=
0
n
j=
0
n
j=
0
j

V
1
1
− u
1
=
elde edilir.
v
1
0
+ v
1
1
− u
1
=
55
2 3
2 2 2 2 ⎛ t t ⎞ 2 2 t
( x + y ) t + ( x + y ) ⎜ + ⎟ − ( x + y )( e −1)
2
t
2!
3
t
3!
⎜
⎝ 2!
2 2
t
= ( x + y ) t + + − e + 1
≤
2 2 t
( x + y ) t − e + 1
3!
⎟
⎠
2 3
t t
+
1+
2!
3!
t
t − e + 1
2 3
t t
+
⎡ 1⎤
Her t ∈ ⎢0,
⎥
için 1+
2!
3!
≤ γ 1 = 0.
0050930118 < 1 olduğundan,
t
⎣ 4⎦
t − e + 1
V − u ≤ γ v − u
1
1
1
bulunur.
V
1
2
− u
1
=
=
=
≤
elde edilir.
1
v
1
0
⎡ 1⎤
Her ∈ ⎢0,
⎥
⎣ 4⎦
1
0
+ v
1
1
1
+ v
1
2
− u
2 3
4 5
2 2 2 2 ⎛ t t ⎞ 2 2 ⎛ t t ⎞ 2 2 t
( x + y ) t + ( x + y ) ⎜ + ⎟ + ( x + y ) ⎜ + ⎟ − ( x + y )( e −1)
2 3 4 5
2 2 t t t t t
( x + y ) t + + + + − e + 1
2!
1
3!
⎜
⎝ 2!
4!
2 3
2 2 t t t
( x + y ) t + + − e + 1
2!
3!
3!
⎟
⎠
5!
2!
4
t
4!
⎜
⎝ 4!
1+ 2 3
t
t +
+
t
+
3'
5
t
5!
− e
t
5!
⎟
⎠
+ 1
1+ 4 5
t t
+
4!
5!
≤ 0.
0020529198 < γ
t + + − e
2!
3'
+ 1
t için 2 3
1
t t t
olduğu kullanılarak
V − u ≤
1
2
1
elde edilir.
2 1
γ 1 0 1 u v −

V
1
3
− u
=
1
=
=
v
1
0
+ v
1
1
+ v
1
2
56
2 3
2 2 2 2 ⎛ t t ⎞ 2 2
( x + y ) t + ( x + y ) ⎜ + ⎟ + ( x + y )
6 7
2 2 ⎛ t t ⎞ 2 2 t
( x + y ) ⎜ + ⎟ − ( x + y )( e −1)
2 3 4 5 6 7
2 2 t t t t t t t
( x + y ) t + + + + + + − e + 1
2
t
2!
2!
3
t
3!
+ v
+
4
t
4!
1
3
3!
− u
5
t
5!
1
4!
⎜
⎝ 2!
⎜
⎝ 6!
5!
2 2
t
≤ ( x + y ) t + + + + − e + 1
bulunur.
Her
⎡ 1⎤
∈ ⎢0,
⎥
⎣ 4⎦
3!
⎟
⎠
7!
⎟
⎠
6!
7!
2
t
2!
4 5 ⎛ t t ⎞
⎜ +
4!
5!
⎟
⎝ ⎠
6 7
t t
+
6!
7!
4
t t t t
+ + + − e + 1
3'
4!
5!
1+ 3
5
t +
1+ 6 7
t t
+
6!
7!
≤ 0.
0022887744 < γ
t + + + + − e
2!
3'
4!
5!
+ 1
t için 2 3 4 5
1
t t t t t
olduğu kullanılarak
1
V3 − u1
≤ 3 1
γ 1 0 1 u
1
n 1
Vn − u1
≤ γ 1 v0 − u1
bulunur.
v
2
0
− u
1
elde edilir.
V
1
1
− u
1
2 2
= − z t − z
=
elde edilir.
v
1
0
v − elde edilir. Benzer biçimde devam edilerek
+ v
1
1
− u
−t 2 −t
( e −1)
= z t + e −1
1
=
2 3
2 2 2 2 ⎛ t t ⎞ 2 2 t
( x + y ) t + ( x + y ) ⎜ + ⎟ − ( x + y )( e −1)
2
t
2!
3
t
3!
⎜
⎝ 2!
2 2
t
= ( x + y ) t + + − e + 1
≤
2 2 t
( x + y ) t − e + 1
3!
⎟
⎠
2 3
t t
+
1+
2!
3!
t
t − e + 1

57
Her
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈
4
1
,
0
t için 1
0050930118
.
0
1
!
3
!
2
1
1
3
2
<
=
≤
+
−
+
+ γ
t
e
t
t
t
olduğundan,
1
1
0
1
1
1
1
u
v
u
V −
≤
− γ
bulunur.
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) 1
!
5
!
4
!
3
!
2
1
!
5
!
4
!
3
!
2
5
4
3
2
2
2
2
2
5
4
2
2
3
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
0
1
1
2
+
−
+
+
+
+
+
=
−
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
=
−
+
+
=
−
t
t
e
t
t
t
t
t
y
x
e
y
x
t
t
y
x
t
t
y
x
t
y
x
u
v
v
v
u
V
( ) 1
!
3
!
2
3
2
2
2
+
−
+
+
+
≤
t
e
t
t
t
y
x
1
'
3
!
2
!
5
!
4
1 3
2
5
4
+
−
+
+
+
+
t
e
t
t
t
t
t
elde edilir.
Her
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈
4
1
,
0
t için 1
3
2
5
4
0020529198
.
0
1
'
3
!
2
!
5
!
4
1 γ
<
≤
+
−
+
+
+
+
t
e
t
t
t
t
t
olduğu kullanılarak
1
1
2
u
V − ≤
2
1
γ 1
1
0
u
v −
bulunur.
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) 1
!
7
!
6
!
5
!
4
!
3
!
2
1
!
7
!
6
!
5
!
4
!
3
!
2
7
6
5
4
3
2
2
2
2
2
7
6
2
2
5
4
2
2
3
2
2
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
1
0
1
1
3
+
−
+
+
+
+
+
+
+
=
−
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
t
t
e
t
t
t
t
t
t
t
y
x
e
y
x
t
t
y
x
t
t
y
x
t
t
y
x
t
y
x
u
v
v
v
v
u
V

2
t
2!
3
t
3!
4
t
4!
5
t
5!
2 2
t
≤ ( x + y ) t + + + + − e + 1
elde edilir.
Her
⎡ 1⎤
∈ ⎢0,
⎥
⎣ 4⎦
58
1+ 3
5
t +
2
t
2!
6 7
t t
+
6!
7!
4
t t t t
+ + + − e + 1
3'
4!
5!
1+ 6 7
t t
+
6!
7!
≤ 0.
0022887744 < γ
t + + + + − e
2!
3'
4!
5!
+ 1
t için 2 3 4 5
1
t t t t t
olduğu kullanılarak
1
V3 − u1
≤ 3 1
γ 1 0 1 u v −
bulunur. Benzer biçimde devam edilerek
1
n 1
Vn − u1
≤ γ 1 0 u1
v
2
0
− u
2
bulunur.
V
2
1
− u
2
2 2
= − z t − z
=
elde edilir.
v
2
0
v − elde edilir.
+ v
2
1
−t 2
−t
( e −1)
= z − t − e + 1
− u
2
2 3
2 2 ⎛ t t ⎞ 2
= − z t + z ⎜ − −
2!
3!
⎟ z
⎝ ⎠
= z
≤ z
2
2
− t +
2
t
2!
− t − e
−t
−
3
t
3!
− e
−t
+ 1
−t
( e −1)
2 3
t t
−
+ 1 1+
2!
3!
−t
− t − e + 1
2 3
t t
−
⎡ 1⎤
Her t ∈ ⎢0,
⎥ için 1+ 2!
3!
≤ 0.
0053800540 = γ 2 < 1
−t ⎣ 4⎦
− t − e + 1
olduğu kullanılarak
V − u ≤ γ v − u
2
1
2
elde edilir.
2
2
0
2

59
( )
1
!
3
!
2
!
5
!
4
1
1
!
3
!
2
1
!
5
!
4
!
3
!
2
1
!
5
!
4
!
3
!
2
3
2
5
4
3
2
2
5
4
3
2
2
2
5
4
2
3
2
2
2
2
2
2
2
1
2
0
2
2
2
+
−
−
+
−
−
+
+
−
−
+
−
≤
+
−
−
+
−
+
−
=
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
−
+
+
=
−
−
−
−
−
t
t
t
t
e
t
t
t
t
t
e
t
t
t
z
e
t
t
t
t
t
z
e
z
t
t
z
t
t
z
t
z
u
v
v
v
u
V
bulunur.
Her
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈
4
1
,
0
t için 2
3
2
5
4
0021129695
.
0
1
!
3
!
2
!
5
!
4
1 γ
<
≤
+
−
−
+
−
−
+
−t
e
t
t
t
t
t
olduğundan
2
2
0
2
2
2
2
2
u
v
u
V −
≤
− γ
elde edilir.
( )
1
!
5
!
4
!
3
!
2
!
7
!
6
1
1
!
5
!
4
!
3
!
2
1
!
7
!
6
!
5
!
4
!
3
!
2
1
!
7
!
6
!
5
!
4
!
3
!
2
5
4
3
2
7
6
5
4
3
2
2
7
6
5
4
3
2
2
2
7
6
2
5
4
2
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
1
2
0
2
2
3
+
−
−
+
−
+
−
−
+
+
−
−
+
−
+
−
≤
+
−
−
+
−
+
−
+
−
=
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
−
+
+
+
=
−
−
−
−
−
t
t
t
t
e
t
t
t
t
t
t
t
e
t
t
t
t
t
z
e
t
t
t
t
t
t
t
z
e
z
t
t
z
t
t
z
t
t
z
t
z
u
v
v
v
v
u
V
bulunur.
Her
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈
4
1
,
0
t için 2
5
4
3
2
7
6
0013010039
.
0
1
!
5
!
4
!
3
!
2
!
7
!
6
1 γ
<
≤
+
−
−
+
−
+
−
−
+
−t
e
t
t
t
t
t
t
t
olduğu kullanılarak
2
2
0
3
2
2
2
3
u
v
u
V −
≤
− γ
elde edilir.Benzer biçimde devam edilerek
2
2
0
2
2
2
u
v
u
V
n
n
−
≤
− γ .
bulunur.

Buradan, lim Vn − u =
n→∞
n→∞
( x,
y,
z t)
=
u ,
lim ∑ n→∞
j=
n
v j
0
60
1 2
lim V − ( u + u )
Vn n
+ ≤
≤ lim
n→∞
n 1
γ 1 v0 − u1
+ lim
n→∞
n
2
1
2
1
lim u1
n→∞
2
γ 0 2
2 2 t 2 t
=( x y )( e 1) z ( e 1)
−
Vn − +
n→∞
v − u =0 bulunur.
+ − + − tam çözümdür.
2
lim Vn − u2
Bu bölümde, He’nin homotopi pertürbasyon metodu [1] incelenerek bu metotla
değişken katsayılı ısı-tipi ve dalga-tipi denklemlerin tam çözümleri bulunmuş ve çözüm
serilerinin yakınsaklığı gösterilmiştir.
Ayrıca, Biazar vd. [44] tarafından elde edilen parabolik tipte bir başlangıç değer
problemi olan Fokker-Planck denkleminin homotopi pertürbasyon metodu ile çözümü,
metotların analizinde kullanılmak üzere detaylı bir şekilde verilmiştir.

Çözümü
61
1.3. Fokker-Planck Denkleminin Homotopi Pertürbasyon Metodu ile
Fokker-Planck denklemi, doğa bilimlerinin katı-hal fiziği, kuantum optiği,
kimyasal fizik, teorik biyoloji ve akım teorisini içeren birçok farklı alanında kullanılır.
Fokker-Planck denklemi [56], ilk olarak parçacıkların Browniyen hareketini
tanımlamak için kullanılmıştır. Eğer küçük bir parçacığın kütlesi m , bir akışkana
batırılırsa, v ; küçük bir parçacığın parçacıkların Browniyen hareketi için hızı, t ;
zaman, γ ; fraksiyon sabiti, K ; Boltzmann sabiti ve T ; akışkanın sıcaklığı olmak
üzere; dağılım fonksiyonu için hareket denklemi,
( vW )
2
∂W
∂ KT ∂ W
= γ + γ , (1.3.1)
2
∂t
∂v
m ∂v
ile verilir.(1.3.1), Fokker-Planck denklemlerinin en basit tiplerinden biridir.
x değişkeni için genel Fokker-Planck denklemi aşağıdaki biçimdedir :
∂u
⎡ ∂
= ⎢−
A
∂t
⎣ ∂x
( x t)
2
∂
∂x
( x)
+ B(
x)
u,
2
u , bilinmeyen bir fonksiyon olmak üzere;
başlangıç koşulu:
( x,
0)
f ( x)
, x IR,
⎤
⎥
⎦
(1.3.2)
u = ∈
(1.3.3)
ile verilir.
(1.3.2)’deki ( x)
> 0
B ’e difüzyon katsayısı ve A ( x)
’e sürüklenme katsayısı denir.
Sürüklenme ve difüzyon katsayıları zamana bağlı da olabilirler. Yani;
∂u
⎡ ∂
= ⎢−
A
∂t
⎣ ∂x
2
∂
∂x
( x t)
+ B(
x,
t)
u.
, 2
⎤
⎥
⎦
(1.3.4)
(1.3.1) denklemi, Fokker-Planck denkleminin, sürüklenme katsayısının lineer, difüzyon
katsayısının sabit olduğu bir özel halidir. (1.3.2) denklemi, ( x t)
u , dağılım fonksiyonu
için bir hareket denklemidir. Matematiksel olarak, bu denklem parabolik tipte ikinci
mertebeden lineer bir denklemdir. Literatürde, (1.3.2) denklemine forward Kolmogorov

62
denklemi denir. Benzer kısmi diferansiyel denklem olan backward Kolmogorov
denklemi aşağıdaki biçimdedir:
∂u
⎡
= −⎢
A
∂t
⎣
∂
∂x
2
∂ ⎤
⎥
∂x
⎦
( x t)
+ B(
x,
t)
u.
, 2
(1.3.2) denkleminin N değişkene ( x ,..., xN
üzere:
∂u
⎡
= ⎢−
∂t
⎢⎣
N
∑
i=
1
başlangıç koşulu:
N 2
Ai
( x)
Bi,
j ( x) u,
xi
i,
j 1 xi
x j ⎥ ⎥
∂
∂ ⎤
+ ∑
∂
= ∂ ∂ ⎦
N
( x,
0)
= f ( x)
,
x ∈ IR ,
= olmak
1 ) genelleştirilmesi ( x ,... x )
x 1
N
(1.3.5)
(1.3.6)
u (1.3.7)
ile verilir. i A ve i j
B , genelde N değişkene ( N x x 1 ,...
) bağlıdırlar.
Fokker-Planck denkleminin analitik çözümleri bulunabilir. Genelde, özellikle
değişkenlere ayrılamıyorsa veya değişkenlerin sayısı çoksa çözümleri elde etmek
zordur. Çözüm için simulasyon metotları, Fokker-Planck denkleminin Schrödinger
denklemine dönüştürülmesi, nümerik integrasyon metotları gibi farklı metotlar vardır.
Fokker-Planck denkleminin daha genel bir hali vardır. Nonlineer Fokker-Planck
denklemi, plazma fiziği, yüzey fiziği, popülasyon dinamiği, biyofizik, mühendislik,
nonlineer hidrodinamik, polimer fiziği, lazer fiziği, psikoloji, pazarlama gibi birçok
farklı alanda, önemli uygulamalara sahiptir [57]. Tek değişkenli nonlineer Fokker-
Planck denklemi aşağıdaki biçimde yazılır:
∂u
⎡ ∂
= ⎢−
A
∂t
⎣ ∂x
2
∂
∂x
( x t,
u)
+ B(
x,
t,
u)
u.
, 2
N değişken N x x ,...
⎤
⎥
⎦
1 için x ( x 1,...
xN
)
= olmak üzere;
(1.3.8)
N
N 2
u
Ai
( x, t, u)
t i 1 xi
i,
j 1 xi
x j
Bi,
j ( x, t, u) u,
⎥ ⎥
∂ ⎡ ∂
∂
= ⎢−
∑
+ ∑
∂ ⎢⎣
= ∂
= ∂ ∂
⎤
(1.3.9)
⎦
A i(
x, t, u)
= Ai
( x)
ve B i,
j ( x, t, u)
= Bi,
j ( x)
iken (1.3.9) nonlineer Fokker-Planck
denklemi, (1.3.6) lineer Fokker-Planck denklemine indirgenir.
Bu alt bölümde farklı tipte, faklı değişkenler ve başlangıç koşulları ile verilen Fokker-
Planck ve Kolmogorov denklemlerine homotopi pertürbasyon metodu uygulanmıştır.

63
Metodun etkinliğini göstermek için bir ve iki boyutlu durumlarda, analitik çözümlere
sahip farklı örnekler seçilmiştir.
1.3.1.Örnek Fokker-Planck denklemi (1.3.2) göz önüne alınsın :
( x 0)
x
u , = , x ∈ IR , A ( x)
= −1,
B ( x)
= 1.
(1.3.10)
Homotopi pertürbasyon metodunu kullanarak aşağıdaki homotopi oluşturulur:
2
⎛ ∂v
∂u0
⎞ ⎛ ∂v
∂v
∂ v ⎞
H ( v,
p)
= ( 1−
p)
⎜ − ⎟ + p ⎜ − − = 0 2 ⎟
(1.3.11)
⎝ ∂t
∂t
⎠ ⎝ ∂t
∂x
∂x
⎠
(1.2.7) denklemi, (1.3.11) denkleminde yerine konup p ’nin kuvvetlerine göre
katsayılar eşitlenerek:
0
p :
∂v0
∂u0
− = 0,
∂t
∂t
v 0 ( x,
0)
= x ,
1
p :
2
∂v1
∂u0
∂v0
∂ v0
+ − − = 0,
2
∂t
∂t
∂x
∂x
v 1 ( x,
0)
= 0 ,
2
p :
2
∂v2
∂v1
∂ v1
− − = 0,
2
∂t
∂x
∂x
v 2 ( x,
0)
= 0 ,
3
p :
2
∂v3
∂v2
∂ v2
− − = 0,
2
∂t
∂x
∂x
v 3 ( x,
0)
= 0 ,
4
p :
.
.
2
∂v4
∂v3
∂ v3
− − = 0,
2
∂t
∂x
∂x
v 4 ( x,
0)
= 0 ,
j
p :
.
2
∂v j ∂v
j−1
∂ v j−1
− − = 0,
2
∂t
∂x
∂x
v j ( x,
0)
= 0 , ( j = 2,
3,.....
)
. (1.3.12)
denklem sistemi elde edilir. Başlangıç koşulunu sağlayan u ( x,
t)
= x
yaklaşımı seçilerek, (1.3.12) denklem sisteminin çözümleri;
( x,
t)
x
v =
0
( x,
t)
t
v =
1
,
( x,
t)
= 0
( x,
t)
= 0
v 2 ,
v ,
3
,
0 başlangıç

( x,
t)
= 0
v 4
.
.
.
,
vn x,
t =
(n=2,3,….)
.
.
( ) 0
bulunur. p → 1 iken (1.3.10) denkleminin tam çözümü, u ( x,
t)
= x + t bulunur.
1.3.2.Örnek : (1.3.4) denkleminde
( x)
sinh( x)
, x IR,
64
(1.3.13)
f = ∈
(1.3.14)
( x,
t)
= exp( t)
coth( x)
cosh( x)
+ exp( t)
sinh( x)
coth( x),
A −
( x,
t)
exp( t)
cosh( x).
B =
olmak üzere aşağıdaki homotopi oluşturulsun:
2
⎛ ∂v
∂u0
⎞ ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞
H ( v,
p)
= ( 1−
p)
⎜ − ⎟ + p ⎜
⎜(
− A(
x,
t)
− B(
x,
t))
v = 0
2 ⎟
(1.3.15)
⎝ ∂t
∂t
⎠ ⎝ ∂t
∂x
∂x
⎠
(1.2.7) denklemi, (1.3.15) denkleminde yerine konup p ’nin kuvvetlerine göre
katsayılar eşitlenerek:
0
p :
∂v0
∂u0
− = 0,
∂t
∂t
v 0 ( x,
0)
= sinh( x)
,
1
p :
2
∂v1
∂u0
∂v0
A(
x,
t)
∂ v0
B(
x,
t)
+ − − = 0,
2
∂t
∂t
∂x
∂x
v 1 ( x,
0)
= 0 ,
2
p :
2
∂v2
∂v1
A(
x,
t)
∂ v1B(
x,
t)
− − = 0,
2
∂t
∂x
∂x
v 2 ( x,
0)
= 0 ,
3
p :
2
∂v3
∂v2
A(
x,
t)
∂ v2
B(
x,
t)
− − = 0,
2
∂t
∂x
∂x
v 3 ( x,
0)
= 0 ,
4
p :
.
.
2
∂v4
∂v3
A(
x,
t)
∂ v3B(
x,
t)
− − = 0,
2
∂t
∂x
∂x
v 4 ( x,
0)
= 0 ,
j
p :
2
∂v j ∂v
j−1
A(
x,
t)
∂ v j−1B(
x,
t)
−
−
= 0,
( j = 2,
3,...)
v 2
j ( x,
0)
= 0 ,
∂t
∂x
∂x
.
.
. (1.3.16)

denklem sistemi elde edilir. Başlangıç koşulunu sağlayan ( x,
t)
sinh( x)
65
yaklaşımı seçilerek, (1.3.16) denklem sisteminin çözümleri;
0
( x,
t)
sinh( x)
v = ,
1
( x,
t)
t sinh( x)
v = ,
2
t
v 2 ( x,
t)
= sinh( x)
,
2!
3
t
v 3 ( x,
t)
= sinh( x)
,
3!
4
t
v 4 ( x,
t)
= sinh( x)
,
4!
.
.
.
n
t
vn
( x,
t)
= sinh( x)
n!
.
.
u = başlangıç
0
.
.
(1.3.17)
bulunur. Bu durumda p → 1 iken (1.3.14) denkleminin çözümü,
u
2 3
n
⎛ t t t ⎞
= ⎜ 2!
3!
n!
⎟
elde edilir. Bu da denklemin
⎝
⎠
t
( x,
t)
sinh( x)
⎜1+
t + + + .... + + ... ⎟ = e sinh(
x)
tam çözümüdür.
1.3.3.Örnek Backward Kolmogorov denklemi (1.3.5) göz önüne alınsın.
( x,
0)
= x + 1
2 t
u , x ∈ IR , A ( x,
t)
= −(
x + 1),
B ( x,
t)
= x e .
(1.3.18)
Homotopi aşağıdaki gibi oluşturulsun:
2
⎛ ∂v
∂u0
⎞ ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞
H ( v,
p)
= ( 1−
p)
⎜ − ⎟ + p ⎜
⎜(
+ A(
x,
t)
+ B(
x,
t)
) v = 0
2 ⎟
(1.3.19)
⎝ ∂t
∂t
⎠ ⎝ ∂t
∂x
∂x
⎠
(1.2.7) denklemi, (1.3.19) denkleminde yerine konup p ‘nin kuvvetlerine göre
katsayılar eşitlenerek:

66
0
p :
∂v0
∂u0
− = 0,
∂t
∂t
1
p :
2
∂v1
∂u0
∂v0
∂ v0
+ + A(
x,
t)
+ B(
x,
t)
= 0,
2
∂t
∂t
∂x
∂x
2
p :
2
∂v2
∂v1
∂ v1
+ A(
x,
t)
+ B(
x,
t)
= 0,
2
∂t
∂x
∂x
3
p :
2
∂v3
∂v2
∂ v2
+ A(
x,
t)
+ B(
x,
t)
= 0,
2
∂t
∂x
∂x
4
p :
2
∂v4
∂v3
∂ v3
+ A(
x,
t)
+ B(
x,
t)
= 0,
2
∂t
∂x
∂x
0
( x,
0)
= x + 1
v ,
1
( x,
0)
= 0
v ,
2
( x,
0)
= 0
v ,
3
( x,
0)
= 0
v ,
4
( x,
0)
= 0
v ,
.
.
.
j
p :
.
.
2
∂v j ∂v
j−1
∂ v j−1
+ A(
x,
t)
+ B(
x,
t)
= 0,
( j = 2,
3,...
) 2
∂t
∂x
∂x
v j ( x,
0)
= 0 .
. (1.3.20)
denklem sistemi elde edilir. Başlangıç koşulunu sağlayan u ( x,
t)
= x + 1 başlangıç
yaklaşımı seçilerek, (1.3.20) denklem sisteminin çözümleri;
0
( x,
t)
= x + 1
( x,
t)
= t(
x + 1)
v ,
v ,
1
2
t
v 2 ( x,
t)
= ( x + 1)
,
2!
3
t
v 3 ( x,
t)
= ( x + 1)
,
3!
4
t
v 4 ( x,
t)
= ( x + 1)
,
4!
.
.
n
t
vn
( x,
t)
= ( x + 1)
,
n!
.
.
bulunur.
0
(1.3.21)

67
Buradan, p → 1 iken (1.3.18) denkleminin çözümü, aynı zamanda denklemin tam
çözümü olan ( ) ( ) ( ) t
2 3
n
⎛ t t t ⎞
u x,
t = x + 1 ⎜
⎜1+
t + + + .... + + .... = x + 1 e
2!
3!
n!
⎟ ’ dir.
⎝
⎠
1.3.4.Örnek Genelleştirilmiş lineer (1.3.6) denklemi göz önüne alınsın.
( x,0) x1
u = x = ( x , x ) ∈ R
( x1
x2
) 1
( x1,
x2
) 5x2
A 1 , = x ,
A =
2
1,
1
2 ( x , x ) x ,
B =
B
1 , 2
1
2
1
( x x ) = 1,
1,
2
2 ( x x )
2 , 2 1,
2 x2
1
2
2
B = . (1.3.22)
Homotopi pertürbasyon metodu uygulanarak aşağıdaki homotopi oluşturulsun.
H
⎛ ∂v
∂u
⎞
⎛
2
2
= ⎜ ⎟
⎜ ∑ i 1 2 ∑
⎝ ∂t
∂t
⎠ ∂t
i=
1 ∂xi
i,
j=
1
0 ( v,
p)
( 1−
p)
− + p⎜(
+ A ( x , x ) − B ( x , x ) ) v⎟
= 0.
⎝
∂
∂
2
∂
∂x
∂x
i
j
i,
j
1
2
⎞
⎟
⎠
(1.3.23)
(1.2.7) denklemi, (1.3.23) denkleminde yerine konup p ’ nin kuvvetlerine göre
katsayılar eşitlenerek:
0 ∂v0
∂u0
p : − = 0,
∂t
∂t
1
p
2
p
3
p
4
p
.
.
n
p
:
:
:
:
:
∂v1
∂u0
+
∂t
∂t
∂v
∂t
2
∂v
∂t
3
∂v
∂t
4
∂v
∂t
n
+
+
+
+
2
∑
+
1
2
∑
∂v
A
∂v0
Ai
∂x
2 2
( x , x ) ∂ v0
Bi,
j ( x1,
x2
)
1
2
∂x
∂x
i= 1
i
i, j=
1 i j
i
−
∑
2 2
( x , x ) ∂ v1Bi
, j ( x1,
x2
)
∂x
1
2
∂x
∂x
i= 1
i
i, j=
1 i j
2
∑
∂v2
Ai
∂x
−
∑
2 2
( x , x ) ∂ v2
Bi,
j ( x1,
x2
)
1
2
∂x
∂x
i= 1
i
i, j=
1 i j
2
∑
∂v
A
3
i
−
∑
2 2
( x , x ) ∂ v3Bi
, j ( x1,
x2
)
∂x
1
2
∂x
∂x
i= 1
i
i, j=
1 i j
2
∑
∂v
n−1
Ai
∂x
i= 1
i
−
∑
=
=
=
0,
2 2
( x , x ) ∂ vn−1B
i,
j ( x1,
x2
)
1
2
−
∑
∂x
∂x
i, j=
1
i j
0,
0,
=
0,
=
0,
0
( x, 0)
x1
v = ,
1
( x,
0)
= 0
v ,
2
( x,
0)
= 0
v ,
3
( x,
0)
= 0
v ,
4
( x,
0)
= 0
v ,
(n=2,3,….) ( x , 0)
= 0
v ,
.
.
. (1.3.24)
n

denklem sistemi elde edilir. Başlangıç koşulunu sağlayan u 0 ( x1,
x2
, t)
= x1
başlangıç
yaklaşımı seçilerek, (1.3.24) denklem sisteminin çözümleri;
v x , x , t = x ,
0
1
( 1 2 ) 1
( x1,
x2
, t)
tx1
v = ,
2
t
v 2 ( x1,
x2
, t)
= x1
,
2!
3
t
v 3(
x1,
x2
, t)
= x1
,
3!
4
t
v 4 ( x1,
x2
, t)
= x1
,
4!
.
.
n
t
vn
( x1,
x2
, t)
= x1
,
n!
.
.
68
(1.3.25)
bulunur. p → 1 iken (1.3.22) denkleminin çözümü, aynı zamanda denklemin tam
2 3
n
⎛ t t t ⎞ t
çözümü olan u( x1
, x2
, t)
= x1
⎜
⎜1+
t + + + .... + + ..... = x1e
2!
3!
n!
⎟ elde edilir.
⎝
⎠
1.3.5.Örnek (1.3.8) nonlineer denklemi göz önüne alınsın:
2 ( x,
0)
= x , x IR.
u ∈
u x
A( x,
t,
u)
= 4 − ,
(1.3.26)
x 3
( x,
t,
u)
u.
B =
Homotopi pertürbasyon metodu kullanılarak
2
⎛ ∂v
∂u0
⎞ ⎛ ∂ ∂ ∂
⎞
H ( v,
p)
= ( 1−
p)
⎜ − ⎟ + p ⎜
⎜(
+ A(
x,
t,
v)
− B(
x,
t,
v))
v = 0
2 ⎟ (1.3.27)
⎝ ∂t
∂t
⎠ ⎝ ∂t
∂x
∂x
⎠
homotopisi oluşturulsun. (1.2.7) denklemi, (1.3.27) denkleminde yerine konup p ’nin
kuvvetlerine göre katsayılar eşitlenerek:

69
0 ∂v0
∂u0
p : − = 0,
∂t
∂t
⎛ 4 2 x ⎞
∂⎜
( v0
) − v0
⎟ 2 2
1 ∂v1
∂u0
3 ∂ ( 0 )
p :
⎝ x
+
⎠ v
+
− = 0,
2
∂t
∂t
∂x
∂x
⎛ 8 x ⎞
∂⎜
v0v1
− v1
⎟ 2
2 ∂v2
3 ∂ ( 0 1 )
p :
⎝ x ⎠ v v
+
− 2 = 0,
2
∂t
∂x
∂x
⎡4
2 x ⎤
∂⎢
( 2v0v
2 + v1
) − v2
2
2
3 ∂v3
3 ⎥ ∂ ( 2 0 2 + 1 )
p :
⎣ x
+
⎦ v v v
−
= 0,
2
∂t
∂x
∂x
⎡8
x ⎤
∂
⎢
( v1v2
+ v0v3
) − v3
2
4 ∂v4
3 ⎥ ∂ ( 2 1 2 + 2 0 3)
p : +
⎣ x
⎦ v v v v
−
= 0,
2
∂t
∂x
∂x
.
.
2
denklem sistemi elde edilir. Başlangıç koşulunu sağlayan ( x t)
yaklaşımı seçilerek, (1.3.28) denklem sisteminin çözümleri;
( x t)
2
( x t)
2
v 0 , = x ,
v 1 , = tx ,
2
t 2
v 2 ( x,
t)
= x ,
2!
3
t 2
v 3 ( x,
t)
= x ,
3!
4
t 2
v 4 ( x,
t)
= x ,
4!
.
.
n
t 2
vn
( x,
t)
= x ,
n!
.
.
0
2 ( x,
0)
x
v = ,
1
( x,
0)
= 0
v ,
2
( x,
0)
= 0
v ,
3
( x,
0)
= 0
v ,
4
( x,
0)
= 0
v .
(1.3.28)
u 0 , = x başlangıç
bulunur. p → 1 iken (1.3.26) denkleminin çözümü, aynı zamanda denklemin tam
2 3
n
2⎛
t t t ⎞ 2 t
çözümü olan, u(
x,
t)
= x ⎜
⎜1+
t + + + ..... + + ... = x e
2!
3!
n!
⎟ elde edilir.
⎝
⎠
(1.3.29)

70
Görüldüğü gibi, metot etkin, kullanımı kolay, güvenilir bir metottur. Metodun
başlıca avantajı analitik yaklaşım vermesi, çoğu durumda hızlı yakınsak seri formunda
tam çözüme götürmesidir. Fakat homotopi pertürbasyon metodu ile bulunan çözümün,
bazı problemlerde, bütün çözüm bölgesi için yakınsak olmadığını gösteren örnekler de
mevcuttur. Böyle bir örnek, [43] numaralı kaynakta ayrıntılı bir şekilde incelenmiştir.
Ayrıca, homotopi pertürbasyon metodu ile elde edilen sınırlı sayıdaki terim
kullanılarak, bulunan kısmi çözüm serisinin hangi kapalı fonksiyona yakınsadığını veya
yakınsak bir seri oluşturup oluşturmadığını görmek de kolay değildir.
Seçilen bütün örneklerdeki tam çözümler bilindiğinden, homotopi pertürbasyon
metodu ile bulunan seri çözümlerin, tam çözümlere yakınsadığını göstermek kolay
olmuştur. Fakat tam çözümü bilinmeyen problemlerde, elde edilen çözüm serisinin, tam
çözüme yakınsamasını veren bir teori homotopi pertürbasyon metodunda yoktur. Belki
yakınsama, homotopi yolunun doğru seçilebilmesi ile mümkündür, bu, ancak deneme
ve yanılma ile kısmen sağlanabilir. Homotopi pertürbasyon metodunun analizini tam
olarak yapabilmek için benzer bir metot olan homotopi analiz metodu incelenip bu iki
metot arasındaki farklılıklar sonuç bölümünde tartışmaya açılmıştır.

II.BÖLÜM
71
2. HOMOTOPĐ ANALĐZ METODUNUN FOKKER-PLANCK DENKLEMĐNE
UYGULANMASI
2.1. Homotopi Analiz Metodu
Kuvvetli nonlineerliğe sahip nonlineer problemlerin analitik çözümlerini elde
etmek genelde zordur.Yarı analitik yöntemlerde, çözüm serilerinin yakınsaklık bölgesi
çoğu zaman fiziksel parametrelere bağlıdır. Bu yarı analitik yaklaşımlar, nonlineerlik
kuvvetli olduğunda, çoğu zaman başarısız sonuçlar verir. Pertürbasyon yaklaşımları ise
sadece zayıf nonlineerliğe sahip problemler için geçerlidir. Bu tip problemlerin
çözümleri için daha önceki tekniklerden farklı olarak, çözüm serilerinin yakınsaklık
bölgesini ve hızını kontrol etme imkanı sağlayan “Homotopi Analiz Metodu (HAM)”
Liao tarafından verilmiştir. Bu metot aynı zamanda, Adomian ayrışım metodu,
Lyapunov küçük yapay parametre metodu, δ -açılım metodu gibi önceden verilmiş non-
pertürbatif metotların genel halidir [19]. Yani, önceki metotların genelleştirilmiş veya
birleştirilmiş bir teorisi olarak düşünülebilir.
Homotopi analiz metodu, farklı tipteki nonlineer denklemlerin seri çözümlerini elde
etmek için kullanılan genel bir yarı analitik yaklaşımdır. Bu metot cebirsel
denklemlerin, adi diferansiyel denklemlerin, integro-diferansiyel denklemlerin vb.
çözümlerini bulmak için kullanılır. Pertürbasyon metotlarının aksine, homotopi analiz
metodu, küçük /büyük fiziksel parametrelerden bağımsızdır ve metodun uygulanması
için problemin küçük /büyük fiziksel parametre içerip içermediği önemli değildir.
Bütün pertürbasyon metotlarından ve klasik non-pertürbatif metotlardan farklı olarak,
homotopi analiz metodu, çözüm serilerinin yakınsaklık bölgesini kontrol etme imkanı
sağlar. Homotopi analiz metodu metodu, homotopi pertürbasyon metoduna benzer
biçimde, topolojinin temel kavramlarından biri olan homotopiyi kullanır. Bu metotta
da ele alınan denklemin başlangıç yaklaşımından tam çözüme götüren sürekli bir
dönüşüm oluşturulur. Bu tip bir sürekli dönüşümü oluşturmak için bir yardımcı lineer
operatör seçilir. Bulunan çözüm serisinin yakınsaklığını garantilemek için bir yardımcı

72
parametre kullanılır. Bu metot, başlangıç yaklaşımı ve yardımcı lineer operatörlerin
seçiminde serbestlik sağlar. Homotopi analiz metodu yardımıyla zor bir nonlineer
problem, daha basit sonsuz sayıda lineer alt probleme dönüştürülür.
Örneğin homotopi pertürbasyon metodunu anlatırken incelenen nonlineer cebirsel
denklem göz önüne alınsın.
( x)
= 0
f .
x , x ’in bir başlangıç yaklaşımı ve q ∈ [ 0,
1]
homotopi parametresi (topolojide gömme
0
parametresi olarak adlandırılır.) olmak üzere;
[ x q]
( 1−
q)
[ f ( x)
− f ( x ) ] qf ( x)
H ; + ,
= 0
homotopisi kurulsun. q = 0 ve q = 1 iken
[ x;
0]
= f ( x)
f ( x ) ve H [ x 1]
= f ( x)
H −
0
; ,
elde edilir. q parametresi 0’dan 1’e değiştikçe, H [ x;
q]
homotopisi sürekli olarak
f ( x)
− f ( x ) ’dan ( x)
0
olarak adlandırılır. [ x;
q]
= 0
f ’e değişir. Böyle bir sürekli değişim, topolojide deformasyon
H alınarak
( 1− ) [ f ( x)
− f ( x0
) ] + qf ( x)
= 0
q ,
cebirsel denklemlerin bir ailesi bulunur. Bu cebirsel denklemler ailesinin bir çözümü,
homotopi parametresi q ’ya bağlıdır. Bu yüzden, denklemlerin ailesi
( 1− q) [ f [ ( q)
] − f ( x0
) ] + qf [ φ(
q)
] = 0
φ . (2.1.1)
biçiminde tekrar yazılabilir. q = 0 iken
[ ( ) ] − ( x ) 0 f q
f φ ; 0 = q ,
0 =
bulunur. Bu denklemin çözümü;
( ) = 0
φ = φ 0 x ’ dır.
0
q =
q = 1 iken
[ ( q)
] = 0
f φ ; q = 1 .
denklemi başlangıçta alınan cebirsel denklem ( x)
= 0
φ
q = 1
= φ
( 1)
= x
f ile tam olarak aynıdır. Buradan
elde edilir. Yani homotopi parametresi q , 0’dan 1’e değiştikçe, φ ( q)
’nun değeri,
başlangıç yaklaşımı x 0 ’dan ( ) 0 = x f denkleminin çözümü olan x ’e değişir (veya

73
deforme olur). (2.1.1) tipindeki denklemlerin ailesine sıfırıncı-derece deformasyon
denklemi denir. Bu da homotopi pertürbasyon metodundaki homotopiye denktir.
Homotopi pertürbasyon metodu, bu noktadan itibaren farklılıklar gösterir. Burada,
φ ( q)
, homotopi parametresi q ’nun bir fonksiyonu olduğundan, pertürbasyon serisi
yerine Taylor serisine açılarak ifade edilir. Böylece ( ) 0
φ 0 = x olmak üzere
k
( q) x ∑ xkq
k
+∞
φ = 0 +
(2.1.2)
= 1
bulunur. (2.1.2) serisinde x k ,
( q)
k
1 ∂ φ
x k =
= D
k
k!
∂q
biçimindedir.
q=0
k
( φ)
(2.1.2) serisine homotopi-serisi, ( φ)
k
(2.1.3)
D ’ ye ise k .mertebeden homotopi-türevi denir.
Homotopi-serisi (2.1.2), q = 1’de
yakınsak ise φ ( 1)
= x eşitliği kullanılarak homotopi-
serisi çözümü
∑ +∞
k = 1
x = x + x
(2.1.4)
0
elde edilir.
k
Taylor serisinde katsayılar tek biçimde verildiğinden, (2.1.2) homotopi serisinin k x
katsayıları da tektir. Bu yüzden x k ’lardan oluşan denklem de tektir ve sıfırıncı-derece
deformasyon denklemi (2.1.1)’den doğrudan elde edilebilir. Sıfırıncı-derece
deformasyon denkleminin her iki tarafının, (2.1.3) ile tanımlanan 1.mertebeden
homotopi-türevi alınarak
( − q) [ f [ φ ( q)
] − f ( x ) ] + qf [ φ(
q)
] = f [ φ(
q)
] − ( 1−
q)
f ( x ) = 0
1 0
0
( q)
dφ
dq
[ ( ) ] ( ) 0 + f q φ
′ x
f
0 =
1.derece deformasyon denklemi
1
( x ) + f ( ) = 0
x f ′ x
0
elde edilir.
0

Bulunan bu denklemin çözümü:
( x0
)
′ ( x )
f
x1
= − ’ dır.
f
0
74
(2.1.1) denkleminin her iki tarafının 2. mertebeden homotopi-türevi alınarak
( − q) [ f [ φ ( q)
] − f ( x ) ] + qf [ φ(
q)
] = f [ φ(
q)
] − ( 1−
q)
f ( x ) = 0
1 0
0
1
2!
2
d φ
2
dq
( q)
q=
0
f ′
[ φ(
q)
]
q=
0
+
1
2!
2.derece deformasyon denklemi
x
2
1
f ′ 0 1 x
2
2 ( x ) + x f ′
( ) = 0
elde edilir.
Bu denklemin çözümü:
x
2
′
( x0
)
′ ( x )
0
0
( q)
⎛
⎜ dφ
⎜
⎝
dq
( ) ( )
[ ( ) ] 3
x0
f ′
x0
f ′
2
2
x1
f f
= − = −
2 f 2 x
0
q=
0
⎞
⎟
⎟
⎠
2
f ′
[ φ(
q)
] = 0
bulunur. Bu yolla k = 1,
2,
3,...
. dereceden x k ’lar sırayla elde edilir. Oluşturulan bütün
bu yüksek derece deformasyon denklemleri lineer ve çözülmesi kolay denklemlerdir.
Birinci-derece homotopi-serisi yaklaşımı;
( x0
)
′ ( x )
f
x ≈ x0
+ x1
= x0
−
(2.1.5)
f
0
ve ikinci-derece homotopi-serisi yaklaşımı homotopi pertürbasyon metodundaki gibi
( x0
)
′ ( x )
0
( ) ( )
[ ( ) ] 3
x0
f ′
x0
f ′
2
f f
x ≈ x0
+ x1
+ x2
= x0
− −
(2.1.6)
f 2 x
0
olarak bulunur. (2.1.5)’in Newton iterasyon formülüyle aynı olduğu, (2.1.6)’nın da
2.derece Newton iterasyon formülü olarak düşünülebileceği görülür.
Yukarıdaki yaklaşım, hiçbir fiziksel parametreye bağlı değildir. Bir nonlineer
problemin küçük/büyük fiziksel parametre içerip içermediği fark etmeksizin her zaman
q=
0
sıfır-derece deformasyon denklemi oluşturmak için ∈ [ 0,
1]
q homotopi-parametresi
verilebilir. (2.1.2)’deki homotopi serisi her zaman q = 1’
de yakınsak olmayabilir. Bu
yüzden, buna karşı gelen (2.1.4) homotopi çözüm serisi de ıraksak olabilir. Örneğin 1.
derece Newton iterasyon formülü, çoğu zaman ıraksak sonuçlar verir. Bunun nedeni ise
yukarıdaki yaklaşımın q = 1’de
yakınsak olduğu varsayımına dayanmasıdır. Fakat bu

75
yaklaşım, genelde kuvvetli nonlineerliğe sahip nonlineer problemler için sağlanmaz.
Homotopi analiz metodunda, bu kısıtlamayı ortadan kaldırmak için Liao [19], bir
sıfırıncı-derece deformasyon denklemini oluştururken, bir yardımcı h ≠ 0 parametresi
vermiştir:
( q) [ f [ φ( q)
] − f ( x ) ] = qhf
[ φ(
q)
]
1 . (2.1.7)
− 0
h ≠ 0 olduğundan (2.1.7) denklemi, q = 1’
de x = φ(
1)
’i sağlayan f ( x)
= 0 denklemine
karşı gelir:
[ ( q)
] = 0
h f φ ; q = 1
olur. Yüksek-derece deformasyon denklemi hariç diğer formüller, (2.1.2) ve (2.1.4) ile
aynıdır. 1.derece deformasyon denklemi:
1
( x ) − f ( ) = 0
x f ′ h x
0
olur. Bu denklemin çözümü:
x
1
( x0
)
′ ( x )
f
= h ’dır.
f
0
0
(2.1.7) denkleminin her iki tarafının 2. mertebeden homotopi-türevi alınarak 2.derece
deformasyon denklemi:
1
x2 f ′ 0 h 1 0 1 x
2
2
( x ) − ( + ) x f ′ ( x ) + x f ′
( ) = 0
1 0
bulunur. Bu denklemin çözümü:
x
2
=
( 1+
h ) x f ′ ( x )
1
0
−
1
2
x
2
1
f
f
′′ ( x0
)
′ ( x )
0
h
=
( 1+
h)
f ( x0
)
f ′ ( x )
0
h
−
elde edilir. Buradan birinci-derece homotopi-serisi yaklaşımı:
( x0
)
′ ( x )
0
2
f
2
( ) ( )
[ ( ) ] 3
2
x0
f ′
x0
f ′ x
f
x ≈ x0
+ x1
= x0
+ h (2.1.8)
f
ve 2.derece homotopi-serisi yaklaşımı:
( x0
)
′ ( x )
f
x ≈ x0
+ x1
+ x2
= x0
+ ( h + 2)
h
f
elde edilir.
( ) ( )
[ ( ) ] 3
x0
f ′
x0
f ′ x
2
h −
2
(2.1.9)
0
f
(2.1.5), (2.1.6) denklemleri, (2.1.8) ve (2.1.9) denklemlerinin, sırasıyla h = −1
olduğu
durumdaki özel halleridirler. (2.1.5) denkleminde, h yardımcı parametresinin, nümerik
hesaplamalarda sıkça kullanılan bir iterasyon çarpanı olduğu düşünülebilir. Uygun
2
0
0

76
seçilen bir iterasyon çarpanı, iterasyonun yakınsak olmasını sağlar. Bunun gibi, (2.1.2)
homotopi-serisinin yakınsaklığı da h yardımcı parametresinin değerine bağlıdır. h
yardımcı parametresinin uygun bir değeri seçilerek, homotopi-seri çözümünün
yakınsaklığı garanti edilebilir. Bu yüzden h , yakınsaklık-kontrol parametresi olarak
adlandırılır.
h yakınsaklık parametresi kullanılmadığında, (2.1.2) homotopi-serisinin yakınsak
olduğu varsayılmak zorundadır. h yakınsaklık parametresinin kullanımıyla böyle bir
varsayıma gerek yoktur. Yakınsak homotopi-seri çözümü elde etmek için her zaman
uygun bir h değeri seçilebilir. Homotopi-türevi ve deformasyon denklemi ile ilgili bazı
teorem ve yardımcı teoremler verilmiştir [31].
2.1.1. Homotopi-türevinin özellikleri
Homotopi-türevi, daha yüksek derece deformasyon denklemini türetmek için kullanılır.
Bu alt bölümde, bu türevin tam olarak tanımıyla birlikte bazı özellikleri verilmiştir.
2.1.1.1. Tanım φ , q homotopi-parametresinin bir fonksiyonu olsun. m ≥ 0 bir tamsayı
olmak üzere;
D
m
m
( q)
m
1 ∂ φ
( φ ) =
(2.1.10)
m
m!
∂q
( φ )
q=
0
D ' ye φ ’ nin m. mertebeden homotopi-türevi denir.
2.1.1.2. Tanım [ u]
= 0
∑ +∞
=
k = 0
k
k q
N ; bir nonlineer denklem, φ ; Maclaurin serisi
φ u
(2.1.11)
olan, ∈ [ 0,
1]
q homotopi-parametresinin bir fonksiyonu olsun.

[ φ , ] = 0 , q ∈[
0,
1]
Π q
denklemler ailesine [ u]
= 0
q = 1 ise bu denklem
∑ +∞
=
=
= q 1
k 0
77
N ’ ın sıfırıncı derece deformasyon denklemi denir. Eğer
= u φ u
(2.1.12)
k
olmak üzere başlangıçta alınan [ u]
= 0
N denklemine denktir. q = 0 ’da ise denklemin
çözümü açıktır. (2.1.11) serisine homotopi serisi ve (2.1.12) serisine [ u]
= 0
N ’ın
homotopi seri çözümü denir. u k ’ların oluşturduğu denklemlere k.derece deformasyon
denklemleri denir.
2.1.1.1. Teorem f ve g homotopi parametresi q ’ dan bağımsız fonksiyonlar olsunlar.
i
∑ uiq
i
+∞
φ = ,
= 0
ψ
homotopi serileri için
∑
j
+∞
=
= 0
v
j
jq ( f gψ
) = fD ( φ)
gD ( ψ )
D m φ + m + m ’dir.
Kanıt: f ve g fonksiyonları q ’ dan bağımsız ve (2.1.10) ile tanımlanan D m lineer
operatör olduğundan
( f + gψ
) = D ( fφ)
+ D ( gψ
) = fD ( φ ) gD ( ψ )
D m φ m
m
m + m
sağlanır.
∑
i
+∞
=
= 0
∑
j
+∞
=
= 0
i
j
2.1.1.2.Teorem φ uiq
, ψ v jq homotopi serileri için m ≥ 0 , n ≥ 0 , l ≥ 0
ve 0 ≤ k ≤ m tamsayılar olmak üzere
(a) D m ( φ ) = um
k
(b) ( q ) = D ( φ)
Dm −
φ m k
Dm m
∑
m
∑
−
i=
0
i=
0
(c) ( ) = D ( φ ) D ( ψ ) = D ( ψ ) D ( φ)
φψ i m−i
i m i
m
m
n l
n
l
l
n
(d) Dm ( φ ψ ) = ∑ Di
( φ ) Dm−i
( ψ ) = ∑ Di
( ψ ) Dm−i
( φ )
sağlanır.
i=
0
i=
0

Kanıt:
78
(a) Taylor teoremine göre, φ ’nin Maclaurin serisinin tek biçimde tanımlanan m u
katsayıları
u
m
=
1
m!
( q)
m
∂ φ
m
∂q
q=
0
ile verilir. (2.1.10) ile verilen D ( )
(b)
m
( q)
m
1 ∂ φ
φ =
tanımından D m
m ( φ ) = um
bulunur.
m!
∂q
q=
0
+∞
k k i
φ = q ∑u
iq
+∞
i+
k
= ∑u
iq
+∞
m
= um−
kq
sağlanır. (a) yardımıyla
i=
0
i=
0
m=
k
q ∑
k ( q ) u D ( φ)
Dm −
φ m−
k m k = = bulunur.
(c) çarpımın türevleri için Leibnitz kuralına göre
m
∂
∂q
( φψ )
m
=
m
∑
i=
0
i!
(2.1.10) tanımı ile
m!
i
∂ φ ∂
m−i
ψ
=
m−i
i m−i
i m−i
( m − i)
! ∂q
∂q
i!
( m − i)
! ∂q
∂q
( φψ )
m
∑
i=
0
m!
i
∂ ψ ∂
m
+ ∞ i
m−i
+ ∞
1 ∂
⎛ φ ⎞⎛
ψ ⎞
( φψ )
⎜ 1 ∂ ⎟⎜
1 ∂
=
=
⎟ D
m ∑
=
i
m−i
i m i
m q
i i q ⎜ ( m i)
∑
! ∂
⎜ ⎟ q ⎟
q=
= 0 !
−
q=
q=
i=
⎝
∂
!
⎠⎝
∂
0
0
0 0 ⎠
φ
( φ ) D ( ψ )
Dm −
sağlanır. Benzer biçimde
+∞
( ) D ( ψ ) D ( φ )
∑
Dm = −
i=
0
φψ i m i
sağlanır.
n
l
(d) Φ = φ ve Ψ = ψ yazılsın. (c)’ye göre
m
+∞
+∞
n l
n
l
( φ ψ ) = Dm
( ΦΨ)
= ∑ Di
( Φ)
Dm−i
( Ψ)
= ∑ Di
( φ ) Dm−i
( )
D ψ
sağlanır. Benzer biçimde
m
i=
0
+∞
n l
l
n
( φ ψ ) ∑ Di
( ψ ) Dm−i
( )
D φ
=
i=
0
sağlanır.
2.1.1.3. Teorem L , q homotopi-parametresinden bağımsız lineer bir operatör olsun.
∑
k
+∞
=
= 0
φ u homotopi serisi için D m ( Lφ)
= L Dm
( φ)
sağlanır.
k
k q
i=
0
[ ]

Kanıt: L , q ’ dan bağımsız olduğundan
L ∑
k
+∞
=
= 0
[ ( ) ] k
L u
φ .
k q
79
sağlanır. Yukarıdaki eşitliğin her iki tarafının m .mertebeden homotopi-türevi alınıp
2.1.1.2. Teoremin (a) şıkkı kullanılarak D ( L ) = L(
u )
m
φ elde edilir. Ayrıca yine
2.1.1.2. Teoremin (a) şıkkına göre L [ D ( φ ) ] = L(
u ) ’dir. Buradan D ( L ) = L[
D ( φ)
]
sağlanır.
∑
k
+∞
=
= 0
m
m
m
m
φ m
k
2.1.1.4.Teorem φ u homotopi serisi için m ≥ 1 tamsayı olmak üzere aşağıdaki
formüller sağlanır;
0
φ u 0 ( e ) e
D =
,
k q
m−1
φ ⎛ k ⎞ φ
( e ) = ⎜ − D ( e ) D ( φ)
∑ 1 ⎟ .
⎝ ⎠
Dm k m−k
k=
0 m
φ
D e =
Kanıt: (2.1.10) tanımına göre ( ) 0
0
e
u
sağlanır.
φ
∂e φ ∂φ
= e ’dur. Çarpımın türevi için Leibnitz kuralına göre
∂q
∂q
1 ∂ e
m!
∂
1
∂
⎛
m φ m−1
m−1
φ
= ⎜e
=
m
m−1
∑
q m!
∂q
∂q
m k=
0
( − k)
⎝
∂φ
⎞
⎟
⎠
1
k!
k φ
m−k
m ⎡ 1 ∂ e ⎤⎡
1 ∂ φ ⎤
⎢ ⎥⎢
m ⎥ .
k
m ⎣k!
∂q
⎦⎣(
m − k)
! ∂q
⎦
m−1
= ∑ −k
k=
0
Yukarıdaki eşitlikte (2.1.10) tanımı kullanılarak
m−1
φ ⎛ k ⎞ φ
( e ) = ⎜ − D ( e ) D ( φ)
∑ 1 ⎟ elde edilir.
⎝ ⎠
Dm k m−k
k=
0 m
2.1.1.5. Teorem
0
∑
k
+∞
=
= 0
k
k q
1
∂
m−k
k m−k
( m −1
− k)
! ∂q
∂q
φ u homotopi serisi için m ≥ 1 tamsayı olmak üzere
( φ ) sin(
u ), D ( φ ) = cos(
u ),
sin 0
D =
0
cos 0
⎛ k ⎞
φ ∑ − ⎟ k
⎝ ⎠
m−1
Dm ⎜
k = 0 m
k
m−
( sin ) = 1 D ( cosφ
) D ( φ),
⎛ k ⎞
φ ∑ − ⎟ k
⎝ ⎠
m−1
Dm ⎜
k = 0 m
k
m−
( cos ) = − 1 D ( sinφ
) D ( φ),
bağıntıları sağlanır.
k
e
φ
∂
φ

Kanıt: (2.1.10) tanımına göre;
0
( φ ) sin(
u ), D ( cos ) = cos(
u )
sin 0
D =
0
0
80
φ sağlanır.
i = −1
yazılırsa Euler formülü ve 2.1.1.1. Teorem kullanılarak m ≥ 1 tamsayısı için
D
D
m
m
iφ
−iφ
⎛ e − e ⎞ 1 iφ
−iφ
( φ)
= D ⎜ ⎟ = [ D ( e ) − D ( e ) ]
sin m⎜
m
m
i ⎟
(2.1.13)
⎝ 2 ⎠ 2i
iφ
−iφ
⎛ e + e ⎞ 1 iφ
−iφ
( φ ) = D ⎜ ⎟ = [ D ( e ) + D ( e ) ]
cos m⎜
⎟ m
m
- (2.1.14)
⎝ 2 ⎠ 2
sağlanır.
2.1.1.4. Teorem ve 2.1.1.1. Teorem kullanılarak
m−1
iφ
⎛ k ⎞ iφ
( e ) = ⎜1
− D ( e ) D ( iφ
)
∑ ⎟
k=
0 ⎝ m ⎠
Dm k m−k
⎛ k ⎞
= ∑ − ⎟
⎝ ⎠
iφ
( e ) D ( φ)
m−1
i ⎜1
k = 0 m
Dk
m−k
bulunur. Benzer biçimde
m−1
−iφ
⎛ k ⎞ −iφ
( e ) = −i
⎜1
− D ( e ) D ( φ)
∑ ⎟
⎝ ⎠
Dm k
m−k
k = 0 m
elde edilir.
Yukarıdaki iki eşitlik (2.1.13) ve (2.1.14) denklemlerinde yerine konarak 2.1.1.1.
Teorem ve Euler formülü kullanılarak
D
m
m−
⎛ k ⎞
iφ
−iφ
( φ)
= ∑⎜ − ⎟ D ( φ)
[ D ( e ) + D ( e ) ]
1 1
sin 1
2
k=
0
⎝
m ⎠
m−k
( ) ⎟ m−1
iφ
−iφ
⎛ k ⎞ ⎛ e + e ⎞
= ∑⎜1 − ⎟ D ⎜
m−k
φ Dk
k=
0 ⎝ m ⎠ ⎝ 2 ⎠
m−1
⎛ k ⎞
= ∑⎜1 − ⎟ D
k=
0 ⎝ m ⎠
bulunur. Benzer biçimde
D
m
m−k
k
( φ) D ( cosφ
)
m−
i ⎛ k ⎞
iφ
−iφ
( φ)
= ∑⎜ − ⎟ D ( φ)
[ D ( e ) − D ( e ) ]
1
cos 1
2
k=
0
⎝
m ⎠
m−k
( ) ⎟ m−1
iφ
−iφ
⎛ k ⎞ ⎛ e − e ⎞
= −∑⎜1
− ⎟ D ⎜
m−k
φ
Dk
k = 0 ⎝ m ⎠ ⎝ 2i
⎠
k
k
k
k

ulunur.
m−1
⎛ k ⎞
= −∑⎜1
− ⎟ D
k = 0 ⎝ m ⎠
m−k
81
( φ ) D ( sinφ
)
2.1.1.6.Teorem Eğer homotopi serileri
k
i
∑ uiq
i
+∞
φ = ,
= 0
j
∑ v jq
j
+∞
= ψ , bir q ∈ [ 0,
a)
= 0
bölgesinde φ = ψ eşitliğini sağlarlarsa her m ≥ 0 tamsayısı ve bir a > 0 reel sayısı
için u m = vm
ve D m ( φ) = Dm
( ψ ) ’dir.
Kanıt: φ = ψ olduğundan
∑
0
+∞
k =
k ( − v ) q = 0
u .
k
k
sağlanır. Yukarıdaki eşitlik her q ∈ [ 0,
a)
noktası için sağlanır ⇔ u m = vm
, m ≥ 0 .
2.1.1.2. Teoremin.(a) şıkkına göre ( ) D ( ψ )
2.1.2. Deformasyon denklemleri
D m φ = m ’dir.
2.1.1. alt bölümünde verilen homotopi-türevinin özellikleri, farklı tipte sıfırıncı-
derece deformasyon denklemleri için yüksek derece deformasyon denklemleri elde
edilirken kullanılır.
2.1.2.1. Yardımcı Teorem ∈[
0,
1]
q bir homotopi-parametresi, u m ; x r uzay, t zaman
değişkeninin bir fonksiyonu olmak üzere ; ( ) m r
φ u x,
t q bir homotopi serisini, L ;
∑
m
+∞
=
= 0
x r ve t ’ye göre bir yardımcı lineer operatörünü, u 0 ; bir başlangıç çözümünü göstersin.
m

82
⎧0,
m ≤ 1
χ m = ⎨
(2.1.15)
⎩1,
m > 1.
olmak üzere, ( 2.
1.
10)
ile tanımlanan D m operatörü için
− q L φ − u = L u
r
x,
t − χ u
r
x,
t
{ ( ) [ ] } [ ( ) ( ) ]
Dm 1 0
m
m m−1
sağlanır.
Kanıt: L , q ’dan bağımsız bir lineer operatör olduğundan
( 1− q) L[
φ − u ] = L[
φ − qφ
+ u q − u ]
0
sağlanır. 2.1.1.1., 2.1.1.2., 2.1.1.3. Teoremler kullanılarak
{ ( 1− q)
L[
φ − u ] } = D { L[
φ − qφ
+ u q − u ] }
Dm 0 m
0
0
{ D [ φ − q + u q u ] }
= L m φ −
0
[ D ( φ ) − D ( q ) + u D ( q)
]
= φ
L m m
0 m
[ u u u D ( q)
]
−
L m m 1 0 m +
= −
0
elde edilir. Bu ifade, m = 1 iken L [ um
] ’ye, m > 1 iken L [ um
− um−
] ’e eşittir. χ m ’in
(2.1.15) tanımı kullanılarak
{ ( q)
L[
− u ] } = L[
u − u ]
Dm 1− φ m χ m m−
.
bulunur.
2.1.2.1.Teorem ∈ [ 0,
1]
0
1
0
0
q bir homotopi-parametresi olmak üzere, ( ) m r
φ u x,
t q
1
∑
m
+∞
=
= 0
homotopi serisi için L bir yardımcı lineer operatörü, N bir nonlineer operatörü,
r
u 0 ( x,
t)
bir başlangıç çözümünü, h , q ’dan bağımsız yakınsaklık-kontrol parametresini
ve H ( x,
t)
r
, q ’dan bağımsız bir yardımcı fonksiyonu göstersin.
r
− q L φ − u = qhH
x,
t N φ
(2.1.16)
( ) [ ] ( ) [ ]
1 0
ile tanımlanan sıfırıncı-derece deformasyon denklemine karşı gelen m.derece
deformasyon denklemi ( ≥ 1
m ) , m−1
tanımlanmak üzere;
L[ u
r
r r
( x,
t)
− χ mu
m−
( x,
t)
] = hH
( x,
t)
Dm−
N[
φ]
m 1
1
ile verilir.
D operatörü, (2.1.10), χ m fonksiyonu (2.1.15) ile
( )
m
(2.1.17)

83
Kanıt: 2.1.1.6.Teorem kullanılarak
− q L φ − u = D
r
qhH
x,
t N φ
(2.1.18)
{ ( ) [ ] } ( ( ) [ ] )
Dm 1 0 m
elde edilir. Yardımcı teorem 2.1’e göre
{ ( q)
L[
− u ] } = L[
u − u ]
Dm 1− φ m χm
m−
(2.1.19)
0
1
bulunur.2.1.1.1. Teorem ve 2.1.1.2. Teoreme göre
r
qh
H x,
t N φ
r
= hH
x,
t D N φ
(2.2.20)
( ( ) [ ] ) ( ) ( [ ] )
Dm m
bulunur. (2.1.19) ve (2.1.20)’yi (2.1.18)’de yerine koyarak m.derece deformasyon
denklemine ulaşılır:
r
r r
L[ u ( x,
t)
− χ mu
m−
( x,
t)
] = hH
( x,
t)
Dm−
( N[
φ]
) .
m 1
1
2.1.2.2.Teorem ∈[
0,
1]
r
φ u ,
∑
m
+∞
=
= 0
m
( ) m
x,
t q
q bir homotopi-parametresi, α k bir sabit olmak üzere;
∑
k
+∞
=
= 1
ψ α homotopi serilerini, L bir yardımcı lineer operatörü,
k
k q
r
N bir nonlineer operatörü, u ( x,
t)
bir yardımcı fonksiyonu göstersin.
k
( 1 q)
L[
φ − u ] = H ( x,
t)
⎜ α q N[
φ]
− ∑
k
+∞
0
=1
r
⎛
⎝
0
k
⎞
⎟
⎠
bir başlangıç çözümünü, H ( x,
t)
r
, q ’dan bağımsız
(2.1.21)
ile tanımlanan sıfırıncı-derece deformasyon denklemine karşı gelen m.derece
deformasyon denklemi ( m ≥ 1),
k D operatörü (2.1.10), χ m fonksiyonu (2.1.15) ile
tanımlanmak üzere;
r
r
L m m m−1
m
∑
k = 1
k m−k
[ u ( x,
t)
− χ u ( x,
t)
] = H ( x,
t)
α D ( N[
φ]
)
olur.
r
(2.1.22)
Kanıt: 2.1.1.6. Teorem kullanılarak
− q L φ − u = D
r
H x,
t ψ N φ
(2.1.23)
{ ( ) [ ] } ( ( ) [ ] )
Dm 1 0 m
bulunur. 2.1.1.1.Yardımcı teoremine göre
{ ( q)
L[
− u ] } = L[
u − u ]
Dm 1− φ m χ m m−
(2.1.24)
0
sağlanır. 2.1.1.1.Teorem ve 2.1.1.2. Teorem kullanılarak
r
r
m
m
Dm −k
k=
0
k=
0
1
( H ( x,
t)
ψ N[
φ]
) = H ( x,
t)
∑ Dk
( ψ ) Dm−k
( N[
φ]
) = H ( x,
t)
∑α
k Dm
( N[
φ]
)
α 0 olduğundan,
0 =
r
,

84
( H ( x,
t)
ψ N[
φ]
) = H ( x,
t)
∑α
k Dm
( N[
φ]
)
Dm −k
k=
0
r
m
bulunur. (2.1.24) ve (2.1.25), (2.1.23)’de yerine konursa kanıt biter.
(2.1.25)
Sıfırıncı-derece deformasyon denklemi (2.1.16), α = h ve k > 1 için α = 0 olduğu
durumda (2.1.21) sıfırıncı-derece deformasyon denkleminin bir özel halidir.
q ∈ 0,
1 bir homotopi-parametresi, ( x,
t)
r
β , sıfıra eşit veya en az bir
2.1.2.3. Teorem [ ]
r
k için β ( x,
t)
= 0 olan sıfırdan farklı bir fonksiyon olmak üzere; ( ) m r
φ u x,
t q ,
∑
k
+∞
=
= 1
k
k
( ) k
x,
t q
1
k
k
∑
m
+∞
=
= 0
r
ψ β homotopi serileri, L bir yardımcı lineer operatör, N bir nonlineer
operatör, u ( x,
t)
0
r
bir başlangıç çözümü olsunlar.
⎛
k
( 1 q)
L[
φ − u ] = ⎜ β ( x,
t)
q N[
φ]
− ∑
k
+∞
0
=1
⎝
k
r
⎞
⎟
⎠
m
(2.1.26)
ile tanımlanan sıfırıncı-derece deformasyon denklemine karşı gelen m.derece
deformasyon denklemi ( m ≥ 1),
k D operatörü (2.1.10), χ m fonksiyonu (2.1.15) ile
tanımlanmak üzere;
r
r
L m m m−1
m
∑
k=
1
k m−k
[ u ( x,
t)
− χ u ( x,
t)
] = β ( x,
t)
D ( N[
φ]
)
ile verilir.
Kanıt: 2.1.1.6. Teorem kullanılarak
{ ( q)
L[
φ − u ] } = D ( ψ N[
φ]
)
Dm − 0 m
r
, (2.1.27)
1 (2.1.28)
bulunur. 2.1.1.1.Yardımcı teoremine göre
{ ( q)
L[
− u ] } = L[
u − u ]
Dm 1− φ m χ m m−
(2.1.29)
0
sağlanır. 2.1.1.1. Teorem ve 2.1.1.2. Teorem kullanılarak
m
m
Dm −k
k=
0
k = 0
( ψ N[
φ]
) = ∑ Dk
( ψ ) Dm−k
( N[
φ]
) = ∑ β k ( x,
t)
Dm
( N[
φ]
)
bulunur. ( , t)
= 0
x r
β olduğundan
0
( ψ N[
φ]
) = ∑ β k ( x,
t)
Dm
( N[
φ]
)
Dm −k
k=
0
m
r
1
r
,
. (2.1.30)
elde edilir. (2.1.29) ve (2.1.30) denklemleri, (2.1.28) denkleminde yerine konularak
istenen elde edilir.

85
r r
Sıfırıncı-derece deformasyon denklemi (2.1.21), k ≥ 1 için β ( , t)
= α H ( x,
t)
olduğu
k
x k
durumda, (2.1.26) sıfırıncı-derece deformasyon denkleminin bir özel halidir.
q ∈ 0,
1 bir homotopi-parametresi, ( x,
t)
r
β sıfıra eşit veya en az bir
2.1.2.4. Teorem [ ]
r
k için β ( x,
t)
= 0 olan sıfırdan farklı bir fonksiyon olmak üzere; ( ) m r
φ u x,
t q ,
∑
k
+∞
=
= 1
k
k
( ) k
x,
t q
k
∑
m
+∞
=
= 0
r
ψ β homotopi serileri, L bir yardımcı lineer operatör, N bir nonlineer
0
r
, r
φ , , x, t
r
φ ve q ’nun, q = 0
r
ve q = 1 iken A[
φ , x,
t,
q]
= 0 ’ı sağlayan bir fonksiyonu olsun.
operatör, u ( x,
t)
bir başlangıç çözümü olsunlar. A [ x,
t,
q]
Sıfırıncı-derece deformasyon denklemi,
k
( 1 q)
L[
φ − u ] = ⎜ β ( x,
t)
q ⎟N[
φ]
+ A[
φ,
x,
t,
q]
− 0 ∑
k 1
+∞
=
⎛
⎝
k
r
⎞
⎠
r
, (2.1.31)
ile tanımlanır. Buna karşı gelen m.derece deformasyon denklemi ( m ≥ 1),
D k operatörü
(2.1.10), χ m fonksiyonu (2.1.15) ile tanımlanmak üzere;
r
m r r
r
− ∑ (2.1.32)
[ u ( x,
t)
χ u ( x,
t)
] = β ( x,
t)
D ( N[
φ]
) + D ( A[
φ,
x,
t,
q]
)
L m − m m 1
k m−k
m
k=
1
ile verilir.
Kanıt: 2.1.1.6. Teorem ve 2.1.1.1. Teorem kullanılarak
− q L φ − u = D ψ N φ + D
r
A φ,
x,
t,
q
(2.1.33)
{ ( ) [ ] } ( [ ] ) ( [ ] )
Dm 1 0 m
m
2.1.1.1.Yardımcı teoreme göre
{ ( q)
L[
− u ] } = L[
u − u ]
Dm 1− φ m χ m m−
(2.1.34)
0
sağlanır. 2.1.1.1.Teorem ve 2.1.1.2. Teorem kullanılarak
m
m
Dm −k
k=
0
k = 0
( ψ N[
φ]
) = ∑ Dk
( ψ ) Dm−k
( N[
φ]
) = ∑ β k ( x,
t)
Dm
( N[
φ]
)
bulunur. ( , t)
= 0
x r
β olduğundan
0
( ψ N[
φ]
) = ∑ β k ( x,
t)
Dm
( N[
φ]
)
Dm −k
k=
0
m
r
1
r
. (2.1.35)
olur. (2.1.34) ve (2.1.35), (2.1.33)’de yerine konarak kanıt biter. ∆
Sıfırıncı-derece deformasyon denklemi (2.1.26), A[ , x,
t,
q]
= 0
r
φ olduğu durumda,
(2.1.31) sıfırıncı-derece deformasyon denkleminin bir özel halidir.
m

2.1.2.5. Teorem ∈ [ 0,
1]
86
q bir homotopi-parametresi olmak üzere; ( ) m r
φ = u x,
t q
r
homotopi-serisi, L bir yardımcı lineer operatör, N bir nonlineer operatör, u 0 ( x,
t)
bir
x, t ≠
r
B , x,
t,
q
r
φ , , x, t
r
φ
başlangıç çözümü olsunlar. γ ( ) 0 bir fonksiyon olmak üzere; [ ]
ve q ’nun,
r
q = 0 iken B[
φ , x,
t,
q]
= 0 ,
r r
q = 1 iken B [ φ, x,
t,
q]
= γ ( x,
t)
N[
φ]
denklemlerini sağlayan bir fonksiyonu olsun.
r
− q L φ − u = B φ,
x,
t,
q
(2.1.36)
( ) [ ] [ ]
1 0
ile tanımlanan sıfırıncı-derece deformasyon denklemine karşı gelen m.derece
deformasyon denklemi ( m ≥ 1),
k D operatörü (2.1.10), χ m fonksiyonu (2.1.15) ile
tanımlanmak üzere;
u
r
x t − χ u −
r
x,
t = D
r
B φ,
x,
t,
q
(2.1.37)
[ ( ) ( ) ] ( [ ] )
L m , m m 1
m
ile verilir.
Kanıt: 2.1.1.6.Teorem kullanılarak
− q L φ − u = D
r
B φ,
x,
t,
q . (2.1.38)
{ ( ) [ ] } ( [ ] )
Dm 1 0 m
elde edilir. 2.1.1.1.Yardımcı teoreme göre
{ ( q)
L[
− u ] } = L[
u − u ]
Dm 1− φ m χ m m−
(2.1.39)
0
sağlanır. (2.1.38) ve (2.1.39)’dan kanıt biter. ∆
1
Sıfırıncı-derece deformasyon denklemi (2.1.16), (2.1.21), (2.1.26) ve (2.1.31),
sıfırıncı-derece deformasyon denklemi (2.1.36)’nın özel halleridirler. Çoğu zaman
homotopi seri çözümünü elde etmek için (2.1.16) sıfırıncı-derece deformasyon
denklemi kullanılır. Eğer yardımcı lineer operatör L , yardımcı fonksiyon H ( x,
t)
r
, ve
yakınsaklık parametresi h uygun olarak seçilirse istenen çözüme ulaşılır. Bir nonlineer
[ u]
= 0
N denkleminin yüksek derece deformasyon denklemlerini elde etmek için
( N(
φ)
)
D k terimleri hesaplanmalıdır. (2.1.16) sıfırıncı-derece deformasyon denklemi,
• L
L = r
hH
( x,
t)
olmak üzere;
•
( − q ) L[
φ − u ] = qN[
φ]
1 (2.1.40)
0
∑
m
+∞
= 0
m

denklemiyle tekrar yazılırsa
87
•
L bir yardımcı lineer operatör gibi düşünülebilir. Bu
durumda, yardımcı lineer operatörün seçimi için; ilk önce bir temel lineer operatör
seçilir, sonra yardımcı fonksiyon belirlenir ve son olarak yakınsaklık-kontrol
parametresi h , homotopi-seri çözümü yakınsak olacak biçimde belirlenir. Sıfırıncı-
derece deformasyon denklemleri (2.1.21), (2.1.26), (2.1.31) ve (2.1.36), h yakınsaklık-
kontrol parametresi kavramını genelleştirerek elde edilirler.
r
α = α α , α ,....
{ }
1,
2 2
vektörü tanımlansın. (2.1.21) denklemindeki α r vektörü, (2.1.16) denklemindeki h
yakınsaklık-kontrol parametresinin bir genelleştirmesidir. Benzer şekilde, (2.1.26) ve
(2.1.31) denklemlerindeki
r
β =
r r r
β x t , β
r r
x,
t , β
r
x,
t ,....
{ ( ) ( ) ( ) }
1
, 2
2
vektörü (2.1.21) denkleminde yakınsaklık kontrol vektörü α r ’nın bir genelleştirmesidir.
α r ve β r vektörlerinin uygun seçimiyle homotopi-seri çözümünün yakınsaklığı garanti
edilebilir. Liao (2.1.16) sıfırıncı-derece deformasyon denklemi için h -eğrilerini çizerek
homotopi serisinin yakınsaklık bölgesini uygun bir h değeri ile belirlemeyi önermiştir.
(2.1.16), (2.1.21), (2.1.26), (2.1.31) ve (2.1.36) gibi farklı tipte sıfırıncı derece
deformasyon denklemleri, homotopi analiz metodunun uygulanmasında esneklik
sağlarlar. Bunun yanında, her tipte sıfırıncı derece deformasyon denklemi için yardımcı
lineer operatör L ’yi seçme serbestliği vardır. Hatta L ’nin mertebesi, orjinal nonlineer
denkleminkinden farklı olabilir [58]. Đkinci mertebeden bir nonlineer kısmi diferansiyel
denklem, dördüncü veya altıncı mertebeden sonsuz sayıda lineer kısmi diferansiyel
denklem ile yer değiştirebilir ve bir nonlineer kısmi diferansiyel denklem, sonsuz sayıda
lineer adi diferansiyel denkleme dönüştürülebilir. Değişken katsayılı bir nonlineer
diferansiyel denklem, sabit katsayılı, sonsuz sayıda lineer diferansiyel denkleme
dönüştürülebilir. Bu tip serbestlik ve esneklik, verilen bir nonlineer problemin, istenen
çözümünü daha kolay yoldan bulma imkanı sağlar.
Eğer bir nonlineer denklemin en az bir çözümü varsa yakınsak homotopi-seri
çözümü elde etmek için sıfırıncı-derece deformasyon denklemi her zaman
oluşturulabilir.
Bu çalışmada, homotopi pertürbasyon metodu ile karşılaştırmayı yapabilmek için,
homotopi analiz metodu ile çözüm bulurken oluşturulan (2.1.16) tipindeki sıfırıncı-

88
derece deformasyon denklemine göre homotopi analiz metodunun genel nonlineer
problemler için sistematik bir tanımı verilmiştir.
2.1.3. Sıfırıncı-derece deformasyon denklemi
Genel biçimde, N bir nonlineer operatör, x r uzay, t zaman değişkenleri, u ( x,
t)
r
bu
değişkenlere bağlı bir fonksiyon olmak üzere
N u x,
t =
r
[ ( ) ] 0
(2.1.41)
nonlineer (lineer) denklemi göz önüne alınsın.
r
u 0 ( x,
t)
, u ( x,
t)
r
tam çözümünün bir başlangıç yaklaşımı, h ≠ 0 bir yakınsaklık kontrol
parametresi, H ( x,
t)
≠ 0
r
bir yardımcı fonksiyon ve L aşağıdaki özelliği sağlayan bir
yardımcı lineer operatör
f x,
t =
r
L f
r
x,
t =
( ) 0
olsunlar. ∈ [ 0,
1]
iken [ ( ) ] 0
q homotopi (gömme) parametresi kullanılarak
r
φ x , t;
q ; u0
r
x,
t , H
r
x,
t , h,
q = − q
r
L φ x,
t;
q − u
r
x,
t
r r
− qhH
x,
t N φ x,
t;
q
(2.1.42)
Η [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) { [ ( ) ( ) ] } ( ) [ ( ) ]
1 0
(2.1.43)
homotopisi kurulabilir. Yakınsaklık kontrol parametresi h ve yardımcı fonksiyon
H x,
t
r
u
r
x,
t başlangıç
( ) , homotopi analiz metodunda önemli rol oynarlar. Metot, ( )
yaklaşımını, L yardımcı lineer operatörünü, yakınsaklık kontrol parametresi h ’yi ve
H x,
t
r
yardımcı fonksiyonunu seçme serbestliği tanır. (2.1.43) homotopisi 0’a
( )
eşitlenerek
r r r
Η φ x, t;
q ; u0
x,
t , H x,
t , h,
q = ,
[ ( ) ( ) ( ) ] 0
sıfırıncı-derece deformasyon denklemi
− q
r
L φ x,
t;
q − u
r
x,
t = qhH
r r
x,
t N φ x,
t;
q , (2.1.44)
( ) { [ ( ) ( ) ] } ( ) [ ( ) ]
1 0
elde edilir.
0

89
Denklemin çözümü φ ( x , t;
q)
, sadece u ( x,
t)
zamanda ∈ [ 0,
1]
r
0
r
, L , H ( x,
t)
r
ve h ’ye bağlı değil, aynı
q ’ya de bağlıdır. q = 0 iken (2.1.44) sıfırıncı-derece deformasyon
denklemi,
r
L φ x,
t;
0 − u0
r
x,
t = , (2.1.45)
[ ( ) ( ) ] 0
denklemine dönüşür. (2.1.42) özelliği kullanılarak
r r
φ ( x , t;
0)
= u0
( x,
t)
. (2.1.46)
bulunur. q = 1 iken h ≠ 0 ve H ( x,
t)
≠ 0
r
olduğundan (2.1.44) sıfırıncı-derece
deformasyon denklemi ,
N x,
t;
1 =
r
φ , (2.1.47)
[ ( ) ] 0
denklemine karşı gelir. Bu denklem ilk başta alınan (2.1.41) denkleminin aynısıdır.
Buradan
r r
φ x , t;
1 = u x,
t
(2.1.48)
( ) ( )
denklemi sağlanır. (2.1.46) ve (2.1.48) denklemlerine göre, homotopi-parametresi q ,
r r
0’dan 1’e artarken φ ( x , t;
q)
, u 0 ( x,
t)
başlangıç yaklaşımından, (2.1.41) denkleminin
u x,
t
r
’ye sürekli olarak değişir. (veya deforme olur) Bu tip sürekli
tam çözümü olan ( )
değişime, homotopide deformasyon denir. (2.1.44) denklemine sıfırıncı-derece
deformasyon denklemi denmesinin nedeni budur. m. derece deformasyon
denklemlerinin türevleri
m r
[ m]
r ∂ φ
( )
( x,
t;
q)
u0
x,
t = m
∂q
q=
0
ile tanımlanır. Taylor teoremi ile ( x , t;
q)
(2.1.49)
r
φ , q ’nun kuvvet serisine açılabilir:
[ m]
u0
( ) ( )
( x,
t)
m
x, t;
q x,
t;
0 ∑ q .
m!
+∞ r
r r
φ = φ +
(2.1.50)
m=
1
Buradan
[ m]
r
m r
r u0
( x,
t)
1 ∂ φ
( )
( x,
t;
q)
u m x,
t = =
= D
m
m!
m!
∂q
q=0
m
( φ)
bulunur. (2.1.46) denklemi kullanılarak (2.1.50) ( x , t;
q)
r
r
r
r
φ ’nun kuvvet serisi
(2.1.51)
( ) ( ) ∑ ( )
+∞
m
φ x,
t;
q = u0
x,
t + um
x,
t q
(2.1.52)
m=
1
elde edilir.

90
r
L yardımcı lineer operatörü, u 0 ( x,
t)
başlangıç çözümü, h ≠ 0 yakınsaklık-kontrol
H x,
t
r
, yardımcı fonksiyonu, aşağıdaki özellikleri sağlayacak biçimde
parametresi ve ( )
seçilir:
1. Her ∈ [ 0,
1]
r
q için φ ( x , t;
q)
, (2.1.44) sıfırıncı-derece deformasyon denkleminin
çözümüdür.
[ m]
r
2. m = 1,
2,
3,.....
için deformasyon türevi u0 ( x,
t)
mevcuttur.
r
φ x , t;
q ’nun kuvvet serisi (2.1.52) q = 1’de
yakınsaktır.
3. ( )
(2.1.48) ve (2.1.52) denklemlerinden, çözüm serisi
u
r
( x,
t)
= u ( x,
t)
+ u ( x,
t)
0
r
∑ +∞
m=
1
m
r
r
bulunur. Bu ifade, tam çözüm u ( x,
t)
ve başlangıç yaklaşımı u ( x,
t)
derece deformasyon denklemleri ile belirlenen ( x,
t)
kurar.
2.1.4. Yüksek-derece deformasyon denklemi
{ u ( x t)
, u ( x,
t)
, u ( x,
t)
,..., u ( x,
t)
}
un 0 , 1 2
n
u m
r
0
r
(2.1.53)
arasında, yüksek
terimleri yardımıyla bir ilişki
r r r r r
= vektörü tanımlansın. (2.1.51) tanımına göre,
u m
r
( x,
t)
’nin denklemi, sıfırıncı-derece deformasyon denklemi (2.1.44)’den türetilebilir.
χ m fonksiyonu (2.1.15) ile tanımlanmak üzere;
u
r
x t − χ u
r
x,
t = hH
r
x,
t R
r
u
r
, x;
t
(2.1.54)
[ ( ) ( ) ] ( ) ( )
L m , m m−
1
m m−1
R
( m −1)
!
[ ( x,
t;
q)
]
m−1
r r 1 ∂ N φ
m ( um−1
, x,
t)
=
m−1
∂q
r
q=
0
m.derece deformasyon denklemi elde edilir. (2.1.10) tanımından,
(2.1.55)

r
( u x,
t)
= D ( N[
φ]
)
Rm m−
1 , m−1
91
(2.1.56)
denklemi bulunur. (2.1.56) denklemi, (2.1.54) denkleminde yerine konularak
r
r r
L[ u ( x,
t)
− χ mu
m−
( x,
t)
] = hH
( x,
t)
Dm−
( N[
φ]
)
(2.1.57)
m 1
1
denklemi bulunur. (2.1.52) denklemi, (2.1.55) denkleminde yerine konularak
R
m
r
( u , x,
t)
m−1
r
1
⎧ ∂
m−1
+ ∞
= ⎨ N −1
( −1)
! ∂
⎢∑u
m
n
m q n=
0
bulunur. Bu da (2.1.10) tanımına göre
r
r
⎩
⎛ ⎡
= ∑
⎝ ⎣
r
⎡
⎣
⎤⎞
r
( x,
t)
Rm m−
1 , m−1⎜
+∞
⎢
n=
0
n ⎥⎟
m−1
n ⎤⎫
q ⎥⎬
⎦⎭
( u x,
t)
D ⎜ N u ( x,
t)
⎟ = D ( N[
u]
)
denklemini verir.
⎦⎠
q=
0
(2.1.58)
(2.1.59)
(2.1.57) yüksek derece lineer deformasyon denklemi birbiri ardınca çözülerek
u
r
x t , u
r
x,
t
u x,
t
r
’nin m.yaklaşımı;
u
1
( ) ( ), ….elde edilir. ( )
r
, 2
( x,
t)
u ( x,
t)
ile verilir.
∑ +∞
≈
k=
0
2.1.5. Yakınsaklık teoremi
k
r
(2.1.60)
Bir serinin yakınsaklığı önemlidir. Homotopi analiz metodu ile verilen (2.1.53) çözüm
serisinin, yakınsak olduğu sürece, ele alınan nonlineer problemin çözümü olduğu
kanıtlanabilir.
∑ +∞
m=
1
2.1.5.1.Teorem u(
x,
t)
= u ( x,
t)
+ u ( x,
t)
bir çözümüdür. [33]
r
0
r
m
r
serisi yakınsak ise (2.1.41) denkleminin

Kanıt:
Eğer seri yakınsak ise
s
∑ +∞
=
m=
0
u
m
yazılabilir.
Ayrıca seri yakınsak olduğundan
lim u = 0
n→∞
n
sağlanır. (2.1.54) denklemi kullanılarak
92
+∞
n
r r r
r
hH χ
( x,
t)
∑ Rm
[ um−1
( x;
t)
] = lim∑
L[
um
( x,
t)
− mu
m−1
( x,
t)
]
m=
1
n→∞
m=
1
⎧
⎨
⎩
n
∑ n→∞
m=
1
[ ] ⎬
⎭ ⎫
r
r
= L lim u ( x,
t)
− χ u ( x,
t)
m
r [ ]
= lim u ( x,
t)
L n
n→∞
=0
h ≠ 0 , H ( x,
t)
≠ 0
r
olduğundan
∑ +∞
m=
1
R
m
r
[ u ( x;
t)
]
m−
1
r
r
bulunur. u ( x,
t)
= 0 .
m
m−1
, (2.1.41) denkleminin bir çözümüdür.
r

2.2. Fokker-Planck Denkleminin Çözümü için Homotopi Analiz Metodu
93
N nonlineer bir operatör, x r uzay, t zaman değişkenlerini göstermek üzere
N u x,
t =
r
, (2.2.1)
[ ( ) ] 0
nonlineer denklemi göz önüne alınsın.
Liao, klasik homotopi kavramını kullanarak sıfırıncı-derece deformasyon denklemini
oluşturmuştur. ∈ [ 0,
1]
q homotopi-parametresi, h yakınsaklık-kontrol parametresi, L
H x,
t
r
r
yardımcı bir fonksiyon, u 0 ( x,
t)
, u ( x,
t)
r
’nin
r
φ x , t;
q çözüm serisi için sıfırıncı-derece
yardımcı bir lineer operatör, ( )
başlangıç yaklaşımı olmak üzere ( )
deformasyon denklemi
r
− q L φ x,
t;
q − u
r
x,
t
r r
= qhH
x,
t N φ x,
t;
q
(2.2.2)
( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ]
1 0
ile verilir. Homotopi analiz metodunda h ve L ’nin seçiminde bir kısıtlama yoktur.
r r r r
φ ( x , t;
0)
= u0
( x,
t)
ve φ ( x , t;
1)
= u(
x,
t)
, (2.2.3)
r
eşitlikleri sağlanır. q , 0’dan1’e değiştikçe, φ ( x , t;
q)
çözümü,
r
u 0 ( x,
t)
başlangıç
u x,
t
r
r
φ x , t;
q , q ’ya göre Taylor
yaklaşımından denklemin çözümü olan ( ) ’ye değişir. ( )
serisine açılarak
m r
r 1 ∂ φ
( )
( x,
t;
q)
u m x,
t =
= D
m
m!
∂q
olmak üzere;
r
r
q=0
r
m
( φ)
(2.2.4)
( ) ( ) ∑ ( )
+∞
m
φ x,
t;
q = u0
x,
t + um
x,
t q , (2.2.5)
m=
1
bulunur.
Eğer (2.2.5) kuvvet serisi q = 1’de
yakınsak olacak biçimde uygun yardımcı bir lineer
operatör ve yardımcı bir fonksiyon seçilirek
r r r r
φ (2.2.6)
( x,
t;
1)
= u ( x,
t)
+ u ( x,
t)
= u(
x,
t)
bulunur.
0
∑ +∞
m=
1
m

94
Liao tarafından kanıtlandığı gibi, (2.2.6) verilen nonlineer denklemin çözümü olur.
h = −1
ve H ( x,
t)
= 1
r
seçilirse (2.2.2) denklemi,
r r r
1− q L φ x,
t;
q − u0
x,
t + qN φ x,
t;
q =
(2.2.7)
( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] 0
homotopi pertürbasyon metodunda kullanılan forma dönüşür.
r
= u
r
x t , u
r
x,
t , u
r
x,
t ,..., u
r
x,
t vektörü tanımlanarak (2.2.4) eşitliğine göre,
{ ( ) ( ) ( ) ( ) }
un 0 , 1 2
n
u m
r
( x,
t)
’nin denklemi, (2.2.2) sıfırıncı-derece deformasyon denkleminden türetilebilir.
⎧
χ m = ⎨
⎩
0,
1,
m ≤ 1,
ile tanımlanan χ m fonksiyonu da kullanılarak ;
m > 1.
u
r
x t − χ u
r
x,
t
r
= hH
x,
t R
r
u
r
, x;
t
(2.2.8)
[ ( ) ( ) ] ( ) ( )
L m , m m−
1
m m−1
bulunur.
R
r r
( um−
1,
x,
t)
=
1
m−1
r
∂ N[
φ(
x,
t;
q)
]
m−1
! ∂q
= Dm−
( m −1)
m 1
q=
0
( N[
φ]
)
(2.2.9)
kullanılarak
L[ u
r
r r
( x,
t)
− χ mu
m−
( x,
t)
] = hH
( x,
t)
Dm−
( N[
u]
)
(2.2.10)
m 1
1
m.derece deformasyon denklemi elde edilir.
Yüksek derece lineer deformasyon denklemleri birbiri ardınca çözülerek bulunan
çözümlerden oluşturulan homotopi serisi q = 1’de
yakınsak olarak alındığından verilen
problemin çözümü olan
u
r
( x,
t)
u ( x,
t)
∑ +∞
=
k = 0
elde edilir.
k
r
(2.2.11)

95
2.2.1. Fokker-Planck denkleminin homotopi analiz metodu ile çözümü için
örnekler
Yukarıda özetlenen homotopi analiz metodunun etkinliğini göstermek için bazı
örnekler verilecektir. Homotopi analiz metodunun ne kadar doğru sonuçlar verdiğini
göstermek için tam çözümleri bilinen Fokker-Planck denklemleri seçilmiştir. 1.3. alt
bölümde verilen Biazar tarafından homotopi pertürbasyon metodu ile çözülen
denklemler, bu alt bölümde homotopi analiz metodu kullanılarak çözülecektir.
1.3.1.Örnek için
(1.3.3) başlangıç koşulu :
( x)
x,
x IR.
f = ∈
(2.2.12)
(1.3.2) denkleminde
( x)
= −1,
A (2.2.13)
ve
( x)
= 1.
B (2.2.14)
olmak üzere denklemin tam çözümü u ( x,
t)
= x + t biçimindedir.
( x,
t)
x
u =
0 (2.2.15)
başlangıç yaklaşımı olarak seçilsin. Yardımcı fonksiyon ( x,
t)
= 1
sabiti olmak üzere; [ c ] 0
L eşitliğini sağlayan
1 =
( x,
t;
q)
,
H , c 1 bir integral
∂
L(
( x,
t;
q)
) =
∂t
φ
φ (2.2.16)
yardımcı lineer operatör L olsun. Bir N operatörü
( x,
t;
q)
( x,
t;
q)
2
∂φ
∂
∂ φ
N[
φ ( x,
t;
q)
] = + ( − φ(
x,
t;
q)
) −
(2.2.17)
2
∂t
∂x
∂x
ile tanımlansın.

96
(2.2.2) denkleminden, sıfırıncı-derece deformasyon denklemi :
( − q)
2
( x,
t;
q)
⎡∂φ
( x,
t;
q)
∂φ(
x,
t;
q)
∂ φ(
x,
t;
q)
∂φ
∂t
⎤
− qh
⎢ − − ⎥ = 0
(2.2.18)
⎣ ∂t
∂x
∂x
⎦
1 2
biçiminde bulunur. Buradan (2.2.8) m.derece deformasyon denklemi kullanılarak
u x t − χ u x,
t = hR
r
u , x;
t
(2.2.19)
[ ( ) ( ) ] ( )
L m , m m−
1 m m−1
elde edilir.
(2.2.8), (2.2.9) denklemleri kullanılarak
m ≥ 1 için um ( x,
0)
= 0
(2.2.20)
başlangıç koşulları göz önüne alınarak
R
1
r
∂u
∂t
∂u
∂x
2
∂ u
∂x
0 0
( u0
) = − − 2
0
= −1
(2.2.21)
olarak bulunur. χ m fonksiyonunun tanımı kullanılarak
L u = hR
r
u
(2.2.22)
( ) ( )
1
1
0
denklemi elde edilir. Bu denklem verilen başlangıç koşuluna göre çözülerek
( x,
t)
= − t
u h
1 (2.2.23)
çözümü bulunur.
Yine aynı yöntem uygulanarak
R
ve
L
2
r
∂u
∂t
∂u
∂x
2
∂ u
∂x
1 1
( u1)
= − − 2
1
= −h
(2.2.24)
( u ) L(
u ) = hR
( u )
2
r
− (2.2.25)
denklemi çözülerek
2
( x,
t)
−h
( 1+
) t,
1
2
1
u = h
(2.2.26)
çözümü elde edilir.
2
r ∂u2
∂u2
∂ u2
R3(
u2
) = − − 2
∂t
∂x
∂x
= −h
( 1 + h)
(2.2.27)
ve
r
L u − L u = hR
u
(2.2.28)
( ) ( ) ( )
3
denklemi çözülerek
2
3
2

3
2
( x,
t)
−h
( 1 + ) t,
97
u = h
(2.2.29)
çözümü bulunur.
R
ve
L
4
r
∂u
∂t
∂u
∂x
∂
3 3
( u3
) = − − 2
( ) 2
1 h
2
u
∂x
3
= −h
+
(2.2.30)
( u ) L(
u ) = hR
( u )
4
r
− (2.2.31)
3
denkleminin çözümünden
4
3
( x,
t)
−h
( 1+
) t,
3
3
u = h
(2.2.32)
çözümü elde edilir.
Benzer biçimde denklemler oluşturulup çözülmeye devam edilerek
( x,
t)
x
u =
0
,
( x,
t)
= − t
u h
1
2
( x,
t)
= −h
( 1+
) t,
u h
3
2
( x,
t)
= −h
( 1 + ) t,
u h
4
3
( x,
t)
= −h
( 1+
) t,
u h
.
.
u
.
.
n
n−1
( x,
t)
= − ( 1+
h)
t,
,
h ( n ≥ 1)
. (2.2.33)
çözümleri bulunur. q = 1’de,
homotopi analiz metodu ile elde edilen seri çözüm
( x,
t)
u ( x,
t)
= u ( x,
t)
+ u ( x,
t)
+ u ( x,
t)
+ .... + u ( x,
t)
+ ....
= ∑
0
0
1
2
+∞
u
k =
n
olduğundan
u
k (2.2.34)
2
3
n−1
( x,
t)
= x − t − h(
1+
h)
t − h(
1+
h)
t − h(
1+
h)
t + .... − h(
1+
h)
t + .....
çözümü elde edilir.
h (2.2.35)

1.3.2.Örnek için
(1.3.3) başlangıç koşulu :
( x)
sinh( x)
, x IR,
98
f = ∈
(2.2.36)
olmak üzere; (1.3.4) denkleminde A ve B katsayıları,
A
B
t
t
( x,
t)
e coth( x)
cosh( x)
+ e sinh( x)
− coth( x),
= (2.2.37)
t ( x,
t)
e cosh( x).
= (2.2.38)
t
olmak üzere denklemin tam çözümü u(
x,
t)
e sinh( x)
0
( x,
t)
sinh( x)
= biçimindedir.
u = (2.2.39)
başlangıç yaklaşımı olarak seçilsin.
( x,
t)
= 1
H yardımcı fonksiyon, c 1 bir integral sabiti olmak üzere; L[ c1
] = 0 eşitliğini
sağlayan
( x,
t;
q)
,
∂
L(
( x,
t;
q)
) =
∂t
φ
φ (2.2.40)
yardımcı lineer operatör olsun. Bir N operatörü
[ φ(
x,
t;
q)
]
∂φ
=
∂t
( x,
t;
q)
⎡ ∂
⎢−
∂x
− ⎢ 2
⎢ ∂
⎢
+
⎣
N t
ile tanımlansın.
t
t
( e coth( x)
cosh( x)
+ e sinh( x)
− coth( x)
)
( e cosh( x)
)
(2.2.11) denkleminden , sıfırıncı-derece deformasyon denklemi :
( 1−
q)
⎡
⎢
∂φ
qh⎢
⎢ ∂t
⎢
⎣
( x,
t;
q)
∂φ
∂t
( x,
t;
q)
−
⎡ ∂
⎢
−
∂x
− ⎢ 2
⎢ ∂
⎢
+
⎣
∂x
2
t
t
( e coth( x)
cosh( x)
+ e sinh( x)
− coth( x)
)
t ( e cosh( x)
)
∂x
2
⎤
⎥
⎥φ
⎥
⎥⎦
⎤
⎥
⎥φ
⎥
⎥⎦
⎤
⎥
( x,
t;
q)
( x,
t;
q)
⎥ = 0
⎥
⎥
⎦
(2.2.41)
(2.2.42)
biçiminde bulunur. Buradan (2.2.8) m.derece deformasyon denklemi kullanılarak
u x t − χ u x,
t = hR
r
u , x;
t
(2.2.43)
[ ( ) ( ) ] ( )
L m , m m−
1 m m−1
elde edilir.

(2.2.8), (2.2.9) denklemleri kullanılarak
99
m ≥ 1 için um ( x,
0)
= 0
(2.2.44)
başlangıç koşulları göz önüne alınarak
R
1
r
∂u
∂t
∂
∂x
0
t
t
( ) ( ) ( ) u0
= + e coth( x)
cosh( x)
+ e sinh( x)
− coth( x)
u0
−
u0
∂
2
t
e cosh( x)
2
∂x
= −sinh
x
(2.2.45)
bulunur. χ m fonksiyonunun tanımı kullanılarak
L u = hR
r
u
(2.2.46)
( ) ( )
1
1
0
denklemi elde edilir. Bu denklem verilen başlangıç koşuluna göre çözülerek
( x,
t)
−hsinh(
x t
u = ) , (2.2.47)
1
çözümü bulunur. Yine aynı yöntem uygulanarak
R
2
ve
L
r
∂u
∂t
∂
∂x
1
t
t
( ) ( ) ( ) u1
= + e coth( x)
cosh( x)
+ e sinh( x)
− coth( x)
u1
−
u1
= −h
sinh( x)( 1−
t)
( u ) L(
u ) = hR
( u )
2
1
2
1
∂
2
t
e cosh( x)
2
∂x
(2.2.48)
r
− (2.2.49)
denklemi çözülerek
u
2
2 2
h t
= (2.2.50)
2!
( x,
t)
−h
( 1+
h)
sinh( x)
t + sinh( x)
çözümü elde edilir.
R
3
ve
L
r
∂u
∂t
∂
∂x
2
t
t
( ) ( ) ( ) u2
= + e coth( x)
cosh( x)
+ e sinh( x)
− coth( x)
u2
−
u2
2
h t
= h −
2!
2
( 1+
h)
sinh( x)
t − h(
1+
h)
sinh( x)
+ h t sinh( x)
sinh( x)
( u ) L(
u ) = hR
( u )
3
2
3
2
2
∂
2
t
e cosh( x)
2
∂x
(2.2.51)
r
− (2.2.52)
denkleminin çözümünden

u
+
3
( x,
t)
= −h(
1+
h)
3
h t
2!
2
sinh( x)
−
çözümü bulunur.
sinh( x)
t +
3
h t
3!
3
sinh( x)
2
h t
2!
2
100
h
sinh( x)
+
2
( 1+
h)
2!
t
2
sinh( x)
− h
Benzer biçimde denklemler oluşturulup çözülmeye devam edilerek
0
( x,
t)
sinh( x)
u = ,
( x,
t)
−hsinh(
x t
u = ) ,
u
u
+
1
2
3
2
h t
2!
( x,
t)
= −h
( 1+
h)
sinh( x)
t + sinh( x)
( x,
t)
= −h(
1+
h)
3
h t
2!
2
sinh( x)
−
sinh( x)
t +
3
h t
3!
3
sinh( x)
2
2
h t
2!
2
h
sinh( x)
+
2
( 1+
h)
2!
t
2
sinh( x)
− h
2
2
( 1+
h)
( 1+
h)
( ) ⎟ 2 3 2 3
2 2
1 ⎛72h
t −12h
t + 36h
t + 36ht
−12h
t − 72h⎞
u =
⎜
4 x,
t h sinh( x)
t
⎜ 2 3
3 3
24 ⎝−
72h
− 24h
− 24 + h t
⎠
.
.
.
.
sinh( x)
t
sinh( x)
t
(2.2.53)
. (2.2.54)
çözümleri bulunur. q = 1’de,
homotopi analiz metodu ile elde edilen seri çözüm
( x,
t)
u ( x,
t)
= u ( x,
t)
+ u ( x,
t)
+ u ( x,
t)
+ .... + u ( x,
t)
+ ....
= ∑
0
0
1
2
+∞
u
k =
n
olduğundan
k (2.2.55)

101
2 2
h t
u(
x,
t)
= sinh( x)
− h sinh( x)
t − h(
1+
h)
sinh( x)
t + sinh( x)
2!
2 2
2
2
h t h
( )
( 1+
h)
t
− h 1 + h sinh( x)
t + sinh( x)
+ sinh( x)
2!
2!
3 2
3 3
2
h t h t
− h ( 1 + h)
sinh( x)
t + sinh( x)
− sinh( x)
2!
3!
2 3 2 3
2 2
1 ⎛72h
t −12h
t + 36h
t + 36ht
−12h
t − 72h⎞
+ h sinh( x)
t⎜
⎟ + ...
2 3
3 3
24 ⎜
72 24 24
⎟
⎝−
h − h − + h t
⎠
çözümü elde edilir.
1.3.3.Örnek için
Sürüklenme ve difüzyon katsayıları
( x,
t)
= −(
x + 1),
(2.2.56)
A (2.2.57)
2 t ( x,
t)
x e .
B = (2.2.58)
ve tam çözümü ( ) ( ) t
u x,
t = x + 1 e olan (1.3.5) backward Kolmogorov denkleminde
(1.3.3) denkleminde başlangıç koşulu:
( x)
x + 1, x IR.
f = ∈
(2.2.59)
ile verilsin.
0
( x,
t)
= x + 1
u (2.2.60)
başlangıç yaklaşımı seçilsin.
( x,
t)
= 1
H yardımcı fonksiyon, c 1 bir integral sabiti olmak üzere; L[ c1
] = 0 eşitliğini
sağlayan
( x,
t;
q)
,
∂
L(
( x,
t;
q)
) =
∂t
φ
φ (2.2.61)
yardımcı lineer operatör olsun.
Bir N operatörü
N
[ ( x,
t;
q)
]
( x,
t;
q)
∂φ
∂t
∂
∂x
∂ φ
∂x
( x,
t;
q)
2
2 t
φ = − ( x + 1)
( φ(
x,
t;
q)
) + x e
(2.2.62)
2
ile tanımlansın.
(2.2.2) denkleminden, sıfırıncı-derece deformasyon denklemi :
( − q)
( x,
t;
q)
⎡∂φ
( x,
t;
q)
∂φ
∂t
( x,
t;
q)
2
∂
2 t ∂ φ ⎤
− qh
⎢ − ( x + 1)
( φ(
x,
t;
q)
) + x e ⎥ = 0 (2.2.63)
⎣ ∂t
∂x
∂x
⎦
1 2

102
olarak bulunur. Buradan (2.2.8) m.derece deformasyon denklemi kullanılarak
u x t − χ u x,
t = hR
r
u , x;
t
(2.2.64)
[ ( ) ( ) ] ( )
L m , m m−
1 m m−1
elde edilir.
(2.2.8), (2.2.9) denklemleri kullanılarak
m ≥ 1 için um ( x,
0)
= 0
(2.2.65)
başlangıç koşulları göz önüne alınarak
R
1
r
∂u
∂t
∂u
∂x
2
∂ u
∂x
0
0 2 t
( u0
) = − ( x + 1)
+ x e 2
( + 1)
0
= − x (2.2.66)
bulunur. χ m fonksiyonunun tanımı kullanılarak
L u = hR
r
u
(2.2.67)
( ) ( )
1
1
0
denklemi elde edilir. Bu denklem verilen başlangıç koşuluna göre çözülerek
( x,
t)
− ( x + )t
u = h 1 , (2.2.68)
1
çözümü bulunur. Yine aynı yöntem uygulanarak
R
2
ve
L
r
∂u
∂t
∂u
∂x
2
∂ u
∂x
1
1 2 t
( u1)
= − ( x + 1)
+ x e 2
( x + 1 ) + ( x + 1)t
1
= −h
h
(2.2.69)
( u ) L(
u ) = hR
( u )
2
r
− (2.2.70)
denklemi çözülerek
u
2
1
2
( x,
t)
= − ( x + 1)
t − h ( x + 1)
çözümü elde edilir.
R
3
r
∂u
∂t
2
1
( x + 1)
2 2
h t
h t +
(2.2.71)
2!
∂u
∂x
2
∂ u
∂x
2
2 2 t
( u2
) = − ( x + 1)
+ x e 2
2
( x + 1)
2 2
2
2
h t
= −h
( x + 1)
− h ( x + 1)
+ 2h
( x + 1)
t + h(
x + 1)
t −
(2.2.72)
2!
ve
L
( u ) L(
u ) = hR
( u )
3
r
− (2.2.73)
2
denkleminin çözümünden
3
2

3
103
3
t
u h + (2.2.74)
2
2
2 3
( x,
t)
= − ( 1+
h)(
x + 1)
t − h ( 1+
h)(
x + 1)
t + h ( 1+
h)(
x + 1)
t − h ( x 1)
3!
bulunur.
Benzer biçimde denklemler oluşturulup çözülmeye devam edilerek
0
( x,
t)
= x + 1
u ,
( x,
t)
− ( x + )t
u = h 1 ,
u
1
2
3
2
( x,
t)
= −h(
x + 1)
t − h ( x + 1)
h
t +
2
( x + 1)
2!
2
2
2 3
( x,
t)
= −h(
1+
h)(
x + 1)
t − h ( 1+
h)(
x + 1)
t + h ( 1+
h)(
x + 1)
t − h ( x 1)
3!
3 2 3 4 3 2 2 2 1 3 3 1 3 3
( x,
t)
= 3h
t x − 3h
tx − h tx + h t x − 3h
tx − htx
− h t x − h t
u +
u4
2
2 2
3 4 2 3 2 2 1 4 3 1 4 4 2 3 2 3 1 4
+ h t x − ht
+ h t − h t x + h t x − 3h
t + 3h
t − 3h
t − h t
2
2 2 24
2
1 4 4 3 4 2 4
+ h t + h t − h t
24 2
.
.
çözümleri bulunur.
q = 1’de,
homotopi analiz metodu ile elde edilen seri çözüm
( x,
t)
u ( x,
t)
= u ( x,
t)
+ u ( x,
t)
+ u ( x,
t)
+ .... + u ( x,
t)
+ ....
= ∑
0
0
1
2
+∞
u
k =
n
olduğundan
t
2
t
3
3
,
.
(2.2.75)
k (2.2.76)
( x + 1)
2
2
2 h t
u(
x,
t)
= x + 1−
h(
x + 1)
t − h(
x + 1)
t − h ( x + 1)
t + − h(
1 + h)(
x + 1)
t
2!
3
2
2
2 3 t 3 2 3 4
− h ( 1+
h)(
x + 1)
t + h ( 1+
h)(
x + 1)
t − h ( x + 1)
+ 3h
t x − 3h
tx − h tx
3!
3 2 2 2 1 3 3 1 3 3 3 4 2 3 2 2 1 4 3
+ h t x − 3h
tx − htx
− h t x − h t + h t x − ht
+ h t − h t x
2
2 2 2
2 2
1 4 4 2 3 2 3 1 4 3 1 4 4 3 4 2 4
+ h t x − 3h
t + 3h
t − 3h
t − h t + h t + h t − h t + ....
24
2 24 2
elde edilir.
(2.2.77)

1.3.4.Örnek için
(1.3.6) denklemi göz önüne alınsın.
1
( x,
y)
x,
104
A = (2.2.78)
2
( x,
y)
5y,
A = (2.2.79)
1,
1
2 ( x,
y)
x ,
B = (2.2.80)
1 , 2
( x,
y)
= 1,
B (2.2.81)
2 , 1
( x,
y)
= 1,
B (2.2.82)
t
olmak üzere denklemin tam çözümü u ( x,
y,
t)
= xe biçimindedir.
(1.3.7) başlangıç koşulu:
( x,
y)
x,
x,
y IR.
f = ∈
(2.2.83)
olmak üzere
( x,
y,
t)
x
u =
0 (2.2.84)
başlangıç yaklaşımı seçilsin.
( x,
y,
t)
= 1
H yardımcı fonksiyon, c 1 bir integral sabiti olmak üzere; L[ c1
] = 0 eşitliğini
sağlayan
( x,
y,
t;
q)
,
∂
L(
( x,
y,
t;
q)
) =
∂t
φ
φ (2.2.85)
yardımcı lineer operatör olsun.
Bir N operatörü
N
[ φ(
x,
y,
t;
q)
]
olarak tanımlansın.
( x,
y,
t;
q)
∂φ
=
∂t
−
2
⎡ ∂ ∂ ∂
⎢−
x − 5y
+
⎣ ∂x
∂y
∂x
2
x
2
2 2
∂ ∂ ∂
+ + +
∂x∂y
∂y∂x
∂y
2
2
y
2
⎤
⎥φ
⎦
( x,
y,
t;
q)
(2.2.86)

105
(2.2.2) denkleminden, sıfırıncı-derece deformasyon denklemi :
( 1−
q)
( x,
y,
t;
q)
∂φ
∂t
⎡∂φ
qh⎢
⎣ ∂t
( x,
y,
t;
q)
−
2
⎡ ∂ ∂ ∂
− ⎢−
x − 5y
+
⎣ ∂x
∂y
∂x
2
x
2
2 2
∂ ∂ ∂
+ + +
∂x∂y
∂y∂x
∂y
2
2
2 ⎤
y ⎥φ
⎦
olarak bulunur. Buradan (2.2.8) m.derece deformasyon denklemi kullanılarak
[ u ( x y,
t)
− u ( x,
y,
t)
] = hR
( u , x,
y;
t)
L m , m m−
1 m m−1
elde edilir.
⎤
⎥
⎦
( x,
y,
t;
q)
= 0
( 2.2.87)
r
χ (2.2.88)
(2.2.8), (2.2.9) denklemleri kullanılarak
m ≥ 1 için um ( x,
0)
= 0
(2.2.89)
başlangıç koşulları göz önüne alınarak
r ∂u
⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎤
1 5 u
2
2 2 2
R
∂t
⎢
⎣∂x
∂y
2
∂x
∂x∂y
∂y∂x
2
∂y
⎥
⎦
0
2
2
( u0
) = + x + y − x − − − y 0
= −x
(2.2.90)
bulunur. χ m fonksiyonunun tanımı kullanılarak
L u = hR
r
u
(2.2.91)
( ) ( )
1
1
0
denklemi elde edilir. Bu denklem verilen başlangıç koşuluna göre çözülerek
( x,
y,
t)
= − xt
u h
1
çözümü bulunur.
Yine aynı yöntem uygulanarak
, (2.2.92)
r ∂u
⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎤
R ⎢
⎥
∂t
⎣∂x
∂y
∂x
∂x∂y
∂y∂x
∂y
⎦
ve
L
2
2 2 2
2 5 2
2 u
1
2
2
( u1
) = + x + y − x − − − y 1
= −h
x + hxt
(2.2.93)
( u ) L(
u ) = hR
( u )
2
r
− (2.2.94)
denklemi çözülerek
u
2
1
( x,
y,
t)
− ( 1+
h)
2
1
2 2
h xt
= h xt +
(2.2.95)
2!
çözümü elde edilir.

106
r ∂u
⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎤
3 5 u
2
2 2 2
R
∂t
⎢
⎣∂x
∂y
2
∂x
∂x∂y
∂y∂x
2
∂y
⎥
⎦
ve
L
2
2
2
( u2
) = + x + y − x − − − y 2
2 2
2
h xt
= ( 1+
h) hx
+ h xt + 3(
1+
h)
hxt
−
(2.2.96)
2!
( u ) L(
u ) = hR
( u )
3
r
− (2.2.97)
denklemi çözülerek
u
3
2
3
2
3 3
2 h xt
= h h xt −
(2.2.98)
3!
2 2
( x,
y,
t)
( 1+
) hxt
+ 2(
1+
h)
h xt + ( 1+
h)
çözümü bulunur.
Benzer biçimde denklemler oluşturulup çözmeye devam edilerek
( x,
y,
t)
x
u =
0
( x,
y,
t)
= − xt
u h
u
u
1
2
3
( x,
y,
t)
− ( 1+
h)
,
,
2 2
h xt
= h xt + ,
2!
3 3
2 h xt
= h h xt − ,
3!
2 2
( x,
y,
t)
( 1+
) hxt
+ 2(
1+
h)
h xt + ( 1+
h)
3 2 3 4 3 2 2 2 5 3 3 3 4 2
u4
( x,
y,
t)
= 3h
t x + 3h
tx + h tx + h t x + 3h
tx + htx
− h t x + h t x
2
6 2
5 4 3 1 4 4
− h t x + h t x
6 24
.
.
.
. (2.2.99)
çözümleri bulunur.
q = 1’de,
homotopi analiz metodu ile elde edilen seri çözüm
( x,
y,
t)
u ( x,
y,
t)
= u ( x,
y,
t)
+ u ( x,
y,
t)
+ u ( x,
y,
t)
+ .... + u ( x,
y,
t)
+ ....
= ∑
0
0
1
2
+∞
u
k =
k
n
olduğundan
(2.2.100)

107
2 2
h xt
2 2
2
u(
x,
y,
t)
= x − hxt
− h(
1+
h)
xt + ( 1+
h)
hxt
+ 2(
1 + h)
h xt + ( 1 + h)
h xt
2!
3 3
h xt 3 2 3 4 3 2 2 2 5 3 3 3 4 2
− + 3h
t x + 3h
tx + h tx + h t x + 3h
tx + htx
− h t x + h t x
3!
2
6 2
5 4 3 1 4 4
− h t x + h t x + ...
6 24
çözümü bulunur.
1.3.5.Örnek için
(1.3.8) nonlineer Fokker-Planck denklemi denklemi göz önüne alınsın:
(2.2.101)
u x
A( x,
t,
u)
= 4 − ,
(2.2.102)
x 3
( x,
t,
u)
u.
B = (2.2.103)
ve başlangıç koşulu:
2 ( x)
x , x IR.
f = ∈
(2.2.104)
2 t
olmak üzere denklemin tam çözümü u(
x,
t)
= x e biçimindedir.
2 ( x t)
u 0 , = x
(2.2.105)
başlangıç yaklaşımı seçilsin.
( x,
t)
= 1
H yardımcı fonksiyon, c 1 bir integral sabiti olmak üzere; L[ c1
] = 0 eşitliğini
sağlayan
( x,
t;
q)
,
∂
L(
( x,
t;
q)
) =
∂t
φ
φ (2.2.106)
yardımcı lineer operatör olsun.
Bir N nonlineer operatörü
( x,
t;
q)
⎡ ∂ φ(
x,
t;
q)
2
∂φ
⎛
x ⎞ ∂ ⎤
N [ φ( x,
t;
q)
] = − ⎢−
⎜4
− ⎟ + φ(
x,
t;
q)
φ(
x,
t;
q)
2 ⎥ (2.2.107)
∂t
⎣ ∂x
⎝ x 3 ⎠ ∂x
⎦
olarak tanımlansın.

108
(2.2.11) denkleminden, sıfırıncı-derece deformasyon denklemi :
( )
( x,
t;
q)
⎡∂φ
( x,
t;
q)
⎡ ∂ φ(
x,
t;
q)
2
∂φ
⎛
x ⎞ ∂ ⎤ ⎤
− q − qh
⎢ − ⎢−
⎜4
− ⎟ + φ ⎥φ
q ⎥
∂t
⎣ ∂t
⎣ ∂x
⎝ x 3 ⎠ ∂x
⎦ ⎦
1 2
( x,
t;
q)
( x,
t;
) = 0
(2.2.108)
olarak bulunur. Buradan (2.2.8) m.derece deformasyon denklemi kullanılarak
u x t − χ u x,
t = hR
r
u , x;
t
(2.2.109)
[ ( ) ( ) ] ( )
L m , m m−
1 m m−1
elde edilir.
(2.2.8), (2.2.9) denklemleri kullanılarak
m ≥ 1 için um ( x,
0)
= 0
(2.2.110)
başlangıç koşulları göz önüne alınarak
r
∂u
⎡ ∂ ⎛
x ⎞
R1 ∂t
⎢
⎣∂x
⎝ x 3 ⎠
2
2
∂x
⎥
⎦
u
0
0
( u0
) = + ⎜4
− ⎟ + u0
u0
∂
⎤
2
= −x
(2.2.111)
bulunur. χ m fonksiyonunun tanımı kullanılarak
L u = hR
r
u
(2.2.112)
( ) ( )
1
1
0
denklemi elde edilir. Bu denklem verilen başlangıç koşuluna göre çözülerek
u
2 ( x t)
− x t
1 , h
= , (2.2.113)
çözümü bulunur. Yine aynı yöntem uygulanarak
R
ve
L
2
r
1
0 1 1
( u ) = + ⎜ − ⎟ − 2 ( u u )
1
∂u
∂t
∂ ⎛ 8u
u
∂x
⎝ x
xu ⎞
3 ⎠
2
∂
∂x
2
0
1
2 2
= −h
x + hx
t
(2.2.114)
( u ) L(
u ) = hR
( u )
2
r
− (2.2.115)
denklemi çözülerek
u
2
( x,
t)
− ( 1 + h)
1
2
1
2 2 2
2 h x t
= h x t +
(2.2.116)
2!
çözümü bulunur.

R
3
ve
L
r
109
2
0 2 2
( u ) = + ⎜ − ⎟ − 2 ( u u )
2
∂u
∂t
∂ ⎛ 8u
u
∂x
⎝ x
xu
3
⎞
⎠
2
∂
∂x
2
0
2
2 2 2
2
2 2 2 h x t
= −h(
1+
h)
x + h(
1+
h)
x t + h x t −
(2.2.117)
2!
( u ) L(
u ) = hR
( u )
3
r
− (2.2.118)
2
denkleminin çözümünden
u
3
3
2
3 2 3
2 2 h x t
= h x t −
(2.2.119)
3!
2 2
2 2
( x,
t)
− ( 1+
h)
x t − h ( 1+
h)
x t + h ( 1+
h)
elde edilir.
Benzer biçimde denklemler oluşturulup çözülmeye devam edilerek
2 ( x t)
u 0 , = x ,
u
u
u
u
.
.
.
2 ( x t)
− x t
= ,
1 , h
2
3
4
2 2 2
2 h x t
= h x t + ,
2!
( x,
t)
− ( 1 + h)
3 2 3
2 2 h x t
= h x t − ,
3!
2 2
2 2
( x,
t)
− ( 1+
h)
x t − h ( 1+
h)
x t + h ( 1+
h)
( x,
t)
2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2
= −hx
t − 3h
x t + h x t + 3h
x t − 3h
x t
2
1 3 2 3 4 2 1 4 2 3 1
− h x t − h x t − h x t + h
2
2 24
4
x
2
t
4
3 4
+ h x
2
. (2.2.120)
çözümleri bulunur.
q = 1’de,
homotopi analiz metodu ile elde edilen seri çözüm
( x,
t)
u ( x,
t)
= u ( x,
t)
+ u ( x,
t)
+ u ( x,
t)
+ .... + u ( x,
t)
+ ....
= ∑
0
0
1
2
+∞
u
k =
n
olduğundan
k (2.2.121)
2
t
2
,

110
2 2 2
2 2
2 h x t
2
u(
x,
t)
= x − hx
t − h(
1 + h)
x t + − h(
1 + h)
x t
2!
3 2 3
2
2 2
2 2 h x t 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2
− h ( 1 + h)
x t + h ( 1 + h)
x t − − hx
t − 3h
x t + h x t + 3h
x t − 3h
x t
3!
2
1 3 2 3 4 2 1 4 2 3 1 4 2 4 3 4 2 2
− h x t − h x t − h x t + h x t + h x t + ......
2
2 24 2
çözümü bulunur.
(2.2.122)
Görüldüğü gibi homotopi analiz metodu, Fokker-Planck denkleminin çözümü için
başarıyla uygulanmıştır. Fakat (2.2.35), (2.2.56), (2.2.77), (2.2.101) ve (2.2.122)
çözümleri h parametresine bağlı olduklarından, bu seri çözümlerinin kapalı formda
yazılabilmeleri ancak seriler belirlenen bir aralıkta yakınsak ise mümkündür. Dolayısı
ile (2.2.35), (2.2.56), (2.2.77), (2.2.101) ve (2.2.122) çözümlerinin yakınsaklıklarının
ayrıca incelenmesi gerekir. Bu inceleme, birkaç farklı yolla yapılabilir. Örnek olarak, 4.
dereceden yaklaşık çözümler, belirli h değerleri için tablolarla incelenebilir. Farklı h
değerleri için oluşturulan tablolar aşağıda verilmiştir.

111
h değeri 4.dereceden yaklaşık çözüm u app
h = −2
uapp = x
h = −1.
7 = x + 0.
7599t
u app
h = −1.
5 = x + 0.
9375t
u app
h = −1.
1 = x + 0.
9999t
u app
h = −1
= x + t
u app
h = −0.
8 = x + 0.
9984t
u app
h = −0.
5 = x + 0.
9375t
u app
h = −0.
4 = x + 0.
8704t
u app
h = −0.
2 = x + 0.
5904t
u app
h = 0 uapp = x
h = 0.
1 = x − 0.
4641t
u app
h = 0.
2 = x −1.
0736t
u app
h = 0.
4 = x − 2.
8419t
u app
1.Tablo 1.3.1.Örnekteki homotopi analiz metodu ile çözülen farklı h değerlerine karşı
gelen 4. dereceden yaklaşık çözüm

112
h değeri 4.dereceden yaklaşık çözüm u app
h = −3
2
3
4
= sinh( x)
( 1−
15t
+ 40.
5t
− 22.
5t
+ 3.
375t
)
h = −2.
2
u app
u app
⎛1−
1.
0736t
+ 7.
0664t
= sinh( x)
⎜
⎝
2
− 4.
614133333t
+ 0.
9760666667t
2
3
4
h = −2
= sinh( x)
( 1+
4t
− 2.
66666667t
+ 0.
666666667t
)
u app
h = −1.
7
2
3
⎛1+
0.
7599t
+ 1.
54615t
− 0.
9007166666t
⎞
u = ⎜
⎟
app sinh( x)
⎜
4 ⎟
⎝
+ 0.
3480041667t
⎠
h = −1.
5
2
3
4
= sinh( x)
( 1−
0.
9375t
− 0.
84375t
+ 0.
28125t
+ 0.
2109375t
)
u app
h = −1.
1
2
3
⎛1+
0.
9999t
+ 0.
50215t
+ 0.
1552833333t
⎞
u = ⎜
⎟
app sinh( x)
⎜
4 ⎟
⎝
+ 0.
06100416666t
⎠
h = −1
2
3
4
= sinh( x)
( 1+
t + 0.
5t
+ 0.
166666667t
+ 0.
0416666667t
)
h = −0.
5
h = −0.
07
u app
u app
u app
h = 0 uapp = sinh(x)
h = 0.
5
u app
⎛1
+ 0..
9375t
+ 0.
34375t
= sinh( x)
⎜
⎝
2
+ 0.
05208333332t
+ 0.
002604166666t
2
⎛1+
0..
25194799t
+ 0.
013364015t
= sinh( x)
⎜
3
⎝+
0.
0002166616667t
+ 0.
000001000416667t
⎛1−
4.
0625t
+ 1.
34375t
= sinh( x)
⎜
⎝
2
− 0.
1145833333t
+ 0.
002604166666t
h = 0.
7
2
3
⎛1−
7.
3521t
+ 3.
20215t
− 0.
3487166667t
⎞
u = ⎜
⎟
app sinh( x)
⎜
4 ⎟
⎝
+ 0.
01000416667t
⎠
h = 1
2
3
4
= sinh( x)
( 1−
15t
+ 8.
5t
−1.
16666667t
+ 0.
0416666667t
)
u app
2.Tablo 1.3.2.Örnekteki homotopi analiz metodu ile çözülen farklı h değerlerine karşı
gelen 4. dereceden yaklaşık çözüm
3
3
3
4
4
⎞
⎟
⎠
4
⎟ ⎞
⎠
4
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠

113
h değeri 4.dereceden yaklaşık çözüm u app
2
3
4
h = −2
= ( x + 1)
( 1+
4t
− 2.
66666667t
+ 0.
666666667t
)
u app
h = −1.
8
2
3
4
= ( x + 1)
( 1+
0.
5904t
+ 2.
1384t
−1.
3608t
+ 0.
4374t
)
h = −1.
5
h = −1.
3
u app
u app
u app
⎛1+
0.
9375t
+ 0.
5273437538t
= ( x + 1)
⎜
⎝
⎛1+
0.
9919t
+ 0.
56615t
= ( x + 1)
⎜
⎝
2
2
− 0.
28125t
+ 0.
0366166666t
3
+ 0.
2109375t
+ 0.
1190041667t
2
3
4
h = −1
= ( x + 1)
( 1+
t + 0.
5t
+ 0.
166666667t
+ 0.
0416666667t
)
h = −0.
8
h = −0.
4
h = −0.
03
u app
u app
u app
u app
h = 0 = x + 1
u app
⎛1+
0.
9984t
+ 0.
4864t
= ( x + 1)
⎜
⎝
⎛1+
0.
8704t
+ 0.
2624t
= ( x + 1)
⎜
⎝
2
2
+ 0.
1365333333t
3
+ 0.
01706666666t
+ 0.
2986666666t
⎛1+
0.
11470719t
+ 0.
00640386t
= ( x + 1)
⎜
⎝
+ 0.
001066666667t
2
3
3
+ 3.
375×
10
4
4
⎞
⎟
⎠
4
⎞
⎟
⎠
+ 0.
0007739145t
h = 0.
6
2
3
4
= ( x + 1)
( 1−
5.
5536t
+ 1.
2168t
+ 0.
0216t
+ 0.
0054t
)
u app
h = 1.
2
2
3
4
= ( x + 1)
( 1−
22.
4256t
+ 14.
3424t
+ 2.
1888t
+ 0.
0864t
)
u app
h = 1.
8
2
3
4
= ( x + 1)
( 1−
60.
4656t
+ 48.
7944t
− 9.
1368t
+ 0.
04374t
)
u app
t
4
−8 4
2
3
4
h = 2 = ( x + 1)
( 1−
80t
+ 68t
−13.
333333333t
+ 0.
6666666666t
)
u app
3.Tablo 1.3.3.Örnekteki homotopi analiz metodu ile çözülen farklı h değerlerine karşı
gelen 4. dereceden yaklaşık çözüm
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎟ ⎞
⎠
3

114
h değeri 4.dereceden yaklaşık çözüm u app
3
4
h = −2
= x(
1− 5.
33333333t
+ 0.
666666667t
)
u app
h = −1.
7
2
3
4
= x(
1+ 0.
2601t
− 0.
47685t
− 2.
047083333t
+ 0.
3480041667t
)
u app
h = −1.
5
2
3
4
= x(
1+ 0.
5625t
− 0.
28125t
− 0.
84375t
+ 0.
2109375t
)
u app
h = −1.
2
2
4
= x(
1+ 0.
9216t
− 0.
2304t
+ 0.
0864t
)
u app
2
3
4
h = −1
= x(
1+ t + 0.
5t
+ 0.
166666667t
+ 0.
0416666667t
)
h = −0.
65
u app
u app
h = 0 uapp = x
h = 0.
7
u app
⎛1+
0.
77000625t
+ 0.
584634375t
= x⎜
⎜
⎝
⎛1+
3.
5721t
+ 4.
03515t
= x⎜
⎜
⎝
2
− 0.
5430833333t
2
+ 0.
1258697917t
+ 0.
007437760417t
3
+ 0.
01000416667t
h = 0.
3
2
3
4
uapp = x(
1+ 0.
4761t
+ 0.
50715t
− 0.
03375t
+ 0.
0003375t
)
h = 1
2
3
4
= x(
1+ 9t
+ 10.
5t
−1.
83333333t
+ 0.
0416666667t
)
h = 1.
3
u app
u app
⎛1+
18.
4041t
+ 22.
02915t
= x⎜
⎜
⎝
2
− 4.
577083333t
3
+ 0.
1190041667t
h = 1.
6
2
3
⎛1+
33.
1776t
+ 40.
5504t
− 9.
557333333t
⎞
u = ⎜
⎟
app x
⎜
4 ⎟
⎝
+ 0.
2730666667t
⎠
h = 1.
9
2
3
4
= x(
1+ 54.
908t
+ 68.
28315t
−17.
71908333t
+ 0.
5430041667t
)
u app
2
3
4
h = 2 = x(
1+ 64t
+ 80t
− 21.
33333333t
+ 0.
6666666667t
)
u app
4.Tablo 1.3.4.Örnekteki homotopi analiz metodu ile çözülen farklı h değerlerine karşı
gelen 4. dereceden yaklaşık çözüm
3
4
⎞
⎟
⎠
4
4
⎞
⎟
⎠
⎟ ⎞
⎠

115
h değeri 4.dereceden yaklaşık çözüm u app
2 2
3
4
h = −2
= x ( 1+ 4t
− 2.
666666667t
+ 0.
6666666667t
)
u app
h = −1.
7
2
2
3
4
uapp = x ( 1+ 0.
7599t
+ 1.
54615t
− 0.
900716667t
+ 0.
3480041667t
)
h = −1.
5
2
2
3
4
uapp = x ( 1+ 0.
9375t
+ 0.
84375t
− 0.
28125t
+ 0.
2109375t
)
h = −1.
3
2
2
3
4
= x ( 1+ 0.
9919t
+ 0.
56615t
+ 0.
036616667t
+ 0.
1190041667t
)
h = −1.
1
u app
u app
⎛ 2 1+
0.
9999t
+ 0.
50215t
= x ⎜
⎝
2
+ 0.
1552833333t
3
+ 0.
06100416667t
2
2
3
4
h = −1
= x ( 1+ t + 0.
5t
+ 0.
1666666667t
+ 0.
04166666667t
)
h = −0.
99
u app
u app
⎛ 2 1+
0.
99999999t
+ 0.
499998t
= x ⎜
⎝
2
+ 0.
166567995t
3
4
⎞
⎟
⎠
+ 0.
04002483375t
h = −0.
8
2
2
3
4
= x ( 1+ 0.
9984t
+ 0.
4864t
+ 0.
1365333333t
+ 0.
01706666667t
)
h = −0.
09
u app
u app
h = 0
2
uapp = x
⎛ 2 1+
0.
31425039t
+ 0.
021482415t
= x ⎜
⎝
2
+ 0.
000453195t
+ 0.
00000273375t
h = 0.
45
2
3
⎛
⎞
2 1−
3.
42050625t
+ 1.
033509375t
− 0.
081253125t
u = ⎜
⎟
app x
⎜
4 ⎟
⎝
+ 0.
00170859375t
⎠
h = 0.
6
2
2
3
4
= x ( 1− 5.
5536t
+ 2.
1384t
− 0.
2088t
+ 0.
0054t
)
h = 0.
85
u app
u app
⎛ 2 1−
10.
71350625t
+ 5.
407009375t
= x ⎜
⎝
2
− 0.
6704197917t
+ 0.
02175026042t
h = 0.
95
2
3
⎛
⎞
2 1−
13.
45900625t
+ 7.
358759375t
− 0.
9788364583t
u = ⎜
⎟
app x
⎜
4 ⎟
⎝
+ 0.
03393776042t
⎠
h = 1
2
2
3
4
= x ( 1+ 0.
9984t
+ 0.
4864t
+ 0.
1365333333t
+ 0.
01706666667t
)
u app
5.Tablo 1.3.5.Örnekteki homotopi analiz metodu ile çözülen farklı h değerlerine karşı
gelen 4. dereceden yaklaşık çözüm
3
3
4
4
⎟ ⎞
⎠
4
⎟ ⎞
⎠
⎞
⎟
⎠

116
Tablolar incelendiğinde ve n = 4 için elde edilen seri çözümlerle tam çözümlerin ilk 4
terimi karşılaştırıldığında, bütün örnekler için h = 0 değerlerinde problemlerin
başlangıç yaklaşımlarının ve h = −1
değerlerinde ise bulunan yaklaşık çözümlerle tam
çözümlerin ilk dört terimlerinin çakıştığı görülebilir. Rh bölgesinden alınan h ≠ −1
değerleri için elde edilen tüm serilerin de bölge içindeki h = −1
olduğu durumda elde
edilen seriye yakınsadığı görülmektedir. Fakat bu gözlem yakınsamanın analizini tam
olarak yapmaya yeterli olmayacaktır. Liao [19] kitabında, çözüm serisinin yakınsaklık
bölgesini belirlemek için h ’yi bağımsız değişken gibi düşünüp h ’ye bağlı
fonksiyonun grafiklerinin çizilmesi gerektiğini belirtmiştir. Örneğin
r
γ = utt r
t
( x,
t)
x=
0,
= 0
γ , h ’nin bir fonksiyonudur. Buradan bir γ ~ h eğrisi çizilebilir. 2.1.5.1.Teoreme göre
γ ’nın farklı h değerleri için verilen bütün yakınsak seriler, alınan terim sayısına bağlı
olarak tam çözüme yakınsar. Bu yüzden γ ~ h eğrisinin grafiğinde h -eksenine paralel
bir doğru parçası görülür. Bu doğru parçasına karşı gelen h değerlerinin oluşturduğu
bölge, serinin yakınsak olduğu bölgedir. Bu bölgeye h ’nin geçerli bölgesi denir ve bu
bölge R h ile gösterilir. Göz önüne alınan probleme göre, çözüm serisinden h ’ye bağlı
bir fonksiyon elde etmek için alınan türevin mertebesi ve türev alınan değişken farklılık
gösterir. Eğer h yerine, h ’nin geçerli bölgesinden herhangi bir değer konursa buna
karşı gelen çözüm serisinin yakınsak olduğu kesindir. Daha önce bulunan tüm yarı
analitik tekniklerin aksine, homotopi analiz metodu, bir problemin yardımcı h
parametresi cinsinden çözüm ailesini verir. Aile içindeki her bir çözümün yakınsak
bölgesi, h yakınsaklık kontrol parametresi ile belirlenir. Bu sonuca göre, her bir tabloda
h ’nin geçerli bölgesindeki farklı h değerleri için verilen çözümler birer çözüm ailesi
oluşturacaktır. Verilen tablolarla Liao’nun tanımladığı h -eğrileri karşılaştırılmak
istenirse h -eğrilerinin, örneğin, 4. dereceden yaklaşık çözümlerinin grafikleri
oluşturularak incelenirse:
1.3.1.Örnekteki 4. dereceden yaklaşık çözüm
u
= x −
3
app ∑
n=
0
h
n ( 1+ h)
t

olarak bulunur ve ( 0,
0)
app t
117
u ’ın h -eğrisi çizilerek, eğrinin h -eksenine paralel olduğu
− 2 ≤ h ≤ 0.
4 aralığında, bu çözümün yakınsak olduğu görülebilir( 2.1.Şekil).
2.1.Şekil. ( 0,
0)
u′ ’ın 4. yaklaşımdaki h -eğrisi .
app
Örneğin, h ’nin geçerli bölgesinden, h = −0.
5 değeri seçilirse çözüm ailesinden biri
olan 4.dereceden yaklaşık çözüm = x + 0.
9375t
( 2.2.Şekil) olarak hesaplanır.
u app

118
2.2.Şekil h = −0.
5 için 4.dereceden yaklaşık çözüm
2.3.Şekil Tam çözüm
1.3.2.Örnekteki 4. dereceden yaklaşık çözüm
u
4
app = ∑
n=
0
u
n
=
bulunur ve ( 0,
0)
2 2
1 ⎛24
− 96ht
−144h
t + 72h
t
sinh( x)
⎜
4 2 4 4 4
24 ⎝+
36h
t − 24h
t + h t
app xt
2
3
+ 96h
t
2
3 3
− 96h
t −16h
t
3
4 3
−12h
t ⎞
⎟
⎠
u , u ( 0,
0)
’nin h -eğrileri çizilerek, u ( 0,
0)
’nin h -eksenine
app xtt
− 3 ≤ h ≤ 1 aralığında, u ( 0,
0)
’nin ise − 3 ≤ h ≤ 2 aralığında paralel oldukları
app xtt
görülür. Đki eğrinin de h -eksenine paralel olduğu − 3 ≤ h ≤ 1 aralığı, h ’nin geçerli
bölgesi olarak belirlenmiş olur. Bu bölgede, elde edilen seri çözümün yakınsak olduğu
bulunur (2.4.Şekil).
app xt

2.4.Şekil u ′ app ( 0,
0)
ve u ′
app ( 0,
0)
′ ( 0,
0)
’ın; düz çizgi: u ′
( 0,
0)
u ′ app
119
′ ’nin 4. yaklaşımdaki h -eğrileri, yuvarlak semboller:
′ ’nin 4.dereceden yaklaşımı
app
Örneğin, h ’nin geçerli bölgesinden, h = −0.
07 değeri seçilirse çözüm ailesinden biri
olan 4.dereceden yaklaşık çözüm
u app
2
⎛1+
0.
25194799t
+ 0.
013364015t
( x,
t)
= sinh( x)
⎜
⎝
+ 0.
0002166616667t
(2.5.Şekil) olarak hesaplanır.
3
+ 0.
0000100041667t
4
⎞
⎟
⎠

120
2.5.Şekil h = −0.
07 için 4.dereceden yaklaşık çözüm
2.6.Şekil.Tam çözüm

121
1.3.3.Örnekteki 4. dereceden yaklaşık çözüm,
3 2 3 4 2 2 2 2 3 3 2 3 3
uapp = x + 1+
4h
t x − 4h
tx − h tx + 3h
t x − 6h
tx − 4htx
− h t x − h t
3 3
3 4 2
2 2 1 4 3 1 4 4 2 3 2 3 1 4 3
+ h t x − 4ht
+ 3h
t − h t x + h t x − 6h
t + 4h
t − 4h
t − h t
2
2 24
2
1 4 4 3 4 2 4
+ h t + h t − h t
24 2
bulunur ve u ( 0,
0)
, u ( 0,
0)
’nin h -eğrileri çizilerek, u ( 0,
0)
’nin h -eksenine
app tt
app ttt
− 3 ≤ h ≤ 2 aralığında , u ( 0,
0)
’nin ise − 2 ≤ h ≤ 2 aralığında paralel oldukları
app ttt
görülür. Đki eğrinin de h -eksenine paralel olduğu − 2 ≤ h ≤ 2 aralığı, h ’nin geçerli
bölgesi olarak belirlenmiş olur. Bu bölgede, elde edilen seri çözümün yakınsak olduğu
bulunur (2.7.Şekil).
2.7.Şekil u ′ app ( 0,
0)
ve u ′
app ( 0,
0)
u ′ ( 0,
0)
’ın; düz çizgi: u ′ ( 0,
0)
app
app tt
′ ’nin 4. yaklaşımdaki h -eğrileri, yuvarlak semboller:
′ ’nin 4.dereceden yaklaşımı
app
Örneğin, h ’nin geçerli bölgesinden, h = −0.
03 değeri seçilirse çözüm ailesinden biri
olan 4.dereceden yaklaşık çözüm
u app
2
3
−8
4
( x + 1)(
1+
0.
11470719t
+ 0.
00640386t
+ 0.
0007739145t
+ 3.
375.
10 )
( x,
t)
=
t
(2.8.Şekil) olarak hesaplanır.

122
2.8.Şekil h = −0.
03 için 4.dereceden yaklaşık çözüm
2.9.Şekil Tam çözüm

123
1.3.4.Örnekteki 4. dereceden yaklaşık çözüm,
u app
2 2 2 3 2 3 3 3 4 5 4 3 3 4 2 1
= x + 4h tx + 4h
t x + 5h
t x + 4h
tx − h t x + h tx − h t x + h t x + h
6 2 24
bulunur ve ( 0,
0,
0)
u , u ( 0,
0,
0)
’nin h -eğrileri çizilerek, u ( 0,
0,
0)
’nin h -
app xt
app xtt
eksenine − 3 ≤ h ≤ 3 aralığında, u ( 0,
0,
0)
’nin ise − 2 ≤ h ≤ 2 aralığında paralel
app xtt
oldukları görülür. Đki eğrinin de h -eksenine paralel olduğu − 2 ≤ h ≤ 2 aralık h ’nin
app xt
geçerli bölgesi olarak belirlenmiş olur. Bu bölgede, elde edilen seri çözümün yakınsak
olduğu bulunur (2.10 Şekil).
2.10.Şekil u ′ app ( 0,
0,
0)
ve u ′
app ( 0,
0,
0)
′ ( 0,
0,
0)
’ın, yuvarlak semboller: u ′
( 0,
0,
0)
u ′ app
′ ’nin 4. yaklaşımdaki h -eğrileri, düz çizgi:
′ ’ın 4.dereceden yaklaşımı
app
4
t
4
x

124
Örneğin, h ’nin geçerli bölgesinden, h = −0.
65 değeri seçilirse çözüm ailesinden biri
olan 4.dereceden yaklaşık çözüm
u app
= x +
2
3
4
0. 77000625xt
+ 0.
584634375xt
+ 0.
1258697917xt
+ 0.
007437760417xt
(2.11.Şekil) olarak hesaplanır.
2.11.Şekil h = −0.
65 için 4.dereceden yaklaşık çözüm
2.12.Şekil Tam çözüm

125
1.3.5.Örnekteki 4. dereceden yaklaşık çözüm,
u app
2 2 2 2 2 2
( x,
t)
= x − 4hx
t − 6h
x t + 3h
x t
2 3
− h x
3
2
t
3
2
3
+ 4h
x
2
t
2
3
− 4h
x
4 2 1 4 2 3 1 4 2 4 3 4 2 2
− h x t − h x t + h x t + h x t
2 24 2
u 0,
0 , u ( 0,
0)
’nin h -eğrileri çizilerek, u ( 0,
0)
’nin h -
olarak bulunur ve ( )
app xx
app xxt
2
t
app xx
eksenine − ∞ < h < ∞ aralığında, u ( 0,
0)
’nin ise − 2 ≤ h ≤ 1 aralığında paralel
app xxt
oldukları görülür. Đki eğrinin de h -eksenine paralel olduğu − 2 ≤ h ≤ 1 aralığı, h ’nin
geçerli bölgesi olarak belirlenmiş olur. Bu bölgede, elde edilen seri çözümün yakınsak
olduğu bulunur (2.13.Şekil).
2.13.Şekil u ′ app ( 0,
0)
ve u ′
app ( 0,
0)
yuvarlak semboller: u ′
( 0,
0)
app
′ ’nin 4. yaklaşımdaki h -eğrileri, düz çizgi: u ′ ( 0,
0)
’ın,
′ ’ın 4.yaklaşımı
Örneğin, h ’ın geçerli bölgesinden, h = −0.
09 değeri seçilirse çözüm ailesinden biri
olan 4.dereceden yaklaşık çözüm
u app
= x
2
+
2
2 2
2 3
2 4
0. 31425039x
t + 0.
021482415x
t + 0.
000453195x
t + 0.
00000273375x
t
(2.13.Şekil) olarak hesaplanır.
app

126
2.14.Şekil h = −0.
09 için 4.dereceden yaklaşık çözüm
2.15.Şekil Tam çözüm

127
Fakat Liao’nun yaklaşımı da verilen tablolarda önerilen yaklaşım gibi analitik bir
yaklaşımdan ziyade gözlemler sonunda elde edilen sonuçlardır. Şimdi tarafımızdan
verilecek analitik yaklaşımla en uygun hangi h değeri ile yakınsamanın sağlanabileceği
gösterilecektir. Liao’nun tanımladığı h ’ye bağlı fonksiyonların optimum değerlerinden
birisi, istenen en uygun h değeri olacaktır. Bu da h ’ye bağlı fonksiyonların birinci
mertebeden türevlerinin köklerinden biri olacaktır. Yukarıdaki örneklere uygulanırsa:
1.3.1.Örnek için:
app t
( ) ( ) ( ) ( ) 3
2
0, 0 = −h
− h 1+
h − h 1+
h − h 1+
h
( 0, 0)
t
2 3
3
= −4
−12h
−12h
− 4h
= −4(
1+
h)
= 0
u − 2 ≤ h ≤ 0.
4
du
app
dh
elde edilir ve denklemin çözümünden h = −1
bulunur ve bu değer altında çözüm serisi
en hızlı şekilde tam çözüme yakınsar.
1.3.2.Örnek için:
app xt
4 3 2
( 0,
0)
= −h
− 4h
− 6h
− 4h
u − 3 ≤ h ≤ 2
u app xt h
3 ( 1+
) = 0
3 2
= −4h
−12h
−12h
− 4 = −4
h
denkleminin çözümünden h = −1
elde edilir. h = −1
için çözüm serisi en hızlı şekilde
tam çözüme yakınsar.
1.3.3.Örnek için:
app tt
4 3 2
( 0, 0)
= 3h
+ 8h
+ 6h
u − 3 ≤ h ≤ 2
du
app tt
dh
( , 0)
0 2
2 ( h + 2h
+ 1)
= 12h(
1+
) = 0
3 2
= 12h
+ 24h
+ 12h
= 12h
h
denkleminin çözümünden h = 0,
h = −1
kökleri bulunur. h = −1
için çözüm serisi en
hızlı şekilde tam çözüme yakınsar.
1.3.4.Örnek için:
xt
2 3 4
( 0, 0,
0)
= 4h
+ 4h
+ h
u − 3 ≤ h ≤ 3
du xt
( , 0,
0)
0 3
dh
( 2 + h)(
1+
) = 0
2
= 8h
+ 12h
+ 4h
= 4h
h
denkleminin çözümünden
h = −1,
h = 0,
h = −2
kökleri elde edilir. h = −1
için çözüm serisi en hızlı şekilde tam
çözüme yakınsar.

1.3.5.Örnek için:
app xxt
2 3 4
( 0, 0)
= −8h
−12h
− 8h
− 2h
128
u − 2 ≤ h ≤ 1
du
app xxt
dh
( , 0)
0 3
( 1+
) = 0
2 3
= −8
− 24h
− 24h
− 8h
= −8
h
denkleminin çözümünden
h = −1
kökü elde edilir. h = −1
için çözüm serisi en hızlı şekilde tam çözüme yakınsar.
Homotopi analiz metodu uygulanırken başlangıç yaklaşımını, yardımcı lineer operatörü,
yardımcı fonksiyonu ve h yakınsaklık kontrol parametresini seçme serbestliği vardır.
2.1.5.1.Teoreme göre homotopi çözüm serisi, yakınsak olması şartıyla, verilen
problemin çözümlerinden biridir. Çözüm serisinin yakınsak olmasını sağlamak için
yardımcı lineer operatör, yardımcı fonksiyon ve h yakınsaklık kontrol parametresi
uygun seçilmelidir. Fakat metodun dezavantajlarından biri, bu uygun değerlerin seçimi
için kesin teoremlerin henüz verilmemiş olmasıdır.

III. BÖLÜM
129
3. HOMOTOPĐ PERTÜRBASYON METODU ĐLE HOMOTOPĐ ANALĐZ
METODUNUN KARŞILAŞTIRILMASI
Bu bölümde, Fokker- Planck denklemi için homotopi pertürbasyon metodu ve homotopi
analiz metodu ile elde edilen çözümlerin analizleri yapılmıştır.
1.3.1.Örnekte homotopi pertürbasyon metodu ile bulunan çözümde, dördüncü
dereceden yaklaşık çözüm
v app
( x,
t)
= x + t
(3.1.1)
tam çözümle çakışır.
Fakat bu çözüm, konuya hakim olmayanlar için yanıltıcı olabilir. Homotopi
pertürbasyon çözüm serisinin ikinci terimden sonraki terimlerinin hepsi sıfıra eşit
olduğundan, ilk iki terim, tam çözüme karşı gelmektedir. Bu, özel bir durumdur ve
genel analiz yapmak için yeterli değildir.
Homotopi analiz metodu ile bulunan dördüncü dereceden yaklaşık çözüm ise
u
= x −
3
app ∑
n=
0
n ( 1+ h)
t
h (3.1.2)
dir. Bu çözüm serisinin yakınsak olduğu bölgeyi belirlemek için analiz yapılırsa, h ’nin
geçerli bölgesi olarak adlandırılan yakınsaklık aralığı, − 2 ≤ h ≤ 0.
4 , elde edilir. ve
h ’nin geçerli bölgesinden, h = −0.
5 değeri seçildiğinde 4.dereceden yaklaşık çözüm
u app
= x + 0.
9375t
olarak bulunur. Bu çözüm bulunan aralıktaki h seçimi için
yakınsak çözümdür. Bu iki metotla da bulunan 4. dereceden yaklaşık çözümler,
grafiklerle karşılaştırılırsa homotopi pertürbasyon metodu ile bulunan çözümün tam
çözümle çakıştığı görülmüştür. Burada homotopi pertürbasyon metodu ile bulunan
çözüm daha iyi bir yaklaşım veriyormuş gibi görünse de homotopi analiz metodunda
çözümün yakınsaklığı, h yakınsaklık kontrol parametresinin seçimine bağlıdır. h ’nin

130
geçerli bölgesinden h = −1
değeri seçilirse çözüm tam çözüme yakınsar ve 4.dereceden
yaklaşık çözüm, homotopi pertürbasyon metodunda bulunan yaklaşık çözümle aynı
olur. Yani bu örnek için her iki metotla bulunan seri çözümler tam çözüme yakınsarlar.
Yaklaşık çözümlerin ve tam çözümün grafikleri 3.1.a.,b.,c.Şekillerde verilmiştir.
3.1.a. Şekil HAM ile bulunan h = −0.
5 için 4.dereceden yaklaşık çözüm
3.1.b. Şekil HPM ile bulunan 4.dereceden yaklaşık çözüm

3.1.c. Şekil Tam çözüm
131
1.3.2.Örnekte ise homotopi pertürbasyon metodu ile bulunan çözümde 4.dereceden
yaklaşık çözüm
v app
1
2 3 4
( x,
t)
= sinh( x)(
24 + 24t
+ 12t
+ 4t
+ t )
(3.1.3)
24
iken homotopi analiz metodu ile bulunan 4.dereceden yaklaşık çözüm
u
4
app = ∑
n=
0
olur.
u
n
=
2 2
1 ⎛24
− 96ht
−144h
t + 72h
t
sinh( x)
⎜
4 2 4 4 4
24 ⎝+
36h
t − 24h
t + h t
2
3
+ 96h
t
2
3 3
− 96h
t −16h
t
3
4 3
−12h
t ⎞
⎟
⎠
(3.1.4)
Bu çözüm için h ’nin geçerli bölgesi, − 3 ≤ h ≤1
olarak belirlenmiştir. Bu bölgeden
alınan h = −0.
07 değeri için çözüm yakınsak olup 4.dereceden yaklaşık çözüm
u app
2
⎛1+
0.
25194799t
+ 0.
013364015t
( x,
t)
= sinh( x)
⎜
⎝
+ 0.
0002166616667t
olarak hesaplanmıştır.
3
+ 0.
0000100041667t
Yine 4. dereceden yaklaşık çözümler iki metot için de karşılaştırılırsa homotopi
pertürbasyon metodu daha iyi sonuç veriyormuş gibi gözükür. Fakat h ’nin geçerli
bölgesinden alınan h = −1
değeri için iki çözümün çakıştığı, aynı zamanda 4.dereceden
4
⎞
⎟
⎠

132
yaklaşık çözümlerinin de çakıştığı görülür. Bu durumda çözümün yakınsaklığını kontrol
eden ve yakınsak olmasını garantileyen homotopi analiz metodu daha avantajlıdır.
Homotopi pertürbasyon metodu, bu metodun h = −1
değeri için özel halidir denebilir.
Yine her iki metotla da bulunan çözümler tam çözüme yakınsar. Her iki metotla da
bulunan yaklaşık çözümler ve tam çözüm grafiklerle 3.2.a.,b.,c.Şekillerde gösterilmiştir.
3.2.a. Şekil HAM ile bulunan h = −0.
07 için 4.dereceden yaklaşık çözüm
3.2.b. Şekil HPM ile bulunan 4.dereceden yaklaşık çözüm

3.2.c. Şekil Tam çözüm
133
1.3.3.Örnekte homotopi pertürbasyon metodu ile çözülen örnekte 4.dereceden yaklaşık
çözüm
v app
1 1 1 1 1 1
( x,
t)
t
2 2 6 6 24 24
2 2 3 3 4
4
= x + 1+
tx + t + t x + t + t x + t + t x +
(3.1.5)
olarak bulunmuştur.
Homotopi analiz metodu ile bulunan 4.dereceden yaklaşık çözüm
3 2 3 4 2 2 2 2 3 3 2 3
uapp = x + 1+
4h
t x − 4h
tx − h tx + 3h
t x − 6h
tx − 4htx
− h t x − h t
3 3
3 4 2
2 2 1 4 3 1 4 4 2 3 2 3 1 4 3
+ h t x − 4ht
+ 3h
t − h t x + h t x − 6h
t + 4h
t − 4h
t − h t
2
2 24
2
1 4 4 3 4 2 4
+ h t + h t − h t
24 2
olur.
3
(3.1.6)
Bu çözüm için h ’nin geçerli bölgesi − 2 ≤ h ≤ 2 olarak belirlenmiştir. Bu bölgeden
alınan h = −0.
03 değeri için çözüm yakınsak olup 4.dereceden yaklaşık çözüm
u app
2
3
−8
4
( x + 1)(
1+
0.
11470719t
+ 0.
00640386t
+ 0.
0007739145t
+ 3.
375.
10 )
( x,
t)
=
t
bulunmuştur.

134
h ’nin geçerli bölgesinden alınan h = −1
değeri için iki çözümün çakıştığı, aynı
zamanda 4.dereceden yaklaşık çözümlerinin de çakıştığı görülür. Yine her iki metotla
da bulunan çözümler tam çözüme yakınsar. Her iki metotla da bulunan yaklaşık
çözümler ve tam çözüm grafiklerle 3.3.a.,b.,c.Şekillerde gösterilmiştir. Bir önceki
örnekte olduğu gibi 4.derece yaklaşım için homotopi analiz metodundaki h -yakınsaklık
kontrol parametresi ile çözümün tam çözüme yakınsama hızı kontrol edilebilir.
Homotopi pertürbasyon metodu ise homotopi analiz metodunun h = −1
değeri seçilerek
bulunan özel bir halidir.
3.3.a. Şekil HAM ile bulunan h = −0.
03 için 4.dereceden yaklaşık çözüm
3.3.b. Şekil HPM ile bulunan 4.dereceden yaklaşık çözüm

3.3.c. Şekil Tam çözüm
135
1.3.4.Örnekte homotopi pertürbasyon metodu ile çözülen örnekte 4.dereceden yaklaşık
çözüm
⎛ 1 2 1 3 1 4 ⎞
vapp ( x1,
x2
, t)
= x1⎜1
+ t + t + t + t ⎟
(3.1.7)
⎝ 2 6 24 ⎠
iken homotopi analiz metodu ile bulunan yaklaşık çözüm
u app
2 2 2 3 2 3 3 3 4
= x + 4h
tx + 4h
t x + 5h
t x + 4h
tx − h t x + h tx
bulunmuştur.
5 4 3 3 4 2 1 4 4
− h t x + h t x + h t x
6 2 24
(3.1.8)
Bu çözüm için h ’nin geçerli bölgesi − 2 ≤ h ≤ 2 olarak belirlenmiştir. Bu bölgeden
alınan h = −0.
65 değeri için çözüm yakınsak olup 4.dereceden yaklaşık çözüm
u app
= x +
elde edilmiştir.
2
3
4
0. 77000625xt
+ 0.
584634375xt
+ 0.
1258697917xt
+ 0.
007437760417xt
h ’nin geçerli bölgesinden alınan h = −1
değeri için iki seri çözümün çakıştığı,
homotopi analiz metodunda 4.dereceden yaklaşık çözümün ise
⎛ 1 2 1 3 1 4 ⎞
uapp ( x,
y,
t)
= x⎜1+
t + t + t + t ⎟
(3.1.9)
⎝ 2 6 6 ⎠

136
olduğu görülür. Yine her iki metotla da bulunan çözümler tam çözüme yakınsar. Her iki
metotla da bulunan yaklaşık çözümler ve tam çözüm grafiklerle 3.4.a.,b.,c. Şekillerde
gösterilmiştir. Homotopi pertürbasyon metodunda, seri çözüm tam çözüme yakınsar.
Homotopi analiz metodunda da seri çözümde h = −1
değeri alınırsa çözümün tam
çözüme yakınsadığı görülür.
3.4.a. Şekil HAM ile bulunan h = −0.
65 için 4.dereceden yaklaşık çözüm
3.4.b. Şekil HPM ile bulunan 4.dereceden yaklaşık çözüm

3.4.c. Şekil Tam çözüm
137
1.3.5.Örnekte homotopi pertürbasyon metodu ile çözülen örnekte 4.dereceden yaklaşık
çözüm
v app
1 1 1
( x,
t)
x
2 6 24
2 2 2 2 3 2 4 2
= x + tx + t x + t x + t
(3.1.10)
ve homotopi analiz metodu ile bulunan 4.dereceden yaklaşık çözüm
u app
2 2 2 2 2 2
( x,
t)
= x − 4hx
t − 6h
x t + 3h
x t
2 3
− h x
3
2
t
3
bulunmuştur.
4 2 1 4 2
− h x t − h x t
2
3
+
1
24
h
4
x
2
2
t
3
+ 4h
x
4
2
t
3 4
+ h x
2
2
2
3
− 4h
x
t
2
2
t
(3.1.11)
Bu çözüm için h ’nin geçerli bölgesi, − 2 ≤ h ≤ 1 olarak belirlenmiştir. Bu bölgeden
alınan h = −0.
09 değeri için çözüm yakınsak olup 4.dereceden yaklaşık çözüm
u app
= x
2
+
elde edilmiştir.
2
2 2
2 3
2 4
0. 31425039x
t + 0.
021482415x
t + 0.
000453195x
t + 0.
00000273375x
t
h ’nin geçerli bölgesinden alınan h = −1
değeri için iki seri çözümün çakıştığı,
homotopi analiz metodunda 4.dereceden yaklaşık çözümün ise
u app
1 1 1
( x,
t)
x
2 6 24
2 2 2 2 3 2 4 2
= x + tx + t x + t x + t
(3.1.12)
olduğu görülür. Her iki metotla bulunan yaklaşık çözümler ve tam çözüm grafiklerle
3.5.a.,b.,c. Şekillerde gösterilmiştir. Her iki metotla da bulunan seri çözümler tam
çözüme yakınsarlar.

138
3.5.a. Şekil HAM ile bulunan h = −0.
09 için 4.dereceden yaklaşık çözüm
3.5.b. Şekil HPM ile bulunan 4.dereceden yaklaşık çözüm
3.5.c.Şekil Tam çözüm

SONUÇLAR
139
Bu çalışmada, homotopi pertürbasyon ve homotopi analiz metotlarıyla elde edilen
çözümlerin özel analizleri, bir önceki bölümde detaylı bir şekilde verilmiştir. Önceki
bölümlerdeki çalışmalardan çıkarılan genel sonuçlar aşağıdaki gibidir.
• Homotopi analiz metodu genelleştirilmiş Taylor serisine dayanan ve sonsuz seri
çözümlerini araştıran bir metottur.
• Homotopi analiz metodunda, ( h ’nin geçerli bölgesi ) R h yardımıyla yani metotta
h yakınsaklık kontrol parametresi verilerek metodun yakınsaklık bölgesinin
genişletilmesi sağlanmıştır.
• Homotopi pertürbasyon metodu, homotopi analiz metodundaki Taylor serisi
yerine pertürbasyon serisi kullanılarak sonsuz seri çözümlerini araştıran bir
metottur.
• Her iki metot da birkaç terim hesaplanarak analitik çözüme hızlı yakınsayan
metotlardır.
• Homotopi analiz metodunda h yakınsaklık kontrol parametresinin uygun
seçilebilmesi durumunda yakınsama hızlandırılabilir ve analitik çözüme hızlı
yakınsar.
• Homotopi pertürbasyon metodunda ise yakınsama, başlangıç yaklaşımının
yeterince iyi seçilmesine bağlıdır. Ayrıca yakınsama homotopi yoluna da
bağlıdır.
• Homotopi analiz metodunda ise başlangıç yaklaşımı ne seçilirse seçilsin analitik
çözüme ulaşılamasa bile yakınsak seri çözüm bulmak mümkündür.
• Homotopi analiz metodunda h yakınsaklık kontrol parametresinin -1 ve
H x,
t
v
yardımcı fonksiyonunun 1’e eşit olması durumunda çözüm serisi,
( )
homotopi pertürbasyon metodunda elde edilen çözüm serisi ile çakışır. Bazı
araştırmacılar homotopi pertürbasyon metodunun homotopi analiz metodunun
bir özel hali olduğunu iddia etmektedirler.
• Bu iki metodun karmaşıklığı incelendiğinde, homotopi analiz metodunda çözüm
serisinin oluşturulması yardımcı lineer operatörün, yardımcı fonksiyonun,
başlangıç yaklaşımının ve h yakınsaklık kontrol parametresinin seçimine bağlı

140
iken homotopi pertürbasyon metodunda çözüm serisinin bulunması için
başlangıç yaklaşımı ve uygun homotopinin kurulması yeterlidir. Bu da homotopi
pertürbasyon metodunun homotopi analiz metoduna göre uygulanmasının daha
kolay olduğunu gösterir.
Sonuç olarak denilebilir ki her iki metodun da problemlere bağlı olarak iyi ve
zayıf yönleri mevcuttur. Metotların dezavantajlarının ortadan kaldırılması için
literatürde yeterli problem çözümü olmadığından genel bir teori oluşturmak bu
aşamada mümkün değildir.

KAYNAKLAR
141
[1] He J.H, 2006, Non-Perturbative Methods for Strongly nonlinear Problems,
dissertation, de -verlag im Internet GmbH, Berlin.
[2] He J.H., 2006, Some asymptotic methods for strongly nonlinear equations, Int. J.
Modern Phys. B 20(10) 1141-1199.
[3] He J.H., 2006, New interpretation of homotopy perturbation method, International
Journal of Modern Physics B 20, 2561-2568.
[4] He J.H., 2000, A coupling method of homotopy technique and perturbation
technique for nonlinear problems, Int. J. Nonlinear Mech. 35, 37-43.
[5] He J.H., 1999, Homotopy perturbation technique, Comp. Meth. Appl. Mech. Eng.,
178, 257-262.
[6] He J.H., 2005, Application of homotopy perturbation method to nonlinear wave
equations, Chaos, Solitons and Fractals 26, 695-700.
[7] He J.H., 2005, Homotopy perturbation method for bifurcation of nonlinear
problems, Int. J. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 6, 207-208.
[8] Ozis T., Agirseven D., 2008, He’s homotopy perturbation method for solving heatlike
and wave-like equations with variable coefficients, Phys. Lett. A, 372, 5944-5950.
[9] Abbasbandy S., 2006, Numerical solutions of the integral equations: Homotopy
perturbation method and Adomian’s decomposition method, Applied Mathematics and
Computation, 173, 493-500.
[10] Abbasbandy, S., 2006, Application of He’s homotopy perturbation method for
Laplace transform, Chaos Solitons & Fractals, 30, 1206-1212.
[11] Siddiqui A.M., Ahmed M., Ghori Q.K., 2007, Thin film flow of non-newtonian
fluids on a moving belt, Chaos Solitons & Fractals, 33, 1006-1016.
[12] Ghori QK, Ahmed M, Siddiqui AM, 2007, Application of homotopy perturbation
method to squeezing flow of a Newtonian fluid, International Journal of Nonlinear
Sciences and Numerical Simulation, 8 (2): 179-184.
[13] Tari H, Ganji DD, Rostamian M, 2007, Approximate solutions of K (2,2), KdV and
modified KdV equations by variational iteration method, homotopy perturbation
method and homotopy analysis method, International Journal of Nonlinear Sciences and
Numerical Simulation, 8 (2): 203-210.

142
[14] Ghorbani A, Saberi-Nadjafi J, 2007, He's homotopy perturbation method for
calculating Adomian polynomials, International Journal of Nonlinear Sciences and
Numerical Simulation, 8 (2): 229-232.
[15] Ariel PD, Hayat T, Asghar S, 2006, Homotopy perturbation method and
axisymmetric flow over a stretching sheet, International Journal of Nonlinear Sciences
and Numerical Simulation, 7 (4): 399-406.
[16] Ganji DD, Sadighi A, 2006, Application of He's homotopy-perturbation method to
nonlinear coupled systems of reaction-diffusion equations, International Journal of
Nonlinear Sciences and Numerical Simulation 7 (4): 411-418.
[17] Rafei M, Ganji DD, 2006, Explicit solutions of Helmholtz equation and fifth-order
KdV equation using homotopy perturbation method, International Journal of Nonlinear
Sciences and Numerical Simulation 7 (3): 321-328.
[18] Siddiqui AM, Mahmood R, Ghori QK, 2006, Thin film flow of a third grade fluid
on a moving belt by He's homotopy perturbation method, International Journal of
Nonlinear Sciences and Numerical Simulation 7 (1): 7-14.
[19] Liao S.J., 2003, Beyond perturbation: Introduction to the homotopy analysis
method, Boca Raton:Chapman&Hall/CRC Press.
[20] Liao S.J., 1992, A second-order approximate analytical solution of a simple
pendulum by the process analysis method, ASME J. Appl. Mech., 59, 970–975.
[21] Liao S.J., 1995, An approximate solution technique not depending on small
parameters: a special example, Int. J. Non-Linear Mech., 30 (3), 371–380.
[22] Liao S.J., 1997, A kind of approximate solution technique which does not depend
upon small parameters––II: an application in fluid mechanics, Int. J. Non-Linear Mech.
32(5), 815–822.
[23] Liao S.J., 1998, Homotopy analysis method: a new analytic method for nonlinear
problems, Appl. Math. Mech. (English-Ed.) 19 (10), 957–962.
[24] Liao S.J., 1998, Homotopy analysis method: a new analytical method for nonlinear
problems without small parameters, in: The 3rd International Conference on Nonlinear
Mechanics, Shanghai, 829–833.
[25] Liao S.J., 1999, An explicit totally analytic approximate solution for Blasius
viscous flow problem, Int. J. Non-Linear Mech., 34, 759–778.
[26] Liao S.J., Chwang AT, 1996, General boundary element method for nonlinear
problems, Int.J Numer Meth Fluids, 23, 467-83.

143
[27] Liao S.J., 1997, General boundary element method for nonlinear heat transfer
problems governed by hyperbolic heat conduction equation, Comput.Mech., 20(5), 397-
406.
[28] Liao S.J., 1999, On the general boundary element method and its further
generalization, Int J. Numer Meth Fluids , 31, 627-55.
[29] Liao S.J., 1999, A uniformly valid analytic solution of two dimensional viscous
flow over a semiinfinite flat plate, J. Fluid Mech. 385, 101–128.
[30] Liao S.J., 2001, A non-iterative numerical approach for 2-D viscous flow problems
governed by the Falkner–Skan equation, Int. J. Numer. Methods Fluids 35 (5), 495–518.
[31] Liao S.J., 2009, “Notes on the homotopy analysis method: Some definitions and
theorems”, Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 14, 983-997.
[32] Song H, Tao L., 2007, Homotopy analysis of 1D unsteady, nonlinear groundwater
flow through porous media. J Coastal Res ., 50, 292–295.
[33] Molabahrami A, Khani F., 2009, The homotopy analysis method to solve the
Burgers–Huxley equation. Nonlinear Anal B: Real World Appl, 10,2,589-600.
[34] Bataineh AS, Noorani MSM, Hashim I., 2007, Solutions of time-dependent
Emden–Fowler type equations by homotopy analysis method. Phys Lett A, 371:72–82.
[35] Wang Z, Zou L, Zhang H., 2007, Applying homotopy analysis method for solving
differential-difference equation. Phys Lett A , 369, 77–84.
[36] Mustafa Inc., 2007, On exact solution of Laplace equation with Dirichlet and
Neumann boundary conditions by the homotopy analysis method. Phys Lett A, 365,
412–15.
[37] Abbasbandy S., 2006, “The application of the homotopy analysis method to
nonlinear equations arising in heat transfer”, Physics Letters A, 360, 109-113.
[38] Abbasbandy S., 2007, “The application of homotopy analysis method to solve a
generalized Hirota-Satsuma coupled KdV equation”, Physics Letters A, 361, 478-483.
[39] He J.H., 2004, Comparison of homotopy perturbation method and homotopy
analysis method, Applied Mathematics and Computation, 156(2), 527-539.
[40] Liao S.J., 2005, Comparison between the homotopy analysis method and homotopy
perturbation method, Appl. Math. Comput., 169, 1186–1194.
[41] Sajid M., Hayat T., 2008, Comparison of HAM and HPM methods in nonlinear
heat conduction and convection equations, Nonlinear Analysis: Real World
Applications, 9, 2296-2301.

144
[42] Sajid M., Hayat T., 2009, Comparison of HAM and HPM solutions in heat
radiation equations, Int. Communications in Heat and Mass Transfer, 36, 59-62.
[43] Liang S., Jeffrey D.J., 2009, Comparison of homotopy analysis method and
homotopy perturbation method through an evolution equation, Commun. Nonliner. Sci.
Numer. Simulat., doi:10.1016/j.cnsns.2009.02.016.
[44] Biazar J., Hosseini K., Gholamin P., 2008, Homotopy Perturbation Method Fokker-
Planck Equation, International Mathematical Forum, 3-19, 945-954.
[45] Gray B., 1975, Homotopy Theory: An Introduction to Algebraic Topology
Academic Pr , ISSN: 0122960505.
[46] Cropper A., William H., 2004, Great Physicists: The Life and Times of Leading
Physicists from Galileo to Hawking, Oxford University Press, p.34, ISBN 978-0-19-
517324-6.
[47] He,J.H., Newton-like iteration method for solving algebraic equations, 1998,
Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat., 3 (2), 106–109.
[48] Javidi M., 2007, Iterative methods to nonlinear equations, Applied Mathematics
and Computation, 193, 360-365.
[49] Holliday JR, Rundle JB, Tiampo KF, et al, 2006, Modification of the pattern
informatics method for forecasting large earthquake events using complex eigenfactors
Tectonophysics, 413 ,1-2, 87-91.
[50] Akhmetov AA, 2003, Long current loops as regular solutions of the equation for
coupling currents in a flat two-layer superconducting cable Cryogenics, 43, 3-5, 317-
322.
[51] Manolis GD, Rangelov TV, 2006, Non-homogeneous elastic waves in soils: Notes
on the vector decomposition technique, Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 26,
952-959.
[52] Nochetto RH, Pyo JH, 2005, Error estimates for semi-discrete gauge methods for
the Navier-Stokes equations Mathematics of Computation 74, 521-542.
[53] Wazwaz AM, Gorguis A, 2004, Exact solutions for heat-like and wave-like
equations with variable coefficients, Applied Mathematics and Computation, 149,1, 15-
29.
[54] Momani S, 2005, Analytical approximate solution for fractional heat-like and
wave-like equations with variable coefficients using the decomposition method Applied
Mathematics and Computation, 165, 2, 459-472
[55] Shou D.H, He J.H., 2008, Beyond Adomian method: The variational iteration
method for solving heat-like and wave-like equations with variable coefficients, Phys.
Lett. A 372 (3), 233–237.

145
[56] Risken H., 1989, The Fokker-Planck Equation: Method of Solution and
Applications, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg.
[57] Frank T.D., 2004, Stochastic feedback, nonlinear families of Markov processes and
nonlinear Fokker-Planck equations, Physica A 331, 391-408.
[58] Liao S.J., Tan Y., 2007, A general Approach to obtain series solutions of nonlinear
differential equations, Studies in Applied Mathematics, 119, 297-354.
[59] Biazar J., Ghazvini H., 2009, Convergence of the homotopy perturbation method
for partial differential equations, Nonlinear Analysis: Real World Applications, 10(5),
2633-2640.

KĐŞĐSEL BĐLGĐLER
Adı Soyadı : Deniz AĞIRSEVEN
Uyruğu: T.C.
146
ÖZGEÇMĐŞ
Doğum Tarihi ve Yeri: 29 Mart 1979, Edirne
Medeni Hali: Bekar
email: denizagirseven@trakya.edu.tr
EĞĐTĐM DURUMU
Đlkokul: Edirne Kurtuluş Đlkokulu, 1989.
Ortaokul: Edirne Anadolu Lisesi, 1993.
Lise: Edirne Anadolu Lisesi, 1996.
Lisans: Trakya Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü, 2000.
Yüksek Lisans: Trakya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, 2003.
Yabancı Dil: Đngilizce, Almanca.
ĐŞ TECRÜBESĐ
Yıl Çalıştığı Kurum Görevi
2000 - Trakya Ün. Fen-Ed. Fak. Matematik Bölümü Araştırma Görevlisi