tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

4.1.2 Teorem : f () t ∈ L ( T)
ve p ( t ) ’ler ( j = 1, 2,..., n)
[ ]
1 0,
30
j
0,T aralığında
sürekli fonksiyonlar olsun. O halde (4.1)-(4.2) de tanımlanan başlangıç-değer
problemi y() t L ( T)
∈ olacak biçimde tek bir çözüme sahiptir [1].
1 0,
Pek çok başlangıç-değer probleminde y( t ) çözümü için tanımlanan başlangıç
koşulları sıfır veya y() t ’nin tamsayı mertebeli türevleri şeklindedir. Bunun üç temel
sebebi vardır:
1. Başlangıç koşullarının sıfır ya da tamsayı mertebeli türevler ile belirlenmesi
y() t çözümünün başlangıç zamanında gösterdiği davranışın fiziksel olarak
yorumlanabilmesi imkânını sağlar.
2. (4.1) de verilen başlangıç koşulunun nümerik yaklaşımlarla hesaplanmasının
zorluğunu ortadan kaldırır.
3. y() t çözümü için tanımlanan sıfır başlangıç koşulları ve tamsayı mertebeli
türevli başlangıç koşulları Riemann-Liouville, Grünwald-Letnikov, Caputo ve
Miller-Ross kesirli türevlerinin çakışmasına sebep olur. Bu çakışma ise problemin
formülasyonunun ve çözümünün yanlış yorumlanabilmesi durumunu ortadan
kaldırır. Çünkü her bir tanıma göre problemin çözümü aranırken aynı sonuca
ulaşılır.
Sonuç olarak m−1≤ σ n < m olmak üzere ve
( j)
y ( 0) = 0,
( j 0,1,..., m 1)
sıfır başlangıç koşulları altında
= − (4.3)
n−1
σ n
−
0 t j 0 t n
j=
1
σ n j
D y() t + ∑ p () t D y() t + p () t y() t = f () t
(4.4)