q q q q

Burulmaya Maruz Çift Hücreli ˙Ince Cidarlı Tüp Problemi
(Mukavemet - II, Bütünleme Sınavı-24-3)
Problem :
¸Sekil 1 de 5 m boyunda iki hücreden olu¸san bir tüp kesitinin boyutları gösterilmektedir.
Dikey cidarlar kayma modülü 60 GPa olan bir malzemeden ve di˘ger kısımlar ise 30 GPa
lık kayma modülüne sahip malzemeden in¸sa edilmi¸stir. Kesit sabit 200 Nm lik bir burulma
momentini ta¸sımaktadır. Kesitin cidarlarında olu¸san kayma gerilmelerini hesap ediniz.
Tüpün ucu ankastre olarak desteklenmi¸s ise serbest ucunda ortaya çıkan toplam burulma
açısı ne olur.
q
1
0.5 mm
q
2
1.0
1. Burulma momentine maruz çift hücreli tüp
Çözüm :
P Mz =0denge ¸sartı ve herbir hücre için burulma açısı de˘gi¸simi denklemleri
T =2A1 q1 +2A2 q2
µ
dÁ
=
dz 1
q1
I Z
ds q2
¡
2A1 Gt 2A1
µ
1
12
dÁ
=
dz 2
q2
I Z
ds q1
¡
2A2 Gt 2A2
2
12
¸seklinde yazılabilir. Hücre kesit yüzeyi alanları
ds
Gt
ds
Gt
A1 = ¼r2 ¼
=
2 2 (40)2 = 2513:27 mm 2
h =
s
2002 µ 2
80 ¡ 40
¡
= 198:99 mm
2
A2 = 1
Kapalı integraller
£ (80 + 40) £ (198:99) = 11939:4 mm2
2
Dr. M. Kemal Apalak 1
(1)
(2)
(3)

I
2
I
1
µ
dÁ
=
dz 1
ds
Gt =
µ
¼ £ 80 1
2 30 £ 109 £ 1:5 +
80
60 £ 109 =5:45919 10¡9
£ 0:5
ds
Gt =2
µ
200
30 £ 10 9 £ 1:0
q1
Z
12
+
40
60 £ 10 9 £ 1:0 +
ds
Gt =
80
60 £ 109 =2:6667 10¡9
£ 0:5
2 £ 2513:27 £ 10 ¡6 £5:45919£10¡9 ¡
µ
dÁ
dz
µ
dÁ
q2
=
dz 2 2 £ 11939:4 £ 10 ¡6 £ 1:6667 £ 10¡8 ¡
µ
dÁ
dz
Uygunluk ¸sartı uygulanırsa
µ µ
dÁ dÁ
=
dz 1 dz 2
80
60 £ 109 =1:6667 10¡8
£ 0:5
q2
=1:08607:10
1
¡6 q1 ¡ 5:30524:10 ¡7 q2
=6:97983:10
2
¡7 q2 ¡ 1:11676:10 ¡7 q1
£2:6667£10¡9
2 £ 2513:27 £ 10 ¡6
(4)
q1
£ 2:6667 £ 10¡9
2 £ 11939:4 £ 10 ¡6
1:08607 £ 10 ¡6 q1 ¡ 5:30524 £ 10 ¡7 q2 = 6:97983 £ 10 ¡7 q2 ¡ 1:11676 £ 10 ¡7 q1
(1) ve (7) denklemleri yardımıyla
1: 197 7 £ 10 ¡6 q1 = 1: 228 5 £ 10 ¡6 q2
(5)
(6)
q1 = 1:02568 q2 (7)
T =2A1 q1 +2A2 q2
200 = 2 £ 2513:27 £ 10 ¡6 q1 +2£ 11939:4 £ 10 ¡6 q2
100 = 2513:27 £ 10 ¡6 £ (1:02568 q2)+ ¡ 11939:4 £ 10 ¡6¢ q2
cidarlardaki kayma akı¸sları
kayma gerilmeleri
q2 = 6888:4 N N
=6:8884
m m
q1 =1:02568 (6888:4) = 7065:27 N N
=7:065
m m
¿ 1 = q1
t1
= 7:065
1:5
N
=4:71 =4:71 MPa
mm2 Dr. M. Kemal Apalak 2

¿ 3 = q1 ¡ q2
t12
burulma açısı de˘gi¸simi
toplam burulma açısı
bulunur.
¿ 2 = q2
=
t2
6:8884
1:0
= 7:065 ¡ 6:8884
N
=6:888 =6:888 MPa
mm2 =0:3532
0:5
N
=0:3532 MPa
mm2 dÁ
dz =1:08607 £ 10¡6q1 ¡ 5:30524 £ 10 ¡7 q2
dÁ
dz =1:08607 £ 10¡6 (7:065) ¡ 5:30524 £ 10 ¡7 (6:8884)
dÁ
dz
Á = l dÁ
dz
=4:0186 £ 10¡6 rad
mm
= 5000 £ 4:0186 £ 10¡6
Á =0:02009 rad
Dr. M. Kemal Apalak 3