Olasılık - personals.okan.edu.tr - Okan Üniversitesi

okan.edu.tr

Olasılık - personals.okan.edu.tr - Okan Üniversitesi

1-1

Click To Edit Master Title Style

OLASILIK ve İSTATİSTİK

trong>Olasılıktrong>

Yrd.Doç.Dr

Doç.Dr. . Pınar YILDIRIM

Okan Üniversitesi

Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi

Bilgisayar Mühendisliği Bölümü


1-2

GİRİŞ

trong>Olasılıktrong>, günlük yaşamımızda sıkça kullandığımız,

yararlandığımız bir kavramdır.

Örneğin ;

Meteoroloji uzmanı o gün %80 olasılıkla yağmur yağacağını

Sağlık uzmanları sigara içenlerin içmeyenlere oranla kansere yakalanma

riskinin daha yüksek olacağını söyler.


1-3

Herhangi bir olayın meydana gelme şansını ölçmeyle ilgilenen olasılık, istatistiğin

önemli bir bölümünü oluşturmaktadır.

Örneğin bir firmanın gelecek yıldaki satış kestirimleri, bir kısmı gerçekleşecek bir kısmı

gerçekleşmeyecek bir çok varsayıma dayalıdır.

trong>Olasılıktrong> kuramı, bizlere belirsizlik altında ya da mevcut bilgilerin tam ve sağlıklı

olmaması gibi durumlarda doğru ve sağlıklı kararlar verebilmede yardımcı olacaktır.


1-4

trong>Olasılıktrong>: Belirli bir olayın olma ihtimalinin yada şansının

ölçümü.

0 ≤ P(A) ≤ 1.

0 olasılık olayın kesinlikle olmayacağını;


1 olasılık ise olayın olacağını gösterir.


DENEY, SONUÇ VE ÖRNEKLEM

UZAYI

1-5

Pek çok gözlemden sadece bir tanesinin gerçekleşmesi sürecine “deney”, bu gözlemlere

ait deneylerin sonuçları ve bu sonuçların tümüneyse “deneyin örneklem uzayı” denir.


Örneğin vida üreten bir firmada kalite kontrol uzmanı olarak görev yapan bir kişi rastgele bir vida

alarak vidanın hatalı olup olmadığını inceler.


Vidayı inceleme eylemi istatistiksel deneye bir örnektir.


Bu inceleme sonucunda vida hatasız ya da hatalı biçimde değerlendirilecektir. Bu iki

gözlem bilgisine deneyin sonucu, bu sonuçların birlikte alınmasına da deneyin örneklem

uzayı denir.


1-6


1-7


Bir deneyin örneklem uzayı Venn ya da ağaç diyagramı çizilerek de oluşturulabilmektedir. Venn

diyagramı, bir deneyin tüm olası sonuçlarının (kare, dikdörtgen ya da daire gibi) içinde

gösterilmesidir. Ağaç diyagramında her bir sonuç, ağacın bir dalıyla ifade edilmektedir.


Örnek: Paranın bir kez atılması deneyinin Venn ve ağaç diyagramını çizelim.

S={ Y, T }


1-8

Paranın iki kez atılması deneyinin Venn ve ağaç diyagramını çizelim.

S = {YY, YT, TY, TT}

YY

YT

TY

TT

Venn diyagramı

Ağaç diyagramı


1-9

Bir işyerinde çalışan personel arasında iki tanesinin seçildiği ve cinsiyetlerinin

(E = Erkek, K = Kadın) kaydedilsin. Bu deneyin tüm sonuçlarını yazalım ve Venn ve

ağaç diyagramını çizelim.

S = {EE, EK, KE, KK}

EE

EK

KE

KK

Venn Diyagramı

Ağaç Diyagramı


1-10

Basit ve Bileşik Olaylar

Olay: Bir olay, bir deneyin bir ya da daha çok sonucunun kümesidir. Olay, basit veya

bileşik olabilmektedir.

Basit Olay: Bir deneyin sadece ve sadece bir nihai sonucunu içeren olaya basit olay

denilmekte ve Ei biçiminde gösterilmektedir.

Örnek: Personel seçimi deneyinde elde edilen (EE, EK, KE, KK) sonucun her biri bu

deneyin basit olaylarıdır ve sırasıyla E1, E2,E3 ve E4 olarak gösterililir.

E1= {EE}, E2 = {EK}, E3 = {KE}, E4 = {KK}


1-11

Bileşik Olay: Bir deneyin birden çok sonucundan oluşan kümeye bileşik olay

denilmektedir.



Bir işyerinde çalışan personel arasından rastgele iki personelin seçilsin

A olayı, en çok bir erkeğin seçilmiş olduğu durum olarak tanımlansın. A olayı hiç erkek olmaması ya

da bir erkek olması durumunda gerçekleşecektir .

S = {EK, KE, KK}

A olayı birden çok sonuçlu olduğu için bir bileşik olaydır.


1-12

Bir grup insandan bir kısmı, genetik kopyalamayı, olumlu bulup desteklemekte, geri

kalanı karşı çıkmaktadır. Bu gruptan rastgele iki kişi seçilmiştir ve genetik

kopyalamaya ilişkin görüşleri sorulmuştur. Kaç farklı sonuç söz konusudur? Bu deneye

ilişkin Venn ve ağaç diyagramlarını çizelim.

a) Her iki kişi de genetik kopyalamayı destekliyor.

b) En çok bir kişi genetik kopyalamaya karşıdır.

c) Kesinlikle bir kişi genetik kopyalamayı destekliyor.


1-13

D = Genetik kopyalamayı destekliyor

K = Genetik kopyalamaya karşı

DD = Her iki kişi de genetik kopyalamayı destekliyor.

DK = Birinci kişi genetik kopyalamayı desteklerken ikincisi karşıdır.

KD = Birinci kişi genetik kopyalamaya karşıyken ikincisi destekliyor.

KK = Her iki kişi de genetik kopyalamaya karşıdır.


1-14

a)”Her iki kişi de genetik kopyalamayı destekliyor” olayının gerçekleşmesi

A = {DD} basit olaydır.

b) “En çok bir kişi genetik kopyalamaya karşı” olayının gerçekleşmesi iki kişinin ya da iki

kişiden birinin genetik kopyalamayı desteklemesi durumlarında söz konusudur.

B = {DD, DK, KD} bileşik olaydır.

c) “Kesinlikle bir kişi genetik kopyalamayı destekliyor” olayının gerçekleşmesi iki

kişiden birisinin genetik kopyalamayı desteklerken, diğer kişinin karşı olduğu durumda

söz konusudur.

C = {DK, KD} bileşik olaydır.


1-15

OLASILIK: trong>Olasılıktrong> bir olayın meydana gelme şansının sayısal bir ölçüsüdür ve P ile

gösterilir.

P(Ei) basit olay

P(A) bileşik olay

1-Bir olayın olasılığı her zaman sıfır ve bir aralığında yer alır.


1-16

2- Bir deneydeki tüm basit olayların olasılıkları toplamı P(Ei) olarak gösterilir.

Örneğin paranın bir kez atılması deneyi için:

Paranın iki kez atılması deneyi için:


1-17

Olasılığa iki kavramsal yaklaşım:

Klasik trong>Olasılıktrong>

Olasılığın göreli sıklık kavramı


1-18

Klasik trong>Olasılıktrong>: İki ya da daha çok sonucun (ya da olayın) ortaya çıkma olasılığı

aynıysa bunlara eşit olasılıklı sonuç denir.

Klasik olasılık kuralı:

Paranın bir kez atılması deneyinde bir yazı ve bir tura olmak üzere iki sonuç vardır.


1-19

Zarın bir kez atılması deneyinde çift sayı elde edilmesi olasılığını bulalım:

Bu deneyde 1,2,3,4,5 ve 6 olmak üzere altı sonuç bulunmaktadır ve tüm sonuçlar eşit

olasılıklı sonuçlardır.

A = {2, 4, 6}

P(A) =


1-20

Bir derneğin 60’ı erkek ve 40’ı kadın olmak üzere toplam 100 üyesi bulunmaktadır. Bu

üyeler arasında bir tanesi dernek başkanı olarak rastgele seçilecektir. Bir kadın üyenin

dernek başkanı seçilme olasılığı nedir?

P=


1-21

Olasılığın Göreli Sıklık Kavramı:




Bir otomobil fabrikasında bundan sonra üretilecek otomobilin kusurlu olma olasılığı

Rastgele seçilmiş bir ailenin yıllık gelirinin 5.000.000 YTL ‘den fazla olma olasılığı

Bir hastanede bundan sonra doğacak çocuğun cinsiyetinin kız olma olasılığı

Bu deneylerdeki sonuçlar eşit olasılıklı olmadığı için, olasılıklar

klasik olasılık hesaplama kuralıyla hesaplanamaz.

Örneğin fabrikada bundan sonra üretilecek ilk araba kusurlu ya da

kusursuz olabilir.

Ancak burada kusurlu ya da kusursu sonuçlarının elde edilmesi

olasılıkları eşit değildir.


1-22

Sonuçları eşit olasılıklı olmayan deneylerde, deney defalarca tekrar edilerek veri

üretilmektedir.

trong>Olasılıktrong>ları hesaplamak için ya eski verilerden yararlanılmakta ya da deney çok kez

tekrarlanmak suretiyle yeni veri üretilmektedir.

Bu verilerden yararlanarak bir olaya ilişkin olasılık değeri için göreli sıklıklardan

yararlanılmaktadır. Bu yönteme “Olasılığın göreli sıklık kavramı” denir.


1-23

Yaklaşık trong>Olasılıktrong> İçin Göreli Sıklık: Eğer bir deney n kez tekrarlanmış ve f kez bir A

olayı gözlenmiş ise olasılığın göreli sıklık kavramına göre olasılık:

Bir otomobil fabrikasında üretilen otomobillerden rastgele 500

tanesi seçilmiş ve 10 tanesinin kusurlu olduğu görülmüştür. İlk

üretilecek otomobilin kusurlu olma olasılığı nedir?

P =


Otomobil örneğinin sıklık ve göreli sıklık dağılımları

1-24


1-25

Sayma Kuralı: Eğer bir deneyde, ilk aşamada m tane, ikinci aşamada n tane ve üçüncü

aşamada k tane sonuç olmak üzere sonuç olmak üzere üç aşama bulunuyorsa, bu

deneyin toplam sonuç sayısı = m.n.k’dir.


Örnek: Bir paranın üç kez atılması deneyini düşünelim. Bu deneyde üç aşama bulunmaktadır; ilk kez

atış, ikinci kez atış ve üçüncü kez atış. Her aşamanın da yazı ve tura olarak iki sonucu olacaktır.


Bu nedenle sayma kuralına göre toplam sonuç sayısı = 2 . 2 . 2 = 8 olacaktır. Deney sonuçları açık

olarak; YYY, YYT, YTY, YTT, TYY, TYT, TTY, TTT biçimde olacaktır.


1-26

Bileşen ve Koşullu trong>Olasılıktrong>lar: Bir firmada çalışan 100 kişiye, üst düzey yöneticilere

yüksek ücretler ödenmesini onaylayıp onaylamadıkları sorulmuş ve aşağıdaki tablo elde

edilmiştir.


1-27

Çalışanlar arasında rastgele bir çalışan seçildiğinde, bu çalışan sadece cinsiyet ya da

görüş karakteristiklerinden birine göre de sınıflanabilir. Eğer tek karakteristik dikkate

alınacak olursa seçilen çalışan:



erkek olabilir, kadın olabilir

onaylıyor ya da onaylamıyor olabilir.

Bu dört karakteristik ya da olayın olasılıklarına bileşen olasılık denir.

Bu olasılıklara bileşen ya da basit olasılıklar denmesinin nedeni, bu olasılıkların satır ya

da sütun toplamlarının genel toplama bölünmesiyle bulunmasıdır.


1-28

Bileşen olasılık: Basit olasılık olarak bilinen bileşen olasılık, herhangi başka olay

dikkate alınmaksızın, sadece bir olaya ilişkin olasılıktır.

P(Erkek) = Erkeklerin sayısı/Tüm Çalışanların Sayısı

P(Erkek) = 60/100 =0,6


1-29


1-30

Koşullu trong>Olasılıktrong>: Bir olayın oluştuğunun bilinmesi durumunda diğer olayın olma

olasılığıdır. Örneğin A ve B iki olay olmak üzere A olayının koşullu olasılığı :

P( A / B)

B olayı olduğunda A olayının olması olasılığı şeklinde okunur.

Örnek: P(Onaylıyor/ Erkek) koşullu olasılığı

P(Onaylıyor/Erkek) = Onaylayan Erkek Sayısı/Toplam Erkek Sayısı

= 15/60

= 0,25


1-31


1-32

P(Kadın / Onaylıyor)= ?

P(Kadın / Onaylıyor) = Onaylayan kadın sayısı/Toplam onaylayanlar sayısı

= 4/19

= 0.211


1-33

Ayrık Olaylar: Birlikte ortaya çıkmayan olaylara, karşılıklı ayrık olaylar denir.


Herhangi bir deney için, deneyin herhangi bir tekrarında ortaya çıkacak sadece bir sonuç

olduğu için sonuçlar her zaman ayrıktır.


Örneğin bir paranın iki kez atıldığı bir deneyde,


YY, YT, TY ve TT biçiminde dört sonuç vardır ve sonuçlar ayrıktır. Çünkü bir para iki kez atıldığında,

bu sonuçlardan sadece bir tanesi ortaya çıkacaktır.


1-34

Zarın bir kez atılması deneyine ilişkin olaylar:

A- çift sayı elde edilmesi = {2,4,6}

B- tek sayı elde edilmesi = {1,3,5}

C- 5’den küçük sayı elde edilmesi = {1,2,3,4}

A ve B ayrık olaylardır.

A ve C ayrık olaylar değildir.


1-35

Örnek: Büyük bir firmada çalışanlardan rastgele bir kişi seçilmiş ve

aşağıdaki iki olay tanımlanmış olsun.

D = seçilen kişi üniversite mezunudur

N = seçilen kişi üniversite mezunu değildir

Bu iki olay ayrık mıdır?

İki olayın ortak sonucu olmadığı için ayrıktır.


1-36

Bağımsız ve Bağımlı Olaylar:

Bağımsız Olaylar: Eğer bir olayın ortaya çıkması öteki olayın ortaya çıkma

olasılığını etkilemiyorsa, bu iki olaya bağımsız olaylar denir.

Örnek: 100 çalışana ilişkin örnekte kadın (K) ve onaylıyor (O) olayları tanımlanmış

olsun. Bu olaylar bağımsız mıdır?


Bu iki olasılık aynı olmadığı için bu olaylar bağımsız olaylar değildir.

1-37


1-38

Bir kutuda, I. Makinede üretilmiş 60, II. Makinede üretilmiş 40 olmak üzere

toplam 100 kaset bulunmaktadır. I. Makinede üretilen 60 kasetin 9 tanesi,

tüm kasetlerinde 15 tanesi bozuktur. Bu durumda rastgele seçilen bir kasetin

bozuk olması D ve bu kasetin I. Makinede üretilmiş olması A olayını

göstermektedir. A ve D olayları bağımsız mıdır?

P(D) =P(D/A) olduğu için, A ve D olayları bağımsız olaylardır.


1-39

Tamamlayıcı(Bütünleyici) Olaylar: A olayının tamamlayıcısı

ile gösterilmekte ve A tamamlayanı denilmektedir.


1-40

Örnek: Beş çamaşır makinesinden iki tanesi bozuktur. Bu makinelerden bir tanesinin

rastgele seçilmesi deneyinde tamamlayıcı olaylar ve bunların olasılıkları nedir?


Olayların Ara Kesiti: Bir örneklem uzayında A ve B olayları tanımlanmış

olsun. A ve B’nin ara kesiti, hem A hem de B’de yer alan sonuçları ifade

eder, A ve B biçiminde gösterilir.

1-41


1-42

Çarpma Kuralı: A ve B gibi birlikte ortaya çıkan olayların olasılığına bileşik olasılık adı

verilir ve P (A ve B) biçiminde gösterilir. A ve B olaylarının ara kesitinin olasılığı ;

Örnek:

P(A ve B) = P(A) P(B/A)

Kadın (K) ve Üniversite mezunu(M) olaylarının ara kesiti:


1-43


Erkek(E) ve Üniversite mezunu değil olayları incelenirse:

1-44


1-45

Örnek: Bir kutuda 4 tanesi bozuk, toplam 20 kaset bulunmaktadır. Bu kasetlerden

(seçilen yerine konulmaksızın) iki tanesi rastgele seçilmiştir. Seçilen iki kasetin de

bozuk olma olasılığı nedir?

Toplam 20 kasetin 4 tanesi bozuk olduğu için ilk seçilen kasetin bozuk olma olasılığı P(B1) =

4/10’dir.


İlk seçilen kasetin bozuk olduğu bilindiğine göre, kutuda 3 tanesi bozuk 19 tane kaset kalmıştır ve

ikinci seçilen kasetin de bozuk olma olasılığı P(B2/B1) = 3/19’dur.


1-46


1-47

Koşullu trong>Olasılıktrong>: Eğer A ve B,

durumunda iki olay ise bunlara ilişkin koşullu olasılıklar:


1-48

Bağımsız Olaylar için Çarpma Kuralı:

Örnek:Bir işhanında iki tane yangın detektörü bulunmaktadır. Bir yangın sırasında bu

detektörlerden herhangi birinin çalışmaması olasılığı 0.02’ dir. Bir yangın sırasında her iki

detektörün de çalışmama olasılığını bulunuz.

A = İlk detektörün çalışmaması

B = İkinci detektörün çalışmaması

A ve B olayları bağımsız olduklarından, bunların bileşik olasılığı,


1-49

Örnek:Penisilinin hastada alerji yapması olasılığı 0.20’ dir. Bu ilacın üç hastaya

verildiği bir durumda;

a) Üç hastaya da alerji yapması

b) En az bir hastaya alerji yapmaması olasılıklarını bulalım


Çözüm:

a)


1-50


1-51

b) G = Üç hasta da alerjiktir

H = En az bir hasta alerjik değildir

Tanımlanan G ve H olayları tamamlayıcı olaylardır.


1-52



Ayrık Olayların Bileşik Olasılığı: İki ayrık olayın bileşik olasılığı her zaman sıfırdır ve bu durum,

A ve B ayrık olaylarsa P(A ve B) = 0 şeklinde gösterilir.

Örnek: Otomobil kredisi almak için gerekli başvuru formunun doldurulmasına ilişkin iki olay

verilsin:

O = Kredi başvurusu onaylandı

R = Kredi başvurusu reddedildi

O ve R ‘nin bileşik olasılığı nedir?

O ve R olayları ayrık olaylar olduğu için bileşik olasılığı sıfırdır.

P(O ve R) = 0


1-53

Olayların Bileşimi ve Toplama Kuralı:

Olayların Bileşimi: Aynı örneklem uzayında tanımlı A ve B olaylarının bileşimi A’da

ya da B’de ya da A ve B’de birlikte yer alan tüm olayların bileşkesi olup A ya da B

şeklinde gösterilir.


1-54

Örnek:ABD üniversitelerinde 12.439 milyon öğrenci öğrenim görmektedir. Bunlardan 6.868

milyonu kız öğrenci, 7.211 milyonu tam zamanlı öğrenci ve 3.786 milyonu kız ve tam zamanlı

öğrencilerdir. “Kız” ve “Tam zamanlı öğrenci” olaylarının bileşimini tanımlayalım.


Toplama Kuralı: A ve B olaylarının bileşiminin olasılığı,

1-55


1-56

Örnek: Bir üniversite rektörü, tüm öğrencilerin etik konusunda bir dersi (zorunlu)

almasının yararlı olacağını düşünmektedir. Bu konuda öğretim elemanı ve

öğrencilerden oluşan toplam 300 kişiye düşüncesini sormuş ve elde edilen sonuçlardan

bu tablo oluşturulmuştur.

Bu gruptan rastgele seçilen birinin öğretim elemanı ya da katılıyor olma olasılığı nedir?


1-57

A = Seçilen kişi öğretim elemanı

B = Seçilen kişi düşünceye katılmakta


1-58

Örnek: Yapılan bir araştırmadan 7225 kişinin birden çok işi olduğu bulunmuştur. Bu

kişilerden 4115 tanesi erkek, 1742 tanesi bekar ve 905 tanesiyse erkek ve bekardır.

Rastgele seçilen birinin erkek ya da bekar olma olasılığını bulunuz.

E = Rastgele seçilen kişi erkek

B = Rastgele seçilen kişi bekar


1-59


Ayrık Olaylar İçin Toplama Kuralı: A ve B ayrık olaylarının bileşiminin olasılığı

1-60


1-61


Örnek:Kamuoyunun ırk ayrımına karşı düşüncesinin ortaya konmasını amaçlayan bir araştırmada;

erkek ve kadınlardan oluşan 300 kişi ile görüşülmüştür. Görüşlerin ırk ayrımına “karşı” ,

“destekliyor” ve “çekimser” olarak kaydedilmesi sonucunda bu tablo oluşturulmuştur.

Rastgele seçilen bir kişinin ırk ayrımına karşı ya da çekimser olma olasılığı nedir?


1-62

K = Çekilen kişi ırk ayrımına karşı

C = Çekilen kişi ırk ayrımı konusunda çekimser


1-63

Kaynaklar

İstatistik Yöntemleri, Doç.Dr.Murat Karagöz,7.Baskı,Ekin Basın

Yayın Dağıtım,2009

Anadolu Üniversitesi, trong>Olasılıktrong> ve İstatistik Ders Notları

More magazines by this user
Similar magazines