13.07.2015 Views

Pencere Fonksiyonu Aileleri ve Uygulama Alanları - Fen Bilimleri ...

Pencere Fonksiyonu Aileleri ve Uygulama Alanları - Fen Bilimleri ...

Pencere Fonksiyonu Aileleri ve Uygulama Alanları - Fen Bilimleri ...

SHOW MORE
SHOW LESS
  • No tags were found...

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

292Erciyes Üni<strong>ve</strong>rsitesi <strong>Fen</strong> <strong>Bilimleri</strong> Enstitüsü Dergisi 26 (3): 291-306 (2010)1. GİRİŞSon yıllardaki gelişmelere paralel olarak analogsistemlerin yerini sayısal sistemler almıştır. Buduruma bağlı olarak, sistemden arzu edilenözelliklerde çıkış elde edebilmek için sayısal sisteminperformansını arttırma çabaları doğmuştur. Herhangibir sayısal sistemde arzu edilen çıkışı üretmek içinkullanılan yazılımsal <strong>ve</strong>ya donanımsal yapılarasayısal filtre adı <strong>ve</strong>rilmektedir. Bir sayısal filtreimpuls cevabına göre, sonlu impuls cevaplı filtre(FIR filtre) <strong>ve</strong> sonsuz impuls cevaplı filtre (IIRInfinite Impulse Response) şeklinde ikiyeayrılmaktadır. Tekrarsız olarak gerçekleştirilen birfiltrenin ideal genlik cevabının sınırlı sayıda elemanalınarak tasarlanması işleminde keskin kesim frekansıbölgesinde istenmeyen Gibbs salınımları meydanagelmektedir. Oluşan bu salınımlar pencerefonksiyonları yardımıyla ortadan kaldırılmaktadırlar.Bu işlemlerde kullanılan pencere fonksiyonları içinliteratürde çeşitli özelliklere sahip farklı penceretürleri geliştirilmiştir. Geliştirilen bu pencerefonksiyonlarının uygulama alanları olarak bir <strong>ve</strong> ikiboyutlu tekrarsız sayısal filtre, sayısal hüzmeleme <strong>ve</strong>iki boyutlu sayısal filtrelerin en çok kullanıldığıgörüntü işleme alanları gösterilebilmektedir.Fourier serisi kullanılarak tasarlanan filtreyaklaşımında serinin doğrudan kesilmesiyle meydanagelen olayı matematiksel olarak ifade etme işlemiGibbs tarafından 1899’da yapılmıştır [1]. Fejer,yapmış olduğu çalışmada pratik uygulamalardakullanılabilmesi için oluşan bu Gibbs salımınlarıortadan kaldırabilmede uygun bir yaklaşımsunmuştur [2]. Lanczos, Fejer’in önerdiğiyaklaşımdan daha başarılı sonuç <strong>ve</strong>recek biryumuşatma yaklaşımı önermektedir [3]. Adamstarafında yapılan çalışmada ise, en yüksek yanlobseviyesi ile toplam yanlob enerjisi arasındaki en iyidengeyi sağlayacak yeni en uygun pencerefonksiyonunu önerilmiştir [4]. Yapılan çalışmalardakullanılan pencere fonksiyonları sahip olduklarıbağımsız parametre özelliklerine göre sabit <strong>ve</strong>ayarlanabilir pencereler şeklinde iki kısmaayrılmaktadırlar. Sabit pencere fonksiyonu içinfazlaca tercih edilen türler <strong>ve</strong> denklemleri [5]’ degösterilmiştir. Önerilen bu pencerelerin genelözellikleri olarak, sabit pencere uzunluğu yüzündenpencere fonksiyonu spektral parametrelerindenyalnızca birinin ayarlanması yapılabilmektedir. Sabitpencereler sahip oldukları bu özelliklerinden dolayıpratik uygulamalar için uygun yapılar değildir. Budurumun üstesinden gelebilmek için <strong>ve</strong> spektralparametre değerlerinin değiştirilebilmesini sağlamakiçin ayarlanabilir pencereler önerilmiştir. Önerilen bupencere fonksiyonları sabit pencerelerdeki tekayarlanabilir parametre değerinin aksine iki <strong>ve</strong>yadaha fazla parametre kullanılarak oluşturulanayarlanabilir pencerelerdir.Dolph tarafından yapılan çalışmada, ayarlanabilirparametre özelliğine sahip pencerenin iki önemliparametresi ile minimum analob genişliğisağlanmıştır [6]. Literatürde, iki parametreli pencereile ilgili Poisson, Cauchy, Gaussian gibi pek çokyaklaşım önerilmiştir [7]. <strong>Pencere</strong> fonksiyonu <strong>ve</strong>uygulama alanı olarak pek çok alanda tercih edileniki parametreli pencere, Kaiser tarafındanönerilmiştir. Kaiser’in FIR filtre tasarımı üzerineyaptığı çalışmada, analob içerisinde maksimumenerjinin toplanması ilkesine dayalı olan yaklaşımsayesinde tasarlanan filtrenin Dolph-Chebyshevpencere kullanılarak tasarlamış filtre ilekarşılaştırıldığında daha başarılı sonuçlar <strong>ve</strong>rdiğigörülmektedir [8]. Saramaki yaptığı çalışmada,Kaiser penceresine benzer bir yapı kullanarak buyapının ayrık fonksiyonunu geliştirmiştir. Geliştirmişolduğu bu pencereyi, dikdörtgen pencerefonksiyonuna basit frekans dönüşümü uygulayarakelde etmiştir. Saramaki geliştirdiği bu pencerefonksiyonunu kullanarak tasarladığı FIR filtre iledurdurma bandı azalması bakımından Kaiserpenceresi kullanarak tasarlanan FIR filtreden dahakullanışlı bir yapı elde etmiştir [9]. İki parametrelipencereler ile ilgili yapılan çalışmalardan elde edilenpencere spektral cevapları Kaiser penceresinden dahaiyi olmadığı için uygulamalarda fazlaca tercihedilmemişlerdir. Nuttall yaptığı çalışmasında, birçokfarklı şartlar altında spektral parametrelerinden olançok iyi yanlob davranışı <strong>ve</strong> en uygun özelliklere sahippencere fonksiyonu geliştirmiştir [10]. Geliştirilen buiki parametreli pencere fonksiyonları, pencereninanalob genişliği, pencere uzunluğu <strong>ve</strong> dalgalanmaoranı gibi spektral parametrelerinin ayarlanmasındansadece iki faktörün kontrolünü sağlamaktadır.Deczky tarafından geliştirilen <strong>ve</strong> üç parametreli yenipencere fonksiyonu olan ultraspherical fonksiyon,Gegenbauer <strong>ve</strong>ya Ultraspherical polinomları olarakbilinen ortogonal polinomların temelinedayanmaktadır. Geliştirilen bu pencere fonksiyonu ileyanlob azalması, fonksiyona eklenen parametreyardımıyla kontrol edilmektedir [11]. Ultrasphericalpencere fonksiyonun detaylı bir şekilde analiziBergen <strong>ve</strong> Antoniou tarafında yapılmıştır [12,13].Bergen <strong>ve</strong> Antoniou tarafından yapılan buçalışmalarda, geliştirdikleri pencere fonksiyonun eldeedilmesi amacından bahsetmişlerdir. İki parametrelipencerelerin yalnızca analob genişliği <strong>ve</strong> dalgalanmaoranı gibi parametrelerin kontrolünde kullanılırken,yanlob azalma oranının değiştirilmesinde bu


293Erciyes Üni<strong>ve</strong>rsitesi <strong>Fen</strong> <strong>Bilimleri</strong> Enstitüsü Dergisi 26 (3): 291-306 (2010)pencerelerin yetersiz kaldıklarını <strong>ve</strong> önerilen yenipencere fonksiyonu yardımıyla bu sorunun ortadankaldırılmasını sağlamışlardır. Makale çalışmalarında,pencere fonksiyonuna ait olan denklemleri deneyselolarak hesaplamaktadırlar. Geliştirilen bu pencerefonksiyonun aynı zamanda sayısal hüzmeleme <strong>ve</strong>görüntü işleme gibi diğer uygulamalar için dekullanışlı olduklarını belirtmişlerdir. Bergen <strong>ve</strong>Antoniou tarafından yapılan diğer çalışmalarda[14,15], Ultraspherical pencereyi tekrarsız sayısalfiltre tasarımında kullanmışlardır. Etkili bir sayısalfiltre tasarımının, etkili pencere katsayı değerlerininhesaplama sayısının azalmasını sağlayarak <strong>ve</strong>ya filtreuzunluğunun <strong>ve</strong> pencere bağımsız parametrelerininuygun filtre türleri için deneysel olarak bulunarakgerçekleştirilebileceklerini belirtmişlerdir.Geliştirilen pencere ile elde edilen sonuçların Kaiser<strong>ve</strong> Dolph-Chebyshev pencere kullanılarak tasarlananfiltre derecesinden daha düşük olduğunugöstermişlerdir. Aynı zamanda bu pencerefonksiyonu yardımıyla tasarlanan filtrenin aynı filtrederecesi ile literatürdeki diğer pencere fonksiyonlarıkullanılarak tasarlanan filtrelere göre geçirme bandıdalgalanmasının azalmasını, durdurma bandızayıflamasının artmasını sağlamışlardır. Avci <strong>ve</strong>Nacaroğlu’nun yapmış oldukları çalışmada,ayarlanabilir pencere fonksiyonuna yeni bir yaklaşımgetirilerek üstel pencere fonksiyonu kullanımınıönermişlerdir [16]. Geliştirilen yeni üstel pencerefonksiyonu, Kaiser penceresi denklemi temel alınaraktüretilmiştir. Bu pencere yardımıyla elde edilensonuçlardan, aynı pencere uzunluğu <strong>ve</strong> analobgenişliği için daha kötü sonuçlar <strong>ve</strong>rirken, bazıuygulamalar için yararlı olacak olan yanlob azalmaoranı bakımından başarılı sonuçlar elde edilmiştir.Avci <strong>ve</strong> Nacaroğlu’ nun yaptıkları uygulamada ise,geliştirilen pencere fonksiyonunun FIR filtre tasarımıiçin kullanmışlardır. Çalışmalarında, yanlob azalmaoranı bakımından başarılı sonuçlar alındığınıgöstermişlerdir [17]. Avci <strong>ve</strong> Nacaroğlu önerdikleriyeni pencere fonksiyonunu, Kaiser penceresineeklenen üçüncü bir parametre ile oluşturmuşlardır.Bu çalışmalarında yazarlar, geliştirdikleri pencerefonksiyonun literatürdeki diğer pencereler(ultraspherical, Saramaki, Kaiser <strong>ve</strong> Dolph-Chebyshev) ile kıyaslamasını yapmışlar <strong>ve</strong> sabitpencere uzunluğu için minimun durdurma bandızayıflamasında başarılı sonuçlar <strong>ve</strong>rdiğiniispatlamışlardır [18]. Avci <strong>ve</strong> Nacaroğlu’nunyaptıkları bir başka çalışmada, Kaiser penceresindentüretilen ancak zaman bölgesi fonksiyonunda güçserisi açılımı içermeyen pencere fonksiyonunugeliştirmişlerdir. Yaptıkları FIR filtre tasarımıuygulamasında ise, yöntemi diğer pencereler ile aynıpencere uzunluğu <strong>ve</strong> normalize edilmiş analobgenişliği için dalgalanma oranı, yanlob azalmaoranları bakımından karşılaştırmışlardır. Elde edilensonuçlardan, Hamming penceresi eklenerekgeliştirilen pencere <strong>ve</strong> Kaiser penceresine eklemişHamming penceresi ile performanskarşılaştırılmasında daha iyi dalgalanma oranısağladığını tespit etmişlerdir. Önerilen yöntemin,genişletilmiş analob genişliği <strong>ve</strong> daraltılmış yanlobazalma oranı bakımından üç parametreliultraspherical pencere fonksiyonundan dalgalanmaoranı bakımından daha iyi sonuç <strong>ve</strong>rdiğinigöstermişlerdir [19,20]. Dalgalanma oranı spektralparametresini geliştirmek için [19,20]’de önerilençalışmalarına ekledikleri yeni parametre ilesağlamışlardır [21]. Eklenen yeni parametreninuygun değer seçilmesiyle daha iyi bir dalgalanmaoranı <strong>ve</strong> kontras oranı bakımından başarılı sonuçlarelde etmişledir.<strong>Pencere</strong> parametre değerlerinin belirlenmesinde sonzamanlarda akıllı hesaplama yöntemlerikullanılmaktadır. Kaya <strong>ve</strong> İnce, pencere katsayıdeğerlerinin hesaplanmasında evrimsel hesaplamayöntemlerinden bir olan Genetik Algoritma (GA)kullanımını önermişlerdir. Bu yöntemle bulunansonuçlar Kaiser penceresi genlik spektrumu ilekarşılaştırılmış <strong>ve</strong> yanlob azalma oranı bakımındandaha başarılı sonuçlar elde etmişlerdir [22, 23]. Kaya<strong>ve</strong> İnce tarafından yapılan başka bir çalışmada ise,[22] çalışması yardımıyla elde edilen sonuçlar FIRfiltre tasarımında kullanılarak yanlob azalma oranıdaha yüksek olan bir filtre genlik spektrumu eldeetmişlerdir [24].Bir boyutlu filtre tasarımı için geliştirilen pencerefonksiyonu yaklaşımı iki boyutlu filtre tasarımında dakullanılmıştır. Bu amaçla literatürde fazlacaçalışmalar yapılmıştır. İki boyutlu pencerefonksiyonu için ilk kabul edilebilecek çalışma Huangtarafından önerilmiştir. Yapılan bu çalışmada daireselsimetrik ilkesine dayalı olan yaklaşımda, iyitasarlanmış bir tek boyutlu pencere fonksiyonu ile iyiözellikler gösterebilecek iki boyutlu bir pencerefonksiyonun tasarlanabileceği gösterilmiştir [25].Speake <strong>ve</strong> Mersereau çalışmalarında, iki boyutlupencere fonksiyonu tasarımı için Kaiser <strong>ve</strong> Huangtarafından önerilen yaklaşımların karşılaştırmalarınıyapmış <strong>ve</strong> pencere tasarımında kullanılacakdenklemlerin çıkarımını gerçekleştirmişlerdir [26].Speake <strong>ve</strong> Mersereau’nın bir başka çalışmalarında[26]’da önerdikleri pencere tasarım denklemlerinidaha iyi hale getirmişlerdir [27]. McClellançalışmasında, iki boyutlu filtre tasarımında birboyutlu pencere fonksiyonuna dönüşüm uygulayarakiki boyutlu pencere fonksiyonu elde etmiş <strong>ve</strong> bunu


294Erciyes Üni<strong>ve</strong>rsitesi <strong>Fen</strong> <strong>Bilimleri</strong> Enstitüsü Dergisi 26 (3): 291-306 (2010)filtre tasarımında kullanmıştır [28]. Yu <strong>ve</strong> Mitrayaptıkları çalışmada, McClellan’nın [28]’da yaptığıtek sayılı uzunluk durumunu çift uzunluklu durumiçin yine aynı McClellan dönüşümünü kullanarakgerçekleştirmişlerdir [29]. Lu <strong>ve</strong> Yeh çalışmalarında,McClellan dönüşümü katsayılarının hesaplanmasında<strong>ve</strong> bir boyutlu prototip filtrenin kesim frekansınıbelirlemede tekrarlı sonlu kare yaklaşımı kullanımınıönermişlerdir [30]. İki boyutlu filtre tasarımı için birbaşka yaklaşım Antoniou <strong>ve</strong> Lu tarafından yapılmış<strong>ve</strong> Huang tarafından önerilen iki boyutlu pencerefonksiyonun ayrık zaman karşılığını geliştirmişlerdir[31]. Ayrıca, tekrarlı <strong>ve</strong> tekrarsız sayısal filtretasarımında çeşitli çalışmalar yapılmıştır [32-34].Shpak çalışmasında, uygun dönüşüm <strong>ve</strong> pencerelemekullanılarak filtre tasarımında en iyi sonuçlar eldeedilememesinden dolayı yeni basit bir dönüşümgeliştirmiştir. İki boyutlu filtre tasarımı için gerekliolan, iki boyutlu filtre ile aynı uzunlukta optimum birboyutlu filtre <strong>ve</strong> buna uygun z-dönüşümü <strong>ve</strong>filtreleme işlemleri gerekmektedir. Bu işlemlerinfazlalığı yerine geliştirilen dönüşüm ile daha hızlıolarak iki boyutlu filtre tasarımını gerçekleştirmiştir[35].Bir boyutlu filtre yaklaşımında olduğu gibi ikiboyutlu filtre tasarımında da akıllı hesaplamateknikleri kullanılmaktadır. Mladenov <strong>ve</strong> Mastorakismakalelerinde, iki boyutlu sayısal filtre tasarımındasinir ağları kullanımını önermişlerdir. Geliştirdikleriyöntem, yönteme eklenen kararlılık kriteri iletasarlanan filtrenin kararlılığını garanti etmekte, sinirağı kullanımıyla hesaplama hızı arttırılmakta <strong>ve</strong> filtreuygulamasını basitleştirmektedir [36]. Mastarakis <strong>ve</strong>diğ. yaptıkları bir diğer çalışmada, [36]’da kiçalışmalarına benzer bir yol izlemiş, akıllı hesaplamatekniği olarak GA kullanmışlardır [37]. Tsai <strong>ve</strong> diğ.yaptıkları makale çalışmasında, hybrid Taguchigeneticalgorithm (HTGA) olarak isimlendirilen yenigenetik algoritma ile iki boyutlu tekrarlı sayısal filtretasarımı problemini çözmeyi önermişlerdir [38]. Buyöntem sayesinde kullanılan GA daha güçlü, hızlıyakınsama <strong>ve</strong> istatistiksel olarak doğru olmasınısağlamışlardır. Tsai <strong>ve</strong> diğ. yaptığı çalışmada, [38]’dekullandıkları yöntemdeki GA’ nın kromozomlarınınseçiminde farklı bir yöntem uygulayarak geliştirilmişgenetik algoritma kullanımını önermişlerdir [39].2. Sayısal FiltrelerSayısal işaret işleme alanlarında istenilenözelliklerdeki çıkış işaretini elde edebilmek içintercih edilen yazılımsal <strong>ve</strong>ya donanımsal yapılarasayısal filtre adı <strong>ve</strong>rilmektedir. Bu alanlardakullanılan sayısal filtreler bir <strong>ve</strong> iki boyutlu sayısalfiltreler şeklinde iki gruba ayrılmaktadırlar.2.1. Bir Boyutlu Sayısal FiltrelerFiltreler, impuls cevaplarına göre FIR <strong>ve</strong> IIR filtrelerşeklinde iki grupta incelenmektedirler. Hem FIR hemde IIR filtrelerin birbirlerine göre avantaj <strong>ve</strong>dezavantajları bulunmaktadır. FIR olaraktasarlanacak bir filtre tekrarlı <strong>ve</strong>ya tekrarsız yapıkullanarak tasarlanabilmektedir. Ancak tekrarlıolarak tasarlanacak FIR filtre daima kararlı <strong>ve</strong> lineerfaz cevabına sahip olacaktır. Bir sayısal filtre genlikcevabı karakteristiği <strong>ve</strong> özellikleri şekil 1’ degösterildiği gibidir [40].Şekil 1. Filtre genlik özellikleri


295Erciyes Üni<strong>ve</strong>rsitesi <strong>Fen</strong> <strong>Bilimleri</strong> Enstitüsü Dergisi 26 (3): 291-306 (2010)Şekilde;• w g = geçirme bandı frekansı• w d = durdurma bandı frekansı• wö = örnekleme frekansı• A g = geçirme bandı dalgalanması• A d = durdurma bandı zayıflamasınıgösterilmektedir.Sayısal filtre tasarımında temel amaç, istenilenözellikleri sağlayacak genlik cevabının yukarıda ifadeedilen şartlar içerisinde olmasını sağlayacak filtretransfer fonksiyonu katsayı değerlerinin hesaplanmasışeklindedir.İstenilen genlik karakteristiğini sağlayacak olanfiltre, tekrarsız olarak gerçekleştirilirken sisteme aitgiriş-çıkış ilişkisini gösteren transfer fonksiyonu,jw∑ ∞ − jΩ( e ) = h(n e(1)n=−∞H )denklemi yardımıyla ifade edilmektedir. Sonuç, eldeedilen filtrenin impuls cevabının − ∞ dan başlayıp∞ ’ a kadar devam ettiğini gösterir. Bu durumda dafiltre fiziksel olarak gerçekleştirilemez. Bir filtreninfiziksel olarak gerçekleştirilebilmesi için bu impulscevabının sınırlı sayıda <strong>ve</strong> sistemin nedensel olmasıgerekmektedir. Denklem 1’de impuls cevabınınsınırlı sayıda olabilmesi için belirli bir gecikmeyleçarpılması gerekmektedir. Böylelikle sonsuzuzunluğa sahip olan sayısal filtre sonlu sayıda birimpuls cevabına sahip olacaktır. N terim için FIRfiltre transfer fonksiyonu denklemi ise, e j Ω= zyazılırsa,tasarlanan iki boyutlu filtre aşağıdaki üç faktörüsağlayacaktır.‣ iki boyutlu sayısal filtre daima kararlı olacak‣ sistem lineer faz cevabına sahip olacak‣ sınırlı impuls cevaplarından dolayı hızlı Fourierdönüşümü yardımıyla gerçekleştirilebileceklerdir[41].Bir boyutlu filtre transfer fonksiyonuna benzer olarakiki boyutlu filtre transfer fonksiyonu,∞ ∞−n1 −n22( 1, 2) 2( 1 1, 2 2)1 2n1=−∞n2=−∞H z z h nT nT z z= ∑∑ (3)şeklindedir. Denklem sonsuz sayıda terim içerdiğiiçin yapının tasarlanması imkânsız olacaktır. Sınırlısayıda eleman değeri alınarak elde edilen nedenselbir filtreye ait geliştirilmiş iki boyutlu filtre transferfonksiyonu,H z z z z H z z'−( N1−1)/2 −( N2−1)/22( 1, 2) =1 2 2( 1, 2)(4)şeklinde ele edilir. Hem bir hem de iki boyutlu filtretasarımında sınırlı sayıdaki eleman değerinin Fourierdönüşümün alınmasıyla elde edilen transferfonksiyonunda istenmeyen Gibbs salınımlarımeydana gelmektedir. Meydana gelen bu salınımlaraait genlik cevabı tek boyutlu filtre için şekil 2’ degösterilmiştir.N∑ − 1−nH ( z)= h[n]z(2)n=0şeklinde elde edilir.2.2. İki Boyutlu Sayısal Filtrelerİki boyutlu sayısal filtre tasarım adımları tek boyutlusayısal filtre tasarımında olduğu gibi, sisteme uygunşekilde yaklaşım, gerçekleştirme, uygulanması <strong>ve</strong>sistemin quantalama hatasının belirlenmesişeklindedir. Bu işlem adımları sayısal bir sisteminhayata geçirilmesinde de izlenen yoldur.İki boyutlu olarak tasarlanan bir filtre tek boyutlufiltre de olduğu gibi tekrarlı <strong>ve</strong>ya tekrarsız olarak ikişekilde gerçekleştirilebilmektedir. Tekrarsız olarakŞekil 2. Farklı uzunluğa sahip filtreler için Gibbssalınımları3. <strong>Pencere</strong> FonksiyonlarıFIR filtre tasarımında Fourier serisinin anlıkkesilmesinden dolayı meydana gelen <strong>ve</strong> arzuedilmeyen bu salınımları ortadan kaldırabilmek içinkullanılan yapılara pencere fonksiyonu adı


296Erciyes Üni<strong>ve</strong>rsitesi <strong>Fen</strong> <strong>Bilimleri</strong> Enstitüsü Dergisi 26 (3): 291-306 (2010)<strong>ve</strong>rilmektedir Genel olarak bir pencere fonksiyonuyardımıyla filtre tasarımı işleminde, filtrenin idealgenlik cevabı ile aynı uzunluğa sahip pencerefonksiyonu çarpılarak tasarlanmak istenen filtrekatsayı değerleri elde edilmektedir. Bir boyutlusayısal filtreler için bu durum denklem 5 ile ifadeedilebilir.hn [ ] = h [ nwn ] [ ] (5)idGibbs salınımlarını giderebilmek için kullanılanpencere fonksiyonlarının genel olarak spektralkarakteristiği şekil 3’de gösterilmiştirkullanılarak iyi tasarlanmış bir pencere fonksiyonudolayısıyla filtreden arzu edilen karakteristik, analob genişliğinin dar olması dalgalanma oranının küçük olması yanlob azalma oranının geniş olması şeklindedir[40].4. Yaygın Olarak Kullanılan <strong>Pencere</strong> <strong>Fonksiyonu</strong>ÇeşitleriLiteratürde hem sayısal filtre tasarımı hem de farklıuygulamalar için farklı pencere fonksiyonuönermeleri yapılmıştır. Geliştirilen pencerefonksiyonları sahip oldukları parametrelere göre sabit<strong>ve</strong> ayarlanabilir pencereler şeklinde iki grubaayrılmaktadırlar. Sabit pencere fonksiyonları sahipoldukları tek bir parametre (pencere uzunluğu) ileyalnızca pencere fonksiyonunun analob genişliğiniayarlayabilmektedir. Ayarlanabilir pencereler isesahip oldukları iki <strong>ve</strong>ya daha fazla parametre ile sabitpencerelerde olduğu gibi pencere uzunluğu ile analobgenişliğini ayarlayabilmekte, diğer parametreleryardımıyla da diğer pencere spektral parametreleriniayarlayabilmektedirlerŞekil 3. <strong>Pencere</strong> fonksiyonu spektral gösterimiŞekilde,Analob genişliği = 2WRR = Maksimum yanlob genliği – analob genliğiS = Maksimum yanlob genliği – minimum yanlobgenliği ile tanımlanmaktadır.<strong>Pencere</strong> fonksiyonu tasarımı için önerilen yöntemlergenel olarak yukarıda belirlenen spektral parametredeğerlerinin daha iyi olmasını sağlamak amacıylageliştirilmişlerdir. Geliştirilen bu fonksiyonlar4. 1. Sabit <strong>Pencere</strong> FonksiyonlarıBu türden pencere fonksiyonları yaygın olarak sinyalişleme uygulamalarında tercih edilmektedir. Yaygınolarak kullanılan bu tür pencereler, Dikdörtgen,Hamming, Hann, Blackman, Bartlett v.s.gösterilebilir. Bu fonksiyonlara ait denklemleraşağıdaki gibidir [40, 5].Dikdörtgen: w[ n]⎧ N − 1⎪1n ≤= ⎨ 2 (6)⎪⎩ 0 diğer yerlerde..Hamming:⎧⎛ 2πn ⎞ N −1⎪0.54+ 0.46cos , n ≤wn [ ] =⎜N 1⎟⎨⎝ − ⎠ 2⎪⎩0diğer yerlerde(7)


297Erciyes Üni<strong>ve</strong>rsitesi <strong>Fen</strong> <strong>Bilimleri</strong> Enstitüsü Dergisi 26 (3): 291-306 (2010)Hann:⎧2πn N −1⎪0.5+ 0.5cos , n ≤wn [ ] = ⎨ N −1 2⎪⎩0diğer yerlerde(8)Blackman:⎧2πn 4πn N − 1⎪0.42+ 0.5cos + 0.08cos , n ≤wn [ ] = ⎨N −1 N −1 2⎪⎩0diğer yerlerde(9)Bartlett:⎧ n N − 1⎪1 − , n ≤wn [ ] = ⎨ N − 1 2⎪⎩0diğer yerlerde(10)Sabit pencere fonksiyonlarının bir tek parametreyesahip olmalarından dolayı diğer pencere spektralparametrelerinayarlanmasındakullanılamamaktadırlar. Bunların yerine daha fazlaparametreye sahip ayarlanabilir pencere fonksiyonlarıgeliştirilmiştir.4. 2. Ayarlanabilir <strong>Pencere</strong> FonksiyonlarıLiteratürde kullanılan <strong>ve</strong> çok fazla tercih edilenayarlanabilir pencere fonksiyonları Dolph-Chebyshev,Kaiser, Saramaki, <strong>ve</strong> Ultraspherical ile sonzamanlarda geliştirilen Üstel, Cosh, modifiye edilmişCosh, modifiye edilmiş Kaiser gösterilebilir.Chebyshev polinomuna dayalı olan Dolph-Chebyshevfonksiyonu [6], pencere uzunluğu <strong>ve</strong> dalgalanma oranışeklinde iki tane bağımsız parametreye sahiptir.( N−1)/21⎡1 ⎛ iπ⎞2niπ⎤ N−1wn [] = ⎢ + 2 ∑ TN−1 x0cos cos , nNr⎜⎥ ≤i=1 N⎟⎣ ⎝ ⎠ N⎦2(11)−Buradar = 10 R /20⎛ 1 −11⎞<strong>ve</strong> x0= cosh ⎜ cosh ⎟⎝ N −1r ⎠ dir. T k(x) fonksiyonuise birinci tür k. dereceden Chebyshev polinomu olup,⎧⎪Tk() x = ⎨⎪⎩−1cos( kcos x) x 1≤≥−1cosh(cosh x) x 1şeklinde gösterilir.Bessel fonksiyonuna dayalı olan Kaiser fonksiyonu[8] ise pencere uzunluğu (N) <strong>ve</strong> ayarlanabilir α kparametrelerine sahiptir.⎧22n⎪⎛ ⎞I0( αk1 − )⎪ ⎜ ⎟N −1 wn [] =⎝ ⎠ N −1⎨n ≤ (12)⎪ I0( αk) 2⎪⎩ 0 diğer yerlerdeBurada α k ayarlanabilir parametre, I 0 (x) sıfır derecelibirinci tür geliştirilmiş Bessel fonksiyonu olup, güçserisi açılımı aşağıdaki gibidir.∞k⎡1⎛ x ⎞ ⎤I0( x) = 1+ ⎢ ⎜ ⎟ ⎥k = 1 ⎢⎣k ⎝2⎠ ⎥⎦∑ (13)Saramaki tarafından önerilen [9] Saramaki pencerefonksiyonuna ait denklemler aşağıda gösterilmiştir.⎧⎪wn ˆ( )/ wˆ(0), n≤( N−1)/2wn [ ] = ⎨⎪ ⎩0diğer yerlerde2(14)


298Erciyes Üni<strong>ve</strong>rsitesi <strong>Fen</strong> <strong>Bilimleri</strong> Enstitüsü Dergisi 26 (3): 291-306 (2010)Burada;0( N −1)/2wn ˆ ( ) = v( n) + 2 ∑ v( n)(15)k = 1k⎧1 n = 0v0( n)= ⎨ (16)⎩ 0 diğer yerlerde⎧γ− 1 n = 0⎪v1( n) = ⎨γ/2 n = 1⎪⎩0diğer yerlerde(17)⎧⎪2( γ −1) vk− 1() n − vk−2() n + γ[ vk− 1( n−1) −vk−2( n−1)]n ≤kvk() n = ⎨⎪ ⎩0diğer yerlerde(18)şeklindedir. K. Avci <strong>ve</strong> A. Nacaroğlu tarafından [16-21] Kaiser penceresi denklemleri kullanılarakoluşturulan dört tip pencere fonksiyonu ise Üstel,Cosh, modifiye edilmiş Cosh <strong>ve</strong> modifiye edilmişKaiser pencereleridir.⎧22n⎪⎛ ⎞exp( αe1 − ⎜ ⎟ )⎝ N ⎠⎪ −1 wn [ ] =N −1⎨n ≤⎪ exp( αe) 2⎪⎩ 0diğer yerlerdeÜstel pencere fonksiyonu Kaiser pencerefonksiyonunda sıfır dereceli birinci tür geliştirilmişBessel fonksiyonun (I 0 (x)) yerine üstel fonksiyonuyazılarak elde edilmiştir.(19)Geliştirilen bir diğer pencere fonksiyonu ise coshpenceresi olup, üstel pencere fonksiyonuna benzerşekilde I 0 (x) fonksiyonu yerine benzer karakteristik⎧22n⎪⎛ ⎞cosh( αc1 − ⎜ )N ⎟⎝ ⎠⎪ −1 wn [ ] =N −1⎨n ≤⎪ cosh( αc) 2⎪⎩ 0diğer yerlerdeözellik gösteren cosh fonksiyonu yazılarak eldeedilmiştir.(20)Cosh pencere fonksiyonuna yeni bir parametre (ρ mc )eklenerek elde edilen <strong>ve</strong> üç parametreli olan bu yenipencere fonksiyonu ise modifiye edilmiş coshpencere fonksiyonudur.


299Erciyes Üni<strong>ve</strong>rsitesi <strong>Fen</strong> <strong>Bilimleri</strong> Enstitüsü Dergisi 26 (3): 291-306 (2010)ρ mc⎧ ⎛22n⎞⎪⎜⎛ ⎞cosh( αmc1 − ) ⎟⎪⎜ ⎟⎜ ⎝ N − 1 ⎠ ⎟ N − 1n ≤wn [ ] =⎪⎜cosh( αmc)⎟⎨ ⎜ ⎟2⎪ ⎜⎟⎪⎝⎠⎪⎩ 0diğer yerlerde(21)Modifiye edilmiş Kaiser penceresi ise, Kaiserpencere fonksiyonu denklemine yeni bir parametre⎧ ⎛2⎪⎜⎛ 2n⎞I0( αmk1 − )⎪⎜ ⎟⎝ N − ⎠wn⎪⎜I0αmk⎪ ⎜mk⎞⎟⎜ 1 ⎟ N −1n[ ] ( )⎟ ≤=⎨ ⎜ ⎟2⎟⎪⎝⎠⎪⎩ 0diğer yerlerde(ρ mk ) eklenerek elde edilmiştir. Bu pencerefonksiyonuna ait denklem aşağıda <strong>ve</strong>rilmiştir.ρ(22)Ultraspherical polinomuna dayalı olan <strong>ve</strong> üç bağımsızparametreye sahip olan (µ, x µ <strong>ve</strong> N) Ultrasphericalpencere fonksiyonu için en genel tanım denklemiaşağıdaki gibidir [11-15].1nA ⎛μ+ p−n− ⎞ ⎛μ+ n−1⎞⎛p−n⎞mwnT [ ] = ⎜ ⎟ ∑ ⎜ ⎟⎜ ⎟B n= 0,1,...., N−1p p−n−1n−m m(23)− n⎝ ⎠m=0⎝ ⎠⎝ ⎠Burada,p⎧⎪μxμμ≠0 içinA= ⎨B= − x p= N−p⎪⎩ xμμ = 0 için−2, 1μ, 1(24)5. <strong>Pencere</strong> Fonksiyonlarının PerformansKarşılaştırmalarıBu bölümde, pencere spektral parametrelerinayarlanmasında fazlaca tercih edilen <strong>ve</strong> sabit pencerefonksiyonu yerine iki <strong>ve</strong>ya daha fazla ayarlanabilirparametre özelliğine sahip ayarlanabilir pencerefonksiyonlarının performans karşılaştırmalarıyapılmıştır. Karşılaştırma sonuçları, bölüm 3’ teaçıklandığı gibi iyi bir pencere tasarımı için gerekliolan analob genişliği, dalgalanma oranı <strong>ve</strong> yanlobazalma oranı gibi spektral parametreler bakımındanyapılmaktadır.Dolph-Chebyshev penceresi literatürdeki diğerpencerelere göre minimum analob genişliği sağlayanbir özellik göstermektedir.Kaiser penceresi ise sahip olduğu iki bağımsızparametre sayesinde analob içerisinde maksimumenerji toplama özelliğini sağlayan bir karakteristikgöstermektedir. Ayrıca Dolph-Chebyshev penceresiile karşılaştırıldığında FIR filtre tasarımında daha iyisonuçlar sağladığı [8]’de sunulmaktadır.Saramaki tarafından önerilen yeni pencerefonksiyonunda ise, Kaiser penceresi tarafındansağlanan pencere spektral özelliklerinden durdurma


300Erciyes Üni<strong>ve</strong>rsitesi <strong>Fen</strong> <strong>Bilimleri</strong> Enstitüsü Dergisi 26 (3): 291-306 (2010)bandı azalması bakımından daha iyi bir sonuçsağladığı [9]’ da gösterilmiştir.Geliştirilen bu pencere fonksiyonların spektralözelliklerinden daha iyi sonuçlar elde edebilmek içinyakın zamanlarda yeni pencere fonksiyonlarıliteratüre sunulmuştur. Bunlardan ultrasphericalpenceresi, sahip olduğu üç değişken ile daha iyi birpencere spektral davranışı göstermektedir.Ultraspherical penceresinin diğer ayarlanabilirpencere fonksiyonlarına göre performans sonuçlarışekil 4’te gösterilmiştir [15].Şekil 4. N=127 <strong>ve</strong> W c =0.4π rad/s ile farklı pencereler kullanılarak tasarlanmış filtreler içi D’ ye göredurdurma bandı azalmasıŞekilden de görüldüğü gibi ultraspherical penceresidurdurma bandı azalmasında Kaiser penceresine göre2.48 dB, Dolph-Chebyshev penceresine göre 4.29 dB<strong>ve</strong> Saramaki penceresine göre ise 2.21 dB’likortalama bir artış göstermektedir. Gussian penceresiise değer ayarlanabilir pencerelere göre şekilden degörüldüğü gibi çok zayıf bir sonuç <strong>ve</strong>rmektedir.Alçak geçiren filtre tasarım uygulamasında iseKaiser, Dolph-Chebyshev <strong>ve</strong> ultrasphericalpencereleri ile karşılaştırma yapılmıştır. Buradaayarlanabilir parametreler sırasıyla α=7.857, β=2.803,β=2.574 <strong>ve</strong> ultraspherical penceresi için ila<strong>ve</strong>parametre µ=0.6173 alınmıştır [15]. Elde edilensonuçlar şekil 5’te gösterilmiştir.


301Erciyes Üni<strong>ve</strong>rsitesi <strong>Fen</strong> <strong>Bilimleri</strong> Enstitüsü Dergisi 26 (3): 291-306 (2010)abcŞekil 5. Farklı pencereler kullanılarak tasarlanan alçak geçiren filtre genlik cevaplarıa, Kaiser penceresib, Dolph-Chebyshev penceresic, Ultraspherical penceresiİstenilen özellikleri sağlayacak filtre uzunluğu isesırasıyla Kaiser penceresi için N=159, Dolph-Chebyshev penceresi için N=165 <strong>ve</strong> ultrasphericalpenceresi için ise N=153 olarak bulunmuştur.Buradan da ultraspherical penceresi kullanılaraktasarlanan filtrede daha düşük filtre uzunluğu eldeedildiği sonucuna ulaşılmıştır.Kaiser penceresi denklemine dayalı olarak türetilenüstel pencere fonksiyonun Kaiser penceresi ileperformansı karşılaştırıldığında daha iyi yanlobazalma oranı sağladığı şekil 6’da gösterilmiştir [16].


302Erciyes Üni<strong>ve</strong>rsitesi <strong>Fen</strong> <strong>Bilimleri</strong> Enstitüsü Dergisi 26 (3): 291-306 (2010)Şekil 6. N=51 için Kaiser <strong>ve</strong> Üstel pencerenin yanlob azalma oranı karşılaştırmasıÜstel pencerenin aynı pencere uzunluğu, analobgenişliği <strong>ve</strong> yanlob azalma oranı bakımından daha iyisonuçlar <strong>ve</strong>rdiği ultraspherical penceresi ileperformans karşılaştırma sonuçları şekil 7’de<strong>ve</strong>rilmiştir.Şekil 7. N=51 için darlaştırılmış analob genişliği <strong>ve</strong> genişletilmiş yanlob azalma oranı karşılaştırma sonucuÜstel pencere fonksiyonunda I 0 yerine cosh yazılarakelde edilen cosh pencere fonksiyonunun Kaiserpenceresi ile bazı uygulamalar için önemli olanyanlob azalma oranı bakımından daha iyi sonuç<strong>ve</strong>rdiği performans karşılaştırması sonucu şekil 8’degösterilmiştir.


303Erciyes Üni<strong>ve</strong>rsitesi <strong>Fen</strong> <strong>Bilimleri</strong> Enstitüsü Dergisi 26 (3): 291-306 (2010)Şekil 8. N=101 için cosh <strong>ve</strong> Kaiser penceresi yanlob azalma oranı performans karşılaştırmasıİla<strong>ve</strong> parametre eklenerek elde edilen modifiyeedilmiş cosh penceresinin Kaiser <strong>ve</strong> cosh pencereleriile performans karşılaştırmasında her iki penceredende daha iyi dalgalanma oranı <strong>ve</strong>rdiği şekil 9’dagösterilmiştir [21].Şekil 9. R=-60dB, w R =0.158 rad/s için modifiye edilmiş cosh, Kaiser <strong>ve</strong> cosh pencerelerin spektrum karşılaştırmalarıKaiser penceresine parametre eklenerek elde edilenmodifiye edilmiş Kaiser penceresi <strong>ve</strong> literatürdekullanılan diğer pencere fonksiyonlarının performanskarşılaştırmaları şekil 10’da gösterilmiştir [18].


304Erciyes Üni<strong>ve</strong>rsitesi <strong>Fen</strong> <strong>Bilimleri</strong> Enstitüsü Dergisi 26 (3): 291-306 (2010)Şekil 10. N=101 <strong>ve</strong> w c =0.5π için modifiye edilmiş Kaiser, ultraspherical,Saramaki, Kaiser <strong>ve</strong> Dolph-Chebyshev pencereleri performanskarşılaştırmasıŞekil 10’da modifiye edilmiş Kaiser penceresinin, enyüksek minimum durdurma bandı azalması sağladığıgösterilmiştir.6. SONUÇSayısal uygulamalarda kullanılan FIR sayısalfiltrelerin tasarımında, arzu edilmeyen salınımlarıortadan kaldırabilmek için pencere fonksiyonlarıkullanılmaktadır. Kullanılan bu pencereler sahipoldukları parametre değerlerine göre sabit <strong>ve</strong>ayarlanabilir parametreli şeklinde gruplandırılmış <strong>ve</strong>son yıllardaki çalışmalarda daha uygun penceretasarımı için ayarlanabilir pencere fonksiyonlarıtercih edilmektedir. Akıllı hesaplama tekniklerininproblem çözme başarılarından dolayı günümüzdefazlaca tercih edilmektedirler.Yapılan çalışma ile literatürde kullanılan penceretasarım yöntemleri <strong>ve</strong> uygulama alanları araştırılarakyapılan çalışmalar sunulmuştur. Çalışma sayesinde,bu alanda yapılacak herhangi bir çalışma için neleryapıldığı gösterilmiş, günümüz <strong>ve</strong> gelecek çalışmaalanları hakkında araştırmacılara bilgiler <strong>ve</strong>rilmiştir.7. KAYNAKLAR1. J.W. Gibbs, Fourier series, s. 200-606 (1899).2. L. Fejer, Sur les fonctions bornees et integrables,Comptes Rendus Hebdomadaries, Seances del'Academie de Sciences, Paris, 131 984-987(1900).3. C. Lanczos, Applied Analysis. Van Nostrand,Princeton, NJ. (1956).4. J.W. Adams, A new optimal window. IEEETransactions on Signal Processing. 39 (8) (1991)1753-1769.5. S.J. Mitra, Digital Signal Processsig AComputer-Based Approach, s-972, McGraw-HillInternational Edition, (2006), Singapore.6. C.L. Dolph, A current distribution for broadsidearrays which optimizes the relationship betweenbeamwidth and side-lobe le<strong>ve</strong>l, Proc. IRE, 34335- 348 (1946) June.7. F.J. Harris, On the use of windows for harmonicanalysis with the discrete Fourier transform.Proc. IEEE. 66 51-83 (1978).8. J.F. Kaiser, Nonrecursi<strong>ve</strong> digital filter designusing I0-sinh window function. Proc. IEEE Int.Symp. Circuits and Systems (ISCAS’74), SanFrancisco, Calif., USA, 20-23 (1974) April9. T. Saramaki, A class of window functions withnearly minimum sidelobe energy for designingFIR filters. Proc. IEEE Int. Symp. Circuits andsystems (ISCAS’89), Portland, Ore, USA, 359-362 (1989) May, 1.10. Nuttall, A. H., Some Windows with Very GoodSidelobe Behavior, IEEE Transactions on


305Erciyes Üni<strong>ve</strong>rsitesi <strong>Fen</strong> <strong>Bilimleri</strong> Enstitüsü Dergisi 26 (3): 291-306 (2010)Acoustics, Speech, and Signal Processing, 29 (1)84-91 (1981).11. A.G. Deczky, Unispherical Windows, IEEE Int.Symp. on Circuits and Systems. Sydney,Australia, May, 2 85-88 (2001).12. S.W.A. Bergen, A. Antoniou, Generation ofUltraspherical window functions, in XIEuropean Signal Processing Conference,Toulouse, France, September, 2 607-610 (2002).13. Bergen, S.W.A., Antoniou, A., Design ofUltraspherical Window Functions withPrescribed Spectral Characteristics, EURASIPJournal on Applied Signal Processing, 13 2053-2065 (2004).14. S.W.A. Bergen, A. Antoniou, Nonrecursi<strong>ve</strong>Digital Filter Design Using the UltrasphericalWindow, IEEE Pacific Rim Conference OnCommunications, Computers, And SignalProcessing, 260-263 (2003), August 28-30.15. Bergen, S.W.A. and Antoniou, A., Design ofNonrecursi<strong>ve</strong> Digital Filters Using theUltraspherical Window Function, EURASIPJournal on Applied Signal Processing, 12 1910-1922 (2005).16. K. Avci, A. Nacaroğlu., A new window based onexponential function, IEEE Ph.D. Research inMicroelectronics and Electronics (PRIME 2008).June. Istanbul, Turkey, 69-72 (2008).17. K. Avci, A. Nacaroğlu., Kaiser YaklaşımıKullanılarak Oluşturulan Üstel <strong>Pencere</strong>yleYinelemesiz Sayısal Süzgeç Tasarımı, ÇukurovaÜni<strong>ve</strong>rsitesi Mühendislik –Mimarlık Fakültesi30. Yıl Sempozyumu, Adana, 274-279 (2008)16-17-Ekim.18. K. Avci, A. Nacaroğlu., High Quality Low OrderNonrecursi<strong>ve</strong> Digital Filter Design UsingModified Kaiser Window, Proc. of 6 thSymposium on Communication Systems,Networks and Digital Signal processing(CSNDSP’08). July. Graz, Austria, 239-242(2008).19. K. Avci, A. Nacaroğlu., Cosine hyperbolicwindow family with its application to FIR filterdesign. Proc. of Third International Conferenceon Information and CommunicationTechnologies (ICTTA’08). April. Damascus,Syria, 289-290 (2008).20. Avci, K. and Nacaroğlu, A., Cosh windowfamily and its application to FIR filter design,International Journal of Electronics andCommunications-AEU, 63 906-917 (2009).21. K. Avci, A. Nacaroğlu, Modification of Coshwindow family. Proc. of Third InternationalConference on Information and CommunicationTechnologies (ICTTA’08), Damascus, Syria,291-292 (2008), April.22. T. Kaya, M.C. İnce, The Calculation ofAdjustable Window Parameters With HelpingGA, Applied Automatic Systems (AAS’2009),Ohrid, Republic of Macedonia, 135-138 (2009)September 26-29.23. T. Kaya, M.C. İnce, Yüksek Performanslı<strong>Pencere</strong> Fonksiyonlarının Genetik AlgoritmaYardımıyla Gerçekleştirilmesi, 3. HaberleşmeTeknolojileri <strong>ve</strong> <strong>Uygulama</strong>ları Sempozyumu,(HABTEKUS’09) 235-238 (2009) 9-11 Aralık.24. T. Kaya, M.C. İnce, The FIR Filter Design ByUsing Window Parameters Calculated With GA,Soft Computing, Computing with Words andPerceptions in System Analysis, Decision andControl- (ICSCCW 2009), 1-4 (2009) September2-4.25. T.S. Huang,Two-Dimensional Windows, IEEETransactions on Audio and Electroacoustics, 88-89 (1972) March.26. T. C. Speak, R.M. Mersereau, A Comparison ofDifferent Window Formulations for Two-Dimensional FIR Filter Design, in IEEEAcoust., Speech, Signal Processing Conf. Rec.,5-8 (1979) April.27. T. C. Speak, R.M. Mersereau, A Note on the Useof Windows for Two-Dimensional FIR FilterDesign, IEEE Trans. Acoust., Speech, SignalProcessing, ASSSP-29, 125-128 (1981), August.28. J. H. McClellan, The design of two dimensionaldigital filters by transformation, in Proc. 7thAnnu. Princeton Conf. Inform. Sci. Syst., 247-251 (1973).29. Yu, T.H., Mitra, S. K., A New Two-Dimensional Window, IEEE Transaction onAcoustics, Speech, and Signal Processing., 33(4) 1058- 1061 (1985).30. Lu, H. C., Yeh, K.H., Optimal design of 2-D FIRdigital filters by scaling-free McClellantransformation using least-squares estimation,Signal Processing, 58 (1997) 303-308.31. Antoniou, A., Lu, W.S., Design of 2-Dnonrecursi<strong>ve</strong> filters using of the window method,IEE Proceedings, 137 (4) 247- 250 (1990).32. Bernabo, F., Emiliani, P.L., Design of 2-dimensional recursi<strong>ve</strong> digital filters, ElectronicsLetters, 12 (11) 288-289 (1976) May-27.33. Hu, J. V., Rabiner, L. R., Design Techniques forTwo Dimensional Digital Filters, IEEETransaction on Audio and Electroacoustis, 20 (4)249- 257 (1972).34. Charalmbous, C. Design of 2-dimensionalcircularly-symmetric digital filters, IEEProceedings, 129 (2) 47-54 (1982).


306Erciyes Üni<strong>ve</strong>rsitesi <strong>Fen</strong> <strong>Bilimleri</strong> Enstitüsü Dergisi 26 (3): 291-306 (2010)35. D. J. Shpak, A Transformation Method for theDesign of Two-Dimensional Circularly-Symmetric FIR Digital Filters, IEEEInternational Symposium on Circuits andSystem, 2475-2478 (1991).36. Mladenov, V. M., Mastorakis, N. E., Design ofTwo-Dimensional Recursi<strong>ve</strong> Filters by UsingNeural Networks, IEEE Transactions on NeuralNetworks, 12 (3) 585-560 (2001).37. Mastorakis, N. E., Gonos, L. F., Swamy,M.N.S., Design of Two-Dimensional Recursi<strong>ve</strong>Filters Using Genetic Algorithm, IEEETransactions on Circuit and Systems-I:Fundamental Theory and Applications, 50 (5)34-639 (2003).38. J.T. Tsai, J.H. Chou, T.K. Liu, C.H. Chen,Design of Two-Dimensional Recursi<strong>ve</strong> Filtersby Using a Na<strong>ve</strong>l Genetic Algorithm, IEEEInternational Symposium on Circuits andSystems (ISCAS-2005), 2603-2606 (2005).39. Tsai, J.T. Ho, W. H., Chou, J.H., Design of twodimensionalIIR digital structure-specifiedfilters by using an impro<strong>ve</strong>d genetic algorithm,Expert Systems with Applications, 36 6928-6934 (2009).40. K. Avci, Design of High-Quality Low orderNonrecursi<strong>ve</strong> Digital Filters Using the WindowFunctions, PH. D. Thesis in Uni<strong>ve</strong>rsity ofGaziantep, (2008) Gaziantep.41. W. S. Lu, A. Antoniou, Two-DimensionalDigital Filters, s.397, Marcel Dekker Inc. (1992)New York.

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!