Projem

• AYLIK MATEMATİK DERGİSİ
• SAYI:4
• ÜCRET:KAPİTALİST SİSTEMİN ETKİN
OLDUĞU DÜNYADA BU DÜZENE KARŞI
ÇIKANLAR OLARAK TÜM MATEMATİK
SEVERLERE HEDİYEMİZDİR!

Sevgili okurlarımız,
Önceki sayılarımıza göstermiş olduğunuz yoğun ilgi bizleri
hemen diğer sayılarımızı da vakit kaybetmeden
hazırlamaya itti.
Koşullar el verdiği sürece yayınlarımızı sizlerin hizmetine
sunacağız.
Ciddi bir emek ve titiz bir çalışma sonucunda hazırlanan
bu kitabın siz değerli okurlarımıza faydalı olması
dileğiyle…
Hipo10üs dergisi adına
Zeynep CESUR
(11-D 5070 ☺ )

BAŞÖĞRETMENİMİZ,ÜLKEMİZ
ADINA HER ŞEY İÇİN,MATEMATİK
ADINA İLK TÜRKÇE TERİMLER
KULLANILARAK YAZILAN GEOMETRİ
KİTABINI BİZE KAZANDIRDIĞIN
İÇİN TEŞEKKÜR EDERİZ.SANA ÇOK
ŞEY BORÇLUYUZ.
1881-∞

5Trigonometri Nedir?
6Trigonometinin Tarihi
7Birim Çember Üzerindeki Tanımı
9Trigonometrik İşlevler
10Bölgelere Göre İşaretler
11İşlevler Arasındaki İlişkiler
12Dik Üçgende Bazı Trigonometrik Oranlar
13Trigonometrinin Kullanım Alanları
14Logaritmaya Giriş
16Logaritmanın Tarihi
18Logaritmanın Tarihsel Gelişimi
20TÜRK İslam Tarihinde Logaritma
21Batı Dünyasında Logaritma
24Logaritmik Özellikler
25Taban Değiştirme
26Özel Tabanlar
27Negatif Logaritma
29İmajiner Logaritma
30Logaritmanın Kullanım Alanları

• Trigonometri (Yunanca trigōnon "üçgen"
+ metron
ölçmek), üçgenlerin açıları ile kenarları arasınd
aki bağıntıları konu edinen matematik dalı.
Trigonometri, sinüs ve kosinüs gibi
trigonometrik işlevlerin (fonksiyon) üzerine
kurulmuştur ve günümüzde fizik ve
mühendislik alanlarında sıkça
kullanılmaktadır.

• Matematiğin doğrudan doğruya astronomiden çıkmış bir kolu olan
trigonometrinin bazı ögeleri, daha Babilliler ve Eski Mısırlılar döneminde
biliniyor, Sümerli astronomlar ilk kez bir çemberi 360 eşit parçaya bölerek
açı ölçümünü yaptılar. Eski Yunanlar Menelaos’un küresel geometrisi
aracılığıyla, bir daire içine çizilebilen dörtgenden yola çıkarak daire
yaylarının kirişlerinin değerlerini veren çizgiler oluşturuyorlardı. Daha
sonra Araplar, yay kirişlerinin yerine sinüsleri koyup; tanjant, kotanjant,
sekant, kosekant kavramlarını geliştirdiler.
• Batıda Nasîrüddin Tûsî’den büyük ölçüde yararlanan Regiomontanus’un
üçgen üstüne adlı eseriyle gerçek trigonometri doğmuş oldu. François Viète
ve Simon Stevin, hesaplarda ondalık sayılardan yararlandılar. John Napier
logaritmayı işe kattı. Isaac Newton ve öğrencileri trigonometri işlevlerinin
ve logaritmalarının hesabına tam serileri uyguladılar. Daha sonra da
Leonhard Euler, birim olarak trigonometrik cetvelin yarıçapını alarak,
modern trigonometrinin temellerini attı.

• Yukarıda dik üçgen üzerinden yapılan tanım
sadece 0-90 derece aralğını kapsar (0-π/2 radyan).
• 90-360 derece arasındaki açıların trigonometrik
değerleri birim çember üzerinden hesaplanır. 360
dereceden büyük açılar 360 üzerinden
devrettirilerek 0-360 arasındaki esas ölçüsü
bulunur.
• Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan
çembere birim çember veyatrigonometrik
çember denir. Birim çemberin denklemi x 2 +y 2 =1
şeklindedir.

Bunlara ek olarak
tanjant ve kotanjant
1.ve 3.bölgede
pozitif,2.ve 4.bölgede
negatif değerlerini
alır.

0 30 45 60 90= π 2
180= π 270= 3 2 π
Sin 0 1
2
Cos 1 √3
2
√2
2
√2
2
√3
2
1
2
1 0 -1
0 -1 0
Tan 0 √3 1 √3 tanımsız 0 tanımsız
3
Cot tanımsız √3 1 √3
3
0 tanımsız 0

Trigonometri birçok fen biliminde, matematiğin diğer alanlarında ve
çeşitli sanatlarda yaygın bir biçimde kullanılmaktadır. Trigonometriyi
kullanan bazı dallar şunlardır:
jeofizik, kristalografi, ekonomi (özellikle de finansal pazarların
analizinde), elektrik mühendisliği, inşaat mühendisliği, elektronik,
jeodezi, makine mühendisliği, meteoroloji, müzik kuramı, sayı kuramı
(ve dolayısıyla kriptografi), oşinografi (okyanus bilimi), farmakoloji
(eczacılık), optik, fonetik, olasılık kuramı, psikoloji, sismoloji...
Trigonometri yukarıda örneklendiği gibi birçok farklı alana farklı
katkılarda bulunmuştur. Örneğin Pisagor kuramının isim babası Pisagor
matematiksel müzik kuramına ilk katkıda bulunan isimlerdendir.
Oşinografide bazı dalgaların sinüs dalgalarına benzerliği ilgili
incelemelerde trigonometrinin kullanımına olanak tanımıştır. Bunun
dışında Fourier serileri sayesinde trigonometrik işlevler farklı
fonksiyonları temsil etmekte kullanılırlar ve bu sayede trigonometri
birçok yararlanılan dallarda kullanım olanağı bulmuştur.

14-30
Logaritma, üstel işlevlerin tersinin hesaplanmasına duyulan ihtiyaç
sonucu ortaya çıkmıştır. Örneğin 2'nin küpü 8'dir. Burada 3'ü ifade
etmek için logaritmaya ihtiyaç vardır. log 2 8 = 3.
Logaritmanın bugünkü yazım şekli 18. yüzyıla dayanır. Leonhard
Euler logaritmanın üstel işlevlerle olan ilişkisini keşfetmiş ve
bugünkü yazımı oluşturmuştur.
Logaritma, üstel işlevlerin tersi olan bir matematiksel işlevdir.
Örneğin 1000'in 10 tabanına göre logaritması 3'tür çünkü 1000,
10'un 3. kuvvetidir,1000 = 10 × 10 × 10 = 10 3 .
Daha genel bir ifadeyle:

Tabanın 10 olması durumunda işlev, onluk logaritma ya da genel
logaritma olarak adlandırılır. Onluk logaritmanın fen ve mühendislikte
pek çok kullanım alanı vardır. Taban e sayısı olursa buna doğal
logaritma denir. Doğal logaritma, soyut matematikte çok sık kullanılır.
Bir diğer logaritma şekli de ikilik logaritmadır, bilgisayar biliminde
önemli bir yere sahiptir.
Logaritma 17. yüzyılın başında John Napier tarafından hesaplamaları
kolaylaştırmak için oluşturuldu. Denizciler, bilim insanları,
mühendisler ve daha hızlı hesap yapmak isteyen kişiler tarafından
hızlıca benimsenen logaritma, hesap cetvelleri ve logaritma tabloları
aracılığıyla kullanılabiliyordu. Uzun zaman alan çok basamaklı çarpma
işlemleri logaritmanın şu özelliği sayesinde oldukça kolaylaştı:

x y
2
Logaritmayı ilk defa kullanan bilgin olarak Edinbourg yakınlarda doğmuş olan John
Napier (1550-1617) gösterilmektedir. Gerçekten bu konuda ilk eser onun
tarafından 1614 de “Minifici Logaritmorum Canonis Descripto” adı ile
yayınlanmıştı.
log 2 4
e −iωt
Bir logaritma cetvelinin hazırlanmasında taban olarak 1 den büyük her hangi bir
sayı seçilebilir. Napier, cetvelini (e) tabanına göre hazırlanmıştı. Fakat ancak
cetveli tamamlandıktan sonra, taban olarak 10 sayısını almanın pratik maksatlara
daha uygun geleceğini anladı. Yeniden bir cetvel hazırlanmayı düşündü ise de
bizzat yapamadı, ancak arkadaşı Henri Briggs’ e ısrarla tavsiyede bulundu.
Matematik Profesörü Henri Briggs bu tavsiyeye uyarak, 10 tabanına göre bir
logaritma cetveli hazırlamaya koyuldu. 1624’te yayınlanan cetvel dört ondalıklı
olup 1 den 20000’e ve 90000 den 100000’e kadarsayıların logaritmalarını ihtiva
etmekte idi.

lim
n→∞
1 + 1 n
n
Hollanda matematikçilerinden Adrien Vlacq onun eksik bıraktığı 20000 den
90000’e kadar olan kısmı tamamladı ve 1826 de hazırladığı cetveli Briggs’ in
adı altında yayımlandı. Bu yeni cetvel on ondalıklı olup 1 dn 100000 kadar ve
0o den 90o kadar açıların 1’ için sinüs, tanjant ve sekant ’ ın logaritmalarını
ihtiva ediyordu. Daha sonra her bir 10” için sinüs ve tanjantın logaritmalarına
ait ayrı bir cetvel yayınlandı.
Valcq’ ın cetveli çok zaman lüzumundan fazla geniştir. Onun için çeşitli
amaçlara göre, bu büyük cetvelden daha az ondalıklı, mesela beş, yedi
ondalıklı cetveller düzenlenmiştir.
Logaritmanın bulucusu olarak İsviçreli ve Keplerin iş arkadaşı dahi otodidak
Jost Burgi’ yi de burada zikretmeden geçemeyeceğiz. Burgi 1610 dan önce
logaritmayı hesaplamış ve onu gizli olarak kullanmıştı. Eserini 1620 de “
aritmetik ve geometrik diziler” adı ile yayınlanmasına rağmen, bir talihsizlik
olarak uzun yıllar kimsenin dikkatini çekmemiştir.
Ancak birinci dünya harbinden biraz önce İngltere’ de yapılan logaritmanın
300.yıldönümünde, Burgi’ nin bu konudaki şeref hakkı tanıtıldı ve kabul edildi.

1
1
1
Üslü olarak verilen bazı ifadelerin gerçek değerlerini, doğrudan doğruya
bulmak,matematik yönünden yapılması zor bir işlemdir. Kaynaklar, bu tür birtakım
hesaplamaları,kolaylıkla yapılmasını sağlayan, logaritmayı ilk kullananı, John Napier
(1550 - 1617) olduğunu göstermekte. John Napier tarafından, bu konuda "Minifici
Logaritmorum Canonis Descripto" ( bir logaritma cetveli tanımı ve iki ayrı
trigonometri ile bütün matematik hesaplarında kolay ve çabuk kullanılmasına genel
açıklaması) adlı, zamanın bilim dili olan Latince olarak kaleme alınmış eser, ilk kez
1614 yılında Edinburg şehrinde yayınlandı. Böylece logaritma adını da John Napier
koymuştur. Bir logaritma çizelgesinin hazırlanmasında, taban olarak 1 den büyük
sayı seçilebilir.Napier, çizelgesini (e) tabanına göre hazırlamıştır. Fakat çizelgeyi
tamamladıktan sonra,(e) sayısını almakla, zor bir sistem ortaya koyduğunu,
uygulaması sırasında farkına vardı.Daha sonraki yıllarda, 10 tabanlı, yeni bir
logaritma sisteminin hesaplama işlerinde büyük kolaylıklar sağlayabileceğini
düşündü. Fakat, bu yeni sisteme ait, düşündüğü temel ilkeleri, bizzat ortaya
koyamadan öldü. Ömrünün son günlerinde, arkadaşı olan, İngiliz matematikçi ve
astronom Henri Briggs' ten (1551 - 1630) düşüncelerinin tamamlanmasını
istedi.

Henri Biggs, bu isteğe uyarak, 10 tabanına göre, bir logaritma cetveli
hazırlayarak, 1617 yılında yayımlamıştır. Bu eser, 1'den 1000'e kadar olan sayıların
14 ondalıklı logaritmalarını gösterir. Henri Briggs, ilk logaritma cetvellerinin
yayımından 7 yıl sonra, yani 1624 yılında; önceleri, 1'den 20.000'e daha sonra da,
90.000'den 100.000'e kadar olan sayıların 14 ondalıklı logaritmalarını kapsayan
Logaritmik Aritmetik adlı bir eser daha yayımladı.
Daha sonra, Hollandalı matematikçi Adrien Vlacq, Henry Briggs'ten eksik kalan,
20.000'den 90.000'a kadar olan sayıların logaritmik değerlerini hesap etti ve
cetvellerini 1626 yılında, Briggs' in adı altında, Goude' de yayımladı. Bu yeni
çizelgeler, 10 ondalıklı olup, 1'den 1.000.000'a kadar sayılan , ve 0 dereceden 90
dereceye kadar olan açıların, 1'er açı dakika-sı aralıklı olarak, için sinüs, tanjant
ve sekantın logaritma değerlerini kapsıyordu. Ayrıca, her biri 10" için, sinüs ve
tanjantın logaritmalarına ilişkin bir çizelge yayımlandı. Logaritma cetvelleri
üzerine eser hazırlayanlar, Adrien Vlacq' ın bu eserini temel kabul ederler.
1 + x n = 1 + nx
1!
+
n n − 1 x2
2!
+ ⋯

Hesap makineleri istenen logaritma
değerini hesaplamak için şu formülü
kullanır:

Ülkemizde yazılan, matematik tarihi ile ilgili bazı kaynaklarda, Osmanlı Türkiye’ sinde,
Logaritma ile ilgili ilk eserin, Osmanlı Türkiye ‘sinin son matematikçilerinden İsmail
Efendi (1730 - 1791) tarafından 1772 yılında yazıldığı belirtilir. Konu ile ilgili ayrıntılı
bilgi veren Cevdet Paşa Tarihi'ndeki, bilgilerin yanlış değerlendirilmesi sonucu da,
memleketimizde yayınlanan bazı eserlerde: İsmail Efendi logaritmayı icat etti
şeklinde bilgiler verilir.Logaritma ile ilgili ilk eserin, İskoçyalı John Napier (1550 -
1610) tarafından yayımlandığı bilinen tarihi bir gerçektir. Bu durumda, logaritma ile
ilgili bilgiler, İsmail Efendi' denortalama 80 yıl kadar önce Avrupa matematik
dünyasında bilinmekte idi. Konuya biraz daha açıklık getirmek için; tarihi gelişimi
içinde, ayrıntıları ile incelenmiş olan Bursalı Mehmet Tahir Efendi' nin Osmanlı
Müellifleri adlı eserinde, şu bilgiler vardır: Üçüncü Ahmet zamanında, (1703 - 1730),
Paris'e giden 28 Mehmet çelebi aracılığıyla, Dominique Cassini' nin astronomi
tabloları el-yazma İstanbul'a gelir. Bu eserin baş kısmında bulunan
logaritma cetvelleri, zamanın güvenilir matematikçisi Kalfazade İsmail Çınari
tarafından,3.Mustafa zamanında ilk defa 1772 yılın-da, tercümesi yapılan Tuhferi
Behic-i Rasini Tercüme-i Ziyc-i casini adındaki kitabın baş tarafına konmuştur. Daha
sonraki yıllarda da,Mahmut Şevket Paşa ve Kirkor Kömürcüven tarafından, zamanın
bilim dili olan Arapça olarak logaritma cetvelleri hazırlanmıştır.

Taban
İsim log b (x)
2 ikilik logaritma lb(x)
e doğal logaritma ln(x)
ISO
gösterimi
Diğer
gösterimler
ld(x), log(x),
lg(x), log2(x)
Kullanıldığı
alanlar
bilgisayar
bilimi, bilgi
kuramı,
matematik,
müzik kuramı
matematiksel
inceleme, fizik,
kimya,
istatistik,
ekonomi
10 adi logaritma lg(x)
log(x)
(mühendislik,
biyoloji,
astronomi),
log10(x)
çeşitli
mühendislik
alanları (bkz.
desibel),
logaritma
tabloları,
hesap
makinesi,
spektroskopi

1-John NAPIER ve Logaritma
Napier 54 sayfa açıklama ve 90 sayfa cetvel halindeki eserini, o zaman Galler
Prensi olan ve sonra İngiltere Kralı olup 1649’da idam edilen Charles’ e ithaf
emiştir.(Minifici Logaritmarum Canonis Descripto)
Bir logaritma çizelgesinin hazırlanmasında taban olarak 1 den farklı bir sayı
seçebilir.Napier, cetvelleri (e) tabanına göre hazırlamıştır. Fakat çizelgeyi
tamamladıktan sonra, (e) sayısını almakla zor bir sistem ortaya
koyduğunu,uygulaması sırasında farkına vardı.Daha sonraki yıllarda , 10 tabanlı
yeni bir logaritma sisteminin hesaplama işlerinde büyük
kolaylık sağlayabileceğini düşündü. Fakat bu yeni sistemine ait düşündüğü
temel esasları bizzat ortaya koyamadan öldü. Napier ömrünün son yıllarında, o
günlerde Londra’da bulunan arkadaşı İngiliz matematikçi ve astronom Henry
Briggs’ ten (1561-1632) araştırmaların tamamlanmasın istemiştir.

2-Henry BIGGINS ve Logaritma
Henry Briggs, 10 tabanına göre bir logaritma cetveli hazırlayarak , 1617, yılında
yayımlandı. Bu eser 1 den 1000’e kadar olan sayıların 14 ondalıklı logaritma
değerlerini gösterir.
Henry Briggs, ilk logaritma cetvellerinin yayımından 7 yıl sonra yani 1624 yılında;
önceleri 1’den 20000’e kadar, daha sonra da 90000’den 100000’e kadar olan
sayıların 14 ondalıklı logaritma değerlerini kapsayan Logaritmik aritmetik adlı bir
eser daha yayımlandı.
3-Adrien VLACQ ve Logaritma
Daha sonra Hollandalı matematikçi Adrien Vlacq, Henry Briggs’ ten eksik
kalan, 20000’den 90000’e kadar olan sayıların logaritmik değerlerini
hesap etti ve hazırladığı cetvellerin i1628 yılında, Henry Briggs’ in adı
altında Goude’ de yayımlandı. Bu yeni çizgiler 10 ondalıklı olup, 1 den
1000000’e kadar sayılar ile ve 0o 90 o ye kadar olan açıların, 1’er açı
dakikası aralıklı olarak sinüs, tangent ve secant’ ın logaritma değerlerini
kapsıyordu. Bilahare de Adrien Vlacq, her 10 açı saniyesi aralıklarla sinüs,
tangent ve secant değerlerinin logaritmalarına ilişkin bir çizelge
yayımladı.Logaritma cetvelleri üzerinde eser hazırlayanlar , Adren
Vlacq’ın esrini temel kabul ederler.

4-Jost BURGI ve Logaritma
Ancak daha sonraları, İsviçreli matematikçi Jost Burgi (1552-1632), 1603’den
sonra 1611 yılına kadar Kassel’ de hazırladığı logaritma cetvelini Aritmetik Ve
Geometrik Diziler adı ile 1620 yılında Prag’da yayımladı. J. Burgi, eserindeki
logaritma değerlerini araştırmalarında kullanmıştır. Fakat bu eser bir
talihsizlik olarak veya kullanışlı olmadığından uzun yıllar kimsenin dikkatini
çekmedi.

Negatif logaritma üzerinde en önemli çalışmalar yapan Büyük matematikçi
Leonhard Euler’dir.
Euler özdeşliği yardımıya negatif sayıların logaritması alınabilir. Bu
logaritmayı alabilmek için logaritmanın özellikleri ve Euler özdeşliği
bilinmelidir.
İşte negatif ve imajiner logaritmanın en önemli denklemlerinden biridir.
olur.
Denkleminin çözümü
‘’Bir matematikçi sanmaz fakat bilir.İnandırmaya çalışmaz çünkü ispat
eder.Güveninizi beklemez.Belki dikkat etmenizi ister.’’-Henry Poincare

Burada
şeklinde de yazılabilir. Bu logaritmanın ln ile
genişletmesinin sebebi
Denklemi uygun bir logaritma olan ln logaritma fonksiyonudur.
Olur.Bu sonuç da
Denkleminde yerine
yazılırsa
Denkleminde yerine yazılırsa
Sonucuna ulaşılır.

Sanal logaritma demektir. Sanal sayıları içerir.
şeklindeki logaritmanın
şeklinde dönüştürülerek bulunabilir. Negatif logaritmaya benzer bir
şekilde Euler özdeşliğinden
şeklinde bulunmuştu
(yukarıda) denklem düzenlenirse
den dolayı
Olur.
denkleminde ln(i) yerine
yazılırsa sonuç: Olur. şeklindeki logaritma ise
olur.Yani dir. bulunmuştu.
Yerine yazılırsa düzenlenirse sonucuna ulaşılır.

Logaritmalar çok büyük çok küçük sayılarla yapılan işlemlerde kolaylık
sağlamak için kullanılır.
Örneğin: uzay bilimi ile ilgilenen bilim adamlarının yapmak zorunda olduğu
hesaplamalar,gök cisimlerinin birbirine olan uzaklığı,çapları olan konularla
ilgili oldukları için bu kişi çok büyük sayılarla uğraşmak zorunda kalır. Bu
hesaplamaları kolaylaştırabilmek için logaritmadan yararlanılır.
Örneğin; uzaya gönderilecek belli bir yörüngeye yerleştirilecek olan uydunun
kalkış hızı,yerçekimi ivmesinin çarpımının kareköküne eşit olmalıdır. Eğer
yarıçapı yaklaşık olarak 64000 km olduğunu kabul edecek olursak hızında en az
8.107/2 m/ saat olması gerektiğini buluruz. Bulunan sonuçlara göre görülüyor ki
kullanılması gereken sayılar çok büyüktür. Bu gibi durumlarda sayılar
logaritmatik olarak ifade edilir ve logaritma özelliklerinden yararlanılarak çok
büyük işlem kolaylığı sağlanır.