You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
ÇIKMIŞ SORULAR<br />
1-İlk terimi 4, ortak farkı 5 ve son terimi 64 olan bir aritmetik dizinin<br />
terim sayısı aşağıdakilerden hangisidir?<br />
A) 10 B)11 C)12 D)13 E)14 1968 ÜSS<br />
2-İlk terimi 3 ve ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizinin 5inci terimi<br />
aşağıdaki sayılardan hangisidir?<br />
A)30 B)48 C)75 D)96 E)486 1969 ÜSS<br />
3- 5'e tam olarak bölünemeyen pozitif tamsayılar küçükten büyüğe<br />
doğru sıralanıyor. Bu sıralamadaki 100 sayı aşağıdakilerden hangisidir?<br />
A)120 B)124 C)130 D)134 E)140 2006 ÖSS 1
4- Terimleri birbirinden farklı birer doğal sayı ve artan olan bir dizinin<br />
ilk yedi terimi 5,6,10,a,b,c 'dir.<br />
Bu sayıların aritmetik ortalaması 11 olduğuna göre a+b toplamının en<br />
büyük değeri kaçtır?<br />
A)25 B)27 C)28 D)32 E)34 2008 ÖSS 1<br />
5- Bir geometrik dizinin ilk terimi 3/2, ikinci terimi 3 olduğuna göre<br />
altıncı terimi kaçtır?<br />
A)28 B)30 C)32 D)39 E)48 1991 ÖYS
=DÖNÜŞÜMLER=<br />
SİMETRİ<br />
Noktaya göre simetrik şekillerin karşılıklı noktaları;<br />
Simetri Merkezinden eşit uzaklıktadır, Simetri<br />
merkezinin ters yönündedir.<br />
Analitik düzlemde;<br />
P(x,y) noktasının, O(0,0) başlangıç noktasına göre simetriği P’(-x, -y) dir. P(x,y)<br />
noktasının, A(a,b) noktasına göre simetriği P’(2a-x, 2b-y) dir.<br />
ÖRNEK:<br />
2x-3y+4=0 doğrusunun, O(0,0) başlangıç noktasına göre simetriği:<br />
2(-x)-3(-y)+4=0 , -2x+3y+4=0 , 2x-3y-4=0 dır.<br />
ÖRNEK:<br />
2x-3y+4=0 doğrusunun, A(1,2) noktasına göre simetriği:<br />
2(2.1-x)-3(2.2-y)+4=0 , 4-2x-12+3y+4=0 , 2x-3y+4=0<br />
UYARI !!! A noktası doğru üzerinde olduğundan, doğrunun simetriği yine<br />
kendisidir…
YANSIMA<br />
Doğruya göre simetrik şekillerin karşılıklı noktaları;<br />
Simetri Ekseninden eşit uzaklıktadır, Şeklin boyutu<br />
değişmez.<br />
Analitik düzlemde;<br />
P(x,y) noktasının, 0x eksenine göre simetriği P1(x, -y)<br />
0y eksenine göre simetriği P2(-x, y)<br />
y=x<br />
doğrusuna göre simetriği P3(y, x)<br />
y=-x<br />
doğrusuna göre simetriği P4(-y, -x)
ÖRNEK:<br />
2x-3y+4=0 doğrusunun Ox eksenine göre simetriği:<br />
2x-3(-y)+4=0 , 2x+3y+4=0 dır.<br />
ÖRNEK:<br />
2x-3y+4=0 doğrusunun Oy eksenine göre simetriği:<br />
2(-x)-3y+4=0 , -2x-3y+4=0 , 2x+3y-4=0 dır.<br />
ÖRNEK:
2x-3y+4=0 doğrusunun y=x doğrusuna göre simetriği:<br />
2(y)-3(x)+4=0 , 2y-3x+4=0 , 3x-2y-4=0 dır.<br />
ÖRNEK:<br />
2x-3y+4=0 doğrusunun y=-x doğrusuna göre simetriği:<br />
2(-y)-3(-x)+4=0 , -2y+3x+4=0 , 3x-2y+4=0 dır.<br />
DÖNME<br />
Döndürülecek şeklin tüm noktaları, Dönme merkezi etrafında eşit açılar çizecek<br />
şekilde döndürülür.<br />
Noktaya göre simetri, 180 0 lik dönmeye karşı gelir.<br />
Analitik düzlemde;<br />
P(x, y) noktasının, O(0,0) Başlangıç noktası etrafında 90 0 lik (Pozitif yönde)<br />
dönmesine karşı gelen nokta P’(-y, x) dir.
ÖRNEK:<br />
2x-3y+4=0 doğrusunun, O(0,0) Başlangıç noktası etrafında Pozitif yönde 90 0 lik<br />
dönmesi ile oluşan doğrunun denklemi:<br />
2(-y)-3(x)+4=0 , -2y-3x+4=0 , 3x+2y-4=0 dır.<br />
ÖTELEME<br />
Ötelenen şeklin tüm noktaları, aynı doğrultuda ve aynı uzaklıkta ötelenir.<br />
Analitik düzlemde;<br />
P(x,y) noktası, 0x ekseni doğrultusunda a birim ötelendiğinde P1(x+a, y)<br />
0y ekseni doğrultusunda b birim ötelendiğinde P2(x, y+b)<br />
Her iki işlem birlikte yapıldığında P3(x+a, y+b) olur.<br />
ÖRNEK:<br />
2x-3y+4=0 doğrusu Ox ekseni doğrultusunda 3 birim ötelendiğinde:<br />
2(x+3)-3(y)+4=0 , 2x+6-3y+4=0 , 2x-3y+10=0 olur.<br />
ÖRNEK:<br />
2x-3y+4=0 doğrusu Oy ekseni doğrultusunda 4 birim ötelendiğinde:<br />
2(x)-3(y+4)+4=0 , 2x-3y-12+4=0 , 2x-3y-8=0 olur.
ÖRNEK:<br />
2x-3y+4=0 doğrusu, Ox ekseni doğrultusunda 3 birim, Oy ekseni doğrultusunda 4<br />
birim ötelendiğinde:<br />
2(x+3)-3(y+4)+4=0 , 2x+6-3y-12+4=0 , 2x-3y-2=0 olur.
UYARI: Simetri, Dönme, Öteleme, Yansıma uygulandığında oluşan şekiller EŞ,<br />
Homoteti uygulandığında oluşan şekiller BENZER dir.<br />
KOORDİNATLARIN DÖNÜŞÜMÜ<br />
Soru çözümlerinde başlangıçta yapılan eksen seçimi kimi zaman oluşan eğri<br />
denklemini en basit biçime götürmeyebilir. Uygun bir eksen dönüşümü ile denklem<br />
sadeleştirilebilir. Bu, eksenlerin kaydırılması veya döndürülmesi yolu ile<br />
yapılabilir.<br />
EKSENLERİN KAYDIRILMASI (ÖTELEME):<br />
0xy dik koordinat sistemi, eksenler paralel kalacak şekilde 0(0,0) başlangıç<br />
noktası 0’(a,b) noktasına kaydırılır.<br />
0xy sisteminde P(x,y) noktası, 0’x’y’ koordinat sisteminde P(x’,y’) olarak<br />
gösterilir. x = x’+a , y = y’+b<br />
x’ = x-a , y’ = y-b<br />
ÖRNEK:<br />
0xy koordinat sisteminde (x+2) 2 +(y-3) 2 =1 denklemi ile verilen çemberin;<br />
başlangıç noktası 0’(-2,3) noktasına ötelendiğinde yeni oluşan 0’x’y’ sistemindeki<br />
denklemi;
x’ = x-a , y’ = y-b<br />
eşitliklerinde a=-2 ve b=3 yazıldığında; x’ = x+2 ve y’ = y-3 olacağından yeni<br />
denklem x’ 2 +y’ 2 = 1 şekline dönüşür.<br />
EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ (DÖNME):<br />
- y’.sin<br />
x = x’.cos<br />
y = x’.sin + y’.cos<br />
x’ = x.cos<br />
+ y.sin<br />
y = -x.sin + y.cos<br />
ÖRNEK:<br />
xy koordinat sistemine P(1,2) veriliyor. Eksenler pozitif yönde 30 0<br />
döndürüldüğünde oluşan yeni x’y’ koordinat sisteminde P noktasının koordinatları nedir?<br />
eşitliklerinde =30 0 yazıldığında; x’ =<br />
x’ = x.cos + y.sin y =<br />
-x.sin + y.cos<br />
ve y’ =<br />
olur.<br />
x=1 ve y=2 için; x’ = ve y’ = bulunur.
1) A ( x - 3 , y + 5 ) noktası dik koordinat düzleminde 2. bölgede ise, x ve y hangi<br />
aralıkta olur ?<br />
Çözüm :<br />
Analitik düzlemde ikinci bölgede , ( - , + ) olup ,<br />
x < 0 ve y > 0 dır. Buna göre ,<br />
Birinci bileşen ,x - 3 < 0 ise x < 3<br />
İkinci bileşen , y + 5 > 0 ise y > -5 olur.<br />
2) A ( 2 , 5 ) noktasından geçen ve ,y = 3 x + 11 doğrusuna paralel olan<br />
doğrunun denklemi nedir?<br />
Çözüm :<br />
Denklemi istenen doğru soruda verilen doğruya paralel olacaksa , eğimleri aynı olmalıdır.<br />
Buna göre , y = 3 x + 11 doğrusunun eğimi 3 olup ,<br />
A ( 2 , 5 ) noktasından geçen ve eğimi 3 olan doğru ,<br />
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi ile bulunur.<br />
y - y1 = m . ( x - x1 )<br />
y - 5 = 3 . ( x - 2 )<br />
y - 5 = 3x - 6<br />
y = 3x - 6 + 5<br />
y = 3x -1 olur. yada 0 = 3x - y - 1 şeklinde de olabilir.<br />
3) A ( 7 , 3 ) noktasından geçen ve , y = 5 x - 2 doğrusuna dik olan doğrunun<br />
denklemi nedir?<br />
Çözüm :<br />
Denklemi istenen doğru, soruda verilen doğruya dik olacaksa , eğimleri çarpımı -1 olmalıdır.<br />
Buna göre , y = 5 x - 2 doğrusunun eğimi 5 olup ,<br />
A ( 7 , 3 ) noktasından geçen ve eğimi - 1 / 5 olan doğru ,Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi<br />
ile bulunur.
y - y1 = m . ( x - x1 )<br />
y - 3 = -1<br />
5 . ( x - 7 ) 5 y - 15 = - x + 7 5 y - 15 + x + 6 = 0 x + 5y - 9 = 0<br />
4) A ( - 4 , 1 ) noktasından geçen ve ,3x - 5y + 8 = 0 doğrusuna dik olan<br />
doğrunun denklemi nedir?<br />
Çözüm :<br />
Denklemi istenen doğru, soruda verilen doğruya dik olacaksa , eğimleri çarpımı -1 olmalıdır.<br />
Buna göre , 3x - 5y + 8 = 0 doğrusunun eğimi<br />
- ( 3 / - 5 ) = 3 / 5 olup , çarpımı -1 olan sayı - 5 / 3 dir.<br />
A ( - 4 , 1 ) noktasından geçen ve eğimi - 5 / 3 olan doğru ,Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi<br />
ile bulunur.<br />
y - y1 = m . ( x - x1 )<br />
y - 1 = -5<br />
3 . ( x - ( - 4 ) )<br />
3 y - 3 = - 5 x - 20<br />
3 y - 3 + 5 x + 20 = 0<br />
5 x + 3 y + 17 = 0 şeklinde olur.<br />
5) A( -5 , -2 ) ve B ( 3 , 7 ) noktalarından geçen , AB doğrusunun eğimi nedir?<br />
Çözüm :<br />
İki noktası bilinen yada verilen doğrunun eğimini bulma sorusu oluyor. Formüle göre ,<br />
y2 - y1<br />
x2 - x1 =7 - ( - 2 )<br />
3 - ( - 5 )= 7 + 2<br />
3 + 5 = 8<br />
6) A ( 2 , 5 ) ve B ( 3 , 7 ) noktaları için ,[AB] doğru parçasını ,|A C | / | C B | = 4 oranında içten bölen<br />
C ( x , y ) noktasının koordinatları nedir?
Çözüm :<br />
İçten bölen nokta formülü yardımıyla ,<br />
x = x1 + k . x2 1 + k = 2 + 4 . 3<br />
1 + 4 = 2 + 12 5 = 14<br />
y = y1 + k . y2 1 + k = 5 + 4 . 7<br />
1 + 4 = 5 + 28 5 = 33<br />
5 C ( 14/5 , 33 / 5 ) olur.<br />
7) A ( 4 , 2 ) ve B ( 5 , 9 ) noktaları için ,[AB] doğru parçasını ,|A C | / | C B | = 3<br />
oranında dıştan bölen<br />
C ( x , y ) noktasının koordinatları nedir?<br />
Çözüm :<br />
Dıştan bölen nokta formülü yardımıyla ,<br />
x =<br />
x1 - k . x2<br />
1 - k = 4 - 3 . 5<br />
1 - 3 = 4 - 15<br />
-2 = 11<br />
2<br />
y =<br />
y1 - k . y2<br />
1 - k = 2 - 3 . 9<br />
1 - 3 = 2 - 27<br />
-2 = 25<br />
2<br />
C ( 11 / 2 , 25 / 2 ) olur.
8) Şekilde verilen d doğrusunun eğimi kaçtır?<br />
Çözüm :<br />
Grafiği verilen doğrunun eğimi, Doğrunun x ekseni ile pozitif yönde<br />
(saat yönü tersi) ,yaptığı açının tanjant değerine eşit olur .Eğer alfa açısı dar açı ( 90 dan küçük ) ise<br />
eğim pozitif ,Eğer alfa açısı geniş ( 90 dan büyük ) ise eğim negatif sayıdır.<br />
Eğim = tan a olup,Dik üçgende alfa nın karşısı bölü komşu dik kenar olur.<br />
m = 5 / 2<br />
9) y = x + 3 doğrusunun grafiğini çiziniz.<br />
Çözüm :<br />
Denklemi verilen doğrunun grafiğini çizmek için ,doğrunun<br />
geçeceği noktaları belirlemek bulmak gerekir. x e rastgele değerler verip ,<br />
bu değerleri verilen denklemde x in yerine yazarak , karşılık gelen y değerleri bulunup ,
Doğrunun dik koordinat düzleminde ,geçeceği noktalar tespit edilir.<br />
x = 0 için y = 0 + 3 =3 ise Bulunan nokta ( 0 , 3 ) olur. Doğru y eksenini 3 te keser.<br />
y = 0 için<br />
0 = x + 3 olup x = -3 olur.<br />
İkinci nokta ( - 3 , 0 ) olur ki , bu noktada ,<br />
doğrunun x eksenini kestiği nokta olur.<br />
Noktalar koordinat düzleminde belirlenerek verilen doğrunun denklemi çizilir.<br />
10) y = 2x – 1 doğrusunun grafiğini çiziniz.<br />
Çözüm :<br />
x = 0 için y = 2 .0 -1 = -1 olup ( 0 , -1 )<br />
x = 1 için y = 2 . 1 - 1 = 1 ise ( 1 , 1 )<br />
x = -1 için y = 2 .( -1 ) - 1 = -2 - 1 = -3 ise ( -1 , -3 )<br />
noktalar analitik düzlemde birleştirilince,doğrusal denklemin grafiği çizilmiş olur.
11.) A ( 5 , a - 3 ) noktasının eksenlere olan uzaklıkları toplamı 9 birim ise,a kaç<br />
tane değer alabilir?<br />
Çözüm :<br />
Noktanın y eksenine olan uzaklığı 5 birimdir. x eksenine olan uzaklık ise 9 - 5 = 4 birim<br />
olmalıdır.Nokta 1. bölgede yada 4. bölgede olur. 1. bölgede olursa a - 3 = 4 olur. a = 7 olur.<br />
4. bölgede olursa a - 3 = -4 olur. a = -1 olur.<br />
2 tane değer alır .<br />
12) Analitik düzlemde A ( 2 , 5 ) ve B ( 12 , 3) noktalarının orta noktası C ( a , b ) =?<br />
Çözüm :<br />
Orta nokta, x ve y koordinatların ayrı ayrı toplamının yarısı olur.<br />
a = ( 2 + 12 ) / 2 = 14 / 2 = 7 olur.<br />
b = ( 5 + 3 ) / 2 = 8 / 2 = 4 olur.<br />
C ( 7 , 4 )<br />
13) A ( 6 , k ) , B ( - 5, 8 ) , C ( m , 14 ) olmak üzere ,[AC ] nin orta noktası B ise k<br />
+ m kaçtır?<br />
Çözüm :<br />
6 + m 2 = - 5<br />
ise 6 + m = -10<br />
m = -10 -6 = - 16 olur.<br />
k + 14<br />
2 = 8<br />
k + 14 = 16<br />
k = 16 - 14 = 2<br />
k + m = 2 + ( - 10 ) = 2 - 10 = -8
14) A( a , - 5 ) ve B ( 2 , 7 ) noktaları arasındaki uzaklık 13 birim ise , a nın<br />
alabileceği değerler toplamı kaçtır<br />
Çözüm :<br />
İki nokta arası uzaklık bulma formulünden , ∣AB∣= √ (2-a)2 +[7- (-5)]2<br />
13 2 = ( 2 - a ) 2 + 12 2<br />
169 - 144 = ( 2 - a ) 2<br />
25 = ( 2 - a ) 2 ise buradan ,<br />
2 - a = 5 yada 2 - a = -5 olur.<br />
a = -3 veya a = 7 olur.<br />
- 3 + 7 = 4<br />
15) Köşe noktaları A ( 4, 3 ) , B ( -3 , 5 ) , C ( 2 , -2 ) olan üçgenin ağırlık merkezi<br />
G(x,y) =?<br />
Çözüm :<br />
Üçgenin ağırlık merkezi ,<br />
x = ( x 1 + x 2 + x 3 ) / 3<br />
x = ( 4 - 3 + 2 ) / 3 = 3 / 3 = 1<br />
y = ( y 1 + y 2 + y 3 ) / 3<br />
y = ( 3 + 5 - 2 ) / 3 = 6 / 3 = 2<br />
G ( 1 , 2 ) olur.
16) A ( 4 , - 6 ) ve B ( -3 , 2 ) noktalarından geçen doğrunun denklemi<br />
nedir?<br />
Çözüm :<br />
İki noktası bilinen doğrunun denklemi soruluyor. Formülden,<br />
y - y 1<br />
y 1 - y 2 = x - x 1<br />
x 1 - x 2<br />
y - (-6)<br />
- 6 - 2 = x - 4<br />
4 - ( - 3 )<br />
7 .( y + 6 ) = -8 . ( x - 4 )<br />
7y + 42 = -8x + 32<br />
8x + 7y + 42 - 32 = 0<br />
8x + 7y + 10 = 0 olur.<br />
17) ( 2k - 1 ) x + ( k + 2 ) y + 5 = 0 doğrusunun eğimi - 3 / 4 ise k kaçtır?<br />
Çözüm :<br />
Denklemi ax + by + c = 0 şeklinde verilen doğrunun eğimi,<br />
m = - a / b dir.<br />
- ( 2k -1 )<br />
k + 2 = - 3<br />
4<br />
8 k - 4 = 3 k + 6<br />
8k - 3k = 6 + 4<br />
5 k = 10 k = 10 / 5<br />
k = 2