07.05.2017 Views

MATEMATİK PROJE

Matematik Proje Ödevi

Matematik Proje Ödevi

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

ÇIKMIŞ SORULAR<br />

1-İlk terimi 4, ortak farkı 5 ve son terimi 64 olan bir aritmetik dizinin<br />

terim sayısı aşağıdakilerden hangisidir?<br />

A) 10 B)11 C)12 D)13 E)14 1968 ÜSS<br />

2-İlk terimi 3 ve ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizinin 5inci terimi<br />

aşağıdaki sayılardan hangisidir?<br />

A)30 B)48 C)75 D)96 E)486 1969 ÜSS<br />

3- 5'e tam olarak bölünemeyen pozitif tamsayılar küçükten büyüğe<br />

doğru sıralanıyor. Bu sıralamadaki 100 sayı aşağıdakilerden hangisidir?<br />

A)120 B)124 C)130 D)134 E)140 2006 ÖSS 1


4- Terimleri birbirinden farklı birer doğal sayı ve artan olan bir dizinin<br />

ilk yedi terimi 5,6,10,a,b,c 'dir.<br />

Bu sayıların aritmetik ortalaması 11 olduğuna göre a+b toplamının en<br />

büyük değeri kaçtır?<br />

A)25 B)27 C)28 D)32 E)34 2008 ÖSS 1<br />

5- Bir geometrik dizinin ilk terimi 3/2, ikinci terimi 3 olduğuna göre<br />

altıncı terimi kaçtır?<br />

A)28 B)30 C)32 D)39 E)48 1991 ÖYS


=DÖNÜŞÜMLER=<br />

SİMETRİ<br />

Noktaya göre simetrik şekillerin karşılıklı noktaları;<br />

Simetri Merkezinden eşit uzaklıktadır, Simetri<br />

merkezinin ters yönündedir.<br />

Analitik düzlemde;<br />

P(x,y) noktasının, O(0,0) başlangıç noktasına göre simetriği P’(-x, -y) dir. P(x,y)<br />

noktasının, A(a,b) noktasına göre simetriği P’(2a-x, 2b-y) dir.<br />

ÖRNEK:<br />

2x-3y+4=0 doğrusunun, O(0,0) başlangıç noktasına göre simetriği:<br />

2(-x)-3(-y)+4=0 , -2x+3y+4=0 , 2x-3y-4=0 dır.<br />

ÖRNEK:<br />

2x-3y+4=0 doğrusunun, A(1,2) noktasına göre simetriği:<br />

2(2.1-x)-3(2.2-y)+4=0 , 4-2x-12+3y+4=0 , 2x-3y+4=0<br />

UYARI !!! A noktası doğru üzerinde olduğundan, doğrunun simetriği yine<br />

kendisidir…


YANSIMA<br />

Doğruya göre simetrik şekillerin karşılıklı noktaları;<br />

Simetri Ekseninden eşit uzaklıktadır, Şeklin boyutu<br />

değişmez.<br />

Analitik düzlemde;<br />

P(x,y) noktasının, 0x eksenine göre simetriği P1(x, -y)<br />

0y eksenine göre simetriği P2(-x, y)<br />

y=x<br />

doğrusuna göre simetriği P3(y, x)<br />

y=-x<br />

doğrusuna göre simetriği P4(-y, -x)


ÖRNEK:<br />

2x-3y+4=0 doğrusunun Ox eksenine göre simetriği:<br />

2x-3(-y)+4=0 , 2x+3y+4=0 dır.<br />

ÖRNEK:<br />

2x-3y+4=0 doğrusunun Oy eksenine göre simetriği:<br />

2(-x)-3y+4=0 , -2x-3y+4=0 , 2x+3y-4=0 dır.<br />

ÖRNEK:


2x-3y+4=0 doğrusunun y=x doğrusuna göre simetriği:<br />

2(y)-3(x)+4=0 , 2y-3x+4=0 , 3x-2y-4=0 dır.<br />

ÖRNEK:<br />

2x-3y+4=0 doğrusunun y=-x doğrusuna göre simetriği:<br />

2(-y)-3(-x)+4=0 , -2y+3x+4=0 , 3x-2y+4=0 dır.<br />

DÖNME<br />

Döndürülecek şeklin tüm noktaları, Dönme merkezi etrafında eşit açılar çizecek<br />

şekilde döndürülür.<br />

Noktaya göre simetri, 180 0 lik dönmeye karşı gelir.<br />

Analitik düzlemde;<br />

P(x, y) noktasının, O(0,0) Başlangıç noktası etrafında 90 0 lik (Pozitif yönde)<br />

dönmesine karşı gelen nokta P’(-y, x) dir.


ÖRNEK:<br />

2x-3y+4=0 doğrusunun, O(0,0) Başlangıç noktası etrafında Pozitif yönde 90 0 lik<br />

dönmesi ile oluşan doğrunun denklemi:<br />

2(-y)-3(x)+4=0 , -2y-3x+4=0 , 3x+2y-4=0 dır.<br />

ÖTELEME<br />

Ötelenen şeklin tüm noktaları, aynı doğrultuda ve aynı uzaklıkta ötelenir.<br />

Analitik düzlemde;<br />

P(x,y) noktası, 0x ekseni doğrultusunda a birim ötelendiğinde P1(x+a, y)<br />

0y ekseni doğrultusunda b birim ötelendiğinde P2(x, y+b)<br />

Her iki işlem birlikte yapıldığında P3(x+a, y+b) olur.<br />

ÖRNEK:<br />

2x-3y+4=0 doğrusu Ox ekseni doğrultusunda 3 birim ötelendiğinde:<br />

2(x+3)-3(y)+4=0 , 2x+6-3y+4=0 , 2x-3y+10=0 olur.<br />

ÖRNEK:<br />

2x-3y+4=0 doğrusu Oy ekseni doğrultusunda 4 birim ötelendiğinde:<br />

2(x)-3(y+4)+4=0 , 2x-3y-12+4=0 , 2x-3y-8=0 olur.


ÖRNEK:<br />

2x-3y+4=0 doğrusu, Ox ekseni doğrultusunda 3 birim, Oy ekseni doğrultusunda 4<br />

birim ötelendiğinde:<br />

2(x+3)-3(y+4)+4=0 , 2x+6-3y-12+4=0 , 2x-3y-2=0 olur.


UYARI: Simetri, Dönme, Öteleme, Yansıma uygulandığında oluşan şekiller EŞ,<br />

Homoteti uygulandığında oluşan şekiller BENZER dir.<br />

KOORDİNATLARIN DÖNÜŞÜMÜ<br />

Soru çözümlerinde başlangıçta yapılan eksen seçimi kimi zaman oluşan eğri<br />

denklemini en basit biçime götürmeyebilir. Uygun bir eksen dönüşümü ile denklem<br />

sadeleştirilebilir. Bu, eksenlerin kaydırılması veya döndürülmesi yolu ile<br />

yapılabilir.<br />

EKSENLERİN KAYDIRILMASI (ÖTELEME):<br />

0xy dik koordinat sistemi, eksenler paralel kalacak şekilde 0(0,0) başlangıç<br />

noktası 0’(a,b) noktasına kaydırılır.<br />

0xy sisteminde P(x,y) noktası, 0’x’y’ koordinat sisteminde P(x’,y’) olarak<br />

gösterilir. x = x’+a , y = y’+b<br />

x’ = x-a , y’ = y-b<br />

ÖRNEK:<br />

0xy koordinat sisteminde (x+2) 2 +(y-3) 2 =1 denklemi ile verilen çemberin;<br />

başlangıç noktası 0’(-2,3) noktasına ötelendiğinde yeni oluşan 0’x’y’ sistemindeki<br />

denklemi;


x’ = x-a , y’ = y-b<br />

eşitliklerinde a=-2 ve b=3 yazıldığında; x’ = x+2 ve y’ = y-3 olacağından yeni<br />

denklem x’ 2 +y’ 2 = 1 şekline dönüşür.<br />

EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ (DÖNME):<br />

- y’.sin<br />

x = x’.cos<br />

y = x’.sin + y’.cos<br />

x’ = x.cos<br />

+ y.sin<br />

y = -x.sin + y.cos<br />

ÖRNEK:<br />

xy koordinat sistemine P(1,2) veriliyor. Eksenler pozitif yönde 30 0<br />

döndürüldüğünde oluşan yeni x’y’ koordinat sisteminde P noktasının koordinatları nedir?<br />

eşitliklerinde =30 0 yazıldığında; x’ =<br />

x’ = x.cos + y.sin y =<br />

-x.sin + y.cos<br />

ve y’ =<br />

olur.<br />

x=1 ve y=2 için; x’ = ve y’ = bulunur.


1) A ( x - 3 , y + 5 ) noktası dik koordinat düzleminde 2. bölgede ise, x ve y hangi<br />

aralıkta olur ?<br />

Çözüm :<br />

Analitik düzlemde ikinci bölgede , ( - , + ) olup ,<br />

x < 0 ve y > 0 dır. Buna göre ,<br />

Birinci bileşen ,x - 3 < 0 ise x < 3<br />

İkinci bileşen , y + 5 > 0 ise y > -5 olur.<br />

2) A ( 2 , 5 ) noktasından geçen ve ,y = 3 x + 11 doğrusuna paralel olan<br />

doğrunun denklemi nedir?<br />

Çözüm :<br />

Denklemi istenen doğru soruda verilen doğruya paralel olacaksa , eğimleri aynı olmalıdır.<br />

Buna göre , y = 3 x + 11 doğrusunun eğimi 3 olup ,<br />

A ( 2 , 5 ) noktasından geçen ve eğimi 3 olan doğru ,<br />

Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi ile bulunur.<br />

y - y1 = m . ( x - x1 )<br />

y - 5 = 3 . ( x - 2 )<br />

y - 5 = 3x - 6<br />

y = 3x - 6 + 5<br />

y = 3x -1 olur. yada 0 = 3x - y - 1 şeklinde de olabilir.<br />

3) A ( 7 , 3 ) noktasından geçen ve , y = 5 x - 2 doğrusuna dik olan doğrunun<br />

denklemi nedir?<br />

Çözüm :<br />

Denklemi istenen doğru, soruda verilen doğruya dik olacaksa , eğimleri çarpımı -1 olmalıdır.<br />

Buna göre , y = 5 x - 2 doğrusunun eğimi 5 olup ,<br />

A ( 7 , 3 ) noktasından geçen ve eğimi - 1 / 5 olan doğru ,Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi<br />

ile bulunur.


y - y1 = m . ( x - x1 )<br />

y - 3 = -1<br />

5 . ( x - 7 ) 5 y - 15 = - x + 7 5 y - 15 + x + 6 = 0 x + 5y - 9 = 0<br />

4) A ( - 4 , 1 ) noktasından geçen ve ,3x - 5y + 8 = 0 doğrusuna dik olan<br />

doğrunun denklemi nedir?<br />

Çözüm :<br />

Denklemi istenen doğru, soruda verilen doğruya dik olacaksa , eğimleri çarpımı -1 olmalıdır.<br />

Buna göre , 3x - 5y + 8 = 0 doğrusunun eğimi<br />

- ( 3 / - 5 ) = 3 / 5 olup , çarpımı -1 olan sayı - 5 / 3 dir.<br />

A ( - 4 , 1 ) noktasından geçen ve eğimi - 5 / 3 olan doğru ,Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi<br />

ile bulunur.<br />

y - y1 = m . ( x - x1 )<br />

y - 1 = -5<br />

3 . ( x - ( - 4 ) )<br />

3 y - 3 = - 5 x - 20<br />

3 y - 3 + 5 x + 20 = 0<br />

5 x + 3 y + 17 = 0 şeklinde olur.<br />

5) A( -5 , -2 ) ve B ( 3 , 7 ) noktalarından geçen , AB doğrusunun eğimi nedir?<br />

Çözüm :<br />

İki noktası bilinen yada verilen doğrunun eğimini bulma sorusu oluyor. Formüle göre ,<br />

y2 - y1<br />

x2 - x1 =7 - ( - 2 )<br />

3 - ( - 5 )= 7 + 2<br />

3 + 5 = 8<br />

6) A ( 2 , 5 ) ve B ( 3 , 7 ) noktaları için ,[AB] doğru parçasını ,|A C | / | C B | = 4 oranında içten bölen<br />

C ( x , y ) noktasının koordinatları nedir?


Çözüm :<br />

İçten bölen nokta formülü yardımıyla ,<br />

x = x1 + k . x2 1 + k = 2 + 4 . 3<br />

1 + 4 = 2 + 12 5 = 14<br />

y = y1 + k . y2 1 + k = 5 + 4 . 7<br />

1 + 4 = 5 + 28 5 = 33<br />

5 C ( 14/5 , 33 / 5 ) olur.<br />

7) A ( 4 , 2 ) ve B ( 5 , 9 ) noktaları için ,[AB] doğru parçasını ,|A C | / | C B | = 3<br />

oranında dıştan bölen<br />

C ( x , y ) noktasının koordinatları nedir?<br />

Çözüm :<br />

Dıştan bölen nokta formülü yardımıyla ,<br />

x =<br />

x1 - k . x2<br />

1 - k = 4 - 3 . 5<br />

1 - 3 = 4 - 15<br />

-2 = 11<br />

2<br />

y =<br />

y1 - k . y2<br />

1 - k = 2 - 3 . 9<br />

1 - 3 = 2 - 27<br />

-2 = 25<br />

2<br />

C ( 11 / 2 , 25 / 2 ) olur.


8) Şekilde verilen d doğrusunun eğimi kaçtır?<br />

Çözüm :<br />

Grafiği verilen doğrunun eğimi, Doğrunun x ekseni ile pozitif yönde<br />

(saat yönü tersi) ,yaptığı açının tanjant değerine eşit olur .Eğer alfa açısı dar açı ( 90 dan küçük ) ise<br />

eğim pozitif ,Eğer alfa açısı geniş ( 90 dan büyük ) ise eğim negatif sayıdır.<br />

Eğim = tan a olup,Dik üçgende alfa nın karşısı bölü komşu dik kenar olur.<br />

m = 5 / 2<br />

9) y = x + 3 doğrusunun grafiğini çiziniz.<br />

Çözüm :<br />

Denklemi verilen doğrunun grafiğini çizmek için ,doğrunun<br />

geçeceği noktaları belirlemek bulmak gerekir. x e rastgele değerler verip ,<br />

bu değerleri verilen denklemde x in yerine yazarak , karşılık gelen y değerleri bulunup ,


Doğrunun dik koordinat düzleminde ,geçeceği noktalar tespit edilir.<br />

x = 0 için y = 0 + 3 =3 ise Bulunan nokta ( 0 , 3 ) olur. Doğru y eksenini 3 te keser.<br />

y = 0 için<br />

0 = x + 3 olup x = -3 olur.<br />

İkinci nokta ( - 3 , 0 ) olur ki , bu noktada ,<br />

doğrunun x eksenini kestiği nokta olur.<br />

Noktalar koordinat düzleminde belirlenerek verilen doğrunun denklemi çizilir.<br />

10) y = 2x – 1 doğrusunun grafiğini çiziniz.<br />

Çözüm :<br />

x = 0 için y = 2 .0 -1 = -1 olup ( 0 , -1 )<br />

x = 1 için y = 2 . 1 - 1 = 1 ise ( 1 , 1 )<br />

x = -1 için y = 2 .( -1 ) - 1 = -2 - 1 = -3 ise ( -1 , -3 )<br />

noktalar analitik düzlemde birleştirilince,doğrusal denklemin grafiği çizilmiş olur.


11.) A ( 5 , a - 3 ) noktasının eksenlere olan uzaklıkları toplamı 9 birim ise,a kaç<br />

tane değer alabilir?<br />

Çözüm :<br />

Noktanın y eksenine olan uzaklığı 5 birimdir. x eksenine olan uzaklık ise 9 - 5 = 4 birim<br />

olmalıdır.Nokta 1. bölgede yada 4. bölgede olur. 1. bölgede olursa a - 3 = 4 olur. a = 7 olur.<br />

4. bölgede olursa a - 3 = -4 olur. a = -1 olur.<br />

2 tane değer alır .<br />

12) Analitik düzlemde A ( 2 , 5 ) ve B ( 12 , 3) noktalarının orta noktası C ( a , b ) =?<br />

Çözüm :<br />

Orta nokta, x ve y koordinatların ayrı ayrı toplamının yarısı olur.<br />

a = ( 2 + 12 ) / 2 = 14 / 2 = 7 olur.<br />

b = ( 5 + 3 ) / 2 = 8 / 2 = 4 olur.<br />

C ( 7 , 4 )<br />

13) A ( 6 , k ) , B ( - 5, 8 ) , C ( m , 14 ) olmak üzere ,[AC ] nin orta noktası B ise k<br />

+ m kaçtır?<br />

Çözüm :<br />

6 + m 2 = - 5<br />

ise 6 + m = -10<br />

m = -10 -6 = - 16 olur.<br />

k + 14<br />

2 = 8<br />

k + 14 = 16<br />

k = 16 - 14 = 2<br />

k + m = 2 + ( - 10 ) = 2 - 10 = -8


14) A( a , - 5 ) ve B ( 2 , 7 ) noktaları arasındaki uzaklık 13 birim ise , a nın<br />

alabileceği değerler toplamı kaçtır<br />

Çözüm :<br />

İki nokta arası uzaklık bulma formulünden , ∣AB∣= √ (2-a)2 +[7- (-5)]2<br />

13 2 = ( 2 - a ) 2 + 12 2<br />

169 - 144 = ( 2 - a ) 2<br />

25 = ( 2 - a ) 2 ise buradan ,<br />

2 - a = 5 yada 2 - a = -5 olur.<br />

a = -3 veya a = 7 olur.<br />

- 3 + 7 = 4<br />

15) Köşe noktaları A ( 4, 3 ) , B ( -3 , 5 ) , C ( 2 , -2 ) olan üçgenin ağırlık merkezi<br />

G(x,y) =?<br />

Çözüm :<br />

Üçgenin ağırlık merkezi ,<br />

x = ( x 1 + x 2 + x 3 ) / 3<br />

x = ( 4 - 3 + 2 ) / 3 = 3 / 3 = 1<br />

y = ( y 1 + y 2 + y 3 ) / 3<br />

y = ( 3 + 5 - 2 ) / 3 = 6 / 3 = 2<br />

G ( 1 , 2 ) olur.


16) A ( 4 , - 6 ) ve B ( -3 , 2 ) noktalarından geçen doğrunun denklemi<br />

nedir?<br />

Çözüm :<br />

İki noktası bilinen doğrunun denklemi soruluyor. Formülden,<br />

y - y 1<br />

y 1 - y 2 = x - x 1<br />

x 1 - x 2<br />

y - (-6)<br />

- 6 - 2 = x - 4<br />

4 - ( - 3 )<br />

7 .( y + 6 ) = -8 . ( x - 4 )<br />

7y + 42 = -8x + 32<br />

8x + 7y + 42 - 32 = 0<br />

8x + 7y + 10 = 0 olur.<br />

17) ( 2k - 1 ) x + ( k + 2 ) y + 5 = 0 doğrusunun eğimi - 3 / 4 ise k kaçtır?<br />

Çözüm :<br />

Denklemi ax + by + c = 0 şeklinde verilen doğrunun eğimi,<br />

m = - a / b dir.<br />

- ( 2k -1 )<br />

k + 2 = - 3<br />

4<br />

8 k - 4 = 3 k + 6<br />

8k - 3k = 6 + 4<br />

5 k = 10 k = 10 / 5<br />

k = 2

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!