13-merkezi_egilim-yayilim_olculeri

zmrtsavan

DERS: MATEMATİK ÖĞRETİMİ-II

HAFTA : 13

SINIFLAR : SÖP -31 / SÖP-32

KONU: MERKEZİ EĞİLİM ve YAYILIM ÖLÇÜLERİ

ALT ÖĞRENME ALANI:

MOD, MEDYAN, ARİTMETİK ORTALAMA VARYANS, RANJ, CEYREK SAPMA,

STANDART SAPMA

DERSİN SORUMLUSU: Dr. BİROL TEKİN

Cep: 0 505 624 66 81

biroltekin@amasya.edu.tr

NOT:

Bu konuya ait bilgiler benim iznim olmadan alınması ve herhangi bir kitapta

kullanılması veya yayınlanması yasaktır. Böyle bir durumda yasal işlem

başlatılacaktır.


VERİ: Bir konu hakkında sistematik bir şekilde toplanmış bilgilere denir.

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

Gözlenen veriler veya ölçümler düzenlenerek çetelelerle, çizelgelerle, tablolarla, grafiklerle

sunulması çoğu kez yeterli olmaz. Böyle bir durumda, genel durumu hakkında ayrıntılı bilgi

verecek bir takım ölçülere gereksinim bulunmaktadır. Bu tür ölçüler verileri yalnızca özlü bir

biçimde belirtmekle kalmazlar aynı zamanda karşılaştırmalara, genellemelere, yorumlamalara

olanak sağlarlar.

Bir veri grubunun dağılımında kümenin etrafında toplandığı veya etrafında yığılma eğilimi

gösterdiği değerlerdir. Bunlar veri grubu hakkında ayrıntılı bilgi verirler ve bütününü temsil

ederler.

1. MOD ( TEPE DEĞER):

Bir veri grubunda en çok tekrar edilen veriye veya frekansı en yüksek olan ölçme sonucuna o

veri grubunun mod’u denir.

ÖZELLİKLERİ

Merkezi eğilim ölçülerinde en az bilgi veren ölçüdür.

Tüm ölçek düzeyinde mod hesaplanabilir.

Ortalama ve ortancanın hesaplanamadığı durumlarda da kullanılabilen bir merkezi

eğilim ölçüsüdür.

ÖRNEK-1:

1,1,3,5,4,3,8,7,7,15,1 veri grubunun modunu bulunuz.

ÇÖZÜM-1:

1,1,1, 3,3,4,5, 7,7, 8,15

En çok tekrar eden sayı 1 ( üç adet) olduğundan veri gurubunun modu 1 dir.

ÖRNEK-2:

2,5,7,7,7,9,11, 13,13,13, 17 veri grubunun modunu bulunuz.

ÇÖZÜM-2:

En çok tekrar eden sayılar 7 ve 13 sayılarıdır. Her ikisi de 3 defa tekrar etmiştir.

Veri gurubunun modu = (7+13) / 2 = 10 dur.

ÖRNEK-3:

55,70, 85, 98, 100 notlarının modu kaçtır?

ÇÖZÜM-3:

En çok tekrar eden sayı olmadığından bu verilerin modu yoktur.


ÖRNEK-4:

Güreş müsabakasına katılan güreşçilerin kilolarını ve sayılarını gösteren tablo aşağıda

verilmiştir.

Güreşçilerin Kiloları (Kg) 60 70 80 90 100

Güreşçi Sayısı ( f ) 4 5 8 2 1

Buna göre, bu veri gurubunun modu kaçtır?

ÇÖZÜM-4:

60,60,60,60,70,70,70,70,70, 80,80,80,80,80,80,80,80, 90,90, 100

Tablo incelendiğinde en çok tekrar eden güreşçi sayısı 8 rakamının karşılığı olan

80 kiloda bulunan güreşçilerdir. O halde grubun modu 80 dir.

ÖRNEK -5:

Bir veri gurubunun puanları 20,20,20,20, 50,50,50,50, 70,70,70,70 olan dağılımında tüm

ölçümlerin frekansları eşit olduğundan dağılımın modu yoktur.

Frekans (f)

4

3

2

1

0

20 50 70

Puan

ÖRNEK -6:

Bir sınıftaki bazı öğrencilerin Genel Matematik-I dersinin vize sınavından aldıkları puanları

20,20, 50,50,50,50, 70 biçimindedir. Bu puan dağılımında en çok tekrar eden puan 50

olduğundan dağılımın modu 50 dir.

Frekans (f)

4

3

2

1

0

20 50 70

Puan


ÖRNEK -7:

Bir veri gurubunun puanları 20, 50,50,50,50, 70,70,70,70, 90,90 olan dağılımında tüm ölçümlerin

frekanslarına bakıldığında en çok tekrar eden 50 ve 70 değerlerinin aritmetik ortalamasıdır.

Frekans (f)

4

3

2

1

0

20 50 70

90

Puan

50 + 70

Mod =

2

= 60

ÖRNEK -6:

Bir sınıftaki öğrencilerin Tarih dersinin final sınavından aldıkları notların puan aralıkları ve

puanların frekansları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre, bu puan dağılımının modunun

hangi puan aralığında bulunduğunu tespit ederek dağılımın modunu bulunuz.

Puan Aralığı Frekans( f )

50-59 5

60-69 6

70-79 9

80-89 3

90-99 2

Tablo incelendiğinde en çok tekrar eden puan aralığı 70-79 arasındadır. Bu aralıktaki puanlar

71,72,73, 74,75, 76,77,78 biçimindedir. O halde mod bu puan aralığın ortasında bulunan

74ve 75 puanlarının aritmetik ortalamasıdır.

74 +75

Mod = = 74,5 olarak bulunur.

2


2. MEDYAN(ORTANCA) :

Küçükten büyüğe doğru veya büyükten küçüğe doğru sıralanmış veri grubunun tam

ortasındaki değerdir. İlk önce veri değerleri küçükten büyüğe doğru sıralanır.

n veri sayısını göstermek üzere,

A) Veri sayısı tek(n=tek sayı) ise

n +1

( )’ inci sıradaki veri medyandır. Yani tam

2

ortadaki değerdir.

B) Veri sayısı ( n=çift ) çift ise

n

( ) ‘inci ve

n

( +1)

’ inci sıradaki verilerin aritmetik

2

2

ortalaması veri grubunun medyan değerini verir.

ÖZELLİKLERİ

Medyan puan dağılımını ortadan ikiye bölerek grubun alt yarısını grubun üst yarısından

ayırır.

Medyan değerini hesaplayabilmek için ölçümlerin en az sıralama düzeyinde bir ölçekle

elde edilmiş olması gerekir.

Ortanca uç değerdeki aşırı puanlardan etkilenmez. Bundan dolayı uç değerlerin aşırı

puanlardan çarpık dağılımlarda grubun başarısı hakkında bilgi edinmek için aritmetik

ortalama yerine medyan değerine bakılır.

Medyandan küçük olan sayılara alt grup, büyük olan sayılara ise üst grup adı verilir.

ÖRNEK-1:

100, 75, 30,65, 45, 80,90, sayılarının medyanı kaçtır?

ÇÖZÜM-1:

Sayılar rastgele dizildiği için ilk önce sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

30, 45, 65, 75, 80, 90, 100 toplam 7 adet veri bulunmaktadır. Ortanca değer sağdan ve soldan 3

er verinin tam ortasında bulunan 75 sayısıdır.

30, 45, 65, 75 ,80, 90, 100

ÖRNEK-2:

20,8,13,45, 60, 18, 80, 100 sayılarının medyanı kaçtır?

ÇÖZÜM-1:

Sayılar rastgele dizildiği için ilk önce sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

8, 13,18, 20, 45,60, 80,100 toplam 8 adet veri bulunmaktadır. Ortanca değer sağdan ve

soldan 3 er verinin tam ortasında bulunan 20 ve 45 sayılarının toplamının yarısıdır.

8, 13,18, 20 , 45, 60, 80,100


ÖRNEK-3:

Bir ilde, bir ay boyunca alınan sıcaklıklar ve gün sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Gün Sayıları 3 5 10 8 4

Ölçülen Sıcaklıklar(Derece)( 0 C ) 12 15 23 20 25

Buna göre, bu sıcaklık değerlerinin medyanını bulunuz.

ÇÖZÜM-3:

Gün sayıları toplamı=3+5+10+8+4= 30 ( Verilerin toplamı çifttir)

Tabloda verilen sıcaklıkları öncelikle küçükten büyüğe doğru sıralayalım.

Gün Sayıları 3 5 8 10 4

Ölçülen Sıcaklıklar(Derece)( 0 C ) 12 15 20 23 25

Medyan=30/2 =15 yani 15. ve 16. sırada bulunan verilerin aritmetik ortalamasıdır.

12,12,12, 15,15,15,15,15, 20,20,20,……,20, 20,20, 20,20,.…,20, 23,23, …….23,25,25,25,25

Sağdan ve soldan 14 adet veriyi gruplandırırsak 14+14=28 olur. Verilerin medyanı ortada

bulunan iki sayı olan 20 ile 20 nin toplamının yarısıdır. Medyan=(20+20)/2 =20 0 C olur.

3. ARİTMETİK ORTALAMA

Bir grup elde edilen ölçümlerin( verilerin, puanların vb.) toplamının veri sayısına ( toplam

frekans) bölünmesiyle elde edilen değere denir. Aritmetik ortalama

_

x sembolüyle gösterilir.

x 1,x 2,x 3, ………….,x n biçimindeki veri gurubunun( veya elde edilen ölçümlerin-puanların)

_ x1

+ x2

+ x3

+........+ xn

aritmetik ortalaması x =

formülüyle hesaplanır

n

ÖZELLİKLERİ

Bir dağılımdaki puanların veya verilerin ağırlık merkezini temsil eder.

Dağılımlara yeni verilerin (ölçümlerin, puanların vb.) eklenmesi aritmetik ortalamayı

etkiler.

Normal dağılımlarda aritmetik ortalama grubun öğrenme düzeyi hakkında bilgi verir.

Aritmetik ortalama dağılımın iki ucundaki puanlardan oldukça fazla etkilenen bir

merkezi eğilim ölçüsüdür.


Dağılım simetrik veya simetriğe yakın olduğu durumlarda; grubun başarı düzeyi,

öğrencilerin öğrenme seviyesi ve kullanılan ölçme aracının güçlük düzeyi hakkında

bilgi edinmek için aritmetik ortalamadan faydalanılır.

ÖRNEK-1:

6,7, 10,17 sayılarının aritmetik ortalamasını bulunuz.

ÇÖZÜM-1:

A.O=Sayıların Toplamı/ Sayı adedi= (6+7+10+17) /4 =40/4 =10

ÖRNEK-2:

Bir sınavdaki öğrencilerin matematik dersinden aldıkları notları gösteren tablo aşağıdaki

gibidir.

Alınan Notlar 60 70 80 90 100

Öğrenci Sayısı 3 5 1 2 2

Buna göre, bu öğrencilerin Matematik dersinden aldıkları notların ortalamasını bulunuz.

ÇÖZÜM-2:

Sınıfta bulunan toplam öğrenci sayısı= 3+5+1+2+2=13

A.O= ( 3.60+5.70+1.80+2.90+2.100 )/ =990 /13=76.15

ÖRNEK-3:

Bir sınıfta bulunan öğrencilerin yaşları ve öğrenci sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Öğrencilerin Yaşları 11 12 13

Öğrenci Sayısı 9 10 8

Buna göre bu öğrencilerin yaş ortalamasını bulunuz.

ÇÖZÜM-3:

Sınıfta bulunan toplam öğrenci sayısı= 9+10+8=27 dir.

Öğrencilerin Yaş Ortalaması= (11.9+12.10+13.8) / 27=323/27=11.96


AĞIRLIKLI ORTALAMA (Ağ.O)

Puanların (verilerin) veya ölçümlerin ortalamaya etkilerinin farklı ağırlıkta olduğu durumlarda

ağırlık ortalama formülü kullanılır.

X 1,X 2,X 3, ………….,X n veriler (puanlar, ölçümler ) ve k 1,k 2,k 3, ………….,k n n –tane puanın

ağırlıkları olmak üzere ;

formülüyle hesaplanır.

k1.x1

+ k

2.x

Ağ.O =

k + k

1

2

2

+ k

+ k

3

.x

3

+ ...........

+ kn.x

+ .............

+ k

3

ÖRNEK-1:

Dersler Kredisi Alınan Notlar

1 Bilgisayar 2 90

2 Tarih 2 85

3 Genel Matematik 2 65

4 Materyal Tasarım 4 75

5 Matematik Öğretimi 3 80

6 Müzik 1 90

n

n

İlköğretim Matematik Öğretmenliği bölümünün 1. sınıfında okuyan Sibel’in aldığı derslere ait

kredi ve 100 üzerinden aldığı puanları yukarıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre, Sibel’in ağırlıklı

ortalamasını bulunuz.


ÇÖZÜM-1:

Alınan derslerin sayısı 6 olduğundan n=6 olur.n={1,2,3,4,5,6 }

x 1,x 2,x 3, ………….,x 6 puanlar ve k 1,k 2,k 3, ………….,k 6 6 –tane puanın ağırlıklı ortalaması

Dersler Kredisi ( t n ) Alınan Notlar ( x n ) t n.x n

1 Bilgisayar 2 90 2.90=180

2 Tarih 2 85 2.85=170

3 Genel Matematik 2 65 2.65=130

4 Materyal Tasarım 4 75 4.75=300

5 Matematik Öğretimi 3 80 3.80=240

6 Müzik 1 90 1.90=90

Toplam 14 1 110

k1.x1

+ k

2.x

2

+ k

3.x

3

+ ...........

+ k

6.x

Ağ.O =

k + k + k + .............

+ k

1

2

3

6

6

1110

= = 79,3

14

olarak bulunur.

2. MERKEZİ DAĞILIM (YAYILIM) ÖLÇÜLERİ

Bir dağılımda ölçümler arasında gözlenen farklılık ve değişikliğe değişim; veriler

arasındakideğişimden kaynaklanan farklılıkların istatiksel ölçülerine de değişim ölçüleri

denir.Merkezi yayılım ölçüleri aşağıda verilmiştir.

1. Ranj

2. Çeyrek Sapma (Kayma)

3. Varyans

4. Standart Sapma

5. Değişim Katsayısı


1. RANJ (GENİŞLİK-ARALIK) : Bir veri grubunda bulunan en büyük veri ile en

küçük veri arasındaki farka denir.

Ranj = Maksimum Puan- Minimum Puan

Ranjın büyük olması sınavın ayırt ediciliğinin yüksek olduğu anlamına gelir.

Ranj ortalamaları eşit ve örneklem sayıları eşit olan iki grubun karşılaştırılmasında

kullanılır.

Ranj gruptaki veriler hakkında çok az bigi verir.Ranj sadece maksimum ve minimum

değerlerinden etkilenir.Arada kalan diğer ölçümlerin ranj üzerinde hiçbir etkisi yoktur.

A) Gruplandırılmamış veriler (ölçümler ) için Ranjın Hesaplanması: En büyük

ölçüm(veri- puan) ile en küçük ölçüm arasındaki farka eşittir.

ÖRNEK-1: Bir Fizik dersinin sınavda alınan en yüksek puan 95 ve en düşük puan 45 ise

ranj değeri= 95-45=50 ‘ ye eşittir.Buna göre, bu sınavın puanları 50 puanlık bir aralığa

dağılmaktadır.

ÖRNEK-2:

25, 20, 25, ,30,45, 85, 45,45, 50, 45, verileri veriliyor.Buna göre, bu veri grubunun ranjı

kaçtır?

ÇÖZÜM-2:

Öncelikle veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır.

20, 25, 25 , 30 , 45 , 45 , 45, 45 , 50 , 85

n=10 ise veri gurubunun ranjı = 85-20= 65 olarak bulunur.

ÖRNEK-1:

B) Gruplandırılmış veriler (ölçümler ) için Ranjın Hesaplanması: En büyük grup

aralığının orta değeri ile ile en küçük grup aralığının orta değeri arasındaki farka

eşittir.

Puan aralığı Frekans ( f )

45-51 1

52-58 3

59-65 2

66-72 4

73-79 7


2019-2020 eğitim ve öğretim yılının bahar dönemi Analiz-II

dersinin final sınavında, alınan puanlar ve puanların

frekans değerleri yandaki tabloda verilmiştir.Buna göre,

bu puan dağılımının ranjını bulunuz.

ÇÖZÜM-1:

80-86 5

87-93 3

94-100 2

Ranj =( En büyük puan aralığın – (En küçük puan aralığın

orta noktası ) orta noktası )

94-100 95, 96 , 97 , 98,99 ortadaki değer 97 dir.

45-51 46,47, 48 , 49, 50 ortadaki değer 48 dir.

Ranj = 97- 48 = 49 olarak bulunur.

2) VARYANS ( σ 2 ) :

Bir dağılımdaki puanların ortalamadan olan sapmalarının kareleri toplamının ölçüm sayısının

bir eksiğine bölünmesiyle bulunur.Varyansın karekökü alınırsa standart sapma bulunur.bu

nedenle standart sapma için yapılan yorumlar varyans için de yapılabilir. ( σ 2 ) sembolüyle

gösterilir.

X 1,X 2,X 3, ………….,X n biçimindeki veri gurubunun ilk olarak aritmetik ortalaması

_ x1

+ x2

+ x3

+........+ xn

x =

formülüyle hesaplanır.Daha sonrada verilerin (ölçümlerinpuanların

) varyansı

n

hesaplanır.

Varyans = σ

2

_

2

(x1

- x)

+(x

=

2

- x)

2

_

+ (x3

- x)

n - 1

2

+........+(x

n

_

- x)

2

3) ÇEYREK SAPMA: Tüm ölçümlerin yerine sadece ölçümleri veya verilerin % 50 ‘ si

dikkate alınarak hesaplanan bir değişim ölçüsüdür. Merkezi eğilim ölçüsü olarak ortalama

yerine ortancanın kullanıldığı çarpık değişimlerden, değişkenlik ölçüsü olarak ortancadan olan

sapmaya ilişkin bilgiyi çeyrek sapmayı kullanarak elde ediliriz. Çünkü çeyrek sapma uç

değerlerden etkilenmez.


4) STANDART SAPMA

Standart sapmanın hesaplanabilmesi için tüm

ölçümlerin değeri ve ölçüm sayısının bilinmesi

gerekmektedir. Standart sapma, çeşitli

örneklemlerin tümünün bir veri kümesinde

ortalama etrafında ne kadar sıkı bir şekilde

kümelendiğini anlatan bir istatistiktir. Örnekler

oldukça sıkı bir şekilde bir araya getirildiğinde ve

çan eğrisi şeklindeki eğri dik olduğunda, standart

sapma küçüktür. Örnekler dağıldığında ve çan

eğrisi nispeten düz olduğunda, bu size nispeten

büyük bir standart sapmaya sahip olduğunuzu söyler. Standart sapma, verileri yorumlayanlara,

verilerin ne kadar güvenilir olduğunu veya tüm verilerin ortalamasına ne kadar yakın olduğunu

göstererek veri parçaları arasında ne kadar fark olduğunu söyler.

Standart Sapma Kullanımları

Standart sapmanın verilerin değerini anlamaya yardımcı olabileceği durumlara bazı örnekler:

Bir sınıf öğrencisi matematik sınavına girdi. Öğretmenleri testteki ortalama puanın% 85

olduğunu bulmuşlardır. Daha sonra diğer test puanlarının standart sapmasını hesapladı ve

çoğu öğrencinin% 85'e çok yakın puan aldığını gösteren çok küçük bir standart sapma buldu.

Köpeğini gezdiren bir kişi, yolundaki köpeklerin ağırlıklarının kendi köpeğinin ağırlığına yakın

olup olmadığını belirlemek istiyor. On köpeğin ağırlığının ortalamasını alır. Daha sonra varyansı

ve sonra standart sapmayı hesaplar. Standart sapması son derece yüksektir. Bu, köpeklerin

birçok farklı ağırlığa sahip olduğunu veya ağırlıklarını verilerin gerçek değerlere aykırı olan

birkaç köpeğe sahip olduğunu göstermektedir.

Bir pazar araştırmacısı yakın zamanda yapılan bir müşteri anketinin sonuçlarını analiz ediyor.

Daha büyük bir grubun aynı soruları nasıl cevaplayabileceğini tahmin etmek için ankette alınan

cevapların güvenilirliğini ölçmek istiyor. Düşük standart sapma, cevapların daha büyük bir

grup insan için çok öngörülebilir olduğunu göstermektedir.

Bir hava durumu muhabiri, her tarihte kaydedilen gerçek yüksek sıcaklığa karşı bir dizi tarih

için öngörülen yüksek sıcaklığı analiz eder. Düşük standart sapma güvenilir bir hava durumu

tahmini gösterir.

Bir grup öğrenci Dil Sanatları alanında bir teste girdi. Öğretmen sınavdaki ortalama notun% 65

olduğunu belirler. Bunun çok düşük olduğundan endişe duyuyor, bu nedenle çoğu öğrencinin

ortalamaya yakın olup olmadığını görmek için standart sapmayı belirliyor. Öğretmen standart

sapmanın yüksek olduğunu bulur. Tüm sınavları yakından inceledikten sonra öğretmen, çok

düşük puanlara sahip birkaç öğrencinin, tüm sınıfın puanlarının ortalamasını aşağı çeken aykırı

değerler olduğunu belirleyebilir.

Bir işveren, bir bölümde çalışanların tüm maaşlarının adil görünüp görünmediğini veya büyük

bir eşitsizlik olup olmadığını belirlemek istiyor. O bölümde çalışanların maaşlarının

ortalamasını bulur ve sonra varyansı ve ardından standart sapmayı hesaplar. İşveren, standart

sapmanın beklediğinden biraz daha yüksek olduğunu tespit ettiğinden verileri daha fazla

inceliyor. Çoğu çalışan benzer bir ücret aralığında yer alırken, 20 yıl veya daha uzun süredir

bölümde bulunan ve üç sadık çalışanın çok daha uzun süre şirket ile uzun ömürlü olmaları

nedeniyle diğerlerinden çok daha fazla ücret alması gerektiğini tespit ediyor. Analizi yapmak

işverenin bölümde çalışanların maaş aralığını anlamasına yardımcı olmaktadır.


X 1,X 2,X 3, ………….,X n biçimindeki veri gurubunun ilk olarak aritmetik ortalaması

_ x1

+ x2

+ x3

+........+ xn

x =

formülüyle hesaplanır.Daha sonrada verilerin

n

(ölçümlerin-puanların ) varyansı hesaplanır. Aryansın karekökü alınarak standart sapma

bulunur.

Varyans = σ

2

_

2

(x1

- x)

+(x

=

2

- x)

2

_

+ (x3

- x)

n - 1

2

+........+(x

n

_

- x)

2

S tan dart

Sapma

=

Varyans

ÖZELLİKLERİ

Dağılımdaki puanlar birbirine yaklaştıkça standart sapma küçük, puanlar

birbirinden uzaklaştıkça standart sapma büyük olur.

Standart sapmanın olabilmesi için farklı puanların (ölçümlerin veya verilerin)

olması gerekmektedir. Ölçümlerin aynı olduğu durumlarda ise standart sapma

sıfır (0) değerini alır.

Standart Sapma Büyük( yüksek olması) Değeri Alması Durumunda


Testin uygulandığı grup homojendir.

Uygulanmış olan testin güvenirliği düşüktür.

Dağılım dar bir alana yayıldığı için sivri bir görünüm halini alır.

Ölçümler (puanlar-veriler) arasındaki fark azdır.

Öğrenciler arasındaki seviye farkı azdır.

Bilen öğrencilerle bilmeyen öğrencileri birbirinden ayırt etmemiştir. Bundan

dolayı da uygulanmış olan testin ayırt ediciliği düşüktür

Standart Sapma Küçük Değeri Alması Durumunda

Testin uygulandığı grup heterojendir.

Uygulanmış olan testin güvenirliği yüksektir.

Dağılım geniş bir alana yayıldığı için basık bir görünüm halini alır.

Ölçümler (puanlar-veriler) arasındaki fark fazladır.

Öğrenciler arasındaki seviye farkı fazladır.

Bilen öğrencilerle bilmeyen öğrencileri birbirinden ayırt etmiştir. Bundan dolayı

da uygulanmış olan testin ayırt ediciliği yüksektir.

5.BAĞIL DEĞİŞKENLİK KATSAYISI (B.D.K) :

Puan dağılımının heterojenlik veya homojenlik açısından incelenmesine imkân

veren ve standart sapmanın aritmetik ortalamaya bölünmesiyle elde edilen

katsayının yüzde olarak ifade edilmesidir. Bağıl değişkenlik katsayısı küçük olan

grubun diğerlerine göre daha homojen, büyük olan grubun diğerlerine göre

daha heterojen olduğunu söylenir.

Bağıl değişkenlik katsayısı, standart sapmanın aritmetik ortalamaya oranının

100 ile çarpılması sonucunda elde edilen sayıdır.

S tan dart Sapma

B .D.K =

x100

Aritmetik Ortalama

UYGULAMALAR

ÖRNEK-1:

2, 4,4,4, 5,5,7,9 sayılarının standart sapmasını bulunuz.

ÇÖZÜM-1:

Toplam veri sayısı 8 adettir. n=8

Verilerin aritmetik ortalaması (A.O)=(2+4+4+4+5+5+7+9) / 8 =5


Şimdi ise aritmetik ortalama ile her bir veri arasındaki farkların karelerini bulalım.

(2-5) 2 =(-3) 2 =9 (5-5) 2 =(0) 2 =0

(4-5) 2 =(-1) 2 =1 (5-5) 2 =(0) 2 =0

(4-5) 2 =(-1) 2 =1 (7-5) 2 =(2) 2 =4

(4-5) 2 =(-1) 2 =1 (9-5) 2 =(4) 2 =16

Tüm bu değerlerin varyansını bulalım. n=8 ise n-1=8-1=7 olur.

Varyans( 2 ) =(9+1+1+1+0+0+4+16 )/ 7 =32/7 =4,57

Standart sapma varyansın kareköküne eşittir.

S.P = 32 = 4,57 ≈2,14

(Virgülden sonra iki basamak yuvarlanılmıştır.)

7

ÖRNEK-2:

6, 2, 3, 1 sayılarının standart sapmasını bulunuz.

ÇÖZÜM-2:

Aritmetik

Ortalama

_

6 + 3 + 2 +1

= x =

=

4

12

4

= 3

Veri Sayısı

x

i

_

_

x ( - x)

x i

( x

i

_

- x)

2

1 6 3 6-3=3 9

2 3 3 3-3=0 0

3 2 3 2-3=-1 1

4 1 3 1-3=-2 4

Toplam 12 14

9 + 0 + 1+

4

σ 2 =

4 - 1

14

=

3

= 4,7

S tan dart Sapma = Varyans = 4,7 ≈2,2 ( Virgülden sonra bir basamak yuvarlanılmıştır.)


ÖRNEK-3:

Bir sınıfta bulunan 5 öğrencinin boyları metre kullanılarak ölçülerek aşağıdaki tablo

oluşturuluyor.

Öğrenciler Orhan Salih Burhan Ahmet Mehmet

Boylarının

Uzunluğu(Cm.)

67 72 76 76 84

Buna göre, bu öğrencilerinin boylarının standart sapmasını bulunuz

ÇÖZÜM-3:

Aritmetik Ortalama

_

67 + 72 + 76 + 76 + 84 375

= x =

= = 75

5

5

Veri Sayısı

x

i

_

x

_

( x

i

- x)

2

( x - x)

i

_

1 67 75 67-75=-8 64

2 72 75 72-75=-3 9

3 76 75 75-76=-1 1

4 76 75 75-76=-1 1

5 84 75 84-75=9 81

Toplam 375 156

σ 64+

9 + 1+

1+

81 156

2 =

= 39

5 - 1 4

=


Stan dart

Sapma

=

Varyans =

39

≈6,24

ÖRNEK-4:

Bir üniversite kütüphanesinin rafında bulunan 12 farklı kitabın sayfa sayıları aşağıdaki tabloda

verilmiştir.

Buna göre,

Kitaplar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Sayfa Sayısı 271 354 296 301 333 326 285 298 327 312 287 314

A) Bu kitapların ortalama sayfa sayısını bulunuz.

B) Sayfa sayılarının standart sapmasını bulunuz

ÇÖZÜM-4:

Sayfa sayılarının toplamı T olsun.

1. Adım:

2.Adım:

T=(271 + 354 + 296 + 301 + 333 + 326 + 285 + 298 + 327 + 316 + 287 + 314) = 3 708

Aritmetik Ortalama = 3 708 / 12=309 bulunur.

Şimdi de varyansı hesaplayalım.

Her bir kitap sayfasından ortalama kitap sayfasını çıkararak karelerini alarak toplayalım.

T 2= (271 - 309) 2 + (354 - 309) 2 + (296 - 309) 2 + (301 - 309) 2 + (333 - 309) 2 + (326 - 309) 2 +

(285 - 309) 2 + (298 - 309) 2 + (327 - 309) 2 + (316 - 309) 2 + (287 - 309) 2 + (314 - 309) 2

= (-38) 2 + (45) 2 + (-13) 2 + (-8) 2 + (24) 2 + (17) 2 + (-24) 2 + (-11) 2 + (18) 2 + (7) 2 + (-22) 2 + (5) 2

= 1,444 + 2,025 + 169 + 64 + 576 + 289 + 576 + 121 + 324 + 49 + 484 + 25

= 6,146

3.Adım:

n=12 ise n-1=12-1=11 olur.

Varyans = 6 146 / 11= 558,73 (Virgülden sonra iki basamak yuvarlama yapılmıştır.)

4.Adım:


S tan dart Sapma = Varyans =

558,73

≈23,64

DEĞERLENDİRME SORULARI

1. Fibonacci dizisinin ilk 10 teriminin ortalamasını ve standart sapmasını bulunuz.

2. Elinizde bulunan roman, hikaye, bilimsel kitap vb. kitaplardan 5 tanesinin kaç

sayfa olduğunu tespit ederek ortalama kitap sayfasını ve standart sapmasını bulunuz.

3. Evinizde bulunan bireyleri yaşlarını belirleyerek yaş ortalamasını ve standart

sapmasını bulunuz.

4. Evinizde bulunan bireyleri boylarının uzunluklarını ölçerek ortalama boy

uzunluğunu, standart sapmasını ve bağıl değişkenlik katsayısını bulunuz.

5. Kendiniz bu konuya ait ve günlük hayatla ilişkili iki soru yazınız ve çözünüz.

Sonra; ad ve soyad, sınıf, öğrenci numarası ve dersin ismi olacak şekilde benim

mail adresime gönderiniz. biroltekin@amasya.edu.tr

DİNLEDİĞİNİZ İÇİN TEŞEKKÜR EDERİM…..

More magazines by this user
Similar magazines