Komputer w rękach artysty – sztuka fraktalna - Sceno

Zeszyty Naukowe 2/2006
Komputer w rękach artysty – sztuka fraktalna
Zbigniew Lis
Streszczenie
W pracy przedstawiono historię i istotę grafiki (geometrii) fraktalnej. Pokazano zasady
budowania fraktali, wykorzystujące aplikacje komputerowe – generatory fraktalne.
Praca zawiera próbę odpowiedzi na pytanie, czy komputer może być narzędziem
artysty i czy tworzone grafiki komputerowe mają cechy dzieł sztuki. W pracy
przedstawiono wybrane grafiki fraktalne.
Slowa kluczowe: geometra fraktalna, metody tworzenia fraktali, sztuka fraktalna
Wprowadzenie
Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma. W dalszym
poznaniu kryje się niebezpieczeństwo. Możesz utracić swój nabyty
w dzieciństwie sposób patrzenia na świat. Inne wydają ci się chmury, lasy,
galaktyki, liście, pióra, skały, góry, wzory na wodzie, dywanach, murach
i wiele innych rzeczy. I już nigdy nie będą te same.
M.F. Barnsley [8]
Świat nie jest prosty. To truizm ale o silnej konsekwencji poznawczej. Nasze
ciało zbudowane jest z trylionów komórek, nasz mózg to bilion neuronów współpracujących
przy myśleniu i pamiętaniu. Rynek papierów wartościowych to miliony
inwestorów. Klasyczne nauki koncentrują się na rozumieniu pojedynczych elementów
systemu. Pytamy o działanie pojedynczego neuronu, o zachowanie się
pojedynczego inwestora. Odpowiedź jest potem podstawą do zrozumienia zachowania
się grupy rozważanych elementów, np. inwestorów. W niektórych przypadkach
jest to podejście prawdopodobnie wskazane. Jednak duża liczba obserwowanych
zjawisk zależy nie tylko od działania pojedynczych elementów, ale od wzajemnych
oddziaływań tych części wewnątrz systemu. Na naszych oczach rodzi się
nowa dziedzina wiedzy zwana złożonością. Badanie złożoności było niemożliwe
przed pojawieniem się komputerów. To podstawowe narzędzie badawcze pozwala
na modelowanie i obserwowanie złożoności, i tradycyjne podejście wyrażone przez

366
Zbigniew Lis
klasyczne metody eksperymentalne czy modelowanie matematyczne raczej zawodzi.
Badanie złożoności prowadzi do odkrywania nowych zjawisk i nowych pojęć.
Podejście to wytworzyło teorie chaosu i fraktalną geometrię struktur, którą teoria ta
bada [2-6]. W artykule tym przedstawiono fraktal jako obiekt geometryczny, fraktalne
spojrzenie na otaczającą nas rzeczywistość, ale przede wszystkim rozumienie
sztuki fraktalnej.
Geometria euklidesowa, pierwsza dedukcyjna teoria aksjomatyczna, powstaje
w VI w. p.n.e. Później powstaną jeszcze inne nieeklidesowe systemy geometryczne,
do których dzisiaj zaliczyć można także geometrię fraktalną. Geometria fraktalna
zajmuje się opisem dużo bardziej skomplikowanych, niż obiekty geometrii
euklidesowej, samopodobnych struktur geometrycznych, które matematycznie
określane są przez niewielką liczbę parametrów i algorytmów ich tworzenia. Geometria
fraktalna może być uważana za nowy język matematyki. Pozwala wyrazić
złożone wzory i kształty występujące w naturze za pomocą prostych podstawowych
przekształceń. Możemy mówić, tak jak w przypadku kodu genetycznego
DNA, który potrzebuje alfabetu czterech znaków, o nowym języku natury, który
potrzebuje kilku przekształceń z odpowiednio dobranymi parametrami i sposobem
ich układania, by tworzyć swoje piękno.
W opisie rzeczywistego świata budujemy modele fizyczne, modele matematyczne
obserwowanych zjawisk. Towarzyszy temu wiele założeń i uproszczeń.
Model zbudowany w ten sposób jest w miarę rozwoju wiedzy zastępowany innym.
Zdarza się niekiedy, że te modele znaczą więcej dla nas niż sama rzeczywistość.
Ale o tym często zapominamy. Mówimy, że obowiązuje w danym czasie pewien
sposób patrzenia na świat, pewien paradygmat. Paradygmat jest sposobem, w jaki
widzimy świat, nie w sensie wzrokowego odbioru, lecz w kategoriach postrzegania,
zrozumienia i interpretacji. Jest teorią, wyjaśnieniem lub modelem czegoś.
Zbyt dużo obecnie pojawia się nowych szokujących nieraz faktów, by nie zaryzykować
twierdzenia, że żyjemy w czasach przesunięcia, konieczności zmiany
paradygmatu [8, 9]. Nie odbywa się to samo przez się i wymaga niekiedy olbrzymiego
wysiłku umysłowego, by umieć spojrzeć inaczej na otaczającą rzeczywistość.
Taka zmiana wymaga przede wszystkim uświadomienia sobie własnych
uwarunkowań. Mogą mieć one różną naturę, np. zdobyta wiedza w szkole, zbyt
silne przywiązanie się do posiadanej wiedzy, nieumiejętność zadawania sobie pytań
czy brak pewnej poszukującej i otwartej postawy wobec świata. Najistotniejszym
chyba skutkiem eksperymentu w dziedzinie przesunięcia paradygmatu jest to
co można nazwać efektem „aha” – doświadczeniem, gdy ktoś „widzi” złożony
problem w inny sposób. Będzie to tym silniejsze, im dana osoba przywiązuje się
bardziej do początkowej percepcji. To tak jakby rozbłysło w nas światło. Termin
„przesunięcie paradygmatu” wprowadził Thomas Kuhn [8]. Pokazuje on, że niemal
każde znaczące osiągnięcie na polu nauki musi najpierw przełamać tradycyjny
stary sposób myślenia, przestarzały paradygmat. Historia nauki zna takie przełomowe
przesunięcie paradygmatu: np. dla Ptolemeteusza, wielkiego egipskiego

Komputer w rękach artysty – sztuka fraktalna 367
astronoma, Ziemia była centrum Wszechświata. Wszystko zaczęto interpretować
jednak inaczej, kiedy Kopernik przez zmianę Centrum Ziemi na Centrum Słońca
zmienił paradygmat, spotykając się z wielkimi sprzeciwami i prześladowaniami,
Newtonowski model fizyki – precyzyjnie funkcjonujący paradygmat do dziś jest
podstawą inżynierii. Czegoś mu jednak brakowało. Świat nauki zrewolucjonizował
Einstenowski paradygmat względności. Jesteśmy spadkobiercami intelektualnego
wysiłku naszych poprzedników. To brzmi dumnie, ale zdarza się, że zbyt dosłowne
potraktowanie tego dorobku może ograniczać nasz rozwój. Niektórzy pamiętają
jeszcze szkolne zmagania z geometrią. Obowiązywała geometria Euklidesa. Euklides
w III w. pne buduje na podstawie kilku aksjomatów geometrię, w której używa
takich pojęć, jak: prosta, okrąg, sfera. Grecy zachwyceni tymi obiektami rozkoszują
się ich pięknem, mało interesując się, na ile pomagają one rozumieć rzeczywistość.
Niektórzy zbyt mocno uwierzyli w te formy jako jedynie możliwe i trudno
im wyobrazić sobie, że może istnieć inna geometria. Można powiedzieć o paradoksie
wiedzy, wiedzy, która ogranicza. Potrzebny jest pewien wysiłek umysłowy, by
wyjść poza te ograniczenia. W podobnej sytuacji byli fizycy w końcu XIX wieku,
gdy sądzili, że są bliscy pełnego opisu świata fizycznego. Pomimo że istniały pewne
drobne niezgodności do wyjaśnienia. Ale okazało się, że przełom wieku przynosi
światu dwie największe rewolucje naukowe: mechanikę kwantową i mechanikę
relatywistyczną. Początek XX wieku przyniósł nowy paradygmat, nowe spojrzenie
na otaczającą nas rzeczywistość. Wydaje się, że przełom XX i XXI wieku daje
podobną szansę. Pojawiła się teoria chaosu i geometria fraktalna. Gdy obserwujemy
chmury to intuicja podpowiada nam, że nie są to owale, błyskawica to nie kilka
odcinków prostych, granice lądów to także nie linie proste [1]. Mało przydają nam
się w tym opisie obiekty proponowane kiedyś przez Euklidesa. Wszystko wokół
jest nieregularne, zmienne, złożone (rys. 11, 12). Gdzie tkwi tajemnica tej złożoności?
Co jest przyczyną tych nieregularności? Oto pytania na miarę możliwości
współczesnych badaczy. Szukanie odpowiedzi na te pytania przynosi nam nową
geometrię – geometrię fraktalną.
Geometria fraktalna jest teorią geometryczną zbiorów, które mają niesłychanie
skomplikowaną i subtelną strukturę. Były one dobrze znane od połowy ubiegłego
stulecia i odegrały ważną rolę w rozwoju wielu dziedzin matematyki, zwłaszcza
teorii funkcji, topologii, teorii liczb i geometrii. Wprawdzie matematycy konstruowali
i badali takie zbiory, lecz sprawiały one wiele kłopotów ze względu na swój
niekonwencjonalny charakter. Początkowo fraktale były konstruowane w celu pokazania
ograniczeń wielu klasycznych pojęć analizy matematycznej i geometrii.
Ograniczenia te wypływały z faktu, że matematycy chcieli badać krzywe, do których
opisu można stosować rachunek różniczkowy i całkowy. Krzywe takie muszą
być różniczkowalne. Matematycy, przyzwyczajeni do stosowania metod analizy
matematycznej i dostosowujący do jej możliwości badane przez siebie obiekty,
powszechnie uważali, że wymaganie, aby jakaś linia lub funkcja była różniczkowalna,
jest bardzo małym zawężeniem pola badań matematycznych [10]. Wydawa-

368
Zbigniew Lis
ło im się, że krzywe nieróżniczkowalne muszą być bardzo nieregularne. i nie warto
się nimi zajmować. W drugiej połowie dziewiętnastego wieku zaczęły w wielu
dziedzinach matematyki pojawiać się obiekty, które budziły zdumienie, a nawet
sprzeciw matematyków. Zaczęto np. konstruować funkcje, za pomocą których
można pokryć kwadrat (G. Peano i D. Hilbert) [9]. Była to funkcja, czyli jednowymiarowa
krzywa, która mogła pokryć dwuwymiarową powierzchnię kwadratu.
Te i inne obiekty matematyczne sprawiały wiele kłopotu, ponieważ nikt nie wiedział,
jak je opisać w języku klasycznej matematyki i jak wyrazić ich wyjątkowe
własności, często sprzeczne ze starymi nawykami myślowymi.
Klasyczna teoria krzywych różniczkowalnych bada lokalne zachowanie się
krzywych. Zamiast opisywać przebieg jakieś funkcji w zadanym przedziale zmienności
zmiennej niezależnej, podajemy sposób, w jaki funkcja ta zmienia się na
bardzo małych odcinkach. Zakładamy przy tym że nawet funkcja uwikłana jest
w odpowiednio małym fragmencie wystarczająco gładka i podobna do prostej
stycznej do niej w punkcie stanowiącym środek tego odcinka. Wiemy dobrze, że w
przyrodzie często spotyka się poszarpane i powykrzywiane kształty, takie jak górska
grań, płatek śniegu, porowata skała. By badać te obiekty przyrodnicze, mające
często ogromne znaczenie, trzeba było je w jakiś sensowny sposób opisywać,
a matematyka mało potrafiła o nich powiedzieć. Dopiero Benoit Mandelbrot [1]
postanowił stworzyć nowy, nadający się do tego celu dział geometrii, a obiektom
badanym w nim nadał wymyśloną przez siebie nazwę fraktal.
Do 1980 r. naukowcy starali się za wszelką cenę unikać nieliniowych równań.
Na początku lat osiemdziesiątych okazało się, że wiele skomplikowanych systemów
występujących w świecie rzeczywistym może być opisane jedynie za pomocą
równań nieliniowych [10]. Mniej więcej w tym samym czasie zastosowanie komputerów
do symulacji i nowe podejście matematyczne ułatwiło rozwiązywanie
równań, które okazały się niezwykle przydatne do opisu różnego rodzaju zjawisk.
Przedstawione dość szeroko wprowadzenie do geometrii fraktalnej potrzebne
było, by uzyskać odpowiednie tło dla pojawiającej się nowej sztuki – sztuki fraktalnej.
Wymaga to innego spojrzenia na otaczającą rzeczywistość, zmiany paradygmatu.
Będziemy eksperymentować, tworzyć za pomocą komputerów. Komputer
staje się narzędziem w rękach artysty. Czy zawsze powstają dzieła sztuki i czy
jest możliwe tworzenie za pomocą komputera? W dalszej części pracy na te i podobne
pytania będą szukane odpowiedzi.
1. Krótka historia fraktala
Eksperyment to jedyny sposób zdobycia wiedzy jakim dysponujemy. Wszystko
poza tym to poezja i wyobraźnia.
M. Planck

Komputer w rękach artysty – sztuka fraktalna 369
Rys. 1. Zbiór Cantora
Przypomnijmy historię pewnych
obiektów matematycznych i ich związek
z rodzącą się geometrią fraktalną.
W 1883 roku twórca teorii mnogości,
Georg Cantor wymyślił prosty sposób
konstrukcji bardzo dziwnego zbioru
[9]. Punktem wyjścia jest domknięty
odcinek [0,1]. Odcinek ten dzielimy
na trzy jednakowe odcinki i usuwamy odcinek środkowy, pozostawiając jego odcinki
końcowe. Następnie powtarzamy na każdym z tych odcinków tę samą procedurę,
czyli dzielimy je na trzy części i wyrzucamy otwarty odcinek środkowy
(rys. 1). Następnie powtarzamy bez końca to postępowanie. Zbiorem Cantora jest
to co pozostaje z wyjściowego odcinka. Z punktu widzenia klasycznej matematyki
jest to zbiór niesłychanie osobliwy. Składa się on z nieprzeliczalnej sumy punktów.
których całkowita długość, jest równa zeru. Mogło by się wydawać, że gdy tak
wiele wyrzucimy, to już nic nie pozostanie, tymczasem pozostaje bardzo wiele.
W skończonym otoczeniu każdego punktu zbioru znajduje się na przykład nieskończenie
wiele innych punktów. Jednocześnie zbiór ten nie jest nigdzie gęsty,
w dowolnie małym odcinku bowiem zawsze znajdziemy wiele odcinków wyrzuconych,
czyli rozdzielających punkty. Można tu zobaczyć jedną jego cechę, która
stała się definicyjną własnością fraktali. Jest nią samopodobieństwo. Polega ono na
tym, że jeżeli weźmiemy dowolny podzbiór zbioru Cantora, to wygląda on jak cały
zbiór. Jest to więc twór, który w każdej skali wygląda tak samo. To właśnie samopodobieństwo
powoduje, że w przeszłości matematycy mieli kłopoty z tego typu
konstrukcjami, ponieważ dzięki niemu nigdy nie dojdzie się do skali, w której
zbiór staje się gładki i regularny. Analiza matematyczna nadawała się tylko do
takich zbiorów, dla których istnieje kres komplikacji i złożoności. W konstrukcji
podobnej do zbioru Cantora trzeba by w tym celu zatrzymać się po skończonej
liczbie kroków i badać te drobne odcinki, które pozostały. Zbiór Cantora jest jednak
nieskończenie drobny. Mówi się o pyle Cantora. Pyłu nie można opisać za
pomocą pochodnych i całek. Dla matematyków, przyzwyczajonych do gładkich
krzywych i powierzchni, zbiór
Cantora był wyzwaniem,
Z punktu widzenia wyjściowego
odcinka prawie go nie ma,
a jednak jest nieprzeliczalny.
Uogólnieniem zbioru Cantora
jest dywan Sierpińskiego,
wynaleziony w 1915 roku [9].
Najpierw rysujemy trójkąt
Rys. 2. Konstrukcji trójkąta Sierpińskiego
równoboczny o długości boku
np. 1. Środki boków trójkąta

370
Zbigniew Lis
łączymy odcinkami. Otrzymujemy cztery trójkąty równoboczne, każdy o długości
boku ½. Usuwamy środkowy trójkąt. W kolejnym kroku każdy z pozostałych
trzech trójkątów dzielimy znowu na cztery równe trójkąty. Ich wierzchołkami są
środki boków trójkątów otrzymanych w pierwszym kroku. Usuwamy środkowe
trójkąty. Powtarzając w kolejnych krokach ten algorytm, otrzymamy trójkąt Sierpińskiego.
Na rys. 2 pokazano jego wygląd po 5 krokach. Zbiór, który otrzymamy
po nieskończenie wielu krokach nazywa się dywanem Sierpińskiego.
Krzywa Kocha wynaleziona
w 1904 roku przez szwedzkiego matematyka
Hegla von Kocha jest przykładem
konstrukcji, w której dokładamy
elementy, a nie jak to był poprzednio
odejmujemy [9]. Zaczyna
się od odcinka [0,1] i dzieli się go na
trzy równe części, jednak zamiast
wyrzucić część środkową, zastępujemy
ją ząbkiem utworzonym
Rys. 3. Konstrukcja krzywej Kocha
z dwóch odcinków o długości 1/3.
Ten wystający ząbek tworzy kąt 60 o ,
a jego boki mają długość równą dłu-
gości pozostałych odcinków. W efekcie powstaje figura złożona z czterech odcinków
trzy razy mniejszych od początkowego. Następnie na każdym z tych odcinków wykonujemy
tę samą operację i tak w nieskończoność. Powstaje w ten sposób krzywa
o wyjątkowych własnościach. Przede wszystkim jest to jedna linia, która nigdzie się
nie przecina i nie nakłada na siebie. Mieści się ona w niewielkim obszarze, a jednak
jej długość jest nieskończona. Nieskończona ilość tych operacji prowadzi do linii
o nieskończonej długości. Już samo to powoduje zdziwienie. Przyzwyczajeni jesteśmy
do tego, że nieskończenie długa nić musiałaby rozciągać się na nieskończenie
długą odległość lub musiałaby być bardzo poplątana, tymczasem krzywa Kocha
zajmuje niewielki odcinek i nie jest wcale splątana. Jej drugą dziwną własnością jest
to, że składa się z samych ząbków. Nie ma na niej odcinka, który nie byłby pokryty
wyrastającymi wypustkami, przypominającymi kolce. Nie można więc stosować do
niej metod analizy matematycznej, ponieważ nie jest ona różniczkowalna w żadnym
swoim punkcie. Dawnym matematykom wydawało się, że krzywa nie dająca się
opisać analitycznie musi być wyjątkowo nieregularna, a przecież krzywa Kocha jest
bardzo prosta w konstrukcji i łatwo ją sobie wyobrazić.
Kłopoty z podobnymi tworami polegały na tym, że nie wiadomo było, jak analizować
takie dziwne konstrukcje. Ta sytuacja trwała w matematyce ponad sto lat.
Aż zajął się tymi „potworkami”, jak je nazywano, Mandelbrot. Początkowo było to
trudne, do tego czasu nikomu nie udało się uporać z zadaniem uchwycenia tego, co
dla fraktali było najważniejsze – ich samopodobieństwa i poszarpanej struktury.
Mandelbrot zdawał sobie sprawę, że musi zacząć od tego, co stanowiło trudność.

Komputer w rękach artysty – sztuka fraktalna 371
Trzeba było znaleźć właściwe podejście do tych złożonych konstrukcji. Klasyczne
krzywe opisuje się przez podanie za pomocą równań położenia ich punktów na
płaszczyźnie. Korzysta się przy tym z kartezjańskiego układu współrzędnych, który
punktom przyporządkuje pary liczb odpowiadające współrzędnym tych punktów.
W przypadku fraktali nie jest to możliwe, ponieważ poszczególne punkty są
granicznymi wartościami określonych konstrukcji, na przykład dodawania ząbków
w krzywej Kocha, i wypisanie ich współrzędnych byłoby pracochłonne lub niemożliwe.
W 1975 r. Benoit B. Mandelbrot zbiera wszystkie fakty i znane już cechy omawianych
obiektów, jest odważnym badaczem, nie obawia się złożoności, ma komputer,
wspaniałą wyobraźnię i jest bacznym obserwatorem. Odrzucone przez klasyczną
analizę i geometrię „potworki” nazywa FRAKTAL (ang. fractal) (od frangere
łamać; fractus – podzielony, ułamkowy). Pomysł Mandelbrota polegał na
tym, aby fraktal utożsamić z przepisem na jego konstruowanie. Fraktale okazały
się proste, gdy zastosowano ich właściwy opis, skoncentrowany nie na położeniu
części a na procedurze tworzenia.
Pomysł Mandelbrota, aby fraktal utożsamić z przepisem na jego konstruowanie
był bardzo logiczny. Dlaczego mamy uważać, że znamy zbiór, a w szczególności
krzywą, tylko wtedy, gdy umiemy go narysować? Dla prostych figur, takich jak:
koło, sinusoida czy parabola, jest to metoda dobra, ponieważ wykreślamy albo
całość – na przykład koło za pomocą cyrkla – albo też znajdujemy odpowiednio
dużo punktów i łączymy je harmonijnie. Takie uzupełnianie odpowiednio gęsto
zadanych punktów do krzywej, którą wyznaczają, jest dobre, gdy krzywa ta jest
regularna, a przecież typowe fraktale są bardzo poszarpane i na tym polega ich
urok. Nie można więc używać wobec nich klasycznego sposobu tworzenia krzywych,
funkcji i figur.
Zadziwiające, że ludzie nie wierzą, iż w nauce jest miejsce na wyobraźnię.
Chodzi tu o bardzo interesujący rodzaj wyobraźni, odmienny od wyobraźni
artysty. Wielka trudność polega na próbie wyobrażenia sobie czegoś, czego
nigdy wcześniej nie widzieliście, co byłoby w każdym szczególe zgodne z tym
co udało się zaobserwować, i co byłoby odmienne od tego, o czym już myślano.
R.P. Feynman
Mandelbrot charakteryzował fraktale trzema własnościami: nie są określone
wzorem matematycznym tylko zależnością rekurencyjną, mają cechę samopodobieństwa
(cześć fraktala jest podobna do całego), są obiektami, których wymiar nie
jest liczbą całkowitą. Fraktale można traktować jako interpretację graficzną pewnych
równań czy ciągów. Ich tworzenie polega na powtarzaniu w nieskończoność
określonych czynności, na liczeniu kolejnych elementów i dobieraniu koloru rysowanego
punktu w zależności od wyniku. Obserwując otoczenie ciężko nie oprzeć
się wrażeniu, że formy te są już znane (rys. 11, 12). Podobieństwo to bierze się

372
Zbigniew Lis
stąd, że fraktale mają charakterystyczny kształt, który znacznie lepiej oddaje strukturę
rzeczywistości. Nie mając żadnych innych punktów orientacyjnych nie wiemy,
czy mamy do czynienia z małym obłoczkiem pary, czy z ogromną chmurą. Te
cechę naturalnych kształtów nazywa się samopodobieństwem i jest to podstawowy
termin, który pozwala zrozumieć, czym są fraktale. Sama nazwa fraktal przypomina
o tym, że są to figury nieregularne, jakby połamane, którym brakuje zwykle
jednoznacznego kształtu. Samopodbieństwo ujawnia się w wymiarze fraktalnym.
W przeciwieństwie do wymiarów euklidesowych, będących liczbami całkowitymi,
wymiar fraktalny jest zawsze ułamkiem. W ramach tej teorii należy go rozumieć
jako stopień „chropowatości”, czyli to, jak efektywnie dana krzywa zapełnia powierzchnię.
Im fraktal jest bardziej „poszarpany”, tym większy jest jego wymiar.
Stałość wymiaru w dowolnej skali to cecha charakterystyczna tych figur. Zjawiska
fizyczne istnieją na ogół w pewnej charakterystycznej skali i w tej odpowiedniej
skali powinny być mierzone (np. struktura Wszechświata w skali milionów lat
świetlnych, struktura bakterii w mikrometrach). Próby zrozumienia Natury wymagają
wprowadzenia skali pomiarów, która według nas jest naturalna, tzn. adekwatna
i ułatwiająca analizę danego fragmentu rzeczywistości. Natura natomiast operuje
wszystkimi skalami równocześnie. Tutaj właśnie sprawdzają się fraktale, które
zostały wymyślone do opisu obiektów geometrycznych wykazujących drobną
strukturę dla dużego zakresu powiększeń. Idealny fraktal ma taką strukturę w nieskończonym
zakresie powiększeń. Kwestia doboru odpowiedniej skali przestaje
istnieć. We wszystkich bowiem skalach fraktale mają taką samą strukturę oraz
charakteryzują się dużym samopodobieństwem – fragment przypomina całość.
Rezygnując z formalnej definicji fraktala, podsumujmy podając jego cechy charakterystyczne:
samopodobieństwo, symetria, prosta zasada wzrostu fraktala, wymiar
fraktalny nie jest liczbą całkowitą.
2. Sztuka fraktalna
W 1999 r. L. Kerry Mitchell sformułował dokument „Sztuka fraktalna – manifest”,
dostępny w [21] (polskie tłumaczenie [J. Wierny, 14]). Poniżej przytoczono
fragmenty tego opracowania, jako istotne sformułowanie rodzącego się nowego
kierunku sztuki.
Jako oddzielny gatunek sztuki, sztuka fraktalna (fractal art) liczy sobie około
15-20 lat. Za pierwszą ważną prezentację sztuki fraktalnej można uznać artykuł na
temat zbioru Mandelbrota, opublikowany w 1985 roku w magazynie „Scientific
American”. Od tamtej pory dokonany został olbrzymi postęp, zarówno w technikach
renderowania fraktali, jak i w zrozumieniu fraktalnej geometrii.
Sztuka fraktalna to dziedzina, którą interesują struktury fraktalne bądź zbiory,
które charakteryzuje ich własna nieskończoność (fragment struktury przypomina
jej całość) oraz nieskończony stopień dokładności odwzorowania ich szczegółów
niezależnie od przyjętej skali.

Komputer w rękach artysty – sztuka fraktalna 373
Fraktale tworzone są głównie za pomocą komputerów, dzięki zastosowaniu
numerycznych procedur iteracyjnych. Ostatnio również obrazy, których pod
względem technicznym nie można uznać za fraktale, ale które powstają przy użyciu
tych samych generujących je technik i są tworzone w tym samym środowisku,
zostały zaadoptowane do świata sztuki fraktalnej.
Twórczość fraktalna jest jedną z dziedzin dwuwymiarowej sztuki wizualnej,
pod wieloma względami przypomina fotografię – formę artystycznego wyrazu,
która także spotkała się niegdyś z bardzo sceptycznym podejściem. Fraktalne obrazy
są głównie reprodukowane w postaci wydruków, co zbliża ich twórców do środowiska
malarzy, fotografików oraz artystów używających różnych form druku.
W swej pierwotnej postaci fraktale są jednak obrazami zapisanymi w formie elektronicznej.
Cyfrowy zapis prac szybko został przyjęty także przez tradycyjnych
artystów grafików, co z kolei ich samych przybliża do świata sztuki fraktalnej.
Generowanie fraktali może być artystycznym poszukiwaniem, matematycznym
badaniem naukowym bądź po prostu przyjemnym spędzaniem czasu. Niemniej
jednak, sztuka fraktalna w wyraźny sposób wyróżnia się spośród wszystkich pozostałych
digitalnych działań poprzez to, czym jest oraz czym nie jest.
Szuka fraktalna nie jest:
– skomputeryzowaną sztuką tworzoną wyłącznie przez komputer. W procesie
twórczym używa się komputera, jednakże jego obliczenia są ukierunkowane
przez samego artystę;
– przypadkowa,w tym znaczeniu, że nie jest losowa, ani że brak w niej jakichkolwiek
zasad. Opierając się na matematycznych prawidłach, renderowanie
fraktala jest w ścisłym sensie deterministyczne (bo korzysta z tej samej formuły,
ale losowe, bo mamy do czynienia z układami dynamicznie nieliniowymi,
niestabilnymi, silnie zależnymi od małych zmian warunków początkowych –
przyp. Z L.). Podążając tymi samymi krokami, wygenerujemy zawsze ten sam
obraz. Niewielkie zmiany wprowadzone do tego procesu prowadzą zwykle do
niewielkich zmian w ostatecznym rezultacie pracy, co sprawia że twórczość
fraktalna jest działaniem, którego się można nauczyć, a nie przypadkowym
procesem polegającym na bezmyślnym wciskaniu przycisków czy kręceniu potencjometrami;
– przypadkowa, w tym sensie, że jest nieprzewidywalna. Jak każda nowa dziedzina
posiada wiele aspektów nieznanych nowicjuszowi, ale prawdziwy mistrz
jest z nimi doskonale obeznany. Poprzez eksperymenty i zdobywanie wiedzy,
można nauczyć się technik używanych w tej dziedzinie sztuki. Podobnie jak
w malarstwie czy szachach, można dość szybko ogarnąć podstawy, jednak pełne
zrozumienie i opanowanie ich może zająć nawet całe życie. Radość płynąca
z genialnych przypadkowych odkryć zostaje w międzyczasie zastąpiona radością
będącą rezultatem procesu twórczego, nad którym ma się pełną kontrolę;
– czymś, co może dobrze zrobić każdy użytkownik komputera. Każdy może
wziąć aparat fotograficzny i wykonać zdjęcie, jednakże nie każdy jest Anselem

374
Zbigniew Lis
Adamsem albo Annie Liebovitz. Każdy może wziąć pędzel do ręki i coś namalować,
jednak nie każdy malarz to Georgia O'Keeffe albo Pablo Picasso.
Oczywiście każda osoba posiadająca komputer może tworzyć fraktalne obrazy,
ale nie oznacza to, że stanie się ona prawdziwym mistrzem sztuki fraktalnej.
Sztuka fraktalna jest:
– pełna ekspresji. Różnymi środkami artyści uczą się wyrażać i przywoływać
wszystkie rodzaje idei oraz emocji: malarz – przy pomocy farb, fotografik –
wykorzystując grę cieni i świateł, a tancerz – używając ruchów ciała. Język artystów
zajmujących się sztuką fraktalną nie jest bardziej ograniczony niż język
artystów, używających tradycyjnych środków wyrazu;
– twórcza. Ostateczny wizerunek fraktala musi być stworzony, podobnie jak
fotografia czy namalowany obraz. Może być on zarówno podobizną jakiegoś
obiektu, jak też abstrakcyjną wizją opartą na bazowej formie fraktala. Artyści,
którzy zajmują się grafiką fraktalną, rozpoczynają od czystych „płócien”, następnie
tworzą obraz, łącząc ze sobą podstawowe jego elementy (kolor, kompozycja),
podobnie jak dzieje się to w przypadku twórców tradycyjnych sztuk
wizualnych.
– wymagająca: wymaga wkładu, wysiłku i inteligencji. Artysta musi ukierunkować
zestaw formuł obliczeniowych, tekstur obrazu, schematów barw, palet oraz innych
niezbędnych parametrów. Każdy bez wyjątku z tych elementów należy
modyfikować, regulować i dopasowywać w taki sposób, by utworzyły one pożądaną
kombinację. Wolność w manipulowaniu różnymi aspektami obrazu fraktala
pomaga zrozumieć zależności pomiędzy ich użyciem a efektami, jakie dają. Zrozumienie
to wymaga pewnej inteligencji i uwagi ze strony twórcy.
Przede wszystkim twórczość fraktalna jest po prostu tym, co powstaje w wyniku
procesu twórczego artystów: SZTUKĄ. Podobnie patrzą na twórczość fraktalną
nazywając ją ekspresjonizmem fraktalnym Taylor R., Micolich A. i Jones D [11].
3. Pracownia artysty – przepisy na fraktal
Fraktale tworzone są za pomocą komputerów, dzięki zastosowaniu numerycznych
procedur iteracyjnych. Rozważmy na płaszczyźnie zespolonej ciąg {z0, z1,
z2,...}, którego początkowy wyraz jest zerem, a następne wyrazy są określone zależnością
rekurencyjną zn+1= z 2+ n c, gdzie c jest zespolonym parametrem. W zależności
od wartości parametru c ciąg ten może być zbieżny do nieskończoności
lub ograniczony. Te wartości parametru c, dla którego ciąg {zn} pozostaje ograniczony,
tworzą na płaszczyźnie zmiennej zespolonej tzw. zbiór Mandelbrota. Przedstawiony
algorytm tworzy jeden z wielu typów fraktali. Zbiór Mandelbrota dla
Re(c)Î(-2.3,0.9), Im(c) Î(-1.2,1.2) pokazano na rys. 4.

Komputer w rękach artysty – sztuka fraktalna 375
Rys. 4. Fraktal Mandelbrota i kilka jego powiększeń.
Tę metodę generowania fraktali nazwiemy MCZ (metoda ciągów zespolonych,
wizualizowanych na płaszczyźnie zespolonej). Wymaga ona odpowiedniej zależności
rekurencyjnej, doboru parametrów tej zależności, iterowania jej w odpowiednio
dużym zakresie i doboru kolorów. Wymienione czynności generowania
fraktala wykonuje się za pomocą odpowiednich aplikacji komputerowych, zwanych
generatorami fraktalnymi np. GF2, GF3 (wykaz na końcu pracy).
Drugą metodą jest metoda przekształceń afinicznych (nazwiemy ją MPA) na
płaszczyźnie karteziańskej, wykorzystując algorytm podany przez Michaela
F. Barnsleya [9]. Nazwany przez niego IFS (ang. Iterated Function System). Ta
metoda zostanie przedstawiona w szerszym kontekście.
Będziemy zajmować się czynnościami znanymi już uczniowi szkoły powszechnej,
przekształcaniem figur na płaszczyźnie. Zdefiniujemy trzy takie przekształcenia:
przesunięcie, skalowanie, obrót. Każde z tych przekształceń buduje dla danego
punktu jego obraz na płaszczyźnie. Wybierzemy dowolny punkt P i pokażemy jak
znaleźć jego obraz O w każdym z przekształceń. Aby takie przekształcenie stało
się pożywką dla komputera musimy wyrazić sposób na znajdowanie obrazu punktu
P (punkt O) w języku liczb, podając przepis na zmianę współrzędnych wybranego
punktu – musimy podać algorytm transformacji współrzędnych punktu. Oznaczymy
współrzędne punktu P przez xP, yP oraz punktu O przez xO, yO. Będziemy, łącząc
punkt P z początkiem układu współrzędnych, przekształcać powstały wektor.
Możemy też wyobrazić sobie, że punkt P jest elementem figury i każdy punkt tej
figury będzie podlegał opisywanym przekształceniom.

376
Rys. 6. Transformacja figury
F poprzez skalowanie r, s
⎡x
⎢
⎣y
O
O
⎤ ⎡cos( ϕ)
− sin( ψ ) ⎤ ⎡x
⎥ = ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣sin(
ϕ)
cos( ψ ) ⎦ ⎣y
⎤ ⎡r
x
⎥ = ⎢
⎦ (2) ⎣s
y
Zbigniew Lis
Przesunięcie (translacja) punktu P
w O o wektor t[t1,t2] pokazano na rys. 5,
zaś odpowiednie równanie na zmianę
współrzędnych, wyrażone w zapisie
macierzowym pokazuje zależność (1).
⎡x
O ⎤ ⎡1
0⎤
⎡x
P ⎤ ⎡t1
⎤ ⎡ xP
+ t1
⎤
⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ (1)
⎣y
O ⎦ ⎣0
1⎦
⎣y
P ⎦ ⎣t
2 ⎦ ⎣y
P + t 2 ⎦
Skalowanie zmienia wielkość obiektu F.
Taka transformacja dokonywana jest po-
Rys. 5. Transformacja figury F przez pomnożenie współrzędnych każdego
poprzez translacje
punktu wchodzącego w skład obiektu przez
o wektor t[t1,t2] współczynniki skalowania. Transformację
skalowania pokazano na rys. 6, zaś, odpowiednie
równanie na zmianę współrzędnych
wyrażone w zapisie macierzowym pokazuje
zależność (2).
Obrót wymaga zmiany prostokątnego układu
współrzędnych OXY na układ współrzędnych
ukośnych OX ’ Y ’ poprzez obrót odpowiednio osi
OX o kąt ϕ oraz osi OY o kąt ψ. Transformację
obrotu pokazano na rys. 7, zaś odpowiednie
równanie na zmianę współrzędnych wyrażone
w zapisie macierzowym, pokazuje zależność (3).
P
P
⎡x
⎢
⎣y
⎤ ⎡r
⎥ = ⎢
⎦ ⎣0
⎤ ⎡cos(
ϕ)
x
⎥ = ⎢
⎦ ⎣sin(
ϕ)
x
P
P
0⎤
⎡x
⎥ ⎢
s⎦
⎣y
− sin( ψ ) y
+ cos( ψ ) y
Będziemy dalej interesować się tylko przekształceniami na płaszczyźnie wykonywanymi
w kolejności: skalowanie, obrót i translacja. Wybieramy także tylko takie przekształcenia
skalowania, dla których współczynniki skali zmniejszają figurę wyjściową Możemy
teraz dokonać formalnego złożenia wymienionych przekształceń, podając końcową zależność
(4) na wyznaczenie współrzędnych punktu O, będącego obrazem punktu początkowego.
Takie złożenie trzech wymienionych odwzorowań nazwiemy transformacją afiniczną.
Matematyczne podstawy takich przekształceń opierają się na twierdzeniu Banacha
o odwzorowaniu zwężającym i istnieniu dla takich przekształceń punktu stałego odwzorowania,
tzn. takiego, który przekształca się w siebie. Pełne brzmienie tych twierdzeń i ich
dowodów można znaleźć w [3, 9].
O
O
P
P
P
P
⎤
⎥
⎦
P
P
⎤
⎥
⎦
(2)
(3)

Komputer w rękach artysty – sztuka fraktalna 377
⎡x
⎢
⎣y
O
O
Tabela 1
⎤ ⎡r
⎥ = ⎢
⎦ ⎣0
Rys. 7. Transformacja figury
F poprzez obrót
o kąt ϕ, ψ
0⎤
⎡cos( ϕ)
− sin( ψ ) ⎤ ⎡x
⎡ ⎤
P ⎤ t ⎡r
cos( ϕ)
xP
− s sin( ψ ) yP
+ t
x
x ⎤
⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢
⎥ (4)
s⎦
⎣sin(
ϕ)
cos( ψ ) ⎦ ⎣y
P ⎦ ⎢ ⎥ ⎣
r x +
+
⎣
t sin( ϕ)
y ⎦
P s cos( ψ ) yP
t y ⎦
Niekiedy macierzową postać przekształceń afinicznych
podaje się w postaci pokazanej na rysunku
8b. Można napisać odpowiednie relacje zależności
pomiędzy a, b, c, d, e, f oraz r, s, ϕ, ψ, t1, t2.
Złożenie transformacji pokazane w (4) korzysta z
trzech przekształceń (skalowanie, obrót i translacja)
oraz 6 parametrów tych przekształceń. Można
rozważyć pewne charakterystyczne przypadki pokazane
w tabeli 1.
Przekształcenie
→
SKALOWANIE OBRÓT TRANSLACJA
Parametry → r, s ϕ, ψ tx, ty
1
Przypadki ↓
s = r, 0≤ r < 1 ϕ = ψ
Wyznacza przekształcenie, które pomniejsza r-krotnie i jednocześnie obraca o kąt ϕ
przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (jeżeli ϕ=0, to przekształcenie jest jednokładnością)
2 s = r, 0 ≤ r < 1 ϕ = π, ψ= 0
Wyznacza przekształcenie, które pomniejsza r-krotnie i jednocześnie odbija symetrycznie
względem osi y
3 r = a, s = b,
0 ≤a < 1, 0 ≤ b < 1
ϕ = ψ= 0
Wyznacza przekształcenie, które pomniejsza a razy w kierunku osi x i b razy w kierunku
osi y
4 r=a>0 ϕ = ψ
Definiuje podobieństwo dane przez obrót o kąt ϕ i jednokładności o skali r
Technika iterowanych układów odwzorowań jest narzędziem pozwalającym
tworzyć w prosty sposób figury o ciekawych kształtach. Zestaw takich odwzorowań
tworzy figury samopodobne, które są atraktorem, deterministycznym fraktalem.
Wykorzystując metodę IFS (rys. 8), możemy budować figury, fraktale.

378
Zbigniew Lis
Rys. 8. Zasada transformacji afinicznych (metoda MPA generatora fraktali)
Tworzenie fraktali metodą przekształceń afinicznych w oparciu o technikę IFS
wymaga zdefiniowania pewnej ilości przekształceń, które wykorzystują pokazane
transformacje afiniczne, dla których określamy niezbędne wartości parametrów
przekształceń. Przyjmiemy jeszcze jedną zasadę budowania obrazów w oparciu
o MPA. Na każdym kolejnym kroku wybieramy przekształcenie poprzez losowanie
jednego z przyjętej wcześniej galerii przekształceń. Obrazy, jakie powstaną, tworzone
są za pomocą symbolicznego języka, który składa się trzech transformacji,
i dla każdej z dwóch odpowiednio dobranych parametrów.
Rozważmy dla przykładu paproć Barnsleya, drugi słynny fraktal (będzie to wirtualne
odwzorowanie liścia paprotki), i sposób jego tworzenia. Pierwszym krokiem
przy budowie tego fraktala jest poszukiwanie reguł samopodobieństwa i budowy
przekształceń z nich wynikających [7]. Z obserwacji (rys. 9) wynika, że każdy
z liści jest pomniejszoną repliką całej paproci obróconą o kąt 80 o , oraz wszystkie
liście tworzące obie strony paproci są pomniejszonymi kopiami całej paproci. Figurą
początkową, którą poddajemy transformacji jest kwadrat. Pierwsze spostrzeżenia
prowadzi do skalowania i obrotu, zaś drugie do skalowania i translacji. Odwzorowanie
p1 (rys. 9) zmniejsza rozmiary początkowego kwadratu, przekształcając
go w prostokąt, a następnie obraca go w lewo o kąt 80 o . Odwzorowanie p2
zmniejsza kwadrat, jednocześnie zamieniając go w prostokąt, a następnie przesuwa
go wzdłuż osi OY o wektor [0,1/3]. Dodamy do galerii przekształceń jeszcze dwa
przekształcenia: p3, które jest podobne do p2 z istotną różnicą – zmieniamy kąt na –
80 o , w ten sposób tworzymy prawą stronę paproci. W tym przekształceniu dokonamy
jeszcze odbicia zwierciadlanego względem OY. Ostatnie przekształcenie p4
związane jest z tworzeniem łodygi. Potrzebne jest trochę wolnego miejsca, co uzyskamy
,oddalając od siebie obie strony paproci. Wprowadzimy do przekształceń p1
i p2 translację o wektor odpowiednio [-0.1,0] i [0.1,0]. Łodygę. zrobimy za pomocą
skalowania, dobierając eksperymentalnie wartości współczynników skalowania.
Dodatkowo dokonamy translacji o wektor [0,-1/4], tak by przesunąć łodygę ku

Komputer w rękach artysty – sztuka fraktalna 379
dołowi. Na rysunku 10 pokazano efekty poszukiwań wirtualnej paproci (fraktal
wygenerowany w programie PALAB , GF1, wykaz programów komputerowych na
końcu pracy)
Rys. 9. Transformacje tworzące
układ odwzorowań paprotki Barnsleya [2]
Rys. 10. Kolejne etapy przekształceń afinicznych dla
paprotki Barnsleya po a) 5 10 2 , b) 10 3 , c) 10 4 , d) 10 5
krokach algorytmu

380
Zbigniew Lis
Ten zestaw parametrów przekształcenia dla paprotki Barnsleya jest efektem celowych
poszukiwań, ale poszukiwanie tych parametrów jest metodą budowania
fraktali i poszukiwania formy, która ma własne piękno, tworzy obraz, który jest
sztuką.
4. Galeria fraktali
Dziś sztuka fraktalna zdobywa powodzenie a Internet stał się miejscem wystawiania
własnych prac, jak również oglądania dzieł innych artystów. Na zapytanie
Fractal Gallery wyszukiwarka www.google.pl znajduje 1550000 źródeł (0,29 s).
Można rzec, jest to obraz powszechności nowej sztuki i jej możliwości twórczych.
W takiej pracy nie sposób nie przytoczyć wybranych fraktali dla pełniejszego
obrazu artystycznych właściwości fraktali. Ten przegląd otwierają jednak nie działa
artystów, a „dzieła Natury” (rys. 11, 12). Można tak, jak robił to Mandelbrot,
wpatrując się w to, co nas otacza, doszukiwać się cech fraktalnych, np. samopodobieństwa,
nieregularności, powtarzalności w różnych skalach, ale także inspiracji
do poszukiwań twórczych. Prace pokazane na rys. 13-14 zostały wybrane ze źródeł
internetowych, a na rys. 15–17 zostały wykonane w „twórczej grupie grafiki fraktalnej
(TGGF) prowadzonej przez autora [13,14].

Komputer w rękach artysty – sztuka fraktalna 381
Rys. 11. Obserwowane zdarzenia Natury o cechach fraktalnych [16]
Rys. 12. Bogactwo form Przyrody z wyraźnymi cechami fraktalnymi [17,18]

382
Rys. 13. Galerie fraktali autorstwa Kerry Mitchell i Janet Parke [19]
Rys. 14. Galerie fraktali Cindy Meyers [20]
Zbigniew Lis

Komputer w rękach artysty – sztuka fraktalna 383
Rys. 16. Galerie fraktali Moniki Stefaniak [TGGF]

384
Zbigniew Lis
Rys. 17. Galerie fraktali (metoda MPA) wykonane przez autora [TGGF]
Wnioski
Czy warto zajmować się fraktalami? Warto, chociażby dlatego, że są piękne.
Warto, dlatego że pozwalają nam zrobić istotny krok w rozumieniu rzeczywistości.
Warto także dlatego, że dają przykład, że żadna wiedza nigdy na zawsze nie jest
ostateczna i w jej poszukiwaniu nie ma końca. I może czas już pozostawić piękne
na swój sposób twory Euklidesa. Jego geometria była na miarę dążenia Greków do
piękna i prostoty. Geometria fraktalna odkrywa inne piękno i inną prostotę. Pozwala
także na przekroczenie naszego ograniczenia w widzeniu świata. Jej język staje

Komputer w rękach artysty – sztuka fraktalna 385
się uniwersalny dla wielu dyscyplin nauki. Dziś rozmawiają już w ten sposób nie
tylko matematycy i fizycy, ale przedstawiciele prawie wszystkich dyscyplin nauki.
Rodzi się nowy język porozumienia, zostaje przekroczona hermetyczność wąskich
specjalności. Fraktalami zajmują się także filozofowie [10].
Fraktale mają szerokie zastosowanie, nie są one jednak uniwersalne. Ujawniają
nowe stany natury, jakie poddają się modelowaniu matematycznemu. Udostępniają
formy, które inaczej mogłyby być uważane za bezkształtne. Stawiają nowe pytania
i dostarczają nowego rodzaju odpowiedzi. We fraktalach uderza piękno przypadkowych
kompozycji – a jednocześnie wysokie samopodobieństwo i symetria.
W pracy pokazano historię i zawartość nowego pojęcia – geometrii fraktalnej.
Algorytm budujący fraktal jest pożywką dla komputera, tworzy deterministyczne
fraktale. A gdzie moment twórczy? Należy uznać, że dobór odwzorowań i ich parametrów
jest jak pędzel i zamysł twórcy. Efekt takich poszukiwań zaskakuje już
po kilku krokach iteracji zbudowanych figur-fraktali. W pracy pokazano wybrane
efekty takich poszukiwań. Mamy przed sobą obraz złożoności wyrażonej przez
prostotę algorytmu jej tworzenia, mamy przed sobą fraktalne piękno, widzimy
splecione złożoność i prostotę w jednym.
Artystę interesuje forma widzialna fraktala i na niej skupi swoje poszukiwania.
Komputer jest narzędziem, ale zamysł twórcy, jego ekspresja, poszukiwania, generowanie
podstawowego fraktala, dobór jego parametrów, jego przekształcenia,
zanurzanie go w palecie kolorów i renderowanie, sprawia, że otrzymać możemy
dzieło sztuki, dziś porównywalne z innymi sposobami tworzenia sztuki widzialnej.
Podziękowania
Autor składa podziękowanie Pani Monice Stefaniak za udostępnienie grafik fraktalnych
oraz Panu Sławkowi Koczubiejowi – generatora fraktali.
Bibliografia
1. Mandelbrot B.B., The Fractal Geometry of Nature, 1975,
2. Stewart I., Czy Bóg gra w kości, Nowa matematyka chaosu, PWN, Warszawa 1994,
3. Schuster H.G., Chaos deterministyczny. Wprowadzenie, PWN, Warszawa 1995
4. Gleick J., Chaos, Narodziny nowej nauki, Wyd. Zysk i S-ka, Poznań 1996
5. Kudrewicz J., Fraktale i chaos, WNT, Warszawa 1996
6. Szczerba D.B., Fraktalne oblicze natury, Wiedza i Życie 10/1996
7. Martyn T., Fraktale i obiektowe algorytmy ich wizualizacji, Wydawnictwo Nakom,
Poznań 1996
8. Kuhn T., Struktura rewolucji naukowych, PWN, Warszawa 1968,
9. Peitgen H.O., Jurgens H., Saupe D. Granice chaosu, Fraktale, PWN, Warszawa 1997
10. Tempczyk M. Teoria chaosu a filozofia, Wydawnictwo CiS, Warszawa 1998
11. Taylor R., Micolich A.P., Jonas D., Fractal Expressionism,
http://www.phys.unsw.edu.au/PHYSICS_!/FRACTAL_EXPRESSIONISM/fractal_tay
lor.html

386
Zbigniew Lis
12. Lis Z.R, Fraltalne widzenie świata, I Kielecki Festiwal Nauki, prezentacje
Festiwalowe, Kielce, 2000
13. Lis Z R., Nowy język natury – impresje fraktalne, II Kielecki Festiwal Nauki, prezentacje
Festiwalowe, Kielce, 2002
14. Mitchel L. Kerry Szutka fraktalna, (tłumaczenie J.Wierny) http://www.fractal.art.pl
15. Netografia
16. http://www.wolkenatlas.de/
17. http://acadiesart.com/object/trees/tree019.png
18. www.bonsai-wehrl.de/
19. http://www.infinite-art.com/
20. http://www1.iwvisp.com/rcmeyers/index.htm
21. http://www.fractal.art.pl
Programy komputerowe –generatory fraktali
1. GF1. PALAB – generator fraktali metodą MPA, autor Z. Lis, Kielce 2000
2. GF2. SFRACT – generator fraktali metodą MCZ, autor S. Koczubiej, Kielce 1999
3. GF3. ULTRAFRACT – komercyjny generator fraktali: www.ultrafractal.com
Summary
The paper presents the idea behind fractal graphics. The rules governing the creation
of fractals with the use of computer applications have been described. The
paper strives to answer the question whether the computer can be perceived as an
artists tool, and whether the graphics created possess the qualities of a work of art.
Selected fractal images have been presented in this paper.
Dr inż. Zbigniew Lis jest starszym wykładowcą w Politechnice
Świętokrzyskiej na Wydziale Mechatroniki i Budowy Maszyn,
a także docentem w Wyższej Szkole Handlowej w Kielcach. Pełni
także funkcję kierownika Zakładu Informatyki w tej uczelni.
Główne zainteresowania naukowe to projektowanie systemów
mechatronicznych, dynamika maszyn, dynamika nieliniowa układów
fizycznych, układy chaotyczne, programowanie komputerów,
grafika komputerowa, sieci komputerowe, bezpieczeństwo danych
w sieci, podpis elektroniczny.
zbigniew.lis@gmail.com