PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI - Zadania.info

– NAJWI EKSZY ˛ INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
ZESTAW NR 59748
WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE
WWW.ZADANIA.INFO
POZIOM ROZSZERZONY
CZAS PRACY: 180 MINUT
1

– NAJWI EKSZY ˛ INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
ZADANIE 1 (6 PKT.)
Wykres funkcji f , okre´slonej dla x ∈ R nast˛epujacym ˛ wzorem
f (x) = (a − 3)x 2 − 2ax + 3a − 6
przecina dodatnia˛ póło´s Ox w dwóch ró˙znych punktach.
a) Oblicz warto´sć wyra˙zenia |(a−1)(8−a)(a−7)(2a−3)|
(a−1)(8−a)(a−7)(2a−3) .
b) Uzasadnij, ˙ze dla ka˙zdych dwóch liczb rzeczywistych m > n > 0 spełniona jest nierówno´sć
f (−m 2 ) > f (−n 2 ).
2

– NAJWI EKSZY ˛ INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
ZADANIE 2 (5 PKT.)
Długo´sci boków trójkata ˛ tworza˛ trzy kolejne wyrazy ciagu ˛ arytmetycznego o ró˙znicy 1. Oblicz
długo´sci boków tego trójkata, ˛ je´sli jego pole wynosi 0, 75 √ 15.
3

– NAJWI EKSZY ˛ INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
ZADANIE 3 (3 PKT.)
Dany jest trójkat ˛ prostokatny ˛ ABC o przeciwprostokatnej ˛ AB, taki ˙ze sin ∡BAC = 0, 3 i
|AC| = 7. Oblicz pole koła opisanego na tym trójkacie. ˛
4

– NAJWI EKSZY ˛ INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
ZADANIE 4 (5 PKT.)
Prawdopodobieństwa zdarzeń A i B oraz zdarzeń do nich przeciwnych spełniaja˛ warunki:
P(A ∪ B ′ ) = 0, 23 i P(A ′ ∪ B ′ ) = 0, 81.
a) Oblicz P(B).
b) Wyka˙z, ˙ze je˙zeli P(A) < 0, 21 to P(A ′ ∩ B ′ ) > 0, 02.
5

– NAJWI EKSZY ˛ INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
ZADANIE 5 (3 PKT.)
Dany jest okr ˛
kat ˛ ostry rombu ma miar˛e 60◦ .
ag (x − 2) 2 + (y − 1) 2 = 3. Oblicz pole rombu opisanego na tym okr˛egu, je´sli
6

– NAJWI EKSZY ˛ INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
ZADANIE 6 (5 PKT.)
Wielomian W(x) = x 5 − 5qx 4 + 7x 3 + qx 2 + 4px − 2p jest podzielny przez wielomian P(x) =
x 3 − 3x 2 + 4. Wyznacz p i q.
7

– NAJWI EKSZY ˛ INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
ZADANIE 7 (6 PKT.)
a) Wyka˙z, ˙ze równanie x5 + 8x2 + x + 1 = 0 nie ma rozwiazań ˛ w przedziale 〈−1, 1〉.
b) Wyka˙z, ˙ze równanie
sin x cos 4 x − 2 sin x cos 2 x − 8 cos 2 x + 2 sin x + 9 = 0
nie ma rozwiazań ˛ rzeczywistych.
8

– NAJWI EKSZY ˛ INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
ZADANIE 8 (6 PKT.)
Korzystajac ˛ ze wzoru
1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + · · · + nx n−1 = nxn+1 − (n + 1)xn + 1
(1 − x) 2
,
który jest prawdziwy dla dowolnej liczby naturalnej n i dowolnej liczby x = 1, wyka˙z, ˙ze
5
log5 2·7 · 54·73 · 56·75 · 58·77 5 · 53·72 · 55·74 · 57·76
= 8 · 79 + 9 · 78 − 1
.
64
9

– NAJWI EKSZY ˛ INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
ZADANIE 9 (6 PKT.)
Pole przekroju ostrosłupa prawidłowego czworokatnego ˛ płaszczyzna˛ przechodzac ˛ a˛ przez
przekatn ˛ a˛ podstawy i równoległa˛ do kraw˛edzi bocznej rozłacznej ˛ z ta˛ przekatn ˛ a˛ wynosi x.
Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzna˛ zawierajac ˛ a ˛ ´srodki dwóch sasiednich ˛ boków
podstawy i ´srodek wysoko´sci ostrosłupa.
10

– NAJWI EKSZY ˛ INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
ZADANIE 10 (5 PKT.)
Dwa okr˛egi o ´srodkach S1 i S2 przecinaja˛ si˛e w punktach A i B, przy czym punkty S1 i S2
le ˙z a˛ po przeciwnych stronach prostej AB. Miary katów ˛ AS1B i AS2B wynosza˛ odpowiednio
90◦ i 60◦ . Wyznacz długo´sci promieni tych okr˛egów wiedzac, ˛ ˙ze |S1S2| = a.
11

– NAJWI EKSZY ˛ INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
1. a) -1
2. 2, 3, 4
3. 175π
13
4. a) P(B) = 0, 96
5. 8 √ 3
6. p = −2, q = 1
7. Uzasadnienie.
8. Uzasadnienie.
9. 5 4 x
10. a( √ 3 − 1) i a 2 (√ 6 − √ 2)
ODPOWIEDZI
DO ARKUSZA NR 59748
Odpowiedzi to dla Ciebie za mało?
Na stronie
HTTP://WWW.ZADANIA.INFO/59748
znajdziesz pełne rozwiazania ˛ wszystkich zadań!
12