Zadania przygotowujące do sprawdzianu z działań na ułamkach

1 Liczby wymierne i niewymierne
Liczby wymierne i niewymierne - powtórzenie
1 Ułamki zwykłe i dziesi˛etne
1.1 Rozszerzanie ułamków
Przykład
Rozszerz ułamki
1.2 Skracanie ułamków
Przykład
3
4
8
20
a
b
= a · c
b · c
= 3 · 2
4 · 2
2
3 =
1
5 =
1
√ 2 =
4
3√ 3 =
√ 5
4 =
a · c
b · c
= a
b
= 2 · 4
5 · 4
= 6
8
= 2
5
Marian Talar http://mtalar.scholaris.pl

2 Liczby wymierne i niewymierne
Skróć ułamki
1.3 Dodawanie ułamków
12
18 =
21
49 =
5 √ 6
15 =
3
√ 18 =
√ 32
√ 144 =
a b a + b
+ =
c c c
Je ˙zeli ułamki nie maja˛ wspólnego mianownika c, nale ˙zy najpierw przekształcić
je na ułamki o wspólnym mianowniku.
Przykład
Dodaj ułamki
2
5
2 1
+
3 6
+ 1
5
= 2 + 1
5
4 1
= +
6 6
4 3
+
6 4 =
1 1
+ 1
3 3 =
√
2
3 +
√
3
3 =
2
√ +
3 1
√ =
2
2 5 1
+ 1
12 3 =
= 3
5
= 5
6
Marian Talar http://mtalar.scholaris.pl

3 Liczby wymierne i niewymierne
1.4 Mno˙zenie ułamka przez liczb˛e
a · b a · b
=
c c
Przy mno ˙zeniu wykorzystujemy mo ˙zliwo´sć skracania ułamków
Przykład
6 · 5
14
Wykonaj mno ˙zenia
= 6 · 5
14
= 2 · 3 · 5
2 · 7
= 3 · 5
7
3 · 4
5 =
7 · 4
21 =
18 · 12
27 =
√ 2
5 · √ 5
20 =
√ 6
3 ·
4 √ 3 =
1.5 Mno˙zenie ułamka przez ułamek
Przykład
3 4
·
5 6
a c
·
b d
= 3 · 4
5 · 6
= a · c
b · d
= 4
5 · 2
= 15
7
= 2
5
= 2 1
7
Marian Talar http://mtalar.scholaris.pl

4 Liczby wymierne i niewymierne
Wykonaj mno ˙zenia
2 4
·
8 5 =
7 4
·
8 21 =
36 12
·
48 27 =
√
5
6 · 2√5 20 =
1
√ 3 ·
6
4 √ 3 =
1.6 Dzielenie ułamka przez liczb˛e
Przykład
Wykonaj dzielenia
a a
÷ c =
b b · c
4 4
÷ 3 =
5 5 · 3
2
÷ 3 =
7
5
÷ 10 =
3
8
÷ 24 =
10
1
√ ÷
2 √ 2 =
√
8
4 ÷ √ 2 =
= 4
15
1.7 Dzielenie ułamka przez ułamek
a c
÷
b d
a d
= ·
b c
= a · d
b · c
Marian Talar http://mtalar.scholaris.pl

5 Liczby wymierne i niewymierne
Wykonaj dzielenia
1.8 Pot˛egowanie ułamków
Przykłady
2 4
÷
3 9 =
3 3
÷
7 14 =
√
2
2 ÷
√
2
3 =
3
√ ÷
5 1
√ =
5
√ √
7 3
√ ÷ √7 =
3
a
b
2 5
−2 2
3
n a
=
b
an
bn a m
= am−n
an −n =
2 2
3
b
a
n
= 22 4
=
32 9
2 4 = 25−4 = 2 1 = 2
=
2 3
2
= 9
4
= 2 1
4
Marian Talar http://mtalar.scholaris.pl

6 Liczby wymierne i niewymierne
Oblicz
3 1
2
−3 1
2
2 4
3
4 2
3
=
=
=
=
54 =
53 1.9 Pierwiastkowanie ułamków
Oblicz
1.10 Liczby mieszane
a b
c
= a + b
c
a
b =
√ a
√b
4
9 =
16
64 =
√
8
√ =
2
√
144
√ =
81
√
32
√2 =
= a · c
c
+ b
c
= a · c + b
c
Marian Talar http://mtalar.scholaris.pl

7 Liczby wymierne i niewymierne
Przy wykonywaniu działań z liczbami mieszanymi nale ˙zy je najpierw
zamienić na ułamki niewła´sciwe.
Przykład
Oblicz
2 4
· 2
3 5
2 2 · 5 + 4
= ·
3 5
= 2 14
·
3 5
1 1 2
÷
2 3 =
2 3 2
· 3
4 3 =
3 4 2
− 1
5 3 =
2 3
2 =
5
2 7
9 =
1.11 Ułamki dziesi˛etne skończone
= 28
15
= 1 13
15
Ułamki dziesi˛etne sa˛ to ułamki, które w mianowniku maja˛ pot˛eg˛e liczby 10.
Cz˛esto zapisujemy je w postaci pozycyjnej. Na przykład
2
10
2
100
2 32
1000
= 0, 2
= 0, 02
= 2, 032
Aby zamienić ułamek zwykły na dziesi˛etny mo ˙zna dokonać odpowiedniego
rozszerzenia lub skrócenia ułamka zwykłego. Mo ˙zna te ˙z podzielić
pisemnie licznik przez mianownik danego ułamka zwykłego.
Przykład
14
25
= 14 · 4
25 · 4
= 56
100
= 0, 56
Marian Talar http://mtalar.scholaris.pl

8 Liczby wymierne i niewymierne
Zamień na ułamki dziesi˛etne i zapisz w postaci pozycyjnej
4
5 =
7
4 =
23
20 =
14
8 =
160
50 =
1.12 Ułamki dziesi˛etne nieskończone okresowe
Sa˛ to ułamki, w których pewna ilo´sć cyfr tworzy grup˛e powtarzajac ˛ a˛ si˛e
nieskończona˛ ilo´sć razy.
Przykład
2, 8312312312... = 2, 8(312)
Taki ułamek zawsze mo ˙zna zamienić na ułamek zwykły. W tym celu znajdujemu
10-krotno´sć lub 100-krotno´sć lub 1000-krotno´sć (w zale ˙zno´sci od
potrzeb 10n − krotno) danego ułamka dziesi˛etnego i od niej odejmujemy
dany ułamek, tak aby pozbyć si˛e przy odejmowaniu nieskończonego ogona
powtarzajacych ˛ si˛e cyfr. Otrzymujemy liczb˛e skończona. ˛ Rozwiazu ˛
jemy odpowiednie równanie i otrzymujemy szukany ułamek zwykły.
Przykład
Zamień na ułamek zwykły liczb˛e 2, 444444 . . .
Oznaczamy dana˛ liczb˛e litera˛ x:
x = 2, 444444 . . .
Znajdujemy 10-krotno´sć danej liczby
10x = 24, 44444 . . .
Marian Talar http://mtalar.scholaris.pl

9 Liczby wymierne i niewymierne
czyli
Odejmujemy
10x − x = 22
Rozwiazujemy ˛ równanie
9x = 22
i otrzymujemy
x = 22
9
= 2 4
9
2, 444444 . . . = 2 4
9
Zamień na ułamki zwykłe
2 Kolejno´sć działań
3, 111 . . . =
1, 222 . . . =
0, 555 . . . =
0, 151515 . . . =
1, 133333 . . . =
W przypadku gdy obliczamy warto´sć wyra ˙zenia zło ˙zonego nale ˙zy uwzgl˛ednić
kolejno´sć działań. Je ˙zeli kolejno´sć działań nie jest okre´slona nawiasami,
wtedy kolejno´sć ta jest wyznaczona przez same działania w nast˛epujacym ˛
porzadku: ˛
1. pot˛egowanie i pierwiastkowanie,
2. mno ˙zenie i dzielenie,
3. dodawanie i odejmowanie.
Działania sa˛ parami równoprawne je ˙zeli chodzi o kolejno´sć. Je ˙zeli obok
siebie wyst˛epuja˛ dwa takie działania, wtedy wykonuje si˛e je w kolejno´sci
Marian Talar http://mtalar.scholaris.pl

10 Liczby wymierne i niewymierne
od lewej do prawej strony. Nawiasy w wyra ˙zeniu wymuszaja˛ inna˛ kolejno´sć
ni ˙z okre´slona powy ˙zszymi regułami.
Przykład
24 + 2 · 5 − √ 9 · 3 2 = 24 + 10 − 3 · 9 = 24 + 10 − 27 = 34 − 27 = 7
24+2·(5− √ 9)·3 2 = 24+2·(5−3)·9 = 24+2·2·9 = 24+4·9 = 24+36 = 60
Oblicz warto´sć wyra ˙zeń
2, 6 + 3, 4 : 1, 7 + 6
7 ·
− 2 1
3
4
5 − 1, 2 · 5
12
− 0, 8
2 3
=
1
: − =
2
(−1, 2) 2 + 2
3 · (−1, 8) − 0, 25 : (−2, 5) 2 + 9 : (−4) =
5 ·
0, 4 − 2
5
10 · (47, 2 : 12 − 20 : 6 3
7
19
96 + 8 4
15
6 − 1 13
: (−2)
9 1 9 − 1 6 14
15 · 31
42
+ 47
56
35 ) − 1
36 =
+ 25
48
+ 2 −1 − 5 2 · 5 −1 + 8 0 =
1 1 1
− · 3 +
30 3 63 =
7 − 6 : 0, 8 − 1, 5 : 2, 25
24
2 1
4 − (−3)2 : 1 1
2
−2, 5 + 1, 75 · (−1 3 =
) 7
1 (0, 6 + 0, 425 − 0, 005) : 0, 01
· :
3 2
3 =
30, 75 + 1
12
+ 3 1
6
Marian Talar http://mtalar.scholaris.pl

11 Liczby wymierne i niewymierne
3 Prawa działań
1. Prawo przemienno´sci dodawania: a + b = b + a
2. Prawo przemienno´sci mno ˙zenia: a · b = b · a
3. Prawo łaczno´sci ˛ dodawania: (a + b) + c = a + (b + c)
4. Prawo łaczno´sci ˛ mno ˙zenia: (a · b) · c = a · (b · c)
5. Prawo rozdzielno´sci mno ˙zenia wzgl˛edem dodawania:
a · (b + c) = a · b + a · c
Oblicz
(1 + √ 5) 2 − (1 − √ 5) 2
2 2√ 5
(1 + √ 5) 3 − (1 − √ 5) 3
2 3√ 5
(1 + √ 5) 4 − (1 − √ 5) 4
2 4√ 5
1
1
1 +
1
1 +
1
1 +
1 + 1
1 + 1
=
=
=
=
1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 1000 =
W ostatnim wyra ˙zeniu trzy kropki oznaczaja, ˛ ˙ze nale ˙zy dodać wszystkie
liczby naturalne od 1 do 1000.
Marian Talar http://mtalar.scholaris.pl