Prezentace - Univerzita Karlova

Fraktály
Kristina Bártová
Univerzita Karlova v Praze
9.prosince 2008
kristinka.b@tiscali.cz

Úvodní informace
Fraktální geometrie je samostatná a dnes již
poměrně rozsáhlá vědní disciplína zasahující do
mnoha dalších oborů, která je intenzivně rozvíjena
zhruba od šedesátých let minulého století.
Za jejího zakladatele je dnes považován vědec
polského původu a objevitel fraktálů Benoît
B. Mandelbrot, který jako první matematicky
definoval pojem fraktál (fractal).
O definici fraktálu se sice vědci a umělci do jisté
míry pokoušeli i před B. B. Mandelbrotem (fraktály
jsou ostatně odnedávna patrné prakticky na každém
kroku v okolní živé i neživé přírodě), jejich popis
však byl velmi vágní a neúplný, proto je
B. B. Mandelbrotovi právem připisováno prvenství.

Benoît B. Mandelbrot
Benoît B. Mandelbrot (*20. listopadu
1924, Polsko), francouzský matematik a
zakladatel fraktální geometrie. Působí jako
profesor matematických věd na Yaleské
univerzitě a pracuje pro IBM ve vývojovém
středisku Thomase J. Watsona.

Mandelbrotova množina
Benoit B. Mandelbrot je v dnešní
době známý i mimo oblast matematiky.
Byl po něm totiž pojmenován jeden z
nejznámějších fraktálů - Mandelbrotova
množina.
Tímto jménem byl dynamický fraktál
ležící v komplexní rovině (poprvé
prezentovaný v roce 1979) pojmenován
na počátku osmdesátých let minulého
století Johnem Hubbardem. Ve
skutečnosti však Mandelbrot nebyl první,
kdo tento fraktál pomocí počítače
vykreslil, jako první ho však publikoval.

Fraktální geometrie jako vědecký obor
I před zavedením pojmu fraktál a fraktální geometrie
se vědci a umělci zabývali geometrickými útvary, které
dnes nazýváme fraktály (např. sněhová Kochova vločka
(Kochův ostrov) nebo Sierpinského trojúhelník). Nikdo z
nich však fraktál matematicky obecně nedefinoval, takže
prvenství je po právu připisováno Benoitu B.
Mandelbrotovi.
Fraktály lze nejlépe popsat jako geometrické objekty a
nejjednodušší definicí je nekonečně členitý útvar.
Pro vysvětlení pojmu nekonečně členitý útvar musíme
definovat pojem geometricky hladký útvar, který je jistým
způsobem pravým opakem útvaru nekonečně členitého.

Geometricky hladké útvary
= běžná tělesa a především umělé útvary v našem
okolí, které se dají popsat nebo zobrazit jako jistý konečný
počet parametrů, které tato tělesa z hlediska jejich tvaru
plně charakterizují (krychle, koule, válec, prstenec, úsečka,
přímka či rovina...)
Společnou vlastností uvedených útvarů je schopnost
přiřadit jim jisté celé číslo, které nazýváme počet rozměrů
neboli dimenze.

Dimenze D
Úsečka, přímka, křivka (parabola, sinusida či
Bézierova křivka) ... D = 1 (pro křivky, které mají dimenzi jedna, je
definována jejich délka (která může být i nekonečná), ale jejich plocha je
nulová (jsou nekonečně tenké))
Hladké plochy (kruh, trojúhelník, n-úhelník) ... D = 2
(Takto definované plochy mají určitý obsah, ale jejich objem je nulový,
protože mají nulovou tloušťku. )
Krychle, koule, válec nebo celý běžný prostor kolem
nás ... D = 3
Bod je speciálním případem ... D = 0 (polohu bodu v něm
samém není třeba určovat žádnou souřadnicí)
Dimenze specifikována celým číslem se nazývá
dimenze topologická.

Nekonečně členité útvary
Kolik měří pobřeží Korsiky?
Obvod ostrova Korsiky měřil Richardson, který také
jako první zjistil, že obvod ostrova je závislý na délce
tyče, kterou se měří. Richardson také empiricky
odvodil následující vztah:
K = N(e)e D
K ... délka celkového počtu N(e) úseček nutných k
aproximaci (pokrytí) dané křivky

Hausdorffova dimenze (fraktální dimenze)
Skutečná dimenze pobřeží je větší než dimenze křivky
(=1) a současně je menší než dimenze roviny (=2) →
dimenze pobřeží není celočíselná.
Toto neceločíselné číslo se nazývá Hausdorffovou
dimenzí.
Hodnota Hausdorffovy dimenze udává, s jakou
rychlostí délka těchto útvarů (či odpovídající veličina při
větším počtu rozměrů) roste do nekonečna.

Měření Hausdorffovy dimenze
Pro Hausdorffovu dimenzi obecně platí následující
podmínka:
N * s D = 1
N ... počet dílů, na které se těleso rozdělí
s ... měřítko
Hausdorffova dimenze se pro dané dělení N a dané
měřítko s vypočítá:

Měření Hausdorffovy dimenze - úsečka
S = 1 / 2
N = 2
Přímka tedy není fraktál.

Měření Hausdorffovy dimenze - čtverec
S = 1 / 2
N = 4
Čtverec tedy není fraktál.

Měření Hausdorffovy dimenze - krychle
S = 1 / 2
N = 8
Krychle tedy není fraktál.

Měření Hausdorffovy dimenze – Kochova přímka
S = 1 / 3
N = 4
Kochova přímka je fraktál.

Hausdorffova dimenze přírodních útvarů
Pobřeží
Povrch mozku člověka
Neerodované skály
Obvod 2D průmětu mraku
1,26
2,76
2,2 - 2,3
1,33

Definice pojmu fraktál
Fraktál je množina, jejíž Hausdorffova dimenze je
ostře větší než dimenze topologická.

Soběpodobnost
= taková vlastnost objektu, že objekt vypadá
podobně, ať se na něj díváme v jakémkoliv zvětšení.
Jedná se o hlavní znak fraktálů a většinou je
považován za jejich definici.
Vlastnosti soběpodobné množiny:
Soběpodobná množina vzniká opakováním sebe
sama při určité transformaci (změna měřítka, rotace,
posunutí, zkosení).
Soběpodobné množiny jsou invariantní vůči změně
měřítka. Při libovolném zvětšení, či zmenšení vypadají
podobně.
Soběpodobná množina vzniká sama ze sebe,
respektive vzniká opakováním téhož motivu.

Klasický příklad soběpodobnosti: kapradina

Soběpodobný systém IFS

Typy fraktálů
Dynamické systémy s fraktální strukturou
L-systémy
Systémy iterovaných funkcí - IFS
Nepravidelné fraktály (statisticky soběpodobné)

Dynamické systémy s fraktální strukturou
V praxi mají nejširší uplatnění.
Dynamický systém je matematický model, jehož stav je
závislý na nějaké nezávislé veličině, většinou to bývá na
čase.
Dynamický systém je popsán pomocí dynamických
podmínek. Ty jsou většinou zadány soustavou
diferenciálních rovnic, které popisují změnu stavového
vektoru v čase.
Nejznámější příklady z komplexní roviny jsou Juliovy
množiny a Mandelbrotova množina.

Juliova množina

Juliova množina v čtyřrozměrném prostoru

Mandelbrotova množina

Mandelbrotova množina
Jeden z nejznámějších fraktálů.
Je definován rekurzivním předpisem
x = 0 0
2 x = x + c c je komplexní
i+1 i
Bod c tedy patří do mandelbrotovy množiny právě
tehdy, když je tato fce omezená.
Množina sestává z nekonečného množství
podobjektů.

L-systémy
= skupina fraktálů definovaná pomocí přepisovacích
gramatik
Podstatou tvorby L-systémů je přepisování řetězců
podle určitých pravidel (gramatik)
Příklad: Hilbertova křivka, Sierpinského trojúhelník

pátá iterace Hilbertovy křivky

Sierpinského trojúhelník

Sierpinského trojúhelník
Popsán v roce 1915 polským matematikem Waclawem
Sierpinskim.
Jedná se o fraktální útvar vytvořený rekurzivním
vykreslováním rovnostranných trojúhelníků.
D = 1,585

Systémy iterovaných funkcí - IFS
= generativní metoda tvoření fraktálů
Tato metoda je vhodná jak pro generování fraktálů, tak
i pro kompresi bitmapových obrazů

Fractal flames
Tento typ fraktálů vznikl několikerou generalizací
klasických systémů iterovaných funkcí (IFS).
Algoritmus "Fractal Flame" byl vytvořen přímo s
ohledem na estetickou kvalitu vytvářených obrázků,
bez ohledu na matematickou korektnost, jako je tomu u
původních IFS systémů.

Stochastické fraktály (nepravidelné fraktály)
Nepravidelné fraktály vnášejí při generování
fraktálu do algoritmu náhodu.
Náhodné fraktály můžeme vytvářet více způsoby.
např. simulací Brownova pohybu.

Stachastický fraktál nazývaný plasma

Literatura a zdroje informací
http://www.root.cz/clanky/fraktaly-v-pocitacove-grafice-i/
(Root.cz – Fraktály v počítačové grafice)
Benoit Mandelbrot: Fraktály, Praha 2003, Mladá Fronta
http://content.techrepublic.com.com/2346-10878_11-33277
.html
(TechRepublic - Amazing flame fractals take your breath away)
http://fractals.hauner.cz/
(Fractal gallery)
http://www.wikipedia.org/
(Wikipedia – Sierpiński Triangle, Mandelbrot Set, Koch Snowflake...)

KONEC